【中小学资料】创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练(四)文
创新设计(全国通用)高考数学二轮复习 教师用书 小题综合限时练 文(2021年整理)
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小题综合限时练文限时练(一）（限时：40分钟)一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1。
已知集合P＝｛x｜x2－2x≥3｝，Q＝{x|2＜x＜4},则P∩Q＝（）A。
[3,4) B.(2，3］ C.(－1.2） D。
(－1，3］解析P＝｛x|x2－2x≥3｝＝｛x｜x≤－1,或x≥3}，Q＝｛x｜2〈x<4｝,∴P∩Q＝｛x|3≤x〈4}＝［3，4]。
答案A2.下列命题中,是真命题的是（)A。
∃x0∈R，e x0≤0B.∀x∈R，2x＞x2C.已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是错误!＝－1D。
已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件解析∵e x>0，∴A错；当x＝2时，2x＝x2，B错；a＋b＝0是错误!＝－1的必要不充分条件，C错；由题意，D正确.答案D3.以下四个命题中:①在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1,则2x1,2x2,2x3，…，2x n的方差为2；④对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系"的把握程度越大.其中真命题的个数为( )A.1 B。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习小题综合限时练(十)理
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十）理(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.在复平面内，复数6＋5i ，2＋4i(i 为虚数单位)对应的点分别为A 、C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( ) A.－2＋3i B.4＋i C.－4＋iD.2－3i解析 ∵两个复数对应的点分别为A (6，5)、C (2，4)，C 为线段AB 的中点，∴B (－2，3)，即其对应的复数是－2＋3i.故选A. 答案 A2.如图，设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤8}，B ＝{0，1，2}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( ) A.3 .4 C.7.8解析 依题意，A ∩B ＝{1，2}，该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A. 答案 A3.对具有线性相关关系的变量x 、y ，测得一组数据如下表：根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为y ＝10.5x ＋a ^，据此模型来预测当x ＝20时，y 的估计值为( )A.210B.210.5C.211.5D.212.5解析 依题意得x ＝15(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y ＝15(20＋40＋60＋70＋80)＝54，回归直线必过中心点(5，54)，于是有a ^＝54－10.5³5＝1.5，当x ＝20时，y ＝10.5³20＋1.5＝211.5.故选C. 答案 C4.已知实数x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0，若z ＝x －y ，则z 的最大值为( )A.3B.4C.5D.6解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ＋y ≥2，x ≥0，y ≥0所对应的可行域(如图所示)，变形目标函数为y ＝x －z ，平移直线y ＝x －z 可知，当直线经过点(3，0)时，z 取最大值，代值计算可得z ＝x －y 的最大值为3.故选A. 答案 A5.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －363的展开式中中的第二项的系数为－32，则⎠⎛－2a x 2d x 的值为( )A.3B.73C.3或73D.3或－103解析 ∵二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －363的展开式中的第二项为T 1＋1＝C 13²(ax )2²⎝ ⎛⎭⎪⎫－36＝－32²a 2x 2，∴－32a 2＝－32，即a ＝±1，当a ＝1时，⎠⎛－21x 2d x ＝⎪⎪⎪x 331－2＝13＋83＝3；当a ＝－1时，⎠⎛－2－1x 2d x ＝⎪⎪⎪x 33－1－2＝－13＋83＝73.故选C.答案 C6.下列命题中是真命题的为( )A.“存在x 0∈R ，x 20＋sin x 0＋e x 0＜1”的否定是“不存在x 0∈R ，x 20＋sin x 0＋e x 0＜1”B.在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＞BC 2”是“△ABC 为锐角三角形”的充分不必要条件C.任意x ∈N ，3x＞1D.存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin x 0＋cos x 0＝tan x 0解析 “存在x 0∈R ，x 20＋sin x 0＋e x 0＜1”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2＋sin x ＋e x ≥1”，即A 为假命题.∵AB 2＋AC 2＞BC 2，∴由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ²AC＞0，∵0＜A＜π，∴A 为锐角，但未必是△ABC 为锐角三角形；反之，若△ABC 为锐角三角形，则0＜A ＜π2，∴cos A ＞0，即AB 2＋AC 2＞BC 2.∴“AB 2＋AC 2＞BC 2”是“△ABC 为锐角三角开”的必要不充分条件，即B 为假命题.当x ＝0时，30＝1，即C 为假命题. ∵sin x ＋cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ²22＋cos x ²22 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴命题转化为∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝tan x 0， 在同一直角坐标系中分别作出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4与y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的图象，观察可知，两个函数的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2存在交点，即∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋π4＝tan x 0，即D 为真命题.故选D. 答案 D7.阅读如图所示的程序框图，输出结果s 的值为( )A.12 B.316C.116D.18解析 由程序框图知，s ＝1，n ＝1＜4；s ＝1³cos π9，n ＝2＜4； s ＝cos π9²cos 2π9，n ＝3＜4； s ＝cos π9²cos 2π9²cos 3π9，n ＝4； s ＝cos π9²cos2π9²cos 3π9²cos 4π9，n ＝5＞4，输出S ，结束程序.而s ＝sin π9cos π9²cos 2π9²cos 3π9²cos4π9sinπ9＝12sin 2π9²cos 2π9²cos π3²cos 4π9sin π9＝18sin 8π9²cos π3sinπ9＝18cos π3＝116.故选C.答案 C8.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝( ) A.14 B.34 C.35D.45解析 由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 2|＝2，|PF 1|＝4，又|F 1F 2|＝2c ＝22，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝34.故选B.答案 B9.已知定义在R 上的函数f (x )满足条件： ①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1、x 2∈[0，2]且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)； ③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称. 则下列结论正确的是( ) A.f (7)＜f (6.5)＜f (4.5) B.f (7)＜f (4.5)＜f (6.5) C.f (4.5)＜f (6.5)＜f (7)D.f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，得f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (2－0.5)＝f (1.5)，由题意知，f (x )在[0，2]上是增函数，∴f (4.5)＜f (7)＜f (6.5).故选D. 答案 D10.已知在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，△ABC 的面积等于3，则b 的取值范围为( ) A.[2，6)B.[2，6)C.[2，6)D.[4，6)解析 ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴3B ＝180°，即B ＝60°.∵S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝34ac ＝3，∴ac ＝4.法一 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝a 2＋c 2－ac ，又△ABC 为锐角三角形，∴a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，∵b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴b 2＋c 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(a 2＋b 2)，整理得2a ＞c ，且b 2＋a 2＜(a 2＋c 2－ac )＋(b 2＋c 2)，整理得2c ＞a ，∴c2＜a＜2c ，ac2＜a 2＜2ac ，又ac ＝4，∴2＜a 2＜8，b 2＝a 2＋c 2－ac ＝a 2＋16a2－4，2＜a 2＜8，∴令a 2＝t ∈(2，8)，则b 2＝f (t )＝t ＋16t－4，2＜t ＜8，∵函数f (t )在(2，4)上单调递减，在(4，8)上单调递增，∴f (t )∈[4，6)，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 法二 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，得ac ＝b 2sin 2B ²sin A sin C ⇒4＝43b 2sin A sin(120°－A )，即b 2＝3sin A sin （120°－A ）＝3sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝332sin A cos A ＋12sin 2A ＝334sin 2A ＋14（1－cos 2A ）＝6sin （2A －30°）＋12，∵30°＜A ＜90°，∴30°＜2A －30°＜150°，1＜sin(2A －30°)＋12≤32，∴632≤b 2＜61，即4≤b 2＜6，∴2≤b ＜ 6.故选A. 答案 A11.点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM →²PN →的取值范围是( ) A.[0，2] B.[0，3] C.[0，4] D.[－2，2]解析 如图所示，设正三棱柱的内切球球心为O ，则PM →²PN →＝(PO →＋OM →)²(PO →＋ON →)＝(PO →＋OM →)²(PO →－OM →)＝PO →2－OM →2，由正三棱柱底边长为23，高为2，可得该棱柱的内切球半径为OM ＝ON ＝1，外接球半径为OA ＝OA 1＝5，对三棱柱上任一点P 到球心O 的距离的范围为[1，5]，∴PM →²PN →＝PO →2－OM →2＝OP →2－1∈[0，4].故选C. 答案 C12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx ＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( ) A.－43B.－54C.－35D.－53解析 ∵圆C 的方程可化为(x －4)2＋y 2＝1，∴圆C 的圆心为(4，0)，半径为1，由题意设直线y ＝kx ＋2上至少存在一点A (x 0，kx 0＋2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，∴存在x 0∈R ，使得|AC |≤1＋1成立，即|AC |min ≤2，∵|AC |min 即为点C 到直线y ＝kx ＋2的距离|4k ＋2|k 2＋1≤2，解得－43≤k ≤0，即k 的最小值是－43.故选A.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.) 13.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 法一 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2， ∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 法二 由题意得y ＝1－2x ＋2＝1－2(x ＋2)－1， ∴y ′＝2(x ＋2)－2，∴y ′|x ＝－1＝2，所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案 y ＝2x ＋114.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为________.解析 由题中茎叶图可得甲、乙两组同学成绩的平均数都是92，方差分别是323，143，∴方差较小的那组同学成绩的方差是143.答案14315.在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝154，a 6a 7＝98，则1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝________.解析 由等比数列的性质知a 5a 8＝a 6a 7，∴1a 5＋1a 6＋1a 7＋1a 8＝a 5＋a 8a 5a 8＋a 6＋a 7a 6a 7＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 6a 7＝154³89＝103. 答案10316.关于函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(x ∈R )，有下列命题： ①y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称；②y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称； ③若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为π的整数倍；④y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π6上单调递增；⑤y ＝f (x )的图象可由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位得到.其中正确命题的序号有________.解析 对于①，y ＝f (x )的对称轴是2x －π6＝k π＋π2，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π3，当k ＝－1时，x ＝－π6，即①正确；对于②，y ＝f (x )的对称点的横坐标满足2x －π6＝k π，(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π12.即②不成立；对于③，函数y ＝f (x )的周期为π，若f (x 1)＝f (x 2)＝0，可得x 1－x 2必为半个周期π2的整数倍，即③不正确；对于④，y ＝f (x )的增区间满足－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，∴－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，即④成立；对于⑤，y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≠f (x )，即⑤不正确. 答案 ①④。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练(七)文
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（七）文(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2＜16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A.A ∪B ＝R B.A ∪(∁U B )＝R C.(∁U A )∪B ＝RD.A ∩(∁U B )＝A解析 因为A ＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}， 所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D. 答案 D2.已知复数z ＝2－ix －i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( )A.－12B.12C.－3D.13解析 z ＝2－i x －i ＝（2－i ）（x ＋i ）x 2＋1＝2x ＋1＋（2－x ）i x 2＋1，因为复数z ＝2－ix －i为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，2－x ≠0，即x ＝－12，故选A.答案 A3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案 B4.已知a ＝413，b ＝log 1413，c ＝log 314，则( )A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.c ＞b ＞aD.b ＞a ＞c解析 因为a ＝413＞1，0＜b ＝log 1413＝log 43＜1，c ＝log 314＜0，所以a ＞b ＞c ，故选A.答案 A5.已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中A 、B 、C 的对边，若a ＝4，c ＝6，△ABC 的面积为63，则b 为 ( ) A.13B.8C.27D.2 2解析 因为S ＝12ac sin B ＝12×4×6×sin B ＝63，所以sin B ＝32，且△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π3，所以b 2＝16＋36－2×4×6×cos π3＝28，故b ＝27，故选C.答案 C6.已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A.－23B.－43C.－34D.34解析 因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D. 答案 D7.运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为( )A.－1B.0C.12D.－32解析 由程序框图知，n ＝1，S ＝12；n ＝2，S ＝0；n ＝3，S ＝－1； n ＝4，S ＝－32；n ＝5，S ＝－1；n ＝6，S ＝0； n ＝7，S ＝12；n ＝8，S ＝0；n ＝9，S ＝－1.故以6为周期循环，而2 016＝335×6＋6，所以S ＝0，故选B. 答案 B8.已知等比数列{a n }中，a 3a 9＝25，则a 2＋a 10＝( )A.有最小值10B.有最大值10C.有最小值10或最大值－10D.有最大值－10解析 由等比数列的性质可得a 3a 9＝a 2a 10＝25，则a 2，a 10为同号，故|a 2＋a 10|≥2|a 2||a 10|＝10，所以a 2＋a 10≥10或a 2＋a 10≤－10. 答案 C9.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.36 cm 3B.48 cm3C.60 cm 3D.72 cm 3解析 由三视图可知，上面是个长为4，宽为2，高为2的长方体，下面是一个放倒的四棱柱，高为4，底面是个梯形，上、下底分别为2，6，高为2.所以长方体的体积为4×2×2＝16，四棱柱的体积为4×2＋62×2＝32，所以该几何体的体积为32＋16＝48，选B. 答案 B10.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z的最大值是( ) A.20 B.22 C.24D.26解析 由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋2y ＝10，x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.代入直线－2x ＋y ＋c ＝0得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋5＝0，x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即D (3，1)，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，代入直线z ＝6x ＋2y 得z ＝6×3＋2＝20，故选A. 答案 A11.等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，则log 14a 1 010＝( )A.12B.2C.－2D.－12解析 因为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4，而a 4和a 2 016为函数f (x )＝x 3－6x 2＋4x －1的极值点，所以a 4和a 2 016为f ′(x )＝3x 2－12x ＋4＝0的根，所以a 4＋a 2 016＝4，又a 4、a 1 010和a 2 016为等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以log 14a 1 010＝－12，故选D.答案 D12.已知点A 是抛物线y 2＝4x 的对称轴与准线的交点，点B 是其焦点，点P 在该抛物线上，且满足|PA |＝m |PB |，当m 取得最大值时，点P 恰在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( ) A.2－1 B.22－2 C.2＋1D.22＋2解析 设P (x ，y )，可知A (－1，0)，B (1，0)， 所以m ＝|PA ||PB |＝（x ＋1）2＋y2（x －1）2＋y2＝（x ＋1）2＋4x（x －1）2＋4x＝1＋4xx 2＋2x ＋1，当x ＝0时，m＝1；当x ＞0时，m ＝1＋4xx 2＋2x ＋1＝1＋4x ＋1x＋2≤ 2.当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号，所以P (1，±2)，所以|PA |＝22，|PB |＝2，又点P 在以A ，B 为焦点的双曲线上，所以由双曲线的定义知2a ＝|PA |－|PB |＝22－2，即a ＝2－1，c ＝1，所以e ＝12－1＝2＋1，故选C.答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.△ABC 中，点M 是边BC 的中点，|AB →|＝4，|AC →|＝3，则AM →·BC →＝________. 解析 AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)(AC →－AB →)＝12(|AC →|2－|AB |2)＝12(9－16)＝－72.答案 －7214.已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是________.解析 圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，其圆心为(0，－1)，半径r ＝2，设直线l 1的方程3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋4×（－1）＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6. 答案 3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝015.已知函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2，若a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________.解析 要使函数f (x )＝2x 2－4ax ＋2b 2有两个零点，即方程x 2－2ax ＋b 2＝0要有两个实根，则Δ＝4a 2－4b 2≥0，又a ∈{4，6，8}，b ∈{3，5，7}，即a ≥b ，而a 、b 的取法共有3×3＝9种，其中满足a ＞b 的取法有(4，3)，(6，3)，(6，5)，(8，3)，(8，5)，(8，7)6种，所以所求的概率为69＝23.答案 2316.若函数f (x )满足f (x －1)＝1f （x ）－1，当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，若在区间[－1，1)上，g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________. 解析 因为当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x ，所以当x ∈(0，1)时，x －1∈(－1，0)，由f (x －1)＝1f （x ）－1可得，x －1＝1f （x ）－1，所以f (x )＝1x －1＋1，作出函数f (x )在[－1，1)上的图象如图所示，因为g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，所以y ＝f (x )的图象与直线y ＝mx －m 有两个交点，由图可得m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12。
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)小题综合限时练(二)
限时练(二)(建议用时：40分钟)1.设集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－x 2，－1≤x ≤2}，则∁R (A ∩B )＝________.解析 由已知条件可得A ＝[－2，2]，B ＝[－4，0]，∴∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞).答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)2.某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时.解析 一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即 0×7＋0.5×14＋1.0×11＋1.5×11＋2.0×750＝0.97(小时). 答案 0.973.若复数z 满足(1＋2i)z ＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则z ＝________.解析 ∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝－3＋4i 1＋2i ＝（－3＋4i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋10i 5＝1＋2i.答案 1＋2i4.下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是________.解析 由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)×1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)×2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)×3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27.答案 275.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________.解析 从袋子中随机取2个小球共有10种不同的方法，其中取出的小球标注的数字之和为3或6的方法共有3种，因此所求的概率等于310.答案 3106.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB→·AC →的最小值为________. 解析 依题意得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2＋bc ＝4≥3bc ，bc ≤43，AB →·AC →＝bc cos A＝－12bc ≥－23，当且仅当b ＝c ＝ 43时取等号，因此AB →·AC →的最小值是－23. 答案 －237.在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －4|5＝4，2m ＋1≥3，解得m ＝6. 答案 68.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝________. 解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154. 答案 ±1549.已知四棱锥V -ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________.解析 可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2×12×3×4＋2×12×3×5＝27.答案 2710.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________.解析 由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±b ax ，代入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1.答案 x 220－y 25＝111.已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝(x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________.解析 由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3].答案 (－∞，3]12.在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________，a ＝________.解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin C sin B ＝25×5522＝2 2.由c ＜b 得C ＜B ，故C 为锐角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B ＝25×3101022＝6.答案 22 613.已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________.解析 已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)，则f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )， ①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0矛盾.②若f ′(x )≤0恒成立，显然不可能.③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，故f (－a )＜0，即2a 2－6a ＋3＜0，解得3－32＜a ＜3＋32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32，3＋32 14.已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________.解析 依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n .当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43； 当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1. 由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712， 因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972.答案 5972。
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)小题综合限时练 3
限时练(三)(建议用时：40分钟)1.设全集U＝{n|1≤n≤10，n∈N*}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________.解析由题意，得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁U A＝{4，6，7，9，10}，所以(∁U A)∩B＝{7，9}.答案{7，9}2.不等式4x－2≤x－2的解集是________.解析①当x－2＞0，即x＞2时，不等式可化为(x－2)2≥4，所以x≥4；②当x－2＜0，即x＜2时，不等式可化为(x－2)2≤4，所以0≤x＜2.答案[0，2)∪[4，＋∞)3.已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的________条件.解析若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，所以a＝－1或a＝2，因此“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.答案充分不必要4.函数f(x)＝(x－3)e x的单调增区间是________.解析因为f(x)＝(x－3)e x，则f′(x)＝e x(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调增区间为(2，＋∞).答案(2，＋∞)5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝π6，a＝1，b＝3，则角B＝________.解析由正弦定理得asin A＝bsin B，得sin B＝b sin Aa＝32，又因为A＝π6，且b＞a，所以B∈⎝⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以B ＝π3或2π3.答案 π3或2π36.执行如图所示的流程图，如果输入的t ∈[－2，2]，则输出的S 的取值范围为________.解析 由流程图可知S 是分段函数求值，且S ＝⎩⎨⎧2t 2－2，t ∈[－2，0），t －3，t ∈[0，2]，其值域为(－2，6]∪[－3，－1]＝[－3，6].答案 [－3，6]7.若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”时真命题，则实数a 的取值范围是________.解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，得－8≤a ＜0.综上－8≤a ≤0.答案 [－8，0]8.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为________.解析 由题意可知m ＝(a ，b )有(2，1)，(2，3)(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况.因为m ⊥n ，即m·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3，3)，(5，5)，共2个.故所求的概率为16.答案 169.已知正四棱锥底面边长为42，体积为32，则此正四棱锥的侧棱长为________. 解析 设正四棱锥的高为h ，底面正方形的边长为a ，则a ＝42，V ＝13a 2h ＝32，解得h ＝3，所以此正四棱锥的侧棱长为h 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝5.答案 510.已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，且圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为________.解析 C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1的圆心为(－1，1)，所以它关于直线x －y －1＝0对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.答案 (x －2)2＋(y ＋2)2＝111.将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，7个剩余分数的方差为________.89 7 7 4 0 1 0 x 9 1 解析 由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x ＝91×7，解得x ＝4，所以s 2＝17×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝367.答案 36712.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n ＞0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________.解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a n ＞0得q ＞0，S n ＞0.又S 6－2S 3＝(a 4＋a 5＋a 6)－(a 1＋a 2＋a 3)＝S 3q 3－S 3＝5，则S 3＝5q 3－1，由S 3＞0，得q 3＞1，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝S 3q 6＝5q 6q 3－1＝51q 3－1q 6，令1q 3＝t ，t ∈(0，1)，则1q 3－1q 6＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，所以当t ＝12，即q 3＝2时，1q 3－1q 6取得最大值14，此时S 9－S 6取得最小值20.答案 2013.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________.解析 法一 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B ＞z C 或z A ＝z C ＞z B 或z B ＝z C＞z A 即可，解得a ＝－1或a ＝2.法二 目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案 －1或214.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m 2x ，设g (x )＝⎩⎨⎧f （x ），x ＞1，f （－x ），x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________.解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数可得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (x )＝2x －12x ，f ′(x )＝2x ln 2＋ln 22x ＞0，则f (x )在R 上是递增函数.函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点即函数y ＝g (x )，y ＝t 的图象只有一个交点，作出函数y＝g (x )，y ＝t 的图象如图所示，由图可知实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32。
《创新设计》2017届高考数学二轮复习(浙江专用)小题综合限时练(三)
(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5 B.－3 C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒ba ＞3⇒e ＞2.故选D.答案 D3.设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋ f (－4)＝1，则a 等于( ) A.－1 B.1 C.2D.4解析 设f (x )上任意一点为(x ，y )关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )，将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，所以y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2. 答案 C4.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2B. 2C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ， 所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B. 答案 B5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833.答案 A6.设函数f (x )＝e x ＋1，g (x )＝ln(x －1).若点P 、Q 分别是f (x )和g (x )图象上的点，则|PQ |的最小值为( ) A.22 B. 2 C.322D.2 2解析 f (x )＝e x ＋1与g (x )＝ln(x －1)的图象关于直线y ＝x 对称，平移直线y ＝x使其分别与这两个函数的图象相切.由f ′(x )＝e x ＝1得，x ＝0.切点坐标为(0，2)，其到直线y ＝x 的距离为2，故|PQ |的最小值为2 2.故选D. 答案 D7.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若F A →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C.2 2D. 5解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝ba x ②，联立①②，解得交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ， 由F A →＝(2－1)AB→，得c ＝(2－1)ac c －a ，c ＝2a ，e ＝ 2. 答案 A8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－2，2]∪[4，＋∞) C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍). 由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.已知x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x 5展开式中的常数项为20，其中a ＞0，则a ＝________.解析T r ＋1＝C r 5x ·x5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝a r C r 5x 6－32r . 由⎩⎪⎨⎪⎧6－32r ＝0，a r C r 5＝20，得⎩⎨⎧r ＝4，a 4＝4，因为a ＞0，所以a ＝ 2.答案 210.已知双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线右支上一点，则|PF 1|－|PF 2|＝________；离心率e ＝________. 解析 依题意，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝25，离心率e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝355.答案 25 35511.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x－1，x ≤1，f （x －1），x >1，则f (f (2))＝________，值域为________.解析 依题意，f (2)＝f (1)＝2，f [f (2)]＝f (2)＝2；因为f (x )＝f (x －1)，所以函数f (x )具有周期性，故函数f (x )的值域为(－1，2]. 答案 2 (－1，2]12.将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后所得图象的解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则φ＝________⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，再将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为________. 解析 依题意，sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，故φ＝π12.将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍后得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象.答案 π12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π613.已知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2015＋1a2016＝________.解析 由题意可得f （1）1＝2，f （2）2＝3，又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f （n ）n 是等差数列，则公差为1，所以f （n ）n ＝2＋(n －1)＝n ＋1，f (n )＝n (n ＋1)＝n 2＋n ；a n ＋1＝f (a n )＝a n (a n ＋1)，则1a n ＋1＝1a n （a n ＋1）＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n－1a n ＋1，S 2015＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2015＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2015－1a 2016＝1a 1－1a 2016，所以S 2015＋1a 2016＝1a 1＝1. 答案 n 2＋n 114.设a 、b 是单位向量，其夹角为θ.若|t a ＋b |的最小值为12，其中t ∈R ，则θ＝________.解析 因为t ∈R ，所以|t a ＋b |2＝t 2＋2t cos θ＋1＝(t ＋cos θ)2＋1－cos 2θ≥1－cos 2θ＝14.得cos θ＝±32⇒θ＝π6或5π6. 答案 π6或5π615.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2，则x n ＝________. 解析 设xa nn ＝xa n ＋1n ＋1＝xa n ＋2n ＋2＝k ，则a n ＝log x n k ⇒1a n ＝log k x n ，同理1a n ＋1＝log k x n ＋1，1a n ＋2＝log k x n ＋2，因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n .答案3n。
创新设计全国通用2017届高考数学二轮复习小题综合限时练八理
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（八）理(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x (x －3)＜0}，B ＝{x ||x －1|＜2}，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 ∵A ＝(0，3)，B ＝(－1，3)，∴A B ，∴“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件.故选A. 答案 A2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，（1＋i ）x ，x ∉R ，则f (f (1－i))＝( )A.2－iB.1C.3D.3＋i解析 ∵f (1－i)＝(1＋i)(1－i)＝1－i 2＝2，∴f (f (1－i))＝f (2)＝1＋2＝3，故选C. 答案 C3.设随机变量ξ～N (2，4)，若P (ξ＞a ＋2)＝P (ξ＜2a －3)，则实数a 的值为( ) A.1 B.53 C.5D.9解析 ∵μ＝2，∴根据正态分布的性质得a ＋2＋2a －32＝2，解得a ＝53.故选B.答案 B4.设a ＝log 314，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3，c ＝log 2(log 22)，则( ) A.b ＜c ＜a B.a ＜b ＜c C.c ＜a ＜bD.a ＜c ＜b 解析 ∵c ＝log 212＝－1＝log 313＞log 314＝a ，b ＞0，∴b ＞c ＞a .故选D. 答案 D5.要得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，只需将函数g (x )＝32cos 3x ＋12sin 3x 的图象( )A.向左平移5π12个单位B.向左平移5π36个单位C.向左平移π12个单位D.向左平移π36个单位解析 依题意知g (x )＝cosπ6cos 3x ＋sin π6sin 3x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π6，∵cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π36－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，∴要想得到函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象，只需将函数g (x )的函数图象向左平移5π36个单位即可.故选B. 答案 B6.一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是( ) A.12＋2 5 B.14＋2 5 C.16＋2 5 D.18＋25解析 依题意，该几何体是一个直四棱柱，其中底面是一个上底长为1、下底长为2、高为2的梯形，侧棱长为2，因此其表面积等于2×12×(1＋2)×2＋(1＋2＋2＋5)×2＝16＋2 5.故选C. 答案 C7.已知平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AE →＝2EC →，点F 是BD 上靠近D 的四等分点，则( ) A.FE →＝－112AB →－512AD →B.FE →＝112AB →－512AD →C.FE →＝512AB →－112AD →D.FE →＝－512AB →－112AD →解析 ∵AE →＝2EC →，∴2OE →＝EC →，∴OE →＝16AC →，∴FE →＝OE →－OF →＝16AC →－14BD →＝16(AB →＋AD →)－14(AD→－AB →)＝512AB →－112AD →.故选C.答案 C8.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的前6项和为( ) A.63 B.127 C.6332D.12764解析 ∵a 1＝1，a n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)，∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即S 6＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝6332.故选C.答案 C9.在6道题中有3道理综题和3道文综题，如果不放回地依次抽取2道题，则“在第1次抽到理综题的条件下，第2次抽到文综题”的概率为( ) A.12 B.13 C.25D.35解析 法一 第1次抽到理综题的条件下，依次抽取2道题，共有C 13C 15＝15种抽法，其中第2次抽取文综题的情况共有C 13C 13＝9种，因此，所求概率P ＝915＝35.故选D.法二 第一次抽到理综题的概率P (A )＝A 13A 15A 26＝12，第一次抽到理综题和第二次抽到文综题的概率P (AB )＝A 13A 13A 26＝310，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝31012＝35.故选D.答案 D10.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值等于( )A.13B.23C.34D.43解析 记抛物线y 2＝2px 的准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，AC ⊥BB 1，垂足分别是A 1、B 1、C ，则有cos∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，∴cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.故选A.答案 A11.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x3－2，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线(2＋λ)x －(3＋λ)y ＋(1－2λ)＝0(λ∈R )过定点A (x 0，y 0)，则z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，7 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，5C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，15∩[7，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，17∩[5，＋∞) 解析 依题意知，直线(2＋λ)x －(3＋λ)y ＋(1－2λ)＝0(λ∈R )可以转化为2x －3y ＋1＋λ(x －y －2)＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，∴z ＝y －5x －7，作出二元一次不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－185，－165，点C (6，0)，点D (0，4)，观察可知z ＝y －5x －7表示阴影区域内的点与A (7，5)两点连线的斜率，∴k AD ≤z ＝y －5x －7≤k AC ，即17≤z ＝y －5x －7≤5.∴z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，5.故选B. 答案 B12.已知函数f (x )＝2ax 3＋3，g (x )＝3x 2＋2，若关于x 的方程f (x )＝g (x )有唯一解x 0，且x 0∈(0，＋∞)，则实数a 的取值范围为( )A.(－∞，－1)B.(－1，0)C.(0，1)D.(1，＋∞)解析 依题意得，2ax 3＋3＝3x 2＋2，即2ax 3－3x 2＋1＝0(*).若a ＝0，则(*)式化为－3x2＋1＝0，该方程有两解，不合题意，舍去；若a ＞0，令h (x )＝2ax 3－3x 2＋1，则h ′(x )＝6ax ⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ，可知函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递减，在(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递增，∴极大值为h (0)＝1，结合函数图象可知，h (x )还存在一个小于0的零点，不合题意，舍去；若a ＜0，则函数h (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，0上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1a 和(0，＋∞)上单调递减，要使零点唯一，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞0，即2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1＞0，∵a ＜0，解得a ＜－1.故选A.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.在△ABC 中，AB ＝1，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝______.解析 ∵AC ＞AB ，∴C ＜B ＝60°，又由正弦定理得1sin C ＝3sin 60°，∴sin C ＝13sin 60°＝36，∴cos C ＝336.答案33614.运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为 ________.解析 由程序框图可知，第一次执行循环结构：n ＝0＋2，x ＝2×t ，a ＝2－1； ∵n ＝2＜4，∴继续执行循环结构.第二次执行循环结构：n ＝2＋2，x ＝2×2t ，a ＝4－1；∵n ＝4＝4，∴继续执行循环结构.第三次执行循环结构：n ＝4＋2，x ＝2×4t ，a ＝6－3；∵n ＝6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t.由于结束时输出的结果不小于3，∴38t≥3，即8t ≥1，解得t ≥18.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，＋∞ 15.双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平分圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的周长，此双曲线的离心率等于________.解析 依题意得，双曲线的渐近线过圆心(1，2)，于是有b a＝2，∴双曲线的离心率为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 答案516.已知函数f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)有且仅有一个零点x 0，若x 0＞0，则a 的取值范围是________.解析 已知f (x )＝x 3－3a 2x －6a 2＋3a (a ＞0)， 则f ′(x )＝3x 2－3a 2，①若f ′(x )≥0恒成立，则a ＝0，这与a ＞0矛盾. ②若f ′(x )≤0恒成立，显然不可能.③若f ′(x )＝0有两个根a ，－a ，而a ＞0，则f (x )在区间(－∞，－a )上单调递增，在区间(－a ，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增.故f (－a )＜0，即2a 2－6a ＋3＜0，解得3－32＜a ＜3＋32.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫3－32，3＋32。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习小题综合限时练(六)理
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（六）理(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2i等于( )A.2iB.－2iC.2＋iD.－2＋i解析z 1z 2i ＝（1－i ）（1＋i ）i＝－2i.故选B.答案 B2.已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A.－3∈A B.3∉B C.A ∩B ＝BD.A ∪B ＝B解析 依题意得，A ＝[－1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝B .故选C. 答案 C3.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B4.若1a ＜1b＜0，则下列四个不等式恒成立的是( )A.|a |＞|b |B.a ＜bC.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D. 答案 D5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b .12a －b C.a ＋12b.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A.答案 A6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cosC ，则tan A 的值为( )A.5B.6C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cos A －sin A ＝5(cos B cos C －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ， ∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B . 答案 B7.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是( )A.0 .－1 C.－2.－3解析 由程序框图知，x ＝2，y ＝12×2－1＝0，|0－2|＞1；x ＝0，y ＝0－1＝－1，|－1－0|＝1；x ＝－2，y ＝12×(－2)－1＝－2，|－2＋2|＜1满足条件，输出y 为－2，结束程序.故选C. 答案 C8.北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者(编号分别是1，2，…，30号)，现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是( ) A.25 B.32 C.60D.100解析 要“确保6号、15号与24号入选并分配到同一厅”，则另外三人的编号或都小于6或都大于24，于是根据分类加法计数原理，得选取种数是(C 35＋C 36)A 22＝60. 答案 C9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba＝( ) A.32 B.233C.932D.2327解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B10.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( ) A.1 006×2 013 B.1 006×2 014 C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 答案 C11.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0，1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1，＋∞)解析 当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D选项，故答案为C. 答案 C12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值.其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF 的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小. 答案 甲14.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则该点落在四面体内的概率为________.解析 由题意可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，则几何体的体积为13×12×6×3×4＝12，外接球的直径为42＋（32）2＋（32）2＝213，∴外接球的半径为13，体积为52133π，∴该点落在四面体内的概率P ＝1252133π＝913169π. 答案913169π15.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x)*1ex 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为 (－∞，0].其中所有正确说法的序号为________. 解析 依题意得f (x )＝(e x)*1e x ＝e x ·1e x ＋[(e x )*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0＝1＋e x ＋1e x ，其中x ∈R .∴f ′(x )＝e x －1ex ，令f ′(x )＝0，则x ＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝0，f (0)min ＝3，即①正确，③错误.又f (－x )＝1＋e －x＋1e －x ＝1＋e x＋1ex ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，即②正确. 答案 ①② 16.若关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 解析 由于关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有3个不同的非零的实数解.∴方程1k ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y ＝1k 的图象和函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )图象，如图所示， 故0＜1k＜1，解得k ＞1.答案 (1，＋∞)。
《创新设计》2017届高考数学二轮复习(浙江专用)小题综合限时练(五)
(限时：40分钟)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析 由已知z ＝21＋i ＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i ，选B. 答案 B2.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( ) A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析 由题图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 5π6＝1，选A. 答案 A4.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( )A.0B. 5C.5D.503解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C. 另：本题可以数形结合运用向量投影的方法求得结果. 答案 C5.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( )A.2 .1 C.23.223解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C. 答案 C6.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎨⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( )A.56B.25C.15D.16解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab ≤ －1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A. 答案 A7.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3 B.8π C.16πD.64π解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD 为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C8.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2 C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞) 解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x －x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e ，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C. 答案 C二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.) 9.若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________.(请用数字作答)解析 因为二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以展开式有9项，即n ＝8，展开式通项为T k ＋1＝C k 8x 8－k (－1)k x －k ＝(－1)k C k 8x8－2k，令8－2k ＝2，得k ＝3；则展开式中含x 2项的系数是(－1)3C 38＝－56. 答案 －5610.已知双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的离心率为5，则b ＝________，又以(2，1)为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则半径r ＝________.解析 因为e ＝ca ＝c ＝5，所以b ＝c 2－a 2＝（5）2－12＝2；因为以(2，1)为圆心的圆与双曲线的渐近线组成的图形只有一个公共点，所以该圆必与双曲线渐近线2x －y ＝0相切，所以r ＝|2×2－1|22＋12＝355. 答案 235511.已知等差数列{a n }的公差为－3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n ＝________，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.解析 由题意得a 23＝a 1a 4，即(a 1－6)2＝a 1(a 1－9)，解得a 1＝12，所以a n ＝12＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋15；由－3n ＋15≥0得n ≤5，所以当n ＝4或5时S n 取得最大值，所以(S n )max ＝5×12＋5×42×(－3)＝30.答案 －3n ＋15 3012.设奇函数f (x )＝⎩⎨⎧a cos x －3sin x ＋c ，x ≥0，cos x ＋b sin x －c ，x <0，则a ＋c 的值为________，不等式f (x )>f (－x )在x ∈[－π，π]上的解集为________.解析 因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即a cos 0－3sin 0＋c ＝0，所以a ＋c ＝0；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0得－3＋c －b －c ＝0，所以b ＝－3；由f (π)＋f (－π)＝0得－a ＋c －1－c ＝0，所以a ＝－1，所以c ＝1，所以当0≤x ≤π时，由f (x )>f (－x )＝－f (x )得f (x )>0，即－cos x －3sin x ＋1>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6<12，所以5π6<x ＋π6≤7π6，即2π3<x ≤π.同理可求得－π≤x <0时，－2π3<x <0，所以原不等式f (x )>f (－x )的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π. 答案 0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π 13.已知实数x ，y满足⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则y －x 的最大值是________；x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是________.解析 作出不等式组满足的平面区域，如图所示， 由图知当目标函数z ＝y －x 经过原点时取得最大值0，即y －x 的最大值为0；当x ＝2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝0；当x >2时，x －2x 2＋y 2－4x ＋4＝x －2（x －2）2＋y2 ＝11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －22，又yx －2表示平面区域内的点与点A (2，0)连线的斜率，由图知，k ∈[0，＋∞)，即yx －2∈[0，＋∞)，所以11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －22∈(0，1]，同理可求得当x <2时，－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x －22∈[－1，0)， 所以x －2x 2＋y 2－4x ＋4的取值范围是[－1，1].答案 0 [－1，1]14.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a －y 2＝1(a ＞0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______.解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a，解得a ＝19. 答案 1915.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎨⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x －1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“存在t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函数y ＝ln x (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e .设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1。
创新设计(全国通用)高考数学二轮复习 小题综合限时练(二)文
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（二）文(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45B.－45C.4D.－4解析 依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为45.故选A.答案 A3.设向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，－3)，若满足a ∥b ，则m ＝( ) A.13 B.－13C.23D.－23解析 依题意得－3m －2×1＝0，∴m ＝－23.故选D.答案 D4.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )A.300B.400C.500D.600解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600.故选D.答案 D5.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2B.－ 2C. 2D.±2解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ，则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2，∴a 6＝a 4q 2＝2； 同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C6.已知双曲线y 2t 2－x 23＝1(t ＞0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( ) A.2B. 3C.3D.4解析 依题意得，抛物线y ＝18x 2即x 2＝8y 的焦点坐标是(0，2)，因此题中的双曲线的离心率e ＝2t＝222－3＝2.故选A. 答案 A7.已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝OA →·OB →的最小值为( ) A.2B.－2C.－4D.－6解析 画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2，6)，C (2，0)，D (0，2).目标函数z ＝OA →·OB →＝x －y .令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2，6).此时z 取得最小值，且最小值z min ＝2－6＝－4.故选C. 答案 C8.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C.答案 C9.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A.9B.8C.4D.2解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b＝b c，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c的最小值是9.故选A. 答案 A11.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( ) A.7π B.8π C.9πD.10π解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C12.已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3解析 依题意，记g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0， 当x >0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x >0，g (x )是增函数，g (x )>0；当x <0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x <0，g (x )是减函数，g (x )>0，在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是1.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________.解析 由程序框图得S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45. 答案 4514.(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1. 答案2 115.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________.解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3.答案 43或8 316.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________.解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2. 答案 －2。
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)小题综合限时练(十)
限时练(十)(建议用时：40分钟)1.设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________.解析由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5，6，7，8}，所以集合M中共有4个元素.答案 42.已知m∈R，复数m＋i1＋i－12的实部和虚部相等，则m＝________.解析因为m＋i1＋i－12＝（m＋i）（1－i）（1＋i）（1－i）－12＝m＋（1－m）i2，由已知得m＝1－m，得m＝1 2.答案1 23.从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为偶数的概率是________.解析从1，2，3，4这四个数中一次随机地取2个数的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有6种，而满足所取2个数的乘积为偶数的基本事件为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有5种，根据古典概型的公式可得所求的概率为P＝5 6.答案5 64.设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝________. 解析由条件可得，(a＋b)2＝10，(a－b)2＝6，两式相减得4a·b＝4，所以a·b＝1.答案 15.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果S为________.S ←0I ←1While S ≤10S ←S ＋I 2I ←I ＋1End WhilePrint S解析 根据伪代码，开始时S ＝0，I ＝1，此时满足S ≤10，接下来有S ＝0＋12＝1，I ＝1＋1＝2，此时满足S ≤10，接下来有S ＝1＋22＝5，I ＝2＋1＝3，此时满足S ≤10，接下来有S ＝5＋32＝14，I ＝3＋1＝4，此时不满足S ≤10，结束循环，输出S ＝14.答案 146.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6的值为________.解析 由条件可得⎩⎨⎧S 2＝a 1＋a 1q ＝3，S 4＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，解得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝3，q 2＝4，那么S 6＝S 4＋(a 1＋a 1q )q 4＝63.答案 637.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组，…，第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________.解析 第一组和第二组的频率之和为0.4，故样本容量为200.4＝50，第三组的频率为0.36，故第三组的人数为50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为18－6＝12.8.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此三棱锥的体积为________. 解析 正三棱锥的高h ＝52－（23）2＝13，底面积 S ＝34×62＝93，故体积V ＝13×93×13＝339.答案 3399.过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.解析 最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.答案 2 210.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数z ＝x －2y 的最大值为2，则实数a ＝________.解析 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.由⎩⎨⎧x ＝2，x －2y ＝2可知点A (2，0)是最优解，直线x ＋2y －a ＝0过点A (2，0)， 所以a ＝2.答案 211.在△ABC 中，已知BC ＝1，B ＝π3，且△ABC 的面积为3，则AC 的长为________.解析 由于△ABC 的面积S ＝12×AB ×BC ×sin B ＝12×AB ×1×32＝3，所以AB ＝4.由余弦定理得AC 2＝1＋16－2×1×4×cos π3＝13，所以AC ＝13，即AC 的答案 1312.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|lg x |，x ＞0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________.解析 方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或1，作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.答案 513.设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足P A ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.解析 联立直线方程x －3y ＋m ＝0与双曲线渐近线方程y ＝±b a x 可得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，则k AB ＝13， 由P A ＝PB ，可得线段AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm 3b ＋a 2－0am 3b －a ＋－am 3b ＋a 2－m ＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝a 2＋b 2a 2＝52.答案 5214.若a ，b 均为正实数，且a ＋b －a ≤m b 恒成立，则实数m 的最小值是________. 解析 由于a ，b 均为正实数，且a ＋b －a ≤m b ，显然有m ＞0，b ≥a ，两边平方得a ＋b －a ＋2a （b －a ）≤m 2b ， 即b ＋2a （b －a ）≤m 2b ，于是m 2≥1＋2a b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2，令a b ＝t (0＜t ≤1)，则m 2≥1＋2t －t 2在0＜t ≤1时恒成立， 即m 2≥1＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，从而m 2≥2， 故的最小值为 2.答案2。
《创新设计》2017届高考数学(文)二轮复习(江苏专用)小题综合限时练(十二)
限时练(十二)(建议用时：40分钟)1.集合M＝{x|lg x＞0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝________.解析M＝{x|lg x＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，M∩N＝{x|1＜x≤2}.答案{x|1＜x≤2}2.高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________.解析根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题.将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17.答案173.设i为虚数单位，则复数3＋4ii＝________.解析依题意：3＋4ii＝（3＋4i）ii2＝4－3i.答案4－3i4.执行下图所示的流程图，输出的S为________.解析根据流程图得执行的结果是：S＝－1＋(－1)22＋(－1)33＋(－1)44＋…＋(－1)2 0162 016＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008.答案 1 0085.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的坐标，则点P落在圆x 2＋y 2＝16内的概率为________.解析 ∵试验发生的总事件数是6×6，而点P 落在圆x 2＋y 2＝16内包括(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86×6＝29. 答案 296.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________. 解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⇒x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1⇒y ∈(1，2]，所以值域为(1，2].答案 (1，2]7.若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的范围________.解析 由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立.则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根.则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.答案 (－1，3)8.已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，a·b ＝85，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________. 解析 因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝85，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45. 答案 459.在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和.若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________.解析 因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3⇒q ＝2，所以S 8＝1－（2）81－2＝15(2＋1). 答案 15(2＋1)10.设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________.解析 f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x＞0，解得x ＞2，所以f ′(x )＞0的解集为(2，＋∞).答案 (2，＋∞)11.曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 y ′＝2（x ＋2）2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1. 答案 y ＝2x ＋112.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2＝________. 解析 利用余弦定理，再变形即得答案.答案 013.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________.解析 如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x有交点，则应有b a ＞2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a 2＞5，e ＞ 5.答案 (5，＋∞)14.设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立.如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎨⎧m ＞3，f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）＜0，那么m 2＋n 2的取值范围是________.解析由f(1－x)＋f(1＋x)＝0得，f(n2－8n)＝f[(n2－8n－1)＋1]＝－f[1－(n2－8n－1)]＝－f(－n2＋8n＋2)，所以f(m2－6m＋23)＜－f(n2－8n)＝f(－n2＋8n＋2)，又f(x)是定义在R上的增函数，所以m2－6m＋23＜－n2＋8n＋2，即为(m－3)2＋(n－4)2＜4，且m＞3，所以(m，n)在以(3，4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3，2)时，m2＋n2＝13，圆心(3，4)到原点的距离为5，此时m2＋n2＝(5＋2)2＝49，所以m2＋n2的取值范围是(13，49).答案(13，49)。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习小题综合限时练(二)文
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（二）文（限时：40分钟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.）、 2 21.已知集合 A = {x | x -2x — 3w 0}, B = {x |log 2（x -x ） > 1}，则 A Q B =（）B.(2 , 3]C.( - 3,- 2) D.[ - 3, - 2)解析 •/ x 2- 2x -3< 0,「.— 1< x < 3,「. A = [ - 1, 3].2 2又•/ log 2(x -x ) > 1 ,.•• x -x - 2>0，二 x v — 1 或 x >2,「. B= ( —s,— 1) u (2 , +a ). ••• A n B = (2 , 3].故选 B.答案 B2.若复数z 满足(3 -4i) z = 5,贝U z 的虚部为( )4 4A .5B. -C.4D. - 455 5 ( 3 + 4i ) 3 4 4解析 依题意得z = =鳥 =-+ i ，因此复数z 的虚部为匚.故选A.3 — 4i ( 3— 4i ) ( 3+ 4i ) 5 55答案 A3.设向量a = (m 1) , b = (2 , - 3)，若满足 a // b ,则 m =( )1 A. 3 1 B. - 32 C.32 D.-3 2解析 依题意得—3m — 2X 1= 0, • m ^- 3.故选D.答案 D4.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是（）A.(2 , 3) A.300B.400C.500D.60070分的学解析依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于生数是 1 000 X （0.035 + 0.015 + 0.010）X 10= 600.故选 D.答案D5.在等比数列｛a n｝中，若a4、a8是方程x2—3x + 2 = 0的两根，则a6的值是（）A. ± 2B. — 2C. 2D. ±2解析由题意可知a4= 1, a8 = 2,或a4= 2, a$= 1.当a4 = 1, a? = 2时，设公比为q,贝U a8 = a4q4= 2,「. q =“j2,.°. a6= a4q? =#2；同理可求当a4= 2, a8= 1 时，a6= J2.答案C6.已知双曲线2 2器一x = 1(t > 0)的一个焦点与抛物线y= 1x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为()A.2B. 3C.3D.41解析依题意得，抛物线y = -x2即x2= 8y的焦点坐标是(0, 2)，因此题中的双曲线的离82 2心率e =「=——2= 2.故选A.t电—3答案A2x —y+ 2> 0,7. 已知A(1 , —1),巳x, y)，且实数x, y满足不等式组x+ y >2, 贝y z=O A- 6B勺x< 2,最小值为()A.2B. —2C. —4D. —6解析画出不等式组所表示的可行域为如图所示的厶ECD勺内部(包括边界)，其中E(2 , 6) , Q2 , 0) , D(0 , 2).目标函数z = O A- O B= x—y.yi6-.5/\::/02,0）7' 71令直线I ：y= x—z,要使直线l过可行域上的点且在y轴上的截距-z取得最大值，只需直线l过点E(2 , 6).此时z取得最小值，且最小值Z min = 2 —6= —4.故选C.答案C8.将函数f (x ) = 4sin 2 x 的图象向右平移 $ 0<0<守 个单位长度后得到函数g (x )的图n象，若对于满足 |f (X l ) — g (X 2)|= 8 的 X i , X 2，有 I X i —X 2|min =~6，贝$ =()D.解析 由题意知，g (X )= 4sin(2 X — 2 $ ) , — 4< g ( X) <4,又一4W f (X)<4,若 X i ,X 2满足| f (x i ) — g (X 2)| = 8,则x i , X 2分别是函数f (x ) , g (x )的最值点，不妨设 f (x i ) = — 4,「3 n f n 、\g ( X 2) = 4 ,贝V X i = — + k i n ( k i € Z) , X 2 = — + $ i +k 2 n ( k 2 € Z) , | X i —X 2| =nn n n n二-—$ +( k i — k 2) n ( k i , k 2 € Z)，又 I X i — X 2I min^ — , 0 < $ ^ —，所以-;7 一 $ = f ,2 6 2 2 6n得$ = 3，故选C . 答案 C9. 如图，多面体 ABC — EFG 勺底面ABC ［为正方形,视图和侧视图正确的是 ( )解析 注意BE BG 在平面CDG 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置， 排除A , C 选项，观察B , D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则 BG BF的投影为虚线，故选 D. 答案 D224 iiO.已知直线 ax + by + c — i = O(bc > 0)经过圆x + y — 2y — 5= 0的圆心，贝U &+7的最小值FC= GD= 2EA 其俯视图如下，则其正 c4是()A.9B.8C.4D.24 i 盘11 4c b 解析依题意得，圆心坐标是(0 , i)，于是有b+ c = i, £+ c =i b+ C (b + c) =5 + £ + C解析 依题意记题中的球的半径是 R,可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是 2、1、2，于是有(2F ) 2= 12+ 22+ 22= 9, 4 n 氏=9 n ,二球O 的表面 积为9 n .故选C.答案 C=xf (x ) +1的零点个数是( )A.0 C.2解析 依题意，记g ( x ) = xf (x ),则 g '(x ) = xf '(x ) + f (x ), g (0) = 0, 当 x >0 时，g '(x ) = x|f '( x )g (x )是增函数，g ( x )>0 ；当 x <0 时，g '(x ) = x |f '( x )g (x )是减函数，g ( x )>0 ,一 1在同一坐标系内画出函数 y = g (x )与y =— -的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公x共点，因此函数 F (x ) = xf (x ) + -的零点个数是1.x答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题 5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横____b +c = 1/4^b …,>5+ 2、帀x - = 9当且仅当$4c b:c石=c最小值是9.故选A. 答案 A11. 已知四面体 P — ABC 的四个顶点都在球=1， PB= AB= 2，则球0的表面积为( A.7 n C.9 n(bc > 0),2 4 1即b = 2c =2时取等号，因此4+丄的3 b cO 的球面上，若 PBL 平面 ABC ABL AC 且 AC)B.8 n D.10 n 12.已知函数y = f (x )是R 上的可导函数, 当 X M0 时，有 f '(x ) +f(X)X>0,贝U 函数F (x ) B.1 D.3线上.)13. ___________________________________________ 执行如图所示的程序框图，输出的S值为___________________________________________________ .… 「十宀丄 LEE 1 1 1 1 1111111 1 解析 由程序框图得 S = + + + = 1 __+-__ + -__ +〜__= 1__ =1X2 2X3 3X4 4X5 2 2 3 3 4 4 5 545. 答案4514. _______________________________________________________________________ (2016 •浙江卷)已知 2COS 2X + sin 2 x = A sin( 3 x +$ ) + b (A >0)，贝U A = ____________________ , b2解析■/ 2COS X + sin 2 X = COS 2 X + 1 + sin 2 X••• A = 2, b = 1. 答案 2115. ______________________________________________________________ 在厶 ABC 中，若AB= 4^3, AC = 4, B= 30°，则△ ABC 勺面积是 ____________________________ .解析 由余弦定理 AC = BA 2 + BC — 2 • BA- BC- COS B 得 42 = (4 3) 2 + BC — 2X4 , 3 X BC X COS 30 °，解得 BC= 4 或 BC= 8.1 1 1当 BC = 4 时，△ ABC 勺面积为 ^X AB< BC X sin B = X4 . 3X 4X -= 4 ,3;当 BC = 8 时，△ ABC1 1 1 的面积为 ^X ABx BC X sin B = ?X4 3X 8X ^= 8 3.=2sin2x +〒 + 1 = A si n(3 X + © ) + b ( A > 0),為 2X +12答案 4.3或8 , 32X 216. 已知R、F a分别为椭圆—+ y = 1的左、右焦点，过椭圆的中心O任作一直线与椭圆交于P、Q两点，当四边形PFQF的面积最大时，PF • PF的值为__________解析易知点P、Q分别是椭圆的短轴端点时，四边形PFQF的面积最大.由于F（-护,0），F2（W，0），不妨设R0, 1）,••• PF=（-亞,-1）, PF2=（西,-1）,••• PF • PF2 = -2.答案—2。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练(四)理
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（四）理(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9 B.8 C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C.答案 C 2.复数1＋52－i(i 是虚数单位)的模等于( ) A.10 B.10 C. 5D.5解析 ∵1＋52－i ＝1＋5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋2＋i ＝3＋i ，∴其模为10.故选A. 答案 A3.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题B.“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” D.命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0”解析 “若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，∴其逆否命题也为真命题，则A 正确；由x ＝－1，能够得到x 2－5x －6＝0，反之，由x 2－5x －6＝0，得到x ＝－1或x ＝6，∴“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，则B 不正确；命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，则C 不正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，则D 不正确.故选A. 答案 A4.某校在高三第一次模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩近似服从正态分布，即X ～N (100，a 2)(a ＞0)，试卷满分150分，统计结果显示数学考试成绩不合格(低于90分)的人数占总人数的110，则此次数学考试成绩在100分到110分之间的人数约为( ) A.400 B.500 C.600D.800解析 ∵P (X ≤90)＝P (X ≥110)＝110，∴P (90≤X ≤110)＝1－15＝45，∴P (100≤X ≤110)＝25，∴1 000×25＝400.故选A.答案 A5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺 D.1631尺 解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33 B.8＋632 C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D.答案 D7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1 B.2 C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D. 答案 D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( )A.5B.6C.7D.8解析 由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B. 答案 B9.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12B.π4C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A. 答案 A10.已知向量a 、b 的模都是2，其夹角是60°，又OP →＝3a ＋2b ，OQ →＝a ＋3b ，则P 、Q 两点间的距离为( ) A.2 2 B. 3 C.2 3 D. 2解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2×2×12＝2，PQ →＝OQ →－OP →＝－2a ＋b ，∴|PQ →|2＝4a2－4a ·b ＋b 2＝12，∴|PQ →|＝2 3.故选C. 答案 C11.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192B.11C.12D.16 解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b2a＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B12.设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －ay ≤2，x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，时，则z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A.a ＜1B.－12＜a ＜1C.0≤a ＜1D.a ＜0解析 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，2x ＋y ≥4，的平面区域如图所示：而x －ay ≤2表示直线x －ay ＝2左侧的平面区域， ∵直线x －ay ＝2恒过(2，0)点，当a ＝0时，可行域是三角形，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，满足题意；当直线x －ay ＝2的斜率1a 满足1a ＞1或1a＜－2，即－12＜a ＜0或0＜a ＜1时，可行域是封闭的，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值， 综上所述，实数a 的取值范围是－12＜a ＜1.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是______.解析 作出如图的图象，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0， 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)， ∴所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫23x 32－13x 310＝13. 答案 1314.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3).答案 (－6，3)15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________. 解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 16.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n－13.答案 （－2）n－13。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 教师用书 小题综合限时练 文
小题综合限时练 文限时练(一) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥3}，Q ＝{x |2＜x ＜4}，则P ∩Q ＝( ) A.[3，4)B.(2，3]C.(－1.2)D.(－1，3]解析 P ＝{x |x 2－2x ≥3}＝{x |x ≤－1，或x ≥3}，Q ＝{x |2<x <4}，∴P ∩Q ＝{x |3≤x <4}＝[3，4]. 答案 A2.下列命题中，是真命题的是( ) A.∃x 0∈R ，e x0≤0 B.∀x ∈R ，2x ＞x 2C.已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1 D.已知a ，b 为实数，则a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件解析 ∵e x >0，∴A 错；当x ＝2时，2x ＝x 2，B 错；a ＋b ＝0是a b＝－1的必要不充分条件，C 错；由题意，D 正确. 答案 D3.以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好； ②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为2；④对分类变量x 与y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大.其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 由相关指数R 2越接近于1，模型的拟合效果越好知①正确；由相关系数r 的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强知②正确；③④错误. 答案 B4.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x解析 e ＝ca＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝52，∴b a ＝12，∴c 的渐近线方程为y ＝±12x . 答案 C5.设a ＝log 0.80.9，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <cD.c <a <b解析 因为0＝a ＝log 0.80.9<1，b ＝log 1.10.9<0，c ＝1.10.9>1，所以b <a <c .答案 C6.已知a ，b 均为单位向量，(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为( )A.π6B.π4C.3π4D.5π6解析 因为a ，b 均为单位向量，所以(2a ＋b )·(a －2b )＝2－2－3a ·b ＝－332，解得a ·b＝32，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝π6. 答案 A7.将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝f (x )·cos x 的图象，则f (x )的表达式可以是( ) A.f (x )＝－2sin x B.f (x )＝2sin x C.f (x )＝22sin 2xD.f (x )＝22(sin 2x ＋cos 2x ) 解析 将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 的图象，因为－sin 2x ＝－2sin x cos x ，所以f (x )＝－2sin x .答案 A 8.已知b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－x x≥0，则直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析 b ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－x x≥0＝(0，3]，若直线x ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相离，则21＋b2>2，得－1<b <1，故所求概率P ＝1－03－0＝13. 答案 A9.某程序框图如图所示，现将输出(x ，y )值依次记为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，…，若程序运行中输出的一个数组是(x ，－10)，则数组中的x ＝( )A.32B.24C.18D.16解析 运行第一次，输出(1，0)，n ＝3，x ＝2，y ＝－2；运行第二次，输出(2，－2)，n ＝5，x ＝4，y ＝－4；运行第三次，输出(4，－4)，n ＝7，x ＝8，y ＝－6；运行第四次，输出(8，－6)n ＝9，x ＝16，y ＝－8；运行第五次，输出(16，－8)，n ＝11，x ＝32，y ＝－10；运行第六次，输出(32，－10)，n ＝13，x ＝64，y ＝－12. 答案 A10.在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( ) A.－7210B.－325C.－7212D.－8213解析 设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210，选A. 答案 A11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.1136B. 3C.533D.433解析 由三视图知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，其直观图如图所示，设E 为AD 的中点，则BE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，△PAD 为正三角形，四棱锥的底面是直角梯形，上底1，下底2，高2；棱锥的高为3，∴体积V ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×（1＋2）×2×3＝3，故选B. 答案 B12.已知函数f (x )＝x ＋x ln x ，若k ∈Z ，且k (x －2)＜f (x )对任意的x ＞2恒成立，则k 的最大值为( ) A.3B.4C.5D.6解析 先画f (x )＝x ＋x ln x 的简图，设y ＝k (x －2)与f (x )＝x ＋x ln x 相切于M (m ，f (m ))(m ＞2)， 所以f ′(m )＝f （m ）m －2，即2＋ln m ＝m ＋m ln mm －2，可化为 m －4－2ln m ＝0，设g (m )＝m －4－2ln m .因为g (e 2)＝e 2－8＜0，g (e 3)＝e 3－10＞0， 所以e 2＜m ＜e 3，f ′(m )＝2＋ln m ∈(4，5)， 又k ∈Z ，所以k max ＝4，选B. 答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________. 解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点F 1(－2，0)，因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，所以－p2＝－2，解得p ＝2 2. 答案 2 214.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，3x －y －3≤0，2x ＋y －2≥0，则目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为________.解析 作出可行域如图所示：作直线l 0：3x ＋y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：3x ＋y ＝z ，当直线l 经过点M 时，z ＝3x ＋y 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝2，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2，所以z max ＝3×53＋2＝7.答案 715.(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________. 解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.答案 －2516.已知平面四边形ABCD 为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB ＝2，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝3，则平面四边形ABCD 面积的最大值为________.解析 设AC ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理有：x 2＝22＋42－2×2×4cos B ＝20－16cos B ，同理，在△ADC 中，由余弦定理有：x 2＝32＋52－2×3×5cos D ＝34－30cos D ，即15cos D －8cos B ＝7，①又平面四边形ABCD 面积为S ＝12×2×4sin B ＋12×3×5sin D ＝12(8sin B ＋15sin D )，即8sin B ＋15sin D ＝2S ，② ①②平方相加得64＋225＋240(sin B sin D －cos B cos D )＝49＋4S 2， －240cos(B ＋D )＝4S 2－240， 当B ＋D ＝π时，S 取最大值230. 答案 230限时练(二) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |log 2(x 2－x )＞1}，则A ∩B ＝( ) A.(2，3) B.(2，3] C.(－3，－2)D.[－3，－2)解析 ∵x 2－2x －3≤0，∴－1≤x ≤3，∴A ＝[－1，3].又∵log 2(x 2－x )＞1，∴x 2－x －2＞0，∴x ＜－1或x ＞2，∴B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞).∴A ∩B ＝(2，3].故选B. 答案 B2.若复数z 满足(3－4i)z ＝5，则z 的虚部为( ) A.45B.－45C.4D.－4解析 依题意得z ＝53－4i ＝5（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝35＋45i ，因此复数z 的虚部为45.故选A. 答案 A3.设向量a ＝(m ，1)，b ＝(2，－3)，若满足a ∥b ，则m ＝( ) A.13B.－13C.23D.－23解析 依题意得－3m －2×1＝0，∴m ＝－23.故选D.答案 D4.某大学对1 000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图(如图)，则这1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是( )A.300B.400C.500D.600解析 依题意得，题中的1 000名学生在该次自主招生水平测试中成绩不低于70分的学生数是1 000×(0.035＋0.015＋0.010)×10＝600.故选D. 答案 D5.在等比数列{a n }中，若a 4、a 8是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则a 6的值是( ) A.± 2B.－ 2C. 2D.±2解析 由题意可知a 4＝1，a 8＝2，或a 4＝2，a 8＝1. 当a 4＝1，a 8＝2时，设公比为q ，则a 8＝a 4q 4＝2，∴q 2＝2，∴a 6＝a 4q 2＝2； 同理可求当a 4＝2，a 8＝1时，a 6＝ 2. 答案 C6.已知双曲线y 2t 2－x 23＝1(t ＞0)的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点重合，则此双曲线的离心率为( ) A.2B. 3C.3D.4解析 依题意得，抛物线y ＝18x 2即x 2＝8y 的焦点坐标是(0，2)，因此题中的双曲线的离心率e ＝2t ＝222－3＝2.故选A. 答案 A7.已知A (1，－1)，B (x ，y )，且实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≥2，x ≤2，则z ＝OA →·OB →的最小值为( ) A.2B.－2C.－4D.－6解析 画出不等式组所表示的可行域为如图所示的△ECD 的内部(包括边界)，其中E (2，6)，C (2，0)，D (0，2).目标函数z ＝OA →·OB →＝x －y .令直线l ：y ＝x －z ，要使直线l 过可行域上的点且在y 轴上的截距－z 取得最大值，只需直线l 过点E (2，6).此时z 取得最小值，且最小值z min ＝2－6＝－4.故选C. 答案 C8.将函数f (x )＝4sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位长度后得到函数g (x )的图象，若对于满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π6，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.5π12解析 由题意知，g (x )＝4sin(2x －2φ)，－4≤g (x )≤4，又－4≤f (x )≤4，若x 1，x 2满足|f (x 1)－g (x 2)|＝8，则x 1，x 2分别是函数f (x )，g (x )的最值点，不妨设f (x 1)＝－4，g (x 2)＝4，则x 1＝3π4＋k 1π(k 1∈Z )，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＋k 2π(k 2∈Z )，|x 1－x 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－φ＋（k 1－k 2）π(k 1，k 2∈Z )，又|x 1－x 2|min ＝π6，0＜φ＜π2，所以π2－φ＝π6，得φ＝π3，故选C.答案 C9.如图，多面体ABCD －EFG 的底面ABCD 为正方形，FC ＝GD ＝2EA ，其俯视图如下，则其正视图和侧视图正确的是( )解析 注意BE ，BG 在平面CDGF 上的投影为实线，且由已知长度关系确定投影位置，排除A ，C 选项，观察B ，D 选项，侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影，则BG ，BF 的投影为虚线，故选D. 答案 D10.已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(bc ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A.9B.8C.4D.2解析 依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1，4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×b c ＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1（bc ＞0），4c b ＝b c，即b ＝2c ＝23时取等号，因此4b ＋1c 的最小值是9.故选A. 答案 A11.已知四面体P －ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，PB ＝AB ＝2，则球O 的表面积为( )A.7πB.8πC.9πD.10π解析 依题意记题中的球的半径是R ，可将题中的四面体补形成一个长方体，且该长方体的长、宽、高分别是2、1、2，于是有(2R )2＝12＋22＋22＝9，4πR 2＝9π，∴球O 的表面积为9π.故选C. 答案 C12.已知函数y ＝f (x )是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3解析 依题意，记g (x )＝xf (x )， 则g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，g (0)＝0， 当x >0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x >0，g (x )是增函数，g (x )>0；当x <0时，g ′(x )＝x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋f （x ）x <0，g (x )是减函数，g (x )>0，在同一坐标系内画出函数y ＝g (x )与y ＝－1x的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是1.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为________.解析 由程序框图得S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝1－15＝45. 答案 4514.(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________.解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)， ∴A ＝2，b ＝1. 答案2 115.在△ABC 中，若AB ＝43，AC ＝4，B ＝30°，则△ABC 的面积是________.解析 由余弦定理AC 2＝BA 2＋BC 2－2·BA ·BC ·cos B 得42＝(43)2＋BC 2－2×43×BC ×cos 30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，△ABC 的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×4×12＝43；当BC ＝8时，△ABC的面积为12×AB ×BC ×sin B ＝12×43×8×12＝8 3.答案 43或8 316.已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________.解析 易知点P 、Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大.由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，∴PF 1→·PF 2→＝－2.答案 －2限时练(三) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 是虚数单位，若复数z 与复数z 0＝1－2i 在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 0·z ＝( ) A.5B.－3C.1＋4iD.1－4i解析 因为z 0＝1－2i ，所以z ＝1＋2i ，故z 0·z ＝5.故选A. 答案 A2.已知集合M ＝{y |y ＝4－x 2}，N ＝{x |y ＝ln(x 2－2x )}，则( ) A.M ⊂N B.N ⊂M C.M ∩N ＝∅D.M ∪N ≠R解析 M ＝[0，2]，N ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以M ∩N ＝∅.故选C. 答案 C3.在－20到40之间插入8个数，使这10个数成等差数列，则这10个数的和为( ) A.200B.100C.90D.70解析 S ＝10×（－20＋40）2＝100.故选B.答案 B4.我们知道，可以用模拟的方法估计圆周率π的近似值.如图，在圆内随机撒一把豆子，统计落在其内接正方形中的豆子数目，若豆子总数为n ，落到正方形内的豆子数为m ，则圆周率π的估算值是( ) A.n mB.2n mC.3nm.2mn解析 设圆的半径为r ，则P ＝m n ＝（2r ）2πr 2，得π＝2nm.故选B. 答案 B5.已知直线y ＝3x 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有两个不同的交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( ) A.(1，3) B.(1，2) C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析 直线y ＝3x 与C 有两个不同的公共点⇒b a＞3⇒e ＞2.故选D. 答案 D6.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A.0B.1C.32D.2解析 可行域如图所示.目标函数化为y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋12z 过点A (0，1)时，z 取得最大值2.答案 D7.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，则ω的一个可能值是( )A.12B.35C.34D.32解析 由函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3上单调递增，得2π3≤π2ω⇒ω≤34.由f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，得5π6＞π2ω，ω＞35，所以35＜ω≤34.故选C.答案 C8.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.43π＋833B.43π3＋8 3 C.43π＋833D.43π＋8 3解析 由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，其体积为：V ＝13Sh ＝2π＋43×23＝43π＋833. 答案 A9.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a ＝2，cos A ＝13，则△ABC 面积的最大值为( ) A.2B. 2C.12D. 3解析 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－23bc ≥2bc －23bc ＝43bc ，所以bc ≤3，S ＝12bc sin A ＝12bc ·223≤12×3×223＝ 2.故选B.答案 B10.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且 x ≠0)的图象可能为( )解析 ∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 D11.已知F 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过F ，A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴右侧的交点为B ，若FA →＝(2－1)AB →，则此双曲线的离心率是( ) A. 2B. 3C.2 2D. 5 解析 过F ，A 的直线方程为y ＝b c (x ＋c )①，一条渐近线方程为y ＝b ax ②，联立①②， 解得交点B ⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，由FA →＝(2－1)AB →，得c ＝(2－1)ac c －a，c ＝2a ，e ＝ 2.答案 A12.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－|x |， （x ≤1），x 2－4x ＋3， （x ＞1）.若f (f (m ))≥0，则实数m 的取值范围是( )A.[－2，2]B.[－2，2]∪[4，＋∞)C.[－2，2＋2]D.[－2，2＋2]∪[4，＋∞)解析 令f (m )＝n ，则f (f (m ))≥0就是f (n )≥0.画出函数f (x )的图象可知，－1≤n ≤1，或n ≥3，即－1≤f (m )≤1或f (m )≥3. 由1－|x |＝－1得x ＝－2.由x 2－4x ＋3＝1，x ＝2＋2，x ＝2－2(舍).由x 2－4x ＋3＝3得，x ＝4.再根据图象得到，m ∈[－2，2＋2]∪[4，＋∞).故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.如图，根据图中的数构成的规律，a 表示的数是________.1 2 2 3 4 3 4 12 12 4 5 48 a 48 5……解析 数表的规律是每行从第二个数起一个数等于它肩上的两个数的乘积，所以a ＝12×12＝144. 答案 14414.实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ≤－2，y ≥1，x ＋y ≤4，则x 2＋y2xy的取值范围是________.解析 x 2＋y 2xy ＝x y ＋y x .令k ＝y x ，则k 表示可行域内的点与坐标原点连线的斜率，由图形可知13≤k ≤1，根据函数y ＝1k ＋k 的单调性得2≤k ≤103.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，10315.已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________.解析 由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°. 答案 90°16.已知数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{x n }满足x 1＝3，x 1＋x 2＋x 3＝39，则x n ＝________.解析 设因为数列{a n }的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2log k x n ＋1＝log k x n ＋log k x n ＋2⇒x 2n ＋1＝x n x n ＋2，所以数列{x n }是等比数列，把x 1＝3代入x 1＋x 2＋x 3＝39得公比q ＝3(负值舍去)，所以x n ＝3×3n －1＝3n.答案 3n限时练(四) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9B.8C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C 2.复数1＋52－i(i 是虚数单位)的模等于( ) A.10B.10C. 5D.5解析 ∵1＋52－i ＝1＋5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋2＋i ＝3＋i ，∴其模为10.故选A. 答案 A3.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案 B4.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≥12，|x －y |≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDGS 四边形OCDE，p 3＝S 曲边多边形GEOCFS 四边形OCDE，因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B. 答案 B5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺D.1631尺 解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D. 答案 D7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1B.2C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D.答案 D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B. 答案 B9.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12B.π4C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A. 答案 A10.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值解析 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 C11.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192B.11C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b2a＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B12.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中，x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－ 2bc cos A ，得BC ＝7，设△ABC 的内切圆的半径为r ， 则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， ∴S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763.∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：则抽取的总人数为解析 由分层抽样得b 56＝3a ＝535，∴a ＝21，b ＝8，∴抽取的总人数为8＋3＋5＝16.答案 1614.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 16.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n－13.答案 （－2）n－13限时练(五) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A.[0，1]B.(0，1]C.[0，1)D.(－∞，1]解析 由M ＝{x |x 2＝x }＝{0，1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝(0，1]，得M ∪N ＝{0，1}∪(0，1]＝[0，1].故选A. 答案 A 2.已知复数z ＝21＋i＋2i ，则z 的共轭复数是( ) A.－1－i B.1－i C.1＋iD.－1＋i解析 由已知z ＝21＋i ＋2i ＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i ，选B. 答案 B3.已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝x 13，则在区间(－2，0)上，下列函数中与y ＝f (x )的单调性相同的是( )A.y ＝－x 2＋1 B.y ＝|x ＋1|C.y ＝e |x |D.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，x 3＋1，x ＜0解析 由已知得f (x )是在(－2，0)上的单调递减函数，所以答案为C. 答案 C4.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2 在一个周期内的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝( )A.1B.12C.－1D.－12解析 由图知，A ＝2，且34T ＝5π6－π12＝3π4，则周期T ＝π，所以ω＝2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝2，则2×π12＋φ＝π2，从而φ＝π3.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin 5π6＝1，选A.答案 A5.下列四个结论：①p ∧q 是真命题，则綈p 可能是真命题；②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x －1≥0”； ③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充要条件； ④当a ＜0时，幂函数y ＝x a在区间(0，＋∞)上单调递减. 其中正确结论的个数是( ) A.0个B.1个C.2个D.3个解析 ①若p ∧q 是真命题，则p 和q 同时为真命题，綈p 必定是假命题； ②命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0－1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x －1≥0”； ③“a ＞5且b ＞－5”是“a ＋b ＞0”的充分不必要条件； ④y ＝x a⇒y ′＝a ·xa －1，当a ＜0时，y ′＜0，所以在区间(0，＋∞)上单调递减.选B.答案 B6.过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝( ) A.0B.5C.5D.503解析 由圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0得C (0，2)，半径r ＝ 5.∵过点A (3，1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，∴BA →·CB →＝0，∴CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＝5，所以选C.答案 C7.下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155，后因某未知原因第5组数据的y 值模糊不清，此位置数据记为m (如下表所示)，则利用回归方程可求得实数m 的值为( )A.8.3解析 x ＝196＋197＋200＋203＋2045＝200，y ＝1＋3＋6＋7＋m 5＝17＋m 5.由回归直线经过样本中心，17＋m5＝0.8×200－155⇒m ＝8.故选D.答案 D8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于( ) A.2 B.1 C.23D.223解析 由三视图知：几何体是三棱柱削去一个同高的三棱锥，其中三棱柱的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，三棱锥的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V ＝12×1×1×2－13×12×1×1×2＝23.故选C.答案 C9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是( )A.14B.15C.16D.17解析 由程序框图可知，从n ＝1到n ＝15得到S ＜－3，因此将输出n ＝16. 答案 C10.若实数x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为a ，b ，则z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值的概率为( ) A.56B.25C.15D.16解析 约束条件为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，－1)，B (－2，－1)，C (0，1)，要使函数z ＝2ax ＋by 在点(2，－1)处取得最大值，需满足－2ab≤－1⇒b ≤2a ，将一颗骰子投掷两次共有36个有序实数对(a ，b )，其中满足b ≤2a 有6＋6＋5＋5＋4＋4＝30对，所以所求概率为3036＝56.选A.答案 A11.如图所示，已知△EAB 所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，EA ＝EB ＝3，AD ＝2，∠AEB ＝60°，则多面体E －ABCD 的外接球的表面积为( ) A.16π3B.8πC.16πD.64π解析 将四棱锥补形成三棱柱，设球心为O ，底面重心为G ，则△OGD 为直角三角形，OG ＝1，DG ＝3，∴R 2＝4，∴多面体E －ABCD 的外接球的表面积为4πR 2＝16π.故选C. 答案 C12.已知函数f (x )＝a －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e (其中e 为自然对数的底数)与函数g (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2C.[1，e 2－2]D.[e 2－2，＋∞)解析 由已知得方程－(a －x 2)＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，设h (x )＝2ln x－x 2，求导得h ′(x )＝2x －2x ＝2（1－x ）（1＋x ）x ，因为1e ≤x ≤e，所以h (x )在x ＝1处有唯一的极大值点，且为最大值点，则h (x )max ＝h (1)＝－1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e 2，h (e)＝2－e 2，且h (e)＜h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以h (x )的最小值为h (e)＝2－e 2.故方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，从而解得a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选C.答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.已知函数f (x )＝ln x ，若在(0，3e)上随机取一个数x ，则使得不等式f (x )≤1成立的概率为________.解析 ∵ln x ≤1⇔ln x ≤ln e ⇔0<x ≤e ，故所求概率p ＝e －03e －0＝13.答案 1314.已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，则向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是________.解析 依题意得：(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0，因此向量a ＋b 在向量a 方向上的投影是0. 答案 015.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a ＝______. 解析 因为抛物线的准线为x ＝－p 2，则有1＋p2＝5，得p ＝8，所以m ＝4，又双曲线的左顶点坐标为(－a ，0)，则有41＋a ＝1a ，解得a ＝19.答案 1916.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |，x ＜1，ln x ，x ≥1，若命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，则实数k 的取值范围是________.解析 当x ＜1时，f (x )＝－|x 3－2x 2＋x |＝－|x (x －1)2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1）2，x ≤0，－x （x －1）2，0＜x ＜1，当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)(3x －1)＞0，f (x )是增函数；当0＜x ＜1时，f ′(x )＝－(x －1)(3x－1)，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1上是增函数，作出函数y ＝f (x )在R 上的图象，如图所示.命题“∃t ∈R ，且t ≠0，使得f (t )≥kt ”是假命题，即对任意的t ∈R ，且t ≠0，f (t )＜kt 恒成立，作出直线y ＝kx ，设直线y ＝kx 与函数y ＝lnx (x ≥1)的图象相切于点(m ，ln m )，则由(ln x )′＝1x ，得k ＝1m ，即ln m ＝km ，解得m ＝e ，k ＝1e.设直线y ＝kx 与y ＝x (x －1)2(x ≤0)的图象相切于点(0，0)，所以y ′＝(x －1)(3x －1)，则k ＝1，由图象可知，若f (t )＜kt 恒成立，则实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤1e ，1限时练(六) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知复数z 1＝1－i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2i等于( )A.2iB.－2iC.2＋ID.－2＋i解析z 1z 2i ＝（1－i ）（1＋i ）i＝－2i.故选B.答案 B2.已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R }，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A.－3∈A B.3∉B C.A ∩B ＝BD.A ∪B ＝B解析 依题意得，A ＝[－1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)，∴A ∩B ＝B .故选C. 答案 C3.若f (x )＝sin(2x ＋θ)，则“f (x )的图象关于x ＝π3对称”是“θ＝－π6”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析 若f (x )的图象关于x ＝π3对称，则2π3＋θ＝π2＋k π，k ∈Z ，即θ＝－π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，θ＝－π6；当k ＝1时，θ＝5π6.若θ＝－π6时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π3＋k π2，k ∈Z ，当k ＝0时，f (x )的图象关于x ＝π3对称.故选B. 答案 B4.若1a ＜1b＜0，则下列四个不等式恒成立的是( )A.|a |＞|b |B.a ＜bC.a 3＜b 3D.a ＋b ＜ab解析 由1a ＜1b＜0可得b ＜a ＜0，从而|a |＜|b |，即A 、B 项不正确；b 3＜a 3，即C 项不正确；a ＋b ＜0，ab ＞0，则a ＋b ＜ab ，即D 项正确.故选D.答案 D5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.12a ＋b B.12a －b C.a ＋12bD.a －12b解析 连接CD 、OD ，∵点C 、D 是半圆弧AB 的两个三等分点，∴AC ︵＝BD ︵＝CD ︵，∴CD ∥AB ，∠CAD ＝∠DAB ＝13×90°＝30°，∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°，由此可得∠CAD ＝∠DAO ＝30°，∴AC ∥DO ，∴四边形ACDO 为平行四边形，∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .故选A.答案 A6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝5b sin C ，且cos A ＝5cos B cos C ，则tan A 的值为( ) A.5B.6C.－4D.－6解析 由正弦定理得sin A ＝5sin B sin C ①，又cos A ＝5cos B cos C ②，②－①得，cosA －sin A ＝5(cosB cosC －sin B sin C )＝5cos(B ＋C )＝－5cos A ，∴sin A ＝6cos A ，∴tan A ＝6.故选B .答案 B7.如图是一个算法的流程图，若输入x 的值为2，则输出y 的值是( ) A.0 B.－1 C.－2D.－3解析 由程序框图知，x ＝2，y ＝12×2－1＝0，|0－2|＞1；x ＝0，y＝0－1＝－1，|－1－0|＝1；x ＝－2，y ＝12×(－2)－1＝－2，|－2＋2|＜1满足条件，输出y 为－2，结束程序.故选C. 答案 C8.若过点(3，－3)的直线l 将圆C ：x 2＋y 2＋4y ＝0平分，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 由题意可知直线l 过圆C ：x 2＋y 2＋4y ＝0的圆心(0，－2)，且直线l 过点(3，－3)，∴直线l 的斜率k ＝－3－（－2）3－0＝－33，又直线l 的倾斜角α∈[0，π)，k ＝tan α，∴α＝5π6. 答案 D9.椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0)与直线y ＝1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32，则ba＝( ) A.32B.233C.932D.2327解析 设交点分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点为(x 中，y 中)，代入椭圆方程得ax 21＋by 21＝1，ax 22＋by 22＝1，由两式相减整理得：b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，即b a ·y 1－y 2x 1－x 2·y 中x 中＝－1，又y 中x 中＝y 中－0x 中－0＝32，可得b a ·(－1)·32＝－1，即b a ＝233.故选B. 答案 B10.已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2 014＝( )A.1 006×2 013B.1 006×2 014C.1 007×2 013D.1 007×2 014解析 在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，∴a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2a 2＝2，∴a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，∴S 2 014＝2 014×2 0132＝1 007×2 013.故选C. 答案 C11.已知函数f (x )＝x 3＋2bx 2＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]，则f (－1)的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，6 C.[3，12]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12解析 f ′(x )＝3x 2＋4bx ＋c ，依题意知，方程f ′(x )＝0有两个根x 1、x 2，且x 1∈[－2，－1]，x 2∈[1，2]等价于f ′(－2)≥0，f ′(－1)≤0，f ′(1)≤0，f ′(2)≥0.由此得b 、c满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧12－8b ＋c ≥0，3－4b ＋c ≤0，3＋4b ＋c ≤0，12＋8b ＋c ≥0，满足这些条件的点(b ，c )的区域为图中阴影部分.由题设知f (－1)＝2b －c ，由z ＝2b －c ，将其转化为直线c ＝2b －z ，当直线z ＝2b －c 经过点A (0，－3)时，z 最小，其最小值z min ＝3；当直线z ＝2b －c 经过点B (0，－12)时，z 最大，其最大值z max ＝12. 答案 C12.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是A 1D 1的中点，Q 是A 1B 1上任意一点，E 、F 是CD 上任意两点，且EF 长为定值，现有下列结论：①异面直线PQ 与EF 所成的角为定值；②点P 到平面QEF 的距离为定值；③直线PQ 与平面PEF 所成的角为定值；④三棱锥P －QEF 的体积为定值.其中正确结论的个数为( ) A.0B.1C.2D.3解析 当点Q 与A 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角为π2；当点Q 与B 1重合时，异面直线PQ 与EF 所成的角不为π2，即①错误.当点Q 在A 1B 1上运动时，三棱锥P －QEF 的底面△QEF的面积以及三棱锥的高都不变，∴体积不变，即②正确.④也正确.当点Q 在A 1B 1上运动时，直线QP 与平面PEF 所成的角随点Q 的变化而变化，即③错误.故选C. 答案 C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物. 如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.解析 从茎叶图上可以观察到：甲监测点的样本数据比乙监测点的样本数据更加集中，因此甲地浓度的方差较小. 答案 甲14.如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则该点落在四面体内的概率为________.解析 由题意可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，则几何体的体积为13×12×6×3×4＝12，外接球的直径为42＋（32）2＋（32）2＝213，∴外接球的半径为13，体积为52133π，∴该点落在四面体内的概率P ＝1252133π＝913169π.答案913169π15.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意a 、b ∈R ，a *b 为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a ∈R ，a *0＝a ；(2)对任意a 、b ∈R ，a *b ＝ab ＋(a *0)＋(b *0). 关于函数f (x )＝(e x)*1ex 的性质，有如下说法：①函数f (x )的最小值为3；②函数f (x )为偶函数；③函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]. 其中所有正确说法的序号为________.解析 依题意得f (x )＝(e x )*1e x ＝e x ·1e x ＋[(e x )*0]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x *0＝1＋e x＋1e x ，其中x ∈R .∴f ′(x )＝e x－1e x ，令f ′(x )＝0，则x ＝0，∴函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴当x ＝0，f (0)min ＝3，即①正确，③错误.又f (－x )＝1＋e －x ＋1e －x ＝1＋e x＋1e x ＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，即②正确. 答案 ①② 16.若关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，则实数k 的取值范围是________. 解析 由于关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有四个不同的实根，x ＝0是此方程的一个根，故关于x 的方程|x |x ＋2＝kx 2有3个不同的非零的实数解.∴方程1k ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0有3个不同的非零的实数解，即函数y ＝1k 的图象和函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2），x ＞0，－x （x ＋2），x ＜0的图象有3个交点，画出函数g (x )图象，如图所示， 故0＜1k＜1，解得k ＞1.答案 (1，＋∞)限时练(七) (限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2＜16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A.A ∪B ＝R B.A ∪(∁U B )＝R C.(∁U A )∪B ＝RD.A ∩(∁U B )＝A解析 因为A ＝{x |－4＜x ＜4}，B ＝{x |x ＞4}，所以∁U B ＝{x |x ≤4}，所以A ∩(∁U B )＝A ，故选D. 答案 D2.已知复数z ＝2－i x －i 为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( )A.－12B.12C.－3D.13解析 z ＝2－i x －i ＝（2－i ）（x ＋i ）x 2＋1＝2x ＋1＋（2－x ）i x 2＋1，因为复数z ＝2－ix －i为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0，2－x ≠0，即x ＝－12，故选A.答案 A3.设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B. 答案 B。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练(十一)文
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十一）文(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合A ＝{x |3＋2x －x 2＞0}，集合B ＝{x |2x＜2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 ∵A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C 2.若复数z ＝a ＋3ii＋a 在复平面上对应的点在第二象限，则实数a 可以是( )A.－4B.－3C.1D.2解析 若z ＝a ＋3ii＋a ＝(3＋a )－a i 在复平面上对应的点在第二象限，则a ＜－3，选A.答案 A3.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝13，则cos x 等于( )A.13B.－13C.223D.±223解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14cos π7＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －9π14sin π7＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ＝13，即cos x ＝－13. 答案 B4.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21B.42C.63D.84解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 答案 B5.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，直线x ＝a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，且直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，则双曲线的离心率为( ) A. 5B.3C.2D. 2解析 易得点A 坐标为(a ，b )，∵直线AF 与双曲线的一条渐近线关于直线y ＝b 对称，∴直线AF 的斜率为－b a，即ba －c＝－b a ⇒c a＝2.答案 C6.已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m 、n 的比值m n＝( )A.1B.13C.38D.29解析 ∵图中甲的数据为27，39，30＋m ， 乙的数据为20＋n ，32，34，38.∴乙的中位数为33，∴m ＝3，∴甲的平均数x 甲＝33， ∴x 乙＝33＝20＋n ＋32＋34＋384，∴n ＝8，∴m n ＝38.答案 C7.如图是一个程序框图，若输出i 的值为5，则实数m 的值可以是 ( ) A.3 B.4 C.5D.6解析 S ＝2，i ＝2，2≤2m ；S ＝6，i ＝3，6≤3m ；S ＝13，i ＝4，13≤4m ；S ＝23，i ＝5，23＞5m ，此时程序结束，则134≤m ＜235，故选B. 答案 B8.如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为( )A.4B.4 2C.4 3D.8解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，面积最小的面为面VAB ，S △VAB ＝12×2×42＝4 2. 答案 B9.将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后的图形关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12C.－12D.－32解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，它的图象关于原点对称， ∴π3＋φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝k π－π3，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为f (0)＝－32. 答案 D10.已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A.10B.9C.8D.5解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0， 得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0， 解得cos A ＝15，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b ＝5. 答案 D11.双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，F 1，F 2为C的焦点，A 为双曲线上一点，若又|F 1A |＝2|F 2A |，则cos∠AF 2F 1＝( ) A.32B.54C.55D.14解析 因为双曲线的一条渐近线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以b ＝2a ，又|F 1A |＝2|F 2A |，且|F 1A |－|F 2A |＝2a ，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a ，而c 2＝5a 2⇒2c ＝25a ，所以cos∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|AF 2|2－|AF 1|22|F 1F 2||AF 2|＝20a 2＋4a 2－16a 22×25a ×2a＝55. 答案 C12.若对∀x ，y ∈[0，＋∞)，不等式4ax ≤e x ＋y －2＋ex －y －2＋2恒成立，则实数a 的最大值是( ) A.14 B.1 C.2D.12解析 因为e x ＋y －2＋ex －y －2＋2＝e x －2(e y ＋e －y)＋2≥2(ex －2＋1)，再由2(ex －2＋1)≥4ax ，可有2a ≤1＋ex －2x，令g (x )＝1＋ex －2x，则g ′(x )＝ex －2（x －1）－1x2，可得g ′(2)＝0，且在(2，＋∞)上g ′(x )＞0，在[0，2)上g ′(x )＜0，故g (x )的最小值为g (2)＝1，于是2a ≤1，即a ≤12.答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.从3名男生和2名女生中选出2人参加某个座谈会，则至少有一名女生参加的概率是________.解析 设3名男生分别为A ，B ，C ，2名女生分别为x ，y ，则从中选出2人，有如下情况：AB ，AC ，Ax ，Ay ，BC ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，xy 共10种基本事件，其中至少有一名女生参加的情况有7种.故所求概率为P ＝710.答案71014.已知向量e 1，e 2不共线，a ＝2e 1＋m e 2，b ＝n e 1－3e 2，若a ∥b ，则mn ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即2e 1＋m e 2＝λ(n e 1－3e 2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝2，m ＝－3λ，得mn ＝－6.答案 －615.如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，则z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________.解析 根据约束条件画出可行域，可判断当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值为12，即11＋a ＝12⇒a＝1. 答案 116.在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝13＋a n.记P n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________.解析 ∵1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），b n ＝13＋a n ，∴b n ＝a n 3a n ＋1，1a n ＋1＝1a n －1a n ＋3＝1a n－b n ，∴P n ＝a 13a 2·a 23a 3·…·a n 3a n ＋1＝13n ＋1·a n ＋1，S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝3－1a n ＋1， 则3n ＋1·P n ＋S n ＝1a n ＋1＋3－1a n ＋1＝3.答案 3。
创新设计(全国通用)高考数学二轮复习 小题综合限时练(三)文(2021年整理)
16.已知数列｛an}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，各项都是正数的数列｛xn}满足x1＝3，x1＋x2＋x3＝39， 则xn＝________.
解析 设
因为数列｛an}的各项取倒数后按原来顺序构成等差数列，所以2logkxn＋1＝logkxn＋logkxn＋2⇒x ＝xnxn＋2，所以数列{xn}是等比数列，把x1＝3代入x1＋x2＋x3＝39得公比q＝3（负值舍去）,所以xn＝3×3n－1＝3n.
V＝ Sh＝ ×2 ＝ 。
答案 A
9。已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a＝2，cosA＝ ，则△ABC面积的最大值为（ )
A.2B。 C. D。
解析 由a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－ bc≥2bc－ bc＝ bc，
所以bc≤3,S＝ bcsinA＝ bc· ≤ ×3× ＝ 。故选B.
再根据图象得到，m∈[－2,2＋ ］∪［4,＋∞）。故选D.
答案 D
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)
13。如图，根据图中的数构成的规律，a表示的数是________.
1
2 2
3 4 3
4 12 12 4
5 48a48 5
……
解析 数表的规律是每行从第二个数起一个数等于它肩上的两个数的乘积，所以a＝12×12＝144.
答案 B
10。函数f（x）＝ cosx(－π≤x≤π且x≠0）的图象可能为( )
解析 ∵f(x)＝（x－ )cosx，∴f(－x）＝－f（x)，
∴f（x)为奇函数,排除A，B；当x→π时，f（x)＜0，排除C。故选D.
答案 D
11.已知F为双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0）的左焦点,点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若 ＝（ －1) ,则此双曲线的离心率是( ）
创新设计(全国通用)高考数学二轮复习 小题综合限时练(十)文(2021年整理)
2017届高考数学二轮复习小题综合限时练(十）文(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1。
在复平面内，复数6＋5i，2＋4i（i为虚数单位)对应的点分别为A、C.若C为线段AB 的中点,则点B对应的复数是( )A.－2＋3iB.4＋iC。
－4＋i D。
2－3i解析∵两个复数对应的点分别为A(6，5)、C（2，4)，C为线段AB的中点，∴B(－2，3）,即其对应的复数是－2＋3i。
故选A。
答案A2.如图，设全集U为整数集，集合A＝{x∈N｜1≤x≤8｝，B＝{0,1，2},则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（)A.3B.4C.7 D。
8解析依题意，A∩B＝{1，2},该集合的真子集个数是22－1＝3.故选A。
答案A3.对具有线性相关关系的变量x、y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表,错误!x＋错误!，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为( )A.210 B。
210.5 C.211。
5 D.212。
5x y解析依题意得＝错误!(2＋4＋5＋6＋8）＝5,＝错误!(20＋40＋60＋70＋80）＝54,回归直线必过中心点(5，54)，于是有错误!＝54－10.5×5＝1.5，当x＝20时，y＝10。
5×20＋1。
5＝211。
5.故选C.答案C4。
已知实数x、y满足不等式组错误!若z＝x－y,则z的最大值为( ）A。
3 B。
4 C.5 D。
6解析作出不等式组错误!所对应的可行域（如图所示）,变形目标函数为y＝x－z，平移直线y＝x－z可知，当直线经过点(3，0)时，z取最大值，代值计算可得z＝x－y的最大值为3。
故选A.答案A5.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60° ，则错误!·错误!＝（)A。
－32a2 B.－错误!a2C。
错误!a2 D.错误!a2解析如图所示，由题意,得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°。
创新设计(全国通用)2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练(十二)文
2017届高考数学二轮复习 小题综合限时练（十二）文(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知z 是复数，i 是虚数单位，(1－i)z 在复平面中对应的点为P ，若P 对应的复数是模等于2的负实数，那么z ＝( ) A.－1－iB.－1＋iC.1－iD.－i解析 由已知得(1－i)z ＝－2，∴z ＝－21－i ＝－2（1＋i ）2＝－1－i.故选A.答案 A2.设集合S ＝{0，a }，T ＝{x ∈Z |x 2＜2}，则“a ＝1”是“S ⊆T ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 T ＝{x ∈Z |x 2＜2}＝{－1，0，1}，当a ＝1时，S ＝{0，1}∴S ⊆T ；∴“a ＝1”是“S ⊆T ”的充分不必要条件.故选A. 答案 A3.抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是( ) A.(0，a ) B.(a ，0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116aD.⎝⎛⎭⎪⎫116a ，0解析 抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)化为标准方程x 2＝14a y ，因此其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116a .故选C.答案 C4.从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为( ) A.75B.77C.76D.78解析 分段间隔k ＝805＝16，则可以估计最大编号为28＋16×3＝76.答案 C5.若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程为( )A.(x －3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝1 B.(x －2)2＋(y －1)2＝1C.(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋(y －1)2＝1解析 ∵圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，∴半径是1，圆心的纵坐标也是1，设圆心坐标为(a ，1)，则|4a －3|5＝1，又a ＞0，∴a ＝2，∴该圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.故选B. 答案 B6.函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻的两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值是( ) A.－ 3 B.33C.1D. 3解析 由已知得f (x )的最小正周期为π2，则πω＝π2，∴ω＝2，∴f (x )＝tan 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan π3＝ 3.故选D.答案 D7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的k 的值是6，则满足条件的整数S 0一共有________个( )A.31B.32C.63D.64解析 输出k 的值为6说明最后一次参与运算的k ＝5，∴S ＝S 0－20－21－22－23－24－25＝S 0－63，上一个循环S ＝S 0－20－21－22－23－24＝S 0－31，∴31＜S 0≤63，总共32个满足条件的S 0.故选B. 答案 B8.已知某车间有男工25名，女工20名，要组织甲、乙两类工作小组，甲类组要求每组有5名男工，3名女工，乙类组要求每组有4名男工，5名女工，并且要求甲类组数不少于乙类组数，乙类组数大于1，则要使组成的组数最多，能组成甲、乙类的组数分别为( ) A.甲4组、乙2组 B.甲2组、乙2组 C.甲、乙各3组D.甲3组、乙2组解析 设甲类x 组，乙类y 组，则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，x ≥y ，y >1，总的组数z ＝x ＋y ，作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，寻找整点分析知选D. 答案 D9.已知函数f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a －3，则使函数f (x )至少有一个整数零点的所有正整数a 的值之和等于( )A.1B.4C.6D.9解析 由已知f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a －3存在整数零点，∴方程ax 2＋(1－2a )x ＋a －3＝0有整数解，∴a (x －1)2＝3－x ，显然x ＝1不是其解，∴a ＝3－x （x －1）2，由于a 为正整数，∴a ＝3－x（x －1）2≥1，∴－1≤x ≤2，分别以x ＝－1，0，2代入求得a ＝1，3，∴所有正整数a 的值之和等于4，故选B. 答案 B10.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，则该椭圆离心率的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫63，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 由题知AF ⊥BF ，根据椭圆的对称性，AF ′⊥BF ′(其中F ′是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF ′是矩形，于是|AB |＝|FF ′|＝2c ，|AF |＝2c sin α，|AF ′|＝2c cos α，根据椭圆的定义，|AF |＋|AF ′|＝2a ，∴2c sin α＋2c cos α＝2a ，∴e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π4，∴α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1，∴e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，63.故选A. 答案 A11.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝|n －13|，那么满足a k ＋＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝102的正整数k ( ) A.有3个B.有2个C.有1个D.不存在解析 如果 k ≥13，则a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19≥0＋1＋…＋19＝190＞102，∴k ＜13，设k ＋i ＝13，0＜i ≤12，i 为整数，则a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝i ＋(i －1)＋…＋2＋1＋0＋1＋2＋…＋(19－i )＝i （i ＋1）2＋（19－i ）（20－i ）2＝102，即i 2－19i ＋88＝0，解得i ＝8或i＝11，此时k ＝5或k ＝2，即只有2个正整数k 满足等式a k ＋a k ＋1＋…＋a k ＋19＝102.故选B. 答案 B12.已知函数f (x )＝ln x ＋1ln x，则下列结论中正确的是( ) A.若x 1、x 2(x 1＜x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是增函数 B.若x 1、x 2(x 1＜x 2)是f (x )的极值点，则f (x )在区间(x 1，x 2)内是减函数 C.∀x ＞0，且x ≠1，f (x )≥2D.∃x ＞0，f (x )在(x 0，＋∞)上是增函数 解析 ∵f (x )＝ln x ＋1ln x的定义域为{x |x >0，且x ≠1}， ∴f ′(x )＝1x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1（ln x ）2，令f ′(x )＝0，则x ＝1e 或e ，f (x )，f ′(x )随x 的变化如下表：由上表可知，A 项、B 项错误.当0＜x ＜1时，ln x ＜0，∴f (x )＝ln x ＋ln x≤－2（－ln x ）·1－ln x ＝－2，当且仅当ln x ＝1ln x ，即x ＝1e时取等号成立；当x ＞1时，ln x ＞0，∴f (x )＝ln x ＋1ln x ≥2ln x ·1ln x ＝2，当且仅当ln x ＝1ln x，即x ＝e 时取等号成立，∴C 项错误.故选D. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上).13.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是________.解析 根据已知几何体的三视图，可知该几何体为一个圆柱的上面横放着一个三棱柱，三棱柱的底面为底边为3，高为4的等腰三角形，三棱柱的高为6，因此三棱柱的体积为V 1＝Sh ＝36；圆柱的底面半径为4，高为8，其体积为V 2＝πr 2h ＝128π，故所求几何体的体积为V ＝V 1＋V 2＝36＋128π. 答案 36＋128π14.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________.解析 由a sin A ＝csin C得sin C ＝c sin A a ＝13×32＝12， 又0＜C ＜π3，所以C ＝π6，B ＝π－(A ＋C )＝π6.所以b c ＝sin Bsin C ＝sinπ6sinπ6＝1.答案 115.若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值是________.解析 易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1，2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心，把圆心坐标代入得：a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥4，当且仅当b a ＝a b ，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝12时等号成立.答案 416.在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________.解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →(借助mCB →＋NA →＝CA →)，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值32，因此|AD →|＝32，容易得到∠ACB ＝120°，又∵CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1， ∴O 在边AB 上，∴当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →|min ＝12.答案 12。
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小题综合限时练（四）文(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合M ＝{x |x 2－4x ＜0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，则m ＋n 等于( ) A.9B.8C.7D.6解析 ∵M ＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，且M ∩N ＝{x |3＜x ＜n }，∴m ＝3，n ＝4，∴m ＋n ＝3＋4＝7.故选C. 答案 C 2.复数1＋52－i(i 是虚数单位)的模等于( ) A.10B.10C. 5D.5解析 ∵1＋52－i ＝1＋5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝1＋2＋i ＝3＋i ，∴其模为10.故选A. 答案 A3.“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.答案 B4.(2015·湖北卷)在区间[0，1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1解析 在直角坐标系中，依次作出不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y ≥12，|x－y |≤12，xy ≤12的可行域如图所示：依题意，p 1＝S 多边形BACDE S 四边形OCDE ，p 2＝S 多边形BOAFDGS 四边形OCDE，p 3＝S 曲边多边形GEOCFS 四边形OCDE，因为S △ABO ＝S △BEG ＝S △DGF ，所以p 2<p 3<p 1.故选B. 答案 B5.《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( ) A.47尺 B.1629尺 C.815尺D.1631尺 解析 依题意知，每天的织布数组成等差数列，设公差为d ，则5×30＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故选B.答案 B6.多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是( )A.16＋33B.8＋632C.163D.203解析 将多面体分割成一个三棱柱和一个四棱锥，如图所示，∵正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，∴四棱锥底面BCFE 为正方形，S BCFE ＝2×2＝4，四棱锥的高为2，∴V N －BCFE ＝13×4×2＝83.可将三棱柱补成直三棱柱，则V ADM －EFN ＝12×2×2×2＝4，∴多面体的体积为203.故选D.答案 D7.已知直线l ：x ＋y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则m ＝( ) A.1B.2C.－5D.1或－3解析 △ABC 为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的22.圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|1＋m |2，依题意得|1＋m |2＝2，解得m ＝1或－3.故选D. 答案 D8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈(31，72)，则n 的值为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由程序框图知，当S ＝1时，k ＝2；当S ＝3时，k ＝3；当S ＝7时，k ＝4；当S ＝15时，k ＝5；当S ＝31时，k ＝6；当S ＝63时，k ＝7.∴n 的值为6.故选B. 答案 B9.若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝( )A.5π12 B.π4 C.π3D.π6解析 由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2，又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z )，x 0＝k π2－π12(k ∈Z )，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝5π12.故选A. 答案 A10.已知f (x )＝2x－1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析 由题意得，利用平移变换的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值. 答案 C11.设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A 、B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( ) A.192B.11C.12D.16解析 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b2a＝3，∴|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11.故选B. 答案 B12.在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中，x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( )A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则得动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形，其面积为△BOC 面积的2倍，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得BC ＝7，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， ∴S △BOC ＝12×BC ×r ＝12×7×263＝763.∴动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.答案 B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在答题中的横线上.)13.学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：则抽取的总人数为解析 由分层抽样得b 56＝3a ＝535，∴a ＝21，b ＝8，∴抽取的总人数为8＋3＋5＝16.答案 1614.若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，若目标函数z ＝ax ＋3y 仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a 的取值范围为________.解析 画出关于x 、y 约束条件的平面区域如图所示，当a ＝0时，显然成立.当a ＞0时，直线ax ＋3y －z ＝0的斜率k ＝－a3＞k AC ＝－1，∴0＜a ＜3.当a ＜0时，k ＝－a3＜k AB ＝2，∴－6＜a ＜0.综上所得，实数a 的取值范围是(－6，3). 答案 (－6，3)15.已知偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若区间[－1，3]上，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有3个零点，则实数k 的取值范围是________.解析 根据已知条件知函数f (x )为周期为2的周期函数；且x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |；而函数g (x )的零点个数便是函数f (x )和函数y ＝kx ＋k 的交点个数.∴①若k ＞0，如图所示，当y ＝kx ＋k 经过点(1，1)时，k ＝12；当经过点(3，1)时，k ＝14.∴14＜k ＜12.②若k ＜0，即函数y ＝kx ＋k 在y 轴上的截距小于0，显然此时该直线与f (x )的图象不可能有三个交点，即这种情况不存在.③若k ＝0，得到直线y ＝0，显然与f (x )图象只有两个交点.综上所得，实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1216.已知数列{a n }满足a 1＝－1，a 2＞a 1，|a n ＋1－a n |＝2n，若数列{a 2n －1}单调递减，数列{a 2n }单调递增，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝－3，a 4＝5，a 5＝－11，a 6＝21，……，然后从数字的变化上找规律，得a n ＋1－a n ＝(－1)n ＋12n，则利用累加法即得a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n 2n －1＝（－1）[1－（－2）n ]1－（－2）＝（－2）n－13.答案 （－2）n－13。