必修三与圆锥曲线

则伪代码 1 和伪代码 2 运行的结果分别为__________．6,1 6．一组数据中的每一个数据都乘以 2，再减去 80，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是 1.2，方 差是 4.4，则原来数据的平均数和方差分别是________．40.6,1.1 7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个．命中个数的茎叶图如右图，则 下面结论中错误是________．(填序号) ④
2 3 6．已知半径为 a 的球内有一内接正方体，若球内任取一点，则该点在正方体内的概率为________． 3π 2 8．从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于 40 的概率为________． 5 10．如图所示，△ABC 为圆 O 的内接三角形，AC＝BC，AB 为圆 O 的直径，向该圆内随机投一点，则该点 1 落在△ABC 内的概率是________． π V 11．在体积为 V 的三棱锥 S－ABC 的棱 AB 上任取一点 P，则三棱锥 S－APC 的体积大于 3 2 的概率是__________． 3 12．已知实数 a，b∈{－2，－1,1,2}． (1)求直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的概率； (2)求直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点的概率． 3 故直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点的概率为 . 4 解 由于实数对(a，b)的所有取值为：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－ 1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共 16 种． 设“直线 y＝ax＋b 不经过第四象限”为事件 A，“直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点”为事件 B. a≥0， (1)若直线 y＝ax＋b 不经过第四象限，则必须满足 即满足条件的实数对(a，b)有(1,1)，(1,2)， b≥0， 4 1 (2,1)，(2,2)，共 4 种．∴P(A)＝ ＝ . 16 4 1 故直线 y＝ax＋b 不经过第四象限的概率为 . 4 |b| (2)若直线 y＝ax＋b 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则必须满足 2 ≤1，即 b2≤a2＋1. a ＋1 若 a＝－2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值； 若 a＝－1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值； 若 a＝1，则 b＝－1,1 符合要求，此时实数对(a，b)有 2 种不同取值， 若 a＝2，则 b＝－2，－1,1,2 符合要求，此时实数对(a，b)有 4 种不同取值． ∴满足条件的实数对(a，b)共有 12 种不同取值． 12 3 ∴P(B)＝ ＝ . 16 4 13．甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面 朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃 3，则乙抽到的牌面数字比 3 大的概率是多少？ (3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明 你的理由． 解 (1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4′表示，其他用相应的数字表示)为(2,3)，(2,4)， (2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共 12 种不同情况． 2 (2)甲抽到红桃 3，乙抽到的牌的牌面数字只能是 2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比 3 大的概率为 . 3 (3)甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共 5 种，故甲胜的概率 5 5 P1＝ ，同理乙胜的概率 P2＝ .因为 P1＝P2，所以此游戏公平． 12 12 18．(16 分)现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语，B1、B2、B3 通晓俄语，C1、C2 通晓 韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组． (1)求 A1 被选中的概率； (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率． 解 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果组成的基本事件为 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1， C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3， B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共 18 个基本事件．由于每一个基本 事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
x2 y2 7．已知 F1，F2 为双曲线 － ＝1 的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最 5 4 小值为_____________. 37－2 5 解析： |AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－ 2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，当 A，P， F1 三点共线时，取得最小值，则|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝ 37， ∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－ 2a＝ 37－2 5. x2 y2 8 ．设双曲线 2 － 2 ＝ 1(a＞ 0， b＞ 0)的一条渐近线与抛物线 y ＝x2 ＋1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 a b _________. 5
《必修三》练习题
1．运行如下的伪代码，输出结果为________．63 S←0 i←1 While S≤1 000 S←S＋i i←i＋2 End While i←i－2 Print i 2．阅读下边的流程图，运行相应的伪代码，则输出 s 的值为________．0 3．执行下面的伪代码后，输出的结果是________．4,1 a←1 b←3 a←a＋b b←a－b Print a，b 4．以下给出了一个流程图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值，若要使输入的 x 的值与输出的 y 的 值相等，则这样的 x 的值有________个．3 5．有两个伪代码如下： 伪代码 1 伪代码 2 i←6 S←1 Do S←S＋i i←i－1 Until i>4 End Do Print S i←6 S←1 While i>0 And i≤5 S←S＋i i←i－1 End While Print S
①甲的极差是 29；②乙的众数是 21；③甲罚球命中率比乙高；④甲的中位数是 24. 解析 甲的极差是 37－8＝29；乙的众数显然是 21；甲的平均数显然高于乙，即③成立；甲的中位数应该 22＋24 是 ＝23. 2
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8．已知一个线性回归方程为y ＝1.5x＋45(xi∈{1,5,7,13,19})，则 y ＝________.58.5
用 M 表示“A1 恰被选中”这一事件，则 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}， 6 1 事件 M 由 6 个基本事件组成，因而 P(M)＝ ＝ . 18 3 (2)用 N 表示“B1、C1 不全被选中”这一事件，则其对立事件 N 表示“B1、C1 全被选中”这一事件，由于 N ＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件 N 由 3 个基本事件组成， 3 1 1 5 所以 P( N )＝ ＝ ，由对立事件的概率公式得：P(N)＝1－P( N )＝1－ ＝ . 18 6 6 6
y＝kx， 解析：设双曲线的一条渐近线方程为 y＝kx，由题可知这条直线与抛物线 y＝x2＋1 相切，联立 整 2 y＝x ＋1.
理得 x2－kx＋1＝0，则 Δ＝k2－4＝0， b c 解得 k＝± 2，即 ＝2，故双曲线的离心率 e＝ ＝ a a c2 ＝ a2 a2＋b2 ＝ a2 b 1＋ 2＝ 5. a
《圆锥曲线》练习题
x2 y2 4 19 1．椭圆 ＋ ＝1 的离心率为 ，则 k 的值为________．－ 或 21 9 4＋k 5 25 5－k 4 c 4 19 解析： 若 a2＝9，b2＝4＋k，则 c＝ 5－k，由 ＝ ，即 ＝ ，得 k＝－ ； a 5 3 5 25 k－5 4 c 4 若 a2＝4＋k，b2＝9，则 c＝ k－5，由 ＝ ，即 ＝ ，解得 k＝21. a 5 4＋k 5 2．椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离 x2 y2 y2 x2 是 3，则这个椭圆方程为________． ＋ ＝1 或 ＋ ＝1 12 9 12 9 x2 y2 3、椭圆 Γ： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个 a b 交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________． 3－1 解析:直线 y＝ 3(x＋c)过点 F1，且倾斜角为 60° ，所以∠MF1F2＝60° ，从而∠MF2F1＝30° ，所以 MF1⊥MF2. 2c 2c 在 Rt△MF1F2 中，|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c，所以该椭圆的离心率 e＝ ＝ ＝ 3－1. 2a c＋ 3c 4 ．椭圆 4x 9 y 144内有一点 P （ 3 ， 2 ）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为
2 2
__________． 2 x 3 y 12 0
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x2 y 2 5.已知椭圆 2 2 1 (a b 0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，点 B 在椭圆上，且 BF x 轴， 直线 AB 交 y a b 1 轴于点 P ．若 AP 2 PB ，则椭圆的离心率是 _______． 2 2 2 1 x y 1 上有 n 个不同的点: P1 , P2 ,.... Pn , ,椭圆的右焦点为 F ,数列 {| Pn F |} 是公差大于 6．椭圆 的等差数 100 4 3 2 1 列,则 n 的最大值为___ . a c a c (n 1)d 即 n 1 ,又因为 d ,解得 n 201 . d 100
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解析 线性回归方程为y ＝1.5x＋45 经过点( x ， y )，由 x ＝9，知 y ＝58.5. 9．若 a1，a2，„，a20 这 20 个数据的平均数为 x ，方差为 0.21，则 a1，a2，„，a20， x 这 21 个数据的方 差为________．0.2 π π 1 1 10．在区间 －2，2上随机取一个数 x，cos x 的值介于 0 到2之间的概率为________．3
x2 y2 9．已知双曲线 2－ 2＝1 与直线 y＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为____________．( 5，＋∞) a b b b 解析： ∵双曲线的一条渐近线方程为 y＝ x，则由题意得 ＞2， a a c ∴e＝ ＝ a b2 1＋ a ＞ 1＋4＝ 5.
x2 y2 10. 如图所示，F1，F2 是双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点 O 为圆心，|OF1|为半径的圆与 a b 该双曲线左支的两个交点分别为 A，B，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________． 3＋1 解析：连结 AF1，依题意得 AF1⊥AF2，∠AF2F1＝30° ，|AF1|＝c，|AF2|＝ 3c，因此该双曲线的离心率 e＝ |F1F2| 2c ＝ ＝ 3＋1. |AF2|－|AF1| 3c－c x2 y2 11．已知 F1，F2 分别是双曲线 2－ 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与双曲 a b 线的左、右两支分别交于 A，B 两点．若△ABF2 是等边三角形，则该双曲线的离心率为 ________． 7 解析：如图，由双曲线定义得，|BF1|－|BF2|＝|AF2|－|AF1|＝2a，因为△ABF2 是正三角 形，所以|BF2|＝|AF2|＝|AB|，因此|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，且∠F1AF2＝120° ，在△F1AF2 1 中，4c2＝4a2＋16a2＋2×2a×4a× ＝28a2，所以 e＝ 7. 2 12．(2013· 新课标卷Ⅱ)设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF|＝5. 若以 MF 为直径的圆过点(0,2)，则 C 的方程为___________．y2＝4x 或 y2＝16x