圆的相关定理

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有关初中圆的定理

1.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α,都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．ﻫ圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理) ﻫﻫ切线长定理ﻫﻫ垂径定理圆周角定理ﻫ弦切角定理四圆定理3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等. ﻫ4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. ﻫ5．把整个圆周等分成3６0份,每一份弧是1°的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.ﻫ6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转1８０°后能够与原来图形重合,这一性质不难理解.圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度,都能够与原来的图形重合. ﻫ7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧8.(1)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧ﻫ（2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧(３）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧ﻫﻫ９.圆的两条平行弦所夹的弧相等ﻫ10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(２)同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. ﻫﻫ（3）半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．ﻫ(４)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ﻫ11.（1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．ﻫ(２)垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. ﻫﻫ(３)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(4）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.ﻫ(5)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.ﻫ(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.ﻫ1２.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．ﻫﻫ垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．ﻫ1３.平分弦（不是直径）的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.１４.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等，所对的弦的弦心距也相等.16．同一个弧有无数个相对的圆周角.1７．弧的比等于弧所对的圆心角的比．ﻫ１8．圆的内接四边形的对角互补或相等．19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.２0.直径是圆中最长的弦．21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧。

圆的性质定理

圆的性质定理一．定理：1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并平分弦所对的两条弧。

2.垂径定理的推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（5个条件：①直径②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧，满足其中两个，其他三个也成立。

注：当具备①③时，需对另一条弦增加它不是直径的限制。

）3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

4．圆周角定理的推论：(1)同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等；(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们的切线长相等圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。

5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

6.弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

7.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这一点到每条割线与园的交点的两条线段长的积相等。

8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线二．性质：1.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。

2.确定圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确定（有且只有）一个圆。

（作法：连接任意两点并作其中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中任意一点的距离为半径作圆）3.切线性质概述：（1）垂直于切线（2）过切点（3）过圆心，如果一条直线满足这三个条件中任意2个，那么就满足第3个。

（遇到切点连半径）补充3：切线五大性质：（1）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（3）切线垂直于过切点的半径（4）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

圆的十大定理

圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。

这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。

二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。

这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。

三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。

这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。

四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。

五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。

这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。

六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。

这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。

七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。

八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。

这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。

九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。

这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。

十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。

与圆有关的定理

与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。

4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。

5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）。

7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。

8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。

10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。

12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

13、定理：把圆分为n(n≥3)：。

圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。

在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。

圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。

半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。

2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。

直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。

圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。

4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。

直径是最长的弦。

5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。

角度是以度为单位的度量，用符号°表示。

二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。

2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。

3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。

4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。

5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。

6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。

三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。

4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。

总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。

通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。

希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。

圆的性质与定理

圆的性质与定理圆是一种具有特殊几何性质的几何图形，它由一条曲线组成，这条曲线上的每一点到圆心的距离都相等。

在数学中，关于圆的性质和定理有很多，它们帮助我们深入理解圆的特点和应用。

一、圆的基本性质1. 圆心和半径：圆心是圆上所有点的中心，用字母O表示。

半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。

2. 直径和周长：直径是穿过圆心的两个点之间的距离，等于半径的两倍。

周长是圆的边界长度，等于直径乘以π（圆周率）。

二、圆的重要定理1. 同圆弧定理：如果两条弧所对应的圆心角相等，则这两条弧是同圆弧。

2. 同弦定理：如果两条弦所对应的圆心角相等，则这两条弦是同弦。

3. 弧长定理：圆内任意一段圆弧的长度等于这段圆弧所对应的圆心角的弧度数乘以半径的长度。

即弧长 = 圆心角的弧度数 ×半径。

4. 切线定理：切线与半径垂直。

5. 相切弦定理：从外部一定点引圆的两条切线，这两条切线所夹的弦的长度相等。

6. 弦切角定理：圆内的弦所夹的角等于这条弦所对应的圆心角的一半。

7. 弧切角定理：圆内一条弧与这条弧所对应的切线所夹的角等于这段弧所对应的圆心角的一半。

三、圆的应用1. 圆周率π的计算：π是无理数，它代表了圆的周长与直径的比值。

在计算中常用3.14或22/7作为π的近似值。

2. 圆的面积计算：圆的面积等于半径的平方乘以π。

即面积= π ×半径的平方。

3. 圆的几何画图：在平面几何中，圆的几何画图是重要的基础知识，它包括圆的作图、切线的作图等。

4. 圆与三角形的关系：圆与三角形之间存在着多个重要的性质和定理，如圆内切等著名定理。

综上所述，圆的性质与定理是数学中重要的内容，它们帮助我们更深入地了解圆的特点与应用。

通过学习圆的性质与定理，我们可以解决与圆相关的问题，同时也为进一步学习几何学奠定了坚实基础。

与圆有关的20个定理

与圆有关的20个定理圆是几何学中非常重要的一个图形，其形状和性质在数学和实际生活中有广泛的应用。

以下是与圆有关的20个定理的集合，包括圆的基本性质、圆与其他几何图形的关系和圆上的特殊点和线。

1. 定理1：周长公式圆的周长公式是C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数，大约为3.14。

这个公式可以使用圆的直径d而不是半径r来表达：C = πd。

2. 定理2：面积公式圆的面积公式是A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

与周长公式一样，也可以使用圆的直径来表达圆的面积：A = (π/4)d²。

3. 定理3：圆周的弧度弧度是一种测量角度的单位，它是定义为一个圆弧所对应的圆心角的度数除以360度的比例。

例如，如果一个圆弧所对应的圆心角是90度，则该圆弧的弧度是1/4。

4. 定理4：内切圆内切圆是一个圆，恰好与给定的多边形的内部相切，且每个边都是它的切线。

内切圆的半径称为内切圆半径，且由公式r = A/P得出，其中A是多边形的面积，P是多边形的周长。

5. 定理5：外接圆外接圆是一个圆，它恰好与给定的多边形的每个顶点相切。

外接圆的半径称为外接圆半径且可以由a²+b²=c²公式或者P=2πr公式来计算。

6. 定理6：圆柱体的侧面积一个圆柱体的侧面积是由公式A=2πrh得出的，其中r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高。

7. 定理7：球的表面积球的表面积是由公式A=4πr²得出的，其中r是球的半径。

8. 定理8：圆锥的侧面积一个圆锥的侧面积是由公式A=πrl得出的，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的斜线长度。

9. 定理9：勾股定理勾股定理是一个直角三角形的定理，它表明a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

10. 定理10：圆的切线对于给定的一个圆，一个切线是从圆外的一点切到圆上的一点。

初三数学圆的性质定理

初三数学圆的性质定理1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.4、垂径定理的应用：①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.(1)求证：AB=CD(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4．圆的内接四边形：①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.1、如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD=10cm，AP∶PB=1∶5，那么⊙O的半径是（）2、圆的半径为13cm，两弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则两弦AB、CD的距离是（）A．7cm B．17cm C．12cm D．7cm或17cm3、如下图所示，AB是⊙O的一条固定直径，它把⊙O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．平分D．随点C的移动而移动4、如上中图，BD是⊙O的直径，弦AC、BD相交于点E，则下列结论不成立的是（）A．∠ABD=∠ACD B．C．∠BAE=∠BDC D．∠ABD=∠BDC5、如上右图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠DCF等于（）A．80°B．50°C．40°D．20°6、如下图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=40°，则∠ABO等于__________度．7、如上左二图，△ABC的顶点都在⊙O上，∠C=30°，AB=2cm，则⊙O的半径为__________cm．8、如上左三图，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、A 、B不重合），则∠OAB=__________，∠OPB=__________．9、如右上图，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8cm，则AC=__________cm．10、如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则BC=__________．11、如图，⊙O中的弦AB、CD互相垂直于E，AE=5cm，BE=13cm，O到AB的距离为．求⊙O的半径及O到CD的距离．12、如图，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为正方形并高出水面2m的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．13、如图，AB为⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长到C，使BD＝DC，连接AC交⊙O于点F，点F不与点A重合．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．一、确定圆的条件(1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径，圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．过不在同一条直线上的三点确定一个圆2、经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．因为画圆的关键是确定圆心和半径，所以作三角形的外接圆时，只要找三边垂直平分线的交点，这就是圆心，以这点到三角形任一顶点间的距离为半径就可作出三角形的外接圆．3、利用尺规过不在同一条直线上的三个点作圆的方法作法图示1．连结AB、BC2．分别作AB、BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3．以O为圆心，OA为半径作圆⊙O就是所要求作的圆例1、已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？（1）（2）（3）例3、如图，点A、B、C表示三个村庄，现要建一座深水井泵站，向三个村庄分别送水，为使三条输水管线长度相同，水泵站应建在何处？请画出图，并说明理由．1、下列关于外心的说法正确的是（）A．外心是三个角的平分线的交点 B．外心是三条高的交点C．外心是三条中线的交点 D．外心是三边的垂直平分线的交点2、下列条件中不能确定一个圆的是（）A．圆心和半径B．直径 C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点3、三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．到三个顶点的距离相等 C．外心在三角形外D．外心在三角形内4、等腰三角形底边上的中线所在的直线与一腰的垂直平分线的交点是（）A．重心B．垂心 C．外心D．无法确定5、如图所示，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A．点P B．点Q C．点R D．点M6、如图，是△ABC的外接圆，∠BAC=30°，BC=2 cm ，则△OBC的面积是_______.7、直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是_______．8、如图，有一个圆形的盖水桶的铁片，部分边沿由于水生锈残缺了一些，很不美观，为了废物利用，将铁片剪去一些使其成为圆形的，应找到圆心，并找到合理的半径，在铁片上画出圆，沿圆剪下即可，问应怎么样找到圆心和半径？。

圆的相关概念

1、在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么其余两组也相等2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.3、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于其相对圆心角的一半。

4、确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆。

5、直线与圆位置关系：直线与圆相离 <=> d>r直线与圆相切 <=> d=r直线与圆相交 <=> d<r6、切线的性质：见切点，连半径，得垂直7、切线的判定：先判断直线与圆有无交点有交点，连半径，证垂直无交点，作垂直，证半径8、三角形的外心：三角形外接圆的圆心，它是三角形各边中垂线的交点，它到三角形各顶点的距离相等。

锐角三角形外心在三角形内；直角三角形外心在三角形斜边中点上；钝角三角形外心在三角形外。

9、三角形的内心：三角形内切圆的圆心，它是三角形各内角平分线的交点，它到三角形各边的距离相等；三角形内心均在三角形内。

10、普通三角形内切圆半径：cb a S r ++=2（S 为三角形面积，a 、b 、c 为三角形的边）直角三角形内切圆半径： 2c b a r -+=（c 为斜边，a 、b 为直角边） 11、正多边形：内角和180)2(⋅-=n ；外角和=360 每个内角n 1802-n ⋅=）（每个外角=n360=中心角正三角形的边长为a ，那么正三角形的中心角是120度，半径是a 33，边心距是a 63；正四边形的边长为a ，那么正四边形的中心角是90度，半径是a 22，边心距是2a ；正六边形的边长为a ，那么正六边形的中心角是60度，半径是a ，边心距是a 23。

12、弧长=180n r π 扇形面积lr r n 213602==π (l 为弧长，n 为所对圆心角，r 为半径) 13、圆柱侧面积=rh π2 圆柱表面积=222r rh ππ+（r 为底面半径，h 为侧面的高）14、圆锥侧面积=rl π 圆锥表面积=2r rl ππ+圆锥侧面展开图圆心角计算 1802l n r ππ= （l 为圆锥母线，r 为底面半径，在圆锥的侧面展开图中，母线l 将为成为扇形半径，底面周长成为扇形弧长）。

圆形常结论及其结论(完全版)

圆形常结论及其结论(完全版)圆形常结论及其结论（完全版）
1. 引言
圆形常结论是数学中一类重要的命题或推论，它们与圆形相关
且具有普遍适用性。

本文将介绍一些常见的圆形常结论及其结论。

2. 直径定理
直径定理是圆形常结论中最基本且最重要的定理之一。

它表明：在任何圆中，通过圆心的直径都是最长的直线段。

3. 弧长定理
弧长定理是另一个常见的圆形常结论。

它指出：在同一个圆中，两个弧所对应的圆心角相等，则它们的弧长之比等于它们所对应的
圆心角的弧度之比。

4. 垂径定理
垂径定理是圆形常结论中与垂直关系密切相关的定理。

它表明：在任何圆中，垂直于弦的直径经过弦的中点。

5. 正弦定理
正弦定理并非专门针对圆形，但在解决圆形相关问题时常常使用。

它是三角学中的常用定理，用于计算三角形的边与角之间的关系。

6. 弧角定理
弧角定理也是处理圆形相关问题时常用的定理。

它指出：在同
一个圆中，圆心角的度数是其所对应的弧所包含的度数的两倍。

7. 结论
圆形常结论为我们解决与圆相关的问题提供了重要的线索和工具。

通过应用这些结论，我们可以简化求解过程，提高问题解决的
效率。

然而，在应用时还需注意问题的具体条件和前提，避免错误的推断。

希望本文能为读者提供有关圆形常结论的基本知识，并在解决数学问题时发挥积极的作用。

参考文献
- 张咏红. 数学常见问题解题全纪实. 北京: 高等教育出版社, 2009.
- テキストデータ。

各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)

托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。

证明一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。

）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)而∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。

首先注意到复数恒等式：(a − b)(c− d) + (a− d)(b− c) = (a− c)(b− d) ，两边取模，运用三角不等式得。

等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

四点不限于同一平面。

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。

在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。

在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD；因为∠ABK + ∠CBK =∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。

有关初中圆的定理[精选.]

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）切线长定理垂径定理圆周角定理弦切角定理四圆定理3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧最新文件仅供参考已改成word文本。

初中数学圆常用定理

初中数学圆常用定理
圆常用定理是我们初中数学学习中的重要知识点之一。

在学习圆的相关内容时，圆常用定理可以帮助我们更好地解决一些实际问题，也为我们日后的学习打下了重要的基础。

圆常用定理总共有三个，分别是：切线定理、弦切定理、弦长定理。

切线定理指出：在圆的切点处，切线与半径垂直。

也就是说，若以 $O$ 为圆心，$P$ 为切点，则 $\angle OPA=90^{\circ}$。

利用切线定理，我们可以解决一些与圆相关的实际问题，比如计算弧长、面积等。

弦切定理指出：若有一条与圆相交的弦 $AB$ 和一条切线 $CD$，则 $\angle ACD=\angle CBD$。

也就是说，弦切定理可以帮助我们找到两个相交角度相等的角。

弦长定理指出：若有一条与圆相交的弦 $AB$，则 $AB$ 的长度等于它所对应的两条弓长之和的一半。

也就是说，我们可以通过弦长定理计算出任意一条弦的长度。

总的来说，圆常用定理虽然简单，但却是圆的基础定理，是我们后续学习更深层次的圆的知识的前提。

因此，我们应该重视这些定理的学习，努力掌握它们的应用方法，从而更好地解决数学问题。

圆的各种定理

圆的各种定理一、垂径定理1. 定理内容- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

- 用符号语言表示：设圆O中，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。

2. 推论- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

- 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

- 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

二、弧、弦、圆心角定理1. 定理内容- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

- 符号语言：在⊙ O中，若∠ AOB=∠ COD，则widehat{AB}=widehat{CD}，AB = CD。

2. 推论- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

三、圆周角定理1. 定理内容- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

- 符号语言：在⊙ O中，∠ BAC是widehat{BC}所对的圆周角，∠ BOC是widehat{BC}所对的圆心角，则∠ BAC=(1)/(2)∠ BOC。

2. 推论- 同弧或等弧所对的圆周角相等。

- 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90^∘的圆周角所对的弦是直径。

- 圆内接四边形的对角互补。

即四边形ABCD内接于⊙ O，则∠ A+∠ C = 180^∘，∠ B+∠ D=180^∘。

四、切线的性质定理1. 定理内容- 圆的切线垂直于经过切点的半径。

- 符号语言：直线l是⊙ O的切线，切点为A，则OA⊥ l。

五、切线的判定定理1. 定理内容- 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

- 符号语言：点A在⊙ O上，OA是半径，直线l⊥ OA于点A，则直线l是⊙O的切线。

六、切线长定理1. 定理内容- 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

圆的定理

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．3．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）4．切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角）5．垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧）圆周角定理弦切角定理（定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角））3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.。

圆的常用定理

圆的常用定理垂径定理1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

2．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。

弦切角定理⑴定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

⑵弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

如图，P A是⊙O的切线，A是切点，AB是弦，则∠P AB＝∠ACB。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图，PT是⊙O的切线，T是切点，P AB、PCD是割线，则PT2＝P A·PB，P A·PB＝PC·PD。

【例1】如图，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC 于点D。

⑴求证：CE2＝CD·CB；⑵若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

【例2】⑴如图，PC是半圆的切线，且PB＝OB，过B的切线交PC于D，若PC＝6，则⊙O半径为______，CD∶DP＝______。

⑵如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P是BA延长线上的点，连结PC交⊙O于F，如果PF＝7，FC＝13，且P A∶AE∶EB＝2∶4∶1，那么CD的长是________。

【例3】如图，同心圆O，AC、DF交小圆于B、E两点，求证：AB·AC＝DE·DF。

初中圆的所有定理公式知识点圆锥

初中圆的所有定理公式知识点圆锥曲线
1、圆的定义：圆是由一个定点O和一个固定半径r确定的一种平面图形，记作O(r)。

2、圆心角定理：在任意一个圆上，以其圆心O为原点，从任一点P引出的切线所成的角等于其所对的圆周角。

记作OP=mθ(m为圆心角的角度数)。

3、圆周长公式：圆的周长L=2πr。

4、圆面积公式：圆的面积S=πr^2。

5、内切圆定理：在任意一个多边形内，可以存在一个最大的圆，使其切线都和多边形的边相切。

6、圆与三角形的关系：圆和三角形之间存在以下关系：①三角形内心与圆的圆心重合，半径等于三角形的外接圆半径；②三角形的边等于圆的弦。

7、圆锥曲线定义：圆锥曲线是由一条圆弧和一条直线组成的曲线，圆弧是圆心角为α，半径为R的圆上的弧线，直线是过圆弧上一点P，且垂直到圆心O的直线。

圆的三大定律

圆的三大定律圆，作为几何学中的基本图形之一，拥有许多独特的性质和定律。

在几何学中，研究圆形的性质和定律对于我们理解空间关系以及解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍圆的三大定律：切线定理、切线与半径的关系、弧长和弧度。

切线定理是圆的一个重要定理，描述了切线和半径之间的关系。

根据切线定理，通过圆上任意一点，只存在唯一一条和半径垂直的切线。

这意味着切线与半径之间的夹角是90度。

这个关系对于解决许多与切线有关的几何问题非常有用。

切线与半径的关系是圆的另一个重要定律。

根据切线与半径的关系，切线和半径在切点处相互垂直。

换言之，如果你有一个圆，并且从圆的中心引出一条半径和一条切线，那么这两条线在切点处的夹角将是90度。

这个定律在解决许多和切线有关的问题中起到了关键作用。

弧长和弧度是圆的第三个重要定律。

弧长是指圆上一段弧的长度，弧度是弧长与半径之间的比值。

具体来说，弧度等于圆心角所对的弧长除以半径的长度。

弧度的概念在解决许多与圆相关的问题时非常有用，例如计算圆的弧长、角度等。

除了这些重要定律，圆还有许多其他有趣的性质和定理，如圆周角的性质、正切线的定义等。

通过深入学习圆的性质和定律，我们可以更好地理解它们在实际生活中的应用。

在工程、建筑、地理测量等领域，圆的定律被广泛应用。

例如，在建筑设计中，设计师需要根据切线定理和切线与半径的关系来确定建筑物与地面的角度，以确保建筑物的稳定性和安全性。

在地理测量中，通过测量圆的弧度和角度来计算地球上两个地点之间的距离。

这些实际应用证明了圆的定律的重要性和实用性。

总结起来，圆的三大定律——切线定理、切线与半径的关系、弧长和弧度——是几何学中关于圆的重要定理。

它们不仅帮助我们理解圆的性质和特点，还在解决实际问题时发挥着重要作用。

深入研究和应用圆的定律对于我们的几何学学习和实际生活具有重要意义。

【注：文章主要围绕圆的三大定律展开，语句通顺流畅，符合整洁美观的排版要求。

】。