直接证明与间接证明导学案

§2.2 直接证明和间接证明预习案考纲解读：了解直接证明的两种基本方法----分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程、特点；了解间接证明的一种方法----反证法，了解反证法的思考过程、特点.学习目标：1．能用直接法证明一般的数学问题2．会用反证法证明一般的数学问题学习重点：直接法证明数学问题学习难点：反证法证明数学问题预习要求：请同学们自己预习课本63--67页内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题.教材助读：1．直接证明----综合法、分析法(1)综合法用综合法解题的逻辑关系是：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒ 综合法的思维特点是：由因导果即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 (2)分析法用分析法解题的逻辑关系是：()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐ 分析法的思维特点是：执果索因 分析法的书写格式： 要证明命题B 为真，只需要证明命题1B 为真，从而有…… 这只需要证明命题2B 为真，从而又有…… ……这只需要证明命题A 为真而已知A 为真，故命题B 必为真 2．直接证明----反证法小故事：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事。

王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子。

小伙伴们纷纷去摘果子，只有王戎站在原地不动。

有人问王戎为什么？王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李。

”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李。

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立。

证明步骤：① 反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。

② 归谬：从假设出发，经过正确的推理证明，得出矛盾。

③ 结论：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。

思维方法：正难则反关键在与：从假设出发，在正确的推理下得出矛盾（与已知矛盾，与假设矛盾，与定义、定理、公理矛盾，与事实矛盾等）。

预习自测：1．设在四面体P ABC -中,90,,ABC PA PB PC ∠=︒==D 是AC 的中点.求证:PD 垂直于ABC ∆所在的平面.2．在四面体S ABC -中,,SA ABC AB BC ⊥⊥面,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证AF SC ⊥. 证明：要证3．用反证法证明：过一点与一平面垂直的直线只有一条。

预习疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究点1:综合法例1.①已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥.②已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证:.bam b m a >++变式练习：已知,,+∈R b a 求证.a b b a b a b a ≥探究点2：分析法 例2.求证5273<+变式练习：①证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大②求证：)3(321≥---<--a a a a a探究点3：反证法例3.不是有理数.变式练习： ①{}{}1n n 12b b .43n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭已知数列的通项公式，证明：数列中的任意三项不可能成等差数列②证明：1.当堂检测：1.如果3sin sin 2+βαβ=（），求证：tan()2tan αβα+=.2.设a 为实数，2()f x x ax a =++.求证：(1)f 与(2)f 中至少有一个不小于12.§2.3.1数学归纳法预习案考纲解读：了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

①了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

①使学生进一步了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质。

②理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数n 有关问题。

①数学归纳法证明与自然数有关的命题步骤; ②数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明1n k =+时命题成立高 考 回 放山东卷全国卷（山东01模拟）用数学归纳法证明)14(31)12(53122222-=-++++n n n 过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ）A.2)2(kB.2)32(+k C. 2)12(+k D. 2)22(+k（全国02模拟）用数学归纳法证明不等式)2(241321312111≥>++++++n n n n n 的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项)1(21+kB.增加了一项)1(21121+++k k C.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ”学习目标：1、使学生进一步了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质。

2、理解数学归纳法原理并能用数学归纳法证明一些与自然数n 有关问题。

学习重点：数学归纳法证明与自然数n 有关的命题步骤;学习难点: 数学归纳法第二步如何利用归纳假设证明1n k =+时命题成立预习要求：请同学们自己预习课本内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题.教材助读：1. 一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n = 0n 时命题成立；（2）（归纳递推）假设____________时命题成立，证明______________时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

上述证明方法叫做数学归纳法。

注：（1），（2）两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。

2.运用数学归纳法时易犯的错误 （1）对项数估算的错误，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。

（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。

（3）关键步骤含糊不清，“假设n ＝k 时结论成立，利用此假设证明n ＝k ＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。

预习自测1. 用数学归纳法证明：11112321n n +++⋅⋅⋅+<-（*N n ∈，且1>n ）时，第一步即证下列哪个不等式成立（ ）A. 12<B. 1122+< C. 111223++< D. 1123+< 2.用数学归纳法证明：)1(12131211>∈<-+⋅⋅⋅+++n N n n n且，第二步证明从“K 到K+1”，左端增加的项数是 （ ） A. 12-k B. k 2 C. k 2-1 D. k2+13.用数学归纳法证明1222()n n n n N +≥++∈时，第一步证明n =____.4. 用数学归纳法证明：2＋4＋6＋…＋2n ＝2n n +预习疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究点1：利用数学归纳法证明等式例1、用数学归纳法证明：*N n ∈时，1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++变式练习：用数学归纳法证明：22222246(2)(1)(21)3n n n n +++⋅⋅⋅+=++探究点2：由“K 到K+1”左端增加的项数例2、用数学归纳法证明22221135(21)(41)3n n n +++⋅⋅⋅+-=-过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为 （ ）A.2)2(k B.2)32(+k C. 2)12(+k D. 2)22(+k变式练习：1.用数学归纳法证明不等式111113(2)123224n n n n n ++⋅⋅⋅+=≥+++的过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项)1(21+k B.增加了一项)1(21121+++k k C.增加了“)1(21121+++k k ”，又减少了“11+k ” D.增加了“)1(21+k ”，又减少了“11+k ” 2.用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)nn n n n n ++⋅⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-*()n N ∈时，从“n k =到1+=k n ”，左边需增乘的代数式是（ ） A. 12+kB. 112++k k C. )12(2+k D. 132++k k当堂检测：1.用数学归纳法证明“)(12222112+-∈-=+⋅⋅⋅+++N n n n ”的过程中，第二步k n =时成立，则当1+=k n 时应证明 ( ) A.12222211122-=++⋅⋅⋅++++--k k k B.11221222221+++-=+++⋅⋅⋅+++k k k kC.122221112-=+⋅⋅⋅++++-k k D.k k k k 2122222112+-=+++⋅⋅⋅+++-2.空间中有n 个平面，它们中任何两个不平行，任何三个不共线，设k 个这样的平面把空间分成)(k f 个区域，则1+k 个平面把空间分成的区域数+=+)()1(k f k f （ ）A. 1+kB. kC. 1-kD. k 23.用数学归纳法证明某命题时,左式为111111234212n n ⋅⋅+⋅-+-+--,n k =到1n k =+时应将左边加上( )111111....212124222122A B C D k k k k k k ---+-++++4．若11111()1234212f k k k=-+-+⋅⋅⋅+--则)1(+k f = )(k f + _______．§2.3.2数学归纳法应用举例预习案考纲解读：理解数学归纳法原理，并能用数学归纳法证明一些与自然数n 有关问题.,1722315+>++++>学习目标: 1.理解数学归纳法原理；2.掌握数学归纳法的证明步骤；3.会用数学归纳法表达证明过程. 学习重点：会用数学归纳法证明.学习难点：数学归纳法第二步中，如何利用假设证明1n k =+时命题成立.预习要求：请同学们自己预习课本71-72页内容，有困难或疑问请用红笔标注，并独立完成下面的问题. 教材助读：一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：⑴证明当n 取_______时,命题成立； ⑵假设__________时命题成立，证明当________时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.注：⑴、⑵两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题. 预习自测：1.若命题()P n 对n k =成立, 则它对2n k =+时也成立, 并且已知命题(2)P 成立, 则下列结论正确的是( )A.()P n 对每一个自然数n 都成立B.()P n 对每一个正偶数n 都成立C.()P n 对每一个正奇数n 都成立D.()P n 对所有大于1的自然数n 都成立2.1(*)n n N <+∈,某同学用数学归纳法证明过程如下：⑴当1n =时,11<+, 显然命题是正确的;⑵假设(*)n k k N =∈时,1k <+,那么当1n k =+时=(1)1k <=++,∴1n k =+时命题是正确的,由⑴、⑵可知对于*n N ∈,命题都是正确的. 以上证法( )A.正确B.当1n =时,证明过程不正确C.归纳假设的过程不正确D.从n k =到1n k =+的推理不正确.3.用数学归纳法证明22111(,1)1n n a a a an N a a++-+++⋅⋅⋅+=∈≠-中,证明1n =时,左边式子应为________.预习疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究点1：证明等式问题例1.用数学归纳法证明:222112(1)(21)6n n n n ⋅⋅⋅+++=++.变式练习：已知数列{}n a ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且112n n na S a =+-,且0()n a n N +>∈.⑴写出数列{}n a 的前三项;⑵猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.探究点2：证明不等式问题例2.求证:当,2n N n +∈≥时,22211111223n n⋅⋅+⋅+++<-.变式练习：证明不等式1(*)n N ⋅⋅⋅<+<∈.探究点3：证明整除问题例3.用数学归纳法证明:22nn x y -(*)n N ∈能被x y +整除.变式练习： 用数学归纳法证明:2121(*)n n x y n N --+∈能被x y +整除.探究点4：证明几何问题例4.求证:n 棱柱中过侧棱的对角面的个数1()(3)(4)2f n n n n =-≥.变式练习：平面内有(2)n n ≥条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点. 证明直线交点个数为1()(1)2f n n n =-.课后检测：1.用数学归纳法证明：112121cos cos3cos(21)sin cos (,)2sin 22n n n k n N θθθθθθπθ++-++++⋅-=⋅≠∈⋅⋅⋅.证明1n =时,左边的代数式为( )1111..cos .cos cos3.cos cos3cos52222A B C D θθθθθθ++++++ 2.用数学归纳法证明“52nn-能被3整除”的第二步中，1n k =+时，为了使用假设，应将1152k k ++-变形为______.3.根据下列不等式:11111131111,11,1,12,22323722315>+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+>++++>++++>⋅⋅⋅,能否猜想一个一般的不等式. 并证明你的结论.4.求证:凸n 边形的内角和为()(2)180(3)f n n n =-⨯︒≥.5.是否存在常数a b 、使等式112(1)3(2)(1)21()()6n n n n n n n a n b ⋅+⋅-+⋅-++-⋅⋅+⋅=+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立，并证明你的结论.。