人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线定义在解题中的应用：定义与方程(说课)》

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人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线定义在解题中的应用》

3.必备技能
椭圆双曲线抛物线
y P
图形
y O F2 x F1
P
1
O
x
定义提炼标准方程形式特点
两段距离之和为2a (2a
F1F2 )
两段距离之差的绝对值为2a (2a
F1F2 )
两段距离相等
x2 y2 1 (a b 0) a 2 b2
3.趋势分析：将圆锥曲线的方程求法与向量、数列、不等式、解三角形等相综合，在复习时应予以关注.
谢谢
4.合作探究
探究3：类比椭圆及双曲线轨迹的画法，请同学们在几何画板中画出抛物线的轨迹？
5.高考真题研究
例1.（2013年安徽文第21题）
2 2 x y 已知椭圆C: 2 2 1(a b 0)的焦距为4，且 a b
过点P ( 2 , 3 ) .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）略
例2.（2016年课标Ⅰ卷理科第20题）设圆 x 2 y 2 2x 15 0 的圆心为A，直线l 过点B（1,0）且与x轴不重合，l 交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （II）略
a, b,c
4.合作探究
探究1：（人教版选修2-1第49页第7题）如图，圆 O 的半径为定 P 是圆上任意一点.线段 AP 长 r ，A 是圆 O 内一个定点，的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q ，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是什么？为什么？
P
l
A
Q
O
4.合作探究
探究2：类比椭圆轨迹的画法，请同学们在几何画板中画出双曲线的轨迹？
圆锥曲线定义在解题中的应用 ——定义与方程

(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1

合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1，解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
自主学习新知突破
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程．
思路点拨：根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
合作探究课堂互动
高效测评知能提升
(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
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高效测评知能提升
3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析：与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
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第二章圆锥曲线与方程
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第二章圆锥曲线与方程

人教版高中选修2-1第二章圆锥曲线与方程课程设计

人教版高中选修2-1第二章圆锥曲线与方程课程设计前言圆锥曲线和方程是高中数学中比较重要的内容，也是大学数学的基础概念之一。

掌握圆锥曲线和方程的知识对于学习高中数学和后续的学习都非常重要。

因此，在高中选修2-1第二章中，我们将对圆锥曲线和方程进行深入学习。

本文将介绍高中选修2-1第二章圆锥曲线与方程的课程设计，包括课程目标，教学内容、教学方法、教学评价以及课程总结。

课程目标本课程的主要目标是帮助学生：1.掌握圆锥曲线的基本定义，了解圆锥曲线的种类和性质；2.熟悉圆锥曲线的一般方程及其图形；3.掌握圆锥曲线双曲线、抛物线、椭圆的解析式，并能应用解析式解决相关问题。

了解圆锥曲线的应用。

教学内容1.圆锥曲线的基本知识•圆锥面、焦点、准线、二次曲线的定义；•二次曲线的种类和一般式；•二次曲线的图形，以及曲线的变换（平移、旋转、缩放）。

2.圆锥曲线的特殊曲线•椭圆曲线：标准方程、图像、离心率、长轴、短轴、焦距等；•双曲线曲线：标准方程、图像、离心率、渐进线等；•抛物线曲线：标准方程、图像、焦点、准线等。

3.圆锥曲线的应用•圆锥曲线在实际生活中的应用，如抛物线的反射原理、椭圆的轨道等；•初步认识轨迹的概念和轨迹的应用。

教学方法本课程采取多种教学方法，包括讲授、互动、实例演练、小组讨论等，以帮助学生更好地理解圆锥曲线和方程的基本概念和性质。

•讲授：通过讲解基本概念和性质，让学生快速掌握圆锥曲线的基本定义和分类，以及它们的特点和性质；•互动：通过互动，可以使学生更好地理解圆锥曲线的基本概念和性质，提高学生的学习兴趣；•实例演练：通过演示一些实例，可以使学生更加深入地理解圆锥曲线的应用；•小组讨论：通过小组讨论，可以让学生更好地交流，共同解决问题，提高学生的思维能力和解决问题的能力。

教学评价为了评价学生对圆锥曲线和方程的掌握程度，我们将采取以下方式进行教学评价：1.期中考试：期中考试是对学生第一学期学习成绩的考核，旨在检验学生对圆锥曲线和方程的基本概念掌握情况，并对学生进行及时反馈；2.作业：教师提供多种类型的作业形式，如作图、计算题和简答题等，以检验学生对圆锥曲线和方程不同方面的掌握情况；3.小组讨论：小组讨论活动是一种合作学习方式，通过小组内的交流和互动，来评估学生的沟通和交流技能；4.期末考试：期末考试是对学生第二学期学习成绩的考核，考试范围包括圆锥曲线和方程的全面知识，考察学生对圆锥曲线和方程的应用能力。

人教版高中数学【选修 2-1】第三章圆锥曲线的概念及性质

人教版高中数学精品资料重点列表：重点名称重要指数重点1 椭圆 ★★★★ 重点2 双曲线 ★★★ 重点3 抛物线★★★★椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b + 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞条件22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．双曲线的标准方程重点1：椭圆的定义及性质【要点解读】1．熟悉椭圆定义、标准方程，在熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程中所使用的数学思想方法．2．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．3．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．4．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．5．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．6．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．7．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．【考向1】利用定义求椭圆的方程【例题】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.【评析】椭圆的定义是高考的常考点，应掌握椭圆的定义以及参数a ，b ，c ，e 的几何意义和相互关系．【考向2】椭圆定义的应用【例题】如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．求该椭圆的离心率和标准方程．解：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．易知||OB 1＝||OB 2＝12||OF 1＝c2，||AB 1＝||AB 2，又∵△AB 1B 2为直角三角形，∴∠B 1AB 2＝90°.∴||OA ＝||OB 1，即b ＝c 2，有b 2＝a 2－c 2＝c 24，得e 2＝45，e ＝255.∵S △AB 1B 2＝12||B 1B 2·||AO ＝12bc ＝12·c 2·c ＝c 24＝4，∴c 2＝16，b 2＝4，a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y 24＝1. 【考向3】椭圆的离心率【例题】设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D.【评析】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．重点2：双曲线的定义及性质【要点解读】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．4．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 5．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【考向1】双曲线的定义【例题】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)； (2)实半轴长为23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点．解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)， ∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b 2b 2＋4. 联立⎩⎨⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)由双曲线x 216－y 24＝1得其焦点坐标为F 1(-25，0)和F 2(25，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．易知a ＝23，c ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．【考向2】双曲线的离心率【例题】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若AF →＝4FB →，则C 的离心率为________．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右准线为l ，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，作BD ⊥AM 于点D ，由直线AB 的斜率为3知直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD ＝60°，|AD |＝12|AB |.又|AM |－|BN |＝|AD |＝1e (|AF →|－|FB →|)＝12|AB |＝12(|AF →|＋|FB →|)．又AF →＝4FB →， ∴1e ·3|FB →|＝52|FB →|，得e ＝65.故填65. (亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A 版教材选修2－1P59例5)||PF 1＝e ⎝⎛⎭⎪⎫x P ＋a 2c ＝4a ，x P ＝3a 2c ≥a ，得1<e ≤3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比【考向3】双曲线的渐近线【例题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ． y ＝±12xD ． y ＝±x【评析】本题考查双曲线的离心率，a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解．2．双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．重点3：抛物线的定义及性质【要点解读】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【考向1】抛物线的定义及标准方程【例题】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a2.由题意可得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，m ＝92，或⎩⎨⎧a ＝－1，m ＝－92，或⎩⎨⎧a ＝9，m ＝12，或⎩⎨⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m ＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C ．115D ．3716解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．提倡作出合理的草图，图形合理，才能观察出图形的几何性质，并加以研究，为准确的代数化打下基础．难点列表：椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a=等．设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

人教课标版高中数学选修2-1《曲线与方程》教学设计

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程一、教学目标（一）学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3.学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法. （二）学习重点“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.（三）学习难点怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第34页至第35页.（2）想一想：什么是曲线的方程与方程的曲线？（3）写一写：以前学习过的直线的方程与圆的方程.2.预习自测1.如果曲线C上的点的坐标满足方程(,)0F x y=，则下面说法正确的是（）A.曲线C的方程是(,)0F x y=B.方程(,)0F x y=的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0F x y=的点不在曲线C上D.坐标满足(,)0F x y=的点在曲线C上【知识点】曲线的方程与方程的曲线.【解题过程】利用曲线与方程的关系判断，条件中曲线C上的点的坐标(,)x y都是方程(,)0F x y=的解，满足了曲线和方程的概念条件，而且阐明曲线C上没有坐标不满足方程(,)0F x y=的点，故C正确.【思路点拨】有关曲线方程与方程曲线应正确理解概念的两方面内容.【答案】C（二）课堂设计1. 新知讲解探究一结合实例，认识曲线与方程●活动①归纳提炼概念在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线.引例1：作出方程x-y=0表示的直线.借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会：必须同时满足：（1）直线上的点的坐标都是方程的解和（2）以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点，即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系，那么直线（图形）方程（数量）变式：作出函数2xy=的图象.类比方程2xy=与如图所示的抛物线.这条抛物线是否与这个二元方程2xy=也能建立这种对应关系呢？（按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.）推广：那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢？现在请同学们思考这样的问题：【设计意图】培养学生由特殊到一般的解决问题的方法，以及归纳概括的能力.方程F (x,y )=0的解与曲线C 上的点的坐标具备怎样的关系，就能用方程F (x,y )=0表示曲线C ，同时曲线C 也表示着方程F (x,y )=0,为什么要具备这些条件？引例2：用下列方程表示如图所示的曲线C ，对吗？为什么？（1）0=-y x（2）022=-y x（3）0=-y x方程（1），（2），（3）都不是表示曲线C 的方程.第（1）题中曲线C 上的点不全是方程0=-y x 的解.例如点A (-2,-2)，)3,3(--B 等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；第（2）题中，尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”，但是以方程022=-y x 的解为坐标的点却不全在曲线C 上.例如D (2,-2)、)3,3(-E 等，即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；第（3）题中，则既有以方程0=-y x 的解坐标的点，如G (-3,3)、)2,2(-H 等不在曲线C 上，又有曲线C 上的点，如M (-3,-3)、N (-1,-1)等的坐标不是方程0=-y x 的解.事实上，（1）、（2）、（3）中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况.上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程的例1；又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系.假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话，我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了.在下定义时，针对例2（1）中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”，以及（2）中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况，对“曲线的方程”应作何规定？为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点，必须规定“曲线上的点的坐标都是方程的解”；为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上，必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x,y )=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上的点的坐标都是方程的解；（纯粹性）（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.（完备性）那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F .请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系？进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义.关系（1）指点集C 是点集F 的子集；关系（2）指点集F 是点集C 的子集.这样，根据集合的性质，我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”，即探究二判断曲线的方程例1 证明与两条坐标轴的距离之积是常数k (k >0)的点的轨迹方程是k xy ±=.【知识点】曲线的方程.【解题过程】（1）设00(,)M x y 是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以k y x =⋅00即00(,)x y 是方程k xy ±=的解.（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11. 而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条直线的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点.由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数k (k >0)的点的轨迹方程.【思维点拨】先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.例2 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：（1）过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程||2x =之间的关系；（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy =5之间的关系.【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】（1）过点A (2,0)平行于y 轴的直线上的点的坐标都是方程||2x =的解，但以方程||2x =的解的坐标的点不都在过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上，因此，||2x =不是过点A (2,0)平行于y 轴的直线方程.（2）与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy =5，如(x,y )=(-1,5)，但以方程xy =5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5，因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy =5.【思维点拨】定义中的两个条件缺一不可，是不可分割的.同类练习已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和(1,1)B ，求,a b 的值. 【知识点】曲线的方程与方程的曲线的概念.【解题过程】曲线过点A 、B ，则A 、B 点的坐标为方程222ax by +=的解，故有25292b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：32251825a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【思维点拨】根据曲线的方程定义可知：曲线上的点都是方程的解，从而可以建立方程求解a,b .例3. 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）20x -=；（2）(231)0x y +-=；（3）2(3412)[log (2)3]0x y x y --+-=；【知识点】本题考查如何理解方程表示的曲线.【解题过程】（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为 0)13)(532(=---+x y x.4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线2350(3)x y x +-=≥和一条直线4x =. （3）因为2(3412)[log (2)3]0x y x y --+-=直线。

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)“圆锥曲线起始课”教学设计一．【教学内容解析】1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继研究了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法．2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想．3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的研究对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值．本节课的内容是选自XXX《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课．二．【教学目标设置】1．知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）．2．过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主研究以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的研究方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法．3．情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发研究圆锥曲线的兴趣，能够自主研究、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观．4．重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义．难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义．三．【学生学情阐发】1．这节课的授课工具是高中二年级的学生，他们有较好的研究惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已研究了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还研究相识析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理题目的能力．在方法的层面，学生在高1、高二年级的研究中基本把握了数形结合的脑筋与类比与转化脑筋．2．学生在研究过程中,也可能会遇到诸多艰巨：从空间的圆锥截出平面图形的转化题目，特别是通过Dandelin双球发觉椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及静态题目．四．【讲授策略阐发】1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入研究圆锥曲线的研究，为后面采用解析的方法研究埋下了伏笔．2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操1作确认，避免过分抽象.思争吵证、度量计算等手腕在后续课程中再接纳．3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性．五．【教学过程】环节1．课题引入教学过程和师生活动通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线．意图，理念与备注1．从实践生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在脑筋中产生各类曲线的开端印象，为下一步的数学抽象做准备．2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象．师生活动：让学生踊跃讲话．2．复和准备1.温圆锥的形成2.由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出分歧的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。

最新人教版高中数学选修2-1第二章《曲线与方程》示范教案

第二章圆锥曲线与方程本章概览教材分析“圆锥曲线与方程”是理科选修21的第二章内容，是必修教材中解析几何的延续，在那里我们研究了直线和圆，选修教材在此基础上进一步研究圆锥曲线与方程．对于这段内容，文科与理科的处理基本相同，只有细微的区别．笛卡儿的坐标系，开启了变量数学的大门．学了距离公式、直线和圆的方程这些入门功夫，算是品尝了数形结合的思想．要进一步感受这种思想的奥妙和威力，就来探索如何用解析几何的方法研究圆锥曲线吧！地球和宇宙飞船的轨道，子弹的飞行路线，一去不返的彗星的遗迹，放到直角坐标系里原来都是二次方程．用了代数方法，古人用非凡智慧才能洞悉的圆锥曲线的奥秘，就水落石出真相大白了．圆锥曲线是一个重要的数学模型，课本章前图讲了圆锥曲线可以由平面截圆锥得到，讲了它的广泛应用，“天上地下，圆锥曲线无处不在”．因此，无论从数学的进一步学习和研究，还是从今后在日常生活和实践的应用来看，学习这部分内容都是非常重要的．“圆锥曲线与方程”这部分内容研究的对象是圆锥曲线，其中圆锥曲线的几何性质可以从动手实验和直观的观察得到，而进一步深入的定量研究就要依靠对曲线与方程之间对应关系的了解，通过对方程这样一个代数对象的分析研究获得对圆锥曲线的几何性质的认识．因此，对这部分内容的学习，就不只是为获得对圆锥曲线性质的了解，而是要进一步体会数形结合的重要数学思想．历史上，正是这一重要的数学思想推动了数学跨越式的革命．事实上，在解析几何诞生后不久，微积分便产生了，这在数学发展的进程中是件里程碑价值的事件．我们说，学生在数学上的进步本质不单靠数学知识的积累，而是数学思想与数学方法的提升．数学从实践中来，建立了数学模型之后，又返回到实践中去，应用的范围得到了极大的扩展，这才显示出数学的力量．圆锥曲线正是对此有效诠释的一个极好的素材．从2000多年以前古希腊人研究圆锥曲线，到笛卡儿、开普勒、牛顿，直到今天的航天飞行，学生从数学文化的角度，从圆锥曲线的应用的角度都能受到很好的数学教育．因此，“圆锥曲线与方程”是一部分很有挖掘价值的素材，我们期望学生通过这部分内容的学习获得更多的收获．新教材在教材的选择与编排上力图体现知识的发展过程，丰富学生的数学活动，突出数学模型的建立，体现数形结合的思想，介绍圆锥曲线的重要应用与文化背景．希望给学生展现出更加生动活泼的数学，并给学生留有更多的思考空间．其主要特色：1．数学实验丰富了学生的数学活动；2．知识的呈现体现出层次性(先从几何直观想性质，再从方程进行研究)．课标要求1．曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．2.圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．教学建议1．把握教学要求本章理科共分四大节，前一节的重点是掌握求曲线方程的一般步骤．后三节分别研究了椭圆、双曲线、抛物线的概念和简单几何性质．并插入学会用坐标法解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．教学时力求突出主干知识，精选内容：研究圆锥曲线方程时主要介绍标准方程，不涉及一般方程；在利用方程研究圆锥曲线的几何性质时，只讨论最简单、最主要的性质，满足基本的需要，并使学生在此过程中学会研究曲线性质的一般方法；对有兴趣的学生可鼓励自主探究，并通过“思考”“探究”“探究与发现”“阅读与思考”等栏目，以及在条件许可下运用信息技术提供发展空间．另外，根据问题的难易度及学生的认知水平，只要求掌握椭圆、抛物线的定义，对双曲线只要求“了解双曲线的定义”．2．突出基本思想解析几何的基本思想是曲线与方程、方程与曲线的关系；突出用方程研究曲线，用代数方法研究曲线的性质．由于教材是先通过特殊曲线，从感性上认识曲线方程的意义，再建立一般的曲线方程的概念，因此在建立椭圆、双曲线、抛物线的方程时，可不必涉及方程的解与曲线上的点的对应关系的两个方面，重点放在“如何建立曲线方程”及“怎样用曲线方程研究曲线的几何性质”上．曲线方程的概念比较抽象，教学时只需通过已经学习过的几种曲线的方程与曲线的关系进行概括，并通过具体问题让学生适当感受，并在应用中加深体会，不要在定义的两个方面作过多研究．本章的数学教育价值是“数形结合”的数学思想方法，《标准》中多次提到“让学生体会和感受数形结合的思想”，应在本章中得到较好的落实．3．重视引入过程在椭圆的学习过程中，教材从圆出发，给出“探究”栏目，通过把细绳的两端分开，让学生观察轨迹的形状，建立与已有知识的联系与区别；由画图的过程，探究形成轨迹的动点满足的几何条件，展现曲线的典型几何特征；在此基础上，给出具有这种典型几何特征的轨迹的正式名称：椭圆；通过观察椭圆的形状，引导学生建立适当的直角坐标系，用点的坐标表示距离，建立椭圆的标准方程．教材意在突出知识的发生、发展过程，引导学生自主学习探索，既动手又动脑，获得体验；在感性认识的基础上，把具体直观的图形“椭圆”抽象形式化(代数化)为“方程”，形成理性认识．其他两种圆锥曲线：双曲线与抛物线，虽然它们的几何特征与椭圆不同，但其引入过程以及标准方程的建立过程，都可与椭圆相类比展开．课时分配2.1曲线与方程整体设计教材分析“曲线和方程”这节教材揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系，为“作形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径，这正体现了解析几何这门课的基本思想，对全部解析几何教学有着深远的影响．学生只有透彻理解了曲线和方程的意义，才算是寻得了解析几何学习的入门之径．如果认为学生不真正领悟曲线和方程的关系，照样能求出方程、照样能计算某些难题，因而可以忽视这个基本概念的教学，这不能不说是一种“舍本逐题”的偏见，应该认识到这节“曲线与方程”的开头课是解析几何教学的“重头戏”！根据以上分析，确立教学重点是：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；难点是：怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．课时分配本节共安排两个课时，第一课时讲解曲线与方程的概念和简单的求曲线方程，第二节讲解求曲线方程的方法与步骤．2．1.1曲线与方程教学目标知识与技能1．了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2．初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3．学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4．强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．过程与方法1．通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2．在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能有条理地阐述自己的观点；3．能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．情感、态度与价值观1．通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；2．通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神．重点难点教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；教学难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．教具准备三角板、多媒体教学设备．教学过程引入新课在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线．下面看一个具体的例子：问题1：画出方程x－y＝0表示的直线，同时思考直线上的点的坐标是否都是方程的解，另一方面以这个方程的解为坐标的点是否都在直线上？借助多媒体让学生从直观上深刻体会如下结论：1．直线上的点的坐标都是方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在直线上．即直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系．也即引导学生类比、推广并思考相关问题：类比：推广：即任意的曲线和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即方程F(x，y)＝0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F(x，y)＝0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F(x，y)＝0？为什么要具备这些条件？以上问题就是本节课的内容：曲线与方程(板书课题)．探究新知在上面的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个．现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竟用怎样的关系才能把问题推广中的曲线与方程的这种对应关系完整地表达出来？为了弄清这些问题，首先提出如下的问题：问题2：用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？请同学们思考：(1)x－y＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.活动设计：学生独立思考，教师巡视指导．活动成果：方程(1)、(2)、(3)都不是曲线C 的方程．第(1)题中曲线C 上的点不全是方程x －y ＝0的解；例如点A(－2，－2)、B(－3，－3)等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论．第(2)题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程x 2－y 2＝0的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D(2，－2)、E(－3，3)等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论．第(3)题中既有以方程|x|－y ＝0的解为坐标的点，如G(－3,3)、H(－2，2)等不在曲线上，又有曲线C 上的点，如M(－3，－3)、N(－1，－1)等的坐标不是方程|x|－y ＝0的解．事实上，(1)、(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况．教师点评：以上我们观察分析了问题1、问题2，发现问题1完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而问题2不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程．如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了．问题：在下“曲线的方程”和“方程的曲线”定义时，针对问题2中第(1)个问题“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”应作何规定？学生思考活动：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”．老师再提问：针对问题2中第(2)个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？学生思考回答：“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”．这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．理解新知教师提出问题：大家熟知，曲线可以看作是由点组成的集合，记作C ；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因此二元方程的解集也描述了一个点集，记作F.请大家思考：如何用集合C 和F 间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义．启发学生得出：关系(1)指点集C 是点集F 的子集；关系(2)指点集F 是点集C 的子集．这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：.⎭⎬⎫⊆⊆C F F C )2()1( C=F总结说明：另外从充要条件的角度看，关系(1)或(2)仅是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，只有两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．运用新知1．初步应用、突出内涵1下列各小题中，如图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系(1)还是关系(2)?学生活动：思考．成果：(1)错．不符合定义中的关系(2)，即C F但F C.(2)错．不符合定义中的关系(1)，即F C但C F.(3)错．不符合定义中的关系(1)和(2)，即C F且F C.2．变式训练解答下列问题，且说出各依据了“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的哪一个关系？(1)点A(3，－4)、B(－25，2)是否在方程x2＋y2＝25表示的圆上？(2)已知方程为x2＋y2＝25的圆过点C(7，m)，求m的值．学生回答：(1)依据关系(2)点A在圆上，依据关系(1)点B不在圆上．(2)依据关系(2)求得m＝±3 2.2证明：以坐标原点为圆心，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25.教师提出问题：请同学思考，证明应从何着手？学生活动：思考应从以下两方面：(1)圆上的点的坐标都满足方程：x2＋y2＝25；(2)以方程x2＋y2＝25的解为坐标的点都在圆上．教师点评：(1)中的“点”和(2)中的“解”指的都是有关集合中的全体元素，怎样解决全体问题？(学生思考片刻后)用“任意一个”代表“全体”是数学证明中常用的方法．(请同学们完成证明过程，同桌间交流，参照课本例1的证明步骤纠正错误，完善证题过程，加强证明题的严密性．)课堂小结本节课我们通过实例研究了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题．布置作业1．教材习题2.1A组第1题．2．思考题：如果两条曲线的方程F1(x，y)＝0和F2(x，y)＝0的交点为M(x0，y0)，求证：方程F1(x，y)＋λF2(x，y)＝0表示的曲线也经过点M.(λ为任意常数)设计说明这节课我们将直线引申到了一般的曲线，应用了特殊到一般，一般到特殊的方法，研究了曲线的方程和方程的曲线的定义．在领会定义时，要注意关系1、2缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具有充分性．曲线与方程一一对应关系的确立，进一步把曲线与方程统一了起来，通过数研究形，同时形也为数提供了直观背景．我们要有数形结合的意识．笛卡儿等人在解析几何中创立的用坐标表示点，用方程表示曲线，通过代数方法研究几何问题的思想方法意义重大．设计中注重了概念的形成过程，注重了学生的认识规律．备课资料近代数学本质上可以说是变量数学，而变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明．解析几何的真正发明者应归功于法国两位数学家笛卡儿(R.Descartes,1596～1650，哲学名言：“我思故我在”)和费马(P.DeFermat,1601～1665)．笛卡儿出生于法国都伦的拉哈耶，贵族家庭的后裔，父亲是个律师．他早年受教于拉福累歇的耶稣会学校.1612年赴巴黎从事研究，曾于1617年和1619年两次从军，离开军营后旅行于欧洲，他的学术研究是在军旅和旅行中作出的. 关于笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说：一个传说讲，笛卡儿终身保持着在耶稣会学校读书期间养成的“晨思”的习惯，他在一次“晨思”时，看见一只苍蝇正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了苍蝇与相邻的两个墙壁的距离之间的关系，就能描述它的路线，这使他的头脑中产生了关于解析几何的最初闪念；另一个传说是，1619年冬天，笛卡儿随军队驻扎在多瑙河畔的一个村庄，在圣马丁节的前夕(11月10日)，他作了三个连贯的梦，笛卡儿后来说，正是这三个梦向他揭示了“一门奇特的科学”和“一项惊人的发现”，虽然他从未明说过这门奇特的科学和这项惊人的发现是什么，但这三个梦从此成为佳话，给解析几何的诞生蒙上了一层神秘的色彩．人们在苦心思索之后的睡梦中获得灵感与启示，不是不可能的事情，但事实上笛卡儿之所以能创立解析几何，主要是他艰苦探索、潜心思考、运用科学的方法，同时批判地继承前人的成就的结果．华罗庚论数形结合：数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，割裂分家万事非．切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．随着学习的逐步深入，同学们可以进一步做到形与数的密切结合；体会到数学基础知识与实际应用的密切联系；体会到由于解析几何的创立可使函数概念的内涵更加丰富；并从中领略笛卡儿等数学家们的创新精神．(设计者：赵中华)。

人教新课标版数学高二选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》知识概述

数学·选修2－1(人教A版)
圆锥曲线与方程
本章知识概述
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在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的简单性质，并用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的基本思想．
学习内容
1．圆锥曲线．
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质；
(4)了解圆锥曲线的简单应用；
(5)理解数形结合的思想．
2．曲线与方程．
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
网络构建。

(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.4.1

数学选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
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[问题1] 画出的曲线是什么形状？ [提示1] 抛物线． [问题2] |DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？ [提示2] 是，AB是Rt△的一条直角边． [问题3] 点D在移动过程中，满足什么条件？ [提示3] |DA|＝|DC|.
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◎已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，求该抛物线的方程．
抛物线的实际应用
一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值．
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若抛物线开口向上，焦点在y轴上，设其方程为 x2＝2py(p＞0)，将点M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为y2＝－6x或x2＝6y.
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人教版高中数学选修(2-1)-2.1《圆锥曲线与方程》教材解析

圆锥曲线与方程教材解析（黄亿君）本章研究椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点.解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求我们既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对我们能力的要求较高，所以坐标方法是要求我们必须熟练掌握的.本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线，因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上，通过求椭圆的标准方程，使我们掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法，这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，我们就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成，在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高.本章的学习要求如下：①掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；②能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用③进一步掌握坐标方法；④结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求我们学习的内容之一，所以在这一章的学习过程中，要刻注意这种数学思想的运用，并注意以下几点：1．注意训练将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题.2．注意在解决问题的过程中，充分利用图形.在解解折几何的题目时，往往在得到曲线的方程以后就把图形抛到一边去了，不再利用图形，忽视了图形直观对启发思路的作用.例如，已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，求这两点的距离，解这个题目如果单纯用代数方法，可以完全不用图形；可是借助图形可以使问题变得简单，在解决解析几何的问题中，充分利用图形，有时不仅简单，而且能开阔思路.3．为了在学习解析几何的过程中，以及今后的实际工作中能顺利地画出圆锥曲线的草图，教材结合圆锥曲线几何性质的教学，突出了圆锥曲线标准方程中a,,,,的几何意义，根据它们的几何意义来画草图就比较方便，我们要bcpe充分利用这一点.。

【高中数学说课稿】人教A版高中数学选修2-1第二章2.1.1《曲线和方程》说课稿

《曲线和方程》说课稿---人教A版高中数学选修2-1第二章2.1.1一、关于教材分析1、教材的地位和作用“曲线和方程”是人教A版高中数学选修2-1第二章的内容，是对一般曲线(也包括直线)与二元方程的关系作进一步的研究。

这部分内容从理论上揭示了几何中的“形”与代数中的“数”相统一的关系，为“形”与“数”的相互转化开辟了途径，同时也体现了解析几何的基本思想，为解析几何的教学奠定了一个理论基础。

2、教学内容的选择和处理本节教材主要讲解曲线的方程和方程的曲线、坐标法、解析几何等概念，讨论怎样求曲线的方程以及曲线的交点等问题。

共分四课时完成，这是第一课时。

此课时的主要内容是建立“曲线的方程”和“方程的曲线”这两个概念，并对概念进行初步运用。

我在处理教材时，不拘泥于教材，敢于大胆进行调整。

主要体现在对曲线的方程和方程的曲线的定义进行归纳上，通过构造反例，引导学生进行观察、讨论、分析、正反对比，逐步揭示其内涵，然后在此基础上归纳定义；再一点就是在得出定义之后，引导学生用集合观点来理解概念。

3、教学目标的确定根据教学大纲的要求以及本节教材的地位和作用，结合高二学生的认知特点，我认为，通过本节课的教学，应使学生理解曲线和方程的概念；会用定义来判断点是否在方程的曲线上、证明曲线的方程；培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力，渗透数形结合的数学思想；并借用曲线与方程的关系进行辩证唯物主义观点的教育；通过对问题的不断探讨，培养学生勇于探索的精神。

4、关于教学重点、难点和关键由于曲线和方程的概念体现了解析几何的基本思想，学生只有透彻理解了这个概念，才能用解析法去研究几何图形，才算是踏上解析几何的入门之径。

因此，我把曲线和方程的概念确定为本节课的教学重点。

另外，由于曲线和方程的概念比较抽象，加之刚刚进入高二的学生抽象思维能力还不是很强，因此，他们对曲线和方程关系的“纯粹性”与“完备性”不易理解，弄不清它们之间的区别与联系，易产生“为什么要规定这样两个关系”的疑问。

圆锥曲线定义的应用优质课说课获奖课件

0)
的左、右焦点，过点F1 的直线交E于A,B两点，且|AF1|=3|F1B|,
cos
AF2 B

3 5
,|F1B|<2a,则双曲线
E的离心率为
练习5.若点A的坐标为（3，2）, F为抛物线y2=2x的焦点，点P是
抛物线上的一个动点，则|PA|+|PF|的最小值是
6 教学过程分析
4.课堂小结
形中位5 线定理.让7学生
体C会. 从定义D.入手得到
4 4 AF s 1 , BF t 1
4
4
是解题关键
6
教学【过设计程意分图】析让学生体会通过数形结合，从定义
的角度得到a,b,c这三个量之间的关系，进而求
（4）求渐得近渐线近线问方题程.
例6.设F1,F2分别为
x2 a2
y2 b2
则E的离心率为（）
A. 2
3
B.
2
C. 3 D. 2
6 教学过程分析
（3）求距离问题
例5（2011年•辽宁）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物
线上的两点，且|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为（）
1 3
【A设. 计意图】B本. 题主
要考查4 抛物线的定义、
数形结合思想以及梯
1(a＞0,b＞0)
的左、右焦点.
若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线
PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线
方程为（）
A.3x 4y 0
B.3x 5y 0
C.4x 3y 0
D.5x 4y 0
6

人教A版高中数学选修2-1课件圆锥曲线问题的定义法.pptx

(4)过点(1, 0)且与直线x=-1相切的圆的圆心的轨迹是什么？
2
2
A的轨迹是以BC为焦点的双曲线的右支不含顶点
其方程为 x2 a2
y2 3a2
1 x 0.
16 16
探索提高
练习2.ABC顶点为A(0, 2),C(0, 2),三边长a,b, c 成等差数列,公差d 0,求动点B的轨迹方程.
解：由题意 BC BA 2 AC 8且 BC BA 动点B的轨迹是以A、C为焦点，以8为长轴长的椭圆在y轴右边的部分，故所求轨迹方程为
42
A
1,
1
，P是椭圆上的动点，求
PA
PF 2
的最小值.
2
解：PA PF PF F A PF
2
1
1
2
37
2a F A 2 5 1
2
.当且仅当
P
F 、P、A共线，且P在y轴左侧时 1
y
A F1 o F2
P x
37
取“=”， PA PF2 最小值为2 5
.
2
2
x 练习1.已知F1、F2分别是双曲线
Q的轨迹C是以F1 -1，0为圆心，以4为半径的圆.故所求
Q的轨迹方程为 x 12 y2 16.
YQ P
F1
F2
O
X
在平面内 ,讨论：
(1)已知A(2,3)且 PA 3,则点P的轨迹是什么？
(2)已知ABC的一边BC的长为3, 周长为8, 则顶点A的轨迹是什么？ (3)若A(3,0), B(3,0),且 MA MB 4,则点M的轨迹是什么？
2.PF1F2的面积何时最大？最大值是多少？
3.F1PF2一定存在直角吗？何时有且只有两个直角?

人教版A版高中数学高二选修2-1 第二章复习浅谈圆锥曲线定义的综合运用.

浅谈圆锥曲线定义的综合运用圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础，对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。

这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。

一、椭圆定义的深层运用例1. 如图1，P为椭圆上一动点，为其两焦点，从的外角的平分线作垂线，垂足为M，将F2P的延长线于N，求M的轨迹方程。

图1解析：易知故在中，则点M的轨迹方程为。

二、双曲线定义的深层运用例2. 如图2，为双曲线的两焦点，P为其上一动点，从的平分线作垂线，垂足为M，求M的轨迹方程。

图2解析：不妨设P点在双曲线的右支上，延长F1M交PF2的延长线于N，则，即在故点M的轨迹方程为三、抛物线定义的深层运用例3. 如图3，AB为抛物线的一条弦，|AB|＝4，F为其焦点，求AB的中点M到直线y＝－1的最短距离。

图3解析：易知抛物线的准线l：，作AA”⊥l，BB”⊥l，MM”⊥l，垂足分别为A”、B”、M”则即M到直线的最短距离为2故M到直线y＝－1的最短距离为。

评注：上述解法中，当且仅当A、B、F共线，即AB为抛物线的一条焦点弦时，距离才取到最小值。

一般地，求抛物线的弦AB的中点到准线的最短距离，只有当（即通径长）时，才能用上述解法。

四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用例4. ①已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）图4②已知圆，M为圆上任一点，MP的垂直平分线交OM于Q，则Q的轨迹为（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线解析：①如图4，由垂直平分线的性质，知|QM|＝|QP|，而|QM|＝|OM|－|OQ|＝2－|OQ|即|OQ|＋|QP|＝2＞|OP|＝故Q的轨迹是以O（0，0）、P为焦点长轴长为2的椭圆。

应选B。

②同理，利用垂直平分线的性质及双曲线的定义，可知点Q的轨迹为双曲线的一支，应选C。

五、椭圆与双曲线定义的综合运用例5. 如图5，已知三点A（－7，0），B（7，0），C（2，－12）。

人教版高中选修2-1《圆锥曲线》单元教学设计

人教版高中选修2-1《圆锥曲线》单元教学设计《人教版高中选修2-1《圆锥曲线》单元教学设计》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！一、教材的地位和知识结构：本单元是在学生学习完必修教材的直线与圆的基础上进行的.圆锥曲线是解析几何的重要内容，分为椭圆、双曲线、抛物线三部分。

而椭圆又是学生遇到的第一种圆锥曲线，能否学好椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，是学生能否比较系统地学好另外两种圆锥曲线的基础，甚至是学生能否学好解析几何的关键。

而椭圆在教材中具有“承上启下”的作用，前面是二次曲线中最特殊的圆，后面是双曲线、抛物线。

圆椭圆双曲线抛物线的定义、方程、性质知识链背后贯穿着一条暗线：点与距离和建立适当的直角坐标系求方程问题即坐标法。

在圆锥曲线的教学中始终贯穿坐标法这一重要思想。

因此改变原来的课时“匀速运动”的教学方式，在整个单元的知识结构、特有的育人价值思考的基础上，把椭圆的教学作为“教学结构”阶段;双曲线、抛物线的教学作为“运用结构”阶段。

即采取“长程两段”的教学策略。

二、“教学结构”阶段知识目标：掌握椭圆的定义、标准方程、简单几何性质;能力目标：培养学生的思维能力、探究能力、归纳抽象能力以及等价转化思想为重点的教学思想.情感与态度目标：通过动手实验，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值。

培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力。

教学重点：椭圆定义的形成、标准方程、几何性质;理解坐标法的基本思想。

教学难点：椭圆定义的语言表述、符号表示、标准方程的化简。

教学方法：“三放三收”的设计方案。

创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结.椭圆定义与方程的教学过程：问题设计意图师生活动用绳子、图钉在本子上怎样画出一个圆?复习圆的定义，运用学生的“基础性资源”为下一步学习新知识作引子。

学生动手画圆。

有固定绳子一端的;有绳子两端点重合固定在图钉上，再把图钉固定在本子上。

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线定义在解题中的应用：定义与方程(说课)》