《高等数学》(A)教案第六章22页

讲授内容§6.1 定积分的元素法§6.2 定积分在几何上的应用教学目的1.深刻理解定积分的元素法的思想.2.掌握用定积分的元素法计算实际问题的条件和解题步骤.3．熟练掌握平面图形面积和旋转体体积的计算方法.4．会求平面曲线的弧长及简单的平行截面面积为已知的立体体积.教学重点、难点重点：求平面图形面积和旋转体体积及平面曲线的弧长.难点：求旋转体体积.教学方法：讲授教学建议1．应用定积分的元素法关键是根据题中的具体条件，利用所学的几何或物理的知识，求出所求量的微元.2. 计算平面图形面积时，应根据图形的特点选择积分变量.3. 当旋转轴与坐标轴平行时,只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式算出体积.4. 求平面曲线的弧长时，重点是记住公式ds=教学过程一、元素法:当实际问题中的所求量A符合下列条件:1)A是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;2)A对于区间[a,b]具有可加性,即:将区间[a,b]分成许多部分区间,则A相应地分成许多部分量,A等于许多部分量的和;3)部分量i A ∆的近似值为()i i f x ξ∆,即: ()i i i A f x ξ∆≈∆.则A 可以用定积分来表示,其方法为:1） 选取变量x 并确定区间[a ,b ];2） 将[a ,b ]分成n 个小区间,并任取小区间[x ,x +dx ],此小区间上的部分量A ∆.且()()()A dA dx f x dx dx οο∆=+=+.即()dA f x dx =.称dA 为A 的元素.3） 以A 的元素f (x )dx 为被积表达式,在[a ,b ]上积分:得()b aA f x dx =⎰.这种方法为元素法.关键在于第二步.求出元素()dA f x dx = 二、平面图形的面积1．直角坐标情形 1）X －型:由()y f x =、x a =、,()x b a b =<与x 轴围成的曲边梯形的面积A :|()|ba A f x dx =⎰由()y f x =、()y g x =、x a =、,()x b a b =<围成的曲边梯形的面积A :|()()|ba A f x g x dx =-⎰2） Y －型:由曲线()x f y = 、直线y c =、y d =，()c d <与y 轴围成的曲边梯形的面积A 为:|()|dc A f y dy =⎰由曲线()x f y =、()x g y =直线y c =、y d =，()c d <围成的曲边梯形的面积A 为:|()()|dc A f y g y dy =-⎰例1 计算由曲线: 2y x =和2y x =所围成的图形的面积解: 1) 交点坐标(0,0)和(1,1).2) 取x 为积分变量,积分区间为[0,1].3) 面积元素: ()dA x x dx =-. 4) 所求面积: 101()3A x x dx =-=⎰例2 计算由抛物线22y x =和直线4y x =-所围成的图形的面积解: 1) 交点坐标(2,-2)和(8,4).2) 取y 为积分变量,积分区间为[-2,4].3)面积元素:2(4)2y dA y dy =+-.4) 所求面积:242(4)182y A y dy -=+-=⎰当选取x 为积分变量时,计算较繁.例 3 求椭圆12222=+by a x 所围成图形的面积.解: 由对称性，所求面积1044aA A ydx ==⎰.由参数方程cos ,sin x a t y b t ==和换元法有:2204sin A ab tdt ab ππ==⎰例4 求由曲线|ln ||ln |1x y +=所围成的图形的面积.解：当1,1x y ≥≥时,ln ln 1x y +=，则xy e =;当0<x ≤1,0<y ≤1时, ln ln 1x y --= 则 1xy e -=; 当0<x ≤1,y >1时, ln ln 1x y -+=,则 y ex =，当x >1,0<y ≤1时, ln ln 1x y -=，则 1y e x -= 交点坐标: A (1/e ,1),B (1,1/e ),C (1,e ),D (e ,1)选取x 为积分变量,则所求面积为:11/1()e S ex dx ex=-⎰+⎰-edx e xx e 1)(=1e e- 例5 求抛物线22y px =及其在点(,)2pp 处的法线所围成的面积.解：曲线在点(,)2p p 处的法线方程为:()2py p x -=--.交点坐标为(,)2p p 和 9(,3)2pp - 所求面积为：S = ⎰---pp dy py y p 32]2)23[(=2163p .例6 求位于曲线y =e x下方,该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的图形的面积.解: 设曲线上的点为(x 0,y 0),过该点的切线为0()x x y e e x x -=-由于切线过原点,解得x 0=1,从而曲线上过原点的切点为(1,e ).切线方程为y =ex .所求面积为S =⎰∞-0dx e x +⎰-10)(dx ex e x =2e .注：在直角坐标系下，应先画出平面图形的大致图形，特别是曲线与坐标轴或曲线之间的交点，然后根据图形的特征，选择相应的积分变量及积分区域，再写出面积的积分表达式来计算.2. 参数方程的情形设曲边梯形的曲边y =f (x ),[f (x )>0],x ∈[a ,b ]为：x =φ(t ), y =ψ(t ) [t 为参数]如果x =φ(t )满足:1）φ(α)=a , φ(β)=b , φ(t )在[α,β]或[β,α]上具有连续的导数;2）y =ψ(t )连续; 则曲边梯形的面积为:A =⎰b a dx x f )(=()()t t dt βαϕφ'⎰例7 求由摆线x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )的一拱(0≤t ≤2π)与横轴所围成的图形的面积.解:20a A ydx π=⎰=20(1cos )[(sin )]a t d a t t π--⎰=2220(1cos )a t dt π-⎰ =2220(12cos cos )at t dt π-+⎰=3πa 2.注：对于这种类型的题，首先画出平面区域的大致图形，然后结合图形的具体特点，找出参数的范围，再由积分公式来计算图形的面积.3．极坐标情形1)极点在所围图形的边界上[图(a )]求由曲线ρ=φ(θ)及射线θα=,θβ=,(αβ<)所围成的图形的面积.其中 ρ=φ(θ)C [α,β], 且φ(θ)>0.21[()]2dA d φθθ=,A =21⎰βα[φ(θ)]2d θ2） 极点在所围图形外部[图(b)] : A=21⎰βα[φ22(θ)-φ12(θ)]d θ3） 极点在图形的内部[图(c )]: A =21⎰π20[φ(θ)]2d θ例8 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0到2π的一段弧与极轴所围成的图形面积.解: 所求面积A =⎰π2021(a θ)2d θ图(a)图(b)图(c)=4a 2π3/3.例9计算心形线ρ=a (1+cos θ) (a >0)所围图形的面积.解: 由对称性,所求面积为:A =2⎰π21[a (1+cos θ)]2d θ=3πa 2/2 例10求由曲线ρ=3cos θ和ρ=1+cos θ所围图形的公共部分的面积.解: 由对称性所求面积为:S =2(S 1+S 2).由 3cos θ=1+cos θθ=π/3.S 1=21⎰23ππ[3cos θ]2d θ=29⎰23ππ[22cos 1θ+]d θ =83π-1639 S 2=21⎰30π(1+cos θ)2d θ=21⎰30π(1+2cos θ+22cos 1θ+)d θ=4π+1639 S =5π/4.例11求由曲线ρ=a sin θ,ρ=a (cos θ+sin θ) (a >0)所围图形公共部分的面积.解：所求面积为:S =S 1+S 2.其中 S 1=21π(a /2)2=πa 2/8;S 2=21⎰432ππ[a (cos θ+sin θ)]2dθ=πa 2/8-a 2/4S =a 2(π-1)/4.注：计算这种类型题时，先将图形画出来，然后求出交点的坐标，再由对称性求出图形的面积.例12 设f (x )在[a ,b ]上连续，,在(a ,b ) 内有0)(>'x f ，求证在(a ,b )内存在唯一的点ξ使曲线y =f (x )与两直线y =f (ξ)，x =a 所围成图形的面积1S 是曲线y =f (x )与两直线y =f (ξ)，x =b 所围成图形的面积2S 的三倍.解：先证存在性,在取],[b a t ∈,令F (t ) =⎰⎰---t a bt dx t f x f dx x f t f )]()([3)]()([ =⎰⎰-+---t a bt t b t f dx x f dx x f a t t f ))((3)(3)())((则F (t )在[a ,b ]上连续，又0)(>'x f ，所以f (x )在[a ,b ]上是单调增加的,则Ｆ(a )＝0)]()([3))((3)(3<--=-+-⎰⎰b ab adx a f x f a b a f dx x f0])()([)(>-=⎰dx x f b f b F ba由零点定理知),(b a ∈∃ξ使0)(=ξF .再证唯一性，由0)](3))[(()(>-+-'='t b a t t f t F 知Ｆ(t )在(a ,b )内是单调增加的. 所以在(a ,b )内只有一个ξ使1S =32S .三、体积1.旋转体的体积旋转体：平面图形绕平面内的一条直线旋转一周而成的立体，直线为旋转轴.1) 由y =f (x ),x =a 和x =b (a <b )及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转的体积:V =⎰ba π[f (x )]2dx ,体积元素: dV =π[f (x )]2dx .同理：x =φ(y ), y =c , y =d (c <d )及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转的体积:V =2[()]d dc y y πφ⎰由平面图形0≤a ≤x ≤b ,0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为:V = 2()d ba xf x x π⎰小圆柱体的体积为ΔV =π[(x +dx )2-x 2]f (x )=2πxf (x )dx +πf (x )(dx )2即体积元素为:dV =2πxf (x )dx ,所求体积为: V =2π⎰ba xf (x )dx例13连接坐标原点O (0,0)及点P (h ,r )的直线,直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形,将其绕x 轴旋转得一底半径为r ,高为h 的圆锥体,求其体积.解: 连接OP 的直线方程为:y =hr x .所求体积为:V =⎰h0π[hr x ]2dx =πr 2h /3.例14求椭圆22a x +22by =1绕x 轴旋转的旋转体(旋转椭球体)的体积.解：所求体积为V =π⎰-aab 2(1-22ax )dx =4πab 2/3.例15求由摆线x =a (t -sin t ),y =a (1-cos t )的一拱,直线y =0所围成的图形分别绕x 轴和y 轴和y=2a 旋转所得旋转体的体体积.解：1)绕x 轴旋转的体积为：V x =π⎰aπ20y 2dx =π⎰π20a 3(1-cos t )3dt =5π2a 3.2)绕y 轴旋转的体积为：(解法一) V y =π⎰a20[x 2(y )]2dy -π⎰a20[x 1(y )]2dy=π⎰•-ππ222sin )sin (tdt a t t a -π⎰•-π022sin )sin (tdt a t t a=-πa 3⎰-π202sin )sin (tdt t tx t -=ππa3⎰---πππxdx x x sin )sin (2=-πa 3⎰---πππxdx x x sin )sin (2 =-πa3⎰++---πππ022sin ])sin ()sin [(xdx x x x x=4π2a 3⎰+π0sin )sin (xdx x x=4π2a 3 [⎰π0sin xdx x +⎰π02sin xdx ]=6π3a 3. (解法二)V y =2π⎰adx x xf π20)(=2π⎰-•-π202)]cos 1([)sin (dt t a t t a=2πa3⎰--π202)cos 1)(sin (dt t t t=2πa 3 [⎰-π202)cos 1(dt t t -⎰-π202)cos 1(sin dt t t ]=2πa3⎰-π202)cos 1(dt t tx t +=π2πa3⎰-++πππdx x x 2)cos 1)((=2πa3⎰+-++πππ02)cos 1)](()[(dx x x x =4π2a3⎰++π2)cos cos 21(dx x x =6π3a 3.V 2a =⎰--adx y a a ππ2022])2()2[(=⎰-•--ππ2022)cos 1()]cos 1(4[dt t a t a a =a 3π⎰-+π202)cos 1)(cos 3(dt t t=3a 3π⎰+-π202)cos cos 21(dt t t +⎰+-π2032)cos cos 2(cos dt t t t =3a 3π⎰+π202)cos 1(dt t -2⎰π202cos tdt =7π2a 3.注：当旋转轴与坐标轴平行时，只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式即可算出体积.例16求圆盘x 2+y 2≤a 2 绕x =-b (b >a >0)旋转所成的圆环体的体积.解；1) V =22[()]aa x yb dy π-+⎰ - 21[()]aa x yb dy π-+⎰ =2221[()()]aax y x y dy π--⎰y +212[()()]aa b x y x y dy π--⎰=4πb 22aa a y dy --⎰ =2π2a 2b . 2) 小圆柱体的体积为:dV =4π(x +b )f (x )dxV =⎰-aa 4π(x +b )f (x )dx=⎰-aa 4π(x +b ) 22x a -dx =2π2a 2b .例17设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足223)()(x a x f x f x +='(a 为常数),又曲线y=f(x)yu 下,所围的图形Ｓ的面积值为2,求函数y=f(x)并问a 为何值时,图形S 绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.解：由题意知当0≠x 时,a x x f x f x 23)()(2=-',即a x x f dx d 23])([= 又f(x)在点x=0处连续, ]1,0[,23)(2∈+=x cx x a x f 由已知条件知c a dx cx x a ⎰+=+=122121)23(2,即c=4-a 所以x a x a x f )4(23)(2-+=旋转体的体积为dx x a x a dx x f a V 21212])4(23[)()(⎰⎰-+==ππ π)31631301(++=a a 由π)31151()(+='a a V =0,得a=-5. 又0151)(>=''a V 所以当a =-5时, 旋转体的体积最小.2.平行截面面积为已知的立体的体积设立体介于平面x =a 和x =b 之间,A (x )为过点x 且垂直于x 轴的截面面积.假设A (x )为x 的已知的连续函数,则该立体的体积为:(如图)V =⎰ba A (x )dx .例18一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α,计算此平面截圆柱体所得的立体的体积.解: 用垂直于x 的平面截此立体,得截面面积为:A (x )=21y ·y tan α=21(R 2-x 2)tan αV =⎰-RR21(R 2-x 2)tan αdx =32R 3tan α 例19求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 垂直于x 的截面面积为：A (x )=h ·y =h ·22x R -V =⎰-RR h ·22x R -dx =πR 2h /2.例20计算图中球缺的体积.解：在[R -H ,R ]上任取一点y ,过点y 且垂直于y 轴的截面面积为:A (y )= π(R 2-y 2).V =⎰-RH R π(R 2-y 2)dy =πH 2(R -H /3).注：在求平行截面面积已知的立体体积时，重点是找出x 点处截面面积函数A(x) ,然后用体积公式即可求出. 三、平面曲线的弧长1.平面曲线弧长的概念设A 、B 为弧上的两个端点.在 ⌒AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2,…,M n -1, M n =B ,并依次连接相邻分点得一折线.当分点数目无限增加时,小弧段都缩向一点,如果极限:∞→n lim∑=ni 1|Mi -1M i|存在，称此极限为曲线弧⌒ AB 的弧长，并称此曲线弧⌒AB 是可求长的.定理：光滑曲线弧是可求长的. 1）直角坐标情形设曲线弧的方程为：y =f (x ) (a ≤x ≤b ).其中f (x )在[a ,b ]上具有一阶连续导数. 取x 为积分变量，则曲线上对应区间[x ,x +dx ]一段小弧段的长度用对应的切线上一小段近似代替,则有ds =21y '+dx . s =⎰ba21y '+dx例21计算曲线y =(2/3)x 3/2上对应与x 从a 到b 的一段弧长.解: ds =21y '+dx =x +1dx .s =⎰bax +1dx =2/3[(1+b )3/2-(1+a)3/2].例22计算半立方抛物线y2=(2/3)(x-1)3被抛物线y 2=x/3截得的一段弧的长度.解：交点坐标为(2,±3/2).半立方抛物线的定义域为[1,+∞],因此,积分区间为[1,2].由y 2=(2/3)(x -1)3得：2yy ′=2(x -1)2 ，所以y ′2=3(x -1)/2.又立方抛物线关于x 轴对称,因此,所求弧长为:s =2⎰2121y '+dx =2⎰212)1(31-+x dx=2⎰2113-x dx =32⎰2113-x d (3x -1)=]1)25[(982/3- 2）参数方程情形设曲线的参数方程为：x =φ(t ),y =ψ(t ).(α≤t ≤β)则其弧长元素为:ds =)()(22t t ψϕ'+'dt .弧长为:s =⎰βα)()(22t t ψϕ'+'dt .例23计算摆线x =a (θ-sin θ),y =a (1-cos θ)的一拱(0≤θ≤2π)的长度.解：ds =θθ2222sin )cos 1(a a +-d θ=2a sin2θd θ s =⎰π202a sin2θd θ=8a . 例24在摆线x =a (θ-sinθ),y =a (1-cos θ)上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标.解：设分摆线第一拱的点对应的参数为θ=α.则s =⎰α02a sin 2θd θ=-4a [cos θ/2]α0=4a (1-cos α/2)=2a ,解得 α=2π/3. 所求点为 ((2332-π)a ,23a ). 例25将绕在圆(半径为a )上的细线放开拉直,使细线与圆周始终相切,细线端点画出的轨迹称为圆的渐伸线,其方程为:x =a (cos t +t sin t ),y =a (sin t -t cos t ).求这曲线上相应于t 从0到π的一段弧的长度.解：ds =2222)sin ()cos (t t a t t a +dt =atdts =⎰π0atdt =a π2/23）极坐标情形设曲线的极坐标方程为：ρ=ρ(θ) (α≤θ≤β). 弧长元素为: ds =)()(22θρθρ'+d θ. 弧长为:s =⎰βα)()(22θρθρ'+dθ例26求阿基米德螺线ρ=a θ(a >0)相应于θ从0到2π一段的弧长.解：ds =222a a +θd θ=a 21θ+d θ.s =a ⎰π2021θ+d θ θ=sh t a ⎰π2 0arsh ch td sh t=a [ch t sh t |0arcsh2π-⎰π20arsh sh 2tdt ]=a [2π241π+-⎰π20arsh (ch 2t -1)dt ]=a [2π241π++arsh2π]-a ⎰π20arsh ch td sh t=2a [2π241π++ln(2π+241π+)]例27求心形线ρ=a (1+cos θ)的全长. 解：2222(1cos )sin ds a a d θθθ=++=a 21cos d θθ+s = a 2⎰π201cos d θθ+=22a ⎰π1cos d θθ+=4a ⎰π0cos θ/2d θ=8a .例28求曲线ρθ=1(双曲螺线)相应于θ=3/4到θ=4/3的一段弧长.解:ds =4211θθ+d θ=221θθ+d θs =⎰3/44/3221θθ+d θ=-⎰3/44/321θ+d (θ1) =-θθ21+4/33/4+⎰3/44/3211θ+d θ=5/12+ln(θ+21θ+)4/33/4=5/12+ln3/2注：求平面曲线的弧长时，重点是记住公式ds=22)()(dy dx +.例29求曲线θθd n y n x⎰=0sin 的弧长，（2,20≥≤≤n x π的整数）解： s =dx nxn x dx n x dx y ⎰⎰⎰+=+='+πππ2020202cos sin sin 11=)1cos(sin2)cos (sin 20+-=+⎰nnn du u u n n πππ讲授内容 6.3 定积分在物理上的应用 教学目的与要求1. 了解有关物理的一些实际问题如做功，水压力，引力等.2.能正确应用定积分计算物理学中的一些实际问题.重难点重点:变力沿直线作功和液体的侧压力. 难点：物体对质点的引力. 教学方法:讲授 教学建议应用定积分计算物理学中的一些实际问题，首先把实际问题化为数学问题，由相应的物理原理通过元素法写出积分形式. 学时：2学时 教学过程一、 变力沿直线所作的功设物体在作直线运动时有一个恒力F 作用在此物体上，当力的方向与运动方向一致时，力F 所作的功为:W =F •s . 当力为变力时，则为变力作功.例1将一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处,产生一个电场.此电场对周围的电荷有作用力.如果将一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方,则电场对它的作用力的大小为F =k2rq(k 常数).将这个单位正电荷在电 中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时,计算电场力F 对它作的功.解: 功元素为: dW = 2d qkr rW =2d ba q kr r ⎰= 11()kq a b-. 例2用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm.如果铁钉每次打击铁钉所作的功相等,问第二次时,铁钉又击入多少?解：设y 轴正向与打击方向一致.由于铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比,从而阻力为ky .(y 为铁钉击入木板的深度,k 为阻力系数)功元素为 dW =kydy .设第二次又击入了h (cm).则第一次铁铁锤所作的功为:W 1=⎰10 kydy =k /2.第二次铁锤所作的功为:W 2=⎰+h11kydy =k [(1+h )2-1]/2.由W 1=W 2得:h =2-1(cm).例3半径为r 的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的比重与水的比重相同,现将球从水中取出,需要作多少功?解: 建立图示坐标系.取x 为积分变量.将球从水中取出所作的功,相当于将图中小薄片提升2r 的高度所作的功的和的极限.将薄片从点A 提升到点B ,由于球的比重与水的比重相同,从而在水中浮力与重力的合力为零,所以提升力所作的功为零.再由水面提升到点B 时,此时只有克服重力.又薄片在水中的行程为r +x ,从而在水面上的行程为:2r -(r +x )=r -x . 从而功元素为:dW =mg (r -x )=[1·πy 2(x )dx ](r -x )=πg (r -x )(r 2-x 2)dx .所作的功为:⎰-rrπg (r -x )(r 2-x 2)dx =4πgr 4/3.解法2：如图,以水面与球相切的切点为坐标原点.已知球缺的体积为:V =πx 2(r -x /3).由于球的比重与水的比重相同,将球提升x 高度时,球的全部合外力的和为提升力F ,重力mg 和浮力U .由于球在水中的部分其重力与浮力的合力为零.因此提升力即为球在水面上方的部分的重力.且提升力为:F =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<----<<-r x r g x r r x r r r x g x r x 2 ,)]32()2(34[0 ,)3(232πππ 将球提升dx 高度,功元素为dW =F ·dx ,积分区间为[0,2r ].W =⎰r 0g x r x )3(2-πdx +⎰r r 2g x r r x r r )]32()2(34[23----ππdx ⎰r r 2g x r r x r r )]32()2(34[23----ππdx 2r -x =t ⎰r 0[334r π-g t r t )3(2-π]dt W =⎰r 0334r πdr =4πgr 4/3. 例4设一锥形贮水池,深15m,口径20m,盛满水,现用唧筒将水吸尽,问要作多少功?解：如图建立坐标系,取一薄层水,将此水吸出所作的功为dW = [π(2x /3)2dxg ](15-x )W =94πg ⎰150(15-x )x 2dx =1875πg =57697.5(kJ)二、 水压力在水深为h 处的压强为p =γh .将一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处,则平板一侧所受的水压力为P =p ·A =γhA . 例5一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水.设桶的底半径为R ,水的比重为γ,计算桶的一个端面上所受的压力.解： 建立图示坐标系.位于[x ,x +dx ]上小窄条处的压强为γx .所受压力为:dP =(222x R -dx )·γx =2γx 22x R -dx .积分区间为[0,R ]P =⎰R 02γx 22x R -dx =-γ⎰R0(R 2-x 2)1/2d (R 2-x 2)=2γR 3/3. 三、 引力质量为m 1,m 2, 相距为R 的两质点间的引力为：F =G221r m m . 例6设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒,在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M .试求该棒对质点M 的引力.解: 建立图示坐标系.在棒上取一小段[y ,y +dy ].则小段对质点的引力为:F =G )(22y a dy m +ρr o . r o ={-22y a a +,22ya y +} dF x =-G 2/322)(y a dy am +ρ,dF y =G 2/322)(y a ydy m +ρ F x =⎰-2/2/l l G2/322)(y a dy am +ρdy =-a l Gm ρ2·2241l a +. F y =0. 例7设星形线x =a cos 3t ,y =a sin 3t 上每一点处的线密度的大小为该点到原点距离的立方,在原点O 处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.解： 在曲线上点(x ,y )处取一小弧段,小弧段的长度近似为ds ，它对质点的引力为:dF =G )()(222/322y x y x ds ++·{22y x x +,22yx y +} dF x =Gxds ,dF y =Gyds 其中ds =3a sin t cos tdt .F x =G ⎰2/0πa cos 3t ·3a sin t cos tdt =3a 2G ⎰2/0πcos 4t sin t dt =3a 2G /5.F y =3a 2G /5.求双纽线 绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。