2015届高考数学(理)考点巩固训练：32 一元二次不等式及其解法
考点巩固训练32 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．不等式2x 2
－x －1＞0的解集是( )． A ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 2．不等式x(x －a ＋1)＞a 的解集是{x|x ＜－1或x ＞a}，则( )．
A ．a≥1
B ．a ＜－1
C ．a ＞－1
D ．a ∈R
3．已知不等式x 2
－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为( )．
A ．3
B ．－1
C ．2
D ．3或－1
4．已知集合M ＝{x|x 2－2 010x －2 011＞0}，N ＝{x|x 2＋ax ＋b≤0}，若M ∪N ＝R ，M∩N ＝(2 011，2 012]，则( )．
A ．a ＝2 011，b ＝－2 012
B ．a ＝－2 011，b ＝2 012
C ．a ＝2 011，b ＝2 012
D ．a ＝－2 011，b ＝－2 012
5．若集合A ＝{x|ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值集合是( )． A ．{a|0＜a ＜4} B ．{a|0≤a＜4}
C ．{a|0＜a≤4} D．{a|0≤a≤4}
6．不等式4x －2
≤x－2的解集是( )． A ．(－∞，0]∪(2,4]
B ．[0,2)∪[4，＋∞)
C ．[2,4)
D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)
7．已知二次函数f(x)＝ax 2
－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为( )．
A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(0,1)
二、填空题
8．若不等式－4＜2x －3＜4与不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集相同，则p q
＝__________． 9．(福建高考)已知关于x 的不等式x 2
－ax ＋2a ＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
10．关于x 的不等式x －a x ＋1
＞0的解集为P ，不等式log 2(x 2－1)≤1的解集为Q ．若Q ⊆P ，则a 的取值范围为__________．
三、解答题
11．已知不等式ax 2－3x ＋b ＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}．
(1)求a ，b ；
(2)解不等式x －c ax －b
＞0． 12．已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(x ＋1)－f(x)＝2x ．
(1)求二次函数f(x)的解析式；
(2)若不等式f(x)＞2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，求实数m 的取值范围．。
2015高考数学一轮复习一元二次不等式及其解法
(2)分离参数法
如果欲求范围的参数能够分离到不等式的一边，那么这时可以 通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成 立时参数的取值范围.一般地，a≥f(x)恒成立时，应有 a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.
【加固训练】若函数f(x)=
数m的取值范围是( )
ax2+bx+c>0 (a&g2} ______
{x|x1<x<x2} ___________
R __
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0，则可先 根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解.
第二节 一元二次不等式及其解法
1.一元二次不等式的定义 2 的不等式叫做一 只含有一个未知数且未知数的最高次数是__ 元二次不等式.
2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如 表
判别式 Δ =b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图 象
Δ >0
Δ =0
Δ <0
(3)①当a=0时，原不等式变为-x+1<0，此时不等式的解集为 {x|x>1}.
1 ②当a≠0时，原不等式可化为 a x 1 (x ) 0. a 1 若a<0，则上式即为 x 1 (x ) 0， a 又因为 1 1， 所以此时不等式的解集为{x|x>1或 x 1 }. a a 若a>0，则上式即为 (x 1)(x 1 ) 0. a 1 (ⅰ)当 1 1， 即a>1时，原不等式的解集为 {x | x 1}； a a (ⅱ)当 1 1， 即a=1时，原不等式的解集为 ； a 1 (ⅲ)当 1， 即0<a<1时，原不等式的解集为 {x |1 x 1}. a a
一元二次不等式及其解法(高考题)
一元二次不等式及其解法链接高考1.(2016浙江杭州中学期中,★☆☆)下列不等式中,与不等式<2解集相同的是()A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.(x+8)<2(x2+2x+3)C.<D.>2.(2015天津南开中学月考,★☆☆)不等式≥2的解集是()A. B. C.∪(1,3] D.∪(1,3]3.(2013江西,6,5分,★☆☆)下列选项中,使不等式x<<x2成立的x的取值范围是()A.(-∞,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,+∞)4.(2012重庆,2,5分,★☆☆)不等式≤0的解集为()A. B. C.∪[1,+∞) D.∪[1,+∞)5.(2012江西,11,5分,★☆☆)不等式>0的解集是________.6.(2015课标Ⅱ,1,5分,★★☆)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}7.(2015山东,1,5分,★★☆)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)8.(2015浙江,1,5分,★★☆)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]9.(2014课标Ⅰ,11,5分,★★☆)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=()A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)10.(2016河北石家庄一中期中,★★☆)若不等式x2+2x+2>|a-2|对于一切实数x 均成立,则实数a的取值范围是________.11.(2012福建,15,4分,★★☆)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________.12.(2015辽宁大连期末,★★☆)已知f(x)=ax2+x-a.(1)若函数f(x)有最大值,求实数a的值;(2)若不等式f(x)>-2x2-3x+1-2a对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.三年模拟1.(2016四川雅安中学月考,★☆☆)不等式-x2+3x+4<0的解集为()A.{x|-1<x<4}B.{x|x>4或x<-1}C.{x|x>1或x<-4}D.{x|-4<x<1}2.(2016河南洛阳统考,★☆☆)已知集合A={x|x2<2-x},B={x|-1<x<2},则A∪B=()A.(-1,1)B.(-2,2)C.(-1,2)D.(-2,1)3.(2016 宁夏银川一中月考,★☆☆)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是()A.{x|-1<x<1}B.{x|x<1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x<1且x≠-1}4.(2016福建师大附中模块考试,★★☆)若关于x的方程x2+(m-1)x+m2-2=0的一个实根小于-1,另一个实根大于1,则实数m的取值范围是()A.(-,)B.(-2,0)C.(-2,1)D.(0,1)5.(2015山东日照一中校际联检,★☆☆)在R上定义运算:x*y=x(1-y).若关于x 的不等式x*(x-a)>0的解集是集合{x|-1≤x≤1}的子集,则实数a的取值范围是()A.[0,2]B.[-2,-1)∪(-1,0]C.[0,1)∪(1,2]D.[-2,0]6.(2015河北“五个一名校联盟”质检,★☆☆)设集合M={x|x2+2x-15<0},N={x|x2+6x-7≥0},则M∩N=()A.(-5,1]B.[1,3)C.[-7,3)D.(-5,3)7.(2016四川雅安中学月考,★☆☆)一元二次不等式x2+ax+b>0的解集为(-∞,-3)∪(1,+∞),则一元一次不等式ax+b<0的解集为________.8.(2015广东广州模拟,★☆☆)不等式x2-2x-3<0的解集是________.9.(2016山东潍坊一中月考,★☆☆)已知集合B=,C={x|a<x<a+1}.若B∪C=B,求实数a的取值范围.10..(2015天津南开中学月考,★★☆)解关于x的不等式>0(a∈R).。
山东省2015高考数学(理)总复习课时限时检测35一元二次不等式及其解法 Word版含解析
课时限时检测(三十五) 一元二次不等式及其解法(时间：60分钟 满分：80分)命题报告1．(2012·天津高考)设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解析】 不等式2x 2＋x －1>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12或x <－1，故由x >12⇒2x 2＋x －1>0，但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12，故选A.【答案】 A2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 【解析】 依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，即⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－56，1a ＝－16，又a ＜0，不等式x 2－bx －a ＜0可化为1a x 2－ba x －1＞0， 即－16x 2＋56x －1＞0，解得2＜x ＜3 . 【答案】 A3．(2013·湖北高考)已知全集为R ，集合A ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝ ⎛12x≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩∁R B ＝( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 【解析】 A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎭⎪⎫⎝ ⎛12x≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以∁R B ＝{x |x <2或x >4}，所以A ∩∁R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．【答案】 C4．(2014·中山模拟)若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－235 【解析】 由Δ＝a 2＋8＞0知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (1)f (5)≤0，解得－235≤a ≤1.故选B.【答案】 B5．(2014·郑州模拟)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[，5＋∞)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．[－2,5]【解析】 因为x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所地要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.【答案】 A6．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)【解析】 (1)当x ＜0时，f (x )＝x ＋6＞3， 则－3＜x ＜0.(2)当x ≥0时，x 2－4x ＋6＞3⇔(x －1)(x －3)＞0， 解之得，x ＞3或0≤x ＜1.由(1)、(2)知，f (x )＞3的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 【答案】 A二、填空题(每小题5分，共15分)7．(2013·广东高考)不等式x 2＋x －2<0的解集为________．【解析】 方程x 2＋x －2＝0的根为x 1＝－2，x 2＝1，故不等式x 2＋x －2<0的解集为(－2,1)．【答案】 (－2,1) 8．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是{x |x ＜－1或x ＞－12}，则实数a ＝________.【解析】 ax －1x ＋1＜0⇔(x ＋1)(ax －1)＜0，依题意，a ＜0且1a ＝－12. ∴a ＝－2. 【答案】 －29．(2014·黄冈模拟)若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为________．【解析】 不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x ∈R 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a ＜0，即a 2－a ＜0，解得0＜a ＜1，所以不等式at 2＋2t －3＜1转化为t 2＋2t －3＞0，解得t ＜－3或t ＞1. 【答案】 {t |t ＜－3或t ＞1}三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＜0(a ∈R)． 【解】 原不等式可化为(x －a )(x －a 2)＜0，(1)当a ＝a 2即a ＝0或a ＝1时，原不等式变为x 2＜0或(x －1)2＜0，解集为∅； (2)当a ＞a 2即0＜a ＜1时，解集为{x |a 2＜x ＜a }； (3)当a 2＞a 即a ＜0或a ＞1时，解集为{x |a ＜x ＜a 2}； 综上得：原不等式的解集为： 当a ＝0或a ＝1时，为∅； 当0＜a ＜1时，为{x |a 2＜x ＜a }； 当a ＜0或a ＞1时，为{x |a ＜x ＜a 2}．11．(12分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入(万元)R (x )满足R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x －0.8，0≤x ≤5，10.2，x ＞5.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？求此时每台产品的售价为多少？ 【解】 依题意得G (x )＝x ＋2，设利润函数为f (x )， 则f (x )＝R (x )－G (x )，所以f (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，8.2－x ，x ＞5.(1)要使工厂有盈利，则有f (x )＞0， 因为f (x )＞0∴⎩⎨⎧ 0≤x ≤5，－0.4x 2＋3.2x －2.8＞0或⎩⎨⎧x ＞5，8.2－x ＞0. ∴⎩⎨⎧0≤x ≤5，x 2－8x ＋7＜0或5＜x ＜8.2. ∴1＜x ≤5或5＜x ＜8.2，即1＜x ＜8.2.所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内． (2)0≤x ≤5时，f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 故当x ＝4时，f (x )有最大值3.6. 而当x ＞5时，f (x )＜8.2－5＝3.2所以当工厂生产400台产品时，盈利最大， 此时，R (4)4＝2.4(万元/百台)＝240(元/台)． 即每台产品的售价为240元．12．(13分)设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，求实数a 的值．【解】 (1)若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )＝1＞0恒成立．(2)若x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≥3x 2－1x 3.设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4.∴g (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递减． ∴g (x )max ＝g (12)＝4，从而a ≥4.(3)若x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0化为a ≤3x 2－1x 3. 设h (x )＝3x 2－1x 3， 则h ′(x )＝3(1－2x )x 4， ∴h (x )在[－1,0)上单调递增．∴h(x)min＝h(－1)＝4，从而a≤4. 综上所述，实数a的值为4.。
2015届高考数学总复习(基础过关+能力训练)：不 等 式 一元二次不等式及其解法(含答案)
第六章 不 等 式第1课时 一元二次不等式及其解法1. 若不等式(m ＋1)x 2－(m ＋1)x ＋3(m －1)<0对一切实数x 均成立、则m 的取值范围为________。
答案：(－∞、－1]解析：当m ＋1＝0、即m ＝－1时、不等式变为－6<0恒成立；当m ＋1≠0时、由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，Δ＝（m ＋1）2－12（m ＋1）（m －1）<0，解不等式组得m<－1、从而知m ≤－1. 2. 不等式x>1x的解集为 ________.答案：(－1、0)∪(1、＋∞)解析：∵ x －1x >0、∴ x 2－1x>0、∴ ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，x>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1<0，x<0， ∴ 解集为{x|x>1或－1<x<0}。
3. 若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集为(1、m)、则实数m ＝________ . 答案：2解析：由题意易知1、m 为ax 2－6x ＋a 2＝0的根且a ＞0、m ＞1、∴ a ＝2、m ＝2. 4. 已知集合A ＝{x|x 2－3x －4>0}、B ＝{x||x －3|>4}、则A ∩(∁R B)＝________。
答案：(4、7]解析：A ＝{x|x<－1或x>4}、B ＝{x|x<－1或x>7}、∁R B ＝{x|－1≤x ≤7}、A ∩(∁R B)＝(4、7]。
5. 当x ∈(1、3)时、不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立、则m 的取值范围是________。
答案：(－∞、－5]解析：(解法1)设f(x)＝x 2＋mx ＋4或不等式x 2＋mx ＋4＜0在x ∈(1、3)时恒成立、则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0，f （3）≤0，解得m ≤－5. (解法2)m<－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在x ∈(1、3)恒成立、故m ≤－5. 6. 不等式x(x －a ＋1)>a 的解集是{x|x<－1或x>a}、则实数a 的取值范围是________。
2015年高考数学理一轮复习精品资料 专题7.2 一元二次不等式及解法含解析
2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第二节 一元二次不等式及解法一、选择题1. 【2014·潍坊质检】不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4] B ．[0,2)∪[4，＋∞) C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2.【2014·湖北八校联考】“01a <<”是“2210ax ax >＋＋的解集是实数集R ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]4. 若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]【答案】C【解析】函数图像恒在x 轴上方，即不等式22(45)41)30(a a x a x >＋－－－＋对于一切x ∈R 恒成立．5. 如果关于x 的不等式250x a ≤－的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )A ．80≤a <125B ．80<a <125C ．a <80D ．a >1256.【2014莆田二模】不等式(x 2－2)log 2x >0的解集是( )A ．(0,1)∪(2，＋∞)B ．(－2，1)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－2，2)7.【2014厦门模拟】若不等式20ax bx c >＋＋的解集是(－4,1)，则不等式2()(13)0b x a x c >－＋＋＋的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫－43，1 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞ C ．(－1,4)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【答案】 A8. 若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 69. 设2()1f x x bx =++,且(1)(3),f f -=则()0f x >的解集是 ( ) A.(,1)(3,)-∞-⋃+∞ B.R C.{}|1x x ≠ D.{}|1x x = 【答案】C【解析】由(1)(3)f f -=得11931b b -+=++,即2b =-.∴2()210f x x x =-+>,解得1x ≠.10. 设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若函数()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-都成立，则t 的取值范围是（ ）A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤ C ．12t ≤-或0t =或12t ≥ D ．2t ≤-或0t =或2t ≥当t ＜0时，不等式可化为：t2+2t+1≥1，解得t ≤-2； 综上满足条件的t 的范围是（-∞．-2]∪{0}∪[2， +∞）． 二、填空题11. 若关于x 的不等式1420xx a ≥＋－－在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．12. 已知不等式222xy ax y ≤+，若对任意[]2,1∈x 且[]3,2∈y ，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是 ．13. 已知⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ，则不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解集是 .【答案】3(,]2-∞【解析】因为，⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f 不等式(2)(2)5x x f x ++⋅+≤的解3(,]2-∞三、解答题14.【2014日照模拟】已知函数R.(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为2，解关于x 的不等式220x x a a <－－－.15. 已知集合{}2|230,,A x x x x R =--≤∈{}22|240,,B x x mx m x R m R =-+-≤∈∈（1）若[]0,3AB =,求实数m 的值；（2）若⊆A B C R ，求实数m 的取值范围.16. 已知不等式012<--mx mx ．（1）若对R x ∈∀不等式恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对]3,1[∈∀x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若对满足2||≤m 的一切m 的值不等式恒成立，求实数x 的取值范围．。
2015高考数学二轮复习热点题型专题三十六 一元二次不等式及其解法
专题三十六 一元二次不等式及其解法【高频考点解读】1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【热点题型】题型一 一元二次不等式的解集 例1、不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2.－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1,2)解析：∵(x －1)(x －2)<0∴1<x <2， 即不等式的解集为(1,2)． 答案：D 【提分秘籍】1．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论(1)若二次项系数为常数，首先需将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．2．由二次函数图象与一元二次不等式的关系，可以得到两个常用的结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0c >0或⎩⎨⎧ a >0Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0c <0或⎩⎨⎧a <0Δ<0.【举一反三】已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎡⎦⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a <0的解集是( ) A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫13，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞【热点题型】题型二 一元二次不等式的解法 例2、 (1)不等式x －12x ＋1≥0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(2013年高考安徽卷)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－1或x >12}，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【提分秘籍】 解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c >0(a >0)，ax 2＋bx ＋c <0(a >0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．【热点题型】题型三含参数的一元二次不等式的解法例3、解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)．【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．提示：二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．【举一反三】解关于x的不等式x2－2ax＋2≤0.【热点题型】题型四一元二次不等式的应用例4、某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【提分秘籍】解不等式应用题，一般可按如下四步进行(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系； (2)引进数学符号，用不等式表示不等关系； (3)解不等式； (4)回答实际问题． 【举一反三】行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速(km/h)满足下列关系，s ＝nv 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N *)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6<s 1<8，14<s 2<17.(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？【高考风向标】1．（2014·全国卷）设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，4] B ．[0，4)C ．[－1，0)D ．(－1，0] 【答案】B【解析】因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}．2．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m ，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)3．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}4．（2013·广东卷）不等式x 2＋x －2<0的解集为________． 【答案】{x|－2<x<1}【解析】x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x<1.故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 5．（2013·四川卷）已知f(x)是定义域为R 的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x 2－4x ，那么，不等式f(x ＋2)<5的解集是________．【答案】(－7，3)【解析】当x ＋2≥0时，f(x ＋2)＝(x ＋2)2－4(x ＋2)＝x 2－4，由f(x ＋2)＜5，得x 2－4＜5，即x 2＜9，解得－3＜x ＜3，又x ＋2≥0，故－2≤x ＜3为所求．又因为f(x)为偶函数，故f(x ＋2)的图像关于直线x ＝－2对称，于是－7＜x ＜－2也满足不等式．6．(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，x ＋，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]【随堂巩固】1．不等式x －2x 2－1＜0的解集为( )A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |x ＜2且x ≠1}C ．{x |－1＜x ＜2且x ≠1}D ．{x |x ＜－1或1＜x ＜2}2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)3．不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个必要不充分条件是( )A ．x ≥0B ．x <0或x >2C ．x <－12D ．x ≤－12或x ≥3解析：原不等式等价于(2x ＋1)(x －3)≥0，解得x ≤－12或x ≥3，根据题意，该解集为选项中集合的真子集，因此选B.答案：B4．已知(a 2－1)x 2－(a －1)x －1<0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <－35或a >1 B ．－35<a <1C ．－35<a ≤1或a ＝－1D ．－35<a ≤15．已知命题p ：存在x ∈R ，使得mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，均有x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≤－2B ．m ≥2C ．m ≥2或m ≤－2D ．－2≤m ≤26．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )>0的解集是[2,3]，则a ＋b ＝( )A ．1B ． 2C ．4D ．87．已知f (x )是定义在R 上的奇函数．当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．8．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则不等式f (x －1)<|x |的解集为________．9．已知不等式xy ≤ax 2＋2y 2，若对任意x ∈[1,2]，且y ∈[2,3]，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是________．10．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]恒成立，求实常数λ的取值范围．解析：由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max＝12， ∴x ≥12或x ≤－1，又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．11．一个服装厂生产风衣，日销售量x (件)与售价p (元/件)之间的关系为p ＝160－2x ，生产x 件的成本R ＝500＋30x 元．(1)该厂日产量多大时，日利润不少于1 300元？(2)当日产量为多少时，可获得最大利润，最大利润是多少？所以当日产量为32或33件时，可获最大利润，最大利润为1 612元．12．已知函数f(x)＝(x＋2)|x－2|.(1)若不等式f(x)≤a在[－3,1]上恒成立，求实数a的取值范围；(2)解不等式f(x)>3x.。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题(含答案)一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax>b(a≠0)的形式。
当a>0时，解集为x>b/a；当a<0时，解集为x<b/a。
2.一元二次不等式及其解法1) 我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。
2) 使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集。
3) 一元二次不等式的解：对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0(a>0)，我们可以先求出其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解集，然后根据一元二次函数的图像，判断不等式的解集。
3.分式不等式解法对于分式不等式f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0，我们可以先化为标准型，即将右边化为0，左边化为分母的符号，然后将分式不等式转化为整式不等式求解。
对于分式不等式f(x)/g(x)≥0或f(x)/g(x)≤0，我们可以先求出f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)<0的解集，然后根据分式函数的图像判断不等式的解集。
例题1：已知集合A={x|x^2-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B＝[-2,-1]。
例题2：设f(x)=x^2+bx+1且f(-1)=f(3)，则f(x)>0的解集为{x|x≠1，x∈R}。
例题3：已知-2<x/11<1/2，则x的取值范围是-22<x<11.解：首先求出方程2x2－8x－4＝0的解为x1＝－1，x2＝2.根据题意，不等式在(1，4)内有解，即在x1和x2之间有解，则2x2－8x－4－a的图像必定开口向上，且在x1和x2处有两个零点。
又因为a>0时，图像整体上移，不可能在(1，4)内有解，故a<0.又因为当a＝－4时，2x2－8x－4＝0在(1，4)内有解，故a的取值范围是a<－4.故选A.1) 给定不等式 $2x^2-8x-4-a>0$ 在区间 $(1,4)$ 内有解，即$a<2x^2-8x-4$ 在区间 $(1,4)$ 内有解。
2015届高考数学一轮复习 一元二次不等式及其解法跟踪检测 理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(三十六) 一元二次不等式及其解法第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·潍坊质检)不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)2．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．33．(2014·湖北八校联考)“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是( )A ．(4,5)B ．(－3，－2)∪(4,5)C ．(4,5]D ．[－3，－2)∪(4,5]5．(2013·洛阳诊断)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 6．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．7．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．8．(2013·广州调研)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．9．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集；(2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，比较f (x )与m 的大小．第Ⅱ组：重点选做题1．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]2．(2013·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选B 原不等式可化为－x 2＋4x x －2≤0. 即⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)(x －2)≥0，x －2≠0. 由标根法知，0≤x <2或x ≥4.2．选A 由题意得A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3，故选A.3．选A 当a ＝0时，1>0，显然成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0.故ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R 等价于0≤a <1.因此，“0<a <1”是“ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ”的充分而不必要条件．4．选D 原不等式可能为(x －1)(x －a )＜0，当a ＞1时得1＜x ＜a ，此时解集中的整数为2,3,4，则4＜a ≤5，当a ＜1时得a ＜x ＜1，则－3≤a ＜－2，故a ∈[－3，－2)∪(4,5]5．选B 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)≥0，f (1)≤0，解得a ≥－235，且a ≤1，故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－235，1. 6．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2.答案：{x |0<x <2}7．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y 2－4y －3<0，解得－12<y <32.答案：⎝⎛⎭⎫－12，328．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2<1，b >1无解．综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)9．解：(1)要使mx 2－mx －1<0恒成立，若m ＝0，显然－1<0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪ m <67.法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 10．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )，当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0，即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}；当a ＜0时，不等式F (x )＞0 的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .第Ⅱ组：重点选做题1．选C 函数图像恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．(2)当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0. 解得1<a <19.综上可知，a 的取值范围是1≤a <19.2．解析：由于f (x )为R 上的奇函数，所以当x ＝0时，f (0)＝0；当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.由f (x )>x ，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0， 解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)。
2015届高考数学(理)一轮复习真题汇编模拟训练6-2《一元二次不等式及其解法》
1. [2014·许昌模拟]若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为{x |－2<x <14}，则ab ＝( ) A ．－28B ．－26C ．28D ．26解析：∵－b a ＝－74，－2a ＝－12， ∴a ＝4，b ＝7，ab ＝28.选C 项．答案：C2. [2014·皖南八校联考]不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [－1,4]B. (－∞，－2]∪[5，＋∞)C. (－∞，－1]∪[4，＋∞)D. [－2,5]解析：x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4，故选A.答案：A3. [2013·浙江高考]已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A. a >0,4a ＋b ＝0B. a <0,4a ＋b ＝0C. a >0,2a ＋b ＝0D. a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)，∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ，∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A.答案：A4. [2014·大连模拟]若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －2)>0的解集为________．解析：由题意可得a ＝b <0，故(ax ＋b )(x －2)>0等价于(x ＋1)(x －2)<0，解得－1<x <2，故所求不等式的解集为(－1,2)．答案：(－1,2)5. [2013·天津调研]设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞)，f (x m)－4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈[32，＋∞)上恒成立， 即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞)上恒成立． 即(1m 2－4m 2)≤(－3x 2－2x＋1)min ， 当x ＝32时函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53， 所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 答案：(－∞，－32]∪[32，＋∞)。
一元二次不等式及其解法 专题练习(含参考答案)
数学31 一元二次不等式及其解法一、选择题1．(2018·广西南宁摸底联考)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( ) A ． [－1,0) B ．[－1,2) C ．(0,1]D ．[1,2)2．(2018·安徽江淮十校联考)不等式|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪(0，12)B ．(－∞，12)C ．(12，＋∞)D ．(0，12)3．(2018·内蒙古包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( )4．(2018·安徽淮北一中模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．[－4，－3) C ．[－4,0)D ．(－3,4]5．(2018·四川绵阳)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( )A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元6．(2018·江西南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)7．(2018·山东临沂期中)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)8．(2018～2019山东洛阳一中月考题)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．[－2,5] 二、填空题9．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为10．(2018·全国名校大联考)不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为 . 11．不等式－12<1x<2的解集为 .12．(2018·吉林辽源五校期末联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2，则不等式af (－2x )>0的解集是 .三、解答题13．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．14．(2018·天津红桥区期中)已知一元二次不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |1<x <3}．(1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式2x ＋ax ＋b >1.1．(2018·衡水金卷联考)已知集合M ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，N ＝{x |2x >4}，则( ) A ．M ∩N ＝{x |2<x <4} B ．M ∪N ＝R C ．M ∩N ＝{x |2<x ≤4}D ．M ∪N ＝{x |x >2}2．(2018·四川眉山中学期中)“0<m <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋m 2－1＝0有两个异号实数根”的什么条件( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．(2018·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19]4．(2018·安徽淮北濉溪月考)若关于x 的不等式ax >b 的解集为(－∞，15)，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为 .5．(2018·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式，f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.【参考答案】一、选择题1．(2018·广西南宁摸底联考)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( C ) A ． [－1,0) B ．[－1,2) C ．(0,1]D ．[1,2)[解析] 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C ．2．(2018·安徽江淮十校联考)不等式|x |·(1－2x )>0的解集为( A ) A ．(－∞，0)∪(0，12)B ．(－∞，12)C ．(12，＋∞)D ．(0，12)[解析] 很明显x ≠0，则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，x ≠0，解得x <12且x ≠0，所以实数x 的取值范围是(－∞，0)∪(0，12)．3．(2018·内蒙古包头模拟)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的大致图象为( C )[解析] 由题意得⎩⎨⎧a <0，－2＋1＝1a，－2×1＝－ca，解得a ＝－1，c ＝－2.则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x＋2，由二次函数的图象可知选C ．4．(2018·安徽淮北一中模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( C ) A ．(0,3) B ．[－4，－3) C ．[－4,0)D ．(－3,4][解析] 由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，令f (x )＝(x ＋1)·(x －3)，则f (x )图象的对称轴是直线x ＝1，故f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，f (x )在x ＝1处取得最小值，为－4，在x ＝3处取得最大值，为0，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4,0)．5．(2018·四川绵阳)国庆节期间，绵阳市某大型商场举行“购物送券”活动，一名顾客计划到该商场购物，他有三张商场的优惠券，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠券A ：若商品的标价超过100元，则付款时减免标价的10%； 优惠券B ：若商品的标价超过200元，则付款时减免30元；优惠券C ：若商品的标价超过200元，则付款时减免超过200元部分的20%.若顾客想使用优惠券C ，并希望比使用优惠券A 或B 减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于( B )A ．300元B ．400元C ．500元D ．600元[解析] 设购买的商品的标价为x 元，则(x －200)×20%>x ·10%，且(x －200)×20%>30，解得x >400，选B ．6．(2018·江西南昌重点校联考)如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( A )A ．(0,1)B ．(－2,1)C ．(－2,0)D ．(－2，2)[解析] 记f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋m 2－2，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)<0，f (1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－(m －1)＋m 2－2<0，1＋(m －1)＋m 2－2<0，解得0<m <1.选A ． 7．(2018·山东临沂期中)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( C )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析] ∵关于x 的不等式ax －b <0的解集为(1，＋∞)，∴a <0且ba ＝1，即a ＝b ，∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可转化为(x ＋1)(x －3)<0.解得－1<x <3，故选C ．8．(2018～2019山东洛阳一中月考题)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( A )A ．[－1,4]B ．(－∞，－2)∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．[－2,5][解析] x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.故选A ．二、填空题9．(2015·广东卷)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为__{x |－4<x <1}___. [解析] －x 2－3x ＋4>0⇔x 2＋3x －4<0⇔(x ＋4)(x －1)<0⇔－4<x <1.10．(2018·全国名校大联考)不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为__{x |－a <x <3a }___. [解析] ∵x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )·(x ＋a )<0，a >0，∴－a <3a ，则不等式的解集为{x |－a <x <3a }．11．不等式－12<1x <2的解集为 (－∞，－2)∪(12，＋∞) .[解析] 原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－12，1x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x >0，1－2x x <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，x (x －12)>0，解得x <－2或x >12∴不等式的解集为(－∞，－2)∪(12，＋∞)．12．(2018·吉林辽源五校期末联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1和2，则不等式af (－2x )>0的解集是 (－1，12) .[解析] ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－1,2，∴－1,2是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－a ，－1×2＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，∴f (x )＝x 2－x －2.不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －2)>0，则2x 2＋x －1<0，解集为(－1，12)．三、解答题13．已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }，求k 的值；(3)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围； (4)若不等式的解集为∅，求k 的取值范围．[解析] (1)由不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}可知k <0，且－3与－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0的两根，∴(－3)＋(－2)＝2k ，解得k ＝－25.(2)由不等式的解集为{x |x ∈R ，x ≠1k }可知⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2＝0，解得k ＝－66.(3)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ k <0，Δ＝4－24k 2<0，解得k <－66.(4)依题意知⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝4－24k 2≤0，解得k ≥66.14．(2018·天津红桥区期中)已知一元二次不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |1<x <3}． (1)求实数a ，b 的值； (2)解不等式2x ＋ax ＋b>1.[解析] (1)因为一元二次不等式x 2－ax －b <0的解集是{x |1<x <3}，所以1和3是x 2－ax －b ＝0的两个实数根，得1＋3＝a,1×3＝－b ，即a ＝4，b ＝－3.(2)不等式2x ＋a x ＋b >1，即2x ＋4x －3>1，即x ＋7x －3>0，即(x －3)·(x ＋7)>0，解得x >3或x <－7，故原不等式的解集为{x |x >3或x <－7}．1．(2018·衡水金卷联考)已知集合M ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}，N ＝{x |2x >4}，则( C ) A ．M ∩N ＝{x |2<x <4} B ．M ∪N ＝R C ．M ∩N ＝{x |2<x ≤4}D ．M ∪N ＝{x |x >2}[解析] M ＝{x |x 2－5x ＋4≤0}＝{x |1≤x ≤4}，N ＝{x |x >2}．所以M ∩N ＝{x |2<x ≤4}，M ∪N ＝{x |x ≥1}．故选C ．2．(2018·四川眉山中学期中)“0<m <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋m 2－1＝0有两个异号实数根”的什么条件( A )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要[解析] x 2＋x ＋m 2－1＝0两根异号⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4(m 2－1)>0，m 2－1<0.解得－1<m <1，∵(0,1)(－1,1)，∴“0<m <1”是“关于x 的方程x 2＋x ＋m 2－1＝0有两异号实根”的充分不必要条件，故选A ．3．(2018·黄冈模拟)若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( C )A ．[1,19]B ．(1,19)C ．[1,19)D ．(1,19][解析] 函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1.若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意；若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意．当a 2＋4a －5≠0时，应有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4a －5>0，16(a －1)2－12(a 2＋4a －5)<0，解得1<a <19.综上1≤a <19.故选C ．4．(2018·安徽淮北濉溪月考)若关于x 的不等式ax >b 的解集为(－∞，15)，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为 (－1，45) .[解析] 因为关于x 的不等式ax >b 的解集为(－∞，15)，所以a <0，b a ＝15，所以不等式ax 2＋bx －45a >0可化为x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，解得－1<x <45，所以不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为(－1，45)．5．(2018·河北正定中学月考)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R .(1)若不等式，f (x )>(a －1)x 2＋(2a ＋1)x －3a －1对任意的x ∈[－1,1]恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若a <0，解不等式f (x )>1.[解析] (1)原不等式等价于x 2－2ax ＋2a ＋1>0对任意的x ∈[－1,1]恒成立， 设g (x )＝x 2－2ax ＋2a ＋1＝(x －a )2－a 2＋2a ＋1，x ∈[－1,1]； ①当a <－1时，g (x )min ＝g (－1)＝1＋2a ＋2a ＋1>0，无解；②当－1≤a ≤－1时，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1>0，得1－2<a ≤1； ③当a >1时，g (x )min ＝g (1) ＝1－2a ＋2a ＋1>0，得a >1. 综上，实数a 的取值范闱为(1－2，＋∞)．(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a －1>0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， 因为a <0，所以(x －1)(x ＋a ＋1a )<0，因为1－(－a ＋1a )＝2a ＋1a ，所以当－12<a <0时，1<－a ＋1a ，解集为{x |1<x <－a ＋1a}；当a ＝－12时，不等式可化为(x －1)2<0，不等式无解；当a <－12时，1>－a ＋1a ，解集为{x |－a ＋1a<x <1}．。