【中考数学压轴题专题突破48】综合实践与创新问题(4)

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【中考数学压轴题专题突破41】一次函数综合问题(1)

【中考压轴题专题突破41】

一次函数综合问题（1）

1．在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC：y1＝x 交于点C．

（1）当直线AB解析式为y2＝﹣x+10时，如图1．

①求点C的坐标；

②根据图象求出当x满足什么条件时﹣x+10＜x．

（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为9，且OA＝6．P，Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值：若不存在，说明理由．

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B 的直线交x轴于点C，且AB＝BC

．

（1）求直线BC的解析式；

（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，设点Q横坐标为m，求点P的坐标（用含m的式子表示，不要求写出自变量m的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．

3．如图1，在平面直角坐标系中，OB＝10，F是y轴正半轴上一点．

（1）若OF＝2，求直线BF的解析式；

（2）设OF＝t，△OBF的面积为s，求s与t的函数关系（直接写出自变量t的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点B作BA⊥x轴，点C在x轴上，OF＝OC，连接AC，CD⊥直线BF于点D，∠ACB＝2∠CBD，AC＝13，OF＝OC，AC．BD交于点E，求此时t的值．

4．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点，且OB ＝OA，直线l2：y＝k2x+b经过点C（，1），与x轴、y轴、直线AB分别交于点E、

中考数学压轴题专题创新型与新定义综合问题

专题18创新型与新定义综合问题

【考点1】几何综合探究类阅读理解问题

【例1】综合与实践：

阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 75︒的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：如图1，作Rt ABC ∆，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .

设1AC =，则2BD BA ==，BC =.tan 75tan DC DB BC DAC AC AC +︒=∠==2321+==+.

请解决下列问题：

（1）类比求解：求出tan 22.5︒的值；

（2）问题解决：如图2，某住宅楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22.5︒时，住宅在建筑物的墙上留下高3m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，住宅楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离（B ，F ，C 在一条直线上）.求住宅楼AB 的高度（结果保留根号）；（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =；在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =.他将DEF ∆的斜边DF 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿CA 方向移动.在移动过程中，D ，F 两点始终在CA 边上（移动开始时点F 与点C 重合）.探究在DEF ∆移动过程中，是否存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒？如果存在，直接写出CD

的长度；如果不存在，请说明理由.

【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

【中考数学压轴题专题突破28】圆中的新定义问题(2)

【中考压轴题专题突破28】

圆中的新定义问题（2）

1．以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左右对称摆动形成了射线PN1，PN2，我们规定：∠N1PN2为点P的“摇摆角”，射线PN摇摆扫过的区域叫作点P的“摇摆区域”（含PN1，PN2）．

在平面直角坐标系xOy中，点P（2，3）．

（1）当点P的摇摆角为60°时，请判断O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）属于点P的摇摆区域内的点是（填写字母即可）；

（2）如果过点D（1，0），点E（5，0）的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为°；

（3）⊙W的圆心坐标为（a，0），半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60°时的摇摆区域内，求a的取值范围．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若60°≤∠MPN＜180°，则称P为⊙T的环绕点．

（1）当⊙O半径为1时，

①在P1（1，0），P2（1，1），P3（0，2）中，⊙O的环绕点是；

②直线y＝2x+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求

b的取值范围；

（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以（m，m）（m＞0）为圆心，m为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．

3．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：如果点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，那么称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记作d（M，N）．若图形M，N的“近距离”小于或等于1，则称图形M，N互为“可及图形”．

2024年数学中考复习+问题发现-探究-拓展-应用型综合压轴题专题

2024年春九年级数学中考复习《问题发现-探究-拓展-应用型综合压轴题》

专题突破训练（附答案）

1．综合与实践

综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线a//b，三角形AAAAAA是直角三角形，∠AAAAAA=90°,∠AAAAAA=30°,∠AAAAAA=60°

操作发现：

（1）如图1，若∠1=48°，则∠2=_______°；

（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2−∠1=120°，在证明这个结论时，组内同学小明说可以过B点作直线a的平行线进行等角转化，小丽说可以设∠1=ββ，将∠2用含ββ的式子表示出来进行证明，请你帮创新小组完成这个结论的证明（可以用小明、小丽的方法证明，也可以用其它方法进行证明）．

拓展探究：

（3）如图3，缜密小组在图2中的基础上作射线DDDD、AADD相交于点G，且∠EEDDDD=15∠EEDDAA，∠FFAADD=15∠FFAAAA，则∠DDDDAA的度数为_______．

2．在△AAAAAA和△EEDDAA中，点DD在AAAA上，∠AAAAAA=∠DDEEAA，AAAA=AAAA，EEDD=EEAA，AAAA=kkAAAA，连接AAEE．

(1)特例发现：如图1，当kk=1时．求证：AAEE=AADD．

(2)探究证明：如图2，当kk≠1时．判断AAEE与AADD的数量关系，并说明理由．

(3)拓展延伸：若kk=√52，∠AAAAEE=90°，AAEE=2√5，求AADD的长．

【中考压轴题专项练习】最新中考数学压轴大题冲刺专项训练：《综合探究类》含答案与解析

中考数学压轴大题冲刺专项训练

综合探究类

1．综合与实践

问题背景：

综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究．下面是创新小组在操作过程中研究的问题，如图一，△ABC≌△DEF，其中∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°．

操作与发现：

（1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是，CF= ；（2）创新小组在图二的基础上，将△DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合．连接CE，BF．四边形BCEF的形状是，CF= ．

操作与探究：

（3）创新小组在图三的基础上又进行了探究，将△DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF，BF．经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论．2．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C为格点，D为小正方形边的中点.

（1）AC的长等于_________；

取得最小值时，请在如图所示的网格中，用（2）点P，Q分别为线段BC，AC上的动点，当PD PQ

PQ，并简要说明点P和点Q的位置是如何找到的（不要求证明）.

无刻度

．．．的直尺，画出线段PD，

3．数学实验室：

制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．

探索研究：

（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；

数学思考：

（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．

【中考数学压轴题专题突破27】圆中的新定义问题(1)

【中考压轴题专题突破27】

圆中的新定义问题（1）

1．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．

（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝度；

（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，

①求证：△BDC是“近直角三角形”；

②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，

请求出CE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C的值．

2．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点，已知OD＝4，在DC上取点E，DE＝8．（1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长；

（2）如果OB＝12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F（5，0）．在线段DC上取点P，过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP＝t．

①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值；

②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围．

3．定义：已知点O是三角形的边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点O叫做该三角形的等距点．

【中考数学压轴题专题突破15】相似中的极值问题

【中考压轴题专题突破15】

相似中的极值问题

1．阅读下列材料，完成相应的任务

数学活动课上，老师提出如下问题：

如图①，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，AB＝2，DC＝4，BC＝8，点P为BC边上的动点，求当BP的值是多少时，AP+DP有最小值，最小值是多少．

小丽和小明对老师提出的问题进行了合作探究：

小丽：设BP＝x，则CP＝8﹣x，

根据勾股定理，可得AP+DP＝+．但没有办法继续求解．

小明：利用轴对称作图，如图②，

作点A关于直线BC的对称点A′，连接A′D，与BC交于点P，根据两点之间线段最短，将求AP+DP 的最小值转化为求线段A'D的长．

由△A′BP∽△DCP，得＝＝

所以BP＝．

过点A′作A′H⊥DC，交DC的延长线于点H，再由勾股定理，可得A′D＝＝＝10．

所以当BP＝时，AP+DP有最小值，最小值为10．

任务：

（1）类比探究：

对于函数y＝+，当x＝时，y有最小值，最小值为．

（2）应用拓展：如图③，若点D在BC上运动，AD⊥BC，AD＝3，BC＝5．连接AB，AC．求△ABC周长的最小值．

2．（1）如图1，在△ABC中，D是BC的中点，过D点画直线EF与AC相交于E，与AB 的延长线相交于F，使BF＝CE．

①已知△CDE的面积为1，AE＝kCE，用含k的代数式表示△ABD的面积为；

②求证：△AEF是等腰三角形；

（2）如图2，在△ABC中，若∠1＝2∠2，G是△ABC外一点，使∠3＝∠1，AH∥BG 交CG于H，且∠4＝∠BCG﹣∠2，设∠G＝x，∠BAC＝y，试探究x与y之间的数量关系，并说明理由；

【中考数学压轴题专题突破08】二次函数中的双抛物线问题

【中考压轴题专题突破】

二次函数中的双抛物线问题

1．如图1，若抛物线l1的顶点A在抛物线l2上，抛物线l2的顶点B也在抛物线l1上（点A 与点B不重合）．我们称抛物线l1，l2互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．

（1）如图2，抛物线l3：y＝（x﹣2）2﹣1与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线

的对称轴对称，则点D的坐标为；

（2）求以点D为顶点的l3的“友好”抛物线l4的表达式，并指出l3与l4中y同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；

（3）若抛物线y＝a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的表达式为y＝a2（x﹣h）2+k，写出a1与a2的关式，并说明理由．

2．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．

（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：

x…﹣3

﹣

﹣2﹣101234…

y 0

﹣m﹣4﹣3﹣4﹣3

﹣

0…

其中，m＝．

（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；

（3）观察函数图象，写出两条函数的性质；

（4）进一步探究函数图象发现：

①方程x2﹣2﹣3＝0有个实数根；

②函数图象与直线y＝﹣3有个交点，所以对应方程x2﹣2﹣3＝﹣3有个实数根；

③关于x的方程x2﹣2﹣3＝a有4个实数根，a的取值范围是．

3．如图，Rt△FHG中，∠H＝90°，FH∥x轴，＝0.6，则称Rt△FHG为准黄金直角三

角形（G在F的右上方）．已知二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点E（0，﹣3），顶点为C（1，﹣4），点D为二次函数y2＝a（x﹣1﹣m）2+0.6m ﹣4（m＞0）图象的顶点．

2023北京中考数学专题突破——填空压轴题(学生版)

2023北京中考数学专题突破——填空压轴题

1．张老师准备为书法兴趣小组的同学购买上课的用具，在文具商店看到商店有A、B两种组合和C、D、E、F商品及它们的售价，组合及单件商品质量一样．若该小组共有12人，其中，笔和本每人各需要一份，砚台2人一方即可，墨汁n瓶（n≥3）．张老师共带了200元钱，请给出一个满足条件的购买方案（购买数量写前面商品代码写后面即可，例如：2A+3B+……）；n最多买瓶．

商品价格

组合A（1支笔+1个本+1方砚台+1瓶墨汁）25元

组合B（1支笔+1个本+1瓶墨汁）18元

C：1支笔5元

D：1个本4元

E：一方砚台10元

F：一瓶墨汁12元

2．某跨学科综合实践小组准备购买一些盒子存放实验材料．现有A，B，C三种型号的盒子，盒子容量和单价如表所示：

盒子型号A B C

盒子容量/升234

盒子单价/元569其中A型号盒子做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返现金4元，现有28升材料需要存放且每个盒子要装满材料．

（1）若购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为2，3，4，则购买费用为元；

（2）若一次性购买所需盒子且使购买费用不超过58元，则购买A，B，C三种型号的盒子的个数分别为.（写出一种即可）

3．某快递员负责为A，B，C，D，E五个小区取送快递，每送一个快递收益1元，每取一个快递收益2元，某天5个小区需要取送快递数量如表

小区需送快递数量需取快递数量

A156

B105

C85

D47

E134（1）如果快递员一个上午最多前往3个小区，且要求他最少送快递30件，最少取快递15件，写出一种满足条件的方案（写出小区编号）；

中考数学试题分类解析(四)——实践与综合应用

析；命题趋势
wenku.baidu.com
发现、验证、应用数学规律等过程，考查的对象有生活中的数
学，也有数学新知识的探索，此类问题可以综合考查学生的数
“ 实践与综合应用 ”是在 “ 数与代数” 空间与图形 ” 统学发现能力、学习能力与应用能力，学生在应考的同时，也是、“ 、“
生产开始后，调研部能力与创新精神考查的问题渐渐多起来，越来越受到人们的重训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．
收稿日期：２１ — １２００１－３作者简介：叶茂恒（９５）１７一，男，浙江温州人，中学高级教师，温州市教坛新秀，主要从事数学课堂教学与初中数学命题研究．
方面，数学知识来源于生活实践；另一方面，数学的发
展也是为了更好地服务于生活．通过实际问题的解决，可以考查
数学综合实践活动的实施是数学发展与数学教学发展的必学生将学到的知识技能运用到现实生活中去分析、解释并解决
一
的趋势，以期与一线教师一起参考借鉴，更好地开展２１年的学学习活动应当是一个生动活泼、主动和富有个性的过程，考０１
中考复习工作．

2023年九年级数学中考专题：猜想证明压轴题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：猜想证明压轴题

1．如图所示，点P 在AOB ∠内，点M ，N 分别是点P 关于AO ，BO 的对称点，MN 分别交OA ，OB 于点E ，F ．

图1 图2

(1)猜想MON △是哪种类型的三角形，并说明理由．

(2)PEF 的周长与MN 的长有什么关系，请说明理由．

(3)拓展：若30AOB ∠=，cm OP a =，点P 在AOB ∠内，点M ，N 分别是点P 关于AO ，

BO 的对称点，点E ，F 分别是射线OA 、OB 上的一点，连接PE 、PF 和EF ．求PEF 周长的最小值．（用含a 的代数式表示）

2．探索归纳：

(1)如图1，已知ABC 为直角三角形，90A ∠=︒，若沿图中虚线剪去A ∠，则12∠+∠=______；

(2)如图2，已知ABC 中，30A ∠=︒，剪去A ∠后成四边形，则12∠+∠=______；

(3)如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想12∠+∠与A ∠的关系是______；

(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究12∠+∠与A ∠的关系，并说明理由．

3．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】

(1)如图①，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、AD 上的两点，连接DE ，CF ，DE CF ⊥，则

DE CF

的值为___________．【类比探究】 (2)如图①，在矩形ABCD 中，7AD =，4CD =，点E 是边AD 上一点，连接CE ，BD ，且CE BD ⊥，求

【中考数学压轴题专题突破47】综合实践与创新问题(3)

【中考压轴题专题突破47】

综合实践与创新问题（3）

1．综合与实践

在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC ＝6，BC＝8，点D为BC边上的任意一点，将∠C沿过点D的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，问是否存在△BDE是直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时CD的长度．

探究展示：勤奋小组很快找到了点D、E的位置

如图2，作∠CAB的角平分线交BC于点D，此时∠C沿AD所在的直线折叠，点E恰好在AB上，且∠BED＝90°，所以△BDE是直角三角形

问题解决：

（1）按勤奋小组的这种折叠方式，CD的长度为；

（2）创新小组看完勤奋小组的折叠方法后，发现还有另一种折叠方法，请在图3中画出来；

（3）在（2）的条件下，求出CD的长．

2．问题背景：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1：将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．并且量AB＝4cm，AC＝8cm，问题解决：

（1）将图1中的△ACD以点为A旋转中心，按逆时针方向能转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC'D，过点C作AC'的平行线，与DC'的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是．

（2）缜密小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B、A、D 三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC'D，连接CC'，取CC'的中点F，连接AF 并延长到点G，使FG＝AF，连接CG、C'G，得到四边形ACGC'，发现它是正方形，请你证明这个结论．

【中考数学压轴题专题突破29】圆中的综合创新实践题（1）

【中考压轴题专题突破29】

圆中的综合创新实践题（1）

1．问题探究

（1）如图1．在△ABC中，BC＝8，D为BC上一点，AD＝6．则△ABC面积的最大值是．

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，AG为BC边上的高，⊙O为△ABC的外接圆，若AG＝3，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决：

如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB＝6+12，BC＝6+6，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD＝DE，点F在BC上，且CF＝6，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN＝90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．

2．发现问题：

（1）如图1，AB为⊙O的直径，请在⊙O上求作一点P，使∠ABP＝45°．（不必写作法）

问题探究：

（2）如图2，等腰直角三角形△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，D是AB上一点，AD＝2，在BC边上是否存在点P，使∠APD＝45°？若存在，求出BP的长度，若不存在，请说明理由．

问题解决：

（3）如图3，为矩形足球场的示意图，其中宽AB＝66米、球门EF＝8米，且EB＝F A．点P、Q分别为BC、AD上的点，BP＝7米，

∠BPQ＝135，一位左前锋球员从点P处带球，沿PQ方向跑动，球员在PQ上的何处才能使射门角度（∠EMF）最大？求出此时PM的长度．

3．【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，点P是半圆O 上的一个动点，则△P AB的面积最大值是；

2020中考数学压轴题专项突破训练

中考数学压轴题专项突破训练

一、几何压轴题专题突破

1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，

交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，

（1）求证：CF＝BG；

（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；

（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．

2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．

[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．

[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．

[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB，请直接写出BE的最小值．

3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，求证：AD＝2DC．

（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；

（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．

中考数学精讲篇压轴题重难点突破十一综合实践活动题

重难点突破十一综合实践活动题
(宁夏：2020T25，2019T25)
在综合与实践活动中，活动小组对学校 400 米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中最内圈周长为 400 米，两端半圆弧的半径为 36 米．(π取 3.14) (1)求跑道中一段直道的长度； (2)在活动中发现每条跑道周长(单位：米)随跑道宽度(距最内圈的距离，单位：米)的变化而变化．请完成下表：
跑道宽度/米 0 1 2 3 4 5 …
跑道周长/米 400…
若设 x 表示跑道宽度(单位：米)，y 表示该跑道周长(单位：米)，试写出 y 与 x 的函数关系式； (3)将周长为 446米的跑道作为 400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈(跑道周长 400 米)形成的区域最多能铺设道宽为 1.2 米的跑道多少条？
【思路点拨】(1)根据周长的意义：直道长度＋弯道长度＝400 求出；(2) 跑道宽度增加，就是半圆的半径增加，依据圆的周长公式可求当跑道宽度为 1，2，3，4，5，...时，跑道的周长，填写表格．并求出函数关系式；(3)依据关系式，可求当跑道周长为 446 米时，对应的跑道的宽度，再根据每道宽 1.2 米．求出可以设计几条跑道．
解：(1)400 米跑道中一段直道的长度为 (400－2×36×3.14)÷2＝86.96(米)．
(2)表格如下：
跑道宽度/米 0 1

【中考数学压轴题专题突破46】综合实践与创新问题(2)

【中考压轴题专题突破46】

综合实践与创新问题（2）

1．问题情境

在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线a，b且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，∠ABC＝60°．

操作发现：

（1）在图1中，∠1＝46°，求∠2的度数；

（2）如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2﹣∠1＝120°，说明理由；

实践探究

（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC 平分∠BAM，此时发现∠1与∠2又存在新的数量关系，请直接写出∠1与∠2的数量关系．

2．问题情境

在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形ABCD，直线PQ经过点A，并绕点A旋转，作点B关于直线PQ的对称点E，直线DE交直线PQ于点F，连结AE，BE

操作发现

（1）如图1，设∠P AB＝25°则∠ADF＝°．

（2）“梦想小组”的同学们发现，∠BEF的度数是一个定值，这个值为．

（3）“创新小组”的同学们发现，线段AB、DF、EF之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由：

拓展应用

（4）如图2，当直线PQ在正方形ABCD的外部时，“进取小组”的同学们发现（3）的结论仍然成立，并提出新问题；若DF＝3，EF＝4，直接写出正方形ABCD的边长

3．综合与实践

问题背景：

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．下面是创新小组在操作纸片过程中研究的问题，请你解决这些问题．如图1，△ABC≌△DEF，其中∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝4．

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