您的位置：360文档中心› 衡水金卷2015年衡水中学调研卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(二)(扫描版)

衡水金卷2015年衡水中学调研卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(二)(扫描版)

合集下载

河北省衡水市重点中学2015届高三数学上学期第五次调研试卷理含解析

河北省衡水市重点中学2015届高三数学上学期第五次调研试卷理含解析

河北省衡水市重点中学2015届高三上学期第五次调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万5．（5分）命题甲：f（x）是 R上的单调递增函数；命题乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．210．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm311．（5分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，0）或（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中常数项为（用数字作答）14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=1且对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），则f=．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为．16．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1，记集合A={x|x=a n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}，则数列{c n}的前50项和S50=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．18．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．20．（12分）以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE 于点E，延长ED与圆O交于点C．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．河北省衡水市重点中学2015届高三上学期第五次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选B．点评：本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=（）A．1 B．2 C．4 D．8考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．解答：解：由题意可得=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6===2故选B点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．4．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．解答：解：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4∴11时至12时的销售额为3×4=12故选C点评：本题考查频率分布直方图，关键是注意纵坐标表示频率比组距，属于基础题．5．（5分）命题甲：f（x）是 R上的单调递增函数；命题乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是 R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f （x1）＜f（x2）成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题．分析：第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x、a即可得出结果．解答：解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t．故答案为：B．点评：理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键．属于基础题．7．（5分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．解答：解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，得到|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|是关键，考查转化思想．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答：解：=﹣，，∴，∴即===0∴λ=故选项为A点评：向量垂直的充要条件．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出；×6=，a=2，计算计算出a，代入公式即可．解答：解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=，a=2，∴正四棱锥的体积是a2×a=，故选：A点评：本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．11．（5分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．解答：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay﹣m﹣an=0与OA方程：x﹣ay=0交点是A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：d=∵|OA|•d=1，∴||•=1，∵，∴a=2，∴c=，∴e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，0）或（0，）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意，关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根转化为函数图象的交点问题，从而作图解答．解答：解：直线y=x﹣a与函数f（x）=e x﹣1的图象在x≥0处有一个切点，切点坐标为（0，0）；此时a=0；直线y=|x﹣a|与函数y=﹣x2﹣2x的图象在x＜0处有两个切点，切点坐标分别是（﹣，）和（﹣，）；此时相应的a=，a=﹣；观察图象可知，方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根时，实数a的取值范围是（﹣，0）或（0，）；故选D．点评：本题考查了函数的图象与方程的根的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中常数项为﹣10（用数字作答）考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=1且对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），则f=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x+3）=f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．可得f=f（1）=f（﹣2），再由偶函数的定义，结合条件，即可得到所求值．解答：解：由f（x+3）=f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．所以f=f（671×3+1）=f（1）=f（3﹣2）=f（﹣2）由于f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣2）=f（2）=1．故答案为：1．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．解答：解：三棱锥P﹣ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，∴a=6，∴三棱锥P﹣ABC棱长为3，三棱锥P﹣ABC的高为2，设内切球的半径为r，则4×=，∴r=，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为=π．故答案为：π．点评：本题考查锥体的体积，考查等体积的运用，比较基础．16．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1，记集合A={x|x=a n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}，则数列{c n}的前50项和S50=3321．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得b n=2n﹣1．数列{a n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，数列{b n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，数列{c n}的前50项应包含数列{a n}的前46项和数列{b n}中的2，8，32，128这4项．由此能求出S50．解答：解：设等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1=1，b4=a3+1=8，则q3=8，∴q=2，∴b n=2n﹣1．根据数列{a n}和数列{b n}的增长速度，数列{c n}的前50项至多在数列{a n}中选50项，数列{a n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，由2n﹣1＜148得，n≤8，数列{b n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a46=136＞128，∴数列{c n}的前50项应包含数列{a n}的前46项和数列{b n}中的2，8，32，128这4项．∴S50=+2+8+32+128=3321．故答案为：3321．点评：本题考查数列的前50项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△A BC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB，cosC代入题设等式求得cosA的值．（2）利用（1）中cosA的值，可求得sinA的值，进而利用两角和公式把cosC展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后利用正弦定理求得c．解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理：c===点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用．18．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证；（2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．解答：（1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，又因为AB1⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B，因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；（2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD因为CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，因为CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，又因为CD⊂面BCD，所以AA1⊥CD，所以，∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角．在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，所以cos∠CDB==．点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．20．（12分）以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC 的面积，运用基本不等式即可得到最大值．解答：解：（1）椭圆C的离心率为，即c=，由c2=a2﹣b2，则a=2b，设椭圆C的方程为，∵椭圆C过点，∴，∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C的标准方程为，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．（2）由题意知，|m|≥1．易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2﹣1．所以=，则，|m|≥1．（当且仅当时取等号）所以当时，S△AOB的最大值为1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：转化思想．分析：（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE 于点E，延长ED与圆O交于点C．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．考点：相似三角形的判定．专题：立体几何．分析：（1）由于AE是⊙O的切线，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直径，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割线定理可得：AE2=DE•CE，即可解出．解答：（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADB=∠ADE．∴DA平分∠BDE．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，∴，化为BD=2AD．∴∠ABD=30°．∴∠DAE=30°．∴DE=AEtan30°=．由切割线定理可得：AE2=DE•CE，∴，解得CD=．点评：本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，则 h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，即 h（x）=，故 h（x）min=h （﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．- 21 -。

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷(理科)【解析版】

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷(理科)【解析版】

河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．252．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1D．23．（5分）育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有（）A．80种B．90种C．120种D．150种4．（5分）曲线y=1﹣在点（﹣1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣25．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，a8=4，函数f（x）=x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）=（）A．26 B．29 C．215 D．40966．（5分）经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A，B，若AB=4，则这样的直线有几条（）A．1条B．2条C．3条D．4条7．（5分）设函数f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（）A．f（x）在单调递减B．f（x）在（，）单调递减C．f（x）在（0，）单调递增D．f（x）在（，）单调递增8．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程=x+a 中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（）广告费用x（万元） 4 2 3 5销售额y（万元）49 26 39 58A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元9．（5分）椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（）A．B．C．2D．11．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P是棱上一点，则满足|PA|+|PC′|=2的点P的个数为（）A．4B．6C．8D．1212．（5分）定义在实数集R上的函数y=f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常数t使得f（t+x）=﹣tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关于t函数”的结论：①f（x）=0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于函数”至少有一个零点；③f（x）=x2是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．0[来源:学科网ZXXK]二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则AB的最大值为．14．（5分）抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差的最大值为．15．（5分）（x+）（2x﹣）5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为．16．（5分）一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的．（填入所有可能的图形前的编号）①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形④四边形⑤扇形⑥圆．三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC﹣=b．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（Ⅰ）证明B1C1⊥CE；（Ⅱ）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（Ⅲ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．[来源:学科网ZXXK]20．（12分）已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知f（x）=x2﹣ax，g（x）=lnx，h（x）=f（x）+g（x）．（1）若h（x）的单调减区间是（，1），求实数a的值；（2）若f（x）≥g（x）对于定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围；（3）设h（x）有两个极值点x1，x2，且x1∈（0，）．若h（x1）﹣h（x2）＞m恒成立，求m的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD=60°，∠ABC=90°，BC=3，CD=5．求对角线BD、AC的长．23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．河北省衡水中学2015届高三上学期第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）已知向量=（2，1），=10，|+|=，则||=（）A．B．C．5D．25考点：平面向量数量积的运算；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|=两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．解答：解：∵|+|=，||=∴（+）2=2+2+2=50，得||=5故选C．点评：本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．2．（5分）已知是z的共轭复数，复数z=，则•z（）A．B．C．1D．2[来源:学科网ZXXK]考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简z，求出，则答案可求．解答：解：∵z==，∴，则•z=﹣i•i=﹣i2=1．故选：C．[来源:学。

2015年河北省衡水市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年河北省衡水市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2015年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，则＝（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i2．（5分）函数y＝a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．3．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且5．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．6．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．8．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）9．（5分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数＝α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能确定10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．11．（5分）设函数f（x）＝2x﹣cos x，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f （a2）+…+f（a5）＝5π，则[f（a3）]2﹣a1a5＝（）A．0B．C．D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是．14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离，已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝．15．（5分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是．16．（5分）已知整数数列a0，a1，a2，…，a2014中，满足关系式a0＝0，|a1|＝|a0+1|，|a2|＝|a1+1|，…，|a2014|＝|a2013+1|，则|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，函数f（x）＝px3﹣（p+q）x2+qx+q （其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x＝a1时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．20．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4，求PF的长度．选修4-4：坐标系与参数方程23．过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2＝1交于点M，N．（1）写出直线的一个参数方程；（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）＝|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．2015年河北省衡水市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知i是虚数单位，则＝（）A．1﹣2i B．2﹣i C．2+i D．1+2i【解答】解：故选：D．2．（5分）函数y＝a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于当x＝1时，y＝0，即函数y＝a x﹣a的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选：C．3．（5分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β＝a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l ∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A．B．C．D．且【解答】解：⇔⇔与共线且同向⇔且λ＞0，故选：C．5．（5分）如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入（）A．B．C．D．【解答】解：法一：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是．故选D．法二：随机输入xi∈（0，1），yi∈（0，1）那么点P（xi，yi）构成的区域为以O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1）为顶点的正方形．判断框内x2i+y2i≤1，若是，说说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）内，并累计记录点的个数M 若否，则说明点P（x i，y i）在单位圆内部（圆）外，并累计记录点的个数N 第2个判断框i＞1000，是进入计算此时落在单位圆内的点的个数为M，一共判断了1000个点那么圆的面积/正方形的面积＝，即π12÷1＝∴π＝（π的估计值）即执行框内计算的是．故选：D．6．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1＝＝，∴OO1＝＝，∴高SD＝2OO1＝，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S＝，△ABC＝＝．∴V三棱锥S﹣ABC故选：C．7．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b＞0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|＝b，|OF1|＝c．∴k PQ＝，k MN ＝﹣．直线PQ为：y＝（x+c），两条渐近线为：y＝x．由，得Q（）；由得P．∴直线MN为，令y＝0得：x M＝．又∵|MF2|＝|F1F2|＝2c，∴3c＝x M＝，∴3a2＝2c2解之得：，即e＝．故选：B．8．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，∴圆心到直线的距离d＝＝1，整理得：m+n+1＝mn≤，设m+n＝x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．9．（5分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数＝α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n＝m D．不能确定【解答】解：法一：不妨令n＝4，m＝6，设样本（x1，x2…，x n）的平均数为＝6，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为＝4，所以样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数＝α+（1﹣α）＝6α+（1﹣α）4＝，解得α＝0.4，满足题意．解法二：依题意nx+my＝（m+n）[ax+（1﹣a）y]，∴n（x﹣y）＝a（m+n）（x﹣y），x≠y，∴a＝∈（0，），m，n∈N+，∴2n＜m+n，∴n＜m．故选：A．10．（5分）若x∈[0，+∞），则下列不等式恒成立的是（）A．e x≤1+x+x2B．C．D．【解答】解：对于A，取x＝3，e3＞1+3+32，所以不等式不恒成立；对于B，x＝1时，左边＝，右边＝0.75，不等式成立；x＝时，左边＝，右边＝，左边大于右边，所以x∈[0，+∞），不等式不恒成立；对于C，构造函数，h′（x）＝﹣sin x+x，h″（x）＝﹣cos x+1≥0，∴h′（x）在[0，+∞）上单调增∴h′（x）≥h′（0）＝0，∴函数在[0，+∞）上单调增，∴h（x）≥0，∴；对于D，取x＝3，，所以不等式不恒成立；故选：C．11．（5分）设函数f（x）＝2x﹣cos x，{a n}是公差为的等差数列，f（a1）+f （a2）+…+f（a5）＝5π，则[f（a3）]2﹣a1a5＝（）A．0B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝2x﹣cos x，∴f（a1）+f（a2）+…+f（a5）＝2（a1+a2+…+a5）﹣（cos a1+cos a2+…+cos a5），∵{a n}是公差为的等差数列，∴a1+a2+…+a5＝5a3，由和差化积公式可得，cos a1+cos a2+…+cos a5＝（cos a1+cos a5）+（cos a2+cos a4）+cos a3＝[cos（a3﹣×2）+cos（a3+×2）]+[cos（a3﹣）+cos（a3+）]+cos a3＝2cos a3•cos+2cos a3•cos（﹣）+cos a3＝cos a3（1++），则cos a1+cos a2+…+cos a5的结果不含π，又∵f（a1）+f（a2）+…+f（a5）＝5π，∴cos a3＝0，故a3＝．[f（a3）]2﹣a1a5＝π2﹣（﹣2•）•＝．故选：D．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2＝2c2，则cos C的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：因为a2+b2＝2c2，所以由余弦定理可知，c2＝2ab cos C，cos C＝＝．故选：C．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，1]．【解答】解：因为函数f（x）＝e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数由复合函数的单调性知，必有t＝|x﹣a|在区间[1，+∞）上是增函数又t＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上是增函数所以[1，+∞）⊆[a，+∞），故有a≤1故答案为（﹣∞，1]14．（5分）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l 的距离，已知曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝．【解答】解：圆x2+（y+4）2＝2的圆心为（0，﹣4），半径为，圆心到直线y＝x的距离为＝2，∴曲线C2：x2+（y+4）2＝2到直线l：y＝x的距离为2﹣＝．则曲线C1：y＝x2+a到直线l：y＝x的距离等于，令y′＝2x＝1解得x＝，故切点为（，+a），切线方程为y﹣（+a）＝x﹣即x﹣y﹣+a＝0，由题意可知x﹣y﹣+a＝0与直线y＝x的距离为，即解得a＝或﹣．当a＝﹣时直线y＝x与曲线C1：y＝x2+a相交，故不符合题意，舍去．故答案为：．15．（5分）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为的概率是．【解答】解：从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点共有＝10种其中两点间的距离为的必选中心，共有4种可能故该两点间的距离为的概率是＝故答案为：16．（5分）已知整数数列a0，a1，a2，…，a2014中，满足关系式a0＝0，|a1|＝|a0+1|，|a2|＝|a1+1|，…，|a2014|＝|a2013+1|，则|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为1007．【解答】解：由a0＝0，|a1|＝|a0+1|，可得a1＝±1；同理可得：a2＝±2，或0；a3＝±3，±1；a4＝±4，±2，0；…；可得|a1+a2|的最小值为1；|a1+a2+a3+a4|的最小值为2；依此类推可得：|a1+a2+a3+…+a2014|的最小值为1007．故答案为：1007．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，函数f（x）＝px3﹣（p+q）x2+qx+q （其中p、q均为常数，且p＞q＞0），当x＝a1时，函数f（x）取得极小值、点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f'（x）＝px2﹣（p+q）x+q，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝．又因为p＞q＞0，故有0＜．再由f'（x）在x＝1的左侧为负、右侧为正，故当x＝1时，函数f（x）取得极小值．再由f'（x）在x＝的左侧为正、右侧为负，故当x＝时，函数f（x）取得极大值．由于当x＝a1时，函数f（x）取得极小值，故a1 ＝1．（2）函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）＝px2+px，点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y＝2px2﹣qx+q﹣f′（x）的图象上，故有2S n＝pn2+pn①，故2s n﹣1＝p（n﹣1）2+p（n﹣1），（n＞1 ）②．把①②相减可得2a n＝2pn，∴a n＝pn．再由a1 ＝1可得p＝1，故a n＝n．综上可得，数列{a n}的通项公式为a n＝n．18．（12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．（注：将频率视为概率）【解答】解：（Ⅰ）由已知得25+y+10＝55，x+30＝45，所以x＝15，y＝20；将频率视为概率可得P（X＝1）＝＝0.15；P（X＝1.5）＝＝0.3；P（X ＝2）＝＝0.25；P（X＝2.5）＝＝0.2；P（X＝3）＝＝0.1X的分布列X的数学期望为E（X）＝1×0.15+1.5×0.3+2×0.25+2.5×0.2+3×0.1＝1.9（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2.5分钟，X i（i＝1，2）为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P（A）＝P（（X1＝1且X2＝1）+P（（X1＝1且X2＝1.5）+P（（X1＝1.5且X2＝1）由于各顾客的结算相互独立，且X i（i＝1，2）的分布列都与X的分布列相同，所以P（A）＝0.15×0.15+0.15×0.3+0.3×0.15＝0.1125故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为0.1125．19．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE＝D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B （0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A 1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴＝（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a＝0，6a＝﹣12，a＝﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直20．（12分）设抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，＝，∵△ABD的面积S△ABD∴＝，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；（3）证明：（n∈N*）．【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞），求导函数可得令f′（x）＝0，可得x＝1﹣a＞﹣a令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a；令f′（x）＜0，x＞﹣a可得﹣a＜x＜1﹣a∴x＝1﹣a时，函数取得极小值且为最小值∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，∴f（1﹣a）＝1﹣a﹣0，解得a＝1（2）解：当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数可得g′（x）＝g′（x）＝0，可得x1＝0，①当k≥时，，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，因此g（x）在（0，+∞）上单调递减，从而对任意的x∈[0，+∞），总有g（x）≤g（0）＝0，即对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，因此取时，g（x0）≥g（0）＝0，即有f（x0）≤kx02不成立；综上知，k≥时对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，k的最小值为（3）证明：当n＝1时，不等式左边＝2﹣ln3＜2＝右边，所以不等式成立当n≥2时，在（2）中，取k＝，得f（x）≤x2，∴（i≥2，i∈N*）．∴＝f（2）+＜2﹣ln3+＝2﹣ln3+1﹣＜2综上，（n∈N*）．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4，求PF的长度．【解答】解：连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件可得∠CDE＝∠AOC，又∠CDE＝∠P+∠PFD，∠AOC＝∠P+∠C，从而∠PFD＝∠C，故△PFD∽△PCO，∴，由割线定理知PC•PD＝P A•PB＝12，故．﹣﹣﹣（12分）选修4-4：坐标系与参数方程23．过点P（）作倾斜角为α的直线与曲线x2+2y2＝1交于点M，N．（1）写出直线的一个参数方程；（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α值．【解答】解：（1）直线的一个参数方程为（t为参数）．（2）把直线的参数方程代入椭圆方程x2+2y2＝1，整理得+＝0，∵直线与椭圆相交两点，∴≥0，解得sin2α≤，∵α∈[0，π），∴．∴|PM|•|PN|＝|t1t2|＝≥＝．当且仅当，即α＝或时取等号．∴当α＝或时，|PM|•|PN|的最小值为．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）＝|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a＝2；（Ⅱ）记，∴h（x）＝∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．。

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学(理)(附答案) (1)

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学(理)(附答案) (1)

河北省衡水中学2015届高三上学期四调考试数学（理）试题【试卷综述】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接.纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）【题文】1．已知向量=【知识点】平面向量的数量积；向量模的运算. F3 【答案】【解析】C 解析：∵222()2()50a b a a b b +=+⋅+=，又(2,1),10a a b =⋅=，∴()250520255b b =--=⇒=，故选C.【思路点拨】把向量的模转化为数量积运算. 【题文】2．已知的共轭复数，复数A ．B ．c ．1 D ．2【知识点】复数的基本概念与运算.L4【答案】【解析】A 解析：∵114i z i====，∴144z i =--，∴221144z z ⎛⎛⎫⋅=+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【思路点拨】化简复数z ，根据共轭复数的定义得z ，进而求得结论.【题文】3．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有 A ．80种 B ．90种 C ．120种D ．150种【知识点】排列与组合. J2【答案】【解析】 D 解析：有二类情况：（1）其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有335360C A =种，（2）其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有213453902C C A =种，∴共有150种.故选D. 【思路点拨】先根据分到各学校的教师人数分类，再根据去各学校教师人数将教师分成三组，然后将这三组教师全排列即可. 【题文】4．曲线处的切线方程为 A ．B ．C ．D ．【知识点】导数的几何意义. B11【答案】【解析】A 解析：∵22222(2)(2)x x x y y x x x +-'=⇒==+++，∴曲线在点（-1，-1）处切线的斜率为2，∴所求切线方程为21y x =+，故选A.【思路点拨】根据导数的几何意义，得曲线在点（-1，-1）处切线的斜率，然后由点斜式得所求切线方程. 【题文】5．等比数列A ．62B ． 92 C ．152 D ．122【知识点】等比数列；积得导数公式. D3 B11 【答案】【解析】D 解析：因为182,4a a ==，又()()()()()()128128()f x x a x a x a x x a x a x a ''=---+---⎡⎤⎣⎦所以()441212818(0)82f a a a a a '====，故选D.【思路点拨】根据积得导数公式求解. 【题文】6．经过双曲线：的右焦点的直线与双曲线交于两点A,B ，若AB=4，则这样的直线有几条A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条【知识点】直线与双曲线. H6 H8【答案】【解析】B 解析：因为AB=4而双曲线的实轴长是4，所以直线AB 为x 轴时成立，即端点在双曲线两支上的线段AB 只有一条，另外端点在双曲线右支上的线段AB 还有两条，所以满足条件得直线有三条.【思路点拨】设出过焦点的直线方程，代入双曲线方程，由弦长公式求得满足条件得直线条数.【题文】7．设函数，则A ．在单调递增B ．在单调递减 C ．在单调递增 D ．在单调递增【知识点】两角和与差的三角函数；函数的周期性；奇偶性；单调性. C5 C4【答案】【解析】D解析：())4f x x πωϕ=+-，因为T π=，所以2ω=，又因为()(),2f x f x πϕ-=<，所以4πϕ=，所以()f x x =，经检验在单调递增，故选 D.【思路点拨】根据已知条件求得函数()f x x ，然后逐项检验各选项的正误. 【题文】8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据下表可得回归方程中的b =10．6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A ． 112．1万元B ．113．1万元C ．111．9万元D ．113．9万元 【知识点】变量的相关性；回归直线方程的性质与应用. I4【答案】【解析】C 解析：把样本中心点（7,432）代入回归方程得 5.9a =，所以广告费用为10万元时销售额为10.610 5.9111.9⨯+=（万元），故选C.【思路点拨】根据回归方程过样本中心点得a 值，从而求得广告费用为10万元时销售额.【题文】9．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2若C上的点P 满足，则椭圆C的离心率e的取值范围是【知识点】椭圆的性质. H5【答案】【解析】C 解析：∵12233,2PF F F c==∴223PF a c=-，由三角形中，两边之和大于第三边得232311 223342c c a c cc a c c a+≥-⎧⇒≤≤⎨+-≥⎩，故选C.【思路点拨】利用椭圆定义，三角形的三边关系，椭圆离心率计算公式求得结论. 【题文】10．已知直三棱柱，的各顶点都在球O的球面上，且，若球O 的体积为，则这个直三棱柱的体积等于【知识点】几何体的结构；球的体积公式；柱体的体积公式. G1【答案】【解析】B 解析：由球的体积公式得球的半径R= AB=AC=1，ABC是顶角是120°的等腰三角形，其外接圆半径r=1，所以球心到三棱柱底面的距离为2，所以此三棱柱的体积为111sin12042⨯⨯⨯⨯=B.【思路点拨】本题重点是求三棱锥的高，而此高是球心到三棱柱底面距离h的二倍，根据此组合体的结构，球半径R，△ABC的外接圆半径r及h构成直角三角形，由此求得结果. 【题文】11．在棱长为1的正方体中，着点P是棱上一点，则满足的点P的个数为A ．4B ．6C ．8D ．12【知识点】几何体中的距离求法. G11【答案】【解析】 B 解析：若点P 在棱AD 上，设AP=x ，则()222212CP PD DC x =+=-+，所以2x =，解得12x =，同理点P 可以是棱,,,,AB AA C C C B C D ''''''的中点，显然点P 不能在另外六条棱上，故选B.【思路点拨】构建方程，通过方程的解求得点P 的个数. 【题文】12．定义在实数集R 上的函数的图像是连续不断的，若对任意实数x ，存在实常数t 使得恒成立，则称是一个“关于￡函数”．有下列“关于t 函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“关于t 函数”；②“关于12函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“关于t 函数”.其中正确结论的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．0【知识点】函数中的新概念问题；函数的性质及应用. B1【答案】【解析】A 解析：①不正确，()0f x c =≠，取t= -1则f(x-1)-f(x)=c-c=0,即()0f x c =≠是一个“关于-1函数”； ②正确，若f(x)是“关于12函数”，则11()()022f x f x ++=，取x=0，则1()(0)02f f +=，若1(),(0)2f f 任意一个为0，则函数f(x)有零点，若1(),(0)2f f 均不为0，则1(),(0)2f f 异号，由零点存在性定理知在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在零点；③不正确，若2()f x x =是一个“关于t 函数”，则22()x t tx +=-()22120t x tx t ⇒+++=恒成立，则210200t t t ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩所以t 不存在. 故选A.【思路点拨】举例说明①不正确；由函数零点存在性定理及新定义说明②正确；把2()f x x =代入新定义得t 不存在，所以③不正确.【典例剖析】本小题是新概念问题，解决这类题的关键是准确理解新概念的定义，并正确利用新概念分析问题.【题文】第Ⅱ卷（非选择题共90分）【题文】二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分。

河北省衡水中学2015届高三小一调考试数学理试题 Word

河北省衡水中学2015届高三小一调考试数学理试题 Word

2014-2015学年度高三年级小一调考试数学试卷（理科）【试卷综评】本次试卷从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，试题在考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。

试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。

突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。

全面考查了考试说明中要求的内容。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给出选项只有一项是符合题目题意．请将正确答案的序号填涂在答题卡上）【题文】1.已知集合A=4|0,1x x R x -⎧⎫∈≤⎨⎬+⎩⎭()(){}2|210B x R x a x a =∈---<， 若A B φ= ,则实数a 的取值范围是 （ ）A. ()2,+∞B. [)2,+∞C. {}[)12,+∞D. ()1,+∞【知识点】解不等式；集合关系及运算. A1 E3【答案解析】C 解析：因为A=(]1,4-，所以B φ=时成立，此时1a =；B φ≠时，即 1a ≠时()22,1B a a =+，要使A B φ= ，需使24a ≥，即2a ≥，综上得实数a 的取值范围是{}[)12,+∞ ，所以选C.【思路点拨】先由已知求得集合A ，再由A B φ= 知需要讨论B φ=与B φ≠两种情况.【题文】2.设集合*{|31,}P x x m m N ==+∈，*Q {y |y 52,}n n N ==+∈，则Q P ⋂=（ ）A. *{|15,}x x k k N =∈B. *{|158,}x x k k N =-∈∈C. *{|12,}x x k k N =∈D. *{|127,}x x k k N =+∈∈【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】D 解析：∵*{|31,}P x x m m N ==+∈，*Q {y |y 52,}n n N ==+∈，∴Q P ⋂=*{|127,}x x k k N =+∈∈，故选D ．【思路点拨】由集合的交运算知，由*{|31,}P x x m m N ==+∈，*Q {y |y 52,}n n N ==+∈，，能得到Q P ⋂=*{|127,}x x k k N =+∈∈．【题文】3.下列有关命题的说法正确的是 （ ）A.命题“若21,x =则1x =”的否命题为：“若21,x =则1x ≠”；B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；C.命题“[)1,x ∃∈+∞，使得210x x +-=”的否定是：“[)1,,x ∀∈+∞均有210x x +-≥”D.命题“已知,,x y R ∈若1x ≠或4y ≠，则5x y +≠”为真命题.【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2 A3【答案解析】C 解析：对于A ：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x 2≠1，则x≠1”，故错误．对于B ：因为x=-1⇒x 2-5x-6=0，应为充分条件，故错误．对于D ：其逆否命题是 “已知,,x y R ∈若5x y +=，则1x =且4y =”此命题显然不对，故D 错误.所以选C.【思路点拨】根据命题的否定，否命题，四种命题的关系及充分条件，必要条件判断结论.【题文】4.设()f x 是定义在R 上的函数，则下列叙述一定正确的是 （ ）A. ()()f x f x -是奇函数B. ()()f x f x -是奇函数C. ()()f x f x --是偶函数D. ()()f x f x +-是偶函数【知识点】函数奇偶性的判定. B4【答案解析】D 解析：对于选项A ：设()()()h x f x f x =-，则()()()()h x f x f x h x -=-=，所以()()f x f x -是偶函数，所以选项A 不正确； 同理可判断：()()f x f x -奇偶性不确定，()()f x f x --是奇函数， ()()f x f x +-是 偶函数，所以选D.【思路点拨】依次设各选项中的函数为()h x ，再利用()h x -与()h x 关系确定结论.【题文】5.设,a b 为实数，命题甲：2ab b > .命题乙：110b a<< ，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件10a<， 10a <<成立，则可得a ，b 均为负值，且a ＜b ，由不等式的性质两边同除以b 可得2ab b >，即甲成立，故甲是乙的必要不充分条件，故选B.【思路点拨】举反例a=2，b=1，可证甲不能推乙，由不等式的性质可证乙可推甲，由充要条件的定义可得．【题文】6.定义两种运算：a b a b ⊕=⊗=则函数()()222xf x x ⊕=-⊗（ ）A. 是奇函数B. 是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数【知识点】函数奇偶性的判断. B4【答案解析】A 解析：根据题意得：()f x =240x-≥得22x -≤≤22x x -=-，所以()f x ==[)(]2,00,2x ∈- 因为()()f x f x-===-，()f x 是奇函数，所以选A. 【思路点拨】先利用新定义把f （x ）的表达式找出来，在利用函数的定义域把函数化简，最后看f （x ）与f （-x ）的关系得结论．【题文】7.已知函数()(ln ,f x x =若实数,a b 满足()()20f a f b +-=则a b += （ ）A.-2B.-1C.0D.2【知识点】函数的奇偶性.单调性的判定. B3 B4【答案解析】D 解析：因为函数的定义域为R ，且()(ln ln f x x ⎛⎫-=-==(()ln x f x -=-，所以()f x 是R 上的奇函数.显然x [)0,+∞的增函数，所以()f x 是R 上的增函数.因为 ()()20f a f b +-=，所以()()()2f b f a f a -=-=-，所以2,b a -=-从而2a b += 所以选D.【思路点拨】先判定函数是奇函数，再判定此函数是R 上增函数，所以()()20f a f b +-=为()()2f b f a -=-，所以2,b a -=-从而2a b +=.【题文】8.已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若()()()21,f a f a f -+≤则a 的取值范围是 （ ）A. [)1,0- [].0,1B [].1,1C - [].2,2D - 【知识点】函数的奇偶性，解不等式. B4 E3【答案解析】C 解析：因为()()222,02,0x x x f x f x x x x ⎧-≤⎪-==⎨+>⎪⎩，所以()f x 是偶函数，所以()()()21,f a f a f -+≤为()()13f a f ≤=，解得11a -≤≤，所以选C.【思路点拨】先确定()f x 是偶函数，所以()()()21,f a f a f -+≤为()()13f a f ≤=，解得11a -≤≤.【题文】9.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线()y f x =，另一种平均价格曲线()y g x =，如()23f =表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；()23g =表示2小时内的平均价格3元，下面给出了四个图像，实线表示()y f x =，虚线表示()y g x =，其中可能正确的是（ ）.【知识点】函数的图象与图象变化．B8【答案解析】C 解析：解：刚开始交易时，即时价格和平均价格应该相等，A ，D 错误； 开始交易后，平均价格应该跟随即时价格变动，即时价格与平均价格同增同减， 故A ，B ，D 均错误．故选C ．【思路点拨】根据已知中，实线表示即时曲线y=f （x ），虚线表示平均价格曲线y=g （x ），根据实际中即时价格升高时，平均价格也随之升高，价格降低时平均价格也随之减小的原则，对四个答案进行分析即可得到结论【题文】10.偶函数()f x 满足()()11f x f x -=+，且在[]0,1x ∈时，()f x x =，则关于x 的方程()110xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，在[]0,4x ∈上解的个数是（ ） A ．1 B.2 C.3 D.4【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】 解析：解：∵()()11f x f x -=+∴()()2f x f x =+∴原函数的周期T=2又∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x -=.又∵x ∈[0，1]时，()f x x =，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f （-x ）=f （x+2）．()121,10x y f x y ⎛⎫== ⎪⎝⎭方程()110x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 根的个数，即为函数y 1=f （x ）的图象（蓝色部分）与2110x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（红色部分）交点的个数．由以上条件，可画出y 1=f （x ），2110x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象： 又因为当x=1时，y 1＞y 2，∴在（0，1）内有一个交点．∴结合图象可知，在[0，4]上y 1=f （x ），2110x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭共有4个交点． ∴在[0，4]上，原方程有4个根．故选D ．【思路点拨】根据已知条件推导函数f （x ）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．【题文】11.直线y x =与函数()22,42,x m f x x x x m >⎧=⎨++≤⎩的图像恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[1,2)- B. [1,2]- C. [2,)+∞ D. (,1]-∞-【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案解析】A 解析：解：根据题意，直线y=x 与射线y=2（x ＞m ）有一个交点A （2，2），并且与抛物线y=x 2+4x+2在（-∞，m]上的部分有两个交点B 、C由242y x y x x =⎧⎨=++⎩，联解得B （-1，-1），C （-2，-2） ∵抛物线y=x 2+4x+2在（-∞，m]上的部分必须包含B 、C 两点，且点A （2，2）一定在射线y=2（x ＞m ）上，才能使y=f （x ）图象与y=x 有3个交点 ∴实数m 的取值范围是-1≤m＜2故答案为：-1≤m＜2【思路点拨】根据题意，求出直线y=x 与射线y=2（x ＞m ）、抛物线y=x 2+4x+2在（-∞，m]上的部分的三个交点A 、B 、C ，且三个交点必须都在y=f （x ）图象上，由此不难得到实数m 的取值范围 【题文】12.已知()0,1x ∈时，函数()2f x =的最小值为b ，若定义在R 上的函数()g x 满足：对任意()()()g m n g m g n b +=++，则下列结论正确的是（ ）A. ()1g x -是奇函数B. ()1g x +是奇函数C. ()g x -D. ()g x +【知识点】导数的应用；函数的奇偶性.B4 B12【答案解析】D 解析：()()((()()2221222122x x f x ''+-+'==2 =22228121212x x x x ---+24424414x x x --+=22410x -=，得12x =± 因为()0,1x ∈所以12x =，所以12b f ⎛⎫== ⎪⎝⎭对于()()()g m n g m g n +=+，取0mn ==得()0g =取n m =-得()()()0g g m g m =+-+()()g m g m --令()()h x g x =+()()h x h x -=-所以()h x 是奇函数，从而()g x + D.【思路点拨】先对原函数求导，然后解出b 的值，再令n m =-即可进行判断.第ⅠⅠ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）【题文】13.设()()22:2310,:2110p x x q x a x a a -+≤-+++≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为 .【知识点】命题及其关系.A2 【答案解析】102a ≤≤ 解析：解：21231012x x x -+≤⇒≤≤，1:2p x ∴⌝<或x>1，()()221101x a x a a a x a -+++≤⇒≤≤+，:1q x a x a ∴⌝<>+或，p q ∴⌝⌝是的充分不必要条件，只需满足1102211a a a ⎧≤⎪⇒≤≤⎨⎪+≥⎩【思路点拨】根据题意求出p 与q ，再求出,p q ⌝⌝，利用条件可求出a 的范围.【题文】14.已知集合2{x |x 40}M =->，{}2|61340N x z x x a =∈-+-<，M ∩N 的0}={x|x ＜-2，或x ＞2}， {}2|61340N x z x x a =∈-+-<{x Z|33}x =?<<，【题文】15.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为116t a y -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数），如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.【思路点拨】。

河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷(理科)(Word版含解析)

河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷(理科)(Word版含解析)

河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+38．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．59．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．310．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+111．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+112．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．河北省衡水中学2015届高三下学期一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈z}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，则A∩（∁I B）等于（）A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：由全集I及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．解答：解：∵集合I={x|﹣3＜x＜3，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={1，2}，B={﹣2，﹣1，2}，∴∁I B={0，1}，则A∩（∁I B）={1}．故选：A．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数相等的充要条件．专题：计算题．分析：根据两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，化简复数z为=1﹣i，故z对应点的坐标为（1，﹣1），从而得出结论．解答：解：∵复数z满足（﹣1+i）z=（1+i）2，其中i为虚数单位，∴z=====1﹣i，故复数z对应点的坐标为（1，﹣1），故选D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1•a20=100，那么a7+a14的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得a 7+a14≥2=2=2=20．解答：解：∵正数组成的等比数列{a n}，a1•a20=100，∴a 7+a14≥2=2=2=20．当且仅当a7=a14时，a7+a14取最小值20．故选：A．点评：本题考查等比数列中两项和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意均值定理的合理运用．4．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．解答：解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．点评：本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．5．（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A．[1，5]B．[2，6]C．[3，10]D．[3，11]考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；数形结合．分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．解答：解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；定积分．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（x）dx=0求得cos（φ+）=0，故有φ+=kπ+，k∈z．可取φ=，则f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x的值，可得函数f（x）的图象的一条对称轴方程．解答：解：∵函数f（x）=sin（x﹣φ），f（x）dx=﹣cos（x﹣φ）=﹣cos（﹣φ）﹣[﹣cos（﹣φ）]=cosφ﹣sinφ=cos （φ+）=0，∴φ+=kπ+，k∈z，即φ=kπ+，k∈z，故可取φ=，f（x）=sin（x﹣）．令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，则函数f（x）的图象的一条对称轴为x=，故选：A．点评：本题主要考查定积分，函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．7．（5分）已知一个三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的表面积为（）A．4+4+5 B．2+2+C．D．2+2+3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，分别计算出棱柱的底面面积，底面周长和高，代入棱柱表面积公式，可得答案．解答：解：由三棱柱的三视图可得几何体是一个三棱柱，底面三角形的三边长为：1，，故底面三角形的面积为：×1×1=，底面周长为：1++，棱柱的高为2，故棱柱的表面积：S=2×+（1++）×2=2+2+3，故选：D点评：本题考查了由三视图求原几何体的体积和表面积，解答的关键是由三视图还原原图形，是基础的计算题．8．（5分）利用如图所示算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=10内的共有（）个．A．2B．3C．4D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是打印满足条件的点，执行程序不难得到所有打印的点的坐标，再判断点与圆x2+y2=10的位置关系，即可得到答案．解答：解：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是打印如下点：（﹣3，6）、（﹣2，5）、（﹣1，4）、（0，3）、（1，2）其中（0，3）、（1，2）满足x2+y2＜10，即在圆x2+y2=10内，故打印的点在圆x2+y2=10内的共有2个，故选：A点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型⇒③解模．9．（5分）已知点A（﹣1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）；②y=；③y=x+4（x≤﹣）．其中，“点距函数”的个数是（）A．0B．1C．2D．3考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：对于①，过A作直线y=﹣x+2的垂线y=x+1，交直线y=﹣x+2于D（，）点，D（，）在y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上，故y=﹣x+2（﹣1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于②，y=表示以（﹣1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）为“点距函数”；对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=﹣x﹣1，交直线y=x+4于E（，）点，E（，）是射线y=x+4（x≤﹣）的端点，故y=x+4（x≤﹣）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，故该函数f（x）不为“点距函数”；综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，故选：C点评：本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．10．（5分）设直线l与曲线f（x）=x3+2x+1有三个不同的交点A、B、C，且|AB|=|BC|=，则直线l的方程为（）A．y=5x+1 B．y=4x+1 C．y=x+1 D．y=3x+1考点：函数与方程的综合运用；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：根据对称性确定B的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．解答：解：由题意，曲线f（x）=x3+2x+1是由g（x）=x3+2x，向上平移1个单位得到的，函数g（x）=x3+2x是奇函数，对称中心为（0，0），曲线f（x）=x3+2x+1的对称中心：B（0，1），设直线l的方程为y=kx+1，代入y=x3+2x+1，可得x3=（k﹣2）x，∴x=0或x=±∴不妨设A（，k+1）（k＞2）∵|AB|=|BC|=∴（﹣0）2+（k+1﹣1）2=10∴k3﹣2k2+k﹣12=0∴（k﹣3）（k2+k+4）=0∴k=3∴直线l的方程为y=3x+1故选：D．点评：本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键．11．（5分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．2﹣B．2C．D．+1考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，判断四棱锥体积最大时S的位置，然后求解底面ABCD的中心与顶点S之间的距离即可．解答：解：四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为的同一半球面上，则当四棱锥S﹣ABCD的体积最大时，顶点S与球心的连线恰好底面ABCD的一边的中点，如图：此时球心O到底面中心F的距离为：OF==1．即EF=OF=1，∠SEF=45°，SE=，SF==所求距离为：．故选：C．点评：本题考查球的内接体，几何体的高的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．考点：数列与函数的综合．专题：综合题．分析：根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f（x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．解答：解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．点评：本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）已知，那么展开式中含x2项的系数为135．考点：定积分；二项式定理的应用．专题：计算题；导数的概念及应用；概率与统计．分析：根据定积分的计算方法，计算，可得n的值，进而将n=6代入，利用通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来解决，在通项中令x的指数幂为2可求出含x2是第几项，由此算出系数．解答：解：根据题意，=lnx|1{\;}^{{e}^{6}}=6，则中，由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C6r（﹣3）r x6﹣2r可知r=2，所以系数为C62×9=135，故答案为：135．点评：本题考查二项式定理的应用以及定积分的计算，关键是由定积分的计算得到n的值．14．（5分）已知P为△ABC所在的平面内一点，满足的面积为2015，则ABP的面积为1209．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：取AB中点D，根据已知条件便容易得到，所以三点D，P，C共线，并可以画出图形，根据图形即可得到，所以便可得到．解答：解：取AB中点D，则：=；∴；∴D，P，C三点共线，如图所示：∴；∴=1209．故答案为：1209．点评：向量加法的平行四边形法则，以及共线向量基本定理，数形结合的方法及三角形面积公式．15．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．考点：等差数列的性质；点到直线的距离公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．16．（5分）已知函数f（x）=，若存在k使得函数f（x）的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是[，1]．考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，观察函数值在[0，2]内的图象，讨论最小值和最大值的情况，对a讨论，a=1，a＞1，a＜1，以及a＜，a，的情况，即可得到结论．解答：解：分别作出函数y=log2（1﹣x）+1，（x＞﹣1）和y=x2﹣3x+2的图象，由于函数f（x）的值域是[0，2]，则观察函数值在[0，2]内的图象，由于f（﹣1）=log22+1=2，f（0）=02﹣3×0+2=2，显然a=0不成立，a=1成立，a＞1不成立，又f（）=+1=0，若a＜，则最小值0取不到，则a，综上可得，．即有实数a的取值范围是[，1]．故答案为：[，1]．点评：本题考查已知函数的值域，求参数的范围，考查数形结合的思想方法，注意观察和分析，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题：本大题共5小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（14分）设向量=（cosωx﹣sinωx，﹣1），=（2sinωx，﹣1），其中ω＞0，x∈R，已知函数f（x）=•的最小正周期为4π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若sinx0是关于t的方程2t2﹣t﹣1=0的根，且，求f（x0）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换以及两个向量的数量积公式化简函数f（x）的解析式为，再根据周期求得ω的值．（Ⅱ）求得方程2t2﹣t﹣1=0的两根，可得，可得x0的值，从而求得f（x0）的值．解答：解：（Ⅰ）=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+1=sin2ωx+cos2ωx=，因为T=4π，所以，ω=．…（6分）（Ⅱ）方程2t2﹣t﹣1=0的两根为，因为，所以sinx0∈（﹣1，1），所以，即．又由已知，所以．…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．18．（14分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：学校学校甲学校乙学校丙学校丁人数 4 4 2 2该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，根据题设条件，利用排列组合知识能求出这两名队员来自同一学校的概率．（II）ξ的所有可能取值为0，1，2，分别求出其相对应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．解答：解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：ξ0 1 2P…（10分）∴…（13分）点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．19．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；（Ⅱ）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．（3）建立的空间直角坐标系中，求得平面A1DE的一个法向量，平面CA1D的法向量，利用向量数量积求解夹角余弦值，则易得二面角C﹣A1D﹣E的余弦值．解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD，∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°，又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE，∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1，∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE，∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D∴EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==，∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为（Ⅲ）取BE的中点F，以A为原点，AF所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，AA1=则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，，0），A1（0，0，），又，设平面CA1D的法向量则得，同理可得平面A1DE的一个法向量为=（）设二面角C﹣A1D﹣E的平面角为θ，且θ为锐角则cosθ=|cos＜＞|===所以二面角C﹣A1D﹣E的余弦值为．点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．20．（14分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：的长轴长是4，椭圆C2：短轴长是1，点F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点，（Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程；（Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'，易知a=2，b=m，n=，根据椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，可得关于a，b，m，n的方程，解出即可；（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：．与椭圆C2的方程联立消掉x得y的二次方程，则△＞0，由弦长公式可表示出|MN|，由点到直线的距离公式可表示出△F2MN的高h，则△F2MN的面积S=，变形后运用基本不等式即可求得S的最大值；解答：解：（Ⅰ）设椭圆C1的半焦距为c，椭圆C2的半焦距为c'．由已知a=2，b=m，．∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等，即，∴，即∴，即bm=b2=an=1，∴b=m=1，∴椭圆C1的方程是，椭圆C2的方程是；（Ⅱ）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为：．联立：，得，即，∴△=192m2﹣44（1+4m2）=16m2﹣44＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，△F2MN的高即为点F2到直线的距离．∴△F2MN的面积，∵，等号成立当且仅当，即时，∴，即△F2MN的面积的最大值为．点评：本题考查椭圆方程及其性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，考查基本不等式求函数的最值，考查学生的运算能力、分析解决问题的能力．21．（14分）已知f（x）=xlnx，g（x）=，直线l：y=（k﹣3）x﹣k+2（1）函数f（x）在x=e处的切线与直线l平行，求实数k的值（2）若至少存在一个x0∈[1，e]使f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围（3）设k∈Z，当x＞1时f（x）的图象恒在直线l的上方，求k的最大值．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）先求导，根据导数的几何意义得到关于k的方程解得即可．（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则kx0＞2lnx0⇒a＞，只需要k大于h（x）=的最小值即可．（3）分离参数，得到k＜，构造函数，求函数的最小值即可．解答：解：（1）∵f′（x）=1+lnx，∴f′（e）=1+lne=k﹣3∴k=5，（2）由于存在x0∈[1，e]，使f（x0）＜g（x0），则ax02＞x0lnx0，∴a＞设h（x）=则h′（x）=，当x∈[1，e]时，h′（x）≥0（仅当x=e时取等号）∴h（x）在[1，e]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=0，因此a＞0．（3）由题意xlnx＞（k﹣3）x﹣k+2在x＞1时恒成立即k＜，设F（x）=，∴F′（x）=，令m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣=＞0在x＞1时恒成立所以m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，所以在（1，+∞）上存在唯一实数x0（x0∈（3，4））使m（x）=0当1＜x＜x0时m（x）＜0即F′（x）＜0，当x＞＜x0时m（x）＞0即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，F（x）min=F（x0）===x0+2∈（5，6）故k＜x0+2又k∈Z，所以k的最大值为5点评：本题考查导数在研究函数的单调性、函数恒成立的问题，考查等价转化的思想方法以及分析问题的能力，属于难题．。

2015年河北省衡水中学高考数学三调试卷(理科)

2015年河北省衡水中学高考数学三调试卷(理科)

2015年河北省衡水中学高考数学三调试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}2560B x x x =-+≥，则下列结论中正确的是（ ）A.A B B =B.A B A ⋃=C.A B ØD.R C A B = 答案：C考点：集合的包含关系判断及应用． 专题：集合．分析：由2560x x -+≥，解得3x ≥，2x ≤，解答：解：由2560x x -+≥，化为()()230x x --≥，解得3x ≥，2x ≤，{}3,2B x x x ∴=≥≤， A B ∴Ø,故选：C ．点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.复数的12i2i +-的共轭复数是（ ）A.3i 5B.3i 5-C.iD.i - 答案：D考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题．分析：复数的分母实数化，化简为i a b +的形式，然后求出它的共轭复数即可．解答：解：复数()()()()12i 2i 12i 5ii 2i 2i 2i 5+++===--+． 所以复数的12i2i+-的共轭复数是：i -． 故选D点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，考查计算能力．3.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，新产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A.24 B.30 C.36 D.40 答案：C考点：分层抽样方法． 专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义求出k ，即可得到结论． 解答：解： 新产品数量之比依次为:5:3k ，∴由2435120k k =++，解得2k =， 则C 种型号产品抽取的件数为31203610⨯=，故选：C点评：本题主要考查分层抽样的应用，利用条件建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．4.如图给出的是计算111124620++++ 的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A.i>8B.i>9C.i>10D.i>11 答案：C考点：循环结构． 专题：规律型．分析：写出前三次循环得到的结果，找出规律，得到要输出的S 在第十次循环中结果中，此时的i 满足判断框中的条件，得到判断框中的条件．解答：解：经过第一次循环得到12S =,i 2=，此时的i 应该不满足判断框中的条件经过第二次循环得到1124S =+，i=3，此时的i 应该不满足判断框中的条件经过第三次循环得到111246S =++，i 4=，此时的i 应该不满足判断框中的条件，经过第十次循环得到111124620S =++++ ,i 11=，此时的i 应该满足判断框中的条件，执行输出.故判断框中的条件是i 10>. 故选C点评：本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找出规律． 5.将函数()cos f x x x -的图象向左平移m 个单位()0m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ） A.2π3 B.π3 C.π8 D.5π6答案：A考点：函数()sin y A x ωφ=+的图象变换；正弦函数的奇偶性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y 轴对称得到ππ2sin 2sin 66x m x m ⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m 的值，从而得到最小值．解答：解：πcos 2sin 6y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭然后向左平移()0m m >个单位后得到π2sin 6y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象为偶函数，关于y 轴对称ππ2sin 2sin 66x m x m ⎛⎫⎛⎫∴+-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππsin cos cos sin sin cos cos sin 6666x m x m x m x m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-+-=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin cos 06x m ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，πcos 06m ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭ππ2π+62m k ∴-=，2π3m =． m ∴的最小值为2π3． 故选A ．点评：本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移．6.已知等比数列{}n a 中，32a =，4616a a =，则101268a aa a --的值为（ ）A.2B.4C.8D.16 答案：B考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由题意和等比数列的通项得212a q =，351116a q a q =，求出2q ，即可得出结论．． 解答：解：设等比数列{}n a 的公比是q ， 由32a =，4616a a =得，212a q =，351116a q a q =， 则11a =，22q =，9111012115768114a a a q a q a a a q a q --∴==--， 故选：B ．点评：本题考查等比数列的性质、通项公式，属于基础题．7.已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种 B ．72种 C ．78种 D ．84种 答案：A考点：排列、组合及简单计数问题． 专题：排列组合．分析：由题意知先使五个人的全排列，共有55A 种结果，去掉相同颜色衣服的人相邻的情况，穿红色相邻和穿黄色相邻两种情况，得到结果解答：解：由题意知先使五个人的全排列，共有55A 120=种结果．穿红色相邻或穿黄色相邻两种情况，有24242A A 96=种，穿红色相邻且穿黄色也相邻情况，有223223A A A 24=种，故：穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法是120962448-+=， 故选：A点评：本题是一个简单计数问题，在解题时注意应用排除法，从正面来解题时情况比较复杂，所以可以写出所有的结果，再把不合题意的去掉，属于基础题．8．已知点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，点P 满足()112OP OF OQ =+ （其中O 为坐标原点，1F 为椭圆C 的左焦点），则点P 的轨迹为（ ）A ．圆B ．抛物线C ．双曲线D ．椭圆 答案：D考点： 椭圆的简单性质．专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 由()112OP OF OQ =+可以推出P 是线段1F Q 的中点，由Q 在椭圆上，1F 为椭圆C 的左焦点，即可得到点P 满足的关系式，进而得到答案．解答：解：因为点P 满足()112OP OF OQ =+，所以P 是线段1QF 的中点，设(),P a b ，由于1F 为椭圆22:11610x y C +=的左焦点，则()10F ，故2b Q ⎫⎪⎪⎝⎭，由点Q 在椭圆22:11610x y C +=上，则点P的轨迹方程为(2216440a b +=， 故点P 的轨迹为椭圆． 故选：D点评：该题考查向量的线性表示以及椭圆的几何性质，另外还考查运算能力．是中档题． 9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）俯视图A.3π272-B.3π182- C.273π- D.183π- 答案：B考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为直四棱柱且中间挖去半个圆柱，根据三视图的数据求四棱柱和圆柱的高、以及底面上的几何元素对应的数据，代入体积公式计算即可．解答：解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2， 圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1，∴几何体的体积()2113π2423π1318222V =⨯+⨯⨯-⨯⨯⨯=-，故选：B ．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．10.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AC BC ==，PA =面积为（ ）A.5πC.20πD.4π 答案：A考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离；球．分析：根据题意，证出BC ⊥平面SAB ，可得BC PB ⊥，得Rt BPC △的中线12OB PC =，同理得到12OA PC =，因此O 是三棱锥P ABC -的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC 得外接球半径R =解答：解：取PC 的中点O ，连结OA 、OB PA ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，PA AC ∴⊥，可得Rt APC △中，中线12OA PC =又PA BC ⊥，AB BC ⊥，PA 、AB 是平面PAB 内的相交直线 BC ∴⊥平面PAB ，可得BC PB ⊥因此Rt BPC △中，中线12OB PC =O ∴是三棱锥P ABC -的外接球心，Rt PBA △中，ABPAPB ∴12R PB =∴外接球的表面积24πR 5πS ==故选A ．POCA点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题．11.已知不等式组3410043x y x y +-⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线且切点分别为A 、B ，当APB ∠最大时，cos APB ∠ =（ ）B.12C. D.12-答案：B考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P 的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使APB ∠最大，则OPB ∠最大，1sin OB OPB OP OP∠==， ∴只要OP 最小即可．则P 到圆心的距离最小即可，由图象可知当OP 垂直直线34100x y +-=，此时1025OP ===，1OA =， 设APB α∠=，则2APO α∠=,即1sin22OA OP α==，此时22111cos 12sin 1212222αα⎛⎫=-=-⨯=-= ⎪⎝⎭， 即1cos 2APB ∠=．故选：B点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．12.若函数[])111sin 20,πy x x =∈，函数223y x =+，则()()221212x x y y -+-的最小值为（ ）B.()2π+1872 C.()2π+812 D.()2π1572 答案：B考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：导数的综合应用．分析：根据平移切线法，求出和直线3y x =+平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解答：解：设()()22121z x x y y =-+-，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方， 求函数[])sin 20,πy x x =∈的导数，()'2cos2f x x =，直线3y x =+的斜率1k =， 由()'2cos21f x x ==，即1cos22x =，即π23x =，解得π6x =，此时sin 20y x ==-=， 即函数在π,06⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和直线3y x =+平行，则最短距离d =，()()221212x x y y ∴-+-的最小值()222π+1872d ==⎝⎭， 故选：B点评：本题主要考查导数的综合应用，利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，考查学生的运算能力． 二、填空题.13．已知函数()()2cos 1f x A x ωφ=++π0,0,02A ωφ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的最大值为3，()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，其相邻两条对称轴间的距离为2，则()()()122015f f f +++= ． 答案：4030考点：二倍角的余弦；余弦函数的图象． 专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由条件利用二倍角的余弦公式可得()()cos 22122A Af x x ωφ=+++，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值． 解答：解： 函数()()()21cos 22cos 112x f x A x A ωφωφ++=++=⋅+()πcos 2210,0,0222A A x A ωφωφ⎛⎫=+++>><< ⎪⎝⎭的最大值为3， 1322A A∴++=，2A ∴=． 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π42ω=，π4ω∴=． 再根据()f x 的图象与y 轴的交点坐标为()0,2，可得()cos 2112φ++=，cos20φ∴=，π22φ=，π4φ∴=． 故函数的解析式为()πππcos 2sin 2424f x x x ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，()()()()1220142015πππππsin sin 2sin 3sin 2014sin 20152201544444f f f f ∴++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππππππ2510sin sin 2sin 3sin 5sin 6sin 74030444444*********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+=， 故答案为：4030．点评：本题主要考查由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，二倍角的余弦公式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，三角函数的周期性，属于中档题． 14．设n n n A B C △的三边长分别为n a ，n b ，n c ，1,2,3,n = ，若11b c >，1112b c a +，1n n a a +=，12n n n c a b ++=，12n n n b ac ++=，则n A ∠的最大值是 ． 答案：π3考点：基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理的应用． 专题：解三角形；不等式的解法及应用．分析：根据数列的递推关系得到12n n b c a +=为常数，然后利用余弦定理以及基本不等式即可得到结论． 解答：解：1n n a a += ，1n a a ∴=，12n n n c a b ++= ，12n n n b ac ++=，11122n n n n n n n b c b cb c a a ++++∴+=+=+，()11111222n n n n b c a b c a ++∴+-=+-，又1112b c a +=，∴当1n =时，()22111112202b c a b c a +-=+-=，当2n =时，()33122112202b c a b c a +-=+-=，120n n b c a ∴+-=，即12n n b c a +=为常数，则由基本不等式可得12n n b c a +=≥，()21n n b c a ∴≤，由余弦定理可得()22222cos 22cos n n n n n n n n n n n n n a b c b c A b c b c b c A =+-=+--，即()()()2211221cos n n n a a b c A =-+，即()()()()221121cos 321cos n n n n b c A a a A +=+≤， 即()321cos n A +≤， 解得1cos 2n A ≥， π03n A ∴<≤， 即n A ∠的最大值是π3， 故答案为：π3点评：本题考查数列以及余弦定理的应用，利用基本不等式是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，难度较大．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为1k ，2k ，当12122ln ln k k k k ++最小时，双曲线离心率为 ．考点：双曲线的简单性质专题：计算题；不等式的解法及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设()11,A x y ，()22,C x y ，由双曲线的对称性得()11,B x y --，从而得到222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-=⋅=-+-，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．解答：解：设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意知点A ，B 为过原点的直线与双曲线22221x y a b-=的交点， ∴由双曲线的对称性得A ，B 关于原点对称， ()11,B x y ∴--，222121211222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-∴=⋅=-+-，点A ，C 都在双曲线上，2211221x y a b ∴-=，2222221x y a b-=， 两式相减，可得：21220b k k a=>，对于1212121222ln ln ln k k k k k k k k ++=+， 函数()2ln 0y x x x =+>， 由221'0y x x=-+=，得0x =（舍）或2x =，2x >时，'0y >，02x <<时，'0y <，∴当2x =时，函数()2ln 0y x x x=+>取得最小值，∴当()12122ln k k k k +最小时，21222b k k a ==，∴点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，解题时要注意构造法的合理运用．16．若函数()f x 的定义域为D 内的某个区间I 上是增函数，且()()f x F x x=在I 上也是增函数，则称()y f x =是I 上的“完美函数”，已知()e ln 1x g x x x =+-+，若函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上的“完美函数”，则整数m 的最小值为 ． 答案：3考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：求解导数()1'e 1x g x x =+-，根据性质得出()g x 在1,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增；构造函数()()g x G x x =，()2e e 2ln 'x x x xG x x--+=，0x >， 设()e e 2ln x x m x x x =--+，再次求解导数得出()1'e 0x m x x x=+>，()m x 在()0,+∞上单调递增，利用特殊值判断1211e 2ln 2022m ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭，()1e e 2+0=2<0m =---，32313e 2ln 0222m ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（根据图象判断），确定在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上，有()2e e 2ln '0x x x x G x x --+=>成立，函数()()g x G x x =在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增函数．再考虑函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上的“完美函数”，定义，判断出整数m 的最小值．解答：解：()e ln 1xg x x x =+-+ ，0x >，()1'e 1x g x x ∴=+-在()0,+∞单调递增，1'102g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，∴可以得出：()g x 在1,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增．()()g x G x x = ，()2e e 2ln 'x x x xG x x --+=，0x >，设()e e 2ln x x m x x x =--+，()1'e 0x m x x x=+>，()m x 在()0,+∞上单调递增， 1211e 2ln 2022m ⎛⎫=---< ⎪⎝⎭，()1e e 2+0=2<0m =---，32313e 2ln 0222m ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（根据图象判断） ∴在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上，有()2e e 2ln '0x x x x G x x --+=>成立， ∴函数()()g x G x x =在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上是单调递增函数， 综合判断：()e ln 1x g x x x =+-+，与()()g x G x x =在3,2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上都是单调递增函数，()e ln 1x g x x x =+-+，与()()g x G x x=在[)1,+∞上不是都为单调递增函数， 函数()g x 是区间,2m ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭∞上的“完美函数”，整数m ．3m ∴≥，即最小值为3．故答案为：3点评：本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力，多次构造函数，求解导数，判断的递增，思路要清晰，属于难题． 三、解答题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项13a ≠，()*13n n n a S n +=+∈N ． （1）求证：{}3n n S -是等比数列；（2）若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围．考点：等比数列的性质；等比关系的确定；数列递推式． 专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由()*13n n n a S n +=+∈N ，可得数列{}3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列； （2）2n ≥时，()21113223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯，利用{}n a 为递增数列，即可求1a 的取值范围． 解答：证明：（1）()*13n n n a S n +=+∈N ， 123n n n S S +∴=+，()11323n n n n S S ++∴-=-13a ≠ ，∴数列{}3n n S -是公比为2，首项为13a -的等比数列；（2）由（1）得()11332n n n S a --=-⨯，()11323n n n S a -∴=-⨯+，2n ≥时，()21113223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯，{}n a 为递增数列，2n ∴≥时，()()1211132233223n n n n a a ----⨯+⨯>-⨯+⨯， 2n ∴≥时，2213212302n n a --⎡⎤⎛⎫⨯+->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 19a ∴>-， 2113a a a =+> ，1a ∴的取值范围是19a >-．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．为了响应学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识比赛，共分为甲、乙两组．其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生．现从得满分的学生中，每组各任选2个学生，作为数学组的活动代言人． （1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；（2）设X 为选出的4个学生中女生的人数，求X 的分布列和数学期望． 考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 专题：概率与统计． 分析：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B ，则所求概率为()P A B +，根据互斥事件的概率加法公式可求；（2）X 可能的取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率加法公式可求X 取相应值时的概率，从而可得分布列，利用数学期望公式可求得期望值； 解答：解：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A ，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学， 1个为女同学”为事件B ，由于事件A ､B 互斥，且()2113242246C C C 4C C 15P A ==，()12342246C C 1C C 5P B ==，∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为()()()41715515P A B P A P B +=+=+=； （2）X 可能的取值为0，1，2，3，()105P X ==，()7115P X ==，()3210P X ==，()1330P X ==，X ∴的数学期望7317231510306EX =+⨯+⨯=．点评：本题考查离散型随机变量的分布列、期望及古典概型的概率加法公式，正确理解题意是解决问题的基础．19.如图，平面PAC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，PAC △为等边三角形，PE BC ∥，过BC 作平面交AP 、AE 分别于点M 、N ． （1）求证：MN PE ∥；（2）设ANAPλ=，求λ的值，使得平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角的大小为45︒．NMEPBAC考点：与二面角有关的立体几何综合题． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：几何法：（Ⅰ）由PE CB ∥，得BC ∥平面APE ，由此能证明MN PE ∥．（Ⅱ）由MN BC ∥，得C 、B 、M 、N 共面，NCA ∠为二面角N CB A --的平面角，由此利用正弦定理能求出λ的值． 向量法：（1）以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，利用向量法能证明MN ∥平面ABC ． （2）分别求出平面CMN 的法向量和平面ABC 的法向量，由此利用向量法能求出1λ． 解答：几何法：（Ⅰ） 证明：因为PE CB ∥，所以BC ∥平面APE . 又依题意平面ABC 交平面APE 于MN ， 故MN BC ∥， 所以MN PE ∥．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知MN BC ∥，故C 、B 、M 、N 共面， 平面ABC 与平面MNC 所成的锐二面角即N CB A --． 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =，且CB AC ⊥， 所以CB ⊥平面PAC ．故CB CN ⊥， 故NCA ∠为二面角N CB A --的平面角. 所以45NCA ∠=︒．在NCA △中运用正弦定理得sin 451sin 75AN AC ︒===︒．所以1ANAPλ==． 向量法：（1）证明：如图以点C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，不妨设1CA =，()0CB t t =>，PE CB μ=， 则()0,0,0C ，()1,0,0A ，()0,,0B t，1,0,2P ⎛ ⎝⎭，1,,2E t μ⎛ ⎝⎭． 由AM ANAE AP λ==，得11,,2M t λλμ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,2N λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0MN t λμ=- ． ()00,0,1n =是平面ABC 的一个法向量， 且00n MN ⋅= ，故0n MN ⊥．又因为MN ⊄平面ABC ，即知MN ∥平面ABC ．（2）解：()0,,0MN t λμ=-，11,,2CM t λλμ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面CMN 的法向量()1111,,n x y z =，则10n MN ⋅= ，10n CM ⋅=，可取11,0,n ⎛= ⎝，又()00,0,1n =是平面ABC 的一个法向量． 由0101cos n n n n θ⋅=⋅ ，以及45θ=︒=即22440λλ+-=．解得1λ=（将1λ=-， 故1λ=．点评：本题考查直线与直线平行的证明，考查使锐二面角的大小为45︒的实数值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，已知圆(22:16E x y +=，点)0F ，P 是圆E 上任意一点．线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q ．（Ⅰ）求动点Q 的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l 与（Ⅰ）中轨迹Γ相交于A ，B 两点，直线OA ，l ，OB 的斜率分别为1k ，k ，2k （其中0k >）．O A B △的面积为S ，以OA ，OB 为直径的圆的面积分别为1S ，2S ．若1k ，k ，2k 恰好构成等比数列，求12S S S+的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用. 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）连接QF ，根据题意，QP QF =，可得4QE QF QE QP EF +=+=>=，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．解出即可．（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．与椭圆的方程联立可得()222148440k xkmx m +++-=，利用根与系数的关系及其1k ，k ，2k 构成等比数列，可得()2120km x x m ++=，解得214k =，12k =．利用0>△，解得(m ∈，且0m≠．利用1212S AB d x =-=，又22221212144x x y y +=+=，可得()2222121122π5π44S S x y x y +=+++=为定值．代入利用基本不等式的性质即可得出12S S S+的取值范围．解答：解：（Ⅰ）连接QF ，根据题意，QP QF =，则4QE QF QE QP EF +=+=>=，故动点Q 的轨迹Γ是以E ，F 为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为()222210x x a b a b+=>>，可知2a =，c 1b =，∴点Q 的轨迹Γ的方程为为2214x y +=．（Ⅱ）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ． 联立2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，化为()222148440k x kmx m +++-=， ()2216140k m ∆=+->∴，122814kmx x k +=-+，()21224114m x x k -=+． 1k ∵，k ，2k 构成等比数列，()()1221212kx m kx m k k k x x ++==∴，化为：()2120km x x m ++=，22228014k m m k-+=+∴，解得214k =． 0k >∵，12k =∴．此时()21620m ∆=->，解得(m ∈．又由A 、O 、B 三点不共线得0m ≠，从而()(00,m ∈ ．故1212S AB d x ==-，m m ==， 又22221212144x x y y +=+=， 则()22222212112212ππ3324444S S x y x y x x ⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()212123ππ5π21624x x x x ⎡⎤=+-+=⎣⎦为定值．125π5π44S S S +∴=，当且仅当1m =±时等号成立． 综上：125π,4S S S +⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭∞． 点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． （1）求实数a 的值；（2）若()2f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围；（3）当()*1,n m m n >>∈Nm n>． 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；证明题；导数的综合应用． 分析：（1）求出()f x 的导数，由切线的斜率为3，解方程，即可得到a ；（2）()2f x kx ≤对任意0x >成立1ln x k x +⇔≥对任意0x >成立，令()1ln xg x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值，运用导数，求得单调区间，得到最大值，令k 不小于最大值即可；（3）令()ln 1x xh x x =-，求出导数，判断单调性，即得()h x 是()1,+∞上的增函数，由1n m >>，则()()h n n m >，化简整理，即可得证．解答：解：（1）()ln f x ax x x =+ ，()'ln 1f x a x ∴=++， 又()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为3， ()'e 3f ∴=，即ln e+1=3a +， 1a ∴=；（2）由（1）知，()ln f x x x x =+，()2f x kx ∴≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立， 令()1ln xg x x+=，则问题转化为求()g x 的最大值， ()()2211ln ln 'x x x x g x x x ⋅-+==-，令()'0g x =，解得1x =，当01x <<时，()'0g x >，()g x ∴在()0,1上是增函数； 当1x >时，()'0g x <，()g x ∴在()1,+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值()11g =， 1k ∴≥即为所求；（3）令()ln 1x xh x x =-，则()()21ln '1x x h x x --=-， 由（2）知，()1ln 0x x x +>≥，()'0h x ∴≥， ()h x ∴是()1,+∞上的增函数，1n m >> ，()()h n h m ∴>，即ln ln 11n n m mn m >--， ln ln ln ln mn n n n mn m m m ∴->-， 即ln ln ln ln mn n m m mn m n n +>+， ln ln ln ln mn m mn n n m m n +>+，()()ln ln mnn m mn nm >，()()mnn m mn nm ∴>，m n>． 点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，考查不等式的证明，运用构造函数，求导数得到单调性，再由单调性证明，属于中档题．四、请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上． 22．如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE ，CFD ，CGE 都是O 的割线，已知AC AB =． （1）求证：FG AC ∥；（2）若1CG =，4CD =．求DEGF 的值．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 专题：直线与圆；推理和证明． 分析：（1）由切割线定理得2AB AD AE =⋅，从而2AD AE AC ⋅=，进而ADC ACE △∽△，由此能证明FG AC ∥．（2）由题意可得：G ，E ，D ，F 四点共圆，从而CGF CDE △∽△，由此能求出DEGF．解答：（1）证明：AB 为切线，AC 为割线，2AB AD AE ∴=⋅， 又AC AB = ，2AD AE AC ∴⋅=． AD ACAC AE ∴=，又EAC DAC ∠=∠ ， ADC ACE ∴△∽△，ADC ACE ∴∠=∠， 又ADC EGF ∠=∠ ，EGF ACE ∴∠=∠， FG AC ∴∥．（2）解：由题意可得：G ，E ，D ，F 四点共圆，CGF CDE ∴∠=∠，CFG CED ∠=∠．CGF CDE ∴△∽△，DE CDGF CG ∴=． 又1CG = ，4CD =，4DEGF∴=．点评：本题考查两直线平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．23．在极坐标系中，圆C 的方程为()2cos 0a a ρθ=≠，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为3143x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．（Ⅰ）求圆C 的标准方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 与圆C 恒有公共点，求实数a 的取值范围． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：坐标系和参数方程． 分析：（Ⅰ）根据222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=把圆C 的极坐标方程，由消元法把直线l 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l 与圆C 有公共点的几何条件，建立关于a 的不等式关系，解之即可．解答：解：（Ⅰ）由3143x t y t =+⎧⎨=+⎩得，1334x t y t -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则1334x y --=， ∴直线l 的普通方程为：4350x y -+=，由2cos a ρθ=得，22cos a ρρθ= 又222x y ρ=+ ，cos x ρθ=.∴圆C 的标准方程为()222x a y a -+=，（Ⅱ） 直线l 与圆C 恒有公共点，a ，两边平方得2940250a a --≥，()()9550a a ∴+-≥.a ∴的取值范围是59a -≤或5a ≥．点评：本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．24．（1）设函数()52f x x x a =-+-，x ∈R ，若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值；（2）已知正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，求321x y z++的最小值．考点：二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法． 专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（1）由绝对值三角不等式可得()52f x a -≥，可得52a a -≥，由此解得a 的范围．（2）运用柯西不等式可得()232123216x y z x y x ⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭≥，即可得出结论．解答：解：（1）由绝对值三角不等式可得()555222f x x x a x x a a ⎛⎫=-+----- ⎪⎝⎭≥≥ ， 再由不等式()f x a ≥在R 上恒成立，可得52a a -≥，52a a -∴≥，或52a a --≤，解得54a ≤，故a 的最大值为54．（2）∵正数x ，y ，z 满足231x y z ++=，∴由柯西不等式可得()232123216x y z x y z ⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭≥当且仅当::x y z =时，等号成立， 321x y z++∴的最小值为16+ 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，考查三元柯西不等式及应用，考查基本的运算能力，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。

【解析版】2015届河北省衡水中学高三一模考试数学理科试卷

【解析版】2015届河北省衡水中学高三一模考试数学理科试卷

2014-2015学年度下学期高三年级三调考试数学试卷（理科）【试卷综述】试题试卷结构稳定，考点分布合理，语言简洁，设问坡度平缓，整体难度适中. 注重基础. 纵观全卷，选择题、填空题比较平和，立足课本，思维量和运算量适当.内容丰富，考查了重点内容,渗透课改，平稳过渡.针对所复习的内容进行考查，是优秀的阶段性测试卷.【题文】第Ⅰ卷【题文】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1、已知集合2{|11},{|560}A x x B x x x =-≤≤=-+≥，则下列结论中正确的是（ ）A ．AB B = B ．A B A =C ．A B ⊂D ．R C A B =【知识点】集合的运算；集合的关系A1【答案】【解析】C 解析：因为{}2{|560}|32B x x x x x x =-+≥=≥≤或，又因为 {|11}A x x =-≤≤，故易知A B ⊂，故选C.【思路点拨】先求出集合B ，再进行判断即可。

【题文】2、复数122i i+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i - C ．i D ．i - 【知识点】复数代数形式的乘除运算．L1 【答案】【解析】D 解析：复数===i ．所以复数的122i i +-的共轭复数是：﹣i ．故选D【思路点拨】复数的分母实数化，化简为a+bi 的形式，然后求出它的共轭复数即可．【题文】3、某工厂生产,,A B C 三种不同的型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样的方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ）A ．24B ．30C ．36D ．40【知识点】分层抽样方法．I1【答案】【解析】C 解析：∵新产品数量之比依次为:5:3k ，∴由，解得k=2，则C 种型号产品抽取的件数为120×，故选：C 【思路点拨】根据分层抽样的定义求出k ，即可得到结论．【题文】4、如图给出的是计算111124620++++的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >【知识点】程序框图．L1【答案】【解析】C 解析：∵S=111124620++++并由流程图中S=S+，故循环的初值为1，终值为10、步长为1，故经过10次循环才能算出S=111124620++++的值，故i≤10，应不满足条件，继续循环∴应i ＞10，应满足条件，退出循环，填入“i＞10”．故选C.【思路点拨】由本程序的功能是计算111124620++++的值，由S=S+，故我们知道最后一次进行循环时的条件为i=10，当i ＞10应退出循环输出S 的值，由此不难得到判断框中的条件． 【题文】5、将函数()3sin cos f x x x =-的图象向左平移m 个单位(0)m >，若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．23πB ．3πC ．8π D ．56π 【知识点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．C3 C4 【答案】【解析】A 解析：y=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣）然后向左平移m （m ＞0）个单位后得到y=2sin （x+m ﹣）的图象为偶函数，关于y 轴对称， ∴2sin（x+m ﹣）=2sin （﹣x+m ） ∴sinxcos（m）+cosxsin （m ）=﹣sinxcos （m ）+cosxsin （m ） ∴sinxcos（m）=0∴cos（m ）=0 ∴m =2k π+，m=．∴m 的最小值为．故选A ．【思路点拨】先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y 轴对称得到2sin （x+m ﹣）=2sin （﹣x+m ﹣），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m 的值，从而得到最小值．【题文】6、已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【知识点】等比数列的性质D3【答案】【解析】B 解析：因为3462,16a a a ==，所以2446316a a a q ==，即44q =， 则()4684101268684q a a a a q a a a a --===--，故选B. 【思路点拨】结合已知条件得到44q =，再利用等比数列的性质即可。

河北省衡水中学2015届高三第一次模拟考试-数学理试题-Word版包含答案

河北省衡水中学2015届高三第一次模拟考试-数学理试题-Word版包含答案

2014～2015学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷（A 卷）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．设全集为实数集R ，{}{}24,13M x x N x x =>=<≤,则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤C ．{}12x x <≤ D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ）A ．2011B ．2012C ．4022D ．40234. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。

A ．①②B ．③④C ．③④⑤D ．④⑤5.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点E ，则点E 为△A 1BC 1的（ ）A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心6.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则22a b +的最小值是（ ）A ．613 B ． 365 C ．65 D ．36137.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（ ）A ．16πB ．4πC ．8πD ．2π8．已知函数()2sin()f x x =+ωϕ(0,)ω>-π<ϕ<π图像的一部分（如图所示），则ω与ϕ的值分别为（ ）A ．115,106π- B ．21,3π-C ．7,106π-D ．4,53π- 9. 双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（ ）AB．1C．1D．2+10. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数12,x x ，不等式)()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式0)1(<-x f 的解集为( )A. )0,(-∞B. ()+∞,0C. )1,(-∞D. ()+∞,111.已知圆的方程422=+y x ，若抛物线过点A (0，－1)，B (0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1(y ≠0)B.x 24＋y 23＝1(y ≠0)C.x 23＋y 24＝1(x ≠0) D.x 24＋y 23＝1 (x ≠0) 12. 设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f =（ ）1A.200722006+ B ．200622008+ C ．200722008+ D ．200822006+第Ⅱ卷 非选择题 （共90分）二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.在区间[－6，6]，内任取一个元素x O ，若抛物线y=x 2在x=x o 处的切线的倾角为α，则3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的概率为 。

河北省衡水中学2015届高三第五次调研考试数学(理)试题

河北省衡水中学2015届高三第五次调研考试数学(理)试题

河北省衡水中学第五次调研考试数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|12,}A x x x N =-<≤∈，集合{2,3}B =，则A B 等于（ ）A ．{}2B ．{}1,2,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1,2,32、已知复数241(i i i z+-=为虚数单位），则z 等于（ ） A ．13i -+ B ．12i -+ C ．13i - D ．12i -3、公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则6a 等于（ ）A ．1B ．2C ．4D ．84、某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12月的销售额为（ ）A ．8万元B ．10万元C ．12万元D ．15万元5、甲：函数()f x 是R 上的单调递增函数；乙：1212,()()x x f x f x ∃<<，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（ ）A ．14t ≥B ．18t ≥C ．14t ≤D ．18t ≤ 7、为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(,m n 均为正数），则m n -的最小值是（ ）A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π 8、已知非零向量,OA a OB b ==，且,BC OA C ⊥为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于（ ）A ．a ba b ⋅⋅ B ．2a b a ⋅ C ．2a bb ⋅ D ．a b a b ⋅⋅9、已知(,)P x y 为区域2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，2z x y =-的最大值是（ ）A ．6 B．0 C ．2 D ．10、将一张边长为6cm 的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（ ）A 3B 3C 3D 3 11、已知O 为原点，双曲线2221(0)x y a a-=>上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（）A12、已知函数()21020x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()f x x a =-有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．9(,0)4-B ．1(0,)4C ．91(,)44-D ．9(,0)4-或1(0,)4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

【高考数学】河北省衡水中学2015-2016学年高一下学期一调数学试卷(理科) Word版含解析

【高考数学】河北省衡水中学2015-2016学年高一下学期一调数学试卷(理科) Word版含解析

2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）一调数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设A={x∈Z||x|≤3}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B中元素的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．无数个2．若向量、，满足||=1、||=，⊥（），则与的夹角为（）A．B． C． D．3．为了得到y=sin2x的图象，可以将y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位4．设f（θ）=，则f（）的值为（）A．﹣B．C．1 D．5．=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣46．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．{x∈R|﹣2＜x＜2}7．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于（）A．5 B．6 C．7 D．88．若先将函数y=sin（x﹣）+cos（x﹣）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=9．已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为（）A．B． C． D．10．△ABC中，若，则的值为（）A．2 B．4 C．D．211．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能12．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则a+b+c+d的取值范围是（）A．（12，）B．（16，24）C．（12，+∞）D．（18，24）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是．14．已知α∈（0，），且tan（α+）=3，则lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=．15．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间（，）上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，则f（）=．16．已知向量，，若+与的夹角为， +与的夹角为，则=．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx﹣4≤0，x∈R}．（1）若A∩B={x|1≤x≤3}，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．18．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量=（sinC﹣sin（2A），1）．（I）如果，求a的值；（II）若，请判断△ABC的形状．19．在锐角△ABC中，．（1）求角A；（2）若a=，当sinB+cos（﹣C）取得最大值时，求B和b．20．在△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b=acosC+csinA，cosB=．（I）求cosC的值；（Ⅱ）若BC=10，D为AB的中点，求CD的长．21．设函数f（x）=ka x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若0＜a＜1，f（x+2）+f（3﹣2x）＞0，求x的取值范围；（3）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．22．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．2015-2016学年河北省衡水中学高一（下）一调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设A={x∈Z||x|≤3}，B={y|y=x2+1，x∈A}，则B中元素的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．无数个【考点】集合的表示法；元素与集合关系的判断．【分析】将B用列举法表示后，作出判断．【解答】解：A={x∈Z||x|≤3}={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={y|y=x2+1，x∈A}={10，5，2，1}B的元素个数是4．故选B．2．若向量、，满足||=1、||=，⊥（），则与的夹角为（）A．B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】令•（）=0解出，代入夹角公式．【解答】解：∵⊥（），∴•（）=0，即+=0，∴=﹣1．∴cos＜＞==﹣．∴＜＞=．故选C．3．为了得到y=sin2x的图象，可以将y=cos2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由于y=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），再根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律得出结论．【解答】解：∵y=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），∴将y=cos2x的图象向右平移个单位，即可得到y=cos2（x﹣）的图象，故选D．4．设f（θ）=，则f（）的值为（）A．﹣B．C．1 D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用诱导公式和同角的平方关系化简，结合特殊角的三角函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：f（θ）===，则f（）===﹣．故选：A．5．=（）A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4【考点】诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可得原式等于，利用二倍角正弦公式及两角差的正弦公式化简可得结果．【解答】解：========﹣4故选D6．已知定义在R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）=（）A．2 B．C．D．{x∈R|﹣2＜x＜2}【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据条件构造关于g（2）和f（2）的方程组来求解．【解答】解：因为f（x）+g（x）=a x﹣a﹣x+2，所以，因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以，上述方程组中两式相加得：2g（2）=4，即g（2）=2，因为g（2）=a，所以a=2，将g（2）=2，a=2代入方程组中任意一个可求得f（2）=，故选C．7．将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，若所得图象与原图象重合，则ω的值可能等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，终边相同的角的特征，求得ω的最小值【解答】解：由题意可知：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象向左平移个单位，可得：f（x+）=sin[ω（x+）+φ]=sin（ωx+ω+φ），与原图象重合，φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，解得：ω=﹣4k，k∈Z，当k=﹣2时，ω=8，故答案选：D．8．若先将函数y=sin（x﹣）+cos（x﹣）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，再将所得图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】利用两角和的正弦函数公式化简已知可得y=2sinx，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：∵y=sin（x﹣）+cos（x﹣）=2sinx，∴先将函数图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得函数为：y=2sin2x，再将所得图象向左平移个单位，所得函数为：y=2sin2（x+）=2sin（2x+），∴由2x+=kπ+，k∈Z，可解得对称轴的方程是：x=kπ+，k∈Z，当k=0时，可得函数图象的一条对称轴的方程是：x=．故选：C．9．已知△ABC内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=，b=2，sinC=2sinA，则△ABC的面积为（）A．B． C． D．【考点】正弦定理．【分析】由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，又cosB=，b=2，由余弦定理可得22=a2+（2a）2﹣2a•2a×，解得a=1，∴c=2，又cosB=，∴sinB==，∴△ABC的面积S=acsinB=×=故选：B10．△ABC中，若，则的值为（）A．2 B．4 C．D．2【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的运算法则求得a•cosB﹣b•cosA=c，再由余弦定理可得a2﹣b2=c2．根据=，把余弦定理、正弦定理代入运算可得结果．【解答】解：△ABC中，∵，即+=，∴bc•cos（π﹣A）+ac•cosB=c2，∴a•cosB﹣b•cosA=c，∴a•﹣b•=，即a2﹣b2=c2．∴=====4，故选：B．11．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得，又BC=5，则有||2=||2+||2＞||2+||2，运用余弦定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=5，则（）==﹣•=5，即﹣•（）=5，则，又BC=5，则有||2=||2+||2＞||2+||2，由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形．故选：B．12．已知函数f（x）=，若存在实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则a+b+c+d的取值范围是（）A．（12，）B．（16，24）C．（12，+∞）D．（18，24）【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，判断二次函数的对称轴，得到c+d的值，判断判断a+b的范围即可．【解答】解：如图函数f（x）=，的图象，二次函数的对称轴为：x=5，f（a）=f（b）=f（c）=f（d），d＞c＞b＞a＞0，由4|log2x|==4，解得x=或x=2．可得c+d=10，而a+b∈（2，）．则a+b+c+d的取值范围是：（12，）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3] ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据B⊆A可分B=∅，和B≠∅两种情况：B=∅时，m+1＞2m﹣1；B≠∅时，，这样便可得出实数m的取值范围．【解答】解：①若B=∅，则m+1＞2m﹣1；∴m＜2；②若B≠∅，则m应满足：，解得2≤m≤3；综上得m≤3；∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]．14．已知α∈（0，），且tan（α+）=3，则lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=1．【考点】同角三角函数基本关系的运用；对数的运算性质．【分析】根据角的范围，由两角和的正切函数公式可求tanα，利用对数的运算性质即可计算得解．【解答】解：∵α∈（0，），且tan（α+）=3，∴=3，∴tan，∴lg（8sinα+6cosα）﹣lg（4sinα﹣cosα）=lg=lg=lg10=1．故答案为：1．15．若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间（，）上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，则f（）=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数的单调性和最值求出ω和φ的值即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0且|φ|＜）在区间（，）上是单调减函数，且函数值从1减小到﹣1，∴=﹣=，即函数的周期T=π，∵T==π，∴ω=2，则f（x）=sin（2x+φ），∵f（）=sin（2×+φ）=1，∴sin（+φ）=1，即+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=，即f（x）=sin（2x+），则f（）=sin（2×+）=sin（+）=cos=，故答案是：．16．已知向量，，若+与的夹角为， +与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，结合图形，应用正弦定理，容易解出答案．【解答】解：如图所示（其中图中字母表示对应向量），向量+与的夹角为， +与的夹角为，∴∠CAB=，∠ACB=；由正弦定理，得=，即=∴==；故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|x2﹣2mx﹣4≤0，x∈R}．（1）若A∩B={x|1≤x≤3}，求实数m的值；（2）若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（1）求出B，A集合，根据集合的基本运算求解实数m的值；（2）求出根据集合B，求出∁R B，在A⊆∁R B，求实数m的取值范围．【解答】解：由题意：集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x3}，B={x|x2﹣2mx﹣4≤0，x∈R}={x|m﹣2≤x≤m+2}．（1）∵A∩B={x|1≤x≤3}，∴解得：m=3．所以：A∩B={x|1≤x≤3}时，实数m的值为3；（2）∵B={x|m﹣2≤x≤m+2}．∴∁R B═{x|m﹣2＞x或m+2＜x}．∵A⊆∁R B，∴m﹣2＞3或m+2＜﹣1解得：m＞5或m＜﹣3．所以：A⊆∁R B时，实数m的取值范围是：（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）18．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的三边分别是a、b、c，平面向量，平面向量=（sinC﹣sin（2A），1）．（I）如果，求a的值；（II）若，请判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断；数量积判断两个平面向量的垂直关系；余弦定理．【分析】（I）根据余弦定理以及c和C的值可求得a2+b2﹣ab=4，进而根据三角形面积公式求得ab的值，最后联立方程求得a．（II）根据）可推断出sinC﹣sin2Asin（B﹣A）=0．化简整理求得A为90°判断出三角形为直角三角形或A=B判断三角形为等腰三角形．【解答】解：（I）由余弦定理及已知条件得a2+b2﹣ab=4，∵，∴．∴ab=4．联立方程组得．∴a=2．（II）∵，∴sinC﹣sin2A+sin（B﹣A）=0．化简得cosA（sinB﹣sinA）=0．∴csoA=0或sinB﹣sinA=0．当，此时△ABC是直角三角形；当sinB﹣sinA=0时，即sinB=sinA，由正弦定理得b=a，此时△ABC为等腰三角形．∴△ABC是直角三角形或等腰三角形．19．在锐角△ABC中，．（1）求角A；（2）若a=，当sinB+cos（﹣C）取得最大值时，求B和b．【考点】余弦定理的应用；三角函数的最值．【分析】（1）由余弦定理，结合条件，可得sin2A=1，即可求角A；（2）先得出B=时，sinB+cos（﹣C）取得最大值，再利用正弦定理，即可得出结论．【解答】解：（1）由余弦定理可得=∵△ABC是锐角三角形，∴cosB＞0，∴sin2A=1，∴2A=，∴A=；（2）由（1）知，B +C=，∴sinB +cos （﹣C ）=sinB +cos （B ﹣）=sinB +cosBcos +sinBsin=sinB +cosB=sin （B +）∵0＜﹣B ＜，0＜B ＜，∴＜B ＜，∴＜B +＜，∴B +=，即B=时，sinB +cos （﹣C ）取得最大值，由正弦定理可得b===．20．在△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b=acosC +csinA ，cosB=． （I ） 求cosC 的值；（Ⅱ）若BC=10，D 为AB 的中点，求CD 的长．【考点】正弦定理．【分析】（I ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB ，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tanA=1，进而可求A ，即可利用三角形内角和定理，两角差的余弦函数公式计算得解cosC 的值．（Ⅱ）由（I ）利用同角三角函数基本关系式可求sin ∠ACB 的值，由正弦定理可求得AB ，进而可求BD ，利用余弦定理即可得解CD 的值．【解答】（本题满分为12分）解：（I ）∵cosB=．B ∈（0，π），∴sinB==，…2分由b=acosC +csinA ，可得：sinB=sinAcosC +sinCsinA=sin （C +A ）=sinCcosA +cosCsinA ，可得：tanA=1，可得A=，则：cosC=cos （π﹣A ﹣B ）=cos （﹣B ），…4分=﹣×+×=﹣…6分（Ⅱ）由（I ）可得：sin ∠ACB===，…8分由正弦定理可得：，即： =，解得：AB=14，…10分因为，在△BCD 中，BD=AB=7，可得，CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC •BD •cosB=102+72﹣2×=37．解得：CD=…12分21．设函数f （x ）=ka x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）是奇函数．（1）求常数k 的值；（2）若0＜a ＜1，f （x +2）+f （3﹣2x ）＞0，求x 的取值范围；（3）若，且函数g （x ）=a 2x +a ﹣2x ﹣2mf （x ）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m 的值．【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k 的值；（2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式f （x +2）+f （3﹣2x ）＞0，即可求x 的取值范围；（3）根据求出a ，然后利用函数的最小值建立方程求解m ．【解答】解：（1）∵f （x ）=ka x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）是奇函数．∴f （0）=0，即k ﹣1=0，解得k=1．（2）∵f （x ）=a x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）是奇函数．∴不等式f （x +2）+f （3﹣2x ）＞0等价为f （x +2）＞﹣f （3﹣2x ）=f （2x ﹣3）， ∵0＜a ＜1，∴f （x ）在R 上是单调减函数，∴x +2＜2x ﹣3，即x ＞5．∴x 的取值范围是（5，+∞）．（3）∵，∴a ﹣，即3a 2﹣8a ﹣3=0，解得a=3或a=（舍去）．∴g（x）=32x+3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x）=（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2，令t=3x﹣3﹣x，∵x≥1，∴t，∴（3x﹣3﹣x）2﹣2m（3x﹣3﹣x）+2=（t﹣m）2+2﹣m2，∵函数g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2∴当m时，2﹣m2=﹣2，解得m=2，不成立舍去．当m时，（）2﹣2m×，解得m=，满足条件，∴m=．22．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；（Ⅱ）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，∵CD=，AB=BC=DA=1，∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=4﹣2cosC；在△ABD中，BD2=2﹣2cosA，∴4﹣2cosC=2﹣2cosA，则cosA=cosC﹣1；（Ⅱ）S=BC•CD•sinC=sinC，T=AB•ADsinA=sinA，∵cosA=cosC﹣1，∴S2+T2=sin2C+sin2A=（1﹣cos2C）+（1﹣cos2A）=﹣cos2C+cosC+=﹣（cosC﹣）2+，则当cosC=时，S2+T2有最大值．。

河北衡水中学高三数学上学期第五次调研考试试题 理(含解析)

河北衡水中学高三数学上学期第五次调研考试试题 理(含解析)

河北衡水中学2015届高三数学上学期第五次调研考试试题理（含解析）【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本能力为载体，，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，试题重点考查：集合、不等式、复数、向量、程序框图、导数、数列、三角函数的性质，统计概率等；考查学生解决实际问题的能力。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合A={xI-l<x≤2，x∈N}，集合B={2，3)，则AUB等于A．{2} B．{1，2，3) C．{-1，0，1，2，3)D．{0，1，2，3)【知识点】集合及其运算A1【答案】D【解析】由题意得A={0,1,2}，则A⋃B={0，1，2，3)。

【思路点拨】根据题意先求出A，再求出并集。

【题文】2．已知复数1-i=(i为虚数单位)，则z等于A．一1+3i B．一1+2i C．1—3i D．1—2i【知识点】复数的基本概念与运算L4【答案】A【解析】由题意得z= 241ii+-=(24)(1)(1)(1)i ii i++-+=-1+3i【思路点拨】化简求出结果。

【题文】3．公比为2的等比数列{an)的各项都是正数，且=16，则a6等于A．1 B．2 C．4 D．8【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案】B【解析】由题意可得a72=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6=72a=2【思路点拨】由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．【题文】4某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为A．8万元 B．10万元 C．12万元 D．15万元【知识点】用样本估计总体I2 【答案】C【解析】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4∴11时至12时的销售额为3³4=12【思路点拨】由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．【题文】5．甲：函数，f(x)是R 上的单调递增函数；乙：x1<x2，f(x2)<f(x2)，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件、必要条件A2 【答案】A【解析】根据函数单调性的定义可知，若f （x ）是 R 上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f （x1）＜f （x2）成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f （x1）＜f （x2）．则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．【思路点拨】根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【题文】6．运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为 A ．t≥ B ．t≥c ．t ≤ D ．t≤【知识点】算法与程序框图L1 【答案】B【解析】第一次执行循环结构：n←0+2，x←2³t，a←2-1∵n=2＜4，∴继续执行循环结构． 第二次执行循环结构：n←2+2，x←2³2t，a←4-1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构， 第三次执行循环结构：n←4+2，x←2³4t，a←6-3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t ．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t≥18．【思路点拨】第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x 、a 即可得出结果．【题文】7．为得到函数y=sin(x+)的图象，可将函数．Y=sin x 的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(m ，n 均为正数)，则Im-nI 的最小值是 A Bc ．D ．【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4 【答案】B【解析】由条件可得m=2k1π+3π，n=2k2π+53π（k1、k2∈N ），则|m-n|=|2（k1-k2）π-43π|，易知（k1-k2）=1时，|m-n|min=23π．【思路点拨】依题意得m=2k1π+3π ，n=2k2π+53π（k1、k2∈N ），于是有|m-n|=|2（k1-k2）π-43π|，从而可求得|m-n|的最小值．【题文】8．已知非零向量=a ，=b ，且BC OA ，c 为垂足，若，则等于【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2 【答案】B【解析】由于OC =λa ，根据向量投影的定义，得λ就是向量OB 在向量OA 方向上的投影，即λ=2a ba⋅。

河北省衡水中学2015届高三第五次调研考试理科综合试题

河北省衡水中学2015届高三第五次调研考试理科综合试题

河北衡水中学2015 届高三第五次调研考试理科综合试题考生注意：1．本试卷分第工卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分，共300 分。

考试时间150 分钟。

2．请将各题答案填在试卷后边的答题卡上。

3．可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 ()16 Si 28 S 32 Fe 56 Cu 64 Au 197Pb 207第工卷 ( 选择题共126 分 )一、选择题：此题共13 小题，每题 6 分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。

1．以下有关细胞的构成物质及构造的表达中，正确的选项是八蛋白质、糖类都是由相应单体连结成的多聚体B．细胞膜、核糖体膜、原生质层都拥有选择透过性C．线粒体内膜和基质中都有与有氧呼吸有关的酶D．有中心体的细胞必定不会发生质壁分别现象2．科学的研究方法是获得成功的重点，以下实验研究方法正确的选项是A．将质壁分别还原的细胞用龙胆紫染色，能够察看染色体的形态变化B．将天竺葵置于黑暗中一段时间，可用来研究光合作用所需的条件C．先将淀粉、淀粉酶混淆再置于不一样温度条件下，可研究温度对酶活性的影响D．依据能否产生 C02 来判断酵母菌的呼吸方式3．以下图为翻译过程中搬运原料的工具tRNA，其反密码子的读取方向为“3’端一 5’端”，其余数字表示核苷酸的地点。

下表为四种氨基酸对应的所有密码子的表格。

有关表达正确的是UGG GGU、GGA ACU 、ACA CCU 、CCA密码子GGG、GGC ACG 、ACC CCG 、CCC氨基酸色氨酸甘氨酸苏氨酸脯氨酸A.转录过程中也需要搬运原料的工具C．该tRNA在翻译过程中可搬运苏氨酸B 该 tRNA 中含有氢键，由两条链构成D氨基酸与反密码子都是一一对应的4．将二倍体西瓜的花芽进行离体培育成幼苗后，用秋水仙素办理其茎尖获取的西瓜植株A 理论上已经是一个新物种B体细胞中不含有等位基因C．所结的果实中没有种子D_根部细胞含四个染色体组5． MMP9酶在引起自己免疫病中拥有重要作用，科学家创建了MMP9酶的“人工版本”金属锌组氨酸复合物，他们将复合物注入小鼠，结果小鼠体内产生了与MMP9酶相应的抗体。

河北省衡水市重点中学高三数学上学期第五次调研试卷 理(含解析)

河北省衡水市重点中学高三数学上学期第五次调研试卷 理(含解析)

河北省衡水市重点中学2015届高三上学期第五次调研数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万5．（5分）命题甲：f（x）是 R上的单调递增函数；命题乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．D．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．210．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm311．（5分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，0）或（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中常数项为（用数字作答）14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=1且对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），则f=．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为．16．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1，记集合A={x|x=a n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}，则数列{c n}的前50项和S50=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．18．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．20．（12分）以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE 于点E，延长ED与圆O交于点C．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．河北省衡水市重点中学2015届高三上学期第五次调研数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{﹣1，0，1，2，3}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：把集合A的所有元素和集合B的所有元素合并到一起，得到集合A∪B．由此根据集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，能求出A∪B．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}={0，1，2}，集合B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选B．点评：本题考查集合的并集的定义及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意并集中相同的元素只写一个．2．（5分）已知复数1﹣i=（i为虚数单位），则z等于（）A．﹣1+3i B．﹣1+2i C．1﹣3i D．1﹣2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：∵复数1﹣i=，∴==﹣1+3i．故选：A．点评：本题考查了复数定义是法则，属于基础题．3．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a4a10=16，则a6=（）A．1 B．2 C．4 D．8考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意结合等比数列的性质可得a7=4，由通项公式可得a6．解答：解：由题意可得=a4a10=16，又数列的各项都是正数，故a7=4，故a6===2故选B点评：本题考查等比数列的通项公式，属基础题．4．（5分）某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为（）A．8万元B．10万元C．12万元D．15万考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4，也就是11时至12时的销售额为9时至10时的销售额的4倍．解答：解：由频率分布直方图得0.4÷0.1=4∴11时至12时的销售额为3×4=12故选C点评：本题考查频率分布直方图，关键是注意纵坐标表示频率比组距，属于基础题．5．（5分）命题甲：f（x）是 R上的单调递增函数；命题乙：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据函数单调性的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：根据函数单调性的定义可知，若f（x）是 R上的单调递增函数，则∀x1＜x2，f （x1）＜f（x2）成立，∴命题乙成立．若：∃x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．则不满足函数单调性定义的任意性，∴命题甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性的定义和性质是解决本题的关键，比较基础．6．（5分）运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题．分析：第一次执行循环结构：n←0+2，第二次执行循环结构：n←2+2，第三次执行循环结构：n←4+2，此时应终止循环结构．求出相应的x、a即可得出结果．解答：解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴继续执行循环结构．第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构，第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．由于结束时输出的结果不小于3，故38t≥3，即8t≥1，解得t．故答案为：B．点评：理解循环结构的功能和判断框的条件是解决问题的关键．属于基础题．7．（5分）为得到函数y=sin（x+）的图象，可将函数y=sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度（m，n均为正数），则|m﹣n|的最小值是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：依题意得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），于是有|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，从而可求得|m﹣n|的最小值．解答：解：由条件可得m=2k1π+，n=2k2π+（k1、k2∈N），则|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|，易知（k1﹣k2）=1时，|m﹣n|min=．故选：B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，得到|m﹣n|=|2（k1﹣k2）π﹣|是关键，考查转化思想．8．（5分）如图，=，=，且BC⊥OA，C为垂足，设=λ，则λ的值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．分析：利用向量垂直数量积为零找出λ满足的方程解之解答：解：=﹣，，∴，∴即===0∴λ=故选项为A点评：向量垂直的充要条件．9．（5分）已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据图形正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，正四棱锥的斜高为a，运用图1得出；×6=，a=2，计算计算出a，代入公式即可．解答：解：∵正四棱锥的正视图是正三角形，正视图的底面边长为a，高为a，∴正四棱锥的斜高为a，∵图1得出：∵将一张边长为6cm的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形∴×6=，a=2，∴正四棱锥的体积是a2×a=，故选：A点评：本题综合考查了空间几何体的性质，展开图与立体图的结合，需要很好的空间思维能力，属于中档题．11．（5分）已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．解答：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay﹣m﹣an=0与OA方程：x﹣ay=0交点是A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：d=∵|OA|•d=1，∴||•=1，∵，∴a=2，∴c=，∴e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（﹣，）D．（﹣，0）或（0，）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意，关于x的方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根转化为函数图象的交点问题，从而作图解答．解答：解：直线y=x﹣a与函数f（x）=e x﹣1的图象在x≥0处有一个切点，切点坐标为（0，0）；此时a=0；直线y=|x﹣a|与函数y=﹣x2﹣2x的图象在x＜0处有两个切点，切点坐标分别是（﹣，）和（﹣，）；此时相应的a=，a=﹣；观察图象可知，方程f（x）=|x﹣a|有三个不同的实根时，实数a的取值范围是（﹣，0）或（0，）；故选D．点评：本题考查了函数的图象与方程的根的关系，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中常数项为﹣10（用数字作答）考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解答：解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为 T r+1=•（﹣1）r•，令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（2）=1且对任意x∈R都有f（x+3）=f（x），则f=1．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由f（x+3）=f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．可得f=f（1）=f（﹣2），再由偶函数的定义，结合条件，即可得到所求值．解答：解：由f（x+3）=f（x）知，f（x）是以周期为3的周期函数．所以f=f（671×3+1）=f（1）=f（3﹣2）=f（﹣2）由于f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（﹣2）=f（2）=1．故答案为：1．点评：本题考查函数的奇偶性和周期性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为π．考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据平面图形外接圆的半径求出三棱锥的棱长，再根据棱长求出高，然后根据体积公式计算即可．解答：解：三棱锥P﹣ABC展开后为一等边三角形，设边长为a，则4=，∴a=6，∴三棱锥P﹣ABC棱长为3，三棱锥P﹣ABC的高为2，设内切球的半径为r，则4×=，∴r=，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的体积为=π．故答案为：π．点评：本题考查锥体的体积，考查等体积的运用，比较基础．16．（5分）已知等差数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，等比数列{b n}中，b1=a1，b4=a3+1，记集合A={x|x=a n，n∈N}，B={x|x=b，n∈N}，U=A∪B，把集合U中的元素按从小到大依次排列，构成数列{c n}，则数列{c n}的前50项和S50=3321．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得b n=2n﹣1．数列{a n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，数列{b n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，数列{c n}的前50项应包含数列{a n}的前46项和数列{b n}中的2，8，32，128这4项．由此能求出S50．解答：解：设等比数列{b n}的公比为q，∵b1=a1=1，b4=a3+1=8，则q3=8，∴q=2，∴b n=2n﹣1．根据数列{a n}和数列{b n}的增长速度，数列{c n}的前50项至多在数列{a n}中选50项，数列{a n}的前50项所构成的集合为{1，4，7，10，…，148}，由2n﹣1＜148得，n≤8，数列{b n}的前8项构成的集合为{1，2，4，8，16，32，64，128}，其中1，4，16，64是等差数列{a n}中的项，2，8，32，128不是等差数列中的项，a46=136＞128，∴数列{c n}的前50项应包含数列{a n}的前46项和数列{b n}中的2，8，32，128这4项．∴S50=+2+8+32+128=3321．故答案为：3321．点评：本题考查数列的前50项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC（1）求cosA的值（2）若a=1，，求边c的值．考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：（1）利用正弦定理分别表示出cosB，cosC代入题设等式求得cosA的值．（2）利用（1）中cosA的值，可求得sinA的值，进而利用两角和公式把cosC展开，把题设中的等式代入，利用同角三角函数的基本关系求得sinC的值，最后利用正弦定理求得c．解答：解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；得cosA=；（2）∵cosA=∴sinA=cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③又已知 cosB+cosC=代入③cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立解得 sinC=已知 a=1正弦定理：c===点评：本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用．考查了基础知识的综合运用．18．（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量（kg）300 500概率0.5 0.5作物市场价格（元/kg） 6 10概率0.4 0.6（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．考点：离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）分别求出对应的概率，即可求X的分布列；（Ⅱ）分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率，利用概率相加即可得到结论．解答：解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，则P（A）=0.5，P（B）=0.4，∵利润=产量×市场价格﹣成本，∴X的所有值为：500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，则X的分布列为：X 4000 2000 800P 0.3 0.5 0.2（Ⅱ）设C i表示事件“第i季利润不少于2000元”（i=1，2，3），则C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，P（C i）=P（X=4000）+P（X=2000）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），3季的利润均不少于2000的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，3季的利润有2季不少于2000的概率为P（C 2C3）+P（C1C3）+P（C1C2）=3×0.82×0.2=0.384，综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896．点评：本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算，考查学生的计算能力．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ABB1为菱形，∠A1AB=45°，四边形BCC1B1为矩形，若AC=5，AB=4，BC=3（1）求证：AB1⊥面A1BC；（2）求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）证明AB1⊥面A1BC，只需证明AB1⊥A1B，CB⊥AB1，证明CB⊥平面AA1B1B，利用四边形A1ABB1为菱形可证；（2）过B作BD⊥AA1于D，连接CD，证明∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角，求出DB，CD，即可求二面角C﹣AA1﹣B的余弦值．解答：（1）证明：在△ABC中AC=5，AB=4，BC=3，所以∠ABC=90°，即CB⊥AB，又因为四边形BCC1B1为矩形，所以CB⊥BB1，因为AB∩BB1=B，所以CB⊥平面AA1B1B，又因为AB1⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AB1，又因为四边形A1ABB1为菱形，所以AB1⊥A1B，因为CB∩A1B=B所以AB1⊥面A1BC；（2）解：过B作BD⊥AA1于D，连接CD因为CB⊥平面AA1B1B，所以CB⊥AA1，因为CB∩BD=B，所以AA1⊥面BCD，又因为CD⊂面BCD，所以AA1⊥CD，所以，∠CDB就是二面角C﹣AA1﹣B的平面角．在直角△ADB中，AB=4，∠DAB=45°，∠ADB=90°，所以DB=2在直角△CDB中，DB=2，CB=3，所以CD=，所以cos∠CDB==．点评：本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定，作出面面角是关键．20．（12分）以椭圆C：=1（a＞b＞0）的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；（2）过点P（0，m）作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记△AOB（O为坐标原点）的面积为S△AOB，将S△AOB表示为m的函数，并求S△AOB的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由椭圆C的离心率，结合a，b，c的关系，得到a=2b，设椭圆方程，再代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆x2+y2=1相切，得到k，m的关系式，求出三角形ABC 的面积，运用基本不等式即可得到最大值．解答：解：（1）椭圆C的离心率为，即c=，由c2=a2﹣b2，则a=2b，设椭圆C的方程为，∵椭圆C过点，∴，∴b=1，a=2，以为半径即以1为半径，∴椭圆C的标准方程为，椭圆C的“伴随”方程为x2+y2=1．（2）由题意知，|m|≥1．易知切线l的斜率存在，设切线l的方程为y=kx+m，由得，设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，．又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2﹣1．所以=，则，|m|≥1．（当且仅当时取等号）所以当时，S△AOB的最大值为1．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）设函数f（x）=x2+aln（x+1）（a为常数）（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是单凋递增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数y=f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：转化思想．分析：（Ⅰ）已知原函数的值为正，得到导函数的值非负，从而求出参量的范围；（Ⅱ）利用韦达定理，对所求对象进行消元，得到一个新的函数，对该函数求导后，再对导函数求导，通过对导函数的导导函数的研究，得到导函数的最值，从而得到原函数的最值，即得到本题结论．解答：解：（Ⅰ）根据题意知：f′（x）=在[1，+∞）上恒成立．即a≥﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上恒成立．∵﹣2x2﹣2x在区间[1，+∞）上的最大值为﹣4，∴a≥﹣4；经检验：当a=﹣4时，，x∈[1，+∞）．∴a的取值范围是[﹣4，+∞）．（Ⅱ）在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根，即方程2x2+2x+a=0在区间（﹣1，+∞）上有两个不相等的实数根．记g（x）=2x2+2x+a，则有，解得．∴，．∴令．，记．∴，．在使得p′（x0）=0．当，p′（x）＜0；当x∈（x0，0）时，p′（x）＞0．而k′（x）在单调递减，在（x0，0）单调递增，∵，∴当，∴k（x）在单调递减，即．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数法研究函数的单调性、究极值和最值，难点是多次连续求导，即二次求导，本题还用到消元的方法，难度较大．一、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图所示，圆O的直径为BD，过圆上一点A作圆O的切线AE，过点D作DE⊥AE 于点E，延长ED与圆O交于点C．（1）证明：DA平分∠BDE；（2）若AB=4，AE=2，求CD的长．考点：相似三角形的判定．专题：立体几何．分析：（1）由于AE是⊙O的切线，可得∠DAE=∠AB D．由于BD是⊙O的直径，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割线定理可得：AE2=DE•CE，即可解出．解答：（1）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴∠ABD+∠ADB=90°，又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠ADB=∠ADE．∴DA平分∠BDE．（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴，∴，化为BD=2AD．∴∠ABD=30°．∴∠DAE=30°．∴DE=AEtan30°=．由切割线定理可得：AE2=DE•CE，∴，解得CD=．点评：本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切割线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一、选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C1的方程为ρ（ρ﹣4sinθ）=12，定点A（6，0），点P是曲线C1上的动点，Q为AP的中点．（1）求点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）直线l与直线C2交于A，B两点，若|AB|≥2，求实数a的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）首先，将曲线C1化为直角坐标方程，然后，根据中点坐标公式，建立关系，从而确定点Q的轨迹C2的直角坐标方程；（2）首先，将直线方程化为普通方程，然后，根据距离关系，确定取值范围．解答：解：（1）根据题意，得曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=12，设点P（x′，y′），Q（x，y），根据中点坐标公式，得，代入x2+y2﹣4y=12，得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，（2）直线l的普通方程为：y=ax，根据题意，得，解得实数a的取值范围为：[0，]．点评：本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程，直线与圆的位置关系等知识，考查比较综合，属于中档题，解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解．一、选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，由f不等式可得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解此一元二次不等式求得原不等式的解集．（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，则 h（x）=，求得h（x）的最小值，即可得到从而所求实数a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥x，两边平方整理得3x2+4x+1≥0，解得x≤﹣1 或x≥﹣∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[﹣，+∞）（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a≥|2x+1|﹣|x|，令 h（x）=|2x+1|﹣|x|，即 h（x）=，故 h（x）min=h（﹣）=﹣，故可得到所求实数a的范围为[﹣，+∞）．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，求函数的最值，属于中档题．。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相关文档
最新文档