高等数学1.3 条件概率与独立性

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条件概率和独立性的定义及应用

条件概率和独立性的定义及应用概率论是数学中的一个重要分支，它通过统计实验的方法，研究不同事件之间的关系和可能性。

在概率论中，条件概率和独立性是两个基本概念，它们在实际生活和各个领域的应用非常广泛。

本文将从定义和应用两个方面，详细介绍条件概率和独立性的概念以及它们在实际问题中的运用。

一、条件概率的定义和应用条件概率是指在某个条件下，事件发生的概率。

在概率论中，用P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

条件概率的计算方法是通过已知事件B发生的前提下，计算事件A发生的概率。

条件概率的应用非常广泛，例如，在医学领域中，通过已知病人某种症状的情况，可以计算出患上某种疾病的概率；在金融领域中，通过已知市场某种情况下，股票涨跌的概率可以得出。

条件概率的应用可以帮助我们更加准确地评估事物发生的可能性，提高决策的准确性。

二、独立性的定义和应用独立性是指两个事件之间相互独立，也就是说一个事件的发生不受另一个事件发生与否的影响。

在概率论中，事件A和事件B是相互独立的，当且仅当P(A|B) = P(A)和P(B|A) = P(B)成立。

独立性在实际问题中的应用也非常广泛。

例如，在抛硬币实验中，每次抛硬币的结果是独立的；在生产线中，如果某个部件的质量独立于其他部件，那么整个产品的质量也可以看作是独立的。

独立性的应用可以简化问题的复杂度，提高计算的效率。

三、条件概率和独立性的应用案例为了更好地理解条件概率和独立性的应用，以下将给出两个具体的案例：案例一：选书问题小明喜欢读书，他所喜欢的图书馆有A、B、C、D四个区域，每个区域的图书数量和种类都不相同。

已知小明喜欢科幻小说的概率为P(A) = 0.4，而在A区域中寻找到科幻小说的概率为P(B|A) = 0.6。

问小明在A区域找到科幻小说的条件下，其喜欢科幻小说的概率是多少？根据条件概率的定义，我们可以计算出P(A|B) = P(B|A) * P(A) /P(B)。

条件概率与事件的独立性

P( AB)
P( A)
16 11
4 11
16
变式:若已知取得是玻璃球,求取得是篮球的概率.
4
P(A| B)
P( AB)
P(B)
16 6
4 6
16
例3.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
∴P(A·B)=P(A)·P(B)=0.8×0.7=0.56
⑶1–P(A·B)=1-P(A)·P(B)=1-(1-0.8)(1-0.7)=0.94
⑷P(A·B)+P(A·B)=P(A)P(B)+P(A)P(B) =0.8(1-0.7)+(1-0.6)×0.7=0.38
答：两粒种子都能发芽的概率是0.56；至少有一粒种子能发芽的概率是0.94；恰好有一粒种子能发芽的概率是0.38
P(A |
B)
P( AB) P(B)
52 1
1 13
P(A)
4
P(A | B) P(A)
P( AB) P( A) P(B)
B发生时A发生的条件概率
A发生的概率
P(AB) P(A)P(B)
则称A，B相互独立
相互独立事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件
中一等奖的概率为多少？
P
1
C
7 31
（2）如果在甲没有中一等奖后乙去买彩票，
则乙中一等奖的概率为多少？
P
1
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
7 31
2．一个袋子中有5个白球和3个黑球，从袋中分两次取出2个球。设第1次取出的球是白球叫做事件A，第2次取出的球是白球叫做事件B。

高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定

高中数学概率计算中的条件概率与独立性判定概率是数学中一个重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。

在概率计算中，条件概率与独立性判定是两个重要的考点，它们在解题过程中起着至关重要的作用。

本文将围绕这两个概念展开讨论，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧。

一、条件概率的概念和计算方法条件概率是指在已知某个条件下，另一个事件发生的概率。

常用的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

例如，某班学生中有30%的人会打篮球，其中男生占总人数的40%，女生占总人数的60%。

现在从该班级中随机抽取一个学生，已知这个学生会打篮球，求这个学生是男生的概率。

解题思路：设事件A表示所抽取的学生是男生，事件B表示所抽取的学生会打篮球。

根据已知条件可知，P(A) = 40%，P(B) = 30%，P(A∩B) = P(B|A) * P(A) = 0.3 * 0.4 = 0.12。

根据条件概率的计算公式可得到所求概率：P(A|B) = P(A∩B) / P(B) = 0.12 / 0.3 = 0.4。

通过这个例子，我们可以看出条件概率在解题中的重要性。

在实际应用中，条件概率常常用于处理复杂的情况，如疾病的诊断、市场调研等领域。

二、独立性判定的概念和判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否不相互影响。

如果事件A和事件B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) * P(B)。

否则，事件A和事件B是相关的。

例如，某班学生中有80%的人喜欢音乐，70%的人喜欢阅读，已知喜欢音乐的学生中有60%的人也喜欢阅读。

问喜欢音乐和喜欢阅读这两个事件是否独立？解题思路：设事件A表示喜欢音乐，事件B表示喜欢阅读。

根据已知条件可知，P(A) = 80%，P(B) = 70%，P(A∩B) = 60%。

条件概率及独立性

1.3条件概率与独立性East China University of Science And TechnologyEast China University of Science And Technology1.3.1 条件概率, 乘法公式条件概率──考虑事件A 已发生的条件下,事件B 发生的概率。

1. 条件概率定义East China University of Science And Technology引例袋中有7只白球, 3只红球, 白球中有4只木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球, 问它是木球的概率是多少？设A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。

记为.()A B PEast China University of Science And Technology 解列表()74=A B P ()(|)()P AB P B A P A =白球红球小计木球426塑球314小计73104/107/10=而47(),()1010P AB P A ==P B A P AB P A (|)()()=恒成立吗？?East China University of Science And Technology定义给定一个随机试验, Ω是它的样本空间,对于任意两个事件A,B, 其中P (A )>0, 称为在已知事件A 发生的条件下, 事件B 的条件概率.()(|)()P AB P B A P AEast China University of Science And Technology概率P (B|A)与P (AB)的区别与联系联系：事件A ，B 都发生了.区别：（1）在P (B |A )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，A 先B 后；在P (AB ）中，事件A ，B 同时发生。

《条件概率与独立性》课件

卡方检验法
卡方检验法是一种基于概率分布的统计方法，通过计算观测值和理论值之间的偏差程度来检验独立性。
条件概率与独立性的应用
金融市场预测
条件概率和独立性等概率理论方法常用于分析和预测金融市场趋势、股票涨跌等。
医学诊断
条件概率和独立性等概率理论方法常用于医学诊断中的病例分析和风险评估。
药物研发
计算条件概率
1

先决概率
先决概率是指在给定先决条件的情况下，某个事件的概率。
2
全概率公式
全概率公式是计算条件概率的关键公式之一。
3
贝叶斯公式
贝叶斯公式是计算后验概率的重要工具，常用于医疗、金融领域中的决策分析。
独立性的判定
十字乘法判定法
十字乘法判定法是使用最常见的一种方法，它通过直觉理解就可以判断两个事件之间是否独立。
条件概率和独立性等概率理论方法可以帮助科学家系统地评估新药物的效果和安全性。
练习与总结
本节将提供练习题目，让你进一步巩固和应用所学知识，并对整个课程的内容进行回顾和总结。
条件概率与独立性
本课程以深入浅出的方式介绍了条件概率与独立性的概念、计算方法、判定准则以及应用场景，并提供实例和练习，帮助你快速掌握这一重要知识点。
条件概率的定义
什么是条件概率？
条件概率指在某个条件下某一事件发生的概率，常用于计算和预测。
如何计算条件概率？
根据公式P(A|B)=P(AB)/P(B)，通过分析样本空间，可以用不同的方法计算条件概率。
为什么条件概率有用？
条件概率常用于实际应用场景中，例如医学诊断、金融风险评估、市场预测等。
独立性的概念
1 什么是独立性？

大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性

大学数学易考知识点概率论的条件概率与独立性大学数学易考知识点：概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中一个重要的分支，研究事物发生的可能性。

在大学数学的学习中，概率论是一个比较常见的考点。

其中，条件概率与独立性是概率论中的两个基本概念。

本文将详细介绍条件概率与独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A|B)表示事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率；P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算可以通过实际问题的转化来帮助理解。

例如，某班级有60%的男生和40%的女生，已知班级中80%的学生喜欢数学。

现在要求已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率。

根据条件概率的计算公式，我们可以得到：P(喜欢数学|男生) = P(喜欢数学∩男生) / P(男生)由于已知喜欢数学的学生占总人数的80%，而男生占总人数的60%，则有：P(喜欢数学|男生) = (0.8*0.6) / 0.6 = 0.8所以，在已知一位学生是男生的条件下，他也喜欢数学的概率为0.8。

条件概率的计算方法对于实际问题的解决非常有用。

通过合理的条件划分，我们可以计算出各种条件下的概率，从而更好地理解和解决问题。

二、独立性在概率论中，独立性是指两个事件的发生与否互相不影响。

具体而言，事件A与事件B相互独立的条件为：P(A|B) = P(A)P(B|A) = P(B)即事件A发生的概率与事件B发生与否无关，事件B发生的概率与事件A发生与否无关。

两个独立事件的条件概率相等于事件的边际概率。

例如，某扑克牌中共有52张牌，我们从牌中随机抽取一张，记录下此牌的花色，然后将此牌放回。

再次从牌中随机抽取一张，记录下此牌为红桃。

问第一次所抽取的牌为红色的概率是多少？根据题意，第一次所抽取的牌为红色的概率为1/2，因为扑克牌中共有52张牌，其中红色牌有26张。

条件概率、独立性

18
19
(1) 由全概率公式得
(2) 由贝叶斯公式得
20
事件的独立性
定义 2 若两事件 A, B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 与 B 相互独立。

定理 3 若 P ( A ) 0 ，则事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 P ( B | A) P ( B ) ；若 P ( B ) 0 ，则事件 A 与 B 相互独立的充分必要条件是 P ( A | B ) P ( A) 。
种，且它们是两两互不相容的，
k k nk P ( k ) P ( B ) C p ( 1 p ) 所以 n k n
k 0,1,2,, n
由于恰好是按二项公式展开时的各项，所以上述
公式称为二项概率公式。
40
41
例甲、乙两名棋手进行比赛，已知甲的实力较强，每盘棋获胜的概率为 0.6 ，假定每盘棋的胜负是相互独立的，且不会出现和棋。试求在下列三种情形下甲最终获胜的概率。（1）采用三盘比赛制；（2）采用五盘比赛制。
13
14
15
例:用甲胎蛋白法普查肝癌。令C={被检验者患肝癌 }，A={甲胎蛋白检验结果为阳性}，则 C ={被检验者未患肝癌}
A ={甲胎蛋白检验结果为阴性}
由过去的统计资料已知

P( A | C ) 0.95
P( A | C ) 0.90

又已知某地居民的肝癌发病率为P(C)=0.0004. 在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人求这批人中真的患有肝癌的概率。
。
解设因事件，A，B，C两两相互独立，则
54
即
因
故

13条件概率及事件的独立性

定义1.3.1 则称
设 A, B 是的两个随机事件，且 P( B) 0,
P( AB) P( A B) P( B)
为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。
性质
0 P( A B) 1
P( A B) P( A B) 1
各有红、白两色，例2 一盒中混有100只新、旧乒乓球，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白 30 10
(2) 事件A与事件B相互对立； (3) 事件A与事件B不相互独立；
(4) 事件A与事件B相互独立；
例11. 从一付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令 A={抽出一张K}, B={抽出一张黑桃},问A与B是否独立?
1 解: P A , P B , P AB 1 , 1 1 C52 C52 C52
第三节
条件概率及事件的相互独立性
一、条件概率和乘法公式
第一章
二、全概率公式和Bayes公式三、事件的相互独立性
§1.3.1 条件概率和乘法公式
在实际问题中，除了要知道事件 A 发生的概率 P(A) 外，有时还要考虑“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发
生的概率”，这个概率记作 P(A|B)。由于增加了条件“事件B 已经发生”，所以一般说来，P(A|B) 和 P(A) 不同。称P(A|B) 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的条件概率。
C 4 P( A | B1 ) C 5 由Bayes公式: P( B1 ) P( A | B1 ) P( B1 | A) 2 0.0848 P( Bi ) P( A | Bi )
i 0
4 19 4 20

条件概率与事件的独立性

条件概率与事件的独立性概率论中的条件概率和事件的独立性是两个基本概念，它们在统计学、机器学习等领域中具有重要的应用。

条件概率用于描述在给定另一个事件发生的条件下，某个事件发生的概率；而事件的独立性则描述了两个或多个事件之间的相互独立性。

在本文中，我们将深入探讨条件概率与事件的独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率条件概率是在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

用数学符号表示为P(A|B)，读作"A在B发生的条件下发生的概率"。

其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的概念在实际问题中广泛应用。

例如，假设一批产品中有10%的次品，现在从这批产品中随机抽取一件，已知这件产品是次品，求其实际上是某个特定厂家生产的概率。

这个问题就可以利用条件概率来求解，假设事件A表示该产品是某个特定厂家生产的事件，事件B表示这件产品是次品的事件，那么我们需要求解的就是P(A|B)。

二、事件的独立性事件的独立性是指两个或多个事件之间的发生没有相互影响，即一个事件的发生与否不会改变其他事件发生的概率。

具体地，对于两个事件A和B，如果满足以下条件，则称事件A和事件B是相互独立的：P(A∩B) = P(A) * P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。

事件的独立性在概率论中具有重要的应用。

例如，假设有两个骰子，求它们同时投掷时出现两个特定数字的概率。

我们可以将出现某个特定数字的事件定义为事件A和事件B，利用事件的独立性可以得到P(A∩B) = P(A) * P(B)。

三、条件概率与事件的独立性的关系条件概率与事件的独立性之间存在着紧密的联系。

如果事件A和事件B相互独立，那么有以下关系成立：P(A|B) = P(A)这表示在已知事件B发生的条件下，事件A的发生概率与事件B无关。

大学概率论的条件概率与独立性

大学概率论的条件概率与独立性概率论是数学的一个重要分支，用于研究随机现象和随机事件的规律性。

在大学的概率论课程中，我们学习了许多基本概念和理论。

其中，条件概率和独立性是概率论中重要的概念，对于理解和应用概率论具有重要意义。

一、条件概率条件概率是指在某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

设A和B是两个事件，且P(B)>0，则在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记为P(A|B)，表示为“A在B发生的条件下发生的概率”。

计算条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)这个公式可以从概率的定义来推导。

根据概率的性质，我们可以得到以下重要性质：性质1：对于任何事件A和B，有P(A∩B) = P(A|B) × P(B)性质2：如果事件A和B相互独立，那么P(A|B) = P(A)，P(B|A) = P(B)条件概率的概念和性质为我们研究随机事件之间的联系提供了很好的工具。

在实际问题中，条件概率常常用于解决一些复杂的概率计算问题。

二、独立性独立性是概率论中另一个重要的概念，指的是两个事件的发生不受对方的影响。

设A和B是两个事件，如果P(A∩B) = P(A) × P(B)，则称事件A和B是相互独立的。

在独立性的定义下，我们有以下性质：性质1：如果事件A和B相互独立，则P(A|B) = P(A)，P(B|A) =P(B)性质2：如果事件A和B相互独立，则事件A与B的补事件也相互独立。

性质3：如果事件A和B相互独立，则事件A与B的并事件、交事件以及差事件也相互独立。

独立性是概率论中非常重要的概念，它能够帮助我们简化概率计算过程，提高问题的求解效率。

三、条件概率与独立性的关系在一般情况下，条件概率与独立性是两个不同的概念。

然而，在特殊情况下，条件概率和独立性之间存在着紧密的联系。

具体来说，对于两个事件A和B，如果P(B)>0，以下两个命题等价：命题1：事件A和B相互独立。

概率问题的条件概率与独立性

概率问题的条件概率与独立性概率论是数学的一个分支，研究随机事件的发生及其规律性。

在概率论中，条件概率与独立性是两个重要的概念。

本文将详细讨论条件概率与独立性的概念、性质以及应用。

一、条件概率的概念与计算方法条件概率是指在已知某一事件发生的前提下，另一事件发生的概率。

设A、B是两个事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的概率记为P(B|A)，读作“在A发生的条件下B发生的概率”。

条件概率的计算方法如下：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

二、条件概率的性质1. 乘法定理：对于任意两个事件A和B，有P(A∩B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)。

2. 独立事件的条件概率：对于独立事件A和B，有P(B|A) = P(B)，P(A|B) = P(A)，即事件A的发生与否不影响事件B的概率，反之亦然。

三、独立性的概念与判定方法独立性是指两个事件之间的发生与否相互独立，即一个事件的发生不受另一个事件的影响。

设A、B是两个事件，如果满足P(A∩B) =P(A) × P(B)，则称事件A和事件B是独立事件，简写为A⊥B。

判定事件的独立性可以通过以下方法：1. 乘法法则：若P(A) × P(B) = P(A∩B)，则可以推断A与B是独立事件。

2. 条件概率的性质：若P(B|A) = P(B)，则A与B是独立事件。

四、条件独立性的概念与判定方法条件独立性是指在已知某一条件的前提下，两个事件之间仍然相互独立。

设A、B、C是三个事件，若满足P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则称事件A和事件B在条件C下是条件独立的，简写为A⊥B|C。

我们可以通过以下方法判断事件的条件独立性：若满足P(A∩B|C) = P(A|C) × P(B|C)，则可以推断在条件C下事件A 与事件B是条件独立的。

概率论中的条件概率与独立性

概率论中的条件概率与独立性概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律及其可能性大小。

在概率论中，条件概率与独立性是两个基本概念，它们在解决实际问题中起着重要作用。

一、条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率。

条件概率的计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率的计算方法可以通过实际问题进行理解。

例如，某班级中男生占总人数的60%，女生占总人数的40%。

已知某学生是男生的条件下，他退学的概率为5%；已知某学生是女生的条件下，她退学的概率为8%。

现在要求某个学生退学的概率，可根据条件概率公式计算：P(退学) = P(退学|男生) * P(男生) + P(退学|女生) * P(女生)= 0.05 * 0.6 + 0.08 * 0.4= 0.03 + 0.032= 0.062因此，某学生退学的概率为6.2%。

二、独立性独立性是指两个事件A和B，事件A的发生与否不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。

如果事件A和事件B相互独立，那么它们的概率满足以下条件：P(A∩B) = P(A) * P(B)即事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。

独立性的概念在实际问题中应用广泛。

例如，某班级中有60%的学生喜欢音乐，40%的学生喜欢运动。

已知某学生喜欢音乐的条件下，他喜欢运动的概率为50%；已知某学生喜欢运动的条件下，他喜欢音乐的概率为40%。

现在要求某学生既喜欢音乐又喜欢运动的概率，可根据独立性的概念计算：P(音乐∩运动) = P(音乐) * P(运动)= 0.6 * 0.4= 0.24因此，某学生既喜欢音乐又喜欢运动的概率为24%。

三、条件概率与独立性的关系条件概率与独立性是概率论中两个重要的概念，它们之间存在一定的关系。

随机变量的独立性和条件概率分布

随机变量的独立性和条件概率分布是概率论中的重要概念，在很多领域都有广泛的应用。

独立性的概念是指两个或多个事件之间的关系，而条件概率分布则是指随机变量在给定一些条件下的概率分布。

首先来看独立性。

在数学上，独立性通常指的是两个随机变量之间的关系。

如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们可以分别考虑，而且它们之间的任何影响都不会相互影响。

具体来说，如果两个随机变量X和Y是独立的，那么它们的联合概率分布可以拆分成它们各自的概率分布的乘积。

即，P(X=x, Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)。

举个例子，假设我们有两个骰子，我们把它们连续掷两次。

我们可以定义随机变量X为第一次掷出的点数，随机变量Y为第二次掷出的点数。

如果我们假设这两个骰子是六面的，并且它们是公平的，那么每个点数出现的概率都是1/6。

因此，我们可以计算出X和Y的概率分布，分别为P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=1/6和P(Y=1)=P(Y=2)=P(Y=3)=P(Y=4)=P(Y=5)=P(Y=6)=1/6。

现在，假设我们想知道掷出的两个点数是相等的这个事件的概率。

我们可以用独立性来计算。

因为X和Y是独立的，所以P(X=x, Y=y) =P(X=x) * P(Y=y)，因此，P(X=Y) = ΣP(X=x, Y=x) = ΣP(X=x) *P(Y=x) = 1/6 * 1/6 + 1/6 * 1/6 +...+1/6 * 1/6 = 1/6。

接下来看条件概率分布。

条件概率分布是指，在给定一些条件下，随机变量的概率分布。

具体来说，如果我们知道了一些关于随机变量的信息，那么我们可以通过条件概率分布来计算在这些信息下随机变量的取值的概率。

条件概率分布通常用P(X|Y)表示，表示给定Y的条件下，X的概率分布。

它可以通过原始的概率分布计算得到。

具体来说，如果我们知道了Y的取值，那么我们可以将联合概率分布进行归一化，得到在Y取值的条件下，X取值的概率分布。

4.1.3独立性与条件概率的关系课件-高二上学期数学人教B版选择性

6
∴P(A∩B)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结判断两个事件是否相互独立的方法
1.直接法
由事件本身的实际意义直接判断两个事件的发生是否相互影响.
2.定义法 3.条件概率法
若P(AB)=P(A)P(B),则事件A,B相互独立.
当P(A)>0时，可用P(B|A)=P(B)判断；当P(B)>0时，可用P(A|B)=P(A)判断.
(1)甲、乙、丙都通过可用ABC表示，因此所求概率为 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.9×0.7=0.504.
学习目标
学习活动
学习总结
(2)甲、乙通过且丙未通过可用 ABC 表示，因此所求概率为
P( ABC) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)[1 P(C)] 0.8 0.9 (1 0.7) 0.216.
学习目标
学习活动
学习总结
解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则
P(A)＝0.8，P(B)＝0.8，P(C)＝0.9，
所以
P( A) 0.2, P(B) 0.2, P(C) 0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为：
P1 P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) 0.2 0.8 0.9 0.8 0.2 0.9 0.8 0.80.1 0.352. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：结合条件概率理解相互独立事件，会对事件的独立性进

计算概率的条件概率与事件独立性

计算概率的条件概率与事件独立性在概率理论中，条件概率和事件的独立性是两个重要的概念。

它们在计算概率、统计分析和决策制定等领域中有广泛的应用。

本文将介绍条件概率和事件的独立性的概念、性质及其应用。

一、条件概率的概念与性质在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为事件A在条件B下的条件概率，记作P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。

条件概率的计算公式如下：P(A∩B)P(A|B) = ───────────────────P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

条件概率具有以下重要性质：1.非负性：对于任意事件A和B，条件概率P(A|B) ≥ 0；2.单位概率：当B是必然事件（P(B) = 1）时，条件概率P(A|B) = P(A)；3.互斥概率：当事件A与事件B互斥时，条件概率P(A|B) = 0。

二、事件的独立性的概念与性质事件A和事件B的独立性是指事件A的发生与否不受事件B的发生与否的影响，即P(A|B) = P(A)或P(B|A) = P(B)。

换句话说，事件A和事件B的独立性意味着它们的条件概率与边际概率相等。

事件的独立性具有以下重要性质：1.对称性：如果事件A与事件B独立，那么事件B与事件A也独立；2.自反性：事件A与自身独立；3.传递性：如果事件A与事件B独立，事件B与事件C独立，则事件A与事件C独立。

三、条件概率与事件独立性的应用条件概率和事件独立性在实际问题中有着广泛的应用，以下举几个例子。

1.生活中的应用假设某地区有50%的男性和50%的女性，有10%的人患有某种疾病。

已知患病率在男性中为5%，在女性中为15%。

现在我们来计算一个人是男性的条件下，他患病的概率。

根据条件概率的定义，可以得到： P(男性∩患病)P(患病|男性) = ────────────────── = ───── = 0.1P(男性）这个例子中，我们使用了条件概率来计算一个人是男性的条件下，他患病的概率。

1-3条件概率与独立性

三、事件的独立性
先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，设 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}，显然 P(A|B)=P(A)
这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.
定义2 设事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立. [注] 1. 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)
B =“甲机被击落” A =“乙机被击落”
A A1 A2 , 且A1 A2
B A1 A2 A1 B
已知 P ( A1 ) 0.2, P ( B A1 ) 0.3, P ( A2 A1 B) 0.4
P ( B ) P ( A1 B ) P ( A1 ) P ( B A1 ) 0.8 0.3 0.24
P ( A2 ) P ( A2 A1 B ) P ( A1 B A2 )
P ( A1 ) P ( B A1 ) P ( A2 A1 B )
0.8 0.7 0.4 0.224
P( A) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 )
0.2 0.224 0.424
P(AC)= P(A)P(C)
P(BC)= P(B)P(C)
P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.
推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：设A1,A2, …,An是 n个事件，如果对任意k (1<k n),任意1 i1<i2< …<i k n,具有等式
B
AB A

2. 条件概率的定义定义1 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称