2020年河南省高考数学大联考试卷(文科)(6月份) (解析版)
2020年河南省高考数学大联考试卷(文科)(6月份) (含解析)
2020年河南省高考数学大联考试卷(文科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x(3−x)>0}，B={x|x>1}，则A∩B=()A. (0,1)B. (1,3)C. (3,+∞)D. (1,+∞)2.设z·i=2i+1，则z=()A. 2+iB. 2−iC. −2+iD. −2−i3.“x+1x>2“是“x>1“的()A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,−2)，则该双曲线的离心率为()A. √3B. √52C. √5D. 25.“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．根据该走势图，下列结论正确的是()A. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B. 这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差小于11月份的方差D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值6. 已知函数f(x)={2x ,x >0,x +1,x ≤0.若f(a)+f(2)<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−5,+∞)B. (−∞,−5)C. (−2,+∞)D. (−∞,−2) 7. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )A. 8B. 6C. 4D. 28. .函数f(x)=cos x 的部分图象大致为( ) A. B.C. D.9. 已知锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a(a +c)，则sin 2A sin(B−A)的取值范围是 ( )A. (0,√22)B. (12,√32) C. (12,√22) D. (0,√32) 10. 函数f(x)=sinx ⋅cos(x +π6)的图象的一条对称轴方程是( )A. x =π12B. x =π6C. x =π4D. x =π311.饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B的概率为()A. 12B. 14C. 116D. 1812.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点G在棱AA1上，AG=13AA1，E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过E，F，G三点的截面α将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面α截得的上、下两部分面积之比为()A. 16B. 14C. 13D. 12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知a⃗=(1,−1)，b⃗ =(−1,2)，则(2a⃗+b⃗ )⋅a⃗=______．14.已知函数f(x)=x3−lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为________．15.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=AA1=4，则异面直线AD1和DC1所成角的余弦值为____．16.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F，且倾斜角为60°的直线与抛物线于A，B两点，若|AF|>|BF|，且|AF|=2，则p=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}满足：a5=9，a2+a6=14．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1，求数列{b n}的前n项和S n．a n a n+118.网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数直方图．这10名市民中，年龄不超过40岁的有65人．将所抽样中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错的概率不超过0.10的前提条件下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？(2)现将所抽取样本中周平均网购次数不小于5次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有1名市民年龄超过40岁的概率．附：K2=n(ad−bc)2；(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)非网购网购迷合计迷年龄不超过40岁年龄超过40岁合计19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q，M分别为AD，PC的中点，PA=PD=2，BC=12AD=1，CD=√3．(Ⅰ)求证：平面PBC⊥平面PQB；(Ⅱ)求三棱锥P−QMB的体积．20.已知F为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，点P(2,3)在C上，且PF⊥x轴．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 交C 于A,B 两点，交直线x =8于点M.判定直线PA,PM,PB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．21. 已知函数f(x)=xlnx −ax 2+a(a ∈R)，其导函数为f′(x)．(Ⅰ)求函数g(x)=f′(x)+(2a −1)x 的极值；(Ⅱ)当x >1时，关于x 的不等式f(x)<0恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√213cosθy =2+√213sinθ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρ2=85−3cos2α，点P 在曲线C 1上，点Q 在曲线C 2上．(1)求曲线C 1的一般方程和曲线C 2的直角坐标方程;(2)求|PQ|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≤4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)≤3x+b成立，证明：a+b≥0．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A={x|x(3−x)>0}={x|0<x<3}，B={x|x>1}，∴A∩B={x|1<x<3}，故A∩B=(1,3)．故选：B．2.答案：B解析：解：由z·i=2i+1，得z=1+2ii =(1+2i)(−i)−i2=2−i．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：C解析：解：由x+1x >2，化为：(x−1)2x>0，解得x>0且x≠1．∴“x+1x>2“是“x>1“的必要不充分条件．故选：C．由x+1x >2，化为：(x−1)2x>0，解得x范围即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(1,−2)，∴点(1,−2)在直线y=−bax上，∴ba=2．则该双曲线的离心率为e=√1+b2a2=√5．故选：C．由(1,−2)在直线y=−ba x上，可得ba.由e=√1+b2a=√5.即可求解．本题考查了双曲线的性质，属于基础题．5.答案：D解析：本题考查走势图，方差、平均数，属于基础题．根据走势图的信息逐项分析判断即可．解：根据走势图可知，在A中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度没有规律，故A错误；在B中，这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈现出一定的波动性，没有不断减弱，故B 错误；在C中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的数据比11月份的数据波动幅度要大，数据更分散，则2018年10月份的方差大于11月份的方差，C错．在D中，从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值，故D正确．故选D．6.答案：B解析：本题考查分段函数，考查不等式的解法，属于基础题．解题时对a分类讨论即可求解．解：∵f(2)=4，当a>0时，。
2020年6月河南省大教育合作学校2020届高三质量检测第四次联考(全国卷)文科数学答案
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2020年河南省高考数学质检试卷(文科)(6月份) (解析版)
2020年河南省高考数学质检试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．[0，1）D．（1，2]2．已知复数z＝+2i，则|z|＝（）A．B．2C．D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．或D．或4．计算：＝（）A．B．C．D．5．“（x﹣3）lnx＞0”是“2x＞8”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知实数x，y满约束条件则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣27．函数f（x）＝xln（﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．8．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O内接正二十四边形，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正二十四边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆周率的近似值为（）A．B．C．D．9．若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）＝若a＝50.01，b＝0.9，则有（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（c）＞f（a）＞f（b）C．f（a）＞f（c）＞f（b）D．f（a）＞f（b）＞f（c）11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点，若△BF1F2的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥BP，PA＝AC，若三棱锥P﹣ABC外接球表面积为8π，则三棱锥P﹣ACD体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．曲线y＝2x2﹣lnx在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为．14．已知在等比数列{a n}中，，则数列{a n}的通项公式为．15．已知函数f（x）＝sinωx+a cosωx（0＜ω＜5，a＞0）对任意的x1，x2都有f（x1）+f（x2）≥﹣4，且存在x0∈R，f（x0）＝﹣2，点为曲线y＝f（x）的对称中心．若将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（0）＝．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C的左支相交于点A，与双曲线的右支相交于点B，O为坐标原点．若2|BF2|＝3|AF1|，且|F1F2|＝2|OB|，则双曲线C的渐近线方程为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．在数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，AD＝AP＝2，E为PD的中点，F为BP的中点．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解A城市2019年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5日均值数据中随机抽取30天的数据作为样本，日均值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求30天样本数据的平均数；（2）从A城市共采集的30个数据样本中，从PM2.5日均值在[70，90]范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；（3）以这30天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级、二级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点F到直线x﹣y+1＝0的距离为．（1）求抛物线C的方程（2）点O为坐标原点，直线l1，l2经过点M（﹣1，0），斜率为k1的直线l1与抛物线C 交于A，B两点，斜率为k2的直线l2与抛物线C交于D，E两点，记λ＝|MA|•|MB|•|MD|•|ME|，若，求λ的最小值．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x2＞x1），求证：f（x2）﹣f（x1）＜（2﹣a）（x2﹣x1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）；以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点M的极坐标为，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）若点N为曲线C1上的动点，求线段MN的中点T的轨迹C2的直角坐标方程；（2）在（1）的条件下，若过点P的直线l与曲线C2相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）≤4的解集；（2）若函数y＝f（x）+|x+1|的最小值为k，求的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（1，2）C．[0，1）D．（1，2]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x＞6}，故选：D．2．已知复数z＝+2i，则|z|＝（）A．B．2C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：∵z＝+2i＝，∴|z|＝．故选：D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝（）A．B．C．或D．或【分析】由题意利用三角形的面积公式可得sin2C＝，结合sin C＞0，可求sin C的值，结合C的范围即可求解C的值．解：由题意可得：△ABC的面积为＝ab sin C，可得：sin2C＝，所以sin C＝，故选：C．4．计算：＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．解：＝cos2﹣cos2＝﹣＝﹣＝﹣．故选：A．5．“（x﹣3）lnx＞0”是“2x＞8”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，求出两个不等式的解集，分析其解集之间的关系，结合集合与充分必要条件的关系分析可得答案．解：根据题意，不等式（x﹣3）lnx＞0⇒或，解可得0＜x＜1或x＞3，即不等式的解集为{x|8＜x＜1或x＞3}，2x＞8，解可得x＞7，即不等式的解集为{x|x＞3}，则“（x﹣3）lnx＞0”是“2x＞8”的必要不充分条件；故选：B．6．已知实数x，y满约束条件则z＝2x﹣y的最小值为（）A．﹣5B．﹣4C．﹣3D．﹣2【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解：作出实数x，y满约束条件对应的平面区域（阴影部分），由z＝7x﹣y，得y＝2x﹣z，此时z的最小值为z＝﹣4，故选：B．7．函数f（x）＝xln（﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由函数的解析式分析f（1）与f（﹣1）的符号，利用排除法分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝xln（﹣x），则f（1）＝ln（﹣1）＜4，排除BC，f（﹣1）＝﹣ln（+1）＜0，排除A，故选：D．8．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O内接正二十四边形，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正二十四边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆周率的近似值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由圆的半径求出圆的面积以及圆的内接正二十四边形的面积，结合几何概型的知识可得＝＝，变形即可得答案．解：根据题意，圆O的半径为1，则其面积S＝π，其内接正二十四边形的面积S′＝24×（×1×1×sin15°）＝3﹣3，变形可得：π＝；故选：C．9．若非零向量满足，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据平面向量的数量积与模长、夹角公式，即可求出向量与夹角的余弦值．解：由，所以（+2）•（﹣2）＝0，即﹣8＝0，所以||＝2||；代入得4+8cosθ+3＝0，所以向量与夹角的余弦值为﹣．故选：A．10．已知函数f（x）＝若a＝50.01，b＝0.9，则有（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（c）＞f（a）＞f（b）C．f（a）＞f（c）＞f（b）D．f（a）＞f（b）＞f（c）【分析】根据f（x）的解析式即可判断f（x）在（0，+∞）上是增函数，并且x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，并且可判断a＞1＞b＞0＞c，从而可得出f（a），f（b）和f（c）的大小关系．解：f（x）在（0，+∞）上是增函数，且x＞0时，f（x）＞0，x＜0时，f（x）＜0，b＝＜＝1，a＝50.01＞50＝1，c＝log30.6＜log31＝0，∴4＜b＜1，a＞1，c＜0，∴f（a）＞f（b）＞f（c）．故选：D．11．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点，若△BF1F2的外接圆的半径为，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，利用勾股定理列式可得b2＝3c2，结合隐含条件即可求得椭圆C的离心率．解：设O为坐标原点，△BF1F2的外心必在线段OB上，且有，得b2＝3c2，∴椭圆C的离心率为e＝．故选：C．12．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AD⊥BP，PA＝AC，若三棱锥P﹣ABC外接球表面积为8π，则三棱锥P﹣ACD体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】设AB＝a，BC＝b，由三棱锥P﹣ABC外接球表面积得外接球的半径，再由已知结合勾股定理列式求得AP及a2+b2的值，把PB，BD用含有a的代数式表示，过D 作DE⊥AB，可得DE⊥平面ABC，利用三角形相似把DE用含有a的代数式表示，可得V P﹣ACD＝V P﹣ABC﹣V D﹣ABC，整理后利用基本不等式求最值．解：设AB＝a，BC＝b，由三棱锥P﹣ABC外接球表面积为8π，得外接球的半径为，又PA⊥平面ABC，得AB⊥BC，∵PA⊥平面ABC，AD⊥BP，∴PB＝，BD＝，∴DE∥PA，可得，则．＝＝＝＝．∴三棱锥P﹣ACD体积的最大值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线y＝2x2﹣lnx在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为3x﹣y﹣1＝0．【分析】先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程．解：由得：（舍）．所以切点坐标为（1，2）．故切线方程为y﹣2＝3（x﹣5）．故答案为：3x﹣y﹣1＝0．14．已知在等比数列{a n}中，，则数列{a n}的通项公式为或．【分析】由已知结合等比数列的性质可求公比及a1，然后结合等比数列的通项公式即可求解．解：因为，由等比数列的性质可知，，所以＝＝，解可得，或，当时，q＝3，a n＝＝2n﹣2故答案为：a n＝22﹣n，或a n＝2n﹣515．已知函数f（x）＝sinωx+a cosωx（0＜ω＜5，a＞0）对任意的x1，x2都有f（x1）+f（x2）≥﹣4，且存在x0∈R，f（x0）＝﹣2，点为曲线y＝f（x）的对称中心．若将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（0）＝﹣．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，先求出函数g（x）的解析式，从而求得g（0）的值．解：函数f（x）＝sinωx+a cosωx（0＜ω＜5，a＞0）对任意的x1，x2都有f（x1）+f（x7）≥﹣4，且存在x0∈R，f（x0）＝﹣3，∵点为曲线y＝f（x）的对称中心，若将函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）＝2sin（4x﹣π+）＝2sin（4x﹣）的图象，则g（0）＝7sin（﹣）＝﹣2sin＝﹣，故答案为：﹣．16．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C的左支相交于点A，与双曲线的右支相交于点B，O为坐标原点．若2|BF2|＝3|AF1|，且|F1F2|＝2|OB|，则双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0．【分析】设|AF1|＝2m，m＞0，求得|BF2|，运用双曲线的定义可得|AF2|，|BF1|，|AB|，推得BF1⊥BF2，运用勾股定理推得m＝，b＝2a，可得双曲线的渐近线方程．解：设|AF1|＝2m，m＞0，则|BF2|＝3m，因为|AF2|﹣|AF3|＝2a，所以|AF2|＝2m+2a，同理可得|BF5|＝2a+3m，因为|F1F2|＝2|OB|，所以BF1⊥BF3，即（2m+2a）2＝（5a+m）2+9m8，解得m＝，在直角三角形BF1F2中，由|F7F2|2＝|BF1|2+|BF2|7，所以双曲线的渐近线方程为2x±y＝0．故答案为：2x±y＝0．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．在数列{a n}中，a1＝1，对∀n∈N*，na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）先由na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1）⇒﹣＝1，进而说明数列{）是首项、公差均为1的等差数列，求出，即可求得a n；（2）先由（1）中求得的a n求出b n，再利用裂项相消法即可求得其前n项和S n．解：（1）∵na n+1﹣（n+1）a n＝n（n+1），∴﹣＝1，又＝1，∴数列{）是首项、公差均为1的等差数列．（3）由（1）得a n＝n2，∴b n＝＝＝﹣，∴S n＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，AB＝BC＝1，AD＝AP＝2，E为PD的中点，F为BP的中点．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）求点D到平面PBC的距离．【分析】（1）取AP的中点G，连接EG，BG，证明四边形BCEG为平行四边形，则有CE∥BG，即可证CE∥平面PAB；（2）过点A作垂足为H，证明AH⊥平面PBC，又AD∥BC，所以点D到平面PBC的距离即为AH长，求解AH即可．【解答】（1）证明：如图，取AP的中点G，连接EG，BG，∵DE＝PE，AG＝PG，∴GE∥AD且AD＝2GE．∵BC∥AD，BC＝1，∴GE∥BC且GE＝BC，∴CE∥BG．∴CE∥平面PAB．（2）解：如图，过点A作AH⊥BP，垂足为H．∵BC⊥AB，AB∩AP＝A，又AB，AP⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB．∵AH⊥BP，BP∩BC＝B，BP，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC．∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC，故点D到平面PBC的距离为．19．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解A城市2019年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5日均值数据中随机抽取30天的数据作为样本，日均值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求30天样本数据的平均数；（2）从A城市共采集的30个数据样本中，从PM2.5日均值在[70，90]范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；（3）以这30天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级、二级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）【分析】（1）根据茎叶图中数据计算平均数即可；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（3）利用样本数据估计总体数据即可．解：（1）30天样本数据的平均数为＝×（20+60+150+160+200+300+210+160+180+16+21+19+18+19+23+16+9+9）＝53；而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天；则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果（不记顺序）：其中，抽出2天的PM2.5日均值均超标的情况有5种：（a，b）、（a，c）、（b，c），（3）在抽取的30天样本数据中，A城市有8天达到一级，有17天达到二级．A城市一年（按365天计算）中空气质量达到二级的天数约为：365×＝≈207（天）；所以估计A城市一年中空气质量为一级约有97天，空气质量为二级约有207天．20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点F到直线x﹣y+1＝0的距离为．（1）求抛物线C的方程（2）点O为坐标原点，直线l1，l2经过点M（﹣1，0），斜率为k1的直线l1与抛物线C 交于A，B两点，斜率为k2的直线l2与抛物线C交于D，E两点，记λ＝|MA|•|MB|•|MD|•|ME|，若，求λ的最小值．【分析】（1）求得F的坐标，由点到直线的距离公式可得p，进而得到抛物线的方程；（2）设点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），联立直线l1和抛物线的方程，运用韦达定理和两点的距离公式，求得|MA|，|MB|，同理可得|MD|，|ME|，可得λ的式子，化简整理由基本不等式可得所求最小值．解：（1）点F的坐标为（，0），点F到直线x﹣y+1＝0的距离为＝，所以抛物线C的方程为y2＝4x．联立方程消去y后整理为，k12x2+（4k12﹣4）x+k12＝4，所以x1+x2＝，x1x2＝6，则|MB|＝|x2+1|，且x1，x2＞0，同理，|MD|•|ME|＝．＝64（1+k17）（1+k22）＝64（k15+k22+）≥64（2|k1k4|+）＝64（1+）＝144（当且仅当k4＝﹣，k2＝时取等号）．所以λ的最小值为144．21．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2（x2＞x1），求证：f（x2）﹣f（x1）＜（2﹣a）（x2﹣x1）．【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x），然后分a≤0，0＜a≤2和a＞2三类讨论f'（x）与0的大小关系，从而得f（x）的单调性；（2）由（1）知，x1、x2是方程x2﹣ax+1＝0的两个不同正根且，故0＜x1＜1＜x2；于是可将f（x2）﹣f（x1）化简为（﹣）+2ln，将（2﹣a）（x2﹣x1）化简为2（x2﹣x1）﹣（﹣），然后利用分析法将原问题转化为证明x2﹣﹣2lnx2＞0恒成立；构造函数g（x）＝x﹣﹣2lnx（x＞1），利用导数判断其单调性，并求最小值即可得证．【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝2x﹣2a+＝，①当a≤0时，x6﹣ax+1＞0恒成立，即f'（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a≤8时，△≤0，f'（x）＞0恒成立，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞2时，令f'（x）＞0，得0＜x＜或x＞，函数f（x）单调递增；综上所述，当a＞6时，函数f（x）在（0，）和（，+∞）上单调递增，在（，）上单调递减．∴f（x2）﹣f（x1）＝（﹣2ax2+2lnx2）﹣（﹣2ax1+2lnx1）∵（2﹣a）（x2﹣x1）＝2（x2﹣x6）﹣a（x2﹣x1）＝2（x4﹣x1）﹣（x2+x1）（x2﹣x1）＝2（x2﹣x4）﹣（﹣），∵x4x2＝1，∴只需证ln＜x2﹣，即证x7﹣﹣2lnx5＞0．∴g（x）＞g（1）＝0，即x2﹣﹣2lnx2＞0．故若f（x）存在两个极值点x1，x2（x2＞x1），则f（x2）﹣f（x1）＜（2﹣a）（x2﹣x1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（1，0）；以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点M的极坐标为，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（1）若点N为曲线C1上的动点，求线段MN的中点T的轨迹C2的直角坐标方程；（2）在（1）的条件下，若过点P的直线l与曲线C2相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【分析】（1）先根据直角坐标系与极坐标系坐标之间的关系求出M点的直角坐标系坐标与曲线C1的直角坐标系方程，再利用T为MN的中点这个条件求出N点坐标与T点坐标之间的关系，再代入到方程（m﹣2）2+n2＝4中即可得到x，y的关系，即线段MN 的中点T的轨迹C2的直角坐标方程；（2）先求出直线l的标准的参数方程，再与曲线C2联立，结合参数t的几何意义即可求出|PA|•|PB|的值．解：（1）点M的直角坐标方程为（﹣2，2），将代入曲线C3的极坐标方程，设点T的坐标为（x，y），点N的坐标为（m，n），则（m﹣2）2+n2＝4．得，代入（m﹣2）4+n2＝4，可得4x2+（5y﹣2）2＝4，故线段MN的中点T的轨迹C2的直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1．A，B对应的参数分别为t1，t2．t2+2（cosθ﹣sinθ）t+7＝0，t1+t2＝﹣2（cosθ﹣sinθ），t1•t2＝5，所以|PA|•|PB|的值的值为1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|x+1|．（1）求不等式f（x）≤4的解集；（2）若函数y＝f（x）+|x+1|的最小值为k，求的最小值．【分析】（1）对x进行讨论，化简绝对值，进而可求不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质可求f（x）的最小值，进而可求k，然后结合基本不等式即可求解．解：（1）①当x≤﹣1时，原不等式可化为2﹣2x﹣（x+1）≤5，得x≥﹣1，故有x＝﹣1；②当﹣1＜x＜1时，原不等式可化为2﹣6x+x+1≤4，得x＞﹣1，故有﹣1＜x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为2x﹣2+x+1≤5，解得x≤，故有1综上，不等式的解集为[﹣1，]．所以k＝4．当且仅当2m＝，即m＝1时“＝”成立，所以km+的最小值为4．。
2020年河南省高考数学大联考试卷(文科)(6月份)
2020年河南省高考数学大联考试卷（文科）（6月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−2x <0}，B ={x|2−2x >0}，则A ∩B =( )A. (1,2)B. (−2,1)C. (0,1)D. (−1,0)2. 已知z(1−i)=5+i ，则z =( )A. −2+3iB. −2−3iC. 2−3iD. 2+3i3. “x ≥12”是“x +1x ≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线经过点(1,√5)，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. √5C. √6D. √3055. 今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图，阅读如图．关于下列说法： ①2022年我国5G 用户规模年增长率最高； ②2022年我国5G 用户规模年增长户数最多；③从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；④这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差． 其中正确的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数f(x)={3e −x ,x ≤0−4x +3,x >0，若f(a 2−3)≥f(−2a)，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,−3]∪[1,+∞)C. (−∞,1]∪[3,+∞)D. [−3,1]7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入()A. k≥6？B. k≥7？C. k≤6？D. k≤7？8.函数f(x)=cosπxx4的部分图象大致为()A. B.C. D.9.在锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAcosA =√2bcb2+c2−a2，则角A的大小为()A. π4B. π6C. 5π12D. π310.函数f(x)=2sin(3x+π6)+cos(3x−π3)的图象的一条对称轴方程为()A. x=2π9B. x=π3C. x=4π9D. x=5π911.饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为()A. 116B. 18C. 14D. 1212. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，过点D 1，E ，F 作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为( )A. 14B. 12C. 2349D. 2547二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，已知A(3,2)，B(1,5)，C(1,2)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 14. 已知函数f(x)=x 3−lnx ，则曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为______．15. 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1是正方形，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，A 1B 1=4，AA 1=3，则异面直线AD 1与BO 所成角的正弦值为______．16. 已知抛物线C ：x 2=2py(p >0)，倾斜角为π4的直线l 过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，|AB|=8，则△AOB 的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 已知等差数列{a n }满足a 8=3a 3，a 1+a 2=4．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18. 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习．为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有．将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如表所示：(1)是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？(2)从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在(50,70)内，有三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人进步幅度在(10,20)内．如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率．，其中n=a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，E为BS的中点，∠ASB=∠ABS=30°，tan∠ASD=1，AB=3．3(1)证明：平面DAE⊥平面DSB．(2)求三棱锥B−SAD的体积．20.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|=4，且该椭圆的短轴长等于焦距．(1)求椭圆M的标准方程．(2)已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M于另一点B，交y轴于点C，且BC//RQ，判断|RQ|2|AB||AC|是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=xe x，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f(x)的极值；(2)当x0<1时，证明：f(x)≤f′(x0)(x−x0)+f(x0).22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =4cosθy =4sinθ，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A 在曲线C 2：θ=5π6(ρ≥0)上，点B 在曲线C 3：ρsinθ=4上，且△AOB 为正三角形．(1)分别求出点A ，B 的极坐标(ρ,θ)(其中ρ≥0，0≤0<2π)； (2)若点P 为曲线C 1上的动点，M 为线段AP 的中点，求|BM|的最大值．23. 设函数f(x)=|x −3|，g(x)=|x −4|．(1)解不等式f(x)+g(x)<3；(2)对于实数x ，y ，若f(x)≤1，g(y)≤1，证明：|2x −3y +3|≤8．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|x2−2x<0}={x|0<x<2}，B={x|2−2x>0}={x|x<1}，∴A∩B={x|0<x<1}=(0,1)．故选：C．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z(1−i)=5+i，∴z=5+i1−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+3i．故选：D．3.【答案】A【解析】解：若x≥12，则x+1x≥2√x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号；若x+1x≥2，则x>0．∴“x≥12”是“x+1x≥2”的充分不必要条件．故选：A．利用基本不等式的性质即可判断出结论．本题考查了基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：因为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线经过点(1,√5)， 所以渐近线y =ba x 经过点(1,√5)，所以ba =√5， 从而e =√1+b 2a2=√6．故选：C ．求出渐近线方程，代入点的坐标，推出a ，b 关系，然后求解离心率即可． 本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力．是基础题．5.【答案】B【解析】解：由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022年增加用户37499.9万人，②错误； 从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误． 故选：B ．利用图表判断增长率，用户增加人数以及方差判断选项的正误即可． 本题考查学生对柱形图和折线图的理解，考查数据处理能力．6.【答案】D【解析】解：函数f(x)={3e −x ,x ≤0−4x +3,x >0，在(−∞,+∞)上为减函数，因此，不等式f(a 2−3)≥f(−2a)等价于a 2−3≤−2a ， 解得−3≤a ≤1． 故选：D ．利用函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．本题主要考查函数的单调性及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想．7.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得 S =0.5，k =2； S =1，k =3； S =3，k =4； S =12，k =5；S=60，k=6；S=360，k=7．所以填入“k≥7？”，输出的结果为360．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：因为f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且f(x)为偶函数，排除A，C．又当x=1时，f(1)=cosπ=−1<0，排除选项D，故选：B．先判断函数的定义域和奇偶性，结合f(1)的值，利用排除法进行判断即可．本题考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性的关系是解决本题的关键．考查识图能力与推理论证能力．9.【答案】A【解析】解：因为cosA=b2+c2−a22bc，所以b2+c2−a2=2bccosA，所以sinAcosA =√2bc2bccosA=√22cosA，即sinA=√22．又△ABC为锐角三角形，所以A=π4．故选：A．由已知利用余弦定理化简可得sinA=√22，结合△ABC为锐角三角形，可求A的值．本题考查解三角形的知识，考查运算求解能力，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：因为3x+π6−(3x−π3)=π2，所以3x+π6−π2=3x−π3，则f(x)=2sin(3x+π6)+cos(3x−π3)=2sin(3x+π6)+cos(3x+π6−π2)=2sin(3x+π6)+sin(3x+π6)=3sin(3x+π6)，所以其图象的对称轴方程为3x+π6=π2+kπ(k∈Z)，解得x=π9+kπ3(k∈Z)，当k=1时，x=4π9．故选：C．利用三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的对称性进行求解即可．本题考查三角函数的图象和性质，考查三角恒等变换，三角函数的对称性，利用三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查数学文化与古典概型等基础知识，是基础题．点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，利用列举法能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率．【解答】解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)，共8种不同的跳法(线路)，符合题意的只有(下，下，右)这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P=18．故选：B．12.【答案】D【解析】解：如图，作出截面D1MEFN，设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为6，则其体积为216，延长D1M交DA的延长线于点K，连接KE，延长D1N交DC的延长线于点L，连接FL．∵E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，M ，N 分别为两棱的三等分点，∴AK =CL =3，AM =CN =2，则V D 1−DKL =13×6×(12×9×9)=81，V M−AKE =V N−CFL =13×2×(12×3×3)=3， ∴正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81−6=75，另外一部分的体积为216−75=141． ∴较小部分与较大部分的体积比值为75141=2547．故选：D ．由题意画出图形，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为6，则其体积为216，再由棱锥体积公式求解截面下方多面体的体积，作差得到截面上方多面体的体积，则答案可求．本题考查立体几何的截面及体积问题，考查空间想象能力，考查计算能力，是中档题． 13.【答案】4【解析】解：因为A(3,2)，B(1,5)，C(1,2)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0)，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−2×(−2)+3×0=4． 故答案为：4．求出数量积的表达式中的两个向量，然后利用数量积公式求解即可．本题考查向量的数量积，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】2x −y −1=0【解析】解：因为f(x)=x 3−lnx ，所以f′(x)=3x 2−1x ，又f(1)=1，f′(1)=2，所以切线方程为y −1=2(x −1)，即2x −y −1=0．故答案为：2x −y −1=0．先求出函数的导数，然后分别求出切点处的函数值、导数值，则切线方程可解．本题考查导数的几何意义，考查学生的运算求解能力，属于基础题．15.【答案】2√25【解析】解：如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，由AB//D 1C 1，AB =D 1C 1，得四边形ABC 1D 1 为平行四边形，则AD 1//BC 1，∴异面直线AD 1与BO 所成角为∠OBC 1．又A 1B =C 1B =√32+42=5，O 为A 1C 1的中点，∴BO ⊥A 1C 1．又A 1C 1=4√2，∴OC 1=2√2，则sin∠OBC 1=OC 1BC 1=2√25． 故答案为：2√25． 由题意画出图形，利用异面直线所成角的定义找出异面直线AD 1与BO 所成角，求解三角形得答案． 本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力与计算能力，是基础题．16.【答案】2√2【解析】解：根据题意知F(0,p 2)，设直线l 的方程为y =x +p 2，代入抛物线得x 2−2px −p 2=0，所以|AB|=y 1+y 2+p =x 1+x 2+2p =4p =8，解得p =2，所以直线l 的方程为y =x +1．又原点O 到直线l 的距离为d =√2=√22， 所以S △AOB =12|AB|⋅d =12×8×√22=2√2． 故答案为：2√2．设出直线方程，求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的性质，求出抛物线方程，通过点到直线的距离转化求解三角形的面积即可．本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力．是中档题．17.【答案】解：(1)由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 1+7d =3(a 1+2d)a 1+a 1+d =4， 整理，得{2a 1−d =02a 1+d =4， 解得{a 1=1d =2， ∴a n =1+2(n −1)=2n −1，n ∈N ∗．(2)由(1)知，b n =1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， 则T n =b 1+b 2+⋯+b n=12(1−13)+12(13−15)+⋯+12(12n −1−12n +1) =12(1−13+13−15+⋯+12n −1−12n +1)=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】本题第(1)题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n．本题主要考查等差数列的基本量的计算，以及运用裂项相消法求前n项和问题，考查了转化与化归思想，方程思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题属中档题．18.【答案】解：(1)由列联表计算K2=2000×(500×500−300×700)2800×1200×1200×800=12536≈3.472，因为3.472>2.706，所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；(2)设a，b两人的进步幅度在(50,70)内，c，d，e三人的进步幅度在(20,30)内，另外一人f的进步幅度在(10,20)内，则从这六人中任选两人，有(a,b)、(a,c)、(a,d)、(a,e)、(a,f)、(b,c)、(b,d)、(b,e)、(b,f)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f)共15种不同选法，其中符合两人的进步幅度之差在(20分)以内的有(a,b)、(c,d)、(c,e)、(c,f)、(d,e)、(d,f)、(e,f)共7种，所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率为P=715．【解析】(1)由列联表计算观测值，对照附表得出结论；(2)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．本题考查了独立性检验应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题．19.【答案】(1)证明：∵ABCD是矩形，∴AD⊥AB．∵平面SAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面SAB=AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面SAB．又BS⊂平面SAB，∴AD⊥BS．∵∠ASB=∠ABS，∴AS=AB，又E为BS的中点，AE⊥BS．又AD ∩AE =A ，∴BS ⊥平面DAE ．由于BS ⊂平面DSB ，∴平面DAE ⊥平面DSB ．(2)解：三棱锥B −SAD 的体积V B−SAD =V D−ABS ，∵tan∠ASD =13，AS =AB =3，∴AD =1．由于∠ASB =∠ABS =30°，∴S △SAB =12×3×3×sin120°=9√34， 从而V D−ABS =13×1×9√34=3√34，即三棱锥B −SAD 的体积为3√34．【解析】(1)由ABCD 是矩形，得AD ⊥AB.再由已知结合平面与平面垂直的性质可得AD ⊥平面SAB.从而得到AD ⊥BS.再证明AE ⊥BS.由直线与平面垂直的判定可得BS ⊥平面DAE.从而得到平面DAE ⊥平面DSB ．(2)由三棱锥B −SAD 的体积V B−SAD =V D−ABS ，再由已知求出三角形SAB 的面积，则三棱锥B −SAD 的体积可求．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．20.【答案】解：(1)因为|PF 1|+|PF 2|=4，所以2a =4，解得a =2，设椭圆的焦距为2c ，所以2b =2c ，即b =c ，由a 2=b 2+c 2，解得b 2=2，所以椭圆M 的方程为x 24+y 22=1； (2)|RQ|2|AB||AC|为定值2，理由如下：由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设l ：y =k(x +2)(k ≠0)，令x =0，得y =2k ，即C(0,2k)，又易知A(−2,0)，所以|AC|=2√1+k 2，由{x 24+y 22=1y =k(x +2)，得{x B =2−4k 21+2k 2y B =4k 1+2k 2，即B(2−4k 21+2k 2,4k 1+2k 2)， 所以|AB|=4√1+k 21+2k 2． 因为BC//RQ ，所以直线RQ 的方程为y =kx ，由{x 24+y 22=1y =kx 得{x R 2=41+2k 2y R 2=4k 21+2k 2， 所以|OR|2=4+4k 21+2k 2．由|RQ|=2|OR|，得|OR|2=4+4k21+2k2，所以|RQ|2|AB||AC|=16+16k21+2k221+2k2⋅2√1+k2=2．故|RQ|2|AB||AC|为定值2．【解析】(1)由椭圆定义可得2a=4，且2b=2c，结合a2=b2+c2，解出a，b即可；(2)设l：y=k(x+2)(k≠0)，得到C(0,2k)，表示出|AC|，联立直线与椭圆方程得到B，表示出|AB|，根据平行得到RQ：y=kx，与椭圆方程联立得到R，表示出|QR|2，由|RQ|=2|OR|，得|OR|2=4+4k21+2k2，即可求得．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆定义的运用，同时考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．21.【答案】(1)解：因为f(x)=xe x，所以f′(x)=(1−x)e−x (1))当x∈(−∞,1)时，f′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)<0.……………………………………………(2分)所以f(x)在(−∞,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，………………………………………………(3分)从而f(x)有极大值，极大值为f(1)=1e，无极小值．……………………………………………………(4分) (2)证明：令g(x)=f(x)−f′(x0)(x−x0)−f(x0)，则g′(x)=f′(x)−f′(x0)=(1−x)e−x−(1−x0)e−x0=e x0(1−x)−e x(1−x0)e x+x0.…………………………(5分)设φ(x)=e x0(1−x)−e x(1−x0)，则φ′(x)=−e x0−e x(1−x0).…………………………………………(6分)因为x0<1，所以φ′(x)<0，所以φ(x)在R上单调递减．…………………………………………………………………………………(7分)又φ(x0)=0，所以当x<x0时，φ(x)>0；当x>x0时，φ(x)<0，……………………………………………………(8分)即当x<x0时，g′(x)>0；当x>x0时，g′(x)<0.………………………………………………………(9分)所以g(x)在区间(−∞,x0)上单调递增，在区间(x0,+∞)上单调递减．……………………………………(10分)所以g(x)≤g(x0)=0，所以f(x)≤f′(x0)(x−x0)+f(x0).………………………………………………………………………(12分)【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(2)令g(x)=f(x)−f′(x 0)(x −x 0)−f(x 0)，求出g(x)的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而证明结论即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)因为点B 在曲线C 3：ρsinθ=4上，即点B 在直线y =4上，又点A 在曲线C 2：θ=5π6(ρ≥0)上，且△AOB 为正三角形，所以在极坐标系中，A(4,5π6)，B(4,π2)． (2)由(1)知点A 的直角坐标为(−2√3,2)，设点M 的直角坐标为(x,y)，所以点P(2x +2√3,2y −2)．因为曲线C 1的参数方程为{x =4cosθy =4sinθ，即C 1为圆x 2+y 2=16，所以(2x +2√3)2+(2y −2)2=16，即点M 在(x +√3)2+(y −1)2=4上，又点B 的直角坐标为(0,4)，所以|BM|的最大值为√3+9+2=2√3+2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用两点间的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.【答案】解：(1)设ℎ(x)=f(x)+g(x)，则ℎ(x)=|x −3|+|x −4|={−2x +7,x ≤31,3<x <42x −7,x ≥4，∵f(x)+g(x)<3，∴{x ≤3−2x +7<3或{3<x <41<3或{x ≥42x −7<3， ∴2<x ≤3或3<x <4或4≤x <5，∴2<x <5，∴不等式f(x)+g(x)<3的解集为(2,5)．(2)证明：∵f(x)≤1，g(y)≤1，∴|x −3|≤1，|y −4|≤1．又|2x −3y +3|=|2(x −3)−3(y −3)|≤2|x −3|+3|(y −4)+1|，∴|2x −3y +3|≤2|x −3|+3(|y −4|+1)≤2+3×(1+1)=8，∴|2x −3y +3|≤8．【解析】(1)设ℎ(x)=f(x)+g(x)，将ℎ(x)写为分段函数的形式，然后根据ℎ(x)<3，利用零点分段法解不等式即可；(2)由条件可知|x−3|≤1，|y−4|≤1，然后利用绝对值三角不等式，可得|2x−3y+3|=≤2|x−3|+ 3|(y−4)+1|，进一步证明|2x−3y+3|≤8成立．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
河南省2020届高考数学质检试卷1(6月份) (含答案解析)
河南省2020届高考数学质检试卷1（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}，则A ∩B =( )A. (1,2]B. (1,94] C. (1,32] D. (1,+∞)2. 已知复数z =i(1+i)，则|z|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 23. 在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b 且A =2B ，则ab 的取值范围是( )A. (0,√3)B. (1,2)C. (12,1)D. (0,2)4. 若sinx =3sin(x −π2)，则cosxcos(x +π2)=( )A. 310B. −310C. 34D. −345. “lgx,lgy,lgz ”成等差数列”是“y 2=xz ”成立的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞)7. 函数f(x)=12x 2−2ln(x +1)的图象大致是( )A. B. C. D.8. 在边长为2的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率π的值．如果撒了1000粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是776粒，那么这次模拟中π的估计值是( )A. 2.972B. 2.983C. 3.104D. 3.1309. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(9,12)，c ⃗ =(4,−3)，若向量m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −b ⃗ ，n⃗ =a ⃗ +c ⃗ ，则向量m ⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角为( )A. 45°B. 60°C. 120°D. 135° 10. 若a =log 20.1,b =log 23,c =log 28，则a,b,c 的大小关系为( )A. c <a <bB. a <b <cC. c <b <aD. a <c <b11. 设F 1，F 2为椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，点M 在椭圆Γ上．若△MF 1F 2为直角三角形，且|MF 1|=2|MF 2|，则椭圆Γ的离心率为( )A. √33或√53B. √53或√63C. √63或√73D. √33或√5−1412.已知三棱锥A−BCD中，AB=AC，AB⊥AC，BD⊥DC，∠DBC=π6，若三棱锥A−BCD的最大体积为32，则三棱锥A−BCD外接球的表面积为()A. 4√3πB. 8πC. 12πD. 12√3π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=2x−lnx在x=1处的切线方程是______．14.已知{a n}为等比数列，a3=2，a2+a4=203，则数列{a n}的通项公式为________．15.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)=cosωx的图象，只要将y=f(x)的图象向左平移__________个单位长度．16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2.过点F的直线1与双曲线C的左支交于A，B两点，△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，∠F1AF2=90°，则双曲线C的离心率为______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在数列{a n}中，a1=1，并且对于任意n∈N∗，都有．a n+1=a n2a n+1(1)证明数列{1a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；(2)求数列{a n a n+1}的前n项和T n．18.如图，在底面为正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC与BD交于点E，点F是PD的中点．(1)求证：EF//平面PBC；(2)若PA=2AB=2，求点F到平面PBC的距离．19.为了解某知名品牌两个不同型号手机M10，M9的待机时间，淮北某手机卖场从仓库中随机抽取M9，M10两种型号的手机各6台，在相同的条件下进行测试，统计结果如图：(单位：小时) (Ⅰ)根据茎叶图计算M9，M10两种型号手机的平均待机时间；(Ⅱ)根据茎叶图判断M9，M10两种型号被测试手机待机时间方差的大小，并说明理由；(Ⅲ)从待机时间在75小时以上的6台被测试手机中随机抽取2台，求至少有一台手机是M9的概率．,a)(a>0)在C上，|AF|=320.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A(p4(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)若直线AF与C交于另一点B，求|AF|的值．|BF|x2−ax+lnx(a∈R)21.已知函数f(x)=12(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x1，x2是f(x)的两个极值点x1<x2，求2f(x1)−f(x2)的最小值．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆M的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求M的普通方程；,0)，设P是圆N上的动点，点A与N关于原点O对称，线段(2)将圆M平移使其圆心为N(−12PA的垂直平分线与PN相交于点Q，求Q的轨迹的参数方程．23.已知函数f(x)=|3x−2|−|x−3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)+f(−x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集的求法，一元一次、一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题． 分别求出集合A 和B ，由此能求出A ∩B ．解：因为集合A ={x|3−2x <1}，B ={x|3x −2x 2≥0}， 所以A ={x|x >1},B ={x|0≤x ≤32}， 所以A ∩B ={x|1<x ≤32}，即A ∩B =(1,32], 故选C ．2.答案：C解析：解：∵复数z =i(1+i)=−1+i ， ∴|z|=√(−1)2+12=√2． 故选：C ．化简复数z ，求出它的模长即可．本题考查了复数的化简与模长的计算问题，是基础题目．3.答案：B解析：解：在△ABC 中，∵A =2B ，由正弦定理可得ab =sinAsinB =sin2B sinB=2cosB ．再由0<B <π3，可得12<cosB <1，∴1<2cosB <2，即ab ∈(1,2)， 故选：B ．在△ABC 中，由正弦定理可得ab =2cosB.再由0<B <π3，求得2cos A 的范围，从而求得 ab 的范围． 本题主要考查正弦定理的应用，注意A 的范围，属于中档题．4.答案：A解析：解：sinx =3sin(x −π2)=−3cosx ， 解得：tanx =−3，所以：cosxcos(x +π2)=−sinxcosx =−tanxtan 2x+1=310， 故选：A ．直接利用三角函数的诱导公式和同角三角函数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5.答案：A解析：因为lgx,lgy,lgz 成等差数列，所以2lgy =lgx +lgz ，所以y 2=xz ；若y 2=xz ，当x,z <0，lgx,lgz 无意义，所以“lgx,lgy,lgz 成等差数列”是“y 2=xz ”成立的充分非必要条件，故选A ．6.答案：B解析：解析：本题考查简单的线性规划，属于基础题．作出不等式组表示的平面区域，作出目标函数对应的直线，结合图象判断目标函数z =x +2y 的取值范围．解：作出实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0对应的平面区域，如图：将目标函数变形为−12x +z2=y ，则z 表示直线在y 轴上截距的二倍，纵截距越大，z 越大， 当目标函数过点A(2,1)时，纵截距最小，此时z =2+2=4， 故目标函数z =x +2y 的取值范围是[4,+∞)． 故选：B ．7.答案：A解析：解：当x =0可得：f(0)=0，排除B ，D ， 当x =12时，f(12)=18−2ln 32=ln4e 189<ln1=0，排除C ． 故选：A ．利用特殊点的位置判断选项即可．本题考查函数的图象的判断，特殊点的位置是判断函数图象的常用方法．8.答案：C解析：本题考查π的估计值的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．由正方形的边长，得到圆的半径，写出正方形和圆的面积，根据芝麻落在圆内的概率等于圆的面积除以正方形的面积，列出一个关于π的关系式，做出π的估计值．解：∵正方形的边长是2，∴正方形的面积是4，圆的半径是1，则圆的面积是π，根据几何概型的概率公式当得到7761000=π4，解得π=3.104，故选：C．9.答案：D解析：依题意知，m⃗⃗⃗ =(−3,−4)，n⃗=(7,1)，所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=−25，|m⃗⃗⃗ |=5，|n⃗|=√50，所以cos<m⃗⃗⃗ ,n⃗>=5√50=−√22，所以向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角为135∘...10.答案：B解析：由于函数f(x)=log2x是增函数，因为0.1<3<8，所以f(0.1)<f(3)<f(8)即a<b<c。
2020年河南省高考数学质检试卷(文科)(6月份)
2020年河南省高考数学质检试卷（文科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x(x −2)≤0}，B ＝{x|x >1}，则A ∩B ＝（ ） A.(0, 1) B.(1, 2) C.[0, 1) D.(1, 2]2. 已知复数z =1−i i+2i ，则|z|＝（ ） A.√5 B.2C.√3D.√23. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为ab8sin C ，则C ＝（ ） A.π6 B.π3C.π6或5π6D.π3或2π34. 计算：(cos5π12+cos π12)(cos5π12−cos π12)=( )A.−√32B.−12 C.12 D.√325. “(x −3)ln x >0”是“2x >8”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知实数x ，y 满约束条件{2x −3y +4≥0,2x +y −4≤0,2x +5y +4≥0, 则z ＝2x −y 的最小值为（ ）A.−5B.−4C.−3D.−27. 函数f(x)＝x ln (√x 2+1−x)的图象大致为（ ）A.B.C. D.8. 刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．已知半径为1的圆O 内接正二十四边形，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正二十四边形内(a, b ∈N ∗, b <a)，则圆周率的近似值为（ ） A.(3√6+3√2)abB.(3√6+3√2)baC.(3√6−3√2)abD.(3√6−3√2)ba9. 若非零向量a →,b →满足(a →+2b →)⊥(a →−2b →),(a →+b →)⊥(a →+3b →)，则向量a →与b →夹角的余弦值为（ ） A.−78 B.−58C.−34D.−3810. 已知函数f(x)={e x −e −x ,x >0,−x 2,x ≤0, 若a ＝50.01，b =32log 32,c =log 30.9，则有（ ）A.f(b)>f(a)>f(c)B.f(c)>f(a)>f(b)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(a)>f(b)>f(c)11. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 为椭圆的上顶点，若△BF 1F 2的外接圆的半径为2b3，则椭圆C 的离心率为（ ）A.√22B.√32C.12D.2312. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AD ⊥BP ，PA ＝AC ，若三棱锥P −ABC 外接球表面积为8π，则三棱锥P −ACD 体积的最大值为（ ）A.√24B.12C.√34D.√23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．曲线y ＝2x 2−ln x 在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为________．已知函数f(x)＝sin ωx +a cos ωx(0<ω<5, a >0)对任意的x 1，x 2都有f(x 1)+f(x 2)≥−4，且存在x 0∈R ，f(x 0)＝−2，点(π6,0)为曲线y ＝f(x)的对称中心．若将函数y ＝f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(0)＝________−√3 ．已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线与双曲线C 的左支相交于点A ，与双曲线的右支相交于点B ，O 为坐标原点．若2|BF 2|＝3|AF 1|，且|F 1F 2|＝2|OB|，则双曲线C 的渐近线方程为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．在数列{a n }中，a 1＝1，对∀n ∈N ∗，na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =√a a ，求数列{b n }的前n 项和S n ．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，BC // AD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，AD ＝AP ＝2，E 为PD 的中点，F 为BP 的中点．（1）求证：CE // 平面PAB ；（2）求点D 到平面PBC 的距离．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下的空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解A 城市2019年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5日均值数据中随机抽取30天的数据作为样本，日均值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求30天样本数据的平均数；（2）从A 城市共采集的30个数据样本中，从PM2.5日均值在[70, 90]范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；（3）以这30天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况，求A 城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级、二级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）已知抛物线C:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，点F 到直线x −y +1＝0的距离为√2．（1）求抛物线C 的方程（2）点O为坐标原点，直线l1，l2经过点M(−1, 0)，斜率为k1的直线l1与抛物线C交于A，B两点，斜率为k2，求λ的最小值．的直线l2与抛物线C交于D，E两点，记λ＝|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|，若k1k2=−12已知函数f(x)＝x2−2ax+2ln x(a∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x1，x2(x2>x1)，求证：f(x2)−f(x1)<(2−a)(x2−x1)．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(1, 0)；以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长)，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ．度建立极坐标系，点M的极坐标为(2√2,3π4（1）若点N为曲线C1上的动点，求线段MN的中点T的轨迹C2的直角坐标方程；（2）在（1）的条件下，若过点P的直线l与曲线C2相交于A，B两点，求|PA|⋅|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x−2|+|x+1|．（1）求不等式f(x)≤4的解集；(m>0)的最小值．（2）若函数y＝f(x)+|x+1|的最小值为k，求km+2m2参考答案与试题解析2020年河南省高考数学质检试卷（文科）（6月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【解答】∵ 集合A ＝{x|x(x −2)≤0}＝{x|0≤x ≤2}， B ＝{x|x >1}，∴ A ∩B ＝{x|1<x ≤2}＝(1, 2]． 2.【答案】 D【考点】 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】 ∵ z =1−i i+2i =(1−i)(−i)−i +2i =−1−i +2i =−1+i ，∴ |z|=√(−1)2+12=√2． 3. 【答案】 C【考点】 正弦定理 【解析】由题意利用三角形的面积公式可得sin 2C =14，结合sin C >0，可求sin C 的值，结合C 的范围即可求解C 的值． 【解答】由题意可得：△ABC 的面积为ab8sin C =12ab sin C ， 可得：sin 2C =14，由于C ∈(0, π)，sin C >0， 所以sin C =12，可得C =π6或5π6．4.【答案】 A【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由已知利用平方差公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解． 【解答】 (cos 5π12+cos π12)(cos5π12−cos π12)=cos 25π12−cos 2π12=1+cos5π62−1+cos π62=1−√322−1+√322=−√32． 5.【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据题意，求出两个不等式的解集，分析其解集之间的关系，结合集合与充分必要条件的关系分析可得答案． 【解答】根据题意，不等式(x −3)ln x >0⇒{x −3>0ln x >0 或{x −3<0ln x <0 ，解可得0<x <1或x >3，即不等式的解集为{x|0<x <1或x >3}，2x >8，解可得x >3，即不等式的解集为{x|x >3}， 又由{x|x >3}⊆{x|0<x <1或x >3}，则“(x −3)ln x >0”是“2x >8”的必要不充分条件； 6.【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值． 【解答】作出实数x ，y 满约束条件{2x −3y +4≥0,2x +y −4≤0,2x +5y +4≥0,对应的平面区域（阴影部分），由z＝2x−y，得y＝2x−z，平移直线y＝2x−z，由图象可知当直线y＝2x−z经过点B(−2, 0)时，直线y＝2x−z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z＝−4，7.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据题意，由函数的解析式分析f(1)与f(−1)的符号，利用排除法分析可得答案．【解答】根据题意，函数f(x)＝x ln(√x2+1−x)，则f(1)＝ln(√2−1)<0，排除BC，f(−1)＝−ln(√2+1)<0，排除A，故选：D．8.【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）模拟方法估计概率【解析】根据题意，由圆的半径求出圆的面积以及圆的内接正二十四边形的面积，结合几何概型的知识可得S ′S =3√6−3√2π=ba，变形即可得答案．【解答】根据题意，圆O的半径为1，则其面积S＝π，其内接正二十四边形的面积S′＝24×(12×1×1×sin15∘)＝3√6−3√2，现随机向圆O内投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正二十四边形内，则有S′S=3√6−3√2π=ba，变形可得：π=(3√6−3√2)ab；9.【答案】A【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据平面向量的数量积与模长、夹角公式，即可求出向量a→与b→夹角的余弦值．【解答】由(a→+2b→)⊥(a→−2b→),(a→+b→)⊥(a→+3b→)，所以(a→+2b→)⋅(a→−2b→)＝0，且(a→+b→)⋅(a→+3b→)＝0；即a→2−4b→2=0，所以|a→|＝2|b→|；且a→2+4a→⋅b→+3b→2=0，代入得4|b→|2+8|b→|2cosθ+3|b→|2=0，解得cosθ=−78；所以向量a→与b→夹角的余弦值为−78．10.【答案】D【考点】对数值大小的比较【解析】根据f(x)的解析式即可判断f(x)在(0, +∞)上是增函数，并且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，并且可判断a>1>b>0>c，从而可得出f(a)，f(b)和f(c)的大小关系．【解答】f(x)在(0, +∞)上是增函数，且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，b=log3812<log3912=1，a＝50.01>50＝1，c＝log30.9<log31＝0，∴0<b<1，a>1，c<0，∴f(a)>f(b)>0>f(c)∴f(a)>f(b)>f(c)．11.【答案】C【考点】椭圆的离心率【解析】由题意画出图形，利用勾股定理列式可得b2＝3c2，结合隐含条件即可求得椭圆C的离心率．【解答】设O为坐标原点，△BF1F2的外心必在线段OB上，且有c2+(b−2b3)2=(2b3)2，得b2＝3c2，即a2−c2＝3c2，得a＝2c，∴椭圆C的离心率为e=ca =12．12.【答案】D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】设AB＝a，BC＝b，由三棱锥P−ABC外接球表面积得外接球的半径，再由已知结合勾股定理列式求得AP及a2+b2的值，把PB，BD用含有a的代数式表示，过D作DE⊥AB，可得DE⊥平面ABC，利用三角形相似把DE用含有a的代数式表示，可得V P−ACD＝V P−ABC−V D−ABC，整理后利用基本不等式求最值．【解答】设AB＝a，BC＝b，由三棱锥P−ABC外接球表面积为8π，得外接球的半径为√2，又PA⊥平面ABC，得AB⊥BC，∴AB2+BC2+AP2＝AC2+AP2＝2AP2＝(2R)2，得AP＝2，∴a2+b2＝4．∵PA⊥平面ABC，AD⊥BP，∴PB=√4+a2，BD=2√4+a2，过D作DE⊥AB，垂足为E，则DE⊥平面ABC，∴DE // PA，可得DEPA =BDPB，则DE=2a24+a2．∴V P−ACD＝V P−ABC−V D−ABC=13S△ABC⋅(PA−DE)=16ab⋅(2−2a24+a2)=4ab3(4+a2)=4ab3(2a2+b2)=43(2ab+ba)≤62=√23．当且仅当2ab =ba，即a=2√33，b=2√63时，等号成立．∴三棱锥P−ACD体积的最大值为√23．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】3x−y−1＝0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程．【解答】由y′=4x−1x=3得：x=1,x=−14（舍）．所以切点坐标为(1, 2)．故切线方程为y−2＝3(x−1)．即3x−y−1＝0．【答案】−√3【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，先求出函数g(x)的解析式，从而求得g(0)的值．【解答】函数f(x)＝sinωx+a cosωx(0<ω<5, a>0)对任意的x1，x2都有f(x1)+f(x2)≥−4，且存在x0∈R，f(x0)＝−2，∴−√1+a2=−2，故a=√3，函数f(x)＝sinωx+√3cosωx＝2sin(ωx+π3)．∵点(π6,0)为曲线y＝f(x)的对称中心，∴ω×π6+π3=kπ，k∈Z，∴ω＝4，f(x)＝2sin(4x+π3)．若将函数y＝f(x)的图象向右平移π4个单位长度，得到函数g(x)＝2sin(4x−π+π3)＝2sin(4x−2π3)的图象，则g(0)＝2sin(−2π3)＝−2sinπ3=−√3，【答案】2x±y＝0【考点】双曲线的离心率【解析】设|AF1|＝2m，m>0，求得|BF2|，运用双曲线的定义可得|AF2|，|BF1|，|AB|，推得BF1⊥BF2，运用勾股定理推得m=2a3，b＝2a，可得双曲线的渐近线方程．【解答】设|AF1|＝2m，m>0，则|BF2|＝3m，因为|AF2|−|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2m+2a，同理可得|BF1|＝2a+3m，所以|AB|＝|BF1|−|AF1|＝2a+3m−2m＝2a+m，因为|F1F2|＝2|OB|，所以BF1⊥BF2，在直角三角形ABF2中，|AF2|2＝|AB|2+|BF2|2，即(2m+2a)2＝(2a+m)2+9m2，解得m=2a3，则|BF2|＝2a，|BF1|＝4a，在直角三角形BF1F2中，由|F1F2|2＝|BF1|2+|BF2|2，即4(a2+b2)＝16a2+4a2，可得b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 【答案】∵ na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)，∴ an+1n+1−a n n=1，又a11=1，∴ 数列{an n)是首项、公差均为1的等差数列．∴ ann =n ，a n ＝n 2；由（1）得a n ＝n 2，∴ b n =a a =1n(n+1)=1n −1n+1，∴ S n ＝(1−12)+(12−13)+...+(1n −1n+1)＝1−1n+1=nn+1． 【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】（1）先由na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)⇒a n+1n+1−a n n=1，进而说明数列{ann )是首项、公差均为1的等差数列，求出ann ，即可求得a n ；（2）先由（1）中求得的a n 求出b n ，再利用裂项相消法即可求得其前n 项和S n ．【解答】∵ na n+1−(n +1)a n ＝n(n +1)，∴a n+1n+1−a n n=1，又a 11=1，∴ 数列{ann )是首项、公差均为1的等差数列．∴a n n=n ，a n ＝n 2；由（1）得a n ＝n 2，∴ b n =a a =1n(n+1)=1n −1n+1， ∴ S n ＝(1−12)+(12−13)+...+(1n−1n+1)＝1−1n+1=nn+1．【答案】证明：如图，取AP 的中点G ，连接EG ，BG ，∵ DE ＝PE ，AG ＝PG ，∴ GE // AD 且AD ＝2GE ． ∵ AD ＝2，∴ GE ＝1．∵ BC // AD ，BC ＝1，∴ GE // BC 且GE ＝BC ， ∴ 四边形BCEG 为平行四边形， ∴ CE // BG ．又∵ BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴ CE // 平面PAB ．如图，过点A 作AH ⊥BP ，垂足为H ．∵ AP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ AP ⊥BC ．∵ BC ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，又AB ，AP ⊂平面PAB ，∴ BC ⊥平面PAB ． ∵ AH ⊂平面PAB ，∴ AH ⊥BC ．∵ AH ⊥BP ，BP ∩BC ＝B ，BP ，BC ⊂平面PBC ，∴ AH ⊥平面PBC ． 在Rt △APB 中，BP√AB 2+AP 2=√5，AH =AB×AP BP=√5=2√55． ∵ AD // BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，∴ AD // 平面PBC ， ∴ 点D 到平面PBC 的距离与点A 到平面的距离相等， 故点D 到平面PBC 的距离为2√55．（注：也可利用V P−BCD ＝V D−PBC 求解）【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】（1）取AP 的中点G ，连接EG ，BG ，证明四边形BCEG 为平行四边形，则有CE // BG ，即可证CE // 平面PAB ； （2）过点A 作垂足为H ，证明AH ⊥平面PBC ，又AD // BC ，所以点D 到平面PBC 的距离即为AH 长，求解AH 即可． 【解答】证明：如图，取AP 的中点G ，连接EG ，BG ，∵ DE ＝PE ，AG ＝PG ，∴ GE // AD 且AD ＝2GE ． ∵ AD ＝2，∴ GE ＝1．∵ BC // AD ，BC ＝1，∴ GE // BC 且GE ＝BC ， ∴ 四边形BCEG 为平行四边形， ∴ CE // BG ．又∵ BG ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， ∴ CE // 平面PAB ．如图，过点A 作AH ⊥BP ，垂足为H ．∵ AP ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴ AP ⊥BC ．∵ BC ⊥AB ，AB ∩AP ＝A ，又AB ，AP ⊂平面PAB ，∴ BC ⊥平面PAB ． ∵ AH ⊂平面PAB ，∴ AH ⊥BC ．∵ AH ⊥BP ，BP ∩BC ＝B ，BP ，BC ⊂平面PBC ，∴ AH ⊥平面PBC ． 在Rt △APB 中，BP√AB 2+AP 2=√5，AH =AB×AP BP=√5=2√55． ∵ AD // BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，∴ AD // 平面PBC ， ∴ 点D 到平面PBC 的距离与点A 到平面的距离相等， 故点D 到平面PBC 的距离为2√55．（注：也可利用V P−BCD ＝V D−PBC 求解）【答案】30天样本数据的平均数为x ¯=130×(20+60+150+160+200+300+210+160+180+16+21+19+18+19+23+16+9+9)＝53；从A 城市所采集的30个数据样本中，PM2.5日均值在[70, 90]内的共有5天， 而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天； 记PM2.5日均值超标的3天为a ，b ，c ，不超标的2天为x ，y ； 则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果（不记顺序）：(a, b)、(a, c)、(a, x)、(a, y)、(b, c)、(b, y)、(c, x)、(c, y)、(x, y)， 其中，抽出2天的PM2.5日均值均超标的情况有3种：(a, b)、(a, c)、(b, c)， 由古典概型知，抽到2天的PM2.5日均值均超标的概率为P =310；在抽取的30天样本数据中，A 城市有8天达到一级，有17天达到二级．由样本估计总体知，A 城市一年按35天计算）中空气质量达到一级的天数约为：365×830=2923≈97（天），A 城市一年（按365天计算）中空气质量达到二级的天数约为：365×1730=12416≈207（天）；所以估计A 城市一年中空气质量为一级约有97天，空气质量为二级约有207天．【考点】 茎叶图 【解析】（1）根据茎叶图中数据计算平均数即可；（2）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； （3）利用样本数据估计总体数据即可． 【解答】30天样本数据的平均数为 x ¯=130×(20+60+150+160+200+300+210+160+180+16+21+19+18+19+23+16+9+9)＝53；从A 城市所采集的30个数据样本中，PM2.5日均值在[70, 90]内的共有5天， 而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天； 记PM2.5日均值超标的3天为a ，b ，c ，不超标的2天为x ，y ； 则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果（不记顺序）：(a, b)、(a, c)、(a, x)、(a, y)、(b, c)、(b, y)、(c, x)、(c, y)、(x, y)， 其中，抽出2天的PM2.5日均值均超标的情况有3种：(a, b)、(a, c)、(b, c)， 由古典概型知，抽到2天的PM2.5日均值均超标的概率为P =310； 在抽取的30天样本数据中，A 城市有8天达到一级，有17天达到二级．由样本估计总体知，A 城市一年按35天计算）中空气质量达到一级的天数约为：365×830=2923≈97（天），A 城市一年（按365天计算）中空气质量达到二级的天数约为：365×1730=12416≈207（天）；所以估计A 城市一年中空气质量为一级约有97天，空气质量为二级约有207天． 【答案】点F 的坐标为(p2, 0)，点F 到直线x −y +1＝0的距离为|p 2+1|√2=√2，因为p >0，所以p ＝2．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立方程{y 2=4x y =k 1(x +1) 消去y 后整理为，k 12x 2+(2k 12−4)x +k 12＝0，由题意得{k 1≠0△=(2k 12−4)2−4k 12>0 ，所以0<k 1<1， 所以x 1+x 2=4−2k 12k 12，x 1x 2＝1，又|MA|=√(x 1+1)2+y 12=√(x 1+1)2+k 12(x 1+1)2=√1+k 12|x 1+1|， 则|MB|=√1+k 12|x 2+1|，且x 1，x 2>0，所以|MA|⋅|MB|＝(1+k 12)(x 1+1)(x 2+1)＝(1+k 12)(x 1x 2+x 1+x 2+1)＝(1+k 12)(4−2k 12k 12+2)=4(1+k 12)k 12，同理，|MD|⋅|ME|=4(k 22+1)k 22．所以λ＝|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|=16(1+k 12)(1+k 22)k 12k 22＝64(1+k 12)(1+k 22)＝64(k 12+k 22+54)≥64(2|k 1k 2|+54)＝64(1+54)＝144（当且仅当k 1=−√22，k 2=√22时取等号）．所以λ的最小值为144．【考点】直线与抛物线的位置关系 【解析】（1）求得F 的坐标，由点到直线的距离公式可得p ，进而得到抛物线的方程；（2）设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立直线l 1和抛物线的方程，运用韦达定理和两点的距离公式，求得|MA|，|MB|，同理可得|MD|，|ME|，可得λ的式子，化简整理由基本不等式可得所求最小值． 【解答】点F 的坐标为(p2, 0)，点F 到直线x −y +1＝0的距离为|p 2+1|√2=√2，因为p >0，所以p ＝2．所以抛物线C 的方程为y 2＝4x ．设点A ，B 的坐标分别为(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，联立方程{y 2=4x y =k 1(x +1) 消去y 后整理为，k 12x 2+(2k 12−4)x +k 12＝0，由题意得{k 1≠0△=(2k 12−4)2−4k 12>0 ，所以0<k 1<1，所以x 1+x 2=4−2k 12k 12，x 1x 2＝1，又|MA|=√(x 1+1)2+y 12=√(x 1+1)2+k 12(x 1+1)2=√1+k 12|x 1+1|， 则|MB|=√1+k 12|x 2+1|，且x 1，x 2>0，所以|MA|⋅|MB|＝(1+k 12)(x 1+1)(x 2+1)＝(1+k 12)(x 1x 2+x 1+x 2+1)＝(1+k 12)(4−2k 12k 12+2)=4(1+k 12)k 12，同理，|MD|⋅|ME|=4(k 22+1)k 22．所以λ＝|MA|⋅|MB|⋅|MD|⋅|ME|=16(1+k 12)(1+k 22)k 12k 22＝64(1+k 12)(1+k 22)＝64(k 12+k 22+54)≥64(2|k 1k 2|+54)＝64(1+54)＝144（当且仅当k 1=−√22，k 2=√22时取等号）．所以λ的最小值为144． 【答案】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)＝2x −2a +2x =2(x 2−ax+1)x，①当a ≤0时，x 2−ax +1>0恒成立，即f ′(x)>0，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当0<a ≤2时，△≤0，f ′(x)>0恒成立，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；③当a >2时，令f ′(x)>0，得0<x <a−√a 2−42或x >a+√a 2−42，函数f(x)单调递增；令f ′(x)<0，得a−√a 2−42<x <a+√a 2−42，函数f(x)单调递减．综上所述，当a ≤2时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a >2时，函数f(x)在(0, a−√a 2−42)和(a+√a 2−42, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−42, a+√a 2−42)上单调递减．证明：由（1）知，x 1、x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个不同正根且{x 1+x 2=ax 1x 2=1，∴ 0<x 1<1<x 2．∴ f(x 2)−f(x 1)＝(x 22−2ax 2+2ln x 2)−(x 12−2ax 1+2ln x 1)＝(x 22−x 12)−2a(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=(x 22−x 12)−2(x 2+x 1)(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=−(x 22−x 12)+2ln x2x 1．∵ (2−a)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−a(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 2+x 1)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 22−x 12)，∴ 要证f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)，只需证2lnx 2x 1<2(x 2−x 1)．∵ x 1x 2＝1，∴ 只需证ln x 22<x 2−1x 2，即证x 2−1x 2−2ln x 2>0．令g(x)＝x −1x −2ln x(x >1)，则g ′(x)＝1+1x 2−2x =(1x −1)2>0，∴ 函数g(x)在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(1)＝0，即x 2−1x 2−2ln x 2>0．故若f(x)存在两个极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，则f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 【解析】（1）函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)2(x 2−ax+1)x，然后分a ≤0，0<a ≤2和a >2三类讨论f ′(x)与0的大小关系，从而得f(x)的单调性；（2）由（1）知，x 1、x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个不同正根且{x 1+x 2=ax 1x 2=1，故0<x 1<1<x 2；于是可将f(x 2)−f(x 1)化简为(x 22−x 12)+2ln x2x 1，将(2−a)(x 2−x 1)化简为2(x 2−x 1)−(x 22−x 12)，然后利用分析法将原问题转化为证明x 2−1x 2−2ln x 2>0恒成立；构造函数g(x)＝x −1x−2ln x(x >1)，利用导数判断其单调性，并求最小值即可得证． 【解答】函数f(x)的定义域为(0, +∞)，f ′(x)＝2x −2a +2x =2(x 2−ax+1)x，①当a ≤0时，x 2−ax +1>0恒成立，即f ′(x)>0，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； ②当0<a ≤2时，△≤0，f ′(x)>0恒成立，∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；③当a >2时，令f ′(x)>0，得0<x <a−√a 2−42或x >a+√a 2−42，函数f(x)单调递增；令f ′(x)<0，得a−√a 2−42<x <a+√a 2−42，函数f(x)单调递减．综上所述，当a ≤2时，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增； 当a >2时，函数f(x)在(0, a−√a 2−42)和(a+√a 2−42, +∞)上单调递增，在(a−√a 2−42, a+√a 2−42)上单调递减．证明：由（1）知，x 1、x 2是方程x 2−ax +1＝0的两个不同正根且{x 1+x 2=ax 1x 2=1，∴ 0<x 1<1<x 2．∴ f(x 2)−f(x 1)＝(x 22−2ax 2+2ln x 2)−(x 12−2ax 1+2ln x 1)＝(x 22−x 12)−2a(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=(x 22−x 12)−2(x 2+x 1)(x 2−x 1)+2ln x 2x 1=−(x 22−x 12)+2ln x2x 1．∵ (2−a)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−a(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 2+x 1)(x 2−x 1)＝2(x 2−x 1)−(x 22−x 12)，∴ 要证f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)，只需证2ln x2x 1<2(x 2−x 1)．∵ x 1x 2＝1，∴ 只需证ln x 22<x 2−1x 2，即证x 2−1x 2−2ln x 2>0．令g(x)＝x −1x −2ln x(x >1)，则g ′(x)＝1+1x 2−2x =(1x −1)2>0，∴ 函数g(x)在(1, +∞)上单调递增， ∴ g(x)>g(1)＝0，即x 2−1x 2−2ln x 2>0．故若f(x)存在两个极值点x 1，x 2(x 2>x 1)，则f(x 2)−f(x 1)<(2−a)(x 2−x 1)． [选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】点M 的直角坐标方程为(−2, 2)，将ρ=√x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ代入曲线C 1的极坐标方程，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−4x ＝0，整理为(x −2)2+y 2＝4． 设点T 的坐标为(x, y)，点N 的坐标为(m, n)，则(m −2)2+n 2＝4． 由T 为MN 的中点，则有{2x =m −22y =n +2，得{m =2x +2n =2y −2 ，代入(m −2)2+n 2＝4，可得4x 2+(2y −2)2＝4，整理得x 2+(y −1)2＝1．故线段MN 的中点T 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+(y −1)2＝1． 设直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的参数方程为{x =1+t cos θy =t sin θ （t 为参数），A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2．将直线l 的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程后整理得： t 2+2(cos θ−sin θ)t +1＝0， 由韦达定理得t 1+t 2＝−2(cos θ−sin θ)，t 1⋅t 2＝1， 所以|PA|⋅|PB|＝|t 1t 2|＝1． 所以|PA|⋅|PB|的值的值为1． 【考点】轨迹方程 【解析】（1）先根据直角坐标系与极坐标系坐标之间的关系求出M 点的直角坐标系坐标与曲线C 1的直角坐标系方程，再利用T 为MN 的中点这个条件求出N 点坐标与T 点坐标之间的关系，再代入到方程(m −2)2+n 2＝4中即可得到x ，y 的关系，即线段MN 的中点T 的轨迹C 2的直角坐标方程；（2）先求出直线l 的标准的参数方程，再与曲线C 2联立，结合参数t 的几何意义即可求出|PA|⋅|PB|的值． 【解答】点M 的直角坐标方程为(−2, 2)，将ρ=√x 2+y 2,x =ρcos θ,y =ρsin θ代入曲线C 1的极坐标方程，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−4x ＝0，整理为(x −2)2+y 2＝4． 设点T 的坐标为(x, y)，点N 的坐标为(m, n)，则(m −2)2+n 2＝4． 由T 为MN 的中点，则有{2x =m −22y =n +2，得{m =2x +2n =2y −2 ，代入(m −2)2+n 2＝4，可得4x 2+(2y −2)2＝4， 整理得x 2+(y −1)2＝1．故线段MN 的中点T 的轨迹C 2的直角坐标方程为x 2+(y −1)2＝1． 设直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的参数方程为{x =1+t cos θy =t sin θ （t 为参数），A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2．将直线l 的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程后整理得： t 2+2(cos θ−sin θ)t +1＝0， 由韦达定理得t 1+t 2＝−2(cos θ−sin θ)，t 1⋅t 2＝1， 所以|PA|⋅|PB|＝|t 1t 2|＝1． 所以|PA|⋅|PB|的值的值为1． [选修4-5：不等式选讲]【答案】①当x ≤−1时，原不等式可化为2−2x −(x +1)≤4，得x ≥−1，故有x ＝−1；②当−1<x <1时，原不等式可化为2−2x +x +1≤4，得x >−1，故有−1<x <1； ③当x ≥1时，原不等式可化为2x −2+x +1≤4，解得x ≤53，故有1≤x ≤53 综上，不等式的解集为[−1, 53]．因为y ＝f(x)+|x +1|＝2|x −1|+2|x +1|≥2|x −1+x +1|＝4， 所以k ＝4． 所以km +2m 2=4m +2m2=2m +2m +2m2≥3√2m ⋅2m ⋅2m 23=6，当且仅当2m =2m 2，即m ＝1时“＝”成立， 所以km +2m 2的最小值为6． 【考点】函数的最值及其几何意义 绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）对x进行讨论，化简绝对值，进而可求不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质可求f(x)的最小值，进而可求k，然后结合基本不等式即可求解．【解答】①当x≤−1时，原不等式可化为2−2x−(x+1)≤4，得x≥−1，故有x＝−1；②当−1<x<1时，原不等式可化为2−2x+x+1≤4，得x>−1，故有−1<x<1；③当x≥1时，原不等式可化为2x−2+x+1≤4，解得x≤53，故有1≤x≤53综上，不等式的解集为[−1, 53]．因为y＝f(x)+|x+1|＝2|x−1|+2|x+1|≥2|x−1+x+1|＝4，所以k＝4．所以km+2m2=4m+2m2=2m+2m+2m2≥3√2m⋅2m⋅2m23=6，当且仅当2m=2m2，即m＝1时“＝”成立，所以km+2m的最小值为6．第21页共22页◎第22页共22页。
2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)(有解析)
2020年河南省天一大联考高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1<x≤3}，B={−2,−1,0，3，4}，则A∩B=()A. {0}B. {0,3}C. {−1,0，3}D. {0,3，4}2.设z=2i1−i+2+i，则复数z的虚部为()A. 2B. 2iC. 1D. i3.如果a<0,b>0，那么下列不等式中正确的是()A. 1a <1bB. √−a<√bC. a2<b2D. |a|>|b|4.下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法正确的是()A. 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年B. 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台C. 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台D. 从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%5.将函数f(x)=sin(2x+φ)，|φ|<π2的图象向左平移π6个单位后的图象关于原点对称，则函数f(x)在[0,π2]上的最小值为()A. √32B. 12C. −12D. −√326.等差数列{a n}的前n项和为S n，S7−S5=24，a3=5，则S7=()A. 25B. 49C. 15D. 407.已知sin(π3+α)=cos(π3−α)，则cos2α=()A. 0B. 1C.√22D.√328. 已知点F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线x =a 与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A ，若AF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A. √5B. 1+√2C. 1+√5D. −1+√59. 执行下面的程序若输人的n 为2018，则输出的是( )A. 前1008个正偶数的和B. 前1009个正偶数的和C. 前2016个正整数的和D. 前2018个正整数的和10. 过抛物线x 2=4y 的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则1|AB|+1|CD|=( )A. 2B. 4C. 12D. 1411. 已知函数f(x)={2x ,x <0x −a,x ≥0，以下说法正确的是( )A. ∀a ∈R ，函数f(x)在定义域上单调递增B. ∀a ∈R ，函数f(x)存在零点C. ∃a ∈R ，函数f(x)有最大值D. ∃a ∈R ，函数f(x)没有最小值12. 如图，在四棱锥P −ABCD 中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 为CD 中点，F 为PA 中点，且PA =AB =2.则三棱锥P −BEF 的体积为( )A. 13 B. 23C. 43D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若b⃗ =(1,1)，a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√7，则|a⃗|=______ ．14.下面几种推理过程①某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班人数都超过60人②根据三角形的性质，可以推测空间四面体的性质③平行四边形对角线互相平分，矩形是平行四边形，所以矩形的对角线互相平分④在数列{a n}中，a1=1,a n+1=2a n2+a n,n∈Ν∗，计算a2,a3,由此归纳出{a n}的通项公式其中是演绎推理的的序号为_________．15.圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，则圆柱的侧面积为______ ．16.在△ABC中，若BC=6,AB=4,cosB=13，那么AC=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设满足a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{√a+√a}的前84项和．18. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC =4，CB =2，AA 1=2，∠ACB =60°，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点． (1)证明：C 1F//平面ABE ；(2)设P 是BE 的中点，求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．19. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得如下数据： 单价t(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件)908483807568(Ⅰ)求回归直线方程y =bt +a ；(Ⅱ)当单价t 为10元时，预测该产品的销量． 附：回归方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(n i−l ti−t −)(yi−y −)∑(n i−l ti−t −)2=∑t n i−l iyi−nt −y −∑t n i−li 2−nt−2，a ̂=y −−b ̂t −．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为，点P 是椭圆E 上的一个动点，△PF 1F 2的周长为6，且存在点P 使得，△PF 1F 为正三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若A ，B ，C ，D 是椭圆E 上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若AC 的斜率为√3，求四边形ABCD 的面积．21. 求函数f(x)=lnx +x +2x −1在点(2,f(2))处的切线方程．22. 平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为为参数)，以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程ρcos(θ−π4)=√2． (I)求C 1和C 2交点的直角坐标；(II)倾斜角为α的直线l 过点E(√3,0)，且直线l 与C 1交于A ，B 两点，若|EA|+|EB|=4，求α的值．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x−1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵A={x|−1<x≤3}，B={−2,−1,0，3，4}，∴A∩B={0,3}，故选：B．根据集合的交集的运算求出即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，是一道基础题．2.答案：A解析：解：∵z=2i1−i +2+i=2i(1+i)(1−i)(1+i)+2+i=1+2i，∴复数z的虚部为2．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：A解析：∵a<0∴1a <0∵b>0∴1b>0故1a<1b.若a=−2,b=2，则√−a=√b，故B不正确，同理a2=b2，故C也不正确；|a|=|b|，故D也不正确．4.答案：D解析：本题考查统计图表与用样本估计总体.利用图表数据分析即可求得，属简单题．解：由图表知，A.从2016年起，私人类电动汽车充电桩保有量年增长率分别为6.3−0.80.8=687.5％，23.2−6.36.3≈268％，47.7−23.223.2≈106％，60.5−47.747.7≈27％，其中最高的年份是2016年，故A错误；BC.公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是21.4万台，又由于4.9+14.1+21.4+30+44.75=23.02，故BC 错误；D.图表可知，从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%，故D正确．故选D．5.答案：D解析：本题考查了三角函数的图象变换、三角函数的奇偶性及三角函数的值域的应用．由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求出g(x)的解析式，再根据题意求x∈[0,π2]时的最小值即可．解：∵函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移π6个单位后所得图象对应的函数解析式为：y=sin[2(x+π6)+φ]=sin(2x+π3+φ)为奇函数，∴π3+φ=kπ，即φ=kπ−π3，k∈Z，∵|φ|<π2，∴φ=−π3，∴f(x)=sin(2x−π3)，又x∈[0,π2]，∴2x∈[0,π]，2x−π3∈[−π3,2π3]，∴−√32≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在[0,π2]上的最小值−√32．故选D．6.答案：B解析：本题考查等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．解：设等差数列{a n}的公差为d．由等差数列的性质可得：S7−S5=24=a6+a7，a3=5，∴2a1+11d=24，a1+2d=5，解得a1=1，d=2，则S7=7+×2=49．故选B．7.答案：A解析：本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简已知等式可得cosα=sinα，进而根据二倍角的余弦函数公式即可求解．解：∵sin(π3+α)=cos(π3−α)，∴√32cosα+12sinα=12cosα+√32sinα，可得(√32−12)cosα=(√32−12)sinα，可得cosα=sinα，∴cos2α=cos2α−sin2α=0．故选：A．8.答案：D解析：解：设双曲线C：x2a2−y2b2=1的右焦点F(c,0)，双曲线的渐近线方程为y=bax，由x=a代入渐近线方程可得y=b，则A(a,b)，可得AF的中点为(a+c2,12 b)，代入双曲线的方程可得(a+c)24a2−14=1，可得4a2−2ac−c2=0，由e=ca，可得e2+2e−4=0，解得e=√5−1(−1−√5舍去)，故选：D．设出双曲线的右焦点和渐近线方程，可得将交点A 的坐标，运用中点坐标公式，可得中点坐标，代入双曲线的方程，结合离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，考查渐近线方程的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．9.答案：B解析：解：模拟程序的运行过程知， 该程序运行后计算并输出， S =2+4+6+⋯+2018的值． 故选：B ．模拟程序的运行过程，求出该程序运行后输出的S 值，即可得解． 本题考查了循环结构的应用问题，是基础题．10.答案：D解析：本题主要考查了抛物线的几何性质和直线与抛物线的位置关系，设出直线方程，联立直线与抛物线方程，消去x ，根据根与系数的关系，得到|AB|和|CD|的值，进而求得1|AB |+1|CD |．解：根据题意，抛物线的焦点为(0,1)，设直线AB 的方程为y =kx +1(k ≠0)，直线CD 的方程为y =−1k x +1，由{y =kx +1x 2=4y ，得y 2−(2+4k 2)y +1=0， 由根与系数的关系得y A +y B =2+4k 2， 所以|AB|=y A +y B +2=4+4k 2， 同理|CD|=y C +y D +2=4+4k 2，所以1|AB |+1|CD |=14k 2+4+k 24k 2+4=14，故选D．11.答案：D解析：解：对于A，当a=1时，f(0)=−1<12=f(−1)，函数f(x)在定义域上不是单调递增函数，故A错误；对于B，当a<0时，在区间[0,+∞)上，f(x)=x−a>0恒成立，在区间(−∞,0)上，f(x)=2x>0恒成立，所以函数f(x)在定义域内不存在零点，故B错误；对于C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，故C错误；对于D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，故D正确．故选：D．A，当a=1时，易求f(0)=−1<12=f(−1)，可判断A的正误；B，当a<0时，利用指数函数与二次函数的性质可知f(x)>0恒成立，从而可判断B的正误；C，当x≥0时，f(x)=x−a，无论a取何值，函数无最大值，据此可判断C的正误；D，∃a=1∈R，使得函数f(x)的值域为(0,+∞)，没有最小值，可判断D的正误．本题考查命题的真假判断与应用，考查分段函数的单调性质、最值应用，属于中档题．12.答案：B解析：求出S△PBF=12×PF×AB=1，E到平面PBF的距离AD=2，三棱锥P−BEF的体积V P−BEF=V E−PBF，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵在四棱锥P−ABCD中PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD中点，F为PA中点，且PA=AB=2．∴S△PBF=12×PF×AB=12×1×2=1，E到平面PBF的距离AD=2，∴三棱锥P−BEF的体积：V P−BEF=V E−PBF=13×S△PBF×AD=13×1×2=23．故选：B．13.答案：3解析：由已知利用数量积的性质可得√7=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ ，代入解出即可．本题考查了数量积的性质，属于基础题．解：∵b⃗ =(1,1)，∴|b⃗ |=√2．∵a⃗⋅b⃗ =2，|a⃗−b⃗ |=√7．∴√7=√a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ ，化为|a⃗|2=9，解得|a⃗|=3．故答案为：3．14.答案：③解析：本题考查简单的演绎推理，推理分为合情推理(特殊→特殊或特殊→一般)与演绎推理(一般→特殊)，合情推理包括类比推理与归纳推理．根据合情推理与演绎推理的概念即可作出判断．解：①选项，某校高二年级有10个班，1班62人，2班61人，3班62人，由此推测各班都超过60人，属于归纳推理;②选项，由三角形的性质，推测空间四面体性质，属于类比推理；③选项，具有明显的大前提，小前提，结论，属于典型的演绎推理的三段论形式;④选项，在数列{a n}中，a1=1，a n+1=2a n2+a n，n∈N∗，由此归纳出{a n}的通项公式，属于归纳推理；综上，可知，只有③选项为演绎推理．故答案为③．15.答案：4π解析：本题考查了圆柱的结构特征和侧面积计算，属于基础题．根据圆柱的结构特征可知底面半径和高，代入侧面积公式计算即可．解：∵圆柱的轴截面是正方形，且面积为4，∴圆柱的底面半径r=1，高ℎ=2，∴圆柱的侧面积S=2πrℎ=2π×1×2=4π．故答案为4π．16.答案：6解析：解：∵BC=6,AB=4,cosB=13，∴AC=√AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosB=√62+42−2×6×4×13=6．故答案为：6．直接利用余弦定理即可求值得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．17.答案：解：(1)由a1+13a2+15a3+⋯+12n−1a n=n，得a1=1，当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，∴12n−1a n=1，a n=2n−1(n≥2)，a1=1适合上式，∴a n=2n−1；(2)∵√a+√a =√a n+1−√a na n+1−a n=12(√a n+1−√a n)=12(√2n+1−√2n−1)．∴数列{√a+√a }的前84项和S84=12(√3−1+√5−√3+⋯+√169−√167)=12(13−1)=6．解析：(1)由已知递推式求得首项，且得到当n≥2时，a1+13a2+15a3+⋯+12n−3a n−1=n−1，与原递推式联立即可得到数列{a n}的通项公式；(2)利用裂项相消法求数列{√a+√a}的前84项和．本题考查数列递推式，考查了利用作差法求数列的通项公式，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．18.答案：(1)证明：取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ，在△ABC 中，FM//AB ，而FM ⊄面ABE ，∴FM//平面ABE ，在矩形ACC 1A 1中，E ，M 都是中点，∴C 1M//AE ，而C 1M ⊄平面ABE ，∴C 1M//平面ABE ，∵C 1M ∩FM =M ，∴平面FC 1M ⊄平面ABE ，∵C 1F ⊂平面FC 1M ，∴C 1F//平面ABE ，(2)取B 1C 1的中点H ，连接EH ，则EH//AB ，且EH =12AB =√3FM ， ∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴EH ⊥平面BB 1C 1C ，∵P 是BE 的中点，∴V P−B 1C 1F =12V E−B 1C 1F =12×13⋅S △B 1C 1F ⋅EH =12×13×2×√3=√33．解析：(1)根据线面平行的判定定理即可证明：C 1F//平面ABE ；(2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥P −B 1C 1F 的体积．本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算，根据相应的判定定理以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．19.答案：解：(Ⅰ)t −=16(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5，y −=16(90+84+83+80+75+68)=80，b ̂=∑t i 6i=1y i −6t −y−∑t i 26i=1−6t −2=−20，a ̂=y −−b ̂x −=250， ∴回归方程为y =−20t +250；(Ⅱ)在y =−20t +250中，取t =10，可得y =50．∴当单价t 为10元时，预测该产品的销量为50件．解析：(Ⅰ)由已知表格中的数据求得b ̂与a ̂的值，则线性回归方程可求；(Ⅱ)在(Ⅰ)中求得的回归方程中，取t =10求得y 值得答案．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 20.答案：解：(1)设c 为椭圆的半焦距，依题意，有：{2a +2c =6a =2c ，解得{a =2c =1， ∴b 2=a 2−c 2=3．故椭圆E 的方程为：x 24+y 23=1．(2)解：由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⇒AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33． 则AC ：y =√3(x +1)，BD ：y =−√33(x +1)． 联立{x 24+y 23=1y =√3(x +1)，得5x 2+8x =0，∴x =0或x =−85， ∴|AC|=√1+(√3)2|0−(−85)|=165． 联立{x 24+y 23=1y =−√33(x +1)，得13x 2+8x −32=0，∴x =−4±12√313， ∴|BD|=√33)−4+12√313−−4−12√313|=4813． ∴S ABCD =12|AC|×|BD|=12×165×4813=38465，故四边形ABCD 面积为38465．解析：(1)由题意列关于a ，c 的方程组，求得a ，c 的值，结合隐含条件求得b ，则椭圆方程可求； (2)由已知向量等式可得AC ⊥BD ，又k AC =√3，则k BD =−√33.分别写出AC 、BD 所在直线方程，联立直线方程与椭圆方程，可得|AC|、|BD|的值，代入四边形面积公式得答案． 本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 21.答案：解：函数f(x)的导数为f′(x)=1x +1−2x 2，所以切线的斜率 k =f′(2)=1，另切点的纵坐标y =f(2)=2+ln2，故切点为(2,2+ln2)，切线方程为y −ln2−2=x −2，整理得y =x +ln2．解析：求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，运用点斜式方程，即可得到切线方程． 本题考查导数的运用：求切线方程，运用点斜式方程和正确求导是解题的关键．22.答案：解：(I)曲线C 1的普通方程为x 2+y 2−2y =0，曲线C 2的直角坐标方程为x +y −2=0，联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 解得交点的坐标为(0,2)，(1,1)；(II)由题意，直线l 的参数方程为参数)，代入x 2+y 2−2y =0， 得，，设t 1，t 2为A ，B 的参数， 则，所以|EA|+|EB|=t 1+t 2=4， 即， ，由于0⩽α<π，故α=5π6．解析：本题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到参数方程、极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，属于中档题．(I)利用参数方程、极坐标方程与直角坐标的互化方法，得到C 1与C 2的直角方程，即可得出结论； (II)由题意可知，得到直线l 的参数方程，代入x 2+y 2−2y =0中，得到，根据|EA|+|EB|=t 1+t 2=4，即可求解． 23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x −1)+f(x +2)=|x −1|+|x +2|={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2．因为f(x −1)+f(x +2)<4，可得{2x +1<4x >1或−2≤x ≤1或{−2x −1<4x <−2， 所以−52<x <32，所以不等式的解集A ={x|−52<x <32}；(2)由(1)知m =1，则a +b +c =1，又a ，b ，c 均为正实数，1−a a ·1−b b ·1−c c=b +c a ·a +c b ·a +b c ≥2√bc a ·2√ac b ·2√ab c =8，当且仅当a =b =a =13时等号成立．所以1−a a ⋅1−b b ⋅1−c c ≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x −1)+f(x +2)={2x +1,x >13,−2≤x ≤1−2x −1,x <−2，然后由f(x −1)+f(x +2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a +b +c =m =1，然后利用基本不等式可知1−a a ·1−b b ·1−c c ≥2√bc a ·2√ac b ·2√ab c =8，从而证明1−a a ·1−b b ·1−c c ≥8，注意等号成立的条件．。
2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷1(6月份) (含答案解析)
2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷1（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.阅读如图所示的程序框图，若输入的a，b的值分别是2019，2020，则输出的a，b分别是()A. 2019，2019B. 2020，2019C. 2019，2020D. 2020，20202.已知点P(3,m)(m<0)为角α终边上一点，且sinα=m5，则tanα=()A. −35B. −53C. −34D. −433.二进制数10101(2)化为十进制数的结果为()A. 15B. 21C. 33D. 414.用秦九韶算法计算函数f(x)=2x4+3x3+5x−4，当x=2时，v2的值为()A. 10B. 2C. 12D. 145.函数f(x)=2sin(2x−π3)+3的最小值为()A. 5B. 1C. 3D. 46.程序框图如图所示，若输入值t∈(0,3)，则输出值S的取值范围是()A. (0,4)B. (0,4]C. [0,9]D. (0,3)7.某公司为了解职工每周参加体育锻炼的时间，随机抽取了300名职工进行调查，并将调查结果分为6组：[0,5),[5,10)，[10,15),[15,20)，[20,25),[25,30](单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图，则这300名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的人数为()A. 90B. 135C. 150D. 2108.一个年级有16个班级，每个班级学生从1到50号编排，为了交流学习经验，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这里运用的是()A. 分层抽样B. 抽签法C. 随机数表法D. 系统抽样9.若a，b分别为函数y=13sinx−1的最大值和最小值，则a+b等于()A. 23B. −23C. −43D. −210.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出x与销售额y(单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：x24568y3040605070经测算，年广告支出x与年销售额y满足线性回归方程y=b̂x+17.5，则b^的值为()A. 6.5B. 5.5C. 4.5D. 3.511.欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm，中间有边长为1cm的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是()A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π12.校学生会现从高一、高二年级各3名同学中选出两人参加志愿者活动，则选出的两人恰好高一和高二各一人的概率是()A. 12B. 13C. 35D. 25二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若一组样本数据2017，2019，x，2020，2018的平均数为2019，则该组样本数据的方差为______．14.若从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则至少选出1名女生的概率为_______(结果用分数表示)．15.若掷一颗质地均匀的骰子，则出现向上的点数大于4的概率是______16.有下列四个命题：①若α、β均为第一象限角，且α>β，则sinα>sinβ；②若函数y=2cos(ax−π3)的最小正周期是4π，则a=12；③函数y=sin2x−sinxsinx−1是奇函数；④函数y=sin(x−π2)在[0,π]上是增函数．其中正确命题的序号为________．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)图中语文成绩的众数是______ ．(2)求图中a的值；(3)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数(中位数要求精确到小数点后一位)．18.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分(满分100分)，将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．(1)求图中a的值，并求综合评分的中位数；(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率．19. 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 20122014 年份代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y(千亿元) 578911参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂=(ni=1t i −t)(y i −y)∑(n i=1t −t)2=∑t i ni=1y i −nty ∑t i 2n i=1−nt2，a ̂=y −b ̂t ，√2≈1.414． (Ⅰ)由散点图看出；可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明：(精确到0.01)(Ⅱ)建立y 与t 的回归方程：|≤1，则认为所得到回归方程是可靠的，现知2017年、2018年该地区城乡居(Ⅲ)如果|y i−yi民人民币储蓄存款分别为15千亿元、17千亿元，选取这两组数据检验，试问(Ⅱ)中所得的回归方程是否可靠⋅20.已知f(x)=|x|，g(x)=x−1．(1)若x是从区间[−3,4]上任取的一个实数，y=2，求满足f(x)≥|g(y)+1的概率．(2)若x、y都是从区间[0,4]上任取的一个实数，求满足f2(x)+g2(y)≤1的概率．21.下图是函数f(x)=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0,|ϕ|<π)的部分图象，求函数f(x)的解析式.222. 已知sinα=45，且，α是第二象限角．(1)求tanα的值；(2)求cos(2π−α)+sin(π+α)sin(π2+α)+cos(π2−α)的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题主要考查的是程序框图的有关知识，属于一般题型．【解答】解：输入2019，2020后，该程序框图的执行过程是x=2019，a=2020，b=2019，故选B．2.答案：D解析：【分析】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．由题可得sinα=2=m5，解出m即可得．【解答】解：因为sinα=√9+m2=m5，所以√9+m2=5，解得m=−4或4(不合题意，舍去)，所以tanα=m3=−43．故选D．3.答案：B解析：【分析】本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为十进制的方法，属于基础题．二进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数与该数位的权重的乘积，即可得到答案．【解答】解：10101(2)=1×20+0×21+1×22+0×23+1×24=21，故选：B．4.答案：D解析：解：∵f(x)=2x 4+3x 3+5x −4=(((2x +3)x +0)x +5)x −4， 当x =2时，v 0=2，v 1=2×2+3=7，v 2=7×2+0=14， 故选D ．f(x)=(((2x +3)x +0)x +5)x −4，进而得出答案．本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：B解析： 【分析】本题考查正弦三角函数的最值问题，属于基础题型． 直接根据正弦型函数的最值求解析式的最小值． 【解答】解：f(x)=2sin(2x −π3)+3，当2x −π3=2kπ−π2，即x =kπ−π12(k ∈Z)时， 函数f(x)min =−2+3=1， 故选B ．6.答案：B解析： 【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S ={3tt <14t −t 2t ≥1的值，分类讨论即可得解． 本题主要考查了程序框图和二次函数的性质，属于基本知识的考查． 【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S ={3tt <14t −t 2t ≥1的值， ∴当t ∈(0,1)时，0<3t <3；当t ∈[1,3)时，4t −t 2=4−(t −2)2∈[3,4]， ∴综上得：0<S ≤4． 故选：B ．7.答案：C解析：【分析】本题考查频率分布直方图，属于基础题目．由频率分布直方图求出每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的频率，进而求出答案即可．【解答】解：由直方图可得锻炼时间不低于15小时的频率为5×(0.06+0.03+0.01)=0.5，∴300名职工中每周参加体育锻炼的时间不低于15小时的人数为300×0.5=150．故选C．8.答案：D解析：解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选D．学生人数比较多，把每个班级学生从1到50号编排，要求每班编号为14的同学留下进行交流，这样选出的样本是具有相同的间隔的样本，是采用系统抽样的方法．本题考查系统抽样，当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分即将总体分段，分段的间隔要求相等，系统抽样又称等距抽样．9.答案：D解析：【分析】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于基础题．根据−1≤sinx≤1即可求解．【解答】解：由题意得，因为−1≤sinx≤1，所以函数y=13sinx−1的最大值和最小值分别是−23,−43,所以a+b=−2，故选D．10.答案：A解析：【分析】本题考查了线性回归方程经过样本中心的性质，属于基础题．求出x −,y −，代入回归方程计算b̂即可． 【解答】 解：x −=2+4+5+6+85=5，∴y −=30+40+60+50+705=50∵线性回归方程经过样本中心(5,50)， ∴50=b ̂×5+17.5，∴b ̂=6.5． 故选A ．11.答案：C解析： 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要求出铜钱面积的大小和中间正方形孔面积的大小，然后代入几何概型计算公式进行求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据几何概率的公式求解． 【解答】解：∵S 正=1，S 圆=π ∴P =1π， 故选C ．12.答案：C解析： 【分析】本题考查古典概型的概率计算公式，以及简单组合数的计算，属于基础题． 分别求出总事件数和满足条件的事件数计算即可． 【解答】解：设选出的两人恰好高一和高二各一人为事件A ，从6人中选2人共有C 62=15种选法，高一高二各一人共有C 31C 31=9种选法，∴P(A)=915=35． 故答案为C ．13.答案：2解析：【分析】本题考查了数据的方差的求解，直接根据公式计算即可．【解答】=2019，解：由已知可得2017+2019+x+2020+20185解得x=2021，∴S2=1[(2019−2017)2+(2019−2019)2+(2019−2021)2+(2019−2020)2+(2019−52018)2]=2，故答案为2．14.答案：57解析：【分析】本题考查古典概型，注意等可能事件概率计算公式、对立事件概率计算公式的合理运用，属基础题．【解答】解：从4名男生和3名女生中任选2人参加演讲比赛，则所有可能结果共有种，设事件A“所选2人都是男生”，则A事件“所选2人都是男生”包含的基本事件个数有种，，故至少选出1名女生的概率为．故答案为：．15.答案：13解析：【分析】本题考查概率求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n=6，则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2，由此能求出出现向上的点数大于4的概率．答案：解：掷一颗质地均匀的骰子，基本事件总数n=6，则出现向上的点数大于4包含的基本事件个数m=2，∴出现向上的点数大于4的概率p=mn =26=13．故答案为：13．16.答案：④解析：【分析】本题考查命题的真假判断与应用，正弦、余弦函数的图象与性质，突出考查正弦函数与余弦的周期性，奇偶性与单调性，属于基础题.利用正弦、余弦函数的图象与性质分别判断各命题，即可得正确命题．【解答】解：对于①，α=30°，β=−300°均为第一象限角，且α>β，但sin 30°=12<sin(−300°)=√32，故①错误；对于②，若函数y=2cos(ax−π3)的最小正周期是4π，即T=2π|a|=4π，则a=±12，故②错误；对于③，因为函数f(−x)=sin(−2x)−sin(−x)sin(−x)−1=sin2x−sinxsinx+1≠−sin2x−sinxsinx−1=−f(x)，所以函数y=sin2x−sinxsinx−1不是奇函数，故③错误；对于④，因为y=cosx在[0,π]上是减函数，所以函数y=sin(x−π2)=−cosx在[0,π]上是增函数，故④正确；综上所述，正确命题的序号为④．故答案为④．17.答案：解：(1)语文成绩的众数为60+702=65；(2)依题意得，10(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005.(3)这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05= 73(分)．设中位数为(70+x)分，则由0.005×10+0.04×10+0.03x=0.5解得x=53≈1.7，∴这100名学生语文成绩的中位数约为71.7分．解析：本题考查频率分布直方图，属于基础题． (1)利用众数的意义即可得出；(2)根据频率分布直方图中各小矩形面积之和等于1即可得出； (3)根据平均数和中位数的意义即可得出．18.答案：解：(1)由(0.005+0.010+0.025+a +0.020)×10=1，解得a =0.040．令中位数为x ，则(0.005+0.010+0.025)×10+0.040(x −80)=0.5，解得x =82.5， 所以综合评分的中位数为82.5．(2)由(1)与频率分布直方图可知，一等品的频率为 (0.040+0.020)×10=0.6， 即概率为0.6，所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个， 则一等品与非一等品的抽样比为3：2，所以现抽取5个产品，则有3个一等品，记为a ，b ，c ，2个非一等品，记为d ，e ，则从5个产品中抽取2个产品的所有情况为：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，(d,e)，共10种，而这2个产品中恰有一个一等品的情况为：(a,d)，(a,e)，(b,d)，(b,e)，(c,d)，(c,e)，共6种． 记事件A 为“从5个产品中抽取2个产品，这2个产品中恰有一个一等品”． 则P(A)=610=35．解析：本题考查频率分布直方图，众数、中位数、平均数，分层抽样，古典概型的计算与应用，考查计算能力，属于中档题．(1)由样本的频率和等于1，可得a 的值，再由频率直方图估计中位数的方法可得中位数为82.5； (2)由分层抽样可得现抽取5个产品，则有3个一等品，2个非一等品，列出所有基本事件，利用古典概型的计算公式可得这2个产品中恰有一个一等品的概率．19.答案：(Ⅰ)由所给数据求得t =3,y =8，5t ·y =120，∑t i 5i=1y i =1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134，∑t i 25i=1−nt 2=10，∑y i 25i=1−ny 2=20，所以r =20×10≈0.99， 因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系；(Ⅱ)由数据，求得b̂=1.4，a ̂=8−1.4×3=3.8.所以y 关于t 的线性回归方程为y ̂=1.4t +3.8； (Ⅲ)2017年，2018年所对年份代号为8，9，当t =8时，y ̂=1.4×8+3.8=15，|15−15|=0<1， 当t =9时，y ̂=1.4×9+3.8=16.4，|17−16.4|=0.6<1， 所以，所得到的线性回归方程是可靠的．解析：本题考查了线性规划以及回归分析，属于中档题．(Ⅰ)由所给数据求得t =3,y =8，5t ·y =120，∑t i 5i=1y i =1×5+2×7+3×8+4×9+5×11=134，∑t i 25i=1−nt 2=10，∑y i 25i=1−ny 2=20，带入公式可求相关系数， (Ⅱ)由数据，求得b̂=1.4，a ̂=8−1.4×3=3.8，可得y 关于t 的线性回归方程； (Ⅲ)2017年，2018年所对年份代号为8，9，带入回归方程可得预测值，作差检验即可．20.答案：解：(1)当y =2时，满足f (x )≥|g (y )+1，即为|x |⩾1+1，解得x ≥2或x ≤−2，若x 是从区间[−3,4]上任取的一个实数满足f (x )≥|g (y )+1的概率P =2+17=37．(2)若x 、y 都是从区间[0,4]上任取的一个实数，其表示的平面区域为，满足f 2(x)+g 2(y)⩽1，即x 2+(y −1)1≤1表示以(0,1)为圆心，半径为1的圆在正方形内的部分， 所以满足f 2(x )+g 2(y )≤1的概率．解析：本题考查集合概型与长度面积有关的问题，属于中档题．(1)根据不等式的解在区间[−3,4]内的长度即可求满足f (x )≥|g (y )+1的概率． (2)根据面积比求满足f 2(x )+g 2(y )≤1的概率．21.答案：f (x )=sin (2x +π6)解析：由图象知A =1，f (x )的最小正周期T =4×(5π12−π6)=π，故ω=2πT=2.将点(π6,1)代入f (x )的解析式得sin (π3+ϕ)=1， ∴π3+ϕ=2kπ+π2,k ∈Z ，即ϕ=2kπ+π6,k ∈Z ，又|ϕ|<π2，∴ϕ=π6.故函数f (x )的解析式为f (x )=sin (2x +π6)．22.答案：解：(1)∵sinα=45，且，α是第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−35，∴tanα=sinαcosα=−43．(2)cos(2π−α)+sin(π+α)sin(π2+α)+cos(π2−α)=cosα−sinαcosα+sinα=1−tanα1+tanα=1+431−43=−7．解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．(1)由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，可得tanα的值． (2)利用诱导公式、同角三角函数的基本关系求得所给式子的值．。
2020年6月2020届河南省高三高考考前6月适应性考试数学(文)试卷参考答案
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2020届河南省高三下学期6月质量检测数学(文)试卷参考答案
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2020届河南省高三下学期6月质量检测数学（文）试卷
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2020年河南省高考数学大联考试卷(文科)(6月份) (解析版)
2020年河南省高考数学大联考试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2﹣2x＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（0，1）D．（﹣1，0）2．已知z（1﹣i）＝5+i，则z＝（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2﹣3i D．2+3i3．“x≥”是“x+≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图．关于下列说法：①2022年我国5G用户规模年增长率最高；②2022年我国5G用户规模年增长户数最多；③从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；④这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝，若f（a2﹣3）≥f（﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）C．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D．[﹣3，1]7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≤6？D．k≤7？8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．在锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则角A的大小为（）A．B．C．D．10．函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．11．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（）A．B．C．D．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．在△ABC中，已知A（3，2），B（1，5），C（1，2），则＝．14．已知函数f（x）＝x3﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1是正方形，O为正方形A1B1C1D1的中心，A1B1＝4，AA1＝3，则异面直线AD1与BO所成角的正弦值为．16．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），倾斜角为的直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，|AB|＝8，则△AOB的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知等差数列{a n}满足a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习．为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有．将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如表所示：成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200合计12008002000（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在（50，70）内，有三人的进步幅度在（20，30）内，另外一人进步幅度在（10，20）内．如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.82819．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，E为BS 的中点，∠ASB＝∠ABS＝30°，tan∠ASD＝，AB＝3．（1）证明：平面DAE⊥平面DSB．（2）求三棱锥B﹣SAD的体积．20．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M 于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）求f（x）的极值；（2）当x0＜1时，证明：f（x）≤f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A在曲线C2：上，点B在曲线C3：ρsinθ＝4上，且△AOB为正三角形．（1）分别求出点A，B的极坐标（ρ，θ）（其中ρ≥0，0≤0＜2π）；（2）若点P为曲线C1上的动点，M为线段AP的中点，求|BM|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣3|，g（x）＝|x﹣4|．（1）解不等式f（x）+g（x）＜3；（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，证明：|2x﹣3y+3|≤8．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2﹣2x＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（0，1）D．（﹣1，0）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|2﹣2x＞0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．已知z（1﹣i）＝5+i，则z＝（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2﹣3i D．2+3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z（1﹣i）＝5+i，∴z＝＝2+3i．故选：D．3．“x≥”是“x+≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．解：若，则，当且仅当x＝1时取等号；若，则x＞0．∴“x≥”是“x+≥2”的充分不必要条件．故选：A．4．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】求出渐近线方程，代入点的坐标，推出a，b关系，然后求解离心率即可．解：因为双曲线的一条渐近线经过点，所以渐近线经过点，所以，从而．故选：C．5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图．关于下列说法：①2022年我国5G用户规模年增长率最高；②2022年我国5G用户规模年增长户数最多；③从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；④这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用图表判断增长率，用户增加人数以及方差判断选项的正误即可．解：由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022年增加用户37499.9万人，②错误；从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误．故选：B．6．已知函数f（x）＝，若f（a2﹣3）≥f（﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）C．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D．[﹣3，1]【分析】利用函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．解：函数f（x）＝，在（﹣∞，+∞）上为减函数，因此，不等式f（a2﹣3）≥f（﹣2a）等价于a2﹣3≤﹣2a，解得﹣3≤a≤1．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≤6？D．k≤7？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0.5，k＝2；S＝1，k＝3；S＝3，k＝4；S＝12，k＝5；S＝60，k＝6；S＝360，k＝7．所以填入“k≥7？”，输出的结果为360．故选：B．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的定义域和奇偶性，结合f（1）的值，利用排除法进行判断即可．解：因为f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）为偶函数，排除A，C．又当x＝1时，f（1）＝cosπ＝﹣1＜0，排除选项D，故选：B．9．在锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则角A 的大小为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用余弦定理化简可得，结合△ABC为锐角三角形，可求A的值．解：因为，所以b2+c2﹣a2＝2bc cos A，所以，即．又△ABC为锐角三角形，所以．故选：A．10．函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的对称性进行求解即可．解：因为3x+﹣（3x﹣）＝，所以3x+﹣＝3x﹣，则＝2sin（3x+）+cos（3x+﹣）＝2sin （3x+）+sin（3x+）＝3sin（3x+），所以其图象的对称轴方程为＝，解得，当k＝1时，．故选：C．11．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（）A．B．C．D．【分析】点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，利用列举法能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率．解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P＝．故选：B．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，则其体积为216，再由棱锥体积公式求解截面下方多面体的体积，作差得到截面上方多面体的体积，则答案可求．解：如图，作出截面D1MEFN，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，则其体积为216，延长D1M交DA的延长线于点K，连接KE，延长D1N交DC的延长线于点L，连接FL．∵E，F分别为棱AB，BC的中点，M，N分别为两棱的三等分点，∴AK＝CL＝3，AM＝CN＝2，则，，∴正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81﹣6＝75，另外一部分的体积为216﹣75＝141．∴较小部分与较大部分的体积比值为．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．在△ABC中，已知A（3，2），B（1，5），C（1，2），则＝4．【分析】求出数量积的表达式中的两个向量，然后利用数量积公式求解即可．解：因为A（3，2），B（1，5），C（1，2），所以，，所以＝﹣2×（﹣2）+3×0＝4．故答案为：4．14．已知函数f（x）＝x3﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x ﹣y﹣1＝0．【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点处的函数值、导数值，则切线方程可解．解：因为f（x）＝x3﹣lnx，所以，又f（1）＝1，f'（1）＝2，所以切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1是正方形，O为正方形A1B1C1D1的中心，A1B1＝4，AA1＝3，则异面直线AD1与BO所成角的正弦值为．【分析】由题意画出图形，利用异面直线所成角的定义找出异面直线AD1与BO所成角，求解三角形得答案．解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB∥D1C1，AB＝D1C1，得四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，∴异面直线AD1与BO所成角为∠OBC1．又A1B＝C1B＝＝5，O为A1C1的中点，∴BO⊥A1C1．又，∴，则．故答案为：．16．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），倾斜角为的直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，|AB|＝8，则△AOB的面积为2．【分析】设出直线方程，求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的性质，求出抛物线方程，通过点到直线的距离转化求解三角形的面积即可．解：根据题意知，设直线l的方程为，代入抛物线得x2﹣2px﹣p2＝0，所以|AB|＝y1+y2+p＝x1+x2+2p＝4p＝8，解得p＝2，所以直线l的方程为y＝x+1．又原点O到直线l的距离为，所以．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知等差数列{a n}满足a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝，则T n＝b1+b2+…+b n＝（1﹣）+（﹣）+…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．18．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习．为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有．将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如表所示：成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200合计12008002000（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在（50，70）内，有三人的进步幅度在（20，30）内，另外一人进步幅度在（10，20）内．如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（1）由列联表计算观测值，对照附表得出结论；（2）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）由列联表计算，因为3.472＞2.706，所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；（2）设a，b两人的进步幅度在（50，70）内，c，d，e三人的进步幅度在（20，30）内，另外一人f的进步幅度在（10，20）内，则从这六人中任选两人，有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，e）、（a，f）、（b，c）、（b，d）、（b，e）、（b，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种不同选法，其中符合两人的进步幅度之差在（20分）以内的有（a，b）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共7种，所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，E为BS 的中点，∠ASB＝∠ABS＝30°，tan∠ASD＝，AB＝3．（1）证明：平面DAE⊥平面DSB．（2）求三棱锥B﹣SAD的体积．【分析】（1）由ABCD是矩形，得AD⊥AB．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得AD⊥平面SAB．从而得到AD⊥BS．再证明AE⊥BS．由直线与平面垂直的判定可得BS⊥平面DAE．从而得到平面DAE⊥平面DSB．（2）由三棱锥B﹣SAD的体积V B﹣SAD＝V D﹣ABS，再由已知求出三角形SAB的面积，则三棱锥B﹣SAD的体积可求．【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，∴AD⊥AB．∵平面SAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面SAB＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面SAB．又BS⊂平面SAB，∴AD⊥BS．∵∠ASB＝∠ABS，∴AS＝AB，又E为BS的中点，AE⊥BS．又AD∩AE＝A，∴BS⊥平面DAE．由于BS⊂平面DSB，∴平面DAE⊥平面DSB．（2）解：三棱锥B﹣SAD的体积V B﹣SAD＝V D﹣ABS，∵，AS＝AB＝3，∴AD＝1．由于∠ASB＝∠ABS＝30°，∴，从而，即三棱锥B﹣SAD的体积为．20．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．【分析】（1）由椭圆定义可得2a＝4，且2b＝2c，结合a2＝b2+c2，解出a，b即可；（2）设l：y＝k（x+2）（k≠0），得到C（0，2k），表示出|AC|，联立直线与椭圆方程得到B，表示出|AB|，根据平行得到RQ：y＝kx，与椭圆方程联立得到R，表示出|QR|2，由|RQ|＝2|OR|，得，即可求得．解：（1）因为|PF1|+|PF2|＝4，所以2a＝4，解得a＝2，设椭圆的焦距为2c，所以2b＝2c，即b＝c，由a2＝b2+c2，解得b2＝2，所以椭圆M的方程为；（2）为定值2，理由如下：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设l：y＝k（x+2）（k≠0），令x＝0，得y＝2k，即C（0，2k），又易知A（﹣2，0），所以，由，得，即，所以．因为BC∥RQ，所以直线RQ的方程为y＝kx，由得，所以．由|RQ|＝2|OR|，得，所以．故为定值2．21．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）求f（x）的极值；（2）当x0＜1时，证明：f（x）≤f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）令g（x）＝f（x）﹣f'（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而证明结论即可．【解答】（1）解：因为，所以f'（x）＝（1﹣x）e﹣x．……………………………………………………（1分）当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．……………………………………………所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，………………………………………………从而f（x）有极大值，极大值为，无极小值．……………………………………………………（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣f'（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），则．…………………………设，则φ'（x）＝﹣e x0﹣e x（1﹣x0）．…………………………………………因为x0＜1，所以φ'（x）＜0，所以φ（x）在R上单调递减．…………………………………………………………………………………又φ（x0）＝0，所以当x＜x0时，φ（x）＞0；当x＞x0时，φ（x）＜0，……………………………………………………即当x＜x0时，g'（x）＞0；当x＞x0时，g'（x）＜0．………………………………………………………所以g（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增，在区间（x0，+∞）上单调递减．……………………………………所以g（x）≤g（x0）＝0，所以f（x）≤f'（x0）（x﹣x0）+f （x0）．………………………………………………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A在曲线C2：上，点B在曲线C3：ρsinθ＝4上，且△AOB为正三角形．（1）分别求出点A，B的极坐标（ρ，θ）（其中ρ≥0，0≤0＜2π）；（2）若点P为曲线C1上的动点，M为线段AP的中点，求|BM|的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用求出结果．解：（1）因为点B在曲线C3：ρsinθ＝4上，即点B在直线y＝4上，又点A在曲线C2：上，且△AOB为正三角形，所以在极坐标系中，，．（2）由（1）知点A的直角坐标为，设点M的直角坐标为（x，y），所以点．因为曲线C1的参数方程为，即C1为圆x2+y2＝16，所以，即点M在上，又点B的直角坐标为（0，4），所以|BM|的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣3|，g（x）＝|x﹣4|．（1）解不等式f（x）+g（x）＜3；（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，证明：|2x﹣3y+3|≤8．【分析】（1）设h（x）＝f（x）+g（x），将h（x）写为分段函数的形式，然后根据h （x）＜3，利用零点分段法解不等式即可；（2）由条件可知|x﹣3|≤1，|y﹣4|≤1，然后利用绝对值三角不等式，可得|2x﹣3y+3|＝≤2|x﹣3|+3|（y﹣4）+1|，进一步证明|2x﹣3y+3|≤8成立．解：（1）设h（x）＝f（x）+g（x），则h（x）＝|x﹣3|+|x﹣4|＝，∵f（x）+g（x）＜3，∴或或，∴2＜x≤3或3＜x＜4或4≤x＜5，∴2＜x＜5，∴不等式f（x）+g（x）＜3的解集为（2，5）．（2）证明：∵f（x）≤1，g（y）≤1，∴|x﹣3|≤1，|y﹣4|≤1．又|2x﹣3y+3|＝|2（x﹣3）﹣3（y﹣3）|≤2|x﹣3|+3|（y﹣4）+1|，∴|2x﹣3y+3|≤2|x﹣3|+3（|y﹣4|+1）≤2+3×（1+1）＝8，∴|2x﹣3y+3|≤8．。
2020年河南省高考数学考前适应性试卷(文科)(6月份) (解析版)
2020年河南省高考数学考前适应性试卷(文科)(6月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={−2,0，2}，B={x|x2−x−2=0}，则A∪B=()A. {−1,2，−2，0}B. {2}C. {0,2}D. {−2,2，0}2.已知复数z满足(z+i)i=1+i，则z=()A. 2−iB. 2+iC. 1−2iD. 1+2i3.函数f(x)=2sin(12x+π4)的最小正周期是()A. 4πB. 2πC. πD. π44.函数f(x)=√2x−x2x−1的定义域是()A. (0,2)B. [0,2]C. (0,1)∪(1,2)D. [0,1)∪(1,2]5.若实数x，y满足约束条件{x−1≥0x−2y≤0x+y−4≤0，则2x+3y的最大值是()A. 11B. 10C. 5D. 96.若sin(θ+π8)=13，则sin(2θ−π4)=()A. −29B. 29C. −79D. 797.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A. 23B. 43C. 83D. 1038.在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知C=2A,cosA=34,b=5，则△ABC的面积为()A. 15√74B. 15√72 C. 5√74 D. 5√729. 若函数f(x)={e x −1,x ≤1,5−x 2,x >1,则f(f(2))=( )A. 1B. 4C. 0D. 5−e 210. 如图所示，分别以点B 和点D 为圆心，以线段BD 的长为半径作两个圆．若在该图形内任取一点，则该点取自四边形ABCD 内的概率为( )A. 3√38π+3√3B. √34π−√3 C. 3√38π D. √34π11. 已知点P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1右支上一点，F 是双曲线的右焦点，点M 在直线x =−a2c上，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线的离心率e =( ) A. 2 B. √3C. √2D. √512. 在三棱锥A −BCD 中，△BCD 是等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD.若该三棱锥外接球的表面积为60π，且球心到平面BCD 的距离为√3，则三棱锥A −BCD 的体积的最大值为( )A. 3√3B. 9√3C. 27D. 81二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−1,m)，若a ⃗ ⊥(a ⃗ −b ⃗ )，则m =______．14. 自2015年来，黄冈市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了黄梅一中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为______．15. 过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则|AB|= ______ ． 16. 函数的单调增区间为______________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，若S n =a n +(n −1)2，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.为了解某地区某种农产品的年产量x(单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)和利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：(Ⅰ)求y关于x的线性回归方程ŷ=b̂x−â；(Ⅱ)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b̂=∑(ni=1x i−x.)(y i−y.)∑(ni=1x i−x.)2=∑(ni=1x i y i)−nx.y.∑x i2ni=1−nx2，â=y.−b̂x.．19.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，ME=√2，E为AB的中点．(1)平面ADNM⊥平面ABCD(2)求点E到平面BCM的距离20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=√2，直线l2：y=k(x−m)(m∈R,m>34)与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点R(54,0)，若RM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅RN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是一个与k无关的常数，求实数m的值．21.已知函数f(x)=(x+1)e x，g(x)=2x2+3x+m．(1)求f(x)的极值；(2)若g(x)⩽f(x)对任意的x∈[−1,0]恒成立，求实数m的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中直线l 的参数方程为{x =−1+√22t y =√22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ=2sinθ． (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求线段AB 的长度．23. 已知f(x)=|ax +1|，a ∈R ．(1)若关于x 的不等式f(x)≤3的解集为{x|−2≤x ≤1}，求实数a 的值； (2)若x ∈(0,12)时，不等式f(x)≤2−|2x −1|恒成立．求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：∵集合A={−2,0，2}，B={x|x2−x−2=0}={−1,2}，∴A∪B={−2,−1,0，2}．故选：A．分别求出集合A，B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查复数的四则运算，共轭复数，是基础题．利用复数的四则运算求出复数z，即可求出结果．解：z=1+ii−i=1−i−i=1−2i，所以z=1+2i，故选D．3.答案：A解析：本题考查三角函数的周期和周期的求解方法，属基础题．利用函数性质可得函数周期．由三角函数的周期公式可知，函数f(x)=2sin(12x+π4)的最小正周期是2π12=4π．选A．4.答案：D解析：解：由{2x −x 2≥0 ①x −1≠0 ②，解①得：0≤x ≤2． 解②得：x ≠1． ∴0≤x ≤2且x ≠1．∴函数f(x)=√2x−x 2x−1的定义域是[0,1)∪(1,2]．故选：D ．由分子中根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值集合即可． 本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题．5.答案：A解析：解：由约束条件{x −1≥0x −2y ≤0x +y −4≤0作出可行域如图，联立{x −1=0x +y −4=0，解得A(1,3)，令z =2x +3y ，化为y =−23x +z3，由图可知，当直线y =−23x +z3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2×1+3×3=11． 故选：A ．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6.答案：C。
大象联考 2020年河南省普通高中高考质量测评(二)数学文科试题及答案
大象联考 2020年河南省普通高中高考质量测评（二）数学（文科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置.2. 全部答案在答题卡上完成，答丰本试题上无效.3. 回答选择题时，选出每小题答案后，用3B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.参考公式： 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中为S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集R U =，集合{}1log |2<=x x A ，}0|{2>-=x x x B ，则B A I =（ ） A ． }21|{<<x x B ． }2|{<x xC ． }21|{<≤x xD ．}41|{<≤x x2.已知复数z 满足i i z +-=12，则z =（ ） A ． 231i + B ．231i - C ．23i + D ．23i - 3.由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和涉及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值.如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所做的预测.结合上图，下列说法错误的是（ ）A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营的经济产出的差距有逐步拉大的趋势4.已知角θ的终边过点)4,3(-，则)cos(θπ-=（ ）A ． 54-B ．54 C. 53- D ．53 5.若椭圆)0(1222>=+p py p x 的一个焦点与抛物线)0(22>=p px y 的焦点重合，则p =（ ） A ．2 B ．3 C.4 D ．86.已知函数b x ae x f x ++=)(，若函数)(x f 在))0(,0(f 处的切线方程为32+=x y ，则ab 的值为（ ）A ． 1B ．2 C. 3 D ．47.函数1sin )(2++=x x x x f 在],[ππ-的图象大致为（ ） A ． B ．C. D ．8.如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，2=AD 。
2020年河南省名校联盟高考数学联考试卷(文科)(6月份)
一、单选题1．（3分）阅读如图所示的程序框图，若输入的a ，b ，c 分别为21，32，75，则输出的a ，b ，c 分别是（ ）A ．75，21，32B ．21，32，75C ．32，21，75D ．75，32，21【解答】解：由流程图知，a 赋给x ，x 赋给b ，所以a 的值赋给b ，即输出b 为21，c 的值赋给a ，即输出a 为75． b 的值赋给a ，即输出c 为32． 故输出的a ，b ，c 的值为75，21，32 故选：A ．2．（3分）已知点P （1，m ）（m ＞0）是角α终边上一点，且cosα=35，则m ＝（ ） A ．13B ．43C ．23D ．25【解答】解：由三角函数的定义可得cosα=1√1+m =35，解得m =±43，又m ＞0， ∴m =43， 故选：B ．3．（3分）三位五进制数表示的最大十进制数是（ ）A．120B．124C．144D．224【解答】解：最大的三位五进制的数表示：444（5）＝4×52+4×51+4×50＝100+20+4＝124．故选：B．4．（3分）已知f（x）＝x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x＝3时的值时，v3的值为（）A．27B．11C．109D．36【解答】解：由秦九韶算法可得f（x）＝x5+2x3+3x2+x+1＝（（（（x+0）x+2）x+3）x+1）x+1，∴v0＝1，v1＝1×3+0＝3，v2＝3×3+2＝11，v3＝11×3+3＝36．故选：D．5．（3分）函数f（x）＝cos（2x+π6）在区间[0，π]上的零点个数为（）A．0B．3C．1D．2【解答】解：令f(x)=cos(2x+π6)=0，解得2x+π6=π2+kπ(k∈Z)，即x=π6+kπ2(k∈Z)．∵x∈[0，π]，∴k＝0，x=π6；k＝1，x=23π．故选：D．6．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A．[﹣6，﹣2]B．[﹣5，﹣1]C．[﹣4，5]D．[﹣3，6]【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S＝t﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t＝2t2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S＝t﹣3∈（﹣2，6]，综上：S＝t﹣3∈[﹣3，6]，故选：D．7．（3分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56B．60C．120D．140【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）×2.5＝0.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7×200＝140，故选：D．8．（3分）某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了（ ） A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【解答】解：∵听众人数比较多， ∵把每排听众从1到70号编排， 要求每班编号为15的同学留下进行交流， 这样选出的样本是采用系统抽样的方法， 故选：C ．9．（3分）若函数f(x)=sin(x −π3)在区间[π，a ]上存在最小值﹣1，则a 的最小值为（ ） A ．11π6B ．3π2C ．2πD ．5π3【解答】解：对于函数f(x)=sin(x −π3)，令2kπ+π2≤x −π3≤2kπ+3π2(k ∈Z)，得2kπ+5π6≤x ≤2kπ+11π6(k ∈Z)，当k ＝0时，f （x ）在[5π6，11π6]上单调递减，当x =116π时，f(116π)=−1． 又因为f （x ）在[π，a ]上存在最小值﹣1，所以a 的最小值为116π．故选：A ．10．（3分）某公司的广告费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有下列对应数据：已知y 对x 呈线性相关关系，且回归方程为y ^=6.5x +17.5，工作人员不慎将表格中y 的第一个数据遗失，该数据为（ ）x 2 4 5 6 8 y40 605070A ．28B ．30C ．32D ．35【解答】解：设第一个数据遗失为y ，由表中数据，可得：x =15×（2+4+5+6+8）＝5， 且回归方程y ^=6.5x +17.5，过样本中心点（x ，y ）， 即y =6.5×5+17.5＝50，所以y =15×（y +40+60+50+70）＝50，解得y ＝30． 故选：B ．11．（3分）某校早读从7点30分开始，若张认和钱真两位同学均在早晨7点至7点30分之间到校，且二人在该时段的任何时刻到校都是等可能的，则张认比钱真至少早到10分钟的概率为（ ） A ．112B ．19C ．16D ．29【解答】解：如图所示，设张认和钱真两位同学到校的时间分别为y ，x 时，且y ，x ∈[7，7.5]时，y ﹣x ≥16． A （7，436），B （437，152）．则张认比钱真至少早到10分钟的概率=12×13×1312×12=29．故选：D ．12．（3分）2019年9月8日，中华人民共和国第十一届少数民族体育运动会在河南郑州开幕，现从我省曾获得乒乓球奖牌的2男1女三名运动员与获得跳远奖牌的1男2女三名远动员中各选1人作为运动会的火炬手，则选出的2名运动员性别恰好相同的概率是（ ） A ．13B ．49C ．59D ．23【解答】解：设获得乒乓球奖牌的三名候选人为A 1，A 2，B ， 获得跳远奖牌的三名候选人为a ，b 1，b 2，由题意，各选1名同学的基本事件有（A 1，a ），（A 1，b 1），（A 1，b 2）， （A 2，a ），（A 2，b 1），（A 2，b 2），（B ，a ），（B ，b 1），（B ，b 2），共9种；设“2名同学性别相同”为事件E ，则事件E 包含4个基本事件，概率P （E ）=49， 所以选出的2名同学性别相同的概率是49，故选：B ． 二、填空题13．（3分）若一组样本数据2，3，7，8，a 的平均数为5，则该组数据的方差s 2＝ 265．【解答】解：∵数据2，3，7，8，a 的平均数为5， ∴2+3+7+8+a ＝25，解得a ＝5，∴方差s 2=15[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2+（5﹣5）2]=265． 故答案为：265．14．（3分）已知O 为矩形ABCD 的对角线的交点，现从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为45．【解答】解：O 为矩形ABCD 的对角线的交点， 现从A ，B ，C ，D ，O 这5个点中任选3个点，基本事件总数n =C 53=10，这3个点共线的情况有两种AOC 和BOD ， ∴这3个点不共线的概率为p ＝1−210=45． 故答案为：45．15．（3分）天气预报说，今后三天每天下雨的概率相同，现用随机模拟的方法预测三天中有两天下雨的概率，用骰子点数来产生随机数．依据每天下雨的概率，可规定投一次骰子出现1点和2点代表下雨；投三次骰子代表三天；产生的三个随机数作为一组．得到的10组随机数如下：613，265，114，236，561，435，443，251，154，353．则在此次随机模拟试验中，每天下雨的概率的近似值是 13；三天中有两天下雨的概率的近似值为15．【解答】解：每个骰子有6个点数，出现1或2为下雨天，则每天下雨的概率为26=13， 10组数据中，114，251，表示3天中有2 天下雨，∴从得到的10组随机数来看，3天中有2 天下雨的有2组，则3天中有2天下雨的概率近似值为：210=15，故答案为：13，15．16．（3分）给出下列命题：①函数y=tan(x+π2)的定义域是{x|x∈R且x≠π2+kπ(k∈Z)}；②若α+β=π2，则sin2α+sin2β＝sin（α+β）；③若定义在R上函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），则y＝f（x）是周期为2的函数；④函数y=sin(12x+θ)(θ∈(0，π))图象的一条对称轴是x=−2π3，则函数y=sin(12x+θ)图象关于(π3，0)对称．其中正确的命题是②③④．（填序号）【解答】解：令x+π2≠π2+kπ(k∈Z)，得x≠kπ（k∈Z），①错；若α+β=π2，则sin2α+sin2β=sin2α+sin2(π2−α)=sin2α+cos2α=sin(α+β)，②正确；由f（x+1）＝﹣f（x），得f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），故周期为2，③正确；当x=−2π3时，y=sin(−π3+θ)=±1，−π3+θ=π2+kπ(k∈Z)，θ=5π6+kπ(k∈Z)，又∵θ∈（0，π），∴θ=5π6，y=sin(12x+5π6)，当x=π3时，y=sin(12x+5π6)=0，④正确：故正确的命题是②③④．故答案为：②③④．三、解答题17．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．分数段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）x：y1：12：13：44：5【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）＝1，解得a＝0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05＝73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05＝5，数学成绩在[60，70）的人数为：100×0.4×12=20，数学成绩在[70，80）的人数为：100×0.3×43=40，数学成绩在[80，90）的人数为：100×0.2×54=25，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25＝10．18．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．【解答】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x ）×10＝1，解得x ＝0.02． （2）中位数设为m ，则0.05+0.1+0.2+（m ﹣70）×0.03＝0.5，解得m ＝75． （3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a 1，a 2 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b 1，b 2，b 3， 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A ， 基本事件有（a 1，a 2），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 1，b 3），（a 2，b 1），（a 2，b 2）， （a 2，b 3），（b 1，b 2），（b 1，b 3），（b 2，b 3）共10个，A 包含的基本事件个数为4个， 利用古典概型概率公式可知P （A ）＝0.4．19．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程y ^=b ^t +a ^．（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年（t ＝6）的人民币储蓄存款． 附：回归方程y ^=b ^t +a ^中 {b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ n i=1(t i −t)2=∑ n i=1t i y i −nty ∑ ni=1t i 2−nt2a =y −bt．【解答】解：（Ⅰ）由题意，t =3，y =7.2，∑ 5i=1t i 2−5t 2=55﹣5×32＝10，∑ 5i=1t i y i −5ty =120﹣5×3×7.2＝12，∴b ^=1.2，a ^=7.2﹣1.2×3＝3.6， ∴y 关于t 的回归方程y ^=1.2t +3.6．（Ⅱ）t ＝6时，y ^=1.2×6+3.6＝10.8（千亿元）．20．甲与乙午觉醒来后，发现自己的手表因故停止转动，于是他们想借助收音机，利用电台整点报时确认时间．（1）求甲等待的时间不多于10分钟的概率； （2）求甲比乙多等待10分钟以上的概率．【解答】解：（1）∵电台每隔1小时报时一次，甲在[0，60）之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，∴他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，符合几何概型的条件，设事件A 为“甲等待的时间不多于10分钟”，则事件A 恰好是打开收音机的时刻位于[50，60）时间段内，因此，由几何概型的概率公式可得，P （A ）=1060=16． ∴甲等待的时间不多于10分钟的概率为16；（2）由于甲，乙两人的起床时间是任意的，∴所求事件是一个与两个变量相关的几何概型，且为面积型，设甲需要等待的时间为x ，乙需要等待的时间为y （10分钟为一个长度单位）， 则由已知可得，对应的基本事件空间为Ω＝{（x ，y |{0≤x ＜60≤y ＜6）}，甲比乙多等待10分钟以上对应的事件为M ＝{（x ，y |{0≤x ＜60≤y ＜6x −y ＞1）}．在平面直角坐标系中，作出两不等式组表示的平面区域如图：正方形面积为36，阴影部分的面积为12×5×5=252，∴甲比乙多等待10分钟以上的概率为25236=2572．21．已知函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）（ω＞0，−π2≤φ＜π2）的图象关于直线x =π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f （α2）=√34（π6＜α＜2π3），求cos （α−π6）的值． 【解答】解：（1）因为f （x ）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f （x ）的最小正周期T ＝π，从而ω=2πT =2又因为f （x ）的图象关于直线x =π3对称，所以2×π3+φ＝k π+π2，k ＝0，±1，±2，…． 因为−π2≤φ＜π2，所以φ=−π6．（2）由（1）得f （α2）=√3sin （2×α2−π6）=√34， 所以sin （α−π6）=14，由π6＜α＜2π3，0＜α−π6＜π2， 所以cos （α−π6）=√1−sin 2(α−π6)=√154．22．已知f （α）=sin(3π−α)cos(2π−α)sin(3π2−α)cos(π−α)sin(−π−α)（1）化简f （α）（2）若α是第二象限角，且cos （π2+α）=−13，求f （α）的值． 【解答】解：（1）f （α）=sin(3π−α)cos(2π−α)sin(3π2−α)cos(π−α)sin(−π−α)=sinα⋅cosα⋅(−cosα)−cosα⋅sinα=cos α． （2）α是第二象限角，且cos （π2+α）＝﹣sin α=−13，∴sin α=13， ∵α是第二象限角，∴f(α)=cosα=−√1−sin 2α=−2√23．。
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2020年河南省高考数学大联考试卷（文科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2﹣2x＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（0，1）D．（﹣1，0）2．已知z（1﹣i）＝5+i，则z＝（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2﹣3i D．2+3i3．“x≥”是“x+≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图．关于下列说法：①2022年我国5G用户规模年增长率最高；②2022年我国5G用户规模年增长户数最多；③从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；④这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．46．已知函数f（x）＝，若f（a2﹣3）≥f（﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）C．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D．[﹣3，1]7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≤6？D．k≤7？8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．9．在锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则角A的大小为（）A．B．C．D．10．函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．11．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（）A．B．C．D．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．在△ABC中，已知A（3，2），B（1，5），C（1，2），则＝．14．已知函数f（x）＝x3﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1是正方形，O为正方形A1B1C1D1的中心，A1B1＝4，AA1＝3，则异面直线AD1与BO所成角的正弦值为．16．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），倾斜角为的直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，|AB|＝8，则△AOB的面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知等差数列{a n}满足a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．18．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习．为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有．将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如表所示：成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200合计12008002000（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在（50，70）内，有三人的进步幅度在（20，30）内，另外一人进步幅度在（10，20）内．如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.82819．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，E为BS 的中点，∠ASB＝∠ABS＝30°，tan∠ASD＝，AB＝3．（1）证明：平面DAE⊥平面DSB．（2）求三棱锥B﹣SAD的体积．20．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M 于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．21．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）求f（x）的极值；（2）当x0＜1时，证明：f（x）≤f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A在曲线C2：上，点B在曲线C3：ρsinθ＝4上，且△AOB为正三角形．（1）分别求出点A，B的极坐标（ρ，θ）（其中ρ≥0，0≤0＜2π）；（2）若点P为曲线C1上的动点，M为线段AP的中点，求|BM|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣3|，g（x）＝|x﹣4|．（1）解不等式f（x）+g（x）＜3；（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，证明：|2x﹣3y+3|≤8．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2﹣2x＞0}，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（0，1）D．（﹣1，0）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|2﹣2x＞0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．已知z（1﹣i）＝5+i，则z＝（）A．﹣2+3i B．﹣2﹣3i C．2﹣3i D．2+3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：∵z（1﹣i）＝5+i，∴z＝＝2+3i．故选：D．3．“x≥”是“x+≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论．解：若，则，当且仅当x＝1时取等号；若，则x＞0．∴“x≥”是“x+≥2”的充分不必要条件．故选：A．4．已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【分析】求出渐近线方程，代入点的坐标，推出a，b关系，然后求解离心率即可．解：因为双曲线的一条渐近线经过点，所以渐近线经过点，所以，从而．故选：C．5．今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，如图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读如图．关于下列说法：①2022年我国5G用户规模年增长率最高；②2022年我国5G用户规模年增长户数最多；③从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；④这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用图表判断增长率，用户增加人数以及方差判断选项的正误即可．解：由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022年增加用户37499.9万人，②错误；从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误．故选：B．6．已知函数f（x）＝，若f（a2﹣3）≥f（﹣2a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）C．（﹣∞，1]∪[3，+∞）D．[﹣3，1]【分析】利用函数的单调性，转化求解不等式的解集即可．解：函数f（x）＝，在（﹣∞，+∞）上为减函数，因此，不等式f（a2﹣3）≥f（﹣2a）等价于a2﹣3≤﹣2a，解得﹣3≤a≤1．故选：D．7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≤6？D．k≤7？【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得S＝0.5，k＝2；S＝1，k＝3；S＝3，k＝4；S＝12，k＝5；S＝60，k＝6；S＝360，k＝7．所以填入“k≥7？”，输出的结果为360．故选：B．8．函数f（x）＝的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】先判断函数的定义域和奇偶性，结合f（1）的值，利用排除法进行判断即可．解：因为f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且f（x）为偶函数，排除A，C．又当x＝1时，f（1）＝cosπ＝﹣1＜0，排除选项D，故选：B．9．在锐角△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则角A 的大小为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用余弦定理化简可得，结合△ABC为锐角三角形，可求A的值．解：因为，所以b2+c2﹣a2＝2bc cos A，所以，即．又△ABC为锐角三角形，所以．故选：A．10．函数的图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的对称性进行求解即可．解：因为3x+﹣（3x﹣）＝，所以3x+﹣＝3x﹣，则＝2sin（3x+）+cos（3x+﹣）＝2sin （3x+）+sin（3x+）＝3sin（3x+），所以其图象的对称轴方程为＝，解得，当k＝1时，．故选：C．11．饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上．有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为（）A．B．C．D．【分析】点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，利用列举法能求出恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率．解：点P从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为P＝．故选：B．12．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，则其体积为216，再由棱锥体积公式求解截面下方多面体的体积，作差得到截面上方多面体的体积，则答案可求．解：如图，作出截面D1MEFN，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，则其体积为216，延长D1M交DA的延长线于点K，连接KE，延长D1N交DC的延长线于点L，连接FL．∵E，F分别为棱AB，BC的中点，M，N分别为两棱的三等分点，∴AK＝CL＝3，AM＝CN＝2，则，，∴正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81﹣6＝75，另外一部分的体积为216﹣75＝141．∴较小部分与较大部分的体积比值为．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．在△ABC中，已知A（3，2），B（1，5），C（1，2），则＝4．【分析】求出数量积的表达式中的两个向量，然后利用数量积公式求解即可．解：因为A（3，2），B（1，5），C（1，2），所以，，所以＝﹣2×（﹣2）+3×0＝4．故答案为：4．14．已知函数f（x）＝x3﹣lnx，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x ﹣y﹣1＝0．【分析】先求出函数的导数，然后分别求出切点处的函数值、导数值，则切线方程可解．解：因为f（x）＝x3﹣lnx，所以，又f（1）＝1，f'（1）＝2，所以切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0．故答案为：2x﹣y﹣1＝0．15．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1是正方形，O为正方形A1B1C1D1的中心，A1B1＝4，AA1＝3，则异面直线AD1与BO所成角的正弦值为．【分析】由题意画出图形，利用异面直线所成角的定义找出异面直线AD1与BO所成角，求解三角形得答案．解：如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB∥D1C1，AB＝D1C1，得四边形ABC1D1为平行四边形，则AD1∥BC1，∴异面直线AD1与BO所成角为∠OBC1．又A1B＝C1B＝＝5，O为A1C1的中点，∴BO⊥A1C1．又，∴，则．故答案为：．16．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），倾斜角为的直线l过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，O为坐标原点，|AB|＝8，则△AOB的面积为2．【分析】设出直线方程，求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的性质，求出抛物线方程，通过点到直线的距离转化求解三角形的面积即可．解：根据题意知，设直线l的方程为，代入抛物线得x2﹣2px﹣p2＝0，所以|AB|＝y1+y2+p＝x1+x2+2p＝4p＝8，解得p＝2，所以直线l的方程为y＝x+1．又原点O到直线l的距离为，所以．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知等差数列{a n}满足a8＝3a3，a1+a2＝4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和T n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，整理，得，解得，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝，则T n＝b1+b2+…+b n＝（1﹣）+（﹣）+…+＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．18．新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习．为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有．将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如表所示：成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200合计12008002000（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在（50，70）内，有三人的进步幅度在（20，30）内，另外一人进步幅度在（10，20）内．如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（1）由列联表计算观测值，对照附表得出结论；（2）用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．解：（1）由列联表计算，因为3.472＞2.706，所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联；（2）设a，b两人的进步幅度在（50，70）内，c，d，e三人的进步幅度在（20，30）内，另外一人f的进步幅度在（10，20）内，则从这六人中任选两人，有（a，b）、（a，c）、（a，d）、（a，e）、（a，f）、（b，c）、（b，d）、（b，e）、（b，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种不同选法，其中符合两人的进步幅度之差在（20分）以内的有（a，b）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共7种，所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，平面SAB⊥平面ABCD，E为BS 的中点，∠ASB＝∠ABS＝30°，tan∠ASD＝，AB＝3．（1）证明：平面DAE⊥平面DSB．（2）求三棱锥B﹣SAD的体积．【分析】（1）由ABCD是矩形，得AD⊥AB．再由已知结合平面与平面垂直的性质可得AD⊥平面SAB．从而得到AD⊥BS．再证明AE⊥BS．由直线与平面垂直的判定可得BS⊥平面DAE．从而得到平面DAE⊥平面DSB．（2）由三棱锥B﹣SAD的体积V B﹣SAD＝V D﹣ABS，再由已知求出三角形SAB的面积，则三棱锥B﹣SAD的体积可求．【解答】（1）证明：∵ABCD是矩形，∴AD⊥AB．∵平面SAB⊥平面ABCD，平面ABCD∩平面SAB＝AB，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥平面SAB．又BS⊂平面SAB，∴AD⊥BS．∵∠ASB＝∠ABS，∴AS＝AB，又E为BS的中点，AE⊥BS．又AD∩AE＝A，∴BS⊥平面DAE．由于BS⊂平面DSB，∴平面DAE⊥平面DSB．（2）解：三棱锥B﹣SAD的体积V B﹣SAD＝V D﹣ABS，∵，AS＝AB＝3，∴AD＝1．由于∠ASB＝∠ABS＝30°，∴，从而，即三棱锥B﹣SAD的体积为．20．已知椭圆M：的左、右焦点分别为F1和F2，P为M上的任意一点，|PF1|+|PF2|＝4，且该椭圆的短轴长等于焦距．（1）求椭圆M的标准方程．（2）已知点R，Q是M上关于原点O对称的两点，过M的左顶点A作直线l交椭圆M于另一点B，交y轴于点C，且BC∥RQ，判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．【分析】（1）由椭圆定义可得2a＝4，且2b＝2c，结合a2＝b2+c2，解出a，b即可；（2）设l：y＝k（x+2）（k≠0），得到C（0，2k），表示出|AC|，联立直线与椭圆方程得到B，表示出|AB|，根据平行得到RQ：y＝kx，与椭圆方程联立得到R，表示出|QR|2，由|RQ|＝2|OR|，得，即可求得．解：（1）因为|PF1|+|PF2|＝4，所以2a＝4，解得a＝2，设椭圆的焦距为2c，所以2b＝2c，即b＝c，由a2＝b2+c2，解得b2＝2，所以椭圆M的方程为；（2）为定值2，理由如下：由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设l：y＝k（x+2）（k≠0），令x＝0，得y＝2k，即C（0，2k），又易知A（﹣2，0），所以，由，得，即，所以．因为BC∥RQ，所以直线RQ的方程为y＝kx，由得，所以．由|RQ|＝2|OR|，得，所以．故为定值2．21．已知函数，f'（x）是f（x）的导函数．（1）求f（x）的极值；（2）当x0＜1时，证明：f（x）≤f'（x0）（x﹣x0）+f（x0）．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）令g（x）＝f（x）﹣f'（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），求出g（x）的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值，从而证明结论即可．【解答】（1）解：因为，所以f'（x）＝（1﹣x）e﹣x．……………………………………………………（1分）当x∈（﹣∞，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0．……………………………………………所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，………………………………………………从而f（x）有极大值，极大值为，无极小值．……………………………………………………（2）证明：令g（x）＝f（x）﹣f'（x0）（x﹣x0）﹣f（x0），则．…………………………设，则φ'（x）＝﹣e x0﹣e x（1﹣x0）．…………………………………………因为x0＜1，所以φ'（x）＜0，所以φ（x）在R上单调递减．…………………………………………………………………………………又φ（x0）＝0，所以当x＜x0时，φ（x）＞0；当x＞x0时，φ（x）＜0，……………………………………………………即当x＜x0时，g'（x）＞0；当x＞x0时，g'（x）＜0．………………………………………………………所以g（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增，在区间（x0，+∞）上单调递减．……………………………………所以g（x）≤g（x0）＝0，所以f（x）≤f'（x0）（x﹣x0）+f （x0）．………………………………………………………………………（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点A在曲线C2：上，点B在曲线C3：ρsinθ＝4上，且△AOB为正三角形．（1）分别求出点A，B的极坐标（ρ，θ）（其中ρ≥0，0≤0＜2π）；（2）若点P为曲线C1上的动点，M为线段AP的中点，求|BM|的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用两点间的距离公式的应用求出结果．解：（1）因为点B在曲线C3：ρsinθ＝4上，即点B在直线y＝4上，又点A在曲线C2：上，且△AOB为正三角形，所以在极坐标系中，，．（2）由（1）知点A的直角坐标为，设点M的直角坐标为（x，y），所以点．因为曲线C1的参数方程为，即C1为圆x2+y2＝16，所以，即点M在上，又点B的直角坐标为（0，4），所以|BM|的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x﹣3|，g（x）＝|x﹣4|．（1）解不等式f（x）+g（x）＜3；（2）对于实数x，y，若f（x）≤1，g（y）≤1，证明：|2x﹣3y+3|≤8．【分析】（1）设h（x）＝f（x）+g（x），将h（x）写为分段函数的形式，然后根据h （x）＜3，利用零点分段法解不等式即可；（2）由条件可知|x﹣3|≤1，|y﹣4|≤1，然后利用绝对值三角不等式，可得|2x﹣3y+3|＝≤2|x﹣3|+3|（y﹣4）+1|，进一步证明|2x﹣3y+3|≤8成立．解：（1）设h（x）＝f（x）+g（x），则h（x）＝|x﹣3|+|x﹣4|＝，∵f（x）+g（x）＜3，∴或或，∴2＜x≤3或3＜x＜4或4≤x＜5，∴2＜x＜5，∴不等式f（x）+g（x）＜3的解集为（2，5）．（2）证明：∵f（x）≤1，g（y）≤1，∴|x﹣3|≤1，|y﹣4|≤1．又|2x﹣3y+3|＝|2（x﹣3）﹣3（y﹣3）|≤2|x﹣3|+3|（y﹣4）+1|，∴|2x﹣3y+3|≤2|x﹣3|+3（|y﹣4|+1）≤2+3×（1+1）＝8，∴|2x﹣3y+3|≤8．。