2021-2021学年市高一上学期期末数学试题(解析版)2021至2021高二数学期末卷
2021-2022学年浙江省嘉兴市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省嘉兴市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0≤x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，0〗B．（﹣1，2）C．〖0，1）D．（0，1）2．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P（﹣，），则tanθ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．﹣3．已知命题p：∃a∈N，a≥100，则￢p为（）A．∃a∈N，a≤100B．∃a∈N，a＜100C．∀a∈N，a≤100D．∀a∈N，a＜1004．设a，b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到函数f（x）的图象，则（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝（﹣1）•sinx的图象大致形状为（）A．B．C．D．7．设函数f，若关于x的方程f（x）＝t有四个实根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则x1+x2+2x3+的最小值为（）A．B．16C．D．178．已知a，b，c都是正实数，设，则下列判断正确的是（）A．0＜M≤1B．C．D．1＜M＜2二、选择题II：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（t）＝t2，g（x）＝x2B．f（x）＝cosx，g（x）＝sin（x+）C．f，g（x）＝D．f（x）＝log4x，g（x）＝log210．血压是指血液在血管内流动时作用单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在末使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人收缩压≥140mmHg或舒张压≥90mmHg，则说明这位成人有高血压．设从末使用过抗高血压药的小王今年26岁，从某天早晨6点开始计算（即早晨6点起，t＝0），他的血压p（t）（单位：mmHg）与经过的时间t（单位：h）满足关系式p（t）＝116+22sin（t+），则（）A．血压p（t）的最小正周期为6B．当天下午3点小王的血压为105mmHgC．当天小王有高血压D．当天小王的收缩压与舒张压之差为44mmHg11．已知函数f（x）＝ln（x2﹣ax﹣a﹣1），下列说法正确的有（）A．不存在实数a，使f（x）的定义域为RB．函数f（x）一定有最小值C．对任意正实数a，f（x）的值域为RD．若函数f（x）在区间〖2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）12．已知正实数x，y满足x+2y＝2，若不等式3x2﹣2m2xy+6y2+2x+4y＞0恒成立，则实数m的值可以为（）A．﹣4B．﹣2C．1D．3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？“意思是：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出扇形面积计算方法：以径乘周，四而一．意思是：将直径乘以弧长再除以4．则此问题中，扇形的面积是平方步．14．计算：＝．15．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）+f（x）＝0，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，则f（2022）＝．16．设函数，若存在实数x1，x2，满足1＜x1＜x2＜2，使f（x1）+ f（x2）≥4成立，则实数a的取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}，集合B＝{x|2x﹣1＞2a}．（1）若a＝1，求A∩B；（2）若A⊆∁R B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知．（1）求的值；（2）若，求cosβ的值．19．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求实数k的值；（2）若函数f（x）满足f（1）＜0，且对任意x＞1，不等式f（log2x+2）+f（log x2﹣t）＜0恒成立，求实数t的取值范围．20．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求f（x）的最值及取得最值时x的值．21．（12分）我国承诺2030年前达“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．“碳达峰”就是我们国家承诺在2030年前，二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；而到2060年，针对排放的二氧化碳，要采取植树、节能减排等各种方式全部抵消掉，这就是“碳中和”﹣嘉兴某企业响应号召，生产上开展节能减排．该企业是用电大户，去年的用电量达到20万度，经预测，在去年基础上，今年该企业若减少用电x万度，今年的受损效益S（x）（万元）满足S．为解决用电问题，今年该企业决定进行技术升级，实现效益增值，今年的增效效益Z（x）（万元）满足Z，政府为鼓励企业节能，补贴节能费n（x）＝100x万元．（1）减少用电量多少万度时，今年该企业增效效益达到544万元？（2）减少用电量多少万度时，今年该企业总效益最大？22．（12分）已知函数f（x）＝2ax2+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）．（1）若a+b+2c＝0，且f（0）•f（1）＞0，求的取值范围；（2）若f（x）在〖﹣1，1〗上有零点，求证：当a≥﹣1时，c≤|b|+|a﹣1|．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题I：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗∵A＝{x|0≤x＜2}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∪B＝（﹣1，2）．故选：B．2．C〖解析〗∵平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点与原点O重合，它的始边与x轴的非负半轴重合，终边OP交单位圆O于点P（﹣，），则tanθ＝＝﹣，故选：C．3．D〖解析〗命题为特称命题，则命题的否定为∀a∈N，a＜100，故选：D．4．A〖解析〗若a＞b＞0，则﹣＝＜0，即＜出成立．若＜则﹣＝＜0，a＞b＞0或0＞a＞b所以“a＞b＞0是＜”的充分不必要条件．故选：A．5．C〖解析〗若函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到y＝sin2（x+）＝sin（2x+）．故选：C．6．A〖解析〗∵f（x）＝（﹣1）•sin x，∴f（﹣x）＝（﹣1）•sin（﹣x）＝﹣（﹣1）sin x＝（﹣1）•sin x＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，故排除C，D，当x＝2时，f（2）＝（﹣1）•sin2＜0，故排除B，故选：A．7．B〖解析〗作出函数f的图象如图所示，由图可知，x1+x2＝4，由|log2（x﹣4）|＝f（2）＝4，可得x＝或x＝20，故5＜x4＜20，又因为log2（x3﹣4）+log2（x4﹣4）＝0，所以（x3﹣4）（x4﹣4）＝1，故x3＝+4，所以x1+x2+2x3+＝4+2（+4）+＝4++（x4﹣4）+10＝14++（x4﹣4）≥14+2＝16，当且仅当＝（x4﹣4），即x4＝6时取等号，所以x1+x2+2x3+的最小值为16．故选：B．8．D〖解析〗根据题意，＜＜，①同理：＜＜，②＜＜，③①+②+③可得：1＜M＜2，故选：D．二、选择题II：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．ABD〖解析〗A．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数，B．g（x）＝cos x，两个函数的定义域都是R，对应法则相同，是同一函数，C．f（x）＝x（x≥0），两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，D．f（x）与g（x）的定义域是（0，+∞），g（x）＝log4x，两个函数定义域和对应法则相同，是同一函数，故选：ABD．10．BCD〖解析〗选项A：由函数解析式可得函数的最小正周期为T＝，故A错误，选项B：当t＝9时，p（t）＝116+22sin（+）＝116﹣22×＝116﹣11＝105，故B正确，选项C：当，即t＝1时，p（t）max＝116+22×1＝138＜140，当，即t＝7时，p（t）min＝116﹣22×1＝94≥90，所以当天小王有高血压，故C正确，选项D：由选项C可得：138﹣94＝44，即当天小王的收缩压与舒张压之差为44mmHg，故D正确，故选：BCD．11．CD〖解析〗若f（x）的定义域为R，则x2﹣ax﹣a﹣1＞0对任意x∈R恒成立，即Δ＝（﹣a）2﹣4（﹣a﹣1）＝a2+4a+4＜0，此不等式无解，故A正确；∵x2﹣ax﹣a﹣1＝0的判别式≥0恒成立，∴x2﹣ax﹣a﹣1没有大于0的最小值，即函数f（x）无最小值，故B错误；方程x2﹣ax﹣a﹣1＝0的两根分别为﹣1，a+1，当x＞a+1时，x2﹣ax﹣a﹣1能取到大于0的所有实数，则对任意正实数a，f（x）的值域为R，故C正确；若函数f（x）在区间〖2，+∞）上单调递增，则g（x）＝x2﹣ax﹣a﹣1在区间〖2，+∞）上单调递增，且大于0恒成立，即解得a＜1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，1），故D正确．故选：CD．12．BC〖解析〗由3x2﹣2m2xy+6y2+2x+4y＞0得3x2+6y2+2x+4y＞2m2xy，∵x＞0，y＞0，∴m2≤，∵x+2y＝2（x＞0，y＞0），∴（x+2y）2＝4，又2（x+2y）＝4，∴（x+2y）2＝2（x+2y）＝2x+4y，即x2+4xy+4y2＝2x+4y．则＝＝＝++2≥2+2＝2+2，当且仅当＝时取等号，∴m2≤2+2，则m＝﹣2或m＝1满足不等式，故选：BC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．120〖解析〗由题意，扇形中，弧长为30，直径为16，面积为S＝30×16÷4＝120．故答案为：120．14．4〖解析〗＝lg2﹣1++lg50＝lg（2×50）﹣1+3＝2﹣1+3＝4，故答案为：4．15．0〖解析〗因为f（x+6）+f（x）＝0，所以f（x+6）＝﹣f（x），所以f〖（x+6）+6〗＝﹣f（x+6）＝f（x），即有f（x+12）＝f（x），所以f（x）为周期函数且T＝12，又因为y＝f（x﹣1）的图象是由y＝f（x）的图象向右平移1个单位得到的，且y＝f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称，所以y＝f（x）的图象关于（0，0）对称，所以y＝f（x）是奇函数，又因为定义域为R，所以f（0）＝0，又因为2022＝168×12+6，所以f（2022）＝f（6）＝f（6﹣12）＝f（﹣6）＝﹣f（6），所以f（6）＝0，所以f（2022）＝0．故答案为：0．16．（3，+∞）〖解析〗由题知，在（1，2）上单调递增，只需（1）当，即a≥4 时，f（1）＞f（2），则a﹣1＞2，a＞3，所以a≥4；（2）当，即1＜a＜4时，若f（1）≥f（2），即时，a﹣1＞2，a＞3，所以3＜a＜4；若f（1）＜f（2），即a＜2时，，所以a无解；（3）当，即0＜a≤1时，f（1）＜f（2），则，所以a无解；综上所述，a＞3．故答案为：（3，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：（1）集合A＝{x|x2﹣x﹣6≤0}＝{x|﹣2≤x≤3}，a＝1，集合B＝{x|2x﹣1＞2a}＝{x|x＞2}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}；（2）∵集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，集合B＝{x|2x﹣1＞2a}＝{x|x＞a+1}，∵A⊆∁R B，∁R B＝{x|x≤a+1}，∴a+1≥3，解得a≥2．∴实数a的取值范围是〖2，+∞）．18．解：（1）由tanα＝，可得sinα＝cosα，所以＝＝＝2；（2）由（1）知得sinα＝cosα，又sin2α+cos2α＝1，所以cos2α+cos2α＝1，所以cos2α＝，又α∈（0，），所以cosα＝，所以sinα＝，由，所以α﹣β的终边可在第四象限或第一象限，当α﹣β的终边在第四象限时，sin（α﹣β）＝﹣＝﹣，所以cosβ＝cos〖α﹣（α﹣β）〗＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝×+×（﹣）＝；当α﹣β的终边在第一象限时，sin（α﹣β）＝＝，所以cosβ＝cos〖α﹣（α﹣β）〗＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝×+×＝，综上所述：cosβ＝或cosβ＝．19．解：（1）因为f（x）＝a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（0）有意义，所以f（0）＝1﹣（k﹣1）＝0，解得k＝2；（2）∵f（1）＝a﹣＝＜0，所以0＜a＜1，∴y＝a x与y＝﹣a﹣x均是R上的单调减函数，∴f（x）＝a x﹣a﹣x是R上的单调减函数；又∀x＞1，不等式f（log2x+2）+f（log x2﹣t）＜0恒成立⇔∀x＞1，不等式f（log2x+2）＜f（t﹣log x2）恒成立⇔∀x＞1，不等式log2x+2＞t﹣log x2恒成立，①令s＝log2x（x＞1），则s＞0，∴①式可化为s+2＞t﹣（s＞0）恒成立，∴t﹣2＜（s+）min，∵s+≥2＝2（当且仅当s＝1时取等号），∴t﹣2＜2，解得t＜4，综上实数t的取值范围为（﹣∞，4）．20．解：（1）＝2cos（2x+）；所以函数的最小正周期为；令（k∈Z），整理得（k∈Z），故函数的单调递增区间为〖〗（k∈Z）．（2）由于，所以；故，则f（x）∈〖﹣2，0〗．当x＝时，函数取得最大值0，当x＝时，函数取得最小值﹣2．21．解：（1）由已知可得Z（x）＝，即Z（x）＝，当0≤x≤4时，Z（x）＝50x≤50×4＝200＜544，当4＜x≤20时，令Z（x）＝544，即﹣＝544，整理可得：19x2﹣75x﹣100＝0，解得x＝5或﹣（舍去），所以当减少用电量5万度时，今年该企业增效效益达到544万元；（2）设总效益为W（x），则W（x）＝Z（x）﹣S（x）+n（x），即W（x）＝，即W（x）＝，当0≤x≤4时，W（x）＝﹣50（x﹣），当x＝时，W（x），当4＜x≤20时，W（x）＝﹣+120＝﹣400（），当，即x＝8时，W（x），所以减少用电量8万度时，今年该企业总效益最大，且最大为万元．22．解：（1）f（0）⋅f（1）＝c（2a+b+c）＞0，由于a+b+2c＝0，则c（c﹣a）＜0，解得．证明：（2）由条件知，∃x0∈〖﹣1，1〗，满足．①当a＞0时，，当且仅当，即a＝1，x0＝0，b＝c＝0时取等号；②当﹣1≤a＜0 时，．当且仅当时取等号，即时取等号．。
2021-2022学年湖北省武汉市部分省示范高中高一上学期期末考试数学试题(解析版)
湖北省武汉市部分省示范高中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．设集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{1，2}D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定为（）A．∀x∈R，x2+x+1≤0B．∃x∈R，x2+x+1≤0C．∃x∈R，x2+x+1＜0D．∃x∈R，x2+x+1＞03．已知某扇形的圆心角为3弧度，弧长为6，则扇形的面积为（）A．2B．3C．6D．124．函数的大致图象是（）A．B．C．D．5．设函数，若对于任意的实数x，恒成立，则ω的最小值等于（）A．B．C．D．6．已知f（x）＝|tan（x+φ）|，则“函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（）A．（2，+∞）B．C．D．8．已知函数f（x）为R上的偶函数，且对任意x1，x2∈（0，+∞），均有（x1﹣x2）〖f（x1）﹣f（x2）〗＜0成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分.9．用二分法求函数f（x）＝x3+x2﹣2x﹣2的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝﹣2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈﹣0.984，f（1.375）≈﹣0.260，关于下一步的说法不正确的是（）A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）10．对于函数，下列说法正确的是（）A．最小正周期为πB．其图象关于点对称C．对称轴方程为D．单调增区间11．已知函数f（x）＝ln x+ln（2﹣x），则下列四个命题中正确命题的是（）A．在（0，1）上单调递减B．（1，2）上单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的值域为〖0，+∞）12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）＝f（x）+f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则f（x）满足（）A．f（0）＝0B．y＝f（x）是偶函数C．f（x）在〖m，n〗上有最大值f（m）D．f（x﹣1）＞0的解集为（﹣∞，1）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数的定义域是．14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上的一点，且sinθ＝﹣，则y＝．15．已知sin，α∈（0，π），则tanα＝．16．函数f（x）＝a2x+a x+1（a＞0，且a≠1）在〖﹣1，1〗上的最大值为13，则实数a的值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知，且．（1）求tanα的值；（2）求的值．18．已知函数．（1）判断函数f（x）的单调性，并用单调性定义证明；（2）若f（x）为奇函数，求满足的x的取值范围．19．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比；若在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元．记两项费用之和为w．（1）求w关于x的〖解析〗式；（2）这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．20．函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为．（1）求函数f（x）在〖0，π〗上的单调增区间；（2）当时，求f（x）的值域．21．如图，过函数f（x）＝log c x（c＞1）的图像上的两点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为M（a，0），N（b，0）（b＞a＞1），线段BN与函数g（x）＝log m x（m＞c＞1）的图像交于C点，且AC垂直于y轴．（1）当a＝2，b＝4，c＝4时，求实数m的值；（2）当b＝a2时，求的最小值．22．已知a＜0，函数f（x）＝a cos x++，其中x∈〖﹣，〗．（1）设t＝+，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；（3）若对区间〖﹣，〗内的任意x1，x2，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，求实数a的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C〖解析〗因为集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x∈N*|0＜x＜4}＝{1，2，3}，则A∩B＝{1，2}．故选：C．2．B〖解析〗由题意∀x∈R，x2+x+1＞0，否定是∃x∈R，x2+x+1≤0，故选：B．3．C〖解析〗∵扇形的圆心角α为3弧度，弧长l为6，设扇形的半径为r，面积为s，则l＝αr，∴r＝＝2，∴s＝lr＝×6×2＝6．∴该扇形的面积为6．故选：C．4．A〖解析〗函数的定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）＝＝＝f（x），则f（x）为偶函数，排除C，当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除D，当x＞0时，f（x）＝＝x﹣为增函数，排除B，故选：A．5．C〖解析〗∵对于任意的实数x，恒成立，∴f（）是函数的最大值，故2ω×+＝2kπ+，k∈Z，即ω＝3k+，k∈Z，令k＝0，可得ω的最小值为，故选：C．6．B〖解析〗∵f（x）＝|tan（x+φ）|，由“函数f（x）的图象关于y轴对称”，可得y＝tan（x+φ）是奇函数，可得“φ＝（k∈Z）”，故充分性不成立．由φ＝kπ（k∈Z），可得y＝tan（x+φ）＝tan x，可得f（x）＝|tan（x+φ）|＝|tan x|为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，故必要性成立，∴函数f（x）的图象关于y轴对称”是“φ＝kπ（k∈Z）”的必要不充分条件，故选：B．7．D〖解析〗当x≤0时，f（x）＝＝＝2+＜2，所以函数f（x）在（﹣∞，0〗上单调递减，y＝x2﹣x﹣3＝（x﹣）2﹣，f（）＝﹣，令g（x）＝0，得f（x）＝m，作出函数y＝f（x），y＝m的大致图象如图所示，观察可知，m∈（﹣，2），故选：D．8．A〖解析〗由题意得，偶函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，b＝f（log2）＝f（﹣log23）＝f（log23），＝8，（）6＝e2，而8＞e2，故，又log23＝1+log2＞1+log2＝＞，所以log23＞＞＞0，又f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（log23）＜f（）＜f（e），所以b＜a＜c．故选：A．二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，少选得2分，多选得0分. 9．ABD〖解析〗由二分法知，方程x3+x2﹣2x﹣2＝0的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选：ABD．10．AC〖解析〗函数，所以对于A：函数的最小值正周期为π；当故A正确；对于B：x＝时，f（）＝3，故B错误；对于C：当，整理得，故C正确；对于D：令（k∈Z）；整理得（k∈Z）；故函数的单调递增区间为；故D错误．故选：AC．11．BC〖解析〗对于函数f（x）＝ln x+ln（2﹣x），有，解得0＜x＜2，所以，函数f（x）的定义域为（0，2），且f（x）＝ln（2x﹣x2）．对于AB选项，内层函数u＝2x﹣x2在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，由于外层函数y＝ln u为增函数，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，A错B对；对于C选项，f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+ln〖2﹣（2﹣x）〗＝ln（2﹣x）+ln x＝f（x），所以，函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C对；对于D选项，当0＜x＜2时，2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1∈（0，1〗，故f（x）＝ln（2x﹣x2）∈（﹣∞，0〗，D错．故选：BC．12．ACD〖解析〗A，令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0），解得f（0）＝0，故A正确，B，令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故B错误，C．设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，由题意可得，f（x1﹣x2）＞0，即f（x1）+f（﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），故函数f（x）在R上的减函数，f（x）在〖m，n〗上的最大值为f（m），故C正确，f（x﹣1）＞0等价于f（x﹣1）＞f（0），∵f（x）为R上的减函数，∴x﹣1＜0，解得x＜1．即不等式的解集为{x|x＜1}，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（﹣3，2〗〖解析〗∵，∴，∴﹣3＜x≤2，∴函数的定义域为（﹣3，2〗．故〖答案〗为：（﹣3，2〗．14．﹣8〖解析〗若P（4，y）是角θ终边上的一点，则点P到原点的距离r＝，则＝，则y＝﹣8，故〖答案〗为：﹣8.15．﹣〖解析〗已知sin，α∈（0，π），sin2α+cos2α＝1，sinα＞0，∴sinα＝，cosα＝﹣，则tanα＝＝﹣，故〖答案〗为：﹣．16．3或〖解析〗令t＝a x，则原函数可化为g（t）＝t2+t+1，对称轴为t＝﹣，显然该函数在〖，+∞）上单调递增，当a＞1时，t∈〖，a〗，g（t）max＝g（a）＝a2+a+1＝13，解得a＝3或﹣4（舍）；当0＜a＜1时，t∈〖a，〗，g（t）max＝g（）＝13，解得a＝或﹣，综上可知：a的取值为3或．故〖答案〗为：3或．四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．解：（1）因为，且，所以cosα＝﹣＝﹣，所以tanα＝＝﹣2；（2）＝＝＝＝＝．18．解：（1）在R上单调递增，证明如下：设x1＜x2，则，所以f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增；（2）因为为奇函数且函数定义域R，所以f（0）＝a﹣1＝0，即a＝1，此时f（x）＝1﹣＝，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），满足题意，故f（x）＝，因为f（x）单调递增，由得，，所以x＜﹣3，所以x的取值范围为{x|x＜﹣3}．19．解：（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与（x+1）成反比，∴可设，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2＝k2（4x+1），∵在距离车站3km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和6.5万元，∴k1＝4×12.5＝50，，则，y2＝2x+0.5，故w＝．（2）w＝＝≥，当且仅当，即x＝4时，等号成立，故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为18.5万元．20．解：（1）函数图像的相邻对称轴与对称中心之间的距离为，故T＝π，所以ω＝2；故函数f（x）＝2sin（2x+）；令（k∈Z），整理得：（k∈Z）；由于x∈〖0，π〗，故函数的单调递增区间为〖0，〗和〖〗．（2由于，故，故f（x）∈〖﹣1，2〗．21．解：（1）由题意得A（2，log42），B（4，1），C（4，log m4）．又AC与y轴垂直，∴log m4＝log42＝，解得m＝16．（2）由题意得A（a，log c a），B（b，log c b），C（b，log m b）．∵AC与y轴垂直，∴log m b＝log c a．∵b＝a2，∴m＝c2，∴＝﹣＝﹣1，∴当＝1时，的最小值为﹣1．22．解：（1）∵，又∵，∴cos x≥0，从而t2＝2+2cos x，∴t2∈〖2，4〗．又∵t＞0，∴，∵，∴，.（2）求函数f（x）的最大值即求，的最大值．，对称轴为．当，即时，；当，即时，；当，即时，g max（t）＝g（2）＝a+2；综上可得，当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的最大值是；当时，f（x）的最大值是a+2；（3）要使得|f（x1）﹣f（x2）|≤1对区间内的任意x1，x2恒成立，只需f max（x）﹣f min（x）≤1．也就是要求g max（t）﹣g min（t）≤1对成立.∵当，即时，g min（t）＝g（2）＝a+2；且当时，.结合问题（2）需分四种情况讨论：①时，成立，∴；②时，，即，注意到函数在上单调递减，故p（a）＞p（）＝﹣，于是成立，∴；③时，即，注意到函数在上单调递增，故，于是成立，∴；④时，，即，∴；综上，实数a的取值范围是.。
2021-2022学年山东省济宁市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省济宁市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}03|A x x =≤≤， {}|14B x x =<<，则A B =（ ） A ．{}|13x x <≤ B ．{}|04x x ≤< C ．{}|13x x ≤≤ D ．{}|04x x <<【答案】B【分析】利用并集的概念求解即可.【详解】由{}03|A x x =≤≤， {}|14B x x =<<， 则A B ={}|04x x ≤<. 故选：B2．2x >是220x x ->的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】解不等式220x x ->得出解集，根据集合之间的包含关系得出两条件的充分必要性．【详解】由220x x ->解得：0x <或2x >，{}{}202x x x x x ⊂>≠或， 因此，2x >是220x x ->的充分不必要条件，故选A ．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性： （1）A B ，则“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件； （2）AB ，则“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件；（3）A B =，则“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件． 3．已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则()()2f f -=（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】D【分析】先根据分段函数求出()2f -，再根据分段函数，即可求出结果.【详解】因为()21224f --==， 所以()()12112log 244f f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭.故选：D.4．函数()212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间是（ ）A ．0,1B ．1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】根据解析式，结合指数函数、幂函数的单调性判断()f x 的单调性，再应用零点存在性定理判断零点所在区间.【详解】由2y x =-递增，1()2x y =-递增，则21()2x y -=-递增，又y x =递增，∴()212x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在定义域上递增，又()1111102f -⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，()2210f =->，∴零点所在区间是1,2. 故选：B.5．设2log 0.5a =，0.5log 0.2b =，122c =，则a ，b ，c 三个数的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b c a <<【答案】B【分析】由指对数函数的单调性判断a ，b ，c 三个数的大小.【详解】由120.50.522log 0.5log 10122log 0.25log 0.2c a b =<=<==<=<<， ∴a c b <<. 故选：B.6．函数()3ln f x x x =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】应用排除法，结合奇偶性定义判断()f x 奇偶性，由解析式判断1()2f 的符号，即可确定图象.【详解】由()33()ln ln ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-且定义域为{|0}x x ≠，函数为奇函数，排除A 、C ；又1ln 2()028f =-<，排除B. 故选：D.7．2021年，我国先后发射天河核心舱､问天实验舱和梦天实验舱后，中国空间站—“天宫空间站”基本完成组装，并拟在2022年完成建设.“天宫空间站”运行轨道可以近似看成圆形环地轨道，已知“天宫空间站”约90分钟绕地球飞行一圈，平均轨道高度约为388.6千米，地球半径约为6371.4千米，据此计算“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为（ ）千米.（参考数据 3.14π≈） A ．471.70 B ．450.67 C ．235.85 D ．225.33【答案】A【分析】由题设以(388.66371.4)+千米为轨道半径计算轨道长度，再除以飞行一圈的时间即可.【详解】由题设，“天宫空间站”每分钟飞过的长度约为()2388.66371.426760 3.14471.709090π⨯+⨯⨯≈=千米.故选：A.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对任意的1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()21210mf m m f m --->的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞【答案】C【分析】构造()()g x xf x =，根据已知条件，结合奇偶性、单调性的定义判断()g x 的奇偶性、单调性，再应用其性质解不等式即可.【详解】∵()f x 是定义在R 上的偶函数，令()()g x xf x =，则()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-， ∴()g x 是奇函数，又任意1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122121212()()0x f x x f x g x g x x x x x --=<--成立，∴()g x 在[)0,+∞单调递减，则(],0∞-单调递减，即()g x 在R 上递减， ∴()()()2121()(21)0mf m m f m g m g m ---=-->，则()(21)g m g m >-， ∴21m m <-，可得1m ，故解集为()1,+∞. 故选：C.【点睛】关键点点睛：构造()()g x xf x =，结合已知及奇偶性、单调性定义判断()g x 的性质，应用其性质解不等式. 二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a b >，c d <，则a c b d ->- B ．若0ab >且a b >，则11a b< C ．若0a b >>，0c d <<，则ac bd < D ．若0a b <<，则22a ab b <<【答案】ABC【分析】A 、C 、D 应用不等式性质即可判断真假；B 应用作差法，结合不等式性质判断真假.【详解】A ：由题设，a b >且c d ->-，则a c b d ->-，真命题； B ：由0ab >且a b >，则110b aa b ab--=<，真命题； C ：由0a b >>，0c d ->->，则ac bd ->-，即ac bd <，真命题； D ：由0a b ->->，则22a ab b >>，假命题. 故选：ABC.10．下列说法正确的是（ ） A ．函数1sin sin y x x=+的最小值为2 B ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则122a b +的最小值为92C ．关于x 的不等式210ax bx ++<的解集是()1,2，则1a b +=-D ．函数()()2log 1a f x x mx =++（0a >且1a ≠）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是()(),22,∞∞--⋃+ 【答案】BC【分析】A 由三角函数的性质，结合特殊情况判断；B 应用基本不等式“1”的代换求最值；C 由一元二次不等式的解集求参数a 、b ，即可判断；D 由对数函数、二次函数的性质有240m ∆=-<即可判断.【详解】A ：当1sin 0x -<<时，显然1sin 0sin y x x=+<，故错误； B：由12125259()()222222b a a b a b a b a b +=++=++≥+，当且仅当223b a ==时等号成立，正确；C ：根据不等式的解集可知1,2是方程210ax bx ++=的根，所以0312a b a a⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，可得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则 1a b +=-，正确；D ：由题意，210x mx ++>在R 上恒成立，则240m ∆=-<，解得22m -<<，错误. 故选：BC11．已知()0,θπ∈，且满足12sin cos 25θθ⋅=-，sin cos θθ>，则下列说法正确的是（ ）A ．,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．4tan 3θ=-C ．4tan 3θ=D ．1sin cos 5θθ+= 【答案】ABD【分析】由于()0,θπ∈，且满足12sin cos 025θθ⋅=-<，可得,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再结合22sin cos 1θθ+=，可求出sin ,cos θθ的值，进而可求出tan θ的值【详解】因为()0,θπ∈，且满足12sin cos 025θθ⋅=-<，可得,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A 正确， 因为22sin cos 1θθ+=，所以22241sin cos 2sin cos 12525θθθθ++=-=， 222449sin cos 2sin cos 12525θθθθ+-=+=， 所以()21sin cos 25θθ+=，()249sin cos 25θθ-=， 因为sin cos θθ>，sin 0,cos 0θθ><， 所以1sin cos 5θθ+=，7sin cos 5θθ-=，所以D 正确，所以解得43sin ,cos 55θθ==-，所以sin 4tan cos 3θθθ==-，所以B 正确，C 错误， 故选：ABD12．函数[]y x =的函数值表示不超过x 的最大整数例如[]1.11=，[]2.32=，设函数()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域为(],0-∞B ．若0x ≥，则()0f x ⎡⎤=⎣⎦C ．方程1f x有无数个实数根D ．若方程()f x x a =-+有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[)0,∞+ 【答案】BD【分析】由题意可知，当[),1,x n n n N ∈+∈时，[]x n =，所以()[]f x x x x n =-=-，作出函数()f x 和1y =的图象，由图象即可判断A ，B ，C 是否正确；在同一直角坐标系中作出函数()y f x =和函数y x a =-+的图象，由图象即可判断D 是否正确. 【详解】当[)0,1x ∈时，[]0x =，所以()[]f x x x x =-=； 当[)1,2x ∈时，[]1x =，所以()[]1f x x x x =-=-； 当[)2,3x ∈时，[]2x =，所以()[]2f x x x x =-=-； 当[)3,4x ∈时，[]3x =，所以()[]3f x x x x =-=-； ……当[),1,x n n n ∈+∈N 时，[]x n =，所以()[]f x x x x n =-=-；作出函数()[]21,0,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩的图形，如下图所示：由图像可知，函数()f x 的值域为(),1∞-，故A 错误；由图像可知，若0x ≥，则()[)0,1f x ∈，所以()0f x ⎡⎤=⎣⎦，故B 正确； 由图像可知，函数()f x 与1y =没有交点，所以方程1f x无实数根，故C 错误；在同一直角坐标系中作出函数()y f x =和函数y x a =-+的图象，如下图所示：由图像可知，若方程()f x x a =-+有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是[)0,+∞，故D 正确. 故选：BD. 三、填空题13．命题“R x ∃∈，210x x -+>”的否定是___________. 【答案】R x ∀∈，210x x -+≤【分析】由特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，即可写出否定形式. 【详解】由特称命题的否定为全称命题， ∴原命题的否定为：“R x ∀∈，210x x -+≤”.故答案为：R x ∀∈，210x x -+≤.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的始边是x 轴的非负半轴，终边经过点()1,2P -，则sin θ=___________.【分析】利用终边上的点坐标，结合正弦函数的定义求sin θ值.【详解】由题设，sin θ==. 15．已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()()23f x x m m =+∈R ，则()8f -=______． 【答案】-4【分析】先由奇函数的性质(0)0f =求出m 的值，从而可求出函数解析式，进而可求得结果【详解】因为()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()()23f x x m m =+∈R ， 所以23(0)00f m =+=，得0m =， 所以()23f x x =，0x ≥， 因为()y f x =是奇函数所以()2238(8)824f f -=-=-=-=-， 故答案为：4-16．已知函数()kf x x x=+具有以下性质：如果常数0k >，那么函数()f x 在区间(上单调递减，在区间⎤+∞⎦上单调递增，若函数()11a y x x x-=+≥的值域为[),a +∞，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2]-∞【分析】当1a ≤判断单调性，进而确定最值即可求范围，当1a >的大小关系，结合()kf x x x=+的性质，判断[1,)+∞上的单调性，进而确定最值，结合已知值域求参数范围.【详解】1、当10a -≤时，1a y x x-=+在[1,)+∞上递增，故1|x y a ==，满足题设； 2、当10a ->，即1a >，1≥，即2a ≥时，函数在上递减，在)+∞上递增，故|x y a =，可得2a =；1<，即12a <<时，函数在[1,)+∞上递增，故1|x y a ==，满足题设； 综上，(,2]a ∈-∞. 故答案为：(,2]-∞.【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并根据()kf x x x=+的性质，结合目标函数的解析式及值域研究单调性及最值，即可求参数范围. 四、解答题17．已知全集为R ，集合{}12A x x =≤≤，{B x x m =<或}21,0x m m >+>. (1)当2m =时，求A B ； (2)若RA B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1){}12x x ≤<(2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据2m =，求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果； （2）先求出R B ，再根据RA B ⊆，可得1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，求解不等式即可.(1)解：当2m =时，{2B x x =<或}5x >， 又{}12A x x =≤≤，所以{}12A B x x ⋂=≤<； (2)因为{B x x m =<或}21,0x m m >+>，所以{}R 21B x m x m =≤≤+， 又R A B ⊆，所以1221m m ≤⎧⎨≤+⎩，解得112m ≤≤，即1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 所以实数m 的取值范围1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．已知()()()()()sin cos sin 23sin cos 2tan 2f παπαααπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)若133f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求22cos cos 63ππαα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 【答案】(1)()cos αα=f ； (2)59. 【分析】（1）利用诱导公式化简()f α即可.（2）由题设有1cos()33πα-=，又()326πππαα-=-+、2()33ππαπα+=--，再由诱导公式、同角三角函数的平方关系求目标式的值. (1)()()()()()sin cos sin cos (cos )(sin )2cos 3cos cos (tan )sin cos 2tan 2f παπαααααααπααααπαπα⎛⎫++- ⎪⋅-⋅-⎝⎭===-⋅⋅-⎛⎫--- ⎪⎝⎭. (2)由1cos()333f ππαα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，又1cos()cos[()]sin()32663ππππααα-=-+=+=，21cos cos[()]cos()3333πππαπαα⎛⎫+=--=--=- ⎪⎝⎭，π1cos 33α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭∴2225cos cos 1sin cos()63639ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19．已知函数()221f x ax x a =-++（R a ∈且0a ≠）.(1)若函数()f x 在区间0,1内为单调函数，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()()10f x a a x a >+>.【答案】(1)0a <或102a <≤；(2)1(,1)(,)a a-∞⋃++∞.【分析】（1）利用二次函数的性质，讨论对称轴与0,1的位置关系求a 的取值范围.（2）由题设可得1()(1)0a x a x a --->，判断1,1a a +的大小关系，由一元二次不等式的解法求解集即可. (1)由题设，二次函数()f x 的对称轴为12x a =且a ≠ 0， ∴要使()f x 在0,1内为单调函数，则102a <或112a≥，解得0a <或102a <≤. (2) 由题设，()2221()f x ax x a a a x =-++>+， ∴2221(1)1()(1)0ax a a x a a x a x a-++++=--->，由0a >，则12a a +≥=，当且仅当1a =时等号成立， ∴11a a +>，故解集为1(,1)(,)a a -∞⋃++∞. 20．已知函数()e e x x f x -=+.(1)证明：函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增；(2)若[]()1,1x t t ∈->-时，记函数()f x 的最大值为()g t ，求()g t .【答案】(1)证明见解析(2)1e e ,11()e e ,1t t t g t t --⎧+-<<=⎨+≥⎩【分析】（1）利用单调性的定义证明即可，（2）先判断函数为偶函数，则结合（1）可得()f x 在区间(),0∞-上单调递减，然后根据偶函数图象的对称性和函数的单调性可求出()f x 的最大值(1)任取12,[0,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()221121()()e e e e x x x x f x f x ---=+-+212111e e e ex x x x =-+- ()21211e e 1e ex x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ()212121e e 1e e e ex x x x x x -=-， 因为120x x ≤<，所以21e e x x >，21e e 1x x >，所以21e e 0x x ->，2121e e 10e e x x x x -> 所以()212121e e 1e e 0e e x x x x x x -->，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，(2)因为()e e e e ()x x x x f x f x ---==++=，所以函数()f x 为偶函数，因为函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，所以当11t -<<时，1x =-时函数()f x 取得最大值，即1()(1)e e g t f -=-=+， 当1t ≥时，x t =时函数()f x 取得最大值，()()e e t t g t f t -==+，所以1e e ,11()e e ,1t t t g t t --⎧+-<<=⎨+≥⎩21．某校数学兴趣小组，在过去一年一直在研究学校附近池塘里某种水生植物的面积变化情况，自2021年元旦开始测量该水生植物的面积，此后每隔一个月（每月月底）测量一次，通过一年的观察发现，自2021年元旦起，该水生植物在池塘里面积增加的速度是越来越快的．最初测得该水生植物面积为2m k ，二月底测得该水生植物的面积为224m ，三月底测得该水生植物的面积为240m ，该水生植物的面积y （单位：2m ）与时间x （单位：月）的关系有两个函数模型可供选择，一个是同学甲提出的()0,1x y ka k a =>>；另一个是同学乙提出的()120,0y px k p k =+>>，记2021年元旦最初测量时间x 的值为0．(1)根据本学期所学，请你判断哪个同学提出的函数模型更适合？并求出该函数模型的解析式；(2)池塘中该水生植物面积应该在几月份起是元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上？（参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】(1)甲同学提出的函数模型()0,1x y ka k a =>>满足要求，2165253x y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ (2)池塘中该水生植物面积应该在6月起是去年元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上【分析】（1）根据水生植物面积的增长变化结合函数的增长变化快慢选择即可； （2）根据题意建立不等式，利用取对数的方法求解即可.(1)因为两个函数模型()0,1x y ka k a =>>，()120,0y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数．随着x 的增大，()0,1x y ka k a =>>的函数值增加的越来越快，而()120,0y px k p k =+>>的函数值增加的越来越慢．因为在池塘里该水生植物蔓延的速度是越来越快，即随着时间增加，该水生植物的面积增加的越来越快，所以，甲同学提出的函数模型()0,1x y ka k a =>>满足要求． 由题意知232440ka ka ⎧=⎨=⎩，解得，5321625a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以，2165253xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭ (2) 一月底水深植物面积为1216521625315⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ 由21652161025315x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，解得5350log 3x > 又5350lg10111log 1111 5.553lg5lg31lg 2lg310.30100.4771lg 3=+=+=+≈+≈----- 故6x ≥．所以，池塘中该水生植物面积应该在6月起是去年元旦开始研究时该水生植物面积的10倍以上．22．已知函数()()()3log 31R x f x kx k =++∈为偶函数. (1)求实数k 的值；(2)若方程()()()31log 3R 2x f x x a a a =+⋅-∈有且仅有一个实数根，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)12k =-；(2){3(0,)--⋃+∞.【分析】（1）利用偶函数构造方程，即可求参数值.（2）由题设可得(31)0x a ->，23(1)310x x a a ⋅-+-=有且仅有一个实数根，讨论0a >、0a <，结合指数函数、二次函数的性质求参数范围.(1)由题设，()()f x f x -=，即33log (31)log (31)x x kx kx --++=++，∴32log 3x kx x -==-，可得21k =-，则12k =-. (2) 由题设，()33log (31)log 322x x x x a a -++=+⋅-，则33log (31)log (31)x x x a +=+-， ∴(31)0x a ->，且2313(31)(33)x x x x x a a +=⋅-=-，整理得23(1)310x x a a ⋅-+-=， 令3x t =，则2()(1)1g t at a t =-+-有且仅有一个零点，(0)10g =-<，(1)20g =-<， 当0a >时，0x >， 此时，(1,)t ∈+∞且()g t 开口向上，∴()g t 在(1,)+∞上有且仅有一个零点；当0a <时，0x <，此时，(0,1)t ∈且()g t 开口向下且对称轴11(1)2x a=+，∴1012a<+<，即1a <-时，仅当22(1)4610a a a a ∆=++=++=，可得3a =--符合条件；110a+<，即10a -<<时，()g t 在(0,1)上无零点.综上，{3(0,)a ∈--⋃+∞.【点睛】关键点点睛：第二问，注意(31)0x a ->，讨论0a >、0a <对应定义域区间不同，另外结合二次函数的性质判断在定义域内的零点(根)的情况求参数.。
贵州省遵义市2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)(1)
2021~2022学年秋季高一期末考试数学一､选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知集合{}24A x x =<≤,{}3782B x x x =-≥-,则A B = （ ）A. []3,4 B. ()3,4 C. [)3,4 D. (]3,4【结果】A 【思路】【思路】求出集合B ,再依据交集地定义即可得解.【详解】解：因为{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥,所以[]3,4A B ⋂=．故选：A .2. 命题“x Z ∃∈,21x +是4地倍数”地否定为（ ）A. x Z ∀∈,21x +是4地倍数 B. x Z ∀∈,21x +不是4地倍数C. x Z ∃∈,21x +不是4地倍数 D. x Z ∀∉,21x +不是4地倍数【结果】B 【思路】【思路】依据特称量词命题地否定是全称量词命题即可求解．【详解】因为特称量词命题地否定是全称量词命题,所以命题“x Z ∃∈,21x +是4地倍数”地否定为“x Z ∀∈,21x +不是4地倍数”．故选：B3. 某数学老师记录了班上8名同学地数学考试成绩,得到如下数据：90,98,100,108,111,115,115,125.则这组数据地70%分位数是（ ）A. 100 B. 111C. 113D. 115【结果】D 【思路】【思路】依据第p 百分位数地定义直接计算,再判断作答.【详解】由870% 5.6⨯=知,这组数据地70%分位数是按从小到大排列地第6个位置地数,所以这组数据地70%分位数是115.故选：D4. 已知函数()f x 地图象是一款连续不断地曲线,且有如下对应函数值表：x12456()f x 123.13615.55210.88-52.488-232.064在以下区间中,()f x 一定有零点地是（ ）A. （1,2） B. （2,4）C. （4,5）D. （5,6）【结果】C 【思路】【思路】由表格数据,结合零点存在定理判断零点所在区间.【详解】∵ (1)0(2)0(4)0(5)0(6)0f f f f f >>><<，，，，∴ (1)(2)0f f >,(2)(4)0f f >,(4)(5)0f f <,(5)(6)0f f >,又函数()f x 地图象是一款连续不断地曲线,由函数零点存在定理可得()f x 在区间()4,5上一定有零点．故选：C.5. “1m =”是“幂函数()233mf x m m x =-+（）在()0,+∞上单调递增”地（ ）A. 充分不必要款件 B. 必要不充分款件C. 充要款件 D. 既不充分也不必要款件【结果】A 【思路】【思路】由幂函数地概念,即可求出1m =或2m =,再依据1m =或2m =均满足()f x 在()0,+∞上单调递增以及充分款件，必要款件地概念,即可得到结果.【详解】若()f x 为幂函数,则2331m m -+=,解得1m =或2m =,又1m =或2m =都满足()f x 在()0,+∞上单调递增．故“1m =”是“幂函数()()233mf x m m x =-+在()0,+∞上单调递增”地充分不必要款件．故选：A.6. 函数2()ln ||2=-f x x x 地大约图象是（ ）A. B.C. D.【结果】D 【思路】【思路】利用排除法判断,先由函数地奇偶性思路,再取特殊值思路【详解】因为22()()ln ||2ln ||2()f x x x x x f x -=---=-=所以()f x 是偶函数,排除B.因为(1)20,(2)4ln 222(ln 41)0=-<=-=->f f ,排除A ,C.故选：D.7. 已知0.110.592log 3,log 0.55,2-===a b c ,则（ ）A. a c b <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a<<【结果】A 【思路】【思路】依据给定款件利用指数函数，对数函数单调性,借助“媒介”数比较大小作答.【详解】函数0.59log y x =,12log y x =在(0,)+∞上都是单调递减地,而0.590.55>,则0.590.59log 0.55log 0.591>=,又31>,则1122log 3log 10<=,2x y =在R 上单调递增,则0.102102-<=<,所以a c b <<.故选：A8. 尽管目前人类还无法精准预报地震,但科学家通过研究,已经对地震有所了解,例如,地震释放出地能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间地关系式为lg 4.8 1.5E M =+．2011年3月11日,日本东北部海域发生里氏9.0级地震,它所释放出来地能量是2017年8月8日我国四川九寨沟县发生里氏7.0级地震地（ ）A. 32倍 B. 64倍C. 1000倍D. 1024倍【结果】C 【思路】【思路】设里氏9.0级和7.0级地震释放出地能量分别为1E 和2E ,可得出12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩,利用对数地运算性质可求得12E E 地值,即可得解.【详解】设里氏9.0级和7.0级地震释放出地能量分别为1E 和2E ,由已知可得12lg 4.8 1.59.0lg 4.8 1.57.0E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩,则()()122lglg lg 4.8 1.59.0 4.8 1.57.03l E E E E =-=+⨯-+⨯=,故312101000EE ==．故选：C.二､多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出地四个选项中,有多个选项是符合题目要求地.全部选对得5分,部分选对得2分,有选错地得0分.9. 下面函数中,为偶函数地是（ ）A. 21()f x x =B. 4()f x x =C. 1()f x x x=+D. 2()f x =【结果】AB 【思路】【思路】依据奇偶函数地定义,可逐项判断,即可得结果.【详解】函数21()f x x=满足()()f x f x -= ,故为偶函数,A 正确。
2021-2022学年河南省信阳市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
河南省信阳市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣4＜x≤2}，B＝{x∈N|﹣1＜x≤4}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{x|﹣1＜x≤2}D．{x|﹣4＜x≤4}2．cos240°＝（）A．B．C．D．3．已知命题p：∀x∈〖1，2〗，x2﹣x＞0，则￢p为（）A．∀x∉〖1，2〗，x2﹣x＞0B．∃x∈〖1，2〗，x2﹣x＞0C．∀x∈〖1，2〗，x2﹣x≤0D．∃x∈〖1，2〗，x2﹣x≤04．已知函数的值域为〖2，+∞），则实数m的值为（）A．2B．3C．9D．275．若“x＞a”是“x＞b”的充分不必要条件，则（）A．a＜b B．a＞b C．a≤b D．a≥b6．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然、更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为8：5，设∠CAB＝α，则＝（）A．B．C．D．7．下列各选项中的两个函数的图象关于y轴对称的是（）A．y＝10x与y＝10﹣x B．y＝3x与y＝﹣3﹣xC．y＝2x与y＝﹣2x D．y＝e x与y＝ln x8．函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．9．若4m＝3，则log312＝（）A．B．C．D．10．设x＞0，y＞0，且x+3y＝2，则的最小值是（）A．B．8C．D．1611．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设折扇的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当时，折扇的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（4+x）＝f（x），当x∈〖0，2〗时，f（x）＝2x﹣2，则f（x）在区间（0，8）上零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将〖答案〗填在答题卡对应题号的位置上．13．幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（27）＝．14．下列函数图象与x轴都有交点，其中不能用二分法求其零点的是．（写出所有符合条件的序号）15．tan39°+tan6°+tan39°tan6°＝．16．《三十六计》是中国古代兵法策略，是中国文化的瑰宝．“分离参数法”就是《三十六计》中的“调虎离山”之计在数学上的应用，例如，已知含参数λ的方程f（x，λ）＝0有解的问题，我们可分离出参数λ（调），将方程化为F（λ）＝g（x），根据g（x）的值域，求出F （λ）的范围，继而求出λ的取值范围，已知，若关于x的方程（λ+1）sin x+cos2x+2＝0有解，则实数λ的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）计算：；（2）化简：．18．（12分）已知函数的最小正周期为2π．（1）求的值；（2）若，求sin2α，cos2α的值．19．（12分）已知函数f（x）＝log a（4﹣ax）（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）是否存在实数a，使函数f（x）在区间上单调递减，并且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数f（x）＝e x+a e﹣x为R上的奇函数，其中a为常数，e是自然对数的底数．（1）求函数f（x）的〖解析〗式；（2）求函数h（x）＝e2x+e﹣2x﹣4f（x）﹣2在〖0，+∞）上的最小值，并求h（x）取最小值时x的值．21．（12分）观察下列各等式：cos210°+sin240°﹣cos10°sin40°＝a，cos215°+sin245°﹣cos15°sin45°＝a，cos230°+sin260°﹣cos30°sin60°＝a．（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明．22．（12分）整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化．如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝2AD＝200m，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN（底边MN⊥CD）种植观赏树木，其余的区域种植花卉．设．（1）当时，求MN的长；（2）求三角形区域PMN面积的最大值．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A〖解析〗∵集合A＝{x|﹣4＜x≤2}，B＝{x∈N|﹣1＜x≤4}＝{0，1，2，3，4}，∴A∩B＝{0，1，2}．故选：A．2．B〖解析〗cos240°＝cos（180°+60°）＝﹣cos60°＝﹣，故选：B．3．D〖解析〗“∀x∈〖1，2〗”的否定是“∃x∈〖1，2〗，”，“x2﹣x＞0”的否定是“x2﹣x≤0”，所以￢p为∃x∈〖1，2〗，x2﹣x≤0．故选：D．4．C〖解析〗∵函数的值域为〖2，+∞），∴y＝x2+m的值域为〖9，+∞），∴m＝9；故选：C．5．B〖解析〗∵x＞a是x＞b的充分不必要条件，∴a＞b，故选：B．6．B〖解析〗依题意＝，所以tanα＝，所以＝﹣tanα＝﹣tanα＝＝＝．故选：B．7．A〖解析〗根据题意，依次分析选项：对于A，y＝10x与y＝10﹣x的关于y轴对称，符合题意；对于B，y＝3x与y＝﹣3﹣x的图象关于原点对称，不符合题意；对于C，y＝2x与y＝﹣2x的图象关于x轴对称，不符合题意；对于D，y＝e x与y＝ln x的图象关于直线y＝x对称，不符合题意，故选：A．8．B〖解析〗＝sin（2x﹣），令﹣，k∈Z，解得，，所以f（x）的单调递增区间为〖﹣〗，k∈Z．故选：B．9．A〖解析〗∵4m＝3，∴m log34＝log33＝1，∴log32＝，则log312＝log33+2log32＝1+＝，故选：A．10．B〖解析〗设x＞0，y＞0，且x+3y＝2，所以，故＝＝，当且仅当x＝y＝时，等号成立；故选：B．11．C〖解析〗由题意知，S1与S2所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设S1与S2所在扇形圆心角分别为α，β，则＝，又α+β＝2π，解得α＝．故选：C．12．C〖解析〗∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（4+x）＝f（x），∴f（4+x）＝f（x）＝f（﹣x），即对称轴为x＝2，且周期为4，∵当x∈〖0，2〗时，f（x）＝2x﹣2，∴x＝1时，f（x）＝0，∴f（x）在区间（0，8）上零点有1，3，5，7，即4个，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将〖答案〗填在答题卡对应题号的位置上．13．〖解析〗∵幂函数y＝f（x）＝xα的图象过点，∴＝2，即2﹣3α＝2，∴﹣3α＝1，∴α＝﹣，∴f（x）＝＝，则f（27）＝＝，故〖答案〗为：．14．（2）（4）〖解析〗根据题意，利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过x轴，据此分析图形：（1）、（3）函数的图象中不能用二分法求零点，故〖答案〗为：（2）（4）．15．1〖解析〗因为tan（39°+6°）＝＝1，所以tan39°+tan6°+tan39°tan6°＝1．故〖答案〗为：1.16．（﹣∞，﹣2〗〖解析〗∵，∴sin x∈（0，1〗，∴（λ+1）sin x+cos2x+2＝0⇒（λ+1）sin x+3﹣2sin2x＝0，∴λ+1＝＝2sin x﹣，令t＝sin x，则t∈（0，1〗，y＝2t﹣在（0，1〗上单调递增，最大值为：2﹣3＝﹣1，无最小值，∴λ+1≤﹣1，可得λ≤﹣2，实数λ的取值范围为（﹣∞，﹣2〗，故〖答案〗为：（﹣∞，﹣2〗．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：（1）＝+（lg5+lg2）+log33＝++＝；（2）＝+＝﹣1+＝．18．解：（1）由题意，T＝＝2π，解得ω＝1，所以f（x）＝sin（x﹣），故f（）﹣f（﹣）＝sin（﹣）﹣sin（﹣﹣）＝sin（）+sin（）＝．（2）由题意，f（﹣α）＝sin（﹣α﹣）＝sin（﹣α）＝，即sinα＝﹣，又α∈（﹣，0），所以cosα＞0，cosα＝＝，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×＝﹣，所以cos2α＝cos2α﹣sin2α＝．19．解：（1）由题意得，4﹣ax＞0，解得x＜，故函数的定义域为{x|x＜}；（2）因为t＝4﹣ax（a＞0）在定义域{x|x＜}上单调递减，若使得f（x）在〖1，〗上单调递减，则a＞1，因为f（x）的最大值f（1）＝log a（4﹣a）＝1，所以a＝2．20．解：（1）函数f（x）＝e x+a e﹣x为R上的奇函数，则f（0）＝1+a＝0，解得a＝﹣1．∴f（x）＝e x﹣e﹣x，容易验证满足题意．（2）h（x）＝e2x+e﹣2x﹣4（e x﹣e﹣x）﹣2＝（e x﹣e﹣x）2﹣4（e x﹣e﹣x），x∈〖0，+∞），令e x﹣e﹣x＝e x﹣＝u（x），u′（x）＝e x+＞0，∴函数u（x）在x∈〖0，+∞）上单调递增，令e x﹣e﹣x＝t，则h（x）＝t2﹣4t＝（t﹣2）2﹣4＝g（t），可得t＝2时，函数g（t）取得极小值，即最小值，g（2）＝﹣4，h（x）取最小值时，e x﹣e﹣x＝2，化为（e x）2﹣2e x﹣1＝0，解得e x＝1+，解得x＝ln（1+），∴函数h（x）在〖0，+∞）上的最小值为﹣4，h（x）取最小值时x＝ln（1+）．21．解：（1）cos230°+sin260°﹣cos30°sin60°＝，即a＝．（2）cos2α+sin2（α+30°）﹣cosαsin（α+30°）＝．证明如下：cos2α+sin2（α+30°）﹣cosαsin（α+30°）＝+﹣cosαsin（α+30°）＝1+﹣cosαsin（α+30°）＝1+﹣cosαsin（α+30°）＝1++cosαsin（α+30°）〗﹣cosαsin（α+30°）＝1+﹣cosαsin（α+30°）〗＝1+sin〖α﹣（α+30°）〗＝．22．解：（1）当∠MOB＝θ＝时，MN＝OM•sinθ+AD＝100×sin+100＝；（2）MN＝100（1+sinθ），P到直线MN的距离为AO+OM•cosθ＝100（1+cosθ），∴△PMN的面积S＝×100×100（1+sinθ）（1+cosθ）＝5000（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ）（0＜θ≤），设sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝，∴S＝5000（1+t+）＝2500（t+1）2，∵t＝sin（θ+），0＜θ，∴1≤t≤，∴当t＝时，S取得最大值2500（3+2）．。
重庆市第八中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题(解析版)
重庆八中2021-2022学年度(上)期末考试高一年级数学试题一､单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的选项中，只有一项符合题目要求)1. 设全集为R ，集合A =x -1<x <2 ，B =x x ≥1 ，则A ∩∁R B =()A . x -1<x ≤1B . x -1<x <1C . x 1≤x <2D . x -1<x <2【答案】B 【解析】【分析】先求出集合B 的补集，再根据集合的交集运算求得答案.【详解】因为B =x x ≥1 ，所以∁R B ={x |x <1}，故A ∩∁R B ={x |-1<x <1}，故选:B .2. 与2022°终边相同的角是()A . -112°B . -72°C . 222°D . 142°【答案】C 【解析】【分析】终边相同的角，相差360°的整数倍，据此即可求解.【详解】∵2022°=360°×5+222°，∴与2022°终边相同的角是222°.故选：C .3. 设x ∈R ，则“1<x <2”是“x -2 ≤3”的()A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解绝对值不等式求解集，根据充分、必要性的定义判断题设条件间的充分、必要关系.【详解】由x -2 ≤3，可得-1≤x ≤5，∴“1<x <2”是“x -2 ≤3”的充分而不必要条件.故选：A .4. 函数y =3x -x 22x 2-3x -2的定义域为()A -∞,3B . 0,3C . 0,2 ∪2,3D . 0,2 ∪2,3【答案】D 【解析】【分析】由函数解析式可得关于自变量的不等式组，其解集为函数的定义域.【详解】由题设可得：3x -x 2≥02x 2-3x -2≠0 ，故x ∈0,2 ∪2,3 ，故选：D .5. 若tan π+α =-43，α是第二象限角，则1sin π+α2⋅sinπ-α2=()A .35B . 3C . 5D .53【答案】C 【解析】【分析】由题知sin α=45,cos α=-35，再根据诱导公式与半角公式计算即可得答案.【详解】解：因为tan π+α =tan α=-43，α是第二象限角，所以sin α=45,cos α=-35，所以1sin π+α2⋅sin π-α2=1cos α2⋅cos α2=21+cos α=21+-35=5.故选：C6. 已知函数y =f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f x =x 21-3x ，则当x <0时，f x 的表达式是()A . x 21-3x B . -x 21-3x C . x 21+3x D . -x 21+3x【答案】D 【解析】【分析】利用函数的奇偶性求f x 在(-∞,0)上的表达式.【详解】令x <0，则-x >0，故f (-x )=(-x )2(1-3-x )=x 2(1+3x )，又y =f x 是定义在R 上的奇函数，∴f (x )=-f (-x )=-x 2(1+3x ).故选：D .7. 若将函数y =2sin 2x +π6图象向左平移π12个单位，则平移后的图象对称轴为()A . x =k π2+π12k ∈ZB . x =k π2-π12k ∈ZC . x =k π2-π6k ∈ZD . x =k π2+π6k ∈Z【答案】A 【解析】【分析】由图象平移写出平移后的解析式，再由正弦函数的性质求对称轴方程.【详解】y =f x +π12 =2sin 2x +π12 +π6 =2sin 2x +π3 ，令2x +π3=k π+π2，k ∈Z ，则x =k π2+π12且k ∈Z .故选：A .8. 关于x 的不等式ax -1 2<x 2恰有2个整数解，则实数a 的取值范围是()A . -32,-1 ∪1,32B . -32,-43 ∪43,32C . -32,-1 ∪1,32 D . -32,-43 ∪43,32【答案】B 【解析】【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得a +1 a -1 >0，讨论a 结合原不等式整数解的个数求a 的范围，【详解】由ax -1 2<x 2恰有2个整数解，即a +1 x -1 a -1 x -1 <0恰有2个整数解，所以a +1 a -1 >0，解得a >1或a <-1，①当a >1时，不等式解集为1a +1,1a -1 ，因为1a +1∈0,12，故2个整数解为1和2，则2<1a -1≤3，即2a -2<1≤3a -3，解得43≤a <32；②当a <-1时，不等式解集为1a +1,1a -1 ，因为1a -1∈-12,0，故2个整数解为-1，-2则-3≤1a +1<-2，即-2a +1 <1≤-3a +1 ，解得-32<a ≤-43.综上所述，实数a 的取值范围为-32<a ≤-43或43≤a <32.故选：B .二､多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得2分)9. 下列各项中，f x 与g x 是同一函数的是()A . f x =x ，g x =x 2B . f x =x +1，g x =2log 2x +1C . f x =x ，g x =x3x 2D . f x =2x -1 ，g x =2x -1,x ≥121-2x ,x <12【答案】AD 【解析】【分析】根据函数相等的概念逐一判断即可【详解】解：对于A 选项，f x 与g x 定义域均为R ，g x =x 2=x =f x ，故正确；对于B 选项，f x =x +1定义域为R ，g x =2log 2x +1 的定义域为-1,+∞ ，故错误；对于C 选项，f x =x 定义域为R ，g x =x 3x2的定义域为x x ≠0 ，故错误；对于D 选项，f x 与g x 定义域均为R ，f x =2x -1 =2x -1,x ≥121-2x ,x <12=g x ，故正确.故选：AD10. 已知x ，y 是正数，且2x +y =1，下列叙述正确的是()A . 2xy 最大值为14B . 4x 2+y 2的最小值为12C . x x +y 最大值为14D .1x +1y最小值为3+22【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式可判断A ;将4x 2+y 2变形后可利用A 的结论，判断B ;利用基本不等式可判断C ;将1x +1y 变为1x +1y =1x +1y (2x +y )=3+y x +2xy，再利用基本不等式可判断D .【详解】因为x ，y 是正数，2x +y =1，所以2xy ≤2x +y 22=14，当且仅当2x =y ，即x =14,y =12时取等号，故A 正确；4x 2+y 2=(2x +y )2-4xy =1-4xy ，由A 可知xy ≤18，当且仅当2x =y ，即x =14,y =12时取等号，故4x 2+y 2=1-4xy ≥12，故B 正确；x x +y ≤x +x +y 22=(2x +y )24=14，当且仅当x =x +y ，即x =12,y =0时取等号，但x ，y 是正数，故等号取不到，故C 不正确；1x +1y =1x +1y (2x +y )=3+y x +2xy≥3+22，当且仅当y x =2x y ，即x =1-22,y =2-1时取等号，故D 正确；故选：ABD .11. 已知函数f x =log 2mx 2+2x +m -1 ，m ∈R ，则下列说法正确的是()A . 若函数f x 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是1+52,+∞ B . 若函数f x 的值域为-1,+∞ ，则实数m =2C . 若函数f x 在区间2,+∞ 上为增函数，则实数m 的取值范围是0,+∞D . 若m =0，则不等式f x <1的解集为x x <32【答案】ABC 【解析】【分析】根据对数型复合函数的性质分别判断.【详解】A 选项：因为f x 的定义域为R ，所以mx 2+2x +m -1>0恒成立，则m >0Δ=4-4m m -1 <0 ，解得：m >1+52，故正确；B 选项：因为f x 的值域为-1,+∞ ，所以mx 2+2x +m -1≥12，所以m >0m 2-m -1m =12，解得m =2，故正确；C 选项：因为函数f x 在区间2,+∞ 上为增函数，由复合函数的单调性可知：m >0-1m ≤24m +4+m -1>0，解得m >0，故正确；D 选项：当m =0时，f x =log 22x -1 x >12 ，由f x <1，可得0<2x -1<2，解得：12<x<32，故错误；故选：ABC .12. 已知函数f x =2-x ,x ≤1log 2x -1 ,x >1 ，下列结论正确的是()A . 若f a =1，则a =0B . f f 20222021=2021C . 若f a ≥2，则a ≤-1或a ≥5D . 若方程f x =-x 2+2x +m 有两个不同实数根，则m >-12【答案】BC 【解析】【分析】A 、C ：根据分段函数解析式，由指数、对数函数的性质求解或解集，即可判断；B 由解析式及自变量所在的范围求函数值即可；D 画出f (x )、y =-x 2+2x +m 的图象，数形结合思想求参数范围.【详解】A ：当2-a =1时，有a =0<1；当log 2(a -1)=1时，有a =3>1，故a =0或a =3，错误；B ：由20222021>1，则f 20222021 =log 212021<1，故f f 20222021 =2-log 212021=2021，正确；C ：当2-a ≥2时，有a ≤-1<1；当log 2(a -1)≥2时，有a ≥5>1，故a ≤-1或a ≥5，正确；D ：由解析式可得f (x )、y =-x 2+2x +m 的图象如下：要使方程有两个不同实数根，即f (x )、y =-x 2+2x +m 有两个交点，则1+m ≥12，∴m ≥-12，错误.故选：BC .三､填空题(本题共4小题，每小題5分，共20分)13. 若幂函数f x =m 2-m -5 x 1-m 是偶函数，则m =___________.【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义得m 2-m -5=1，解得m =-2或m =3，再结合偶函数性质得m =3.【详解】解：因为函数f x =m 2-m -5 x 1-m 是幂函数，所以m 2-m -5=1，解得m =-2或m =3，当m =-2时，f x =x 3，为奇函数，不满足，舍；当m =3时，f x =x -2，为偶函数，满足条件.所以m =3.故答案为：314. 如图所示，弧田是由圆弧AB 和其所对弦AB 围成的图形，若弧田的弧AB长为3π，弧所在的圆的半径为4，则弧田的面积是___________.【答案】6π-42【解析】【分析】根据题意得∠AOB =α=3π4，进而根据扇形面积公式计算即可得答案.【详解】解：根据题意，只需计算图中阴影部分的面积，设∠AOB =α，因为弧田的弧AB长为3π，弧所在的圆的半径为4，所以α=3π4，所以阴影部分的面积为12×3π×4-12×4×4×sin α=6π-42所以弧田的面积是6π-42.故答案为：6π-4215. 已知tan α=2，tan β=3，则sin α+βcos α-β的值为___________.【答案】57【解析】【分析】利用和角正弦公式、差角余弦公式及同角商数关系，将目标式化为tan α+tan β1+tan αtan β即可求值.【详解】sin α+β cos α-β=sin αcos β+cos αsin βcos αcos β+sin αsin β=tan α+tan β1+tan αtan β=2+31+2×3=57.故答案为：57.16. 已知x >0，y >0，x +y +2xy =12，则xy +1x 2y 2+3xy +18的最大值为___________.【答案】19【解析】【分析】由题知xy ∈0,4 ，进而令t =xy +1，t ∈1,5 ，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：12=x +y +2xy ≥2xy +2xy ⇒xy +xy ≤6，当x =y =2时取等，所以0<xy ≤2⇒xy ∈0,4 ，故令t =xy +1，则t ∈1,5 ，所以xy +1x 2y 2+3xy +18=t t -1 2+3t -1 +18=t t 2+t +16=1t +16t +1≤12t ⋅16t+1=19，当t =4时，等号成立.所以xy +1x 2y 2+3xy +18的最大值为19故答案为：19四､解答题(本题共6小题，共70分)17. (1)化简：sin π2+α ⋅3sin -π-α ⋅tan -α2cos 11π2-α ⋅cos 5π-α ⋅tan 3π-α(2)求值：1.5-1×2021 0+80.25×42+32×3 6--827 23+2log 43【答案】(1)32；(2)110+3.【解析】【分析】(1)根据诱导公式化简求值即可得答案；(2)根据指数运算法则运算求解即可.【详解】解：(1)sin π2+α ⋅3sin -π-α ⋅tan -α 2cos 11π2-α ⋅cos 5π-α ⋅tan 3π-α=cos α⋅3sin α⋅-tan α 2sin α⋅cos α⋅-tan α =32(2)1.5-1×2021 0+80.25×42+32×3 6--82723+2log 43=23+234×214+22×33-827 13+3=23+2+108-23+3=110+318. 已知sin α=2-4cos 2α2.(1)若α在第二象限，求cos2α+sin α的值；(2)已知β∈0,π2 ，且3tan 2β+2tan β-3=0，求tan α+2β 值.【答案】(1)25-35(2)17【解析】【分析】(1)根据题意，结合半角公式得tan α=-2，故sin α=255，cos α=-55，再根据二倍角公式计算即可.(2)由题知tan2β=3，再结合正切的和角公式求解即可.【小问1详解】解：sin α=21-2cos 2α2 =-2cos α，∴tan α=-2∵α在第二象限，∴sin α=255，cos α=-55，∴cos2α+sin α=2cos 2α-1+sin α=25-35【小问2详解】解：3tan 2β+2tan β-3=0⇒2tan β=31-tan 2β ⇒2tan β1-tan 2β=3∴tan2β=3，tan α+2β =tan α+tan2β1-tan αtan2β=-2+31+2×3=1719. 新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32万台，且每万台的销售收入f x (单位：万元)与年产量x (单位：万台)的函数关系式近似满足：f x =180-2x ,0<x ≤1870+2650x -27000x 2,18<x ≤32(1)写出年利润W x (万元)关于年产量x (万台)的函数解析式.(年利润=年销售收入-总成本)；(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？【答案】(1)W x =-2x 2+80x -60,0<x ≤18-30x -27000x+2590,18<x ≤32；(2)年产量为30万台，利润最大.【解析】【分析】(1)根据题设给定的函数模型及已知条件，求函数解析式.(2)利用二次函数、分式型函数的性质求分段函数各区间的最大值，并确定对应的自变量值，即可得解.小问1详解】W x =x ⋅f x -100x -60，∴W x =-2x 2+80x -60,0<x ≤18-30x -27000x+2590,18<x ≤32.【小问2详解】当0<x ≤18时，W x =-2x 2+80x -60=-2x -20 2+740，故在0,18 上单调递增，∴x =18时，W x 取最大值W x max =-2×4+740=732，当x >18时，W x =2590-30x -27000x =2590-30x +900x≤2590-60x ⋅900x =790，当且仅当x =30时等号成立，∴当x =30时，W x max =790，综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.20. 已知函数f x =2x -32x +a+1a >0 为定义在R 上的奇函数.(1)求f x 的值域；(2)解不等式：f x +6f x +2≤5【答案】(1)-2,2(2)log 213,+∞ 【解析】【分析】(1)根据函数的奇偶性可得a =1，进而可得函数的单调性及值域；(2)由(1)可得该不等式为f x -4 f x +1 ≤0，根据函数的单调性解不等式即可.【小问1详解】由题意可知，f 0 =-2a +1+1=0，解得a =1，则f x =2x -32x +1+1，经检验，f -x =-f x 恒成立，令2x =t t >0 ，则y =t -3t +1+1=2-4t +1，∴函数在0,+∞ 单调递增，∴函数的值域为-2,2【小问2详解】由(1)得f x +2>0，则f x +6f x +2≤5⇔f 2x -3f x -4≤0⇔f x -4 f x +1 ≤0，∴-1≤f x <2，∴-1≤2x -32x +1+1<2⇔x ≥log 213，∴不等式的解集为log 213,+∞ .21. 函数y =A sin ωx +φ A >0,ω>0,φ <π2的一段图象如下图所示.(1)求函数y =f x 的解析式；(2)将函数y =f x 的图象向右平移π4个单位，得到y =g x 的图象.求直线y =6与函数y =f x +g x 的图象在0,3π2内所有交点的横坐标之和.【答案】(1)f x =2sin 2x +π6(2)19π6【解析】【分析】(1)由图象可计算得A ，ω，φ；(2)由题意可求y =f x +g x ，进而可以求出在给定区间内与已知直线的交点的横坐标，问题得解.【小问1详解】由题图知A =2，T =π，于是ω=2πT=2，将y =2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y =2sin 2x +φ 的图象.于是φ=2×π12=π6所以，f x =2sin 2x +π6 【小问2详解】由题意得g x =2sin 2x -π4+π6=-2cos 2x +π6 故y =f x+g x =2sin 2x +π6 -2cos 2x +π6 =22sin 2x -π12由22sin 2x -π12 =6，得sin 2x -π12 =32因为0<x <32π，所以-π12<2x -π12<3π-π12所以x =5π24或x =3π8或x =29π24或x =11π8，所以，在给定区间内，所有交点的横坐标之和为19π6.22. 已知函数f x =ln x +1x -1.(1)若函数y =f ax 在1,+∞ 单调递增，求实数a 的取值范围；(2)∃x 1，x 2∈1,+∞ ，使f 2x 在区间x 1,x 2 上值域为ln2t 2x 2+1-1,ln2t 2x 1+1-1.求实数t 的取值范围.【答案】(1)a ≤-1；(2)0,29.【解析】【分析】(1)由对数复合函数的单调性得a <02a -1+1≥0，即可求参数范围.(2)首先判断f 2x 的单调性并确定在x 1,x 2 上的值域，结合已知易得2t ⋅2x 2+t -2 ⋅2x +2-t=0在0,+∞ 内有两不等实根x 1，x 2，应用换元法进一步转化为两个函数有两个交点求参数范围.【小问1详解】f ax =ln ax +1ax -1=ln 2ax -1+1 ∵f ax 在1,+∞ 单调递增，∴y =2ax -1+1在1,+∞ 单调递增，且2ax -1+1>0∴a <0f 1 =2a -1+1≥0，解得a ≤-1.【小问2详解】由f 2x=ln 2x +12x -1=ln 22x -1+1 x >0 ，在0,+∞ 上是减函数.所以，在x 1,x 2 上的值域为f x 2 ,f x 1 ，故2x 1+12x 1-1=2t ⋅2x 1+1-t 2x 2+12x 2-1=2t ⋅2x 2+1-t，整理得：2t 2x 12+t -2 2x 1+2-t =02t 2x 22+t -2 2x2+2-t =0 ，即2t ⋅2x 2+t -2 ⋅2x +2-t =0在0,+∞ 内有两不等实根x 1，x 2，令2x =u ，当x >0时u >1，则关于u 的2t ⋅u 2+t -2 ⋅u +2-t =0在1,+∞ 内有两个不等实根.整理得：1t =2u 2+u -12u -2=u -1+1u -1+52，即y =1t 与y =x -1+1x -1+52由两个不同的交点，又y =x -1+1x -1+52≥2(x -1)⋅1x -1+52=92，当且仅当x =2时等号成立，则(1,2)上递减，(2,+∞)上递增，且其值域为92,+∞ .∴函数图象如下：∴y =1t >92，即t ∈0,29.【点睛】关键点点睛：第二问，根据对数复合函数的单调性及其区间值域，将问题转化为方程在某区间内有两个不同实根，应用参变分离将问题进一步化为两个函数在某区间内有两个交点.。
湖南省长沙市2021-2022学年度高一数学第一学期期末考试【含答案】
；
对于B：原式＝ ；
对于C：原式＝ ；
对于D：原式＝ ．
故选：ABD
【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，知函数 ，则下列说法中正确的是（）
A. 的最小正周期为 B. 在 上单调递增
C.曲线 关于 对称D.曲线 关于 对称
【答案】ABC
∴ ，∴ ，
∴ .
故选：B.
7.若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母( )，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 即可得到结果．
【详解】解：因为 ，所以将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
8.已知 （ ）， （ ），则p，q的大小关系为（）
因此 .
故答案为：
18.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定∶100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过_____小时才能驾驶．（注∶不足1小时，按1小时计算，如计算结果为7.3，就答8小时）
故函数 的图象过定，点 ，故A正确；
根据方程 有两个实数根，可得 ，即 ，
故 是方程 有两个实数根的必要不充分条件，故B错误；
∵ 的反函数是 ，∴ ，故C错误；
若 在区间 上为减函数，
则 在区间 上大于零，且 ，
即 且 ，求得 ，故D正确，
故选：AD.
三､填空题（共5道小题，每小题3分，共15分）
16.命题“ ， ”的否定是___________.
安徽省合肥一中2021-2021学年第一学期高一期末试卷数学(解析版)
2017-2018学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |-1≤x ＜8}，N ={x |x ＞4}，则M ∪N =（ ）A. (4,+∞)B. [−1,4)C. (4,8)D. [−1,+∞)2. 函数y =xln(x+2)的定义域为（ ）A. (−2,+∞)B. (−2,−1)∪(−1,+∞)C. (12,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)3. 已知函数y =sin （2x +φ）在x =π6处取得最大值，则函数y =cos （2x +φ）的图象（ ）A. 关于点(π6,0)对称 B. 关于点(π3,0)对称 C. 关于直线x =π6对称D. 关于直线x =π3对称4. 已知a =2-1.2，b =log 36，c =log 510，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c <b <a B. c <a <b C. a <b <c D. a <c <b5. 若将函数f （x ）=12sin （2x +π3）图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递增区间为（ ）A. [kπ−π4,kπ+π4](k ∈Z) B. [kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z) C. [kπ−2π3,kπ−π6](k ∈Z)D. [kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)6. 对于定义在R 上的函数y =f （x ），若f （a ）•f （b ）＜0（a ，b ∈R ，且a ＜b ），则函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内（ ） A. 只有一个零点 B. 至少有一个零点 C. 无零点 D. 无法判断7. 已知函数f （x ）=x 2•sin （x -π），则其在区间[-π，π]上的大致图象是（ ）A.B.C.D.8. 已知a ⃗ =（2sin13°，2sin77°），|a ⃗ -b ⃗ |=1，a ⃗ 与a ⃗ -b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ •b ⃗ =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59. （理）设点P(t 2+2t ，1)(t ≠0)是角α终边上一点，当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，sinα-cosα的值是（ ）A. −√55B. 3√55C. √55或−3√55D. −√55或3√5510. 已知函数f （x ）={log 2017x,x>1sinπx,0≤x≤1，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a +b +c 的取值范围是（ ）A. (1,2 017)B. (1,2 018)C. [2,2 018]D. (2,2 018) 11. 已知A ，B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），∠AOB =120°，点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点．MN 是圆O 的一条直径，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ） A. [−34,0)B. [−1,1)C. [−12,1)D. [−1,0)12. 已知α∈[π2，3π2]，β∈[-π2，0]，且（α-π2）3-sinα-2=0，8β3+2cos 2β+1=0，则sin （α2+β）的值为（ ）A. 0B. √22C. 12D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数y =f （x ）是定义在R 上的奇函数，且周期为4，若f （-1）=2，且函数的则f （2017）的值为______． 14. 已知定义域为R 的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，且f （−12）=0，则不等式f （log 4x ）＞0的解集是______．15. 已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +2y =1，∠AOB 是钝角，若f （t ）=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为2√3，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是______． 16. 已知函数f （x ）=2sin （2x +π6），记函数f （x ）在区间[t ，t +π4]上的最大值为M t 最小值为m t ，设函数h （t ）=M t -m t ，若t ∈[π12，5π12]，则函数h （t ）的值域为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x |m -1≤x ≤2m +3}，函数f （x ）=lg （-x 2+2x +8）的定义域为B ．（1）当m =2时，求A ∪B 、（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B =A ，求实数m 的取值范围．18. 已知sin （π-α）-cos （π+α）=√23，(π2＜α＜π)．求下列各式的值：（1）sinα-cosα；（2）sin 2(π2−α)−cos 2(π2+α)．19. 函数f （x ）=log a （1-x ）+log a （x +3）（0＜a ＜1）．（1）求函数f （x ）的零点．（2）若函数f （x ）的最小值为-2，求a 的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A(−12，0)，B(32，0)，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−14时，求α的值； （Ⅱ）在轴上是否存在定点M ，使得|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由．21. 已知函数f （x ）为R 上的偶函数，g （x ）为R 上的奇函数，且f （x ）+g （x ）=log 4（4x +1）．（1）求f （x ），g （x ）的解析式；（2）若函数h （x ）=f （x ）-12log 2(a ⋅2x +2√2a)(a ＞0)在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围．22.已知f（x）=ax2-2x+2，a∈R（1）已知h（10x）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围；＞（3）设函数F（x）=|f（x）|，若对任意x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，满足F(x1)−F(x2)x1−x2 0，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合M={x|-1≤x＜8}，N={x|x＞4}，∴M∪N={x|x≥-1}=[-1，+∞）．故选：D．由已知条件，利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】B【解析】解：由，解得x＞-2且x≠-1．∴函数的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）．故选：B．由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A．由题意可得sin（+φ）=1，故有cos（+φ）=0，由此可得函数y=cos（2x+φ）的图象特征．本题主要考查正弦函数和余弦函数的图象，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：a=2-1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b ＞c．∴b＞c＞a．故选：D．a=2-1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=-sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性函数g（x）的单调递增区间．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=，函数不是列出函数，定义域为R，没有零点．则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．故选：D．函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”根据零点定理f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点．本题考查零点的存在性定理，属于一道基础题．7.【答案】D【解析】解：f（x）=x2•sin（x-π）=-x2•sinx，∴f（-x）=-（-x）2•sin（-x）=x2•sinx=-f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=-＜0，故选：D．先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=-＜0，问题得以解决．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：=（2sin13°，2sin77°）=（2sin13°，2cos13°），||=2，|-|=1，与-的夹角为，所以==-，1=4-，∴•=3，故选：B．利用向量的模以及向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：∵∈（-∞，-2]∪[2，-∞）故当=±2时，最小当=-2时，sinα-cosα=-（-）=当=2时，sinα-cosα=-=-故选：D．利用基本不等式，我们可以求出的范围，进而我们可以确定出当最小时，P点的坐标，进而求出sinα与cosα的值，代入sinα-cosα即可得到答案．本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，基本不等式，其中根据基本不等式，求出的范围，是解答本题的关键，在解答中，易忽略t可能小于0，而导致可能小于等于-2，而只考虑正值的情况，而错选A10.【答案】D【解析】解：作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．本题考查代数和的取值范围，是中档题，解题时要认真审题，注意函数对称性性质的合理运用．11.【答案】A【解析】解：如图，∵OA=OB=1，∠AOB=120°；∴O到直线AB的距离d=；∴；∴==；∴；∴的取值范围为．故选A．先根据条件画出图形，根据条件可求出，并求出，，而，，带入并进行数量积的运算便可得到，这样便可得出的取值范围．考查单位圆的定义，数形结合解题的方法，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，不等式的性质．12.【答案】B【解析】解：∵（α-）3-sinα-2=0，可得：（α-）3-cos（）-2=0，即（-α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[-，0]，∴∈[-π，0]，2β∈[-π，0]可知函数f（x）在x∈[-π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．构造思想，转化为函数问题，零点与方程的根的关系，利用单调性找出α，β的关系，求解即可．本题主要考查了函数的转化思想，零点与方程的根的关系，单调性的运用．属于偏难的题．13.【答案】-2【解析】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数且f（-1）=2，∴f（1）=-2，又∵函数的周期为4，∴f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=-2，故答案为：-2根据定义在R上的奇函数定义可知，且f（-1）=-f（1），进而根据函数的周期为4，可得f（2017）=f（1），代入可求．本题考查的知识点是函数的值，函数的奇偶性，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．14.【答案】（1，1）∪（2，+∞）2【解析】解：定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（）=0，可得f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（）=-f（）=0，当log4x＞0即x＞1，f（log4x）＞0即为log4x＞，解得x＞2；当log4x＜0即0＜x＜1，f（log4x）＞0即为log4x＞-，解得＜x＜1．综上可得，原不等式的解集为（，1）∪（2，+∞）．故答案为：（，1）∪（2，+∞）．由题意可得f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（）=-f（）=0，讨论log4x＞0和log4x＜0，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．15.【答案】4【解析】解：∵f（t）=||的最小值为2，根据图形可知，当（）时，f（t）=||有最小值，即||=2，，∵||=4，∴∠AOM=30°，∴∠AOB=120°，∴==4×=-16，∵=x，且x+2y=1，∴=++2xy，∵16x2+64y2-32xy=192y2-96y+16≥4，即||的最小值4，故答案为：4．根据图形可知（）时，f（t）=||有最小值，根据已知可求∠AOB，然后根据向量数量积的定义可求，再根据=x ，且x+2y=1，向量数量积的性质可求．考查向量和差的模的最值，利用作图求得f（t）的最小值，以及此时两向量的夹角是解题的关键，体现了数形结合的思想，同时考查了灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．16.【答案】[1，2√2]【解析】解：f（x）=2sin （2x+），∴f（x）在[-+kπ，+kπ]上单调递增，在（+kπ，π+kπ]上单调递减，k∈Z，∵t∈[]，∴t+∈[，]，当t∈[，]，f（x）单调递增，最大值为2，当t+∈[，]上f（x）单调递减，最小值为2sin（2t++）=2cos（2t+），那么h（t）=2-2cos（2t+），t∈[，]，∴2t+∈[，]，可得函数的h（t）的值域为[1，2]，当t∈（，]，f（x）单调递减，最大值为sin（2t+），当t+∈[，]上f（x）单调递减，最小值为2sin（2t++）=2cos（2t+），那么h（t）=sin（2t+）-2cos（2t+）=2sin（2t-），t∈（，]，∴2t-∈（，]，可得函数的h（t）的值域为[2，2]，综上可得函数h（t）值域为[1，2]，故答案为：[1，2]求出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，根据f（x）的图象得出h（t）取得最小值时对应的t 的值，从而计算出M t ，m t ，得出答案．本题考查了三角函数的化解能力，图象性质的应用，单调性讨论思想和转化思想．属于中档题．17.【答案】解：（1）根据题意，当m =2时，A ={x |1≤x ≤7}，B ={x |-2＜x ＜4}，则A ∪B ={x |-2＜x ≤7}， 又∁R A ={x |x ＜1或x ＞7}， 则（∁R A ）∩B ={x |-2＜x ＜1}；（2）根据题意，若A ∩B =A ，则A ⊆B ， 分2种情况讨论：①、当A =∅时，有m -1＞2m +3，解可得m ＜-4， ②、当A ≠∅时，若有A ⊆B ，必有{m −1≤2m +3m −1＞−22m +3＜4，解可得-1＜m ＜12，综上可得：m 的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，12）． 【解析】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.（1）根据题意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定义可得A ∪B 的值，由补集定义可得∁R A={x|x ＜1或x ＞7}，进而由交集的定义计算可得（∁R A ）∩B ，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A ⊆B ，进而分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，②、当A≠∅时，有，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．18.【答案】解：（1）由sin （π-α）-cos （π+α）=√23， 得sinα+cosα=√23．①将①式两边平方，得1+2sinαcosα=29． ∴2sinαcosα=-79． 又π2＜α＜π， ∴sinα＞0，cosα＜0．∴sinα-cosα＞0．∴（sinα-cosα）2=（sinα+cosα）2-4sinαcosα=29+149=169．∴sinα-cosα=43；（2）sin2(π2−α)−cos2(π2+α)=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=√23×43=4√29．【解析】（1）利用三角函数的诱导公式化简等式求得sinα+cosα的值，然后平方整理可得2sinαcosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinα-cosα的值；（2）先用诱导公式整理后，进而展开，利用（1）中的结论求得答案．本题考查函数值的求法，注意同角三角函数关系式、完全平方式的合理运用，属于中档题．19.【答案】解：（1）要使函数有意义：则有{x+3>01−x>0，解之得：-3＜x＜1，所以函数的定义域为：（-3，1），函数可化为f（x）=log a（1-x）（x+3）=log a（-x2-2x+3），由f（x）=0，得-x2-2x+3=1，即x2+2x-2=0，解得x=-1±√3，∵x=-1±√3∈（-3，1），∴f（x）的零点是-1±√3；（2）函数可化为：f（x）=log a（1-x）（x+3）=log a（-x2-2x+3）=log a[-（x+1）2+4]，∵-3＜x＜1，∴0＜-（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[-（x+1）2+4]≥log a4即f（x）min=log a4，由题知，log a4=-2，∴a-2=4∴a=12．【解析】（1）函数的零点也是就方程的解，解方程即可，需要判断所求的解在不在x的定义域内；（2）根据对数函数是减函数，求出f （x ）的最值，然后代入求解．本题主要考查了对数函数的定义和性质以及函数的零点问题，灵活转化函数的形式是关键，属于中档题．20.【答案】解：（I ）P （cosα，sinα）．…（2分）AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+12，sinα)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−32，sinα)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+12)(cosα−32)+sin 2α=cos 2α-cosα−34+sin 2α=14-cosα， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−14，所以14−cosα=−14，即cosα=12， 因为α为锐角，所以α=π3．…（7分） （Ⅱ）法一： 设M （m ，0），则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+12)2+sin 2α=1+cosα+14=cosα+54， |MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα−m)2+sin 2α=1−2mcosα+m 2， 因为|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以cosα+54=14(1−2mcosα+m 2)，…（12分） 所以(1+m2)cosα+(1−m 24)=0对任意α∈(0，π2)成立，所以{1+m 2=01−m 24=0，所以m =-2．M 点的横坐标为-2．…（16分） 法二：设M （m ，0），则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+12)2+sin 2α=1+cosα+14=cosα+54，|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα−m)2+sin 2α=1−2mcosα+m 2， 因为|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以cosα+54=14(1−2mcosα+m 2)，即m 2-2m cosα-4cosα-4=0，（m +2）[（m -2）-2cosα]=0， 因为α可以为任意的锐角，（m -2）-2cosα=0不能总成立， 所以m +2=0，即m =-2，M 点的横坐标为-2．…（16分） 【解析】（ I ）P （cosα，sinα）求出向量，利用数量积转化求解即可．（Ⅱ）法一：设M （m ，0），通过，推出，即可求解M 点的横坐标．法二：设M （m ，0），通过，推出（m+2）[（m-2）-2cosα]=0，利用恒成立求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，三角函数的最值，恒成立问题的转化，考查计算能力．21.【答案】解：（1）因为，f(x)+g(x)=log 4(4x +1)…①，∴f(−x)+g(−x)=log 4(4−x +1)，∴f(x)−g(x)=log 4(4x +1)−x …② 由①②得，f(x)=log 4(4x +1)−x2，g(x)=x2．（2）由ℎ(x)=f(x)−12log 2(a ⋅2x +2√2a)=log 4(4x +1)−x2−12log 2(a ⋅2x +2√2a) =12log 2(22x +1)−x2−12log 2(a ⋅2x +2√2a)=0．得：log 222x +12x=log 2(a ⋅2x +2√2a)⇒(a −1)22x +2√2a ⋅2x −1=0，令t =2x ，则t ＞0，即方程(a −1)t 2+2√2at −1=0…（*）只有一个大于0的根， ①当a =1时，t =√24＞0，满足条件；②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1＜0，∴a ＞1， ③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则△=8a 2+4（a -1）=0，∴a =12，a =-1（舍）a =12时，t =2√2＞0， 综上：a =12或a ≥1． 【解析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对a 讨论，结合二次函数的性质求解即可．本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．22.【答案】解：（1）令10x =t 即x =lg t ，由h （10x ）=ax 2-x +3得h （t ）=a lg 2t -lg t +3即h （x ）=a lg 2x -lg x +3（2）由题意得：ax 2-2x +2＞0即a ＞−(1x )2+2x ，x ∈[1，2]恒成立， −(1x )2+2x =−2(1x −12)2+12，当x =2时[−(1x )2+2x ]max =12， 所以a 得取值范围为a ＞12（3）由题意得F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增，①当a ＜0时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ＜0又因为f （0）＞0且f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，且f （1）=a ＜0， 所以F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．②当a =0时，f （x ）=-2x +2，f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，且f （1）=0， 所以F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增；③当0＜a ≤12时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ∈[2，+∞)， 所以f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，要使F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．f （1）=a ＜0不符合，舍去； ④当12＜a ＜1时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ∈(1，2)， 可知F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]不单调．⑤当a ≥1时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ∈(0，1] 所以f （x ）在x ∈[1，2]单调递增，f （1）=a ＞0要使F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．故a ≥1； 综上所述，a 的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞） 【解析】（1）令10x =t ，得：x=lgt ，从而求出h （x ）的解析式即可； （2）分离此时a ，得到恒成立，根据二次函数的性质求出a 的范围即可；（3）通过讨论a 的范围求出F （x ）的单调性，从而进一步确定a 的范围即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。
安徽省合肥一中2021-2021学年第一学期高一期末试卷数学(解析版)
2017-2018学年安徽省合肥一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x |-1≤x ＜8}，N ={x |x ＞4}，则M ∪N =（ ）A. (4,+∞)B. [−1,4)C. (4,8)D. [−1,+∞)2. 函数y =xln(x+2)的定义域为（ ）A. (−2,+∞)B. (−2,−1)∪(−1,+∞)C. (12,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)3. 已知函数y =sin （2x +φ）在x =π6处取得最大值，则函数y =cos （2x +φ）的图象（ ）A. 关于点(π6,0)对称 B. 关于点(π3,0)对称 C. 关于直线x =π6对称D. 关于直线x =π3对称4. 已知a =2-1.2，b =log 36，c =log 510，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c <b <a B. c <a <b C. a <b <c D. a <c <b5. 若将函数f （x ）=12sin （2x +π3）图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到g （x ）的图象，则函数g （x ）的单调递增区间为（ ）A. [kπ−π4,kπ+π4](k ∈Z) B. [kπ+π4,kπ+3π4](k ∈Z) C. [kπ−2π3,kπ−π6](k ∈Z)D. [kπ−π12,kπ+5π12](k ∈Z)6. 对于定义在R 上的函数y =f （x ），若f （a ）•f （b ）＜0（a ，b ∈R ，且a ＜b ），则函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内（ ） A. 只有一个零点 B. 至少有一个零点 C. 无零点 D. 无法判断7. 已知函数f （x ）=x 2•sin （x -π），则其在区间[-π，π]上的大致图象是（ ）A.B.C.D.8. 已知a ⃗ =（2sin13°，2sin77°），|a ⃗ -b ⃗ |=1，a ⃗ 与a ⃗ -b ⃗ 的夹角为π3，则a ⃗ •b ⃗ =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 59. （理）设点P(t 2+2t ，1)(t ≠0)是角α终边上一点，当|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小时，sinα-cosα的值是（ ）A. −√55B. 3√55C. √55或−3√55D. −√55或3√5510. 已知函数f （x ）={log 2017x,x>1sinπx,0≤x≤1，若a 、b 、c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），则a +b +c 的取值范围是（ ）A. (1,2 017)B. (1,2 018)C. [2,2 018]D. (2,2 018) 11. 已知A ，B 是单位圆O 上的两点（O 为圆心），∠AOB =120°，点C 是线段AB 上不与A 、B 重合的动点．MN 是圆O 的一条直径，则CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是（ ） A. [−34,0)B. [−1,1)C. [−12,1)D. [−1,0)12. 已知α∈[π2，3π2]，β∈[-π2，0]，且（α-π2）3-sinα-2=0，8β3+2cos 2β+1=0，则sin （α2+β）的值为（ ）A. 0B. √22C. 12D. 1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数y =f （x ）是定义在R 上的奇函数，且周期为4，若f （-1）=2，且函数的则f （2017）的值为______． 14. 已知定义域为R 的奇函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，且f （−12）=0，则不等式f （log 4x ）＞0的解集是______．15. 已知|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=8，OC⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且x +2y =1，∠AOB 是钝角，若f （t ）=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −t OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为2√3，则|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是______． 16. 已知函数f （x ）=2sin （2x +π6），记函数f （x ）在区间[t ，t +π4]上的最大值为M t 最小值为m t ，设函数h （t ）=M t -m t ，若t ∈[π12，5π12]，则函数h （t ）的值域为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x |m -1≤x ≤2m +3}，函数f （x ）=lg （-x 2+2x +8）的定义域为B ．（1）当m =2时，求A ∪B 、（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B =A ，求实数m 的取值范围．18. 已知sin （π-α）-cos （π+α）=√23，(π2＜α＜π)．求下列各式的值：（1）sinα-cosα；（2）sin 2(π2−α)−cos 2(π2+α)．19. 函数f （x ）=log a （1-x ）+log a （x +3）（0＜a ＜1）．（1）求函数f （x ）的零点．（2）若函数f （x ）的最小值为-2，求a 的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点A(−12，0)，B(32，0)，锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−14时，求α的值； （Ⅱ）在轴上是否存在定点M ，使得|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由．21. 已知函数f （x ）为R 上的偶函数，g （x ）为R 上的奇函数，且f （x ）+g （x ）=log 4（4x +1）．（1）求f （x ），g （x ）的解析式；（2）若函数h （x ）=f （x ）-12log 2(a ⋅2x +2√2a)(a ＞0)在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围．22.已知f（x）=ax2-2x+2，a∈R（1）已知h（10x）=f（x）+x+1，求h（x）的解析式；（2）若f（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围；＞（3）设函数F（x）=|f（x）|，若对任意x1，x2∈[1，2]，且x1≠x2，满足F(x1)−F(x2)x1−x2 0，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合M={x|-1≤x＜8}，N={x|x＞4}，∴M∪N={x|x≥-1}=[-1，+∞）．故选：D．由已知条件，利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】B【解析】解：由，解得x＞-2且x≠-1．∴函数的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）．故选：B．由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．3.【答案】A【解析】解：∵函数y=sin（2x+φ）在x=处取得最大值，∴sin（+φ）=1，∴cos（+φ）=0，∴函数y=cos（2x+φ）的图象关于点（，0）对称，故选：A．由题意可得sin（+φ）=1，故有cos（+φ）=0，由此可得函数y=cos（2x+φ）的图象特征．本题主要考查正弦函数和余弦函数的图象，同角三角函数的基本关系，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：a=2-1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，∴b ＞c．∴b＞c＞a．故选：D．a=2-1.2＜1，b=log36=1+log32，c=log510=1+log52，而log32＞log52＞0，可得b＞c．即可得出．本题考查了对数函数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=-sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性函数g（x）的单调递增区间．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，也可能有2，3或多个零点，但是如果函数不是连续函数，在区间（a，b）上可能没有零点；f（x）=，函数不是列出函数，定义域为R，没有零点．则函数y=f（x）在区间（a，b）内的零点个数，无法判断．故选：D．函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，“f（a）•f（b）＜0”根据零点定理f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点．本题考查零点的存在性定理，属于一道基础题．7.【答案】D【解析】解：f（x）=x2•sin（x-π）=-x2•sinx，∴f（-x）=-（-x）2•sin（-x）=x2•sinx=-f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=-＜0，故选：D．先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=-＜0，问题得以解决．本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：=（2sin13°，2sin77°）=（2sin13°，2cos13°），||=2，|-|=1，与-的夹角为，所以==-，1=4-，∴•=3，故选：B．利用向量的模以及向量的数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：∵∈（-∞，-2]∪[2，-∞）故当=±2时，最小当=-2时，sinα-cosα=-（-）=当=2时，sinα-cosα=-=-故选：D．利用基本不等式，我们可以求出的范围，进而我们可以确定出当最小时，P点的坐标，进而求出sinα与cosα的值，代入sinα-cosα即可得到答案．本题考查的知识点是任意角的三角函数的定义，基本不等式，其中根据基本不等式，求出的范围，是解答本题的关键，在解答中，易忽略t可能小于0，而导致可能小于等于-2，而只考虑正值的情况，而错选A10.【答案】D【解析】解：作出函数的图象，直线y=m交函数图象于如图，不妨设a＜b＜c，由正弦曲线的对称性，可得（a，m）与（b，m）关于直线x=对称，因此a+b=1，当直线y=m=1时，由log2017x=1，解得x=2017，即x=2017，∴若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），由a＜b＜c可得1＜c＜2017，因此可得2＜a+b+c＜2018，即a+b+c∈（2，2018）．故选：D．根据题意，在坐标系里作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），确定a，b，c的大小，即可得出a+b+c的取值范围．本题考查代数和的取值范围，是中档题，解题时要认真审题，注意函数对称性性质的合理运用．11.【答案】A【解析】解：如图，∵OA=OB=1，∠AOB=120°；∴O到直线AB的距离d=；∴；∴==；∴；∴的取值范围为．故选A．先根据条件画出图形，根据条件可求出，并求出，，而，，带入并进行数量积的运算便可得到，这样便可得出的取值范围．考查单位圆的定义，数形结合解题的方法，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，不等式的性质．12.【答案】B【解析】解：∵（α-）3-sinα-2=0，可得：（α-）3-cos（）-2=0，即（-α）3+cos（）+2=0由8β3+2cos2β+1=0，得（2β）3+cos2β+2=0，∴可得f（x）=x3+cosx+2=0，其，x2=2β．∵α∈[，]，β∈[-，0]，∴∈[-π，0]，2β∈[-π，0]可知函数f（x）在x∈[-π，0]是单调增函数，方程x3+cosx+2=0只有一个解，可得，即，∴，那么sin（+β）=sin=．故选：B．构造思想，转化为函数问题，零点与方程的根的关系，利用单调性找出α，β的关系，求解即可．本题主要考查了函数的转化思想，零点与方程的根的关系，单调性的运用．属于偏难的题．13.【答案】-2【解析】解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数且f（-1）=2，∴f（1）=-2，又∵函数的周期为4，∴f（2017）=f（4×504+1）=f（1）=-2，故答案为：-2根据定义在R上的奇函数定义可知，且f（-1）=-f（1），进而根据函数的周期为4，可得f（2017）=f（1），代入可求．本题考查的知识点是函数的值，函数的奇偶性，函数的周期性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．14.【答案】（1，1）∪（2，+∞）2【解析】解：定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（）=0，可得f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（）=-f（）=0，当log4x＞0即x＞1，f（log4x）＞0即为log4x＞，解得x＞2；当log4x＜0即0＜x＜1，f（log4x）＞0即为log4x＞-，解得＜x＜1．综上可得，原不等式的解集为（，1）∪（2，+∞）．故答案为：（，1）∪（2，+∞）．由题意可得f（x）在（-∞，0）上是增函数，且f（）=-f（）=0，讨论log4x＞0和log4x＜0，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查分类讨论思想方法和运算能力，属于中档题．15.【答案】4【解析】解：∵f（t）=||的最小值为2，根据图形可知，当（）时，f（t）=||有最小值，即||=2，，∵||=4，∴∠AOM=30°，∴∠AOB=120°，∴==4×=-16，∵=x，且x+2y=1，∴=++2xy，∵16x2+64y2-32xy=192y2-96y+16≥4，即||的最小值4，故答案为：4．根据图形可知（）时，f（t）=||有最小值，根据已知可求∠AOB，然后根据向量数量积的定义可求，再根据=x ，且x+2y=1，向量数量积的性质可求．考查向量和差的模的最值，利用作图求得f（t）的最小值，以及此时两向量的夹角是解题的关键，体现了数形结合的思想，同时考查了灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力．16.【答案】[1，2√2]【解析】解：f（x）=2sin （2x+），∴f（x）在[-+kπ，+kπ]上单调递增，在（+kπ，π+kπ]上单调递减，k∈Z，∵t∈[]，∴t+∈[，]，当t∈[，]，f（x）单调递增，最大值为2，当t+∈[，]上f（x）单调递减，最小值为2sin（2t++）=2cos（2t+），那么h（t）=2-2cos（2t+），t∈[，]，∴2t+∈[，]，可得函数的h（t）的值域为[1，2]，当t∈（，]，f（x）单调递减，最大值为sin（2t+），当t+∈[，]上f（x）单调递减，最小值为2sin（2t++）=2cos（2t+），那么h（t）=sin（2t+）-2cos（2t+）=2sin（2t-），t∈（，]，∴2t-∈（，]，可得函数的h（t）的值域为[2，2]，综上可得函数h（t）值域为[1，2]，故答案为：[1，2]求出f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，根据f（x）的图象得出h（t）取得最小值时对应的t 的值，从而计算出M t ，m t ，得出答案．本题考查了三角函数的化解能力，图象性质的应用，单调性讨论思想和转化思想．属于中档题．17.【答案】解：（1）根据题意，当m =2时，A ={x |1≤x ≤7}，B ={x |-2＜x ＜4}，则A ∪B ={x |-2＜x ≤7}， 又∁R A ={x |x ＜1或x ＞7}， 则（∁R A ）∩B ={x |-2＜x ＜1}；（2）根据题意，若A ∩B =A ，则A ⊆B ， 分2种情况讨论：①、当A =∅时，有m -1＞2m +3，解可得m ＜-4， ②、当A ≠∅时，若有A ⊆B ，必有{m −1≤2m +3m −1＞−22m +3＜4，解可得-1＜m ＜12，综上可得：m 的取值范围是：（-∞，-4）∪（-1，12）． 【解析】本题考查集合间关系的判定，涉及集合间的混合运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.（1）根据题意，由m=2可得A={x|1≤x≤7}，由并集定义可得A ∪B 的值，由补集定义可得∁R A={x|x ＜1或x ＞7}，进而由交集的定义计算可得（∁R A ）∩B ，即可得答案；（2）根据题意，分析可得A ⊆B ，进而分2种情况讨论：①、当A=∅时，有m-1＞2m+3，②、当A≠∅时，有，分别求出m 的取值范围，进而对其求并集可得答案．18.【答案】解：（1）由sin （π-α）-cos （π+α）=√23， 得sinα+cosα=√23．①将①式两边平方，得1+2sinαcosα=29． ∴2sinαcosα=-79． 又π2＜α＜π， ∴sinα＞0，cosα＜0．∴sinα-cosα＞0．∴（sinα-cosα）2=（sinα+cosα）2-4sinαcosα=29+149=169．∴sinα-cosα=43；（2）sin2(π2−α)−cos2(π2+α)=cos2α-sin2α=（cosα-sinα）（cosα+sinα）=√23×43=4√29．【解析】（1）利用三角函数的诱导公式化简等式求得sinα+cosα的值，然后平方整理可得2sinαcosα的值，再利用同角三角函数的基本关系求出sinα-cosα的值；（2）先用诱导公式整理后，进而展开，利用（1）中的结论求得答案．本题考查函数值的求法，注意同角三角函数关系式、完全平方式的合理运用，属于中档题．19.【答案】解：（1）要使函数有意义：则有{x+3>01−x>0，解之得：-3＜x＜1，所以函数的定义域为：（-3，1），函数可化为f（x）=log a（1-x）（x+3）=log a（-x2-2x+3），由f（x）=0，得-x2-2x+3=1，即x2+2x-2=0，解得x=-1±√3，∵x=-1±√3∈（-3，1），∴f（x）的零点是-1±√3；（2）函数可化为：f（x）=log a（1-x）（x+3）=log a（-x2-2x+3）=log a[-（x+1）2+4]，∵-3＜x＜1，∴0＜-（x+1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[-（x+1）2+4]≥log a4即f（x）min=log a4，由题知，log a4=-2，∴a-2=4∴a=12．【解析】（1）函数的零点也是就方程的解，解方程即可，需要判断所求的解在不在x的定义域内；（2）根据对数函数是减函数，求出f （x ）的最值，然后代入求解．本题主要考查了对数函数的定义和性质以及函数的零点问题，灵活转化函数的形式是关键，属于中档题．20.【答案】解：（I ）P （cosα，sinα）．…（2分）AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+12，sinα)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα−32，sinα)， AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα+12)(cosα−32)+sin 2α=cos 2α-cosα−34+sin 2α=14-cosα， 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−14，所以14−cosα=−14，即cosα=12， 因为α为锐角，所以α=π3．…（7分） （Ⅱ）法一： 设M （m ，0），则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+12)2+sin 2α=1+cosα+14=cosα+54， |MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα−m)2+sin 2α=1−2mcosα+m 2， 因为|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，所以cosα+54=14(1−2mcosα+m 2)，…（12分） 所以(1+m2)cosα+(1−m 24)=0对任意α∈(0，π2)成立，所以{1+m 2=01−m 24=0，所以m =-2．M 点的横坐标为-2．…（16分） 法二：设M （m ，0），则|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+12)2+sin 2α=1+cosα+14=cosα+54，|MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα−m)2+sin 2α=1−2mcosα+m 2， 因为|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |， 所以cosα+54=14(1−2mcosα+m 2)，即m 2-2m cosα-4cosα-4=0，（m +2）[（m -2）-2cosα]=0， 因为α可以为任意的锐角，（m -2）-2cosα=0不能总成立， 所以m +2=0，即m =-2，M 点的横坐标为-2．…（16分） 【解析】（ I ）P （cosα，sinα）求出向量，利用数量积转化求解即可．（Ⅱ）法一：设M （m ，0），通过，推出，即可求解M 点的横坐标．法二：设M （m ，0），通过，推出（m+2）[（m-2）-2cosα]=0，利用恒成立求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，三角函数的最值，恒成立问题的转化，考查计算能力．21.【答案】解：（1）因为，f(x)+g(x)=log 4(4x +1)…①，∴f(−x)+g(−x)=log 4(4−x +1)，∴f(x)−g(x)=log 4(4x +1)−x …② 由①②得，f(x)=log 4(4x +1)−x2，g(x)=x2．（2）由ℎ(x)=f(x)−12log 2(a ⋅2x +2√2a)=log 4(4x +1)−x2−12log 2(a ⋅2x +2√2a) =12log 2(22x +1)−x2−12log 2(a ⋅2x +2√2a)=0．得：log 222x +12x=log 2(a ⋅2x +2√2a)⇒(a −1)22x +2√2a ⋅2x −1=0，令t =2x ，则t ＞0，即方程(a −1)t 2+2√2at −1=0…（*）只有一个大于0的根， ①当a =1时，t =√24＞0，满足条件；②当方程（*）有一正一负两根时，满足条件，则−1a−1＜0，∴a ＞1， ③当方程（*）有两个相等的且为正的实根时，则△=8a 2+4（a -1）=0，∴a =12，a =-1（舍）a =12时，t =2√2＞0， 综上：a =12或a ≥1． 【解析】（1）利用函数的奇偶性列出方程组求解即可得到函数的解析式．（2）利用函数只有一个零点，通过换元法，对a 讨论，结合二次函数的性质求解即可．本题考查函数的零点的求法，分类讨论思想的应用，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．22.【答案】解：（1）令10x =t 即x =lg t ，由h （10x ）=ax 2-x +3得h （t ）=a lg 2t -lg t +3即h （x ）=a lg 2x -lg x +3（2）由题意得：ax 2-2x +2＞0即a ＞−(1x )2+2x ，x ∈[1，2]恒成立， −(1x )2+2x =−2(1x −12)2+12，当x =2时[−(1x )2+2x ]max =12， 所以a 得取值范围为a ＞12（3）由题意得F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增，①当a ＜0时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ＜0又因为f （0）＞0且f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，且f （1）=a ＜0， 所以F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．②当a =0时，f （x ）=-2x +2，f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，且f （1）=0， 所以F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增；③当0＜a ≤12时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ∈[2，+∞)， 所以f （x ）在x ∈[1，2]单调递减，要使F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．f （1）=a ＜0不符合，舍去； ④当12＜a ＜1时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ∈(1，2)， 可知F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]不单调．⑤当a ≥1时，f （x ）=ax 2-2x +2，对称轴为x =1a ∈(0，1] 所以f （x ）在x ∈[1，2]单调递增，f （1）=a ＞0要使F （x ）=|f （x ）|在x ∈[1，2]单调递增．故a ≥1； 综上所述，a 的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞） 【解析】（1）令10x =t ，得：x=lgt ，从而求出h （x ）的解析式即可； （2）分离此时a ，得到恒成立，根据二次函数的性质求出a 的范围即可；（3）通过讨论a 的范围求出F （x ）的单调性，从而进一步确定a 的范围即可． 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．。
浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，2}C．{1，2，6}D．{1，2，3，6}2．已知A是△ABC的内角，则”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A．B．y＝tan x C．y＝2x D．y＝x34．已知，，，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（2022）＝（）A．﹣2022B．0C．1D．20226．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为（N﹣V）．已知新冠病毒在某地的基本传染数R0＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）A．40%B．50%C．60%D．70%7．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（2x+2﹣x）|x|B．f（x）＝（2x﹣2﹣x）|x|C．f（x）＝（2x+2﹣x）D．f（x）＝（2x+2﹣x）log2|x|8．已知函数f（x）＝x2+mx+n，则存在m，n∈R，对任意的x∈R有（）A．f（x）＜f（x+2022）B．2022f（f（x））≥2022xC．f（x2﹣1）＜f（x﹣2022）D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若cosθ•tanθ＞0，则角θ的终边可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．已知正实数x，y，z满足2x＝5y＝10z，则下列选项正确的（）A．x+y＝z B．C．D．xy＞4z211．设函数，则下列结论正确的是（）A．∃α∈R，使得f（α）＝f（﹣α）＝1B．∃α∈R，使得C．∀x∈R，都有D．∀x∈R，都有12．若实数a，b满足3a+4a＝4b+3b，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知某扇形的圆心角是，半径是3，则扇形的面积是．14．已知，则＝．15．已知函数若f（a）+f（a2﹣2）＜0，则a的取值范围是．16．已知x1、x2、x3（x1＜x2＜x3）是函数f（x）＝x（2x+1）+m（2x﹣1）（m∈R，m≠0）的三个零点，则的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x||x|≤4}，B＝{x|5﹣m≤x≤5+m，m＞0}．（Ⅰ）若m＝10，求A∩B；（Ⅱ）若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x（x∈R）．（1）求的值；（2）在△ABC中，若f（）＝1，求sin B+sin C的最大值．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图家向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）证明：函数f（x）在（1，+∞）上为增函数？（Ⅱ）若对于区间〖3，4〗上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．（Ⅰ）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（Ⅱ）在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲，乙分别位于P，Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出h≥25时t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，g（x）＝．（Ⅰ）当a＝1时，函数f（x）在（m，m+1）上不单调，求实数m的取值范围；（Ⅱ）对∀t∈〖1，2〗，∃x i∈〖1，2〗（i＝1，2），且x1≠x2，使f（x i）＝g（t），求实数a 的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5}，∴∁U B＝{1，2，6}，∵A＝{1，2，3}，∴A∩（∁U B）＝{1，2}．故选：B．2．C〖解析〗当sin A＝时，A可能为或，”是“”的必要不充分条件．故选：C．3．D〖解析〗根据函数图象可知，A中函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，∴A错；B中函数为正切函数，在定义域上不具有单调性，∴B错；C中函数为单调递增的指数函数不具有奇偶性，∴C错；D中函数既是奇函数又是单调递增函数．故选：D．4．A〖解析〗∵指数函数y＝2x在R上单调递增，且，∴，即a＞b，∵幂函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且2＜3，∴，即a＜c，∴b＜a＜c，故选：A．5．B〖解析〗根据题意，f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有f（﹣2）＝f（2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2），则有f（2）＝0，函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2022）＝f（2+505×4）＝f（2）＝0，故选：B．6．C〖解析〗为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，即R，所以R，由题意可得R0＝2.5，所以2.5（1﹣）≤1，解得0.6＝60%，故选：C．7．D〖解析〗观察图象可知，函数定义域为{x|x≠0}，故AB错误，当0＜x＜1时，f（x）＜0，故C错误，D正确．故选：D．8．D〖解析〗对于选项A：当x+2022≤﹣时，有f（x）＞f（x+2022），故选项A错误，对于选项B：f（f（x））为四次函数，y＝2022x为指数函数，且是单调递增的，当x取得足够大的实数时，不存在m，n∈R，2022f（f（x））≥2022x，故选项B错误，对于选项C：要使f（x2﹣1）＜f（x﹣2022），必须满足||＜|x﹣2022﹣（﹣）|，即恒有|x2﹣1|＜|x﹣2022|，当x＝100时，就有|x2﹣1|＞|x﹣2022|，故选项C错误．对于选项D：，即，此时若m≥0，则≤0，那么对任意的x∈R，都有f（）≥f（）恒成立，故选项D正确，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．AB〖解析〗当cosθ•tanθ＞0，则cosθ与tanθ同号，角θ的终边可能落在第一或第二象限．故选：AB．10．BD〖解析〗设2x＝5y＝10z＝t，则t＞1，∴x＝log2t，y＝log5t，z＝lg t，对于选项A：x+y＝log2t+log5t＝＝＝≠z＝lg t，故选项A错误，对于选项B：+＝+＝log t2+log t5＝log t10，＝＝log t10，∴+＝，故选项B正确，对于选项C：＝＝＝＝，＝＝＝＝，＝＝＝＝，∵t＞1，∴函数y＝log t x在（0，+∞）上单调递增，∴log t100＜log t1024＜log t3125，∴＞＞，即＞＞，故选项C错误，对于选项D：xy＝log2t×log5t＝，4z2＝4（lg t）2，∵lg2×lg5＝，∴，∴xy＝＞4（lg t）2＝4z2，故选项D正确，故选：BD．11．BD〖解析〗由于，对于A：根据关系式：，故不存在f（α）＝f（﹣α）＝1，故A错误；对于B：当α＝0时，，故B正确；对于C：f（x﹣）+f（﹣x）＝，当x＝0时，f（﹣）+f（0）＝1，故C错误；对于D：f（x﹣）＝cos2x，f（﹣x﹣）＝cos（﹣2x）＝cos2x，故D正确；故选：BD．12．ABD〖解析〗根据题意，设f（x）＝3x+4x，g（x）＝4x+3x，画出f（x），g（x）的大致图象如图：若实数a，b满足3a+4a＝4b+3b，即f（a）＝g（b），两个函数的图象有2个交点，即（0，1）和（1，7），故当a＝b＝0或a＝b＝1时，原等式成立，同时：在区间（1，+∞）上，有g（x）＞f（x），当1＜b＜a时，f（a）＝f（b）即3a+4a＝4b+3b可能成立；在区间（0，1）上，有g（x）＜f（x），当0＜a＜b＜1时，f（a）＝f（b）即3a+4a＝4b+3b可能成立；在区间（﹣∞，0）上，有g（x）＞f（x），当b＜a＜0时，f（a）＝f（b）即3a+4a＝4b+3b 可能成立；故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．3〖解析〗∵扇形的圆心角α为，半径r是3，∴扇形的面积S＝r2α＝32×＝3．故答案为：3．14．﹣7或﹣〖解析〗因为＝﹣sinα，可得sinα＝，所以cosα＝﹣，或cosα＝，当cosα＝﹣时，tanα＝﹣，＝＝﹣7；当cosα＝时，tanα＝，＝＝﹣．故答案为：﹣7或﹣．15．（﹣2，1）〖解析〗当x≥0时，f（x）＝x2为单调递增函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2为单调递增函数，当x＝0时，x2＝﹣x2＝0，所以函数f（x）在R上单调递增，又当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝﹣f（x），所以函数在R上为奇函数，则由f（a）+f（a2﹣2）＜0可得：f（a）＜f（2﹣a2），则a＜2﹣a2，即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1，所以实数a的取值范围为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．16．（1，+∞）〖解析〗显然f（0）＝0，即x2＝0．设f（x0）＝0，即，则＝，所以x3＝﹣x1，且x3＞0，所以，因为x3＞0，所以，所以，所以的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：集合A＝{x||x|≤4}＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|5﹣m≤x≤5+m，m＞0}．（Ⅰ）若m＝10，则B＝{x|﹣5≤x≤10}，∴A∩B＝{x|﹣4≤x≤4}；（Ⅱ）若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，则A⊆B，∴5﹣m≤5+m，且，解得m≥9，∴实数m的取值范围是〖9，+∞）．18．解：（1）∵f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+），∴f（）＝1．（2）由f（）＝sin（A+）＝1，而0＜A＜π可得：A+＝，即A＝．∴sin B+sin C＝sin B+sin（﹣B）＝sin B+cos B＝sin（B+）．∵0＜B＜，∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，∴sin B+sin C的最大值为．19．解：（Ⅰ）根据图象的性质，所以A＝2；，整理得：T＝π，故ω＝2；当x＝时，f（）＝2sin（φ）＝0，由于|φ|＜π，所以φ＝；故函数f（x）＝2sin（2x+）；（Ⅱ）将函数f（x）的图家向左平移个单位后，得到y＝2sin（2x+）的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到g（x）＝2sin（）的图象，令（k∈Z）；整理得：（k∈Z）；故函数的单调递减区间为〖〗（k∈Z）．20．（Ⅰ）证明：∀x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，则，所以，即，所以，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）解：由题意，恒成立，令且x1＜x2，则＝，由（Ⅰ）得f（x1）﹣f（x2）＜0，又x1﹣x2＜0，，所以g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）是〖3，4〗上的增函数，则，所以，所以m的取值范围为．21．解：（Ⅰ）座舱距离地面最近的位置为点Q，以轴心OQ为y轴，地面所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：设t＝0min时，游客甲位于点Q（0，10），以OQ为终边的角为﹣；根据摩天轮转一周大约需要12min，可知座舱转动的角速度为ω＝＝，由题意可得H＝50sin（t﹣）+60，t≥0．即H＝﹣50cos（t）+60，t≥0．（Ⅱ）因为×2π＝，所以两人距离地面的高度差为h＝〖﹣50cos（t+）+60〗﹣〖﹣50cos（t）+60〗＝﹣50〖cos（t+）﹣cos（t）〗＝50〖sin（t）+cos（t）〗＝50sin（t+），t≥0；令h≥25，得sin（t+）≥，解得+2kπ≤t+≤+2kπ，k∈N；即12k≤t≤12k+4，k∈N；所以t的取值范围是〖12k，12k+4〗，k∈Z．22．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x|x﹣1|＝，所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，因为f（x）在（m，m+1）上不单调，所以，解得﹣＜m＜1．即实数m的取值范围是（﹣，1）．（Ⅱ）因为g（t）＝＝，所以g（t）在t∈〖1，2〗上单调递减，所以g（t）∈〖.2〗，而f（x）＝x|x﹣a|＝，当a≤0时，f（x）＝x2﹣ax在〖1，2〗上单调递增，所以方程f（x）＝g（t）至多有一个根，不符合题意；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，〗单调递增，在（，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，所以符合题意的a必须满足1＜＜2或1＜a＜2．即2＜a＜4或1＜a＜2，①当2＜a＜4时，函数（f（x）在〖1，〗单调递增，在（，2〗单调递减，由题意，对任意的g（t）∈〖，2〗，方程f（x）＝g（t）在〖1，2〗上至少有两个不同的解，等价于〖，2〗⊆〖max{f（1），f（2）}，f（）〗，则，即，解得2≤a≤；②当1＜a＜2时，函数f（x）在〖1，a〗单调递减，在（a，2〗单调递增，所以〖，2〗⊆〖0，min{f（1），f（2）}〗，则，所以，即，解得a∈∅．综上所述，实数a的取值范围是〖2，〗．浙江省宁波市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩（∁U B）＝（）A．{3}B．{1，2}C．{1，2，6}D．{1，2，3，6}2．已知A是△ABC的内角，则”是“”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A．B．y＝tan x C．y＝2x D．y＝x34．已知，，，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（2022）＝（）A．﹣2022B．0C．1D．20226．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长．当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为（N﹣V）．已知新冠病毒在某地的基本传染数R0＝2.5，为了使1个感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（）A．40%B．50%C．60%D．70%7．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝（2x+2﹣x）|x|B．f（x）＝（2x﹣2﹣x）|x|C．f（x）＝（2x+2﹣x）D．f（x）＝（2x+2﹣x）log2|x|8．已知函数f（x）＝x2+mx+n，则存在m，n∈R，对任意的x∈R有（）A．f（x）＜f（x+2022）B．2022f（f（x））≥2022xC．f（x2﹣1）＜f（x﹣2022）D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．若cosθ•tanθ＞0，则角θ的终边可能落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．已知正实数x，y，z满足2x＝5y＝10z，则下列选项正确的（）A．x+y＝z B．C．D．xy＞4z211．设函数，则下列结论正确的是（）A．∃α∈R，使得f（α）＝f（﹣α）＝1B．∃α∈R，使得C．∀x∈R，都有D．∀x∈R，都有12．若实数a，b满足3a+4a＝4b+3b，则下列关系式中可能成立的是（）A．0＜a＜b＜1B．b＜a＜0C．1＜a＜b D．a＝b三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知某扇形的圆心角是，半径是3，则扇形的面积是．14．已知，则＝．15．已知函数若f（a）+f（a2﹣2）＜0，则a的取值范围是．16．已知x1、x2、x3（x1＜x2＜x3）是函数f（x）＝x（2x+1）+m（2x﹣1）（m∈R，m≠0）的三个零点，则的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A＝{x||x|≤4}，B＝{x|5﹣m≤x≤5+m，m＞0}．（Ⅰ）若m＝10，求A∩B；（Ⅱ）若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x（x∈R）．（1）求的值；（2）在△ABC中，若f（）＝1，求sin B+sin C的最大值．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图家向左平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．20．（12分）已知函数．（Ⅰ）证明：函数f（x）在（1，+∞）上为增函数？（Ⅱ）若对于区间〖3，4〗上的每一个x值，不等式恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）如图所示，摩天轮的直径为100m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装24个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．（Ⅰ）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；（Ⅱ）在甲进座舱后间隔3个座舱乙游客进座舱（如图所示，此时甲，乙分别位于P，Q两点，本题中将座舱视为圆周上的点），以乙进座舱后开始计时，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h（单位：m）关于t的函数解析式，并求出h≥25时t的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，g（x）＝．（Ⅰ）当a＝1时，函数f（x）在（m，m+1）上不单调，求实数m的取值范围；（Ⅱ）对∀t∈〖1，2〗，∃x i∈〖1，2〗（i＝1，2），且x1≠x2，使f（x i）＝g（t），求实数a 的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．B〖解析〗∵U＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5}，∴∁U B＝{1，2，6}，∵A＝{1，2，3}，∴A∩（∁U B）＝{1，2}．故选：B．2．C〖解析〗当sin A＝时，A可能为或，”是“”的必要不充分条件．故选：C．3．D〖解析〗根据函数图象可知，A中函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上是减函数，∴A错；B中函数为正切函数，在定义域上不具有单调性，∴B错；C中函数为单调递增的指数函数不具有奇偶性，∴C错；D中函数既是奇函数又是单调递增函数．故选：D．4．A〖解析〗∵指数函数y＝2x在R上单调递增，且，∴，即a＞b，∵幂函数y＝在（0，+∞）上单调递增，且2＜3，∴，即a＜c，∴b＜a＜c，故选：A．5．B〖解析〗根据题意，f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有f（﹣2）＝f（2），又由f（x）为奇函数，则f（﹣2）＝﹣f（2），则有f（2）＝0，函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2022）＝f（2+505×4）＝f（2）＝0，故选：B．6．C〖解析〗为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，即R，所以R，由题意可得R0＝2.5，所以2.5（1﹣）≤1，解得0.6＝60%，故选：C．7．D〖解析〗观察图象可知，函数定义域为{x|x≠0}，故AB错误，当0＜x＜1时，f（x）＜0，故C错误，D正确．故选：D．8．D〖解析〗对于选项A：当x+2022≤﹣时，有f（x）＞f（x+2022），故选项A错误，对于选项B：f（f（x））为四次函数，y＝2022x为指数函数，且是单调递增的，当x取得足够大的实数时，不存在m，n∈R，2022f（f（x））≥2022x，故选项B错误，对于选项C：要使f（x2﹣1）＜f（x﹣2022），必须满足||＜|x﹣2022﹣（﹣）|，即恒有|x2﹣1|＜|x﹣2022|，当x＝100时，就有|x2﹣1|＞|x﹣2022|，故选项C错误．对于选项D：，即，此时若m≥0，则≤0，那么对任意的x∈R，都有f（）≥f（）恒成立，故选项D正确，故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．AB〖解析〗当cosθ•tanθ＞0，则cosθ与tanθ同号，角θ的终边可能落在第一或第二象限．故选：AB．10．BD〖解析〗设2x＝5y＝10z＝t，则t＞1，∴x＝log2t，y＝log5t，z＝lg t，对于选项A：x+y＝log2t+log5t＝＝＝≠z＝lg t，故选项A错误，对于选项B：+＝+＝log t2+log t5＝log t10，＝＝log t10，∴+＝，故选项B正确，对于选项C：＝＝＝＝，＝＝＝＝，＝＝＝＝，∵t＞1，∴函数y＝log t x在（0，+∞）上单调递增，∴log t100＜log t1024＜log t3125，∴＞＞，即＞＞，故选项C错误，对于选项D：xy＝log2t×log5t＝，4z2＝4（lg t）2，∵lg2×lg5＝，∴，∴xy＝＞4（lg t）2＝4z2，故选项D正确，故选：BD．11．BD〖解析〗由于，对于A：根据关系式：，故不存在f（α）＝f（﹣α）＝1，故A错误；对于B：当α＝0时，，故B正确；对于C：f（x﹣）+f（﹣x）＝，当x＝0时，f（﹣）+f（0）＝1，故C错误；对于D：f（x﹣）＝cos2x，f（﹣x﹣）＝cos（﹣2x）＝cos2x，故D正确；故选：BD．12．ABD〖解析〗根据题意，设f（x）＝3x+4x，g（x）＝4x+3x，画出f（x），g（x）的大致图象如图：若实数a，b满足3a+4a＝4b+3b，即f（a）＝g（b），两个函数的图象有2个交点，即（0，1）和（1，7），故当a＝b＝0或a＝b＝1时，原等式成立，同时：在区间（1，+∞）上，有g（x）＞f（x），当1＜b＜a时，f（a）＝f（b）即3a+4a＝4b+3b可能成立；在区间（0，1）上，有g（x）＜f（x），当0＜a＜b＜1时，f（a）＝f（b）即3a+4a＝4b+3b可能成立；在区间（﹣∞，0）上，有g（x）＞f（x），当b＜a＜0时，f（a）＝f（b）即3a+4a＝4b+3b 可能成立；故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．3〖解析〗∵扇形的圆心角α为，半径r是3，∴扇形的面积S＝r2α＝32×＝3．故答案为：3．14．﹣7或﹣〖解析〗因为＝﹣sinα，可得sinα＝，所以cosα＝﹣，或cosα＝，当cosα＝﹣时，tanα＝﹣，＝＝﹣7；当cosα＝时，tanα＝，＝＝﹣．故答案为：﹣7或﹣．15．（﹣2，1）〖解析〗当x≥0时，f（x）＝x2为单调递增函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2为单调递增函数，当x＝0时，x2＝﹣x2＝0，所以函数f（x）在R上单调递增，又当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）＝﹣（﹣x）2＝﹣x2＝﹣f（x），所以函数在R上为奇函数，则由f（a）+f（a2﹣2）＜0可得：f（a）＜f（2﹣a2），则a＜2﹣a2，即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1，所以实数a的取值范围为（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．16．（1，+∞）〖解析〗显然f（0）＝0，即x2＝0．设f（x0）＝0，即，则＝，所以x3＝﹣x1，且x3＞0，所以，因为x3＞0，所以，所以，所以的取值范围是（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：集合A＝{x||x|≤4}＝{x|﹣4≤x≤4}，B＝{x|5﹣m≤x≤5+m，m＞0}．（Ⅰ）若m＝10，则B＝{x|﹣5≤x≤10}，∴A∩B＝{x|﹣4≤x≤4}；（Ⅱ）若命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，则A⊆B，∴5﹣m≤5+m，且，解得m≥9，∴实数m的取值范围是〖9，+∞）．18．解：（1）∵f（x）＝sin（+x）sin（﹣x）+sin x cos x＝cos2x+sin2x＝sin（2x+），∴f（）＝1．（2）由f（）＝sin（A+）＝1，而0＜A＜π可得：A+＝，即A＝．∴sin B+sin C＝sin B+sin（﹣B）＝sin B+cos B＝sin（B+）．∵0＜B＜，∴＜B+＜，＜sin（B+）≤1，∴sin B+sin C的最大值为．19．解：（Ⅰ）根据图象的性质，所以A＝2；，整理得：T＝π，故ω＝2；当x＝时，f（）＝2sin（φ）＝0，由于|φ|＜π，所以φ＝；故函数f（x）＝2sin（2x+）；（Ⅱ）将函数f（x）的图家向左平移个单位后，得到y＝2sin（2x+）的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变得到g（x）＝2sin（）的图象，令（k∈Z）；整理得：（k∈Z）；故函数的单调递减区间为〖〗（k∈Z）．20．（Ⅰ）证明：∀x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，则，所以，即，所以，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）解：由题意，恒成立，令且x1＜x2，则＝，由（Ⅰ）得f（x1）﹣f（x2）＜0，又x1﹣x2＜0，，所以g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以g（x）是〖3，4〗上的增函数，则，所以，所以m的取值范围为．21．解：（Ⅰ）座舱距离地面最近的位置为点Q，以轴心OQ为y轴，地面所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：设t＝0min时，游客甲位于点Q（0，10），以OQ为终边的角为﹣；根据摩天轮转一周大约需要12min，可知座舱转动的角速度为ω＝＝，由题意可得H＝50sin（t﹣）+60，t≥0．即H＝﹣50cos（t）+60，t≥0．（Ⅱ）因为×2π＝，所以两人距离地面的高度差为h＝〖﹣50cos（t+）+60〗﹣〖﹣50cos（t）+60〗＝﹣50〖cos（t+）﹣cos（t）〗＝50〖sin（t）+cos（t）〗＝50sin（t+），t≥0；令h≥25，得sin（t+）≥，解得+2kπ≤t+≤+2kπ，k∈N；即12k≤t≤12k+4，k∈N；所以t的取值范围是〖12k，12k+4〗，k∈Z．22．解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x|x﹣1|＝，所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，因为f（x）在（m，m+1）上不单调，所以，解得﹣＜m＜1．即实数m的取值范围是（﹣，1）．（Ⅱ）因为g（t）＝＝，所以g（t）在t∈〖1，2〗上单调递减，所以g（t）∈〖.2〗，而f（x）＝x|x﹣a|＝，当a≤0时，f（x）＝x2﹣ax在〖1，2〗上单调递增，所以方程f（x）＝g（t）至多有一个根，不符合题意；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，〗单调递增，在（，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，所以符合题意的a必须满足1＜＜2或1＜a＜2．即2＜a＜4或1＜a＜2，①当2＜a＜4时，函数（f（x）在〖1，〗单调递增，在（，2〗单调递减，由题意，对任意的g（t）∈〖，2〗，方程f（x）＝g（t）在〖1，2〗上至少有两个不同的解，等价于〖，2〗⊆〖max{f（1），f（2）}，f（）〗，则，即，解得2≤a≤；②当1＜a＜2时，函数f（x）在〖1，a〗单调递减，在（a，2〗单调递增，所以〖，2〗⊆〖0，min{f（1），f（2）}〗，则，所以，即，解得a∈∅．综上所述，实数a的取值范围是〖2，〗．。
江苏省盐城市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
江苏省盐城市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{﹣1，3}，集合B＝{x|1＜x＜12}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜3}B．（1，3）C．{1}D．{3}2．圆心角为，半径为1的扇形的面积为（）A．B．C．D．π3．设x∈R，则“0＜x＜1”是“”成立的什么条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝（）A．cos2x B．﹣cos2x C．D．5．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．已知函数的定义域为集合A．函数，x∈的值域为集合B，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．〖﹣1，1〗B．C．〖﹣1，+∞）D．7．若函数在区间内存在最小值，则θ的值可以是（）A．B．C．D．8．若，记x＝log cosαα，y＝log sinαcosα，z＝1+log cosαtanα，则x，y，z的大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．x＜z＜y D．y＜x＜z二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．函数y＝sin x和y＝cos x具有相同单调性的区间是（）A．B．C．D．10．下列说法中正确的有（）A．函数f（x）＝4x2﹣12x+9的零点可以用二分法求得B．幂函数的图像一定不会出现在第四象限C．在锐角三角形ABC中，不等式sin A+sin B＞cos A+cos BD．函数y＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数11．已知函数f（x）＝，若存在实数m使得方程f（x）＝m有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则下列叙述中正确的有（）A．x1+x2＜0B．x3x4＝4C．f（3）＜m D．f（x2）+x3有最小值12．通过等式a b＝c（a＞0，a≠1）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为常数，b视为自变量x，那么c就是b（即x）的函数，记为y，则y＝a x，也就是我们熟悉的指数函数．若令c＝e（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y＝f（x），下列关于函数y＝f（x）的叙述中正确的有（）A．B．∀x∈（0，1）∪（1，+∞），e f（x）＝C．y＝f（x）在（0，1）上单调递减D．若∀x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式（mx2+x+2m﹣1）f（x）＞0恒成立，则实数m的值为0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．14．求值：＝．15．已知角α为第一象限角，其终边上一点P（x，y）满足2ln（2x﹣y）＝ln（x2+y2），则2cosα﹣sinα＝．16．函数的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并求出其单调减区间；（2）当时，求满足不等式的实数x的集合．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝2x2+x．（1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（1﹣x）＜f（x+3）．19．（12分）已知．（1）若α是第三象限角，且，求f（α）的值；（2）若f（α）＝﹣3，求的值．20．（12分）一半径为4m的水轮（如图所示），水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．（1）将点P到水面的距离z（单位：m，在水下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约需要多长时间？21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a2﹣a+3）x+3（2a﹣1），x∈R（其中a为常数）．（1）若f（x）在〖1，+∞）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若y＝|f（x）|在区间上单调递增，求实数a的取值范围．22．（12分）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为f（x）＝，与之对应的函数g（x）＝称为双曲正弦函数，令F（x）＝．（1）若关于x的方程F〖f（2x）〗+F〖2λg（x）﹣5〗＝0在（0，ln3）上有解，求实数λ的取值范围；（2）已知函数h（x）＝x2﹣mx+4，若对任意的x0∈〖﹣2，2〗，总存在不同的x1，x2∈〖1，+∞），使得＝f（x0）成立，求实数m的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D〖解析〗∵集合A＝{﹣1，3}，集合B＝{x|1＜x＜12}，∴A∩B＝{3}．故选：D．2．C〖解析〗因为圆心角为，半径为1，所以扇形面积S＝＝．故选：C．3．C〖解析〗由得0＜x＜1，即“0＜x＜1”是“”成立的充要条件，故选：C．4．A〖解析〗将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）＝sin2（x+）＝sin（2x+）＝cos2x的图象．故选：A．5．C〖解析〗由题意得，x≠0，因为f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除选项D；当x→+∞时，ln|x|＞0，sin x﹣x＜0，此时f（x）＜0，排除选AB．故选：C．6．B〖解析〗要使函数有意义，则，得，∵函数f（x）的定义域为A，∴A≠∅，即a≤x＜3﹣2a，即A＝〖a，3﹣2a），∵x∈，∴2x+∈〖﹣，〗，则g（x）∈〖2sin（﹣），2sin〗，即g（x）∈〖﹣1，2〗，即B＝〖﹣1，2〗，若A⊆B，则，得，得≤a＜1，即实数a的取值范围是〖，1），故选：B．7．B〖解析〗函数，在x＝时，＝，函数在x＞0时，第一次取得最小值，所以，故选：B．8．C〖解析〗根据题意，若，则0＜cosα＜sinα＜α，tanα＞1，则x＝log cosαα＝＜0，y＝log sinαcosα＝，则有y＞1，z＝1+log cosαtanα＝log cosα（cosα×tanα）＝log cosαsinα＝，则有0＜z＜1，故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．BD〖解析〗对于A，当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝cos x单调递减，二者单调性不同，故A错误；对于B，当x∈，y＝sin x单调递减，y＝cos x单调递减，二者单调性相同，故B 正确；对于C，当x∈时，y＝sin x单调递减，y＝cos x单调递增，二者单调性不同，故C错误；对于D，当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝cos x单调递增，二者单调性相同，故D正确；故选：BD．〖解析〗对于A：函数f（x）＝4x2﹣12x+9的零点可以用分解因式法，令4x2﹣12x+9＝（2x﹣3）2＝0，得x＝，故A错误；对于B：根据幂函数的性质幂函数的图像一定不会出现在第四象限，故B正确；对于C：在锐角三角形ABC中，由于A+B，所以，整理得sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故不等式sin A+sin B＞cos A+cos B成立，故C正确；对于D：函数y＝sin|x|不是周期函数，故D错误．故选：BC．11．ABD〖解析〗作出函数f（x）的图象如图：由条件知x1＜0，0＜x2＜1，1＜x3＜2，2＜x4，0＜m＜1，由f（x1）＝f（x2）＝m得|﹣1|＝|﹣1|，即1﹣＝﹣1，得|+＝2，得2＞2＝2，则＜1，即x1+x2＜0成立，故A正确，由f（x3）＝f（x4）＝m得，x3，x4是方程x+﹣4＝0，即x2﹣4x+4＝0的两个根，则x3x4＝4，故B正确，f（3）＝3+﹣4＝，而0＜m＜1，两者无法比较大小，故C错误，∵f（x2）＝f（x3）＝m，∴f（x2）+x3＝f（x3）+x3＝x3+﹣4+x3＝2x3+﹣4≥2﹣4＝4﹣4，当且仅当2x3＝，即x3＝时，取等号，即f（x2）+x3有最小值，故D正确，故选：ABD．〖解析〗由x b＝e可得b＝，即y＝f（x）＝，所以f（）＝＝2，故A正确；e f（x）＝，故B错误；当x∈（0，1）时，ln x单调递增，所以单调递减，故f（x）＝在（0，1）上单调递减，故C正确；当x∈（0，1）时，ln x＜0，又因为（mx2+x+2m﹣1）f（x）＞0恒成立，所以mx2+x+2m﹣1＜0恒成立，即m＜，令y＝，则y'＝＜0，所以y＝在（0，1）单调递减，当x＝1时，y＝0，综上m≤0；当x∈（1，+∞）时，ln x＞0，又因为（mx2+x+2m﹣1）f（x）＞0恒成立，所以mx2+x+2m﹣1＞0恒成立，当m＝0时显然成立，即m＞，令y＝，则y'＝＝0，得x＝1+，所以y在（1，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增，只有最小值无最大值，所以此时m＝0，综上所述m＝0，故D正确；故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．〖1，5〗〖解析〗要使函数有意义，则﹣x2+6x﹣5≥0，即x2﹣6x+5≤0，解得1≤x≤5，故答案为：〖1，5〗．14．2〖解析〗＝（1﹣lg2）2+lg2×（2﹣lg2）+×﹣＝1﹣2lg2+lg22+2lg2﹣lg22+1＝2．故答案为：2．15．1〖解析〗因为角α为第一象限角，其终边上一点P（x，y）满足2ln（2x﹣y）＝ln（x2+y2），可得（2x﹣y）2＝x2+y2，整理可得＝，所以tanα＝＝，cosα＝＝，sinα＝，所以2cosα﹣sinα＝2×＝1．故答案为：1．16．〖解析〗设t＝cos2x，则sin2x＝1﹣t，其中t∈〖0，1〗，原式可化为y＝+＝+＝（t+2）+﹣6+（2﹣t）+﹣4＝﹣+﹣6＝〖（t+2）+（2﹣t）〗（﹣+﹣）﹣6＝（9+4++）﹣6≥（13+2）﹣6＝（13+12）﹣6＝（当且仅当＝，即t＝时取等号），故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）由函数图象可得A＝2，T＝4〖﹣（﹣）〗＝π＝，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x+φ），由于，可得+φ＝2kπ+，k∈Z，又|φ|＜，可得，故，令，可得，故单调减区间：；（2）由题意，可得，（k∈Z），可得，又，故x的取值集合为．18．解：（1）当x＜0时，则﹣x＞0，又f（x）是偶函数，故f（x）＝f（﹣x）＝2（﹣x）2+（﹣x）＝2x2﹣x（x＜0）；（2）当x≥0时，f（x）单调递增，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（1﹣x）＜f（x+3）等价为f（|1﹣x|）＜f（|x+3|），即|1﹣x|＜|x+3|，即（1﹣x）2＜（x+3）2，得1﹣2x+x2＜x2+6x+9，得8x＞﹣8，得x＞﹣1，即不等式的解集为（﹣1，+∞）．19．解：（1）利用诱导公式可得，因为α是第三象限角，且，故，故；（2）＝＝﹣3故．20．解：（1）由题意知，每分钟逆时针转3圈，即60s转动6π弧度，所以角速度，水轮半径为4，所以振幅为4，故，t＝0时，z＝4sinφ+2＝0，所以，所以，．（2）令z＝6，则，所以，所以，．，所以点P第一次到达最高点大s．21．解：（1）f（x）＝ax2﹣（2a2﹣a+3）x+3（2a﹣1）＝（ax﹣3）（x﹣2a+1）．因为f（x）有两个不同的零点所以a≠0，令f（x）＝0，则，所以，解得1≤a≤3且，所以a的取值范围为；（2）y＝|f（x）|＝|（ax﹣3）（x﹣2a+1）|，当a＜0时，，所以时，y＝|f（x）|＝﹣f（x）在上单调递增成立，当a＝0时，y＝|f（x）|＝|3x+3|，所以时，y＝3x+3在上单调递增成立，当时，，此时y＝|f（x）|在和上单调递增，又，所以y＝|f（x）|在上单调递增，则，解得0＜a≤1，当时，，所以y＝|f（x）|在上单调递减，不满足，当时，，此时y＝|f（x）|在上单调递增，又2a﹣1＞2，所以y＝|f（x）|在上单调递增，则，解得a≥3，综上a的取值范围为（﹣∞，1〗∪〖3，+∞）．22．解：（1），所以F（x）在R上单调递增，又，所以F（x）是R上的奇函数，由F〖f（2x）〗+F〖2λg（x）﹣5〗＝0，可得F〖f（2x）〗＝﹣F〖2λg（x）﹣5〗，故F〖f（2x）〗＝F〖5﹣2λg（x）〗，所以f（2x）＝5﹣2λg（x），所以，所以，令t＝e x﹣e﹣x在（0，ln3）上单调递增，，所以在上单调递减，所以．（2）任取x1，x2∈〖0，2〗，且x1＜x2，则，所以在〖0，2〗上单调递增，又f（x）是偶函数，所以x∈〖﹣2，2〗时，所以x≥1时，h（x）＝x2﹣mx+4≥（4﹣m）x，当且仅当x＝2时取“＝“，所以x1，x2∈〖1，+∞），且x1≠x2时，，当x1＝1，x2→1时，时，，且在（1，+∞）上连续，所以的取值范围为（4﹣m，+∞），所以4﹣m＜1，所以m＞3，即m的取值范围为（3，+∞）．江苏省盐城市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝{﹣1，3}，集合B＝{x|1＜x＜12}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜3}B．（1，3）C．{1}D．{3}2．圆心角为，半径为1的扇形的面积为（）A．B．C．D．π3．设x∈R，则“0＜x＜1”是“”成立的什么条件（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）＝（）A．cos2x B．﹣cos2x C．D．5．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．6．已知函数的定义域为集合A．函数，x∈的值域为集合B，若A⊆B，则实数a的取值范围为（）A．〖﹣1，1〗B．C．〖﹣1，+∞）D．7．若函数在区间内存在最小值，则θ的值可以是（）A．B．C．D．8．若，记x＝log cosαα，y＝log sinαcosα，z＝1+log cosαtanα，则x，y，z的大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．x＜z＜y D．y＜x＜z二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．函数y＝sin x和y＝cos x具有相同单调性的区间是（）A．B．C．D．10．下列说法中正确的有（）A．函数f（x）＝4x2﹣12x+9的零点可以用二分法求得B．幂函数的图像一定不会出现在第四象限C．在锐角三角形ABC中，不等式sin A+sin B＞cos A+cos BD．函数y＝sin|x|是最小正周期为π的周期函数11．已知函数f（x）＝，若存在实数m使得方程f（x）＝m有四个互不相等的实数根x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则下列叙述中正确的有（）A．x1+x2＜0B．x3x4＝4C．f（3）＜m D．f（x2）+x3有最小值12．通过等式a b＝c（a＞0，a≠1）我们可以得到很多函数模型，例如将a视为常数，b视为自变量x，那么c就是b（即x）的函数，记为y，则y＝a x，也就是我们熟悉的指数函数．若令c＝e（e是自然对数的底数），将a视为自变量x（x＞0，x≠1），则b为x的函数，记为y＝f（x），下列关于函数y＝f（x）的叙述中正确的有（）A．B．∀x∈（0，1）∪（1，+∞），e f（x）＝C．y＝f（x）在（0，1）上单调递减D．若∀x∈（0，1）∪（1，+∞），不等式（mx2+x+2m﹣1）f（x）＞0恒成立，则实数m的值为0三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y＝的定义域为．14．求值：＝．15．已知角α为第一象限角，其终边上一点P（x，y）满足2ln（2x﹣y）＝ln（x2+y2），则2cosα﹣sinα＝．16．函数的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并求出其单调减区间；（2）当时，求满足不等式的实数x的集合．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝2x2+x．（1）当x＜0时，求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（1﹣x）＜f（x+3）．19．（12分）已知．（1）若α是第三象限角，且，求f（α）的值；（2）若f（α）＝﹣3，求的值．20．（12分）一半径为4m的水轮（如图所示），水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动三圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间．（1）将点P到水面的距离z（单位：m，在水下，则z为负数）表示为时间t（单位：s）的函数；（2）点P第一次到达最高点大约需要多长时间？21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（2a2﹣a+3）x+3（2a﹣1），x∈R（其中a为常数）．（1）若f（x）在〖1，+∞）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（2）若y＝|f（x）|在区间上单调递增，求实数a的取值范围．22．（12分）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为f（x）＝，与之对应的函数g（x）＝称为双曲正弦函数，令F（x）＝．（1）若关于x的方程F〖f（2x）〗+F〖2λg（x）﹣5〗＝0在（0，ln3）上有解，求实数λ的取值范围；（2）已知函数h（x）＝x2﹣mx+4，若对任意的x0∈〖﹣2，2〗，总存在不同的x1，x2∈〖1，+∞），使得＝f（x0）成立，求实数m的取值范围．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．D〖解析〗∵集合A＝{﹣1，3}，集合B＝{x|1＜x＜12}，∴A∩B＝{3}．故选：D．2．C〖解析〗因为圆心角为，半径为1，所以扇形面积S＝＝．故选：C．3．C〖解析〗由得0＜x＜1，即“0＜x＜1”是“”成立的充要条件，故选：C．4．A〖解析〗将函数f（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝g（x）＝sin2（x+）＝sin（2x+）＝cos2x的图象．故选：A．5．C〖解析〗由题意得，x≠0，因为f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除选项D；当x→+∞时，ln|x|＞0，sin x﹣x＜0，此时f（x）＜0，排除选AB．故选：C．6．B〖解析〗要使函数有意义，则，得，∵函数f（x）的定义域为A，∴A≠∅，即a≤x＜3﹣2a，即A＝〖a，3﹣2a），∵x∈，∴2x+∈〖﹣，〗，则g（x）∈〖2sin（﹣），2sin〗，即g（x）∈〖﹣1，2〗，即B＝〖﹣1，2〗，若A⊆B，则，得，得≤a＜1，即实数a的取值范围是〖，1），故选：B．7．B〖解析〗函数，在x＝时，＝，函数在x＞0时，第一次取得最小值，所以，故选：B．8．C〖解析〗根据题意，若，则0＜cosα＜sinα＜α，tanα＞1，则x＝log cosαα＝＜0，y＝log sinαcosα＝，则有y＞1，z＝1+log cosαtanα＝log cosα（cosα×tanα）＝log cosαsinα＝，则有0＜z＜1，故选：C．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．BD〖解析〗对于A，当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝cos x单调递减，二者单调性不同，故A错误；对于B，当x∈，y＝sin x单调递减，y＝cos x单调递减，二者单调性相同，故B 正确；对于C，当x∈时，y＝sin x单调递减，y＝cos x单调递增，二者单调性不同，故C错误；对于D，当x∈时，y＝sin x单调递增，y＝cos x单调递增，二者单调性相同，故D正确；故选：BD．〖解析〗对于A：函数f（x）＝4x2﹣12x+9的零点可以用分解因式法，令4x2﹣12x+9＝（2x﹣3）2＝0，得x＝，故A错误；对于B：根据幂函数的性质幂函数的图像一定不会出现在第四象限，故B正确；对于C：在锐角三角形ABC中，由于A+B，所以，整理得sin A＞cos B，同理sin B＞cos A，故不等式sin A+sin B＞cos A+cos B成立，故C正确；对于D：函数y＝sin|x|不是周期函数，故D错误．故选：BC．11．ABD〖解析〗作出函数f（x）的图象如图：由条件知x1＜0，0＜x2＜1，1＜x3＜2，2＜x4，0＜m＜1，由f（x1）＝f（x2）＝m得|﹣1|＝|﹣1|，即1﹣＝﹣1，得|+＝2，得2＞2＝2，则＜1，即x1+x2＜0成立，故A正确，由f（x3）＝f（x4）＝m得，x3，x4是方程x+﹣4＝0，即x2﹣4x+4＝0的两个根，则x3x4＝4，故B正确，f（3）＝3+﹣4＝，而0＜m＜1，两者无法比较大小，故C错误，∵f（x2）＝f（x3）＝m，∴f（x2）+x3＝f（x3）+x3＝x3+﹣4+x3＝2x3+﹣4≥2﹣4＝4﹣4，当且仅当2x3＝，即x3＝时，取等号，即f（x2）+x3有最小值，故D正确，故选：ABD．〖解析〗由x b＝e可得b＝，即y＝f（x）＝，所以f（）＝＝2，故A正确；e f（x）＝，故B错误；当x∈（0，1）时，ln x单调递增，所以单调递减，故f（x）＝在（0，1）上单调递减，故C正确；当x∈（0，1）时，ln x＜0，又因为（mx2+x+2m﹣1）f（x）＞0恒成立，所以mx2+x+2m﹣1＜0恒成立，即m＜，令y＝，则y'＝＜0，所以y＝在（0，1）单调递减，当x＝1时，y＝0，综上m≤0；当x∈（1，+∞）时，ln x＞0，又因为（mx2+x+2m﹣1）f（x）＞0恒成立，所以mx2+x+2m﹣1＞0恒成立，当m＝0时显然成立，即m＞，令y＝，则y'＝＝0，得x＝1+，所以y在（1，1+）上单调递减，在（1+，+∞）上单调递增，只有最小值无最大值，所以此时m＝0，综上所述m＝0，故D正确；故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．〖1，5〗〖解析〗要使函数有意义，则﹣x2+6x﹣5≥0，即x2﹣6x+5≤0，解得1≤x≤5，故答案为：〖1，5〗．14．2〖解析〗＝（1﹣lg2）2+lg2×（2﹣lg2）+×﹣＝1﹣2lg2+lg22+2lg2﹣lg22+1＝2．故答案为：2．15．1〖解析〗因为角α为第一象限角，其终边上一点P（x，y）满足2ln（2x﹣y）＝ln（x2+y2），可得（2x﹣y）2＝x2+y2，整理可得＝，所以tanα＝＝，cosα＝＝，sinα＝，所以2cosα﹣sinα＝2×＝1．故答案为：1．16．〖解析〗设t＝cos2x，则sin2x＝1﹣t，其中t∈〖0，1〗，原式可化为y＝+＝+＝（t+2）+﹣6+（2﹣t）+﹣4＝﹣+﹣6＝〖（t+2）+（2﹣t）〗（﹣+﹣）﹣6＝（9+4++）﹣6≥（13+2）﹣6＝（13+12）﹣6＝（当且仅当＝，即t＝时取等号），故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解：（1）由函数图象可得A＝2，T＝4〖﹣（﹣）〗＝π＝，可得ω＝2，可得f（x）＝2sin（2x+φ），由于，可得+φ＝2kπ+，k∈Z，又|φ|＜，可得，故，令，可得，故单调减区间：；（2）由题意，可得，（k∈Z），可得，又，故x的取值集合为．18．解：（1）当x＜0时，则﹣x＞0，又f（x）是偶函数，故f（x）＝f（﹣x）＝2（﹣x）2+（﹣x）＝2x2﹣x（x＜0）；（2）当x≥0时，f（x）单调递增，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（1﹣x）＜f（x+3）等价为f（|1﹣x|）＜f（|x+3|），即|1﹣x|＜|x+3|，即（1﹣x）2＜（x+3）2，得1﹣2x+x2＜x2+6x+9，得8x＞﹣8，得x＞﹣1，即不等式的解集为（﹣1，+∞）．19．解：（1）利用诱导公式可得，因为α是第三象限角，且，故，故；（2）＝＝﹣3故．20．解：（1）由题意知，每分钟逆时针转3圈，即60s转动6π弧度，所以角速度，水轮半径为4，所以振幅为4，故，t＝0时，z＝4sinφ+2＝0，所以，所以，．（2）令z＝6，则，所以，所以，．，所以点P第一次到达最高点大s．21．解：（1）f（x）＝ax2﹣（2a2﹣a+3）x+3（2a﹣1）＝（ax﹣3）（x﹣2a+1）．因为f（x）有两个不同的零点所以a≠0，令f（x）＝0，则，所以，解得1≤a≤3且，所以a的取值范围为；（2）y＝|f（x）|＝|（ax﹣3）（x﹣2a+1）|，当a＜0时，，所以时，y＝|f（x）|＝﹣f（x）在上单调递增成立，当a＝0时，y＝|f（x）|＝|3x+3|，所以时，y＝3x+3在上单调递增成立，当时，，此时y＝|f（x）|在和上单调递增，又，所以y＝|f（x）|在上单调递增，则，解得0＜a≤1，当时，，所以y＝|f（x）|在上单调递减，不满足，当时，，此时y＝|f（x）|在上单调递增，又2a﹣1＞2，所以y＝|f（x）|在上单调递增，则，解得a≥3，综上a的取值范围为（﹣∞，1〗∪〖3，+∞）．22．解：（1），所以F（x）在R上单调递增，又，所以F（x）是R上的奇函数，由F〖f（2x）〗+F〖2λg（x）﹣5〗＝0，可得F〖f（2x）〗＝﹣F〖2λg（x）﹣5〗，故F〖f（2x）〗＝F〖5﹣2λg（x）〗，所以f（2x）＝5﹣2λg（x），所以，所以，令t＝e x﹣e﹣x在（0，ln3）上单调递增，，所以在上单调递减，所以．（2）任取x1，x2∈〖0，2〗，且x1＜x2，则，所以在〖0，2〗上单调递增，又f（x）是偶函数，所以x∈〖﹣2，2〗时，所以x≥1时，h（x）＝x2﹣mx+4≥（4﹣m）x，当且仅当x＝2时取“＝“，所以x1，x2∈〖1，+∞），且x1≠x2时，，当x1＝1，x2→1时，时，，且在（1，+∞）上连续，所以的取值范围为（4﹣m，+∞），所以4﹣m＜1，所以m＞3，即m的取值范围为（3，+∞）．。
2021-2022学年湖北省十堰市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
湖北省十堰市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A＝{﹣1，0，2}，，则A∩B＝（）A．{0}B．{﹣1，2}C．{0，2}D．{﹣1，0，2}2．命题“∀x＞1，2x﹣1≥1”的否定是（）A．∀x＞1，2x﹣1＜1B．∀x≤1，2x﹣1＜1C．∃x＞1，2x﹣1＜1D．∃x≤1，2x﹣1＜13．已知a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．ab＞b2C．D．4．已知a＝ln2，，，则（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c5．已知函数f（x）＝x2﹣kx+1在〖2，5〗上具有单调性，则k的取值范围是（）A．〖2，5〗B．〖4，10〗C．（﹣∞，4〗∪〖10，+∞）D．（﹣∞，﹣2〗∪〖2，+∞）6．已知函数f（x）＝2cos x+1，x∈〖，2π〗的图象与直线y＝t有两个交点，则t的最大值为（）A．1B．2C．+1D．+17．尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系式为lg E＝4.8+1.5M．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2017年8月8日我国四川九寨沟县发生里氏7.0级地震的（）A．32倍B．64倍C．1000倍D．1024倍8．已知函数f（x）＝|a x﹣1|﹣m（a＞0且a≠1）有2个零点，则m的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（1，+∞）D．（0，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知点P（m，2m）（m≠0）是角α终边上一点，则（）A．tanα＝2B．C．D．10．使得“a＞b”成立的充分不必要条件可以是（）A．B．ln a＞ln b C．a2＞b2D．2a＞2b11．已知函数，则（）A．f（x）的最小正周期为πB．f（x）的图象关于点中心对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）在上单调递增12．已知函数f（x）＝x2﹣2x+ln|x﹣1|+a，则（）A．对于任意实数a，f（x）的图象为轴对称图形B．对于任意实数a，f（x）在（1，+∞）上单调递增C．当a＞1时，f（x）＞0恒成立D．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，0〗∪〖2，+∞）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡的相应位置．13．写出一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数：f（x）＝．14．如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α（0＜α≤π）．若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为．15．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，则f（﹣2）＝．16．已知正数a，b满足，则a+2b的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}，C＝{x|2m﹣1≤x≤2﹣m}．（1）求（∁R A）∪B；（2）若B∩C＝∅，求m的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）判断f（x）在区间（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并求f（x）在区间〖1，2〗上的值域．19．（12分）已知函数在上的最小值为0．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）当x∈R时，求f（x）的最大值以及取最大值时x的取值集合．20．（12分）冰雪装备器材产业是冰雪产业的重要组成部分．加快发展冰雪装备器材产业，对筹办好北京2022年冬奥会冬残奥会，带动我国3亿人参与冰雪运动具有重要的支撑作用．某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为300万元，每生产x千件，需另投入的成本为C（x）（万元）．当年产量低于60千件时，C（x）＝x2+10x；当年产量不低于60千件时，C（x）＝80x+﹣2700．每千件产品的售价为60万元，且生产的产品当年能全部售完．（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数〖解析〗式；（2）当年产量为多少千件时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？21．（12分）已知函数．（1）当a＝6时，求方程f（x）＝2x的解；（2）若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．22．（12分）已知函数，g（x）＝x2﹣ax+a﹣1．（1）若g（x）的值域为〖0，+∞），求a的值；（2）证明：对任意x1∈〖1，2〗，总存在x2∈〖﹣1，3〗，使得f（x1）＝g（x2）成立．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B〖解析〗∵A＝{﹣1，0，2}，B＝{y|y≠0}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故选：B．2．C〖解析〗命题为全称命题，则命题的否定为∃x＞1，2x﹣1＜1，故选：C．3．B〖解析〗对于A，当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴ab﹣b2＝b（b﹣a）＞0，即ab＞b2，故B正确，对于C，∵a＞b＞0，∴，故C错误，对于B，令a＝1，b＝1，满足a＞b＞0，但b＜，故D错误．故选：B．4．D〖解析〗∵0＝ln1＜ln2＜ln e＝1，，，∴b＜a＜c．故选：D．5．C〖解析〗f（x）图象的对称轴为直线，因为f（x）在〖2，5〗上具有单调性，所以或，解得k≤4或k≥10．故选：C．6．D〖解析〗函数f（x）＝2cos x+1，x∈〖，2π〗的图象与直线y＝t有两个交点，可知t∈（﹣1，2cos+1〗，所以t的最大值为：+1．故选：D．7．C〖解析〗设里氏9.0级和7.0级地震释放出的能量分别为E1和E2，由lg E＝4.8+1.5M，可得，则，所以，故选：C．8．A〖解析〗函数f（x）＝|a x﹣1|﹣m（a＞0且a≠1）有2个零点，即y＝|a x﹣1|与y＝m有两个不同的交点，当a＞1时，函数y＝|a x﹣1|与y＝m的图象如图所示，故0＜m＜1，当0＜a＜1时，函数y＝|a x﹣1|与y＝m的图象如图所示，故0＜m＜1，综上可得：0＜m＜1，故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．ACD〖解析〗因为点P（m，2m）（m≠0）是角α终边上一点，所以tanα＝＝2，故A正确，因为当m＜0时，sinα＝＜0，故B错误；因为＝＝tanα＝2，故C正确；因为sin2α﹣cos2α＝＝＝＝，故D正确．故选：ACD．10．AB〖解析〗由＞，能推出a＞b；当由a＞b，不能推出＞，故＞是a＞b的充分不必要条件；由ln a＞ln b能推出a＞b；当由a＞b，不能推出＞，例如当a、b中至少有一个小于零时，故ln a＞ln b是a＞b的充分不必要条件；由a2＞b2，不能推出a＞b，故a2＞b2，不是a＞b充分条件，故排除C；由2a＞2b，能推出a＞b，而由a＞b，也能推出2a＞2b，故2a＞2b是a＞b的充要条件，故D 不满足条件，故选：AB．11．ACD〖解析〗∵，∴T＝＝π，故A正确，f（﹣）＝sin（﹣+）＝sin（﹣）≠0，故f（x）的图象不关于点中心对称，故B错误，f（）＝sin（+）＝sin＝1，故f（x）的图象关于直线x＝对称，故C正确，由2kπ﹣＜2x+＜2kπ+（k∈Z），解得kπ﹣＜x＜kπ+（k∈Z），令k＝0，则﹣＜x＜，故f（x）在（0，）上单调递增，故D正确，故选：ACD．12．ABD〖解析〗A：∵函数y＝x2﹣2x+a和函数y＝ln|x﹣1|的图象都关于直线x＝1对称，∴对于任意实数a，f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴A正确，B：∵函数y＝x2﹣2x+a和函数y＝ln|x﹣1|在（1，+∞）上都单调递增，∴对于任意实数a，f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴B正确，C：当x→1时，则f（x）→﹣∞，∴C错误，D：∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，在（1，+∞）上都单调递增，在（﹣∞，1）上都单调递减，且f（0）＝f（2）＝a，∴存在实数a＝0，使得关于x的不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，0〗∪〖2，+∞），∴D 正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把〖答案〗填在答题卡的相应位置．13．4sin x（〖答案〗不唯一）〖解析〗一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数为y＝4sin x，故〖答案〗为：4sin x（〖答案〗不唯一）．14．〖解析〗由图可知，所以该扇形的面积．故〖答案〗为：．15．〖解析〗因为f（x）的图象过原点，所以，即a+b＝0．又因为f（x）的图象无限接近直线y＝1，但又不与该直线相交，所以b＝1，a＝﹣1，所以．故〖答案〗为：．16．〖解析〗∵正数a，b满足，∴＝+＝（+）（a+2b）＝（++）≥×，∴（a+2b）2≥，∴，当且仅当时，等号成立，∴a+2b的最小值为．故〖答案〗为：．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）因为A＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝（1，+∞），B＝{x|x2﹣3x﹣10≤0}＝〖﹣2，5〗，所以∁R A＝（﹣∞，1〗，（∁R A）∪B＝（﹣∞，5〗，（2）当C＝∅时，2m﹣1＞2﹣m，解得m＞1，满足B∩C＝∅．当C≠∅时，2m﹣1≤2﹣m，解得m≤1．因为B∩C＝∅，所以2﹣m＜﹣2或2m﹣1＞5，解得m＞4或m＞3，与m≤1矛盾．综上，m的取值范围为（1，+∞）．18．解：（1）f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，证明如下：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，则＝．因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，所以x1x2＞0，x2﹣x1＞0．所以，所以f（x1）＞f（x2）．所以f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减．（2）f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）．因为，所以f（x）为奇函数．由（1）知f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，结合奇偶性，可得f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．又因为f（1）＝1，f（2）＝﹣1，所以f（x）在区间〖1，2〗上的值域为〖﹣1，1〗．19．解：（1）令，k∈Z，解得，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为．（2）当时，，，解得m＝1，所以，当，k∈Z，即，k∈Z时，f（x）取最大值，且最大值为3，故f（x）的最大值为3，取最大值时x的取值集合为．20．解：（1）当0＜x＜60时，L＝60x﹣＝，当x≥60时，L＝60x﹣＝，故L＝．（2）当0＜x＜60时，L＝＝，当x＝50时，L取得最大值，且最大值为950，当x≥60时，L＝＝≤，当且仅当，即x＝60时，等号成立，因为950＞900，所以当该企业年产量为50千件时，所获得的利润最大，最大利润是950万元．21．解：（1）当a＝6时，由f（x）＝2x，可得，则（2x）2﹣2x﹣12＝0，所以2x＝4或2x＝﹣3（舍），解得x＝2．故方程f（x）＝2x的解为2．（2）由题意，知在（0，+∞）上恒成立，即2×2x≥a（2x﹣1）在（0，+∞）上恒成立．又因为x∈（0，+∞），所以2x﹣1＞0，则．因为，所以，所以a≤2，即a的取值范围是（﹣∞，2〗．22．（1）解：因为g（x）的值域为〖0，+∞），所以Δ＝a2﹣4（a﹣1）＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2＝0，解得a＝2；（2）证明：∀x1∈〖1，2〗，，设g（x）在〖﹣1，3〗上的值域为M，g（x）＝x2﹣ax+a﹣1＝（x﹣1）（x﹣a+1），当，即a≤﹣2时，g（x）在〖﹣1，3〗上单调递增，因为g（3）＝8﹣2a≥12，g（﹣1）＝2a≤﹣4，所以〖2，〗⊆M，当≥3，即a≥6时，g（x）在〖﹣1，3〗上单调递减．因为g（﹣1）＝2a≥12，g（3）＝8﹣2a≤﹣4，所以〖2，〗⊆M，当﹣1＜＜3，即﹣2＜a＜6时，g（x）min＝g（）＝﹣+a﹣1＝﹣（a﹣2）2∈（﹣4，0〗，g（x）max＝max{2a，8﹣2a}∈〖4，12），所以〖2，〗⊆M，综上〖2，〗⊆M，恒成立，则f（x）在〖1.2〗上的值域是g（x）在〖﹣1，3〗上值域的子集恒成立，故对任意x1∈〖1.2〗，总存在x2∈〖﹣1，3〗，使得f（x1）＝g（x2）成立．。
2021-2022学年青海省西宁市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
青海省西宁市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝（）A．﹣2B．﹣1C．0D．12．下列在法则f的作用下，从集合A到集合B的对应中，不是映射的个数是（）A．0B．1C．2D．33．航海罗盘将圆周32等分，如图所示，则图中劣弧所对的圆心角为（）A．B．C．D．4．设，，则＝（）A．（﹣8，﹣2）B．（8，2）C．（﹣8，2）D．（﹣2，2）5．若a＝，b＝，则a+b等于（）A．﹣10B．10C．﹣2D．26．若，则角α终边上一点的坐标可能是（）A．B．C．D．7．已知a＝log23，b＝（）3，c＝log3，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b 8．已知tan（5π+x）＝﹣2，则的值为（）A．4B．3C．﹣3D．﹣49．已知点（n，8）在幂函数f（x）＝（m﹣2）x m的图象上，则函数f（x）在区间〖n，n+1〗上的值域为（）A．〖﹣8，27〗B．〖2，3〗C．〖4，9〗D．〖8，27〗10．已知函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）＝a x+b ﹣2的图像是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝在R上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．（0，〗C．（0，〗D．（﹣∞，〗12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）的图象上相邻两个最高点间的距离为B．f（x）的图象在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线成轴对称D．f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数二、填空题13．函数的定义域是．14．函数f（x）＝sin（）的最小正周期是．15．函数y＝的零点为．16．已知函数f（x）＝log a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若角α终边经过点A，则＝．三、解答题17．（10分）如图，已知圆O的半径r为10，弦AB的长为10．（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；（2）求圆心角α所对应的弧长l及阴影部分的面积S．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣2|x|+3．（1）画出函数图像（画在答题卡上，标出关键点坐标）；（2）结合图像，试讨论方程f（x）＝m根的个数．19．（12分）已知向量与，其中．（1）若∥，求sinθ和cosθ的值；（2）若f（θ）＝，求f（θ）的值域．20．（12分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，集合B＝{x|a+1≤x≤2a+1}．（Ⅰ）若a＝2，求A∪B和A∩∁R B；（Ⅱ）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．21．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜π）的一段图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的〖解析〗式；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）的单调递增区间．22．（12分）已知函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（）＝．（1）确定函数f（x）的〖解析〗式．（2）用定义证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（3）解不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁一、选择题1．C〖解析〗∵P＝Q，∴，解得，∴a﹣b＝0，故选：C．2．D〖解析〗根据映射的定义可得：①③中出现了一对多，②中，原象2，4没有像，④中元素完全符合映射的定义，所以不是映射的个数有3个，故选：D．3．B〖解析〗因为劣弧的弧长占了32等分中的7等分，所以劣弧所对的圆心角为．故选：B．4．A〖解析〗∵，，∴＝（﹣5﹣3，﹣1﹣1）＝（﹣8，﹣2），故选：A．5．D〖解析〗a＝＝﹣4，b＝＝6，∴a+b＝2，故选：D．6．C〖解析〗对于A，若角α终边上一点的坐标是，则sinα＝＝，故错误；对于B，若角α终边上一点的坐标是，则sinα＝＝﹣，故错误；对于C，若角α终边上一点的坐标是（，﹣），则sinα＝＝﹣，故正确；对于D，若角α终边上一点的坐标是（﹣，），则sinα＝＝，故错误．故选：C．7．A〖解析〗a＝log23＞log22＝1，b＝（）3＝＜1，c＝log3＜0，所以a＞b＞c，故选：A．8．B〖解析〗因为tan（5π+x）＝﹣2，则tan x＝﹣2，所以＝＝，故选：B．9．D〖解析〗因为函数f（x）＝（m﹣2）x m的是幂函数，所以m﹣2＝1，解得m＝3；所以函数f（x）＝x3，又点（n，8）在函数f（x）＝x3的图象上，所以n3＝8，解得n＝2，所以函数f（x）在区间〖2，3〗上是单调增函数，且f（2）＝8，f（3）＝27，所以f（x）的值域为〖8，27〗．故选：D．10．D〖解析〗由函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象，则0＜b＜1，1＜a＜2，函数g（x）＝a x+b﹣2恒过定点（0，b﹣1），因为0＜b＜1，则﹣1＜b﹣1＜0，又1＜a＜2，则函数g（x）为单调递增函数，故选：D．11．B〖解析〗由题意可得，解得0，故选：B．12．D〖解析〗函数的最小正周期为，对于A：函数f（x）的图象上相邻的最高点的距离为π，故A错误；对于B：当x时，，故函数在该区间上不单调，故B 错误；对于C：当x＝﹣时，，故函数取不到最值，故C错误；对于D：函数f（x）＝向右平移个单位后，得到g（x）＝cos2x的关系式，故函数为偶函数，故D正确．故选：D．二、填空题13．（﹣2，0）∪（0，+∞）〖解析〗由题意得：，解得：x＞﹣2且x≠0，故函数的定义域是（﹣2，0）∪（0，+∞），故〖答案〗为：（﹣2，0）∪（0，+∞）．14．4〖解析〗因为f（x）＝sin（），所以f（x）的最小正周期为．故〖答案〗为：4．15．1〖解析〗令y＝＝0⇒＝，解得x＝1，故函数的零点为1，故〖答案〗为：1．16．1﹣〖解析〗因为函数f（x）＝log a x+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，1），若角α终边经过点A，所以sinα＝＝，cosα＝＝，则＝2sinαcosα﹣cosα＝2×﹣＝1﹣．故〖答案〗为：1﹣．三、解答题17．解：（1）由于圆O的半径为r＝10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，所以α＝∠AOB＝．（2）因为，所以l＝αr＝，S扇形AOB＝lr＝××10＝，又S△AOB＝×10×10＝25，所以阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣25．18．解：（1）由已知函数的定义域为R关于原点对称，且f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2|﹣x|+3＝x2﹣2|x|+3＝f（x），所以函数f（x）是偶函数；函数f（x）的图象如图所示：（2）由图象可得：当m＝3时，方程f（x）＝m有3个根，当m＞3或m＝2时，方程f（x）＝m有2个根，当2＜m＜3时，方程f（x）＝m有4个根，当m＜2时，方程f（x）＝m没有根．19．解：（1）∵与，∥，∴sinθ＝cosθ，∵sin2θ+cos2θ＝1，，∴sinθ＝，cosθ＝．（2）f（θ）＝＝sinθ+cosθ＝2sin（θ+），∵，∴∈（，），∴sin（）∈（，1〗，∴f（θ）∈（1，2〗．∴f（θ）的值域为（1，2〗．20．解：（I）a＝2时，A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a+1}＝{x|3≤x≤5}，A∪B＝{x|﹣2≤x≤5}，A∩∁R B＝{x|﹣2≤x≤5}∩{x|x＞5或x＜3}＝{x|﹣2≤x＜3}；（II）由A∪B＝A，得B⊆A，若B＝∅，则a+1＞2a+1，解得a＜0，当B≠∅，则，解得0≤a≤2，综上，a≤2，所以a的范围{a|a≤2}．21．解：（Ⅰ）由图像知，故，A＝2，再由＝﹣2得，故，结合0＜φ＜π得，故f（x）＝2sin（2x）；（Ⅱ）由y＝f（x）的图象向右平移个单位，得g（x）＝2＝2sin（2x﹣），要求函数y＝g（x）的单调递增区间，只需，解得，故g（x）的单调递增区间为〖〗，k∈Z．22．（1）解：函数f（x）＝是定义在（﹣1，1）上的奇函数，则f（0）＝0，即有b＝0，且f（）＝，则，解得，a＝1，则函数f（x）的〖解析〗式：f（x）＝（﹣1＜x＜1）；（2）证明：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）＝＝，由于﹣1＜m＜n＜1，则m﹣n＜0，mn＜1，即1﹣mn＞0，（1+m2）（1+n2）＞0，则有f（m）﹣f（n）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，则不等式f（t﹣1）+f（t）＜0即为f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），即有，解得，则有0＜t＜，即解集为（0，）．。
2021-2022学年四川省绵阳市高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年四川省绵阳市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}12A x x =-≤<，{}1,0,2B =-，则A B =（ ） A ．{}0,1,2 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1 D ．{}1,0-【答案】D【分析】根据集合交集运算求解即可.【详解】集合{}12A x x =-≤<中整数有1,0,1- 所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：D.2．函数()()ln 14f x x x =++-的定义域为（ ） A ．()1,4- B ．[)1,4- C ．(]1,4- D ．[]1,4- 【答案】C【分析】根据对数的真数为正数以及偶次根式的被开方非负列式可得结果.【详解】要使函数有意义，则有1040x x +>⎧⎨-≥⎩解得14x -<≤.所以函数()f x 的定义域为(]1,4-. 故选：C3．一条弧所对的圆心角是2rad ，它所对的弦长为2，则这条弧的长是（ ） A ．1sin1B ．1sin 2C ．2sin1D ．2sin 2【答案】C【分析】画出图形解直角三角形即可．【详解】如图设2AOB ∠=，2AB =，过点O 作OC AB ⊥，C 为垂足，并延长OC 交弧AB 于D ，则1AOD BOD ∠=∠=，112AC AB ==． Rt AOC 中，1sin sin1AC r AO AOC ===∠，从而弧长为122sin1sin1r α=⨯=， 故选：C ．4．函数()cos 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是（ ）A ．奇函数，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．奇函数，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．偶函数，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．偶函数，在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】A【分析】先利用诱导公式化简函数，再利用正弦函数性质直接判断奇偶性和单调性即可. 【详解】因为函数()cos sin 2f x x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，是正弦函数，所以()f x 是奇函数，且在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.故选：A.5．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值，再结合函数的解析式研究其性质即可得到图象． 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ∵幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ∴39α=， 解得12α=∴()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意． 故选:C ．6．设函数()()()()22,0,lg ,0,x x x f x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】令函数()0f x =，再分析解的个数即可．【详解】由函数解析式22,0()lg(),0x x x f x x x ⎧--≥=⎨-<⎩，令()0f x =，则：当0x ≥时，220x x --=，解得2x =或1x =-（舍）； 当0x <时，lg()0x -=，解得1x =-. 所以函数()f x 有2个零点. 故选：B7．已知角α的终边过点()1,2A ，则tan2α=（ ） A ．43-B ．43C ．45-D ．34【答案】A【分析】利用三角函数的定义先求tan yxα=，再用正切的2倍角公式即可求解. 【详解】因为角α的终边过点(1,2)A ，所以2tan 21α==， 所以22tan 4tan 21tan 3ααα==--.故选：A.8．防疫部门对某地区乙型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：()()0.222011et f t --=+，当()110f t =时，标志着流感疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据：ln9 2.2≈）（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40【答案】A 【分析】根据()110f t =列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案.【详解】因为()110f t =，()()0.222011e t f t --=+， 所以()0.222011e110t --+=，即()0.22201e 10t --+=， 所以()0.2220e 9t --=，由于ln9 2.2≈，故 2.2e 9≈， 所以()0.2220 2.2e e t --≈，所以()0.2220 2.2t --≈，解得10t ≈. 故选：A.9．若()2f x x x =+，则满足()()1f a f a -≤的a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】通过分析函数的奇偶性及单调可解决问题.【详解】因为()2()f x x x f x -=+=，且函数()f x 的定义域为R ，故函数()f x 为定义域R 上的偶函数，又当0x >时，()2f x x x =+在(0,)+∞上单调递增，所以()()1f a f a -≤，则有|1|||a a -≤，解得12a ≥. 故选：C10．已知函数()sin f x x x =，当x α=时，函数()f x 取得最大值，则sin 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）A BC D ．【答案】B 【分析】先求出26k παπ=+，再用诱导公式及正弦两角差公式计算即可.【详解】()sin 2sin()3f x x x x π=+=+，其有最大值时，有232x k πππ+=+（k Z ∈）， 所以26x k παπ==+，所以sin sin 2644k ππαππ+⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6646sin sin cos cos sin 44ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B11．已知2log 3a =，131log 2b =，125c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．c a b << D ．c b a <<【答案】D【分析】利用对数函数和指数函数的性质比较即可 【详解】因为2221log 2log 3log 42=<<=，133311log log log 2log 3122==<=，1212110525-<==<， 所以c b a <<， 故选：D.12．将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象．再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数()h x 的图象，则下列叙述正确的是（ ）A ．当6πθ=时，,012π⎛⎫⎪⎝⎭为函数()h x 图象的对称中心 B ．当6πθ=时，若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()h xC ．当2πθ=时，函数()g x 与()h x 的图象关于x 轴对称D ．当2πθ=时，函数()()g x h x -的最小值为0【答案】C【分析】利用图象的变换规律，可求出函数()g x 与()h x 的的解析式， 再由三角函数的性质逐项判断即可.【详解】将函数()sin f x x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍， 纵坐标不变，得到函数()sin 2g x x =的图象，再把()g x 图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到函数 ()sin()h x x θ=+的图象 ,当6πθ=时，()sin(2),3h x x π=+当12x π=时，()sin(2)112123h πππ=⨯+=，则12x π=为函数()h x 图象的对称轴，故 A 错误；当6πθ=时，()sin(2)3h x x π=+，若0,,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦52,,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦则1sin(2),132x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦故()h x 的最大值为 1，故B 错误； 当2πθ=时，函数()sin 2g x x =与()sin 2h x x =-的图象关于x 轴对称，故C 正确； 当2πθ=时，()()2sin 2g x h x x -=最小值为 -2 , 故D 错误. 故选：C. 二、填空题13．若tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．【答案】13【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解． 【详解】∵tan 2α=，则tan 11tan 41tan 3πααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭． 故答案为:1314．设函数()()()2,0,2,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩则()()1f f -=______．【答案】4【分析】先求()1f -的值，然后根据分段函数代入可求结果. 【详解】∵()(1)(1)22f -=--=， 则2((1))(2)24f f f -===. 故答案为：4.15．已知等腰三角形一个底角的正弦值为513，则这个三角形的顶角的余弦值为______．【答案】119169-【分析】依题意可得5sin sin 13B C ==，利用同角三角函数的基本关系求出cos B ，再利用诱导公式及二倍角公式求出cos A . 【详解】由题意设5sin sin 13B C ==，且090B ︒<<︒，所以212cos 1sin 13B B =-=． 所以()2212119cos cos(1802)cos22cos 12113169A B B B ⎛⎫⎛⎫=︒-=-=--=-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：119169-16．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且()1f x +为偶函数．若()11f =，则()()()()1232022f f f f +++⋅⋅⋅+=______．【答案】1【分析】由题可得()()2f x f x +=-，进而可得函数()f x 是周期为4的周期函数，再求出()()()()()01234f f f f f 、、、、的值，结合周期性分析可得答案． 【详解】 ()f x 是定义域为R 的奇函数，且()1f x +为偶函数， 则有()()11f x f x -+=+ ，即(2)()f x f x +=-， ∴(2)(),(4)(2)()f x f x f x f x f x +=-+=-+=， 则函数()f x 是周期为4的周期函数，又()11f =， ∴(2)(0)0,(3)(1)(1)1,(4)(0)0,f f f f f f f ===-=-=-==∴ ()()()()[]1232022505(1)(2)(3)(4)(1)(2)f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅+=⨯+++++5050101=⨯++=.故答案为：1. 三、解答题 17．化简求值：(1)()12443128218-⎛⎫⨯+-- ⎪⎝⎭．(2)2log 32122log 1lg 25lg ln e 4⎛⎫++-⋅ ⎪⎝⎭．【答案】(1)5； (2)4.【分析】（1）利用指数幂的运算法则化简计算即得； （2）利用对数的运算性质化简计算即得. (1)()()()1211204334344312821=22218---⎛⎫⨯+--⨯+- ⎪⎝⎭2415=+-=；(2)2log 321122log 1lg 25lg ln e 30lg10031442⎛⎫++-⋅=++⋅=+= ⎪⎝⎭.18．已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的对称轴及单调减区间．【答案】(1)()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2),Z 212k x k ππ=+∈，()7,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由图象得出()max A f x =，根据图象计算出函数()f x 的最小正周期，可求得ω，再由五点法可得ϕ的值，即求； （2）利用余弦函数的性质即得. (1)由图可知，()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期T 满足313341234T πππ=-=，T π∴=，则22Tπω==， ()()2cos 2f x x ϕ∴=+，由五点法可得22,Z 32k k ππϕπ⨯+=+∈，又2πϕ<，6πϕ=-，所以，()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2) 由2,Z 6x k k ππ-=∈，可得函数()f x 的对称轴为,Z 212k x k ππ=+∈， 由()222Z 6k x k k ππππ≤-≤+∈，解得()7Z 1212k x k k ππππ+≤≤+∈. ∴函数()f x 的减区间为()7,Z 1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 19．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会计划于2022年2月4日开幕．冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已经衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为400万元．每生产x 万盒，需投入成本()h x 万元，当产量小于或等于50万盒时()180100h x x =+；当产量大于50万盒时()2802600h x x x =++，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价⨯销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本） (1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式； (2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大．【答案】(1)220500,0501203000,50x x y x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩ (2)60万盒【分析】（1）根据产量的情况分别求出每一种情况下的利润即可； （2）由（1），求分段函数的每一部分取最值的条件，再通过比较可得答案. (1) 由题意，当产量小于或等于50万盒时，20040018010020500y x x x =---=-； 当产量大于50万盒时，22200400(802600)1203000y x x x x x =--++=-+-.所以利润y （万元）关于产量x （万盒）的函数关系式是：220500,0501203000,50x x y x x x -<≤⎧=⎨-+->⎩. (2)由（1）：当050x <≤时，20500y x =-，当50x =有最大值，其最大值为max 2050500500y =⨯-=（万元）；当50x >时，221203000(60)600y x x x =-+-=--+，当60x =有最大值，其最大值为2max (6060)600600y =--+=（万元）.综上可知，当产量为60万盒时，该企业在生产中所获得利润最大．20．已知二次函数()f x 的图象过原点和点()1,3-，且满足()()11f x f x -+=--． (1)求函数()f x 的解析式；(2)设函数()()2log 22a g x x x =-+（0a >，且1a ≠），若存在[]13,0x ∈-，使得对任意[]21,2x ∈，都有()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)2()2f x x x =--； (2)()0,1[2,)⋃+∞.【分析】（1）设函数()2f x ax bx =+，当满足()()11f x f x -+=--时，函数关于1x =-对称，再由函数过的点，代入，利用待定系数法可求得函数的解析式；（2）根据题意可知()()max max f x g x ≥，分别求两个函数的的最大值，求解不等式即得. (1)由题可设2()f x ax bx =+，()()11f x f x -+=--，所以()f x 的对称轴方程为12bx a=-=-， 又函数的图象经过点()1,3-，所以+3a b =-，两式联立，解得1a =-，2b =-， 所以2()2f x x x =--； (2)由题意可知max max ()()f x g x ≥， 因为2()2f x x x =--，[]3,0x ∈-，所以()f x 在(3,1)--单调递增，(1,0)-单调递减，当1x =-时，max ()1f x =，∵222y x x -=+在[]1,2上单调递增，当01a <<时，log a y x =单调递减，∴函数()()2log 22a g x x x =-+在[]1,2上单调递减，∴()max 0g x =，适合题意；当1a >时，log a y x =单调递增，∴函数()()2log 22a g x x x =-+在[]1,2上单调递增，∴()()2max log 2222log 2a a g x =-⨯+=，则log 21log a a a ≤=，解得2a ≥；综上所述，实数a 的取值范围为()0,1[2,)⋃+∞.21．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的最小正周期和值域；(2)若函数()()2g x f x m =-，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并计算12x x +的值．【答案】(1)最小正周期T π=，值域为[2,2]-．1m ≤<，1256x x π+= 【分析】（1）利用正弦和角公式，降幂扩角公式以及辅助角公式化简函数解析式为标准正弦型函数，再求解即可；（2）数形结合，根据(),2y f x y m ==图象有2个交点，求得m 的范围；根据对称性，即可求得12x x +.(1)函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭化简可得：()f x ＝2sin x cos x ﹣2x＝sin2x -1122+cos2x ）＝sin2x x＝2sin （2x 3π-） 所以函数的最小正周期T 2ππ2==， 值域为[2,2]-．(2)函数()()2g x f x m =-，在[0，2π]上有两个不同的零点1x ，2x ， 转化为函数()f x 与函数2y m =有两个交点令23u x π=-，∵[0,]2x π∈，∴2[,]33u ππ∈-， 可得()2sin f x u =的图象（如图）．从图可知：2m 在[3,2)，函数()f x 与函数2y m =有两个交点，即33221m m <⇒≤<. 其横坐标分别为12,u u ．由题意可知12,u u 是关于对称轴是对称的，所以12u u π+=，又11222,233u x u x ππ=-=-，所以12122233u u x x πππ+=-+-=，解得1256x x π+=. 22．已知函数()1212xxf x -=+． (1)判断函数()f x 的奇偶性及单调性；(2)若对于任意正实数t ，不等式228sin 203f t t πθ⎡⎤⎛⎫--+< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立，求θ的取值范围． 【答案】(1)详见解析；(2)522,Z 62k k k πππθπ-<<+∈. 【分析】（1）利用奇偶性的定义及单调性的定义即得；（2）利用函数单调性可得228sin 203t t πθ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式可得1sin 32πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，再利用正弦函数的性质即求. (1)∵函数()1212xxf x -=+，定义域为R ， ∴()()12211221x x x x f x f x -----===-++， 故函数()f x 为奇函数，又()12211212x x xf x -==-++， 12,R x x ∀∈，且12x x <，则()()()()()21121212222221112121212x x x x x x f x f x ⎛⎫-=---= ⎪++++⎝⎭-， ∵12x x <，∴121221022,210,210,220x x x x x x <<+>+>->， ∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， ∴函数()f x 为减函数；(2) 由()228sin 2003f t t f πθ⎡⎤⎛⎫--+<= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得 对于任意正实数t ，228sin 203t t πθ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭恒成立， ∴2114sin 3t t t t πθ+⎛⎫-<=+ ⎪⎝⎭恒成立， 又12t t+≥，当且仅当1t =时取等号， ∴4sin 23πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即1sin 32πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， ∴722,Z 636k k k ππππθπ-<-<+∈， ∴θ的取值范围为522,Z 62k k k πππθπ-<<+∈，。
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2021-2021学年市高一上学期期末数学试题（解析版）2021至2021高二数学期末卷20XX-20XX学年市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合M＝{x∈Z|0＜x＜6}，N＝{x|x＞3}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．1个B．2个C．4个D．8个【答案】C 【解析】化简集合,根据交集定义,求出交集,根据子集定义,列举出子集即可得到.【详解】因为, N＝{x|x＞3} 所以P＝M∩N,其子集有,共4个.故选:C 【点睛】本题考查了交集的运算,考查了求子集的个数,属于基础题.2．函数y的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[﹣2，0）∪（0，+∞）【答案】B 【解析】由解得结果即可得到答案.【详解】由得且, 所以函数y的定义域是.故选:B【点睛】本题考查了求具体函数的定义域,容易漏掉,属于基础题.3．已知角α终边上一点P（1，），则cosα＝（）A．B．C．D．【答案】A 【解析】根据余弦函数的定义可得结果.【详解】因为角α终边上一点P（1，）, 所以,所以, 所以.故选:A 【点睛】本题考查了余弦函数的定义,属于基础题.4．函数f （x）＝tan（2x）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【答案】A 【解析】根据周期公式,计算可得.【详解】由周期公式.故选:A【点睛】本题考查了的周期公式,熟练掌握公式是解题关键,属于基础题.5．已知a，b为实数，集合M＝{b，1}，N＝{a，0}，f：x→x为集合M到集合N的映射，则a+b等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．1或2 【答案】C 【解析】根据且,可得答案.【详解】依题意可知且 ,所以 ,, 所以.故选:C【点睛】本题考查了映射的概念,考查了集合中元素的互异性,属于基础题.6．幂函数f（x）的图象过点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（0，+∞）B．[0，+∞）C．（﹣∞，0]D．（﹣∞，0）【答案】A 【解析】设,根据,解出,根据幂函数的单调性可得答案.【详解】设,则,即, 所以,所以, 所以的递减区间为, 故选:A 【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.7．下列函数中偶函数是（）A．yB．y＝sinx+2|sinx|C．y＝ln（x）D．y＝ex+e﹣x【答案】D 【解析】利用特值排除法可排除,利用偶函数的定义可得正确.【详解】令,则 ,不正确; 令,则,,,所以不正确; 令,则,所以不正确; 令,则,所以正确.故选:D【点睛】本题考查了特值排除法解选择题,考查了偶函数的定义,属于基础题.8．直角坐标系中，已知A（3，0），B（0，4），则△AOB（O为坐标原点）重心坐标为（）A．（0，0）B．（1，1）C．（1，）D．（，2）【答案】C 【解析】取的中点,则重心为的一个靠近的三等分点,根据中点公式求出的坐标,根据可以求得的坐标即可.【详解】如图: 设的中点为,重心为, 则,为的靠近的三等分点,即, 设,则, 所以且, 解得, 所以.故选:C【点睛】本题考查了重心的性质,考查了中点公式,考查了向量的线性运算的坐标表示,属于基础题.9．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜bB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a【答案】A 【解析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.【详解】因为,且为增函数,所以, 因为且为递减函数,所以, , 所以.故选:A【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.10．已知函数f（x）（a∈R），若f[f（﹣1）]＝2，则a＝（）A．B．C．1 D．【答案】B 【解析】按照从内到外的顺序,先求得,再求得,解方程即可得到答案.【详解】因为, 所以,解得.故选:B【点睛】本题考查了求分段函数的函数值,对于有多层函数符号的,要按照从内到外的顺序计算是解题关键,属于基础题.11．若O点是△ABC所在平面内任一点，且满足，则△O BC与△ABC的面积比为（）A．B．C．D．【答案】C 【解析】连并延长交于,设,,根据向量减法的逆运算可得,结合已知可得,解得,由此可得结果.【详解】如图所示:连并延长交于, 设,, 则, 所以, 所以, 又, 所以 ,解得, 所以, 所以, 所以.故选:C【点睛】本题考查了向量共线定理,考查了向量减法的逆运算,考查了平面向量基本定理,考查了三角形的面积,属于中档题.12．已知曲线C1：y＝sinx，C2：y＝cos（2x），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】将变成后,根据周期变换和平移变换结论可得答案.【详解】由, 因此把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线是正确的.故选:D【点睛】本题考查了诱导公式,考查了三角函数图像的周期变换和平移变换,属于基础题.二、填空题13．若的圆心角所对的弧长为3π，则该扇形的面积为_____.【答案】6π 【解析】先用弧长公式求得半径,再用面积公式求得面积即可.【详解】设弧长为,半径为, 则,所以, 所以扇形的面积为.故答案为:.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式,考查了扇形的面积公式,属于基础题.14．若函数y＝cos（ωx）（ω＞0）的一个对称中心是（，0），则ω的最小值为_____.【答案】2 【解析】根据余弦函数的对称中心为,列式可解得ω＝6k+2,进一步可求得正数的最小值.【详解】令ω（k∈Z），整理得ω＝6k+2（k∈Z），当k＝0时，ω的最小值为2．故答案为:2 【点睛】本题考查了余弦函数的对称中心, 令ω是解题关键,属于基础题.15．已知函数f（x），若f（x）的最大值为3，则a＝_____.【答案】2 【解析】根据f（t）是递减函数,将问题转化为t ＝ax2﹣4x+1有最小值,再根据二次函数知识可得答案.【详解】由题意，f（t）是递减函数，那么t＝ax2﹣4x+1必有最小值使得f（t）的最大值为3；即3，那么tmin＝﹣1，所以且, 解得：a＝2.故答案为:2 【点睛】本题考查了指数函数的单调性,考查了二次函数的最值,属于基础题.16．设f（x）＝x2+bx+c，方程f（x）＝x的两根是x1和x2，且x1＞0，x2﹣x1＞1．若0＜t＜x1，则f（t）_____x1（填“＞”，“＜”或“＝”）．【答案】＞【解析】作差后分解因式,根据韦达定理以及已知条可判断出差的符号.【详解】因为方程f（x）＝x的两根是x1和x2 即的两根为, 所以, 又∵x1是方程f（x）＝x的根，∴f（x1）＝x1，∴f（t）﹣x1＝f（t）﹣f（x1）＝（t﹣x1）（t+x1+b）＝（t﹣x1）（t+1﹣x2），∵x1+x2＝1﹣b，0＜t＜x1，∴t﹣x1＜0，又x2﹣x1＞1，即x1+1﹣x2＜0，∴t+1﹣x2＜x1+1﹣x2＜0，故f（t）﹣x1＞0，即f（t）＞x1．故答案为: ＞【点睛】本题考查了差值法比较大小,考查了韦达定理,属于中档题.三、解答题17．计算：（1）[（1﹣log63）2+log62×log618]×log46；（2）sin（﹣120°）cos210°+cos（﹣60°）sin150°+tan225°．【答案】（1）1（2）2 【解析】(1)利用对数的运算性质计算可得; (2)利用诱导公式和特殊角的三角函数值计算可得.【详解】（1）原式＝[（log62）2+log62×（2﹣log62）]×log46＝2log62×log46＝log64×log46＝1；（2）原式＝﹣sin60°cos（180°+30°）+cos60°sin30°+tan（180°+45°）＝sin60°cos30°+cos60°sin30°+tan45°11＝1+1＝2．【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了诱导公式,考查了特殊角的三角函数值,属于基础题.18．已知集合A＝{x|a﹣3＜x ＜a+3}，B＝{x|x＜﹣1或x＞4}．（1）若a＝﹣1，求A∩（∁RB）；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|﹣1≤x＜2}（2）（1，2）【解析】(1)根据集合的补集和交集概念运算可得; (2)根据并集结果列式可得.【详解】（1）a＝﹣1时，A＝{x|﹣4＜x＜2}，且B＝{x|x＜﹣1或x ＞4}，∴∁RB＝{x|﹣1≤x≤4}，A∩（∁RB）＝{x|﹣1≤x＜2}；（2）∵A∪B＝R，∴，解得1＜a＜2，∴a的取值范围为（1，2）．【点睛】本题考查了集合补集和交集运算,考查了根据并集结果求参数的取值范围,属于基础题.19．已知点A（﹣1，1），B （0，3），C（3，x）．（1）若A，B，C三点共线，求x的值；（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围；（3）若x＝﹣2，求在方向上的投影．【答案】（1）x＝9（2）x＞﹣1且x≠9（3）【解析】(1)转化为∥,利用坐标表示可得答案; (2)利用•且与不平行可得答案; (3)根据方向投影的概念计算可得.【详解】（1）∵A（﹣1，1），B（0，3），C（3，x）．∴（1，2），（4，x﹣1）∵A，B，C三点共线，∴∥，∴x﹣1＝8，即x＝9．（2）与夹角为锐角知，•4+2（x﹣1）＝2x+2＞0，∴x＞﹣1；由（1）知，x＝9时∥，不符合题意，∴x＞﹣1且x≠9．（3）x＝﹣2时，（1，2），（4，﹣3），在方向上的投影．【点睛】本题考查了平面向量平行的坐标表示,考查了向量的夹角,考查了向量在向量上的投影的概念,属于基础题.20．已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．（1）判断并证明函数（x）的奇偶性；（2）解关于x的不等式：f（3x+2）+f（x）＞0．【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）（）【解析】(1)根据诱导公式，以及奇函数的定义可证; (2)先判断函数为（﹣1，1）上的单调性,然后根据奇偶性和单调性解不等式即可得到答案.【详解】（1）定义域为（﹣1，1），∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx．∴f（﹣x）＝ln（1﹣x）﹣ln（1+x）﹣sinx＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，（2）∵f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x），y＝sinx在（﹣1，1）上均为单调递增的函数，∴f（x）＝ln （1+x）﹣ln（1﹣x）+sinx在（﹣1，1）上单调递增，∵f（3x+2）+f（x）＞0，∴f（3x+2）＞﹣f（x）＝f（﹣x），∴1＞3x+2＞﹣x＞﹣1，解可得，即不等式的解集为（）【点睛】本题考查了用定义证明函数为奇函数,考查了诱导公式,考查了利用奇偶性和单调性解不等式,属于中档题.21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[，]，求函数f（x）的值域．【答案】（1）f（x）＝sin（）（2）[，1] 【解析】(1)根据图像可得最大值,周期,根据最大值和周期可得和,根据五点作图法中的第一个关键点可得; (2)根据正弦函数的性质可得最大最小值,进一步可得值域.【详解】（1）由图象知函数的最大值为1，即A＝1， 3﹣（﹣1）＝4，即周期T＝8，即8，得ω，则f（x）＝2sin（x+φ），由五点对应法得1+φ，得φ，即f（x）＝sin（）．（2）若x∈[，]，则∈[，]，∴当时，即x时，f（x）最小，最小值为f（），当时，即x＝1时，f（x）最大，最大值为f（1）＝1，∴f（x）的值域为[，1]．【点睛】本题考查了由图像求解析式,考查了求正弦型函数在指定区间上的值域,属于中档题.22．已知函数f（x）＝x2．（1）证明：函数f（x）在（0，）上单调递减，在+∞）上单调递增；（2）讨论函数g（x）＝4x3﹣4ax+1在区间（0，1）上的零点个数．【答案】（1）证明见解析（2）见解析【解析】(1)根据单调函数的定义证明即可; (2)将问题转化为讨论在上的实根个数,根据(1)问中函数的单调性,讨论可得答案.【详解】（1）证明：∀x1，x2，假设x1＜x2，则；∵，∴；∴4x1x2（x1+x2）﹣1＜0；∴f（x1）﹣f（x2）0；即f（x）在（0，）上单调递减；同理f（x）在（，+∞）上单调递增．（2）由g（x）＝0得：a．由（1）知：f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；∴；①当a，则，∴f（x）＝a在（0，1）上无解，即g（x）在（0，1）上无零点，②当a，则a，∴f（x）＝a在（0，1）上有且仅有一个解；即g（x）在（0，1）上有且只有一个零点；③当，由，，f（x）在（0，）上单调递减可知， f（x）＝a 在（0，）上有且只有一解；由，a，且f（x）在（，+∞）上单调递增；f（x）＝a在（，1）上有且只有一解；即g（x）在（0，1）上有2个零点；④当a时，则时，f（x），∴f（x）＝a在（，1）上无解，∵，，f（x）在（0，）上单调递减，∴f（x）＝a在（0，）上有且只有一解；即g（x）在（0，1）上有且只有一个零点；综上所述：①当a，g（x）在（0，1）上无零点，②当a或a时，g（x）在（0，1）上有且只有一个零点，③当，g（x）在（0，1）上有2个零点．【点睛】本题考查了用定义证明函数的单调性,考查了求函数的零点个数,解题关键是转化为讨论函数与函数的交点个数,属于难题。