北师大版初中数学九(上)一元二次方程分节练习【含应用题和解方程】(带问题详解解析汇报)
新北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》章末练习题含答案解析 (19)
第二章《一元二次方程》章末练习题-6一、选择题1.在《代数学》中记载了求方程x2+8x=33正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+ 16=49，则该方程的正数解为7−4=3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时，构造出如图②所示正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为( )A．2√3B．2C．3D．4√52.下列多项式在实数范围内能分解因式的是( )A．x2+5B．2x2−4x−1C．x2−2xy+3y2D．x2−xy+y23.如图，在等边三角形ABC中，点D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边三角形EDC．若BC，CD的长为方程x2−15x+7m=0的两根，当m取符合题意的最大整数时，不同位置的点D共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设有x队参加比赛，根据题意，可列方程为( )A．12x(x−1)=15B．12x(x+1)=15C．x(x+1)=15D．x(x−1)=155.已知m，n是方程x2−2x−1=0的两根，则(m2−2m+1)(n2−2n−3)的值等于( )A．0B．−4C．4D．26.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm7.已知一元二次方程的两个根分别是x1=2和x2=−3，则这个一元二次方程可以是( )A．x2−6x+8=0B．x2+2x−3=0C．x2−x−6=0D．x2+x−6=08.用配方法解一元二次方程x2+2x−1=0，配方后得到的方程是( )A．(x−1)2=2B．(x+1)2=2C．(x+2)2=2D．(x−2)2=29.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2．设道路宽为x m，则以下方程正确的是( )A．32x+4x2=40B．32x+8x2=40C．64x−4x2=40D．64x−8x2=4010.下列方程中，有实数根的是( )A．√x−1=−x B．(x+2)2−1=0C．x2+1=0D．√x−4+√x−3=0二、填空题11.百货大厦某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售岀2件．商场要平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？若设每件童装应降价x元，则可列方程（方程不需化简）．12.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”．以下“关于2的等距方程”的说法，正确的为．（填空序号）①方程x2−4x=0是关于2的等距方程；②当5m=−n时，关于x的方程(x+1)(mx+n)=0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c=0是关于2的等距方程，则必有b=−4a(a≠0)；=0是关于2的等距方程．④当两根满足x1=3x2时，关于x的方程px2−x+3413.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下，a∗b=a(a+b)，如：3∗2=3×(3+2)=15．若x∗4=12，则x的值是．14.定义新运算“⋇”如下：当a≥b时，a⋇b=ab+b；当a<b时，a⋇b=ab−a．若(2x−1)⋇(x+2)=0，则x=．15.某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相等，设每次提价的百分率为x，依题意可列方程．16.不解方程，判断方程x2+2√2x+2=0的根的情况．17.某工程队在靠墙处，用100米的铁栅栏围一个占地面积为1200平方米的仓库，铁栅栏只围三边，则仓库的长和宽分别是．三、解答题18.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．(1) 当t为何值，DF=DA？(2) 当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．(3) 是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．(4) 请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的19，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．20.请阅读下列材料：已知方程x2+x−3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=y2．把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−3=0，化简，得y2+2y−12=0．故所求方程为y2+2y−12=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的3倍．21.“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．(1) 求该市这两年投入资金的年平均增长率．(2) 2020年该市计划保持相同的年平均増长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2020年该市能够帮助多少户建设保障性住房？22.选择适当的方法解下列方程．(1) (2x−1)2−4=0．(2) 32x2−x−2=0．23.解方程：x2−x=3−x2．24.关于x的一元二次方程m4x2−(m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．(1) 求m的取值范围；(2) 若m为正整数，求此方程的根．25.在信息技术飞速发展的今天，智能手机的使用呈现出低龄化的趋势，中小学生使用智能手机成为十分普遍的现象，但智能手机给生活带来便利的同时，也对中小学生的身心发展带来一些不利影响，比如手机屏幕对视力的伤害、关注各种“垃圾新闻”对时间的浪费、沉迷手机游戏缺少运动、人际交往等等，这些现象引起了家长、学校、社会的广泛关注．对此，成都某中学学生会发出了“中小学生使用非智能手机”的倡议，鼓励同学们全面发展，追逐梦想，把更多时间用在将来能够成就自我的地方．据统计，今年9月该中学使用非智能手机的同学有128人，倡议发出后，11月使用非智能手机的同学上升到了200人．(1) 若从9月到11月使用非智能手机的同学平均增长率相同，那么按此增长率增长到12月份该校使用非智能手机的同学将有多少人？(2) 某于机制造商发现当下市场上售卖的非智能手机大多品质不佳、外观设计陈旧，难以满足市场的需要，所以该厂决定投入12万元全部用于生产A型、B型两款精美的“学生专用手机”投入市场，一部A型手机生产成本为400元，售价为600元；一部B型手机生产成本为600元，售价为930元，该厂计划生产B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，求生产这批手机并全部售卖后可获得的最大利润．答案一、选择题 1. 【答案】C【解析】题图②中大正方的面积为 39+(52)2×4=39+25=64， ∴ 该方程的正数解为 √64−52×2=3．【知识点】几何问题2. 【答案】B【知识点】一元二次方程根的判别式3. 【答案】C【知识点】一元二次方程根的判别式4. 【答案】A【知识点】循环赛5. 【答案】B【解析】 ∵m ，n 是方程 x 2−2x −1=0 的两根， ∴m 2−2m −1=0，n 2−2n −1=0， ∴m 2−2m =1，n 2−2n =1，∴原式=(1+1)×(1−3)=2×(−2)=−4． 【知识点】一元二次方程的根6. 【答案】D【解析】设原铁皮的边长为 x cm ， 则盒子的底面边长为 (x −6)cm ， 由题意得 3(x −6)2=300， 解得 x =16（负值舍去）． 【知识点】几何问题7. 【答案】D【知识点】因式分解法8. 【答案】B【知识点】配方法9. 【答案】B【知识点】几何问题10. 【答案】B【知识点】一元二次方程根的判别式二、填空题11. 【答案】(40−x)(20+2x)=1200【解析】设每件童装应降价x元，依题意可列方程为(40−x)(20+2x)=1200．【知识点】销售问题12. 【答案】①④【解析】① ∵x2−4x=0，∴x(x−4)=0，∴x1=0，x2=4，则∣x2−2∣∣=∣x1−2∣∣，①正确．②当m≠0，n≠0时，(x+1)(mx+n)=0，则x1=−1，x2=−nm，∵5m=−n，∴x2=5，∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，此时，(x+1)(mx+n)=0是关于2的等距方程；当m=n=0时，原方程不是一元二次方程，故②错误．③由题意知方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2=−ba，∵方程是关于2的等距方程，∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，则x1−2=x2−2或x1−2=2−x2，∴x1=x2或x1+x2=4．当x1=x2时，x1=x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2=4时，即−ba=4，∴b=−4a．故ax2+bx+c=0(a≠0)是关于2的等距方程时，b不一定等于−4a，故③错误．④当方程px2−x+34=0的两根满足x1=3x2时，∵x1x2=34p ，x1+x2=1p，∴x1x2=34×1p=34(x1+x2)，∴3x22=34(3x2+x2)=3x2，∴x 22−x 2=0，∴x 2=1 或 x 2=0（舍去）， ∴x 1=3x 2=3， ∴∣x 1−2∣∣=∣x 2−2∣∣， 即 px 2−x +34=0 是关于 2 的等距方程，故④正确．故正确的为①④．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、因式分解法13. 【答案】 −6 或 2【解析】根据题意，得 x (x +4)=12，即 x 2+4x −12=0， ∴(x +6)⋅(x −2)=0， ∴x +6=0 或 x −2=0， 解得 x =−6 或 x =2． 【知识点】因式分解法14. 【答案】 −1 或 12【解析】①当 2x −1≥x +2，即 x ≥3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)+(x +2)， 由题意得 (2x −1)(x +2)+(x +2)=0， 解得 x =0 或 x =−2， ∵x ≥3，∴x =0 或 x =−2 均舍去；②当 2x −1<x +2，即 x <3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)−(2x −1)， 由题意得 (2x −1)(x +2)−(2x −1)=0， 解得 x =−1 或 x =12，均符合题意．【知识点】因式分解法15. 【答案】 180(1+x%)2=300【知识点】平均增长率16. 【答案】有两个相等实根【解析】判断根的情况需看 Δ 的正负性． Δ>0，有两个不相等实根； Δ=0 时，有两个相等实根； Δ<0 时，无实根．此题 Δ=(2√2)2−4×2=0， ∴ 有两个相等实根．【知识点】一元二次方程根的判别式17. 【答案】60米和20米或40米和30米【知识点】几何问题三、解答题18. 【答案】设有x家公司出席了这次交易会，x(x−1)=78,解得：x1=13,x2=−12(舍去).答：有13家公司出席了这次交易会．根据题意，得12【知识点】循环赛19. 【答案】(1) ∵∠A=60∘，∠B=90∘，∴∠C=30∘，在△DFC中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=4t，∴DF=2t∵AC=60，∴AD=60−4t，∵DF=DA，∴2t=60−4t，t=10，∴当t为10秒时，DF=DA．(2) 当△ADE为直角三角形时，有两种情况：①当∠AED=90∘时，则DE∥BC，∴∠ADE=∠C=30∘，∴AD=2AE，∴60−4t=2×2t，t=7.5；②当∠ADE=90∘时，∠AED=30∘，∴AE=2AD，∴2t=2(60−4t)，t=12．综上，当t=7.5秒或12秒时，△ADE为直角三角形．(3) 如图1，连接AF，∵FG是AC的中垂线，∴AF=CF，∴∠C=∠FAC=30∘，∴∠BAF=30∘，∴AF=2BF=2CF，∴BC=3BF，Rt△ABC中，AC=60，∴AB=30，BC=30√3，∴CF=20√3，Rt△CDF中，∠C=30∘，∴DF=20，CD=40，∴4t=40，t=10．(4) 如图2，由（3）知：BC=30√3，Rt△CDF中，CD=4t，∠C=30∘，∴DF=2t，CF=2√3t，由题意，S△DEF=12DF⋅BF=12⋅2t⋅(30√3−2√3t)=−2√3t2+30√3t，当S△DEF=19S△ABC时，−2√3t2+30√3t=12×30×30√3×19，解得t=15±5√52，∵0<t≤15，∴△DEF的面积是△ABC面积的19时，t为15±5√52秒．【知识点】直角三角形的判定、30度所对的直角边等于斜边的一半、几何问题、垂直平分线的性质20. 【答案】设所求方程的根为y，则y=3x，所以x=y3．把x=y3代入已知方程，得(y 3)2+y3−1=0，化简，得y2+3y−9=0，故所求方程为y2+3y−9=0．【知识点】一元二次方程的根21. 【答案】(1) 设年平均增长率为x，5(1+x)2=7.2.解得x1=−2.2(舍去),x2=0.2.∴x=0.2=20%．答：年平均增长率为20%．(2) 7.2×(1+20%)=8.64（亿元）=86400（万元），86400÷3=28800（户）．答：2020年能帮助28800户建设保障性住房．【知识点】平均增长率22. 【答案】(1) (2x−1)2−4=0. (2x−1)2=4.2x−1=±2.x1=32,x2=−12.(2) 32x 2−x −2=0.a =32,b =−1,c =−2.b 2−4ac =(−1)2−4×32×(−2)=13.x =1±√132×32.x 1=1+√133,x 2=1−√133.【知识点】公式法、直接开平方法23. 【答案】方法一：整理，得2x 2−x −3=0,∵a =2,b =−1,c =−3,∴Δ=(−1)2−4×2×(−3)=25>0,x =−b±√b 2−4ac 2a =1±√254=1±54,解得x 1=32,x 2=−1.【解析】方法二：原方程化为 2x 2−x −3=0，∴(2x −3)(x +1)=0，∴x 1=32 或 x 2=−1．【知识点】公式法、因式分解法24. 【答案】(1) ∵Δ=[−(m −3)]2−4×m 4(m −1)=−5m +9，依题意，得 {m ≠0,Δ=−5m +9≥0,解得 m ≤95 且 m ≠0．(2) ∵m 为正整数，∴m =1．∴ 原方程为 14x 2+2x =0，解得 x 1=0，x 2=−8．【知识点】因式分解法、一元二次方程根的判别式25. 【答案】(1) 设从 9 月到 11 月使用非智能手机的同学平均增长率为 x ，依题意得：128(1+x )2=200.解得，x 1=0.25=25%,x 2=−2.25(舍去).∴ 按此增长率增长，到 12 月份该校使用非智能手机的同学 =200(1+25%)=250（人）．答：到 12 月份该校使用非智能手机的同学有 250 人．(2) 设生产 A 型手机 x 只，则 B 型手机 y 只，依题意得：400x +600y =12000，∴y=200−23x，∵x，y均为整数，∴x为3的倍数，又∵B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，即：2x≤y≤2.3x，∴2x≤200−23x≤2.3x，解得：75≥x≥673789，∴x=75,72,69．设总利润为W．W=(600−400)x+(930−600)y=200x+330y∴W=200x+330(200−23x)=−20x+66000．∵W随x增大而减小，∴当x=69时，最大利润W=64620．答：生产这批手机A型69台，B型152台，全部售卖后可获得的最大利润为64620元．【知识点】分段计费(D)、平均增长率。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程(解析版)
第二章一元二次方程一、单选题1.下列各方程中，一定是关于X的一元二次方程的是（）A. 2x2+3=2x （5+x）B, ax2+c=0C.（a+1）炉+6升1=0D. （^2+l） x2- 3x+l=0【答案】D【解析】4.*+3=M5+、）整理得，10x-3=0,故不是一元二次方程；B.当a=0时，。
炉+。
=0不是一元二次方程：C.当a=-l时，（什1濡+6升1=0不是一元二次方程：D. aa2>0,二届+1 翔,匚d+lM -3x+l = 0 是一元二次方程：故选D.2.关于工的一元二次方程（。
-1）/+»/_] = 0的一个根是0,则。
值为（）A. 1B. -1C. 1 或—1D. i【答案】B【解析】把0代入原方程，再根据原方程是一元二次方程，得到关于a的方程及不等式，解之即可.解：根据题意得：解得：a=-\.故选：B.3.下列说法不正确的是()A.方程工2=%有一根为0B.方程/一1=0的两根互为相反数C.方程(x-l)2-l = 0的两根互为相反数D.方程N—x + 2 = 0无实数根【答案】C【解析】解：A./=x，移项得：x2—x = 0,因式分解得：x(x-l)=0,解得x=0或x=l,所以有一根为0,此选项正确;B. ?-1 = 0,移项得：W=i,宜接开方得：x=l或x=-l,所以此方程的两根互为相反数，此选项正确:C. *-1)2-1 = 0,移项得：(X -1>=1,直接开方得：x-l=l或解得x=2或x=0,两根不互为相反数，此选项错误:D./ 7+2 = 0,找出a=l, b=-l, c=2,则二=l-8=-7V0,所以此方程无实数根，此选项正确.所以说法错误的选项是C.故选C.4.用配方法解一元二次方程2/—3x —1=0,配方正确的是().A. 3 工一一4)1716B.3丫X- -4J【答案】A【解析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.解：2X 2-3X -1 = 0移项得2/—3x = l ，,3 1二次项系数化1的厂--A = 一，3 配方得Y-二X + 2 1716故选：A本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边：（2）把二次项的 系数化为1：（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.5 .关于x 的一元二次方程（m-l ）x?-2mx + m+l = 0,下列说法正确的是（）.【答案】C【解析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案.（m-l ）x 2 - 2mx+ m + l = O 的判别式为： X —— 13 7=-+ 3 4;A.方程无实数根B.方程有两个相等的实数根C.方程有两个不相等的实数根D.方程的根无法确定△二（一2〃。
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
北师大版九年级上册数学解一元二次方程专项练习
北师大版九年级上册数学解一元二次方程专项练习百度文库-让每个人平等地提升自我本文为解一元二次方程专项练题。
以下是题目及答案：1、用配方法解下列方程：12x+25=2x+4x=10x+2211(4)x-2x-4=(3)x-6x=22答案：1) x=3/2 or x=-4/32) x=3 or x=-1/73) x=5/6 or x=-4/34) x=3 or x=-22、用配方法解下列方程：1) 6x^2-7x+1=03) 4x^2-3x=52答案：1) x=1/2 or x=4/33) x=4 or x=-13/23、用公式法解下列方程：1) 2x^2-9x+8=02) 5x^2-18=9x3) 16x^2+8x=34) 5x^2=4-2x答案：1) x=1 or x=4/22) x=3 or x=-3/53) x=1/4 or x=-1/24) x=2/5 or x=-14、运用公式法解下列方程:1=(2)x+6x+9=7(1)5x+2x-3) 5x+2=3x4) (x-2)(3x-5)=12答案：1) x=-3 or x=-22) x=-3/2 or x=1/33) x=2/3 or x=-54) x=2 or x=3/55、用分解因式法解下列方程：1) 9x^2+6x+1=03) (2x+3)^2=4(2x+3)答案：1) x=-1/3 or x=-1/33) x=-1/2 or x=-5/26、用适当方法解下列方程：1) (3-x)^2+x^2=52) 3x(x-1)=2-2x3) (3x-11)(x-2)=24) 2(x-3)^2=x^2-9答案：1) x=1 or x=-12) x=1/5 or x=-2/33) x=11/4 or x=3/24) x=-3 or x=57、解下列关于x的方程: 1) x^2+2x-2=02) 3x^2+4x-7=03) (x+3)(x-1)=5答案：1) x=-1+sqrt(3) or x=-1-sqrt(3)2) x=(-2+sqrt(19))/3 or x=(-2-sqrt(19))/33) x=2 or x=-48、解下列方程：1) (x-1)^2=43) 3x^2+5(2x+1)=0答案：1) x=3 or x=-13) x=-5/3 or x=-1/39、用适当方法解下列方程：1) x(x-14)=02) x^2+23x+3=03) x^2=x+564) x(5x+4)=5x+45) 4x-45=31x6) -3x+22x-24=227) (x+8)(x+1)=-128) (3x+2)(x+3)=x+14答案：1) x=0 or x=142) x=-23+sqrt(457) or x=-23-sqrt(457)3) x=8 or x=-74) x=1 or x=-1/55) x=-7/36) x=24/197) No real ns8) x=1/2 or x=-4/31.x1=143.x2=±(2-6i)。
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析含习题练习
第01讲_一元二次方程及其解法知识图谱一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程一般形式：2=0(0)ax bx c a++≠a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项()2210xx+=⨯()20ax bx c++=⨯()223253x x x--=⨯()()()121x x-+=√判断标准（1）只含有一个未知数（2）未知数的最高次数是2（3）整式方程方程(2)310mm x mx+++=是关于x的一元二次方程，则满足条件||2m=20m+≠北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程知识点解析系数（1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看（2）20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程方程()13242+=+x x 整理为一般式后为2630x x ++=∴二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3二．一元二次方程的解一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解（2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，将0x =代入方程，()2210010a a -⋅++-=，得1a =±三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．三．易错点：1.确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程；3.一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．概念例题1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A.2210x x+= B.20ax bx c ++=C.223253x x x --= D.()()121x x -+=【答案】D 【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．只有含有一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程.A ：2210x x +=变形后为()4100x x +==，是关于x 的四次方程；B ：20ax bx c ++=中当仅当0a ≠时才是关于x 的二次方程；C ：223253x x x --=变形后为250x --=，是关于x 的一次方程；D ：()()121x x -+=变形后为230x x +-=，是关于x 的二次方程；故本题选D ．例题2、方程()2310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______．【答案】2【解析】该题考查的是一元二次方程的定义．由题可知，||2m =且20m +≠，所以2m =例题3、若方程()211m x x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．【答案】0m ≥且1m ≠【解析】由题意可得，二次项系数10m -≠，即1m ≠0m ≥，所以m 的取值范围是0m ≥且1m ≠．例题4、方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______【答案】1，6，3【解析】先把原方程整理成一元二次方程的一般形式得2630x x ++=，所以二次项系数为1，一次项系数为6，常数项是3随练1、若03)2(22=-+--x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________。
北师大九年级上《2.1认识一元二次方程》课时练习含答案解析.doc
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程第一节认识一元二次方程课时练习一、选择题1. 如果方程（ k- 2）x2 - 3kx- 1=0 是一元二次方程，那么k 的值不可能是（）A . 0B . 2 C.- 2 D. 1答案： B解析：解答：∵方程（ k- 2）x2 - 3kx- 1=0 是一元二次方程，∴k- 2≠ 0，解得， k≠ 2．分析：一元二次方程的二次项系数不等于零．故选 B ．2．若方程（ m+2）x m =0 是关于 x 的一元二次方程，则（）A . m=2 B. m=- 2 C. m=± 2 D . m≠ 2答案： A解析：解答：∵方程（ m+2）m =0是关于x的一元二次方程，x∴|m|=2， m+2 ≠ 0，解得 m=2．故选 A ．分析：根据一元二次方程的定义，令系数不为0，指数为 2 即可解答．3. 下列方程是一元二次方程的是（）A . 2x+1=9 B. x2 +2 x+3=0 C. x+2x=7 D . 1 5 6x答案： B解析：解答：根据一元二次方程的定义可得x 2 +2x+3=0 是一元二次方程，故选： B．分析： A 是一元一次方程， B 是一元二次方程， C 是一元一次方程， D 是分式方程．4. 若关于 x 的方程m 1 x m2 1 mx 3 0 是一元二次方程，则m=（）A . 1B .- 1 C. ± 1 D. 无法确定答案： B2解析： 解答： ：∵关于 x 的方程 m 1 x m 1mx 3 0 是一元二次方程，∴ m 2 +1=2 ，且 m- 1≠ 0，解答， m=- 1．故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程 m 2 +1=2 ，且二次项系数 m- 1≠ 0，据此易求 m 的值．5. 方程 x23x是（）2A . 一元二次方程 B. 分式方程 C. 无理方程 D. 一元一次方程答案： A解析： 解答： ∵此方程含有一个未知数，并且未知数的次数为 2，∴此方程是一元二次方程． 故选 A ．分析：根据一元二次方程的定义进行解答即可．6. 若 a 2 x a 2 23 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是（）A . 0B . 2 C.- 2D. ± 2答案： C解析： 解答： ∵ a 2 x a 2 23 是关于 x 的一元二次方程，a 2 0∴2 ，a 22解得， a=- 2．故选 C ．分析：一元二次方程必须满足两个条件：（ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．7. 已知一元二次方程（ m- 2） x m）+3 x- 4=0，那么 m 的值是（ A . 2 B . ±2C.- 2 D. 1答案： C解析： 解答： 由一元二次方程的定义可知：m- 2≠ 0 且 m =2解得， a=- 2．故选 C ．分析：一元二次方程必须满足两个条件：（ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．8. 关于 x 的方程 kx 2- 6x+9=0 是一元二次方程，则 （ ）A . k ＜ 0 B. k ≠0 C. k ≥ 0D . k ＞ 0答案： B解析： 解答： ∵一元二次方程的二次项系数不能为 0，且 kx 2 - 6x+9=0 是一元二次方程，∴k ≠ 0故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义中，二次项系数不能为 0，直接求出 k 的取值范围．9. 方程（ m- 1） x |m|+1 - 2x =3 是关于 x 的一元二次方程，则有（ ）A . m=1 B. m=- 1C. m=± 1D . m ≠± 1答案： B解析： 解答： ∵方程（ m-1）x |m|+1 - 2x=3 是关于 x 的一元二次方程，m 1 0∴1 ，解得 m=- 1．m2故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于 m 的方程组，求出 m 的值即可．10. 若关于 x 的方程（ a- 1） x 2 +3x- 2=0 是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A . a ≥ 1 B. a ≠ 0 C. a ≠1 D. a ＞ 1解析：解答：根据题意，得a- 1≠ 0，解得， a≠ 1．故选 C．分析：本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．11. 下列式子中是一元二次方程的是（）A . xy+2=1B . （x2 +5） x=0C. x2 - 4x- 5 D . x2 =0答案： D解析：解答： A 、含有两个未知数，是二元二次方程，故本选项错误；B、未知数的次数是 3，是一元三次方程，故本选项错误；C、不是等式，故不是方程，故本选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故本选项正确．故选 D ．分析：根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．12. 如果（ m- 1）x2+2x- 3=0 是一元二次方程，则（）A . m≠ 0B . m≠ 1 C. m=0 D. m≠ - 12答案： B解析：解答：∵（ m- 1）x2 +2x-3=0 是一元二次方程，∴m- 1≠ 0，∴m≠ 1．故选 B ．分析：根据一元二次方程的定义列出关于m 的不等式，求出m 的值即可．13. 关于 x 的方程ax2 ax 2 0 是一元二次方程，则 a 满足（）A . a＞ 0 B. a=1 C. a≥ 0 D . a≠ 0a 0解析：解答：根据题意得，解得a＞0．a 0故选 A ．分析：本题根据一元二次方程的定义中：二次项系数不为0 以及算术平方根中的被开方数是非负数，即可求得 a 的取值范围．14. p x2 - 3x+ p2 - p=0 是关于 x 的一元二次方程，则（）A . p=1B . p＞ 0 C. p≠ 0 D . p 为任意实数答案： C解析：解答： p x2 - 3x+ p2 - p=0 关于 x 的一元二次方程，可知p≠0，选 C．分析：根据一元二次方程的一般形式是 a x2 +bx+c=0（ a， b，c 是常数，且a≠0），据此即可进行判断．15.关于x的方程a x2- 3x+3=0是一元二次方程，则a 的取值范围是（）A . a＞ 0 B. a≠ 0 C. a=1 D . a≥ 0答案： B解析：解答：由一元二次方程的特点可知a≠ 0．故选 B ．分析：根据一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数，且a≠ 0），据此即可进行判断．二、填空题16.试写出一个含有未知数 x 的一元二次方程 ________．答案：x2 - 2x+1=0解析：解答：答案不唯一，要符合一元二次方程的定义，保证二次项系数不为0，如x2 - 2x+1 =0 分析：一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a≠ 0）特别要注意 aax2叫二次项， bx 叫一次≠0 的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中项， c 是常数项．其中a， b， c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．17. 关于 x 的一元二次方程ax 2 - bx- c=0 的 a 的取值范围 ________．答案： a≠ 0解析：解答：：∵ax2 - bx- c=0 是关于 x 的一元二次方程，∴a≠0．故答案为： a≠ 0．分析：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程，可得出a的取值范围．18.当 k 满足条件 ________时，关于 x 的方程（ k- 3）x2 +2x- 7=0 是一元二次方程．答案： k≠ 3解析：解答：根据题意得k- 3≠0，解得 k≠ 3．故答案为k≠3．分析：根据一元二次方程的定义得到k- 3≠ 0，然后解不等式即可．19.关于x的方程ax2- 3x- 2=0是一元二次方程，则a________．答案：≠ 0解析：解答：使 x 的方程ax2 - 3x- 2=0 是一元二次方程，根据一元二次方程的定义可知：二次项系数不为0，∴a≠ 0．分析：根据一元二次方程的一般形式是ax 2 +bx+c=0（ a≠0， a， b， c 都是常数）及其定义，即可求解．20. 方程ax a 1 +3x- 1=0 是一元二次方程，则a=________ ．答案： 3 或- 3．解析：解答：根据题意得，|a|- 1=2 且 a≠ 0，由|a|- 1=2 得， a- 1=2 或 - a-1=2，解得 a=3 或 a=- 3，所以， a=3 或 - 3．故答案为： 3 或 - 3．分析：根据一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（ 2）二次项系数不为 0 列式求解即可．三．解答题21. 若（ m+1 ）x m 1 +6-2=0 是关于 x 的一元二次方程，求m 的值．答案： m=1解析：解答：因为是关于 x 的一元二次方程，这个方程一定有一个二次项，则（m+1）x|m|+1 一定是此二次项．m 1 0 所以得到1 ，m 2 解得 m=1．分析：一元二次方程的一般形式是： 2 bx c 0 a b，c是常数且a 0 aax + + = （，≠）特别要注意≠0 的条件．22.若关于x的方程（k24 ） x2+k 1 x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．答案： k≥ 1 且 k≠ 2.解析：解答：根据题意，k 24≠0且k-1≥0，解得k≥1且k≠ 2.分析：本题根据一元二次方程的定义，二次项系数不等于0，并且二次根式有意义的条件被开方数是非负数，即可求得k 的范围．23.已知关于x的一元二次方程 2 x a - 3 x b - 5=0 ，试写出满足要求的所有a， b 的值．答案：a=2， b=2 或a=2 ， b=1 或a=2，b=0，或a=1， b=2 或 a=0， b=2解析：解答：根据题意，a=2，b=2 或 a=2， b=1 或a=2 ， b=0 ，或a=1， b=2 或a=0， b=2 分析：本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．24. 试比较下列两个方程的异同，x2 +2x- 3=0 ，x2 +2x+3=0 ．答案：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1；④一次项系数均为2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等．不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解解析：解答：相同点：①都是一元二次方程；②都化成了一元二次方程的一般形式；③二次项系数均为1；④一次项系数均为2；⑤常数项的绝对值相等；⑥都是整系数方程等．不同点：①常数项符号相反；②前者方程左边可因式分解，后者实数范围内不能分解分析：从一元二次方程的概念、系数等进行比较．25.已知 a、b、 c 为三角形三个边，ax2 +bx（ x- 1）= cx2 - 2b 是关于 x 的一元二次方程吗？答案：是解析：解答：化简ax2 +bx（ x- 1） = cx2 - 2b，得（ a+b- c）x2 - bx+2b=0，∵a、 b、 c 为三角形的三条边，∴a+b＞ c，即 a+b- c＞0，∴ax2 +bx（x- 1） = cx2- 2b 是关于 x 的一元二次方程．分析：首先将ax 2+bx（x- 1）=cx2- 2b化简整理成（a+b- c）x2- bx+2b=0，然后根据一元二次方程的定义解答．。
北师大版初中数学九上一元二次方程分节练习含应用题和解方程带问题详解解析汇报
实用标准文档第二章一元一次方程分节练习第1节认识一元一次方程1、【基础题】下列方程中，一元二次方程共有（）．1x222220?3xy?4?2x120?x3x?x????4x3??0x⑤①②③④x3A．2个B．3个C．4个D．5个x的方程中，一定是一元二次方程的为（【基础题】下列关于）1.1、32222205x＝＋－0＝（x＋3）＝－xaxx＋bx＋c＝01－2 D. A. B. C. x22xmx3x－4mx＝＋3的取值范围是_________.是关于1.2、【基础题】若方程的一元二次方程，则22（3x＋2）＝（x－3）4化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和、【基础题】把方程2常数项.3、【综合Ⅰ】根据题意，列出一元二次方程：（1）已知直角三角形三边长为连续整数，求它的三边长；2m的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 120 苗圃的长和宽各是多少？（2）一个面积为2m的长方形，将它的一边剪短5 m，另一边剪短2 m，恰好变成一个正方形，这个正方形的（3）有一面积为54边长是多少？第2节用配方法求解一元二次方程4、【基础题】用配方法解下列方程：2222－2x－4＝010x＝x11－6x＝xx＝＋12x＋250x＋4）（3）（14 （）2 ；（）；；4.1、【基础题】用配方法解下列方程：2222＝4－2x5x9x－3x＝52x45x18＝6x7－x＋10－＝. 4）（；3 （））（1 ）（； 2 ；5、【综合Ⅱ】列方程解决问题：（1）体操方阵有8行12列，后又增加了69人，使得方阵增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？（2）印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？文案大全．实用标准文档（3）如左下图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的2m，道路的宽应为多少？850 一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为的速/s从点A出发，以3 cmcm，BC＝6 cm. 动点P4（）如右上图，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16之间的和点Q的速度向点D运动，何时点P为止；动点Q同时从点C出发，以2 cm/s运动，直到点度向点BB 10 cm？距离是用公式法求解一元二次方程第3节、【基础题】用公式法求下列一元二次方程的解：622x4＋1＝4－7x－18＝0xx. ）（2 ；（1）220＝4x＋4＝02x1＋x－5x＋. 4）；（3）（【基础题】用公式法解下列方程：6.1、220＝x＋＝09x1＋2x6－9x＋8（1）（2）；；220－12x＝－416xx＋8x＝3. ）（（3）4 ；、【基础题】运用公式法解下列方程:6.22279＝＋6x＋5xx＋2x－1＝0；(2) ；(1)2x3x＋2＝51＝x－5)(x－2)(3. 3（）（4）；2c、a、b x5－6x8＝）的值分别是、【基础题】用公式法解方程时，（6.38、5、－ D. 6、－6、－8 C. 56、8 、－、－ A. 5、68 B. 522aa bb53＋－3?ab －3a＋3. ，都有5★＝、＝，如3【综合Ⅱ】定义新运算“★”6.4、：对于任意实数★xx62，则实数若______.★＝的值是【基础题】不解方程，判断下列方程的根的情况：7、22x4y.09）＝2.4＋（y001）＋3＝－（x x7x2＋5＝4）. （3 ；（2）（1）；2x0?m02＋＝2mx－（m＋）x. ）（、7.1【综合Ⅲ】已知关于的方程1）求证：方程总有两个实数根；（m. 的值）若方程的两个实数根都是整数，求正整数（ 2文案大全．实用标准文档8、【综合Ⅱ】列方程解决问题（1）一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.?2200cm，3dm，求这个木箱的长和宽528 . 8 dm，长比宽多5 dm，体积是（2）长方体木箱的高是那么圆柱底面半径是多少？，全面积（也称表面积）是）圆柱的高为（315 cm（4）在一幅长90 cm、宽40 cm的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？（5）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m），另三边用木栏围成，木栏长40 m.222mmm吗？请问，鸡场的面积能达到180 吗？能达到210 吗？能达到200 （6）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（注：“尺”、“寸”、“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸.）aaa的值，求. PAB的面积是，18）（a1）、A（是正数）确定的△，0）、B（0（7）如图，由点P （14，第4节用因式分解法求解一元二次方程9、【基础题】用因式分解法解下列方程22（x＋2）（x－4）＝0x（x－2）＝x－2x＝x3x＝5x4. ）；；）（2（3）（1）（4；9.1、【综合Ⅰ】用分解因式法解下列方程：2＋6x＋9x1＝03x(x－1)＝2－2x；（2）；1（）2229＝x－23)(x－3))(2x＋3＝4(2x＋.；（3）（4）07)＝x－5)(x－(的根，则该三角形的周长为4，第三边的长是方程______.、9.2【综合Ⅰ】三角形两边的长是3和、【综合Ⅱ】解下列方程：9.3222235）3＝（2x＋＋x）（x－2（x）－x）＝x（12＝－－(x2)(x3)）；3；）（1 ；（2）（222＋y＝y2y＋43＋＝（x62）x＋.5）；）（4 （10、【综合Ⅰ】列方程解决问题：（1）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.（2）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m，2m.2 m，剩余空地面积为12 ，求原正方形空地的边长另一边减少了一元二次方程的根与系数的关系节* 第5【基础题】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：11、2202－＝xx2－306xx＋7＋＝. ）（）1 （；2文案大全．实用标准文档2x＝10－3x＝＋kx，则另一个根是______.11.1、【综合Ⅰ】一元二次方程的一个根是2xx－3x－1x＝0的两个实数根，【综合Ⅲ】设和是一元二次方程11.2、121122＋x＋x＝______. 则＝______，21xx21第6节应用一元二次方程12、【综合Ⅱ】列方程解决问题（面积和体积问题）：（1）一块长方形草地的长和宽分别为20 m和15 m，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积2m，求小路的宽度.为246（2）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如左下图所示，它的长为8 m，宽为5 m. 如果地毯中央长方形图案的2m，那么花边有多宽？面积为18，把耕地分成的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直））、如右上图所示，在宽为20 m，长为32 m（32，道路应为多宽？大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m已知盒子的容积）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子.（43cm. 400 ，求原铁皮的边长是【综合Ⅱ】列方程解决问题：12.1、2m）有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为15 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？（1要使这两个正方形的. 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形2（）将一条长为20cm2212cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 两个正方形的面积之和可能等于cm面积之和等于17. ? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由吗文案大全．实用标准文档2m，上口比渠底宽0.6 m0.78 已知断面的面积为，渠深比渠底少0.4 m，（3）如左下图，一条水渠的断面为梯形，求渠深.BCAC、A、B两点出发分别沿BC＝6 m，点P、Q同时由，（4）如右上图，Rt△ACB中，∠C ＝90°，AC＝8 m 面积的一半？ACBPCQ的面积是Rt△（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△方向向点C匀速移动★★★13、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题）元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少401）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利（若商.1元，商场平均每天可多售出2件库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价元，每件衬衫应降价多少元？场平均每天要赢利1200元时，平均每天能售2900元. 市场调研表明：当销售价为（2）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到. 平均每天就能多售出4台出8台；而当销售价每降低50元时，元，每台冰箱的定价应为多少元？5000千克，经市场调查发现，在进500）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出（3元，同时又20千克。
北师大版初中数学九(上)一元二次方程分节练习【含应用题和解方程】(带问题详解解析汇报)
第二章一元一次方程 分节练习 第1节 认识一元一次方程1、【基础题】下列方程中，一元二次方程共有（ ）．① ② ③ ④⑤ A ． 2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个1.1、【基础题】下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为 （ ）A. 02＝＋＋c bx axB. 2232）＋＝（－x xC. 0532＝－＋xx D. 012＝－x1.2、【基础题】若方程 22343x x mx ＝－＋ 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是_________.2、【基础题】把方程＝）＋（223x 423）－（x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 3、【综合Ⅰ】根据题意，列出一元二次方程：（1）已知直角三角形三边长为连续整数，求它的三边长；（2）一个面积为120 2m 的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少？（3）有一面积为54 2m 的长方形，将它的一边剪短5 m ，另一边剪短2 m ，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？第2节 用配方法求解一元二次方程4、【基础题】用配方法解下列方程：（1）025122＝＋＋x x ； （2）1042＝＋x x ； （3） 1162＝－x x ； （4） 0422＝－－x x 4.1、【基础题】用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x ； （2） x x 91852＝－； （3） 52342＝－x x ； （4）x x 2452－＝. 5、【综合Ⅱ】列方程解决问题：（1）体操方阵有8行12列，后又增加了69人，使得方阵增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？（2）印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？ （3）如左下图，在一块长35 m 、宽26 m 的矩形地面上，修建同2320x x +=22340x xy -+=214x x -=21x =2303xx -+=样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 2m ，道路的宽应为多少？（4）如右上图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm. 动点P 从点A 出发，以3 cm /s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2 cm /s 的速度向点D 运动，何时点P 和点Q 之间的距离是10 cm ？第3节 用公式法求解一元二次方程6、【基础题】用公式法求下列一元二次方程的解：（1）01872＝－－x x ； （2）x x 4142＝＋. （3）0452＝＋－x x ； （4）01422＝＋＋x x . 6.1、【基础题】用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x ； （2） 01692＝＋＋x x ； （3） 38162＝＋x x ； （4）01422＝－－x x . 6.2、【基础题】运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x ； (2) 7962＝＋＋x x ；（3） 2325x x ＝＋； （4） 1)53)(2(＝－－x x . 6.3、【基础题】用公式法解方程 2586x x ＝－ 时，c b a 、、的值分别是 （ ） A. 5、6、－8 B. 5、－6、－8 C. 5、－6、8 D. 6、5、－86.4、【综合Ⅱ】定义新运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝b a a ＋－32，如3★5＝53332＋－⨯. 若x ★2＝6，则实数x 的值是______. 7、【基础题】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）x x 7522＝＋； （2）x 4031＝）＋－（x ； （3）4y y 4.209.02）＝＋（.7.1、【综合Ⅲ】已知关于 x 的方程 0222＝＋）＋－（x m mx （0≠m ）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值. 8、【综合Ⅱ】列方程解决问题（1）一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.（2）长方体木箱的高是8 dm ，长比宽多5 dm ，体积是528 3dm ，求这个木箱的长和宽. （3）圆柱的高为15 cm ，全面积（也称表面积）是 200 2cm ，那么圆柱底面半径是多少？（4）在一幅长90 cm 、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？（5）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m ），另三边用木栏围成，木栏长40 m.请问，鸡场的面积能达到180 2m 吗？能达到200 2m 吗？能达到210 2m 吗？（6）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ （注：“尺”、“寸”、“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸.） （7）如图，由点P （14，1）、A （a ，0）、B （0，a ）（a 是正数）确定的△PAB 的面积是18，求a 的值.第4节 用因式分解法求解一元二次方程9、【基础题】用因式分解法解下列方程（1）x x 32＝； （2）x x 452＝； （3）042）＝－）（＋（x x ； （4）22－）＝－（x x x . 9.1、【综合Ⅰ】用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x ； （2） x x x 22)1(3－＝－；（3）)32(4)32(2＋＝＋x x ； （4）9)3(222－＝－x x .9.2、【综合Ⅰ】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程0)7)(5(＝－－x x 的根，则该三角形的周长为______. 9.3、【综合Ⅱ】解下列方程：（1）5）＝－（x x 23）＋（x x 2； （2）22322）＋＝（）－（x x ； （3）12)3)(2(＝－－x x ；（4）2362）＋＝（＋x x ； （5）2422＋＝＋y y y .10、【综合Ⅰ】列方程解决问题：（1）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.（2）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地面积为12 2m ，求原正方形空地的边长.* 第5节 一元二次方程的根与系数的关系11、【基础题】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）0672＝＋＋x x ； （2）02322＝－－x x .11.1、【综合Ⅰ】一元二次方程032＝－＋kx x 的一个根是 1＝x ，则另一个根是______.11.2、【综合Ⅲ】 设 1x 和 2x 是一元二次方程 0132＝－－x x 的两个实数根，则2111x x ＋＝______，2221x x ＋＝______.第6节 应用一元二次方程12、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（面积和体积问题）：（1）一块长方形草地的长和宽分别为20 m 和15 m ，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246 2m ，求小路的宽度.（2）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如左下图所示，它的长为8 m ，宽为5 m. 如果地毯中央长方形图案的面积为18 2m ，那么花边有多宽？（3）、如右上图所示，在宽为20 m ，长为32 m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m 2，道路应为多宽？（4）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400 3cm ，求原铁皮的边长.12.1、【综合Ⅱ】 列方程解决问题：（1）有一条长为16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为15 2m 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？（2）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. 要使这两个正方形的面积之和等于17 cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.（3）如左下图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为0.78 2m ，上口比渠底宽0.6 m ，渠深比渠底少0.4 m ，求渠深.（4）如右上图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？13、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题）★★★（1）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元. 市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？（3）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程知识点归纳及例题含答案
北师大版九年级上册第二章一元二次方程知识知识点归纳及例题【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【知识点梳理】知识点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．知识点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.知识点诠释：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.−−−→降次)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =212.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.知识点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于x 的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程.【答案】=4；≠4且≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】 22(28)(2)10a a x a x --++-=a a a a a(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ ，． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ ，． 类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∵∵=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∵a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围； （2）设，求s 关于t 的函数关系式． 【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而，即．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程的两实数根为，．（1）求m 的取值范围；（2）设，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为． 123x =21x =11t =212t =2220x x t -++=2212s x x =+122x x +=122x x t =+2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-2(1)s t t =-<-222(1)x m x m =--1x 2x 12y x x =+222(1)0x m x m +-+=∵ 原方程有两个实数根．∴ ，∴ ． （2） ，且． 因为y 随m 的增大而减小，故当时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去．∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【总结升华】设小正方形的边长为x cm ，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少 m?【答案】解：设AB=x 米，则BC=（50﹣2x ）米．根据题意可得，x （50﹣2x ）=300，解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x 1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△12m ≤1222y x x m =+=-+12m ≤12m=答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。
北师大版初三数学上册一元二次方程复习题(含解析)
北师大版初三数学上册一元二次方程复习题（含解析）知识讲解+例题解析+强化训练◆知识讲解1．一元二次方程的一样形式ax2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数，a ≠0）2．一元二次方程的解法（1）直截了当开平方法；（2）配方法；（3）公式法；（4）因式分b2－4ac ≥0）． 3．二元三项式ax2+bx+c=a （x －x1）（x －x2）．其中x1，x2是关于x 的方程ax2+bx+c=0•的两个实数根．4．一元二次方程ax2+bx+c=0（a△>0时，•方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等实数根x1=x2=－2b a ；当△<0时，方程没有实数根．5．若一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=－b a ，x1x2=c a．6．以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－（x1+x2）x+x1x2=0．7．使用一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b2－4ac•解题的前提是二次项系数a ≠0．8．若x1，x2是关于x 的方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0．反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1≠x2，则x1，x2是关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根．9．一元二次方程的应用列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（尽管是原方程的解）一定要舍去．◆例题解析例1 若0是关于x的方程（m－2）x2+3x+m2+2m－8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情形．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，•又讨论方程解的情形的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．【解答】由题知：（m－2）×02+3×0+m2+2m－8=0，∴m2+2m－8=0．利用求根公式可解得m1=2，或m2=－4．当m=2时，原方程为3x=0，现在方程只有一个解，x=0．当m=－4时，原方程可化为2x2－x=0，解得x1=0，x2=12．例2 已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2－1=0 （1）x2+x－2=0 （2）x2+2x－3=0 （3）x2+（n－1）x－n=0 （n）（1）请解上述一元二次方程（1），（2），（3），（n）；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【分析】由具体到一样进行探究．【解答】（1）<1>（x+1）（x－1）=0，因此x1=－1，x2=1．<2>（x+2）（x－1）=0，因此x1=－2，x2=1．<3>（x+3）（x－1）=0，因此x1=－3，x2=1．<n>（x+n）（x－1）=0，因此x1=－n，x2=1．（2）比如：共同特点是：都有一个根为1；都有一个根为负整数；两个根差不多上整数根等．【点评】本例从教材要求的差不多知识动身，探究具有某种特点的方程的解题规律及方程根与系数之间的关系，注重了对学生观看、类比及联想等数学思想方法的考查．例3张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，•他将此矩形铁片的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15m3的无盖长方体运输箱．且此长方体运输箱底面的长比宽多2m，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？【分析】第一化无形为有形，画出示意图，分清底面、侧面，底面的长与宽和长方体的高各用什么数或式子表示，然后利用体积相等列出方程求解．【解答】设这种运输箱底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意，有x（x+2）×1=15化简，得x2+2x－15=0．∴x1=－5（舍去）x2=2．所求铁皮的面积为：（3+2）（5+2）m2=35m2．所购矩形铁皮所需金额为：35×20元=700元．答：张大频购回这张矩形铁皮花了700元钱．【点评】画出示意图是解题的关键．另外本题所采纳的是间接设未知数的方法．若直截了当设出购买铁皮所需金额就困难了．◆强化训练一、填空题1．方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一样形式为______，其中a=___ _，b=____，c=____．2．方程（x－1）2=2的解是_______．3．关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．4．配方：x2－6x+_____=（x－____）2；x2－52x+______=（x－_____）2．5．方程（x－1）（x+2）（x－3）=0的根是_______．6．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．7．若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____．8．两个连续整数的积为210，则这两个数分别是_____．9．若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．10．假如a ，b ，c 为互不相等的实数，且满足关系式b2+c2=2a2+16a+14与bc=a2－4a －5，那么a 的取值范畴是______．二、选择题11．关于x 的一元二次方程2x2－3x －a2+1=0的一个根为2，则a 的值是（ ）A ．1 BC D12．若关于x 的一元二次方程（m －1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．013．关于x 的一元二次方程x2－（k+1）x+k －2=0的根的情形是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判定14．已知关于x 的方程x2－（2k －1）x+k2=0有两个不相等的实数根，那么k•的最大整数值是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．115．方程mx2－4x+1=0 ）A ．14B ．2m C ．2m D ．以上都不对16．关于x 的一元二次方程x2－3x+k=0有实数根，则k 的取值范畴是（ ）A ．k<94B ．k>94C ．k ≤94D ．k ≥94 17．方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x2+ax+b=0 （ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和318．若a ，b 是方程x2+2x －2021=0的两个不相等的实数根，则a2+3a +b 的值是（ ）A ．－2021B ．2021C ．2021D ．2021三、解答题19．解方程：（1）x2－6x+9=（5－2x）2 （2）x2－4x+1=020．汽车产业的进展，•有效促进我国现代化建设，•某汽车销售公司2 021年盈利1500万元，到2021年盈利2160万元，且从2021年到2021年，•每年盈利的年增长率相同．（1）该公司2021年盈利多少万元？（2）若该公司盈利的年增长率连续保持不变，估量2021年盈利多少万元？21．假如方程ax2－bx－6=0与方程ax2+2bx－15=0有一个公共根是3，求a，b的值，•并求方程的另一个根．22．某村打算建筑如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？23．黄冈百货商店服装柜在销售中发觉：•“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，•商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存，经市场调查发觉，•假如每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，•那么每件童装应降价多少元？24．近年来，由于受国际石油市场的阻碍，汽油价格不断上涨，•请你依照图所示的信息，帮小明运算今年5月份汽油的价格．25．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，•某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此运算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36kg．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、•乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70kg，•用油的重复利用率仍旧为60%，问甲车间技术革新后，•加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，•同时也提高了用油的重复利用率，同时发觉在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1．6%，如此乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12kg．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？参考答案1．5x2－x－3=0 5 －1 －3 2．，x2=13．－34．9 3 2516545．x1=1，x2=－2，x3=3 6．（x－1）（x+2）7．p=±28．14，15或－15，－14 9．6，12，10 10．a>－111．D 12．B 13．B 14．C 15．B 16．C 17．C 18．D19．（1）x1=83，x2=2（2）x2－4x+1=0，x2－4x+4－4+1=0∴（x－2）2=3，x－2=∴x2=220．（1）设每年盈利的年增长率为x，依照题意得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=－2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：2021年该公司盈利1800万元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：估量2021年该公司盈利2592万元．21．方程①的另外一根是－2，方程②的另外一根是－5．22．解法一：设矩形温室的宽为xm，则长为2xm，依照题意，得（x－2）·（2x－4）=288．解那个方程，得x1=－10（不合题意，舍去），x2=14．因此x=14，2x=2×14=28．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．解法二：设矩形温室的长为xm，则宽为12xm．依照题意，得（12x－2）·（x－4）=288．解那个方程，得x1=－20（不合题意，舍去），x2=28．因此x=28×12x=12×28=14．答：当矩形温室的长为28m，宽为14m时，蔬菜种植区域的面积是288m2．23．设每件童装应降价x元，由题意，得（40－x）（20+2x）=1200，整理，得x2－30x+200=0，（x－10）（x－20）=0，∴x－10=0或x－20=0，解得x1=10，x2=20，因要尽快减少库存，故x•应取20．24．设今年5月份汽油价格为x元/升，则去年5月份的汽油价格为（x－1．8）元/升．•依照题意，得1501.8x －150x=18.75，整理得x2－1.8x－14.4=0，解那个方程，得x1=4.8，x2=－3．经检验两根都为原方程的根，但x2 =－3不符合实际意义，故舍去．答：今年5月份的汽油价格为4.8元/升．25．（1）由题意，得70×（1－60%）=70×40%kg=28kg．（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为xkg．由题意，得x[1－（90－x）×1.6%－60%]=12．整理，得x2－65x－750=0，解得：x1=75，x2=－10（舍去）．（90－75）×1.6%+60%=84%．答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28kg．（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为7 5kg，•用油的重复利用率为84%．。
北师大版九年级数学上册 2.6 应用一元二次方程(含答案和解析)
北师大版九年级数学上册 2.6 应用一元二次方程（含答案和解析）一、单选题1.扬帆中学有一块长30m.宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之—的区域种花.小禹同学设计方案如图所示.求花带的宽度。
设花带的宽度为x m.则可列方程为( )A. (30-x)(20-x)= ×20×30B. (30-2x)(20-x)= ×20×30C. 30x+2×20x= ×20×30D. (30-2x)(20-x)= ×20×302.将一块长方形桌布铺在长为3m，宽为2m的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度．设桌布下垂的长度为xm，则所列的方程是（）A. （2x+3）（2x+2)=2×3×2B. 2（x+3)（x+2)=3×2C. (x+3）（x+2)=2×3×2D. 2(2x+3）(2x+2)=3×2 21/4x3.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（）A. B. C. D.4.如图，空地上（空地足够大）有一段长为20m的旧墙MN，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长100m，矩形菜园ABCD的面积为900m2．若设AD＝xm，则可列方程（）A. （50﹣）x＝900B. （60﹣x）x＝900C. （50﹣x）x＝900D. （40﹣x）x＝900二、解答题5.某地计划对矩形广场进行扩建改造.如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2.扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元.如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？6.如图，有一块矩形硬纸板，长，宽.在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子.当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？三、综合题7.已知y=ax2+bx+1，当x=1时，y=0;当x=2时，y=3．（1）求a、b的值（2）当x=-2时，求y的值8.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千元）与每千元降价x（元）（0<x<20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式;（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？9.一家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格出售，每天可售出100千克，通过调查发现，这种水果每千克的售价每降低1元，每天可多售出200千克．（1）若将这种水果每千克的售价降低元，则每天销售量是多少千克？（结果用含的代数式表示）（2）若想每天盈利300元，且保证每天至少售出260千克，那么水果店需将每千克的售价降低多少元？10.某商场在去年底以每件80元的进价购进一批同型号的服装，一月份以每件150元的售价销售了320件，二、三月份该服装畅销，销量持续走高，在售价不变的情况下，三月底统计知三月份的销量达到了500件（1）求二、三月份服装销售量的平均月增长率（2）从四月份起商场因换季清仓采用降价促销的方式，经调查发现，在三月份销量的基础上，该服装售价每降价5元，月销售量增加10件，当每件降价多少元时，四月份可获利12000元?答案解析部分一、单选题1.答案：D解：设花带的宽度为x m，根据题意得：(30-2x)(20-x)=×20×30故答案为：D【分析】此题的等量关系为：空白区域的面积=矩形空地的面积，列方程即可。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试(含答案解析)(2)
一、选择题1．一元二次方程2(21)2(21)x x +=+的解是（ ）A ．1212x x ==B ．1212x x ==-C ．1211,22x x =-=D ．1211,2x x == 2．已知关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，则+b c 的值是（ ） A ．-10B ．-7C ．-14D ．-2 3．下列一元二次方程中无实数根的是（ ）A ．22x x =B ．(1)(3)0x x ++=C ．2(2)5x -=D ．210x x -+= 4．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A ．12x +=B ．21x y +=C ．243x x -=D ．35-=xy 5．解方程2630x x -+=，可用配方法将其变形为（ ） A ．2(3)3x += B ．2(3)6x -= C ．2(3)3x -= D ．2(6)3x -= 6．一元二次方程22410x x ++=的两根为1x 、2x ，则12x x +的值是（ ）A ．4B ．4-C ．2-D ．2 7．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-且0a ≠ B ．2a ≥-且0a ≠ C ．2a ≥- D ．0a ≠ 8．在疫情期间，口罩的需求量急剧上升.某口罩生产企业四月份生产了口罩200000只， 如果要在第二季度总共生产728000只口罩，设生产口罩月平均增长的百分率为x ，则可根据题意列出的方程是（ ）A ．()22000001+728000x =B ．()32000001+728000x =C ．()()22000001+2000001+728000x x +=D ．()()2200000+2000001+2000001+728000x x +=9．疫情促进了快递行业高速发展，某家快递公司2020年5月份与7月份完成投递的快递总件数分别为100万件和144万件，设该快递公司5月到7月投递总件数的月平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．100(12)144x +=B ．2100(1)144x +=C ．100(12)144x -=D ．2100(1)144x -= 10．在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是（ ） A ．10x -= B ．20x x += C ．210x -= D ．210x += 11．用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（ ）A ．29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．29524x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()2962x -=D ．()2962x +=12．若关于x 的一元二次方程x 2＋x －3m ＋1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞14 B ．m ＜14 C ．m ≥14 D ．m ≤14二、填空题13．关于x 的一元二次方程2(2)430k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__________．14．如图，有一块长21,m 宽10m 的矩形空地，计划在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为290m ．设人行通道的宽度为xm ，根据题意可列方程：_______________________．15．一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程_________．16．若m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，则2020﹣m 2+3m ＝_____．17．已知﹣2是关于x 的方程x 2﹣4x ﹣m 2＝0的一个根，则m ＝______．18．α是一元二次方程2240x x --=的一个根，2αβ+=，则22ββ-的值是________．19．将一元二次方程2310x x -+=变形为()2x h k +=的形式为________．20．关于x 的方程222x x m p -+=，无论实数p 取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为______． 三、解答题21．解方程（1）2(3)5(3)60x x +-++= （2） x 2﹣6x ﹣9＝022．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x 2=4和（x-2）（x+3）=0有且只有一个相同的实数根x=2，所以这两个方程为“同伴方程”．（1）根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的是________；（只填写序号即可） ①()219x -=； ②2440x x ++=； ③()()420x x +-=； （2）若关于x 的一元二次方程x 2-2x=0与x 2+3x+m-1=0为“同伴方程”，求m 的值． 23．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．24．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝﹣1时，求另一个根x 2的值．25．2019年年底以来，“新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制．而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延．若某国一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．（1）求每位发病者平均每天传染多少人？（2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？26．解方程（1）(3)26x x x +=+； （2）22350x x --=【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先将原方程整理为2(21)2(21)0x x +-+=，再利用因式分解法求出方程的解，即可得出结论．【详解】解：2(21)2(21)x x +=+， 移项，得2(21)2(21)0x x +-+=，分解因式，得(21)(21)0x x +-=，则210x +=或210x -=， 解得：1211,22x x =-=． 故选：C ．【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法及步骤是解题的关键． 2．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系分别求出b ，c 的值即可得到结论．【详解】解：∵关于x 的方程220x bx c ++=的根为12x =-，23x =，∴121222b c x x x x +=-=， ∴232322b c -+=--⨯=，，即b=-2，c=-12 ∴21214b c +=--=-．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a． 3．D解析：D【分析】由因式分解法、偶次方的非负性和根的判别式依次判断即可；【详解】解：A.由22x x =可得(2)0x x -=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；B.(1)(3)0x x ++=，由因式分解法可知有两个实数根，故不符合题意；C. 2(2)5x -=，50>，有两个实数根，故不符合题意；D. 224(1)41130b ac ∆=-=--⨯⨯=-<，没有实数根，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查了根的判别式Δ=b 2−4ac 以及配方法和因式分解法解一元二次方程，牢记Δ<0时，方程有两个相等的实根是解题的关键．4．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A 、是一元一次方程，不符合题意；B 、是二元一次方程，不符合题意；C 、是一元二次方程，符合题意；D 、是二元二次方程，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．5．B解析：B【分析】方程两边同时加6即可配方变形，由此得到答案．【详解】解：方程两边同时加上6，得2696x x -+=，∴2(3)6x -=，故选：B ．【点睛】此题考查一元二次方程的配方，掌握配方法的解题方法是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得：12x x +=-b a =4-2=-2． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记12x x +=-b a ，12c x x a⋅=． 7．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 8．D解析：D【分析】根据题意生产口罩月平均增长的百分率为x ，四月份生产了口罩200000只，第二季度总共生产728000只口罩，由此列出方程即可．【详解】解：设生产口罩月平均增长的百分率为x ，四月份生产了口罩200000只，∴五月份生产了口罩()2000001x +只，∴六月份生产了口罩()22000001+x 只， 又在第二季度四、五、六3个月总共生产了728000只口罩， ∴列式为：()()2200000+2000001+2000001+728000x x +=．故选：D ．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用问题，属于增长率问题，根据题意列出等式是解决本题的关键．9．B解析：B【分析】利用7月份完成投递的快递总件数=5月份完成投递的快递总件数×（1+x ）2，进而得出等式求出答案．【详解】解：设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x ，根据题意，得100（1+x ）2=144，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确用未知数表示出七月份完成投递的快递总件数是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据题意一次项系数为0且△＞0判断即可．【详解】解：A 、x-1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B 、∵方程两根互为相反数和为0，一次项的系数为1，故选项不合题意；C 、∵△=0-4×1×（-1）=4＞0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D 、∵△=0-4×1×1=-4＜0，故此选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a，也考查了一元二次方程的根的判别式． 11．A解析：A【分析】两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可得到答案.【详解】∵29190x x -+=，∴2919x x -=-， 则2818191944x x -+=-+， 即29524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故选：A.【点睛】此题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的计算方法是解题的关键.12．C解析：C【分析】关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根，即判别式△=24b ac - ≥0，即可得到关于m 的不等式，从而求得m 的范围；【详解】∵ 关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根，∴ ()214131m ∆=-⨯⨯-+≥0， 解得：m≥14， 故选：C ．【点睛】 本题考查了根的判别式，用到的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，正确掌握根与判别式的关系是解题的关键．二、填空题13．且【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根知△=b2-4ac ＞0结合一元二次方程的定义列出关于k 的不等式组解不等式组即可得答案【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根∴解得：且故答案 解析：23k >且2k ≠ 【分析】根据一元二次方程2(2)430k x x ---=有两个不相等的实数根，知△=b 2-4ac ＞0，结合一元二次方程的定义列出关于k 的不等式组，解不等式组即可得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)430k x x ---=有两个不相等的实数根，∴()()()22044230k k -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯->⎪⎩， 解得：23k >且2k ≠， 故答案为：23k >且2k ≠． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△=b 2−4ac>0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．14．【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为长为∴；故答案是【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用准确分析列方程是解题的关键解析：()()21310290x x --=【分析】根据矩形的性质求解即可；【详解】根据题意可知：宽为()102xm -，长为()213x m -，∴()()21310290x x --=；故答案是()()21310290x x --=．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 15．【分析】设平均每次降价的百分率为x 根据一件商品的标价为108元经过两次降价后的销售价是72元即可列出方程【详解】解：设平均每次降价的百分率为x 根据题意可得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的实 解析：()2108172x -=【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列出方程．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可得：()2108172x -=，故答案为：()2108172x -=．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键． 16．2021【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m2＝3m ﹣1然后把m2＝3m ﹣1代入2020﹣m2+3m 中后合并即可【详解】解：∵m 是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根∴m2﹣3m+1＝0∴m2解析：2021【分析】先根据意元二次方程根的定义得到m 2＝3m ﹣1，然后把m 2＝3m ﹣1代入2020﹣m 2+3m 中后合并即可．【详解】解：∵m 是一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的一个根，∴m 2﹣3m +1＝0，∴m 2＝3m ﹣1，∴2020﹣m 2+3m ＝2020﹣（3m ﹣1）+3m＝2020﹣3m +1+3m＝2021．故答案为2021．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法解决此类问题．17．【分析】利用方程的根的性质把x=-2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】解：∵是方程的一个根∴有解得：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造参解析：±【分析】利用方程的根的性质把x=-2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可．【详解】解：∵2x =-是方程2240x x m --=的一个根，∴有()()222420m --⨯--=，解得：m =±故答案为：±【点睛】本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键．18．4【分析】利用根与系数的关系确定为原一元二次方程的另一个根即可求出的大小【详解】设原一元二次方程的另一个根为根据根与系数的关系可知根据题意∴为原一元二次方程的另一个根∴即故答案为：4【点睛】本题考查 解析：4【分析】利用根与系数的关系确定β为原一元二次方程的另一个根，即可求出22ββ-的大小．【详解】设原一元二次方程的另一个根为2x ， 根据根与系数的关系可知22==21x α-+-， 根据题意=2αβ+，∴β为原一元二次方程的另一个根，∴ 224=0ββ--，即22=4ββ-．故答案为：4．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数关系的公式并确定β为原一元二次方程的另一个根是解答本题的关键．19．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】解：移项得配方得即故答案为：【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程利用此方法解方程时首先将二次项系数 解析：23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上232⎛⎫ ⎪⎝⎭，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】解：2310x x -+=移项得 231x x -=-， 配方得222333122x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即 23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为：23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 20．【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得从而可得m 应该小于的最小值再根据偶次方的非负性求解即可得【详解】原方程可化为当该方程总有两个不相等的实数根时则其根的判别式解得无论实数取何值该方程总有两个不 解析：1m <【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得21m p <+，从而可得m 应该小于21p +的最小值，再根据偶次方的非负性求解即可得．【详解】原方程可化为2220x x m p -+-=，当该方程总有两个不相等的实数根时，则其根的判别式222(2)4()4440m p m p ∆=---=-++>，解得21m p <+，无论实数p 取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数p 取何值，不等式21m p <+恒成立，m ∴小于21p +的最小值，由偶次方的非负性得：20p ≥，211p ∴+≥，21p ∴+的最小值为1，1m ∴<，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式等知识点，正确将问题转化为无论实数p 取何值，不等式21m p <+恒成立是解题关键． 三、解答题21．（1）121,0x x =-=；（2） 1x ，2x【分析】（1）用因式分解法解得()()32330x x +-+-=，化为10,0x x +== 解一次方程即可；（2）用配方法配方得()2x-3=18，直接开平方得x-3=±【详解】解：（1）2(3)5(3)60x x +-++=， ()()32330x x +-+-=，10,0x x +==，121,0x x =-=；（2） x 2﹣6x ﹣9＝0，()2x-3=18，x-3=±x=3±，1x ，2x【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的各种解法，并能灵活选择恰当方法解方程是解题关键．22．（1）①②；（2）1或9-【分析】（1）结合题意，通过求解一元二次方程，即可得到答案；（2）首先求解220x x -=，得10x =，22x =；结合题意，将10x =，22x =分别代入x 2+3x+m-1=0，从而计算得m 的值；再经检验符合m 的值是否符合题意，从而完成求解． 【详解】（1）①()219x -=的解为：14x =，22x =-；②2440x x ++=的解为：2x =-③()()420x x +-=的解为：14x =-，22x = ∴属于“同伴方程”的是①②故答案为：①②；（2）220x x -=的解为：10x =，22x = 当相同的实数根是0x =时，则m-1=0， ∴m=1将m=1代入原方程，得：230x x +=∴10x =，23x =-∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；当相同的实数根是x=2时，则4+6+m-1=0，∴m=-9，将m=-9代入原方程，得：23100x x +-=∴15x =-，22x =∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；∴m 的值为1或-9．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法，从而完成求解．23．（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】 本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（1）m <1；（2）另一个根x 2的值是3．【分析】(1)根据题意可得根的判别式△>0,再代入可得4-4m>0，再解即可；(2) 根据根与系数的关系可得12b x x a+=-， 再代入可得答案． 【详解】解：（1）一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．△＝4﹣4m ＞0，∴m ＜1，（2）根据根与系数的关系可知：x 1+x 2＝2，因为x 1＝-1，所以x 2＝3．【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．25．（1）4人；（2）会【分析】（1）设每位发病者平均每天传染x 人，然后根据一开始有两人，经过两天后变为50人列出方程，即可求解；（2）利用（1）结果，结合第二天总人数计算即可求解．【详解】（1）设每位发病者平均每天传染x 人，由题意得， 22(1)50x +=．解得：14x =，26x =-（不合题意，舍去）答：每位发病者平均每天传染4个人；（2）50(1)505250x ⨯+=⨯=．答：若疫情得不到有效控制，再过一天发病人数会超过200人．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于传播类问题，关键是根据等量关系列出方程． 26．（1）122,3x x ==-；（2）152x =；21x =- 【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【详解】解：（1）(3)26x x x +=+， (3)2(3)0x x x +-+=，(2)(3)0x x -+=，20x -=或30x +=，122,3x x ==-；（2）22350x x --=，2,3,5a b c ==-=-，224(3)42(5)49b ac -=--⨯⨯-=，x == 125,12x x ==-． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是根据方程的特征选择恰当的方法进行解方程．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试(有答案解析)(1)
一、选择题1．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．4 2．关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根，则k 满足（ ）A ．0k ≥B ．0k ≤且1k ≠-C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤ 3．已知关于x 的一元二次方程240x x k +-=，当40k -<<时，该方程解的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没实数根C ．有两个相等的实数根D ．不能确定 4．一元二次方程x 2﹣3x +1＝0的两个根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2+1的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 5．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x 元，则符合题意的方程是（ ） A ．(1612)(36040)1680x x +--=B ．(12)(36040)1680x x --=C ．(12)[36040(16)]1680x x ---=D ．(1612)[36040(16)]1680x x +---= 6．若关于x 的方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <-B ．1m >-且0m ≠C ．1m >-D ．1m ≥-且0m ≠ 7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 8．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x 个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y 人感染．则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．()221y x =+B ．()22y x =+C ．222y x =+D ．()212y x =+ 9．下列说法不正确的是（ ）A ．打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件B ．了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查C ．一元二次方程2210x x -+=只有一个根D ．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36S =甲，20.54S =乙，甲的射击成绩稳定 10．关于x 的方程2690kx x -+=有实数根，k 的取值范围是（ ）A ．1k <且0k ≠B ．1k <C ．1k 且0k ≠D ．1k11．已知关于x 的方程2(21)(1)0kx k x k +++-=有实数根，则k 的取值范围为（ ）A ．18k ≥- B ．18k >- C ．18k ≥-且0k ≠ D ．18k <- 12．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ）A ．32B ．52C ．5D ．2二、填空题13．已知a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，则2+1a b +的值为__________． 14．方程2640x x -+=的两个实根分别为1x ，2x ，那么1212x x x x --的值为______． 15．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程28120x x -+=的两根，则该等腰三角形的周长是________．16．已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）．下列说法：①若a +c ＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a +b +c ＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b 2﹣6ac ＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根为2和3，则1211,23x x ==是方cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）． 17．已知方程x 2+3x -1=0的两个实数根分别为α、β，则（α-1）（β-1）=________． 18．关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________． 19．若12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，则1211+x x ＝___________． 20．响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明家利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为______ ．三、解答题21．解下列方程：（1）2x 2﹣3x ﹣5＝0；（2）（x+1）2＝6x+6．22．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．（1）求m 的取值范围；（2）当x 1＝﹣1时，求另一个根x 2的值．23．解方程：（1）解分式方程：11222x x x-+=--； （2）解方程：235(21)0x x ++=．24．已知关于x 的一元二次方程22210x kx k k -+++=有两个实数根．（1）试求k 的取值范围；（2）若此方程的两个实数根12x x 、，是否存在实数k ，满足12112x x +=-，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 25．文文以0.2元/支的价格购进一批铅笔，以0.4元/支的价格售出，每天销售量为400支，销售了两天后他决定降价，尽早销售完毕经调查得知铅笔单价每降0.01元，每天的销售量增加20支．（1）为了使笔每天的利润达到原利润的75%，文文应把铅笔定价多少元合适？ （2）如果这批铅笔恰好一共在五天内全部销售完毕，请问这批铅笔有多少支？ 26．解方程：（1）2213x x +=（配方法）（2）2531x x x -=+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 可得12122,,x x x x a +=-= 由关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，可得()()1211x x --＜0, 再列不等式：()21a --+＜0, 解不等式可得答案．【详解】解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x12122,,x x x x a ∴+=-=关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，()()1211x x ∴--＜0,()12121x x x x ∴-++＜0,()21a ∴--+＜0,a ∴＜3,-4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，故选：.B【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．2．B解析：B【分析】根据根的判别式计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根， ∴()244410b ac k ∆=-=-+≥，10k +≠，∴4440k --≥，1k ≠-，解得：0k ≤，1k ≠-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．3．A解析：A【分析】计算根的判别式，根据k 的范围，判断判别式的属性，根据性质求解即可．【详解】解：∵一元二次方程240x x k +-=，∴△= 22444b ac k -=+=16+4k ，∵40k -<<，∴1640k -<<，∴16+4k ＞0，∴△＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记公式，并根据字母范围确定判别式的属性是解题的关键．4．A解析：A【分析】根据方程的根及根与系数的关系得到x 12﹣3x 1+1＝0，x 1+x 2=3，x 1x 2=1，将其代入代数式计算即可．【详解】解：由题意得x 12﹣3x 1+1＝0，x 1+x 2=3，x 1x 2=1，∴x 12+1=3x 1，∴x 12+3x 2+x 1x 2+1=3x 1+3x 2+x 1x 2=3（x 1+x 2）+ x 1x 2=331⨯+=10，故选：A ．【点睛】此题考查一元二次方程的解，根与系数的关系式，求代数式的值，正确掌握根与系数的关系是解题的关键．5．A解析：A【分析】根据总利润=每盒的利润×销售量，而每盒的利润=售价-进价，再结合“每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份”即可得出答案．【详解】解：每份盒饭涨价x 元后，利润为(16+x-12)元，销售量为(360-40x)盒，∴可得方程为(1612)(36040)1680x x +--=，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意，根据题意找到等量关系是解题的关键．6．B解析：B【分析】利用判别式大于零和二次项系数不为零求解即可．【详解】∵方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，∴m≠0，且△＞0，∴m≠0，且224m +＞0，∴1m >-且0m ≠，故选B ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练运用判别式并保证二次项系数不能为零是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230-+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；x xC.22-=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题x x意；D.2-+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题x x3420意．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．8．A解析：A【分析】用含有x的代数式分别表示出每轮传染的人数和总人数即可得解.【详解】∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2人感染时，一轮可传染2x人，∴一轮感染的总人数为2x+2=2(1+x)人；∵每轮传染平均1人会传染x个人，∴2(1+x)人感染时，二轮可传染2(1+x)x人，∴二轮感染的总人数为[2(1+x)+ 2(1+x)x]= ()2+人；21x∴()2=+，y x21故选A.【点睛】本题考查了平均增长问题，准确表示每一轮传染的人数是解题的关键.9．C解析：C【分析】根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可．【详解】解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意；B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意；C. 一元二次方程2210-+=中，24440x x∆=-=-=，有两个相等的实数根，故b ac原说法错误，符合题意；D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是20.36 S=甲，20.54S=乙，甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当0∆=时，一元二次方程有两个相等的实数根．10．D解析：D【分析】分两种情况：k=0时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，若有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】解：0k=时，是一元一次方程，有实数根；k不等于0时，是一元二次方程，根据题意，△0，∴△224(6)490b ac k=-=--⨯，解得1k，故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根与判别式的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．11．A解析：A【分析】由于k的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【详解】解：当k=0时，x-1=0，解得：x=1；当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x的方程kx2+（2k+1）x+（k-1）=0有实根，∴△=（2k+1）2-4k×（k-1）≥0，解得18k≥-且k≠0，综上：k的取值范围是18 k≥-，故选A．【点睛】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论．12．B解析：B【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长．【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根，∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，解得：c ＝5或−7（舍去）， 再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52． 故选：B ．【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 二、填空题13．5【分析】先根据根与系数的关系写出两根的和与积代入所求代数式计算即可【详解】解：∵是方程的两个实数根∴∴∴；故答案为：5【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系掌握根与系数的关系是解决本题的关 解析：5【分析】先根据根与系数的关系，写出两根的和与积，代入所求代数式计算即可．【详解】解：∵a ，b 是方程230x x --=的两个实数根，∴230a a --=，111a b -+=-=，∴23a a =+，∴2131()4145a b a b a b ++=+++=++=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．掌握根与系数的关系是解决本题的关键．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=c a． 14．【分析】根据根与系数的关系求出x1+x2和的值然后代入计算即可【详解】∵方程的两个实根分别为∴x1+x2==∴=-（x1+x2）=-2故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0解析：2-【分析】根据根与系数的关系求出x 1+x 2和12x x ⋅的值，然后代入计算即可．【详解】∵方程2640x x -+=的两个实根分别为1x ，2x ，∴x 1+x 2=661--=，12x x ⋅=441=， ∴1212x x x x --=12x x ⋅-（x 1+x 2）=-2．故答案为：-2【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1+x 2=b a -，12x x ⋅=c a． 15．14【分析】运用因式分解法解一元二次方程求出两根因为三角形是等腰三角形分情况讨论：腰为2时和腰为6时再利用三角形三边关系验证是否符合题意即可求出周长；【详解】解：（x-2）（x-6）=0x1=2x2解析：14【分析】运用因式分解法解一元二次方程，求出两根，因为三角形是等腰三角形，分情况讨论：腰为2时和腰为6时，再利用三角形三边关系验证是否符合题意，即可求出周长；【详解】解：28120x x -+=，（x-2）（x-6）=0，x 1=2，x 2=6，当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，则周长为：6+6+2=14，故答案为：14．【点睛】本题考查因式分解解一元二次方程和三角形的三边关系，求解后验三角形的三边关系是解题的关键．16．①②④【分析】根据一元二次方程根的判别式根与系数的关系解的意义求解【详解】解：①因为a+c ＝0a≠0所以ac 异号所以△＝b2﹣4ac ＞0所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时ax2+bx+解析：①②④【分析】根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．【详解】解：①因为a +c ＝0，a ≠0，所以a 、c 异号，所以△＝b 2﹣4ac ＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时，ax 2+bx +c ＝a+b+c ，∴a +b +c ＝0时，一定有一个根是1，故②正确；③根据b 2﹣6ac ＞0，不能得到b 2﹣4ac ＞0，从而不能证得方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；④∵2和3是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根， ∴235,236b c a a -=+==⨯=， ∴51,66b a c c -==， 而115111,236236b a c c+==-⨯==， ∴121123x x ==，是方和cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，故④正确， ∴正确的结论是①②④，故答案为：①②④，【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．17．3【分析】结合题意根据一元二次方程根与系数关系的性质可得；根据整式运算性质得将代入式子中通过计算即可得到答案【详解】∵方程x2+3x-1=0的两个实数根分别为αβ∴∴故答案为：3【点睛】本题考查了一解析：3【分析】结合题意，根据一元二次方程根与系数关系的性质，可得+αβ、αβ；根据整式运算性质，得()()()111αβαβαβ--=-++，将+αβ、αβ代入式子中，通过计算即可得到答案．【详解】∵方程x 2+3x -1=0的两个实数根分别为α、β∴+3αβ=-，1αβ=- ∴()()()()1111313αβαβαβ--=-++=---+=故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程、整式运算的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数关系的性质，从而完成求解．18．【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根∴a-1≥0解得a≥1故答案为a≥1【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件直接开平方法解一解析：1a ≥【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．19．3【分析】根据韦达定理可得将整理得到代入即可【详解】解：∵是一元二次方程的两个根∴∴故答案为：3【点睛】本题考查韦达定理掌握是解题的关键 解析：3【分析】根据韦达定理可得123x x +=，121=x x ，将1211+x x 整理得到1212x x x x +，代入即可． 【详解】解：∵12x x 、是一元二次方程2310x x -+=的两个根，∴123x x +=，121=x x ， ∴121212113x x x x x x ++==， 故答案为：3．【点睛】本题考查韦达定理，掌握12b x x a +=-，12c x x a=是解题的关键． 20．【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 根据该商店6月份及8月份的利润可得出关于x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为x 故答案为：【点睛】本题考查了 解析：()224000134560x +=【分析】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ，根据该商店6月份及8月份的利润，可得出关于 x 的一元二次方程；【详解】设该商店从6月份到8月份每月盈利的平均增长率为 x ()224000134560x +=故答案为：()224000134560x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程． 三、解答题21．（1）152x =，21x =-；（2）x 1=-1，x 2=5． 【分析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】解：（1）2x 2﹣3x ﹣5＝0∵a=2、b=-3、c=-5，∴△=9-4×2×（-5）=49＞0， 则374x ±=， ∴152x =，21x =-； （2）（x+1）2＝6x+6∴（x+1）2-6（x+1）=0，∴（x+1）（x-5）=0，则x+1=0或x-5=0，解得：x 1=-1，x 2=5．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．22．（1）m <1；（2）另一个根x 2的值是3．【分析】(1)根据题意可得根的判别式△>0,再代入可得4-4m>0，再解即可；(2) 根据根与系数的关系可得12b x x a +=-， 再代入可得答案． 【详解】解：（1）一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0有两个不相等的实数根x 1、x 2．△＝4﹣4m ＞0，∴m ＜1，（2）根据根与系数的关系可知：x 1+x 2＝2，因为x 1＝-1，所以x 2＝3．【点睛】本题考查根与系数的关系及根的判别式，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．23．（1）无解；（2）153x -=，253x -=． 【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程整理后，求出24b ac -的值，再代入公式进行计算，即可求出方程的解．【详解】 解：（1）11222x x x-+=-- 去分母，得12(2)1x x -+-=-， 去括号，得1241x x -+-=-，解得：2x =，经检验：2x =是增根，所以原分式方程无解．（2）235(21)0x x ++=，整理得：231050x x ++=，∵3a =，10b =，5c =，∴241006040b ac -=-=＞0，∴10563x -±-±==，则原方程的解为153x -+=，253x -=． 【点睛】此题考查了解分式方程与一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法与公式法解一元二次方程是解答本题的关键．24．（1）1k ≤-；（2）存在，1k =-．【分析】（1）由根的判别式0∆≥，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围；（2）由根与系数的关系，得到122x x k +=，2121x x k k =++，然后解关于k 的一元二次方程，即可求出答案．【详解】解：（1）∵此方程有两个实数根，∴0∆≥即222411k k k ∆=--⨯⨯++（）（）440k =--≥，∴1k ≤-；（2）存在．根据题意，∵一元二次方程22210x kx k k -+++=，∴122x x k +=，2121x x k k =++， ∴122121211221x x k x x x x k k ++===-++， ∴121k k ==-符合题意，即1k =-；【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据根的判别式△＞0，列出关于k 的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系求出k 值．25．（1）0.3元；（2）2600支【分析】（1）首先求出原利润，再由现在利润=销量×（销售单价-批发价），进而得出等式方程即可解答．（2）利用（1）中所求得出单价，进而求出销量，即可得出总销量．【详解】解：（1）设铅笔的单价降了x 元，则()()0.40.2400200.40.240075%0.01x x ⎛⎫--+⨯=-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 解之，得：1110x =，2110x =-（舍去）， ∴定价：0.40.10.3-=（元）；（2）0.14002400203800180026000.01⎛⎫⨯++⨯⨯=+= ⎪⎝⎭（支）． 答：这批铅笔有2600支．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用利润=销量×（销售单价-批发价）得出是解题关键．26．(1) 11x =，212x =；(2) 11x =，21-5x =. 【分析】(1) 按照配方法的基本步骤求解即可；(2) 用因式分解法求解即可．【详解】(1) ∵2213x x +=，∴210-23x x +=， ∴22-3102x x +=， ∴2223331()()04-242x x +---+=， ∴231()416x -=， ∴3144x -=±， ∴131144x =+=，2311442x =-=， 故方程的两个根为11x =，212x =； (2) ∵2531x x x -=+，∴25310x x x ---=，∴25410x x --=，∴(51)(1)0x x +-=，∴510x +=或10x -=，∴11x =，21-5x =． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，突出了配方法，熟练掌握配方法的基本要领，灵活选择求解方法是解题的关键．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试(包含答案解析)(4)
一、选择题1．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2﹣（2k +1）x +1＝0有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ≥﹣14B ．k ≥﹣14且k ≠0C ．k ＜﹣14D ．k ＞－14且k ≠0 2．一次围棋比赛，参赛的每两位棋手之间都要比赛一场，根据赛程计划共安排45场比赛，设本次比赛共有x 个参赛棋手，则可列方程为（ ）A ．12x （x ﹣1）＝45B ．12x （x+1）＝45 C ．x （x ﹣1）＝45D ．x （x+1）＝45 3．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2021＝0的两个实数根，则a 2+b 2+a +b 的值是（ ）A ．0B ．2020C ．4040D ．4042 4．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖直线记成a bc d ，定义a bad bc c d=-，上述记号就叫做2阶行列式．若21171x x x +-=+，则x 的值为（ ） A ．±2 B ．10 C ．±4 D ．25．如图，在长20米，宽12米的矩形ABCD 空地中，修建4条宽度相等且都与矩形的各边垂直的小路，4条路围成的中间部分恰好是个正方形，且边长是路宽的2倍，小路的总面积是40平方米，若设小路的宽是x 米，根据题意列方程，正确的是（ ）A ．32x +2x 2＝40B ．x （32+4x ）＝40C ．64x +4x 2＝40D ．64x ﹣4x 2＝40 6．一人携带变异新冠状病毒，经过两轮传染后共有121人感染，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则可列方程（ ） A ．()1121x x x ++= B ．()11121x x ++= C ．()21121x += D ．()1121x x += 7．将一个正方形剪成①、②、③、④四块（如图1），恰能拼成如图2的矩形，若1a =，则这个正方形的面积为（ ）A B C ．9 D 8．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根9．受非洲猪瘟及其他因素影响，2020年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（ ）A ．23（1﹣x%）2＝60B ．23（1+x%）2＝60C ．23（1+x 2%）＝60D ．23（1+2x%）＝6010．已知关于x 的方程2(21)(1)0kx k x k +++-=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．18k ≥- B ．18k >- C ．18k ≥-且0k ≠ D ．18k <- 11．由于国内疫情得到缓和，餐饮业逐渐恢复，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天的收入约为2420元，若设每天的增长率为x ，则列方程为（ ）A ．2000(1)2420x +=B ．2000(12)2420x +=C ．22000(1)2420x -=D ．22000(1)2420x +=12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定二、填空题13．设m 、n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，则2mn m n --=______．14．关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=总有两个实数根，则常数k 的取值范围是________．15．用配方法解关于x 的一元二次方程2430x x --=，配方后的方程可以是__________．16．方程(3)3(3)x x x -=-的解是___________．17．在美丽乡村建设中，某村2017年新增绿化面积为20000平方米，计划到2019年新增绿化面积要达到28800平方米．如果每年新增绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．18．已知：（x 2+y 2）（x 2+y 2﹣1）＝20，那么x 2+y 2＝_____．19．已知△ABC 中，AB=3，AC=5，第三边BC 的长为一元二次方程x 2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为_____三角形．20．如果一元二次方程()()636x x x -=-的两个根是等腰三角形的两条边的长，那么这个等腰三角形的周长为__________．三、解答题21．阅读下面材料，并完成问题．任意给定一个矩形A ，若存在另一个矩形B ，使它的周长和面积分别是矩形A 的一半，则称矩形,A B 是“兄弟矩形”．探究：当矩形A 的边长分别为7和1时，是否存在A 的“兄弟矩形”B ？小亮同学是这样探究的：设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得472x y xy +=⎧⎪⎨=⎪⎩①② 由①，得4y x =-，③把③代入②，得7(4)2x x -=， 整理，得22870-+=x x ．24645680b ac -=-=>，A ∴的“兄弟矩形”B 存在．（1）若已知矩形A 的边长分别为3和2，请你根据小亮的探究方法，说明A 的“兄弟矩形”B 是否存在？（2）若矩形A 的边长为m 和n ，当A 的“兄弟矩形”B 存在时，求,m n 应满足的条件． 22．用适当的方法解下列方程．（1）213360x x -+=（2）()()23330x x x ---=23．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0．（1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．24．阅读材料：若22228160x xy y y -+-+=，求x ，y 的值．解：∵22228160x xy y y -+-+= ∴()()22228160x xy yy y -++-+= ∴()()2240x y y -+-=∴()20x y -=，()240y -= ∴4,4y x ==根据上述材料，解答下列问题：（1）2222210m mn n n -+-+=，求2m n +的值；（2）6a b -=，24130ab c c +-+=，求a b c ++的值．25．解方程：（1）（x +2）2﹣25＝0；（2）x 2+4x ﹣5＝0．26．用适当的方法解下列方程：（1）22210x x +-= （2）225(3)9x x +=-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出k 2≠0，且△=b 2-4ac ≥0，建立关于k 的不等式组，求出k 的取值范围．【详解】解：由题意知，k 2≠0，且△=b 2-4ac =（2k +1）2-4k 2=4k +1≥0．解得k ≥-14且k ≠0． 故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．2．A解析：A【分析】关系式为：棋手总数×每个棋手需赛的场数÷2=45，把相关数值代入即可．【详解】解：本次比赛共有x 个参赛棋手， 所以可列方程为：12x （x -1）=45． 故选：A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2． 3．D解析：D【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a+b=-1，ab=-2021，将其代入a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab 中即可求出结论．【详解】解：∵a ，b 是方程x 2+x-2020=0的两个实数根，∴a+b=-1，ab=-2021∴a 2+b 2+a +b =（a+b ）2+（a+b ）-2ab=1-1+4042=4042．故选：D ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系找出a+b=-1，ab=-2021是解题的关键．4．A解析：A【分析】直接利用已知将原式变形进而解方程得出答案．【详解】 解：由题意可得：21171x x x +-=+， 则（x+1）2-2（x-1）=7，解得：x=±2．故选：A ．【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，正确将原式变形是解题关键．5．B解析：B【分析】设小路的宽度为x 米，则小正方形的边长为2x 米，根据小路的横向总长度（20+2x ）米和纵向总长度（12+2x ）米，根据矩形的面积公式可得到方程．【详解】解：设道路宽为x 米，则中间正方形的边长为2x 米，依题意，得：x(20+2x+12+2x)=40，即x(32+4x)=40，故选：B ．【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到该小路的总的长度，利用矩形的面积公式列出方程并解答．6．C解析：C【分析】患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，则第一轮传染了x 个人，第二轮作为传染源的是(x+1)人，则传染x(x+1)人，根据共有121人感染列方程即可．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，依题意得1+x+x(1+x)=121，即(1+x)2=121，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-传播问题，要注意的是患变异新冠状病毒的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加．7．D解析：D【分析】从图中可以看出，正方形的边长＝a ＋b ，所以面积＝（a ＋b ）2，矩形的长和宽分别是a ＋2b ，b ，面积＝b （a ＋2b ），两图形面积相等，列出方程得＝（a ＋b ）2＝b （a ＋2b ），其中a ＝1，求b 的值，即可求得正方形的面积．【详解】解：根据图形和题意可得：（a ＋b ）2＝b （a ＋2b ），其中a ＝1，则方程是（1＋b ）2＝b （1＋2b ），解得：b ，∴正方形的面积为（1＋2）2＝72 ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼，本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b 的值，从而求出边长，求面积．8．A解析：A【分析】根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知：1☆x=x 2-x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 9．B解析：B可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【详解】解：当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%=23（1+x%）；当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%=23（1+x%）2． ∴23（1+x%）2=60．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于60即可．10．A解析：A【分析】由于k 的取值不确定，故应分k=0（此时方程化简为一元一次方程）和k≠0（此时方程为二元一次方程）两种情况进行解答．【详解】解：当k=0时，x-1=0，解得：x=1；当k≠0时，此方程是一元二次方程，∵关于x 的方程kx 2+（2k+1）x+（k-1）=0有实根，∴△=（2k+1）2-4k×（k-1）≥0， 解得18k ≥-且k≠0，综上：k 的取值范围是18k ≥-，故选A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，注意掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．同时解答此题时要注意分k=0和k≠0两种情况进行讨论． 11．D解析：D【分析】根据开业第一天收入约为2000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为2420元列方程即可得到结论．【详解】设每天的增长率为x ，依题意，得：22000(1)2420x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．12．A解析：A【分析】首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3mn=-7将其代入中即可求出结论【详解】解：∵mn 分别为一元二次方程的两个实数根∴m+n=-3mn=-7则故答案为：-11【点睛】本题解析：-11【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出m+n=-3，mn=-7，将其代入22()mn m n mn m n --=-+中即可求出结论．【详解】解：∵m ，n 分别为一元二次方程2370x x +-=的两个实数根，∴m+n=-3，mn=-7，则22()2(7)(3)14311mn m n mn m n =--=-+⨯---=-+=-．故答案为：-11．【点睛】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n=-2，mn=-1是解题的关键．14．且【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有两个实数根∴△=-(2k+1)2-4k k≥0且k≠0解得：且k≠0故答案为：且k≠0【点 解析：14k ≥-且0k ≠ 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系及一元二次方程的定义即可得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=有两个实数根， ∴△=[-(2k+1)]2-4k ⨯k≥0，且k≠0， 解得：14k ≥-且k≠0． 故答案为：14k ≥-且k≠0． 【点睛】 本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；注意一元二次方程的二次项系数不为0的隐含条件，避免漏解．15．【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的解法解题的关键是熟练运用配方法本题属于基础题型解析：()227x -＝．【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】解：2430x x --= 243x x -=24+43+4x x -=()227x -＝故答案为：()227x -＝．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 16．x1＝x2＝3【分析】先移项得到x （x ﹣3）﹣3（x ﹣3）＝0然后利用因式法分解法解方程【详解】解：x （x ﹣3）﹣3（x ﹣3）＝0（x ﹣3）（x ﹣3）＝0x ﹣3＝0所以x1＝x2＝3故答案为：x1＝解析：x1＝x2＝3．【分析】先移项得到x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，然后利用因式法分解法解方程．【详解】解：x（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3）＝0，x﹣3＝0，所以x1＝x2＝3．故答案为：x1＝x2＝3．【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．17．20【分析】本题需先设出这个增长率是x再根据已知条件找出等量关系列出方程求出x的值即可得出答案【详解】解：设这个增长率为x由题意得20000(1+x)2=28800(1+x)2=1441+x=±12解析：20%【分析】本题需先设出这个增长率是x，再根据已知条件找出等量关系列出方程，求出x的值，即可得出答案．【详解】解：设这个增长率为x，由题意得20000(1+x)2=28800，(1+x)2=1.44，1+x=±1.2，所以x1=0.2，x2=-2.2（舍去），故x=0.2=20%．故答案是：20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．18．5【分析】应用换元法得到一元二次方程解方程问题可解【详解】解：设t ＝x2+y2（t≥0）则t（t﹣1）＝20整理得（t﹣5）（t+4）＝0解得t＝5或t＝﹣4（舍去）所以x2+y2＝5故答案是：5【解析：5【分析】应用换元法，得到一元二次方程，解方程问题可解．【详解】解：设t＝x2+y2（t≥0），则t（t﹣1）＝20．整理，得（t ﹣5）（t +4）＝0．解得t ＝5或t ＝﹣4（舍去）．所以x 2+y 2＝5．故答案是：5．【点睛】本题考查了换元法和解一元二次方程的知识，解答关键是根据题意选择合适未知量使用换元法法解题．19．直角或等腰【分析】先解方程再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围即可得出第三边再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状【详解】解一元二次方程x2﹣9x+20=0得：x=4或5∵AB=3AC=5∴解析：直角或等腰【分析】先解方程，再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围，即可得出第三边，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状．【详解】解一元二次方程x 2﹣9x +20=0，得：x =4或5，∵AB =3，AC =5，∴2＜BC ＜7，∵第三边BC 的长为一元二次方程x 2﹣9x +20=0的一个根，∴BC =4或5，当BC =4时，AB 2+BC 2=AC 2，△ABC 是直角三角形；当BC =5时，BC =AC ，△ABC 是等腰三角形；故答案为直角或等腰．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，注意分类讨论思想的应用．20．15【分析】先解一元二次方程根据根的情况可知有两种方式用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长【详解】解：即∵336不能构成三角形∴这个等腰三角形的三边成为663周长为15故答案为：15【点睛】解析：15【分析】先解一元二次方程，根据根的情况可知有两种方式，用三角形三边关系排除一组后即可得出三角形周长．【详解】解：()()636x x x -=-()(3)60x x --=，即123,6x x ==，∵3，3，6不能构成三角形，∴这个等腰三角形的三边成为6，6，3，周长为15．故答案为：15．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形三边关系．不要忽略了用三角形三边关系判断能否构成三角形．三、解答题21．（1）不存在；（2）2260m mn n -+【分析】（1）按照小亮的方法，进行计算即可；（2）先根据小亮的方法列出方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式列不等式即可．【详解】解：（1）设所求矩形的两边分别是x 和y ，由题意，得5,23.x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩①②由①，得52y x =-，③ 把③代入②，得532x x ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 整理，得22560x x -+=，242548230b ac -=-=-<，A ∴的“兄弟矩形”B 不存在．（2）设所求矩形的两边分别是x 和y ， 由题意，得,2.2m n x y mn xy +⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①② 由①，得2m n y x +=-，③ 把③代入②，得22m n mn x x +⎛⎫-=⎪⎝⎭， 整理，得22()0x m n x mn -++=，22224()86b ac m n mn m mn n -=+-=-+，又,x y 都是正数，∴当2260m mn n -+时，A 的“兄弟矩形”B 存在．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程根的判别式．22．（1）14x =，29x =；（2）13x =，232x =-． 【分析】（1）利用因式分解法即可解方程；（2）方程左边提取公因式x−3，进一步整理后可得两个关于x 的一元一次方程，解之可得．【详解】（1）解：213360x x -+= ()()490x x --=40x -=或90x -=14x =，29x =；（2）解：()()23330x x x ---= ()()3330x x x ---=．30x -=或330x x --=13x =，232x =-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法以及因式分解法是解题的关键．23．（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3， ∵a 是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（1）23m n +=；（2）2a b c ++=．【分析】（1）将方程2222210m mn n n -+-+=的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求得mn 、的值，最后代入2m n +即可解题； （2）由6a b -=整理得，6+a b =，代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后由偶次方的非负性解题即可【详解】解：（1）∵2222210m mn n n -+-+=∴()()2222210m mn nn n -++-+= ∴()()2210m n n -+-=∴()20m n -=，()210n -= ∴1n =，1m n ==∴22113m n +=⨯+=；（2）∵6a b -=，∴6a b =+∵24130ab c c +-+=2(6)4130b b c c ∴++-+=∴22(69)(44)0b b c c +++-+=∴()()22320b c ++-= ∴()230b +=，()220c -= ∴3b =-，2c =∴()633a =+-=∴()3322a b c ++=+-+=．【点睛】本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．（1）x 1=3，x 2=-7；（2）x 1=1，x 2=-5．【分析】（1）用直接开方法解方程即可；（2）用配方法解方程即可．【详解】解：（1）（x +2）2﹣25＝0；移项得，（x +2）2＝25，两边开方得，x+2=±5，解得，x 1=3，x 2=-7；（2）x 2+4x ﹣5＝0．移项得，x 2+4x ＝5．两边加4得，x 2+4x+4＝9．配方得，（x+2）2＝9．开方得，x+2=±3，解得，x 1=1，x 2=-5．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是选择适当的方法解一元二次方程．26．（1）12x x ==2）1293,2x x =-=- 【分析】（1）根据公式法计算即可；（2）根据因式分解法计算即可；【详解】解：（1）22210x x +-=， 2242(1)12∆=-⨯⨯-=，222x -±=⨯，12x x ∴==； （2）25(3)(3)(3)x x x +=+-，25(3)(3)(3)0x x x +-+-=，(3)[5(3)(3)]0x x x ++--=，即(3)(418)0x x ++=，1293,2x x ∴=-=-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．。
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程用配方法解较复杂的一元二次方程同步练习题含答案
北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程用配方法解较复杂的一元二次方程同步练习题含答案1. 解一元二次方程3x 2＋4x ＋1＝0时，可以将方程化为( )A ．(x ＋2)2＝3B ．(x ＋23)2＝19C ．(x ＋23)2＝13D ．(3x ＋23)2＝192．假定9x 2－ax ＋4是一个完全平方式，那么a 等于( )A ．12B ．－12C ．12或－12D ．6或－63.将多项式x 2＋6x ＋2化为(x ＋p)2＋q 的方式为( )A ．(x －3)2＋11B ．(x ＋3)2－7C ．(x ＋3)2－11D ．(x ＋2)2＋44. 用配方法解以下方程时，配方有错误的选项是( )A ．4x 2－4x －19＝0化为(2x －1)2＝20B ．2t 2－7t －4＝0化为(t －74)2＝8116 C ．2x 2＋8x ＋7＝0化为(x ＋2)2＝15D ．3x 2－4x －2＝0化为(x －23)2＝1095. 假定分式2x 2－x －10x 2－4的值为零，那么x 的值为( ) A ．4 B ．－2或52 C ．3 D ．526. a 、b 取恣意实数，多项式a 2＋b 2－2a －4b ＋16的值总是( )A ．正数B ．零C ．正数D ．无法确定正负7. 假定x 2＋6x －7可化为(x ＋m)2－n ，那么m 、n 区分是( )A ．3，－16B ．±3，－16C ．3,16D ．±3,168. 小明同窗解方程6x 2－x －1＝0的简明步骤如下：解：6x 2－x －1＝0，―――――――→两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0，――→移项第二步x 2－16x ＝16，――→配方第三步(x －19)2＝16＋19，――――→两边开方第四步x －19＝±518，――――→移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106. 上述步骤，发作第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步9. 式子－x 2－4x －5可配方成－(x ＋ )2 ，该式有最 值是 .10. 方程2x 2－5x －2＝0，配方后得 .11. 将方程7x 2－5x －2＝0配方后得 ，解为 .12. 一元二次方程2x 2－4x ＋1＝0的解为 .13. 用配方法求得代数式2x 2－7x ＋2的最小值是 .关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋5x ＋k 2－3k ＋2＝0的一个根为0，那么k 的值为 .14. 用配方法解以下方程：(1) 2x 2－7x ＋6＝0； (2)12x 2－x －1＝0 15. 解以下方程：(1)2x 2＋3x －2＝0；(2)4x 2－8x ＋1＝0.16. 用配方法证明：无论x 为何实数，代数式－x 2＋4x －8的值恒小于零．17. 一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长宽区分为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．参考答案;1---8 BCBCD CAC9. 2 －1 大 －110. (x －54)2＝411611. (x －514)2＝81196 x 1＝1，x 2＝－2712. x 1＝2＋22，x 2＝2－2213. －3382 14. (1) 解：(x －74)2＝116，x －74＝±14，∴x 1＝2，x 2＝32(2) 解：x 1＝1＋3，x 2＝1－ 315. (1) 解：x 1＝－2，x 2＝12(2) 解：x 1＝1＋32，x 2＝1－3216. 解：∵－x 2＋4x －8＝－(x －2)2－4＜0，∴无论x 为何实数，代数式－x 2＋4x －8的值恒小于零．17. 解：(1)设矩形的长为x 厘米，那么另一边长为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝180，解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18,28－x ＝28－18＝10.故长为18厘米，宽为10厘米；(2)设矩形的长为x 厘米，那么宽为(28－x)厘米，依题意有x(28－x)＝200，即x 2－28x ＋200＝0，那么Δ＝282－4×200＝784－800＜0，原方程无实数根，故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．。
【数学九年级上】北师大版 用因式分解法求解一元二次方程(含答案及解析)
,解得
直线 MN 的解析式是 y=
x+ 6
（3）解：A(8，0)，C(0，6)．根据题意，知 B(8，6)，
点 P 在直线 MN 上，设 P(a，
用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1.已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程 x2－5x＋6＝0 的两个根,则此直角三角形斜边长是（ ）
A.
B.
C. 13
2.已知实数 x 满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式 x2-x+1 的值是( )
A. 7
B. -1
C. 7 或-1
D. 5 D. -5 或 3
乘积等于 0，则这两个因式至少有一个为 0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可 求出原方程的解。 7.答案： x1＝3，x2＝2 解：x﹣3＝0 或 x﹣2＝0， 所以 x1＝3，x2＝2。 故答案为：x1＝3，x2＝2。 分析：根据两个因式的乘积为 0，则这两个因式中至少有一个为 0，从而将方程降次为两个一元一次方程， 解两个一元一次方程即可求出原方程的解。 8.答案： 2.
利用因式分解法求解并检验即可得出原方程的根；②当 x＜0 时根据绝对值的意义去掉绝对值符号得出方
程，利用因式分解法求解并检验即可得出原方程的根；综上所述即可得出α，β的值，再将两值代入代数式
即可算出答案。
4.答案： A
解：解方程 x2﹣13x+40＝0 可得 x＝5 或 x＝8，
当第三边为 5 时，则三角形的三边长为 3、4、5，满足三角形三边关系，其周长为 12，
解：∵ ∴ ∴ 解得： 故 x=2.
, (舍去)
分析：将方程
两 边 同 时 平 方 得 2+
北师大版九年级上册数学第二章 一元二次方程含答案【可修改】
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A.m＞2B.m＜﹣1C.1＜m＜2D.0＜m＜12、方程的左边配成完全平方后所得方程为 ( )A. B. C. D.以上答案都不对3、用配方法解方程x2﹣6x+3＝0，下列变形正确的是（）A.（x﹣3）2＝6B.（x﹣3）2＝3C.（x﹣3）2＝0D.（x﹣3）2＝14、用配方法法解方程，则方程可变形为（）A. B. C. D.5、把x2﹣5x=31配方，需在方程的两边都加上（）A.5B.25C.2.5D.6、用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（）A.（x+4）2=﹣7B.（x+4）2=﹣9C.（x+4）2=7D.（x+4）2=257、用配方法解一元二次方程的过程中，变形正确的是（）A. B. C. D.8、用配方法解一元二次方程-4x=5时，此方程可变形为（）.A. =1B. =1C. =9D. =99、将一元二次方程x2-6x-5=0化成(x+a)2=b的形式，则b等于A.-4B.4C.-14D.1410、方程配方后，下列正确的是（）A. B. C. D.11、方程x2=x+1的解是（）A.x=B.x=C.x=±D.无实数根12、用配方法解一元二次方程x2﹣8x﹣11=0时，下列变形正确的是（）A.（x﹣4）2=5B.（x+4）2=5C.（x﹣4）2=27D.（x+4）2=2713、用配方法解方程，配方正确的是（）A. B. C. D.14、将方程化成的形式是（）A. B. C. D.15、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为( )A.(x-4) 2=9B.(x+4) 2=9C.(x-8) 2=16D.(x+8) 2=57二、填空题(共10题，共计30分)16、分式值为0，则x=________17、设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则=________.18、若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有________人．19、设，是方程的两个根，则________．20、已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式a2﹣（a+b）+b2的值为________．21、已知，是一元二次方程的两个实数根，如果，满足不等式，且为整数，则________．22、方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为________。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试卷(包含答案解析)(2)
一、选择题1．一元二次方程x 2＝2x 的根是（ ）．A ．0B ．2C ．0和2D ．0和﹣2 2．设a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022 3．若关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，则a 的值可能为（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．44．学校准备举办“和谐校园”摄影作品展黛，现要在一幅长30cm ，宽20cm 的矩形作品四周外围上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原作品面积相等，设彩纸的宽度为cm x ，则x 满足的方程是（ ）A ．()()3022023020=++⨯x xB ．()()30203020++=⨯x xC ．()()30220223020--=⨯⨯x xD ．()()30220223020++=⨯⨯x x 5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 6．定义运算：21a b ab ab =--☆．例如：23434341=⨯-⨯-☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根 7．某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ）A ．1000（1＋x ）2＝3390B ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋x ）2＝3390C ．1000（1＋2x ）＝3390D ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋2x ）＝33908．用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ．()222x -=B ．()222x +=C ．()222x -=-D ．()226x -= 9．若关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．－1或2B ．1C ．2D ．1或210．在ABC 中，2BC =，AC =30A ∠=︒ ，则AB 的长为（ ）A B ．2 C 4 D ．2或4 11．某小区附近新建一个游泳馆，馆内矩形游泳池的面积为2300m ，且游泳池的宽比长短10m ．设游泳池的长为xm ，则可列方程为（ ）A ．()10300x x -=B ．()10300x x +=C ．()2210300x x -= D ．()2210300x x +=12．当3b c -=时，关于x 的一元二次方程220x bx c -+=的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 二、填空题13．设a ，b 分别是方程220220x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值是______． 14．已知一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）．下列说法：①若a +c ＝0，则方程一定有两个不相等的实数根；②若a +b +c ＝0，则1一定是这个方程的实数根；③若b 2﹣6ac ＞0，则方程一定有两个不相等的实数根；④若ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根为2和3，则1211,23x x ==是方cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，其中正确的是_____（填序号）． 15．关于x 的方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．16．如果菱形的两对角线的长分别是关于x 的一元二次方程2240x mx ++=的两实数根，那么该菱形的面积是____．17．已知三角形的两边长分别是方程211300x x -+=的两个根，则该三角形第三边m 的取值范围是______．18．已知m 为一元二次方程x²-3x-2020=0的一个根，则代数式2m²-6m+2的值为___________19．将一元二次方程2310x x -+=变形为()2x h k +=的形式为________． 20．对于实数a b 、，定义新运算“⊗”：2a b a ab ⊗=-，如2424428⊗=-⨯=．若44x ⊗=-，则实数x 的值是_______．三、解答题21．已知关于x 的一元二次方程2(3)890a x x --+=．（1）若方程的一个根为1x =-，求a 的值；（2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值：（3）请为a 选取一个合适的整数，使方程有两个整数根，并求这两个根．22．已知关于x 的一元二次方程()22230x m x m +++=有两根α，β． （1）求m 的取值范围；（2）若()()111αβ++=，求m 的值．23．解方程∶（1）213(1)x x -=-（2）241x x -=-24．已知关于x 的一元二次方程2410x x m -++=有实数根．（1）若1是方程的一个根，求出一元二次方程的另一根；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1211+x x =3，求m 的值． 25．解方程：（1）2210x x +-=； （2）3(1)2(1)x x x -=-．26．已知关于x 的一元二次方程222x x m -+=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当1m =时，求方程222x x m -+=的解．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据一元二次方程的性质，先提公因式，通过计算即可得到答案．【详解】移项得，x 2-2x ＝0，提公因式得，x （x-2）＝0，解得，x 1＝0，x 2＝2，故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．2．C解析：C【分析】由一元二次方程根与系数的关系，得到1a b +=-，然后求出22022a a +=，然后代入计算，即可得到答案．【详解】解：∵a ，b 是方程220220x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，22022a a +=，∴222()()a a b a a a b ++=+++2022(1)=+-2021=．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题．3．B解析：B【分析】设220x x a ++=的两根分别为12,,x x 可得12122,,x x x x a +=-= 由关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，可得()()1211x x --＜0, 再列不等式：()21a --+＜0, 解不等式可得答案．【详解】解：设220x x a ++=的两根分别为12,,x x12122,,x x x x a ∴+=-=关于x 的一元二次方程220x x a ++=的一个根大于1，另一个根小于1，()()1211x x ∴--＜0,()12121x x x x ∴-++＜0,()21a ∴--+＜0,a ∴＜3,-4a ∴=-符合题意，所以,,A C D 不符合题意，B 符合题意，故选：.B【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式的解法，掌握以上知识是解题的关键．4．D解析：D【分析】由彩纸的面积恰好与原画面面积相等，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意，得()()30220223020++=⨯⨯x x ．故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．C解析：C根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230-+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；x xC.22-=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题x x意；D.2-+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题x x3420意．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．6．A解析：A【分析】根据新定义运算法则以及利用△＞0可判断方程根的情况．【详解】解：由题意可知：1☆x=x2-x-1=0，∴△=1-4×1×（-1）=5＞0，∴有两个不相等的实数根故选：A．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．7．B解析：B【分析】月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长的百分率是x，则该超市二月份的营业额为1000（1+x）万元，三月份的营业额为1000（1+x）2万元，依题意，得1000+1000（1+x）+1000（1+x）2=3990．故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解8．A解析：A【分析】先把方程变形为x 2-4x=-2，再把两方程两边加上4，然后把方程左边用完全平方公式表示即可．【详解】解：x 2-4x=-2，x 2-4x+4=2，（x-2）2=2．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．9．C解析：C【分析】关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，说明判别式=0，且要注意二次项系数不为0，解出m 的值即可．【详解】关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根， 则()()22141010m m m ⎧⎡⎤∆=----=⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩， 解得：11m =（舍去），22m =∴m=2，故选：C ．【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键．10．D解析：D【分析】利用分类讨论的思想，①当AC 边为长边时，作BD AC ⊥交AC 于点D ，设BD=x ，由题意可求出AD 、DC 长，再根据勾股定理可列出关于x 的一元二次方程，解出x 即可求出AB 长；②当AB 边为长边时，作CE AB ⊥交AB 于点E ，由题意可求出CE 、AE 长，再根据勾股定理可求出BE 长，从而得到AB 长．【详解】分类讨论：①当AC 边为长边时，作BD AC ⊥交AC 于点D ，设BD=x ，∵30A ∠=︒， ∴33AD BD x ==， ∴233DC AC AD x =-=-，在Rt BCD 中，222BC BD DC =+，即2222(233)x x =+-，整理得：(1)(2)0x x --=．解得11x =，22x =． 当22x =时，23230DC AC AD =-=-=不合题意，所以此解舍去．∴2212AB BD ==⨯=．②当AB 边为长边时，作CE AB ⊥交AB 于点E ，∵30A ∠=︒，∴33233AE AC ==⨯=，1123322CE AC ==⨯=． 在Rt BCE 中，22222(3)1BE BC CE =-=-=，∴314AB AE BE =+=+=．【点睛】本题考查勾股定理以及解一元二次方程．根据题意结合勾股定理得到边的关系是解答本题的关键．11．A解析：A【分析】因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ，根据面积为300，即可列出方程．【详解】解：因为游泳池的长为xm ，那么宽可表示为（x-10）m ；则根据矩形的面积公式：x （x-10）=300；故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握“矩形面积=长×宽”是关键．12．A解析：A首先将已知等式转换形式，然后代入判别式，判断其正负，即可得解．【详解】解：3b c -=，3c b ∴=-， 220x bx c -+=，∴∆22()428b c b c =--⨯⨯=-28(3)b b =--2824b b =-+2(4)80b =-+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．【点睛】此题主要考查根据参数的值判定一元二次方程根的情况，熟练掌握，即可解题．二、填空题13．2021【分析】根据题意得a2+a-2022=0即a2+a=2022利用根与系数的关系得到a+b=-1代入整理后的代数式求值【详解】解：ab 分别是方程x2+x-2022=0的两个实数根∴a+b=-1解析：2021【分析】根据题意得a 2+a-2022=0，即a 2+a=2022，利用根与系数的关系得到a+b=-1，代入整理后的代数式求值．【详解】解：a ，b 分别是方程x 2+x-2022=0的两个实数根，∴a+b=-1，a 2+a-2022=0，∴a 2+a=2022，故a 2+2a+b=a 2+a+（a+b ）=2022-1=2021，故答案为：2021．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根，根与系数的关系，一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠) 的根与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a=． 14．①②④【分析】根据一元二次方程根的判别式根与系数的关系解的意义求解【详解】解：①因为a+c ＝0a≠0所以ac 异号所以△＝b2﹣4ac ＞0所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时ax2+bx+解析：①②④根据一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、解的意义求解．【详解】解：①因为a +c ＝0，a ≠0，所以a 、c 异号，所以△＝b 2﹣4ac ＞0，所以方程有两个不等的实数根故①正确；②∵x=1时，ax 2+bx +c ＝a+b+c ，∴a +b +c ＝0时，一定有一个根是1，故②正确；③根据b 2﹣6ac ＞0，不能得到b 2﹣4ac ＞0，从而不能证得方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个不相等的实数根，故③错误；④∵2和3是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两个根， ∴235,236b c a a -=+==⨯=， ∴51,66b a c c -==， 而115111,236236b a c c+==-⨯==， ∴121123x x ==，是方和cx 2+bx +a ＝0（a ≠0）的根，故④正确， ∴正确的结论是①②④，故答案为：①②④，【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根判别式的计算与应用、根与系数的关系、解的意义是解题关键．15．且【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0求出m 的取值范围即可【详解】解：∵方程mx2−2x -1＝0有两个不相等的实数根∴△＞0且m≠0∴4+4m ＞0且m≠0∴解析：1m >-且0m ≠【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵方程mx 2−2x-1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m ＞0且m≠0，∴m>-1，且m≠0，故答案为：m>-1且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△＝b 2−4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．16．12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积接着通过菱形面积公式求解即可【详解】解：设的两根为则一元二次方程的两实数根为菱形的两对角线的长菱形的面积===12故答案为：12【点睛】本题主要考解析：12【分析】可根据韦达定理求出一元二次方程的两根之积，接着通过菱形面积公式求解即可．【详解】解：设2240x mx ++=的两根为12x x 、，则1224x x =，一元二次方程的两实数根12x x 、为菱形的两对角线的长，∴菱形的面积=1212x x =1242⨯=12． 故答案为：12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的韦达定理，还涉及菱形的面积运算，属于基础题，熟练掌握韦达定理及菱形的面积公式是解决本题的关键．17．【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积经过变形得到两根差的值即可求得第三边的范围【详解】解：∵三角形两边长是方程x2−11x ＋30＝0的两个根∴x1＋x2＝11x1x2＝30∵解析：111<<m【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系求得两根和与两根积，经过变形得到两根差的值，即可求得第三边的范围．【详解】解：∵三角形两边长是方程x 2−11x ＋30＝0的两个根，∴x 1＋x 2＝11，x 1x 2＝30，∵（x 1−x 2）2＝（x 1＋x 2）2−4x 1x 2＝121−120＝1，∴x 1−x 2＝1，又∵x 1−x 2＜m ＜x 1＋x 2，∴1＜m ＜11．故答案为：1＜m ＜11．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系和一元二次方程的根与系数的关系，要知道第三边大于两边差，小于两边和．18．4042【分析】由题意可得m2－3m=2020进而可得2m2－6m=4040然后整体代入所求式子计算即可【详解】解：∵m 为一元二次方程x2－3x －2020=0的一个根∴m2－3m －2020=0∴m2解析：4042【分析】由题意可得m 2－3m=2020，进而可得2m 2－6m=4040，然后整体代入所求式子计算即可．【详解】解：∵m 为一元二次方程x 2－3x －2020=0的一个根，∴m 2－3m －2020=0，∴m 2－3m=2020，∴2m 2－6m=4040，∴2m 2－6m+2=4040+2=4042．故答案为：4042．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，熟练掌握基本知识、灵活应用整体思想是解题的关键．19．【分析】将方程常数项移到方程右边左右两边都加上左边化为完全平方式右边合并即可得到所求的结果【详解】解：移项得配方得即故答案为：【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程利用此方法解方程时首先将二次项系数 解析：23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【分析】 将方程常数项移到方程右边，左右两边都加上232⎛⎫ ⎪⎝⎭，左边化为完全平方式，右边合并即可得到所求的结果．【详解】解：2310x x -+=移项得 231x x -=-， 配方得222333122x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即 23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 故答案为：23524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到方程右边，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方即可求出解． 20．【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可【详解】解：由题意可知：∴即解得：x ＝2故答案为：2【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法正确理解新运算法则熟练掌握解一元二次方程的方 解析：2【分析】根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可．【详解】解：由题意可知：2a b a ab ⊗=-，∴2444x x x ⊗=-=-，即244x x -=-，解得：x ＝2．故答案为：2．【点睛】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键．三、解答题21．（1）-14；（2）1或2或4；（3）a=2，两根为-9或1【分析】（1）把1x =-代入方程求出a 即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．（3）利用（2）中结论，一一判断即可解决问题．【详解】解：（1）方程的一个根为1x =-，3890a ∴-++=，14a ∴=-．（2）由题意△0且3a ≠6436(3)0a ∴--， 解得439a ， a 是正整数，1a 或2或4．（3）当2a =时，方程为2890x x +-=，解得9x =-或1．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（1）3m 4≥-；（2）m 3=【分析】（1）利用判别式得到()222340m m =+-≥，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到()23m αβ+=-+，2m αβ=，由已知得到 0αβαβ++=，代入得到关于m 的方程，解方程即可求得m 的值．【详解】（1）由题意知：()22242340b ac m m =-=+-≥， 解得：3m 4≥-， ∴m 的取值范围是3m 4≥-； （2）由根与系数关系可知：()23m αβ+=-+，2m αβ=，∵()()111αβ++=，∴ 0αβαβ++=， 即()2230m m -+=，解得：1231m m ==-，(舍去)，∴m 的值为3．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，若12x x 、是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a =．23．（1）11x =，22x =；（2）12x =22x =【分析】（1）移项后，运用因式分解法求解即可；（2）运用配方法求解即可．【详解】解：（1）213(1)x x -=- (1)(1)3(1)x x x +-=-(1)(1)3(1)0x x x +---=(1)(13)0x x -+-=(1)(2)0x x --=∴10x -=或20x -=11x ∴=，22x =；（2）241x x -=-24414x x -+=-+2(x 2)3-=2x ∴-=12x ∴=+22x =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24．（1）3；（2）13． 【分析】（1）设方程的另一个根为α，选择合适计算方式，利用根与系数关系定理求解即可； （2）利用根与系数关系定理和根的判别式求解即可．【详解】解：（1）∵1是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的一个根，∴设α是关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根，∴1+α=4，∴α=3，∴关于x 的一元二次方程2410x x m -++=的另一个根是3；（2）∵12,x x 是方程2410x x m -++=的两个实数根，∴=16-4(1)0m ∆+≥，∴3m ≤，又∵1211+x x =3 而124x x +=且121x x m =+， ∴1211+x x =1212431x x x x m +==+， ∴13m =＜3， ∴m 的值是13． 【点睛】 本题考查了根与系数的关系定理的解题应用，根的判别式的应用，熟练掌握根与系数关系定理并灵活应用是解题的关键．25．（1）11x =-21x =-；（2）11x =，223x =【分析】（1）配方法求解可得；（2）因式分解法求解可得；【详解】（1）解：2212x x ++=2(1)2x +=1x +=11x ∴=-+21x =-．（2）解：3(1)2(1)0x x x ---=(1)(32)0x x --=10x -=；或320x -=11x ∴=，223x =． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．26．（1）3m <；（2）1211x x ==【分析】（1）根据分的判别式求解即可；（2）根据公式法计算即可；【详解】解：()1根据题意得：()2()2421240m m ∆=-=-->-，解得3m <；()2当1m =时，原方程为2210x x --=，()22(41)28--∆=⨯-=，∴x =，解得1211x x ==；【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和公式法求解，准确计算是解题的关键．。
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第二章一元一次方程 分节练习 第1节 认识一元一次方程1、【基础题】下列方程中，一元二次方程共有（ ）．① ② ③ ④⑤ A ． 2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个1.1、【基础题】下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为 （ ）A. 02＝＋＋c bx axB. 2232）＋＝（－x xC. 0532＝－＋xx D. 012＝－x1.2、【基础题】若方程 22343x x mx ＝－＋ 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是_________.2、【基础题】把方程＝）＋（223x 423）－（x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 3、【综合Ⅰ】根据题意，列出一元二次方程：（1）已知直角三角形三边长为连续整数，求它的三边长；（2）一个面积为120 2m 的矩形苗圃，它的长比宽多2 m. 苗圃的长和宽各是多少？（3）有一面积为54 2m 的长方形，将它的一边剪短5 m ，另一边剪短2 m ，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？第2节 用配方法求解一元二次方程4、【基础题】用配方法解下列方程：（1）025122＝＋＋x x ； （2）1042＝＋x x ； （3） 1162＝－x x ； （4） 0422＝－－x x 4.1、【基础题】用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x ； （2） x x 91852＝－； （3） 52342＝－x x ； （4）x x 2452－＝. 5、【综合Ⅱ】列方程解决问题：（1）体操方阵有8行12列，后又增加了69人，使得方阵增加的行、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？（2）印度古算书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮，告我总数共多少，两队猴子在一起.”你能解决这个问题吗？ （3）如左下图，在一块长35 m 、宽26 m 的矩形地面上，修建同2320x x +=22340x xy -+=214x x -=21x =2303xx -+=样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850 2m ，道路的宽应为多少？（4）如右上图，A 、B 、C 、D 是矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，BC ＝6 cm. 动点P 从点A 出发，以3 cm /s 的速度向点B 运动，直到点B 为止；动点Q 同时从点C 出发，以2 cm /s 的速度向点D 运动，何时点P 和点Q 之间的距离是10 cm ？第3节 用公式法求解一元二次方程6、【基础题】用公式法求下列一元二次方程的解：（1）01872＝－－x x ； （2）x x 4142＝＋. （3）0452＝＋－x x ； （4）01422＝＋＋x x . 6.1、【基础题】用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x ； （2） 01692＝＋＋x x ； （3） 38162＝＋x x ； （4）01422＝－－x x . 6.2、【基础题】运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x ； (2) 7962＝＋＋x x ；（3） 2325x x ＝＋； （4） 1)53)(2(＝－－x x . 6.3、【基础题】用公式法解方程 2586x x ＝－ 时，c b a 、、的值分别是 （ ） A. 5、6、－8 B. 5、－6、－8 C. 5、－6、8 D. 6、5、－86.4、【综合Ⅱ】定义新运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝b a a ＋－32，如3★5＝53332＋－⨯. 若x ★2＝6，则实数x 的值是______. 7、【基础题】不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）x x 7522＝＋； （2）x 4031＝）＋－（x ； （3）4y y 4.209.02）＝＋（.7.1、【综合Ⅲ】已知关于 x 的方程 0222＝＋）＋－（x m mx （0≠m ）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值. 8、【综合Ⅱ】列方程解决问题（1）一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长.（2）长方体木箱的高是8 dm ，长比宽多5 dm ，体积是528 3dm ，求这个木箱的长和宽. （3）圆柱的高为15 cm ，全面积（也称表面积）是 200 2cm ，那么圆柱底面半径是多少？（4）在一幅长90 cm 、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金色纸边的宽应该是多少？（5）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25 m ），另三边用木栏围成，木栏长40 m.请问，鸡场的面积能达到180 2m 吗？能达到200 2m 吗？能达到210 2m 吗？（6）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何.” 大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？ （注：“尺”、“寸”、“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸.） （7）如图，由点P （14，1）、A （a ，0）、B （0，a ）（a 是正数）确定的△PAB 的面积是18，求a 的值.第4节 用因式分解法求解一元二次方程9、【基础题】用因式分解法解下列方程（1）x x 32＝； （2）x x 452＝； （3）042）＝－）（＋（x x ； （4）22－）＝－（x x x . 9.1、【综合Ⅰ】用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x ； （2） x x x 22)1(3－＝－；（3）)32(4)32(2＋＝＋x x ； （4）9)3(222－＝－x x .9.2、【综合Ⅰ】三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程0)7)(5(＝－－x x 的根，则该三角形的周长为______. 9.3、【综合Ⅱ】解下列方程：（1）5）＝－（x x 23）＋（x x 2； （2）22322）＋＝（）－（x x ； （3）12)3)(2(＝－－x x ；（4）2362）＋＝（＋x x ； （5）2422＋＝＋y y y .10、【综合Ⅰ】列方程解决问题：（1）一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.（2）公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地面积为12 2m ，求原正方形空地的边长.* 第5节 一元二次方程的根与系数的关系11、【基础题】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：（1）0672＝＋＋x x ； （2）02322＝－－x x .11.1、【综合Ⅰ】一元二次方程032＝－＋kx x 的一个根是 1＝x ，则另一个根是______.11.2、【综合Ⅲ】 设 1x 和 2x 是一元二次方程 0132＝－－x x 的两个实数根，则2111x x ＋＝______，2221x x ＋＝______.第6节 应用一元二次方程12、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（面积和体积问题）：（1）一块长方形草地的长和宽分别为20 m 和15 m ，在它四周外围环绕着宽度相等的小路，已知小路的面积为246 2m ，求小路的宽度.（2）一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如左下图所示，它的长为8 m ，宽为5 m. 如果地毯中央长方形图案的面积为18 2m ，那么花边有多宽？（3）、如右上图所示，在宽为20 m ，长为32 m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的总面积为570m 2，道路应为多宽？（4）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为4 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子.已知盒子的容积是400 3cm ，求原铁皮的边长.12.1、【综合Ⅱ】 列方程解决问题：（1）有一条长为16 m 的绳子，你能否用它围出一个面积为15 2m 的矩形？若能，则矩形的长、宽各是多少？（2）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. 要使这两个正方形的面积之和等于17 cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.（3）如左下图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为0.78 2m ，上口比渠底宽0.6 m ，渠深比渠底少0.4 m ，求渠深.（4）如右上图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 m，BC＝6 m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速移动（到点C为止），它们的速度都是1 m/s. 经过几秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半？13、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题）★★★（1）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元. 市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台. 商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？（3）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（4）某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量. 试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵. 如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？13.1、【综合Ⅱ】列方程解决问题（利润问题）：（1）某种服装，平均每天可销售20件，每件赢利44元。
在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件。
如果每天要赢利1600元，每件应降价多少元？（2）某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，这种贺年卡平均每天可售出500张，每张赢利0.3元. 为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施，通过调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张. 摊主想要平均每天赢利180元，每张贺年卡应降价多少元？（3）一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元 / 吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200元. 那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利122000元？14、【综合Ⅱ】列方程解决问题（增长/减少率问题）：（1）某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元，该公司缴税的年平均增长率为多少？（2）某种电脑，原售价7200元/台，经连续两次降价后，现售价为3528元/台，则平均每次降价的百分率为______. （3）某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为_______________________.（4）某商场今年1月份销售额为100万元，2月份销售额下降了10%，该商场马上采取措施，改进经营管理，使月销售额大幅上升，4月份的销售额达到129.6万元，求3、4月份月销售额的平均增长率.14.1、【综合Ⅱ】列方程解决问题（增长/减少率问题）：（1）某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率.（2）某市2011年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市国土面积的百分比）仅为4.85%，经过两年的努力，该市2013年年底自然保护区覆盖率达到8%，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率（结果精确到0.1%）.15、【综合Ⅰ】列方程解决问题（数字问题）：（1）两个数的差等于4，积等于45，求这两个数.（2）有这样一道阿拉伯古算题：有两笔钱，一多一少，其和等于20，积等于96，多的一笔被许诺赏给乔治，那么乔治得到多少钱？ （3）若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( )A. 11B. 15C. -15 D .±15（4）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？15.1、【综合Ⅱ】 列方程解决问题（数字问题）（1）一个两位数，它的十位数字比个位数字小4，若把这两个数字位置调换，所得的两位数与原两位数的乘积等于765，则原两位数是_______（2）有一个两位数，十位数字比个位数字大3，而此两位数比这两个数字之积的2倍多5，求这个两位数. 16、【综合Ⅱ】列方程解决问题（距离问题）：（1）一个直角三角形的斜边长7 cm ，一条直角边比另一条直角边长1 cm ，求两条直角边的长度.（2）一个搭在墙边的梯子的长度是13 m ，梯子顶端靠在墙面上并且与地面的垂直距离是12 m ，那么梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ （3）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何.” 大意是说：已知甲乙二人同时从同一地点出发. 甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇. 那么相遇时，甲、乙各走了多远.（4）如图，在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝30 cm ，BC ＝25 cm. 动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动，速度是2 cm/s ；动点Q 从点B 出发，沿BC 方向运动，速度是1 cm/s ，请问几秒后P 、Q 两点相距25 cm.17、【综合Ⅲ】 列方程解决问题（其他问题）：（1）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数是多少人？（2）王洪存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为（ ）．A ．5%B ．20%C ．15%D ．10%九（上）第二章一元一次方程 【分节练习答案】 第1节答案1、【答案】 选B 1.1、【答案】 选D 1.2、【答案】 3 m2、【答案】 一般形式：0323652＝－＋x x ，二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是－32.3、【答案】 （1）设最短边是x ，则其他两边是（1＋x ）和（2＋x ），根据题意可列方程为 22221）＋＝（）＋＋（x x x ； （2）设宽是x m ，则长是)2(＋x m ，根据题意可列方程120)2(＝＋x x（3）设这个正方形的边长是x m ，根据题意可列方程54)2)(5(＝＋＋x x第2节答案4、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 4.1、【答案】（1）11＝x ，612＝x ； （2）31＝x ，562＝－x ； （3）41＝x ，4132＝－x ； （4）5211±－＝x5、【答案】（1）解：设增加的行、列数都是x ，根据题意可列方程 12869)12)(8(⨯＋＝＋＋x x 解得31＝x ，232＝－x （舍去）； 答：增加的行数、列数都是3.（2）解：设共有x 只猴子，根据题意可列方程 12812＝）－（x x解得161＝x ，482＝x ； 答：共有16只或48只猴子. （3）解：设道路的宽应为x m ，根据题意可列方程 850)26)(35(＝－－x x解得11＝x ，602＝x （舍去）； 答：道路的宽应为1米.（4）过P 作PE ⊥DC 于点E ，第3节答案6、【答案】（1）91＝x ，22＝－x ； （2）2121＝＝x x . （3）41＝x ，12＝x ； （4）2221＋－＝x ，2222－－＝x .6.1、【答案】（1） 4179±＝x ； （2） 3121＝－＝x x ； （3） 411＝x ，432＝－x ； （4）262±＝x .6.2【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x ； (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7； （3）21＝x ，312＝－x ； （4）61311±＝x . 6.3、【答案】 选C 6.4、【答案】 实数x 的值是－1或4 7、【答案】 （1）两个不相等的实数根； （2）没有实数根； （3）有两个相等的实数根.7.1、【答案】 （1）2224）－＝（－m ac b 0≥，所以方程总有两个实数根；（2）由求根公式得： 11＝x ，mx 22＝，所以1＝m 或2. 8、【答案】 （1）解：设这三边分别是x 、2＋x 、4＋x ，根据题意可列方程 222)4()2(＋＝＋＋x x x 解得61＝x ，22＝－x （舍去）； 答：三边长是6、8、10. （2）解：设这个木箱的宽是x dm ，则长为（5＋x ）dm ，根据题意可列方程 528)5(8＝＋x x解得61＝x ，112＝－x （舍去）； 答：这个木箱的宽是6 dm ，长是11 dm.（3）解：设圆柱的底面圆半径为r cm ， ∴S 圆柱表＝π2·r ·15＋π22r ＝π200∴（舍去）＝－，＝20521r r ， 答：圆柱的底面半径为5 cm.（4）解：设金色纸边的宽是x cm ，根据题意可列方程 4090%72)240)(290(⨯⨯＝＋＋x x 解得51＝x ，702＝－x （舍去）； 答：金色纸边的宽应该是5 cm. （5）（6）（7）123或＝a .第4节答案9、【答案】（1）3021＝，＝x x ； （2）54021＝，＝x x ； （3）4221＝，＝－x x ； （4）2121＝，＝x x ； 9.1、【答案】（1）3121＝－＝x x ；（2）11＝x ，322＝－x ； （3）231＝－x ，212＝x ； （4）31＝x ，92＝x . 9.2、【答案】 周长是12.9.3、【答案】 （1）4021＝，＝x x ； （2）53121＝－，＝－x x ； （3）6121＝，＝－x x ； （4）1321＝－，＝－x x ； （5）22121＝－，＝x x .10、【答案】（1）解：设这个数是x ，根据题意可列方程 x x 722＝ 解得 27021＝，＝x x ； 答：这个数是0或27. （2）* 第5节答案11、【答案】 （1）721＝－＋x x ，1x ·62＝x ； （2）2321＝＋x x ，1x ·12＝－x . 11.1、【答案】 另一个根是－3. 11.2、【答案】 2111x x ＋＝3－，2221x x ＋＝11.第6节答案12、【答案】 （1）（2）解：设花边的宽为x m ，根据题意可列方程 18)25)(28(＝－－x x解得11＝x ，5.52＝x （舍去）； 答：花边的宽是1米。