数值求积公式及代数精度数值求导方法与截断误差一阶常微分
(优选)代数精度插值求积及复化公式
Ak f ( xk )
Rn也称为积分余项.
k0
1.2 代数精度
数值积分是一种近似计算,但其中有的公式能对较多的函数 准确成立,而有的只对较少的函数准确成立。为了反映数值积分 公式的准确差别,引入代数精度的概念。
定义1 如果某个求积公式对所有次数不大于m的多项式都精确成 立，而至少对一个m +1次多项式不精确成，则称该公式具 有m次代数精度。
n
Ln (x) f (xk )lk (x) k 0
其中lk(x) 为n次插值基函数。取f (x) Ln(x)，则有：
I
b
f (x)dx
a
b
Ln (x)dx
b
a, 右端
b
a
(1 1)
b
a, 此时公式精确成立.
a
2
当f (x) x时, 左端 b xdx 1 (b2 a2 ), 右端 b a (a b) b2 a2
a
2
2
2
公式也精确成立.
当f (x) x2时, 左端 b x2dx 1 (b3 a3 ), 右端 b a (a2 b2 ),
f
(x)dx
(b
a)
f
a
2
b
中矩形公式
更一般地在区间[a, b] 上适当选取某些点xk (k=0,1,…,n), 然后
用f (xk) 的加权平均值近似地表示f (),这样得到一般的求积公式：
b
n
I f (x)dx a
Ak f (xk ) In
k 0
(7 -1)
其中,点xk 称为求积节点,系数Ak 称为求积系数，Ak 仅仅与节 点xk 的选取有关,而不依赖于被积函数f (x)的具体形式。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值积分方法讨论
数值积分方法讨论一、积分方法的定义与分类在数学中，积分是一个重要的概念，用于计算曲线下面的面积或者曲面下面的体积。
而数值积分方法，则是一种近似计算积分的方法，它通过离散化和近似的方式来代替精确的积分计算。
数值积分方法可以分为以下几类：1.牛顿-科茨公式(NC公式)NC公式是一种非常常见的数值积分方法，它基于牛顿插值多项式的思想，将被积函数近似为一个多项式，并通过对多项式进行积分来近似计算原函数的积分。
通过选择不同的插值节点和插值多项式的次数，可以得到不同精度的数值积分结果。
2.梯形法则梯形法则是一种基于线性插值的数值积分方法，它将被积函数近似为一系列梯形的面积之和。
具体而言，梯形法则将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形来近似被积函数的曲线，最后将所有梯形的面积相加得到数值积分结果。
3.辛普森公式辛普森公式是一种基于二次插值的数值积分方法，它将被积函数近似为多个二次多项式，并通过对这些多项式进行积分来近似计算原函数的积分。
辛普森公式的核心思想是将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用二次多项式来近似被积函数的曲线，最后将所有小区间上的积分结果相加得到数值积分结果。
二、数值积分方法的误差分析数值积分方法在计算积分时会引入一定的误差，这些误差包括截断误差和舍入误差。
截断误差是由于对被积函数进行近似表示而引入的误差，而舍入误差则是由于计算机数值计算的有限精度而引入的误差。
1. 截断误差截断误差主要受到数值积分方法的选择和精度的影响。
例如，在牛顿-科茨公式中，选择不同的插值节点和插值多项式的次数会对截断误差产生影响。
一般来说，使用更多的节点和更高次数的多项式可以减小截断误差，提高数值积分的精度。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机数值计算的有限精度而引入的误差。
在计算机中，浮点数的存储和运算都存在精度限制，因此在进行数值积分计算时，可能会发生舍入误差。
为了减小舍入误差，可以采用一些数值稳定的计算方法，如使用高精度计算库或者更精确的数值计算算法等。
数值积分代数精与误差
取 f ( x) lk ( x) k 0,1, 2, , n
b
n
a lk ( x)dx A j lk ( x j ) Ak
j0
n
因此求积公式 In ( f ) A是k插f 值( x型k 的) 。 k0
n t 2 (t 1)L (t n)dt
0
（2）当n为奇数时，如果 f C (n1，)[a则, b]
Rn[
f
]
C
hn2
n
f
( n 1)
(
)
其中
Cn
(n
1 1)!
n
t(t 1)L
0
(t n)dt
n
定理：形如 In ( f ) 的Ak求f积( x公k 式) 至少 k0
有n次代数精度的充要条件是它是插值型求积公式。
4 f (ab) 2
f (b)
3次代数精度
Simpson公式 设 f (4)( x) 连续
b
R2[ f ]
f ( x)dx S( f )
a
构造次数不超过3次的多项式 H3( x)，满足：
H3(a) f (a), H3(b) f (b) H3(c) f (c), H3(c) f (c)
成为等式。
梯形公式
1
I1( f ) Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1) k0
T( f ) b a f (a) f (b) 1次代数精度
2
梯形公式
b
b f ( )
R1[ f ]
f ( x)dx T ( f )
a
a
( x a)( x b)dx 2!
证明： 充分性 设它是插值型求积公式
数值分析公式大全
数值分析，第一章2，相对误差和绝对误差e*=x*-x;屮少-玖估计值(対_说・2, 误差限和相对误差限「纠h-x|3, 有效数字官方定义：若近似值丫的误差限是某一位的半个单位，该位到X 的第一位非零有效数字 共有n 位，就说x ■有n 位有效数字。
表示为:x*=± 10mX (ai+a ：X 10~l +a>X 10-2+•••+a B X IO 」")=±ax. a,a$・・・a»。
其中型为0至9中之一,a,不为0, m, n 都是整数。
公式：z =|x-x B |^ix io m ~n+1 相对误差限公式，具有n 为有效数字，一W 舟Xl (m若£讥藹％ IO' “T,则，•至少具有n 为有效数字。
4, 病态问题的条件数，相对误差比值呻扰动“"・误差为字函数值f Z)的相对误差二号泸 相对误差比值为：f 卑-f/㈣刽字斗二Cp (也称为条件数)f (X >| X || /(X )第二章：插值法1. 多项式插值P (x)为 n 阶多项式,P (x) =a 0+a a x+a 2x 2+•••+a n x n ,街为实数。
1 %0…琦•a （yy解法：a 解方程组：Aa=y.其中A=1 %1 …xf ♦ 8 = ■ ■ ■ > y= yi • •• • • • 1耳…昭•%2, 拉格朗口插值[1]线性插值Ll=yJk +yk*Jk*l插值基函数^上沁，iM=q- 班一斗十1x k+1-x k【2】抛物线插值L2=y k l k +y M .1l k ^i+y k ^2lk*2【3】N 次插值多项式(通解)Ln=yol 0+yili+y 2l2+插值基函数叭鳥:::;工鳥,lk*l+丄一4+2)（X-斗）（X-X|c+J他+2 - 耳）他+2 -m+J(X-Xo )・・・(x_x/c-十J・・・(x-X n )(x k^x o)tut(x k^x k-l)(x k^x k^l)9,,(x k^x n)设U) «H(X)=(x —X0) ...(X — %k_i)(X — Xfc+1) ... (x — x n)有U) *(») =(x fc一%o) ••• g一x" (x k一X fc+1) ... (%k 一%n)wn+1 <x)(x-Xfc)w n+1 <xjc)余项公式N次插值多项式的余项形式R n=f (x) -Ln (x)』一_ (x) =K(x) 0)刊(x) , ( 6 (a, b)(H+A)'§的位宜耒知，但冇截断误差限：l^nWl < ^)j|wn+i(x)|, »U=max aSxSI,|f(n+1)(x)|3, 均差(差商)一阶均差;二阶均差：f[x0/，xl高阶均差：f[x“ xl.…，xj」®小••…机-d-g・・・・• 朴] x k~x k-l性质：1, k阶均差可表示为函数值f (x0), f(X]),…，f (x n)的线性组合2, 对称性，与节点次序无关3, 【前后项】f[x。
数值求积公式
数值求积公式数值求积公式（Numerical Integration Formula），是数值分析中的重要概念，是指通过数学方法把一个连续函数在一个给定区间内的积分值近似计算出来的方法。
由于很多实际问题中的积分式是难以求解的，在计算机计算中，采取数值求积公式可以减少工作量，提高计算精度。
数值求积公式还有一个别名——数值积分。
相对于解析积分，数值积分的特点是可以对任何函数进行积分。
只要你能够用程序对函数进行求值，就可以计算相应的数值积分。
本文将在介绍数值求积公式的基本概念、计算方法、误差分析等方面进行详细的阐述。
一、基础概念1. 定义数值求积公式就是在求解一个确定积分的同时，用近似值代替积分值。
如果一个函数是在一个已知积分区间内可积的，那么我们就可以用数值积分的方法对该函数进行计算，并得到其数值积分值。
2. 积分区间能够进行数值积分的函数，必须在一个已知的积分区间内是可积的。
所谓积分区间，就是指一个确定的区间，该区间内的函数在数学上是成立的，可以进行积分。
3. 数值积分的目的数值积分的主要目的是求出积分函数在某个区间内的近似值，而这个近似值是通过一系列的数值计算所得的。
虽然这种方法无法完全解决所有的积分问题，但是它能够有效地求解一些特殊积分或者是一些无法用解析方法求解的积分。
4. 数值积分的特点数值积分的计算方法是基于一定的近似方法进行的，所以它其实是属于一种“近似计算”的方式。
和解析积分不同的是，数值积分从本质上来讲并不是“精确的”，因为不管采用何种数值积分方法，都需要一定的近似误差。
另外，数值积分通常需要输入整个积分区间的求积函数，这需要求积函数满足一定的数学条件，例如必须是一个连续函数，而且必须在整个积分区间上是有限的。
二、计算方法数值求积公式的计算方法主要有以下几种。
1. 复合梯形公式所谓复合梯形公式，就是对积分区间进行分割，对每一小段积分采用梯形法则进行微积分近似，然后对所有子积分区间的积分近似值求和。
数值分析考试知识点总结
数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。
一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。
数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。
1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。
例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。
截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。
由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。
舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。
二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。
1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。
插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。
常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。
常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。
三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。
1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。
复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。
2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。
要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法，是指通过数值代数和解析几何的思想和方法，利用计算机技术进行数学计算和问题求解的方法。
它在科学计算、工程技术、金融统计等领域都有广泛应用。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，以及其在实际问题中的应用。
一、基本原理数值计算方法的基本原理是将连续问题离散化，然后通过数值逼近来求解。
离散化是将整个问题分割成一系列的小问题，求解这些小问题，最后再将结果组合起来得到整体的解。
数值逼近是指我们通过一系列数值计算来逼近问题的精确解，以达到预期的计算精度。
二、常用技术1. 插值法插值法是指根据已知数据点的函数值，通过构造一个插值函数来估计中间点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过构造一个多项式，使其经过已知数据点，然后利用该多项式来求解中间点的函数值。
牛顿插值法是通过构造一个差商表，然后利用差商表来计算中间点的函数值。
2. 数值积分数值积分是指通过数值方法来计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
梯形法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的梯形面积来逼近函数的积分。
辛普森法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的曲线面积来逼近函数的积分。
龙贝格法则是通过不断加密求解区间，然后通过龙贝格加法将不同精度的近似值进行组合，从而得到更高精度的积分结果。
3. 数值微分数值微分是指通过数值方法来计算函数的导数。
常用的数值微分方法有有限差分法和牛顿差商法。
有限差分法是通过计算函数在一些离散点上的差分值，然后用差分值逼近函数的导数。
牛顿差商法是通过构造差商表，然后利用差商从而计算函数的导数。
4. 方程求解方程求解是指通过数值方法来求解非线性方程或线性方程组的根。
常用的方程求解方法有二分法、牛顿迭代法和高斯消元法。
二分法是通过不断将区间分成两部分，然后根据函数值的符号变化来确定方程的根。
牛顿迭代法是通过在初值附近进行迭代，根据切线与横坐标轴的交点来逼近根。
数值分析4 - 数值积分
从 而该公式对次数 n的代数多项式精确成立 。 故有m n。
(充 分 性 ) “”
若m n,由lk ( x)的次数为 n, 对f ( x) lk ( x) (lk ( x)为n次Lagrange插值
有 ( x ) f ( x )dx ( x )l k ( x )dx ， 基函数 )， a a
说明：不研究一般的求积公式。 ( n1) 推论2：若 f C [a, b] ，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b a
f ( n1) ( ( x )) ( x) n1 ( x )dx， ( n 1)!
(4)
其中 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
1 f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1)]的代数精度. 3
分析：由等价定义， 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
k为 奇 数 0, k 1 1 ( 1 ) k 2 解： I k 1x dx k 1 , k为 偶 数 k 1 1 1 当f ( x ) 1时(k 0), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 4 1 1) 2 I 0 ; 3 3 1 1 当f ( x) x时(k 1), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 4 0 1) 0 I1; 3 3
1
1 1 2 当f ( x ) x 时( k 2), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 2 ; 3 3 3 1 1 当f ( x ) x 3 时( k 3), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 0 1) 0 I 3 ; 3 3 1 1 2 2 4 当f ( x ) x 时( k 4), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 4。 3 3 3 5
数值计算方法 代数精度 - 代数精度
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
这是关于 Ak的线性方程组，其系数矩阵
1
x0
x02
x0n
1 1
x1
xn
x12
xn2
x1n xnn
是范得蒙德矩阵,当 xk (k 0,1,, n) 互异时非奇异,故 Ak 有唯一解。
典型例题
例2
试确定一个至少具有2次代数精度的公式
f
(1)
20
f
(3)
结构分析
2 .如 果 参 数 x k 和 Ak均 未 知 ， 则 方 程 组 为 非线 性 的
A0 A1 An b a
A0 x0 A0 x0n
A1x1
An xn
b2
2
a2
A1x1n
An xnn
bn1 an1 n1
非线性方程组求解很困难
定理
n+1个节点的求积公式
1
2
左右相等
典型例题
当 f ( x )分 别 为 常 数x 2或 x 3时 ,
2 f ( x) x2 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x2 1
3
1
2
1 f ( x) x3 1 f ( x )dx 1 [ f (1) 2 f (0) f (1)] f ( x )x3 0
n
Ak
x
m k
k0
1 m 1
bm1 a m1
b x mdx
a
构 造 求 积 公 式, 原 则 上 是 确 定 参 数x k和 Ak的 代 数 问 题.
结构分析
A0 A1 An b a
1.如
数值求积公式及代数精度
yn+1= yn+ h[c1k1+ c2k2]
k1=f (xn, yn) k2=f(xn+λ2h, yn+μ21hk1)
( n=0,1,······ )
四阶龙格-库塔公式(称为经典公式)
yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6
k1=f(xn,yn), k2=f(xn+0.5h, yn+0.5hk1) k3=f(xn+0.5h, yn+0.5hk2), k4=f(xn+h, yn+hk3)
14/18
Ex3. 定积分
b
f (x)dx
的计算问题可化为初值问题
a
y’= f (t) , y(a)=0
N1
试证明用Euler公式计算结果为 y(b) f(tn)h
其中, h = (b – a )/N,
tn= a + n h
n0
( n = 0,1,2,···, N)
Ex4. 试证明4阶Range-Kutta公式解[a, b]内初值问题
《数值分析》习题课 IV
数值求积公式及代数精度 数值求导方法与截断误差 一阶常微分方程数值法 局部截断误差与精度
插值型求积公式:
b
n
f(x)d x
a
A j f(xj)
n
j0
拉格朗日插值 f(x) lj(x)f(xj)
令 求积余项
j0
A ja b lj(x )d,x (j 0 ,1 ,2 , ,n )
y’= f (x) , y(a)=0
结果有: y (b ) h 6 N n 0 1 [f(x n ) 4 f(x n 1 /2 ) f(x n 1 )]
数值分析第七章
b
a
f ( x )dx A0 f (a ) A1 f (b)
6/17
插值型求积公式
对 [a，b]做分划: a≤ x0 < x1 < x2 < …… < xn≤b
n
Lagrange插值
f ( x) l j ( x) f ( x j )
j 0
b n j 0 a
令
b
a
f ( x )dx [ l j ( x )dx] f ( x j )
L 4a
/2
0
1 e cos t dt
2 2
/2
0
1 e 2 cos2 t dt ?
2/17
椭圆周长计算的数值方法:
取正整数n, 令 2 /(n 1),
t k k , (k 0,1,, n 1)
xk a cost k , yk b sint k
k 0
n
R[f ] —— 数值求积公式余项 x0, x1, · · · , xn —— 求积结点
A0, A1, · · · , An —— 求积系数 例1. 梯形公式: a b
b
a
ba f ( x )dx [ f (a ) f (b)] 2
A0 = (b – a )/2 A1 =(b – a )/2
b
a
1 b (4) R[ f ] f ( )( x x0 )( x x1 )2 ( x x2 )dx 4! a
a
b
( x x0 )( x x1 )( x x2 )dx h
4 1 1
h (u 1)u(u 1)du h
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
高等数学同济版大学微积分公式
ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式： ·和差化积公式：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
积分数值求解方法总结
插值型求积公式、Newton-Cotes 型求积公式、复化求积公式、Romberg 求积、Guass 求积公式总结 一、 本章知识梳理1、代数精度的概念如果某个求积公式对于次数不超过m 的多项式均准确地成立，但对于1m +次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
2、插值型的求积公式 设[,]a b 上有1n +个互异节点01,,,n x x x ，()f x 的n 次Lagrange 插值多项式为∑==nk k k n x f x l x L 0)()()(其中∏=--=nj ik ix x x x x Lk 0)(，插值型求积公式为()()()nbn k k ak I f L x dx A f x =≈=∑⎰ (1.1) 其中(), 0,1,,bk k aA l x dx k n==⎰。
可看出，{}k A 仅由积分区间[,]a b 与插值节点{}k x 确定，与被积函数()f x 的形式无关。
求积公式(1.1)的截断误差为(1)1[]()()()()(1)!b bn aan bn aR f f x dx L x dxf x dxn ξω++=-=+⎰⎰⎰(1.2)3、.Newton-Cotes 型求积公式被积函数在积分区间内变化平缓，可用等距节点插值公式近似。
将积分区间[,]a b 划分为n 等分，步长b a h n -=，等距节点k x a kh =+，0,1,k =,n 。
此时求积公式(1.4)中的系数可得到简化00()()nnbbbjk k a a aj j k j j kj kx x x a jhA l x dx dx dxx x k j h==≠≠---===--∏∏⎰⎰⎰作变换xa th =+，则有000000()(1)()()!()!(1)()()!()!n k nnnn k j j j kj kn k nn j j kt j h h A hdt t j dt k j hk n k b a t j dt k n k n -==≠≠-=≠--==-----=--∏∏⎰⎰∏⎰令()00(1)()!()!n kn n n k j j kC t j dt k n k n -=≠-=--∏⎰则()()n kk A b a C =-，求积公式(1.1)可简化为 ()0()()()nn k k k I f b a C f x =≈-∑ (1.3)称为n 阶Newton-Cotes 公式，简记为N-C 公式，{}()n k C 称为Cotes 系数。
数值分析重点公式
非线性方程和方程组的数值解法~ b _a1) 二分法的基本原理，误差：x—a err2|&i +2) 迭代法收敛阶：lim =c^0，若p =1则要求0<cc13) 单点迭代收敛定理：定理一：若当x w Ia,b】时，®(x) E la,b］且®'(x)兰I c l，V x^ta,b】，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设(x)满足：① x = l a, b 1时，「(x) ：= l a,bl②XX为冬la,b 】,有申(xj —®(x2)兰I —x2,0 c l c l则对任意初值x0- a,b i 迭代收敛，且：定理三：设(x)在〉的邻域内具有连续的一阶导数，且：\\ ) ::: 1，则迭代格式具有局部收敛性; 定理四：假设(x)在根〉的邻域内充分可导，则迭代格式x r=F：(X j)是P阶收敛的3(： )=0, j =1,11(, P-1, ")(： ) =0(Taylor 展开证明)4) Newton迭代法：f ( x) xi1"f(x)，平方收敛5) Newton迭代法收敛定理：设f (x)在有根区间l.a, b上有二阶导数，且满足:①：f (a)f(b) <0 ；②：f '(x) =0,x ：= a,b)③：f不变号,x 〔a,b】④：初值x^ !-a,b 1 使得f (x) f (x) ：：：0 ；则Newt on迭代法收敛于根二i 』6)多点迭代法：f (X j )f (X j )f(X j 」)X j 1 — XjX j 1X jf(X j ) 一 f (X j 」) f (x jf (X j 1) - f (X 1f (x j )1 + J5收敛阶：P =27) Newton 迭代法求重根(收敛仍为线性收敛)，对 Newton 法进行修改①：已知根的重数 r ， X j “二X j 「r f(Xi )(平方收敛) f (X j )③：三角不等式： x • y 乞x|亠y②：未知根的重数：x 彳=X - U (Xj),u(x)=u (X j )f (x)；，［为f (x)的重根，贝U :-为u(x)的单根。
simpson求积公式的代数精度
simpson求积公式的代数精度
Simpson求积公式是数值积分中常用的一种方法，通过将被积函数在每个小区间上用二次多项式来逼近被积函数的曲线，从而求得定积分的近似值。
在这篇文章中，我们将探讨Simpson求积公式的代数精度。
我们需要了解什么是代数精度。
代数精度是指数值积分方法用多项式逼近被积函数时得到的近似积分值与真实积分值之间的误差。
对于Simpson求积公式而言，其代数精度为4，即用Simpson求积公式计算得到的近似积分值与真实积分值之间的误差是关于步长h的4次多项式。
Simpson求积公式的代数精度为4是如何得到的呢？这涉及到对被积函数进行二次多项式逼近的过程。
在Simpson求积公式中，我们将被积函数在每个小区间上用一个二次多项式来逼近，然后再对每个小区间上的二次多项式进行积分，将得到的结果相加即为整个区间上的近似积分值。
通过数学推导和分析，可以证明Simpson求积公式的代数精度为4。
代数精度的概念对于数值积分方法的选择和应用具有重要意义。
代数精度越高，意味着使用该数值积分方法得到的近似积分值与真实积分值之间的误差越小，计算结果越精确。
因此，在实际应用中，我们可以根据需要选择代数精度不同的数值积分方法来进行计算，以确保计算结果的准确性和稳定性。
Simpson求积公式作为一种常用的数值积分方法，在代数精度上具有较高的优势，能够有效地逼近被积函数的曲线并得到准确的积分值。
通过深入理解Simpson求积公式的代数精度，我们可以更好地应用这一数值积分方法，提高计算效率和准确性，为科学计算和工程应用提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更加深入地了解Simpson求积公式的代数精度及其重要性。
数值计算方法笔记
数值计算方法笔记数值计算方法是一种重要的数学工具，用于解决实际问题中的数值计算和数值模拟。
它涉及到近似计算、数值稳定性、误差分析等方面，广泛应用于科学、工程、经济等领域。
在数值计算方法中，我们经常会遇到各种数值近似方法。
其中，最常用的包括插值法、数值积分法和数值微分法。
插值法可以通过已知数据点的函数值，通过构造插值多项式来估计其他数据点的函数值。
数值积分法用于计算函数的定积分，通过将区间进行离散化，将积分转化为求和的形式来进行计算。
数值微分法则用于计算函数的导数，通过近似求解导数的定义式来实现。
另外，为了提高计算精度和稳定性，数值计算方法也引入了误差分析。
误差分析是指通过分析数值计算过程中产生的误差，来评估计算结果的可靠性。
在数值计算中，常见的误差类型包括截断误差和舍入误差。
截断误差是由于近似计算引入的误差，而舍入误差则是由于在计算过程中对无限小数进行有限位数的近似引入的误差。
通过合理的误差分析，我们可以选择适当的数值计算方法，以及控制误差的范围，从而提高计算结果的准确性。
在实际应用中，数值计算方法还经常需要解决数值不稳定性的问题。
数值不稳定性是指在数值计算过程中，由于计算过程的不稳定性、数值不精确性或数值上溢等原因，导致计算结果出现较大的误差。
为了解决这个问题，我们可以通过使用更稳定的数值计算方法、提高计算精度、降低舍入误差等方式来减小数值不稳定性。
总之，数值计算方法是一门重要的学科，它在科学研究和工程实践中发挥着重要作用。
通过学习和应用数值计算方法，我们可以更好地解决实际问题，提高计算结果的准确性和可靠性。
需要注意的是，在进行数值计算时，我们要充分考虑各种误差来源，并选择适当的数值计算方法和策略，以确保计算结果的有效性和可靠性。
数值分析-第五版-考试总结
第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。
近似值的误差〔为准确值〕：近似值的误差限：近似值相对误差〔较小时约等〕：近似值相对误差限：函数值的误差限：近似值有n位有效数字：第二章：插值法其中：2.拉格朗日插值次插值基函数：引入记号：余项：3.牛顿插值多项式：阶均差〔把中间去掉，分别填在左边和右边〕：余项：4.牛顿前插公式〔令，计算点值，不是多项式〕：阶差分：余项：5.泰勒插值多项式：阶重节点的均差：6.埃尔米特三次插值：其中，A的标定为：7.分段线性插值：第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. 属于维空间：2.范数：3.带权内积和带权正交：4.最正确逼近的分类〔范数的不同、是否离散〕：最优一致〔-范数〕逼近多项式：最正确平方〔-范数〕逼近多项式：最小二乘拟合〔离散点〕：5.正交多项式递推关系：6.勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：7．切比雪夫多项式：递推关系：正交性：在上有个零点：在上有个零点：〔最优一致逼近〕首项的系数：8.最正确平方逼近：法方程：正交函数族的最正确平方逼近：9.最小二乘法：法方程：正交多项式的最小二乘拟合:第四章数值积分与数值微分1.求积公式具有次代数精度求积公式〔多项式与函数值乘积的和〕，对于次数不超过的多项式成立，不成立2.插值型求积公式时的余项4.牛顿-柯特斯公式：将划分为等份构造出插值型求积公式5.梯形公式：当n=1时，6.辛普森公式：当n=2时，7.复合求积公式：复合梯形公式：复合辛普森公式：8.高斯求积公式〔求待定参数和〕：〔1〕求高斯点〔〕：令与任何次数不超过的多项式带权正交，即那么，由个方程求出高斯点。
〔2〕求待定参数：，也为次数不超过的多项式。
9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为的勒让德多项式的零点即为求积公式的高斯点。
10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为的切比雪夫多项式的零点即为求积公式的高斯点。
第五章解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数：2.条件数：第六章解线性方程组的迭代法1.迭代法：2.迭代法收敛：存在。