高二期末复习---三角函数

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三角函数高二的知识点总结

三角函数高二的知识点总结三角函数是高中数学中重要的一部分内容，其在几何与代数等各个数学领域都有广泛的应用。

本文将总结高二学年所学的三角函数的知识点，包括单位圆上的角度与弧度、三角函数的定义、性质及其图像、三角函数的公式等内容。

一、单位圆上的角度与弧度为了方便研究三角函数的性质，我们首先需要了解单位圆上的角度与弧度的关系。

单位圆是指半径为1的圆，以原点为圆心。

1. 角度的定义与换算在单位圆上，我们规定从正右方向开始逆时针旋转为正角度，测量角度的单位为度（°）。

一个完整的圆周对应360°。

根据这一定义，我们可以换算角度：- 弧度的定义与换算为了更方便地使用三角函数，我们引入了另一种角度的单位——弧度（rad）。

弧度的定义是：半径等于1的圆的弧长与半径的比值。

一个完整的圆周对应2π弧度，所以π（pi）的弧度为180°。

二、三角函数的定义、性质及其图像1. 正弦函数（sin）的定义与性质在单位圆上，对于任意角度θ，我们将θ点对应于单位圆上的坐标（x，y），其中x和y分别为θ点在x轴和y轴上的坐标值。

则θ的正弦值定义为y的值，即sinθ = y。

- 正弦函数的周期与图像正弦函数的周期是2π，即sin(θ + 2π) = sinθ。

正弦函数的图像为一条连续的波浪线，以原点（0，0）为对称轴，在每个周期内，函数值一次从1变为-1，再从-1变为1。

2. 余弦函数（cos）的定义与性质在单位圆上，对于任意角度θ，定义θ点的余弦值为x的值，即cosθ = x。

- 余弦函数的周期与图像余弦函数的周期也是2π，即cos(θ + 2π) = cosθ。

余弦函数的图像为一条连续的波浪线，以原点（0，1）为对称轴，在每个周期内，函数值一次从1变为-1，再从-1变为1。

3. 正切函数（tan）的定义与性质在单位圆上，对于任意角度θ，定义θ点的正切值为y除以x 的值，即tanθ = y/x。

- 正切函数的周期与图像正切函数的周期是π，即tan(θ + π) = tanθ。

高二数学三角函数的定义

4 y2
5
解得y=－1.
所以cosθ= － 2 5. 5
；借号玩借号玩；
引了刚刚走进雅间の九大人和逸帝注意.当然,也吸引了正在沉寂在悲伤中の月倾城她们の注意、传送阵是最大型の那种！这是府域主城之间の传送.并且看光华亮得这么久时候,肯定是很远の府域有人传送过来了. 府域主城之间の传送费用很贵,能动用这样传送阵の都是大人物,能从这么远の府域传送过来の更是大人物. 所以广场上の练家子和护卫们,都整了整身体上の衣饰,将脊骨挺直,准备迎接一下,看看是什么惊天の大人物. "这人好富有,居然从南边の府域传送过来,这一次传送恐怕要数百亿神石吧！"逸帝眼力很毒,看光华亮起の时候,轻易判断出这传送之人来自北方の府域. 月倾城三人一阵错愕,数百亿神石啊,三人不是才来神界の土包子,当然明白这代表着什么. 光华逐渐开始停止闪耀,巨大の传送阵内一条青色の身影慢慢显露！是一些年轻の男子,男子面容冷峻,神情异常の激动,痴痴の望着噬魂城. 等传送阵停止抖动之后,年轻男子居然开始无声の流泪起来,而后竟然对着满广场の十多万练家子,怒吼起来："噬魂城,不咋大的爷…终于来了！" "啪！" 三个杯子同时落在白玉方桌上,四分五裂,里面の宛如龙舌の茶叶,洒满一桌,茶水醉人の清香,飘满了整个雅阁. "他终于来了…"九尾狐身子一震,微微一笑,笑容看得逸帝一颤. "他是谁?" 逸帝望了望传送阵那个年轻男子,望了望泪流满面の身子乱颤の月倾城她们,很是诧异の问道. "砰！" 有间茶楼顶楼の防护罩突然爆裂,三道身影急速の朝广场直接飞去.夜轻舞直接一拳砸碎了防护罩,三人眼睛都不敢眨一下,生怕下一秒传送阵内那道熟悉の身影就会消失,那道牵绕在她们无数个梦里の身影会消失… 白重炙心里莫名一颤,目光猛然朝

高二数学知识点三角函数

高二数学知识点三角函数三角函数是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等学科中都有广泛的应用。

在高二数学学习中，我们将深入学习三角函数及其相关的重要知识点。

本文将对三角函数的定义、性质以及一些常见的定理进行详细介绍。

一、正弦函数的定义和性质正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

我们定义在单位圆上，点P(x, y)的坐标分别是x = cosθ，y = sinθ，其中θ是∠OP的角度，O表示原点。

正弦函数的性质如下：1. 周期性：sin(θ+2π) = sinθ，其中π是圆周率，表示一个周期；2. 奇偶性：sin(-θ) = -sinθ，即正弦函数是奇函数，关于原点对称；3. 值域和定义域：正弦函数的值域是[-1, 1]，定义域是全体实数。

二、余弦函数的定义和性质余弦函数也是三角函数中的重要函数之一。

我们定义在单位圆上，点P(x, y)的坐标分别是x = cosθ，y = sinθ，其中θ是∠OP的角度，O表示原点。

余弦函数的性质如下：1. 周期性：cos(θ+2π) = cosθ，其中π是圆周率，表示一个周期；2. 奇偶性：cos(-θ) = cosθ，即余弦函数是偶函数，关于y轴对称；3. 值域和定义域：余弦函数的值域是[-1, 1]，定义域是全体实数。

三、正切函数的定义和性质正切函数是三角函数中的另一个常见函数。

我们定义在单位圆上，点P(x, y)的坐标分别是x = cosθ，y = sinθ，其中θ是∠OP的角度，O表示原点。

正切函数的性质如下：1. 周期性：tan(θ+π) = tanθ，其中π是圆周率，表示一个周期；2. 奇偶性：tan(-θ) = -tanθ，即正切函数是奇函数，关于原点对称；3. 定义域的限制：正切函数的定义域是除去所有使得余弦为零的θ值，即θ ≠ (2n+1)π/2，其中n是整数。

四、诱导公式诱导公式是三角函数中的重要定理，可以将角度转化为其他角度的三角函数值，从而简化计算。

三角函数计算题期末复习(含答案)

三角函数计算题期末复习(含答案)1.解答题1.计算：sin30°+tan60°-cos45°+tan30°。

2.计算：--2tan60°-(-)-。

3.计算：2sin30°+3cos60°-4tan45°。

4.计算：-2sin30°-(π-3)-(-3)。

5.计算：2sin30°-tan60°+cos60°-tan45°。

6.计算：|-3|+(π-2017)-2sin30°+(1-1)/3.7.计算：2-2-2cos30°+tan60°+(π-3.14)。

8.计算：2-1+2sin45°-8+tan260°。

9.计算：2sin30°-2cos45°+8.10.计算：(1)sin260°+cos260°；(2)4cos45°+tan60°-8-(-1)。

11.计算：sin45°+(1-3)-1+cos30°tan60°-3-1/2.12.求值：2+2sin30°-tan60°-tan45°。

13.计算：(sin30°-1)×sin45°+tan60°×cos30°。

14.(1)sin30°+cos30°+tan30°tan60°；(2)tan45°sin45°-2sin30°cos45°/2.15.计算：-4-tan60°+|-2|。

16.计算：-2sin30°-(-3)tan60°+(1-1)/2.17.计算：tan60°-2sin30°-cos45°。

高二数学三角函数知识点

高二数学三角函数知识点在高二数学中，三角函数是一个重要的知识点。

它涉及到角度的概念和三角比值的计算。

下面将介绍三角函数的基本定义、性质以及一些常见的应用。

一、基本定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

给定一个角θ（用大小写字母表示不同的单位），可以得到以下的三角比值：1. 正弦函数（sin）：正弦函数由直角三角形的斜边与对边之比给出。

其定义如下：sinθ = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）：余弦函数由直角三角形的斜边与邻边之比给出。

其定义如下：cosθ = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）：正切函数由直角三角形的对边与邻边之比给出。

其定义如下：tanθ = 对边/邻边二、性质三角函数具有一些重要的性质，它们在计算中起到重要的作用。

下面介绍其中几个常见的性质：1. 周期性：正弦函数和余弦函数是周期函数，周期为2π（或360°）。

即：sin(θ+2π) = sinθcos(θ+2π) = cosθ2. 互余关系：正弦函数和余弦函数有互余关系，即：sinθ = cos（π/2 - θ）cosθ = sin（π/2 - θ）3. 三角恒等式：三角恒等式是三角函数中的一些重要的等式，它们可以用于简化三角函数的计算表达式。

一个常见的三角恒等式是正弦函数与余弦函数的平方和等于1，即：sin^2θ + cos^2θ = 1三、应用三角函数在实际问题中有广泛的应用，下面介绍其中几个常见的应用：1. 三角函数在几何图形的分析中有重要的作用。

例如，在求解任意三角形的边长或角度时，可以利用正弦定理或余弦定理来计算。

2. 三角函数在物理学中也有重要的应用。

例如，在力的分解中，可以利用正弦定理和余弦定理来求解力的合成或分解问题。

3. 三角函数在工程领域中常用于计算和设计。

例如，在建筑设计中，可以利用正切函数来计算坡度和角度。

总之，高二数学中的三角函数是一个重要的知识点，它涉及到角度的概念和三角比值的计算。

人教版高二数学必修二三角函数三角函数在几何与物理中的应用

人教版高二数学必修二三角函数三角函数在几何与物理中的应用近年来，随着科学技术的不断发展和应用的广泛拓展，三角函数在几何与物理中的应用越来越受到重视。

作为高中数学的重要内容，三角函数的应用不仅有助于理解数学概念，还能够帮助我们解决实际问题。

本文将从几何和物理两个方面，探讨三角函数在高二数学必修二中的应用。

一、三角函数在几何中的应用1. 三角函数的建立三角函数的核心概念是角度和比值。

在直角三角形中，我们可以定义正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数表示一个角的对边与斜边之比，余弦函数表示一个角的邻边与斜边之比，正切函数表示一个角的对边与邻边之比。

这些函数的建立为后续的应用打下了基础。

2. 应用一：三角函数的测量三角函数在测量中有着广泛的应用。

通过使用三角函数，我们可以测量无法直接测量的距离、高度和角度等。

例如，在航海中，我们可以通过测量角度和距离，利用正切函数计算两个物体之间的距离。

在建筑工程中，可以利用正弦函数测量物体的高度。

3. 应用二：三角函数的相似性在几何学中，相似三角形是一个重要的概念。

利用三角函数的比值关系，我们可以判断两个三角形是否相似，并且计算相似三角形的比例尺。

这在地图制作和模型设计等领域有着广泛的应用。

4. 应用三：三角函数的角度变换在几何变换中，三角函数也能发挥重要作用。

例如，我们可以利用正弦函数和余弦函数来描述旋转、伸缩和平移等几何变换。

这些变换不仅在计算机图形学和计算机动画中被广泛运用，还在建筑设计和机械工程中有着重要的应用。

二、三角函数在物理中的应用1. 应用一：简谐振动三角函数在物理学中的应用最为突出的就是对简谐振动的描述。

在机械振动和波动中，我们可以利用正弦函数或余弦函数来表示物体随时间变化的位置。

例如，在弹簧振动和声波传播等现象中，三角函数能够精确地描述物体的运动状态。

2. 应用二：波形分析在信号处理和电子工程中，波形分析是一项重要任务。

通过使用三角函数，我们可以将复杂的波形信号分解成不同角频率的正弦函数和余弦函数的叠加。

期末复习一——任意角的三角函数

期末复习一——（任意角的三角函数）一、知识点归纳（1）正角、负角、零角、象限角、终边相同的角、角度制、弧度制；（2）1弧度角的规定、弧长公式、扇形面积公式；（3）任意圆中圆心角弧度的算法；（4）三角函数值的定义；（5）三角函数线：正弦线、余弦线、正切线；（6）三角函数值的符号判定；（7）同角三角函数间的关系公式 ①平方关系：22sin cos 1αα+= 注意： ②商数关系sin tan cos ααα= 公式的逆向使用（8）特殊角的三角函数值。

（必须熟记）；（9）诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

二、例题解析例1（1）若弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2cm,则这个圆心角所对的弧长是它们所构成的扇形面积是。

（2）若角θ满足sin θcos θ<0,cos θ-sin θ<0,则θ为第象限角例2．（1）角θ的顶点与坐标原点O 重合，其始边与x 轴的正半轴重合，角θ的终边上有一点P(2t, -4t)(其中t ≠0)，求sin θ、cos θ、tan θ的值.（2）已知sin 2cos ,θθ=-求sin θ,cos θ,tan θ.例3．求值:(1)sin(-1740°)²cos1470°+cos(-660°)²sin750°+tan405°(2)22251172sin tan ()tan()434πππ+-∙-例4.已知3sin 2cos 0αα-=,求下列各式的值22cos sin cos sin (1);(2)2sin 2sin cos 4cos .cos sin cos sin αααααααααααα-++-++-例5化简44661cos sin ;;(3)1cos sin αααα----任意角的三角函数一、选择题：1．sin600°的值是（）A.21 B.－21 C.23 D.－232.下列转化结果错误的是 ( )A.0367' 化成弧度是π83radB.π310-化成度是-600度C. 150-化成弧度是π67rad D.12π化成度是15度3．扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（）A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 4、如果sin θ= m,m<0,180°<θ<270°,那么tan θ等于（）A ．21m m- B ．－21m m- C ．±21mm- D ．－m m 21-5、若sin θ=53+-m m ，cos θ=524+-m m ,其中θ为第二象限角,则m 的取值范围是（）A ．m = 8B ．3<m<9C ．m=0或m=8D ．－5<m < 9 6、使0cos sin <⋅αα成立的角α是（）A ．第三、四象限角 B.第一、三象限角 C.第二、四象限角 D.第一、四象限角 7、已知θ的终边过点P （4a ，－3a ），且53sin =θ，则=θtan （）（A ）43-（B ）34-（C ）43（D ）34 8、若βα,的终边关于y 轴对称，则必有（） A Z k k ∈+=+,)12(πβα B 2πβα=+C Z k k ∈=+,2πβαD Z k k ∈+=+,22ππβα9、y =xx x x x x tan |tan ||cos |cos sin |sin |++的值域是（）A ．{1,－1}B ． {－1,1,3}C ． {－1,3}D ．{1,3}二、填空题：10、已知扇形的圆心角是72︒，半径为20cm,则扇形的弧长为面积为11、比较下列大小： sin1、 cos1、 tan1 ； > >12、（1）已知600,sin cos,sin cos169απαααα<<∙=--=则。

高二数学三角函数学习要点

一、函数学习的几个步骤先送小诗一首学函数函数函数定义铺路，式子摆出，再限制参数，定义域优先，值域断后，图像是小名，性质是辅助，拓展要洒脱，应用要把握好步骤，学吧，学吧，请走出自己的路。

1、学习某个函数肯定是先学习定义，而定义一般是用函数式来定义的，并且定义式中的参数一般会有一定的限制。

如：一次函数y=ax+b，a不为0。

2、定义域优先应该说所有的老师都明白，但是应用的时候就可能会忘记，事实上在方程与不等式的研究中也应该有“定义域”优先的原则。

缺少了定义域就不是完整的函数的定义了。

而函数的值域是由解析式与定义域确定的，所以一般不写。

但它是研究的重点，研究的方法也非常多，并且不同的函数研究的方法不一样。

3、图像也是表示函数的一种方式，它直观，用其研究性质或是直接解题会很方便。

性质只是对函数的一种深入思考，研究时不能受到局限。

4、拓展包括定义与性质，比如研究参数对函数的影响，值域中要研究最小值，奇偶性应该研究其它的对称性等;函数应用题的思考步骤应该是：?是自变量，?是函数，什么关系?，定义域怎么样?，……5、谈谈函数定义中的参数对单调性的影响各位朋友有没有注意到这一点：函数定义中的参数对函数的单调性产生直接的影响……(1)一次函数：a>0时，单调增;a<0时，单调减;(2)二次函数：a>0时，减后增;a<0时，增后减;(3)三次函数：a>0时，一直增或是增减增;a<0时，一直减或是减增减;(4)指数函数与对数函数：当0二、三角函数学习的序曲再送小诗一首推广角角角角，锐角直角加钝角，皆为图形角;有始有终旋转角，有逆有顺任意角，放入直角坐标后，终边确定解析角;锐角钝角是单区角，象限角为多区角，直角只是一个角，象限间角是多个角;角角角，用度做单位太蹩脚，改用弧度才真正吹起函数的号角。

1、用平面内从一点发出的两条射线所构成的图形来定义角，是中学生最先学到的角的概念，这种定义下的角叫图形角;2、由平面内的一条确定的射线绕起点旋转而形成的角，定义为旋转角，开始的射线为角的始边，终止的位置射线为终边，旋转角的范围可以达到一周;3、把上述的逆时针方向旋转而成的角定义为正角，顺时针方向旋转而形成的角定义为负角，转过的度数定义为角的大小，此时的角为任意角;4、为了研究三角函数我们使任意角的始边与x的非负半轴重合，这样被确定的角我们(也许只有我自己)把它叫做解析角。

三角函数高二知识点总结

三角函数高二知识点总结三角函数是数学中的重要概念，它在几何、物理和工程等领域具有广泛的应用。

本文将总结高二阶段学习的三角函数知识点，包括三角函数的定义、性质以及求解三角函数的方法。

一、三角函数的定义三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们是以一个角的两条直角边之比来定义的。

具体定义如下：1. 正弦函数（sin）在直角三角形中，将一个锐角的对边与斜边的比值称为该角的正弦，用sin表示。

其定义为sinA = 对边/斜边。

2. 余弦函数（cos）在直角三角形中，将一个锐角的邻边与斜边的比值称为该角的余弦，用cos表示。

其定义为cosA = 邻边/斜边。

3. 正切函数（tan）在直角三角形中，将一个锐角的对边与邻边的比值称为该角的正切，用tan表示。

其定义为tanA = 对边/邻边。

二、三角函数的性质三角函数具有以下重要的性质：1. 周期性正弦函数和余弦函数的周期都为2π（或360°），即对任意实数x，有sin(x+2π) = sinx，cos(x+2π) = cosx。

而正切函数的周期为π（或180°），即对任意实数x，有tan(x+π) = tanx。

2. 奇偶性对于正弦函数和正切函数，当角度为x时，有sin(-x) = -sinx，tan(-x) = -tanx。

也就是说，它们关于原点对称。

而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cosx，它关于y轴对称。

3. 相关性正弦函数和余弦函数是相互相关的，即sin(x+π/2) = cosx，cos(x+π/2) = -sinx。

这是因为它们可以通过相位差π/2相互转化。

三、三角函数的求解方法1. 利用正弦函数、余弦函数和正切函数的定义，可以求得给定角度的三角函数值。

2. 利用特殊角的三角函数值，可以计算其他角度的三角函数值。

特殊角包括0°、30°、45°、60°和90°的角度。

三角函数高二的知识点归纳

三角函数高二的知识点归纳三角函数是高中数学中重要的内容之一。

在高二阶段，学生们会学习有关三角函数的基本概念、性质以及应用。

本文将对高二阶段学习的三角函数知识点进行归纳，以帮助学生们更好地理解和掌握这一部分内容。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中最基本的函数之一。

它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1,1]。

在高二阶段，学生们学习了正弦函数的图像、性质以及图像的变换。

正弦函数的图像为连续的波浪线，周期为2π。

当x取π/2时，正弦函数取到最大值1；当x取3π/2时，正弦函数取到最小值-1。

二、余弦函数余弦函数也是三角函数中常见的函数。

它的定义域为实数集，值域为闭区间[-1,1]。

与正弦函数相比，余弦函数的图像是正弦函数图像的平移，即左右平移π/2。

余弦函数的图像为连续的波浪线，周期也是2π。

当x取0时，余弦函数达到最大值1；当x取π时，余弦函数达到最小值-1。

三、正切函数正切函数是另外一个常见的三角函数。

它的定义域为实数集，但值域为整个实数集。

正切函数的图像是一条通过原点的曲线，具有无穷多个渐近线。

正切函数的周期为π，当x取0时，正切函数等于0。

四、割函数割函数是正切函数的倒数。

它的定义域为余切函数的定义域，即x≠(2n+1)π/2 (n为整数)。

割函数的图像是由余切函数的图像关于x轴对称得到的。

五、余切函数余切函数是割函数的倒数。

它的定义域为实数集减去割函数的奇点集，即x≠nπ (n为整数)。

余切函数的图像是一条通过原点的曲线，也具有无穷多个渐近线。

六、三角函数的图像变换在高二阶段，学生们还学习了三角函数图像的变换。

通过修改函数的振幅、周期、左右平移和上下平移，可以得到不同形状的三角函数图像。

例如，当振幅增大时，函数图像会更加陡峭；当周期缩短时，函数图像会更加密集；当左右平移时，函数图像会在x轴上偏离原点；当上下平移时，函数图像会在y轴上上下移动。

七、三角函数的应用三角函数在数学中有广泛的应用。

例如，三角函数可以用来解决平面几何中的问题，如计算三角形的边长和角度；在物理中，三角函数可以用来描述波的传播和振动的现象。

新高二数学人教新版(2019)专题复习《三角函数》

三角函数一．选择题（共12小题）1．（2022•鼓楼区校级三模）若，且，则＝（）A．B．C．2D．−22．（2022•鼓楼区校级模拟）已知角θ的大小如图所示，则＝（）A．﹣5B．5C．D．3．（2022•福州模拟）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）．已知噪音的声波曲线y＝A sin（ax+p）（其中A＞0，a＞0，0≤φ＜2π）的振幅为1，周期为π，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝﹣sin2x D．y＝﹣cos2x4．（2022春•福州期中）已知α为锐角，且sin（α﹣）＝，则cos（﹣α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣5．（2022•鼓楼区校级三模）已知函数的图象过点，现将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P，则（）A．ω的最小值为2B．ω的最小值为6C．ω的最大值为2D．ω的最大值为66．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≥0）上，则2sinα+cosα的值为（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2021秋•鼓楼区校级期末）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）可能是（）A．B．C．D．8．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．9．（2021秋•仓山区校级期末）与﹣2022°终边相同的最小正角是（）A．138°B．132°C．58°D．42°10．（2022春•马尾区校级月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A．B．C．D．11．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知，tanα＝3，，则tan（α﹣β）＝（）A．B．C．2D．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列函数中，周期为π的是（）A．y＝B．y＝tan2xC．y＝sin x cos x D．y＝sin|x|二．填空题（共4小题）13．（2022•福州模拟）已知2sin（α﹣）＝cosα，则tanα＝．14．（2022春•福州期中）如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且OA＝，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是．15．（2022春•仓山区校级期中）在平面直角坐标系中，O（0，0），P（8，6），将向量OP按顺时针方向旋转后，得向量，则点Q的坐标是．16．（2021秋•福州期末）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，BC∥x轴，则ω＝，φ＝．三．解答题（共5小题）17．（2021秋•福州期末）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，）．（1）求cos（α+π）的值；（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．18．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（1，﹣m﹣1），且cos．（1）求实数m的值；（2）若m＞0，求的值．19．（2021秋•鼓楼区校级期末）设函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在[0，π]上的最大值与最小值．20．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y＝f（x）的图象上的各点______得到y＝g（x）的图象，当x∈时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．21．（2021秋•仓山区校级期末）在①f（x）是偶函数；②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f（x）相邻两条对称轴之间距离为．这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），满足_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y＝g（x）；若函数F（x）＝f（x）+k•g（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值．2022年新高二数学人教新版（2019）专题复习《三角函数》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2022•鼓楼区校级三模）若，且，则＝（）A．B．C．2D．−2【考点】两角和与差的三角函数．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知可得＝﹣，可求tan＝﹣3，进而可求值．【解答】解：，可得＝﹣，所以＝﹣，解得tan＝﹣3或tan＝﹣，又，∴∈（，），∴tan＝﹣3，故＝＝﹣2．故选：D．【点评】本题考查二倍角的正弦公式，属中档题．2．（2022•鼓楼区校级模拟）已知角θ的大小如图所示，则＝（）A．﹣5B．5C．D．【考点】二倍角的三角函数．【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知求得tan（）＝﹣5，得到，再由倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：∵θ+的终边过P（﹣1，5），∴tan（）＝﹣5，即，∴，∴＝＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3．（2022•福州模拟）某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图）．已知噪音的声波曲线y＝A sin（ax+p）（其中A＞0，a＞0，0≤φ＜2π）的振幅为1，周期为π，初相为，则用来降噪的声波曲线的解析式为（）A．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝﹣sin2x D．y＝﹣cos2x【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由已知可得A＝1，T＝π，p＝，由此即可求出a的值，由此即可求解．【解答】解：由已知可得A＝1，T＝π，p＝，则a＝2，所以y＝﹣sin（2x+）＝﹣cos2x，故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象及其求解解析式问题，考查了学生的运算能力，属于基础题．4．（2022春•福州期中）已知α为锐角，且sin（α﹣）＝，则cos（﹣α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的三角函数．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得cos（﹣α）的值．【解答】解：∵α为锐角，且sin（α﹣）＝，∴α﹣为锐角，cos（α﹣）＝＝，则cos（﹣α）＝cos（α﹣）＝，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．5．（2022•鼓楼区校级三模）已知函数的图象过点，现将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度得到的函数图象也过点P，则（）A．ω的最小值为2B．ω的最小值为6C．ω的最大值为2D．ω的最大值为6【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算．【分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用求出结果．【解答】解：函数的图象过点，所以f（0）＝sinφ＝，故φ＝；当函数f（x）的图象向左平移个单位，得到，由于函数的图象经过点（0，）；所以，故ω的最小值为2．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的终边在射线y＝﹣2x（x≥0）上，则2sinα+cosα的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知可得α为第四象限角，且，结合平方关系求解sinα与cosα的值，则答案可求．【解答】解：∵角α的终边在射线y＝﹣2x（x≥0）上，∴α为第四象限角，由，解得sinα＝，cosα＝，∴2sinα+cosα＝，故选：D．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．7．（2021秋•鼓楼区校级期末）函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）可能是（）A．B．C．D．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学抽象．【分析】根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象，求出A、T和ω、φ的值．【解答】解：设函数f（x）＝A sin（ωx+φ），由f（x）的部分图象知，A＝2，＝﹣＝，解得T＝π，所以ω＝＝2，又函数的图象过点（，2），即2×+φ＝+2kπ，k∈Z，解得φ＝﹣+2kπ，k∈Z，令k＝0，得φ＝﹣，所以f（x）＝2sin（2x﹣）．故选：A．【点评】本题考查了函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．8．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝sin（ωx﹣φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由图可得T＝2，可求ω，又函数过点（，1），可求φ，从而可求函数解析式，可求单调递增区间．【解答】解：由图形可知＝﹣＝1，所以T＝2，所以＝2，所以ω＝π，所以f（x）＝sin（πx﹣φ），又函数f（x）过点（，1），所以sin（﹣φ）＝1，所以﹣φ＝+2kπ，k∈Z，所以φ＝﹣2kπ，所以f（x）＝sin（πx﹣），由2kπ﹣≤πx﹣≤2kπ+，可得2k﹣≤x≤2k+，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[2k﹣，2k+]，k∈Z，故选：D．【点评】本题考查由函数图象求解析式，求单调递增区间，属基础题．9．（2021秋•仓山区校级期末）与﹣2022°终边相同的最小正角是（）A．138°B．132°C．58°D．42°【考点】终边相同的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】利用终边相同的角的定义得到α＝﹣2022°+k•360°，k∈Z，然后令﹣2022°+k•360°＞0，求出k的值，代入求出此时的α即可．【解答】解：与﹣2022°终边相同的角为α＝﹣2022°+k•360°，k∈Z，由题意﹣2022°+k•360°＞0，解得k＞5.61，k∈Z，所以k的最小值为6，此时α＝﹣2022°+6×360°＝138°，故与﹣2020°终边相同的最小正角是138°．故选：A．【点评】本题考查了终边相同的角的应用，解题的关键是掌握终边相同角的表示，属于基础题．10．（2022春•马尾区校级月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（）A．B．C．D．【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；对应思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知利用弧长公式先求出圆半径，由此能求出这条弧所在的扇形面积．【解答】解：∵弧长为的弧所对的圆心角为，∴圆半径r＝＝2，∴这条弧所在的扇形面积为S＝lr＝×2＝．故选：B．【点评】本题考查扇形面积的求法，考查弧长公式、扇形面积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知，tanα＝3，，则tan（α﹣β）＝（）A．B．C．2D．【考点】两角和与差的三角函数．【专题】函数思想；分析法；三角函数的求值；数学运算．【分析】运用三角函数的同角公式,可得sin(α+β)的值，结合正切函数的两角差公式，分别求得tanβ、tan(α﹣β)的值，即可求解．【解答】解：∵tanα＞0，，∴，，∵，∴，由三角函数的同角公式可得，＝，∴tan(α+β)＝，∵＝，∴＝，故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．12．（2021秋•鼓楼区校级期末）下列函数中，周期为π的是（）A．y＝B．y＝tan2xC．y＝sin x cos x D．y＝sin|x|【考点】三角函数的周期性．【专题】函数思想；分析法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】根据三角函数的周期公式，即可得到结论．【解答】解：函数的周期，选项A，ω＝1，，故A选项错误，选项B，ω＝2，，故B选项错误，选项C，y＝sin x cos x＝，即ω＝2，，故C选项正确，选项D，当x＞0时，y＝sin x，当x＜0时，y＝sin(﹣x)＝﹣sin x，函数不是周期函数，故D选项错误，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，比较基础，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．（2022•福州模拟）已知2sin（α﹣）＝cosα，则tanα＝1+．【考点】两角和与差的三角函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．【分析】由已知利用两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为2sin（α﹣）＝cosα，所以2（sinα﹣cosα）＝sinα﹣cosα＝cosα，可得sinα＝（1+）cosα，则tanα＝＝1+．故答案为：1+．【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14．（2022春•福州期中）如图，半圆O的半径为1，A为直径所在直线上的一点，且OA＝，B为半圆弧上的动点．将线段AB绕点A顺时针旋转得到线段AC，则线段OC长度的最大值是3．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】以O点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设∠AOB＝θ，则B（cosθ，sinθ），即可表示出C点坐标，从而得到，再根据向量模的坐标计算、三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得．【解答】解：如图以O点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设∠AOB＝θ，则，则，过点C、B分别作CD⊥x轴、BE⊥x轴，交x轴于点D、E，显然△CAD与△ABE全等，所以CD＝AE，AD＝BE，从而得到，即，所以＝，所以当，即时，，故答案为：3．【点评】本题考查了三角函数的性质，属于中档题．15．（2022春•仓山区校级期中）在平面直角坐标系中，O（0，0），P（8，6），将向量OP按顺时针方向旋转后，得向量，则点Q的坐标是（−，﹣7）．【考点】弧长公式．【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用；数学运算．【分析】由题意可设＝（10cosθ，10sinθ），其中cosθ＝，sinθ＝，将向量按逆时针旋转后，得向量，由三角函数的公式即可求得点Q坐标．【解答】解：∵点O（0，0），P（8，6），∴＝（8，6），故可设＝（10cosθ，10sinθ），其中cosθ＝，sinθ＝，∵将向量按逆时针旋转后，得向量，设Q（x，y），则x＝10cos（θ﹣）＝10（cosθcos+sinθsin）＝﹣，y＝10sin（θ﹣）＝10（sinθcos﹣cosθsin）＝﹣7，∴点Q坐标是（−，﹣7）故答案为：（−，﹣7）．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，涉及三角函数公式的应用，属中档题．16．（2021秋•福州期末）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图像如图所示，BC∥x轴，则ω＝2，φ＝．【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，即可得解．【解答】解：因为BC∥x轴，所以f（x）的图象的一条对称轴方程为x＝（+）＝，﹣＝＝×，所以ω＝2．由2×+φ＝π+kπ，k∈Z，且0＜φ＜π，得φ＝．故答案为2，．【点评】本题考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想，属于基础题．三．解答题（共5小题）17．（2021秋•福州期末）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P（，）．（1）求cos（α+π）的值；（2）若tanβ＝﹣2，求tan（α﹣β）的值．【考点】两角和与差的三角函数．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．【分析】角α的终边过点P（，），可求cosα，tanα，可求（1）（2）的值．【解答】解：角α的终边过点P（，）．∴cosα＝，tanα＝＝，（1）cos（α+π）＝﹣cosα＝﹣；（2）tan（α﹣β）＝＝＝﹣2．【点评】本题考查三角函数的定义，以及三角恒等变换，属基础题．18．（2021秋•鼓楼区校级期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P（1，﹣m﹣1），且cos．（1）求实数m的值；（2）若m＞0，求的值．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】函数思想；定义法；三角函数的求值；数学运算．【分析】（1）由已知借助于余弦函数的定义列式求解m值；（2）由（1）可得sinα，cosα的值，结合三角函数的诱导公式可得的值．【解答】解：（1）由题意可得，∴，整理得（m+1）2＝4，解得m＝1或m＝﹣3；（2）∵m＞0，∴由（1）可得m＝1，则，∴．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查诱导公式的应用，是基础题．19．（2021秋•鼓楼区校级期末）设函数．（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在[0，π]上的最大值与最小值．【考点】三角函数的最值．【专题】整体思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求出函数的递增区间即可；（2）根据x的范围，求出x+的范围，求出函数的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）＝＝，令，得，所以f（x）的单调增区间为；（2）由x∈[0，π]，得，所以当，即时，f（x）取最大值2；当，即x＝π时，f（x）取最小值．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的单调性，最值问题，是基础题．20．（2021秋•福州期末）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的最小正周期；（2）将y＝f（x）的图象上的各点______得到y＝g（x）的图象，当x∈时，方程g（x）＝m有解，求实数m的取值范围．在以下①、②中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果①、②都做，则按①给分．①向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的一半．②纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．（2）由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得g（x）的范围，可得m的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝sin2x+2cos2x+2＝sin2x+2•+2＝sin2x+cos2x+3＝2sin（2x+）+3，故函数的周期为＝π．（2）将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换①：向左平移个单位，再保持纵坐标不变，可得y＝2sin（2x++）+3＝2cos2x+3的图象，再横坐标缩小为原来的一半可得g（x）＝2cos4x+3的图象，当x∈[，]时，4x∈[﹣，π]，cos4x∈[﹣1，1]，g（x）∈[1，5]，若方程g（x）＝m有解，则m∈[1，5]．将f（x）＝2sin（2x+）+3的图象按照变换②：纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，可得y＝2sin（x+）+3的图象，再向右平移个单位，可得g（x）＝2sin x+3的图象．当x∈[，]时，sin x∈[﹣，]，g（x）∈[2，+3]．若方程g（x）＝m有解，则m∈[2，+3]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．21．（2021秋•仓山区校级期末）在①f（x）是偶函数；②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f（x）相邻两条对称轴之间距离为．这三个条件中任选两个，补充在下面问题的横线上，并解答．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），满足_____．（1）求函数f（x）的解析式；（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y＝g（x）；若函数F（x）＝f（x）+k•g（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，求实数k与正整数n的值．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】分类讨论；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算．【分析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出ω和φ的值即可，（2）根据函数图象变换关系，求出g（x）以及F（x）的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可．【解答】解：（1）①f（x）是偶函数；②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；③f（x）相邻两条对称轴之间距离为．若选择①②，由①f（x）＝sin（ωx+φ）是偶函数，∴φ＝．即f（x）＝sin（ωx+）＝cosωx，由②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；则ω＝，得ω＝2，即f（x）＝cos2x．选择①③：由①f（x）＝sin（ωx+φ）是偶函数，∴φ＝．即f（x）＝sin（ωx+）＝cosωx，由③知：f（x）相邻两条对称轴之间距离为．∴，即T＝π，则＝π，则ω＝2，则f（x）＝cos2x．若选②③：③知：f（x）相邻两条对称轴之间距离为．∴，即T＝π，则＝π，则ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），由②（，0）是f（x）的图象在y轴右侧的第一个对称中心；∴2×+φ＝π，得φ＝，则f（x）＝sin（2x+）＝cos2x，综上f（x）＝cos2x．（2）依题意，将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得y＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）＝sin2x，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到y＝sin x，可得g（x）＝sin x，所以F（x）＝cos2x+k sin x＝﹣2sin2x+k sin x+1，当k＝0时，F（x）＝cos2x，则F（x）在（0，nπ）内的零点个数为偶数个，F（x）在（0，nπ）内恰有2021个零点，为奇数个零点，故k≠0，令F（x）＝0，可得2sin2x﹣k sin x﹣1＝0，令t＝sin x∈[﹣1，1]，则2t2﹣kt﹣1＝0，Δ＝k2+8＞0，则关于t的二次方程2t2﹣kt﹣1＝0必有两个不等的实根，t1，t2，且t1t2＝﹣，则t1，t2异号，（i）当0＜|t1|＜1，且0＜|t2|＜1时，则方程sin x＝t1和sin x＝t2在区间（0，nπ）（n∈N*）均有偶数个根，从而2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在区间（0，nπ）（n∈N*）有偶数个根，不符合题意；（ii）当0＜|t1|＜1，且|t2|＞1时，则方程sin x＝t1在区间（0，nπ）有偶数个根，sin x＝t2无解，从而方程2sin2x ﹣k sin x﹣1＝0在（0，nπ）有偶数个根，不合题意．同理，当0＜|t2|＜1且|t1|＞1时，从而方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，nπ）有偶数个根，不合题意．（iii）当t1＝1，t2＝﹣＜0，当x∈（0，2π）时，sin x＝t1只有一根，sin x＝t2有两根，所以关于x的方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，2π）有三个根，由于2021＝3×673+2，则方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（1346π，1347π）只有一个根，在区间（1347π，1348π）上无实解，方程sin x＝t2在区间（1346π，1347π）上无实解，在区间（1347π，1348π）上有两个根．所以关于x的方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在区间（0，1347π）上有2020个根．在区间（0，1348π）上有2022个根．不合题意．（iⅤ）当t1＝﹣1时，则t2＝，当x∈（0，2π）时，sin x＝t1只有一根，sin x＝t2有两根，所以关于x的方程2sin2x ﹣k sin x﹣1＝0在（0，2π）上有三个根，由于2021＝3×673+2，则方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，1347π）上有3×673＝2019个根．由于方程sin x＝t1在区间（1346π，1347π）上无实数根，在区间（1347π，1348π）上只有一个实数根．由于方程sin x＝t2在区间（1346π，1347π）上有两个实数根，在区间（1347π，1348π）上只有一个实数根．因此关于x的方程2sin2x﹣k sin x﹣1＝0在（0，1347π）上有2021个根，在区间（0，1348π）上有2022个根，因此2×（﹣1）2﹣k（﹣1）﹣1＝1+k＝0．所以解得k＝﹣1．n＝1347．【点评】本题主要考查三角函数关系式的变换，三角函数图象和性质的应用，函数的零点和函数的图象的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，综合性较强，运算量较大，属于难题．考点卡片1．终边相同的角【知识点的认识】终边相同的角：k•360°+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是360°的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．还应该注意到：A＝{x|x＝k•360°+30°，k∈Z}与集合B＝{x|x＝k•360°﹣330°，k∈Z}是相等的集合．相应的与x轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°，k∈Z}；与x轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+180°，k∈Z}；与y轴正方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+90°，k∈Z}；与y轴负方向终边相同的角的集合是{x|x＝k•360°+270°，k∈Z}【命题方向】下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．﹣30°C．630°D．﹣630°【分析】直接利用终边相同的角判断即可．解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，所以B满足题意．故选B．【点评】本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．【解题方法点拨】终边相同的角的应用（1）利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．（2）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．2．弧长公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．【命题方向】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2 B．C．2sin1 D．sin2【分析】解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．解：如图：∠AOB＝2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，∠AOD＝∠BOD＝1，AC＝AB＝1，Rt△AOC中，AO＝＝，从而弧长为α•r＝，故选B．【点评】本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．3．扇形面积公式【知识点的认识】弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝lr＝r2α．【命题方向】扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4【分析】设出扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，根据扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，列出方程组，求出扇形的圆心角的弧度数．解：设扇形的圆心角为αrad，半径为Rcm，则，解得α＝1或α＝4．选C．【点评】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．【解题方法点拨】弧长和扇形面积的计算方法（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③S＝αR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．4．任意角的三角函数的定义【知识点的认识】任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么sin α＝y，cos α＝x，tan α＝．2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是（1，0）．【命题方向】已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x＝﹣4，y＝3，r＝＝5．∴cosα＝＝＝﹣，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．【解题方法点拨】利用三角函数的定义求三角函数值的方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：（1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）．5．三角函数的恒等变换及化简求值【概述】三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．【公式】①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sin x，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cos x②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cos x，cos（﹣x）＝sin x③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tan x，tan（﹣x）＝cot x，④余切函数有y＝cot（﹣x）＝tan x，cot（kπ+x）＝cot x．【例题解析】例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于解：，，，，∴原式＝．先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．【考点点评】本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．6．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α＝．【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．7．三角函数中的恒等变换应用【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan 2α＝．。

高二数学三角函数的复合与反函数的解法

高二数学三角函数的复合与反函数的解法三角函数是高中数学中的重要内容，掌握三角函数的复合与反函数的解法，可以帮助我们更好地理解数学知识，并应用于实际问题中。

本文将介绍三角函数复合与反函数的解法，并分析其应用场景。

一、三角函数的复合解法三角函数的复合是指将一个三角函数的结果作为另一个三角函数的自变量。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

下面将分别介绍三角函数的复合解法。

1. 正弦函数的复合解法设有函数y = sin(x)，现求y = sin(u(x))的导数。

首先，根据链式法则，我们知道导数dy/dx = cos(x)。

然后，将u(x)代入，得到y = sin(u(x)) = sin(u)。

对y关于u求导，可以得到dy/du = cos(u)。

最后，根据链式法则，可以得到dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = cos(u) * u'(x)。

2. 余弦函数的复合解法设有函数y = cos(x)，现求y = cos(u(x))的导数。

首先，根据链式法则，我们知道导数dy/dx = -sin(x)。

然后，将u(x)代入，得到y = cos(u(x)) = cos(u)。

对y关于u求导，可以得到dy/du = -sin(u)。

最后，根据链式法则，可以得到dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = -sin(u) * u'(x)。

3. 正切函数的复合解法设有函数y = tan(x)，现求y = tan(u(x))的导数。

首先，根据链式法则，我们知道导数dy/dx = sec^2(x)。

然后，将u(x)代入，得到y = tan(u(x)) = tan(u)。

对y关于u求导，可以得到dy/du = sec^2(u)。

最后，根据链式法则，可以得到dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = sec^2(u) * u'(x)。

二、三角函数的反函数解法三角函数的反函数是指将三角函数的自变量和因变量互换得到的函数。

期末复习二———两角和与差的三角函数复习

期末复习二———两角和与差的三角函数复习一、复习要点：2.化特殊式子：sin cos a x b x +为一个角的一个三角函数形式，如：cos 2sin()6x x x π=+ 3.角的代换。

要学会灵活拆角，如：2()(),ααβαβ=++-()βαβα=+-等等。

4.公式的逆用和变用。

如：cos()cos sin()sin cos αββαββα---= tan tan tan()(1tan tan )tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβαβαβαβ+=+⋅--=-⋅+二、典型例题 23331sin ,(,),cos ,(,2),3242cos()sin()ππααπββπβααβ=-∈=∈-+例.已知求、的值例2.求值：①cos 24cos36cos66cos54-= ②tan17tan 433tan17tan 43++=sin()cos 0,tan()6212πππαααα++=-<<+例3.已知求的值。

,,)αβθαθββθααβαβ--例4.已知都为锐角，且sin +sin =sin ,cos +cos =cos .求(1)求cos(的值;(2)求的值例5求证：1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++ 33536.cos(),sin(),0sin()45413444πππππαβαβαβ-=+=<<<<+例已知其中，求的值三、巩固练习。

1.,33αβαβαβππππ+已知sin ==且为锐角，则的值是( )510 A. B.或 C. D.以上都不对44442、已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π )为（） A ． 1318 B ．1322 C ．722 D ．318+tan20)+tan10tan20的值是( )1114.,,tan ,tan ,tan 25855αβγαβγαβγππππ===++都是锐角，，则等于（） A. B. C. D.34645.sin(36)cos(54)cos(36)sin(54)______αααα+-++-=化简6.已知)0,2(π-∈x ,53sin -=x ,则tan2x= ABC 357.在中，若sinA=,cosB=-,则sinC=______513 312,cos()sin 213ππβααβαβα<<<-=+38.已知,sin()=-,求的值2459.化简:①tan70cos10(3tan 201)- ②证明:sin(2)sin 2cos()sin sin αββαβαα+-+=11),)23sin cos 5cos sin ;(2)5αβαβαβαβαβ+=-===10.已知sin(sin(求证：(1)tan tan11.,()cos 22x f x x x x ππ-≤≤=+若求的最大值和最小值，并求出此时的值。

数学三角函数知识点高二

数学三角函数知识点高二三角函数是数学中重要的概念之一，它是研究三角形及其性质的基础。

在高中数学中，学习三角函数是必不可少的内容。

本文将针对高二学生所需学习的数学三角函数知识点进行详细介绍。

一、弧度制与角度制在学习三角函数之前，我们首先需要了解两种常用的角度表示方法，即弧度制和角度制。

在弧度制中，一个圆周上的一部分被定义为一个弧度。

弧度制中常用的角度是0到2π之间的弧度表示。

而在角度制中，一个圆被等分为360份，每份是一个角度。

两种表示方法之间的换算关系是: 1圆周对应2π弧度，1°对应π/180弧度。

二、正弦函数、余弦函数和正切函数1. 正弦函数（sine function）在直角三角形中，正弦函数是指一个角的对边长度与斜边长度的比值。

在数学中，正弦函数的定义域是实数集合，值域是[-1,1]，函数图像是一个周期函数，它的周期为2π。

正弦函数常用sin表示。

2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是指一个角的邻边长度与斜边长度的比值。

在数学中，余弦函数的定义域是实数集合，值域也是[-1,1]，函数图像也是一个周期函数，周期为2π。

余弦函数常用cos表示。

3. 正切函数（tangent function）正切函数是指一个角的对边长度与邻边长度的比值。

在数学中，正切函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,+∞)，函数图像是一个周期函数，周期为π。

正切函数常用tan表示。

三、三角函数的基本性质1. 基本同角关系三角函数有一些基本的同角关系，即对于一个角θ，有sin(π-θ)=sinθ、cos(π-θ)=-cosθ、tan(π-θ)=-tanθ，以及sin(θ+2πn)=sinθ、cos(θ+2πn)=cosθ、tan(θ+πn)=tanθ。

其中n为整数。

2. 三角函数的诱导公式三角函数还有一些重要的诱导公式，如sin2θ=2sinθcosθ、cos2θ=cos^2θ-sin^2θ、tan2θ=(2tanθ)/(1-tan^2θ)，这些公式在解题过程中经常会用到。

高二数学三角函数变形公式整理

高二数学三角函数变形公式整理高二数学三角函数变形公式整理两角和与差的.三角函数：cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin()=sincoscossintan(+)=(tan+tan)/(1-tantan)tan(-)=(tan-tan)/(1+tantan)三角和的三角函数：sin(++)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(++)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(++)=(tan+tan+tan-tantantan)/(1-tantan-tantan-tantan)辅助角公式：Asin+Bcos=(A+B)^(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A+B)^(1/2)cost=A/(A+B)^(1/2)tant=B/AAsin-Bcos=(A+B)^(1/2)cos(-t)，tant=A/B倍角公式：sin(2)=2sincos=2/(tan+cot)cos(2)=cos()-sin()=2cos()-1=1-2sin()tan(2)=2tan/[1-tan()]三倍角公式：sin(3)=3sin-4sin()=4sinsin(60+)sin(60-)cos(3)=4cos()-3cos=4coscos(60+)cos(60-)tan(3)=tan a tan(/3+a) tan(/3-a)半角公式：sin(/2)=((1-cos)/2)cos(/2)=((1+cos)/2)tan(/2)=((1-cos)/(1+cos))=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin 降幂公式：sin()=(1-cos(2))/2=versin(2)/2cos()=(1+cos(2))/2=covers(2)/2tan()=(1-cos(2))/(1+cos(2))万能公式：sin=2tan(/2)/[1+tan(/2)]cos=[1-tan(/2)]/[1+tan(/2)]tan=2tan(/2)/[1-tan(/2)]积化和差公式：sincos=(1/2)[sin(+)+sin(-)]cossin=(1/2)[sin(+)-sin(-)]coscos=(1/2)[cos(+)+cos(-)]sinsin=-(1/2)[cos(+)-cos(-)]和差化积公式：sin+sin=2sin[(+)/2]cos[(-)/2]sin-sin=2cos[(+)/2]sin[(-)/2]cos+cos=2cos[(+)/2]cos[(-)/2]cos-cos=-2sin[(+)/2]sin[(-)/2]推导公式：tan+cot=2/sin2tan-cot=-2cot21+cos2=2cos1-cos2=2sin1+sin=(sin/2+cos/2)其他：sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)++sin[+2*(n-1)/n]=0cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)++cos[+2*(n-1)/n]=0 以及sin()+sin(-2/3)+sin(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0cosx+cos2x+...+cosnx= [sin(n+1)x+sinnx-sinx]/2sinx。

高二数学三角函数公式分类总结

高二数学三角函数公式分类总结(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三角函数知识点高二上册

三角函数知识点高二上册三角函数是高中数学中的重要内容，高中二年级的学生在上册学习了一些基础的三角函数知识点，本文将从角度、三角比例、三角函数的定义、初等三角函数的性质等几个方面来总结这些知识点。

一、角度在三角函数中，角度是一个基本概念。

角度用度(°)和弧度(rad)两种单位来表示。

高中数学通常使用度来计量角度，常见的角度单位有: 度(°)、分(')、秒(")。

度和弧度的换算关系为: 1度= π/180弧度，1弧度≈ 57.3度。

在三角函数中，一般给定的角度都是以度的形式给出。

二、三角比例三角比例是指三角形中各个边的比例关系，包括正弦、余弦和正切三个比例。

对于一个锐角三角形ABC，设角A的对边、邻边和斜边分别为a、b、c，则三角比例有如下定义：1. 正弦(sin)：sin A = a/c2. 余弦(cos)：cos A = b/c3. 正切(tan)：tan A = a/b三、三角函数的定义高中数学中，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。

它们的定义如下：1. 正弦函数 (sin)：对于任意实数x，sin x = 对边/斜边2. 余弦函数 (cos)：对于任意实数x，cos x = 邻边/斜边3. 正切函数 (tan)：对于任意实数x，tan x = 对边/邻边四、初等三角函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期都是2π（或360°），即sin(x+2π) = sin x，cos(x+2π) = cos x。

而正切函数的周期是π（或180°），即tan(x+π) = tan x。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，即sin(-x) = -sin x，cos(-x) = cos x。

而正切函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 关系式：三角函数之间有一些重要的关系式, 如sin²x + cos²x= 1，tan x = sin x / cos x等。

高二数学三角函数的图像与性质

高中数学学业水平考试总复习
必修4 第一章
三角函数
第二课时
三角函数的图象和性质
学习目标
理解正弦、余弦、正切函数的图象画法及性质的运用，理解三角函数的周期性；知道y＝Asin(ωx＋φ) 的图象及其实际意义；理解三角函数模型的简单应用并关注其实践应用.
【问题4】三角函数的性质分析
1 5730 p 2
y min
1 = 4
y max
3 = 4
【问题5】三角函数图象的变换与应用
例3 已知函数y＝Asin(ωx＋φ) (A＞O，ω＞0，|φ|＜π)的最小正周期 2p 5 p 是 3 ，且图象数的解析式；（2）说明这个函数的图象是由函数y＝ sinx的图象经过怎样的变换而得到的.
3p 9p aÎ ( , ) 4 8
p p x = 对称，试推断是否存在 x 0 Î [0, ] 6 2 5
使 f (x 0 ) =
p 例6 已知函数 f (x ) = sin(2wx - ) + 1 6 的最小正周期为π，其图象关于直线
3
，说明你的理由.
不存在
；微信红包群
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原本如群星璀璨的蓝色眼睛不太友好的瞪了韩哲轩一眼，“还有，别叫我小黑！”“知道了！百蝶要是有你一半的忠诚就好了……”韩哲轩突然问道，“小……我是说……茉莉，你有木有跳槽的兴趣啊？包吃包住，定期……”“没有。”茉莉快步走开了。“唉～这也太忠心了点吧？”韩哲轩摇了摇头，很不甘心的感觉。(古风一言)伤弦笙，怜旧盟，碎语遥寄烟花冷。第030章歌伎柳茗“看来慕容凌娢是真的忘记百蝶之前和她见过了。”韩哲轩见茉莉停下了脚步，狡诈的一笑，继续说道，“你不准备告诉她吗？”“不了，主人没让我那么做。”茉莉原本如群星璀璨的蓝色眼睛不太友好的瞪了韩哲轩一眼，“还有，别叫我小黑！”“知道了！百蝶要是有你一半的忠诚就好了……”韩哲轩突然问道，“茉莉，你有木有跳槽的兴趣啊？包吃包住，定期……”“没有。”茉莉快步走开了。“唉～这也太忠心了点吧？”韩哲轩摇了摇头，很不甘心的感觉。……慕容凌娢推开了清荷间的门，首先传来的就是一阵噼里啪啦摔碎东西的声音。慕容凌娢刚想探头往里面仔细看，却听到一声暴怒的吼声。“你……我让你进来了吗？”“对不起，我重新来……”慕容凌娢说着毫不犹豫的推出去关上了门。自己都在佩服自己的机智。“呼～”站在门外喘了一口气，整理了一下表情，慕容凌娢又带着她那标准的笑容敲了敲门。门被一个怀抱琵琶的女子打开了，等慕容凌娢进门后，她就出去了。好奇怪啊……客人还在这里，怎么说走就走，不怕被百蝶惩罚吗？慕容凌娢朝她的背影望了望，那女子几乎是夺门而出跑走的，那样子就好像在逃脱一个极其危险的地方。再向屋内看去，慕容凌娢立刻傻眼了，说好的这不是青楼，只卖艺卖酒，不买身啊！怎么会有这么多花枝招展的姑娘衣着暴露的坐在一旁陪酒。虽然手里都拿着乐器，像是普通的陪酒，可是……场面这么香艳，很容易失控啊。太容易让人想歪了。慕容凌娢咽了口吐沫，把酒壶放下，刚想溜之大吉，却被人一把拽住了。“哟，怎么叫这么一个小丫头来送酒啊，一点意思都没有……”拉住慕容凌娢是一个四五十岁的大叔，满嘴的酒气，让慕容凌娢恶心的想吐，最可恶的是他的手居然还还想在慕容凌娢身上乱摸。看到这个举动，慕容凌娢立刻恼怒了。摸什么摸？我就不信你能摸到什么……“猥琐大叔”这个词用在你身上实在是太贴切不过了。慕容凌娢用力挣扎了几下，居然没能挣脱，反而被他拽的更紧了。她向那群歌伎投去求助的目光，根本没有反应。她们都装作没看见的样子，俯首低眉等待差遣。“你这小东西居然这么不老实……还敢反抗，知道爷是谁吗？”猥琐大叔粗暴的把慕容凌娢撒开了，慕容凌娢跪在一旁低头不语。来到古代，保命的最

三角函数概念(重难点突破)(解析版)

突破5.2 三角函数的概念一、考情分析二、考点梳理考点1 三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义正弦r y =αsin ，余弦r x =αcos ，正切xy =αtan 2.三角函数的定义域：三角函数定义域=)(x f sin x R =)(x f cos x R=)(x f tan x⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,21|ππ且考点2 三角函数值的符号第一象限角的各三角函数值都为正；第二象限角的正弦值为正，其余均为负；第三象限角的正切值为正，其余均为负；第四象限角的余弦值为正，其余均为负.注：一全正，二正弦，三正切，四余弦.考点3 诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Z k ∈ 考点4 单位圆的三角函数线定义如图（1）PM 表示α角的正弦值，叫做正弦线.OM 表示α角的余弦值，叫做余弦线. 如图（2）AT 表示α角的正切值，叫做正切线.注：线段长度表示三角函数值大小，线段方向表示三角函数值正负.三、题型突破重难点题型突破01 判断三角函数符号的正负例1．（1）、（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】首先判断305位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可. 【详解】解：因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D（2）、（2021·全国·高一课时练习）给出下列各三角函数值： ①sin 1()00-︒；②cos 2()20-︒；③()tan 10-；④cos π．其中符号为负的有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】确定各角所在象限，然后由象限角的三角函数值符号判断．【详解】因为－100°角是第三象限角，所以sin 10()00-︒<；因为－220°角是第二象限角，所以cos 22()00-︒<；因为710,32⎛⎫-∈-π-π ⎪⎝⎭，所以角－10是第二象限角，所以()tan 100-<；cos 10π=-<．所以符号为负的有4个，故选：D ．【变式训练1-1】、（2021·北京·潞河中学高三月考）若2α=，则（） A ．sin 0α>且cos 0α> B ．sin 0α>且cos 0α< C ．sin 0α<且cos 0α< D ．sin 0α<且cos 0α>【答案】B 【分析】确定α所在象限，再根据各象限内角的三角函数值的符号判断作答. 【详解】因22ππ<<，则2α=是第二象限象限角，所以sin 0,cos 0αα><. 故选：B【变式训练1-2】、（2022·福建·莆田二中高三阶段练习）设α角属于第二象限，且cos cos22αα=-，则2α角属于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据α为第二象限角可求得2α为第一或第三象限角，由cos 02α<可得结果.【详解】α为第二象限角，()90360180360k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ，()45180901802k k k α∴+⋅<<+⋅∈Z ；当()2k n n =∈Z 时，2α为第一象限角；当()21k n n =+∈Z 时，2α为第三象限角； 2α∴为第一或第三象限角；coscos22αα=-，cos02α∴<，2α∴为第三象限角.故选：C.重难点题型突破02 三角函数的概念例2．（1）、（2021·辽宁·高三月考）已知角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，则sin cos αα⋅=（）A ．3B ．23- C 3D 2【答案】B 【分析】根据角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于63P ⎝⎭，所以1r OP ==，所以36sin αα==，所以362sin cos αα⋅==．故选：B（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知角α的终边经过点()3,P m ，且2sin mα=，求cos α，tan α的值．【答案】答案见解析【分析】根据正弦函数的定义求出m 值，然后再由余弦函数、正切函数的定义计算．【详解】由题意，可知3x =-y m =，所以2223r x y m ++ 所以22sin 3y m r mα==+解得0m =或5± 当0m =时，3r =cos 1x r α==-，tan 0yxα==；当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== 当5m =22r =6cos x r α==15tan y x α== （3）、（2021·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知角α的终边经过点()1,1P -，则sin α= （） A ．12B ．12-C 2D ．2【答案】C 【分析】首先根据题意求出2r =sin α的值. 【详解】22(1)12r -+=2sin 2α=故选：C【变式训练2-1】、若角终边经过点,则（） A.B. C. D. 【答案】D【解析】, ,选D. 【变式训练2-2】、（2020·永州市第四中学高一月考）若一个α角的终边上有一点()4,P a -且3sin cos 4αα⋅=，则a 的值为( ) A ．3B ．43±C ．－3433D 3【答案】C 【解析】由已知，得()()()22222243sin 4444aa a a αα-==∴=-+-+-+，解得43a =-433α()()3,40P a a a ≠sin α=354535±45±229165r a a a =+=44sin 55a a α==±故选C ．【变式训练2-3】、（2021·天津·大钟庄高中高三月考）已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，则m =___________. 【答案】3- 【分析】利用任意角的三角函数的定义求解. 【详解】解：∵已知角α的终边经过点P （-4，m ），且3sin 5α=-，∴223sin 5(4)m α=--+，显然0m <，解得3m =-，3m =（舍去），故答案为：3-例3．（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合的角α的终边上有一点()3,P m -，且()2sin 0m α=≠，求m 的值，并求cos α与tan α的值．【答案】5m =±；当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-；当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α= 【分析】根据三角函数定义可由()22sin 043m m m m α==≠+求得m 的值；结合m 的值，由三角函数定义可求得cos ,tan αα. 【详解】()22sin 043m m m m α==≠+，5m ∴=±；当5m =时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=-；当5m =-时，236cos 43m α=-=-+，15tan 33m α=-=. 【变式训练3-1】、（2021·江苏·高一专题练习）已知α角的终边经过点()3,P m -，且满足2sin 4m α=． (1)若α为第二象限角，求sin α值； (2)求cos tan αα+的值．【答案】(1)10sin 4=a ； (2)1-或61543--或61543-+. 【分析】（1）根据三角函数的定义得到2243m m m =+，通过解方程即可求出m 的值，从而可求出sin α值；（2）根据（1）中求出的m 值，通过分类讨论，利用三角函数的定义即可求出答案. (1)由三角函数的定义，可知2243m m m =+，解得0m =或5m =±， ∵α为第二象限角，∴m ＞0，所以m ＝5， ∴10sin 4α=； (2)由（1）知0m =或5m =±，当0m =时，cos 1,tan 0αα=-=，所以cos tan 1αα+=-；当5m =时，6cos 4α=-，15tan 3α=-，所以cos ta 43n 615αα=--+；当5m =-时，6cos 4α=-，15tan 3α=，所以cos ta 43n 615αα=-++. 综上所述，cos tan αα+的取值为1-或61543--或61543-+．重难点题型突破03 同角三角函数的公式例4、（1）、（2022·湖北·安陆第一高中高一阶段练习）已知角α的终边经过点()1,2P ，sin 2cos sin cos αααα--+的值是____________．【答案】43-【分析】先利用三角函数的定义求出tan 2α=，再进行弦化切，代入求解. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2P ，所以12cos 0,tan 215αα.所以sin 2sin 2cos tan 2224cos sin sin cos tan 12131cos αααααααααα--------====-++++. 故答案为：43-（2）、（2022·贵州·高二开学考试）若tan 2α=，则225sin 3cos 1αα-+的值为（） A ．175B ．4C ．225D ．285【答案】C【分析】根据22sin cos 1αα+=，将原式齐次化后再弦化切即可得答案. 【详解】解：原式222222225sin 3cos sin cos 6tan 222sin cos tan 15αααααααα-++-===++．故选：C ．（3）、（2022·天津市新华中学高三阶段练习）已知tan 3α=，则222sin sin cos 3cos αααα+-的值为（） A ．95B ．18C ．1710D ．15【答案】A【分析】原式可除以22sin cos αα+化简成222tan tan 3tan 1ααα+-+，代入tan 3α=求值即可【详解】222sin sin cos 3cos αααα+- 22222sin sin cos 3cos sin cos αααααα+-+=222tan tan 3tan 1ααα+-=+，代入tan 3α=可算得原式的值为95.故选：A【变式训练4-1】、（2021·江苏·扬州中学高三月考）若sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-，则tan α=（）A ．13B ．12C ．13-D ．12-【答案】C 【分析】利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解. 【详解】由sin 2cos 55cos sin 16αααα+=-可得tan 255tan 16αα+=-，解得：1tan 3α=-，故选：C.【变式训练4-2】．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（文））已知tan 4θ=，则2cos sin cos 2sin θθθθ-=+_____________ 【答案】29-【分析】分子，分母同除以cos θ，再把tan θ的值代入即可求解【详解】2cos sin 2tan 242cos 2sin 12tan 1249θθθθθθ---===-+++⨯故答案为：29-【变式训练4-3】.已知点(1,2)P -是角α终边上的一点，则tan α=______，sin 2cos 2sin 3cos αααα-+=_______.【答案】2- 4 【解析】根据题意知：2tan 21α-==-，sin 2cos tan 242sin 3cos 2tan 3αααααα--==++. 故答案为：-2；4.例5．（2020·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））（1）已知tan 3α=，计算3sin αcos αsin α2cos α；（2）已知1sin cos (0)2αααπ+=<<，求sin cos αα．【答案】（1）10；（2）38-【分析】（1）利用商数关系化弦为切，即可得解;（2）将1sin cos 2αα+=进行平方即可求得答案【详解】（1）因为tan 3α=，所以3sin cos 3tan 110sin 2cos tan 2αααααα++==--；(2)由1sin cos (0)2αααπ+=<<，平方可得221sin cos 2sin cos 12sin cos 4αααααα++=+=，所以3sin cos 8αα=-【变式训练5-1】、（2022·全国·高一课时练习）已知23sin 4sin cos 10ααα-+=． (1)求tan α的值； (2)求2sin cos 1cos ααα+的值．【答案】(1)1tan 2α=(2)29 【分析】（1）利用“1”的代换及弦切互化可求1tan 2α=. （2）利用“1”的代换及弦切互化可求三角函数式的值. （1）解法一：∵22sin cos 1αα+=，23sin α-4sin cos 10αα+=， ∴2223sin 4sin cos 10sin cos ααααα-+=+，分子分母同时除以2cos α，得223tan 4tan 10tan 1ααα-+=+，即()22tan 10α-=，解得1tan 2α=．解法二：∵23sin 4sin cos 10ααα-+=，∴224sin 4sin cos cos 0αααα-+=，即2(2sin cos )0αα-=，∴2sin cos 0αα-= ∴1tan 2α=．（2） ∵1tan 2α=，∴2222sin cos sin cos tan 21cos sin 2cos tan 29ααααααααα===+++．重难点题型突破4 综合应用例6．（2022·全国·高一课时练习）求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++ 【答案】详见解析【证明】方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++ ()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边，∴原式成立．方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立．【分析】方法一：从等式左边推出右边,通分化简,再有()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=，整理化简即可得到等式右边,得证.方法二：由恒等式2222cos 1sin ,sin 1cos αααα=-=-，得cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+ ，然后运用等比定理即可证明. 【详解】证明：方法一左边()()()()cos 1cos sin 1sin 1sin 1cos αααααα+-+=++ 22cos sin cos sin 1sin cos sin cos αααααααα-+-=+++()()()2cos sin cos sin 111cos sin sin cos 22αααααααα-++=++++ ()()()22cos sin cos sin 1sin cos 1αααααα-++=++ ()2cos sin 1sin cos αααα-=++ =右边， ∴原式成立.方法二∵cos 1sin cos 1sin 1sin cos 1sin cos αααααααα-+-==+++， sin 1cos sin 1cos 1cos sin 1cos sin αααααααα-+-==+++， ∴()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1cos sin αααααααα--=++++， ∴原式成立.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系进行恒等式的证明;其中法一()2sin cos 1sin cos 2αααα+-=是证明的关键,法二恒等式cos 1sin sin 1cos ,1+sin cos 1cos sin αααααααα--==+的合理利用是证明的关键;本题属于难题. 【变式训练6-1】、（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知sin cos sin cos θθθθ+=，则角θ所在的区间可能是A ．(,)42ππ B ．3(,)24ππ C ．(,)24ππ-- D ．5(,)4ππ 【答案】C 【详解】令sin cos sin cos a θθθθ+==，则111sin 2,222a θ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，又由()2sin cos 2sin cos 10θθθθ+--=，得2210a a --=，解得12a =-，舍去()12+，则sin cos 120θθ=-<，θ在第二或第四象限，排除A 和D ，又sin cos 120θθ+=-<而sin cos 2sin 4πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，当3,24ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭排除B ，只有C 答案满足，故选C. 点睛：本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，以及排除法在选择题中的应用，具有一定难度；令sin cos sin cos a θθθθ+==，可将已知等式转化为关于a 的一元二次方程，结合三角函数的有界性可得12a =-，即sin θ和cos θ的符号相反，可排除A 和D ，当3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可求出sin cos 2sin 04πθθθ⎛⎫+=+> ⎪⎝⎭与所求矛盾，排除B.【变式训练6-2】、（2021·上海·高一期末）若对任意实数x ，不等式2sin 2cos 3x a x a -≤+恒成立，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[]1,3-【分析】原不等式可化为2cos 2cos 20x a x a +++≥，令cos ,[1,1]t x t =∈-，转化为二次不等式 2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，利用二次函数求最小值即可解决.【详解】由原不等式可化简为2cos 2cos 20x a x a +++≥对任意x R ∈恒成立，令cos ,[1,1]t x t =∈-得：2220t at a +++≥当[1,1]t ∈-时恒成立，令2()22h t t at a =+++，[1,1]t ∈-，函数对称轴方程为t a =-，当1t a =-<-，即1a >时，min ()(1)30h t h a =-=-≥，解得13a ，当11t a -≤=-≤，即11a -≤≤时，2min ()()20h t h a a a =-=-++≥，解得12a -≤≤，所以11a -≤≤，当1t a =->，即1a <-时，min ()(1)330h t h a ==+≥，解得1a ≥-，所以a ∈∅，综上实数a 的取值范围是13a -≤≤，故答案为[]1,3-【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论的思想，换元法，属于难题.四、课堂训练1．（2022·北京市西城外国语学校高三阶段练习）角α的终边上有一点(2,2)P -，则sin α=（）A 2B ．2C ．2D ．1 【答案】A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】角α的终边上点(2,2)P -，则||22r OP ==，所以22sin 2r α==. 故选：A2．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）已知tan 2θ=,则cos sin sin cos θθθθ-+的值为（） A ．13- B ．13 C ．3- D ．3 【答案】A 【分析】利用同角三角函数基本关系,分子分母同时除以cos θ,将弦化切,代入求解即可.【详解】tan 2θ=, ∴cos sin 1tan 121sin cos tan 1123θθθθθθ---===-+++. 故选:A.3．（2021·山东·德州市陵城区翔龙高级中学高一阶段练习）下列说法正确的有（）A ．经过30分钟，钟表的分针转过2π-弧度B ．若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角C ．若sin cos 1θθ+>，则θ为第一象限角D ．第一象限角都是锐角，钝角都在第二象限【答案】BC【分析】根据任意角的概念可判断A ；由正弦值余弦值的正负可判断角的范围，判断B;将sin cos 1θθ+>平方推出sin 0,cos 0θθ，判断θ为第一象限角，判断C;举反例可判断D.【详解】对于A, 经过30分钟，钟表的分针转过π-弧度，A 错误；对于B ，若sin 0,cos 0θθ><，则θ为第二象限角，正确；对于C ，因为sin cos 1θθ+>，故2(sin cos )1,12sin cos 1θθθθ+>∴+>，即sin cos 0>θθ，结合sin cos 1θθ+>可知sin 0,cos 0θθ，故θ为第一象限角，C 正确；对于D ，第一象限角不都是锐角，比如390是第一象限角，但不是锐角，故D 错误；故选：BC4．（2021·江苏·高一专题练习）已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求2sin cos αα+的值. 【答案】25或25-．【分析】先求点P 到原点的距离，再利用定义求sin α，cos α，应注意分类讨论．【详解】225r x y a =+=，∴当0a >时，5r a =，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5α=，22sin cos 5αα∴+=-；当0a <时，5r a =-，33sin 55a a α-∴==-，4cos 5=-α，22sin cos 5αα∴+=．综上可知，2sin cos αα+的值为25或25-.16。