浅谈分部积分列表法的用法

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表格积分法

表格积分法表格法是指，求解不定积分时，需要多次使用分部积分时的简化运算方法。

亦可认为是分部积分法的推广公式。

推导分部积分法基本公式∫udv=uv−∫vdu+C表格法的推导(1)∫udv=uv−∫vdu=uv−∫u′vdx=uv−∫u′d(∫v)(2)=uv−[u′(∫v)−∫(∫v)du′]=uv−u′(∫v)+∫(∫v)du′=uv−u′(∫v)+[∫u″d(∬v)]=uv−u′(∫v)+[u″(∬v)−∫(∬v)du″](3)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−∫(∬v)du″=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−∫u‴d(∭v)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−[u‴(∭v)−∫(∭v)du‴](4-1)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫(∭v)du‴(4-2)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫u⁗d(⨌v)=…观察特点可以注意到一个特点：∫u(n)d(∫…∫⁗nv)=∫(∫…∫⁗n−1v)du(n−1) ，如∫vdu=∫u′d(∫v) ，即我们可以交换 u,v ，交换后 u 多求一阶导数， v 则做一次积分。

我们可以看到，进行 n 次分部积分的等式，实际上是从 uv 为起点，每次进行变号，函数 u(x) 进行单向求导，函数 v(x) 进行单项积分，最后一项总为∫(∫…∫⁗n−1v)du(n−1)=∫u(n)d(∫…∫⁗nv) ，符号由第一项开始往后正负交替得到。

使用举例通过上述推导式，可以看出，同一种积分，根据最后一项可以写出两种结果，而这两种结果，哪种比较“好”呢？∫udv=uv−∫vdu(1)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫(∭v)du‴(2)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫u⁗d(⨌v)=…式子(1)在一般运算中没啥毛病，式子(2)除了一般计算，还用在循环积分法中。

•例1∫(x3+2x+6)e2xdx第一步，把原式写为∫udv=∫(x3+2x+6)d(12e2x) ，列出表格。

用表格法计算分部积分

用表格法计算分部积分分部积分是一种利用积分法则将一个复杂的积分问题分解为简单的积分问题来求解的方法。

它是积分学中的重要技巧之一，广泛应用于求解各种函数的积分问题。

分部积分法是基于乘法法则的一个变形，即$(uv)'=u'v+uv'$，其中$u$和$v$是可导函数。

通过这个乘法法则，我们可以得到分部积分公式：$$\int {u\,dv}=uv-\int {v\,du}$$这个公式给出了将一个积分问题转化为一个求导问题的方法。

通过适当选择$u$和$dv$，我们可以将原始的问题转化为一个更简单的问题来求解。

下面我们以一些例子来说明如何使用分部积分法来计算积分。

例1：计算$\int {x\sin{x}\,dx}$首先，我们可以选择$u=x$和$dv=\sin{x}\,dx$，然后对$u$求导并对$v$进行积分：$$du=dx,\quad v=\int {\sin{x}\,dx}=-\cos{x}$$将这些结果代入分部积分公式，我们有：$$\int {x\sin{x}\,dx}=-x\cos{x}+\int {\cos{x}\,dx}=-x\cos{x}+\sin{x}+C$$其中$C$为常数，表示积分的不定性。

例2：计算$\int {x^2e^x\,dx}$在这个例子中，我们可以选择$u=x^2$和$dv=e^x\,dx$，然后对$u$求导并对$v$进行积分：$$du=2x\,dx,\quad v=\int {e^x\,dx}=e^x$$将这些结果代入分部积分公式，我们有：$$\int {x^2e^x\,dx}=x^2e^x-\int {2xe^x\,dx}=x^2e^x-2\int {xe^x\,dx}$$现在我们需要计算$\int {xe^x\,dx}$。

同样地，我们可以选择$u=x$和$dv=e^x\,dx$，然后对$u$求导并对$v$进行积分：$$du=dx,\quad v=\int {e^x\,dx}=e^x$$将这些结果代入分部积分公式，我们有：$$\int {xe^x\,dx}=xe^x-\int {e^x\,dx}=xe^x-e^x$$将这个结果代入之前的积分表达式中，我们有：$$\int {x^2e^x\,dx}=x^2e^x-2(xe^x-e^x)$$$$=x^2e^x-2xe^x+2e^x+C$$这样，我们就得到了原始积分的结果。

分部积分列表法

分部积分列表法
分部积分列表法，也称为递推积分法，是微积分中一种求解不定积分的方法之一。

使用分部积分列表法，我们可以将一个复杂的不定积分转化为一个简单的不定积分加上一个易于计算的表达式。

这个方法基于积分的乘法法则，即∫(u·v)dx = u·∫vdx - ∫(u'·∫vdx)dx，其中u和v是可导的函数，u'是u的导数。

具体步骤如下：
1. 首先，选择一个函数u，它的导数能够简化原始积分的形式。

2. 然后，选择另一个函数v，使得∫vdx更容易计算。

3. 使用乘法法则计算∫(u·v)dx，并将结果分解成两部分：u·∫vdx和∫(u'·∫vdx)dx。

4. 对于第二部分，如果它的形式比原始积分简单，可以直接计算出结果；否则，可以再次应用分部积分列表法，直到得到可计算的积分。

5. 最后，将所有得到的结果相加，得到原始积分的解。

需要注意的是，在选择u和v时，应尽量选择能简化计算的函数。

此外，有时候需要多次应用分部积分列表法才能求解出原始积分。

总体来说，分部积分列表法是一种实用的工具，可以用于求解各种类型的不定积分，但也需要一定的技巧和经验。

在实际应
用中，可以结合其他方法和技巧来求解复杂的积分问题。

分部积分列表法

分部积分列表法摘要：1.分部积分列表法概述2.分部积分列表法的原理3.分部积分列表法的应用实例4.分部积分列表法的优点与局限性正文：一、分部积分列表法概述分部积分列表法是一种求解定积分的数值方法，它通过将整个积分区间划分为若干子区间，然后在每个子区间上使用简单的数值积分方法（如梯形公式、辛普森公式等）计算积分的近似值，最后将各子区间的积分结果相加得到原积分的近似解。

分部积分列表法具有较高的精度和较好的稳定性，适用于求解各种类型的定积分。

二、分部积分列表法的原理分部积分列表法的基本思想是将整个积分区间划分为若干个子区间，每个子区间的宽度为Δx。

在每个子区间上，使用数值积分方法计算该区间内被积函数的平均值，然后将各子区间的平均值相加，得到原积分的近似解。

为了提高精度，可以对每个子区间的平均值进行加权处理，权重与子区间的宽度成反比。

三、分部积分列表法的应用实例假设我们要求解定积分：∫(0, π) sin x dx。

采用分部积分列表法，首先将积分区间[0, π] 划分为n 个子区间，每个子区间的宽度为Δx = π/n。

然后在每个子区间上使用梯形公式计算sin x 的平均值，最后将各子区间的平均值相加，并乘以相应的权重，得到原积分的近似解。

随着n 的增大，积分的精度会逐渐提高。

四、分部积分列表法的优点与局限性分部积分列表法的优点在于具有较高的精度和较好的稳定性，适用于求解各种类型的定积分。

同时，分部积分列表法具有较好的适应性，可以通过调整子区间数和数值积分方法来满足不同精度要求。

然而，分部积分列表法也存在一定的局限性，例如在处理复杂函数或有限差分效应时，可能会出现振荡或收敛速度较慢的情况。

分部积分法的另一形式——列表式

分部积分法的另一形式——列表式分部积分法是一种有效的数学技术，在很多领域被广泛使用，而列表式就是它的一种另一形式。

分部积分法的目的是求解积分，而列表式是一种特殊的分部积分方法，用于求解积分公式中出现的单变量函数的积分。

在这种情况下，将传统的分部积分法表述为一种列表微积分法，即将积分拆分成一系列的有限步骤，由此形成一个列表，以便客观地描述积分操作。

列表式分部积分法首先将积分区间拆分为若干子区间，称之为积分点，然后在每个积分点上确定一定的值，以给出积分的近似值。

积分点可以是等距的、不等距的或者是等重的。

选择的积分点越少，近似值计算的结果越不准确；相反，如果选择的微积分点越多，那么就会得到更为准确的计算结果。

另外，在积分运算中还需要考虑选择积分函数中的合适系数，以及采用不同方式替代积分函数，以便获得更准确的计算结果。

结合以上内容，我们可以总结出列表式分部积分法的大致步骤: （1）选择积分区间，根据需要将其拆分成若干子区间，其中包含的积分点的数量取决于所需的精度。

（2）确定每个积分点处的值。

（3）选择和确定积分函数中的系数，以及采用不同方式替代积分函数，以获得更准确的计算结果。

（4）根据积分点处的值，计算积分的近似值。

列表式分部积分法的应用非常广泛，在微积分、物理学和工程数学领域都有广泛的应用，并且可以很容易地解决很多问题。

它可以用来计算定积分，还可以用来计算复积分和无穷积分的大致值。

例如，可以用列表式分部积分法来计算椭圆积分、圆环积分、抛物线积分、曲线积分以及某些变分问题的积分等。

此外，它甚至可以用来计算多重定积分、无穷多重积分和高次定积分。

此外，列表式分部积分法还可以用来对复杂函数进行拟合，以得到它们的近似表示方式，从而可以定义出更复杂的函数。

由此可以看出，列表式分部积分法是一种高效的算法，可以用来解决复杂的数学问题，包括积分、拟合和定义复杂函数等。

然而，由于每个积分点处的值的计算受到了积分函数的影响，因此对于不同的积分区间，可能需要采用不同的方法来解决问题，以获得更准确的计算结果。

分布积分表格法

分布积分表格法分布积分表格法是一种数学计算方法，可以用来求解复杂的积分运算。

此方法将一个积分表示为一系列分布于不同区域的积分，再将这些积分结合起来，从而简化积分的计算过程。

本文将详细介绍如何使用分布积分表格法来求解积分。

1. 确定积分函数首先需要明确求解的积分函数，通常表示为∫f(x)dx 或者∫f(x,y)dxdy等形式。

这个步骤非常重要，因为问题的复杂性很大程度上取决于积分函数的性质。

常见的积分函数比如∫e^x sin(x)dx、∫1/(x^2+1)dx等等。

2. 划分积分区域接下来，需要将积分区域划分为若干子区域，这些子区域的组合可以涵盖整个积分区域。

这个步骤的目的是将一个复杂的积分问题转化为多个简单的积分问题。

3. 构建积分表格将划分出来的子区域放在表格中，并在表格的每个小格中填写积分函数。

特别需要注意的是，积分函数应该在子区域内保持不变，只求出在该子区域内积分的结果。

4. 计算积分表格中的积分在每个小格中都直接计算其积分，只需将子区域的积分函数带入常规积分公式中即可。

有些子区域的积分结果可以直接得出，而有些则需要进行进一步的替换或变形。

5. 将结果结合起来完成计算后，将其中所有积分结果结合在一起，得到最终的积分值。

综上所述，对于相对复杂的积分问题，分布积分表格法可以帮助我们进行有效的计算。

它将积分问题转化为若干简单的部分，并且通过表格的方法将它们相互联系了起来，从而使整个过程变得清晰明了。

然而，需要注意的是这种方法仍然需要数学背景支持及良好的数学思维，才能够准确地求解积分。

浅谈分部积分列表法的用法

2017年第9期本文DOI ：10.16675/14-1065/f.2017.09.094浅谈分部积分列表法的用法□杨柳摘要：分部积分是针对被积函数是乘积形式的积分，分部积分公式运用比较灵活。

本文就列表的方法对分部积分加以说明，并列举列表法适用的类型。

关键词：分部积分；乘积列表法；函数文章编号：1004-7026（2017）09-0147-01中国图书分类号：0172.2文献标志码：A （陕西国际商贸学院陕西咸阳712046）常见的积分方法有直接积分法，换元积分法，分部积分法。

在被积函数是乘积形式的积分时，如果不能直接积分或者换元积分，那么一般会用到分部积分。

分部积分公式∫udv=uv-∫vdu 。

分部积分前提是要选取恰当的u 和v'函数，利用分部积分公式得到最后的结果，选取u 和v'的方法比较固定，按照“反、对、幂、指、三”的顺序依次选择，两个函数乘积的积分，顺序靠左的函数是u ，顺序靠右的函数是v'，指数函数和三角函数乘积中，u 和v'函数的选取方式任意。

或者有的教材中对被积函数分类，然后直接说明每一类中u 和v'函数的选取。

1列表法的计算规则分布函数列表法是把被积函数分为两部分，分上下位置放置，上边是被积函数中能够求导，且越来越简单的函数，或者多次导数之后结果是0的函数[1]；下边放置的是被积函数的另外一部分，依次对其积分，积分次数与上面的导数次数相同即可。

一般地，对积分∫f(x)g(x)dx ，如果函数f(x)经过多次求导，结果等于0，或者结果是f(x)，可以用如下计算方法：对f(x)函数多次求导，对g(x)函数多次积分，然后依次用斜线连接上下两行的函数，该项的符号由左向右依次为正负相间隔，然后写出积分关系式，得到的结果中可以含有积分符号。

例1求不定积分∫(x 3+3x)e x dx.e e e e 解被积函数可以看做两个函数的乘积，x 3+3x 可以多次求导，而e x 可以多次积分，用列表法求不定积分。

浅谈分部积分列表法的用法

分布函数列表法是把被积函数分为两部分，分上下位置放置，上边是被积函数中能够求导，且越来越简单的函数，或者多次导数之后结果是0 的函数[1]；下边放置的是被积函数的另外一部分，依次对其积分，
积分分J f次(x)数g(x与)d上x，如面的果导函数数次f(x数)经相过同多即次可求。一导般，结地果，等对于积 f x 0,或者结果是 ( )，可以用如下计算方法：
部积分法。在被积函数是乘积形式的积分时，如果不
分能直。分接部积积分分或公者式换丨元ud积v=分uv，- 那丨么vd一u。分般部会积用分到前分提部
积是
u v 要选取恰当的和 '函数，利用分部积分公式得到 u v 最后的结果，选取和 '的方法比较固定，按照“反、
多次积分。
arcco2s.x适dx用，其于中J1Pnnx(i，a)1rncsiidnix，，aJrcPtna(ni x)a r可c s以in求id i导，J，而Pn(Px)n
i( )可以多次积分。
3 . 适用于
J
sinaxebldx，J
cosaxebldx，任意选取需
要求导的函数，求导两次之后的形式与最初相同，这
以说明，并列举列表法适用的类型。
关键词：分部积分；乘积列表法；函数
文章编号：1004-7026(2017)09-0147-01
中国图书分类号 :0172.2
文献标志码 :A
常见的积分方法有直接积分法，换元积分法，分

部分积分表格法

部分积分表格法
部分积分表格法是一种数值积分方法，它利用一个表格来存储积分区间上的函数值，并通过插值或逼近的方式来计算积分。

这种方法通常用于处理具有复杂积分边界或需要高精度计算的积分问题。

以下是部分积分表格法的步骤：
1. 确定积分区间和步长：选择一个合适的积分区间，并将其划分为若干个小的区间，每个小区间的长度为h。

2. 生成积分表格：在每个小区间的端点处计算函数值，并将这些值存储在一个表格中。

例如，如果积分区间为[0,1]，则可以将表格设置为：
复制代码：
x | f(x)
0 | f(0)
h | f(h)
2h | f(2h)
...
3. 计算积分：对于任意一个积分点x，通过插值或逼近的方法，利用表格中的函数值来计算积分值。

具体方法可以根据实际需求选择，例如线性插值、多项式逼近等。

4. 重复步骤3，直到计算出所有需要的积分值。

部分积分表格法的优点是可以处理复杂的积分区间和函数，并且可以方便地进行高精度计算。

但是，它需要存储大量的函数值，因此对于大规模问题可能会占用较大的内存空间。

此外，对于不规则的积分区间或非均匀划分的积分区间，这种方法可能需要特殊的处理。

表格法求分部积分

表格法求分部积分分部积分公式：$$ \int u \,dv = uv - \int v \,du $$。

分部积分法适用于积分中含有两个函数，且一个函数的导函数比较容易求出的情况。

下面是表格法求分部积分的步骤：Step 1：把要积分的表达式写成二元函数 $f(x)\,g(x)$ 的形式。

Step 2：设 $u_0(x)=f(x)$，$dv_0(x)=g(x)\,dx$。

Step 3：计算 $u_1=u'_0$，$v_1=\int dv_0$。

Step 4：计算 $u_2=u'_1$，$v_2=\int v_1\,du_1$。

Step 5：重复以上步骤，直到计算到 $u_n=u'_{n-1}=0$ 为止。

Step 6：将表格中的 $u$ 和 $v$ 代入分部积分公式，即可得到原式的积分值。

以下是一个分部积分的例子，使用表格法求解：$$ \int xe^x \, dx $$。

Step 1：令 $f(x)=x$，$g(x)=e^x$，则原式可写成$f(x)\,g(x)=x\,e^x$ 的形式。

Step 2：设 $u_0(x)=f(x)=x$，$dv_0(x)=g(x)\,dx=e^x\,dx$。

Step 3：计算 $u_1=u'_0=1$，$v_1=\int dv_0=e^x$。

Step 4：计算 $u_2=u'_1=0$，$v_2=\int v_1\,du_1=\inte^x\,dx=e^x$。

Step 5：由于 $u_2=0$，表格结束。

Step 6：将表格中的 $u$ 和 $v$ 代入分部积分公式：$$ \begin{aligned} \int xe^x \, dx &= x\,e^x - \int e^x\,dx \\ &= x\,e^x - e^x + C \end{aligned} $$。

其中 $C$ 是常数项。

因此，$\int xe^x \, dx=x\,e^x-e^x+C$。

表格法求分部积分适用范围

表格法求分部积分适用范围1. 什么是分部积分？分部积分是微积分中的一种常用方法，用于求解一些复杂的积分问题。

它基于乘积法则，将一个积分转化为两个函数的乘积的积分，从而简化求解过程。

2. 分部积分的公式是什么？分部积分的公式为：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx其中，u(x)和v(x)是两个可导函数，v'(x)和u'(x)是它们的导数。

3. 什么情况下可以使用表格法求分部积分？表格法是一种较为简便的求解分部积分的方法，适用于以下情况：(1) 被积函数是多项式和三角函数的乘积；(2) 被积函数是指数函数和三角函数的乘积；(3) 被积函数是对数函数和三角函数的乘积。

4. 表格法求分部积分的步骤是什么？表格法求分部积分的步骤如下：(1) 将被积函数拆分成两个函数的乘积；(2) 将这两个函数分别列在表格的左侧和上方；(3) 按照表格的规则，求出每个格子内的积分结果；(4) 将每个格子内的积分结果相加，得到最终的积分结果。

5. 表格法求分部积分的例子例如，求解以下积分：∫x^2sinx dx根据分部积分公式，可以将其拆分为：u(x) = x^2, v'(x) = sinx则有：v(x) = -cosx, u'(x) = 2x将u(x)和v'(x)列在表格的左侧和上方，得到如下表格：| | u(x) | v'(x) ||-----|------|-------|| v(x)| | -cosx || u'(x)| 2x | |按照表格的规则，求出每个格子内的积分结果，得到：∫x^2sinx dx = -x^2cosx + 2xsinx - 2∫sinx dx化简得：∫x^2sinx dx = -x^2cosx + 2xsinx + 2cosx + C其中，C为常数项。

6. 总结表格法是一种简便的求解分部积分的方法，适用于被积函数是多项式和三角函数、指数函数和三角函数、对数函数和三角函数的乘积的情况。

分部积分法的另一形式——列表式

分部积分法的另一形式——列表式分部积分法是一种用于求解定积分问题的常用方法，它可以将复杂的定积分拆分为一系列的不同的求积分的问题，从而显著减少计算的复杂度。

分部积分法有两种形式，其一是普通分部积分法，另一种是列表式分部积分法。

列表式分部积分法也叫做分两部分积分法，它是对普通分部法做出的一种改进。

列表式分部积分法通常用于求解复杂的多项式定积分问题。

它的基本原理是，先将被积函数分成许多小段，再将每个段的积分结果用列表式的形式表达出来，最后将所有列表式里的积分结果汇总起来，就可以得到总的积分结果。

更为重要的是，在得到总的积分结果的时候，不需要重新进行每一部分的积分计算，只需要从列表中读取出部分积分的结果就可以了。

列表式分部积分法的具体操作要点如下：（1）确定被积函数f（x）在定积分区间上的分段（次）点。

（2）在每一段上，将f（x）及其导数用定积分的某种元积分公式近似，求出该段的积分值；（3）将这些段的积分值用列表的形式表达出来；（4）最后将各段的积分结果求和，计算得到要求的定积分值。

列表式分部积分法的优点是，它比普通分部积分法可以有效地减少计算量，而且也很容易实施，相较于普通分部积分法，它可以更加精确地求解定积分问题，更有效地减少求解过程中出现的误差。

但是，列表式分部积分法也有一些缺点，其一是由于要分成多段，因此会消耗较多的时间；其二是由于要确定多段的积分公式，对对掌握元积分公式的程度有一定要求；其三是在最后汇总时，求和计算错误也是有可能存在的。

总之，列表式分部积分法既有其优点，也有缺点。

因此，在使用时，要根据实际情况，仔细斟酌，决定是否使用这一种方法。

综上所述，列表式分部积分法是一种简单而又有效的定积分求解方法，它在求解复杂的多项式定积分问题时可以更加精确，可以有效地减少计算量，但在使用的时候仍需要注意其缺点。

03第三节分部积分法

第三节分部积分法★ 分部积分公式★ 几' 点说明★ 例1★ 例2 ★ 例 3 ★ 例 4★ 例5 ★ 例6 ★ 例 7 ★ 例 8★ 例9 ★ 例10 ★ 例 11 ★ 例 12★ 例13 ★ 例14 ★ 例 15★ 例 16★ 例17 ★ 例18★ 分部积分的列表法★ 例19★ 例20 ★ 例 21★ 例 22★ 内容小结★ 课堂练习★习题4-3积函数常考虑应用分部积分法(其中m, n 都是正整数).例题选讲例1 (E01)求不定积分x cos xdx .x 2解一令 u cosx, xdx d 一 dv,2显然，u,选择不当，积分更难进行解二令 u x,cosxdx dsinx dv,xcosxdxxd si nx xsinx sin xdx xsi nx cosx C.分布图示2cosxd —22x cosx 2xcosxdx2sin xdx,2内容要点分部积分公式：udv uvvduuv dx uvu vdx(3.1) (3.2)(或微分)的逆运算• 一般地，下列类型的被nx sin mx nx .e sin mx n mxx en .x arcsin mx x n cos mxnxe cosmx x n (ln x)nx arccosmxx n arctanmx 等.分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数例2 (E02)求不定积分 x 2e x dx .解 u x 2,e x dx de x dv2 x2 x 2 xx 2 x x 2 x x xx e dx x de x e 2 xe dx x e 2 xde x e 2(xe e ) C. 注：若被积函数是幕函数(指数为正整数)与指数函数或正(余)弦函数的乘积，可设幕函数为u,而将其余部分凑微分进入微分号 ,使得应用分部积分公式后，幕函数的幕次降低一次.注：若被积函数是幕函数与对数函数或反三角函数的乘积 u,而将幕函数凑微分进入微分号，使得应用分部积分公式后例 5 (E05) 求不定积分 e x sin xdx.解e x sin dx sin de xxe sin x e x d (sin x) e x sin xe x cos xdxxe sin xcosxde xxxe sin x (e cosxe x d cosx)e x (s in x cos x)e x sin xdxxe x sin dx(sin x cos x) C.注：若被积函数是指数函数与正 (余)弦函数的乘积,u, dv 可随意选取，但在两次分部积分中,必须选用同类型的u,以便经过两次分部积分后产生循环式,从而解出所求积分.例3 (E03)求不定积分xarctanxdx. 解令 u arctanx, xdx 2xd —2 dv,x arcta n xdx arcta n xdx 22 x arcta nx 22xd (arcta nx) 22x arcta n x 2x 2^dx 1 x 22x arcta nx 21 2 dx1 x 22x arcta nx 212(xarcta nx) C.例4 (E04)求不定积分In xdx.解令 u In x,x 3dxx 4dv,x 3 ln xdxx 4 In xd -4-x 4ln x 4x 3dx■ in x 414x 16C.为失.,可设对数函数或反三角函数,对数函数或反三角函数消例6 (E06)求不定积分 sin(ln x)dx .x 解sin (I n x)dx xsin (I n x)xd [s in (I n x)]x[sin (I n x) cos(l n x)] sin (I n x)dxsin(1 n x)dx x[sin(ln x) cos(ln x)] C.灵活应用分部积分法，可以解决许多不定积分的计算问题 •下面再举一些例子，请读者悉心体会其解题方法.例7 (E07)求不定积分 sec xdx .解seC 3 xdxsecxd tanx secxtanx secxtan 2xdx23secxtanxsecx(sec x 1)dx secxtanxsec xdx secxdx3secx ta nx In | secx tanx| sec xdx2.1 x arcs inxx arcta nx ―: dx 、1 x231 sec xdx (secxtanx In |secx tanx|) C.22,便得求不定积分 arcs in ..x dx. 、1 xarcs in . x ,dx、1 x2 arcs inxd1 x2.1 x arcs in 、x 2 .1 xd arcs in 、xxsin(In x)xcos(ln x)1dxxsin(In x) xcos(ln x)xd[cos(ln x)]由于上式右端的第三项就是所求的积分sec xdx,把它移到等号左端去，再两端各除以2-1 x arcs in . x 2 x C.求不定积分x arcta n x ----------- dx. 1 x 2arcta nxd 1 x 21 x 2I2..1 x 2 arctanx 1 x 2d(arctanx)原式.1 x 2 arctanx ln(x x 2) C.例10 (E08) 求不定积分 e 护dx. 解令 t ... x,则 x t 2,dx 2tdt,于是e x dx 2 e t tdt2 tde t 2te t 2 e t dt7x dx.代入上式，得2te t 2e t C 2e t (t 1) C2e x(x 1)C. 11求不定积分 In (1.x)dx.令 tx,则 xt 2,ln(1 . x )dxIn (12 2t)dt t ln(1 t)t 2dl n(1 t) t 2l n(1 t)1 2-dt t2dt 2t 2t) Ct ln(1 t) (t1)dtt ln(1 t) 1 t2t ln(1(x 1)1 ln(1 ■- x) x -C.例解1 /3..1 x 2 arctanx1dxx tant, -sec 2 tdt 1 tan 21sectdt |n( sect tan t) C ln(x 1 x 2) C.12解法 1先分部积分，后换兀 •设u 1/3xe,dv 丄dx,则 3 xdu2/31/3xedx,v3 2/3x2再设3 2/3 x ex1/31ex1/3dx2t 3,则 dx 3t 2dt,于是Y 1 /3e dx2 t2 13 t e dt 3t ete t dt 3t 2e t 6te t e t dt 3(t 22t 2)e tC...1 x 2 arctanx1I 3x2/3 e x1/323(3..X223.X2x1/32)e x C 3(3.. x1/31)e x C.解法2先换元,后分部积分.设x t3,dx3t2dt,则te 2 t3t2dt 3 te t dtt再设u t,dv e t dt,则I 3te t 3 e t dt 3te t3e t c 3(\. x 1 /31)e x c.13求不定积分(1 x) arcsi n(1 x) dx.,2x x2x,则dx dt,原式tarcsi ntdt.1 t2arcsi ntd(』1 t2)其中C C1 1.14 (E09) 求不定积分用分部积分法,dx(x2 a2)n1I nI nI n1 t2 arcsint■-1 t2arcsint：2x x2arcsin(1dx(x2 a1时有x (x2 a2)n1x (x2 a2)n1x ~~22、n 1 (x a ) 2(n 1)( I n2(n2(n12a2 (n 1) 以此作递推公式，并由1.1x)卒，其中t21 t2dtC.n为正整数.a2l n).(2n 3)I m11 — arctan' C,即可得I n.a a2例15 (E10) 已知f (x)的一个原函数是 e x ,求xf (x)dx . a2dx,解 xf (x)dx xdf(x) xf (x) f(x)dx.根据题意 f (x)dx ex 2C,再注意到 f (x)dx f (x), 两边同时对x 求导，得 2 f(x) 2xe xxf (x)dx xf (x) 2 f (x)dx 2x e x2 e x2 C. 16求不定积分 3sin x xCOs x e 2cos x 先折成两个不定积分，再利用分部积分法 • si nx si nx原式 e x cosxdx e — dxcos x sin xsinxsinx ■e xe e dxcosxsinx . e dx17 求不定积分 sin xln(tan x)dx.sin xln(tan x)dx In(tan x)d cosxcosxln(tan x)18 求不定积分(xxj 2)2 xx e ,于是2 xx e .2dx (x 2)2x 2e x d sin xxde sin xxecosxln(tan x) 注：本题选u x 2e x 比选e sinx d 丄cosx1 sin x e C. cosxcosxd In(tan x)1dx cosxln(tan x) In |cscx sin xx 2e x—d(x 2e x ) 2cotx | C.x 2e x x 22xe x x2 xx e x 2 2 xxxx e, xxe dxxdex 2xx e x xe x 2x e x x xe e dxx 2e x C.2x x 更能使解题方便.(x 2)2例19计算不定积分 xln xdx.解 In x 不易求积分，只能放在左列，而 x 放在右列，列表如下：()ln例20计算不定积分 in xdx.1 in x,将in x 放在左列,1放在右列，列表如下1in xdx xlnx — xdx xinx x c. x例21计算不定积分 xsin xdx.解函数x 和sinx 都是易求原函数的函数，都可放右列，但考虑到左列的函数应是求导后逐渐简单的，故 x 放左列，sinx 放右列列表如下：xsinxdx xcosx 1 ( sinx) c例22计算不定积分e x cos xdx..解函数e x ,cosx 都是易求原函数的函数，且它们的导函数分别是稳定的sinx （或cosx ）形式，故它们的左右位置可随意选取 .例如选取e x 为左，cosx 为右，可得e x cosxdx e x sin x e x ( cosx) e x ( cosx)dx ，x移项得 e x cosxdx — (sin x cosx) c.2课堂练习212 1 1 2 , 1 2 , 11 2 ,1 2xin xdx in x x— x dx x in x xdx x in x x c 2x 2 22 2 4( )-x 22 1in x 可看作乘积形式xcosx sinx c.e x 和cosxsi nxcosx1. 求不定积分xsin2 xdx;2 求不定积分e x sin 2xdx .。

用表格法计算分部积分

用表格法计算分部积分分部积分法是微积分中的一种方法，用于求解一些复杂函数的积分。

它基于积分的乘法法则，将被积函数拆分成两个函数的乘积，再用积分的乘法法则求解。

下面将介绍分部积分法的原理和应用，并通过例题进行详细解答。

一、分部积分法的原理分部积分法基于积分的乘法法则，该法则可以表示为：∫(u*v)dx = u∫vdx - ∫(u'∫vdx)dx其中u为被积函数中的一个函数，v为被积函数中的另一个函数，u'是u的导数。

根据这个公式，可以通过选取u和v，从而将被积函数转化为更容易求解的形式。

二、分部积分法的应用1.指数函数的积分考虑积分∫e^xdx，可以选取u=e^x，v=1，这样就可以利用分部积分法将原函数转化为更简单的形式。

根据分部积分法的公式，得到：∫e^xdx = e^x - ∫e^xdx将∫e^xdx移到等号的右边，得到：2∫e^xdx = e^x + C化简得：∫e^xdx = 1/2 * e^x + C2.三角函数的积分考虑积分∫cosxdx，可以选取u=cosx，v=x，这样就可以计算出cosx 的积分。

根据分部积分法的公式，得到：∫cosxdx = co sx * x - ∫(-sinx)dx将∫(-sinx)dx移到等号的右边，得到：∫cosxdx = cosx * x + ∫sinxdx将sinx的积分套入公式中，得到：∫cosxdx = cosx * x + (-cosx) + C化简得：∫cosxdx = x * cosx - cosx + C三、分部积分法的求解步骤使用分部积分法求解积分的一般步骤如下：1. 选择一个u和dv。

一般来说，选择u和dv的目的是使得求解∫udv更容易。

2.计算出公式中的u'和v，并代入分部积分法的公式中。

3.对公式中的两个积分进行求解。

4.将求解后的两个积分结果代入分部积分法的公式中，并化简得到最终结果。

通过以上的理论和步骤，下面我们通过实例来进行具体的计算练习。

分部积分法浅谈

分部积分法浅谈
分部积分法是采用快速将微分方程组拆解为可处理的几部分问题，然后由从右
边到左边，逐步对问题进行求解的数学方法。

分部积分法的宗旨乃是在给定的微分方程组内求解出一组精确的解析解，这也是它与其他数值解法最重大的不同之处。

分部积分法一般用来解决非线性和常微分方程组，重点是求解复杂而难求解的
积分方程。

它通过对微分方程组进行局部化处理，将复杂的集合结构转化为有序的解析结构，可以求解出复杂的微分方程组。

在使用分部积分法解非线性和常微分方程组时，可以将问题细分成更容易理解的一些小的问题，并从最后的解决方案中找出这些小的问题的解决方案。

这种数学方法的好处在于，它可以将若干难以处理的问题进行分解，每个小问
题都可以更轻松地求解，然后将每个子问题的解组合成总体问题的结果。

此外，使用分部积分法求解此类问题时，边界条件可以被更好地满足，而且不会受到你最终求解方案的变化影响。

虽然分部积分法能够大大提高研究工作效率，但要完全掌握这种方法也是需要
不少的技巧，这一点对于一般的数学研究人员来说是一个挑战。

我们也要记住，分部积分法也有很多限制，当某个微分方程有严重的不可分解性或者是复数多次变量，分部积分法将难以继续使用。

因此，在实际的研究中，我们应该谨慎地选择合适的解决方案，以期取得最佳的结果。

分部积分法具体步骤

分部积分法具体步骤
嘿，咱今儿就来说说这分部积分法的具体步骤哈！
你看啊，这分部积分法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多积分难题的大门呢！那它到底咋用呢？
首先呢，咱得把被积函数拆分成两部分，就好比把一个大拼图拆成两块。

这两块得选得有讲究，一块要能比较容易地积分，另一块呢，得是它的导数比较简单。

然后啊，咱就按照公式开始操作啦！这公式就像是一个魔法咒语，一念就灵。

把这两块分别对应公式里的 u 和 v'。

接着呢，咱就一步一步地算。

就像走迷宫一样，得小心谨慎，可不能走错路喽！先求出 u 的导数和 v，然后把这些值代进去。

你想想，这是不是挺有意思的？就像搭积木一样，一块一块地往上垒。

举个例子来说吧，比如求∫xcosx dx。

那咱就可以把 x 当作 u，cosx 当作 v'。

然后求出 u 的导数是 1，v 是 sinx。

再代进去算算，是不是就有头绪啦？
这分部积分法有时候得反复用，就像打怪升级一样，一层一层地突破。

可别嫌麻烦呀，数学的乐趣不就在这嘛！
咱再说说，要是第一次没成功咋办？那咱就再来一次呗！就像投篮，一次不进就再来一次，总有投进的时候。

而且啊，这分部积分法还能解决好多看起来很难的问题呢！只要咱
掌握了方法，就不怕它难。

总之呢，分部积分法的具体步骤就是先拆分，再代入公式，然后细
心计算。

就这么简单！学会了它，咱在积分的世界里就能畅游啦！可
别小瞧了它哦，它可是很厉害的呢！咱可得好好把它掌握住，让它为
咱的数学学习添砖加瓦呀！。

分部积分法顺序口诀

分部积分法顺序⼝诀
分部积分法顺序⼝诀
⼀、⼝诀的运⽤
分部积分法是微积分学中的⼀类重要的、基本的计算积分的⽅法。

它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导⽽来的。

它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式，转化为等价的易求出结果的积分形式的。

常⽤的分部积分的根据组成被积函数的基本函数类型，将分部积分的顺序整理为⼝诀：“反对幂指三”。

分别代指五类基本函数：反三⾓函数、对数函数、幂函数、指数函数、三⾓函数的积分。

⼀般地，从要求的积分式中将
凑成
是容易的，但通常有原则可依，也就是说不当的分部变换不仅不会使被积分式得到精简，⽽且可能会更⿇烦。

分部积分法最重要之处就在于准确地选取
，因为⼀旦
确定，则公式中右边第⼆项
中的
也随之确定，但为了使式⼦得到精简，如何选取
则要依
的复杂程度决定，也就是说，选取的
⼀定要使
⽐之前的形式更简单或更有利于求得积分。

依照经验，可以得到下⾯四种典型的模式。

记忆模式⼝诀：反（函数）对（数函数）幂（函数）三（⾓函数）指（数函数）。

通过这个题⽬我们会看到表格法的优势，幂函数的次数越⾼，⼀般算法需要的步骤越多越容易出错，⽽表格法相对来说会越来越简单
Ⅲ.(情形⼆)
⼀般⽅法
表格法。

分部积分法表格法正负判断

分部积分法表格法正负判断分部积分法是微积分中的一种积分方法，用于求解某些函数的积分。

它基于积分的乘法法则，在求解复杂函数的积分时往往比较有效。

表格法和正负判断是在应用分部积分法时常用的辅助方法。

下面是关于分部积分法、表格法和正负判断的详细说明：分部积分法：分部积分公式如下：∫u dv = uv - ∫v du其中，u和v是具有连续导数的函数。

使用分部积分法时，首先要选择一个函数u和它的求导函数du，然后选择另一个函数dv并计算它的不定积分v。

接下来，将上述公式应用于原始积分，然后通过反复应用分部积分法，将问题转化为更简单的积分问题。

表格法：表格法是一种应用于分部积分法的辅助方法，用于处理多项式或指数函数乘以三角函数的积分。

它适用于问题中的每个部分都可以表示为乘积形式的情况。

使用表格法时，首先将原函数列在左侧的表格中，然后计算每个函数的导数并按照次数的递增顺序列在右侧的表格中。

接下来，通过观察和填写表格，可以确定选择哪些函数作为u和v，并解决积分问题。

正负判断：在应用分部积分法时，需要根据问题中的函数形式来确定积分的正负性。

考虑到分部积分公式中的减法运算，有时需要判断对函数u和dv作用的分部积分是否会改变积分的正负。

通常，正负判断可以通过观察函数的性质（如函数的增减性、函数值的正负等）来进行。

如果函数u或dv在积分区间上具有已知的正负性，则可以利用这些性质来判断积分的正负。

在具体应用中，以下是分部积分法、表格法和正负判断的步骤：1.使用分部积分法，选择合适的函数u和dv。

2.计算这些函数的导数du和积分v。

3.应用分部积分公式，将原始积分转化为一个或多个较简单的积分问题。

4.当遇到多项式与三角函数的乘积时，可以使用表格法来简化计算。

5.注意正负判断，根据函数的性质来确定积分的正负。

6.反复应用分部积分法和辅助方法，直到得到最终的积分结果。

通过以上方法，可以有效地应用分部积分法来解决复杂函数的积分问题。

姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法

姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法，因为效率高，所以喜欢，仅此而已！录入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！一、分部积分的表格法分部积分主要针对被积函数为两类函数乘积的类型，主要可以归纳为反幂、对幂、幂三、幂指和三指五种，幂可以扩展为多项式函数，三主要指正弦和余弦两类三角函数，基本原则是把其中一类函数拿去凑微分，遵循“反对幂三指”、越往后越先凑微分的原则，前四种称为“终止模式”，最后一种称为“循环模式”。

当涉及到幂函数（多项式函数）次数较高时，需多次用到分部积分，计算较繁且易出错，因此介绍一个推广公式：定理：设(),()u u x v v x ==有1n +阶连续导数，则(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)n n n n n n n uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-++-⎰⎰。

（此定理及证明可略，仅告诉大家，我不是瞎编乱造，而是有理论依据的！）【证：用数学归纳法。

当0n =时，''uv dx uv u vdx =-⎰⎰。

设1n k =≥时，(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)k k k k k k k uvdx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-++-⎰⎰（*）则当1n k =+时，(2)(1)(1)(1)'k k k k uv dx udv uv u v dx ++++==-⎰⎰⎰，将上式的'u （*）式中的u ，则有(1)()(1)(2)1(2)'''''''(1)k k k k k k u vdx u v u v u v u vdx +--++=-+++-⎰⎰，从而(2)(1)()(1)(2)2(2)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx ++--++=-+-++-⎰⎰，得证。