弦长公式.
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2px x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a b x a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM += 证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根）③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线弦长公式是数学中一个重要的公式，它用于计算圆与直线之间的弦长。
在本文档中，我们将详细介绍弦长公式以及应用实例。
一、什么是弦长公式弦长公式是一种用于计算弦长的数学公式。
它描述了圆与直线之间的关系，并可以通过给定的半径、角度或其他相关信息来计算弦长。
二、弦长公式的推导我们以一个简单的圆为例，假设半径为r，圆心角为θ，弦长为s。
根据几何关系，圆心角与弦之间的关系可以表示为θ = s/r，其中r是圆的半径，s是弦的长度。
通过对等腰三角形的分析，我们可以得到三角函数的关系sin(θ/2) = (s/2)/r，进一步计算得到s = 2r*sin(θ/2)。
这就是弦长公式，它表达了弦长与半径和圆心角之间的关系。
三、弦长公式的应用实例1. 计算圆上两点之间的弦长假设我们有一个半径为10cm的圆，圆心角为60度，我们想要计算圆上两个点A和B之间的弦长。
根据弦长公式，我们可以计算得到弧AB的弦长s =2*10*sin(60/2) = 20*sin(30) ≈ 10cm。
通过这个实例，我们可以看到弦长公式在计算圆上两点之间的距离时非常有用。
2. 计算圆上弦的长度假设我们有一个圆的半径为8cm，圆心角为45度，我们想要计算从圆的边缘到弦的垂直距离（弦的高度）。
根据弦长公式，我们可以计算得到弦的长度s = 2*8*sin(45/2) = 16*sin(22.5) ≈ 5.66cm。
这个实例展示了弦长公式在计算圆上弦的长度时的应用。
四、结论弦长公式是一种用于计算圆与直线之间关系的数学工具。
通过这个公式，我们可以轻松地计算圆上的弦长，从而解决一系列与弦和圆相关的问题。
无论是计算圆上两点之间的弦长，还是计算弦的高度，弦长公式都为我们提供了一种简洁而有效的计算方法。
希望通过本文档的介绍，您对弦长公式有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
编写完毕。
弦长公式的推导
弦长公式的推导
弦长公式是指在一个圆上，连接两个弧上的端点所形成的弦的长度。
推导弦长公式的过程如下：
假设一个圆的半径为r，圆心角θ，弦的长度为l，弦中点到圆心的距离为d。
则有以下关系式：
1.根据勾股定理，可以得到弦中点到圆心的距离d的计算公式：
d = r - (l/2)。
即 d = √(r - (l/2))。
2.由于弦中点到圆心的距离d，可以作为一个直角三角形的斜边长度，因此可以使用正弦函数来计算圆心角θ的一半，即sin(θ/2) = (l/2)/d。
3.根据正弦函数的定义，可以得到弦长l的计算公式：l = 2d sin(θ/2) = 2√(r - (l/2)) sin(θ/2)。
因此，弦长公式的推导就完成了。
可以看出，弦长公式与圆心角θ的大小有关，而不同的圆心角θ对应着不同的弦长l。
在实际应用中，弦长公式常用于计算圆形物体上弦的长度。
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两点弦长公式
两点弦长公式
弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：
a/sinA=b/si nB=c/sinC=2R，即a=2RsinA， b=2RsinB，c=2RsinC;(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得弦长圆(x-4) ^2+y . 2=16与直线y= (根号3)x的一个交点恰为原点0(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中
∠A0B=60° ，∠0AB=90° ，0B=2R，所以
0A=2Rcos∠A0B=2Rcos60° =R。
又圆的半径为4，所以圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得的弦长为4。
两点弦长公式有：第一，y^2=2px，过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2；第二，y^2=-2px，过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B （x2，y2）两点，则AB弦长：d=p-（x1+x2）；第三，x^2=2py，
过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则AB弦长：d=p+y1+y2；第四，x^2=-2py，过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则AB弦长：d=p-（y1+y2）。
弦长公式知识讲解
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2) 则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A ﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
弦长公式是什么
弦长公式是什么
弦长=2Rsina，R是半径,a是圆心角；弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，
c=2RsinC；
(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x所截得弦长
圆(x-4)^2+y^2=16与直线y=(根号3)x的一个交点恰为原点O(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4)^2+y^2=16
被直线y=(根号3)x所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中∠AOB=60°，∠OAB=90°，OB=2R，所以
OA=2Rcos∠AOB=2Rcos60°=R。
又圆的半径为4，所以圆(x-4)^2+y^2=16被直线y=(根号3)x 所截得的弦长为4。
高中数学：四大类弦长公式
高中数学中的四大类弦长公式一、平面直角坐标中的全场通用弦长公式1、已知两点坐标：()11,y x A ，()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=2、已知直线上两点：若()11,y x A ，()22,y x B 两点在直线b kx y +=（直线的斜率存在并且不为0）上，则ak x x k AB ∆+=-+=221211（∆,,21x x 是02=++c bx ax 的两根和判别式） ak y y k AB ∆+=-+=22121111（∆,,21y y 是02=++c by ay 的两根和判别式）注：以上公式适用于直线与曲线相交，将直线与曲线联立但不易求出交点坐标 时，采用设而不求思想的解决弦长问题，以上公式的证明会用到韦达定理）二、平面直角坐标中特殊曲线（例如：圆，抛物线，椭圆）中的弦长公式1、直线0:=++C By Ax l 与圆()()222:r b y a x M =-+-相交于B A ,，则222d r AB -=（其中22BA C Bb Aa d +++=为圆心),(b a M 到直线l 的距离）注：此公式证明需用垂径定理2、抛物线中的焦点弦弦长公式，过抛物线交点F 直线l 与抛物线相交的弦长,BF AF AB += ①α221sin 2px x p AB =++=（其中抛物线开口向右，方程为px y 22=）②)(21x x p AB +-=（其中抛物线开口向左，方程为px y 22-=） ③21y y p AB ++=（其中抛物线开口向上，方程为py x 22=） ④)(21y y p AB +-=（其中抛物线开口向下，方程为py x 22-=） 注：此公式的证明需用到抛物线的定义和焦半径公式.3、椭圆中的焦点弦的弦长公式,BF AF AB +=①过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(1c F -的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB ++=.②过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点)0,(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212x x e a AB +-=.③过椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的左焦点)0(1c F -，的直线l 与椭圆相交于 ()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB ++=.④过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点),0(2c F 的直线l 与椭圆相交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，则()212y y e a AB +-=.注：此公式的证明需用到椭圆的第二定义和焦半径公式.三、直线标准参数方程下的弦长公式过定点),(00y x P ，倾斜角为α的直线l 的参数方程⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x (t 为参数). 参数t 的几何意义为： t 为直线上任一点(,)x y 到定点00(,)x y 的数量；即：直线l 上的动点()()ααsin ,cos ,00t y t x M y x M ++=到点),(00y x P 的距离等于t .设点B A 、对应的参数分别为,,21t t 则有： ①2121,,t t AB t PB t PA -=== ②AB 中点M 对应的参数为221t t +，则.221t t PM +=证明：∵A 对应的参数分别为1t ∴()ααsin ,cos 1010t y t x A ++, ∴ ()()()()1212120102010sin cos sin cos t t t y t y x t x PA =+=-++-+=αααα同理2t PB =,21t t AB -=还有一些可能会用到的公式,他们都可通过以上两个结论+绝对值的运算而得：例如：③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA ;⎩⎨⎧<+>-=-=-0,,2121212121t t t t t t t t t t PB PA④ 若AB 的中点为P ,则021=+t t .（∵AB 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）过定点),(00y x P 的直线l 的参数方程也可表示为:⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(b a ,是常数,t 为参数).设点N M 、对应的参数分别为21,t t ,即()()20201010,,,bt y at x N bt y at x M ++++则有：①122t b a PM +=，222t b a PN +=，()2122t t b a PN PM +=⋅②Aba t tb a MN ∆+=-+=222122（其中21,t t 是方程02=++C Bt At 的两根）③⎩⎨⎧<->+=+=+0,,2121212121tt t t t t t t t t PN PM ; ⎪⎩⎪⎨⎧<++>-+=-+=-0,0,2121222121222122t t t t b a t t t t b a t t b a PN PM④ 若MN 的中点为P ,则021=+t t .（∵MN 中点对应的参数为221t t +,P 对应的参数为0）四、极坐标系中的弦长公式：()()2211,,,θρθρB A①若21θθ=，则21ρρ-=AB②若21θθ≠，则()21212221cos 2θθρρρρ--+=AB ，()2121sin 21θθρρ-=∆OAB S。
弦长公式证明及应用详解
弦长公式证明及应用详解弦长公式是用来计算弧长的一种方法，主要应用于圆周上的弦长计算。
它的公式为：L = 2r * sin(θ/2)其中，L表示弦长，r表示圆的半径，θ表示弧所对的圆心角。
下面将详细介绍弦长公式的证明以及其应用：证明：假设在圆上取两点A和B，将它们与圆心O连接，得到弧AB。
再连接AO和BO，构成两个三角形AOB和AOC。
根据正弦定理，可得：sinθ = AB/2r （1）又因为∠AOC=2θ（圆周角定理）则AOC的边长为2r根据正弦定理，可得：sin(2θ) = AC/2r （2）由于AB=AC结合公式（1）和（2），即可得到弦长公式：L = 2r * sin(θ/2)应用：1.圆形公路的弯道计算：在交通工程中，需要计算弯道的长度，即弧长。
通过使用弦长公式，可以快速准确地计算出弯道的长度。
2.圆盘工件的切削：在机械加工中，圆盘工件需要进行切削加工。
弦长公式可以用来计算切割过程中的行程长度，方便切割加工的顺利进行。
3.建筑设计中的弧形结构计算：在建筑设计中，经常会出现弧形的结构，如门窗、走廊等。
弦长公式可以用来计算这些弧形结构的长度，从而控制建筑设计的精度。
4.电力线路杆塔的设计：在电力线路的设计中，需要计算各个杆塔之间的距离，即弦长。
通过使用弦长公式，可以准确计算出电力线路的爬升距离，保证电力线路的安全稳定运行。
5.航空航天中的轨道计算：在航空航天领域，需要计算地球上特定点到卫星轨道的距离，以确定通信或导航行程。
弦长公式可以用来计算地球上两点之间的弦长，从而确定距离。
通过以上的证明和应用的详细介绍，我们可以看出，弦长公式在各个领域和行业都有着广泛的应用，准确计算弧长对于这些领域和行业的设计和计算非常重要。
另外，弦长公式还可以推广到三角形中，应用于解决复杂的三角函数计算问题，具有广泛的数学应用价值。
弦心距和弦长公式
弦心距和弦长公式
弦心距和弦长公式是圆的基本性质之一，它们描述了从圆心到圆上任意一点的距离（即半径）与圆上两点之间的线段（即弦）之间的关系。
1.弦心距公式：
弦心距是指从圆心到弦的垂直距离，记作d。
如果弦长为L，半径为r，那么弦心距d可以通过以下公式计算：
d=r2−(2L)2
这个公式基于勾股定理，其中r是半径，L是弦长，d是弦心距。
2.弦长公式：
弦长公式用于计算给定弦心距和半径的弦的长度。
如果弦心距为d，半径为r，那么弦长L可以通过以下公式计算：
L=2r2−d2
这个公式也是基于勾股定理，其中r是半径，d是弦心距，L是弦长。
这两个公式在解决与圆相关的问题时非常有用，特别是在几何和三角函数中。
它们允许我们根据已知信息计算未知量，或者验证给定的信息是否准确。
用韦达定理求弦长公式
用韦达定理求弦长公式韦达定理是由十九世纪的意大利数学家埃及尔·约翰·韦达提出的，是一种用来计算三角形中三边之间的关系的定理。
根据韦达定理，如果四边形ABCD为矩形，则有：1、正弦定理： $$ \frac {a}{\sin A}=\frac {b}{\sin B}=\frac {c}{\sin C} $$其中：a、b、c是ABC三边的长度；A、B、C是ABC三角形的三个内角；2、余弦定理：$$ a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$$其中：a、b、c是ABC三边的长度；A、B、C是ABC三角形的三个内角；3、弦长公式：$$c=\sqrt {a^2+b^2-2ab \cos C} $$其中：a、b、c分别是ABC三边的长度；C是ABC三角形的最大角角度。
韦达定理可以用来解决三角形的六个边、角以及内心的坐标问题，是二三角形相关求解中特别重要的定理。
借助韦达定理，可以方便快捷地解决许多三角形的应用问题，特别对于在几何转换、平差测量中，求解三角形某条边较长时，应用愈发广泛。
如果已知任意三角形的三条边，就可以求出三条边之间的角度大小；如果只知道三角形的三个角，则可以用弦长公式求出三条边的长度。
通过韦达定理及其应用，人们可以推导出弦长公式，即可以根据三角形已知角的情况下，求某条弦的长度，其公式为：$$c=\sqrt {a^2+b^2-2ab \cos C} $$其中：a、b、c分别是ABC三边的长度；C是ABC三角形的最大角角度。
弦长公式是在三角形理论中，经常涉及到的实用公式，它可以根据任意三角形的三个角来求出一条弦的长度，很好地应用于地图测量、航海学、地质学等领域。
应用弦长公式，既可以求出某条弦的实际长度，也可以求出该弦在给定缩放比例设定下的缩放长度。
此外，弦长公式还可以用于判断三角形的几何性质。
比如：当C的大小小于90°时，ABC三角形的形状为钝角三角形；当C的大小等于90°时，ABC三角形的形状为直角三角形；当C的大小大于90°时，ABC三角形的形状为锐角三角形。
怎样选择弦长公式(一)
怎样选择弦长公式(一)怎样选择弦长公式弦长公式的选择要选择合适的弦长公式，需要考虑以下几个因素：•乐器类型：不同类型的乐器有不同的弦长公式，如吉他、小提琴、钢琴等；•弦的材质和尺寸：不同材质和尺寸的弦可能需要不同的弦长公式；•音域要求：不同的音域要求也可能影响弦长公式的选择。
在选择弦长公式时，我们可以根据具体情况综合考虑以上因素，下面列举几种常见的弦长公式及其适用范围。
弦长公式一：Guitar String Length Formula公式：L = (sqrt(3) / 2) * S * n其中，L为弦长，S为比例尺长度，n为弦序数。
例子：以吉他为例，假设比例尺长度为英寸，我们要计算第5弦的弦长。
代入公式，得到弦长L = (sqrt(3) / 2) * * 5 = 英寸。
弦长公式二：Violin String Length Formula公式：L = (2 * S) / (n * (n + 1))其中，L为弦长，S为比例尺长度，n为指板上音的序数。
例子：以小提琴为例，假设比例尺长度为厘米，我们要计算指板上第4个音的弦长。
代入公式，得到弦长L = (2 * ) / (4 * (4 + 1)) = 厘米。
弦长公式三：Piano String Length Formula公式：L = 2 * sqrt((L^2 + d^2) / 2)其中，L为弦的挂点到钉孔间的距离，d为钉孔到弦铜上一定点的距离。
例子：以钢琴为例，假设弦的挂点到钉孔间的距离L为80厘米，钉孔到弦铜上一定点的距离d为6厘米，我们要计算弦的弦长。
代入公式，得到弦长L = 2 * sqrt((80^2 + 6^2) / 2) = 厘米。
这只是几种常见的弦长公式中的一部分，不同乐器和不同的使用场景可能会有其他适用的弦长公式。
在选择弦长公式时，需要根据具体情况进行选择，并进行合理的计算。
弦长公式椭圆与直线
弦长公式椭圆与直线
弦长公式是指计算椭圆上任意两点间弦的长度的公式。
椭圆是一个几何图形，由一组点构成，这些点到两个焦点的距离之和是一个定值。
直线是一个几何图形，由无穷多个点构成，这些点在同一条直线上。
本文将介绍弦长公式在椭圆和直线中的应用。
椭圆上任意两点间弦的长度可以用弦长公式进行计算，公式为：
s = 2a ×sin(θ/2)
其中，s表示弦的长度，a表示椭圆的半长轴，θ表示弦与椭圆中心连线的夹角。
这个公式可以用来计算任意两点间的弦长。
当弦与直线相交时，可以使用弦长公式计算弦长。
具体地，将直线延长到椭圆外，并交于点P，那么椭圆上的任意一点Q与直线的交点为T。
连接PT，QT两线段，那么QT就是弦，且θ=∠QPT。
因此，可以使用弦长公式计算QT的长度。
除此之外，还可以利用椭圆的对称性来计算弦长。
具体方法是，找到椭圆中心O，并将直线过O，与椭圆相交于点P和Q。
将OP和OQ分别连接到椭圆上的两点，这时可以证明，PQ的中点即为弦的中点。
因此，可以计算出OP和OQ的长度，然后用勾股定理计算PQ的长度。
综上所述，弦长公式可以用来计算椭圆上任意两点间弦的长度，在弦与直线相交时也可以使用该公式进行计算。
在计算弦长时，还可以利用椭圆的对称性来简化计算过程。
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弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（x1.y1)点B为(X2.Y2)则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A ﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
d =√[(1+k^2)△/a^2] =√(1+k^2)√(△)/|a|在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的 b^2：-4ac ，a为二次项系数。
补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线不光是圆。
公式/|a|是在整个平方根运算后再进行的……（先开平方了然后再除）2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/a x1x2=c/a 带入再通分即可……在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理（点到直线距离、半径、半弦）。
点差法点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。
点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。
在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".求直线方程或求点的轨迹方程例1 抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1 ①；x1^2 +px1+q=0 ②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0 ③；同理px2 +3y2+q=0 ④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.例2 过椭圆x^2+4y^2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2+4y1^2=16，x2^2+4y2^2=16，两式相减，得(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为x1+x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除(x1﹣x2)，有2+8k=0∴k=﹣0.25.故直线l的方程为y﹣1=﹣0.25(x﹣1)，即4y + x﹣5=0 求圆锥曲线方程用点差法定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线。
定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线。
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1.a、b、c不都是零.2. b^2 - 4ac > 0.3.a^2+b^2=c^2在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。
这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
重要概念和性质焦点准线离心率在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
双曲线有两个焦点，两条准线。
（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。
但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。
）顶点渐近线双曲线的简单几何性质1.轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)，A'(a,0）。
同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.B(0,-b），B'(0,b）。
同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^24、渐近线：焦点在x轴：y=±（b/a)x.焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。
其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。
θ=arccos（1/e)令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2（注意化简一下）直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]代入上式：ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2现在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则y=(b/a）√（x^2-a^2）(x>a)因为x^2-a^2<x^2，所以y=(b/a）√（x^2-a^2）<b/a√x^2=bx/a即y<bx/a所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方根据对称性第二、三、四象限亦如此5、离心率：第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）.第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）左焦半径：r=│ex+a│右焦半径：r=│ex-a│7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b 且e=√2这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）8、共轭双曲线双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：（x^2/a^2）-(y^2/b^2）=1 S'：（y^2/b^2）-(x^2/a^2）=1特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点（2）焦距相等（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于19、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c焦点在y轴上：y=±a^2/c10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）d=2b^2/a11、过焦点的弦长公式：d=2pe/（1-e^2cos^2θ）12、弦长公式：d = √（1+k^2）|x1-x2| = √（1+k^2）(x1-x2）^2 = √（1+1/k^2）|y1-y2| = √（1+1/k^2）(y1-y2）^2 推导如下：由直线的斜率公式：k = (y1 - y2）/ (x1 - x2）得y1 - y2 = k(x1 - x2）或x1 - x2 = (y1 - y2）/k分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2）^2; + (y1 - y2）^2; ]稍加整理即得：|AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或|AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2;)·双曲线的标准公式与反比例函数X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)而反比例函数的标准型是xy = c (c ≠ 0)但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的因为xy = c的对称轴是y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为 a （a≠0，顺时针）（a为双曲线渐进线的倾斜角）则有X = xcosa + ysinaY = - xsina + ycosa取 a = π/4则X^2 - Y^2 = (xcos（π/4）+ ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4）- ycos（π/4）)^2= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)= 2xy.而xy=c所以X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.13.双曲线内、上、外在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1；在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。