八年级数学下册第2章四边形2.6菱形第1课时习题课件新版湘教版
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八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质教学课件新版湘教版
【解析】连结AC，与BD相交于点O， 因为四边形ABCD是菱形, 所以AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO. 当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形. 所以AC=AD=AB=40. 当∠ADC=120°时， ∠ADO=60°，∠OAD=30°,又AD=40,所以OD=20.
通过本课时的学习，需要我们 1.掌握菱形的定义、性质. 2.会利用菱形的对角线求菱形的面积. 3.会应用菱形的知识解决有关计算和证明的问题.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出 一个菱形的纸片？
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
已知四边形ABCD是菱形
1.图中有哪些相等的线段？ 2.图中有哪些相等的角？ 3.图中有哪些等腰三角形？ 4.图中有哪些直角三角形？
A 12
两条对角线的平方和为（ ）
(A)16
(B)8
(C)4
(D)1
【解析】选A.设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱
形对角线互相垂直且平分，则 ( a )2 +( b )2 =22,
22
即a2+b2=16.
【解析】
【解析】
4.如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、 CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( ) （A）2 3 （B）3 3 （C）4 3 （D）3
（5）菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线
平分一组对角.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. A
D
求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；
BD平分∠ABC和∠边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，AC平分 所以AB=AD（菱形的四条边都相等）∠同B理A：D，AC平分∠BCD；BD平分
八年级数学下册第2章四边形2.6菱形教案(新版)湘教版
2.6.1 菱形的性质学习目标：1．掌握菱形的定义，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算.3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图渗透集合思想．学习重点：菱形的性质1、2．学习难点：菱形的性质及菱形知识的综合运用．学习内容：一、忆一忆1．什么叫平行四边形？2、什么叫矩形？3、平行四边形和矩形之间的关系是什么？二、探一探1．我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看下面的演示：改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形的定义．2. 菱形的定义：．【强调】菱形：（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．3．阅读教材探究：菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中哪些线段或角相等？4．菱形的性质1：菱形的性质2：菱形性质1证明：菱形性质2证明：5. （阅读教材上面一段内容）比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线你会发现什么？你能利用菱形的对角线求菱形的面积吗？如果菱形的两条对角线的长分别是a和b，计算菱形的面积S.三、练一练1.教材练习1，2.2. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．四、反馈：1．若一个菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．2．已知一个菱形的两条对角线的长分别是6 cm和8 cm ，求此菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20 m，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形ABCD对角线的长和面积．4．已知：如图，在菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．5．在菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高．6．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线AC的长为10cm.求：（1）对角线BD的长度；（2）菱形ABCD的面积．五、课后反思：A CB D2.6.2 菱形的判定学习目标：1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2．在菱形的判定方法的探索与综合运用中，培养观察能力、动手能力及逻辑思维能力．学习重点：菱形的两个判定方法．学习难点：判定方法的证明及运用．学习内容：一、忆一忆1．菱形的定义：2．菱形的性质1：3．菱形的性质2：4．运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备哪些条件？5．两张宽度相等的纸条，交叉在一起，重叠部分的图形是什么图形？6．要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其他的判定方法吗？二、试一试1．【探究】（教材的动脑筋）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，在四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．这个四边形是什么四边形？转动木条，什么时候这个四边形可变成菱形？2．通过演示，容易得到：菱形的判定方法1：是菱形．3．证明菱形的判定方法1：4．菱形判定方法2: 是菱形．5．证明菱形的判定方法2：6．你能归纳出菱形常用的判定方法吗？三、做一做1．已知：如图,ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．2.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，EH⊥AB于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．四．课后反思：。
八年级数学下册 第2章 四边形2.6 菱形 2.6.1菱形的性质习题课件 (新版)湘教版
一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于
点F,则阴影部分的面积是
.
【解析】由条件知PE∥BC，PF∥CD，可得PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF为平行四边形，这样容易得到S△POF＝S△AOE，
∴S阴影＝S△ABC＝
1 2
S菱形ABCD
1 1 AC 22
OA=OC;菱形的对角线不一定相等.
2.(2013·本溪中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=
2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,AC,AF,则
图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.先由菱形的性质得出AD∥BC,由平行线的性质得
【解析】选A.过P作PE⊥OM,∵顶点P的坐标 是(3,4),∴OE=3,PE=4,∴OP=5,∵四边形 MNPO是菱形,∴OM=OP=5,∴点M的坐标为 (5,0),过点N作NF⊥OM于点F,则△POE≌△NMF, ∴MF=OE=3,∴OF=5+3=8,∴点N的坐标为(8,4).
4.如图,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上任
【思路点拨】连接AC→菱形的性质→∠BAC=∠DAC→ △ACE≌△ACF→AE=AF
【自主解答】连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC. 在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF. ∴AE=AF.
知识点 2 菱形的有关计算 【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度数. (2)求对角线AC的长. (3)求菱形ABCD的面积.
八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质习题课件新版湘教版
第九页，编辑于星期六：八点 分。
知识点 2 菱形的有关计算 【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度数. (2)求对角线AC的长. (3)求菱形ABCD的面积.
第十页，编辑于星期六：八点 分。
【思路点拨】(1)连接BD,先判断△ABD的形状,再求∠ABC的度数. (2)先求BO的长,再由勾股定理计算AO的长,进而得AC的长. (3)由菱形的面积等于两对角线长乘积的一半,求菱形ABCD的面积. 【自主解答】(1)连接BD,交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形 ,∴AD=AB.∵E是AB的中点,且DE⊥AB,∴AD=BD,∴△ABD是等边三角形
2.(2013·扬州中考)如图,在菱形ABCD中,
∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC
于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )
A.50° B.60°
C.70°
D.80°
第二十六页，编辑于星期六：八点 分。
【解析】选B.如图,连接BF,∵在菱形ABCD中,∠BAD=80°,
∴∠FAB=∠DCF=40°,∵EF垂直平分AB,∴AF=BF,则∠FAB=
1.边、角之间的关系,可以将问题转化到全等三角形中,进行有关边
、角的位置或数量关系的证明、计算.
2.对角线的性质,可以将问题转化到直角三角形或等腰三角形中,
进行有关边角的证明、计算. 3.菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形,两对全等的等腰 三角形,常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行有关角的证明、计算, 有时也与角平分线的性质结合解题.
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
【解析】选B.菱形的对边平行且相等,所以AB∥DC;菱形的对角线一定
知识点 2 菱形的有关计算 【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度数. (2)求对角线AC的长. (3)求菱形ABCD的面积.
第十页，编辑于星期六：八点 分。
【思路点拨】(1)连接BD,先判断△ABD的形状,再求∠ABC的度数. (2)先求BO的长,再由勾股定理计算AO的长,进而得AC的长. (3)由菱形的面积等于两对角线长乘积的一半,求菱形ABCD的面积. 【自主解答】(1)连接BD,交AC于点O.∵四边形ABCD是菱形 ,∴AD=AB.∵E是AB的中点,且DE⊥AB,∴AD=BD,∴△ABD是等边三角形
2.(2013·扬州中考)如图,在菱形ABCD中,
∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC
于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于( )
A.50° B.60°
C.70°
D.80°
第二十六页，编辑于星期六：八点 分。
【解析】选B.如图,连接BF,∵在菱形ABCD中,∠BAD=80°,
∴∠FAB=∠DCF=40°,∵EF垂直平分AB,∴AF=BF,则∠FAB=
1.边、角之间的关系,可以将问题转化到全等三角形中,进行有关边
、角的位置或数量关系的证明、计算.
2.对角线的性质,可以将问题转化到直角三角形或等腰三角形中,
进行有关边角的证明、计算. 3.菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形,两对全等的等腰 三角形,常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行有关角的证明、计算, 有时也与角平分线的性质结合解题.
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
【解析】选B.菱形的对边平行且相等,所以AB∥DC;菱形的对角线一定
湘教版八年级数学下册第二章《菱形》精品课件
y
D
C
A
O
B Ex
今天你学到了什么
1、进一步熟练了菱形的判定方法； 2、能灵活得看待每一个题目，学会一题多证， 一题多解； 3、利用所学知识，会解决生活中的实际问题。
课后思考：
如图， □ ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC= 5 ,对角线AC、BD相 交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F. （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保留持相等； （3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请 说明理由；如果能，试说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转 的度数。
在Rt△AEB中
AE2+BE2=AB2
∴62+x2=(2x)2
∴x= 2 3厘米
∴BE= 2 3厘米
43
BC=AB=4 3厘米
∴S菱形ABCD=BC·AE= 24 3平方厘米
例2、已知：如图（1）, □ ABCD的对角线AC的
垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形
AE DAEDOOB
F
C
BF
C
思考：（1）
（2）
如图（2），若将例2中的“□ ABCD”改成“矩形
ABCD”，其他条件不变，若AB=4厘米，BC=8厘米，求四边形
AFCE的面积。
例3、如图，将一张边长为4的菱形纸片ABCD固定
在一个建立了平面直角坐标系的木板上，A，B在x轴 上，D在y轴的正半轴上，C在第一象限， ∠BAD=60° 。 （1）求A、B、C、D的坐标； （2）求过B、C两点的直线的解析式。
_____(_2_)__(3_ ) (4)
D
C
A
O
B Ex
今天你学到了什么
1、进一步熟练了菱形的判定方法； 2、能灵活得看待每一个题目，学会一题多证， 一题多解； 3、利用所学知识，会解决生活中的实际问题。
课后思考：
如图， □ ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC= 5 ,对角线AC、BD相 交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F. （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保留持相等； （3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请 说明理由；如果能，试说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转 的度数。
在Rt△AEB中
AE2+BE2=AB2
∴62+x2=(2x)2
∴x= 2 3厘米
∴BE= 2 3厘米
43
BC=AB=4 3厘米
∴S菱形ABCD=BC·AE= 24 3平方厘米
例2、已知：如图（1）, □ ABCD的对角线AC的
垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形
AE DAEDOOB
F
C
BF
C
思考：（1）
（2）
如图（2），若将例2中的“□ ABCD”改成“矩形
ABCD”，其他条件不变，若AB=4厘米，BC=8厘米，求四边形
AFCE的面积。
例3、如图，将一张边长为4的菱形纸片ABCD固定
在一个建立了平面直角坐标系的木板上，A，B在x轴 上，D在y轴的正半轴上，C在第一象限， ∠BAD=60° 。 （1）求A、B、C、D的坐标； （2）求过B、C两点的直线的解析式。
_____(_2_)__(3_ ) (4)
湘教版初中数学八年级下册2.6.1菱形的性质(共26张PPT)
新知讲解
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD
直角三角形有： Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有：
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
新知讲解
议一议
A
菱形
B
O
D
E C
S菱形=BC· AE
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
2个公式：
3个特性： 特在“边、对角线、对称性”
巩固提升
5、如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱 形的纸片？
将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下， 打开即可，你知道其中的道理吗？
巩固提升
A
B
D
C
将长方形纸片对折，再对折，折痕是四边形的对角线 BD，AC，因为对折，AC⊥BD，所以四边形ABCD 是菱形。
课堂小结
1个定义：
A.3.5
B.4
C.7
D.14
巩固提升
3.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD， 垂足分别为点E，F，连接EF，则△AEF的面积是__________.
巩固提升
4.如图，将菱形纸片ABCD折叠.使点A恰好落在菱形的对称中 心O处，折痕为EF.若菱形ABCD的边长为2 cm，∠A＝120°， 则EF＝__________cm.
解：∵四边形ABC=OD
B
AC⊥BD
∵Rt△AOB中OB2+OA2=AB2 ∴OB=3cm
AB=5cm，AO=4cm
∴BD=2OB=6cm AC=2OA=8cm
巩固提升
湘教版八年级数学下册第二章《菱形》精品课件
A
F
D
OBຫໍສະໝຸດ ECyD
C
A
O
B Ex
今天你学到了什么
1、进一步熟练了菱形的判定方法； 2、能灵活得看待每一个题目，学会一题多证， 一题多解； 3、利用所学知识，会解决生活中的实际问题。
课后思考：
如图， □ ABCD中，AB⊥AC,AB=1,BC= 5 ,对角线AC、BD相 交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F. （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保留持相等； （3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请 说明理由；如果能，试说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转 的度数。
2.6菱形
四边形
两组对边分别平行或相等
一组对边平行且相等 两组对角分别相等
平行四边形
对角线互相平分
菱形
1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件： （1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分 ∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有
∴x= 2 3厘米
∴BE= 2 3厘米
43
BC=AB=4 3厘米
∴S菱形ABCD=BC·AE= 24 3平方厘米
例2、已知：如图（1）, □ ABCD的对角线AC的
垂直平分线与边AD，BC分别交于E，F． 求证：四边形AFCE是菱形
A
E D
A
ED
O
O
B
F
C
BF
C
思考：（1）
（2）
如图（2），若将例2中的“□ ABCD”改成“矩形
湘教版八年级下册数学第2章 四边形 菱形的性质(1)
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得，BO＝ 3，∴OD＝ 3， ∴BD＝2 3. 易知 EF⊥AC，EF 平分 AO. ∵AC⊥BD，∴EF∥BD， 易得点 E，F 分别为 AB，AD 的中点， ∴EF 为△ABD 的中位线，∴EF＝12BD＝12×2 3＝ 3. 【答案】 3
12.【中考·柳州】如图，四边形ABCD是菱形，对角线 AC，BD相交于点O，且AB＝2.
4．【中考·绥化】如图，四边形ABCD是菱形，E，F 分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABE和 △ADF一定全等的条件是( )
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF
【点拨】由菱形的性质可知AB＝AD，∠B＝∠D，因 此△ABE与△ADF已具备了一边一角相等．A选项可 用“ASA”判定全等；B选项与D选项均可用“SAS”判定 全等．C选项是“边边角”，不能判定两个三角形全 等．故选C.
A．8BA．7 C．4D．3
2．【中考·荆门】如图，在菱形ABCD中，E，F分别 是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周 长为( )
A．20B．C30 C．40D．50
3．【中考·无锡】下列结论中，矩形具有而菱形不一 定具有的性质是( ) C
A．内角和为360° B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角线互相垂直
根据勾股定理得 BO＝ 3a，
∴BD＝2
3a，
∴BADC＝
3 3.
【答案】D
6．【中考·龙东】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH， 若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为( )
A．72B．24C．48D．96
【点拨】∵四边形 ABCD 是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
2024八年级数学下册第2章四边形2.6菱形课件新版湘教版
解题秘方： (1)按照垂直平分线的作法作 图即可； (2)证明△ DEO ≌△ BFO，得到 DE=BF， 根据垂直平分线的性质证四 边相等即可 .
感悟新知
技巧点拨 判定菱形的方法：
知2－练
(1)若用边进行判定： 先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相
等，或直接证明四边形的四条边都相等； (2)若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边
答案： 64
感悟新知
知识点 2 菱形的判定
1. 判定定理 1: 四边都相等的四边形是菱形 . 数学语言： 如图2.6 － 4， 在四边形 ABCD 中， ∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形 ABCD 是菱形 .
知2－讲
感悟新知
2. 判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 数学语言： 如图 2.6 － 4，在▱ ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ▱ABCD 是菱形 .
形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形
的对角线互相垂直平分.
感悟新知
知2－练
(1)作对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD， BC， BD于点 E， F， O(尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹)；
解： 如图 2.6－6，直线 EF 即为所求 .
感悟新知
(2)连接 BE， DF．求证：四边形 BEDF 为菱形 . 知2－练 证明： ∵ EF 垂直平分 BD， ∴ DO=BO， BE=DE， BF=DF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC， ∴∠ DEO= ∠ BFO，∠ EDO= ∠ FBO， ∴△ DEO ≌△ BFO(AAS)， ∴ DE=BF，∴ BE=DE=BF=DF， ∴四边形 BEDF 是菱形．
知1－练
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA=OC. ∵点 E 是边 AB 的中点，∴ OE 是△ ABC 的中位线， ∴ BC=2OE=2×6=12. 答案： 12
感悟新知
技巧点拨 判定菱形的方法：
知2－练
(1)若用边进行判定： 先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相
等，或直接证明四边形的四条边都相等； (2)若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边
答案： 64
感悟新知
知识点 2 菱形的判定
1. 判定定理 1: 四边都相等的四边形是菱形 . 数学语言： 如图2.6 － 4， 在四边形 ABCD 中， ∵ AB=BC=CD=DA， ∴四边形 ABCD 是菱形 .
知2－讲
感悟新知
2. 判定定理 2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 数学语言： 如图 2.6 － 4，在▱ ABCD 中， ∵ AC ⊥ BD， ∴ ▱ABCD 是菱形 .
形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形
的对角线互相垂直平分.
感悟新知
知2－练
(1)作对角线 BD 的垂直平分线，分别交 AD， BC， BD于点 E， F， O(尺规作图，不写作法，保留作图 痕迹)；
解： 如图 2.6－6，直线 EF 即为所求 .
感悟新知
(2)连接 BE， DF．求证：四边形 BEDF 为菱形 . 知2－练 证明： ∵ EF 垂直平分 BD， ∴ DO=BO， BE=DE， BF=DF． ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD ∥ BC， ∴∠ DEO= ∠ BFO，∠ EDO= ∠ FBO， ∴△ DEO ≌△ BFO(AAS)， ∴ DE=BF，∴ BE=DE=BF=DF， ∴四边形 BEDF 是菱形．
知1－练
解：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ OA=OC. ∵点 E 是边 AB 的中点，∴ OE 是△ ABC 的中位线， ∴ BC=2OE=2×6=12. 答案： 12
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