概率论 中心极限定理
中心极限定理 大数定律
中心极限定理与大数定律介绍中心极限定理（Central Limit Theorem）和大数定律（Law of Large Numbers）是概率论中两个重要而基础的定理。
它们在统计学和各个领域的实际应用中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨这两个定理的概念、应用和相关证明。
中心极限定理定义中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在特定条件下，一组随机变量的均值的分布会趋近于正态分布。
具体来说，对于任意独立同分布的随机变量的和，当样本容量足够大时，其均值的分布将会接近于正态分布。
证明中心极限定理的证明可以通过多种方法进行推导，其中最为经典的方法是使用特征函数的技巧。
通过对特征函数的逐步展开和极限取证，可以得出中心极限定理的结论。
应用中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。
以下是中心极限定理的几个重要应用：1.抽样分布的近似计算：通过中心极限定理，可以对抽样分布进行近似计算，从而推断总体参数。
2.假设检验：在统计学中，中心极限定理广泛应用于假设检验问题中。
通过对样本均值进行正态分布近似，可以进行对总体均值的假设检验。
3.建立置信区间：中心极限定理可用于建立置信区间。
通过计算样本均值的区间估计，确定总体均值的信心水平。
大数定律定义大数定律是概率论中的另一个重要定理，它说明了当独立同分布的随机变量重复进行实验时，其平均值会收敛于数学期望。
换句话说，随着实验次数的增加，样本均值会趋近于总体均值。
证明大数定律的证明有多种方法，其中最为著名的是切比雪夫不等式和辛钦大数定律。
不同的证明方法都有其特点和适用范围，但最终都能得出大数定律的结论。
应用大数定律在实际应用中也有着广泛的应用。
以下是大数定律的几个重要应用：1.统计估计：大数定律可用于建立统计估计方法，如最大似然估计和矩估计。
2.贝叶斯推断：大数定律在贝叶斯推断中起着重要的作用。
通过重复实验，可以逐渐更新对参数的先验分布，得到后验分布。
3.经济学和金融学：大数定律在经济学和金融学中有广泛的应用。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。
而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。
它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。
因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。
中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。
（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。
即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。
在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。
（三）李亚普洛夫中心极限定理设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。
记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。
（四）林德贝尔格定理设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有。
概率论与数理统计 中心极限定理
每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的总误差的
绝对值不超过 10 kg 的概率。
作业： 第115页，习题5-2，A组：2.
则
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) 或
i 1
即对任意的 x，有
n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
Hale Waihona Puke nlimP
i 1
n
X i n n
x ( x)
例 5.2.1 为了测定一台机床的质量，把它分解成 75 个部件来称量。
第五章 中心极限定理
中心极限定理解决的问题：
n
大量的随机变量的和 X i 的近似分布是什么？ i 1
结论
n
一定条件下， X i 近似服从正态分布。 i 1
一 独立同分布中心极限定理（列维-林德贝格）
设随机变量序列 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且数学
期望和方差存在：E(Xi ) , D(Xi ) 2 (i 1,2, , n)
概率论中心极限定理
例2 ：某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾的 消费额(元)服从(20, 100)上的均匀分布, 且顾客 的消费额是相互独立的. 试求: (1)该餐厅每天的平均营业额; (2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元 的概率.
解 设Xi为第i位顾客的消费额, Xi ~U20, 100. 所以 EXi 60, DXi 16003.
i1 n
i1
的分布函数Fn(x),对xR,一致地有
n
Xi n
lnim Fn
(
x)
limP(
n
i1
n
x)
x
1
t2
e 2 dtΦ(x).
2
（证略）
定理（说明）
n
Xi n
x
ln i mFn(x)ln i mP{i1 n
x}(x)
1 et2/2dt
2
即，n 充分大时，有
n
~ 可化为
X i n 近似地
2 (1 .6)4 1 5 0 .90
这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760 之间的概率近似为0.90.
例3： 某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差2.25kg2. 问: 至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少200kg 的概率为0.95?
解 设此人共钓n次, 各次钓到的鱼 的重量为随机变量Xi , 则 EXi 2, DXi 2.25.
3 实际应用中当n很大时,
1 如果p很小而np不太大时, 采用泊松近似; 2 如果 np 5 和 n1 p 5 同时成立时,
采用正态近似.
下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.
例4 设某保险公司有10000人投保,每人每年交保费12元,投保人每 年的死亡率为0.006.若投保人死亡,则公司付给死亡人家属1000元, 求(1)保险公司没有利润的概率;(2)每年利润不少于60000元的概率.
概率论与数理统计_20_中心极限定理
练习2解答（续）
方法二：把二项分布看成多个独立 同分布的1-0分布之和，再根据中心 极限定理用标准正态分布近似计算
练习2解答（续2）
方法二续
小结：当n很大时，二项分布 B(n,p)可看成是很多独立同分布 的1-0分布之和，从而可以用正 态分布的CDF连续函数来近似原 来二项分布的CDF（离散值）。 用Mathematica作图来对比，这 个近似很优秀。
k 1 n
练习1解答
练习2
某车间有200台车床，它们独立地工作着，开工 率为0.6,开工时耗电各为1千瓦，问供电所至少要 供给这个车间多少电力才能以99.9%的概率保证 这个车间不会因供电不足而影响生产？
练习2求。
……
用Mathematica可求得 r_min = 141
n
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
独立同分布的中心极限定理 设 X1,, X n , 是独立同分布的随机变量序 列，且 EX k ，DX k 2 0, (k 1,2,) 则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1
n
k
n x}
n
n
则 { X n } 服从中心极限定理，即：
lim P{
X
k 1 k k 1
n
n
k
n
DX k
k 1
n
1 x} 2
e
x
t2 2
dt
中心极限定理是概率论中最著名的结果之一， 它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的 简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的 经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
概率论与数理统计
概率论与数理统计§中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
高考数学中的概率统计中的中心极限定理
高考数学中的概率统计中的中心极限定理概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活息息相关。
而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方法来研究随机事件的概率与分布。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均值所满足的一些统计规律。
简单来说，中心极限定理是在满足一些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。
二、中心极限定理的条件中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特定的条件，这些条件包括：（1）总体分布必须存在方差；（2）样本数量n足够大；（3）样本的选取必须是独立的。
三、中心极限定理的应用中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。
以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。
根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。
这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。
当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。
四、中心极限定理的意义中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。
中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。
总之，中心极限定理是高考数学概率统计中非常重要的一个定理。
了解中心极限定理的概念、条件及应用，对我们在概率统计的学习和实践中都有着重要的作用。
概率论中心极限定理
如果X 是连续型随机变量.=≥-}|)X (E X {|P ε()dx x |)X (E x |⎰≥-εϕ()()dx x )X (E x |)X (E x |⎰≥--≤εϕε22()()⎰∞+∞--≤dx x )X (E x ϕε222εDX=思考题解答:本课程的主要内容:中心极限定理:1.李雅普诺夫定理;2.推论:独立同分布定理;3.拉普拉斯定理(独立同分布定理推论);4.拉普拉斯局部极限定理;抽样分布:设ΛΛn X ,X ,X 21是相互独立的随机变量有期望值i i EX α=及方差+∞<=2ii DX σ()Λ21,i =若每个i X 对总和∑=ni iX 1的影响不大.一.定理5.3: (李雅普诺夫定理)11()()n i i n i i E X x D X =→∞=⎫⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎭∑∑2212tx e dt π--∞⎰()x Φ=1121lim n n i i i i n n i i X a P x σ===⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑∑}{lim 1x nn XP ni in ≤-∑=∞→σμ⎰∞=x-2t -dt e 212π设X 1,X 2, …是独立同分布的随机变量序列，且E (X i )= ，D (X i )= ，i =1,2,…，则2σμ列维一林德伯格（Levy －Lindberg ）定理.推论（独立同分布下的中心极限定理）请看演示中心极限定理的直观演示说明:在定理条件下:()()11~0,1nii Xn N nμσ=-∑()12~ni i X =∑()2,N n n μσ和函数的正态性;()11~0,1/ni i X n N nμσ=-∑算术均值的正态性;或()113~ni i X n =∑2,N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭n 较大的情况下,一般n>30;例3在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.问对序列{X k },能否应用大数定律？诸X k 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.解: ,9.01.001~⎭⎬⎫⎩⎨⎧k X k =1,2, …E (X k )=0.1,⎩⎨⎧=否则次取到号码第001k X k (1) 设，k =1,2, …∑=∞→=<-nk k n X n P 11}|1.01{|lim ε即对任意的ε>0,解: ,9.01.001~⎭⎬⎫⎩⎨⎧k X k =1,2, …E (X k )=0.1,诸X k 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.(2) 至少应取球多少次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95?解：设应取球n 次，0出现频率为∑=nk k X n 11,n .)X (E nk k 101=∑=n.)X (D nk k 0901=∑=由题可知:95011010901.}.X n .{P nk k ≥≤≤∑=由中心极限定理近似N (0,1)nnX nk k 3.01.01-∑=nX n nk k 3.01.011-=∑=}11.0109.0{1≤≤∑=nk k X n P 1)30(2-≈n ΦnX n nk k 3.01.011-∑=近似N (0,1)}n/...n /..X n n /...{P n k k 30101103010130100901-≤-≤-=∑=}n n/..X n n {P nk k 3030101301≤-≤-=∑=95.01)30(2≥-n Φ欲使975.0)30(≥n Φ即96.130≥n 查表得从中解得3458≥n 即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.(3) 用中心极限定理计算在100次抽取中,数码“0”出现次数在7和13之间的概率.解：在100次抽取中, 数码“0”出现次数为∑=1001k k X 3101001-∑=k k X 即近似N (0,1)由题:所求概率为:∑=≤≤1001)137(k k X P =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1001k k X E 1010100=⨯.=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1001k k X D 9090100=⨯.即在100次抽取中，数码“0”出现次数在7和13之间的概率为0.6826.∑=≤≤1001)137(k k XP =0.68263101001-∑=k k X近似N (0,1))13101(1001≤-≤-=∑=k k X P )1()1(-Φ-Φ≈1)1(2-Φ=例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸X i 独立，同分布.16只元件的寿命的总和为∑==161k kX Y 解: 设第i 只元件的寿命为X i , i =1,2, …,16E (X i )=100, D (X i )=10000依题意，所求为P (Y >1920)由于E (Y )=1600,D (Y )=160000由中心极限定理,近似N (0,1)4001600-Y P (Y >1920)=1-P (Y ≤1920)).(801Φ-≈=1-0.7881=0.2119⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤--=4001600192040016001Y P ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤--=8040016001.Y P})1({lim x p np np Y P n n ≤--∞→设随机变量服从参数n, p (0<p <1)的二项分布，则对任意x ，有n Y dte xt ⎰∞--=2221π定理表明，当n 很大，0<p <1是一个定值时（或者说，np (1-p )也不太小时），二项变量的分布近似正态分布N (np ,np (1-p )).n Y 二.定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）例:一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件组成,在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.1,为使整个系统起作用,至少必须有85个部件正常工作求整个系统起作用的概率一复杂的系统由n 个相互独立起作用的部件所组成,每个部件的可靠性为0.9,且必须至少有80%的部件工作才能使整个的系统正常工作,问n 至少为多大才能使系统的可靠性不低于0.95?解:设100中个正常工作数为X,()~100,0.9X B ()85P X ≥=()185P X -<851000.911000.90.1-⨯⎛⎫=-Φ ⎪⨯⨯⎝⎭()1 1.67=-Φ-=0.95252) X~B(n, 0.9)()0.80.95P X n ≥≥()10.80.95P X n -<≥0.80.90.050.90.1n n n -⨯⎛⎫Φ≤ ⎪⨯⨯⎝⎭21.640.0924.20.01n ⨯=≈由题意可知即:()0.80.05P X n <≤0.90.8 1.960.90.1n n n -⨯≈⨯⨯查表得:解方程:至少25件.例2. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?设需要x千瓦电力.由题意得:()999≤0.P≥Xx用X 表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作的概率为0.6，共进行200次试验.依题意，X ~B (200,0.6),现在的问题是：P (X ≤x )≥0.999的最小的x .求满足设需x 千瓦电力，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，x 台工作所需电力即x 千瓦.）由德莫佛-拉普拉斯极限定理)1(p np npX --近似N (0,1),于是P (X ≤x )= P (0≤X ≤x )这里np =120,np (1-p )=48)()x (4812048120---≈ΦΦ)x (48120-≈Φ查正态分布函数表得由≥0.999，)x (48120-Φ从中解得x ≥141.5,即所求x =142.(千瓦)也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.999.0)1.3(=Φ48120-x ≥3.1,故三.定理5.4(拉普拉斯局部极限定理）当时,n →∞()P X k =≈()2212k n p n p qen p qπ--01()k np npqnpqϕ-=例:10部机器独立工作,每部停机得概率为0.2,求3部机器同时停机的概率?解:设10部中同时停机的数为X,()~10,0.2X B ()3P X ==013100.2()100.20.8100.20.8ϕ-⨯⨯⨯⨯⨯01(0.79)1.265ϕ==0.2308统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”.§7.4几个常用统计量的分布主要介绍正态总体下的统计量的分布.设总体X ()2σμ,N ~()n X ,X ,X Λ21是总体X 的一个样本.由此构成的样本函数:∑==ni iX n X 11()∑=--=ni i X X n S 12211它们服从什么分布?()n,,i ,N ~X i Λ212=σμ一.关于样本均值的分布的定理设X 1,X 2,…,X n 是取自正态总体),(2σμN 的样本，则有),(~2nN X σμ)1,0(~N nX σμ-(1)(2)令U=)1,0(~N nX σμ-U-分布的临界值:它是指在一定的概率之下,随机变量取值落入某一区间内的区间上限或下限.例:P{ξ≤λ}=α,λ称为U 分布的临界值λα已知α的值可查表求临界值λ.即:由左边面积求U 的临界值二.关于样本方差S 2的分布定理(一)()2n χ分布()2n χ分布的密度函数为()1222102(2)00n x n x e x f x n x --⎧≥⎪=Γ⎨⎪<⎩来定义.1>=⎰∞--r ,dx e x )r (x r Γ其中伽玛函数通过积分)r (ΓE (X )=n , D (X )=2n演示χ2 分布()2n χ分布的上分位点:α2()n αχ例如:0.1,25n α==20.1(25)χ=34.4 当n 充分大时,有费歇(R.A.Fisher)公式:()221()212n z n ααχ≈+-例如:20.05(50)χ≈()21 1.65992+=67.28定理2.1: 设相互独立, 都服从标准正态分布N (0,1), 则随机变量：服从的分布为自由度为n 的分布.n X X X ,,,21Λ222212nX X X +++=Λχ2χ(0,1)N 定理2.2:设相互独立, 都服从标准正态分布n X X X ,,,21Λ则(二)标准正态分布下平方和分布定理∑==n i i X n X 11(1) 与()∑=-ni i X X 12相互独立.(2) ()21~ni i X X=-∑()21n χ-作业:1.预习:抽样分布2. 练习P116 7---163思考题:A组:甲乙两个戏院在竞争1000名观众,假定每个观众完全随机地选择一个戏院,且观众之间选择是彼此独立的,问每个戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%?B组:总结算术平均的分布.X。
中心极限定理的研究内容
中心极限定理的研究内容一、前言中心极限定理是概率论中的重要定理之一，它描述了一组独立随机变量的和在大样本下的分布趋近于正态分布。
中心极限定理在统计学、物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
本文将对中心极限定理进行详细的研究。
二、什么是中心极限定理？中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它指出：在一些特殊条件下，大量相互独立且具有相同分布的随机变量之和在大样本下趋近于正态分布。
这里所说的“特殊条件”包括：每个随机变量都有有限方差；这些随机变量相互独立；这些随机变量具有相同的分布。
三、中心极限定理的证明证明中心极限定理需要使用数学方法，这里只给出一个简单的证明思路：假设我们有n个独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们具有期望μ和方差σ^2。
我们定义一个新的随机变量Yn=∑(Xi-μ)/σ√n。
根据大数定律，当n趋近于无穷大时，Yn的期望为0，方差为1。
接着我们可以使用中心极限定理得出：当n趋近于无穷大时，Yn的分布趋近于标准正态分布。
四、中心极限定理的应用中心极限定理在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 抽样分布在统计学中，我们经常需要对一个总体进行抽样，并通过样本来推断总体的参数。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将趋近于正态分布。
2. 假设检验假设检验是统计学中常用的一种推断方法。
根据中心极限定理，我们可以将原始数据转化为标准正态分布来进行假设检验。
3. 贝叶斯统计贝叶斯统计是一种基于概率论的统计推断方法。
根据中心极限定理，我们可以使用正态分布来逼近其他任意连续概率分布。
五、总结中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它描述了一组独立随机变量和在大样本下的分布趋近于正态分布。
中心极限定理在实际应用中有广泛的应用，包括抽样分布、假设检验、贝叶斯统计等方面。
对中心极限定理的深入研究可以帮助我们更好地理解概率论和统计学的基本原理，提高我们的数据分析能力。
概率论课件 第4章第3讲中心极限定理
n
n
E ( i pi ) (1 pi )3 pi pi3 (1 pi ) pi (1 pi )
3
1 lim 3 n B n
E(
i 1
n
i
pi ) lim
3
1 n pi (1 pi ) i 1
例2(正态随机数的产生) : 一般计算机 软件可产生在(0,1)区间上均匀分布的 随机数, 据此由中心极限定理产生来自 正态分布N ( , 2 )的随机数.
1 1 解： 设i ~ U (0,1)独立, 则E (i ) , D(i ) 2 12
由中心极限定理知 i 6
7 1 6 2 49 35 E ( X 1 ) , D( X 1 ) i 2 6 i 1 4 12
由中心极限定理
7 500 100 100 2 P{ X i 500 } 1 35 i 1 10 12
1 (8.78) 0
1 2
e
t2 2
dt
例3 : 某调查公司受委托, 调查某电视 节目在S 市的收视率p, 调查公司将所 有调查对象收看此节目的频率作为p ˆ .现在要求保证有90%的把握, 的估计p ˆ 与真实收视率p 使得调查所得收视率p 之间的差异不大于5%. 问至少要调查 多少对象 ?
解： 设共调查 n个对象
特殊情形
De Moivre--Laplace
定理(德莫佛-拉普拉斯极限定理):设随机变 量 n服从二项分布 n ~ B(n, p),(0 p 1) 则对于任意x,恒有
limP{
n
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理一、引言中心极限定理是概率论中最重要的定理之一，它描述了大量独立随机变量的和在一定条件下趋向于正态分布。
中心极限定理是概率论和数理统计学中最重要的基本工具之一，它在实际问题中得到广泛应用，如信号处理、金融风险管理、医学统计等领域。
二、定义设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}P\left(\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leqx\right) = \Phi(x)$$其中$\Phi(x)$是标准正态分布函数。
三、证明在证明中心极限定理时，我们需要用到两个重要的引理：Lindeberg-Levy引理和Lindeberg-Feller定理。
1. Lindeberg-Levy引理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
令$S_n=\sum\limits_{i=1}^{n}X_i$，则有：$$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sigma^2n}\sum_{i=1}^{n}E[(X_i-\mu)^2I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)] = 0$$其中$I(|X_i-\mu|>\epsilon \sigma)$是指示函数，当$|X_i-\mu|>\epsilon \sigma$时，它的值为1；否则为0。
2. Lindeberg-Feller定理设$X_1, X_2, ..., X_n$是$n$个相互独立的随机变量，它们具有相同的分布函数$F(x)$和期望值$\mu=E(X_i)$，方差$\sigma^2=Var(X_i)$。
中心极限定理
中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一类独立同分布随机变量之和的极限分布特征。
本文将介绍中心极限定理的概念、数学表达式以及应用场景，并探讨其原理和证明过程。
一、中心极限定理的概念中心极限定理是概率论的核心内容之一，它表明在一定条件下，当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的和的分布趋近于正态分布。
这意味着即使原始随机变量不服从正态分布，其和的分布仍然接近正态分布。
二、中心极限定理的数学表达式中心极限定理可以用数学公式表示为：若X₁, X₂, ..., Xₙ是n个独立同分布的随机变量，且具有相同的数学期望μ和方差σ²，则当n趋于无穷大时，这n个随机变量之和的标准化变量（即减去期望值再除以标准差）Zₙ=(X₁+X₂+...+Xₙ-nμ)/(√(nσ²))的极限分布为标准正态分布，即Zₙ服从N(0,1)分布。
三、中心极限定理的应用场景中心极限定理在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在统计学中，当样本容量足够大时，可以利用中心极限定理来近似计算样本均值的抽样分布。
此外，在概率论和数理统计中，中心极限定理也被应用于估计参数的置信区间、假设检验等问题中。
四、中心极限定理的原理和证明过程中心极限定理的原理主要基于独立性和同分布的假设，并借助于大数定律和特征函数的性质进行证明。
具体证明过程较为复杂，可参考相关数学教材和概率论专业资料。
总结：中心极限定理是概率论中一项重要的结果，它描述了独立同分布随机变量和的极限分布接近于正态分布的性质。
中心极限定理在统计学和概率论的研究与应用中具有广泛的意义，并在实际问题中发挥着重要的作用。
理解中心极限定理的概念、数学表达式和应用场景，对于深入研究概率论和统计学具有重要意义。
第二节--中心极限定理
四、拉普拉斯中心极限定理
例3 100台车床独立工作，每台实际工作时间占全部 工作时间的80%. 求任一时刻有70至86台车床工作的 概率.
解：设
Xi
0, 1,
第i台床不工作 第i台床工作
i 1, 2,
,100
则 Xi B(1, 0.8)
100
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 80
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2, ，则
lim
n
P
n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim P n
n i 1
Xi n n 2
x
1
x t2
e 2 dt ( x)
2
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2, )独立同0-1分布，即
n
Xi B(1, p), EXi p, DX i pq, i 1, 2, ， X i nA，
i 1
n
n
lim n
P
i 1
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1
x
lim
n
P
nA np npq
x
近似
Xi N (n，n 2 ),
i 1
X
1 n
n
近似
X i N (， 2
i 1
n)
n
近似
~ Xi独立同0 - 1分布 Xi nA N (np，npq)
i 1
大数定律与中心极限定理
中心极限定理计算公式
中心极限定理计算公式中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了一组随机变量的和或平均值在一定条件下趋近于正态分布的现象。
中心极限定理有多种形式，其中最常见的是林德伯格-列维中心极限定理，它给出了一组独立同分布的随机变量的和或平均值的极限分布。
本文将介绍中心极限定理的基本概念、计算公式和应用示例，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
中心极限定理的基本概念为了方便说明，我们先假设有一个随机变量X，它服从任意一个已知的概率分布，其期望值为μ，方差为σ2。
我们从这个分布中抽取n个独立的样本，记为X1,X2,…,X n，并计算它们的算术平均值X=1n ∑n i=1X i。
我们可以想象，如果n很小，那么X的分布可能会受到X的分布的影响，比如如果X是偏态的，那么X也可能是偏态的；但是如果n很大，那么X的分布可能会趋向于一个对称的、钟形的分布，即正态分布。
这就是中心极限定理所要表达的内容：当样本容量n足够大时，无论原始分布是什么样的，样本平均值X都近似服从正态分布。
林德伯格-列维中心极限定理林德伯格-列维中心极限定理是最经典的中心极限定理之一，它给出了样本平均值X近似服从正态分布的条件和计算公式。
具体来说，该定理表明：如果随机变量X1,X2,…,X n相互独立且服从同一分布，且该分布具有有限的期望值μ和方差σ2，则当n→∞时，样本平均值X的标准化形式Z=X−μσ/√n近似服从标准正态分布N(0,1)。
换句话说，当n足够大时，我们可以用正态分布来近似描述样本平均值X的分布，并且可以用以下公式来计算其均值和标准差：E(X)=μSD(X)=σ√n其中μ和σ2是原始分布的期望值和方差。
中心极限定理的应用示例中心极限定理在统计学中有着广泛的应用，比如在构造置信区间、进行假设检验、计算抽样误差等方面都可以利用中心极限定理来简化计算和推断。
下面我们用一个简单的例子来说明中心极限定理的应用。
假设我们想要估计某个城市的居民的平均月收入，我们随机抽取了100个居民作为样本，得到了他们的月收入数据，如下表所示：月收入（元）频数2000-3999154000-5999256000-7999308000-99992010000-1199910我们可以根据这些数据计算出样本的平均值和标准差，分别为X=6475元和S=2123.6元。
1.简述中心极限定理的含义
1.简述中心极限定理的含义中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以用来描述独立随机变量之和的分布情况。
简单来说，中心极限定理是指当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理在实际应用中非常广泛，例如在统计学、物理学、金融学等领域都有应用。
中心极限定理的含义是：当独立随机变量的数量足够大时，它们的和的分布会趋近于正态分布。
这个定理的重要性在于，它可以使我们对随机变量之和的分布情况有一个很好的估计，而无需知道每个随机变量的具体分布情况。
这对于实际应用非常有用，因为在很多情况下我们无法知道每个随机变量的具体分布情况，但是我们可以通过中心极限定理来得到一个近似的分布情况。
中心极限定理的证明比较复杂，需要一些高级数学知识。
但是我们可以通过一个简单的例子来说明中心极限定理的应用。
假设我们有一个硬币，正反面出现的概率分别为0.5。
我们抛掷这个硬币n次，记录正面朝上的次数。
那么正面朝上的次数就是一个随机变量，它的分布情况可以用二项分布来描述。
但是如果我们不知道n的具体值，只知道n很大，比如说n=10000，那么我们就可以使用中心极限定理来估计正面朝上的次数的分布情况。
根据中心极限定理，当n足够大时，正面朝上的次数的分布会趋近于正态分布，均值为n*p=5000，方差为n*p*(1-p)=2500。
因此，我们可以得到一个近似的正态分布，均值为5000，方差为2500。
这个近似的分布可以用来估计正面朝上的次数落在某个区间内的概率，比如说落在4500到5500之间的概率是多少。
总之，中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以使我们对随机变量之和的分布情况有一个很好的估计。
在实际应用中，中心极限定理被广泛应用于各个领域，例如统计学、物理学、金融学等。
概率论-第十六讲--中心极限定理
2
20 600
1
2
0.8165
1
0.5878
例3 检验员逐个检查某产品,每查一个需 用10秒钟. 但有的产品需重复检查一次， 再用去10秒钟. 若产品需重复检查的概率 为 0.5, 求检验员在 8 小时内检查的产品多 于1900个的概率.
解 若在 8 小时内检查的产品多于1900个, 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时.
5000 6 5000 6
2 60 1 0.9624
5000 6
比较几个近似计算的结果
二项分布(精确结果) P X 1 0.01 0.9590
6000 6
中心极限定理
P
X 6000
1 6
0.01
0.9624
Poisson 分布
P
X 6000
1 6
0.01
0.9379
20.747 1 0.494.
第12周 问 题
一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分 之一. 校对时, 每个排版错误被改正的 概率为0.99. 求在校对后错误不多于 15 个的概率.
设 Y n ~ B( n , p) , 0 < p < 1, n = 1,2,…
则对任一实数 x，有
lim P Yn np x n np(1 p)
1
x t2
e 2 dt
2
即对任意的 a < b,
lim P a Yn np b
n
np(1 p)
1
b t2
e 2 dt
2 a
则n →∞，有
lim
n
PZn
z
中心极限定理两个公式
中心极限定理两个公式中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了独立同分布随机变量的和服从正态分布的近似情况。
在统计学中，中心极限定理是数据分析和推论中非常重要的基本原理，它为我们提供了进行参数估计和假设检验的理论基础。
1.李雅普诺夫定理：设X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，具有相同的均值μ和方差σ^2（标准差σ），并且其生成函数M(t)存在，则对于任意ε>0，有lim [n->∞] P(∣(X1+X2+...+Xn)/n -μ∣<ε√n)=1/√(2π) ∫（-∞到∞） exp(-t^2/2)dt该定理表明当n足够大时，随机变量的和(X1+X2+...+Xn)/n的概率分布可近似地看作一个均值为μ，标准差为σ/√n的正态分布。
也就是说，当样本容量增加时，样本均值的分布趋向于正态分布。
这一结果对于大样本条件下的统计推断非常重要，它使我们得以在很多场景中应用正态分布进行推论，而不受具体分布函数的限制。
2.林德伯格定理（也称为林德伯格-列维定理）：设X1、X2、..、Xn是独立同分布的随机变量，具有相同的均值μ和方差σ^2（标准差σ），并且其矩生成函数存在，则对于任意ε>0，有lim [n->∞] P(∣(X1+X2+...+Xn)/n -μ∣<ε√n)=1/√(2πσ^2)∫（-∞到∞） exp(-(t-μ)^2/2σ^2)dt这个定理在独立同分布的随机变量的和的极限分布建立了正态分布的形式。
与李雅普诺夫定理不同的是，林德伯格定理对矩生成函数的存在有一定的要求。
矩生成函数是随机变量的一个重要特征，它能够唯一地确定随机变量的分布。
因此，林德伯格定理对于具有矩生成函数的随机变量的和能够提供更为精确的正态分布近似。
1.样本均值的分布近似：当样本容量很大时，根据中心极限定理，样本均值的分布近似为正态分布，这为统计推断提供了数理依据。
例如，我们可以根据样本均值的正态分布性质进行参数估计和假设检验。
正态分布与中心极限定理
正态分布与中心极限定理是概率论与数理统计中的核心概念，它们在统计学、自然科学、社会科学以及工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面将对这两个概念进行详细阐述，并分析它们在实际应用中的重要性。
一、正态分布1. 正态分布的定义正态分布（Normal Distribution）又称高斯分布（Gaussian Distribution），是一种连续型概率分布，描述了实值随机变量的分布规律。
其概率密度函数为f(x|μ,σ2)=(1σ2π)exp[−12σ2(x−μ)2]f(x|\mu, \sigma^2) = \left(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\right)\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2\right]f(x|μ,σ2)=(σ2π1)exp[−2σ21(x−μ)2]其中，μμ\mu为均值（Mean），σ2\sigma^2σ2为方差（Variance），σ\sigmaσ为标准差（Standard Deviation）。
正态分布由均值和方差完全确定，这两个参数决定了分布的位置和形状。
2. 正态分布的性质正态分布具有许多优良的性质，如对称性、单峰性、集中性等。
此外，正态分布还具有稳定性，即多个独立同分布的随机变量之和仍服从正态分布，且均值和方差分别为各变量均值之和和方差之和。
这一性质使得正态分布在实际应用中具有广泛的适用性。
3. 正态分布的应用正态分布在实际应用中具有广泛的应用，如测量误差、生物统计、金融分析、信号处理等领域。
例如，在生物统计中，许多生物特征（如身高、体重等）都服从正态分布；在金融分析中，股票价格的波动也常常假设为正态分布。
二、中心极限定理1. 中心极限定理的定义中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中的一个基本定理，它指出：对于独立同分布的随机变量序列，其和的分布逐渐逼近正态分布，无论这些随机变量具有何种分布。
中心极限定理几个
中心极限定理几个
中心极限定理是概率论中非常重要的一个定理，它可以帮助我们
理解随机现象背后的规律性。
该定理表明，随机变量的和或均值在一
定条件下，随着随机变量个数的增多，其分布趋近于正态分布，从而
更容易进行概率推断。
其中，最为著名的包括以下几个中心极限定理：
1. 切比雪夫定理：当一个随机变量的期望和方差都存在时，任何
一个k倍于标准差的差异的概率都不会超过1/k^2。
这个定理可以帮助我们衡量随机变量的离散程度，从而更好地理解样本总体的性质。
2. 中心极限定理：对于任意独立随机变量的序列，它们的和在一
定条件下服从正态分布。
这个定理是概率论中最著名的定理之一，它
告诉我们，大多数随机现象都可以用正态分布来近似，这对于实际问
题的解决有着重要意义。
3. 林德伯格-列维定理：对于一组独立同分布的随机变量，均值
的标准化值（即均值与总体均值的差除以标准误差）在一定条件下会
趋向于标准正态分布。
这个定理可以帮助我们通过样本均值来推断总
体的性质，进而做出概率性的决策。
总之，中心极限定理是概率论中最为重要的一个定理之一，从中
我们可以看到随机现象的规律性，这对科学研究和决策的制定都有着
非常重要的意义。
中心极限定理levy lindeberg
中心极限定理levy lindeberg中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论与统计学中的一个重要定理，它指出在一定条件下，大量独立随机变量的均值的分布接近正态分布。
这个定理在现代统计学中有着广泛的应用，为我们理解各种现象提供了重要的数学工具。
Levy Lindeberg条件是中心极限定理的一个重要前提条件。
它要求独立同分布的随机变量序列的方差之和要趋于无穷大，而每个随机变量的方差要有限。
这个条件的提出，使得中心极限定理的适用范围更广，更符合实际应用的情况。
中心极限定理的重要性在于它可以帮助我们理解为什么在许多情况下，随机现象会呈现出正态分布的特征。
无论是自然界中的现象，还是人类社会中的行为，往往都可以被看作是大量随机变量的叠加。
而正态分布则是一种极具普遍性的分布形式，它在统计学中有着独特的地位。
通过中心极限定理，我们可以更好地理解抽样分布的性质。
在统计学中，我们常常需要通过抽样来推断总体的特征。
而中心极限定理告诉我们，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逼近正态分布。
这为我们在实际应用中进行推断提供了理论依据。
除了在统计学中的应用，中心极限定理还在其他领域有着重要的作用。
在金融学中，它可以帮助我们理解股票价格的波动特性；在生态学中，它可以帮助我们分析种群数量的波动规律。
无论是自然科学还是社会科学，中心极限定理都有着广泛的应用前景。
总的来说，中心极限定理是统计学中的一个基础定理，它为我们理解随机现象提供了重要的数学工具。
Levy Lindeberg条件作为中心极限定理的前提条件，进一步拓展了定理的适用范围，使其更具有实际意义。
通过深入理解和应用中心极限定理，我们可以更好地分析和解释各种现象，为科学研究和实践应用提供有力支撑。
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1 可化为 n X i 近似地 i 1 / n
则有
Xi
i 1
~ ~ ~
近似地
n
~
N (0,1)
N (0,1)
1 n 记 X Xi n i 1
大样本统计推 断的基础
N (0,1)
N ( nu, n 2 )
例1：某汽车销售点每天出售汽车数服从参数 为2的泊松分布. 若一年365天都经营汽车销售, 且每天出售的汽车是相互独立的, 求一年中售出 700辆以上汽车的概率. 解 记Xi为第i天出售的汽车数量, Y X1 X 2 X 365 为一年的总销量. 利用林德贝格-列维中心极限定理, 可得
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
X
i 1
n
i
n
近似地
n
~
N (0,1)
考虑特殊情况: 均服从参数为p的0-1分布 于是有 棣莫弗-拉 普拉斯中心 极限定理
X
i 1
n
i
np 近似地
np(1 p)
n
x
1 e 2
t2 2
dt Φ ( x ) .
定理（说明）
P{ lim Fn ( x ) lim n
n
X
i 1
n
i
n x} ( x )
n
i
x
1 t 2 / 2 e dt 2
即，n 充分大时，有
Yn
n
X
i 1
n
n 近似地
主要内容
问题提出 林德贝格-列维 (中心极限定理) 棣莫佛-拉普拉斯定理 归纳小结
一、问题的提出
中心极限定理的客观背景 在很多实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的 总的影响。
例如: 考虑大炮的射程.
大炮的射程受很多随机因素的影响:
如大炮炮身结构导致的误差；
瞄准时的误差； 受风速、风向影响产生的误差； 发炮士兵技术引起的误差等等。 对我们来说重要的是这些随机因素的总的影响。
令 Z Xi ,
i 1 n
根据林德贝格-列维中心极限定理, Z近似服从 N 2n, 2.25n.
则有
Z 2n 200 2n PZ 200 P 2.25n 2.25n
200 2n 0.95. 2.25n
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
X
i 1
n
i
n
n
的 分 布 函 数 Fn ( x ) , 对 x R , 一 致 地 有
lim Fn ( x ) lim P ( i 1
n
X
n
i
n x)
（证略）
n
这表明:该餐厅每天的营业额在23240到24760 之间的概率近似为0.90.
例3： 某人钓鱼平均每次钓到2kg, 方差2.25kg2. 问: 至少钓多少次鱼, 才能使总重量不少200kg 的概率为0.95?
解 设此人共钓n次, 各次钓到的鱼 的重量为随机变量Xi , 则 EXi 2, DXi 2.25.
例2 ：某餐厅每天接待400名顾客, 设每位顾的 消费额(元)服从(20, 100)上的均匀分布, 且顾客 的消费额是相互独立的. 试求: (1)该餐厅每天的平均营业额; (2)该餐厅每天的营业额在平均营业额760元 的概率. 解 设Xi为第i位顾客的消费额, Xi ~U20, 100. 所以 EXi 60, DXi 16003.
而该餐厅每天的营业额为Y X i .
i 1
400
(1)该餐厅每天的营业额为
E (Y ) E ( X i ) 400 60 24000
(2)利用林德贝格-列维中心极限定理, 知
i 1
400
Y ~N(24000,400 1600/3)
760 P ( 760 Y 24000 760) 2Φ( )1 400 1600 3 2(1.645 ) 1 0.90
200 2n 查表得 1.645. 即n满足方程 1.5 n
n 1.23375 n 100 0
解方程, 得n=113.12. 因此, 取n=114即可.
定理4.7 棣莫佛-拉普拉斯定理
设随机变量 X 1 , X 2 , , X n , 独立同分布，且具有数学期 望和方差：E ( X k ) , D( X k ) 2 0( k 1,2,), 记
Yn
X
i 1
n
i
E ( X i )
i 1 n
n
D( X i )
i 1
X
i 1
n
i
n
的分布函数的极限.
n
可以证明，满足一定的条件，上述极限分布是标准正态分布.
二、中心极限定理
定理4.6 林德贝格-列维 (中心极限定理)
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 相 互 独 立 , 服 从 同 一
由E Xi D Xi 2
700 730 则有P Y 700 1 P Y 700 1 730 1 1.11 0.8665.
则一年售出700辆以上汽车的概率近似为0.8665.
Y ~ N (730,730)
2 E ( X ) D ( X ) 0 ( i 1,2, ) , 则 分 布 ,且 有 , i i
随机变量之和
n
X
i 1
i
n
i
的标准化变量
n
Yn
X
i 1
E ( X i )
i 1 n
X
i 1
n
i
n
D( X i )
i 1
n
的 分 布 函 数 Fn ( x ) , 对 x R , 一致地有
研究表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响 所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种 量一般都服从或近似服从正态分布. 下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个 随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？