全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编函数大题强化训练(解析版)

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全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编平面几何强化训练(原卷版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题13平面几何强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x 2+y 2=9与双曲线xy =3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．2．【2018年北京预赛】一个三角形的一边长为8，面积为12，则这个三角形的周长的最小值=________. 3．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC 的三个顶点到平面α的距离分别为1， 2，3，则△ABC 的重心G 到平面α的距离为_______．4．【2018年贵州预赛】顺次连结圆x 2+y 2=9与双曲线xy =3的交点，得到一个凸四边形，则此凸四边形的面积为______．5．【2018年天津预赛】凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.6．【2018年河北预赛】设点O 为三角形ABC 内一点，且满足关系式：_____.7．【2018年河北预赛】过动点M 作圆： ()()22221x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若MN MO =（O 为坐标原点），则MN 的最小值是__________．8．【2016年江西预赛】如图,在四面体ABCD 中,△ABC 为正三角形,AD=BD=2,AD ⊥BD,AD ⊥CD.则点D 到面ABC 的距离为______.9．【2016年北京预赛】如图，与正方形的边分别切于点，与边交于点厘米，厘米.则的面积为__________平方厘米10．【2016年北京预赛】如图，切于点交于点交于点于点.联结并延长，与交于点，联结.若，则的度数为__________.11．【2016年吉林预赛】给定平面上四点O、A、B、C，满足.则的最大值为________.12．【2016年天津预赛】已知凸n边形n个内角的度数均为整数并且互不相等,最大内角的度数为最小内角的度数的3倍.则n可以取到的最大值为______.13．【2018年河北预赛】如图，设的外接圆为的角平分线与BC交于点D，M为BC的中点.若的外接圆分别与AB、AC交于P、Q、N为PQ的中点.证明：（1）BP=CQ；（2）.14．【2018年辽宁预赛】如图，交于点的另一个交点为，经过点的一条直线分别与交于点的延长线与交于点，作交于点，再作分别与切于点.证明：.15．【2018年江西预赛】如图，的内心为分别是边的中点，证明：直线平分的周长．。

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。

解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。

墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。

因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编平面几何(解析版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题12平面几何真题汇编与预赛典型例题1．【2014年全国联赛】设等边△ABC的内切圆半径为2、圆心为I.若点P满足PI＝1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为_________.【答案】【解析】如图所示，由PI＝1，知点P在单位圆上.设∠BAP＝α.在上取一点，使得α取到最大值，此时，点应落在∠IAC内，且其为的切点.由于，故，，①其中，.由，知.于是，.故②据式①、②知当P与重合时，的最大值为.2．【2018年全国联赛】如图，△ABC为锐角三角形，AB<AC，M为BC边的中点，点D和E分别为△ABC 的外接圆弧BAC和弧BC的中点，F为△ABC的内切圆在AB边上的切点，G为AE与BC的交点，N在线段EF上，满足NB⊥AB.求证：若BN=EM，则DF⊥FG.（答题时请将图画在答卷纸上）【答案】证明见解析【解析】由条件知，DE为△ABC外接圆的直径，DE⊥BC于M，AE⊥AD.记I为△ABC的内心，则I在AE上，IF⊥AB.由NB⊥AB可知：∠NBE=∠ABE-∠ABN=（180°-∠ADE）-90°=90°-∠ADE=∠MEI.①又根据内心的性质，有:∠EBI=∠EBC+∠CBI=∠EAC+∠ABI=∠EAB+∠ABI=∠EIB，从而BE=EI.结合BN=EM及①知，.于是∠EMI=∠BNE=90°+∠BFE=180°-∠EFI，故E，F，I，M四点共圆.进而可知∠AFM=90°+∠IFM=90°+∠IEM=∠AGM，从而A，F，G，M四点共圆。

再由∠DAG=∠DMG=90°知，A，G，M，D四点共圆，所以A，F，G，M，D五点共圆.从而∠DFG=∠DAG=90°，即DF⊥FG.3．【2017年全国联赛】如图,在△ABC中,AB=AC,I为△ABC的内心。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编立体几何与空间向量(原卷版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题16立体几何与空间向量真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】如图，正方体的一个截面经过顶点A，C及棱EF上一点K，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则的值为.2．【2018年全国联赛】设点P到平面的距离为3，点Q在平面上，使得直线PQ与所成角不小于30°3．【2017年全国联赛】在正三棱锥中,,过AB的平面将其体积平分.则棱与平面所成角的余弦值为_____________。

4．【2016年全国联赛】设P为一圆锥的顶点，A、B、C为其底面圆周上的三点，满足∠ABC=90°，M为A P的中点．若AB =1，AC=2，AP=，则二面角M-BC-A的大小为________.5．【2014年全国联赛】四棱锥P-ABCD中，已知侧面是边长为1的正三角形，M、N分别为边AB、BC的中点.则异面直线MN与PC之间的距离为___________.6．【2013年全国联赛】已知正三棱锥底面边长为1，高为.则其内切球半径为______. 7．【2012年全国联赛】设同底的两个正三棱锥内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是______.8．【2011年全国联赛】在四面体中，已知.则四面体的外接球的半径为______.9．【2010年全国联赛】已知正三棱柱的9条棱长都相等，是边的中点，二面角.则________.1．【2018年浙江】四面体P-ABC，,则该四面体外接球的半径为________.2．【2018年山西】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 3．【2018年福建】如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，P A=AB.E、F分别为PD、BC的中点，则二面角E－FD－A的正切值为________.4．【2018年江苏】已知正四面体内切球的半径是1，则该正四面体的体积为________.5．【2018年湖南】正方体AC1棱长是1，点E、F是线段DD1，BC1上的动点，则三棱锥E一AA1F体积为___. 6．【2018年重庆】顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥HB，垂足为H，且P A=4，C为P A的中点，则当三棱锥O-HP C的体积最大时，OB的长为________．7．【2018年广西】如图，在正三棱柱中，AB=2，，D、F分别是棱AB、的中点，E为棱AC上的动点，则△DEF周长的最小值为__________.8．【2018年安徽】在边长为1的长方体内部有一小球，该小球与正方体的对角线段相。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编立体几何与空间向量强化训练(汇编)(解析版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题17立体几何与空间向量强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年河北预赛】若的三边长分别为8、10、12，三条边的中点分别是B、C、D，将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是________.【答案】【解析】由已知，四面体A-BCD的三组对棱的长分别是4、5、6.构造长方体使其面对角线长分别为4、5、6，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，外接球半径为R，则，得,故，所以.2．【2018年四川预赛】在三棱锥中，三条棱两两垂直，且.若点为三棱锥的外接球球面上任意一点，则到面距离的最大值为______.【答案】【解析】三棱锥的外接球就是以为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为又，从而，于是，的外接圆半径为故球心面的距离为从而，点到面距离的最大值是故答案为：3．【2018年浙江预赛】四面体P-ABC ，,则该四面体外接球的半径为________.【答案】【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则，所以四面体外接球的半径为.4．【2018年辽宁预赛】四面体ABCD 中，已知，则异面直线AC 与BD所成角的正弦值是_____. 【答案】1 【解析】因为，故，因此异面直线AC 与BD所成角的正弦值是1. 故答案为：15．【2018年江西预赛】四棱锥的底面是一个顶角为的菱形，每个侧面与底面的夹角都是，棱锥内有一点到底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为______．【答案】【解析】设菱形两对角线的交点为，则既是线段的中垂线，又是的中垂线，故是四棱锥的高，且点上，于是平面与底面垂直，同理平面与与底面垂直，平面将四棱锥分成两个等积的四面体．只需考虑四面体．如图，设点在面上的投影为，平面过点，且交，因，则四点共圆．由于，得，由，得，所以，故．在面内的射影，则，即二面角的平面角，于是．据，得，故直线三角形中，．因，所以是正三角形，即．在直角中，，则，故正的边长为4，于是．在直线中，，从而．故答案为：6．【2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3，其余五条棱长皆为2，则其外接球的半径为____. 【答案】【解析】解:设BC=3,AB=AC=AD=BD=CD=2,E,F分别是BC,AD的中点，D在面ABC上的射影H应是△ABC的外心，由于DH上的任一点到A,B,C等距，则外接球心O在DH 上，因，所以AE=DE,于是ED为AD的中垂线是，顒球心O是DH，EF的交点，且是等腰△EAD的垂心，记球半径为r ，由△DOF～△EAF，得.而,所以.7．【2018年湖南预赛】已知二面角为60°，动点P、Q 分别在面内，P 到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为．【答案】【解析】试题分析：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，,∴AC=PD=2,故,当且仅当点A与P重合时取得最小值.。

2009年全国高中数学联合竞赛试题及解答.

2009年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题7分，共56分。

2009*1、函数21)(x x x f +=，且fn n x f f f f x f个)]]([[)()(=，则=)1()99(f◆答案：101★解析：由题意得2)1(1)()(xxx f x f+==，2)2(21)]([)(xx x f f x f+==，······2)99(991)(x x x f +=.故 101)1()99(=f .2009*2、已知直线09:=-+y x L 和圆018822:22=---+y x y x M ，点A 在直线L 上，点C B ,为圆M 上两点，在ABC ∆中，045=∠BAC ，直线AB 过圆心M ，则点A 横坐标的取值范围为 ◆答案：[]6,3★解析：设A （a ，9-a ），则圆心M 到直线AC 的距离d =AM sin ︒45，由直线AC 与圆M 相交，得 234≤d .解得 63≤≤a .2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≥x y x y y 20，N 是随t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ，则M 和N 的公共面积是函数=)(t f◆答案：212++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ∆∆∆--=212++-t t2009*4、若不等式3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设121...2111)(++++++=n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值312007)1(-<a f ，可得2009=a .2009*5、椭圆12222=+by a x （0>>b a ）上任意两点Q P ,，若OQ OP ⊥，则OQ OP ⋅的最小值为◆答案：.22222ba b a + ★解析：设)sin ,cos (θθOP OP P ，)).2sin(),2cos((πθπθ±±OQ OQ Q由Q P 、在椭圆上，有22222sin cos 1b a OP θθ+=（1）， 22222cos sin 1b a OQθθ+=（2）（1）+（2）得.11112222b a OQOP+=+于是当 22222ba b a OQ OP +==时，OQ OP 达到最小值.22222b a b a +2009*6、若关于x 的方程)1lg(2lg +=x kx 仅有一个实根，则实数k 的取值范围为 ◆答案：0<k 或4=k★解析：由题意，方程等价于⎪⎩⎪⎨⎧+=>+>2)1(010x kx x kx ，当且仅当 0>kx （1）；01>+x （2）；01)2(2=+-+x k x （3）对（3）由求根公式得]42[21,221k k k x x -±-= （4）又0042≤⇒≥-=∆k k k 或4≥k)(i 当0<k 时，由（3）得⎩⎨⎧>=<-=+01022121x x k x x ，所以21x x 同为负根。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编数列真题汇编与预赛典型例题(解析版)

专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.【答案】80【解析】设，则有，①.②用t表示中值为2的项数.由②知t也是中值为2的项数，其中t∈{0，1，2，3}.因此的取法数为.取定后，任意指定的值，有22=4种方式.最后由①知，应取使得为偶数，这样的b1的取法是唯一的，并且确定了整数a1的值，进而数列唯一对应一个满足条件的数列.综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。

则的所有可能值为___________。

【答案】13、20【解析】由条件，知均为正整数，且。

由于，故.反复运用数列的递推关系知，。

而，故①注意到，则②当时，式①②分别化为无解。

当时，式①②分别化为得到唯一的正整数，此时。

当时，式①②分别化为：，得到唯一的正整数此时综上，的所有可能值为13、20。

故答案为：13、203．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 【答案】40【解析】由柯西不等式知，等号成立的充分必要条件为:，即成等比数列.于是，问题等价于计算满足的等比数列的个数.设等比数列的公比，且.记，其中，m、n为互素的正整数，且.先考虑的情形.此时，.注意到，互素，故.相应地，分别等于，它们均为正整数.这表明，对任意给定的，满足条件并以q为公比的等比数列的个数，即为满足不等式的正整数l的个数，即.由于，故仅需考虑的情形，相应的等比数列的个数之和为.当时，由对称性，知亦有20个满足条件的等比数列.综上，共有40个满足条件的有序数组4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________.【答案】【解析】由题意知记数列的前n项和为.则.上面两式相减得故.5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.【答案】491【解析】令.则对每个符合条件的数列，满足条件，且.反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列.记符合条件的数列的个数为.显然，中有；从而，有个2，个1.当给定时，的取法有种，易见的可能值只有0、1、2，故.因此，由对应原理，知符合条件的数列的个数为491.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 【答案】15【解析】注意到.要使为整数，必有均为整数，即.当时，均为非负整数.所以，为整数，共有14个.当时，，在中，中因数2的个数为.同理，可计算得中因数2的个数为82，中因数2的个数为110.故中因数2的个数为.从而，是整数.当时，.同理，中因数2的个数小于10.从而，不是整数.因此，整数项的个数为.故答案为：157．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.【答案】【解析】设的公差为的公比为.则解得.从而对一切正整数都成立.于是，.解得.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.【答案】答案见解析【解析】取最小值时.每个或1，.设中，n有个.则任意.令，则.由隔板法的解数为.因此所求有个，最小值.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编函数大题强化训练(原卷版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题22函数大题强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年浙江预赛】设，且对任意实数b均有，求a的取值范围. 2．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值.3．【2018年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值. 4．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域．5．【2018年湖南预赛】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．6．【2018年湖南预赛】已知函数.(1)当时，求满足的值；(2)若函数是定义在R上的奇函数，函数满足，若对任意≠0,不等式恒成立，求实数m的最大值.7．【2018年重庆预赛】设函数（a≠0）满足，求当的最大值．8．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域．9．【2018年湖南预赛】已知二次函数.（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数，使得当时，的值域为区间D，且D的长度为. （注：区间的长度为）.10．【2018年湖北预赛】对任意正整数，定义函数如下：①；②；③.（1）求的解析式；（2）设是数列的前项和，证明：. 11．【2018年山东预赛】实数满足，试求的最大值．12．【2018年河北预赛】若函数的定义域为且满足条件：①存在实数，使得；②当时，有恒成立.（1）证明：（其中）；（2）判断上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 13．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值.。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编函数(解析版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题20函数真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为.【答案】【解析】由..2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为.【答案】【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间.注意到.所以.而，故原不等式组成立当且仅当.3．【2017年全国联赛】设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。

【答案】【解析】由题得，所以函数的周期为7，.故答案为：4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若，则的值为________.【答案】【解析】令.则:.故. 从而，.5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：46．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+= ．【答案】108 【解析】试题分析：设232362log 3log log ()2,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=⇒==+=⇒11a ba b ab++=23610823tt t --==•．考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则的值为___________. 【答案】【解析】由，知.当时，取得最大元素.又，当时，取得最小元素.因此，.8．【2014年全国联赛】若函数()21f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[0,2] 【解析】试题分析：()[)()22,1,,,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+∈+∞⎪=⎨+-∈-∞⎪⎩，[)1,x ∈+∞时，()f x =2x ax a -+=22a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭24a a +-，(),1x ∈-∞时，()f x =2x ax a +-=2224a a x a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.①当12a >即a >2时，()f x 在2a ⎛⎫1, ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，不合题意;②当012a ≤≤即02a ≤≤时，符合题意;③当02a <即0a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[]0,2.考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9．【2013年全国联赛】设为实数，函数满足：对任意的，有.则的最大值为______. 【答案】【解析】易知，则.当，即时，取最大值. 10．【2012年全国联赛】设.则的最大值是______.【答案】.【解析】不妨设.则.。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编排列组合(原卷版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题14排列组合真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】将6个数2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），2．【2011年全国联赛】现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目.则满足上述要求的不同安排方案数为______（用数字作答）. 3．【2017年全国联赛】将3333的方格表中毎个格染三种颜色之一,使得每种颜色的格的个数相等.若相邻两格的颜色不同,则称其公共边为“分隔边".试求分隔边条数的最小值。

4．【2016年全国联赛】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.5．【2010年全国联赛】一种密码锁的密码设置是在正边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时，在每个顶点处染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？1．【2018年广西】把16本相同的书全部分给4名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为__________.（用数字作答）2．【2018年安徽】把1，2，…，按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格，第一行是1，2，…，n.例如：.设2018在的第i行第j列，则（i，j）=___________.3．【2018年湖南】从-3、-2、-1、0、1、2、3、4八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有_____个.4．【2018年湖南】的展开式中常数项为_____.5．【2018年广东】袋中装有m个红球和n个白球，m＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系的数组（m，n）的个数为_______. 6．【2018年河南】将圆的一组等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的阶色序．若某圆的任意两个“3阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有_ _____个．7．【2018年浙江】在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13中任取两个组成分数.这些分数中有________个既约分数.8．【2016年吉林】学校5月1日至5月3日拟安排六位领导值班，要求每人值班1天，每天安排两人.若六位领导中的甲不能值2日，乙不能值3日，则不同的安排值班的方法共有_______种.。

2009年全国高中数学联赛山东赛区预赛.doc

2009年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题6分）1．若集合()12|log 11M x x 禳镲镲=->-睚镲镲铪，{}|124x N x =<<，则M N ?（）.（A ）{}|13x x << （B ）{}|12x x <<（C ）{}|03x x <<（D ）{}|02x x <<2．函数()()212log 23f x x x =--+的递增区间是（）.（A ）()3,1-- （B ）[)1,1- （C ）(]3,1-- （D ）()1,1-3．若对任意的x ÎR ，函数()f x 满足()()20092008f x f x +=-+，且()20092009f ，=-则()1f -=（）.（A ）1（B ）－1（C ）2009（D ）－20094．在△ABC 中，)cos cos 4cos cos B B C C B C --=，且4AB AC +=，则BC 的取值范围为（）.（A ）（2，4）（B ）（2，4]（C ）[2，4）（D ）[2，4]5．对任意的x ÎR ，[x ]表示不大于x 的最大整数，则满足2[|1|]10x -=的x 的集合是（）.（A ）(-- （B ）（C ）(--（D ）[--6．已知两个一元二次方程：20;ax bx c ++= 20,ux vx w ++=都有实根，这里.a u ¹若交换这两个方程的二次项系数，则0wc >是系数交换之后所得两个二次方程中至少有一个有实根的（）.（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充分且必要条件（D ）既不充分又不必要条件7．已知||,||a b 都是整数，且满足()()||||||3||105++=a b a b ，()()333++=a b a b ,则a 和b 的夹角为（）. （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°8．在复平面上，复数z 1对应的点互连结1和i 两点的线段上运动，复数z 2对应的点在以原点为圆心，半径等于1的圆上运动，则复数z 1+ z 2对应的点所在区域的面积为（）.（A ）4p +（B ）p（C ）p（D ）312p + 9．以四面体的顶点和各棱中点为顶点的空间四边形有（）. （A ）141个（B ）144个（C ）423个（D ）432个10．在正三棱锥P ABC -中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于（）.（A （B （C （D ）二、填空题：（每小题6分，共24分）11．若直线223sin cos 30x y αα+-=与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则该公共点的坐标为 .12．对任意的0x >,总有()lg f x a x x =--≤0,则a 的取值范围是 .13．已知数列{}n a 满足：*111,1),n n a a a n +==+∈N 则数列的通项n a = . 14．随机地投掷4颗骰子，则其中有两颗骰子所示数字之和为9的概率为 . 三、解答题（本大题共5小题，共66分）15. 如图，平面m ∥平面n ，线段AD 分别交m 和n 于点B 和点C ，过点A 的另一直线分别交m 和n 于点M 和点P ，过点D 的另一直线分别交m 和n 于点N 和点Q .已知ΔΔ32BMN CPQ S S =,求ADCD 的最小值.16.（12分）对任一正整数k ,1≤k ≤9,是否存在相应的二次函数(),k f x 使得对任意的正整数p ，有2()k p p f kk k kk k =个个……(例如,33,2,33,(33)3333k p kk f ====).若存在,请给出证明及相应二次函数()k f x 的表达式;若不存在,请给出理由.17. （12分）已知椭圆T :22221(0)x y a b a b +=>>和双曲线S :22221(0,)x y m n m n-=>>0具有相同的焦点F (2,0).设双曲线S 经过第一象限的渐近线为l ，若焦点F 和椭圆T 的上方的顶点B 关于直线l 的对称点都在双曲线S 上，求椭圆T 和双曲线S 的方程.18. （15分）在一圆周上有k 个数，k ≥3.若其中任意三个相邻之数,依顺时针方向分别设为,,a b c ,恒有b a c αβ=+,这里1αβαβ+=≥0,≥0,.证明这k 个数必互相相等. 19. （15分）证明:定义在R 上的奇函数()f x 能表示为一个周期函数与一个线性函数之和的充分必要条件是()f x 的图象有异于点(0,0)的对称中心(,)a b .注:线性函数是指形如,y kx h =+k 和h 可为任意实数的函数.解答1. ()12log 11x Mx 污->- 110,13;1122x x x -ì->ïïïï?<í骣÷çï-<=÷çï÷çï桫ïî124x x N污<<0 2.x ?<所以{}|12.M Nx x ?<< 故选B.2．解法1：由2230x x --+>，得3 1.x -<<抛物线223y x x =--+的顶点坐标为（-1，4）.所以函数223y x x =--+在[)1,1-上递减，又112<，从而知函数()()212log 23f x x x =--+的递增区间为[)1,1-.解法2：由2230x x --+>，得3 1.x -<<()()()122(1)log 013x f x e x x ≥-+¢=-+得10x ≥+，即1x ≥-.所以函数()()212log 23f x x x =--+的递增区间为[)1,1-.故选B.3． ()()()20092008(1)2009f x f x f x +=-+=--+()()120082007f x f x ，=-+=+所以()f x 是以2为周期的周期函数，从而有()()()120092100520092009.f f f -=-?=-故选D.4．解法1：由已知3sin sin cos sin cos cos 4cos cos ,B C B C B C B C B C --+=)()sin cos cos sin 3cos cos sin sin ,B C B C B C A C +=--()()3cos ,B C B C +=-+()tan B C +=-因为0B C p <+<，所以23B C p +=,()3A B C p p =-+=.由4AB AC +=，得4AB AC =-.2222cos BC AB AC AB AC A =+-()()2244AC AC AC AC =-+-- 231216AC AC =-+()2324AC =-+ 4≥.当且仅当2AC =时，上式取等号，所以2BC ≥.又 4.BC AB AC <+=所以BC 的取值范围为[2，4）. 故选C.解法2：由已知)114,B C --=3tan tan 14B C B C --+=)()tan tan 3tan tan 1B C B C +=-()tan tan tan 1tan tan B CB C B C++==--以下同解法1.5．由对[x ]的规定知[][] 1.x x x ≤<+所以有210111.x ≤-< 当21x ≤时，有1011,x 2≤1-<无解.当21x >时，有10111,x 2≤-<即21112,x ≤<||x <x <x ≤--故选C.6．原来两个二次方程的判别式分别为214;b ac D =- 224.v uw D =- 二次项系数交换后两个方程的判别式分别为214;b uc D ¢=- 224.v aw D ¢=- ()()()()112216.wc u a a u D D D D ⅱ--=--若0wc >，则()()11220,D D D D ⅱ--<所以，或有110,≥D D ¢>或有220,≥D D ¢>即二次项系数交换后两个方程中至少有一个方程有实根，所以条件“0wc >”是充分的.条件不必要，事实上，若0wc =，二次项系数交换后两个方程中至少有一个有0x =的实根. 故选A.7．解法1：令||||m +=a b ，则()|2||105m m +=b ，由||10m ≤<b ,得105||,22mm m =-<b 解得 6.m >又105357,=创所以7,m =从而有10549||4,14-==b ||74 3.=-=a ()()2222++3=||+3||+4=||+3||+4||cos =33a 创a b a b a b a b a b a |b |. 这里a 为a 与b 的夹角，从而有()2211cos 33||3||4||||2α=--=-a b a b . 又0180,α≤? 所以120.α=解法2：令||||m +=a b ,||3||,n +=a b 则3.m n m <<而1051105335521715,=???只有71537.<< 所以||||7,15||3||.ì+=ïïíï=+ïîa b a b 解得||3,|| 4.ì=ïïíï=ïîa b 下同解法1. 故选C. 8．由已知可得()11z t t i =+-()01.t ≤≤2cos sin ,z i q q =+得()12cos 1sin .z z t t i q q +=++-+设12.z z x yi +=+则cos ,1sin .x t y t q q ì=+ïïíï=-+ïî消去q ，得22()[(1)]1x t y t -+--=.即12z z +对应的点以(),1t t -为圆心半径等于1的圆上，而因为()01.t ≤≤故12z z +对应点所在区域为图中阴影部分.其面积为22.2pp ?故选B. 9．解法1：四面体有4个顶点，6条棱，每条棱有1个中点，共有10个点，从其中任取4个不共面的点有以下几种情况：①这4个点都是顶点的取法只有1种；②这4个点中有3个顶点的取法共有4×3=12种； ③这4个点中有2个顶点的取法共有()256248C ?=种； ④这4个点中有1个顶点的取法共有()384368C ?=种；⑤这4个点中没有顶点的取法共有46312C -=种.综上所述，从这10个点中取4个不共面的点的取法共有1+12+48+68+12=141种.每不共面的4个点可以构成3个不同的空间四边形，则以这10个点为顶点的空间四边形共有141×3=423个.解法2：从这10个点中任取4个，共有410210C =种取法，其中取出的4个点共面的情况共有以下3种：①从每个面上的6个点中任取4个点都共面，这样的取法共有46460C =种；②每条棱上的3个点与相对棱的中点共面，这样的取法共有6种； ③去掉1组相对棱后，其余四棱的中点共面，这样的取法共有3种.综上所述，所取4点共面的取法共60+6+3=69种. 所以，所取4点不共面的取法共有210-69=141种，以下同解法1. 故选C.10．如图，O 是正三棱锥底面中心，也是半球的球心，CD 是正三棱锥底面的高，侧面P AB 与半球相切于点E ，连结OE ，OE PD ^，1OE =，.PO h =设()090PDOαα??? ，则,POEα?1cos h α=.设正三棱锥底面三角形的边长为a ，则1,sin OD a==所以a =正三棱锥的体积为2113cos V α==桫. 下面用两种方法求V 的最小值：方法1：令cos t α=，则22sin 1t α=-，所以V ==)())()2222331331.t t V t t t t --¢==--已知01,t <<此时有0000 1.V t V t V t ⅱ=?<?<>?<所以当t =V92=桫.相应的11cos h t a ===方法2：因2sin cos 0,αa >所以由4222232221sin cos sin sin 2cos 21sin sin 2cos 23=鬃骣++÷ç÷ç÷ç÷桫≤αααααααα 4,27=知20sin cos αα<，所以9.2V =当且仅当22sin 2cos ,αα=即cos α=V 取最小值9.2相应的1cos h α== 故选B.11． 1．当2cos 0α=时，2sin 1α=，直线方程为1x =，代入221x y -=解得直线与双曲线此时惟一交点（1,0）；2．当2cos 0α≠时，设直线方程为(1)3y k x =-+，这里23tan 0k α=-≤.(i)当1k =-时，直线方程为4y x =-，代入221x y -=解得直线与双曲线此时仅有的一个公共点1715(,).188(ii)当1k ≠-时，则由22(1)3,1y k x x y =-+⎧⎨-=⎩可得()22221(26)6100.k xk k x k k -+--+-=2222(26)4(1)(610)2440k k k k k k ∆=----+-=+，由0∆=解得503k =>，不合题意. 综上所述，当直线与双曲线仅有一个公共点时，该公共点的坐标或为(1,0)，或为1715(,).18812．1．当x ≥1时，lg lg x x =，由lg x x +≥1，知a ≤1; 2．当01x <<时，lg lg x x =-，此时，lg ()1.e f x x'=-+由()0,f x '=得lg x e =.当0lg x e <<，有()0f x '>；当l g ,x e >有()0f x '<，所以当01x <<时，lg x e =是()f x 的最大值点.由()(lg )lg lg lg f x f e a e e =-+≤≤0，可得a ≤lg lg lg e e -.综合1,2，由3e >10，3ln10>,知lg lg lg lglg(ln10)lg10 1.lg ee e e e-==⋅<= 所以a 的取值范围为(],lg lglg .e e -∞-13．令n b 则21,4n n b a -=从而有22111144n n nb b b +--=++,即222144(2).n n n n b b b b +=++=+由1b ==0n b >，知12n n b b +=+，即有2(1)n b n =-.从而得2211(1)51)4(1)144n n a b n n ⎡⎤=-=+-+--⎣⎦21(1)(1)1(51).n n n =-+-=+-- 14．4颗骰子的每次投掷所示结果为一基本事件，以X 记全部基本事件的集合.显然有|X |=64，这里|X |表示集合X 所含元素的个数，对于每一个i ,i =1,2,…，6，定义事件i A ：i A ={4颗骰子所示之数中没有i 的所有基本事件}.因9=3+6=4+5，所以每次投掷结果中有两颗骰子所示数字之和为9的事件记为B ，则B=3645.A A A A U U U这里A 表示与A 互斥的事件.363643636||||6(||||||)A A X A A A A A A U U U =-=-+-44446(554)302.=-+-= 同理有45A A U =302，从而得36453645||B A A A A A A A A =+-U U U I U60424580=-=. 所求概率=||580145.||64324B X == 15．由平面m ∥平面n ,知BM ∥CP ,BN ∥CQ ,所以有sin =sin MBN PCQ ∠∠,且BM AB CP AC =,BN BDCQ CD=. 又11=sin ;=sin ,22BMN CPQ S BM BN MBN S CP CQ PCQ ∆∆⋅∠⋅∠ 由32BMN CPQ S S ∆∆=,得32AB BD AC CD ⋅=.令AC AB α=,BD CD β=,则23βα=，且 1.βα>>-11,1BC AC AB AB BC AB AB αα==-=-. ++-1111AD AB BC CD BC BD CDCD CD CD CDαααα==+⋅=+⋅-- 23321(1)1(1)1122(1)αααβαααα-=+-=+-=---31(1)22(1)αα=++- 31[(1)]323(1)αα=-++-≥332⋅3=16．对任意的正整数m ,有12(1010)(101)9m m m m kkk k k --=++=-个……+1 当2m p =时,有2(101)(101)(101)99p p p k kkk k =-=-+2个…p 29[(101)]2(101)99p p k kk =-+⋅-29()2()p p kk k kk k k =+⋅个个……. 所以,对任一正整数k , 1≤k ≤9,存在二次函数29()2k f x x x k=+,使得对任意的正整数p ，2()k p p f kk k kk k =个个…… 17．由已知,22224a b m n -=+=,渐近线l 的方程为ny x m=,经过焦点F 且与直线l 垂直的直线l '的方程为(2)m y x n =--,由(2)n y x m m y x n ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得2222222m x m n mny m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,又已知224m n +=.所以直线l 和l '相交于点2(,)22m mn.则焦点F 关于直线l 的对称点为2(2,)F m mn '-. . 3分由已知,点F '在双曲线S 上,所以222222(2)1m m n m n --=.解得2224416,44555m n m ==-=-=.所以双曲线S 的方程为22551416x y -=.椭圆T 的上方的顶点B 的坐标为(0,b ),因为22416,55m n ==,所以渐近线l 的方程为2y x =,经过点B 且与直线l 垂直的直线l ''的方程为12y x b =-+,由2,1.2y x y x b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 解得2,54.5x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即直线l 与直线l ''相交于点24(,)55b b .所以点B 关于直线l 的对称点B'的坐标为43(,)55b b .已知点B'在双曲线S 上，所以22435()5()551416b b -=，解得2221660,4,1111b a b ==+=所以椭圆T 的方程为22111116016x y +=. 18．任取其中一数,记为0a ,其余各数依顺时针方向分别记为121,,,k a a a -…. 对任意的正整数,n k n p k i =⋅+≥, p 是正整数, i 是整数,且01i k -≤≤,令n i a a =,按题意,对任意正整数n ,有11n n n a a a αβ-+=+.若0αβ⋅=,结论显然成立.否则,有11()()n n n n a a a a βα+--=-. 令1n n n b a a +=-,则1n n b b αβ-=.设100a a b a -==,则()n n b a αβ= 当n k =,有110()k k k k a b a a a a a αβ+==-=-=.由此可得0a =或1αβ=. 若0a =,即0,0,1,2n b n ==…,结论显然成立.若有1,αβ=即,0,1,2,n b a n ==…,知数列{}n a 是以0a 为首项,a 为公差的等差数列,则有,00k a a a ka ==+ 即0a =.结论得证.19．点11(,)a b 与点22(,)a b 关于点(,)a b 对称1212,.22a a b b a b ++⇔== 所以，函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称⇔图象上任意两点1122(,()),(,())x f x x f x ,若有122x x a +=,则12()()2f x f x b +=.充分性显然,0a ≠,否则的话,0b =,矛盾.令()()f x x kx h ϕ=++,则有(2)(2)(2)a x f a x k a x h ϕ+=+-+-2()2()22()2().b f x kx h akf x kx h b ak x b ak ϕ=-----=--+-=+-所以,只要令b k a =,则对任意的x ∈R ,有(2)()a x x ϕϕ+=,即()x ϕ是一个以2a 为周期的周期函数.必要性已知奇函数()()f x x kx h ϕ=++,其中()x ϕ是以T 为周期的周期函数,令T ,T 2,2a a ==则 ()()()f a x a x k a x h ϕ+=++++ [()]()()()()()()()2.T a x k a x hx a k a x hf x a k x a h k a x hf a x ak ϕϕ=--+++=-+++=----+++=--+ 即()()2.f a x f a x ak ++-=T (0).2a =≠ 由此可知()f x 的图象有异于点(0,0)的对称中心(,)a ak .。

全国高中数学历届(2009-2019)联赛初等数论试题汇编

全国高中数学历届(2009-2019)联赛初等数论试题汇编1．【2017年全国联赛】若一个三位数中任意两个相邻数码之差均不超过1,则称其为“平稳数”.那么,平稳数的个数为____________。

【答案】75【解析】考虑平稳数,若,则,有2个平稳数。

若,则个平稳数。

若,则,有个平稳数。

若，则，有个平稳数。

综上，平稳数的个数为。

故答案为：752．【2015年全国联赛】对四位数，若，则称类数；若，则称类数.用分别表示类数与类数的个数.则的值为______.【答案】285【解析】记类数、类数的全体分别为，再记个位数为零的类数全体为，个位数不为零的类数全体为. 对任一四位数，将其对应到四位数.注意到，.则.反之，每个唯一对应于中的元素.因此，建立了之间的一一对应.故.下面计算.对任意四位数可取0，1，…，9，对其中每个，由，知分别有种取法.故.因此，.故答案为：2853．【2010年全国联赛】方程满足的正整数解（）的个数是________.【答案】336675【解析】首先，易知方程的正整数解的个数为.其次，把方程满足的正整数解分为三类：（1）均相等的正整数解的个数显然为1；（2）中有且仅有两个相等的正整数解的个数，易知为1003；（3）设两两均不相等的正整数解的个数为.注意到.解得.故满足的正整数解的个数为.4．【2019年全国联赛】设m为整数，|m|≥2.整数数列满足：不全为零，且对任意正整数n，均有.证明：若存在整数r，s（r>s≥2）使得，则.【答案】【解析】若，记.则对任意正整数n，d|a n，考虑数列，可得同样结论。

故不妨设，由可知，即对任意大于2的正整数n，.若a 1，不满足，则不存在r>s≥2使得，故不妨设，由互质性.设，则b n为整数数列，.可知，若存在整数使得，则.而，故，由知，故r-s≥|m|.5．【2018年全国联赛】设n，k，m是正整数，满足k≥2，且.设A是的n元子集。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编集合(原卷版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为_____ _.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值. 10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。

2．【2018年重庆】设集合恰有一个公共元素为a，则实数a=________．3．【2018年广西】某含有三个实数的集合既可以表示为，也可以表示为，则的值为________.4．【2018年湖南】已知，当时，视为不同的对，则这样的对的个数有_____个.5．【2018年广东】设集合，其中，表示不大于x的最大整数，则__________.6．【2018年贵州】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是___ ____．7．【2018年山东】集合满足，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为______．8．【2018年河北】已知集合且A=B，那么_______. 9．【2018年四川】设集合，若的非空子集满足，就称有序集合对的“隔离集合对”，则集合的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答）10．【2018年福建】设集合M={m|m∈Z，且|m|≤2018}，M的子集S满足：对S中任意3个元素a，b，c（不必不同），都有a+b+c≠0.求集合S的元素个数的最大值.11．【2018年湖南】已知集合.(1)若，求实数m的取值范围:(2)若，求实数m的取值范围.12．【2018年广东】已知正整数n都可以唯一表示为①的形式，其中m为非负整数，），.试求①中的数列严。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编集合(解析版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为.【答案】【解析】由题意知，x为负值，.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为【答案】24【解析】由条件知，.故B∩C的元素个数为24.3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______. 【答案】-5【解析】易知，.当时，；当时，.因此，集合.从而，集合中所有元素的和为.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.【答案】【解析】显然，在集合的所有三元子集中每个元素均出现了3次.于是，.从而，集合的四个元素分别为.因此，集合.故答案为:5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.【答案】【解析】我们来证明一个更为一般的引理：简单连通图H有n个顶点，m条边，则一定可以将其边集划分为个二元子集，二元子集之间不交且每个二元子集内的边有公共端点。

证明：归纳对m，m=1，2，3，显然成立.设结论对m≤k成立，k≥3，则m=k+1时，考虑所有叶子顶点，若有两片叶子连在同一顶点B上，则将A i B与A j B分为二元子集，对其余m-2条边由归纳假设，可分为个二元子集且两两不相交，结论成立，否则设分别接在顶点上，若存在度为2，设B i与A i，C相连，将与B i C取下，同理由归纳假设结论成立，否则对任意，将去掉，得图，则在中没有叶子结点，连通，则为一个环，此时设B1在环上与C，D相连，在H中把与B1C去掉，图依然连通，由归纳假设同理可证，引理证毕.故原命题成立.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.【答案】【解析】由条件知为六个互不相同的数，且其中没有两个为相反数.于是的绝对值互不相等. 不妨设.则中最小的、次小的两个数分别为.故.结合，只可能.由此易知.经检验，两组解均满足条件.从而，.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.【答案】见解析【解析】不妨设.设在中与不相交的集合有个，重新记为；设包含的集合有个，重新记为.由已知条件，得，即.于是，得到一个映射.显然，为单射.从而，.设.在中除去后，在剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中，设包含的集合有个，由于剩下的个集合中每个集合与的交非空，即包含某个，从而，. ①不妨设.则由式①知，即在剩下的个集合中，包含的集合至少有个.又由于，故均包含.因此，包含的集合个数至少为。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编集合强化训练(省赛试题汇编)(原卷版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题19集合强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年山西预赛】集合M中，末尾数字为8的元素之和是________.2．【2018年湖南预赛】设集合，若，则实数m的取值范围为__________.3．【2018年福建预赛】将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：，…，则2018位于第______组．4．【2016年上海预赛】设S={1，2，·,11}，对S的每个七元子集，将其中七个数从小到大排列，取出中间的数。

则所有取出的中间数的和等于__________。

5．【2016年新疆预赛】集合是由中的40个元素组成的子集，为集合中的所有元素之和，则的取值个数为______.6．【2016年新疆预赛】将集合中的数从小到大排列，则第60个数为______（用数字作答）.7．【2016年四川预赛】对于任何集合S，用表示集合S中的元素个数，用n（S）表示集合S的子集个数.若A、B、C为三个有限集，且满足（1）；（2）.则的最大值为_______.8．【2016年辽宁预赛】记[x]表示不超过实数x的最大整数.设集合______.9．【2016年江苏预赛】已知集合．则实数a的取值范围是__________．10．【2016年湖南预赛】当一个非空数集满足条件“若，则，且当时，”时，称为一个数域. 以下四个关于数域的命题：①0为任何数域的元素；②若数域有非零元素，则；③集合为数域；④有理数集为数域.其中，真命题的编号为______（写出所有真命题的编号）.11．【2016年湖北预赛】从五个正整数a、b、c、d、e中任取四个求和，得到的和值构成集合{44，45，4 6，47}，则=_________.12．【2016年河南预赛】集合的元素和为奇数的非空子集的个数为_______。

13．【2016年福建预赛】已知集合若A B，则实数a的取值范围是________.14．【2016年新疆预赛】设集合.若的两个非空真子集满足,则称的一个划分.若对集合的任一划分,均有中或中存在两个数使得其和为平方数,则n至少为______.15．【2018年江西预赛】将前12个正整数构成的集合中的元素分成四个三元子集，使得每个三元子集中的三数都满足：其中一数等于另外两数之和，试求不同的分法种数．16．【2016年浙江预赛】设集合。

全国高中数学竞赛集合真题汇编与典型例题

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题18集合真题汇编与预赛典型例题全国联赛真题：1．【2019年全国联赛】若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x的值为.2．【2018年全国联赛】设集合A={1，2，3…，99}，B={2x|x∈A}，C={x|2x∈A}，则B∩C的元素个数为3．【2013年全国联赛】设集合.则集合中所有元素的和为______.4．【2011年全国联赛】设集合.若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，则集合______.5．【2019年全国联赛】设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记E为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n，满足条件：若E至少有n 个元素，则E一定含有908个二元子集.其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.6．【2015年全国联赛】设为四个有理数，使得.求的值.7．【2015年全国联赛】设，其中，个互不相同的有限集合，满足对任意，均有.若表示有限集合的元素个数），证明：存在，使得属于中的至少个集合.8．【2014年全国联赛】设.求最大的整数，使得集合S有k个互不相同的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.9．【2013年全国联赛】一次考试共有道试题，名学生参加，其中为给定的整数.每道题的得分规则是：若该题恰有名学生没有答对，则每名答对该题的学生得分，未答对的学生得零分.每名学生的总分为其道题的得分总和.将所有学生总分从高到低排列为.求的最大可能值.10．【2012年全国联赛】试证明：集合满足（1）对每个，若，则一定不是的倍数；（2）对每个表示中的补集），且，必存在，使的倍数.各省预赛典型题1．【2018年江苏】在1，2，3，4，…，1000中，能写成的形式，且不能被3整除的数有________个。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编概率与统计(原卷版)

全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题23概率与统计真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】在1，2，3…，10中随机选出一个数a，在-1，-2，-3.…，-10中随机选出一个数b，2．【2018年全国联赛】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+def是偶数的3．【2016年全国联赛】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为________.4．【2015年全国联赛】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______.5．【2014年全国联赛】设A、B、C、D为空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则点A与B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_ ______.6．【2013年全国联赛】从1，2，…，20中任取五个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率是______. 7．【2012年全国联赛】某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用种密码.那么，第七周也使用种密码的概率是______（用最简分数表示）.8．【2010年全国联赛】两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则，由另一人投掷.则先投掷人的获胜概率是________.9．【2009年全国联赛】某车站每天早上8：00~9：00、9：00~10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律见表1．一旅客8：20到站．则他候车时间的数学期望为______（精确到分）．表11．【2016年陕西】从1，2，…，20这20个数中，任取三个不同的数.则这三个数构成等差数列的概率为（）.A．B．C．D．2．【2016年天津】掷两次色子,用X记两次掷得点数的最大值.则下列各数中,与期望最接近的数为( ) A．4B．C．5D．3．【2018年江苏】将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数随机填入的方格表中，每个小方格恰填写一个数，且所填数各不相同，则使每行、每列所填数之和都是奇数的概率是________.4．【2018年重庆】从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率________．5．【2018年安徽】从1，2，…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=_________. 6．【2018年甘肃】已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由某电视台举办的知识类答题闯关活动，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.（1）求男生闯过四关的概率；（2）设表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量的分布列和期望.7．【2016年上海】设n为给定的大于2的整数。

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 函数大题强化训练(解析版)

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 平面几何强化训练(原卷版)

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 平面几何(解析版)

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 立体几何与空间向量(原卷版)

全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 立体几何与空间向量强化训练(汇编)(解析版)