高考数学总复习 11-4 数学归纳法(理)课件 新人教B版

用数学归纳法证明恒等式
[例 1] 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)„(n＋
n)＝2n· 1· 3· 5· „· (2n－1) (n∈N＋)． 分析：从 n＝k 到 n＝ k＋1 的过渡，左边增加了因式 (2k＋1)(2k＋2)减少了因式 k＋1，右边 2k 变成 2k 1 增加了
＋
第 四 节
数学归纳法(理)
重点难点 重点： 数学归纳法． 难点： ①数学归纳法的证明思路． ②初始值 n0 的确定．
知识归纳 1．归纳法 归纳法有不完全归纳法和完全归纳法，如果我们考 察了某类对象中的一部分，由这一部分对象具有某种特 征而得出该类对象中的全体都具有这种特征的结论，为 不完全归纳．由不完全归纳法得出的结论不一定都是正 确的，其正确性还需进一步证明；如果我们考察了某类
证法 2： (1)(用数学归纳法证明 an>2)， ①当 n＝ 1 时，因 a1＝ a>2，故命题 an>2 成立； ②假设 n＝ k 时命题成立，即 ak>2，
3．归纳、猜想与证明 从观察一些特殊的简单的问题入手，根据它们所体 现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想， 然后从理论上证明 (或否定 )这种猜想， 这个过程叫做“归 纳 —猜想 —证明”．
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误区警示 在应用数学归纳法的过程中： 第①步， 验证 n＝ n0 时结论成立的 n0 不一定为 1， 根 据题目要求，有时可为 2、 3 等． 第②步，证明 n＝ k＋1 时命题也成立的过程中，一 ． 定要用到归纳假设 ，否则就不是数学归纳法． ．．．．．．．．
因式 (2k＋ 1)．
证明： (1)当 n＝ 1 时，左边＝ 2＝右边，等式成立． (2)假设 n＝ k(k∈ N＋)时，等式成立， 即 (k＋ 1)(k＋ 2)„ (k＋ k)＝ 2k· 1· 3· 5· „· (2k－ 1)， 则当 n＝ k＋ 1 时，(k＋ 2)(k＋ 3)„ (k＋ k)(2k＋ 1)(2k＋ 2)＝(k＋ 1)(k＋ 2)„ (k＋ k)· 2(2k＋ 1) ＝ 2k· 2(2k＋ 1)＝ 2k＋1· [2(k＋ 1)－ 1]等式也成立． 由 (1)、(2)可知，等式对任何 n∈ N＋都成立．
已知数列{an}中， a1＝a>2，对一切 n∈ N*， an>0， a2 n an＋1＝ . 2 an－ 1 求证： an>2 且 an＋1<an.
a2 n 证明： 证法 1： an＋ 1＝ >0，∴ an>1，∴ an－ 2 2 an－ 1 a2 an－ 1－ 22 n－1 ＝ － 2＝ ≥ 0， ∴ an≥ 2， 若存在 ak＝ 2， 2 an－ 1－ 1 2 an－ 1－ 1 则 ak－1＝ 2，由此可推出 ak－ 2＝ 2，„， a1＝ 2，此与 a1＝ an 2－ an a>2 矛盾，故 an>2.∵ an＋ 1－ an＝ <0， 2 an－ 1 ∴ an＋1<an.
k 1 ＝ ＋ 2k＋ 1 2k＋12k＋ 3 2k2＋ 3k＋1 k＋12k＋1 ＝ ＝ 2k＋ 12k＋3 2k＋12k＋3 k＋ 1 k＋ 1 ＝ ＝ . 2k＋ 3 2 k＋1＋ 1 这就是说， n＝k＋ 1 时等式也成立． 由 (1)(2)可知，等式对一切 n∈ N*都成立 .
点评： 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清变量 在哪个范围内取值时恒等式成立，明确 “归纳奠基 ” 验 证的等式是什么，二是对照 n＝k 与 n＝ k＋1 时两等式找 出其差异，明确“归纳递推”变形的方向．
1 1 用 数 学 归 纳 法 证 明 ＋ ＋ „ ＋ 1× 3 3× 5 1 n ＝ (n∈ N*)． 2n－ 12n＋ 1 2n＋ 1
用数学归纳法证明不等式
1 1 1 [例 2] 证明：1＋ ＋ ＋„＋ <2 n 2 3 n
(n∈N＋ )．
证明： ① n＝ 1 时，左边＝ 1<2＝右边，结论成立． ②假设 n＝ k 即 1＋ (k∈ N＋)时，结论成立，
1 1 1 ＋ ＋ „＋ <2 k， 2 3 k
1 1 1 1 则当 n＝ k＋ 1 时， 1＋ ＋ ＋„＋ ＋ 2 3 k k＋ 1 2 k· k＋ 1＋ 1 k＋ k＋ 1＋ 1 1 <2 k＋ ＝ < k＋ 1 k＋ 1 k＋ 1 ＝ 2 k＋ 1 结论也成立． 由①②知，原不等式成立．
1 1 证明： (1)当 n＝ 1 时，左边＝ ＝ ， 1× 3 3 1 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边． 2× 1＋ 1 3 所以 n＝ 1 时等式成立．
(2)假设 n＝ k 时等式成立， 1 1 1 k 即有 ＋ ＋ „＋ ＝ . 1× 3 3× 5 2k－ 12k＋ 1 2k＋ 1 则当 n＝ k＋ 1 时， 1 1 1 1 ＋ ＋„ ＋ ＋ 1× 3 3× 5 2k－ 12k＋ 1 2k＋ 12k＋ 3
对象中的每一个对象，而得出该类对象的某种特征的结 论为完全归纳，由完全归纳法得出的结论一定是正确的， 数学归纳法是一种完全归纳法．
2．数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下 列步骤进行： (1)归纳奠基：验证当 n 取第一个值 n0 时结论成立；
(2)归纳递推：假设当 n＝ k(k∈ N*，且 k≥ n0)时结论 成立．推出 n＝ k＋ 1 时结论也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始 的所有自然数 n(n≥ n0)都成立， 这种证明方法叫做数学归 纳法．
这两个步骤缺一不可，前一步是递推的基础，后一 步是递推的依据，缺了哪一步得出的结论也是错误的． 另外，归纳假设中要保证 n 从第一个数 n0 开始，即 假设 n＝ k(k≥n0)时结论成立，括号内限制条件改为 k>n0 就错了．
一、添减项法和放缩法 1．用数学归纳法证明命题时，根据需要有时应添项 或减项，这是数学归纳法证题的常用技巧． 2．在用数学归纳法证明不等式时，常根据题目的需 要进行恰当的放缩，要注意既不能放缩的不到位，也不 能放缩过了头．