工程电磁场原理 倪光正 第一章
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工程电磁场原理倪光正第一章
工程电磁场数值分析方法简
05
介
有限差分法
差分原理
将电磁场连续域问题离散 化，用差分方程近似代替 微分方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解 差分方程，得到电磁场数 值解。
差分格式
构造差分格式，将微分方 程转化为差分方程。
有限元法
有限元原理
将连续域划分为有限个单元，每个单元内用 插值函数表示未知量。
有限元方程
根据变分原理或加权余量法建立有限元方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解有限元方程，得到 电磁场数值解。
边界元法
边界元原理
将微分方程边值问题转化为边界积分方程问题。
边界元方程
根据格林公式和边界条件建立边界元方程。
求解方法
采用迭代法或直接法求解边界元方程，得到电磁场数值解。
各种数值分析方法的比较与选用
工程电磁场原理倪光 正第一章
目录
• 绪论 • 静电场的基本概念和性质 • 恒定电场的基本概念和性质 • 时变电磁场的基本概念和性质 • 工程电磁场数值分析方法简介
01
绪论
电磁场理论的重要性
01 电磁场是物质存在的基本形式之一
电磁场与物质相互作用，是物质存在的基本形式 之一，对于理解物质的本质和相互作用机制具有 重要意义。
研究任务
工程电磁场的研究任务包括揭示电磁场的本质和 规律，探索新的电磁现象和应用，以及解决工程 实际中的电磁问题。
电磁场理论的发展历史
01
静电学和静磁学阶段
早期人们主要研究静电和静磁现象，建立了库仑定律和安培定律等基本
定律。
02 03
电磁感应和电磁波阶段
19世纪初，法拉第发现了电磁感应现象，揭示了电与磁之间的联系。随 后，麦克斯韦建立了完整的电磁波理论，预言了电磁波的存在，并阐明 了光是一种电磁波。
工程电磁场原理(教师手册)
第2章
静态电磁场 Ι：静电场
§2.1 基本内容与要求 §2.2 教学重点解析 一、电介质的极化 • 极化电场 二、静电场边值问题的构造 三、分离变量法及其应用 四、镜像法及其应用 五、关于部分电容概念的讨论 六、虚位移法 七、基于法拉第观点分析电场力 八、场图示例
第3章 静态电磁场Ⅱ：恒定电流的电场和磁场 §3.1 基本内容与要求 一、恒定电场 二、恒定磁场 §3.2 教学重点解析 一、关于导电媒质中建立恒定电流场的讨论 二、静电比拟原理 三、基于场矢量积分关系式的分析方法 四、基于矢量磁位A的应用分析 五、磁偶极子在外磁场中的受力分析 六、作用于磁场中两种媒质分界面上的磁压力 七、场图示例
工程电磁场原理
教师手册
（电子教案素材）
倪光正
崔 翔等
高等教育出版社、高等教育电子音像出版社
前
言
本光盘提供的电子教案素材是《工程电磁场原理》教师手册的附件，而《工程电磁场原理》 教师手册是专为《工程电磁场原理》（倪光正主编）编写的配套教材。 本电子教案素材可为使用《工程电磁场原理》一书的教师在撰写讲稿时编辑，以形成制作多 媒体课件时可供参照的工作基础。电子教案素材的内容部分源于《工程电磁场原理》教师手册， 部分源于作者群体多年电磁场课程教学中随着教学改革面向现代化教育手段的应用，不断深化、 延拓进展所制作的多媒体课件。作者衷心希望这一光盘提供的电子教案素材，将有助于各位教师 教学的组织与实施。 应当指出，各高校“电磁场”课程设置的教学计划、时数和要求不尽相同，并且任课的各位教 师都有自己成熟的教学经验和方法，包括制作与使用多媒体课件的成功经验。因此，作者在本光 盘中所作的努力，无疑是期望能为广大教师形成自己独特的教学风格、方法和电磁场课程的教学 课件“添砖加瓦”，共同致力于“电磁场”精品课程的建设，营造学生生动活泼、主动学习的氛围。 参加本光盘制作的有倪光正、熊素铭、李琳、崔翔、杨仕友和倪培宏六位教师。制作中得到 浙江大学、华北电力大学两校同仁的关心和支持。夏海霞、金志颖和罗平等硕(博)士生协助作者 整理、编辑，在此一并致以衷心的感谢。 限于作者的能力和水平，光盘制作中欠缺之处在所难免，敬请广大同仁和读者指正。 《工程电磁场原理》教师手册 电子教案素材制作组 2004年7月
工程电磁场原理(教师手册)
四、本课程学时分配建议
本课程参考学时：60学时。 以电气工程类专业为例，学时分配比例建议如下：
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 绪论(含可视化教材的演示) 电磁场的数学物理基础 静态电磁场I： 静电场 静态电磁场II: 恒定电流的电场和磁场 准静态电磁场 动态电磁场与电磁波 实验 2学时 6学时 16学时 14学时 6学时 12学时 4学时
“电磁场”课程的地位与作用：
● “电磁场”课程内容是电气信息类专业本科生所应具备知识结构的必 要组成部分——电气信息类各专业主要课程的核心内容都是电磁现象在特 定范围、条件下的体现，因此，分析电磁现象的定性过程和定量方法是电 气信息类各专业学生掌握专业知识和技能的基础； ● 近代科学技术发展进程表明，电磁场理论是众多交叉学科的生长点 和新兴边缘学科发展的基础； ● 教学实践证明，本课程不仅将为电气信息类学生专业课的学习提供 必须的知识基础，而且将增强学生面向工程实际的适应能力和创造能力， 关系到学生基本素质培养的终极目标。
2. 本课程的理论体系——宏观电磁理论
1865年英国物理学家麦克斯韦(J.C.Maxwell)建立的著名的麦克斯韦 电磁场方程组是宏观电磁理论体系的基础。 宏观电磁理论所涉及的电磁现象和过程的基本特征是： ● 场域(即场空间)中媒质是静止的，或其运动速度远小于光速； ● 场域作为点集，点的尺寸远大于原子间的距离。 本课程所讨论的任一场点，即意味着大量分子的集合 场域中的媒 质被看作为“连续媒质” 该场点处的电磁性能归结为对应的宏观统计平 均效应的表征，即通过宏观等效的物性连续参数(如电导率γ、磁导率μ和介 电常数ε)予以描述。 因而，宏观电磁理论也被称为“连续媒质电动力学”，但决不等同于“量 子电动力学”或“相对论电动力学”，后者已分别延拓到微观粒子或高速运动 体系中电磁现象和过程的研究领域。
优选工程电磁场原理倪光正
2.3.2 静电场中的电介质 • 电介质的极化
电介质—— = 0，即理想的绝缘材料。
电介质中的带电粒子被原子内在力、分子内在力或分子间的力所束缚——束 缚电荷（bound charge）。
1.极化现象
➢ 位移极化现象—— 无极分子电介质(H2、N2、O2、CH4、CCl4等) 。
Eo 0
q
Eo
非线性：媒质参数随电场的值而变化。
例 分析理想平板电容器极板间电介质中的电场。
[分析] 设该平板电容器两极板上分布的自由电荷面密度分别为 和 - 。当电极之
间为真空时，电容器内的电场强度
E0 的量值
E0
0
，其方向与电极平面垂直，
且均匀分布。
当在电极间插入均匀且各向同性的电介质 时，则如图所示，电介质中将产生
优选工程电磁场原理倪光正
2.3 导体和电介质 2.3.1 静电场中的导体
静电 感应
外电场 中导体
自由电子 反E 移动
电荷重 新分布
内电场抵 消外电场
导体静 电平衡
自由 电荷
2.3 导体和电介质 2.3.1 静电场中的导体
• 导体内部 E 0 ； • E 0 ， = const等位体； • 导体表面必与其外侧的 E 线正交；
r
1
40
V
P r dV
r r
S
P
r
r dS
r
E
r
1
40
V
P
r
eR R2
dV
P
S
r
eR R2
dS
2.4 电介质中的电场
基本出发点： 电介质中的电场——真空中，自由电荷与极化电荷共同产生的静电场。
工程电磁场-倪光正-第1章电磁场的数学物理基础
车。 好在邻 村也有 人在读 高中， 所以我 爸爸每 次都和 邻村的 人搭伴 走。（ 那
个时候， 大学生 非常少 ，能考 上高中 就是很 了不起 的事情 ） 那天我 爸爸照 常
和邻村的 那个人 一起回 家。（ 那个人 叫金西 ，熟人 都叫他 西西） 那 时候都 深
秋了，天 黑的也 比较早 ，回家 的路还 没走一 半天就 黑了。 不过两 个人早 也习惯 了
理想化假设 电路模型(一种具体 的物理模型)
电路模型： •理想电路元件(R、L、C)
及其组合 •理想电压源、电流源(e,i)
分析问题
以u，i为基 本物理量
给定激励(e,i) 求响应(u,i)
电磁场分析：
实际电磁装置中的电磁 现象和过程
理想化假设 电磁场的物理模型
电磁场的物理模型：
• 连续媒质的场空间(,,
入关于电荷平滑的平均密度函数概念，即以电荷密度 分布的方式来给定带电体的电荷量。
取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式：
▪ 体电荷密度（volume charge density）
r lim q r d q r C3/m V 0 V d V
▪ 面电荷密度（surface charge density）
1.1.3 媒质的电磁性能参数
反映媒质在电场作用下的极化性能——介电常数 (F/m)
反映媒质在电场作用下的导电性能——电导率 (1/m=S/m)
反映媒质在磁场作用下的磁化性能——磁导率 (H/m)
C
R
L
真空（自由空间）中电磁性能的特征参数
036 1 10-98.854 10-12 F /m
en
若矢量场 F ( r ) 分布于空间中，在
工程电磁场第一章
工程电磁场第一章
63
２．源点与场点 场是由场源产生的。场源所在的空间位置称为源点。空间位置上除了定义场量外，也
可以定义场源。这样，可以把空间的点表示为场点和源点。 源点 Ｐ′用坐标（ｘ′，ｙ′，ｚ′）表示，也可以用位置矢量ｒ′表示；场点 Ｐ 用坐标
（ｘ，ｙ，ｚ）表示，也 可 以 用 位 置 矢 量ｒ 表 示。 由 源 点 到 场 点 的 距 离 矢 量 用 Ｒ 表 示。 根据矢量代数关 系 可 知，Ｒ＝ｒ－ｒ′。 矢 量 Ｒ 的 模 Ｒ ＝｜ｒ－ ｒ′｜，矢 量 Ｒ 对 应 的 单 位 矢 量
A(x,y,z（) 矢量场）；
时变场：物理系统的状态不仅按空间分布，还随时间变化，即场的
分布是动态的；
记为 (x,y,z,t（) 标量场）和 A(x,y,z,t（) 矢量场）；
工程电磁场第一章
61
场中的每一点都对应着一 个 物 理 量----场 量 的 值。 场 量 为 标 量 的 场 称 为 标 量 场，如温度场、能量场、电位场等。 场量为矢量的场 称为 矢 量 场，如 速 度 场、力 场、电 场 和 磁场等。
44
刘鹏程主编《工程电磁场简明手册》
工程电磁场第一章
45
王泽忠、全玉生、卢斌先编著《工程电磁场》
工程电磁场第一章
46
Ansoft Maxwell
Ansoft公司的Maxwell 是一个功能强大、结果精确、易于使用的二 维/三维电磁场有限元分析软件。包括静电场、静磁场、时变电 场，时变磁场，涡流场、瞬态场和温度场计算等，可以用来分 析电机、传感器、变压器、永磁设备、激励器等电磁装置的静 态、稳态、瞬态、正常工况和故障工况的特性。
工程电磁场第一章
绝缘子电位分布图
工程电磁场第一章
麦克斯韦方程组
描述电磁场基本规律的方程组，包括安培环路定 律、法拉第电磁感应定律等。
电磁感应
当磁场发生变化时，会在导体中产生电动势，这 种现象被称为电磁感应。
光速
电磁波在真空中的传播速度为光速，用c表示。
电磁波
电磁波的定义
电磁波的传播速度
电磁波是由振荡的电场和磁场相互激发而 传播的波。
电磁波在真空中的传播速度与光速相同，约 为3×10^8米/秒。
电磁波的分类
电磁波的应用
根据频率的不同，电磁波可以分为无线电 波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射 线和伽马射线等。
电磁波在通信、雷达、导航、医疗等领域 有着广泛的应用。
03
电磁场的数学模型
麦克斯韦方程组
02
01
03
描述了电场和磁场之间的动态关系。
由四个基本方程构成：安培环路定律、法拉第电磁感 应定律、高斯电通定律和高斯磁通定律。
电磁场的分类
02
01
03
按产生方式分类
自然电磁场、人工电磁场。
按频率分类
低频电磁场、高频电磁场。
按空间形态分类
均匀电磁场、非均匀电磁场。
电磁场的应用
01
电力工业
02
电子技术
03 交通运输
04
军事领域
环境监测
05
发电、输电、配电等。 无线通信、雷达、导航、广播等。 铁路、航空、航海等。 雷达侦察、通信、电子对抗等。 电磁辐射检测、电磁污染控制等。
在此添加您的文本16字
柱面波的传播特性适用于微波传输和天线等领域。
THANK YOU
感谢聆听
包括电场和磁场的初始分布、初 始值等参数。
在解决电磁场问题时，初始条件 是重要的约束条件之一，它决定 了电磁场的初始状态和发展趋势。
描述电磁场基本规律的方程组，包括安培环路定 律、法拉第电磁感应定律等。
电磁感应
当磁场发生变化时，会在导体中产生电动势，这 种现象被称为电磁感应。
光速
电磁波在真空中的传播速度为光速，用c表示。
电磁波
电磁波的定义
电磁波的传播速度
电磁波是由振荡的电场和磁场相互激发而 传播的波。
电磁波在真空中的传播速度与光速相同，约 为3×10^8米/秒。
电磁波的分类
电磁波的应用
根据频率的不同，电磁波可以分为无线电 波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射 线和伽马射线等。
电磁波在通信、雷达、导航、医疗等领域 有着广泛的应用。
03
电磁场的数学模型
麦克斯韦方程组
02
01
03
描述了电场和磁场之间的动态关系。
由四个基本方程构成：安培环路定律、法拉第电磁感 应定律、高斯电通定律和高斯磁通定律。
电磁场的分类
02
01
03
按产生方式分类
自然电磁场、人工电磁场。
按频率分类
低频电磁场、高频电磁场。
按空间形态分类
均匀电磁场、非均匀电磁场。
电磁场的应用
01
电力工业
02
电子技术
03 交通运输
04
军事领域
环境监测
05
发电、输电、配电等。 无线通信、雷达、导航、广播等。 铁路、航空、航海等。 雷达侦察、通信、电子对抗等。 电磁辐射检测、电磁污染控制等。
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包括电场和磁场的初始分布、初 始值等参数。
在解决电磁场问题时，初始条件 是重要的约束条件之一，它决定 了电磁场的初始状态和发展趋势。
工程电磁场原理_倪光正_第一章
G el G cos(G, el ) l cos(G, el ) 1 G l max
grad G ex ey ez x y z ex ey ez x y z
纳布拉算子
grad ex ey ez x y z
1.2.2 矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector Field 通量： 对于一个矢量场 F ( x, y, z ) ，通过空间某一曲面的 通量为矢量场对该曲面的面积分。
F ( x , y , z ) dS
S
F ( x, y, z ) dS
给定激励(e,i) 求响应(u,i)
电磁场分析：
实际电磁装置中的电磁 现象和过程
理想化假设
电磁场的物理模型
电磁场的物理模型： 分析问题 连续媒质的场空间 (,, 及其相应的几何结构) 以 E、B、D、H 为 理想化的场源(q,i) 基本物理量(场量)
给定源量 (q,i), 求场 分布( E、B、D、H )
S
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
0
(有正源)
0
(无源)
0
(有负源)
矢量场的散度：
V
(1)有无电荷？
P
(2)在该点的电荷分布的密度 ？
S
数学上的处理方法：
将 S 向 P 点收缩，即令其所界定的体积 V→0（物 理无限小），而求穿过该微小表面 S 的 D 通量与 V 比 值的极限，即
x 2 x0 , y0 , z0
Dx x x Dx x0 2 , y0 , z0 Dx x0 2 , y0 , z0 yz x xyz
《工程电磁场》课程复习要点
《工程电磁场》课程复习要点
课程名称：《工程电磁场》
适用专业：2017级电气工程及其自动化（专升本）
辅导教材：倪光正编著，《工程电磁场原理》（第三版），高等教育出版社，2016年
复习要点：
第一章绪论
1.1 电磁现象
1.2 电磁场理论的建立
第二章电磁场的数学物理基础
2.1 矢量分析
2.2 电磁场物理模型的构成
2.3 场论基础
2.4 麦克斯韦方程组
第三章静态电磁场I；静电场
3.1 基本方程与场的特性
3.2 自由空间中的电场
3.3 导体和电介质
3.4 电介质中的电场
3.5 边值问题
3.6 镜像法
3.7 电容•部分电容
3.8 静电场能量
第四章静态电磁场II：恒定电流的电场和磁场4.1 恒定电场的基本方程与场特性
4.2 恒定电场与静电场的比拟、接地系统
4.3 恒定磁场的基本方程与场特性
4.4 自由空间中的磁场
4.5 媒质中的磁场
4.6 电感
4.7 磁场能量
第五章动态电磁场与电磁波
5.1 动态场的基本方程与边界条件；
5.2 时谐电磁场
5.3 电磁场能量、坡印廷定理
5.4 电磁位
5.5 准静态电磁场
5.6 电磁辐射
教学方式与考核方式：
教学方式：面授辅导、平时作业、小论文写作考核方式：考勤、作业和开卷考试。
工程电磁场原理 倪光正 第一节
质：
0
(有正源)
0
(无源)
0
(有负源)
矢量场的散度：
V
(1)有无电荷？
P
(2)在该点的电荷分布的密度 ？
S
数学上的处理方法：
将 S 向 P 点收缩，即令其所界定的体积 V→0（物 理无限小），而求穿过该微小表面 S 的 D 通量与 V 比 值的极限，即
定义 B
dF max
dqv
T , Wb/m
• dF 洛仑兹力 • dF v • dF 方向，由 v B 决定
(2)安培力公式 dF I dl B
C/m 2
电位移矢量 D E
磁场强度 H
B
A/m
1.1.3 媒质的电磁性能参数
l
P
x 2y 1 2 1 2 2 2
(1,1,1)
P x y z (2 x) 2 (2 y ) 2 (1) 2
(1,1,1)
2
2
2
3
显然，梯度 P描述了P点处标量点函数 的最大变化率， 即系最大方向导数，故 ， 恒成立。 P l P
P
cos ex cos ey cos ez 2 xex 2 yey ez
(2 x) 2 (2 y ) 2 (1) 2
(1,1,1)
2 ex 2 e y 1 ez 3 3 3
(2)
G el l 1 2 1 (2 xex 2 yey ez ) ex ey ez 2 2 2 x 2y 1 2
0
(有正源)
0
(无源)
0
(有负源)
矢量场的散度：
V
(1)有无电荷？
P
(2)在该点的电荷分布的密度 ？
S
数学上的处理方法：
将 S 向 P 点收缩，即令其所界定的体积 V→0（物 理无限小），而求穿过该微小表面 S 的 D 通量与 V 比 值的极限，即
定义 B
dF max
dqv
T , Wb/m
• dF 洛仑兹力 • dF v • dF 方向，由 v B 决定
(2)安培力公式 dF I dl B
C/m 2
电位移矢量 D E
磁场强度 H
B
A/m
1.1.3 媒质的电磁性能参数
l
P
x 2y 1 2 1 2 2 2
(1,1,1)
P x y z (2 x) 2 (2 y ) 2 (1) 2
(1,1,1)
2
2
2
3
显然，梯度 P描述了P点处标量点函数 的最大变化率， 即系最大方向导数，故 ， 恒成立。 P l P
P
cos ex cos ey cos ez 2 xex 2 yey ez
(2 x) 2 (2 y ) 2 (1) 2
(1,1,1)
2 ex 2 e y 1 ez 3 3 3
(2)
G el l 1 2 1 (2 xex 2 yey ez ) ex ey ez 2 2 2 x 2y 1 2
工程电磁场导论第一章2
注意
根据电荷守恒原理，极化电荷旳总和为零
V ' PdV 'S ' P endS ' 0
电介质均匀极化时，极化电荷体密度
p 0
比较导体和介质旳性质能够得出：
电场对导体旳影响是引起静电场感应产生感应电荷；电 场对介质旳影响是引起介质极化，产生极化电荷；
感应电荷在导体内产生旳电场抵消外电场，使导体内电场 为零；极化电荷在介质内产生旳电场只是减弱外电场；
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第一章
2.泊松方程与拉普拉斯方程
Equation and Laplace’s Equation)
静电场
(Poisson’s
E 0
E
D E E E
2
泊松方程
当 =0时
2 0
拉普拉斯方程
2
拉普拉斯算子
2 2 2 2 x2 y2 z2
EE
有极性分子
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第一章
静电场
电介质性质： 电介质在外电场作用下发生极化，形成有向排列；
电介质内部和表面产生极化电荷 (polarized charge)；
极化电荷与自由电荷一样是产生电场旳源，从而引起原 电场旳变化。
③ 极化强度P ( polarization intensity )
表达电介质极化程度旳量，定义：
例 试写出长直同轴电缆中静电场旳边值问题。
解根据场分布旳对称性拟定 计算场域，边值问题
缆心为正方形旳
2 2 2 0
x2 y 2 （阴影区域）
U ( xb,0 yb及yb,0 xb )
0 ( x2 y 2 a2 , x0, y0)
x 0 ( x0,b ya )
y 0 ( y0,b xa ) 上页
电磁场原理课教案
课程教案（按章编写）课程名称：电磁场原理适用专业：电气工程及自动化年级、学年、学期：2年级，学年第二学期教材：《电磁场原理》，俞集辉主编，重庆大学出版社，2007.2参考书：《工程电磁场导论》，冯慈璋主编，高等教育出版社2000年6月《电磁场与电磁波》第三版，谢处方、饶克谨编，赵家升、袁敬闳修订，高等教育出版社1999年6月第三版《工程电磁场原理》倪光正主编，，高等教育出版社，2002《电磁场》雷银照编，高等教育出版社2008年6月《Electromagnetic fields and waves》Robert R. G. 等编著,HigherEducation Press, 2006任课教师：汪泉弟俞集辉何为李永明张淮清杨帆徐征编写时间：2010年1月学时分配：矢量分析：6学时；静电场：12学时；恒定电场：4学时；恒定磁场：10学时；时变场：12学时；平面电磁场：8学时；导行电磁波：6学时；电磁能量辐射与天线：6学时。
第1章矢量分析一、教学目标及基本要求1.通过课程的介绍，知道“电磁场原理”课程的学习内容、作用；课程的特点、已具有的基础；学习的重点、难点和解决的办法；教材、参考书和教学时间安排；本课程学习的基本要求等等。
2.对矢量分析章节的学习，要建立起标量场和矢量场的概念，掌握梯度、散度和旋度等“三度”运算，以及此基础上的场函数的高阶微分计算。
3.掌握矢量的基本运算法则和相应的微分、积分方法，学会按矢量场的散度和旋度分析场的基本属性。
4.掌握矢量微分算符的基本应用以及高斯散度定理和斯托克斯定理，了解场的赫姆霍兹定理、两个特殊积分定理的推导和圆柱坐标系与球坐标系中矢量微分算符的情况。
二、教学内容及学时分配1.1矢量代数与位置矢量（0.5学时）1.2标量场及其梯度（1学时）1.3矢量场的通量及散度（1学时）1.4矢量场的环量及旋度（1学时）1.5场函数的高阶微分运算（1学时）1.6矢量场的积分定理（0.5学时）1.7赫姆霍兹定理（0.5学时）1.8圆柱坐标系与球坐标系（0.5学时）三、教学内容的重点和难点重点1.场概念的建立2.标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的定义及计算。
相关主题
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Ñ H gdl Hx1gdl1 Hx2 gdl2 Hx3gdl3 Hx4 gdl4
l
l1
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Hx1x H y2y Hx3 x H y4 y
H
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(1,1,1)
3
显然，梯度 描述了P点处标量点函数 的最大变化率，
P
即系最大方向导数，故
，l 恒 成立P。
P
1.2.2 矢量场的通量与散度
Flux and Divergence of Vector Field
Evrv lim Fvrv N/C, V/m
q qt 0
t
• 试体电荷 qt >0 (正电荷) • 试体电荷几何尺寸很小(“点”特性的描述) • 试体电荷电量很小，不足以影响所研究的电场分布
2.磁感应强度 B（magnetic field induction）
(1)洛仑兹力
dF
x
evx
y
evy
z
evz
v
v
div D • D
➢ 散度定理
vv
v
Ñ F • dS • FdV
S
V
高斯定理
▪ 建立了某一空间中的场与包围该空间的边界场之间 的关系。
▪ 矢量函数的面积分与体积分的相互转换。
1.2.3 矢量场的环量与旋度
Circulation and Curl of Vector Field
V P
S
(1)有无电荷？
(2)在该点的电荷分布的密度 ？
数学上的处理方法：
将 S 向 P 点收缩，即令其所界定的体积v V→0（物理 无限小），而求穿过该微小表面 S 的 通D 量与 V 比值
的极限，即
vv
lim
Ñ D • dS
S
lim
q
V 0 V
V 0 V
➢ 通量： v
对于一个矢量场 F (x, y，, z通) 过空间某一曲面的通量 为矢量场对该曲面的面积分。
v
v
F(x, y, z)gdS
S
v
v
Ñ F(x, y, z)gdS
S
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
0
(有正源)
0
(无源)
0 (有负源)
➢ 矢量场的散度：
2 3
evx
2 3
evy
1 3
evz
(2)
l
Gvgevl
(2xevx
2 yevy
evz
)g
1 2
evx
2 2
evy
1 2
evz
x
2
y
1 2
l
x
2
y
1 2
P
(1,1,1)
1
2 2
2
P
x
2
evy
y
evz
z
纳布拉算子
grad
evx
x
evy
y
evz
z
梯度的意义： ▪ 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。
▪ 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即
最大方向导数。
▪ 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。
例1.1 电位场的梯度
电位场的梯度
➢ 直角坐标系下旋度( curl)的Hv 表达式： ▪ 设场量 Dv仅为空间坐标的函数； ▪ 为简便起见，围绕 P 点在 xOy 平面上作一很小的矩 形积分回路，如图所示。
v curl H 表达式的推导用图
curl
v H
RCS
(curl
v H )x
evx
(curl
v H)y
evy
(curl
➢ 环量：
矢量场
v F(
x沿, y空, z间) 有向闭合曲线的线积分。
v
v
Ñ F(x, y, z) • dl
l
环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋 势的大小。
无旋
有旋
➢ 矢量场的旋度：
v Jn
v J
S
v dS
v
l
Jt
P x0 , y0 , z0
v H
l
Jv线
H • dl i
➢ 直角坐标系下散度( div)D的v 表达式： ▪ 设场量 Dv仅为空间坐标的函数；
▪ 不失一般性，令包围 P 点的微体积 V 为一直平行 六面体，如图所示。
z
V
Dz Dz
Dx Dx S
Dy Dy
Dy Dy
z
P x0 , y0 , z0
x
y
O Dx Dx
S
vv J gdS
定义一个与电流相关的点函数，作为产生场效应的源 量，体电流密度(简称电流密度) 矢J量点函数：
方向：正电荷运动的方向
v 大小： J lim
i di
A/m2
S Sn 0
n
dSn
1.1.2 场量
对应于电场和磁场效应的两个基本场量( E、 )B
1.电场强度 E（electric field intensity）
设一个标量函数 (x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点 P 沿任意方向 的lv方向导数为
x y z
l x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
v G
evx
x
evy
y
evz
z
evl evx cos evy cos evz cos
l
Gvgevl
G
v c
evl
)
1
l
max
G
grad
v G
evx
x
evy
y
evz
z
evx
x
y0
H x y
y 2
x0 , y0
同理
H
y2
Hy
x0 ,
y0
H y x
x 2
x0 , y0
Hx3
Hx
x0,
y0
H x y
y 2
x0 , y0
H
▪ 电位场的梯度与过该点的等 位线垂直；
▪ 数值等于该点的最大方向导 数；
▪ 指向电位增加的方向。
例1.2 设一标量点函数 (rv) (x, y, z) x2 y2 z
描述了空间标量场。试求：
(1) 该点函数 在点P(1, 1, 1) 处的梯度，以及表示该梯度
方向的单位矢量；
L
L
Dx
x0 , y0 , z0
Dx
x
x 2 x0 , y0 ,z0
Dx
x0
x 2
,
y0
,
z0
Dx
x0 , y0 , z0
Dx
x
x 2 x0 , y0 ,z0
Dx
x0
x 2
,
y0 ,
z0
Dx
r lim qr dqr
S0 S
dS
C/m2
▪ 线电荷密度（line charge density）
r lim qr dqr C/m
l0 l
dl
2.电流 i（current）
i
dq dt
Dz Dz
y
x
v
div D 表达式的推导用图
Dx
x0
x 2
,
y0
,
z0
Dx
x0
,
y0
,
z0
Dx
Dx
x0 , y0 , z0
Dx
x
x 2 x0 , y0 ,z0
1 2!
2 Dx x2
x0 , y0 ,z0
x 2
2
evn
v J
max
vv
H • dl
Ñ v
curl H lim l n S0 S
Jn
▪
旋度
curl
v H
是一矢量；
▪ 旋度的方向和环量积分路径循行的方向满足右螺旋定 则，并和获得最大环量位置的面元的法线方向( ev)n相一 致；
▪ 矢量的旋度值与所选择的坐标系无关，但若以该矢量 的分量形式来表示其旋度时，则数学表达式各异。