人教版初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习有答案

人教版初中数学方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习有答案

一、选择题

1．解方程组222221690x xy y x y ⎧-+=⎨=-⎩

． 【答案】1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33

31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【解析】

【分析】

由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，求出的四个二元一次方程组的解就是原方程组的解．

【详解】

解：222221690x xy y x y ⎧-+=⎨-=⎩

①② 由①，得(x ﹣y )2＝16，

所以x ﹣y ＝4或x ﹣y ＝﹣4．

由②，得(x +3y )(x ﹣3y )＝0，

即x +3y ＝0或x ﹣3y ＝0

所以原方程组可化为：

430x y x y -=⎧⎨+=⎩，430x y x y -=⎧⎨-=⎩，430x y x y -=-⎧⎨+=⎩，430x y x y -=-⎧⎨-=⎩

解这些方程组，得

1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33

31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 所以原方程组的解为：1131x y =⎧⎨=-⎩，2262x y =⎧⎨=⎩，33

31x y =-⎧⎨=⎩，4462x y =-⎧⎨=-⎩． 【点睛】

本题考查了二元二次方程组的解法，利用分解因式法将二元二次方程组转化为四个二元一次方程组是解题的关键.

2．直角坐标系xOy

中，有反比例函数)0y x =

＞上的一动点P ，以点P 为圆心的圆始终与y 轴相切，设切点为A

（1）如图1，⊙P 运动到与x 轴相切时，求OP 2的值．

（2）设圆P 运动时与x 轴相交，交点为B 、C ，如图2，当四边形ABCP 是菱形时， ①求出A 、B 、C 三点的坐标．

②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP

面积的1

2

？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）32）①A（0，3B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，314，1638，36，0）．

【解析】

【分析】

（1）当⊙P分别与两坐标轴相切时，PA⊥y轴，PK⊥x轴，x轴⊥y轴，且PA＝PK，进而得出PK2，即可得出OP2的值；

（2）①连接PB，设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，则PH＝

sin60°BP

3

=，P（m

3

），进而得出答案；

②求直线PB的解析式，利用过A点或C点且平行于PB的直线解析式与抛物线解析式联立，列方程组求满足条件的Q点坐标即可．

【详解】

解：（1）∵⊙P分别与两坐标轴相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK．

∴∠PAO＝∠OKP＝90°．

又∵∠AOK＝90°，

∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．

∴四边形OKPA是矩形．

又∵AP＝KP，

∴四边形OKPA是正方形，

∴OP2＝OK2+PK2＝2PK•OK＝2xy＝3=3

（2）①连结BP，

则AP＝BP，由于四边形ABCP为菱形，所以AB＝BP＝AP，△ABP为正三角形，

设AP＝m，过P点向x轴作垂线，垂足为H，

则PH＝sin60°BP

3

2

m

=，P（m，

3

2

m），

将P点坐标代入到反比例函数解析式中，

则2

m 2＝

解得：m ＝4，（m ＝﹣4舍去），

故P （4，

），

则AP ＝4，OA ＝

OB ＝BH ＝2，CH ＝BH ＝2，

故A （0

，B （2，0），C （6，0）；

②设过A 、B 、C 三点的抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）（x ﹣6），

将A 点坐标代入得，

a =

，

故解析式为2y =+ 过A 点作BP 的平行线l 抛物线于点Q ，则Q 点为所求．

设BP 所在直线解析式为：y ＝kx +d ，

则204k d k d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩

解得：k d ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故BP

所在的直线解析式为：y =-

故直线l

的解析式为y =+l

与抛物线的交点是方程组

2y x y ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩

解得：110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩

，22

14x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故得Q （0

，Q （14

，

同理，过C 点作BP 的平行线交抛物线于点Q 1，

则设其解析式为：

y =+e ，则0＝

e ，解得：e ＝﹣

，

故其解析式为：

y =﹣

其直线与抛物线的交点是方程组263y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩

可求得Q 1（8，

6，0）．

故所求满足条件的Q 点有（0

，14

，8

，6，0）．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合运用以及二元二次方程组解法和正方形的判定以及菱形的性质等知识，关键是由菱形、圆的性质，数形结合解题．

3．如图，要建一个面积为45 m 2的长方形养鸡场(分为两片)，养鸡场的一边靠着一面长为14m 的墙，另几条边用总长为22 m 的竹篱笆围成，每片养鸡场的前面各开一个宽l m 的门.求这个养鸡场的长与宽.

【答案】这个养鸡场的长为9m ，宽为5 m.

【解析】

试题分析：设鸡场的长为x m ，宽为y m ，根据鸡场的面积和周长列出两个等量关系，解方程组即可，注意鸡场的长小于围墙的长．

解：设鸡场的长为xm ，宽为ym ，由题意可得：

322245

x y xy +-=⎧⎨=⎩ ，且x <14，解得y =3或5； 当y =3时，x =15；

∵x <14，

∴不合题意，舍去；

当y =5时，x =9，经检验符合题意．

答：这个养鸡场的长为9m ，宽为5m.

4．解方程组：2263100

x y x xy y -=⎧⎨+-=⎩