概率论中心极限定理

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中心极限定理

中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：

（一）辛钦中心极限定理

设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，

将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则设μ

n是

n趋于服从参数为的正态分布。即：

当n无限大时，频率设μ

n /

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n

充分大，那么频率就近似服从正态分布。

（三）李亚普洛夫中心极限定理

设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差：。

记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，

，则对任意的x有：

该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

（四）林德贝尔格定理

设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有

。

案例一：中心极限定理在商业管理中的应用[1]

水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假设后勤集团经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头45个，现在总务处遇到的问题是：

中心极限定理

中心极限定理（Central Limit Theorems）

什么是中心极限定理

大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式

中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：

（一）辛钦中心极限定理

设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理

设μ

n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n

无限大时，频率设μ

n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

（三）李亚普洛夫中心极限定理

中心极限定理公式解释

中心极限定理：是指概率论中讨论随机变量序列部分和分布渐近于正态分布的一类定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量近似服从正态分布的条件。

它是概率论中最重要的一类定理，有广泛的实际应用背景。在自然界与生产中，一些现象受到许多相互独立的随机因素的影响，如果每个因素所产生的影响都很微小时，总的影响可以看作是服从正态分布的。中心极限定理就是从数学上证明了这一现象。

最早的中心极限定理是讨论重点，伯努利试验中，事件A出现的次数渐近于正态分布的问题。

概率论中心极限定理

研究表明，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
下面我们来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个
随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量
0-1分布，则对任意实数 x，有
n
Xi np
limP{i1
x}(x)
x
1 et2/2dt
n np(1p)
2
即，n 充分大时，有
n
~
i1
X
i
np
近似地
N(0,1)
np (1 p )
n
~ Yn Xi B(n, p) i 1
棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）
n
~ Yn Xi B(n, p) i 1
拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace)
1749-1827
法国著名的天文学家和数学家, 天体力学的集大成者.
因著名杰作《天体力学》被誉为是法国的牛顿.首次提出 “天体力学”这一学科名称.
是现在广泛应用于各个领域的拉普拉斯变换和拉普拉斯方程的发现者.
i1 n
i1
的分布函数Fn(x),对xR,一致地有

概率论与数理统计§中心极限定理

详细描述
在大数据时代，数据量庞大且复杂。中心极限定理为我们提供了从这些数据中抽取样本并进行统计分析的方法，从而揭示数据的内在规律和趋势。
实际应用案例三：人工智能与机器学习
总结词
中心极限定理在人工智能和机器学习中用于构建稳健的算法和模型。
VS
详细描述
机器学习算法在处理大规模数据集时，经常需要运用中心极限定理进行概率建模和统计分析。这有助于提高算法的准确性和稳定性，推动人工智能技术的进步。
定理的数学表达形式
01
数学表达形式：中心极限定理可以用多种形式表达，其中最常见的是特征函数形式和离散型随机变量的形式。特征函数形式表述为：设$F(t)$是随机变量X的特征函数，则对于任意实数$t$，有
02
$lim_{n to infty} P(S_n < t) = F(t)$
03
其中$S_n = frac{1}{n}(X_1 + X_2 + ldots + X_n)$，$X_1, X_2, ldots, X_n$是独立同分布的随机变量序列。
概率论与数理统计之中心极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正态分布。

中心极限定理公式

【最新版】

1.中心极限定理的概念

2.中心极限定理的公式

3.中心极限定理的应用

4.总结

正文

1.中心极限定理的概念

中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。中心极限定理为我们提供了一个理论依据，使我们可以借助正态分布来研究大量的独立随机变量之和的分布规律。

2.中心极限定理的公式

中心极限定理的公式可以表述为：设随机变量 X1、X2、...、Xn 是独立同分布的，且均值为μ，方差为σ^2。则当 n 趋近于无穷大时，随机变量 S_n = X1 + X2 +...+ Xn 的分布趋近于一个均值为 nμ，方差为nσ^2 的正态分布。

数学表达式如下：

lim (n→∞) [P(S_n - nμ≤ x) - P(Z ≤ x)] = 0

其中，Z 是标准正态分布随机变量，即均值为 0，方差为 1 的正态分布随机变量。

3.中心极限定理的应用

中心极限定理在实际应用中有广泛的应用，例如在统计学中，我们经

常用样本均值来估计总体均值，这是因为根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将接近正态分布，而正态分布具有许多优良的性质，这使得我们可以用样本均值来估计总体均值，并得到一个较为精确的估计。

4.总结

中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它描述了在一定条件下，独立随机变量之和的分布趋近于正态分布。这个定理为我们提供了一个理论依据，使我们可以借助正态分布来研究大量的独立随机变量之和的分布规律。

中心极限定理与大数定律的关系

中心极限定理与大数定律是统计学中非常重要且相关的两个概念。它

们都涉及到随机过程和概率分布，但是侧重点不同。在这篇文章中，

我将深入探讨中心极限定理与大数定律之间的关系，并分享我对它们

的观点和理解。

一、中心极限定理

中心极限定理是概率论和统计学的核心概念之一，它描述了大样本数

量下随机变量和的分布趋近于正态分布的现象。中心极限定理的核心

思想是，当我们抽取足够大的样本量时，样本均值的分布将接近于正

态分布。

中心极限定理的数学表达可以用公式来表示：

_ = (_1 + ?_2 + … + ?_?) /?

其中，?_? 表示样本均值；?_1, ?_2, …, ?_? 表示从总体中独立同分布

的随机变量；? 表示样本容量。

中心极限定理告诉我们，无论总体分布是什么，当样本数量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。这一理论提供了一种对总体分布

进行近似和推断的方法。它在统计学的各个领域广泛应用，例如假设检验、置信区间估计等。

二、大数定律

大数定律是概率论和数理统计中的另一个重要概念，它描述了随着样本数量的增加，样本均值趋于总体均值的现象。大数定律的核心思想是，当我们抽取足够多的样本时，样本均值将逐渐接近于总体均值。

大数定律的数学表达可以用公式来表示：

lim (?→∞) ?_? = ?

其中，?_? 表示样本均值，? 表示总体均值。

大数定律告诉我们，当样本数量趋于无穷大时，样本均值将收敛于总体均值。这一理论提供了一种在实践中进行估计和推断的依据。在统计学中，大数定律的应用非常广泛，例如推断统计、抽样调查等。

概率论第十六讲中心极限定理

D(X ) 1900 25 47500
近似
X ~ N (28500,47500)
P(101900 X 36008) p(19000 X 28800)
28800 28500 19000 28500 47500 47500
1.376 43.589
0.9162
例4 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？
解设 X 表示6000粒种子中的良种数 ,
则 X ~ B( 6000 , 1/6 )
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理,
有
X
近似
~
N
1000,
5000 6
P X 1 0.01 P X 1000 60
6000 6
1060 1000 940 1000
5000 6 5000 6
a / r 120 (17.32) 48 0
反查标准正态函数分布表，得
3.09 99.9%
令解得
a 120
r
3.09
48
a (3.09 48 120)r 141r (千瓦)
例5 设有一批种子，其中良种占1/6. 试估计在任选的6000粒种子中，良种比例与 1/6 比较上下不超过1%的概率.

高考数学中的概率统计中的中心极限定理

概率统计是高考数学中非常重要的一部分，它与我们日常生活

息息相关。而中心极限定理则是概率统计中非常重要的一个定理，这个定理集成了众多科学家的智慧，为我们提供了一个可靠的方

法来研究随机事件的概率与分布。

一、中心极限定理的概念

中心极限定理是指在一定条件下，对于一个总体随机变量X，

由n个相互独立的随机变量X1、X2、…、Xn所组成的样本平均

值所满足的一些统计规律。简单来说，中心极限定理是在满足一

些条件的情况下，样本的均值会服从于一个特定的分布。

二、中心极限定理的条件

中心极限定理并不是所有情况下都适用的，它需要满足一些特

定的条件，这些条件包括：

（1）总体分布必须存在方差；

（2）样本数量n足够大；

（3）样本的选取必须是独立的。

三、中心极限定理的应用

中心极限定理在实际生活中的应用非常广泛，特别是在大数据分析领域中，中心极限定理被广泛地应用于数据的分布与统计分析。

以投掷一颗骰子为例，假设我们将骰子投掷10000次，那么我们可以通过中心极限定理来研究投掷结果所服从的分布规律。根据中心极限定理，当选取的样本数量够大时，样本的平均值将在正态分布之间波动。

这个例子中，我们可以通过投掷骰子的结果来观察到中心极限定理在实际应用中的作用。当我们投掷骰子的数量越来越多，投掷结果的分布也会越来越接近正态分布，这是中心极限定理的一个典型表现。

四、中心极限定理的意义

中心极限定理是概率论中的一项重要成果，它为我们研究随机事件的概率分布提供了一个可靠的方法。中心极限定理不仅限于数学领域，它在生物学、物理学、社会学等领域中的应用也是非常广泛的。

概率论中心极限定理

如果X 是连续型随机变量.

≥-}|)X (E X {|P ε()dx x |)X (E x |⎰

≥-ε

ϕ()()dx x )X (E x |)X (E x |⎰

≥--≤

ϕε

()()⎰∞

+∞

--≤dx x )X (E x ϕε

=思考题解答:

本课程的主要内容:

中心极限定理:

1.李雅普诺夫定理;

2.推论:独立同分布定理;

3.拉普拉斯定理(独立同分布定理推论);

4.拉普拉斯局部极限定理;

抽样分布:

设ΛΛn X ,X ,X 21是相互独立的随机变量有期望值i i EX α=及方差+∞

<=2i

i DX σ()Λ21,i =若每个i X 对总和∑=n

i i

X 1

的影响不大.

一.定理5.3: (李雅普诺夫定理)

1()()n i i n i i E X x D X =→∞

=⎫⎪⎪≤=

⎬⎪⎪⎭

∑∑2

12t

x e dt π

--∞⎰

()

x Φ=112

1lim n n i i i i n n i i X a P x σ===⎧⎫-⎪⎪⎪⎪≤=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑∑∑

}{

lim 1

x n

n X

P n

i i

n ≤-∑=∞

→σμ

⎰

∞

-2

t -dt e 212π

设X 1,X 2, …是独立同分布的随机

变量序列，且E (X i )= ，D (X i )= ，

i =1,2,…，则

σμ列维一林德伯格（Levy －Lindberg ）定理.

推论（独立同分布下的中心极限定理）

请看演示

中心极限定理的直观演示

说明:在定理条件下:

()

()1

1~0,1n

i X

n N n

σ=-∑()1

i i X =∑

概率公式中心极限定理

概率理论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律和

性质。而在概率理论中，中心极限定理是一个重要的概念，它描述了

当独立随机变量的和的分布趋向于正态分布时，所产生的现象。本文

将简要介绍概率公式中心极限定理的基本概念、证明以及应用。

一、中心极限定理的基本概念

中心极限定理是概率论中的一个基本定理，它表明当随机变量满足

一定条件时，其和的分布将趋向于正态分布。例如，对于独立随机变

量X1、X2、...、Xn，其均值为μ，方差为σ^2，当n趋向于无穷大时，这些独立随机变量的和S_n=(X1+X2+...+Xn)/n的分布将趋向于正态分

布N(μ,σ^2/n)。

中心极限定理是概率论非常重要且基础的定理，它在数理统计学和

应用统计学中有着广泛的应用。

二、中心极限定理的证明

中心极限定理的证明较为复杂，涉及到数学的高级推导和证明过程。在此，我们只简要介绍其中一种常见的证明方法——特征函数法。

特征函数法是通过随机变量的特征函数来证明中心极限定理的一种

方法。首先，我们定义随机变量X的特征函数为φ_X(t)=E[e^(itX)]，

其中i为虚数单位。然后，利用随机变量和的特征函数和特征函数的乘

法性质，我们可以得到随机变量和的特征函数为φ_S_n(t)=φ_X(t/n)^n。

接下来，我们对随机变量的特征函数进行泰勒展开，并取展开后的

前几项，最后取极限得到正态分布的特征函数。通过比较展开的结果

和正态分布的特征函数，我们可以推导出随机变量和的分布趋向于正

态分布。

以上只是其中一种证明方法，中心极限定理还有其他的证明方法，

大数定律与中心极限定理概率论的核心原理

大数定律与中心极限定理概率论的核心原理概率论的核心原理：大数定律与中心极限定理

概率论是数学中重要的一个分支，它从根本上研究了随机事件发生

的规律性。大数定律和中心极限定理是概率论的核心原理，它们在各

个领域都有广泛的应用。本文将介绍大数定律和中心极限定理的概念、原理以及它们在实际问题中的应用。

一、大数定律

大数定律是概率论中最基本的定律之一，它研究了当随机事件重复

进行多次时，随机事件的平均值趋近于其期望值的概率性结果。具体

而言，大数定律可以分为弱大数定律和强大数定律。

弱大数定律：在独立同分布的条件下，随机事件重复进行多次后，

样本平均值的概率极限趋于其期望值。

对于一个随机事件X，假设其期望值为μ，方差为σ^2。我们进行n 次独立重复试验，并将这些试验的结果求平均值，记为

Sn=(X1+X2+...+Xn)/n。弱大数定律指出，当n趋于无穷大时，Sn趋近

于μ的概率为1，即随机事件的均值趋近于其期望值。

强大数定律：与弱大数定律类似，是对独立同分布的随机事件进行

研究，但是它给出了更强的结论，即随机事件的均值几乎确定地趋近

于其期望值。

大数定律的应用非常广泛。在统计学、金融学、经济学等领域，大数定律经常被用于研究稳定性和可靠性问题。例如，在金融市场中，根据大数定律可以推导出投资组合的预期收益率，帮助投资者进行决策。

二、中心极限定理

中心极限定理是概率论中的另一个重要定理，它研究了随机事件的和或平均值在随机事件重复进行多次后的分布情况，并给出了收敛于正态分布的概率性结果。

中心极限定理可以分为以下几种形式：李雅普诺夫中心极限定理、林德伯格-列维中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理等。这些定理在特定条件下，给出了随机事件和的分布或平均值的分布趋近于正态分布的结果。

5.2 中心极限定理

中心极限定理的客观背景（Central Limit Theorem(CLT)）

在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的

相互独立的随机因素的综合影响所形成的.而其中每

一因素在总的影响中所起的作用都是微小的.

这种随机变量往往近似地服从正态分布.

该结论得益于高斯对测量误差分布的研究.

Gauss

(1777-1855)

例如：考虑炮弹的射击误差.设靶心为坐标原点，弹着点的坐标为(X,Y)，X，Y分别表示弹着点与靶心的横向和纵向误差.我们来看造成误差的原因是什么？

炮身在每次射击后，因震动而造成微小的偏差；

每发炮弹外形上的细小差别引起空气阻力不同，由此出现的误差；

每发炮弹内炸药的数量和质量上的微小差异而引起的误差；

炮弹在前进时遇到的空气气流的微小扰动而造成的误差；

等等许多原因，每种原因引起一个微小的误差，有的为正，有的为负，都是随机的.

误差X 或Y 是这许多彼此间相互独立的随机小误差的总和，即n k k X X 1==∑考察有限个独立同分布随机变量和：12,

n n S X X X =+++可否考虑用极限的方法来计算呢？

1lim 1n n P S n με→∞⎛⎫-<= ⎪⎝⎭

,n S n μ≈→∞2()D n σ=→∞n S n μ-n n Y n σ

=在一些较松的条件下，和的极限分布就是正态分布呢，此类定理就是中心极限定理

定理1（独立同分布的中心极限定理）

设X 1, X 2,…是独立同分布的随机变量序列，且E (X i )=μ，D (X i )=σ2>0，i =1,2,…，则1lim n i i n X n P x n μσ=→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑222x t e dt π

中心极限定理概率论与数理统计

P (280 X 320).
解令Xi 为售出了第 i – 1 份报纸后到售出第i 份报纸时的过路人数, i = 1,2,…,100
P(Xi k) p1 p k1 , p1/3 k 1,2,
(几何分布)
E( X i )
1 p
p1/ 3
3,
D(Xi )
1
p p2
p1/ 3
6
100
X1, X 2,, X100 相互独立, X X k
解设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力， X 为开工的车床数 ,则 X ~ B(200,0.6) ,
由德莫佛—拉普拉斯中心极限定理, 有
X ~ N (120, 48) (近似)
问题转化为求 a , 使
P(0 rX a) 99.9%
P(0 rX a) a / r 120 0 120 48 48
P{X>120}=1-
1.376 43.589
0.9162
定理6: (德莫佛-拉普拉斯定理)设随机变量服从参数为 n , p(0<p<1) 的二项分布，则对于任意 x,有
例4 某车间有200台车床，每台独立工作，开工率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产？
中心极限定理的意义

中心极限定理三个公式

中心极限定律公式是什么？公式如下图：

在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立的随机变量之和的分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。

扩展资料

中心极限定理是概率论中最重要的一类定理，它支撑着和置信区间相关的T检验和假设检验的计算公式和相关理论。如果没有这个定理，之后的推导公式都是不成立的。

事实上，以上对于中心极限定理的两种解读，在不同的场景下都可以对A/B测试的指标置信区间判定起到一定作用。

对于属于正态分布的指标数据，我们可以很快捷地对它进行下一步假设检验，并推算出对应的置信区间；而对于那些不属于正态分布的数据，根据中心极限定理，在样本容量很大时，总体参数的抽样分布是趋向于正态分布的，最终都可以依据正态分布的检验公式对它进行下一步分析。

概率论基本定理与中心极限定理

概率论基本定理与中心极限定理概率论是数学的一个重要分支，它涉及到我们日常生活中许多决策和事情发生的概率。概率论基本定理和中心极限定理是概率论的基础和核心，深刻地揭示了随机事件规律性的本质，并为我们处理实际问题提供了基本方法。在本文中，我们将探讨概率论基本定理和中心极限定理的定义、性质和应用。

一、概率论基本定理

概率论基本定理是概率论的基本定理之一，它涉及到随机事件发生概率的计算，包括条件概率、全概率公式和贝叶斯公式。

1. 条件概率

条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。如果事件A和事件B都是随机事件，且事件B的发生概率不为0，则事件A在事件B发生的条件下的概率P(A|B)定义为：

P(A|B) = P(AB)/P(B)

其中P(AB)表示A和B同时发生的概率，在这个基础上，我们可以推导出全概率公式和贝叶斯公式。

2. 全概率公式

全概率公式（Law of Total Probability）是概率论中一个重要的公式，它用于计算在一组互不相容的事件发生的条件下，某一事件的概率。

设B1, B2, ..., Bn是一组互不相容的事件，且它们组成了一个完全事件组，即它们的并集为样本空间S。对于任意事件A，有：

P(A) = ∑P(A|Bi)P(Bi), i=1,2,...,n

其中，P(Bi)表示事件Bi的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。全概率公式在实际问题中有着广泛的应用，例如在数据分析、生物学、金融等领域中，通常需要估计某个事件的概率，这时候全概率公式就非常有用。

概率论 中心极限定理

中心极限定理

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高考数学中的概率统计中的中心极限定理

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大数定律与中心极限定理概率论的核心原理

5.2 中心极限定理

中心极限定理概率论与数理统计

中心极限定理三个公式

概率论基本定理与中心极限定理

概率论中心极限定理

中心极限定理公式