线性代数课程教学大纲 - 郑州升达经贸管理

《线性代数Ⅱ》教学大纲共科部课程分册郑州大学升达经贸管理学院二〇〇七年十二月《线性代数Ⅱ》教学大纲一、课程说明线性代数是讨论矩阵理论与矩阵理论结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门数学基础学科。

线性代数除了在数学的其它基础学科、自然科学有着传统的联系和应用之外，在科学技术快速发展、生产规模日益扩大以及计算机技术广泛应用的今天，线性代数作为一种数学工具和语言，其应用的领域也越来越广泛，如经济学、管理学、决策科学及计算机的有关基础学科等等。

数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化；能否应用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。

数学教育在培养高素质经济和管理人才以及计算机应用和软件开发人才中越来越显示其独特的、不可替代的重要作用。

线性代数和微积分（高等数学）、概率论与数理统计是高等院校经济类和管理类专业以及计算机专业的专科生必修的三门重要的基础理论课。

线性代数的基本任务是使学生掌握行列式、矩阵、向量的线性相关性、线性方程组、特征值和特征向量、二次型及线性空间和线性变换理论相关的基本概念、基本定理和基本方法，从而为学生学习后继课程及进一步提高打下必要的数学基础，同时要在微积分（高等数学）学习和训练的基础上，进一步地培养学生的逻辑思维和抽象思维能力，综合应用所学的知识分析问题的能力及较强的自主学习能力，提高学生的综合素质，逐步培养学生的探索精神和创新能力。

二、教学要点及教学基本要求第一章 行列式 (一)教学要点 1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n 阶行列式的定义3、行列式的性质4、n 阶行列式ij a D =，元素ij a 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 *5、拉普拉斯展开定理6、克莱姆法则 （二）教学基本要求1、理解n 阶行列式的定义和性质2、会用定义判定行列式中项的符号3、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即+11j i A a +22j i A a ⎩⎨⎧≠==+j i ji D A a jn in 0 +j i A a 11 +j i A a 22⎩⎨⎧≠==+j i j i D A a nj ni0 4、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式，各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开定理降阶*归纳法、递推法、降阶法等。

*5、了解拉普拉斯展开定理6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 （充分性在第三章中证明）第二章 矩阵（一）教学要点 1、矩阵的概念n m ⨯矩阵n m ij a A ⨯=)(是一个矩阵表。

当n m =时，称A 为n 阶矩阵，此时由A 的元素按原来排列的形式构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为A .矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。

2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。

如果两矩阵A 与B 相乘，有BA AB =,则称矩阵A 与B 可换。

（2）方阵的幂：对于n 阶矩阵A 及自然数k ，个k k A A A A ⋅⋅= 规定I A =0,其中I 为单位阵 . *(3) 设多项式函数k k k k a a a a ++++=--λλλλϕ1110)( ，A 为方阵，矩阵A 的多项式I a A a A a A a A k k k k ++++=--1110)( ϕ,其中I 为单位阵。

（4）n 阶矩阵A 和B ，则B A AB =. *4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵A 可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵A 的伴随矩阵记为*A ，I A A AA ==**矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。

6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵A 可逆的又一充分必要条件：A 可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。

7、矩阵的秩：矩阵的k 阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 （二）教学要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵*5、了解分块矩阵及其运算的方法（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。

（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如n m A ⨯，l n B ⨯，将矩阵B 分块为) (21l b b b B =，其中j b （l j 2, ,1=）是矩阵B 的第j 列，则=AB ) (21l b b b A ) (21l Ab Ab Ab =又如将n 阶矩阵P 分块为) (21n p p p P =，其中j p （n j 2, ,1=）是矩阵P 的第j 列.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n P λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21 ) (21np p p = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 0 0 00 0 00 0 0 21) (2211n n p p p λλλ = （3）设对角分块矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=SS A A A A 2211 ,),2,1(s P A PP =均为方阵， A 可逆的充要条件是PP A 均可逆，s P ,2,1=，且⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----11221111 ss A A A A6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简型；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵A 经过有限次初等变换得到矩阵B ,则称矩阵A 和矩阵B 等价，记为B A ≅. n m ⨯矩阵A 和B 等价当且仅当)()(B r A r =,在等价意义下的标准型：若r A r =)(，则 r D A ≅，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=000 r r I D ，r I 为r 阶单位矩阵。

因此n 阶矩阵A 可逆的充要条件为n I A ≅。

第三章 线性方程组 (一)教学要点1、n 维向量；向量的线性运算及其有关运算律记所有n 维向量的集合为nR ，nR 中定义了n 维向量的线性运算，则称nR 为 n 维向量空间。

2、向量间的线性关系（1）线性组合与线性表示；线性表示的判定（2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 （1）设有两个向量组,1α,2αs α )(A ,1β,2βt β )(B向量组)(A 和)(B 可以相互表示，称向量组)(A 和)(B 等价。

向量组的等价具有传递性。

（2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同的个数定义为向量组的秩。

4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解（1）线性方程组的消元解法（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定（3）线性方程组解的结构（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法（5）非齐次方程组解的求法（二）教学要求1、理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、理解向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法* 第四章矩阵的特征值与特征向量一、教学要点1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件3、实对称矩阵的特征值和特征向量向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化二、教学要求1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质2、掌握特征值与特征向量的求法3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。

* 第五章二次型一、教学要点1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系2、二次型与对称矩阵的标准形配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形3、二次型与对称矩阵的有定性二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定二、教学要求1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。

2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范性3、理解二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义；* 第六章线性空间与线性变换一、教学基本要求：1、理解线性空间公理化定义，了解子空间的概念，会判断一个集合是否构成线性空间，或是某个线性空间的子空间。

2、了解线性空间的维数、基坐标等概念，熟悉几个常用线性空间的维数、基；了解两个线性空间同构的概念。

3、掌握两个基之间的过渡矩阵的求法，会使用坐标变换公式。

4、会求在一个基下线性变换的矩阵。

二、教学要点：1、线性空间的概念，子空间。

2、线性空间的基、维数与向量的坐标。

3、基变换和坐标变换公式。

4、变换及线性变换的概念。

5、线性变换的矩阵表示。

三、课程教材及主要参考资料1、赵树嫄，经济应用基础数学（二）《线性代数》（第二版），中国人民大学出版社，2003年2月。

2、张博，《线性代数》（人大第二版）导教、导学、导考，西北工业大学出版社，2004年11月。

3、同济大学数学教研室，《线性代数》（第三版），高等教育出版社，1999年6月（注：本书荣获2000年中国高等科学技术二等奖）。

4、钱志强，《线性代数教学与参考》，中国致公出版社。

2003年8月。

四、其他说明1、本大纲根据国家教委审定的《线性代数》课程的基本要求并结合我院招生的实际状况而编写的，对所选定的教学内容按教学要求不同均分为两个层次：对较高要求的概念、理论用“理解”一词表述；方法、运算用用“掌握”一词表述；要求较低者分别用“了解”、“会”一词表述。