8.3平面向量的分解定理
8.3平面向量的分解定理
浦江高级中学高2年级数学作业班级_______________姓名_______________学号_____________成绩__________________ 课题：8.3平面向量的分解定理 ________年_____月______日一、填空题：1、在ABC ∆中，,,AB a AC b D == 为BC 中点，则AD =______________________.2、已知12,e e 不平行，1212()3,2(2)a x y e e b e x y e =-+=+- ， 若a b = ，则x =________________；y=_________________.3、在矩形ABCD 中，若123,AD e AB e == ，且点O 是矩形ABCD 的对角线交点，试用12,e e 表示OC = ________________.4、若在ABC ∆中，,,D E F 分别是三边中点，则AD BE CF ++= __________________.二、选择题：5、设12,e e 是表示平面内所有向量的一组基，则向量12a e e λ=+ 与向量122b e e =-+平行的条件是（）（A ）2λ= （B ）2λ=- （C ）12λ= （D ）12λ=-6、已知向量{}(1,2)(3,4),M a a R λλ==+∈ ，{}(2,2)(4,5),N a a R λλ==--+∈则M N = （ ）（A ）{(1,2)} （B ）{(1,2),(2,2)}-- （C ）{(2,2)}-- （D ）∅三、解答题7、如图，在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是,DC BC 的中点，已知,AM c AN d == ， 试用,c d 表示AB 和AD .8、已知点(5,1),(2,4)A B ，E 是线段AB 靠近A 的一个三等分点，求点E 的坐标.C参考答案：一、填空题： 1、1122a b +；2、1,1-；3、123122e e +；4、0 ；二、选择题：5、B ；6、C ；三解答题： 7、22(2),(2)33AB d c AD c d =-=- ； 8、2133OE OD OF OA OB =+=+21(5,1)(2,4)(4,2)33=+=故点E 坐标为(4,2).。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 精选课件
量 a 与 e1、e2 的关系
e1
a
e2
M
C
a 1 e1
e1
O
2 e2
Ne2
a 1 e1 2 e2
如果给定平面上两个不平行的向量，那么平面上 任意一个向量是否都可以唯一地表示为这两个向量的 线性组合呢？
假设有两种方法：
a 1 e1 2 e2 1 e1 2 e2
已知向量的线性组合用待定系数法。
例4. 设正六边形ABCDEF中, AE a, BC b，用a、b 表示下列向量
Bb C
(1) CD a b
Aa
F
D (2) AB 2b a (3) CE 2a 3b
E
例5.如图：OA, OB, 是同一平面内的两个不平行向量 （1）M为AB的中点，试用OA，OB表示OM； （2）M1，M 2为AB的三等分点，试用OA，OB表示OM1；OM 2 （3）M1, M 2 , M 3为AB的四等分点，试用OA，OB表示OM1，OM 2，OM3
8.3 平面向量的分解定理
回顾：
(1)若 a, b 0，则 a// b a b
y
(2) a xi y j
a (x, y)
O
x
向量的正交分解是把向量表示成两个互相垂直的
向量 i、j 唯一的线性组合。
引入
a b
F
O
A
C
a ab
O
b
B
力的合成
C
力的分解
平行四边形法则
问题的提出
如果 e1、e2 是同一平面内两个不平行的非零向
性质：如图所示，已知a OA, b OB, c OC
若c a b(, R),则ABC三点共线的 充要条件是 1
8.3平面向量的分解定理
8.3 平面向量的分解定理活动一 向量合成例1 如图8-12，已知向量12,e e ，求作向量a ，使得1232a e e =-+.活动二 向量分解如图，设两个不平行的向量12,e e ，a 是平面内的任一向量， 试将向量a 分别分解到12,e e 两个方向上.12a e e =+12a e e =+ 12a e e =+1e 2e 1e 2e a a 1e 2e a1e 2e活动三 平面向量分解定理平面向量分解定理：. 我们把 的向量12e e 、叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 证明：活动四 定理理解1.判断以下说法是否正确，并说明理由：（1）平面内存在一对垂直的向量,i j 可以表示该平面内所有向量．（2）如果12,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的向量0，不存在实数12λλ，，使11220e e λλ=+．2.填空：已知12,e e 是平面内的两个不平行向量，（1）若1a e ，则12a e e =+． （2）若2a e ，则12a e e =+．活动五 平面向量基本定理的应用例2 如图8-14,平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M , AB a =,AD b =, 试用基,a b 表示,,AM CM MB MD 和.变式1．选择不同的基表示MA ．变式2．记AC 为c ，BD 为d ，请用基c 、d 表示AB 和AD ．DBCCcdCab D思考：如图8-15，已知OA OB 、是不平行的两个向量，k 是实数，且AP k AB = ()k R ∈，用OA OB 、表示.OP活动六： 课堂小结布置作业1.教材67页,完成书上练习1，2，3；2.变式训练：例2中，若点P 满足DP k DB =，试用基a 、b 表示AP ．O。
9平面向量分解定理
1 2 AB , CE ED 3 3
若 AB a, AC b ,试用基 a , b 表示 AE .
分析：在ACE 中, AE AC CE b CE
2 CE CD 5
CD CA AD b AD
BA 有公共的起点
B,所以
小结:平面向量的分解定理,也就是说同一平面内任一向量 都可表示为两个不平行向量的线性组合.
例5 已知平行四边形 ABCD的两条对角线AC,BD 交于E,
O是任意一点 ,求证
OA OB OC OD 4OE
证：E是对角线 AC 和 BD的交点, 所以 AE EC CE , BE ED DE 在三角形 OAE中, OA AE OE 同理 OB BE OE , OC CE OE , OD DE OE 以上个式相加得
作平行四边形 OACB, OC 就是所求作向量. Ｃ Ｂ
e2
e1
Ａ
Ｏ
例2 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC，BD相交于M， 若 AB a, AD b ，试用 a , b 表示 MC, MA, MB, MD.
D
C M
b
A
a
B
例3 如图在
ABC , AD
GD GE GF 0
F
E B D C
２. 如图在平行四边形 ABCD CD， 中，E，F分别为 BC的中点，且 AE m, AF n ，试用基 ，n 表 m 。 示 D E AB, AD C m F n A B
回家作业
例4
已知OA ， OB 是不平行的两个向量，k是实数，且
【高2数学】11-平面向量的分解定理与向量的应用解读
平面向量的分解定理与向量的应用基础概念一、基础知识概述本周首先学习了平面向量的分解定理，主要是通过定理用两个不共线的向量来表示另一个向量或将一个向量分解成两个向量，并且了解定理分解的条件．其次学习了向量的应用，向量是一个非常重要的知识点，在解析几何、立体几何、代数、物理方面都有着广泛的应用． 二、重难点知识归纳 （一）平面向量分解定理：定理：如果1e 、2e 是同一平面内两个不平行的向量，那么对这一平面内任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使2211e e a λλ+=．基：不平行的1e 与2e 叫做平面内表示所有向量的一组基． 说明：（1）基向量肯定是非零向量，且基并不唯一，只要不平行就行． （2）由定理可将任一向量按基方向分解且分解形成唯一． （二）向量的应用：（1）向量知识在不等式中的应用：利用向量数量积的一个重要性质||||||b a b a ⋅≤⋅，变形为222||||||b a b a ⋅≤⋅，可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目，采用构造向量去解往往能化难为易． （2）向量知识在物理中的应用：利用向量分解定理进行分解，与物理性质相结合．典型例题例1、如图所示，已知梯形ABCD 中BC AD //，E 、F 分别是AD 、BC 边上的中点，且AD BC 3=，a BA =，b BC =．试以a 、b 为基表示EF 、DF 、CD ．分析：我们首先应根据BC AD //且BC AD 31=，用b 表示AD ，然后反复采用向量和与差的三角形法则就可计算出所求向量． 解答：∵BC AD //且BC AD 31=， ∴b BC AD 3131==，∴b AD AE 6121==． ∵BC BF 21=，∴b BF 21=，∴b a BF BA FA 21-=-=，∴a b b a b FA AE AF EA EF -=---=--=+=31)21(61，a b a b b EF AE EF EA EF DE DF -=-+-=+-=+=+=613161，b a b a b BF DF FC DF FD CF CD 32)2161()()(-=+--=+-=+-=+=．例2、如图所示，ABC ∆中，AB AD 32=，BC DE //交AC 于E ，AM 是BC 边上的中线，交DE 于N ，设a AB =，b AC =，用a ，b 分别表示向量AE 、BC 、DE 、DN 、AM 、AN ．解析：本题主要考查向量的加法、减法的三角形法则及数乘向量的混合运算能力． 利用BC DE //⇒ADE ∆∽ABC ∆，ADN ∆∽ABM ∆，再用三角形法则求解．BC DE 323232//==⇒⎪⎭⎪⎬⎫=，a b AB AC BC -=-=．由ADE ∆∽ABC ∆得，)(3232a b BC DE -==． 由AM 是ABC ∆的中线，BC DE //，得)(3121-==，而且)(21)(2121+=-+=+=+=．)(313232~b a AM AN AB AD ABM ADN +==⇒⎪⎭⎪⎬⎫=∆∆．例3、已知x 、R y ∈，且1||<x ，1||<y ．求证：xyy x -≥-+-12111122． 证明： ∵2222114)(2422412yx y x xy xy -+-=+-≤-=-， 故只要证明不等式22221141111y x y x -+-≥-+-即可． 为此，构造向量)1,1(22y x m --= ，)11,11(22yxn --=．由向量数量积性质：222||||||n m n m ⋅≥，得4)1111)(11(2222≥-+--+-y x y x ． 从而22221141111yx y x -+-≥-+-．所以原不等式成立． 例4、一个物体受到同一平面内三个力1F 、2F 、3F 的作用，沿北偏东︒45的方向移动了m 8，其中N F 2||1=，方向为北偏东︒30；N F 4||2=，方向为东偏北︒30；N F 6||3=，方向为西偏北︒60，求合力F 所做的功．解析：以O 为原点，正东方向为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则： )3,1(1 =，)2,32(2 =F ，)33,3(3 -=F ， 所以)342,232(321+-=++= F F F F ． 又位移)24,24( =，故合力F 所做的功为：)(624362424)342(24)232(J W =⨯=⨯++⨯-=⋅=． 答：合力F 所做的功为J 624．分析：比较条件等式和欲证等式可知，关键在于证明βα22cos cos =，βα22sin sin =，即证ββαcos cos cos 2=，ββαsin sin sin 2=．于是由条件等式容易联想到向量)sin sin ,cos cos (22βαβα =和)sin ,(cos ββ =的模，故可考虑向量法来证明．证明：构造向量)sin sin ,cos cos (22βαβα =，)sin ,(cos ββ =b ，与的夹角为θ， 则1||2=，1||2=，故1||||==．又1sin sin sin cos cos cos 22=⋅+⋅=⋅ββαββα，从而1||||cos =⋅=b a θ， 即0=θ，即a 与b 同向．从而b a =，即ββαcos cos cos 2=，ββαsin sin sin 2=，βα22cos cos =，βα22sin sin =，∴⎩⎨⎧+=-+-=-+-222225)2()5(0)2(2)5(5y x y x ，解得⎩⎨⎧==7311y x 或⎩⎨⎧-==3722y x ． ∴点B 的坐标是)7,3( 或)3,7(- ，)5,2( -=AB 或)5,2(-= AB ．基础练习一、选择题1、1e 、2e 是表示平面内所有向量的一组基，则下列各组向量中，不能作为平面向量一组基的是（ ）A ．21e e +和21e e -B ．2123e e -和1264e e -C ．212e e +和122e e +D ．2e 和21e e +2、若a OP =1，b OP =2，)1(21-≠=λλ PP P P ，则OP 等于（ ）A ．b a λ+B ．b a +λC ．1(λλ-+λλ++1 3、若G 是ABC ∆的重心，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则GC GB GA ++等于（ ）A ．6B ．6-C ．GE 6-D ．04、在平面直角坐标系中，O 为原点，a OA =，b OB =，对任意一点M ，它关于A 的对称点为S ，S 关于点B 的对称点为N ，则MN 用a 、b 表示为（ ）A ．)(2-5、O 为平面上一动点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，且满足)(0R OC OB OA ∈≠=+λλ ，则O 点轨迹必过ABC ∆的（ ）A ．垂心B ．外心C ．重心D ．内心6、设平面上有4个互异的点A 、B 、C 、D ，已知0)()2(=-⋅-+AC AB DA DC DB ，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形等于（ ）A ．4-B ．2C ．2或4-D ．2-或49、已知)1,2( A 、)5,3( B ，把向量AB 按向量)2,3( =a 平移后得CD ，则下列向量中能与CD 垂直的是（ ）10、已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP 等于（ ）A ．)1,0(,)( ∈+λλB ．)22,0(,)(∈+λλBC AB C ．)1,0(,)( ∈-λλ D ．)22,0(,)( ∈-λλ 二、填空题11、在点)1,2(1P 和)9,3(2- P 上分别放置质量为2和8的两个质点，则它们的重心坐标为___________．12、设1e 和2e 是两个不共线的向量，且212e k e AB +=，213e e CB +=，212e e CD -=．若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为___________．13F ，则=++CF BE AD ___________．三、解答题14、如图所示，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点．若a AB =，b AD =，试以a 、b 为基底表示DE 、BF ．15、求函数29103x x y -+-=的最大值．16、已知)0,0(1cos sin 44>>+=+b a b a b x a x ．证明：对于任何正整数n 都有11212)(1cos sin ---+=+n n n n n b a b x a x ．。
平面向量的分解定理及坐标运算-沪教版教案
1、平面向量的分解定理：如果12,e e u r u u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的向量a r ，有且只有一对实数12,λλ使：a r =1122e e λλ+u r u u r向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j r r，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r即为一个位置向量.对于任一位置向量OA uu u r ，我们均能能用基本单位向量,i j r r来表示。
2.向量的坐标表示对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r的线性组合。
如下图左.a r =OA uu u r =xi y j +r ra r =（x,y ）像这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===r r r.3.向量的坐标表示的运算设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==r r于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ= 1212a b x x y y •=+r r a =r(,)Q P Q P PQ x x y y =--u u u rPQ =u u u r 4、若,a b r r 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则//a b r r 的充要条件是1221x y x y =.5、若,a b r r是两个非零向量，12120a b x x y y ⊥⇔+=r r6、定比分点坐标公式 中点坐标公式 典例精析例1.如图，写出向量,,a b c r r r的坐标.解析：例2.如下图左，设()11,P x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ u u u r？解析：例3.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC u u u r u u u r的坐标；（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标. 解析：例4.已知向量()4,1a =-r 与()5,2b =r，求23a b +r r 的坐标.解析:例5、已知向量(1,2)a =r.（1）在坐标平面上，画出向量a r ；并求a r= ；（2）若向量a r 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a r的始点P 坐标为_______； （3）向量a r的模与两点P （x p,y p ）、Q(x q y q )间距离关系是 . （4）如果向量,a b r r 用坐标表示为),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y yx x =是//的（ ）条件.A 、充要B 、必要不充分C 、充分不必要D 、既不充分也不必要例6、 若,a b r r 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则//a b r r 的充要条件是1221x y x y =.解析：例7、已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ 解析：课堂小结：课后作业：（一）1.已知(2,0),(1,3),a b ==-r r则a b +r r 与a b -r r 的坐标分别为( )(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB u u u r的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( )(A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-r r 若1,2a b =r r则x= ,y= .4.已知AB (1)i x j +-u u u r r r=(2-x)，且AB u u u r 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD uuu r uuu r .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-r r r 并且.c xa yb =+r r r求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=r r ，且.a b =r u r 求,.m n 的值.8、已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-r r，求2a b -r r课后作业（二）1．已知向量(2,3)a =r ，(,6)b x =r ，且a b r r P ，则x 为_________；2．设=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，则下列与共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(+)0a u u r a r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u u r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u u r 1a =r 0a a =r u u r述命题中，其中假命题的序号为 ；4．关于非零向量a ρ和b ρ，有下列四个命题：（1）“b a b a ρρρρ+=+”的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；（2）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相反”； （3）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ有相等的模”； （4）“b a b a ρρρρ-=-” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v r=（4，－3）（即点P 的运动方向与v r相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P 的坐标为（ ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）6．已知向量(cos ,sin ),1)a b αα==-r r，则2a b -r r 的最大值为 .7．在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(4)B -，若点C 在∠AOB 的平分线上，且2OC =u u u r，则=_________.8．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量.9、（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？10.已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式，则z的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，3]C ．[-3，2]D ．[-3，3]11.直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅u u u r u u u r= ．2212.已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =________。
教案平面向量的分解定理
12月4日（周二）上午，教研员探索实践课教案课题：平面向量的分解定理浦东教育发展研究院 恽敏霞教学目标：1．掌握平面向量分解定理，理解定理的深刻涵义；2．经历给定向量在一组基底上唯一分解的过程，体验选择适当的基在解决问题过程中带来的便捷，理解基的作用；3．通过化归，感受数学体系与方法的完美严谨.教学重点：平面向量分解定理的推导与理解.教学难点：平面向量分解定理的理解与应用.教学过程：一、复习引入1．向量的正交分解（本章已学知识）2．力的分解（高一物理学习内容）3．如果任给两个不平行的向量1e ，2e , 向量a 为平面上任意一个向量， 试问a 能否表示为1e ，2e 的线性组合？ 二、定理研究若a 能表示为1e ，2e 的线性组合，即存在实数1λ，2λ，使得2211e e a λλ+=. 一个向量要为两个向量的和，有什么办法？（平行四边形或三角形）. 因为向量可以平移，不妨将以上三个向量平移使其共有起点O .OB OA OP a +==（平行四边形法则）记 2211,e OB e OA λλ==，所以2211e e a λλ+=将一个向量a 表示成两个向量线性组合的过程称为向量的“分解” ．1．2211e e a λλ+=，是否还有其它分解？（假如2211e e a μμ+=，则一定有：2211,μλμλ==.分解唯一）2．若a 与1e ，2e 中的一个平行，如何分解？（假定a //1e ，210e e a ⋅+=λ）1F G2F a1e2ePBA O3．将0分解为1e ，2e 的线性组合.平面向量分解定理：如果1e ，2e 是同一平面内两个不平行的向量,那么对于这一平面内的任意．．向量a ,有且只有．．．．一对实数1λ、2λ，使2211e e a λλ+=. 问题：若1e 与2e 平行，如何分解？（平面上与1e 、2e 不平行的向量不能分解） 把不平行的两个向量1e ，2e 称为这一平面所有向量的一组“基”（base ）.（平行的两个向量不能作为一组“基”.）记平面上水平方向和垂直方向的单位向量为i 、j ，用作图法以1e ，2e 为基分解i 、j .三、定理应用例1．ABC ∆中,AB AD 41=,BC DE //,且与边AC 相交于点E ,ABC ∆的中线AM 与DE 相交于点N ,设a AB =,b AC = ,将向量AE ,DE ,DN ,AN 表示为b a ,的线性组合.说明：确定了基b a ,后，平面上所有的向量均可以用b a ,的线性组合表示，方便后续进一步研究.例2．如图，若AB k AP =，将OP 表示为OA 与OB 的线性组合. （课本P67页）若P 、A 、B 满足OB OA OP μλ+=且1=+μλ. 是不是可以得到P 、A 、B 三点共线？四、拓展研究已知三角形ABC 中,G 是重心. 请填空并完成解答，推断结论. 解 ：设λ=AF AG ,因为)(21b c AF += ,所以=AG ________,又设μ=BE BG ,因为c b BE -=21,所以=BG ________, 而c BG AG +=________ ____.由平面向量的分解定理得：1e2e OOPAB1e 2e O. 本题的结论是三角形重心的一个重要性质：AF AG =32说明：希望学生能知道本题的解题思路是,对向量AG 在基b 、c 上进行分解,由于不同的参数可得出不同的分解形式.由平面向量分解定理分解的唯一可得出两个方程组,通过解方程便能得出结果.本题的目的是帮助学生理解基底和平面向量分解定理.（备用：已知平行四边形ABCD 中,E 、F 是对角线A 、C 上的两点，且AC FC AE 41==，试用向量方法证明四边形DEBF 也是平行四边形. 证明： 设a AD =,b AB = ，则a b a AC AD AE DE 434141-=-=-= a b AC b AF AB FB 434143-=-=-=.所以FB DE =,四边形DEBF 是平行四边形.说明：由平面向量的分解定理可知向量FB 及DE 用一组基来唯一表示,要证明四边形DEBF 是平行四边形,只要证明FB 及DE 用相同的基表示出来的线性组合相同.）五、课堂小结1．平面上任意两个不平行的向量都可以作为一组基； 2．平面上任意一个向量都可以有无穷多种分解，且对给定的 一组基的分解唯一；3．通过分解，平面上的向量可以归纳为两个向量进行研究.六、作业布置练习册：A 组/2，3，5；B 组/1，2教学设计说明：本课教学内容为新教材第八章8.3节内容.平面向量分解定理是研究向量的基本定理，在其基础上一个向量能和一个有序数对建立一种对应关系，从而给出向量坐标具有合理性.本节课建立“基”的概念，是数学学科的一个重要思想.根据对教材和内容的理解，本节课的教学设计紧紧围绕“分解”展开，通过作图分解、线性组合表示学会任意向量的分解，通过解决问题体验分解的作用，设置问题研究加深对定理内涵的理解，以达到课堂教学目标.2007．12．1。
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 教学课件
例3. 已知e1 (3,2)，e2 (1,4)，a (5,1)，
试将a分解为关于e1与e2的线性组合 .
解：设a 1 e1 2 e2 ，
即：(5,1) 1 (3,2) 2 (1,4)
则：－15＝＝－321－1＋42 2
a
19 10
e1
7 10
e2
.
解得：12＝＝1117090
说明：当给出向量的坐标时，将一个向量分解成两个
.
2、对分解定理的理解
（1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （2）基的不唯一性
（3）能够在具体问题中适当的选取基， 使其
他向量都能够用基来表达
当你的才华还撑不起你的野心时，你就该努力。心有猛虎，细嗅蔷薇。我TM竟然以为我竭尽全力了。能力是练出来的，潜能是逼出来的，习惯是养成的，我的 成功是一步步走出来的。不要因为希望去坚持，要坚持的看到希望。最怕自己平庸碌碌还安慰自己平凡可贵。
脚踏实地过好每一天，最简单的恰恰是最难的。拿梦想去拼，我怎么能输。只要学不死，就往死里学。我会努力站在万人中央成为别人的光。行为决定性格， 性格决定命运。不曾扬帆，何以至远方。人生充满苦痛，我们有幸来过。如果骄傲没有被现实的大海冷冷拍下，又怎么会明白要多努力才能走到远方。所有的 豪言都收起来，所有的呐喊都咽下去。十年后所有难过都是下酒菜。人生如逆旅，我亦是行人。驾驭命运的舵是奋斗，不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不 停止一日努力。失败时郁郁寡欢，这是懦夫的表现。所有偷过的懒都会变成打脸的巴掌。越努力，越幸运。每一个不起舞的早晨，都是对生命的辜负。死鱼随 波逐流，活鱼逆流而上。墙高万丈，挡的只是不来的人，要来，千军万马也是挡不住的既然选择远方，就注定风雨兼程。漫漫长路，荆棘丛生，待我用双手踏 平。不要忘记最初那颗不倒的心。胸有凌云志，无高不可攀。人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的。流出来后，海绵才能吸收新的 源泉。感恩生命，感谢她给予我们一个聪明的大脑。思考疑难的问题，生命的意义；赞颂真善美，批判假恶丑。记住精彩的瞬间，激动的时刻，温馨的情景， 甜蜜的镜头。感恩生命赋予我们特有的灵性。善待自己，幸福无比，善待别人，快乐无比，善待生命，健康无比。一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道 的开始。在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。获致幸福的不二法门是珍视你所拥有的、遗忘你所没有的。骄傲是胜利下的蛋，孵出来的却是 失败。没有一个朋友比得上健康，没有一个敌人比得上病魔，与其为病痛暗自流泪，不如运动健身为生命添彩。有什么别有病，没什么别没钱，缺什么也别缺 健康，健康不是一切，但是没有健康就没有一切。什么都可以不好，心情不能不好；什么都可以缺乏，自信不能缺乏；什么都可以不要，快乐不能不要；什么 都可以忘掉，健身不能忘掉。选对事业可以成就一生，选对朋友可以智能一生，选对环境可以快乐一生，选对伴侣可以幸福一生，选对生活方式可以健康一生。 含泪播种的人一定能含笑收获一个有信念者所开发出的力量，大于个只有兴趣者。忍耐力较诸脑力，尤胜一筹。影响我们人生的绝不仅仅是环境，其实是心态 在控制个人的行动和思想。同时，心态也决定了一个人的视野、事业和成就，甚至一生。每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。懒惰像生锈一样，比操劳更 消耗身体。所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道挫折其实就是迈向成功所应缴的学 费。在这个尘世上，虽然有不少寒冷，不少黑暗，但只要人与人之间多些信任，多些关爱，那么，就会增加许多阳光。一个能从别人的观念来看事情，能了解 别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。当一个人先从自己的内心开始奋斗，他就是个有价值的人。没有人富有得可以不要别人的帮助，也没有人穷 得不能在某方面给他人帮助。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。不要总在过去的回忆里缠绵，昨天的太阳，晒不干今天的衣裳。今天做别人不 愿做的事，明天就能做别人做不到的事。到了一定年龄，便要学会寡言，每一句话都要有用，有重量。喜怒不形于色，大事淡然，有自己的底线。趁着年轻， 不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的聪明和藐视一切的优越感，迟早会毁了你。无论现在的你处于什么状态， 是时候对自己说：不为模糊不清的未来担忧，只为清清楚楚的现在努力。世界上那些最容易的事情中，拖延时间最不费力。崇高的理想就像生长在高山上的鲜 花。如果要搞下它，勤奋才能是攀登的绳索。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。海浪的品格，就是无数次被礁石击碎又无数闪地扑向礁 石。人都是矛盾的，渴望被理解，又害怕被看穿。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。生活可以是甜的，也可以是苦的，但不能是没味的。你可
(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件
已知向量的线性组合用待定系数法。
例4. 设正六边形ABCDEF中, AE a, BC b，用a、b 表示下列向量
Bb C
(1) CD a b
Aa
F
D (2) AB 2b a (3) CE 2a 3b
E
例5.如图：OA, OB, 是同一平面内的两个不平行向量 （1）M为AB的中点，试用OA，OB表示OM； （2）M1，M 2为AB的三等分点，试用OA，OB表示OM1；OM 2 （3）M1, M 2 , M 3为AB的四等分点，试用OA，OB表示OM1，OM 2，OM3
对于儿童，做父母，做教师的责任，便是如何教导他们，使之成为健康活泼，有丰富知识，有政治觉悟和良好体现的现代中国儿童，现代中国 人。——陈鹤琴 人不仅要做好事，更要以准确的方式做好事。 生命力的意义在于拚搏，因为世界本身就是一个竞技场。 人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到达尽头，而在乎你有没有跑完全程。 应当在朋友正是困难的时候给予帮助，不可在事情已经无望之后再说闲话。
8.3 平面向量的分解定理
回顾：
(1)若 a, b 0，则 a// b a b
y
(2) a xi y j
a (x, y)
O
x
向量的正交分解是把向量表示成两个互相垂直的
向量 i、j 唯一的线性组合。
引入
a b
F
O
A
C
a ab
O
bB
力的合成
C
力的分解
平行四边形法则
问题的提出
如果 e1、e2 是同一平面内两个不平行的非零向
性质：如图所示，已知a OA, b OB, c OC
若c a b(, R),则ABC三点共线的 充要条件是 1
沪教版(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件
e1
,
e2
m
书本P 65
M
C
ae1e2源自Aae1O e2 N B
a
a
e1
e2
若a // e2 则a 1 e1 2 e2 0 e1 2 e2
Q1 : 平面内任意一个非零向 量a能用平面内
给定的两个不平行的向 量e1 , e2表示吗？
书本P 65
M
C
a
e1
e2
Aa
e1
O
如图 OC OM ON
e2 N B
若a // e1 则a 1 e1 2 e2 1e1 0 e2
若a // e2 则a 1 e1 2 e2 0 e1 2 e2
Q(2)平面内一个零向量 a能用平面内 给定的两个不平行的向 量e1 , e2表示吗？
若a 0, 则a 1 e1 2 e2 0 e1 0 e2
OM 1OA 1e1
OC 1e1 2 e2 即 a 1e1 +2 e2
ON 2 OB 2 e2
Q1 : 平面内任意一个非零向 量a能用平面内
给定的两个不平行的向
非零向量 a
量e1
,
e2表示吗？
若 a, e1 , e2不平行, 则a 1 e1 2 e2
(平行四边形法则)
a
a
e1
e2
有且只存有在一对实数1、2，使a 1e1 2 e2
Q : 上述表达式中1, 2是否唯一？
2.基 把不平行的向量 e1, e2叫做这一平面
内所有向量的一组基
平面向量分解定理的另一种表述:
平面内任一向量可以唯一地表示为两个指定向 量的线形组合的充要条件是两个指定向量不平行.
说明：
1、把不平行的非零向量 e1, e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基.
平面向量分解定理
C
AB的中点,
AE=
=
AD+ DE
b+
1 2
a
A
F
B
1
CF= CB+ BF = -b - 2 a
AE= - CF
AE与CF平行，又无公共点
AE,CF平行.
思考 设 a、b是两个不平行的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。
DM
C
=
1 2
e1 -
e2
21
-4
e1
=
1 4
e1
-
e2
.
A
N
B
评析 能够在具体问题中适当地选取
基，使其他向量能够用基来表示， 再利用有关知识解决问题。
例4: ABCD中，E、F分别是DC和AB
的中点，试判断AE,CF是否平行？
D
E
C
A
F
B
解：设AB= a,AD= b.
E、F分别是DC和 D
E
2.任意向量都可以沿两个不平行 的方向分解为两个向量的和，并且这 种分解是唯一的，即λ1，λ2是被a，e1 ，e2唯一确定的数量．
e1
O e1
M
结论 若在同一平面内有两个不平行的向量e1，e2 ，则
给定向量a，存在一对实数λ1、λ2，使 a=λ1e1+λ2e2．
问题2 平面内任一向量是否可以用两个平行向量来表示呢？
研究
设e1、e2是同一平面内的两个不平
行的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与e1、e2之间的关系．
解： A、B、D三点共线
(上海)数学高二上册-8.3 平面向量的分解定理 课件 _2
问题1．如图1，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图1
问题2．如图2，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图2
问题3．如图3，给定平面内两个向量 e1 ，e2
向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？DCMbAaB
变式1．选择不同的基表示 AM
D
C
M
．
A
B
变式2．若点M不是线段BD的中点，DM 1 DB
3
试用基 a ，b 表示 AM
D
C
M
b
A
B
a
变式3．若点M是直线BD上的任意一点，怎样用基 a ，b
表示AM ？ 可不可以引入其他的参数，使得问题得以
解决？
D
C
b
M
A
B
a
推广到一般的命题
设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点共线，则
AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R)
思考1．变式4的、逆命题成立吗？为什么？
设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点满足 AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R) ，则B，M，D三点共线
．
思考2．由变式4和思考1你能得出什么结论呢?
引入：
一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也 可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受的力F应 与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO 所受的拉力F1和F2 。
思考：从这个实例中我们看到了什么？ 答：一个向量可以分成两个不同方向 的向量
研究：如果 e1 ,e2 是平面内的两个不平行的向 量， a 是该平面内的任意一个非零向量，那 么 a 与 e1 ,e2 之间有什么关系呢？
平面向量的分解定理
平面向量的分解定理【知识概要】平面向量的分解定理如果21,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使2211e e a λλ+=.其中，把不平行的向量21,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基.注：① 21,e e 为非零向量.由于零向量的方向不确定，且零向量与任意实数的积都为零向量，因此当1e （或2e ）为零向量时22a e λ= （或11e λ ），此时a 只能与2e （或1e ）平行；② 21,e e 为互不平行的向量.当21,e e 平行时，向量a 也必然与21,e e 平行； ③ 21,e e 不一定互相垂直，也不一定是单位向量.④ 基向量的选择不是唯一的，当基底给定时，分解形式唯一，21,λλ是被a ，21,e e 唯一确定的数量.【典例精讲】例1判断下列命题真假：（1）一个平面内只有一对不平行的向量可以作为这个平面内所有向量的一组基； （2）平面中任意两个向量都可以作为这个平面内所有向量的一组基. 答案：（1）假命题 （2）假命题例2下列各组向量中，能成为平面内的一组基向量的是（ A ）(A) 12(2,1),(1,2)e e =-=- (B) 12(2,1),(6,3)e e =-=-(C) 121(1,),(6,3)2e e =-=-(D) 12(0,0),(1,2)e e ==-例3已知向量12,e e 是平面α 内所有向量的一组基底，且1212,32e e b e e α=+=-，1223c e e =+ ，若c a b λμ=+（其中,R λμ∈），试求,λμ的值。
解：将12a e e =+与1232b e e =-代入c a b λμ=+得：121212()(32)(3)(2)c e e e e e e λμλμλμ=++-=++-又∵1223c e e =+，且12,e e 是一组基底，于是根据定理中的唯一性可得以下的方程组：3223λμλμ+=⎧⎨-=⎩ 解之得：13515λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩例4 △ABC 中，,,BC a CA b AB c ===，三边BC 、CA 、AB 的中点依次为D 、E 、F ，则AD BE CF ++=____________。
第二讲平面向量的分解定理及坐标运算
平面向量的分解定理及坐标运算（二）（一）基础知识梳理1、平面向量的分解定理：如果12,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的向量a ，有且只有一对实数12,λλ使：a =1122e e λλ+ 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j ，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA 即为一个位置向量.对于任一位置向量OA ，我们均能能用基本单位向量,i j 来表示。
2.向量的坐标表示对于平面直角坐标系内的任意一个向量a ，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合。
如下图左.a =OA =xi y j + a =（x,y ）像这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。
显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===.3.向量的坐标表示的运算设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y == 于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±± ()1111(,),x y x y λλλ=1212a b x x y y ∙=+ 2212a x x =+(,)Q P Q P PQ x x y y =-- 22()()Q P Q P PQ x x y y =-+-4、若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =.5、若,a b 是两个非零向量，12120a b x x y y ⊥⇔+=6、定比分点坐标公式 中点坐标公式 典例精析例1.如图，写出向量,,a b c 的坐标. 解析：例 2.如下图左，设()11,P x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ ？解析：例3.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-. （1）写出向量,AC BC 的坐标；（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标. 解析：例4.已知向量()4,1a =-与()5,2b =，求23a b +的坐标.解析:例5、已知向量(1,2)a =.（1）在坐标平面上，画出向量a ；并求a = ；（2）若向量a 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a 的始点P 坐标为_______； （3）向量a 的模与两点P （x p,y p ）、Q(x q y q )间距离关系是 . （4）如果向量,a b 用坐标表示为),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y yx x =是b a //的（ ）条件. A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要例6、 若,a b 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==，则//a b 的充要条件是1221x y x y =.DC(-1,3)A(2,1)B(-3,2)yxO解析：例7、已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ 解析：课堂小结：课后作业：（一）1.已知(2,0),(1,3),a b ==-则a b +与a b -的坐标分别为( )(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( )(A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5) 3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-若1,2a b =则x= ,y= . 4.已知AB (1)i x j +-=(2-x)，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-并且.c xa yb =+求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=，且.a b =求,.m n 的值. 8、已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-，求2a b - 课后作业（二）1．已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为_________；2．设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(a +b )//(a －b ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个3．设0a 为单位向量，有以下三个命题：（1）若a 为平面内的某个向量，则0a a a =⋅；(2)若a 与0a 平行，则0a a a =⋅；（3）若a 与0a 平行且1a =，则0a a =.上述命题中，其中假命题的序号为 ；4．关于非零向量a和b ，有下列四个命题：（1）“b a b a +=+”的充要条件是“a和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P 的坐标为（ ） A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）6．已知向量(cos ,sin ),(3,1)a b αα==-，则2a b -的最大值为 .7．在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(43,4)B -，若点C 在∠AOB 的平分线上，且2OC =，则OC =_________.8．已知a ＝（5，4），b ＝（3，2），求与2a －3b 平行的单位向量.9、（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？EFGHDCB A 10m8m yx OF A(2,1)B(6,3)CD(4,5)HGE（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？4m5m 8m 10mA B C DH GFEB(6,3)A(2,1)O E F G H DC 10m8m5m 4myx10.已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式1x y +≤，则z的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，3]C ．[-3，2]D ．[-3，3] 11.直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若EF 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅= ．2212.已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =________。
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问题1．如图1，给定平面内两个向量 e1 ，e2 向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图1
问题2．如图2，给定平面内两个向量 e1 ，e2 向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
图2
问题3．如图3，给定平面内两个向量 e1 ，e2 向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
(1 1) e1 (2 2) e2 0
由于 e1 , e2 不平行，故 (1 1) 0,(2 2) 0 ， 即 1 1, 2 2 。
平面向量分解定理：
如果 e1,e2 是平面内的两个不平行向量，那么对
于这一平面内的任意向量 a有且只有一对实
引入：
一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也 可以由电线OA和绳BO拉住。CO所受的力F应 与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO 所受的拉力F1和F2 。
思考：从这个实例中我们看到了什么？ 答：一个向量可以分成两个不同方向 的向量
研究：如果 e1,e2 是平面内的两个不平行的向 量， a 是该平面内的任意一个非零向量，那 么 a 与 e1,e2 之间有什么关系呢？
设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点共线，则
AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R)
思考1．变式4的、逆命题成立吗？为什么？
设A是直线BD外任意一点，若B，M，D三点满足 AM 1 AB 2 AD 且 1 2 1(1, 2 R) ，则B，M，D三点共线
．
思考2．由变式4和思考1你能得出什么结论呢?
设A是直线BD外任意一点，则B，M，D三点共线的充要条件是：
存在实数 1 ，2 且 1 2 1(1, 2 R) 使得 AM 1 AB 2 AD
课堂小结：
1.平面向量分解定理是什么？ 2.学习平面向量分解定理的意义？
作业布置：
e2
e1
a
图3
问题4．如图4，给定平面内两个向量 e1 ，e2 向量 a 能否用含有e1 ，e2 的式子表示出来？
e1
e2
图4
研究结果： 平面内的任一非零向量 a 都可以表示为给定的 两个不平行向量 e1 , e2的线性组合即 a 1e1 2 e2 且分解是唯一的。
证明唯一性：
证明：（1）当 a 0时， 0 0 e1 0 e2 （2）当 a 0 时，假设 a 1 e1 2 e，2 则有
D
C
M
b
A
B
a
变式1．选择不同的基表示 AM
D
C
M
．
A
B
变式2．若点M不是线段BD的中点，DM 1 DB
3
试用基 a ，b 表示 AM
D
C
M
b
A
a
B
变式3．若点M是直线BD上的任意一点，怎样用基 a ，b
表示AM ？ 可不可以引入其他的参数，使得问题得以
解决？
D
C
b
M
A
B
a
推广到一般的命题
课本P67 1 ～ 3 练习册8.3 A组1～5
数
1
,
，使
2
a 1e1 2 e2
说明：
①我们把不平行的向量 e1,e2 叫做这一平面内所有 向量的一组基
②向量的一组基不唯一，关键是不平行 ③一组基给定时，分解形式唯一
例题分析
例题：已知平行四边形ABCD的两条对角 线相交于点M，设 AB a ，AD b ，试用
基 a, b 、分别表示 MB 和 MA ．