2020江苏高考数学一轮复习学案：第44课__直线与圆的位置关系 含解析

第44课 直线与圆的位置关系(1)

1. 理解直线与圆的位置关系，会利用直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系，能够根据所给关系解决相关问题.

2. 熟练掌握圆的几何性质的运用，通过数形结合解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等问题，体会用代数法处理几何问题的思想.

1. 阅读：必修2第112～114页.

2. 解悟：①了解直线和圆有哪些位置关系；用直线与圆的方程怎么判断直线和圆的关系？试用数学语言进行表述；②已知圆心到直线的距离为d ，试写出直线与圆相交形成的弦AB 的长度；③求切线方程及切线长度的注意点和具体方法是什么？

3. 践习：在教材空白处完成必修2第115页练习第1、5、6题.

基础诊断

1. 已知直线3－y ＋m ＝0与圆2＋y 2－2－2＝0相切，则实数m 解析：将圆化为标准方程(－1)2＋y 2＝3，所以圆心(1，0)，半径r ＝ 3.因为直线3－y ＋m ＝0与

圆2＋y 2－2－2＝0相切，所以圆心到直线3－y ＋m ＝0的距离等于半径，即|3＋m|3＋1

＝3，解得m ＝3或－3 3.

2. 若过原点的直线与圆2＋y 2－2－4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 2－y ＝0 Ｗ.

解析：由题意知直线的斜率存在，设直线方程为y ＝.圆2＋y 2－2－4y ＋4＝0，即(－1)2＋(y －2)2＝1，圆心为(1，2)，半径r ＝1.又因为直线与圆相交所得的弦长为2，为直径，所以直线y ＝过圆心，所以＝2，直线方程为2－y ＝0.

3. 已知直线3－4y ＋a ＝0与圆2－4＋y 2－2y ＋1＝0有公共点，则实数a 的取值范围是 [－12，8] .

解析：将圆化为标准方程为(－2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心(2，1)，半径为2.因为直线与圆有公共点，

设圆心到直线的距离为d ，所以d ≤r ，即|6－4＋a|33＋4

2≤2，解得－12≤a ≤8. 4. 若圆(－2a)2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是

⎝ ⎛⎭

⎪⎫－65，0 . 解析：原问题可转化为圆(－2a)2＋(y －a －3)2＝4和圆2＋y 2＝1相交，可得两圆圆心之间的距离d

＝（2a －0）2＋（a ＋3－0）2＝5a 2＋6a ＋9，所以2－1<5a 2＋6a ＋9<2＋1，解得－65

考向❶ 直线与圆的位置关系问题

例1 分别求当正数a 取何值时，直线＋y －2a ＋1＝0与圆2＋y 2－2a ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0：

(1) 相切；(2) 相离；(3) 相交.

解析：将圆方程2＋y 2－2a ＋2y ＋a 2－a ＋1＝0化为标准方程，得(－a)2＋(y ＋1)2＝a ，圆心坐标为(a ，－

1)，

圆心到已知直线的距离为d ＝|a －1－2a ＋1|2＝a 2

，半径为r ＝ a. (1) 当d ＝r ，a 2＝a ，即a ＝2时，直线与圆相切. (2) 当d>r ，a 2

>a ，即a>2时，直线与圆相离. (3) 当d

2

已知圆C ：2＋y 2＝8，定点P(4，0)，直线l 过点P 且倾斜角为α.

(1) 若直线l 与圆C 相切，则α的取值范围是 ⎩

⎪⎨⎪⎭⎪⎬⎪π4，3π4 ； (2) 若直线l 与圆C 相交，则α的取值范围是 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π4，π ； (3) 若直线l 与圆C 相离，则α的取值范围是 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4，3π4 . 解析：因为直线l 过点P(4，0)，设直线l ：y ＝(－4)，即－y －4＝0，则圆心到直线l 的距离为d ＝|4k|k 2＋1

. (1) 若直线l 与圆C 相切，则d ＝|4k|k 2＋1

＝22，解得＝1或＝－1，所以倾斜角为π4或3π4. (2) 若直线l 与圆C 相交，则d ＝|4k|

k 2＋1<22，解得－1<<1，所以倾斜角范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.

(3) 当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为π2，此时直线l 与圆C 相离；当直线的斜率存在时，则d ＝|4k|

k 2＋1>22，解得>1或<－1，所以倾斜角为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，3π4，综上，倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫

π

4，3π4.

考向❷ 直线与圆的交点及弦长问题

例2 已知直线l ：y ＝＋1，圆C ：(－1)2＋(y ＋1)2＝12.

(1) 证明：不论为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；

(2) 求直线l 被圆C 截得的最短弦长.

解析：方法一：

(1) 联立方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，

（x －1）2＋（y ＋1）2＝12， ①

消去y 并整理，得(2＋1)2－(2－4)－7＝0. ②

因为Δ＝(2－4)2＋4(2＋1)·7>0恒成立，所以方程②总有两个不相等的实数根，

即方程组①有两组解，即直线与圆总有两个交点，

所以不论为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点.

(2) 由(1)知，直线与圆总有两个不同的交点，设为A(1，y 1)，B(2，y 2)，

由②式知1＋2＝2－4k k 2＋1，12＝－7

k 2＋1，

所以直线l 被圆C 截得的弦长

AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2

＝1＋k 2|1－2| ＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k k 2＋12

－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫

－7k 2＋1

＝28－4k ＋11k 2

k 2＋1＝211－4k ＋3

k 2＋1.

令t ＝4k ＋3k 2＋1，则t 2－4－3＋t ＝0，当t ＝0时，＝－3

4，此时AB ＝211；

当t ≠0时，因为∈R ，所以Δ＝16＋4t (3－t )≥0，解得－1≤t ≤4(t ≠0)，

故t 的最大值为4，此时AB 取得最小值27.