方程的根与函数的零点(公开课)
2018-2019学年人教A版高中数学必修1课件：3.1.1函数的应用
(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的充要条件是
Δ＝0， f(k1)f(k2)<0，或k1<－2ba<k2.
例3 方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范 围.
【解析】 方法一：设f(x)＝x2－2ax＋4，由于方程x2－2ax
由于相邻两个零点之间的所有函数值保持同号，函数的图 像如图所示.
(2)不等式xf(x)<0同解于
x>0， f（x）<0
或xf（<0x，）>0，
结合函数图
像得不等式的解集为(0，2)∪(－2，0).
探究 根据函数的零点定义与性质，可以用来帮助画函数
的图像，结合函数图像不仅可以直观的研究函数的性质，而且
∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3，1. y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4. 画出这个函数的简图(如右图)，从图像 上可以看出，当－3<x<1时，y>0.
当x<－3或x>1时，y<0. ∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3，1. y>0时，x的取值范围是(－3，1)； y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞). 探究2 由于一元二次不等式在前面没有讲过，因此对本题 的解法要正确作出函数的简图，从而解决问题.
课时学案
题型一 求函数的零点 例1 求函数f(x)＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)的零点，并指出使 y<0成立的x的取值范围.
【解析】 y＝(x2＋x－2)(x2－2x－8)＝(x＋2)(x－1)(x＋2)(x －4)＝(x＋2)2(x－1)(x－4)，
函数的零点与方程的根.ppt
例 6 （ 上 海 02 高 考 ）、 已 知 函 数
f
(x)
ax
x2 x 1
a
1。
(1)求 f(x)单调区间。
(2)若 a=3,求证方程 f(x)=0 有且仅有一个正根。
解:(1)定义证明.(2)因在 (1,) 为增函数,
故在 (0,) 为增,又 f(0)= -1<0,f(1)=2.5,所 以在(0,1)有且只有一个正根.下用二分法 约为 0.28(列表,区间,中点,中点函数值)
求函数F( x) f ( x) g( x)的零点可转化为 求函数y f ( x)与y g( x)图像交点的横坐标
一、一元二次函数与一元二次方程 内容复习
知识归纳：1、一元二次函数、不等式、方程的关系
0
0
0
二次函数
y ax2 bx c
（ a 0 ）的 图象
一元二次方程
ax2 bx c 0
a 0的根
有两相异实根 有两相等实根
x1, x2 (x1 x2 )
x1
x2
b 2a
ax2 bx c 0
(a 0)的解集
x x x1或x x2
x
x
b 2a
无实根 R
ax2 bx c 0
例7 已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m
－1，g(x)＝x＋ex2(x>0)． (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范
围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)
＝0有两个相异实根．
y f (x) 有零点（即横坐标）。
若函数f(x)的图像在x=x0处与x轴相切，则零点 x0为不变号零点若函数f(x)的图像在x=x0处与x 轴相交，则零点x0为变号零点
《方程的根与函数的零点》 说课稿(附教学设计)
《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析普通高中课标教材必修1共安排了三章内容，第一章是《集合与函数的概念》，第二章是《基本初等函数（Ⅰ）》，第三章是《函数的应用》。
第三章编排了两块内容，第一部分是函数与方程，第二部分是函数模型及其应用。
本节课方程的根与函数的零点，正是在这种建立和运用函数模型的大背景下展开的。
本节课的主要教学内容是函数零点的定义和函数零点存在的判定依据，这两者显然是为下节“用二分法求方程近似解”这一“函数的应用”服务的，同时也为后续学习的算法埋下伏笔。
由此可见，它起着承上启下的作用，与整章、整册综合成一个整体，学好本节意义重大。
函数在数学中占据着不可替代的核心地位，根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机地联系在一起。
方程本身就是函数的一部分，用函数的观点来研究方程，就是将局部放入整体中研究，进而对整体和局部都有一个更深层次的理解，并学会用联系的观点解决问题，为后面函数与不等式和数列等其他知识的联系奠定基础。
二、教学目标分析本节内容包含三大知识点：一、函数零点的定义；二、方程的根与函数零点的等价关系；三、零点存在性定理。
结合本节课引入三大知识点的方法，设定本节课的知识与技能目标如下：1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法.本节课是学生在学习了函数的性质，具备了初步的数形结合知识的基础上，通过对特殊函数图象的分析进行展开的，是培养学生“化归与转化思想”，“数形结合思想”，“函数与方程思想”的优质载体。
结合本节课教学主线的设计，设定本节课的过程与方法目标如下：1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力。
方程的根与函数的零点
学
且f(a) · f(b)﹤0,且是单调函数, 那么这个函数在(a,b)内必有唯一
的一个零点。
达
标
温 函数零点方程根， 馨 数形本是同根生。 提 函数零点端点判，
示 图象连续不能忘。
例1.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点所在区间及个数？
导 解：计算出x、f(x)的对应值表
增函数
x1 2 3 4 56 7 8 9
(2) 函数f x ax 2只有一个零点2，则a
标 A.1 B. 1 C. 0 D. 无法确定
(3) 已知函数的图象是连续不断的，对应关系见下
测 表，则函数在区间 1,6上的零点至少有（ ）
x1 2 3 4 5 6
评
y 12
A.法国十六世纪最有影响的数学家之一。 第一个引进系统的代数符号，并对方程论做 了改进。韦达讨论了方程根的各种有理变换， 发现了方程根与系数之间的关系即“韦达定 理” 。
问题·探究
前 问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应
的二次函数图像的简图，并写出函数的图象与x轴 的交点坐标
提
方程 x2－2x－3=0 x2－4x+4=0 x2－2x+3=0
学 f x 负 负 正
由上表可知 f(2)<0, f(3) >0，
达
即f(2)·f(3)<0，
∴这个函数在区间[2,3]有零点。
又∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，
标
∴它仅有一个零点。
导 应用研究
求函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数．
学 解法二、函数 f (x) ln x 2x 6 的零点个数 方程 ln x 2x 6 0 的解的个数
方程的根与函数的零点(公开课)省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
课堂练习3
1．函数 f (x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（ ）
A．（-2,0） B．（1,2） C．（0,1） D．（0,0.5）
小结
函数旳零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0旳实数x 叫做函数 y=f(x)旳零点。
概念反思
问题1:函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f（x）
在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例阐明。
问题2:函数f（x）在区间(a，b）上有f（a）f(b）＜0，且有零点，那么一
定只有一种吗？请举例阐明。
问题3:函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？
引例1:判断下列方程是否有跟，有几种实数根？
（1） x2 2x 3 0
（2） x2 2x 1 0
（3） x2 2x 3 0
知识探究（一）：方程旳根与函数旳零点
方程 函数
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 x2－2x+3=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
函
数
y
.
.
旳
2
图
.1 .
－1 0 1 2 3 x
象
－1 －2
－3
. －4
方程旳实数根 x1=－1,x2=3
函数旳 图象
(-1,0)、(3,0)
y
.2
.
1. .
. －1 0 1 2
x
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 4
.
方程的根与函数的零点教案
方程的根与函数的零点教案方程的根与函数的零点教案「篇一」知识与技能1．结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；2．结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价关系；3．结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间的方法．过程与方法1．通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解决棘手问题方法的习惯；2．通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；3．通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数的零点个数和所在区间的方法；4．通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能力．情感、态度与价值观1．让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；2．培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；3．使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感．教学重点与难点教学重点：零点的概念及零点存在性的判定．教学难点：探究判断函数的零点个数和所在区间的方法．教学的方法与手段授课类型新授课教学方法启发式教学、探究式学习。
方程的根与函数的零点教案「篇二」教学目标：1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、理解函数的零点与方程的联系。
3、渗透由特殊到一般的认识规律，提升学生的抽象和概括能力。
教学重点、难点：1、重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法。
2、难点：函数零点存在的条件。
教学过程：1、问题引入探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
出示表格，引导学生填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。
一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1=x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点（图1-1）函数y=x2-2x-3的图像（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像（图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳：（1）如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点；（2）如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。
说课比赛 方程的根与函数的零点 说课稿
意图：一方面通过选择题促进 学生对定理的活用，另一方面 为突破后面的例题铺设台阶．
综合应用，拓展思维 6、例题讲解
零点存在性定理的应用： 例2 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定 零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)
x f(x) 1 2 3 4 5 6 7
y 10 8 f(x)=lnx+2x－ 6 6 4 2 x
—— 说课过程 ——
为学习 二分法 打基础 函数零点 与方程根 的关系 函数方程 思想 函数零点 存在性 定理 体现认识 规律
函数零点 概念
★ 教学重点：了解函数零点概念；掌握函数零点存在性定理
1
学生具备必要的知识与心理基础 基本初等函数→看图识图能力 函数用于方程→心理情感基础 学生缺乏函数与方程联系的观点 对函数的不适→孤立函数知识 建立联系观点→树立应用意识 直观体验与准确理解定理的矛盾
辨析讨论，明确概念 3、函数零点概念及其与对应方程根的关系
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点 零点．
函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点 零点． 问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？ 问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
y= lnx
O 1234 x
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数， O 123456 所以它仅有一个零点． -2
-4
y=－2x +6
意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法 确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．
总结整理，提高认识 一个关系：函数零点与方程根的关系: 函数 方程
方程的根与函数的零点优秀公开课教案(比赛课)
课题: 《方程的根与函数的零点》一、教学目的: 1、知识与技能：(1)、了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一次函数、二次方程、复合函数……），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x 轴的交点三者的关系；(2)、理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；(3)、能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间； (4)、体会函数与方程和数形结合的思想。
2、过程与方法：培养学生观察 、思考、分析、猜想，验证的能力，并从中体验从特殊到一般及函数与方程思想。
3、情感态度与价值观：在引导学生通过自主探究，发现问题，解决问题的过程中，激发学生学习热情和求知欲，体现学生的主体地位，提高学习数学的兴趣。
二、教学重难点重点：体会函数零点与方程根之间的联系，掌握零点的概念及零点判断方法； 难点：探究并发现零点存在性定理及其应用三、教学过程1、创设问题情境，引入新课 问题1 求下列方程的根(1)、3x +2=0； (2)、0322=--x x ； (3)、062=-+x Inx ；师生互动:问题1让学生通过自主解前2小题，复习一元一次方程与一元二次方程根情形。
第3小题学生自主完成遇到困难，合作交流用所学的知识也无法解决设计意图:问题1（4）引发认知冲突，激起学生强烈的求知欲，认识到学习新知识，探索新方法的必要性，同时为后面引出零点存在判定方法埋下伏笔。
问题2设计意图:利用表格，有利于学生进行横向、纵向观察得出它们的关系。
并通过上表得出：一元二次方程的实数根=二次函数图像与x 轴交点的横坐标（方程根的个数是对应函数图像与X 轴交点的个数）。
问题3：完成表格，并观察一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与相应二函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象与x 轴交点的关系？师生互动:让学生通过探究，归纳概括所发现结论，并能用相对准确的数学语言表达。
方程的根与函数的零点
《方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析1.地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时主要内容是函数零点概念、函数零点与相对应方程根的关系，函数零点存有性定理，是一节概念课。
新教材新增了二分法，也因而设置了本节课，所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础，零点概念与零点存有性定理是二分法的必备知识。
从研究方法来说，零点概念的形成和零点存有定理的发现，符合从特殊到一般的理解规律，有利于培养学生的概括归纳水平，也为数形结合思想提供了广阔的平台，2.教学重点基于上述分析，确定本节的教学重点是：了解函数零点的概念掌握函数零点存有性定理。
二、学情分析1.学生具备必要的知识与心理基础通过前面的学习，学生已经了解一些基本初等函数的模型，具备一定的看图识图的水平，这为本节课利用函数图象，判断方程根的存有性提供了一定的知识基础。
2.学生缺乏函数与方程联系的观点高一学生在函数的学习中，将函数孤立起来，理解不到函数在高中中的核心地们，例如：一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数图象，函数与方程相联系的观点的建立，函数应用意识的初步树立就成了本节课必须承载的任务3.零点定理的矛盾零点存有性定理的获得与应用，必须让学生从一定量的具体实例中操作感知，通过更多的举例来验证。
定理只为零点的存有提供充分非必要条件，所以定理的逆命题，否命题都不成立，在函数连续性，简单逻辑用语来学习的情况下，学生对定理的理解不够深入，这就要求教师引导学生体验各种成立与不成立情况，从正面、反面、侧面等不同的角度审视定理的条件与适用范围。
4.数学难点基于上述分析，确定本节教学难点：对零点存有的定理的准确理解。
三、目标分析依据新课标中心的内容与要求，以及学生实践情况。
指定数学目标如下：1 . 知识与技能目标①. 了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如：二次方程）说明方程的根，函数的零点，函数图象与X轴的交点三者关系。
方程的根与函数的零点说课
《方程的根与函数的零点》说课沁水中学赵海涌1、说教材1.1地位与作用本节内容为人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点概念、函数零点与相应方程根的关系、函数零点存在性定理，是一节起始课，也是一节概念课．新课标教材新增了二分法，也因而设置了本节课．所以本节课首先是为“用二分法求方程的近似解”打基础．之前的教材虽然没有设置本节内容，但方程的根与函数的关系从来是重要且无法回避的，所以将本节课直接编入教材很有必要．本节课也就不仅为二分法的学习做准备，而且为方程与函数提供了零点这个连接点，从而揭示了两者之间的本质联系，这种联系正是“函数与方程思想”的理论基础．用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础．从研究方法而言，零点概念的形成和零点存在性定理的发现，符合从特殊到一般的认识规律，有利于培养学生的概括归纳能力，也为数形结合思想提供了广阔的平台．1.2教学目标1、知识与技能目标：⑴了解函数零点的概念：能够结合具体方程说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者的关系；⑵理解函数零点存在性定理：了解图象连续不断的意义及作用；知道定理只是函数存在零点的一个充分条件；了解函数零点可能不止一个；⑶能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数，及所在区间．2、过程与方法目标：⑴经历―类比—归纳—应用‖的过程，感悟由具体到抽象的研究方法，培养归纳概括能力．⑵初步体会函数方程思想、数形结合思想，能将方程求解问题转化为函数零点问题．3、情感、态度和价值观目标：⑴体会函数与方程的―形‖与―数‖、―动‖与―静‖、―整体‖与―局部‖的内在联系．⑵体验规律发现的快乐．1.3教学重点零点的概念及零点存在性的判定．1.4教学难点零点存在性定理的发现及理解．2、说教法、学法2.1学情学生具备的：(1)基本初等函数的图象和性质；(2)一元二次方程的根和相应二次函数图像与x轴的联系；(3)具备将“数”与“形”相结合及转化的意识．学生欠缺的：(1)应用函数解决问题的意识还不强；(2)由特殊到一般的归纳总结能力还不够；(3)理论型思维能力需进一步培养．2.2 教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科．因此，在教学中，不仅要使学生―知其然‖，而且要使学生―知其所以然‖．我们在以学生为主体原则下，展现获取知识和方法的思维过程．基于本节课的特点，应采用“提出问题——引导探究——得出结论——实际应用”的教学方法．2.3学法我们常说：―现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人‖，因而在教学中要特别重视学法的指导．在课堂上我指导学生应用―自主探究、观察发现、合情推理、合作交流、归纳总结、实际应用‖的学习方法．3、说教学过程3.1开门见山 引入课题这节课我们来学习第三章函数的应用．通过第二章的学习，我们已经认识了指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数的图象和性质．而这一章我们就要运用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题．为此，我们还要做一些基本的知识储备．方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”．板书标题（方程的根与函数的零点）．3.2类比推广 形成概念问题一：对于一元一次方程0=+b kx 的根为：k b x -=；一元二次方程()002≠=++a c bx ax ，当042>-ac b 时，方程的根为a ac b b x 242-±-=；当042=-ac b 时，方程的根为a bx x 221-==；当042<-ac b 时，方程无根．你能从方程相应的函数图象解释方程根的几何意义吗？设计意图：从熟悉的一、二次函数入手，对函数图象与方程的根的关系有初步的认识，从简单入手顺应学生的认知结构,调动学生的知识储备 ．问题二：对于一般的函数与方程是否也有上述的结论成立呢？请举例说明．设计意图：帮助学生回忆所学的初等函数，为下一步的推广打一个坚实的基础．问题三：把上述结论推广可得：任意一个函数()x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标都是方程()0=x f 的根．如果我们把方程的根叫做函数的零点．由此你能给函数的零点下一个准确的定义吗？设计意图：引导学生得出函数零点定义．问题四：试比较函数的零点和方程的根，并说明两者之间的联系和区别．区别：针对的对象不同，零点的对象是函数，根针对的对象是方程．联系：零点和方程的根具有相同的数值函数的零点⇔函数的图象与x 轴交点的横坐标⇔方程的根设计意图：通过对比分析，来加深学生对概念的理解．目的要学生明确零点是一个实数，不是一个点．其次要通过对比分析得出三个重要的等价关系，体现了“转化”和“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键 ．问题五：你能用上述的方法求下列函数的零点吗？()()111-=x x f ；()()1ln 2-=x x f ；()()933-=x x f ；()()62ln 4-+=x x x f设计意图：1、 巩固函数零点的定义．2、学生不能解的前提下，引发认知冲突，为了引出下面的新内容．3.3讨论探究 揭示定理问题六：下图甲乙两组镜头，哪一组镜头能说明人的行程一定曾渡过河流？设计意图：创设情境把抽象的数学知识放在学生熟悉的生活背景下，这样即提高了学生的学习兴趣，又使得数学问题变得简单具体．问题七：将河流抽象成x 轴，将前后的两个位置视为A 、B 两点，人的行进路线抽象成A 、B 间的一段连续不断的函数的图象．请问当A 、B 与x 轴怎样的位置关系时，函数图象与x 轴一定会有交点？如何用数学式子表示？设计意图：由原来的图象语言转化为数学语言．培养学生的观察能力和提取有效信息的能力．体验语言转化的过程．问题八：你能总结出函数()x f y =满足什么条件时在区间()b a ,上一定有零点？为什么？条件（1）()()0<b f a f ，它可以保证函数图象在x 轴上下方都有点；（2）函数图象在[]b a ,内连续不断，它可以保证函数图象穿越x 轴．由此我们可得出函数的零点的存在性定理：如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点．即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根．设计意图：通过分解，得出函数零点的存在性定理．并分析其中各条件的作用，将抽象的问题转化为实际问题，更利于学生理解定理的本质．问题九：满足在[]b a ,上图象连续不断，且()()0<b f a f ，函数()x f y =在区间()b a ,上只有一个零点吗？你能举例说明吗？增加什么条件可确定函数在区间上只有一个零点？设计意图：帮助学生认识定理只保证了零点的存在性而不能保证零点唯一性．问题十：函数在区间()b a ,有零点，则一定满足上述条件吗？请举例说明．设计意图：从不同的角度看问题，这样不仅帮助学生掌握了知识，更培养学了生缜密思考的良好习惯．3.4观察感知 知识应用问题十一：你能用所学知识求函数()62ln -+=x x x f 的零点的个数吗？教师活动：在计算机上用几何画板作函数的图象．并让学生观察函数零点个数． 学生活动：学生用Excel 作出自变量x 与函数值f(x)的对应值表．设计意图：通过用几何画板作图象，使学生感知现代信息技术与数学的完美结合．通过Excel 使学生动手实践获得对课本P88的表格有认同感，在观察图象，发现图象与X 轴有一个交点，从而对函数有一个零点形成直观地认识，从而理解和掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法．3.5拓展训练 反思小结（1）拓展训练：学生独立自主完成下面题目．1.函数()()162-=x x x f 的零点为( ) A. (0,0),(4,0) B.0,4 C. (–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,42.已知函数()x f 是定义域为R 的奇函数，且()x f 在 ()+∞,0上有一个零点，则()x f 的零点个数为( )A.3B.2C.1D.不确定3.已知函数()x f 的图象是连续不断的，有如下对应值表：那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个A.5个B.4个C.3个D.2个（2）反思小结：请学生对本节课所学内容进行小结：三个知识：函数的零点、方程的根与函数的零点的关系、函数零点的存在性定理 三种思想：数形结合思想、函数方程思想、化归思想三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间3.6布置作业，举一反三1.P88练习2题，P92习题3.1A 组2题2.函数()533+--=x x x f 的零点所在的大致区间为（ ）A.( – 2 ，0)B. (1，2)C. (0，1)D. (0，0.5)3.已知a x x x f ---=32)(2，求a 取何值时能分别满足下列条件．①有2个零点;②3个零点;③4个零点.4、说信息技术《新课标》中明确指出“高中数学课程应提倡利用信息技术呈现以往教学中难以呈现的课程内容，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索发现．”由于本届内容涉及超越方程求解、复杂函数作图等问题，因此如果没有信息技术的支持，教学是很难展开的．具体的说我主要在以下两方面注重信息技术的使用．第一方面是在作函数的图象上．比如在讨论方程的根和函数的图象的关系时，我用几何画板的有关功能动态的展示了这一关系；再比如我用几何画板快速准确的作出了函数()6xxf的图象．第二方面是在数据的2ln-+=x处理上．比如求函数零点所在区间时要绘制自变量和函数值的对应取值表，这里我用EXCEL的计算功能快速准确的得出结论．这样不仅节约了大量的课堂时间，而且提高了学生学习的兴趣．5、说教学反思1．关于信息技术运用的反思．信息技术的运用已经成为教师教学中必不可少的工具，但还有许多不成熟的地方．从本节课的实际情况出发我主要思考以下三方面的问题：①高中数学中什么内容适合运用信息技术；②用信息技术时用什么软件平台更有利于教学；③使用信息技术时采用“先做后演”还是“先演后做”．2．逐层铺垫，降低难度．本节课实际上是《数学分析》中的介值定理下放到中学课程，如何把理论性很强的内容深入浅出地让学生理解是这节课的着力点，因此设计符合学生认知规律，从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和有兴趣的问题开始，通过设疑迁疑让学生逐步理解本课程及一些高等数学思想方法．如反例、条件的变换与结论的关系等等，对学生今后学习和分析数学问题很有帮助．3．数学思想方法的教学任重而道远．数学思想方法是一种策略性知识，是数学的精髓．策略性知识的学习有一个初步感知，逐渐领会，再到灵活运用的过程，教学中不能毕其功于一役．教师必须体谅学生，多给学生时间和领悟的机会．。
【参考教案2】《方程的根与函数的零点》(数学人教必修一)
《方程的根与函数的零点》教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的根与函数的零点，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点的存在性定理，是一节概念课。
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链接点，它从不同的角度，将数与形，数与方程邮寄的联系在一起，本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续的学习垫底基础。
因此本节课内容具有承前启后的作用，至关重要。
教学目标【知识与能力目标】结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的根的联系.【知识与技能目标】理解并会用函数在某个区间上存在零点的条件和判定方法．自主发现、探究实践，体会函数的零点与方程的根之间的联系．【情感、态度与价值观】在函数与方程的联系中体验数学转化思想、数形结合的意义和价值.教学重难点【教学重点】体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件．【教学难点】探究发现函数零点的存在性.课前准备多媒体课件、教具等．教学过程问题·探究（一）回顾旧知，发现问题问题1 求下列方程的根．（1）023=+x ；（2）0652=+-x x ；（3）062ln =-+x x . 问题2 一元二次方程的的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的联系？ 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a >及相应的二次函数c bx ax y ++=2(0)a >的图象与x 轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（二）总结归纳，形成概念1、函数的零点：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点。
6号选手 说课比赛 方程的根与函数的零点 说课稿
关于教材地位与作用的解析
教 材 分 析
1、第三章“函数与方程”是高中数学的新增内 容，是近年来高考关注的热点. 2、本节课是在学习了前两章函数的性质的基础 上，结合函数的图象和性质来判断方程的根的存 在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程的 根的关系以及掌握函数在某个区间上存在零点的 判定方法;是培养学生“等价转化思想”、“数 形结合思想”、“方程与函数思想”的优质载体. 3、本节课为下节“二分法求方程的近似解”和 后续的 “算法学习”提供了基础，具有承前启 后的作用.
“将课堂还给学生，让课堂焕发出生命的 师的主导作用和学生的主体作用.
活力” 是进行教学的指导思想，充分发挥教
采用 “启发—探究—讨论”式教学模式.
关于学法的解析
以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识 的形成和发展，着眼于学生的学习体验，设 置问题，由浅入深、循序渐进，给不同层次 的学生提供思考、创造和成功的机会。
（四）讨论探究，揭示定理
探究:在什么情况下，函数f（x）在区间 （a，b）一定存在零点呢？
1.如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影 的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头，但是 我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头（下 图），哪一组能说明他的行程一定曾渡过河？
设计意图：从现
(－1,0)、(3,0)
无交点
（二）启发引导，形成概念
问题3:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点 和相应一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有何关系?
判别式△ =b2－4ac
方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根
函数的零点 优质课件
然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实
数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，
即mf(0) <0，即m<0.故选B.
• [答案] B
• 分类讨论思想、函数与方程思想是高考着重 考查的两种数学思想，它们在本题的求解过 程中体现得淋漓尽致，还要注意函数的零点 有变号零点和不变号零点，如本题中的x＝1
似值a(或b)，否则重复第二、三、四步．
• 能否用二分法求任何函数(图象是连续的)的近似零点？
• 用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0， f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.
• 1. f(x)＝0
• 想一想：提示：由于三者之间有等价关系， 因此，在研究函数零点、方程的根及图象交 点问题中，当从正面研究较难入手时，可以 转化为其等价的另一易入手的问题处理，如 研究含有绝对值、分式、指数、对数等较复 杂的方程问题，常转化为两熟悉函数图象的 交点问题研究．
函数与方程
• 不同寻常的一本书，不可不读哟！
• 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数．
• 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
• 1个熟记口诀
• 用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中 点，中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异 号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．
• 3. 图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画 两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的 横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
课前自主导学
• 1. 函数的零点 • (1)函数零点的定义 • 对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． • (2)几个等价关系 • 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有
高中数学 方程的根与函数的零点课件 1人教A版必修1
1. 下列函数图像与 x 轴均有公共点， 但不能用二分法求公共点横坐标的 是（ ）
y y y y
ａ 11 1
Ｏ ｂ ｃ x
Ｏ ａ x
Ｏ
Ｏ a x
b x
D Ａ Ｂ Ｃ
2. 求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实
根，取区间中点x0=2.5,那么下一个有 根区间是
f (2) 1, f (3) 16 , f (2.5) 5.625 ,
10
15
-2
Байду номын сангаас
-4
-6
-8
5. 求函数f（x）= x3 +2 x2﹣3x﹣6的
一个正数零点（精确到0.1）
6 5 4
3
fx = x3+2x2-3x-6
2
1
-12
-10
-8
-6
-4
-2
O 1
-1 -2 -3
2
2
4
6
8
10
12
-4
-5
-6
-7
-8
由 f (0) 6 ,
f (1) 6 ,
8
6
4
gx = 3-x
2
fx = logx
5 10 15
-10
-5
-2
-4
方程x = 3﹣lgx 的解在区间（2，3）内选C。
-6 -8
4. A
方程（ ）x = lnx的根的个数为（ 0 B 1 C 2 D 3
8
1 2
）
6
1x fx = 2
4
gx = lnx
2
-10
-5
方程的根与函数的零点通用课件公开课
二元一次方程的根与函数零点之间的关系
二元一次方程的解就是相应一次函数的零点，即$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$是方程组 $begin{cases} x=x_1 y=y_1 end{cases}$或$begin{cases} x=x_2 y=y_2 end{cases}$的解，则$(x_1, y_1), (x_2, y_2)$是函数$y=f(x)$的零点。
课程目标
掌握方程的根与函数的零点的定义、性质和求解 01 方法。
理解方程的根与函数的零点在解决实际问题中的 02 应用。
提高数学思维能力和解决问题的能力，培养对数 03 学的兴趣和热爱。
02
方程的根
一元二次方程的根
一元二次方程的根是方程解的个数和类型，根据判别式可以判断根的情况。
一元二次方程的根可以根据判别式的值进行分类。当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根 ；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根，即一个重根；当判别式小于0时，方程没有实根 ，而是有两个共轭复根。
方程的根与函数的零点之间
04
的关系
一元二次方程的根与函数零点之间的关系
01
一元二次方程的根就是相应二次
函数的零点，即$x_1, x_2$是方
$x_1,
x_2$是函数
02 $y=ax^2+bx+c$的零点。
根的类型（重根或非重根）对应 于零点的类型（重根或非重根） 。
解的类型（重根或非重根）对应于零点的类型（重根或非重根）。
函数零点与极值点之间的关系
01 函数的极值点处的一阶导数由正变负或由负变正 ，即函数在极值点处取得极值。
02 若函数在某点的导数为零，则该点可能是函数的 极值点。
02 函数在极值点处的函数值可能为零，即函数的零 点和极值点可能重合。
方程的根与函数的零点说课稿sll
必修一《3.1.1方程的根与函数的零点》说课稿一、教材分析《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，函数零点存在性定理，是一节概念课．本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．二、教学目标1、知识与技能（1）通过观察二次函数的图像，准确判断一元二次方程根的存在性及根的个数，描述函数的零点与方程的根的关系．（2）理解并会用函数在某个区间上存在零点的判定方法．2、情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数形结合思想与转化思想的意义与价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用．3、重点、难点重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断．难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点．三、学情分析高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图象已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．四、教法与学法在教法上，本次课采用以导学案教学，体现以学生为主体的教学方法。
在教学手段上，我一是采取多媒体课件、几何画板相结合，它既便于学生直观，节约时间，又能利用情境营造课堂氛围，引发学生的兴趣。
方程的根与函数的零点公开课教案
方程的根与函数的零点公开课教案一、教学目标1. 让学生理解方程的根与函数的零点的概念及其关系。
2. 引导学生掌握求解方程根的方法，以及利用函数零点判断方程根的存在性。
3. 培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
二、教学内容1. 方程的根与函数的零点的定义。
2. 求解一元二次方程的根的方法。
3. 利用函数零点判断方程根的存在性。
4. 实际例子分析与应用。
三、教学过程1. 导入：通过简单的数学问题引入方程的根与函数的零点的概念。
2. 讲解：讲解方程的根与函数的零点的定义，阐述它们之间的关系。
3. 演示：利用数学软件或板书演示求解一元二次方程的过程。
4. 练习：让学生尝试求解一些一元二次方程，并判断其根的存在性。
5. 应用：通过实际例子分析，让学生理解方程的根与函数的零点在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 讲授法：讲解方程的根与函数的零点的概念及其关系。
2. 演示法：利用数学软件或板书演示求解方程的过程。
3. 练习法：让学生通过练习求解方程，判断其根的存在性。
4. 实例分析法：分析实际问题，展示方程的根与函数的零点的应用。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对方程的根与函数的零点的概念的理解。
2. 练习题：评估学生求解方程根的能力，以及利用函数零点判断方程根的存在性。
3. 实例分析：评估学生在实际问题中应用方程的根与函数的零点的能力。
六、教学资源1. 教学课件：制作包含图文并茂的课件，用于讲解和展示概念、例题及动画演示。
2. 数学软件：如MATLAB、GeoGebra等，用于演示方程求解和函数图像。
3. 练习题库：准备一定数量的练习题，包括不同难度层次的题目。
4. 实际案例：收集相关的实际问题，用于引导学生将理论知识应用于实际。
七、教学环境1. 教室：确保教室内的多媒体设备正常运行，便于展示课件和演示。
2. 计算机实验室：为学生提供实际操作数学软件的环境。
3. 网络：确保教学过程中可以访问相关教育资源和在线工具。
讲课稿：方程的根与函数的零点
知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系
归纳关系： 数
方程f(x)=0 的实数根
函数y值=等f(x于)的零零时 的点x的值 形
函数y=f(x)的图象与 x轴交点的横坐标
对零点的理解：
"数"的角度：即是使f(x)=0的实数x的值
"形"的角度：即是函数f(x)的图象与x轴 的交点的横坐标
知识探究（一）：方程的根与函数零点 的关系
“＞”)．
<
在区间(b,c)上___有___(有/无)零点； y
③ 在区间(a,dy)上f(a)·f(d) _____ 0(“＜”或”
＞”)．
a
在区间a(a,d)o上__b____x(有/无)零点；O b
c dx
问题：是不是函数y＝f(x)在区间[a,b]上只要满足f(a)·f(b) ＜ 0，函数y＝f(x)在区间(a,b)上一定有零点？
巩固练习一： 练习：求下列函数的零点
（1）.f(x)=lgx-1; （2）.f(x)=x2 2x 3 （3）.f(x)=3x +1
我的零点 是10
我的零点是-1和 3
不好意思，我没有 零点，你答对了吗？
问题:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b] 上存在零点？
知识探究（二）：函数零点存在性定理
在区间[2，4]上有零点___3___；
-1 -2
f(2)·f(4)__<__0（“＜”或“＞”）． -3
-4
知识探究（二）：函数零点存在性定理
观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)__<___0(“＜”或
“＞”)．
有
在区间(a,b)上______(有/<无)零点；
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2 x －2x+3=0 x －2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1 y= x2－2x+3
x2－2x－3=0
2
y
y
.
. －1
y
2 1
.
－1
.
x
－1
2 1
. . . .
2
.
3 2 1
5
.
4
0
1
2
.
.
1
.
2
.
3
－3 －4
－2
0
1
x
－1
0
3
x
.
方程的实数根 x =－1,x =3 1 2
函数的图象 与x轴交点坐 标
就是相应函数的图像与x轴有几 个交点，并且交点的横坐标就 是方程的根.
lnx+2x-6=0
y=lnx+2x-6
y
14 12 10 8 6 4 2 0 －2 －4 －6
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
.
..
.
.
.
.
.
x
.
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点。
生活实例：观察下列两组画面,设A点为人 的起点，B点为人的终点。并推断哪一组能 说明人的行程一定曾渡过河？
B 第 一 组
A
B
第 二 组
知识探究: 函数零点存在性原理
问题探究
观察函数的图象
①在区间(a,b)上______( 有 有/无)零点；
有 有/无)零点； ② 在区间(b,c)上______(
作 业 布 置
课堂作业：
1：习题3.1：A组，第2题
2：P88 练习 第1题
家庭作业：
分层训练
间(a, b)内有零点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也
就是方程f(x) = 0的根．
概念反思
判断1:函数f（x）在区间（a，b）上有f（a）f（b）＜0，那么函数f
（x）在区间（a，b）上是否一定存在零点，请举例说明。
判断2:函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定有f(a)· f(b)<0吗？
x1=x2=1
无实数根
(-1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
问题2：若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方
程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍 然成立？
判别式 △ =b2－4ac 方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
△＞0 两个不相等 的实数根x1 、x2
y
△=0
例3. 已知函数f ( x)的图像是连续不断的，有 如下表所对应值：
X f(x) 1 23 2 9 3 -7 4 11 5 -5 6 -12 7 -26
那么函数 f ( x) 在区间 1,7 上的零点至少有 _____ 3个。
课堂练习
1．函数 f ( x) x3 3x 5的零点所在的大致区间为（C ）
请举例说明。
判断3:函数f（x）在区间(a，b）上有f（a）· f(b）＜0，且有
零点，那么一定只有一个吗？请举例说明。
零点的存在性定理
f ( x )在 a , b上连续
f ( x )在 a , b上单调
f (a ) f (b) 0
f ( x )在a , b 有 唯一 零点
零点是一个点吗?
注意：零点指的是一个实数，而不是点。
等价关系
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
例1：函数f(x)=x-2的零点是（ ） (A)(2,0) (B)(0,2) (C)2 (D)0 例2：求下列函数的零点 (1)f(x)=2x-1 (2)f(x)=x2-5x+4 (3)f(x)=x3-1
A． （-2,0）
B． （0,1）
C． （1,2）
D． （2,3）
解：
∵ f(1)=1, f(2)=-9 ∴ f(1) ·f(2)<0 ∴函数的零点所在的大致区间为（1,2）
小结
1 函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
2 等价关系： 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点 3 函数零点存在定理： 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的一条曲 线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零 点, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也 就是方程f(x) = 0的根．
解:由f(x)=2x-1=0， 解：由f(x)=x2-5x+4=0 解：由f(x)=x3-1=0 解得x=0, 解得x=1, 解得x1=1, x2=4 所以函数的零点为0 所以函数的零点为1和 所以函数的零点为1 4
c
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
f(a).f(b)_____0 < （＜或＞）．
无 有/无)零点； ③ 在区间(c,d)上______(
f(c).f(d) _____ < 0（＜或＞）．
f(b).f(c) _____ < 0（＜或＞）．
零点存在定理：
如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断 的一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
△＜0
没有实数根
y
函数y= ax2 +bx+c (a>0)的图象
x1
0
x2
x
0 x1
x
0
x
函数的图象与 x 轴的交点坐标
(x1,0) , 点
问题3：只有二次函数才有这个结论 吗？ 一次函数行不行？ 那所有的函数呢?
结论：一个方程有几个根，也
合肥市肥东圣泉中学
李玉龙
引例 解方程 x=-2/3 (1)3x+2=0
y=3x+2
x2=3 y=x2-5x+6
(2)x2-5x+6=0
(3)lnx+2x-6=0
x1=2
?
y=lnx+2x-6
问题1：观察下表，求出一元二次方程的实根，画出相应二次函数的图像，并写 出函数的图像与x轴交点的坐标
方程
函数 函 数 的 图 象