【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习真题演练：2-3函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

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2022年高考数学一轮复习专题3-3 函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

又由，可得， , ,
则，
所以 .
故选：C.
【点睛】本题考查函数奇偶性与对称性，周期性，解题关键是由奇函数的性质和对称性得出函数为周期函数．
12.奇函数的定义域为R，若为偶函数，且，则＝（）
A.﹣2B.﹣1C.0D.1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意和函数的奇偶性，得到函数是周期为4的周期函数，进而利用函数的周期性，求得的值，即可得到答案．
∴1＝2－，∴a＝2.
（2）由（1）知f(x)＝x－，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称．
f(－x)＝－x－＝－x＋＝－(x－ )＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
【点睛】本题考查函数解析式中参数的求解，利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，属综合基础题.
高频考点二：函数奇偶性的应用
对于选项 ,令，则．
在中，将换为，得，
【点睛】本题考查利用函数周期性求函数值，涉及函数奇偶性的应用，属综合基础题.
14.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（）
A.2019B.1C.0D.-1
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意推导出函数的对称性和周期性，可得出该函数的周期为，于是得出
可得出答案．
【详解】函数是上的奇函数，则，
对于D选项，令，则，，且，
所以，函数为非奇非偶函数.
故选：B.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，考查函数奇偶性定义的应用，考查推理能力，属于基础题.
【知识拓展】
（1）奇、偶函数定义域的特点．
由于f(x)和f(－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

锁定新高考新课标文科数学一轮总复习练习2.3函数的奇偶性与周期性(含答案详析)

A 组基础达标(时间： 30 分钟满分：50分)若时间有限，建议选讲2， 4，7一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)(2012 ·津高考天 )以下函数中，既是偶函数，又在区间 (1， 2)内是增函数的为(B)A. y ＝ cos2x， x∈ RB. y＝ log2|x|， x∈ R 且 x≠ 0C. y＝e x－e－ x2， x∈ RD. y ＝ x3＋ 1， x∈ R利用逐项清除法求解．选项 A 中函数 y＝ cosπ 上单一递减，不2x 在区间 0，2知足题意；选项 C 中的函数为奇函数；选项 D 中的函数为非奇非偶函数，应选 B.函数 f(x) 的定义域为 R，若 f(x ＋ 1)与 f(x －1) 都是奇函数，则 (D)A. f(x) 是偶函数B. f(x) 是奇函数C. f(x) ＝ f(x ＋ 2)D. f(x ＋ 3)是奇函数由已知条件对 x∈ R 都有 f( － x＋ 1)＝－ f(x ＋ 1),f( － x－ 1)＝－ f(x －1)，所以 f( － x＋3)＝ f[ －(x － 2) ＋1] ＝－ f[(x － 2)＋1] ＝－ f(x － 1)＝ f( － x－1) ＝f( － x－2＋ 1)＝ f[ － (x＋ 2)＋ 1]＝－ f[(x ＋2)＋ 1]＝－ f(x ＋ 3)，所以函数f(x ＋ 3)是奇函数．1已知 f(x) 是定义在R 上的偶函数，并知足 f(x ＋2)＝－f（x），当 1≤ x≤ 2 时， f(x)＝x－ 2，则 f(6.5) 等于 (D)A. 4.5B. － 4.5C. 0.5D. － 0.511＝ f(x) ，∴ f(x) 是周期∵ f(x ＋ 2)＝－f（x），∴ f(x ＋ 4)＝ f[(x ＋ 2)＋ 2]＝－f（x＋2）为 4 的周期函数，∴f(6.5) ＝f(6.5－8)＝ f( － 1.5)＝ f(1.5) ＝1.5－ 2＝－ 0.5.(2012 山·东高考 )定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x ＋6)＝ f(x) ．当－ 3≤ x＜－ 1 时， f(x) 2A. 335B. 338C. 1 678D. 2 012由 f(x ＋ 6)＝ f(x) 可知函数是周期为 6 的周期函数，又当－ 3≤ x＜－ 1 时， f(x) ＝－(x＋ 2)2，当－ 1≤ x＜ 3 时， f(x) ＝ x 可知， f(1) ＝ 1, f(2) ＝ 2, f(3) ＝ f( － 3)＝－ (－ 3＋2) 2＝－ 1, f(4) ＝ f( － 2)＝－ (－ 2＋ 2) 2＝0, f(5) ＝ f( － 1)＝－ 1, f(6) ＝ f(0) ＝ 0，∴ f(1)＋ f(2) ＋ f(3) ＋ f(4) ＋f(5)＋f(6) ＝ 1，∴ f(1) ＋f(2) ＋ f(3) ＋＋ f(2 012) ＝ 335× 1＋ f(1)＋ f(2) ＝338.二、填空题 (每题 5 分，共 15 分)若 f(x) 是 R 上周期为 5 的奇函数，且知足 f(1) ＝1, f(2) ＝2，则 f(3) － f(4) ＝ __－ 1__．∵f(x ＋ 5)＝ f(x) 且 f( － x)＝－ f(x) ，∴ f(3)＝ f(3－ 5)＝ f( － 2)＝－ f(2) ＝－ 2, f(4) ＝ f( － 1)＝－ f(1) ＝－ 1，故 f(3) － f(4) ＝ (－ 2)－(－ 1)＝－ 1.(2012 ·庆高考重 )若 f(x) ＝ (x＋ a)(x－ 4)为偶函数，则实数 a＝ __4__．利用二次函数的奇偶性化简求解．由f(x) ＝ (x＋a)(x －4) 得 f(x) ＝ x2＋ (a－ 4)x －4a，若 f(x) 为偶函数，则 a － 4＝ 0，即 a ＝ 4.设奇函数 f(x) 的定义域为 [－ 5， 5]，当 x ∈ [0， 5]时，函数 y ＝ f(x) 的图像以下图，则使函数值 y ＜ 0 的 x 的取值会合为 __(－2， 0)∪ (2， 5)__．由原函数是奇函数， ∴ y ＝ f(x) 在 [ － 5， 5]上的图像对于坐标原点对称，由 y ＝ f(x)在 [0，5] 上的图像，得它在 [－ 5，0]上的图像，以下图．由图像知，使函数值 y ＜ 0 的 x 的取值会合为 (－ 2， 0)∪ (2，5)．三、解答题 (共 15 分)(7 分 )f(x) 是定义在 R 上的奇函数且知足xf(x ＋ 2)＝f(x) ，当 x ∈ (0， 1)时， f(x) ＝ 2－ 1，求 f(log 16)的值．2∵ log 16＝－ log 2 6＜0，且 f(x) 为奇函数，2∴ f(log 16)＝－ f(log 2 6)． (3 分)23又 f(x ＋ 2)＝ f(x) ， ∴ f(log 2 6)＝ f(log 2 6－ 2)＝ f log 2 2 ，而 log 2 3∈ (0， 1)．∴ f log 2 3 ＝ 2log 23－ 1＝3－ 1＝ 1.222221∴ f(log 16)＝－ .(7 分 )22(8 分 )(2013 曲·阜质检 )定义域为 [－ 1，1] 的奇函数 f(x) 知足 f(x) ＝ f(x － 2)，且当 x ∈ (0，1)时， f(x) ＝ 2x ＋ x.(1) 求 f(x) 在[ －1， 1]上的分析式；(2) 求函数 f(x) 的值域．(1) 当 x ＝ 0 时， f(0) ＝－ f(0) ，故 f(0) ＝ 0.当 x ∈(－ 1， 0)时，－x ∈ (0， 1)，f(x) ＝－ f( －x)＝－ (－ 2x ＋－ x)＝ 2x －－x. 当 x ＝－ 1 时， f( － 1)＝－ f(1) ．又 f(1) ＝ f(1－ 2)＝ f( －1)，故 f(1) ＝－ f(1) ， ∴ f(1) ＝0，进而 f( － 1)＝－ f(1) ＝ 0.2x －－ x ， x ∈（－ 1， 0），综上， f(x) ＝ 0，x ＝ 0或 ±1，(4 分 )2x ＋ x ， x ∈（ 0，1） .(2)∵ x ∈ (0， 1)时， f(x) ＝ 2x ＋ x ，∴ f ′ (x) ＝ 2＋ 1＞ 0，故 f(x) 在 (0， 1)上单一递加． 2 x∴ f(x) ∈ (0， 3)．∵ f(x) 是定义域为 [ － 1， 1]上的奇函数，∴当 x ∈ [－ 1， 1]时， f(x) ∈ (－ 3， 3)． ∴ f(x) 的值域为 (－ 3， 3)． (8 分 )B 组提优操练(时间： 30 分钟满分： 50 分)若时间有限，建议选讲 2， 5，8一、选择题 (每题 5分，共 20 分)若函数 f(x) ＝ x 为奇函数，则 a 的值为 (A)（ 2x ＋1）（ x －a ）1 2 3A. 2B. 3C. 4D. 1由函数 f(x) 为奇函数知 f( － x)＝－ f(x) ，－ x －x∴ （－ 2x ＋ 1）（－ x － a ）＝（ 2x ＋1）（ x －a ）， ∴ a ＝1.2(2013 曲·阜质检 )若偶函数 y ＝ f(x) 对随意实数 x 都有 f(x ＋ 1)＝－ f(x) ，且在 [0 ， 1] 上单一递减，则 (B)A. f 7 ＜ f 7 ＜ f 72 3 5 B. f 7 ＜ f 7 ＜ f 75 2 3 C. f 7 ＜ f 7 ＜ f 7 3 2 5 D. f 7 ＜ f 7 ＜ f 75 3 27 1由 f(x ＋ 1)＝－ f(x) ，知 f(x) 是周期函数，且最小正周期为 2. 故 f 2 ＝ f 4－ 2 ＝11 7 1 1 7 7 33 3 1 1f －2 ＝ f 2 ， f 3 ＝ f 2＋ 3 ＝ f 3 ， f 5 ＝ f － 2＋ 5 ＝ f － 5 ＝ f 5 . 又 1＞ 5＞2＞ 3＞ 0， ∴ f 7 ＜ f 7 ＜ f752 3 .设定义在 R 上的函数 f(x) 知足 f(x) f(x ·＋ 2)＝ 13，若 f(1) ＝2，则 f(2 015) 等于 (B)13 13 39A. 3B. 2C.13D. 2 由 f(x) f(x ·＋ 2)＝ 13，得 f(x ＋ 2) ·f(x ＋ 4)＝ 13，即 f(x ＋ 4)＝ f(x) ，∴ f(x) 是以 4 为周13 13期的周期函数，故 f(2 015) ＝ f(503 × 4＋ 3)＝ f(3) ＝ f （ 1）＝ 2 .应选 B.1已知偶函数 f(x) 在区间 [0，＋∞ )上单一递加，则知足 f(2x － 1)＜ f 3 的 x 的取值范围是 (A)A.1， 2 B. 1， 23 33 3 C. 1， 2D.1， 22 323f(x) 是偶函数，其图像对于 y 轴对称，又 f(x) 在 [0，＋∞ )上递加，∴ f(2x －1)＜ f13? |2x － 1|＜ 1? 1＜ x ＜2.应选 A.3 3 3二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)已知函数 f(x) 知足： f(1) ＝ 1， 4f(x)f(y) ＝ f(x ＋ y)＋ f(x － y)(x ， y ∈ R)，则 f(2 013) ＝41__－ 2__．11解法一：当 x ＝ 1，y ＝ 0 时， f(0) ＝2；当 x ＝1， y ＝ 1时， f(2) ＝－ 4；当 x ＝ 2，y ＝ 11；当 x ＝ 2，y ＝ 2 时， f(4) ＝－ 1；当 x ＝ 3，y ＝2 时， f(5) ＝1；当 x ＝ 3，时， f(3) ＝－ 244111y ＝ 3 时， f(6)＝ 2；当 x ＝ 4， y ＝ 3 时， f(7)＝ 4；当 x ＝ 4，y ＝ 4 时， f(8) ＝－ 4； . ∴ f(x) 是以 6 为周期的函数， ∴ f(2 013) ＝ f(3＋ 335× 6)＝ f(3) ＝－ 1.2解法二：∵ f(1) ＝1f(y)· ＝f(x ＋ y)＋f(x － y), ∴结构切合题意的函数1 π4， 4f(x)f(x) ＝ 2cos 31 π ＝－ 1 .x, ∴ f(2 013) ＝ cos 3 ×2 013 22对于函数 f(x) ＝ lg|x － 2|＋ 1，有以下三个命题：① f(x ＋ 2)是偶函数；② f(x) 在区间 (－∞ ， 2)上是减函数，在区间 (2，＋∞ )上是增函数； ③ f(x ＋ 2)－ f(x) 在区间 (2，＋∞ )上是增函数．此中正确命题的序号是 __①② __．(将你以为正确的命题序号都填上 )x＝由图像可知 ①② 正确；函数 f(x ＋ 2) － f(x) ＝ lg|x| － lg|x － 2| ＝ lg x － 2 lg 1＋ 2f(x ＋ 2)－ f(x) 在区间 (2，＋∞ )上是减函，由复合函数的单一性法例，可知函数x － 2 数．∴③错．三、解答题 (共 20 分)(10 分 )(2013 舟·山调研 ) 已知函数 f(x) ＝ x 2＋ a(x ≠ 0，常数 a ∈R)．x(1)议论函数 f(x) 的奇偶性，并说明原因； (2)若函数 f(x) 在 x ∈ [2，＋∞ )上为增函数，求 a 的取值范围．(1) 当 a ＝0 时， f(x) ＝ x 2，对随意的 x ∈ (－∞ ， 0)∪(0 ，＋∞ ), f(－ x)＝ (－ x)2＝ x 2＝f(x) ，∴f(x) 为偶函数．当 a≠0 时， f(x) ＝ x2＋ax(a≠ 0，x≠ 0)，取 x＝±1，得 f( － 1)＋ f(1)＝ 2≠ 0，f(－ 1)－ f(1) ＝－ 2a≠ 0，∴f(－ 1)≠－ f(1), f( －1)≠ f(1) ．∴函数 f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数．(5 分 ) (2)解法一：要使函数f(x) 在 x∈[2，＋∞ )上为增函数，等价于 f ′(x)≥ 0 在 x∈ [2，＋∞ )上恒建立，a即 f ′(x)＝ 2x－x2≥ 0 在 x∈ [2，＋∞ )上恒建立．故 a≤2x3在 x∈ [2，＋∞ )上恒建立．∴ a≤ (2x 3)min＝ 16.∴ a 的取值范围是 (－∞， 16] ．(10 分 )解法二：设2≤x1＜ x2，则 f(x 1)－ f(x 2)＝ x12＋a－ x22－a＝x1－x2· [x 1x2(x1＋ x2)－ a]．x1x2x1x2要使函数 f(x) 在 x∈ [2，＋∞ )上为增函数，一定 f(x 1)－ f(x 2)＜ 0 恒建立．∵x1－ x2＜0， x1x2＞ 0，即 a＜ x1x2(x1＋ x2)恒建立，又 x1＋ x2＞4， x1x2＞ 4，∴x1x2(x1＋ x2)＞ 16.∴a 的取值范围是 (－∞， 16] ．(10 分 )(10 分 )(2013 沈·阳质检 )设 f(x) 是 (－∞，＋∞ ) 上的奇函数，f(x ＋ 2) ＝－ f(x) ，当0≤ x≤ 1 时， f(x) ＝x.(1)求 f( π)的值；(2)当－ 4≤x≤ 4 时，求 f(x) 的图像与x 轴所围成图形的面积；(3)写出 (－∞，＋∞ )内函数 f(x) 的单一递加 (或递减 )区间．(1)∵f(x ＋ 2)＝－ f(x) ，∴f(x ＋ 4)＝ f[(x ＋ 2)＋ 2]＝－ f(x ＋ 2)＝ f(x) ，∴f(x) 是以 4 为周期的周期函数．∴f(π)＝ f( π－ 4)＝－ f(4 －π)＝－ (4－π)＝π－4. (4 分 )(2)由 f(x) 是奇函数与f(x ＋ 2) ＝－ f(x) ，得f[(x － 1)＋ 2]＝－ f(x － 1)＝ f[ － (x－ 1)] ，即 f(1＋ x)＝ f(1－ x)．故知函数 y＝f(x) 的图像对于直线x＝ 1 对称．又 0≤x≤ 1 时， f(x) ＝ x，且 f(x) 的图像对于原点成中心对称，则f(x) 的图像以下图．当－ 4≤ x≤ 4 时， f(x) 的图像与 x 轴围成的图形面积为S，则 S＝ 4S OAB＝ 4×（12× 2× 1）△＝4.(8 分)(3) 函数f(x) 的单一递加区间为[4k － 1， 4k＋ 1](k ∈Z) ，单一递减区间为[4k ＋ 1， 4k ＋3](k ∈Z) ． (10 分 )。

2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测课件：函数的奇偶性与周期性

一轮总复习
题型3：函数的周期性
【例 3】(1)(2020·江西临川第一中学期末)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意的实数 x，f(x－2)＝f(x＋2)，
当 x∈(0，2)时，f(x)＝－x2，则 f123＝
()
A．－94
B．－14
C.14
2(1－x)，0≤x≤1，D．94
(2)(2020·开封模拟)已知函数 f(x)＝x－1，1<x≤2，如果对任意的 n∈N*，定义 fn(x)＝
[例 2] (1)(2019·全国卷Ⅱ)设 f(x)为奇函数，且当 x≥0 时，f(x)＝ex－1，则当 x<0 时，
f(x)＝
()
A．e－x－1
B．e－x＋1
C．－e－x－1
D．－e－x＋1
(2)已知函数 f(x)＝a－ex＋2 1(a∈R)是奇函数，则 a＝________．
(3)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，且 g(x)＝f(x－1)，
高三数学一轮总复习
【新高考·新课标】
第7讲
函数的奇偶性与周期性
一轮总复习
目录
题型1 函数奇偶性的判定题型2 函数奇偶性的应用题型3 函数的周期性题型4 函数性质的综合应用
一轮总复习
题型1：函数奇偶性的判定
【例 1】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1；
(2)f(x)＝(x＋1)
11＋－xx；
(3)f(x)＝－x2＋x2＋2x－2x＋1，1，x<x0>；0， (4)f(x)＝ 4x－2 x2．
一轮总复习
解：(1)由
1－x2≥0， x2－1≥0

【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：2-2函数的单调性与最值(含答案解析)

课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2016·云南昆明、玉溪统考)下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是( )A ．f(x)＝x 2B ．f(x)＝2|x|C ．f(x)＝log 21|x|D ．f(x)＝sinx解析：函数f(x)＝x 2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log 21|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sinx 是奇函数，不合题意．故选C.答案：C2．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( ) A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先减后增D ．先增后减解析：对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在(3,4)上为增函数．答案：C3．函数f(x)＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)解析：由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x>3，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．答案：A4．若f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a<－3 B ．a≤－3 C ．a>－3D ．a≥－3解析：对称轴x ＝1－a≥4，∴a≤－3. 答案：B5．若函数f(x)＝log a (x 2－ax ＋12)有最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1)∪(1，2)C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：当a>1且x 2－ax ＋12有最小值时，f(x)才有最小值log a 2－a 24，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>1，Δ<0⇒1<a< 2.答案：C6．(2016·河南示范高中模拟)若存在正数x 使2x (x －a)<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：由题意知，存在正数x ，使a>x －12x 成立，所以a>⎝⎛⎭⎫x －12x min ，而函数f(x)＝x －12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)>f(0)＝－1，所以a>－1，故选D.答案：D7．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y>0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)解析：当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)＝log a 5， ∴y ＝log a 5>0，∴a>1，由复合函数单调性知，单减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x<－1，解之得x<－3.答案：A8．(2016·黑龙江哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，当x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f(2)，c ＝f(e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c>a>bB ．c>b>aC ．a>c>bD ．b>a>c解析：由函数f(x)的图象向右平移a(a>0)个单位后关于直线x ＝a ＋1对称，知f(x)的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.由x 2>x 1>1时，[f(x 2)－f(x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∵1<2<52<e ，∴f(2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f(e)． ∴b>a>c ，故选D. 答案：D9．下列函数f(x)中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0”的是( )A ．f(x)＝1xB ．f(x)＝(x －1)2C ．f(x)＝e xD ．f(x)＝ln(x ＋1)解析：满足f x 2 －f x 1x 2－x 1<0其实就是f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故选A.答案：A10．(2016·江西八校联考)定义在R 上的函数f(x)对任意x 1，x 2(x 1≠x 2)都有f x 1 －f x 2x 1－x 2<0，且函数y ＝f(x －1)的图象关于点(1,0)中心对称，若s ，t 满足不等式f(s 2－2s)≤－f(2t －t 2)．则当1≤s≤4时，t －2s s ＋t的取值范围是( )A ．[－3，－12)B ．[－3，－12]C ．[－5，－12)D ．[－5，－12]解析：∵函数f(x －1)的图象关于点(1,0)中心对称，∴f(x)的图象关于点(0,0)中心对称，∴f(x)为奇函数，f(x)＝－f(－x)，∴f(s 2－2s)≤－f(2t －t 2)⇒f(s 2－2s)≤f(t 2－2t)，又由题意知f(x)为R 上的减函数，∴s 2－2s≥t 2－2t ，∴(s －t)(s ＋t －2)≥0，∴s≥t 且s ＋t≥2，或s≤t 且s ＋t≤2.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s≤4，s≤t ，s ＋t≤2的解只有⎩⎪⎨⎪⎧s ＝1，t ＝1，此时t －2s s ＋t ＝－12.t －2s s ＋t ＝t ＋s －3s s ＋t＝1－31＋t s，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤s≤4，s≥t ，s ＋t≥2表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知t s ∈[－12，1]，从而t －2s s ＋t ＝1－31＋t s∈[－5，－12]，∴t －2s s ＋t∈[－5，－12]．选D.答案：D 二、填空题11．若函数y ＝－|x|在[a ，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：y ＝－|x|在[0，＋∞)上单调递减，∴a≥0. 答案：a≥012．函数f(x)＝xx ＋1的最大值为________．解析：当x ＝0时，y ＝0. 当x≠0时，f(x)＝1x ＋1x，∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时成立，故0<f(x)≤12，∴0≤f(x)≤12.答案：1213．(2016·广州模拟)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a≤b ，b ，a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．解析：依题意，h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x≤2，－x ＋3，x>2.当0<x≤2时，h(x)＝log 2x 是增函数；当x>2时，h(x)＝－x ＋3是减函数．∴h(x)＝min{f(x)，g(x)}在x ＝2时，取得最大值h(2)＝1. 答案：114．(2016·云南适应性考试)若函数f(x)＝2x ＋sinx 对任意的m ∈[－2,2]，有f(mx －3)＋f(x)<0恒成立，则x 的取值范围是________．解析：易知f(x)是R 上的奇函数，由f′(x)＝2＋cosx>0，知f(x)为增函数． ∵f(mx －3)＋f(x)<0可变形为f(mx －3)<f(－x)，∴mx －3<－x ，∴mx －3＋x<0.设g(m)＝x·m －3＋x ，由题意知当m ∈[－2,2]时，g(m)<0恒成立，则当x≥0时，g(2)<0，即2x －3＋x<0，则0≤x<1；当x<0时，g(－2)<0，即－2x －3＋x<0，则－3<x<0.∴所求的x 的取值范围是(－3,1)．答案：(－3,1)三、解答题15．(2016·天津汉沽一模)已知函数f(x)＝x 2＋ax (x≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，当a ＝0时，f(x)＝x 2(x≠0)，显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a ，f(－1)＝1－a. 因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)．所以当a≠0时，函数f(x)＝x 2＋ax(x≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f′(x)＝2x －a x 2＝2x 3－ax2，当a≤0时，对任意x ∈[2，＋∞)，f′(x)>0恒成立，易知满足题意；当a>0时，令f′(x)＝2x 3－ax 2>0，解得x>3a 2，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，可知3a 2≤2，解得0<a≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．16．(2016·湖北模拟)若非零函数f(x)对任意函数x ，y 均有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，且当x<0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)>0；(2)求证：f(x)为R 上的减函数；(3)当f(4)＝116时，对a ∈[－1,1]时恒有f(x 2－2ax ＋2)≤14，求实数x 的取值范围．解：(1)证明：证法1：令y ＝0得f(0)·f(x)＝f(x)即f(x)[f(0)－1]＝0，又f(x)≠0，∴f(0)＝1.当x<0时，f(x)>1，－x>0.f(x)·f(－x)＝f(0)＝1，则f(－x)＝1f x ∈(0,1)．故对于x ∈R 恒有f(x)>0.证法2：f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋x 2＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x 22≥0， ∵f(x)为非零函数，∴f(x)>0. (2)证明：令x 1>x 2且x 1，x 2∈R ，有f(x 1)·f(x 2－x 1)＝f(x 2)，又x 2－x 1<0，则f(x 2－x 1)>1，故f x 2 f x 1 ＝f(x 2－x 1)>1，又f(x)>0.∴f(x 2)>f(x 1)．故f(x)为R 上的减函数． (3)f(4)＝116＝f(2＋2)＝f 2(2)⇒f(2)＝14，则原不等式可变形为f(x 2－2ax ＋2)≤f(2)，依题意有x 2－2ax≥0对a ∈[－1,1]恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x≥0，x 2＋2x≥0，∴x≥2或x≤－2或x ＝0.故实数x的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。

高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案).docx

例2 (1)定在R上的函数f(x)足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1，f(x)＝－(x＋2)2；当－
1≤x<3，f(x)＝x. f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 015)等于
()
A．335
B．336 C．1 678 D．2 012
1，当2≤x≤3，f(x)＝x，f(105.5)
(2)已知f(x)是定在R上的偶函数，并且f( x＋2)＝－f x
答案(1)A(2)D
解析(1)偶函数满足f(x)＝f(|x|)，根据这个结论，
1
1
有f(2x－1)< f3? f(|2x－1|)<f3
，
1
进而转化为不等式
|2x－1|<3，
1
2
解这个不等式即得
x的取值范围是
3，3.
(2)由函数f( x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，
k＝________.
1＋k·2
x2＋1，x≥0，
(2)已知函数f(x)＝
则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是________．
1，x<0，
易错分析
(1)解题中忽视函数
f(x)的定义域，直接通过计算
f(0)＝0
得k＝1.
(2)本题易出现以下错误
由f(1－x2)>f(2x)得1－x2>2x，忽视了1－x2>0导致解答失误．
－x
＝－
－x
∴f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；

新高考数学理一轮总复习知能演练2.3函数的奇偶性与周期性(含答案详析)

一、选择题1． (2012 ·考陕西卷高 ) 以下函数中，既是奇函数又是增函数的为()A ． y ＝ x ＋ 13B ． y ＝－ x1C ． y ＝ xD ．y ＝ x|x|分析：选 D. 由函数的奇偶性清除 A ，由函数的单一性清除 B 、 C ，由 y ＝ x|x|的图象可知当 x ＞ 0 时此函数为增函数，又该函数为奇函数，应选D.2．已知 y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，则函数 y ＝ f( x)的图象的对称轴是 ( )A ． x ＝ 1B ． x ＝－ 11 1C ． x ＝ 2D ．x ＝－ 2分析：选 A. ∵y ＝ f(x ＋ 1)是偶函数，∴ f(1＋ x)＝ f(1－ x)，故 f(x)对于直线 x ＝ 1 对称． 3．函数 f( x)＝ x 3＋ sinx ＋ 1(x ∈ R )，若 f(a)＝ 2，则 f(－ a)的值为 ( )A ． 3B ． 0C ．－ 1D ．－2分析：选 B.f(a)＝ a 3＋ sina ＋ 1，①33f(－ a)＝ (－ a) ＋ sin(－ a)＋ 1＝－ a － sina ＋ 1，②∴f(－ a)＝ 2－ f(a)＝ 2－ 2＝ 0.24．函数 f( x)＝ 1－ 1＋ 2x (x ∈R )( )A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数分析：选 D. ∵f(x)＝ 1－2 ＝ 2x－ 1，1＋ 2x 2x ＋ 12－x－11－ 2x 2x － 1 ∴f(－ x)＝ x＝ 1＋ 2 x ＝－ x＝－ f(x)． 2－＋ 12 ＋ 1又其定义域为 R ，∴f(x)是奇函数．5．定义在 R 上的偶函数 y ＝f(x)知足 f(x ＋ 2)＝ f(x)，且当 x ∈ (0,1] 时单一递加，则 ()15 A ． f 3 ＜ f(－5)＜ f 2 1 5B ． f 3 ＜ f 2 ＜ f(－5) 5 1C ． f 2 ＜ f 3 ＜ f(－5)D ． f(－5) ＜f 1＜ f 53 2分析：选 B.∵f(x ＋ 2)＝ f(x)，∴f(x) 是以 2 为周期的函数，51＋ 21，又 f(x)是偶函数，∴ f 2 ＝ f2＝ f 2 f(－ 5)＝ f(5)＝ f(4＋ 1)＝ f(1) ，∵函数 f(x)在 (0,1] 上单一递加，1 1 1 5∴f 3 ＜ f 2 ＜ f(1)，即 f 3 ＜ f 2 ＜ f(－ 5)．二、填空题6．设函数 f(x) ＝x(e x ＋ ae －x )(x ∈ R )是偶函数，则实数 a 的值为 ________．分析：由于 f(x)是偶函数，因此恒有f(－ x)＝ f(x)，即－ x(e－x＋ae x )＝ x(e x＋ ae －x )，化简得 x(e －x ＋e x )( a ＋ 1)＝ 0.由于上式对随意实数x 都建立，因此 a ＝－ 1.答案：－17．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x ＞ 0 时， f(x)＝ x ＋ 1，则当 x ＜ 0 时，f(x)＝ ________. 分析： ∵f(x)为奇函数， x ＞0 时， f(x)＝ x ＋ 1， ∴当x ＜ 0 时，－ x ＞ 0， f(x)＝－ f(－ x)＝－ ( － x ＋ 1)，即 x ＜0 时， f(x)＝－ ( － x ＋ 1)＝－－ x － 1.答案：－－ x － 18． (2013 大·连质检 )设 f(x)是定义在 (－∞， 0)∪ (0，＋∞ )上的奇函数，且f(x ＋ 3) ·f(x)＝－ 1， f(－ 4)＝ 2，则 f(2014) ＝________.分析：由已知 f(x ＋ 3)＝－ 1，f x∴f(x ＋ 6)＝－ 1＝ f(x)，f x ＋ 3 ∴f(x)的周期为 6.∴f(2014) ＝ f(335× 6＋ 4)＝ f(4) ＝－ f(－ 4)＝－ 2. 答案：－2 三、解答题9．判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝x 2－ 1＋ 1－ x 2；x 2－ 2x ＋ 3x>0 ，(2)f(x)＝ 0 x ＝ 0 ，－ x 2－ 2x －3x<0 .解： (1)f(x) 的定义域为 { － 1,1} ，对于原点对称．又 f(－ 1)＝ f(1) ＝0.∴f(－ 1)＝ f(1) 且 f(－ 1)＝－ f(1)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)①当 x ＝ 0 时，－ x ＝0，f(x)＝f(0)＝ 0， f(－ x)＝ f(0) ＝ 0， ∴f(－ x)＝－ f(x)． ②当 x>0 时，－ x<0，∴f(－ x)＝－ (－ x)2－ 2(－ x)－ 3＝－ (x 2－ 2x ＋ 3)＝－ f( x)．③当 x<0 时，－ x>0，∴f(－ x)＝ (－ x)2－2(－ x)＋3＝－ (－ x2－2x－ 3)＝－ f(x) ．由①②③可知，当x∈R时，都有f(－ x)＝－ f(x) ，∴f(x)为奇函数．10．已知奇函数f(x)的定义域为 [ － 2,2] ，且在区间 [ －2,0] 内递减，求知足：f(1－ m)＋ f(1－m2)<0 的实数 m 的取值范围．解：∵f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，－ 2≤ 1－ m≤ 2∴有，－ 2≤ 1－ m2≤ 2解得－ 1≤ m≤ 3.①又 f(x)为奇函数，且在[－ 2,0] 上递减，∴在[ － 2,2]上递减，22－ 1)?2∴f(1－ m)< －f(1－m )＝ f(m1－ m>m －1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－1≤ m<1.一、选择题1． (2012 ·考天津卷高) 以下函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 () A． y＝ cos 2x， x∈R B ． y＝ log2|x|，x∈R且 x≠ 0C． y＝e x－e－ x， x∈R D ．y＝ x3＋ 1， x∈R 2分析：选 B. 由函数是偶函数能够清除 C 和 D，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y＝ log 2|x|＝log 2x 为增函数，因此选择 B.2．(2011 ·考山东卷高)已知 f(x)是R上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时，f(x)＝ x3－ x，则函数 y＝ f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点的个数为 () A． 6 B ． 7C． 8 D ．9分析：选 B.令 f(x)＝ x3－ x＝0，即 x(x＋ 1)(x－ 1)＝ 0，因此 x＝ 0,1，－ 1，由于 0≤ x＜ 2，因此此时函数的零点有两个，即与x 轴的交点个数为 2.由于 f(x)是R上最小正周期为 2 的周期函数，因此 2≤ x＜ 4,4≤ x＜ 6 上也分别有两个零点，由 f(6) ＝ f(4) ＝ f(2)＝ f(0)＝ 0，知 x＝6 也是函数的零点，因此函数 y＝ f(x)的图象在区间[0,6] 上与 x 轴的交点个数为7.二、填空题13．若 f(x)＝2x－1＋ a 是奇函数，则a＝ ________.分析： ∵f(x)为奇函数，∴ f(－ x)＝－ f(x)，即1 － 11 ＋a ＝－ a ，得： 2a ＝ 1，a ＝2－x － 1 2x －12. 答案：124．(2013 长·春质检 )设 f(x)是 (－∞，＋∞ )上的奇函数，且 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，下边对于 f(x)的判断：此中正确命题的序号为________．① f(4)＝ 0； ② f(x)是以 4 为周期的函数； ③ f(x)的图象对于 x ＝ 1 对称； ④ f(x)的图象对于 x ＝ 2 对称．分析： ∵f(x ＋2) ＝－ f(x)，∴f(x)＝－ f( x ＋ 2)＝－ (－ f(x ＋ 2＋ 2)) ＝ f(x ＋ 4)，即 f(x)的周期为 4，②正确．∵f(x)为奇函数，∴ f(4)＝ f(0) ＝ 0，即①正确．又∵f(x ＋ 2)＝－ f(x)＝ f(－ x)，∴f(x)的图象对于 x ＝ 1 对称，∴③正确，又∵f(1)＝－ f(3) ，当 f(1) ≠0 时，明显 f(x)的图象不对于 x ＝2 对称，∴④错误．答案： ①②③ 三、解答题5．已知函数 f(x)＝ x 2＋ |x － a|＋ 1， a ∈ R .(1)试判断 f(x)的奇偶性；1 1(2)若－ 2≤a ≤ 2，求 f(x)的最小值．解： (1)当 a ＝ 0 时，函数 f(－ x)＝ (－ x)2＋ |－ x|＋ 1＝ f(x)，此时， f(x)为偶函数．当 a ≠0 时， f(a)＝ a 2＋ 1， f(－ a)＝ a 2＋ 2|a|＋ 1， f(a)≠f(－ a)， f(a)≠ － f(－a)，此时， f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．2 － x ＋ a ＋ 1＝ x －1 23 (2)当 x ≤ a 时， f( x)＝ x 2＋ a ＋，4∵a ≤12，故函数f(x)在 (－ ∞ ，a]上单一递减，进而函数 f(x)在 (－ ∞， a]上的最小值为 f(a)＝ a 2＋ 1.当 x ≥a 时，函数 f(x)＝ x 2＋ x － a ＋ 1＝ x ＋1 2－ a ＋ 3，241∵a ≥－ 2，故函数 f(x)在 [a ，＋ ∞ )上单一递加，进而函数 f(x)在 [a ，＋ ∞ )上的最小值为 f(a)＝ a 2＋ 1.1 12综上得，当－2≤ a ≤ 2时，函数 f(x)的最小值为a ＋ 1.。

2021年高考数学大一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性高效作业理新人教A版

2021年高考数学大一轮总复习 2.3 函数的奇偶性与周期性高效作业理新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·江西红色六校联考)设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，0) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：因为函数f(x)＝lg(21－x＋a)为奇函数，且在x＝0处有定义，故f(0)＝0，即lg(2＋a)＝0，∴a＝－1.故函数f(x)＝lg(21－x －1)＝lg1＋x1－x.令f(x)＜0，得0＜1＋x1－x＜1，即x∈(－1,0)．答案：A2．(xx·诸城模拟)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)＝f yx＋f xy成立，则f(x)( )A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数解析：令x＝y＝1，则f(1)＝f11＋f11，∴f(1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f －1－1＋f －1－1，∴f (－1)＝0.令y ＝－1，则f (－x )＝f －1x ＋f x－1， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数．又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A. 答案：A3．(xx·江西盟校二联)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在[－1，3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )＞0，得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )＞0，得x ∈Ø；当x ∈(1,3)时，由xf (x )＞0，得x ∈(1,3)． ∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C. 答案：C4．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.答案：A5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2，或x >4}B ．{x |x <0，或x >4}C ．{x |x <0，或x >6}D ．{x |x <－2，或x >2}解析：当x ≥0时，令f (x )＝2x －4>0，所以x >2.又因为函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )>0的解集为{x |x <－2，或x >2}．将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位即得函数y＝f (x －2)的图象，故f (x －2)>0的解集为{x |x <0，或x >4}．答案：B6．(xx·辽宁大连)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：根据题意，函数y ＝f (x )是周期为2的偶函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，且g (x )＝|x cos(πx )|，所以当x ＝0时，f (x )＝g (x )．当x ≠0时，若0<x ≤12，则x 3＝x cos(πx )，即x 2＝|cos(πx )|.同理可以得到在区间[－12，0)，(12，1]，(1，32]上的关系式都是上式，在同一坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根．所以共有6个．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(xx·金华十校模拟)已知函数f (x －1)为奇函数，函数f (x ＋3)为偶函数，f (0)＝1，则f (8)＝________.解析：由y ＝f (x －1)为奇函数得f (－x －1)＝－f (x －1)，由y ＝f (x ＋3)为偶函数得f (－x ＋3)＝f (x ＋3)，则f (8)＝f (5＋3)＝f (－5＋3)＝f (－2)＝f (－1－1)＝－f (1－1)＝－f (0)＝－1.答案：－18．(xx·山东滨州一模)已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋1)＝1f x；②函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称；③对于任意的x 1，x 2∈[0,1]，且x 1＜x 2，都有f (x 1)＞f (x 2)，则f (32)，f (2)，f (3)从小到大的关系是________．解析：由①得f (x ＋2)＝f (x ＋1＋1)＝1fx ＋1＝f (x )，所以函数f (x )的周期为2.因为函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，将函数y ＝f (x ＋1)的图象向右平移一个单位即得y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称；根据③可知函数f (x )在[0,1]上为减函数，又结合②知，函数f (x )在[1,2]上为增函数．因为f (3)＝f (2＋1)＝f (1)，在区间[1,2]上，1＜32＜2，所以f (1)＜f (32)＜f (2)，即f (3)＜f (32)＜f (2)．答案：f (3)＜f (32)＜f (2)9．(xx·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 以上命题中所有真命题的序号为________．解析：令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故真命题的序号为①②④.答案：①②④10．(xx·济宁高三一模)已知定义域为R 的函数f (x )既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,6]上的零点个数是________．解析：由f (x )是定义域为R 的奇函数，可知f (0)＝0.因为f (x ＋3)＝f (x )，所以f (3)＝0.令x ＝－32，得f (32)＝f (－32)，所以f (32)＝0.又当x ∈(0，32)时，f (x )＝sinπx ，所以f (1)＝0，f (2)＝f (3－1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，则f (x )在区间[0,3]上的零点有5个．由周期性可知，f (x )在区间(3,6]上有4个零点，故f (x )在区间[0,6]上的零点个数是9.答案：9三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(能力题)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意的实数x ，y ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＞0时，f (x )＜0，求证：(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．12．(xx·广东六校联考)已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．(1)求a，b的值；(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即b－1a＋2＝0⇒b＝1，所以f(x)＝1－2xa＋2x＋1，又由f(1)＝－f(－1)知1－2a＋4＝－1－12a＋1⇒a＝2.(2)由(1)知f(x)＝1－2x2＋2x＋1＝－12＋12x＋1，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2，即对t∈R有：3t2－2t－k＞0，从而Δ＝4＋12k＜0⇒k＜－13 .13．(能力题)设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足①f (x 1－x 2)＝f x 1f x 2＋1f x 2－f x 1；②存在正常数a ，使f (a )＝1. 求证：(1)f (x )是奇函数；(2)f (x )是周期函数，并且有一个周期为4a . 解：(1)不妨令x ＝x 1－x 2，则f (－x )＝f (x 2－x 1)＝f x 2f x 1＋1f x 1－f x 2＝－f x 1f x 2＋1f x 2－f x 1＝－f (x 1－x 2)＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数． (2)要证f (x ＋4a )＝f (x )，可先计算f (x ＋a )，f (x ＋2a )， ∵f (x ＋a )＝f [x －(－a )]＝f －a f x ＋1f －a －f x＝－f a f x ＋1－f a －f x ＝fx －1fx ＋1，(f (a )＝1)． ∴f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝f x ＋a －1f x ＋a ＋1＝f x －1f x ＋1－1f x －1f x ＋1＋1＝－1f x .∴f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝1－fx ＋2a＝f (x )．故f (x )是以4a 为周期的周期函数．34048 8500 蔀}36196 8D64 赤36811 8FCB 迋 25202 6272 扲v 23863 5D37 崷37173 9135 鄵26011 659B斛,29221 7225 爥28243 6E53 湓39044 9884 预。

2021年高考数学 2.3 函数的奇偶性与周期性练习

2021年高考数学 2.3 函数的奇偶性与周期性练习(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.定义域为R的四个函数y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x中,奇函数的个数是( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.由奇函数的概念可知y=x3,y=2sin x是奇函数.2.(xx·广州模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg |x|【解析】选C.A中,y=为奇函数,故排除A;B中,y=e-x为非奇非偶函数,故排除B;C中,y=-x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减;D中,y=lg |x|为偶函数,在x∈(0,+∞)时单调递增,排除D.3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(2 015)等于()A.-2B.2C.-98D.98【解析】选A.因为f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2 015)=-2.【方法技巧】周期性问题常与奇偶性相结合,解题时注意以下两点:(1)周期的确定:特别是给出递推关系要明确周期如何确定.(2)周期性与奇偶性在解题时,一般情况下周期性起到自变量值转换作用,奇偶性起到调节转化正负号的作用.【加固训练】(xx·皖北八校模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),且x∈(-2,0)时,f(x)=2x+,则f(2 013)=()A.-1B.0C.1D.±1【解析】选A.因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.因为f(x-2)=f(x+2),所以f(x+4)=f(x),即函数的周期为4.所以f(2 013)=f(4×503+1)=f(1).因为f(-1)=2-1+=1,f(-1)=-f(1)=1,即f(1)=-1,所以f(2 013)=f(1)=-1,故选A.4.(xx·长春模拟)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数【解析】选 D.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:≠±f(x),故A,B错;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,显然f(x)不是增函数,故C错,故选D.方法二:(图象法)依据已知可以作出函数f(x)的图象,如图所示,则可知f(x)是有界,且周期为k(k∈Z,k≠0)的非单调函数,其最小正周期为1,故选D.5.若函数f(x)=是奇函数,则a的值为()A.0B.1C.2D.4【解析】选A.由f(-1)=-f(1),得,所以(-1+a)2=(1+a)2,解得a=0.6.(xx·重庆模拟)已知函数y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=lg x,则f(f())的值等于()A. B.- C.lg 2 D.-lg 2【解析】选D.因为当x>0时,f(x)=lg x,所以f()=lg =-2,则f(f())=f(-2),因为函数y=f(x)是奇函数,所以f(f())=-f(2)=-lg 2.7.(xx·黄冈模拟)能够把圆O:x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”,下列函数不是圆O的“和谐函数”的是()A.f(x)=4x3+xB.f(x)=lnC.f(x)=tanD.f(x)=ex+e-x【解析】选D.由“和谐函数”的定义知,若函数为“和谐函数”,则该函数为过原点的奇函数.A中,f(0)=0,且f(x)为奇函数,所以f(x)=4x3+x为“和谐函数”;B中,f(0)=ln=ln 1=0,且f(-x)=ln =ln=-ln =-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)=ln为“和谐函数”;C中,f(0)=tan 0=0,且f(-x)=tan(-)=-tan =-f(x),所以f(x)为奇函数,故f(x)=tan为“和谐函数”;D中,f(0)=e0+e-0=2,所以f(x)=ex+e-x的图象不过原点,所以f(x)=ex+e-x不是“和谐函数”.二、填空题(每小题5分,共15分)8.f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=log2(1-x),则f(3)=.【解析】f(3)=-f(-3)=-log24=-2.答案:-29.若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=.【解析】因为函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-|-x+a|=x2-|x+a|,所以|-x+a|=|x+a|,所以a=0. 答案:010.(xx·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是.【解析】因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|).所以不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数.所以解得-1≤m<.(20分钟40分)1.(5分)(xx·山东高考)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)【解题提示】本题为新定义问题,准确理解准偶函数的概念再运算.【解析】选D.由f(x)=f(2a-x)可知, f(x)关于x=a对称,准偶函数即偶函数左右平移得到的.【加固训练】定义两种运算:a⊗b=,a⊕b=,则f(x)=是()A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数【解析】选A.因为2⊗x=,x⊕2=,所以f(x)=该函数的定义域是[-2,0)∪(0,2],且满足f(-x)=-f(x).故函数f(x)是奇函数.2.(5分)(xx·杭州模拟)若偶函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则y=f(x)的图象与y=log4|x|的图象的交点个数是()A.3B.4C.6D.8【解析】选C.由于f(x)是满足f(x+2)=f(x)的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=x,故f(x)是周期为2的周期函数,其图象如图所示,根据函数y=log4|x|也是偶函数,其图象也关于y轴对称,容易知道它们的交点共有6个.故选C.3.(5分)(xx·西安模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.【解析】f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,所以f(-x)=-f(x),f(+x)=f(-x)⇒f(x)=f(1-x),所以f(-x)=f(1+x)=-f(x),f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(0)=f(1)=f(3)=f(5)=0,f(0)=f(2)=f(4)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.答案:0【加固训练】已知函数f(x)满足:f(1)=,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则f(2 015)=.【解析】令x=1,y=0时,4f(1)·f(0)=f(1)+f(1),解得f(0)=,令x=1,y=1时,4f(1)·f(1)=f(2)+f(0),解得f(2)=-,令x=2,y=1时,4f(2)·f(1)=f(3)+f(1),依次求得f(4)=-,f(5)=,f(6)=,f(7)=,f(8)=-,f(9)=-,…可知f(x)是以6为周期的函数,所以f(2 015)=f(335×6+5)=f(5)=.答案:【一题多解】本题还可以采用如下方法:因为f(1)=,4f(x)·f(y)=f(x+y)+f(x-y),所以构造符合题意的函数f(x)=所以f(2 015)=答案:4.(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.【解析】(1)因为对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),所以令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数.(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.5.(13分)(能力挑战题)已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)= f(7+x), 且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性.(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论.【解析】(1)若y=f(x)为偶函数,则f(-x)=f(2-(x+2))=f(2+(x+2))= f(4+x)=f(x),所以f(7)=f(3)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是偶函数.若y=f(x)为奇函数,则f(0)=-f(0),所以f(0)=0,这与f(x)在闭区间[0,7]上只有f(1)=f(3)=0矛盾;因此f(x)不是奇函数.综上可知:函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)由⇒⇒f(4-x)=f(14-x)⇒f(x)=f(x+10),从而知函数y=f(x)的周期T=10.由f(3)=f(1)=0,得f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0.故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数y=f(x)在[0,2 014]上有404个解,在[-2 014,0]上有402个解,所以函数y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有806个解.20373 4F95 侕A39850 9BAA 鮪30473 7709 眉WD t37702 9346 鍆rk34576 8710 蜐} [。

高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章第三节函数的奇偶性与周期性 Word版含答案

第三节函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.[熟记常用结论]1．奇偶性的5个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a.3．对称性的3个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a 对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选填题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.2．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝e xC．y＝|x| D．y＝e x－e－x解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是()A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))解析：选B因为(a，f(a))是函数y＝f(x)图象上的点，且y＝f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a，f(－a))，即(－a，－f(a))一定在y＝f(x)的图象上．4．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.答案：135．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝－1＋2＝1. 答案：1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：定义法当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．法二：图象法作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称．又f (－x )＝4－(－x )2(－x )2＝4－x 2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ，因为f (－x )＋f (x )＝log a [－x ＋(－x )2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[名师微点]判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．(2)图象法：(3)性质法：设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．(1)(2019·广州调研)已知函数f (x )＝2x2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．[解析] (1)易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x2－x －1＝－2x 2x －1－11－2x＝－1，所以a ＝－12.(2)∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)＝x －1，即x ＜0时，f (x )＝x －1.(3)由题意得，g (－x )＝f (－x －1)，∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0. [答案] (1)－12(2)x －1 (3)0[解题技法]与函数奇偶性有关的问题及解题策略(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )，f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x ＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解．[过关训练]1．设f (x )－x 2＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )A ．g (x )＝x 3B ．g (x )＝cos xC ．g (x )＝1＋xD ．g (x )＝x e x解析：选B 因为f (x )＝x 2＋g (x )，且函数f (x )为偶函数，所以有(－x )2＋g (－x )＝x 2＋g (x )，即g (－x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，由选项可知，只有选项B 中的函数为偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜0，g (x )＋1，x >0，若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )A ．1B ．3C ．－3D ．－1解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ＜0，g (x )＋1，x >0，f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－f (3)，∴log 2(1＋3)＝－(g (3)＋1)，则g (3)＝－3.故选C.3．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x (t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a＋b ＝2，则t ＝________.解析：f (x )＝2tx 2＋2t sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋x 2x 2＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x2x 2＋cos x ，设g (x )＝t sin x ＋x 2x 2＋cos x，则g (x )为奇函数，g (x )max ＝a －t ，g (x )min ＝b －t .∵g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴a ＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1.答案：1(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝，那么f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0， f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. [答案] (1)C (2)1 010[解题技法]函数周期性有关问题的求解策略(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．[口诀记忆]函数周期三类型：一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.[过关训练]1．[口诀第2句]已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．[口诀第3、4句]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x ＜4时，0≤x －2＜2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.同理可得，当4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.当x7＝6时，也符合要求．综上可知，共有7个交点．3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是()A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)解析：选C因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.考法(一)单调性与奇偶性综合[例1](2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x －1)>0，则x的取值范围为()A．{x|0＜x＜1或x>2}B．{x|x＜0或x>2}C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}[解析]因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.[答案] A考法(二)奇偶性与周期性综合[例2](2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)[解析]∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.[答案] D考法(三)单调性、奇偶性与周期性结合[例3](2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>b[解析]∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b ＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.[答案] D[规律探求][过关训练]1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2 D．50解析：选C∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝－f(x)，若f(x)在[－1,0]上单调递减，则f(x)在[1,3]上是()A．增函数B．减函数C．先增后减的函数D．先减后增的函数解析：选D根据题意，∵f(x＋1)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.又∵f(x)在定义域R上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f(x)在[0,1]上是增函数，∴函数f(x)在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f(x)在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a －1|)＞f(－2)，则a的取值范围是________．解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f(2)，∴f(2|a－1|)＞f(2)，∴2|a－1|＜2＝21 2，∴|a－1|＜12，即－12＜a－1＜12，即12＜a＜32.1 2，3 2答案：⎝⎛⎭⎫。

【红对勾】高考新课标数学(文)大一轮复习课时练：2-3函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

课时作业6 函数的奇偶性与周期性一、选择题1．(2016·河南信阳一模)函数f(x)＝lg|sinx|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数．答案：C2．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于()A．－x(1－x)B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)解析：当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．答案：B3．(2016·山东枣庄一模)若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)() A．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数解析：因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因数y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.答案：B4．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是()A．1 B．4C．3 D．2解析：由f(2)＝0，得f(5)＝0.∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0.f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．答案：B5．(2016·河北沧州一模)已知函数f(x)＝x2＋(b－4－a2)x＋2a－b是偶函数，则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是()A．－4 B．2C．3 D．4解析：由f(x)为偶函数，可知f(－x)＝f(x)，∴b＝4－a2，∴f(x)＝x2＋2a－4－a2，令g(a)＝2a－4－a2，问题转化为求g(a)的最大值．在坐标系中画函数y＝2a，y＝－4－a2的图象如图．易知当a＝2时，g(a)取最大值，g(a)max＝g(2)＝4，选D.答案：D6．(2016·深圳一调)已知函数f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x －1)，若f(3)＝2，则f(2 015)的值为()A．2 B．0C．－2 D．±2解析：∵f(x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函数f(x)是周期函数，且周期为4.∴f(2 015)＝f(3)＝2.答案：A7．(2016·湖南月考)已知f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m－2)＋f(2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，53 B.⎝⎛⎭⎫－∞，53 C ．(1,3) D.⎝⎛⎭⎫53，＋∞解析：∵f(x)是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x<1，f(－x)＝－f(x)．∴f(m －2)＋f(2m －3)>0可转化为f(m －2)>－f(2m －3)．∴f(m －2)>f(－2m ＋3)，∵f(x)是减函数．∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3，∴1<m<53. 故选A.答案：A8．(2016·辽宁大连模拟)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.94B ．2 C.34 D.14 解析：设x>0，则－x<0.∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3(－x)＋2]＝－x 2＋3x －2.在[1,3]上，当x ＝32时，f(x)max ＝14；当x ＝3时，f(x)min ＝－2，∴m≥14且n≤－2，故m －n≥94. 答案：A9．(2016·陕西模拟)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x 2＋2x ，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x 2＋2x ，作出f(x)的大致图象如图中实线所示．结合图象可知f(x)是R 上的增函数，由f(2－a 2)>f(a)，得 2－a 2>a ，即－2<a<1.答案：C10．(2016·广东调研)已知x ∈(0,1)时，函数f(x)＝1＋2x 22x 1－x 2的最小值为b ，若定义在R 上的函数g(x)满足：对任意m ，n ，有g(m ＋n)＝g(m)＋g(n)＋b ，则下列结论正确的是( )A ．g(x)－1是奇函数B ．g(x)＋1是奇函数C ．g(x)－3是奇函数D ．g(x)＋3是奇函数解析：令x ＝sint ，t ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数f(x)可转化为g(t)＝1＋2sin 2t 2sintcost ＝3sin 2t ＋cos 2t 2sintcost ＝32tant ＋12tant，因为t ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以tant>0，所以g(t)＝32tant ＋12tant≥234＝3，当且仅当t ＝π6，即x ＝12时取等号，所以b ＝ 3. 令m ＝n ＝0，则g(0)＝－3，又令m ＝x ，n ＝－x ，得g(0)＝g(x)＋g(－x)＋3，即－3－g(x)＝g(－x)＋3，即－[3＋g(x)]＝g(－x)＋ 3.令h(x)＝g(x)＋3，则h(－x)＝－h(x)，所以g(x)＋3是奇函数．故选D.答案：D二、填空题11．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝________. 解析：依题意，得f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫52－2＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－2×12×⎝⎛⎭⎫1－12＝－12. 答案：－1212．定义在(－∞，＋∞)上的函数y ＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y ＝f(x ＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f ⎝⎛⎭⎫512的大小关系是________．解析：∵y ＝f(x ＋2)为偶函数，∴y ＝f(x)关于x ＝2对称．又y ＝f(x)在(－∞，2)上为增函数．∴y ＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)，∴f ⎝⎛⎭⎫512<f(－1)<f(4)．答案：f ⎝⎛⎭⎫512<f(－1)<f(4) 13．设函数f(x)为定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)>0，f(2)＝(a ＋1)(2a －3)，则a 的取值范围是________．解析：∵f(x)是周期为3的奇函数，∴f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)<0.∴(a ＋1)(2a －3)<0，解得－1<a<32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，32 14．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x ＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：①f(x)是周期函数；②f(x)关于直线x ＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函数；④f(x)在[1,2]上是减函数；⑤f(2)＝f(0)．其中正确的序号是________．解析：由f(x ＋1)＝－f(x)，得f(x ＋2)＝－f(x ＋1)＝f(x)．∴f(x)是周期为2的函数，①正确．f(x)关于直线x ＝1对称，②正确．f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数．∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③，④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．答案：①②⑤三、解答题15．(2016·湖北八校联考)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x ＋2)＝－f(x)，且当x ∈[0,2)时，f(x)＝log 2(x ＋1)，求：(1)f(0)与f(2)的值；(2)f(3)的值；(3)f(2 013)＋f(－2 014)的值．解：(1)f(0)＝0，f(2)＝0.(2)f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－log 2(1＋1)＝－1.(3)依题意得，x≥0时，f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)，即x≥0时，f(x)是以4为周期的函数．因此，f(2 013)＋f(－2 014)＝f(2 013)＋f(2 014)＝f(1)＋f(2)．而f(2)＝－f(0)＝－log 2(0＋1)＝0，f(1)＝log 2(1＋1)＝1，故f(2 013)＋f(－2 014)＝1.16．(2016·陕西汉中月考)设函数f(x)＝ka x －a －x (a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f(1)>0，试求不等式f(x 2＋2x)＋f(x －4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a 2x ＋a －2x －4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解：∵f(x)是定义域为R 的奇函数，∴f(0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1.(1)∵f(1)>0，∴a －1a>0，又a>0且a≠1，∴a>1.∵k ＝1，∴f(x)＝a x －a －x ，当a>1时，y ＝a x 和y ＝－a－x 在R 上均为增函数，∴f(x)在R 上为增函数，原不等式可化为f(x 2＋2x)>f(4－x)，∴x 2＋2x>4－x ，即x 2＋3x －4>0，∴x>1或x<－4，∴不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)∵f(1)＝32， ∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0. ∴a ＝2或a ＝－12(舍去)， ∴g(x)＝22x ＋2－2x －4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2，令t ＝h(x)＝2x －2－x (x≥1)，则g(t)＝t 2－4t ＋2.∵t ＝h(x)在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，∴h(x)≥h(1)＝32，即t≥32，g(t)＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，t ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞. ∴当t ＝2时，g(t)取得最小值－2，即g(x)取得最小值－2，此时x ＝log 2(1＋2)，故当x ＝log 2(1＋2)时，g(x)有最小值－2.。

2020年高考红对勾一轮复习文科数学人教版创新方案课件学案2-3

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第二章·第3节
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1.判断函数的奇偶性的两种方法 (1)定义法：
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(2)图象法：
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拓展：(1)复合函数奇偶性的判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．
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解析：A.h(x)＝f(x)＋g(x)＝ 4－x2＋|x－2|＝ 4－x2＋2－x，x ∈[－2,2]．
h(－x)＝ 4－x2＋2＋x≠h(x)，且 h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．
B．h(x)＝f(x)·g(x)＝ 4－x2|x－2|＝ 4－x2(2－x)，x∈[－2,2]． h(－x)＝ 4－x2(2＋x)≠h(x)，且 h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．
(2)抽象函数奇偶性的判断：应充分利用定义，巧妙赋值，通过合理、灵活地变形配凑来判断．
2．函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式．
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解析：f(x)＝2tx2＋2x22t＋sincoxs＋x 4π＋x ＝t＋2txs2i＋nx＋cosxx，设 g(x)＝2txs2i＋nx＋cosxx，则 g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t. ∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即 2－2t＝0，解得 t＝1.

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练 2-3 Word版含解析

数形结合在函数、周期函数中的应用[典例] (2022·辽宁高考)设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝|x cos(πx )|，则函数h (x )＝g (x )－f (x )在[－12，32]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[审题视角](1)本题是以数学符号语言交代了函数f (x )的奇偶性及周期性，考查了自然语言与符号语言转化的力气．(2)本题考查幂函数、三角函数及函数的交汇零点，且将数形结合思想融会其中，较好地考查了探究力气和规律推理力气．(3)本题也可以通过奇异转化，将x 3＝x cosπx 转化为我们生疏的二次函数与周期函数间的关系，即x >0时，x 2＝|cosπx |而使问题得以简洁解决．[解析] 由题意f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )，知f (x )为偶函数且T ＝2，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，∴当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x 3，又g (x )＝|x cos(πx )|，∴g (0)＝f (0)，0<x ≤12时，g (x )＝x cos(πx )，由g (x )－f (x )＝0得x 3＝x cos(πx )，同理可得在区间[－12，0]，(12，1]，[1，32)上都有x 2＝cos(πx )，在同一坐标系中作出函数y ＝x 2与y ＝cos(πx )的图像，可知有5个交点，因此h (x )共有6个零点．[答案] B(1)正确识别函数f (x )的性质；(2)留意到x ＝0是函数h (x )的一个零点，此处极易被忽视； (3)正确画出函数的图像，将零点问题转化为函数图像的交点问题．1．(2022·衡阳六校联考)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 011)＋f (2 012)＝( )A ．1＋log 23B ．－1＋log 23C ．－1D ．1解析：∵f (x ＋2)＝－f (x )∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝f (x )∴f (x )在x ≥0时以4为周期的周期函数．而f (x )＝f (－x )，∴f (－2 011)＝f (2 011)∴f (－2 011)＋f (2 012)＝f (2 011)＋f (2 012)＝f (3)＋f (0)＝－f (1)＋f (0)＝－log 22＋log 21＝－1答案：C2．(2022·朝阳模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，。

高考数学一轮复习专题2.3函数的奇偶性与周期性(测)(2021年整理)

（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.3 函数的奇偶性与周期性（测）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.3 函数的奇偶性与周期性（测））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第03节函数的奇偶性与周期性班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【2018届北京市西城区44中12月月考】已知()f x 是定义在()2,a a -上的奇函数，则()0f a +的值为（）．A 。

0B 。

1C 。

1-D 。

2 【答案】B【解析】∵()f x 是定义在()2,a a -上的奇函数， ∴20a a -+=,解得1a =，且()00f =， ∴()01f a +=．选B ．2.【2018届宁夏回族自治区银川一中考前训练】已知函数是奇函数,且,，则（） A 。

3 B 。

2 C 。

D.【答案】D【解析】分析：先根据奇函数性质得，再求。

详解：因为函数是奇函数，所以所以因此，选D.3．【2017届浙江省嘉兴一中适应性测试】已知函数()ln f x x =， ()23g x x =-+，则()()f x g x ⋅的图象为（ )A. B 。

C 。

D 。

【答案】B【解析】由()()f x g x ⋅为偶函数，排除,A D ,当x e =时, ()()230f x g x e ⋅=-+<，排除C ． 4。

2021年高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课时作业理(含解析)新人教A版

2021年高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性课时作业理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·茂名一模)已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )∴f (－x )＝－f (x )＝log 2(－x )，∴当x <0时，f (x )＝－log 2(－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1. 答案：B2．(xx·北京西城区期末)已知函数f (x )＝x ＋b cos x ，其中b 为常数．那么“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若b ＝0，则f (x )＝x 为奇函数，反之，若f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－x ＋b cos(－x )＝－x ＋b cos x ＝－f (x )＝－x －b cos x ，∴b ＝0，故“b ＝0”是“f (x )为奇函数”的充要条件．答案：C3．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．答案：C4．(xx·福建卷)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数 D ．D (x )不是单调函数解析：A 显然正确．D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0， x 为无理数，当x ∈Q 时，－x ∈Q ，而D (x )＝D (－x )＝1；当x 为无理数时，－x 也为无理数，此时D (x )＝D (－x )＝0，∴对任意的x ∈R ，D (x )＝D (－x )，∴B 正确．不妨设a ∈Q 且a ≠0，当x 为有理数时，D (x ＋a )＝D (x )＝1，当x 为无理数时，D (x ＋a )＝D (x )＝0，∴D (x )为周期函数，∴C 不正确．∵x 1＝1，D (1)＝1，x 2＝2，D (2)＝1，∴D (x 1)＝D (x 2)，∴D (x )在定义域上不单调．故D 正确．答案：C5．(xx·河南开封第一次模拟)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时， f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时， f (x )＝( )A ．－log 2(4－x )B ．log 2(4－x )C ．－log 2(3－x )D ．log 2(3－x )解析：依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x ), f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，－(x －4)∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.答案：C6．(xx·云南昆明调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≥0x 2－4x ，x <0，若f (a －2)＋f (a )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－1－3或a >－1＋ 3B ．a >1C ．a <3－3或a >3＋ 3D ．a <1解析：法一：当x >0时，－x <0, f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ＝－(－x 2－4x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0, f (－x )＝－(－x )2－4(－x )＝－(x 2－4x )＝－f (x )；又f (0)＝0，因此对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又当x ≥0时，函数f (x )是减函数，于是有f (x )在R 上是减函数，不等式f (a －2)＋f (a )>0，即f (a －2)>－f (a )＝f (－a )，a －2<－a ，a <1，即实数a 的取值范围是a <1.法二：由图象可知，f (x )为奇函数，且为减函数，即f (a －2)>f (－a )，∴a －2<－a ，∴a <1，∴选D.答案：D 二、填空题7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 解析：f (x )为偶函数，∴对∀x ∈R, f (－x )＝f (x )， ∴a ＝0. 答案：08．(xx·湖北武汉调研)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0g x ，x <0，若函数f (x )是奇函数，则g (－4)＝________.解析：依题意，x <0，g (x )＝－－x ，∴g (－4)＝－4＝－2，故填－2. 答案：－29．(xx·淄博检测)已知函数f (x )在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；②f (x ＋2)＝－f (x )；③当1≤x 1<x 2≤3时，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)<0，则f (2 011)、f (2 012)、f (2 013)从大到小的顺序为________．解析：f (x ＋2)＝－f (x )得：T ＝4，又x ＝1为对称轴，且1≤x ≤3时f (x )为减函数知，f (x )在(－1,1)上为增函数，f (2 011)＝f (－1)，f (2 012)＝f (0)，f (2 013)＝f (1)，由f (－1)<f (0)<f (1)得，f (2 013)>f (2 012)>f (2 011)．答案：f (2 013) f (2 012) f (2 011) 三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.12．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}． [热点预测]13．(1)(xx·安徽江南十校高三开学第一考)已知f (x )为偶函数，且f (x ＋4)＝f (－x )，当－3≤x ≤－2时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (2 013)＝( )A.18B.12C ．2D ．8 (2)(xx·济宁月考)已知定义在R 上的函数f (x )，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，若函数y ＝f (x ＋1)的图象关于直线x ＝－1对称，则f (2 013)＝( )A ．0B ．2 013C ．3D ．－2 013解析：(1)因为f (x )为偶函数，所以f (x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，因此函数的周期为4，故f (2 013)＝f (4×503＋1)＝f (1)＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，选D.(2)由y ＝f (x ＋1)关于x ＝－1对称知y ＝f (x )关于x ＝0对称，在f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)中令x ＝－3，得f (3)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，f (3)＝0，f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.f (2 013)＝f (6×335＋3)＝f (3)＝0.选A.答案：(1)D (2)A 26206 665E 晞<35052 88EC 裬39239 9947 饇J 26122 660A 昊36922 903A 逺hx35221 8995 覕37815 93B7 鎷。

函数的奇偶性、周期性与对称性2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)

3.3函数的奇偶性、周期性与对称性——2023年高考数学一轮复习（新高考地区专用）一、单选题(共20题；共100分)1．（5分）已知函数f(x −1)是偶函数，f(x +1)的图象关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．x =−2B ．x =−1C ．x =1D ．x =22．（5分）已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（）A ．f(x)=sinx +xB ．f(x)=x −sinxC ．f(x)=sinx xD ．f(x)=xsinx3．（5分）函数f(x)=xln|x|x 2+1的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4．（5分）函数f(x)=ln √|x|+1+cosx 在[−π，π]上的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．5．（5分）函数f(x)=cos(2x −2π3)−sin(2x −3π2)，将函数f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)为偶函数，则φ的最小值是（）A ．π12B ．5π12C ．π6D ．π36．（5分）若f(x)={x +a ，x <0bx −1，x >0是奇函数，则（） A ．a =1，b =−1 B ．a =−1，b =1 C ．a =1，b =1D ．a =−1，b =−17．（5分）已知偶函数f(x)在(−∞，0]上单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x −1)<0的解集为（）A ．(−∞，−1)∪(0，3)B ．(−1，0)∪(3，+∞)C ．(−1，3)D ．(−2，0)∪(2，+∞)8．（5分）若函数f(x)=x(2x −2−x )，设a =12，b =log 413，c =log 514，则下列选项正确的是（）A ．f(a)<f(b)<f(c)B ．f(a)<f(c)<f(b)C ．f(b)<f(a)<f(c)D ．f(c)<f(a)<f(b)9．（5分）如图为函数f(x)=x α⋅sinx ，(α∈R)的部分图象，则α的值可能是（）A．4B．3C．2D．110．（5分）已知f(x)是定义在[−10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4−x)，则函数f(x)的零点个数至少为（）A．3B．4C．5D．611．（5分）已知函数f(x)满足：对任意x∈R，f(x+12)=−f(x−12)．当x∈[−1，0)时，f(x)=3x−1，则f(log390)=（）A．19B．−19C．1727D．−172712．（5分）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，+∞)单调递增，记a=f(log132)，b=f(2.30.3)，c=f(log210)，则a，b，c的大小关系为（）．A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b 13．（5分）已知偶函数f(x)在区间[0，+∞)上单调递减．若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是（）A．(110，1)B．(0，110)∪(1，+∞)C．(110，10)D．(0，110)∪(10，+∞)14．（5分）已知函数f(x)=|x|−1xln|x|，其图象大致为（）A．B ．C ．D ．15．（5分）下列函数中，既是偶函数又在(−∞，0)上单调递增的函数是（）A ．y =x 2B ．y =2|x|C ．y =ln 1|x|D ．y =xcosx16．（5分）定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x +1)为偶函数，且当x ∈[0，1]时，f(x)=4x −cosx ，则下列结论正确的是（） A ．f(40432)>f(2022)>f(40392)B ．f(2022)>f(40392)>f(40432)C ．f(40432)>f(40392)>f(2022) D ．f(40392)>f(2022)>f(40432)17．（5分）设 f(x) 是定义在R 上的奇函数，且当 x >0 时， f(x)=x 3−8 ，则 f(x −2)<0的解集为（） A ．(−4，0)∪(2，+∞)B ．(0，2)∪(4，+∞)C．(−∞，0)∪(2，4)D．(−4，4)18．（5分）已知函数f(x)=ln(x+√x2+1)+e x−1e x+1，则对任意实数x1，x2，“ x1+x2>0”是“ f(x1)+f(x2)>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件19．（5分）已知函数f(x)是偶函数，其导函数f′(x)的图象见下图，且f(x+2)=f(2−x)对x∈R恒成立，则下列说法正确的是（）A．f(−1)<f(12)<f(52)B．f(52)<f(12)<f(−1)C．f(−1)<f(52)<f(12)D．f(12)<f(−1)<f(52)20．（5分）函数f(x)在[0，+∞)单调递减，且为偶函数．若f(2)=−1，则满足f(x−3)≥−1的x的取值范围是（）A．[1，5]B．[1，3]C．[3，5]D．[−2，2]二、多选题(共6题；共30分)21．（5分）若函数f(x)同时具有性质：①对于任意的x，y∈R，f(x)+f(y)2≥f(x+y2)，②f(x)为偶函数，则函数f(x)可能为（）A．f(x)=|x|B．f(x)=ln(x+√x2+1)C．f(x)=2x+12xD．f(x)=ln(|x|+1)22．（5分）已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx−1，若函数g(x)=f(−x)+1的图象关于点（1，0）对称，且g(−2)<0，则（）A．a<0B．g(x)有3个零点C．f(x)的对称中心是(−1，0)D．12a−4b+c<023．（5分）若函数f(2x+1)（x∈R）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（）A．函数f(x)的图象关于点(1，0)对称B．2是函数f(x)的一个周期C．f(2021)=0D．f(2022)=024．（5分）已知函数f(x)=lg(√x2+100−x)，g(x)=21+2x，F(x)=f(x)+g(x)，则（）A．f(x)的图象关于(0，1)对称B．g(x)的图象没有对称中心C．对任意的x∈[−a，a](a>0)，F(x)的最大值与最小值之和为4D．若F(x−3)+x−3x−1<1，则实数x的取值范围是(−∞，1)∪(3，+∞)25．（5分）已知函数f(x)=ln(√4x2+1+2x)+x3，g(x)=f(x+1)．若实数a，b(a，b均大于1)满足g(3b−2a)+g(−2−a)>0，则下列说法正确的是()A．函数f(x)在R上单调递增B．函数g(x)的图象关于(1，0)中心对称C．e a−b>baD．log a(a+1)>log b(b+1)26．（5分）已知定义域为I的偶函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，且∃x0∈I，使f(x0)<0．则下列函数中符合上述条件的是（）A．f(x)=x2−3B．f(x)=2x+2−x C．f(x)=log2|x|D．f(x)=cosx+1三、填空题(共9题；共50分)27．（5分）已知f(x)是定义为R的奇函数，当x≥0，f(x)=2x2−x，则f(−1)=.28．（10分）设函数f(x)={x+3x，x>0f(x+3)，x≤0，则f(−4)=，若f(a)=f(−2)，则实数a的最大值为．29．（5分）已知定义在R上的函数f(x)和函数g(x)满足2f(x)=g(x)−g(−x)，且对于任意x都满足f(x)+f(−x−4)+5=0，则f(2021)+f(2019)=．30．（5分）已知函数f(x)=2|x|+x2+a.①对于任意实数a，f(x)为偶函数；②对于任意实数a，f(x)在(−∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；③存在实数a ，使得f(x)有3个零点；④存在实数a ，使得关于x 的不等式f(x)≥2022的解集为(−∞，−1]∪[1，+∞). 所有正确命题的序号为 .31．（5分）已知定义域为R 的函数f(x)，有f(−x)=f(x)且x ≥0，f(x)=e x −e −x −sin2x ，则f(x)>f(π4)的解集为．32．（5分）已知函数 f(x)=x +mxe x −1是偶函数，则 m = ．33．（5分）已知函数 y =f(x) 是R 上的奇函数，对任意 x ∈R ，都有 f(2−x)=f(x)+f(2) 成立，当 x 1 ， x 2∈[0，1] ，且 x 1≠x 2 时，都有 f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0 ，有下列命题： ①f(2)+f(3)+⋅⋅⋅+f(2022)=0 ；②点 (2022，0) 是函数 y =f(x) 图象的一个对称中心； ③函数 y =f(x) 在 [−2022，2022] 上有2023个零点； ④函数 y =f(x) 在 [7，9] 上为减函数；则正确结论的序号为．34．（5分）已知函数f(x +1)为偶函数，当x ∈(0，1)时，f(x)=2−x ，则f(log 23)的值为．35．（5分）若f(x)=g(x)⋅ln(x 2−1)为奇函数，则g(x)的表达式可以为g(x)= .答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】因为函数f(x−1)是偶函数，所以f(x−1)的图象关于直线x=0对称，向左平移两个单位可得f(x+1)的图象关于直线x=−2对称.故答案为：A【分析】根据偶函数的图象的对称轴以及图象的平移变换可得结果.2．【答案】C【解析】【解答】由图象知该函数为偶函数，排除A，B选项，由于函数y=f(x)在(0，+∞)内有零点，故排除D，故答案为：C.【分析】由函数图象分析定义域及取值情况，结合选项即可得解.3．【答案】A【解析】【解答】因为f(−x)=−f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称，故排除C，D；当x=1时，f(x)=0，当0<x<1时，ln|x|=lnx<0，所以f(x)<0，排除B．故答案为：A.【分析】根据题意首先求出函数的定义域再由奇函数的定义f(-x)=-f(x)即可判断出该函数为奇函数，由奇函数图象的性质得出图像关于原点对称由此排除C、D，再由函数的单调性即可排除选项B，由此得到答案。

新高考人教B版数学理大一轮复习训练2.3函数的奇偶性与周期性(含答案解析)

2.3 函数的奇偶性与周期性一、选择题．设 f ( x 为定义在R 上的奇函数．当 x ≥0时， f ( x ＝ x＋ x ＋b b 为常数，1 ) )2 2( )则 f ( － 1) 等于 ( ) ．A ．3B ．1C ．－ 1 D．－ 3分析由 f ( － 0)＝－ f (0)，即 f (0) ＝ 0. 则 b ＝－，1f x ＝x＋ x －，f( －1) ＝－ f (1) ＝－3.( ) 2 2 1答案D2．已知定义在 R 上的奇函数， f ( x) 知足 f ( x ＋2) ＝－ f ( x) ，则 f (6) 的值为() ．A ．－ 1B ．0 C．1D．2分析 ( 结构法 ) 结构函数 f ( x) ＝sinπx ，2ππ则有 f ( x ＋ 2) ＝sin2 x ＋＝－ sin2x＝－ f ( x) ，所以 f ( x) ＝ sinπ x 是一个知足条件的函数，2所以 f (6) ＝sin 3 π ＝0，应选 B. 答案 B【评论】依据函数的性质结构出一个切合条件的详细函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充足表现了由抽象到详细的思想方法 .3．若函数 f ( x) ＝x为奇函数，则 a ＝ () ．x ＋ x － a123A. 2B.3C. 4D．1分析( 特例法 ) ∵ f ( x) ＝x是奇函数，x ＋x －a∴ f ( －1) ＝－ f (1) ，∴－1＝－1，－2＋－ 1－ a ＋－ aa ＋＝－ a ，解得 a ＝1∴ 1 3(1)2.答案A【评论】此题采纳特例法，可简化运算，自然也可用奇函数的定义进行解题，可是过程较为繁琐，若运算能力较弱简单犯错 . ．已知 f x 是定义在 R 上的偶函数， g x 是定义在 R 上的奇函数，且 g x ＝ 4 ( ) ( ) ( ) f ( x － 1) ，则 f (2009) ＋ f (2011) 的值为 ( ) A ．－ 1 B ． 1 C ．0 D ．没法计算分析由题意得 g( － x) ＝f ( －x －1) ，又由于 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数， g( x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 g( －x) ＝－ g( x) ，f ( － x) ＝f ( x) ，∴ f ( x －1) ＝－ f ( x ＋1) ，∴ f ( x) ＝－ f ( x ＋2) ，∴ f ( x) ＝f ( x ＋ 4) ， ∴ f ( x) 的周期为 4，∴ f (2009) ＝f (1) ，f (2011) ＝f (3) ＝f ( －1) ，又∵ f (1) ＝ f (－ 1)＝g＝，∴ f (2009)＋f (2011) ＝0.(0)答案 C5．以下函数中，既是偶函数，又在区间 (0 ，＋∞ ) 上单一递减的函数为 ( ) ．．y ＝1y ＝x 3． y ＝ | x |．y ＝ xAln | x|B ．C2Dcos1分析 f ( x) ＝ln | x| 知足 f ( － x) ＝f ( x) ，且当 x ∈(0 ，＋∞ ) 时， f ( x) ＝－ ln x ，明显 f ( x) 在(0 ，＋∞ ) 上是减函数，应选 A.答案 A6．设偶函数 f ( x) 对随意 x ∈ R ，都有 f ( x ＋3) ＝－ f1，且当 x ∈[ －3，－ 2]x 时， f( x ) ＝ x ，则 f(107.5) ＝()4A ．10B.1 C．－ 10D110．－ 10分析由 f ( x ＋ 6) ＝－1＝ f ( x) 知该函数为周期函数，周期为6，所以fx ＋111 11f (107.5) ＝ f 6×18－ 2 ＝f － 2，又 f ( x) 为偶函数，则 f － 2 ＝f2 ＝－ 5f － 211＝－－10＝10.答案 B7．已知则函数A ．6f ( x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤ x ＜2 时，f ( x) ＝x 3－x ，y ＝ f ( x) 的图象在区间 [0,6] 上与 x 轴的交点的个数为 () ．B ．7C ．8D ．9分析当 0≤ x ＜2 时，令 f ( x) ＝x 3－x ＝0，得 x ＝0 或 x ＝ 1 或 x ＝－ 1( 舍去 ) ，又 f ( x) 的最小正周期为 2，∴ f (0) ＝f (2) ＝f (4) ＝f (6) ＝0，f (1) ＝f (3) ＝f (5) ＝0，∴ y ＝ f ( x) 的图象在区间 [0,6] 上与 x 轴的交点个数为 7.答案B二、填空题8. 已知函数 f ( x) x 2(m 2)x 3 是偶函数 , 则 m= .分析此题考察了函数的奇偶性 .f(x) 为偶函数 , 则 -2.答案 -29．设 f ( x) 是偶函数，且当 x>0 时是单一函数，则知足 f (2 x) ＝f x ＋ 1的全部 xx ＋ 4 之和为 ________．分析 ∵f ( x) 是偶函数， f (2 x) ＝f x ＋1，＋4x ∴ f (|2 x|) ＝f x ＋1 ，x ＋4又∵ f ( x) 在 (0 ，＋∞ ) 上为单一函数，x ＋1∴ |2 x| ＝ x ＋4 ，x ＋ 1x ＋ 1即 2x ＝ x ＋ 4或 2x ＝－ x ＋ 4，整理得 2x 2＋7x －1＝0 或 2x 2＋ 9x ＋1＝0，x 2＋ x ＋＝的两根为 x 3， x 4 x 2＋ x－＝的两根为 x 1 ，x 2，方程2 0 设方程 2719 1 .7 9则 ( x 1＋ x 2) ＋( x 3＋x 4) ＝－ 2＋－2 ＝－ 8.答案－810．设奇函数 f ( x) 的定义域为 [ － 5,5] ，当 x ∈[0,5] 时，函数 y ＝f ( x) 的图象如下图，则使函数值 y ＜0 的 x 的取值会合为 ________．分析由原函数是奇函数，所以 y ＝ f ( x) 在 [ － 5,5] 上的图象对于坐标原点对称，由 y ＝f ( x) 在[0,5] 上的图象，得它在 [ － 5,0] 上的图象，如下图．由图象知，使函数值 y ＜0 的 x 的取值会合为 ( －2,0) ∪(2,5) ．答案( －2,0) ∪(2,5)f x知足： f1x f y＝f x＋y＋f x－y x，y∈，11．已知函数( )(1)44()( )()()(R)则 f (2 013)＝________.分析法一x＝，y＝时， f1x＝，y＝时， f1当0(0)＝；当1(2)＝－；当 x1214＝， y＝f1x＝，y＝时， f1时，21时，(3)222(4)432f1时， f1x＝， y＝时， f1(5)＝；当 x＝， y＝3(6)＝；当3(7)＝；当 x＝，4324441y＝4 时， f (8) ＝－4； .∴ f ( x) 是以 6 为周期的函数，1∴f (2 013) ＝f (3 ＋335×6) ＝ f (3) ＝－2.法二f(1)1f x· f y＝f(x＋y＋ f(x－y，＝，∵4( )( )))41π∴结构切合题意的函数 f ( x) ＝2cos 3 x，1π1∴f (2 013) ＝2cos 3×2 013 ＝－2.112．设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且对随意的x∈ R 恒有 f ( x＋1) ＝ f ( x－1) ，已知当 x∈[0,1] 时 f ( x) ＝121－x，则① 2 是函数 f ( x) 的周期；②函数 f ( x) 在(1,2) 上递减，在 (2,3) 上递加；③函数 f ( x) 的最大值是 1，最小值是 0；④当 x∈(3,4) 时， f ( x) ＝1 x－3. 2此中全部正确命题的序号是________．分析由已知条件： f ( x＋2) ＝f ( x) ，则 y＝f ( x) 是以 2 为周期的周期函数，①正确；当－ 1≤ x≤0时 0≤－ x≤1，1 1＋ xf ( x) ＝f ( － x) ＝，函数y＝f ( x)的图象如下图：当 3<x<4 时，－ 1<x－ 4<0，f ( x) ＝f ( x－4) ＝1x－3，所以②④正确．③不正确．2答案①②④三、解答题13．已知 f ( x) 是 R 上的奇函数，且当x∈ ( －∞， 0) 时，f ( x) ＝－ xlg(2 －x) ，求f ( x) 的分析式．分析∵f ( x) 是 R 上的奇函数，可得 f (0) ＝ 0.当 x＞0 时，－ x＜ 0，由已知 f ( － x) ＝xlg(2 ＋x) ，∴－f ( x) ＝ xlg(2 ＋x) ，即 f ( x) ＝－ xlg(2 ＋ x)( x＞0) ．－x－ x x＜，∴ f ( x) ＝＋ x x－x14.若定义在R 上的函数f(x) 对任意的 x1 x2R,都有f ( x1x2 ) f ( 1x ) f (2 x成)立,1且当 x>0 时(1) 求证 :g(x)=f(x)-1为奇函数 ;(2)求证 :f(x) 是 R 上的增函数 ;(3)若 f(4)=5, 解不等式 f (3m2 m 2) 3 .解析(1)证明:定义在R 上的函数f(x)对任意的x1x2R, 都有f ( x1x2 ) f (x1) f (x2 ) 1 建立 ,令 x1x20 则 f(0+0)=f(0) f (0) 1令 x1x x2x则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,∴ [f(x)-1]+[f(-x)-1]=0.∴ g(x)=f(x)-1 为奇函数 .(2) 证明 : 由 (1) 知,g(x)=f(x)-1为奇函数,∴f(-x)-1=-[f(x)-1].任取 x1 x2R, 且 x1x2则 x2 x10∵ f (x1x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 1∴ f (x2x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 1 f ( x2 )[ f ( x1 ) 1] f ( x2 ) f (x1) 1 .∵当 x>0 时 ,f(x)>1,∴ f (x2x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) 1 1 .∴ f (x1) f (x2 ) .∴f(x) 是 R 上的增函数 .(3) ∵ f (x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 1 且 f(4)=5,∴ f(4)=f(2) f (2)1 f (2) 3 .由不等式 f (3m2m2) 3 得 f (3m2m 2)由 (2) 知,f(x) 是 R 上的增函数 ,∴ 3m2m 2 2 .∴ 3m2m 40 .∴ 1 m 4 3 .∴不等式f (3m 2m 2) 3 的解集为 ( 143 ) .15．已知函数 f ( x) 对随意 x， y∈R，都有 f ( x＋ y) ＝f ( x) ＋f ( y) ，且 x＞0 时，f( x) ＜0，f (1) ＝－ 2.(1) 求证 f ( x) 是奇函数；(2)求 f ( x) 在[ － 3,3] 上的最大值和最小值．分析(1)证明令 x＝y＝，知 f(0)＝；再令 y＝－ x，00则 f (0) ＝f ( x) ＋ f ( －x) ＝0，所以 f ( x) 为奇函数．(2) 任取 x 1＜x 2，则 x 2－x 1＞ 0，所以 f ( x 2－x 1) ＝f [ x 2＋ ( － x 1 )] ＝f ( x 2) ＋f ( －x 1)＝ f ( x 2) －f ( x 1) ＜0，所以 f ( x) 为减函数．而 f (3) ＝ f (2 ＋1) ＝ f (2) ＋f (1) ＝3f (1)＝－ 6，f ( －3) ＝－ f (3) ＝6.所以 f ( x) max ＝f ( － 3) ＝6，f ( x) min ＝f (3) ＝－ 6.2a16．已知函数 f ( x) ＝x ＋ x ( x ≠0，常数 a ∈R)(1) 议论函数 f ( x) 的奇偶性，并说明原因；(2) 若函数 f ( x) 在 x ∈ [2 ，＋∞ ) 上为增函数，务实数 a 的取值范围．分析(1) 函数 f ( x) 的定义域为 { x| x ≠0} ，当 a ＝0 时， f ( x) ＝x 2， ( x ≠0)明显为偶函数；当 a ≠0时， f (1) ＝ 1＋ a ，f ( －1) ＝ 1－ a ，所以 f (1) ≠ f ( － 1) ，且 f ( －1) ≠－ f (1) ，2a所以函数 f ( x) ＝ x ＋x 既不是奇函数，也不是偶函数．a 2x 3－a(2) f ′(x) ＝2x －x 2＝ x 2 ，当 a ≤ ， f ′(x ＞，则 f ( x 在 (2 ，＋∞ 上是增函数，0 ) 0 ) )x 3－a3 a2，由 f ( x) 在[2 ，＋∞ ) 上是增当 a ＞0 时，由 f ′(x) ＝ x 2＞0，解得 x ＞函数，可知3 aa ≤2≤2. 解得 0＜ 16综上可知实数 a 的取值范围是 ( －∞， 16] ．。