2015届高考数学(理)考点巩固训练：32 一元二次不等式及其解法
2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成 立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
数m的取值范围是( )
ax2+bx+c>0 (a&g2} ______
{x|x1<x<x2} ___________
R __
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先 根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
第二节 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的定义 2 的不等式叫做一 只含有一个未知数且未知数的最高次数是__ 元二次不等式.
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 表
判别式 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图 象
Δ >0
Δ =0
Δ <0
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1， 所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1， 即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1， 即a=1时，原不等式的解集为 ； a 1 (ⅲ)当 1， 即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
一元二次不等式及其解法(高考题)
一元二次不等式及其解法链接高考1.(2016浙江杭州中学期中,★☆☆)下列不等式中,与不等式<2解集相同的是()A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.(x+8)<2(x2+2x+3)C.<D.>2.(2015天津南开中学月考,★☆☆)不等式≥2的解集是()A. B. C.∪(1,3] D.∪(1,3]3.(2013江西,6,5分,★☆☆)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)4.(2012重庆,2,5分,★☆☆)不等式≤0的解集为()A. B. C.∪[1,+∞) D.∪[1,+∞)5.(2012江西,11,5分,★☆☆)不等式>0的解集是________.6.(2015课标Ⅱ,1,5分,★★☆)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}7.(2015山东,1,5分,★★☆)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)8.(2015浙江,1,5分,★★☆)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]9.(2014课标Ⅰ,11,5分,★★☆)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)10.(2016河北石家庄一中期中,★★☆)若不等式x2+2x+2>|a-2|对于一切实数x 均成立,则实数a的取值范围是________.11.(2012福建,15,4分,★★☆)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.12.(2015辽宁大连期末,★★☆)已知f(x)=ax2+x-a.(1)若函数f(x)有最大值,求实数a的值;(2)若不等式f(x)>-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.三年模拟1.(2016四川雅安中学月考,★☆☆)不等式-x2+3x+4<0的解集为()A.{x|-1<x<4}B.{x|x>4或x<-1}C.{x|x>1或x<-4}D.{x|-4<x<1}2.(2016河南洛阳统考,★☆☆)已知集合A={x|x2<2-x},B={x|-1<x<2},则A∪B=()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-1,2)D.(-2,1)3.(2016 宁夏银川一中月考,★☆☆)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是()A.{x|-1<x<1}B.{x|x<1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<1且x≠-1}4.(2016福建师大附中模块考试,★★☆)若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实根小于-1,另一个实根大于1,则实数m的取值范围是()A.(-,)B.(-2,0)C.(-2,1)D.(0,1)5.(2015山东日照一中校际联检,★☆☆)在R上定义运算:x*y=x(1-y).若关于x 的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,-1)∪(-1,0]C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]6.(2015河北“五个一名校联盟”质检,★☆☆)设集合M={x|x2+2x-15<0},N={x|x2+6x-7≥0},则M∩N=()A.(-5,1]B.[1,3)C.[-7,3)D.(-5,3)7.(2016四川雅安中学月考,★☆☆)一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则一元一次不等式ax+b<0的解集为________.8.(2015广东广州模拟,★☆☆)不等式x2-2x-3<0的解集是________.9.(2016山东潍坊一中月考,★☆☆)已知集合B=,C={x|a<x<a+1}.若B∪C=B,求实数a的取值范围.10..(2015天津南开中学月考,★★☆)解关于x的不等式>0(a∈R).。
山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测35一元二次不等式及其解法 Word版含解析
课时限时检测(三十五) 一元二次不等式及其解法(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 不等式2x 2＋x －1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12或x <－1，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12，故选A.【答案】 A2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a ＜0，不等式x 2－bx －a ＜0可化为1a x 2－ba x －1＞0， 即－16x 2＋56x －1＞0，解得2＜x ＜3 . 【答案】 A3．(2013·湖北高考)已知全集为R ，集合A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝ ⎛12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝ ⎛12x≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，所以A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．【答案】 C4．(2014·中山模拟)若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 【解析】 由Δ＝a 2＋8＞0知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (1)f (5)≤0，解得－235≤a ≤1.故选B.【答案】 B5．(2014·郑州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[，5＋∞)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．[－2,5]【解析】 因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所地要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.【答案】 A6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)【解析】 (1)当x ＜0时，f (x )＝x ＋6＞3， 则－3＜x ＜0.(2)当x ≥0时，x 2－4x ＋6＞3⇔(x －1)(x －3)＞0， 解之得，x ＞3或0≤x ＜1.由(1)、(2)知，f (x )＞3的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为________．【解析】 方程x 2＋x －2＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1，故不等式x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)．【答案】 (－2,1) 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是{x |x ＜－1或x ＞－12}，则实数a ＝________.【解析】 ax －1x ＋1＜0⇔(x ＋1)(ax －1)＜0，依题意，a ＜0且1a ＝－12. ∴a ＝－2. 【答案】 －29．(2014·黄冈模拟)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为________．【解析】 不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a ＜0，即a 2－a ＜0，解得0＜a ＜1，所以不等式at 2＋2t －3＜1转化为t 2＋2t －3＞0，解得t ＜－3或t ＞1. 【答案】 {t |t ＜－3或t ＞1}三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＜0(a ∈R)． 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)＜0，(1)当a ＝a 2即a ＝0或a ＝1时，原不等式变为x 2＜0或(x －1)2＜0，解集为∅； (2)当a ＞a 2即0＜a ＜1时，解集为{x |a 2＜x ＜a }； (3)当a 2＞a 即a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 综上得：原不等式的解集为： 当a ＝0或a ＝1时，为∅； 当0＜a ＜1时，为{x |a 2＜x ＜a }； 当a ＜0或a ＞1时，为{x |a ＜x ＜a 2}．11．(12分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入(万元)R (x )满足R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x ＞5.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？ 【解】 依题意得G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )， 则f (x )＝R (x )－G (x )，所以f (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x ＞5.(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0， 因为f (x )＞0∴⎩⎨⎧ 0≤x ≤5，－0.4x 2＋3.2x －2.8＞0或⎩⎨⎧x ＞5，8.2－x ＞0. ∴⎩⎨⎧0≤x ≤5，x 2－8x ＋7＜0或5＜x ＜8.2. ∴1＜x ≤5或5＜x ＜8.2，即1＜x ＜8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内． (2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6. 而当x ＞5时，f (x )＜8.2－5＝3.2所以当工厂生产400台产品时，盈利最大， 此时，R (4)4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)． 即每台产品的售价为240元．12．(13分)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．【解】 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1＞0恒成立．(2)若x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.∴g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减． ∴g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4.(3)若x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≤3x 2－1x 3. 设h (x )＝3x 2－1x 3， 则h ′(x )＝3(1－2x )x 4， ∴h (x )在[－1,0)上单调递增．∴h(x)min＝h(－1)＝4，从而a≤4. 综上所述，实数a的值为4.。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：不 等 式 一元二次不等式及其解法(含答案)
第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法1. 若不等式(m ＋1)x 2－(m ＋1)x ＋3(m －1)<0对一切实数x 均成立、则m 的取值范围为________。
答案：(－∞、－1]解析：当m ＋1＝0、即m ＝－1时、不等式变为－6<0恒成立；当m ＋1≠0时、由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝（m ＋1）2－12（m ＋1）（m －1）<0，解不等式组得m<－1、从而知m ≤－1. 2. 不等式x>1x的解集为 ________.答案：(－1、0)∪(1、＋∞)解析：∵ x －1x >0、∴ x 2－1x>0、∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x<0， ∴ 解集为{x|x>1或－1<x<0}。
3. 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1、m)、则实数m ＝________ . 答案：2解析：由题意易知1、m 为ax 2－6x ＋a 2＝0的根且a ＞0、m ＞1、∴ a ＝2、m ＝2. 4. 已知集合A ＝{x|x 2－3x －4>0}、B ＝{x||x －3|>4}、则A ∩(∁R B)＝________。
答案：(4、7]解析：A ＝{x|x<－1或x>4}、B ＝{x|x<－1或x>7}、∁R B ＝{x|－1≤x ≤7}、A ∩(∁R B)＝(4、7]。
5. 当x ∈(1、3)时、不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立、则m 的取值范围是________。
答案：(－∞、－5]解析：(解法1)设f(x)＝x 2＋mx ＋4或不等式x 2＋mx ＋4＜0在x ∈(1、3)时恒成立、则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （3）≤0，解得m ≤－5. (解法2)m<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在x ∈(1、3)恒成立、故m ≤－5. 6. 不等式x(x －a ＋1)>a 的解集是{x|x<－1或x>a}、则实数a 的取值范围是________。
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题7.2 一元二次不等式及解法含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第二节 一元二次不等式及解法一、选择题1. 【2014·潍坊质检】不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2.【2014·湖北八校联考】“01a <<”是“2210ax ax >＋＋的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4. 若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]【答案】C【解析】函数图像恒在x 轴上方，即不等式22(45)41)30(a a x a x >＋－－－＋对于一切x ∈R 恒成立．5. 如果关于x 的不等式250x a ≤－的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a <125B ．80<a <125C ．a <80D ．a >1256.【2014莆田二模】不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)7.【2014厦门模拟】若不等式20ax bx c >＋＋的解集是(－4,1)，则不等式2()(13)0b x a x c >－＋＋＋的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－43，1 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】 A8. 若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 69. 设2()1f x x bx =++,且(1)(3),f f -=则()0f x >的解集是 ( ) A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B.R C.{}|1x x ≠ D.{}|1x x = 【答案】C【解析】由(1)(3)f f -=得11931b b -+=++,即2b =-.∴2()210f x x x =-+>,解得1x ≠.10. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．12t ≤-或0t =或12t ≥ D ．2t ≤-或0t =或2t ≥当t ＜0时，不等式可化为：t2+2t+1≥1，解得t ≤-2； 综上满足条件的t 的范围是（-∞．-2]∪{0}∪[2， +∞）． 二、填空题11. 若关于x 的不等式1420xx a ≥＋－－在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．12. 已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13. 已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .【答案】3(,]2-∞【解析】因为，⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解3(,]2-∞三、解答题14.【2014日照模拟】已知函数R.(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式220x x a a <－－－.15. 已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈（1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围.16. 已知不等式012<--mx mx ．（1）若对R x ∈∀不等式恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对]3,1[∈∀x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对满足2||≤m 的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．。
2015高考数学二轮复习热点题型专题三十六 一元二次不等式及其解法
专题三十六 一元二次不等式及其解法【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【热点题型】题型一 一元二次不等式的解集 例1、不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2.－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)解析：∵(x －1)(x －2)<0∴1<x <2， 即不等式的解集为(1,2)． 答案：D 【提分秘籍】1．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先需将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．2．由二次函数图象与一元二次不等式的关系，可以得到两个常用的结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧ a >0Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ<0.【举一反三】已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【热点题型】题型二 一元二次不等式的解法 例2、 (1)不等式x －12x ＋1≥0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(2013年高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【提分秘籍】 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．【热点题型】题型三含参数的一元二次不等式的解法例3、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．提示：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．【举一反三】解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.【热点题型】题型四一元二次不等式的应用例4、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【提分秘籍】解不等式应用题，一般可按如下四步进行(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题． 【举一反三】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系，s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【高考风向标】1．（2014·全国卷）设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4)C ．[－1，0)D ．(－1，0] 【答案】B【解析】因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．2．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}4．（2013·广东卷）不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 【答案】{x|－2<x<1}【解析】x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1.故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 5．（2013·四川卷）已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．【答案】(－7，3)【解析】当x ＋2≥0时，f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4(x ＋2)＝x 2－4，由f(x ＋2)＜5，得x 2－4＜5，即x 2＜9，解得－3＜x ＜3，又x ＋2≥0，故－2≤x ＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，于是－7＜x ＜－2也满足不等式．6．(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【随堂巩固】1．不等式x －2x 2－1＜0的解集为( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |x ＜2且x ≠1}C ．{x |－1＜x ＜2且x ≠1}D ．{x |x ＜－1或1＜x ＜2}2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)3．不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ≥0B ．x <0或x >2C ．x <－12D ．x ≤－12或x ≥3解析：原不等式等价于(2x ＋1)(x －3)≥0，解得x ≤－12或x ≥3，根据题意，该解集为选项中集合的真子集，因此选B.答案：B4．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－35或a >1 B ．－35<a <1C ．－35<a ≤1或a ＝－1D ．－35<a ≤15．已知命题p ：存在x ∈R ，使得mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，均有x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤26．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是[2,3]，则a ＋b ＝( )A ．1B ． 2C ．4D ．87．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则不等式f (x －1)<|x |的解集为________．9．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]恒成立，求实常数λ的取值范围．解析：由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max＝12， ∴x ≥12或x ≤－1，又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．11．一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？所以当日产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．12．已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。
当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。
2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。
3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。
3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。
对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。
例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。
例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。
例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。
又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。
2015届高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(三十六) 一元二次不等式及其解法第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．33．(2014·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]5．(2013·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．8．(2013·广州调研)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．第Ⅱ组：重点选做题1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]2．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 原不等式可化为－x 2＋4x x －2≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)(x －2)≥0，x －2≠0. 由标根法知，0≤x <2或x ≥4.2．选A 由题意得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.3．选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．4．选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]5．选B 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－235，1. 6．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，328．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2<1，b >1无解．综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m <67.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 10．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .第Ⅱ组：重点选做题1．选C 函数图像恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0. 解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19.2．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0， 解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练6-2《一元二次不等式及其解法》
1. [2014·许昌模拟]若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab ＝( ) A ．－28B ．－26C ．28D ．26解析：∵－b a ＝－74，－2a ＝－12， ∴a ＝4，b ＝7，ab ＝28.选C 项．答案：C2. [2014·皖南八校联考]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [－1,4]B. (－∞，－2]∪[5，＋∞)C. (－∞，－1]∪[4，＋∞)D. [－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.答案：A3. [2013·浙江高考]已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A. a >0,4a ＋b ＝0B. a <0,4a ＋b ＝0C. a >0,2a ＋b ＝0D. a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)，∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ，∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A.答案：A4. [2014·大连模拟]若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．解析：由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)5. [2013·天津调研]设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 即(1m 2－4m 2)≤(－3x 2－2x＋1)min ， 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 答案：(－∞，－32]∪[32，＋∞)。
一元二次不等式及其解法 专题练习(含参考答案)
数学31 一元二次不等式及其解法一、选择题1．(2018·广西南宁摸底联考)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( ) A ． [－1,0) B ．[－1,2) C ．(0,1]D ．[1,2)2．(2018·安徽江淮十校联考)不等式|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪(0，12)B ．(－∞，12)C ．(12，＋∞)D ．(0，12)3．(2018·内蒙古包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( )4．(2018·安徽淮北一中模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[－4，－3) C ．[－4,0)D ．(－3,4]5．(2018·四川绵阳)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( )A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元6．(2018·江西南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)7．(2018·山东临沂期中)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)8．(2018～2019山东洛阳一中月考题)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 二、填空题9．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为10．(2018·全国名校大联考)不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为 . 11．不等式－12<1x<2的解集为 .12．(2018·吉林辽源五校期末联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2，则不等式af (－2x )>0的解集是 .三、解答题13．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．14．(2018·天津红桥区期中)已知一元二次不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |1<x <3}．(1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式2x ＋ax ＋b >1.1．(2018·衡水金卷联考)已知集合M ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，N ＝{x |2x >4}，则( ) A ．M ∩N ＝{x |2<x <4} B ．M ∪N ＝R C ．M ∩N ＝{x |2<x ≤4}D ．M ∪N ＝{x |x >2}2．(2018·四川眉山中学期中)“0<m <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋m 2－1＝0有两个异号实数根”的什么条件( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．(2018·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]4．(2018·安徽淮北濉溪月考)若关于x 的不等式ax >b 的解集为(－∞，15)，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为 .5．(2018·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式，f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.【参考答案】一、选择题1．(2018·广西南宁摸底联考)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( C ) A ． [－1,0) B ．[－1,2) C ．(0,1]D ．[1,2)[解析] 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C ．2．(2018·安徽江淮十校联考)不等式|x |·(1－2x )>0的解集为( A ) A ．(－∞，0)∪(0，12)B ．(－∞，12)C ．(12，＋∞)D ．(0，12)[解析] 很明显x ≠0，则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，x ≠0，解得x <12且x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－∞，0)∪(0，12)．3．(2018·内蒙古包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( C )[解析] 由题意得⎩⎨⎧a <0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2.则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x＋2，由二次函数的图象可知选C ．4．(2018·安徽淮北一中模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( C ) A ．(0,3) B ．[－4，－3) C ．[－4,0)D ．(－3,4][解析] 由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，令f (x )＝(x ＋1)·(x －3)，则f (x )图象的对称轴是直线x ＝1，故f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，f (x )在x ＝1处取得最小值，为－4，在x ＝3处取得最大值，为0，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4,0)．5．(2018·四川绵阳)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( B )A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元[解析] 设购买的商品的标价为x 元，则(x －200)×20%>x ·10%，且(x －200)×20%>30，解得x >400，选B ．6．(2018·江西南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( A )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)[解析] 记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－(m －1)＋m 2－2<0，1＋(m －1)＋m 2－2<0，解得0<m <1.选A ． 7．(2018·山东临沂期中)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析] ∵关于x 的不等式ax －b <0的解集为(1，＋∞)，∴a <0且ba ＝1，即a ＝b ，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可转化为(x ＋1)(x －3)<0.解得－1<x <3，故选C ．8．(2018～2019山东洛阳一中月考题)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( A )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．[－2,5][解析] x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.故选A ．二、填空题9．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为__{x |－4<x <1}___. [解析] －x 2－3x ＋4>0⇔x 2＋3x －4<0⇔(x ＋4)(x －1)<0⇔－4<x <1.10．(2018·全国名校大联考)不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为__{x |－a <x <3a }___. [解析] ∵x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )·(x ＋a )<0，a >0，∴－a <3a ，则不等式的解集为{x |－a <x <3a }．11．不等式－12<1x <2的解集为 (－∞，－2)∪(12，＋∞) .[解析] 原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－12，1x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x >0，1－2x x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，x (x －12)>0，解得x <－2或x >12∴不等式的解集为(－∞，－2)∪(12，＋∞)．12．(2018·吉林辽源五校期末联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2，则不等式af (－2x )>0的解集是 (－1，12) .[解析] ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1,2，∴－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－a ，－1×2＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴f (x )＝x 2－x －2.不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －2)>0，则2x 2＋x －1<0，解集为(－1，12)．三、解答题13．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．[解析] (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.(4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.14．(2018·天津红桥区期中)已知一元二次不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |1<x <3}． (1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式2x ＋ax ＋b>1.[解析] (1)因为一元二次不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |1<x <3}，所以1和3是x 2－ax －b ＝0的两个实数根，得1＋3＝a,1×3＝－b ，即a ＝4，b ＝－3.(2)不等式2x ＋a x ＋b >1，即2x ＋4x －3>1，即x ＋7x －3>0，即(x －3)·(x ＋7)>0，解得x >3或x <－7，故原不等式的解集为{x |x >3或x <－7}．1．(2018·衡水金卷联考)已知集合M ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，N ＝{x |2x >4}，则( C ) A ．M ∩N ＝{x |2<x <4} B ．M ∪N ＝R C ．M ∩N ＝{x |2<x ≤4}D ．M ∪N ＝{x |x >2}[解析] M ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，N ＝{x |x >2}．所以M ∩N ＝{x |2<x ≤4}，M ∪N ＝{x |x ≥1}．故选C ．2．(2018·四川眉山中学期中)“0<m <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋m 2－1＝0有两个异号实数根”的什么条件( A )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要[解析] x 2＋x ＋m 2－1＝0两根异号⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4(m 2－1)>0，m 2－1<0.解得－1<m <1，∵(0,1)(－1,1)，∴“0<m <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋m 2－1＝0有两异号实根”的充分不必要条件，故选A ．3．(2018·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( C )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19][解析] 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0，解得1<a <19.综上1≤a <19.故选C ．4．(2018·安徽淮北濉溪月考)若关于x 的不等式ax >b 的解集为(－∞，15)，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为 (－1，45) .[解析] 因为关于x 的不等式ax >b 的解集为(－∞，15)，所以a <0，b a ＝15，所以不等式ax 2＋bx －45a >0可化为x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，解得－1<x <45，所以不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为(－1，45)．5．(2018·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式，f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.[解析] (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]； ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤－1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1) ＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值范闱为(1－2，＋∞)．(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)(x ＋a ＋1a )<0，因为1－(－a ＋1a )＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为{x |1<x <－a ＋1a}；当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a ，解集为{x |－a ＋1a<x <1}．。
2015届高考数学总复习 第六章 第二节一元二次不等式及其解法课时精练 理
第二节 一元二次不等式及其解法1．不等式1x≤1的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(－∞，0)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：1x ≤1⇔1－1x ＝x －1x≥0，解得x <0或x ≥1.故选C. 答案：C2．(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x ＜2}C ．{x |0≤x ＜2或x ＞4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}解析：A ＝[0，＋∞)，B ＝[2,4]，∴A ∩∁R B ＝[0,2)∪(4，＋∞)．故选C. 答案：C3．不等式x ＋5x －2≥2的解集是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，3C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]解析：由x ＋5x －2≥2得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ＋x －2，⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，－12≤x ≤3，∴x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1∪(1,3]．故选D.答案：D4．已知集合M ＝{x |log 2x ≤1}，N ＝{x |x 2－2x ≤0}，则“a ∈M ”是“a ∈N ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因M ＝{x |0<x ≤2}，N ＝{x |0≤x ≤2}，由a ∈M 可推得a ∈N ，但由a ∈N 推不出a ∈M .故选A.答案：A5．(2013·常州质检)已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－35或a ＞1B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ －35＜a ＜1C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1或a ＝－1 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪－35＜a ≤1解析：①当a ＝1时，原不等式化为－1<0，恒成立， 故a ＝1符合题意．②当a ＝－1时，原不等式化为2x －1<0，不恒成立， ∴a ＝－1不合题意．③当a 2－1≠0时，依题意，有 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＜0，Δ＝a －2＋a 2－＜0， 解得－35<a <1.综合①②③可知，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－35，1. 答案：D6．设二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，满足f (x ＋3)＝f (3－x )，则使f (x )＞c －8的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D ．(－∞，2)∪(4，＋∞)解析：∵f (x ＋3)＝f (3－x )， ∴x ＝3是y ＝f (x )的对称轴，∴－b2＝3，∴b ＝－6，∴f (x )＝x 2－6x ＋c ，∴f (x )＞c －8，即x 2－6x ＋8＞0， 解得x ＜2或x ＞4.故选D. 答案：D7．(2013·云南昆明一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥1，x 2－2x －2，x ＜1，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪[1，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)解析： f (x 0)>1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 0≥1，2x 0＋1＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＜1，x 20－2x 0－2＞1.⇔x 0≥1，或x 0<－1.答案：B8．若不等式x 2－kx ＋k －1>0对x ∈(1,2)恒成立，则实数k 的取值范围是________．解析：由x 2－kx ＋k －1>0得k (x －1)<x 2－1.∵1<x <2，∴x －1>0.∴k <x ＋1.当1<x <2时，k <x ＋1恒成立，∴k ≤2.答案：(－∞，2]9．(2013·南京师大附中月考)不等式(x ＋2)x 2－9≤0的解集为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≤0，x 2－9≥0，或x 2－9＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，x ≤－3或x ≥3或x ＝±3，即x ≤－3或x ＝3.答案：(－∞，－3]∪{3}10．(2013·四川卷)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．解析：令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x ＜5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，x 2＋4x ＜5得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．答案：{x |－7<x <3}11．(2013·珠海一模)设集合A ＝{x |x 2＜4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3. (1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b ＜0的解集为B ，求a ，b 的值．解析：(1)A ＝{x |x 2＜4}＝{x |－2＜x ＜2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜4x ＋3＝{x |－3＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜1}；(2)由题意及(1)有－3,1是方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两根∴⎩⎪⎨⎪⎧－a2＝－3＋1＝－2，b 2＝－3×1＝－3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6.12．已知f (x )是R 上的单调函数，且对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，若f (－3)＝2.(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )<0，其中m ∈R 且m >0.解析：(1)f (x )为R 上的减函数．理由如下：∵对a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立，∴f (x )是R 上的奇函数． ∴f (0)＝0.∵f (x )是R 上的单调函数，f (0)＜f (－3)＝2， ∴f (x )为R 上的减函数．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＋f (m )＜0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －x x ＜－f (m )＝f (－m )， 结合(1)得m －xx＞－m ， 整理得（1－m ）x －m x＜0.当m ＞1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞0或x ＜m1－m ； 当m ＝1时，{}x |x ＞0；当0＜m ＜1时，⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜m1－m。
高三数学一轮复习 一元二次不等式及其解法巩固与练习
巩固1．(原创题)不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．－4≤a ≤4 B ．－4<a <4 C ．a ≥4或a ≤－4 D ．a <－4或a >4解析：选D.x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16>0，∴a <－4或a >4，故选D.2．(2009年高考山东卷)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：选B.∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.3．(2010年上海市十四校高三联考)设全集为实数集R ，已知非空集合S ，P 相互关系如图所示，其中S ＝{x |x >10－a 2}， P ＝{x |5－2a <x <3a }，则实数a 的取值范围是( )A ．－5<a <2B ．1<a <2C ．1<a ≤2D ．－5≤a ≤2解析：选C.由题图可知，S ∩P ＝∅，S ≠∅，P ≠∅，从而⎩⎪⎨⎪⎧10－a 2≥3a ，3a >5－2a ，∴1<a ≤2.故选C.4．不等式0<x 2－x －2<4的解集是________．解析：原不等式相当于不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2<4， ①x 2－x －2>0. ②不等式①的解集为{x |－2<x <3}， 不等式②的解集为{x |x <－1或x >2}．因此原不等式的解集为{x |x <－1或x >2}∩{x |－2<x <3}＝{x |－2<x <－1或2<x <3}． 答案：{x |－2<x <－1或2<x <3}5．a <0时，不等式x 2－2ax －3a 2<0的解集是________．解析：∵x 2－2ax －3a 2＝0， ∴x 1＝3a ，x 2＝－a . 又a <0，∴不等式的解集为{x |3a <x <－a }． 答案：{x |3a <x <－a }6．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}，求a 的值． 解：∵不等式解集为{x |－3<x <1}， ∴1－a <0，∴a >1.令(1－a )x 2－4x ＋6＝0，则－3,1为方程的两根．代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧9(1－a )－4×(－3)＋6＝0(1－a )－4＋6＝0，∴a ＝3，满足a >1， ∴a ＝3.练习1．不等式x (x －a ＋1)>a 的解集是{x |x <－1或x >a }，则( ) A ．a ≥1 B ．a <－1 C ．a >－1 D ．a ∈R解析：选C.x (x －a ＋1)>a ⇔(x ＋1)(x －a )>0， ∵解集为{x |x <－1或x >a }，∴a >－1.2．(2009年高考天津卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A.f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选A.由于ax >b 的解集为(1，＋∞)，故有a >0且b a ＝1，又ax ＋bx －2>0⇔(ax ＋b )(x－2)＝a (x ＋1)(x －2)>0⇔(x ＋1)(x －2)>0，故不等式解集为A.4.(2009年高考安徽卷)若集合A ＝{x ||2x －1|<3}，B ＝{x |2x ＋13－x<0}，则A ∩B 是( )A ．{x |－1<x <－12或2<x <3}B ．{x |2<x <3}C ．{x |－12<x <2}D ．{x |－1<x <－12}解析：选D.∵|2x －1|<3，∴－3<2x －1<3. ∴－1<x <2.又∵2x ＋13－x<0，∴(2x ＋1)(x －3)>0，∴x >3或x <－12.∴A ∩B ＝{x |－1<x <－12}．5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤－12(x ＋1)，－1<x <11x －1，x ≥1，已知f (a )>1，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)∪(－12，＋∞)B ．(－12，12)C ．(－∞，－2)∪(－12，1)D ．(－2，－12)∪(1，＋∞)解析：选C.a ≤－1时，(a ＋1)2>1， ∴a <－2或a >0，故a <－2； －1<a <1时，2(a ＋1)>1.∴a >－12，故－12<a <1；a ≥1时，1a－1>1无解．综上，a 的取值范围是(－∞，－ 2)∪(－12，1)，故选C.6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集为 {x |－3<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析：选B.由题意可知，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，与x 轴的交点是(－3,0)，(1,0)，又y ＝f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，故只有B 符合．7．(2010年临沂模拟)若关于x 的方程x 2＋ax ＋a 2－1＝0有一正根和一负根，则a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋a 2－1，∴二次函数开口向上，若方程有一正根一负根，则只需f (0)<0，即a 2－1<0，∴－1<a <1. 答案：－1<a <18．当a >0时不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x －a ≤10≤x ＋a ≤1的解集为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ≤x ≤a ＋1－a ≤x ≤－a ＋1画数轴讨论便得．答案：当a >12时为∅；当a ＝12时为{12}；当0<a <12时为[a,1－a ]9．若不等式a <2x －x 2对于任意的x ∈[－2,3]恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由已知不等式a <－x 2＋2x 对任意x ∈[－2,3]恒成立，令f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[－2,3]，可得当x ＝－2时，f (x )min ＝f (－2)＝－(x －1)2＋1＝－8，∴实数a 的取值范围a ∈(－∞，－8)． 答案：(－∞，－8) 10．解下列不等式．(1)19x －3x 2≥6；(2)x ＋1≥2x.解：(1)法一：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0，方程3x 2－19x ＋6＝0的解为x 1＝13，x 2＝6.函数y ＝3x 2－19x ＋6的图象开口向上且与x 轴有两个交点(13，0)和(6,0)．所以原不等式的解集为{x |13≤x ≤6}．法二：原不等式可化为3x 2－19x ＋6≤0⇒(3x －1)(x －6)≤0⇒(x －13)(x －6)≤0.∴原不等式的解集为{x |13≤x ≤6}．(2)原不等式可化为x ＋1－2x ≥0⇒x 2＋x －2x≥0⇒(x ＋2)(x －1)x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)(x －1)≥0，x ≠0.如图所示，原不等式的解集为{x|-2≤x<0，或x ≥1}．11.设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围．解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. ∴－4<m ≤0.(2)当m ＝0时，f (x )＝－1<0显然恒成立；当m >0时，由于f (1)＝－1<0，要使f (x )<0在x ∈[1,3]上恒成立，只要f (3)<0即可．即9m －3m －1<0得m <16，即0<m <16；当m <0时，若Δ<0，由(1)知显然成立，此时－4<m <0；若Δ≥0，则m ≤－4，由于函数f (x )<0在x ∈[1,3]上恒成立，只要f (1)<0即可，此时f (1)＝－1<0显然成立，综上可知：m <16.12．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？解：由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.01x 2>12，0.05x ＋0.005x 2>10. 分别求解，得⎩⎪⎨⎪⎧x <－40或x >30，x <－50或x >40.由于x >0，从而可得x 甲>30 km/h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。
32不等式一元二次不等式及其解法
课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔1〕授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能: 理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；【教学重、难点】重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法．难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．【教学过程】1．课题导入从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 课本P76互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250x x -<．2．讲授新课〔1〕一元二次不等式的定义象250x x -<这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．〔2〕探究一元二次不等式的解集 怎样求不等式250x x -<的解集呢？ 探究：①二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道：二次方程的有两个实数根：120, 5x x == 二次函数有两个零点：120, 5x x ==于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点． ②观察图象，获得解集画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知：当 0x <，或5x >时，函数图象位于x 轴上方，此时，0y >，即250x x ->； 当05x <<时，函数图象位于x 轴下方，此时，0y <，即250x x -<； 所以，不等式250x x -<的解集是{}|05x x <<，从而解决了本节开始时提出的问题．〔3〕探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：20ax bx c ++>，或20ax bx c ++< (0)a >．一般地，怎样确定一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集呢？组织学生讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：①抛物线与x 轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程20ax bx c ++=的根的情况；②抛物线2y ax bx c =++的开口方向，也就是a 的符号． 总结讨论结果：①抛物线 2y ax bx c =++(0)a >与x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程20ax bx c ++=的判别式24b ac ∆=-三种取值情况(0∆>，0∆=，0∆<〕来确定．因此，要分二种情况讨论．②0a <可以转化为0a >分0∆>，0∆=，0∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<(0)a >的解集．设相应的一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两根为1212x x x x ≤、且，24b ac ∆=-，那么不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第77页的表格)0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2y ax bx c =++ (0)a >的图象一元二次方程 20ax bx c ++= 有两相异实根1212, ()x x x x <有两相等实根122bx x a ==-无实根20ax bx c ++>(0)a >的解集 {}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<(0)a >的解集{}12x xx x <<∅ ∅3．范例讲解例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集.解：因为0∆=，方程24410x x -+=的解是1212x x ==．所以，原不等式的解集是12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭．评述：此题主要熟悉最简单一元二次不等式的解法，一定要保证步骤正确，计算准确．变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)．例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->． 解：整理，得2230x x -+<.因为0∆<，方程2230x x -+=无实数解， 所以不等式2230x x -+<的解集是∅.从而，原不等式的解集是∅.评述：将2230x x -+->转化为2230x x -+<的过程注意符号的变化，这是解题关键之处，讲课要放慢速度．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+〞：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第1题 【板书设计】【教学后记】课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔1〕课前预习学案【知识准备】1．我们把 ，并且 不等式，称为一元二次不等式．2．不等式30ax +>的解集是 ．3．假设将不等式20x bx c -++>的二次项系数化为正数，那么不等式化为 ． 【预习内容】课本第76-78页．1．尝试写出课本P76三个实例对应的不等式． 2．探究方程的根与二次函数的零点的关系． 3．探究不等式250x x -<的解集． 【提出疑惑】1．不等式250x x -<与250x x ->的解集之间有什么关系？规律是什么？ 2．如何将不等式与二次函数的零点的关系？以不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点为例进行探究．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？课内探究学案【学习目标】1．理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；2．熟练准确地解节简单的一元二次不等式． 【提出问题】1．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++<(0)a >？ 2．如何解一般的一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a <？ 【合作探究】1．探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系． 2．总结其中的规律，并尝试完成课本第77页的表格0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2y ax bx c =++ (0)a >的图象一元二次方程 20ax bx c ++=无实根20ax bx c ++>(0)a >的解集2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭3．试运用上面的规律解答例题，修正已有的观念，并做对应练习进行稳固． 例1 (课本第78页)求不等式24410x x -+>的解集． 变式训练：课本第80页第1题(1)，(4)，(6)． 例2 (课本第78页)解不等式2230x x -+->．变式训练：课本第80页第1题(2)，(3)，(5) (7)．【反思总结】解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“+〞：20A ax bx c =++>(或0<) (0)a >． ②计算判别式∆，分析不等式的解的情况：ⅰ．0∆>时，求根12x x <，12120;0.A x x x A x x x ><>⎧⎪⎨<<<⎪⎩若，则或若，则ⅱ．0∆=时，求根120x x x <=，00000.A x x A x A x x >≠⎧⎪<∈∅⎨⎪≤=⎩若，则的一切实数；若，则；若，则ⅲ．0∆<时，方程无解，00.A x A x >∈⎧⎨≤∈∅⎩R 若，则；若，则③写出解集．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第1题课后练习与提高1．与不等式(3)(5)0x x +-<的解集相同的是〔 〕A ．3050x x +>⎧⎨-<⎩B ．3050x x +<⎧⎨->⎩C ．5030x x ->⎧⎨+<⎩D ．3050x x +>⎧⎨->⎩2．关于x 的不等式0ax b +>的解集为{}2x x >，那么关于x 的不等式2023ax bx x +>--的解集为〔 〕A ．{|213}x x x -<<->或B ．{|321}x x x -<<->或C ．{|123}x x x -<<>或D ．{|13}x x <-<或 3．集合{}2540A x x x =-+≤，{}2560B x x x =-+≥，那么AB =〔 〕A ．{|1234}x x x ≤≤≤≤或B ．{|1234}x x x ≤≤≤≤且C ．{1, 2, 3, 4}D ．{|4123}x x x -≤≤-≤≤或4．集合{}2320U x x x =-+≥，{}31A x x x =><或，那么U C A = ． 5．不等式2228x x ≤-<的正整数解集为 ． 6．解以下不等式① (1)(3)52x x x --<-； ② 22(11)3(1)x x x +≥+)； ③ 2(21)(3)3(2)x x x +-+＞ 答案：1．A 2．C 3．A 4．{|231}x x x≤≤=或5．{3}6．①{|24}x x x<>或；②3{|1}2x x≤≤；③∅课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔2〕授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．过程与方法：培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想．【教学重、难点】重点：熟练掌握一元二次不等式的解法难点：理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系 【教学过程】1．课题导入〔1〕一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系 〔2〕一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格 2．范例讲解例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？〔精确到0.01km/h 〕解：设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h ，根据题意，我们得到21139.520180x x +> 移项整理得：2971100x x +->显然0>△，方程2971100x x +-=有两个实数根，即1288.94, 79.94x x ≈-≈．所以不等式的解集为{}|88.94, 79.94x x x <->或．在这个实际问题中，0x >，所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.评述：注意体会三个“二次〞之间的关系． 变式训练：课本第80页练习2例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x 〔辆〕与创造的价值y 〔元〕之间有如下的关系：假设这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车，根据题意，我们得到 移项整理，得因为1000=>△，所以方程211030000x x -+=有两个实数根1250, 60x x ==． 由二次函数的图象，得不等式的解为：5060x <<．因为x 只能取正整数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59辆之间时，这家工厂能够获得6000元以上的收益．评述：教师板书图象的绘制过程，以起到示范作用． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．解：令2()28f x x x a =-+-由A B ⊆，及二次函数图象的性质可得(1)0(3)0f f ≤⎧⎨≤⎩，即12809680a a -+-≤⎧⎨-+-≤⎩，解之得95a -≤≤． 因此a 的取值范围是95a -≤≤．评述：留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系． 变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题．进一步熟练掌握一元二次不等式的解法；一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系． 【板书设计】【作业布置】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题【教学后记】课题: §3.2 一元二次不等式及其解法〔2〕课前预习学案【知识准备】1．回忆一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．2．重新复述一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格．3．如何将不等式20ax bx c ++>(0)a <进行转化？【预习内容】课本第78-79页．1．尝试解答课本P78-79两个例题．2．进一步稳固一元二次不等式的解法步骤．3．探究下面题目的解法例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．不等式250x x -<的解集．【提出疑惑】1．为什么遇到有关应用的题目就“头疼〞，如何审题？2．解容许用题需要注意些什么？课内探究学案【学习目标】1．稳固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进一步熟练解一元二次不等式的解法；2．激发自己学习数学的热情，培养不怕困难、勇于探索的精神．【提出问题】1．有关应用的题目如何审题？怎样才能顺利入手解题？需要注意点有哪些问题？2．一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >与20ax bx c ++>(0)a <的解集具有什么关系？【合作探究】1．例3 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系：21120180s x x =+． 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5m ，那么这辆汽车刹车前的速度是多少？〔精确到0.01km/h 〕探究不等式250x x -<与二次函数25y x x =-的零点之间的关系．变式训练：课本第80页练习22．例4 一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x 〔辆〕与创造的价值y 〔元〕之间有如下的关系：假设这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第5题．3．补充例5 设2{|430}A x x x =-+<，2{|280}B x x x a =-+-≤，且A B ⊆，求a 的取值范围．变式训练：课本第80页习题3.2 A 组第3题．【反思总结】1．熟练掌握一元二次不等式的解法；2．一元二次不等式与一元二次方程以及一元二次函数的关系．【完成作业】课本第80页习题3.2[A]组第4，6题课后练习与提高1．假设不等式20ax x a ++<〔0a ≠〕无解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1122a a ≤-≥或B ．12a <C ．11 22a -≤≤D ．1 2a ≥ 2．关于x 的不等式21mx mx m ++<的解集为R ，那么实数m 的取值范围是〔 〕A ．(, 0)-∞B ．4(, 0)(, )3-∞+∞ C ．(, 0]-∞ D ． 4(, 0](, )3-∞+∞ 3．(1998年上海高考题)设全集U =R ，2{|560}A x x x =-->，{||5|}B x x a =-＜ (a 是常数)，且11∈B ，那么〔 〕 A ．()U C A B =R B ．()U A C B =RC ．()()U U C A C B =RD ．A B =R4．假设2()40f x ax ax =--<恒成立，那么实数a 的取值范围是 ．5．假设210ax bx +-<的解集为{|12}x x <<－，那么a =________，b =________． 6．22()4422f x x ax a a =-+-+在区间[0, 2]上的最小值是3，求a 的值．。
015届高考数学一轮复习学案：34《一元二次不等式及其解法》(人教版)
学案34一元二次不等式及其解法导学目标： 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．自主梳理1．一元二次不等式的定义只含有一个未知数，且未知数的最高次数是____的不等式叫一元二次不等式．2．二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1,2＝－b±b2－4ac2a(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝________没有实根一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集a>0{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠____}______a<0{x|x1<x<x2}________自我检测1．(2011·广州模拟)已知p：关于x的不等式x2＋2ax－a>0的解集是R，q：－1<a<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x<0，则不等式f(x)>f(1)的解集是() A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＋b等于()A．－3 B．1 C．－1 D．34．(2011·厦门月考)已知f(x)＝ax2－x－c>0的解集为(－3,2)，则y＝f(－x)的图象是()5．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围为________________.探究点一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)－x 2＋2x －23>0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.变式迁移1 解下列不等式： (1)2x 2＋4x ＋3<0； (2)－3x 2－2x ＋8≤0； (3)8x －1≥16x 2.探究点二 含参数的一元二次不等式的解法例2 已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋a <0.变式迁移2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.探究点三 一元二次不等式恒成立问题 例3 (2011·巢湖月考)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2 (a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．变式迁移3 (1)关于x 的不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．(2)若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，试求实数x 的取值范围．转化与化归思想的应用例 (12分)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(α，β)，且0<α<β，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【答题模板】解 由已知不等式的解集为(α，β)可得a <0， ∵α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系可得⎩⎨⎧ba＝－(α＋β)<0， ①ca＝αβ>0. ②[4分]∵a <0，∴由②得c <0，[5分]则cx 2＋bx ＋a <0可化为x 2＋b c x ＋ac >0.[6分]①÷②，得b c ＝－(α＋β)αβ＝－⎝⎛⎭⎫1α＋1β<0，由②得a c ＝1αβ＝1α·1β>0， ∴1α、1β为方程x 2＋b c x ＋ac＝0的两根．[10分]∵0<α<β，∴不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集为{x |x <1β或x >1α}．[12分]【突破思维障碍】由ax 2＋bx ＋c >0的解集是一个开区间，结合不等式对应的函数图象知a <0，要求cx 2＋bx ＋a <0的解集首先需要判断二次项系数c 的正负，由方程根与系数关系知ca＝α·β>0，因a <0，∴c <0，从而知道cx 2＋bx ＋a <0的解集是x 大于大根及小于小根对应的两个集合．要想求出解集，需用已知量α，β代替参数c 、b 、a ，需对不等式cx 2＋bx ＋a <0两边同除c 或a ，用α、β代替后，就不难找到要求不等式对应方程的两根，从而求出不等式的解集．本题较好地体现了三个“二次”之间的相互转化．1．三个“二次”的关系：二次函数是主体，一元二次方程和一元二次不等式分别为二次函数的函数值为零和不为零的两种情况，一般讨论二次函数常将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式来研究，而讨论一元二次方程和一元二次不等式又常与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决．一元二次不等式解集的端点值就是相应的一元二次方程的根，也是相应的二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点． 2．解含参数的一元二次不等式的步骤：解含参数的一元二次不等式可按如下步骤进行：1°二次项若含有参数应讨论参数是等于0、小于0、还是大于0.然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.2°判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3°确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式．3．不等式恒成立问题：不等式恒成立，即不等式的解集为R ，一元二次不等式ax 2＋bx＋c >0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac <0；ax 2＋bx ＋c <0 (a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝b 2－4ac <0.(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ()212log 1x -的定义域是( )A ．[－2，－1)∪(1，2]B ．[－2，－1]∪(1，2)C ．[－2，－1)∪(1,2]D ．(－2，－1)∪(1,2) 2．(2010·抚顺模拟)已知集合P ＝{x |x ＋1x －1>0}，集合Q ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则x ∈Q 是x∈P 的( )A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3．(2011·银川模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2 008x －2 009>0}，N ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009，2 010]，则( )A ．a ＝2 009，b ＝－2 010B ．a ＝－2 009，b ＝2 010C ．a ＝2 009，b ＝2 010D ．a ＝－2 009，b ＝－2 0104．若(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任何实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >1 B ．m <－1C ．m <－1311D ．m >1或m <－13115．(创新题)已知a 1>a 2>a 3>0，则使得(1－a i x )2<1 (i ＝1,2,3)都成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a 3D.⎝⎛⎭⎫0，2a 3 二、填空题(每小题4分，共12分)6．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ， x >0，x 2， x ≤0，则满足f (x )>1的x 的取值范围为______________．8．(2011·泉州月考)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如右图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为__________________．三、解答题(共38分)9．(12分)解关于x 的不等式x －ax －a 2<0 (a ∈R )．10．(12分)若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．11．(14分)(2011·烟台月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．学案34 一元二次不等式及其解法自主梳理1．2 2.－b 2a －b2aR ∅ ∅自我检测1．C 2.A 3.A 4.D 5．(－∞，－5]解析 记f (x )＝x 2＋mx ＋4，根据题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－16>0，f (1)≤0，f (2)≤0，解得m ≤－5.课堂活动区例1 解题导引 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 解 (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2<0， 因为3>0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，所以原不等式的解集是{x |1－33<x <1＋33}．(2)∵不等式9x 2－6x ＋1≥0， 其相应方程9x 2－6x ＋1＝0， Δ＝(－6)2－4×9＝0，∴上述方程有两相等实根x ＝13，结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象知，原不等式的解集为R . 变式迁移1 解 (1)∵不等式2x 2＋4x ＋3<0可转化为 2(x ＋1)2＋1<0，而2(x ＋1)2＋1>0， ∴2x 2＋4x ＋3<0的解集为∅.(2)两边都乘以－1，得3x 2＋2x －8≥0， 因为3>0，且方程3x 2＋2x －8＝0的解是x 1＝－2，x 2＝43，所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[43，＋∞)．(3)原不等式可转化为16x 2－8x ＋1≤0， 即(4x －1)2≤0，∴原不等式的解集为{14}．例2 解题导引 (1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 解 上述不等式不一定为一元二次不等式，当a ＝0时为一元一次不等式，当a ≠0时为一元二次不等式，故应对a 进行讨论，然后分情况求解．(1)a ＝0时，解为x >0. (2)a >0时，Δ＝4－4a 2. ①当Δ>0，即0<a <1时，方程ax 2－2x ＋a ＝0的两根为1±1－a 2a，∴不等式的解集为{x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}．②当Δ＝0，即a ＝1时，x ∈∅； ③当Δ<0，即a >1时，x ∈∅. (3)当a <0时，①Δ>0，即－1<a <0时，不等式的解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}．②Δ＝0，即a ＝－1时，不等式化为(x ＋1)2>0， ∴解为x ∈R 且x ≠－1.③Δ<0，即a <－1时，x ∈R .综上所述，当a ≥1时，原不等式的解集为∅； 当0<a <1时，解集为 {x |1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a}；当a ＝0时，解集为{x |x >0}； 当－1<a <0时，解集为{x |x <1＋1－a 2a 或x >1－1－a 2a}；当a ＝－1时，解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}； 当a <－1时，解集为{x |x ∈R }．变式迁移2 解 ①当a ＝0时，解得x >1.②当a >0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)<0，∴a >1时，解得1a<x <1；a ＝1时，解得x ∈∅；0<a <1时，解得1<x <1a.③当a <0时，原不等式变形为(x －1a)(x －1)>0，∵1a <1，∴解不等式可得x <1a或x >1. 综上所述，当a <0时，不等式解集为(－∞，1a)∪(1，＋∞)；当a ＝0时，不等式解集为(1，＋∞)；当0<a <1时，不等式解集为(1，1a)；当a ＝1时，不等式解集为∅；当a >1时，不等式解集为(1a，1)．例3 解题导引 注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解 方法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1. 方法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.变式迁移3 解 (1)∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0，∴不等式4x ＋mx 2－2x ＋3<2同解于4x ＋m <2x 2－4x ＋6，即2x 2－8x ＋6－m >0.要使原不等式对任意实数x 恒成立，只要2x 2－8x ＋6－m >0对任意实数x 恒成立． ∴Δ<0，即64－8(6－m )<0， 整理并解得m <－2.∴实数m 的取值范围为(－∞，－2)． (2)∵x 2＋px >4x ＋p －3， ∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0.令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要有⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0.∴x >3或x <－1.∴实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 课后练习区1．A [由已知有12log (x 2－1)≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－1>0，x 2－1≤1. ∴⎩⎨⎧x >1或x <－1，－2≤x ≤ 2.∴－2≤x <－1或1<x ≤ 2.]2．D [化简得P ＝{x <－1，或x >1}，Q ＝{x ≤－2，或x ≥1}，集合P ，Q 之间不存在包含关系，所以x ∈Q 是x ∈P 的既不充分又不必要条件．] 3．D [化简得M ＝{x |x <－1或x >2 009}，由M ∪N ＝R ，M ∩N ＝(2 009,2 010]可知N ＝{x |－1≤x ≤2 010}，即－1,2 010是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以b ＝－1×2 010＝－2 010，－a ＝－1＋2 010，即a ＝－2 009.] 4．C [当m ＝－1时，不等式变为2x －6<0，即x <3，不符合题意． 当m ≠－1时，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝(m －1)2－4(m ＋1)×3(m －1)<0， 化简，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，11m 2＋2m －13>0，解得m <－1311.]5．B [(1－a i x )2<1，即a 2i x 2－2a i x <0，即a i x (a i x －2)<0，由于a i >0，这个不等式可以化为x ⎝⎛⎭⎫x －2a i <0，即0<x <2a i ，若对每个都成立，则2a i应最小， 即a i 应最大，也即是0<x <2a 1.]6．(－12，32)解析 由题意知，(x －a )⊗(x ＋a )<1 ⇔(x －a )(1－x －a )<1 ⇔x 2－x －(a 2－a －1)>0. 因上式对x ∈R 都成立， 所以Δ＝1＋4(a 2－a －1)<0，即4a 2－4a －3<0.所以－12<a <32.7．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析 当x >0时，由log 2x >1，得x >2； 当x ≤0时，由x 2>1，得x <－1.综上可知，x 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 8．(2,3)∪(－3，－2)解析 由导函数图象知当x <0时，f ′(x )>0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数；当x >0时，f ′(x )<0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故不等式f (x 2－6)>1等价于f (x 2－6)>f (－2)或f (x 2－6)>f (3)，即－2<x 2－6≤0或0≤x 2－6<3，解得x ∈(2,3)∪(－3，－2)．9．解 x －a x －a2<0⇔(x －a )(x －a 2)<0，(2分) ①当a ＝0或a ＝1时，原不等式的解集为∅；(4分) ②当a <0或a >1时，a <a 2，此时a <x <a 2；(7分) ③当0<a <1时，a >a 2，此时a 2<x <a .(10分)综上，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |a <x <a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |a 2<x <a }； 当a ＝0或a ＝1时，原不等式解集为∅.(12分) 10．解 由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13≤x ≤2，知a <0，(3分)又⎝⎛⎭⎫－13×2＝ca <0，则c >0. 又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，(6分)∴－b a ＝53，即b a ＝－53.又∵c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a .(8分)∴不等式cx 2＋bx ＋a <0变为⎝⎛⎭⎫－23a x 2＋⎝⎛⎭⎫－53a x ＋a <0， 即2ax 2＋5ax －3a >0.又∵a <0，∴2x 2＋5x －3<0，∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－3<x <12.(12分)11．解 (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴－6≤a ≤2.(4分)(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方，满足条件时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.(7分) ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )≥0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73，解之，得a ∈∅.(10分)③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.(13分)综合①②③，得a ∈[－7,2]．(14分)。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第二节一元二次不等式及其解法 理
第二节 一元二次不等式及其解法知识梳理一、一元二次不等式的概念1．我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集．1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.四、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集的确定受a 的符号和b 2－4ac 的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax 2＋bx ＋c ＞0(或＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根x 1，x 2(x 1<x 2)，此时Δ＝b 2－4ac >0，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求得解集．五、高次不等式与分式不等式的解法1．高次不等式的解法：先将最高次项的系数化为正数，然后分解因式，将相应方程的所有根画在数轴上，采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集．数轴标根法的操作过程：(1)把不等式变形为一边是一次因式的积，另一边是0的形式； (2)各因式中x 的系数全部变为1，约去偶次因式； (3)把各个根从小到大依次排好标出，从数轴最左端向右端依次取根判断，并“引线”； (4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内．2．分式不等式的解法：将分式不等式转化为整式不等式，通过“穿针引线”法得出不等式的解集．f(x)g(x)>0(<0)可转化为f(x)g(x)>0(<0)；f(x)g(x)≥0(≤0)可以转化为⎩⎪⎨⎪⎧f(x)g(x)，g(x)≠0.,基础自测1．不等式x 2>x 的解集是( ) A.()－∞，0B.()0，1C.()1，＋∞D.()－∞，0∪()1，＋∞解析：由x 2>x 得x (x －1)>0，所以解集为()－∞，0∪()1，＋∞.故选D. 答案：D2．(2013·青海质检)不等式x 2－4>3|x |的解集是( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－∞，－4)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：因为|x |2－3|x |－4>0，所以(|x |－4)(|x |＋1)>0，所以|x |>4，得x >4或x <－4，故选A.答案：A3．不等式x －1x ＋2>1的解集是________________．解析：∵x －1x ＋2>1⇒x －1x ＋2－1>0⇒－3x ＋2>0，∴x ＋2<0⇒x <－2. 答案：{}x |x <－24．(2012·江西卷改编)若全集U ＝{x ∈R |x 2≤4}，则集合A ＝{x ∈R ||x ＋1|≤1}的补集∁U A 为__________．解析：因为全集U ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R |－2≤x ≤0}，所以∁U A ＝{x ∈R |0<x ≤2}．答案：{x |0<x ≤2}1．(2013·安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－1或x ＞12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}解析：由已知条件知不等式f (x )＞0的解集为x ⎪⎪⎪－1＜x ＜12，所以－1＜10x＜12，但10x ＞0，所以有0＜10x＜12，解得x ＜lg 12＝－lg 2.答案：D2．(2012·重庆卷)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪[)1，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[)1，＋∞解析：x －12x ＋1≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －x ＋，2x ＋1≠0，⇒－12<x ≤1.故选A.答案：A1．(2013·韶关二模)已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|＞2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，则∁U A ∩B 等于( )A ．(2,3)B ．[2,3]C ．(2,3]D ．(－2,3]解析：A ＝{x |x ＞3或x ＜－1}，∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，所以(∁U A )∩B ＝(2,3]，故选C.答案：C2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －10，x ≤2，log 3x －－6，x >2，若f (6－a 2)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f (x )为定义在R 上的单调递增函数，∴6－a 2>5a ，即a 2＋5a －6<0，解得－6<a <1. 答案：(－6,1)。
2015年高考数学(理)一轮总复习课件：第六章+不等式、推理与证明 第2节 一元二次不等式及其解法
∴x≥a＋ a2－3或 x≤a－ a2－3 综上知，当 a> 3或 a<－ 3时，不等式的解集为{x|x≥a ＋ a2－3或 x≤a－ a2－3} 当－ 3≤a≤ 3时，不等式的解集为 R.
第十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
考向 2 不等式恒成立问题 【例 2】设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范 围． 【思路点拨】 本题(1)可讨论 m 的取值，利用判别式来 解决．对于(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问 题，常有两种处理方法：一是利用二次函数区间上的最值来 处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般 方法二比较简单．
【尝试解答】 (1)由试验数据知， s1＝25n＋4，s2＝170n＋449，
∴61＜ 4＜25n170＋n4＋＜4489， ＜17， 又 n∈N，∴取 n＝6.
5＜n＜10， 解之得52＜n＜9154.
第二十六页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
(2)由(1)知，s＝35v0＋4v020，v≥0. 依题意，s＝35v0＋4v020≤12.6， 即 v2＋24v－5 040≤0，解之得－84≤v≤60. 注意到 v≥0，所以 0≤v≤60. 故行驶的最大速度为 60 km/h.
解得ab＝＝－－32 ，∴ab＝6，故选 C. 【答案】 C
第八页，编辑于星期五：十一点 五十六分。
4．(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)
的解集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15 ，则 a＝ ( )
2015届高考数学热点题型训练：第6章 第2节 一元二次不等式及其解法含解析
第二节 一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式的解法是高考的常考内容，题型多为选择题或填空题，难度适中，属中档题．2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个命题角度：(1)直接考查一元二次不等式的解法；(2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式的解法；(3)已知一元二次不等式的解集求参数．[例1] (1)(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为______________．(2)(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________________．(3)(2013·重庆高考)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( )A.52B.72C.154D.152[自主解答] (1)由x 2＋x －2<0，得(x －1)(x ＋2)<0，∴－2<x <1，即不等式x 2＋x －2<0的解集为{x |－2<x <1}．(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，0，－x 2－4x ， x >0，x ＝0，x <0. ①当x >0时，由f (x )>x ，得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x ，得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．(3)法一：∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝a 2－－8a 2＝15，又∵a >0，∴a ＝52. 法二：由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为(－2a,4a )，又∵不等式x 2－2ax －8a 2<0的解集为 (x 1，x 2)，∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. [答案] (1){x |－2<x <1} (2)(－5,0)∪(5，＋∞) (3)A一元二次不等式的解法问题的常见类型及解题策略(1)直接求解一元二次不等式．①对于常系数一元二次不等式，可以用因式分解法或判别式法求解；②对于含参数的不等式，首先需将二次项系数化为正数，若二次项系数不能确定，则需讨论它的符号，然后判断相应的方程有无实根，最后讨论根的大小，即可求出不等式的解集．(2)与函数的奇偶性相结合的一元二次不等式的解法．先借助函数的奇偶性确定函数的解析式，然后求解，或直接根据函数的性质求解．(3)已知一元二次不等式的解集求参数．根据根与系数的关系求解．1．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －a 24＝0，∴f (x )＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根． 由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋6＝－a ，m m ＋＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：93．解关于x 的不等式：x 2－(3＋a )x ＋3a >0.解：∵x 2－(3＋a )x ＋3a >0，∴(x －3)(x －a )>0.①当a <3时，x <a 或x >3，不等式的解集为{x |x <a 或x >3}；②当a ＝3时，不等式为(x －3)2>0，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠3}；③当a >3时，x <3或x >a ，不等式的解集为{x |x <3或x >a }．[例2] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[自主解答] (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0. 所以m 的取值范围为(－4,0]．(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，只需mx 2－mx ＋m <6恒成立(x ∈[1,3])，又因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以m <6x 2－x ＋1. 令y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， 因为t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上是增函数， 所以y ＝6x 2－x ＋1在[1,3]上是减函数． 因此函数的最小值y min ＝67. 所以， m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67. 【互动探究】在本例条件下，求使f (x ) <0，且|m |≤1恒成立的x 的取值范围．解：将不等式f (x )<0整理成关于m 的不等式为(x 2－x )m －1<0.令g (m )＝(x 2－x )m －1，m ∈[－1,1]．则⎩⎪⎨⎪⎧ g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x －1<0，x 2－x －1<0， 解得1－52<x <1＋52， 即x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52. 【方法规律】不等式恒成立问题的求解方法(1)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a .①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为[－3,1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，a <－1，g －解得－3≤a≤1.故a的取值范围是[－3,1]．[例3] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品每件销售价每提高1元，销售量就要减少10件，则他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获的利润最大？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所获的利润在300元以上？[自主解答] 设每件提高x元(0≤x≤10)，则每件获利润(2＋x)元，每天可销售(100－10x)件，又设每天获的利润为y元，由题意有y＝(2＋x)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200.当x＝4时，y取得最大值360.∴当售价定为每件14元时，每天所获利润最大，为360元．要使每天所获的利润在300元以上，则有－10x2＋80x＋200>300，即x2－8x＋10<0，解得4－6<x<4＋ 6.故每件定价在(4－6)元到(4＋6)元之间[不含(4－6)元和(4＋6)元]时，才能保证每天所获的利润在300元以上．【方法规律】求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义．(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．解：(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意得y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)·(10－x)(0<x<10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得x2＋40x－84≤0，解得－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.即x的取值范围为(0,2]．———————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————个过程——一元二次不等式的求解过程解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．种思想——分类讨论和转化思想(1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不等式的解集时，根的大小是分类的标准．(2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求函数的最值或值域问题．个注意点——解含参数不等式应注意的问题(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数为零的情况．(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．。
2015届高考数学一轮复习课件第6篇第2节《一元二次不等式及其解法文》(新人教版)
解析:∵p∨q 为假命题,∴p 和 q 都是假命题.
由 p:∃ x∈R,mx2+2≤0 为假,
得∀ x∈R,mx2+2>0,∴m≥0.
①
由 q:∀ x∈R,x2-2mx+1>0 为假,
得∃ x∈R,x2-2mx+1≤0,
∴Δ=(-2m)2-4≥0,即 m2≥1,
解得 m≤-1 或 m≥1,
②
由①和②得 m≥1,故选 A.
(2)一元二次不等式恒成立的条件:
①ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是
a 0, b2 4ac
0.
②ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是
a 0, b2 4ac
0.
即时突破 2 (1)若关于 x 的不等式 x2-ax-a>0 的解集
为 R,则实数 a 的取值范围是
②
因为方程②有两个相等的根,
所以Δ=[-(2+4a)]2-4a·9a=0,
即 5a2-4a-1=0,
解得 a=1 或 a=- 1 . 5
由于 a<0,舍去 a=1,
将 a=- 1 代入①,得 f(x)=- 1 x2- 6 x- 3 .
5
5 55
(2)由 f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a(x- 1 2a )2- a2 4a 1 及 a<0,
y= 900 ·100（5x+1- 3 ）=9×104(5+ 1 - 3 )
x
x
x x2
=9×104
3
1 x
1 6
2
巩固练习一元二次不等式及其解法基础
【巩固练习】一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( ) A.1|3x x ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭B.11|33x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．∅D.1|3x x ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭2．下列不等式中，解集是R 的是( )A ．x 2＋4x ＋4>00> C.1102x⎛⎫+> ⎪⎝⎭D ．－x 2＋2x －1>03．不等式ax 2+5x+c ＞0的解集为11{|}32x x <<，则a ，c 的值为（ ） A ．a=6，c=1 B ．a=－6，c=－1 C ．a=1，c=1 D ．a=－1，c=－6 4．若0＜t ＜1，则不等式1()()0x t x t--<的解集为( ) A.1|x x t t⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B.1|x x x t t ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或 C.1|x x x t t⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或D.1|x t x t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭5．不等式x 2－ax －b ＜0的解集是{x|2＜x ＜3}，则bx 2－ax －1＞0的解集是（ ） A ．{|23}x x << B ．11{|}32x x << C ．11{|}23x x -<<- D ．{|32}x x -<<- 6. 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0)∪3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．(－∞，0] D ．(－∞，0]∪4,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭二、填空题7．如果A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是________．8．如果关于x 的方程x 2－(m －1)x+2－m=0的两根为正实数，则m 的取值范围是________. 9. 函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围为________．10. 若关于x 的不等式2260ax x a -+<的解集为(1,)m ，则实数m 等于 . 三、解答题 11.解下列不等式(1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－x 2＋8x －3＞0；(3) ()()2223520x x x x x +--+<； (4) 31224x x +≥-.12. 不等式mx 2+1＞mx 的解集为实数集R ，求实数m 的取值范围．13. 解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3＜0(其中m ∈R )．14．已知2()2(2)4f x x a x =+-+，(1)如果对一切x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对x ∈[-3，1]，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.15.解下列关于x 的不等式 0)1)(1(>+-x ax ；【答案与解析】1．【答案】 D【解析】 9x 2＋6x ＋1＝(3x ＋1)2≤0 ∴13x =-，故选D.2．【答案】 C【解析】 ∵x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0， ∴A 不正确；||0x =≥，∴B 不正确；∵102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴11102x⎛⎫+>> ⎪⎝⎭(x ∈R )，故C 正确；∵－x 2＋2x －1>0 ∴x 2－2x ＋1＝(x －1)2<0， ∴D 不正确．3.【答案】B【解析】由题意可知方程250ax x c ++>的两根为12x =和13x =，由韦达定理得： 11115,2323c a a⨯=+=-，求得a=－6，c=－14．【答案】 D【解析】 ∵0＜t ＜1，∴11t >，∴1t t<∴11()()0x t x t x t t--<⇔<<.5.【答案】C【解析】由题意得，方程x 2－ax －b=0的两根为x=2,x=3,由韦达定理得23a +=，23b ⨯=-，求得5 a =，b=-6，从而解得bx 2－ax －1＞0的解集为11{|}23x x -<<-6. 【答案】 C【解析】 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0对x ∈R 恒成立， 当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立． 当m ≠0时，由题意，得220000404103403m m m m m m m mm m m <⎧<<⎧⎧⎪⇔⇔⇔<⎨⎨⎨<>∆=--<->⎩⎩⎪⎩或. 综上，m 的取值范围为(－∞，0]．7．【答案】 [0,4) 【解析】 由题意知240a a a >⎧⎨∆=--<⎩，∴0＜a ＜4.当a ＝0时，A ＝{x |1＜0}＝∅，符合题意．8．【答案】{|12}m m -+<< 【解析】由题意得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪>⎩，解得12m -+<<9. 【答案】 40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 由已知f (x )的定义域是R . 所以不等式ax 2＋3ax ＋1＞0恒成立．(1)当a ＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，则有2000400(94)09(3)40a a a a a a a a >>>⎧⎧⎧⎧⇔⇔⇔<<⎨⎨⎨⎨∆<-<-<⎩⎩⎩⎩. 由(1)(2)知，409a ≤<.即所求a 的取值范围是40,9⎡⎫⎪⎢⎣⎭.10.【答案】2【解析】由题意，得1，m 是关于x 的方程2260ax x a -+=的两根，则2611m a a m a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得 23m m ==-或（舍去）11．【解析】(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，212x =-. 又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为1|32x x x ⎧⎫>-<-⎨⎬⎩⎭或. (2)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52＞0， 所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不等实根1413x =2413x =又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下， 所以原不等式的解集为{}|413413x x <<． （3）原不等式可化简为()()()223210x x x x +--<由1x ≠可知()210x ->，故该不等式可化简为()()2320x x x +-<如图，所以，该不等式的解集为2|203x x x ⎧⎫<-<<⎨⎬⎩⎭或 (4) 该不等式可化为902x x -≤-，等价于()()92020.x x x ⎧--≤⎪⎨-≠⎪⎩， 解得{}|29x x <≤.12.【解析】当m ＝0时，不等式即为1＞0，满足条件．当m≠0时，若不等式的解集为R ，则应有⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆>0m 4)m (0m 2， 解得0＜m ＜4．综上，m 的取值范围是{m|0≤m<4}.13.【解析】 当m ＝0时，原不等式可化为－3＜0，其对一切x ∈R 都成立， 所以原不等式的解集为R . 当m ≠0时，m 2＞0，由m 2x 2＋2mx －3＜0，得(mx －1)(mx ＋3)＜0， 即130x x m m ⎛⎫⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 若m ＞0，则13m m>-， 所以原不等式的解集为31,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 若m ＜0，则13m m<-， 所以原不等式的解集为13,m m ⎛⎫-⎪⎝⎭. 综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ； 当m ＞0时，原不等式的解集为31,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当m ＜0时，原不等式的解集为13,m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.14．【解析】(1)由题意得：△=2[2(2)]160a --<，即0<a<4； (2)由x ∈[－3，1]，f(x)>0得，有如下两种情况：2[3,1](3)0(1)0a f f -∉-⎧⎪->⎨⎪>⎩或2[3,1](2)0a f a -∈-⎧⎨->⎩ 综上所述：1,42a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.15.【解析】当a=0时，原不等式即为-(x+1)>0，解得x<-1； 当a≠0时，原不等式为关于x 的一元二次不等式，方程(ax-1)(x+1)=0有两个实数根ax 11=和12-=x . (Ⅰ)当21x x <，即11-<a，01<<-a 时， 函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,1a ； (Ⅱ)当21x x =，即1,11-=-=a a时， 函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有一个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为空集； (Ⅲ)当21x x >，即11->a，1-<a 或0>a ， ①若1-<a ，函数)1)(1()(+-=x ax x f 的图象开口向下，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等式0)1)(1(>+-x ax 的解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②若a>0，数()(1)(1)f x ax x =-+的图象开口向上，与x 轴有两个交点，其简图如下：故不等0)1)(1(>+-x ax 的解集为1(,1),a ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭； 综上所述，当a<-1时，不等式的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,1； 当a=-1时，不等式的解集为空集； 当-1<a<0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛-1,1a ； 当a=0时，不等式的解集为)1,(--∞；当a>0时，不等式的解集为⎪⎭⎫⎝⎛+∞--∞,1)1,(a .。
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考点巩固训练32 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式2x 2
－x －1＞0的解集是( )． A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 2．不等式x(x －a ＋1)＞a 的解集是{x|x ＜－1或x ＞a}，则( )．
A ．a≥1
B ．a ＜－1
C ．a ＞－1
D ．a ∈R
3．已知不等式x 2
－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )．
A ．3
B ．－1
C ．2
D ．3或－1
4．已知集合M ＝{x|x 2－2 010x －2 011＞0}，N ＝{x|x 2＋ax ＋b≤0}，若M ∪N ＝R ，M∩N ＝(2 011，2 012]，则( )．
A ．a ＝2 011，b ＝－2 012
B ．a ＝－2 011，b ＝2 012
C ．a ＝2 011，b ＝2 012
D ．a ＝－2 011，b ＝－2 012
5．若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值集合是( )． A ．{a|0＜a ＜4} B ．{a|0≤a＜4}
C ．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}
6．不等式4x －2
≤x－2的解集是( )． A ．(－∞，0]∪(2,4]
B ．[0,2)∪[4，＋∞)
C ．[2,4)
D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)
7．已知二次函数f(x)＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为( )．
A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(0,1)
二、填空题
8．若不等式－4＜2x －3＜4与不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集相同，则p q
＝__________． 9．(福建高考)已知关于x 的不等式x 2
－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
10．关于x 的不等式x －a x ＋1
＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q ．若Q ⊆P ，则a 的取值范围为__________．
三、解答题
11．已知不等式ax 2－3x ＋b ＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}．
(1)求a ，b ；
(2)解不等式x －c ax －b
＞0． 12．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ．
(1)求二次函数f(x)的解析式；
(2)若不等式f(x)＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，求实数m 的取值范围．。