基本初等函数定义及性质知识点归纳
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结
基本初等函数是数学中常见的一类函数，包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。它们在数学和实际问题中具有广泛的应用，因此掌握基本初等函数的性质和特点对于学习和理解数学非常重要。下面将对基本初等函数的知识点进行总结。
一、多项式函数
多项式函数是由常数乘以各个整数幂的变量构成的函数。它的一般形式为：
$$
f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x+a_0
$$
其中，$a_n, a_{n-1},\dots,a_1,a_0$为常数，$n$为正整数，$a_n \neq 0$。多项式函数的特点包括：定义域为实数集，值域为实数集，可导且导函数为次数比原来次数低一的多项式函数。
二、指数函数
指数函数的一般形式为：
$$
f(x) = a^x
$$
其中，$a$为正实数且不等于1。指数函数的特点包括：定义域为实数集，值域为正实数集，可导且导函数为$a^x\ln a$。
三、对数函数
对数函数的一般形式为：
$$
f(x) = \log_a x
$$
其中，$a$为正实数且不等于1，$x$为正实数。对数函数的特点包括：定义域为正实数集，值域为实数集，可导且导函数为$\frac{1}{x\ln a}$。
四、三角函数
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。它们的一般形式为：
$$
\sin x, \cos x, \tan x
$$
其中，$x$为实数。三角函数的特点包括：定义域为实数集，值域为闭区间[-1, 1]，具有周期性，可导且导函数是相关三角函数的倍数。
初等函数的定义与性质
初等函数的定义与性质
初等函数是数学中常见且基本的函数类型。它们在数学分析、数论、概率论等各个领域都有广泛的应用。本文将介绍初等函数的定义和性质，帮助读者更好地理解和应用初等函数。
一、初等函数的定义
初等函数是指能够通过有限次的代数运算和初等函数运算所得到的
函数。这里的代数运算包括四则运算和函数复合运算，而初等函数运
算则包括指数函数、对数函数、三角函数以及反三角函数。初等函数
的所属范围相对广泛，这使得我们能够通过简单的运算和组合得到他
们的值。
二、初等函数的性质
1. 初等函数是连续函数：初等函数在其定义域上都是连续的。连续
性给初等函数的应用提供了数学上的保证，使得我们能够对初等函数
进行更简单、更精确的分析和计算。
2. 初等函数的导数：初等函数具有求导性质，即它们的导数可以通
过一系列的规则来求解。常见初等函数的导数规则包括幂函数求导法则、指数函数求导法则、对数函数求导法则、三角函数求导法则等。
这些导数规则是微积分学中的基础，能够帮助我们更深入地理解初等
函数的变化规律。
3. 初等函数的周期性：三角函数是一类重要的初等函数，具有周期
性的特点。例如正弦函数和余弦函数的周期都是2π。这种周期性对于
解决周期性问题和振动问题非常有用，例如傅里叶级数展开和信号处
理等领域。
4. 初等函数的极限：初等函数的极限也是初等函数性质的重要组成
部分。通过对初等函数的极限进行研究，我们可以得到函数在某一点
附近的趋势和变化规律。
5. 初等函数的积分：初等函数也具有求积分的属性。通过对初等函
数的积分，我们能够计算曲线下面的面积、计算物体的质量和体积等。积分是微积分学的基本内容，对于解决实际问题起着重要的作用。
基本初等函数知识点总结
基本初等函数
一、指数函数
一指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N ．
◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作00=n ;
当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,⎩
⎨
⎧<≥-==)0()
0(||a a a a a a n n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m ,
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质 1r a ·s
r r a a += ),,0(R s r a ∈>；
2rs s r a a =)(
),,0(R s r a ∈>；
3
s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．
二指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出： 1在a,b 上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；
2对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =； 二、对数函数 一对数
1．对数的概念：一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,
高中数学必修一基本初等函数知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分基本初等函数知识点整理
第二章 基本初等函数
一、指数函数 （一）指数
1、 指数与指数幂的运算：
复习初中整数指数幂的运算性质： a m *a n =a m+n
(a m )n
=a mn
(a*b)n =a n b n
2、根式的概念：一般地，若a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，
其中n >1，且n ∈N *
．
当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。此时，a 的n 次方根用符号 表示。 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数。此时正数a 的正的n 次方根用符号 表示，负的n 的次方根用符号 表示。正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成 （a>0）。
注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n
。
当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，
⎩⎨
⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n
n 式子n a 叫做根式，这里
n 叫做根指数，a 叫做被开方数。
3、 分数指数幂
正数的分数指数幂的
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m ，
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
4、 有理数指数米的运算性质
（1）r a ·s r r
a a
+=
),,0(R s r a ∈>； （2）rs
s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；
（3）
s r r a a ab =)(
基本初等函数知识点总结
基本初等函数知识点总结
1.常数函数：常数函数是指函数的值在定义域内都保持不变的函数。
表示为f(x)=c，其中c是常数。常数函数的图像是一条平行于x轴的直线。常数函数的性质是恒等性，即f(x)=f(x')，对于任意x和x'都成立。
2.平方函数：平方函数是指函数的值与自变量的平方成正比的函数。
表示为f(x)=x²。平方函数的图像是一条开口向上的抛物线。平方函数的
性质是奇偶性，即f(-x)=f(x)，对于任意实数x都成立。
3.立方函数：立方函数是指函数的值与自变量的立方成正比的函数。
表示为f(x)=x³。立方函数的图像是一条通过原点且存在于所有象限的曲线。立方函数的性质是单调性，即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)或f(x₁)>f(x₂)成立。
4.绝对值函数：绝对值函数是指函数的值与自变量的绝对值成正比的
函数。表示为f(x)=，x。绝对值函数的图像是一条以原点为顶点且对称
于y轴的V字形曲线。绝对值函数的性质是非负性，即对于任意实数x，
有f(x)≥0成立。
5.指数函数：指数函数是指函数的值与自变量的指数幂成正比的函数。表示为f(x)=aˣ，其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的图像是一条通
过点(0,1)且与x轴和y轴都无交点的曲线。指数函数的性质是增长性，
即在定义域内，当x₁<x₂时，有f(x₁)<f(x₂)成立。
6. 对数函数：对数函数是指函数的值与自变量的对数成正比的函数。表示为f(x)=logₐ(x)，其中a是一个正实数且a≠1、对数函数的图像是
(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质
1；f（x）取遍所有正数当且仅当x R
3）
对于指数函数
f (x)
ax(a 0且a
1)，总有f(1) a
4）
当a
1时，若x1
x2，则f (x1)
f(x2)
四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数：
1的大小）进行 分组 ，再比较各组数的大小即可。
② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1” 来搭“桥” “1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知 异小”。即当底数 时ax小于1.
对数函数
定义
函数y logax(a 0且a
1）叫做对数函数
a1
0a1
x1
x1
yx 1
y
y logax
yy logax
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
Ox
定义域
(0,
)
值域
R
过定点
图象过定点
(1,0)，即当x
1时，y 0．
奇偶性
非奇非偶
② 对数函数对底数的限制：（a 0，且a1）． 三、对数函数的图像和性质：
在第一象限内，a越小图象越高， 越靠近y轴；
图象影响
在第二象限内，a越大图象越低， 越靠近x轴．
在第二象限内，a越小图象越低， 越靠近x轴．
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点
1.函数的定义与性质
函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的运算关系。函数可
以通过一条或多条有序对来表示，其中每个有序对由自变量和对应的函数
值组成。常见的函数表示方法有显式函数、隐式函数和参数方程等。
函数的性质有定义域、值域、奇偶性、增减性等。其中，定义域是自
变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。奇偶性描述了函数图像的对
称性，增减性描述了函数在定义域的变化趋势。
2.常见初等函数
常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和
双曲函数等。
-多项式函数是形如f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀的函数，其中
aₙ,aₙ₋₁,...,a₁,a₀是常数，x是自变量，n是非负整数。
-指数函数是形如f(x)=aᵢx的函数，其中a是一个正常数，x是自变量。
- 对数函数是指数函数的逆运算，形如 f(x) = logₐx 的函数，其中
a 是正常数，x 是自变量。
-三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
-双曲函数是以指数函数为基础构造的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。
3.函数的运算
函数之间可以进行四则运算、函数的复合和逆函数的求解等运算。
-四则运算是指两个函数之间进行加减乘除的运算。加法运算表示两
个函数的对应值相加，减法运算表示两个函数的对应值相减，乘法运算表
示两个函数的对应值相乘，除法运算表示两个函数的对应值相除。
-函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。复合函
数可以通过符号f(g(x))表示，其中f和g是两个函数。
初中数学知识点初等函数的概念与性质
初中数学知识点初等函数的概念与性质
初中数学知识点初等函数的概念与性质
初等函数是初中数学学习中的一个重要概念，它在数学的各个分支
中均有广泛应用。掌握初等函数的概念及其性质，对于学习数学和解
决实际问题具有重要意义。本文将从初等函数的定义、常见类型以及
性质等方面进行论述。
一、初等函数的定义
初等函数是指由有限次的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数，以及这些函数的有限次四则运算、函数复合而
成的函数。初等函数是数学中最基本的函数之一，是许多复杂函数的
基础。
二、常见类型的初等函数
1. 常数函数：常数函数是指函数在定义域上的函数值全都相等的函数，例如f(x) = 2。
2. 幂函数：幂函数是指以自变量为底数，自变量的指数为指数的函数，例如f(x) = x²。
3. 指数函数：指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底数，自
变量为指数的函数，例如f(x) = eˣ。
4. 对数函数：对数函数是指以常数e为底数，函数值为自变量的指
数的函数的自变量，例如f(x) = logₑx。
5. 三角函数：三角函数是指以单位圆上的点坐标值作为函数值的函数，常见的有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
三、初等函数的性质
初等函数具有以下一些重要的性质：
1. 定义域和值域：初等函数的定义域可以是整个实数集R，也可以是实数集上的一个区间，值域则取决于具体函数的性质。
2. 奇偶性：根据函数的定义和性质，初等函数可以具有奇函数和偶函数的特点。
3. 单调性：初等函数具有单调递增和单调递减的性质，这取决于其导数的正负性。
基本初等函数知识点
1 / 6
指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念
1、如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a
的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
2、式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
3、根式的性质：()n
n a a =；当n 为奇数时，
n
n a a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
n
n
a a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （二）分数指数幂的概念
1、正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m n
a a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2、正数的负分数指数幂的意义是： 11
()()(0,,,m
m m n
n n a
a m n N a a
-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质
(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈
()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈
5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念
高一上册数学函数知识点归纳总结
高一上册数学函数知识点归纳总结
1. 函数的定义和性质
函数是一种具有特定关系的映射关系，包括定义域、值域、对应关系等。函数可以表示为数学表达式、图像或者数据集合。函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。
2. 基本初等函数
常见的基本初等函数包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。它们各自具有不同的特性和性质，在数学中有广泛的应用。
3. 函数的图像与性质
函数的图像是通过绘制函数的各个点而形成的曲线。通过观察函数的图像，可以了解函数的特点、性质和变化趋势。常见的图像包括直线、抛物线、指数增长曲线等。
4. 函数的运算与复合函数
函数之间可以进行加减乘除等运算，得到新的函数。函数的复合指的是将一个函数的输出作为另一个函数的输入，从而得到一个新的函数。函数的运算和复合可以通过代数运算和函数图像来进行研究。
5. 函数的零点和极限
函数的零点是函数取值为零的点，也就是方程 f(x)=0 的解。函数
的极限是指当自变量趋向于某个值时，函数取值的趋势和趋向。寻找
函数的零点和研究函数的极限是解决各种数学问题的基础。
6. 反函数与反比例函数
如果函数 f(x) 和函数 g(x) 互为反函数，那么对于 f(g(x))=x 和
g(f(x))=x 成立。反比例函数指的是函数的值和自变量成反比例的关系，可以表示为 y=k/x，其中 k 是常数。
7. 函数的导数与微分
导数是函数在某一点的变化率，表示为 f'(x)，可以用来解决函数
的最值、曲线的切线和函数的变化趋势等问题。微分是刻画函数局部
变化的工具，通过求取函数在某一点的微分来研究函数的性质。
基本初等函数定义及性质知识点归纳
基本初等函数定义及性质知识点归纳
基本初等函数是指一些常见的函数，它们可以通过一些基本运算来构造，比如加减乘除、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。这些函
数具有一些特定的性质，包括定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。下面是关于基本初等函数定义及性质的知识点归纳：
一、常数函数：f(x)=c
1.定义：常数函数的函数值始终为一个常数c。常数函数的图像表示
为一条平行于x轴的直线。
2.性质：
-定义域：实数集R
-值域：{c}
-奇偶性：当c=0时，为偶函数；对于非零常数c，为奇函数。
-单调性：无论常数c为正数还是负数，常数函数都是常量，没有单
调性。
-周期性：常数函数没有周期。
二、一次函数：f(x) = ax + b (a≠0)
1. 定义：一次函数是一个线性函数，其函数表达式为ax + b，其中
a和b是实数且a≠0。一次函数的图像为一条斜率为a的直线。
2.性质：
-定义域：实数集R
-值域：实数集R
-奇偶性：当a=0时，为常数函数；当a≠0时，一次函数为奇函数。
-单调性：当a>0时，一次函数递增；当a<0时，一次函数递减。
-周期性：一次函数没有周期。
三、二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)
1. 定义：二次函数是一个平方函数，其函数表达式为ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a≠0。二次函数的图像为一个开口朝上或朝下的抛物线。
2.性质：
-定义域：实数集R
-值域：若a>0，值域为[f(c),+∞)；若a<0，值域为(-∞,f(c)]，其中c为顶点的横坐标。
高中数学基本初等函数知识点总结及习题解析！
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一、基本初等函数
1、幂函数
一般地，函数 y = x^a (a 为常数，a∈Q) 叫做幂函数 .
幂函数y = x^a (a∈Q) 的性质：
① 所有幂函数在（0，+∞）上都有定义，并且图象都经过点（1,1）.
② 若 a > 0 , 幂函数图象都经过点（0 , 0）和（1 ，1）在第一象限内递增；
若 a < 0 , 幂函数图象只经过点（1,1），在第一象限内递减 .
③ 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；
如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 .
④ 画幂函数图象时，先画第一象限的部分，在根据函数的奇偶性完成整个图象 .
⑤ 常见幂函数的图象
常见幂函数的图象
2、指数函数
一般地，函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 叫做指数函数，自变量x 叫指数，a 叫底数 .
指数函数的定义域是 R .
指数运算法则：
指数运算法则
指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 的图象：
指数函数图象（分两种情况）
指数函数的主要性质：
① 指数函数 y = a^x ( a > 0 且a ≠ 1 ) 定义域为 R ，值域（0，+∞）；
② 函数 y = a^x ( a > 1 ) 在 R 上递增，函数 y = a^x ( 0 < x <
1 ) 在 R 上递减；
③ 指数函数的图象经过点（0 , 1）.
3、反函数
一般地，对于函数 y = f(x)，设它的定义域为 D，值域为 A，
如果对于 A 中任意一个值 y，在 D 中总有唯一确定的 x 值与它对应，且满足 y = f(x) ,
基本初等函数定义及性质知识点归纳
基本函数图像及性质
一、基本函数图像及其性质：1、一次函数：
(0)
y kx b k 2、正比例函数：
(0)
y kx k 3、反比例函数：
(0)
k y
x
x
4、二次函数：
2
(0)
y ax
bx c a （1）、作图五要素：
2
124(,0),(,0),(0,),(),(
,
)()
224b b ac b
x x c x a
a
a 对称轴顶点（2）、函数与方程：
2
=4=0
0b
ac 两个交点一个交点没有交点
（3）、根与系数关系：
12b x x a
，12
c x x a
5、指数函数：
(0,1)
x
y
a a
a 且（1）、图像与性质：
（i ）1
()(0,1)x
x
y
a y
a a
a
与且关于y 轴对称。
（ii ）1a 时，a 越大，图像越陡。
(2)、应用：（i ）比较大小：（ii ）解不等式：
1、回顾：
（1）()
m
m
m
ab a
b
（2）()
m m
m
a a b
b
2、基本公式：
（1）m
n
m n
a
a
a
（2）
m m n
n
a a
a
（3）
()
m n
m n
a a
3、特殊:
（1）
1(0)a
a （2）1
1(0)
a
a a
（3）
1
(;0)
n
n
a
a n a R n a 为奇数，为偶数，（4）
;0;0
||
n
n
a n a a a
a
a
a n 为奇其中，
为偶
例题1：（1）2
2
2
32[()()]3x x
y
xy y x
x y x y ；3223
5()()
(5)
x xy xy （2）1
12
3
2
17
0.027
(
)
(2)(21)7
9
；2
0.5
2
3
7
1037(2)
0.1
(2
)
3
9
27
48
（3）
4
4
(3)；
112
2
a
a
a
例题2：（1）化简：
2
1
2
2
12
)9124()
基本初等函数图像及性质大全(初中 高中)
一、一次函数与二次函数
（二）二次函数
（1）二次函数解析式的三种形式
①一般式：2
()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2
()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠
（2）求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时，宜用一般式．
②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便． （3
单调区间
,2b a ⎛
⎫-∞- ⎪
⎝
⎭递减 ,2b a ⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭
递增 ,2b a ⎛
⎫-∞- ⎪
⎝
⎭递增 ,2b a ⎛⎫
-
+∞ ⎪⎝⎭
递减 ①.二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2b
x a
=-
顶点坐标是24(,)24b ac b a a
-- ②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-
上递减，在[,)2b
a
-+∞上递增，当2b x a =-时，
2
min 4()4ac b f x a -=
；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2b x a =-时，2
max 4()4ac b f x a
-=．
二、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象
过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．
基本初等函数知识点
指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念
1、如果,,,1n
x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a
的n
次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n
的n
次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．
2
n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．
3、根式的性质
：n
a =；当n 为奇数时
，
a =；当n 为偶数时，
(0)
|| (0)
a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩． （二）分数指数幂的概念
1、
正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n
a a m n N +>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2
、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m
m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ?0) a ?p ? 1/a p (a ?0；p ?N ?) 4、指数幂的运算性质
5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念
一般地，函数)1a ,0a (a y x
≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：○
1 指数函数的定义是一个形式定义； ○
2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x
≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点
一、函数的概念：
函数是自变量与因变量之间的一种对应关系。其中，自变量是函数的
输入，因变量是函数的输出。函数可以用来描述不同变量之间的关系或者
用来描述一些变量随着另一个变量的变化而发生的变化。
二、函数的表示法：
函数可以用不同的表示法来表示。最常见的表示法有解析式表示法、
图像表示法和表格表示法。例如，一元一次函数y=ax+b就是一个常见的
初等函数。
三、函数的性质：
1.定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的
因变量的可能取值范围。
2.奇偶性：对于函数f(x)，如果对于任意x，有f(-x)=f(x)成立，
则函数具有偶性；如果对于任意x，有f(-x)=-f(x)成立，则函数具有奇性。
3.单调性：如果对于任意x1>x2，有f(x1)>f(x2)成立，则函数为递
增函数；如果对于任意x1>x2，有f(x1)<f(x2)成立，则函数为递减函数。
4.周期性：如果对于任意x，有f(x+T)=f(x)成立，则函数具有周期T。
四、常见初等函数的性质和图像：
1.常数函数：f(x)=c（c为常数），图像为平行于x轴的一条直线。
2. 一次函数：f(x) = ax + b（a和b为常数），图像为一条直线，斜率a决定了直线的倾斜程度，b为与y轴交点的纵坐标。
3.幂函数：f(x)=x^n（n为常数），图像的形状与n的奇偶性以及正负有关，例如，当n为正奇数时，图像的右上和左下部分都在x轴上方。
4.指数函数：f(x)=a^x（a为常数且大于0且不等于1），图像呈现出一种快速增长的趋势。
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基本函数图像及性质
一、基本函数图像及其性质： 1、一次函数：(0)y kx b k =+≠
2、正比例函数：(0)y kx k =≠
3、反比例函数：(0)k y x x
=≠
4、二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠ （1）、作图五要素：
2
124(,0),(,0),(0,),(),(,)()224b b ac b x x c x a a a -=--对称轴顶点
（2）、函数与方程：20
=4=0
0b ac >⎧⎪∆-⎨⎪<⎩
两个交点一个交点没有交点
（3）、根与系数关系：12b x x a
+=-，12c x x a
⋅=
5、指数函数：(0,1)x y a a a =>≠且 （1）、图像与性质：
（i ）1()(0,1)x x y a y a a a
==>≠与且关于y 轴对称。
（）1a >时，a 越大，图像越陡。 (2)、应用：
（i ）比较大小： （）解不等式： 1、回顾：
（1）()m
m
m
ab a b =⋅ （2）()m
m m a a b b
=
2、基本公式： （1）m
n m n
a
a a
+⋅= （2）m
m n n a a a
-= （3）()m n m n a a ⨯=
3、特殊:
（1）01(0)a a =≠ （2）11(0)a a a
-=≠
（3
）1;0)n
a
n a R n a =∈≥为奇数，为偶数，
（4
;0;0||
a n a
a a
a a n ≥⎧⎧==⎨⎨
-<⎩⎩为奇其中，为偶
例题1：（1）22232[()()]3x x y xy y x x y x y ---÷；32235()()(5)x xy xy ÷
（2
）1
1203
2170.027()(2)1)79----+-；20.52
0371037(2)0.1(2)392748
π--++-+
（3
例题2：（1）化简：2
12
212
)
9124()144(+-+++a a a a
（2）方程016217162=+⨯-x x 的解是 。
（3）已知32
12
1=+-x x ，计算（1）1
--x x ；（2）3
7
1
22++-+--x x x x
例题3：（1）若48
127
10,310
==-
y x
，则y x -210= 。
（2）设,0,,,≠∈xyz R z y x 且z y x 14464==，则（ ） A.
y x z 111+= B.y
x z 112+= C.
y x z 121+= D.y
x z 2
11+=
（3）已知,123=+b a
则a
b a 3
39⨯= 。
6、对数函数：log (0,1)a y x a a =>≠且 (1)、图像与性质：
(2)、应用：
（i ）比较大小： （）解不等式： 对数运算
1、与指数运算的关系：互为逆运算 log (01)(0)a b a b >≠>且
557log 7x x =→= （注：底数不变）
2、基本公式：
（1）log log log a a a M N M N +=⋅； （2）log log log a a a M M N N
-=；
（3）log log n a a M n M = 3、特殊：
（1）log 10a =；1log 1a a
=-；log a
b a b =
（2）换底公式：
log lg ln log (10,)(,)log lg ln c a c b b b
b c c e a a a
=
====常用对数自然对数；
注：log log 1a b b a ⋅=；log log m
n a a
n
b b m
=
例题1：指数式与对数式的转化
→=62554 ；→=-1.0101 ；→=2x e ；
→=3log 2x ；→-=201.0lg ；→=2ln x ；
例题2：求下列x 的值：3
2log ln 100lg 642-
==-=x x
e x
例题3：用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式（1）;log z
xy
a
（2）;log 3
2z
y
x a
例题4：（1）若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。
（2）已知2log 3=a ，那么6log 28log 33-用a 表示为 。
例题5：化简计算（1）3
log 7925log 8log 93(lg 2lg 2)2
⋅+-+；
（2）5
21log 2
3
3223)log (log 16)(5
)
++
（3）12
lg1
2321162log lg 20lg 2(log 2)(log 3)1)49⎛⎫++--⋅+ ⎪
⎝⎭
★随堂训练：
1、已知0)](log [log log 237=x ，那么2
1-x 等于 。
2、方程12
log 1log )1(2=++x x 的解是=x 。
3、若53,32==b a ，试用a 与b 表示72log 45
4、2
16log log 3log 9362=⋅⋅m ，则实数m 的值为 。