4.2抛物线的对称轴和顶点(2014年)

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二次函数的对称轴与顶点

二次函数的对称轴与顶点二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学的应用中扮演着重要的角色。

其中，二次函数的对称轴与顶点是我们在研究二次函数时经常遇到的概念。

在本文中，我们将探讨二次函数的对称轴与顶点，并讨论它们在实际问题中的应用。

首先，让我们来了解二次函数的基本形式：y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b、c是常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

对于一个二次函数，它的对称轴是通过抛物线的顶点的一条垂直线。

对称轴将抛物线分为两个对称的部分。

接下来，我们来研究如何确定二次函数的对称轴。

对称轴的方程可以通过求解二次函数的一阶导数为0来得到。

一阶导数为0意味着函数的斜率为0，即函数曲线在该点的切线是水平的。

因此，对称轴的方程可以表示为x = -b/2a。

这个公式可以帮助我们快速计算出对称轴的位置。

对称轴的位置对于我们研究二次函数的图像和性质非常重要。

通过对称轴，我们可以确定二次函数的顶点。

顶点是二次函数图像的最低点或最高点。

对于开口向上的二次函数，顶点是图像的最低点；对于开口向下的二次函数，顶点是图像的最高点。

顶点的坐标可以通过将对称轴的x值代入二次函数的表达式中来计算。

顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

现在，让我们来看一些实际问题，看看对称轴和顶点在其中的应用。

假设我们要设计一个喷泉，喷泉的水柱是由一个二次函数模拟的。

我们希望喷泉的水柱能够达到最高点，并且以对称的方式向两侧喷射。

通过研究二次函数的对称轴和顶点，我们可以确定喷泉的喷水方向和喷水高度。

对称轴将喷水方向分为两个对称的部分，而顶点则表示喷水的最高点。

另一个实际问题是研究一个汽车的加速度。

假设我们有一辆汽车，我们想知道在什么时候汽车的加速度最大。

通过建立一个二次函数来模拟汽车的加速度变化，我们可以通过求解对称轴的x值来确定加速度最大的时刻。

对称轴的x值表示汽车加速度变化的临界点，即加速度从正值变为负值的时刻，也就是加速度最大的时刻。

抛物线顶点和对称轴

用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴解析式
练习题9：
y x 7 x 14;
2
49 49 解： y x 7 x 14 4 4 7 2 7 ( x ) , 2 4 7 7 顶点坐标： ( , ), 2 4
2
y
O
x
对称轴：
7 x ; 2
用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴解析式
用配方法求抛物线的顶点坐标和对称轴解析式
练习题12：
y
O
x
抛物线方程
天津石化一中曹诚
2002.4
y
2 y=x
顶点:(0, 0),
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
2 y=x –2x
y
顶点:(1, –1),
2 y=(x–1) –1,
? ????
O
x
y
2 y=x
顶点:(0, 0),
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
2 y=x +2x–1
y
顶点:(–1, –2),
2 y=(x+1) –2,
? ????
O
x
y
2 y=x
顶点:(0, 0),
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
2 y=x +6x+11
y
顶点:(–3, 2),
2 y=(x+3) +2,

由交点式求抛物线顶点和对称轴

由交点式求抛物线顶点和对称轴二次函数解析式包括以下三种形式：一般式 2y ax bx c =++(0)a ≠，顶点式 2()y a x h k =-+(0)a ≠, 交点式 12()()y a x x x x =--(0)a ≠．由一般式求抛物线的顶点坐标、对称轴可由配方法将一般式化为顶点式或直接代入顶点坐标公式24(,)24b ac b a a --，及对称轴：直线2bx a=-求得．而由交点式求抛物线的顶点坐标、对称轴，课本介绍的一般方法是利用多项式的乘法运算将其化为一般式，再根据以上两种方法求得顶点坐标和对称轴．本文介绍直接由交点式求顶点坐标、对称轴的方法．1. 方法依据由二次函数交点式12()()y a x x x x =--求顶点坐标，可先求出一元二次方程12()()0a x x x x --=的两个根12x x 、，由根与系数的关系：12b x x a+=-，而二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴是2b x a =-，故12122x x bx a +=（-）=，此即为对称轴，也是顶点的横坐标，再将其代入二次函数式可求出顶点的纵坐标．2．方法举例例1 求二次函(6005)(100)y x x =-+ 图象的对称轴和顶点坐标．解令0y =得(6005)(100)0x x -+= ∴12120,100x x ==-，故抛物线与x 轴的交点为A （120，0），B(-100，0)，1[120(100)]102x =+-=，抛物线的对称轴为：直线10x =，把10x =代入(6005)(100)y x x =-+， (600510)(10010)y =-⨯+55011060,500=⨯=．所以抛物线的顶点坐标（10，60500）．注如果把(6005)(100)y x x =-+化为一般式2510060,000y x x =-++，再根据配方法或公式求顶点坐标、对称轴则非常繁琐（此例是抛物线与x 轴的交点分别在坐标原点的两侧）．例2 求抛物( 2.5)(3200200)y x x =-- 的对称轴和顶点坐标．解抛物线与x 轴的交点为（2.5，0），（16，0），中点横坐标1(2.516)9.252x =+=，将9.25x =代入(9.25 2.5)(32002009.25)y =--⨯6.7513509112.5=⨯=所以对称轴为直线9.25x =，顶点坐标（9.25，9112.5）．（此例是抛物线( 2.5)(3200200)y x x =--与x 轴的交点均在坐标原点的右侧；如果抛物线与x 轴的交点均在坐标原点的左侧，其方法与上例一样）．说明以上两例均出自课本[1]（北师大版《数学》九年级（下）2.6何时获得最大利润）中求最大利润的应用题，其数字较大，运算量也大．3. 小结第1步求抛物线12()()y a x x x x =--与x 轴的交点坐标12(,0),(,0)x x ，（因为给出的是二次函数的交点式，所以抛物线与x 轴一定有交点）；第2步求两交点的中点横坐标121()2x x x =+（符号参加运算，这是问题的关键）；第3步把求得的x 值代入12()()y a x x x x =--求y ；第4步写出对称轴和顶点坐标．注如果给出的解析式数字较小，仍可先化为一般式，再求顶点坐标和对称轴．练习求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：（1）12()(2)2y x x =++（2）3(21)(2)y x x =+-（3）y =(2900-x-2500)（8+225x）（4）y= (x-2500)(240-252x) [2] 答案（1）对称轴 54x =-， 59(,)48--．（2）对称轴 34x =， 375(,)48．（3）对称轴 150x =， (150,5000)．（4）对称轴 2750x =， (2750,5000)．本文发表于《数理天地》（初中版）2012年第6期，第8页作者简介黄业乐，男，江西省大余县人，中学高级教师，2008年以来分别在《数学大世界》（初中版）、《中学数学教学参考》（中旬）、《中小学数学》、《数理天地》（初中版）、《中学生数学》（初中版）、《中学数学杂志》（初中版）、《初中数学教与学》、《新课堂》(数学版)、《云南教育》（中学教师）等杂志发表文章30多篇；10多篇教研论文获国家、省、市、区、街道奖励．主要从事初中数学纠错方法、解题方法、教学方法、以及对各类初中数学新教材的研究．。

二次函数的对称轴与顶点

二次函数的对称轴与顶点二次函数是数学中一个重要的概念，它的图像呈现出一种特殊的形状，被称为抛物线。

在学习和应用二次函数时，了解它的对称轴与顶点是必不可少的。

本文将详细介绍二次函数的对称轴与顶点及其相关概念。

一、二次函数简介二次函数是一种以二次项为最高次幂的多项式函数。

一般形式可表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数的图像呈现出一条平滑的弧线，通常称为抛物线。

二、对称轴的概念在研究二次函数的图像时，对称轴是一个重要的参考线。

对称轴可以理解为抛物线的中心线，它将抛物线分为两个对称的部分。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其对称轴的方程可以通过下面的公式得到：x = -b / (2a)这个公式暗示了对称轴是一个垂直于x轴的直线，它的x坐标值等于- b / (2a)。

对称轴上的点与抛物线上的点具有关于对称轴的镜像关系。

三、顶点的概念顶点是抛物线的最高点或最低点，它也是二次函数的一个重要特征。

顶点坐标可以通过对称轴的x坐标值直接得到。

将对称轴的x坐标代入二次函数的表达式中即可得到顶点的坐标。

x = -b / (2a)y = f(x)将x值代入f(x)即可得到y值，从而得到顶点的坐标 (x, y)。

四、对称轴与顶点的性质对于二次函数，对称轴和顶点具有以下重要性质：1. 对称轴将抛物线分成两个对称的部分，即对称轴上的点与抛物线上的点具有关于对称轴的镜像关系。

2. 顶点是抛物线的最高点或最低点，它是二次函数的极值点。

3. 若a>0，抛物线向上开口，顶点为最低点；若a<0，抛物线向下开口，顶点为最高点。

五、例题解析例题一：给定二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求对称轴和顶点的坐标。

解析：根据对称轴的公式x = -b / (2a)，将a和b的值代入公式得到：x = -(-4) / (2 * 2) = 1对称轴的坐标为x = 1。

求抛物线的顶点对称轴的方法

b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
称轴，纵标函数最值见！
a x
b 2 2a
4ac b2
4a 2
对称轴：
x=-
b 2a
a x
b
2
4ac
b2
.
顶点坐标：(- b ,4ac - b2 )
2a 4a
2a 4a
15
4. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( C )
A .(1，-4)
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
函数及其图像
二次函数
求抛物线的顶点、对称轴的方法
授课教师：游彦
Байду номын сангаас
二次函数源于生活
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二次函数源于生活
二次函数源于生活
二次函数源于生活
二次函数源于生活
二次函数源于生活
二次函数源于生活
打开你的记忆
一次函数反比例函数次函数
一次函数 :Y=KX+b (K≠0) 特别的,当b=0时,是正比例函数。反比例函数：Y=K／X (K≠0)
顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
观察：a(x-h)2 的取值
y
1、a﹥0时， a(x-h)2 ≥ 0, 即 0 ～＋ ∞ 故当X=h时，a(x-h)2有最小值0，即当X=h时,y=a(x-h)2+k (a≠0)有最小值K 即顶点坐标（h,k）
o
x
·（h,k）
2、a ﹤ 0时， a(x-h)2 ≤ 0,即－ ∞ ～0 故当X=h时，a(x-h)2有最大值0，
B.(-1，2)

2014年全国中考数学解析版汇编：二次函数专题

二次函数一、选择题1. （2014•上海，第3题4分）如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的2. （2014•四川巴中，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则下列叙述正确的是（）A．abc＜0B．﹣3a+c＜0 C．b2﹣4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c 考点：二次函数的图象和符号特征．分析：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0．B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y＜0，即可判断；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0；D．把二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式，再求出平移后的解析式即可判断．解答：A．由开口向下，可得a＜0；又由抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b＞0，故得abc＞0，故本选项错误；B．根据图知对称轴为直线x=2，即=2，得b=﹣4a，再根据图象知当x=1时，y=a+b+c=a ﹣4a+c=﹣3a+c＜0，故本选项正确；C．由抛物线与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，故本选项错误；D．y=ax2+bx+c=，∵=2，∴原式=，向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为，故本选项错误；故选：B．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．3. （2014•山东威海，第11题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=2a；④am2+bm+a＞0（m≠﹣1）．其中正确的个数是（）该抛物线的对称轴是：∴的x、y的部分对应值如下表：x=5. （2014•山东烟台，第11题3分）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：①4a+b=0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数的图象与性质．解答：根据抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，则有4a+b=0；观察函数图象得到当x=﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根据抛物线开口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；由于对称轴为直线x=2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x 的增大而减小．解答：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正确；∵当x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0，而b =﹣4a ，∴a +4a +c =0，即c =﹣5a ，∴8a +7b +2c =8a ﹣28a ﹣10a =﹣30a ， ∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∴8a +7b +2c ＞0，所以③正确； ∵对称轴为直线x =2， ∴当﹣1＜x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以④错误．故选B ．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6.（2014山东济南，第15题，3分）二次函数的图象如图，对称轴为1=x ．若关于x 的一元二次方程02=-+t bx x （为实数）在41<<-x 的范围内有解，则的取值范围是A ．1-≥tB ．31<≤-tC ．81<≤-tD ．83<<t 【解析】由对称轴为1=x ，得2-=b ，再由一元二次方程022=--t x x 在41<<-x 的范围内有解，得)4()1(y t y <≤，即81<≤-t ，故选C ．7. （2014•山东聊城，第12题，3分）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）图象的一部分，x=﹣1是对称轴，有下列判断：①b ﹣2a=0；②4a ﹣2b+c ＜0；③a ﹣b+c=﹣9a ；④若（﹣3，y 1），（，y 2）是抛物线上两点，则y 1＞y 2，其中正确的是（）=8．(2014年贵州黔东南9．（3分）)已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D． 2015考点：抛物线与x轴的交点．分析：把x=m代入方程x2﹣x﹣1=0求得m2﹣m=1，然后将其整体代入代数式m2﹣m+2014，并求值．解答：解：∵抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1=0，解得m2﹣m=1．∴m2﹣m+2014=1+2014=2015．故选：D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用，减少了计算量．9. (2014年贵州黔东南9．（4分）)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0其中正确结论的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x=﹣1时，x=2时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解答：解：由二次函数的图象开口向上可得a＞0，根据二次函数的图象与y轴交于正半轴知：c＞0，由对称轴直线x=2，可得出b与a异号，即b＜0，则abc＜0，故①正确；把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c，由函数图象可以看出当x=﹣1时，二次函数的值为正，即a+b+c＞0，则b＜a+c，故②选项正确；把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c，由函数图象可以看出当x=2时，二次函数的值为负，即4a+2b+c＜0，故③选项错误；由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故④D选项正确；故选B．点评：本题考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值．12. (2014•年山东东营,第9题3分)若函数y=mx+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2考点：抛物线与x轴的交点．分析：分为两种情况：函数是二次函数，函数是一次函数，求出即可．解答：解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y=mx2+（m+2）x+m+1的图象与x轴只有一个交点，∴△=（m+2）2﹣4m（m+1）=0且m≠0，解得：m=±2，②当函数时一次函数时，m=0，此时函数解析式是y=2x+1，和x轴只有一个交点，故选D．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，但是也比较容易出错．13.（2014•山东临沂,第14题3分）在平面直角坐标系中，函数y=x2﹣2x（x≥0）的图象为14.（2014•山东淄博,第8题4分）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2考点：待定系数法求二次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．解答：解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选A．点评：此题考查l待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．15.（2014•山东淄博,第12题4分）已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A （0，2），B（8，3），则h的值可以是（）A． 6 B． 5 C． 4 D． 3考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y轴的右侧时，比较点A和点B都对称轴的距离可得到h＜4．解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，∴x=h＜4．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．16．（2014•四川南充，第10题，3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤分析：根据抛物线开口方向得a＜0，由抛物线对称轴为直线x=﹣=1，得到b=﹣2a＞0，即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，所以abc＜0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，则当x=﹣1时，y＜0，所以a﹣b+c＜0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，则a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为性质x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为性质x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为性质x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b]=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．故选D．点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17.（2014•甘肃白银、临夏,第9题3分）二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点（）19．（2014•甘肃兰州,第11题4分）把抛物线y=﹣2x先向右平移1个单位长度，再向上平20．（2014•甘肃兰州,第14题4分）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论错误的是（），得二、填空题1. （2014•浙江杭州，第15题，4分）设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为y=x2﹣x+2或y=﹣x2+x+2．=x=2. *(2014年河南9．（4分）)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点．若点A 的坐标为（－2,0)，抛物线的对称轴为直线x=2．则线段AB的长为.答案：8.解析：根据点A到对称轴x=2的距离是4，又点A、点B关于x=2对称，∴AB=8.3. (2014年湖北咸宁15．（3分）)科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如表：温度t/℃﹣4 ﹣2 0 1 4植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为﹣1℃．考点：二次函数的应用．分析：首先利用待定系数法求二次函数解析式解析式，在利用二次函数最值公式求法得出即可．解答：解：设y=ax2+bx+c （a≠0），选（0，49），（1，46），（4，25）代入后得方程组，解得：，所以y与x之间的二次函数解析式为：y=﹣x2﹣2x+49，当x=﹣=﹣1时，y有最大值50，即说明最适合这种植物生长的温度是﹣1℃．故答案为：﹣1．点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式，得出二次函数解析式是解题关键．3.4.5.6.7.8.三、解答题1. （2014•上海，第24题12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x 轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．∴B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA 的度数．=×∴=，∴．，，的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△OCE=S四边形OCDB，求此时P点的坐标；．=，∴解得∴5. （2014•山东潍坊，第24题13分）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠O）与y轴交于点C(O，4)，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（－2,0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)平行于DE的一条动直线Z与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

抛物线知识点总结(二)2024

抛物线知识点总结（二）引言概述抛物线是一个常见的数学曲线，具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍关于抛物线的知识点，包括焦点、直角坐标系中的方程、顶点、开口方向以及抛物线与直线的交点等内容。

正文内容一、焦点1. 定义：焦点是抛物线上所有点到准线的距离都相等的点。

2. 焦距：焦点到准线的距离被称为焦距，记为2p。

3. 焦点的坐标：对于纵轴开口的抛物线，焦点的坐标为(p, 0)；对于横轴开口的抛物线，焦点的坐标为（0, p）。

4. 焦半径：焦点到顶点的距离被称为焦半径，记为r。

5. 焦半径的性质：焦半径与焦距之间存在着特定的关系，即r=p/2。

二、方程1. 横轴开口的抛物线方程：y=a(x-h)²+k，其中(h, k)为顶点坐标，纵轴对称轴为x=h。

2. 纵轴开口的抛物线方程：x=a(y-k)²+h，其中(h, k)为顶点坐标，横轴对称轴为y=k。

3. 抛物线的一般方程：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0，其中A、B、C、D、E、F为常数，且B² - 4AC ＜ 0。

4. 方程的性质：根据方程的形式，可以确定抛物线的开口方向、顶点坐标以及是否与坐标轴相交等信息。

5. 方程的变形：通过配方法或平方完成平方项，可以将抛物线方程转化为标准方程。

三、顶点1. 定义：顶点是抛物线上的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。

2. 顶点的坐标：顶点的横坐标即为方程中的h，纵坐标即为方程中的k。

3. 求顶点的方法：对于已知抛物线方程，可以通过将方程转化为标准形式，得到顶点的坐标。

4. 顶点与焦点的关系：焦点和顶点都是抛物线上的特殊点，它们之间有一定的几何关系。

5. 顶点的性质：顶点是抛物线的最值点，也是对称轴的中点。

四、开口方向1. 横轴开口：当抛物线以横轴为开口时，抛物线的方程为y=a(x-h)²+k。

2. 纵轴开口：当抛物线以纵轴为开口时，抛物线的方程为x=a(y-k)²+h。

抛物线和性质知识点大全

抛物线和性质知识点大全1.抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其距离一个定点（焦点）和一个定直线（准线）的距离都相等。

2.标准方程：抛物线的标准方程是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

3.抛物线的焦点：抛物线的焦点是一个点，其到抛物线上的任意一点的距离与该点到抛物线的准线的距离相等。

4.抛物线的准线：抛物线的准线是一个直线，与抛物线的对称轴平行，并且距离对称轴固定的距离。

5.抛物线的对称轴：抛物线的对称轴是垂直于准线，通过焦点和抛物线的顶点的一条直线。

6.抛物线的顶点：抛物线的顶点是曲线的最高或最低点，即y轴距离最大或最小的点。

7.抛物线的焦距：抛物线的焦距是焦点到顶点的距离。

焦距等于准线与对称轴的距离的两倍。

8.抛物线的直径：抛物线的直径是通过焦点和曲线上两个对称的点的线段。

直径等于焦距的两倍。

9.抛物线的离心率：抛物线的离心率是焦距与准线与顶点的距离的比值。

离心率等于110.抛物线的焦点方程：如果抛物线的焦点为(F,p)，则焦点到顶点的距离为p，焦点的横坐标为F，抛物线方程为(x-F)^2=4p(y-c)，其中c为抛物线的顶点纵坐标。

11.抛物线的顶点方程：如果抛物线的顶点为(h,k)，则抛物线方程为(y-k)=a(x-h)^212.抛物线的对称性：抛物线具有对称性，对称轴将抛物线分成两个对称的部分。

13.抛物线的焦点和准线的关系：抛物线上任意一点的到焦点的距离等于该点到准线的距离的两倍。

14.抛物线的切线：抛物线上任意一点处的切线与该点到焦点的连线重合。

15.抛物线的渐近线：当抛物线的开口向上时，抛物线没有水平渐近线；当抛物线的开口向下时，抛物线有一条水平渐近线。

16.抛物线的面积：抛物线所围成的面积等于焦点到顶点的纵坐标与准线的距离之积的1/317.抛物线的长度：抛物线的长度等于8/3倍焦距的立方根。

18.抛物线的应用：抛物线广泛应用于物理学、工程学和计算机图形学等领域。

2014年重庆市中考数学试卷(附答案与解析)

数学试卷第1页（共30页）数学试卷第2页（共30页）绝密★启用前重庆市2014年初中毕业暨高中招生考试数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --,对称轴为2b x a=-第Ⅰ卷(选择题共48分)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.实数17-的相反数是( ) A .17B .117C .17-D .117- 2.计算642x x ÷的结果是( ) A .2xB .22xC .42x D .102x 3.中,a 的取值范围是( ) A .0a ≥ B .0a ≤C .0a ＞D .0a ＜ 4.五边形的内角和是( ) A .°180B .°360C .°540D .°6005.2014年1月1日零点,北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是4568--℃,℃,℃,℃,当时这四个城市中,气温最低的是( ) A .北京B .上海C .重庆D .宁夏 6.关于x 的方程211x =-的解是( )A .4x =B .3x =C .2x =D .1x =7.2014年8月26日,第二届青奥会将在南京举行,甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备.在某天“110米跨栏”训练中,每人各跑5次,据统计,它们的平均成绩都是13.2秒,甲、乙、丙、丁成绩的方差分别是0.110.030.050.02,,,,则当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是( ) A .甲B .乙C .丙D .丁8.如图,直线AB CD ∥,直线EF 分别交直线,AB CD 于点,E F ,过点F 作FG FE ⊥,交直线AB 于点G .若142∠=,则2∠的大小是( )A .56B .48C .46D .409.如图,ABC △的顶点,,A B C 均在O 上,若90AOC ∠=,则AOC ∠的大小是( )A .30B .45C .60D .7010.2014年5月10日上午,小华同学接到通知,她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔,需尽快上交该作文的电子文稿.接到通知后,小华立即在电脑上打字录入这篇文章,录入一段时间后因事暂停,过了一会儿,小华继续录入并加快了录入速度,直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x ,录入字数为y ,下面能反映y 与x 的函数关系的大致图象是( )ABCD11.如图,下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共30页）数学试卷第4页（共30页）积为1的正方形有2个,第(2)个图形中面积为1的正方形有5个,第(3)个图形中面积为1的正方形有9个,…,按此规律,则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )A .20B .27C .35D .4012.如图,反比例函数6y x=-在第二象限的图象上有两点,A B ,它们的横坐标分别为1,3--,直线AB 与x 轴交于点C ,则AOC △的面积为( ) A .8B .10C .12D .24第Ⅱ卷(非选择题共102分)二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分.请把答案填在题中的横线上) 13.方程组3,5x x y =⎧⎨+=⎩的解是 .14.据有关部门统计,截止到2014年5月1日,重庆市私家小轿车已达到563000辆,将563000这个数用科学记数法表示为 .15.如图,菱形ABCD 中,60A ∠=,7BD =,则菱形ABCD 的周长为 .16.如图,OAB △中,4,30,OA OB A AB ==∠=与O 相切于点C ,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π).17.从1,1,2-这三个数字中,随机抽取一个数,记为a .那么,使关于x 的一次函数2y x a =+的图象与x 轴、y 轴围成的三角形面积为14,且使关于x 的不等式组212x a x a +⎧⎨-⎩≤,≤有解的概率为 . 18.如图,正方形ABCD 的边长为6,点O 是对角线,AC BD 的交点,点E 在CD 上,且2DE CE =,连接BE .过点C 作CF BE ⊥,垂足为F ,连接OF ,则OF 的长为 .三、解答题(本大题共8小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分7分)2011(3)2014|4|()6---⨯-+.20.(本小题满分7分)如图,ABC △中,AD BC ⊥,垂足为D ,若314,12,tan 4BC AD BAD ==∠=,求sin C 的值.数学试卷第5页（共30页）数学试卷第6页（共30页）21.(本小题满分10分)先化简,再求值：221121()11x x x x x x +÷-+-++,其中x 的值为方程251x x =-的解.22.(本小题满分10分)为鼓励创业,市政府制定了小型企业的优惠政策,许多小型企业应运而生.某镇统计了该镇2014年1-5月新注册小型企业的数量,并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：(1)某镇2014年1-5月新注册小型企业一共有家,请将折线统计图补充完整； (2)该镇2014年3月新注册的小型企业中,只有2家是餐饮企业.现从3月新注册的小型企业中随机抽取2家企业了解其经营状况,请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2家企业恰好都是餐饮企业的概率.23.(本小题满分10分)为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施,另一部分用于购买书刊.(1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？(2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与的户数在200户的基础上增加了a ％(其中0a ＞),则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了109a %,求a 的值.24.(本小题满分10分)如图,ABC △中,90,,BAC AB AC AD BC ∠==⊥,垂足是,D AE 平分BAD ∠,交BC 于点E .在ABC △外有一点F ,使,FA AE FC BC ⊥⊥.(1)求证：BE CF =；(2)在AB 上取一点M ,使2BM DE =,连接MC ,交AD 于点N ,连接ME .求证： ①ME BC ⊥； ②DE DN =.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第7页（共30页）数学试卷第8页（共30页）25.(本小题满分12分)如图,抛物线223y x x =--+的图象与x 轴交于,A B 两点(点A 在点B 的左边),与y 轴交于点C ,点D 为抛物线的顶点. (1)求,,A B C 的坐标；(2)点M 为线段AB 上一点(点M 不与点,A B 重合),过点M 作x 轴的垂线,与直线AC 交于点E ,与抛物线交于点P ,过点P 作PQ AB ∥交抛物线于点Q ,过点Q 作QN x ⊥轴于点N ,若点P 在点Q 左边,当矩形PMNQ 的周长最大时,求AEM △的面积；(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ 的周长最大时,连接DQ .过抛物线上一点F 作y 轴的平行线,与直线AC 交于点G (点G 在点F 的上方).若FC =,求点F 的坐标.26.(本小题满分12分)已知：如图1,在矩形ABCD 中,205,,3AB AD AE BD ==⊥,垂足是E .点F 是点E 关于AB 的对称点,连接,AF BF .(1)求AE 和BE 的长；(2)若将ABF △沿着射线BD 方向平移,设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度),当点F 分别平移到线段AB AD ，上时,直接写出相应的m 值；(3)如图2,将ABF △绕点B 顺时针旋转一个角α(0180α＜＜),记旋转中的ABF △为A BF ''△,在旋转过程中,设A F ''所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q .是否存在这样的P ,Q 两点,使DPQ △为等腰三角形？若存在,求出此时DQ 的长；若不存在,请说明理由.5 / 15重庆市2014年初中毕业暨高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，可知17-的相反数是17，故选A ．【考点】相反数的定义 2.【答案】B【解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减得64642222x x x x -÷==，故选B ．【考点】同底数幂的除法运算 3.【答案】A【解析】因为二次根式中被开方数是非负数，即0a ≥，故选A 【考点】二次根式中被开方数的取值范围 4.【答案】C【解析】n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒，将5n =代人即得五边形的内角和是540，故选C ．【考点】多边形的内角和 5.【答案】D【解析】气温最低即数值最小，8-在这四个数中处在数轴的最左边，故8-最小，故选D 【考点】有理数的大小比较 6.【答案】B【解析】将方程的两边向时乘最简公分母1x -得整式方程21x =-，解得3x =.经检验，3x =是原分式方程的解，故选B ．【考点】分式方程的解法 7.【答案】D【解析】根据方差越小越稳定，而0.020.03 0.050.11<<<，故丁的成绩最稳定，故选D 【考点】方差的意义 8.【答案】B【解析】因为//AB CD ，根据“两直线平行，同位角相等”得142EFD ∠=∠=︒，又因为FG FE ⊥，所以2180904248∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【考点】平行线的性质及垂直的定义数学试卷第11页（共30页）数学试卷第12页（共30页）7 / 15，OA OB =43=,43S AB OC ∴=242=3π.所以，DC BC =62210BC CE CF BE ⨯==CF BE ⊥45OCB ∠=OBM CBF ∠+∠△≌△O B M O C F数学试卷第15页（共30页）数学试卷第16页（共30页）【解析】解：AD BC ⊥3tan 4BAD ∠=,12AD =9BD ∴=2(1)(x 1)x x -+-11+补图如下：(2)用1A,2A表示餐饮企业，1B,2B表示非餐饮企业，画树状图如下：9 / 15数学试卷第19页（共30页）数学试卷第20页（共30页）10%)150(19-则3(1)(1x +24．【答案】证明：如图) BAC ∠=1EAC ∴∠+∠12∴∠=∠,AB AC =B FCA ∠=∠ABF ∴≅△BE CF ∴=45B ∠=︒BG EG ∴=AD BC ⊥2BM ED =⊥②AD BC ∠=∠,∴∠15=MC MC∴∠=∠78∠=BAC∴∠=ACB∴∠=∠57∠=ADE∴=DE DN 【解析】1ME=⨯12x=-，(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，2)5AB =,2BD AB =+1122ABD AB AD S BD AE ==△ 解得4AE =若点Q 在线段BD 的延长线上时，如图1，34∠=∠4+Q ∴∠∠'A Q A ∴=若点Q 在线段BD 上，如图2：1=3∠∠，3=5+∠∠35∴∠=∠4A ∴∠=∠'1A ∠=∠4A ∴∠=∠设QB QA =③当PD PQ =时，如图4，有1=2=3∠∠∠1A ∠=∠BQ A ∴=253DQ ∴=。

二次函数图像与性质中考真题(含详细答案和分析)

二次函数图像与性质中考真题一．填空题（共26小题）1．（2014•天津）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是_________．2．（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是_________．3．（2014•大连）函数y=（x﹣1）2+3的最小值为_________．4．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线_________5．（2014•温州一模）二次函数y=（x+3）2﹣5的对称轴是直线_________．6．（2014•奉贤区二模）二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是_________．7．（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是_________．8．（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是_________．9．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是_________．10．如果二次函数y=（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是_________．11．（2014•天河区二模）二次函数y=x2﹣4x的顶点坐标是_________．12．（2014•泰兴市二模）二次函数y=2（x+1）（x﹣3）图象的顶点坐标为_________．13．（2014•崇明县一模）抛物线y=x2﹣4x+5的对称轴是直线_________．14．（2014•成都高新区一模）抛物线y=x2﹣12x+9的顶点坐标是_________．15．（2014•和平区一模）求抛物线y=﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴及顶点坐标．16．（2014•鄂托克旗模拟）抛物线y=﹣x2+4x﹣5的顶点坐标是_________．17．（2014•奉贤区一模）二次函数y=﹣2（x﹣2）2的图象在对称轴左侧部分是_________．“上升或下降”18．（2014•历城区一模）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是_________．19．（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k=_________．20．（2014•奉贤区一模）抛物线y=3x2﹣1的顶点坐标为_________．21．抛物线y=﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是_________的．（从“上升”或“下降”中选择）22．（2014•黄浦区一模）若抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是_________．23．（2014•安徽模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是_________．24．（2014•靖江市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，b2﹣4ac，a+b+c，a﹣b+c，2a+b中，其值为正的式子的个数为_________个．25．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过_________象限．26．（2014•长宁区一模）已知抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是二．解答题（共4小题）27．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．28．（2009•衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．29．（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．求出抛物线的解析式；30．（2008•镇江）推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移_________个单位，使得该图象的顶点在原点．参考答案与试题解析一．填空题（共26小题）1．（2014•天津）抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．2．（2014•长沙）抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（2，5）．考点：二次函数的性质．分析：由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．解答：解：∵抛物线y=3（x﹣2）2+5，∴顶点坐标为：（2，5）．故答案为：（2，5）．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）．3．（2014•大连）函数y=（x﹣1）2+3的最小值为3．专题：常规题型．分析：根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．解答：解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，于是当x=1时，函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．故答案为：3．点评：本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．4．（2014•南通）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线x=﹣1．考点：抛物线与x轴的交点．专题：待定系数法．分析：因为点（﹣4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可．解答：解：∵抛物线与x轴的交点为（﹣4，0），（2，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x==﹣1，即x=﹣1．故答案是：x=﹣1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式x=求解，即抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点是（x1，0），（x2，0），则抛物线的对称轴为直线x=．5．（2014•温州一模）二次函数y=（x+3）2﹣5的对称轴是直线x=﹣3．考点：二次函数的性质．分析：对照顶点式y=a（x﹣h）2+k的对称轴是x=h，求本题中二次函数的对称轴．解答：解：因为二次函数y=（x+3）2﹣5的顶点坐标是（﹣3，﹣5），故对称轴是直线x=﹣3．点评：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．6．（2014•奉贤区二模）二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是（0，3）．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的性质，利用顶点式直接得出顶点坐标即可．解答：解：∵二次函数y=x2+3，∴二次函数y=x2+3图象的顶点坐标是：（0，3）．点评：此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．7．（2014•青浦区一模）函数y=（x+5）（2﹣x）图象的开口方向是向下．考点：二次函数的性质．分析：首先将二次函数化为一般形式，然后根据二次项系数的符号确定开口方向．解答：解：y=（x+5）（2﹣x）=﹣x2+3x+10，∵a=﹣1＜0，∴开口向下，故答案为：向下．点评：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是正确的化为一般形式．8．（2014•金山区一模）抛物线y=x2+2x的对称轴是直线x=﹣1．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：先把一般式配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到抛物线的对称轴．解答：解：y=x2+2x=（x2+2x+1）﹣1=（x+1）2﹣1，抛物线的对称轴为直线x=﹣1．故答案为直线x=﹣1．点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．9．（2014•杨浦区二模）抛物线y=2x2+4x﹣2的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．考点：二次函数的性质．分析：利用顶点的公式首先求得横坐标，然后把横坐标的值代入解析式即可求得纵坐标．解答：解：x=﹣=﹣1，把x=﹣1代入得：y=2﹣4﹣2=﹣4．则顶点的坐标是（﹣1，﹣4）．故答案是：（﹣1，﹣4）．点评：本题考查了二次函数的顶点坐标的求解方法，可以利用配方法求解，也可以利用公式法求解．10．（2014•嘉定区一模）如果二次函数y=（2k﹣1）x2﹣3x+1的图象开口向上，那么常数k的取值范围是k＞．考点：二次函数的性质．分析：根据二次函数的开口向上列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．2∴2k﹣1＞0，解得k＞．故答案为：k＞．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0时，抛物线的开口向上是解答此题的关键．11．（2014•天河区二模）二次函数y=x2﹣4x的顶点坐标是（2，﹣4）．考点：二次函数的性质．分析：用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可．解答：解：∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4）．故本题答案为：（2，﹣4）．点评：本题考查了抛物线解析式与顶点坐标的关系，求顶点坐标可用配方法，也可以用顶点坐标公式．12．（2014•泰兴市二模）二次函数y=2（x+1）（x﹣3）图象的顶点坐标为（1，﹣8）．考点：二次函数的性质．分析：根据函数解析式的相互转化，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案．解答：解：y=2（x+1）（x﹣3）转化成y=2（x﹣1）2﹣8，故答案为：（1，﹣8）．点评：本题考查了二次函数的性质，转化成顶点式解析式是解题关键．13．（2014•崇明县一模）抛物线y=x2﹣4x+5的对称轴是直线x=2．考点：二次函数的性质．专题：数形结合．分析：首先把y=x2﹣4x+5进行配方，然后就可以确定抛物线的对称轴，也可以利用公式x=﹣确定．解答：解：y=x2﹣4x+5，=x2﹣4x+4+1，=（x﹣2）2+1，∴对称轴是直线x=2．故答案为：x=2．点评：此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会配方法或对称轴的公式x=﹣．14．（2014•成都高新区一模）抛物线y=x2﹣12x+9的顶点坐标是（6，﹣27）．考点：二次函数的性质．分析：把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．解答：解：y=x2﹣12x+9=（x﹣6）2﹣27，故答案为：（6，﹣27）．点评：本题考查了二次函数的性质，把抛物线解析式整理成顶点式形式求解更简便．15．（2014•和平区一模）求抛物线y=﹣2x2+8x﹣8的开口方向、对称轴及顶点坐标．考点：二次函数的性质．分析：根据二次项系数得出抛物线的开口方向，将一般式转化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标．解答：解：y=2x2+8x﹣8，∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下．∵y=﹣2x2+8x﹣8=﹣2（x2﹣4x+4）=﹣2（x﹣2）2，∴对称轴为直线x=﹣2，顶点坐标为（2，0）．点评：本题考查了二次函数的性质及配方法的应用，用到的知识点：二次函数y=a（x﹣h）2+k，当a ＞0时，抛物线开口向上；对称轴是直线x=h，顶点坐标是（h，k）．利用配方法将一般式转化为顶点式是解题的关键．16．（2014•鄂托克旗模拟）抛物线y=﹣x2+4x﹣5的顶点坐标是（2，﹣1）．考点：二次函数的性质．分析：根据所给的二次函数，把a=﹣1、b=4、c=﹣5代入顶点公式即可求．解答：解：∵y=﹣x2+4x﹣5∴，．故答案为：（2，﹣1）．点评：本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数顶点公式．17．（2014•奉贤区一模）二次函数y=﹣2（x﹣2）2的图象在对称轴左侧部分是上升．“上升或下降”考点：二次函数的性质．分析：直接根据二次函数的性质进行解答即可．解答：解：∵二次函数y=﹣2（x﹣2）2中，a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴函数图象在对称轴左侧部分是上升．故答案为：上升．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大是解答此题的关键．18．（2014•历城区一模）抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．考点：二次函数的性质．分析：已知抛物线解析式为顶点式，可直接求出顶点坐标．解答：解：由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为（3，1），点评：本题考查了二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．19．（2014•青浦区一模）如果二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，那么k=﹣3．考点：二次函数的性质．分析：直接利用对称轴公式求解即可．解答：解：∵二次函数y=x2+2kx+k﹣4图象的对称轴为x=3，∴对称轴为：x=﹣=3，解得：k=﹣3，故答案为：﹣3点评：本题主要考查二次函数的性质，解此题的关键是对二次函数的性质的理解和掌握，知对称轴．20．（2014•奉贤区一模）抛物线y=3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）．考点：二次函数的性质．分析：根据形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标．解答：解：∵抛物线的解析式为y=3x2﹣1，∴其顶点坐标为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1）．点评：本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程y=a（x﹣k）2+h的顶点坐标是（k，h），对称轴方程是x=k．21．（2014•嘉定区一模）抛物线y=﹣（x﹣1）2+1在对称轴的右侧的部分是下降的．（从“上升”或“下降”中选择）考点：二次函数的性质．分析：根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．解答：解：∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．点评：考查了二次函数的性质，能够根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律．22．（2014•黄浦区一模）若抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，则它的顶点坐标是（1，﹣2）．考点：二次函数的性质．分析：首先根据对称轴是直线x=1，从而求得m的值，然后根据顶点坐标公式直接写出顶点坐标；解答：解：∵抛物线y=（x+m）2+m﹣1的对称轴是直线x=1，∴m=﹣1，∴解析式y=（x﹣1）2﹣2，∴顶点坐标为：（1，﹣2），点评：本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键，难度适中．23．（2014•安徽模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是②③．考点：二次函数图象与系数的关系．专题：压轴题．分析：由x=1时，y=a+b+C＞0，即可判定①错误；由x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即可判定②正确；由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c＞0，又对称轴为x=＜1，得到2a+b＜0，由此可以判定③正确；由对称轴为x=＞0即可判定④错误．解答：解：①当x=1时，y=a+b+C＞0，∴①错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴②正确；③由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵对称轴为x=＜1，∴﹣b＞2a，∴2a+b＜0，∴③正确；④对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＞0，∴abc＜0，∴④错误．∴正确结论的序号为②③．故填空答案：②③．点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；（4）当x=1时，可以确定y=a+b+C的值；当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值．24．（2014•靖江市模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列7个代数式ab，ac，bc，2考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由抛物线开口向上，得到a＞0，再由对称轴在y轴右侧，得到a与b异号，可得出b＜0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出ab＜0，ac＞0，由抛物线与x轴有2个交点，得到根的判别式b2﹣4ac＞0，当x=1时，y=a+b+c＜0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，由﹣=1得b+2a=0．解答：解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴ab＜0，ac＞0，bc＜0∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0∵x=1时的函数值小于0，∴y=a+b+c＜0又∵x=﹣1时的函数值大于0∴y=a﹣b+c＞0∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，所以一共有3个式子的值为正．故答案为：3．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意x=1，﹣1对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．25．（2014•平原县二模）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．分析：根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．解答：解：∵抛物线的顶点（﹣m，n）在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，∴m＜0，∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，故答案是：二、三、四．点评：此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．26．（2014•长宁区一模）已知抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，则实数m的值是2．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：把原点坐标代入函数解析式进行计算即可得解．解答：解：∵抛物线y=mx2+4x+m（m﹣2）经过坐标原点，∴m（m﹣2）=0，解得m1=0，m2=2，当m=0时，函数为一次函数，不是抛物线，所以，m≠0，因此，实数m的值是2．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要注意二次项系数不等于0．二．解答题（共4小题）27．（2012•宿迁模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：因为抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），所以设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式即可解答．解答：解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，把点（2，3）代入解析式，得：a﹣2=3，即a=5，∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法．若题目给出了二次函数的顶点坐标，则采用顶点式求解简单．28．（2009•衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．考点：待定系数法求二次函数解析式．分析：此题告诉了二次函数的顶点坐标，采用顶点式比较简单．解答：解：设这个二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2﹣2，∵二次函数的图象过坐标原点，∴0=a（0﹣1）2﹣2解得：a=2故这个二次函数的关系式是y=2（x﹣1）2﹣2，即y=2x2﹣4x．点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，设解析式时要根据具体情况选择适当形式．29．（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），可设抛物线解析式的交点式，再把C（0，﹣2）代入即可；（2）∵△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．将A（4，0），B（1，0）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2．（2）存在．如图，设P点的横坐标为m，则点P的纵坐标为，当1＜m＜4时，AM=4﹣m，PM=，又∵∠COA=∠PMA=90°，∴①当==2时，△APM∽△ACO，∴=2，即|4﹣m|=2（），∴4﹣m=m2+5m﹣4，∴m2﹣6m+8=0，∴（m﹣2）（m﹣4）=0，解得：m1=2，m2=4（舍去）∴P（2，1）②当，△APM∽△CAO，那么有：2|4﹣m|=，∴2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，∴m2﹣9m+20=0，∴（m﹣4）（m﹣5）=0，解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），∴当1＜m＜4时，P（2，1），类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2），当m＜1时，P（﹣3，﹣14），当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，﹣2）．综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）或（0，﹣2）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．过D作y轴的平行线交AC于E．由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．∴E点的坐标为（t，t﹣2）．∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．∴当t=2时，△DAC面积最大．∴D（2，1）．点评：本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．30．（2008•镇江）推理运算：二次函数的图象经过点A（0，﹣3），B（2，﹣3），C（﹣1，0）．（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移5个单位，使得该图象的顶点在原点．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．分析：（1）可用一般式来求二次函数的关系式；（2）把二次函数的关系式整理为顶点式即可求得顶点；（3）应看顶点坐标是如何经过最短距离之和到达原点．解答：解：（1）设y=ax2+bx﹣3，（1分）把点（2，﹣3），（﹣1，0）代入得，（2分）解方程组得∴y=x2﹣2x﹣3；（3分）（也可设y=a（x﹣1）2+k）（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，（4分）∴函数的顶点坐标为（1，﹣4）；（5分）（3）|1﹣0|+|﹣4﹣0|=5．（6分）点评：一般用待定系数法来求函数解析式；抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）通过配方，将一般式化为y=a（x ﹣h）2+k的形式，可确定其顶点坐标为（h，k）．进一步考查了平移的知识．。

【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《抛物线》

考向一抛物线定义及其应用
【训练 1】设 P 是曲线 y ＝4x 上的一个动点，则点 P 到点 B(－1,1)的距离与点 P 到直线 x＝－1 的距离之和的最小值为 ________．
2
【审题视点】
由定义知，抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d，利用梯形中位线定理即得
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答案显示单击图标显示详解
C
C
B
y2＝4x
6
考向一抛物线定义及其应用
【例 1】►已知抛物线 y ＝2x 的焦点是 F，点 P 是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时 P 点的坐标． 2 解将 x＝3 代入抛物线方程 y ＝2x，得 y＝± 6.
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一个重要转化
一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即 “对称轴看一次项，符号决定开口方向”．
交抛物线于 A(x1， 1)， y 六个常见结论直线 AB 过抛物线的焦点， B(x2，y2)两点，如图． p2 ①y1y2＝－p2，x1x2＝ . 4 ②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1 x2 ＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p. 1 1 2 ③ ＋为定值 . |AF| |BF| 2p p ④弦长 AB＝ 2 (α 为 AB 的倾斜角)． sin α ⑤以 AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90° .
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抛物线的标准方程和几何性质考向一抛物线定义及其应用
【例1】【训练1】【例2】【训练2】【例3】【训练3】
突破3个考向

(完整版)抛物线的几何性质

抛物线一、抛物线22(0)y px p =>的简单几何性质1、范围：因为0p >，由方程22y px =可知，这条抛物线上任意一点M 的坐标(),x y 满足不等式0x ≥，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，y 也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以y -代y ，方程22(0)y px p =>不变，因此这条抛物线是以x 轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程22(0)y px p =>中，当0y =时，0x =，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用e 表示.按照抛物线的定义，1e =知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点12,M M ，线段12M M 叫作抛物线的通径，将02px =代入22y px =得y p =±，故抛物线22y px =的通径长为2p例1、已知点(),M x y 在抛物线28y x =上，则()22,129f x y x y x =-++的取值范围？分析：本题的实质是将(),f x y 转化为关于x 的二次函数，求二次函数在区间[)0,+∞上的最值. ()()22,812925f x y x x x x =-++=++，又[)0,x ∈+∞，所以当0x =时，(),f x y 取得最小值9，当[)0,x ∈+∞时，()()2,25f x y x =++，无最大值.故()22,129f x y x y x =-++的取值范围为[)9,+∞答案：[)9,+∞二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为()0,0O ，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形； ②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是01e <<，双曲线离心率的取值范围是1e >，抛物线的离心率是1e =；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆22169144x y +=的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为()3,0-，所以可直接设抛物线的标准方程，求得p 后可得方程.答案：解：由22169144x y +=得：221169y x +=，所以椭圆的左顶点为()3,0-.由题意设所求抛物线的标准方程为()220y px p =->，由32p=，得6p =，故所求抛物线的标准方程为212y x =-.三、焦点弦问题及其应用 1、焦点弦如图，AB 是抛物线()220y px p =>过焦点F 的一条弦.设点()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，过,,A B M 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为111,,A B M ，则根据抛物线的定义有11AF BF AA BB +=+.又1MM 是梯形11AA B B 的中位线，1112AB AA BB MM ∴=+=.综上可得以下结论： ①121212,,2222p p p p AF x BF x AB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+∴=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.②022p AB x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（焦点弦长与中点的关系）③若直线AB 的倾斜角为α，则22sin pAB α= 推导：12AB AF BF x x p =+=++由④的推导知，当AB 不垂直于x 轴时，()1220py y k k+=≠1212122222y y y y p p p x x p p k k k k+∴+=+++=+=+ 222212212tan sin p p AB p p k αα⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭当k 不存在时，即90α=时，22sin pAB α=亦成立 ④A B 、两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即2124p x x =，212y y p =-分析：利用点斜式写出直线AB 的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况. 推导：焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：()02p y k x k ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，由222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：2220ky py kp --= ()2224212212121222,22444y y y y p p y y p x x p p p p ∴=-==== 当AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为：2px =则222212121212,,224y y p y p y p y y p x x p p ==-⇒=-==⑤11AF BF +为定值2p推导：由焦半径公式知，12,22p pAF x BF x =+=+ ()12212121211112224x x p p pp p AF BF x x x x x x ++∴+=+=+++++又21212,4p x x x x AB p =+=-，代入上式得：()22112424AB p p p AF BF p AB p +==+-+为常数故11AF BF +为定值2p.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线()220y px p =>中，设AB 为焦点弦，M 为准线与x 轴的交点，则AMF BMF ∠=∠ （3）设AB 为抛物线的焦点弦.① 点A B 、在准线上的射影分别为点11A B 、，若P 为11A B 的中点，则PA PB ⊥；②O 为抛物线的顶点，若AO 的延长线交准线于点C ，连接BC ，则BC 平行于x 轴，反之，若过点B 作平行于x 轴的直线交准线于点C ，则,,A O C 三点共线. （4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为4π的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在x 轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为()220y px p =>，则焦点F的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 的方程为2p y x =-.设直线l 与抛物线的交点为()()1122,,,A x y B x y ，过点,A B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点11A B 、，则有：111212+=622p p AB AF BF AA BB x x x x p ⎛⎫⎛⎫=+=+++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得222p x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即22304p x px -+= 123x x p ∴+=，代入①式得：336,2p p p +=∴= ∴所求抛物线的标准方程为23y x =当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：23y x =-例4、已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，点()()()111222333,,,P x y P x y P x y 、、在抛物线上，且2132x x x =+，则有（）123.A FP FP FP += 222123.B FP FP FP += 213.2C FP FP FP =+ 2213.D FPFP FP =解析：123P P P 、、在抛物线上，且2132x x x =+，两边同时加上p ，得2132()222p p p x x x +=+++ 即2132FP FP FP =+ 答案：C例5、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，如果126x x +=，那么AB =?解析：由抛物线定义，得12628AB AF BF x x p =+=++=+=。

抛物线关于顶点对称的解析式

抛物线关于顶点对称的解析式抛物线是一种常见的二次函数曲线，其解析式可以写成y=ax^2+ bx+c的形式。

在这个方程中，a、b、c分别代表抛物线的特征。

我们知道，抛物线是关于其顶点对称的。

顶点是抛物线的最高点或最低点，也是其轴线的最高点或最低点。

通过解析式，我们可以很容易地找到抛物线的顶点。

首先，我们需要找到抛物线的对称轴。

对称轴是通过抛物线顶点的一条垂直线。

由于抛物线是对称的，对称轴将把抛物线分为两个相等的部分。

对称轴的方程可以通过求解抛物线解析式中的x的值来得到，即x=-b/2a。

接下来，我们可以将对称轴的x值带入解析式，得到抛物线顶点的坐标。

假设对称轴的x值为h，将其代入解析式得到y=ah^2+bh +c。

这样，我们就得到了抛物线顶点的坐标为(h,ah^2+bh+ c)。

通过这个方法，我们可以找到任意一个抛物线的顶点坐标。

在解析几何中，抛物线的顶点对称性是非常重要的，它使我们能够快速推断出抛物线的特性，例如它的开口方向、最值点等。

此外，解析式还可以帮助我们更好地理解抛物线的其他特征。

例如，a的正负决定了抛物线的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

b的值则决定了抛物线在对称轴上的横向平移程度，c则影响抛物线的纵向平移。

总之，抛物线关于顶点对称的解析式为y=ax^2+bx+c。

通过解析式，我们可以轻松找到抛物线的顶点坐标，并且更好地理解抛物线的特性。

这一数学概念在实际生活中有着广泛的应用，例如物体的抛射运动、天体运动的描述等。

对于学习解析几何和二次函数的人来说，抛物线的顶点对称性是一个基础而重要的概念。

证明反射光线平行于抛物线的对称轴

证明反射光线平行于抛物线的对称轴抛物线是数学中常见的曲线之一，其性质和特点在物理光学中也有重要应用。

在光学中，我们经常遇到抛物面镜和反射光线，而抛物线的对称轴与反射光线是否平行之间的关系一直是一个备受关注的问题。

本文将对这一问题进行详细的证明和解释，以便更好地理解光学原理。

一、抛物线的基本性质1. 抛物线的定义抛物线可以定义为平面上到一个定点的距离和一个定直线的距离相等的所有点的集合。

通常我们用数学方程y=ax²+bx+c或者x=ay²+by+c来表示一个抛物线。

其中a≠0，a为常数，a为抛物线的焦点到顶点的垂直距离。

2. 抛物线的对称轴抛物线是关于其对称轴对称的。

对称轴是与焦点垂直并且通过顶点的一条直线。

3. 抛物线的焦点抛物线的焦点是指到抛物线上所有点的距离到给定定直线的距离相等的点。

二、光线的反射规律1. 光的反射定律光线与反射面的夹角等于入射角。

即入射角等于反射角。

2. 法线法线是垂直于反射面的一条直线，它与入射光线的夹角就是入射角。

而它与反射光线的夹角就是反射角。

3. 入射角和反射角如图1所示，入射角用θi表示，反射角用θr表示。

4. 光的反射现象当一束光线照射到光滑的平面上时，它被反射出去。

三、证明反射光线平行于抛物线的对称轴1. 求证思路我们需要证明的是：光线经过抛物面镜反射后所成的角度与抛物线的对称轴平行。

我们可以假设光线入射到抛物面镜上并与抛物线的法线相交于A点，光线反射后与抛物线的法线相交于B点。

2. 将问题转化为数学问题我们需要证明AB线段是与对称轴平行的。

我们可以用解析几何方法来证明。

3. 求解法线方程假设抛物线的方程为y=ax²，其中抛物线的顶点为(0,0)。

则抛物线上任意一点$(x,ax^2)$处的切线斜率为2ax，即为该点处的导数值。

所以法线的斜率为-1/(2ax)。

4. 求解光线方程现在我们假设入射光线的方程为y=kx+b，方向斜率为k。

求抛物线顶点的公式

求抛物线顶点的公式抛物线是数学中常见的曲线形式，它由一组二次方程定义。

在许多实际问题中，我们需要知道抛物线的顶点坐标，这对于分析和解决问题非常重要。

本文将介绍如何求解抛物线的顶点，并给出相应的公式。

让我们来看一个一般的抛物线方程：y = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c是常数，x和y分别表示抛物线上的点的横坐标和纵坐标。

要求解抛物线的顶点，我们需要找到抛物线的最高点。

由于抛物线是一个开口朝上或朝下的曲线，它的顶点必然位于抛物线的对称轴上。

对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)。

通过将这个x值代入原方程，我们可以求得对应的y值。

这个y值就是抛物线的顶点的纵坐标。

举个例子来说明：假设我们有一个抛物线方程为y = 2x^2 - 4x + 1。

我们可以通过以下步骤求解它的顶点：1. 计算对称轴的横坐标：x = -(-4) / (2 * 2) = 1。

2. 将x = 1代入方程，求得对应的y值：y = 2 * 1^2 - 4 * 1 + 1 = -1。

3. 因此，这个抛物线的顶点坐标为(1, -1)。

这就是求解抛物线顶点的公式。

我们可以总结为以下步骤：1. 计算对称轴的横坐标：x = -b / (2a)。

2. 将对称轴的横坐标代入原方程，求得对应的纵坐标：y = ax^2 + bx + c。

需要注意的是，当抛物线开口朝下时，顶点的纵坐标是抛物线的最大值；当抛物线开口朝上时，顶点的纵坐标是抛物线的最小值。

除了顶点，我们还可以通过顶点求得抛物线的焦点和直径。

焦点是位于对称轴上与顶点等距离的点，它的纵坐标可以通过以下公式求得：y = c - (b^2 - 1) / (4a)。

直径是焦点与顶点之间的距离的两倍。

总结起来，抛物线顶点的公式为：1. 对称轴的横坐标：x = -b / (2a)。

2. 顶点的纵坐标：y = ax^2 + bx + c。

3. 焦点的纵坐标：y = c - (b^2 - 1) / (4a)。

抛物线顶点在x轴正半轴解析式

抛物线顶点在x轴正半轴解析式在这篇文章中，我们将探讨抛物线顶点在 x 轴正半轴的解析式。

我们将从抛物线的一般形式开始，然后推导出顶点的坐标，并最终得出顶点在 x 轴正半轴的解析式。

一般形式的抛物线方程首先，我们来回顾一下一般形式的抛物线方程： y = ax² + bx + c。

在这个方程中，a、b、c 是常数，而 x 和 y 是变量。

如果 a > 0，那么抛物线将开口朝上，顶点将是曲线的最低点。

而如果 a < 0，那么抛物线将开口朝下，顶点将是曲线的最高点。

找出抛物线的顶点为了找出抛物线的顶点，我们首先需要找到抛物线的对称轴。

对称轴可以用方程 x = -b/(2a) 来表示。

一旦我们找到了对称轴，我们就可以利用这个信息来确定顶点的 x 坐标。

一旦我们找到了顶点的 x 坐标，我们可以将其代入抛物线的方程，用来求出顶点的 y 坐标。

在 x 轴正半轴的抛物线顶点如果我们想要抛物线的顶点位于 x 轴的正半轴上，那么顶点的 x 坐标将是正值。

也就是说，我们要求解的方程是当 x > 0 的情况下，抛物线顶点的坐标。

为了简化讨论，我们将假设 a > 0，即抛物线开口朝上。

根据对称性质，顶点的 x 坐标将为x = -b/(2a)，这是对称轴的方程。

然后我们可以将 x = -b/(2a) 代入抛物线的方程，求解出顶点的纵坐标 y。

得到顶点坐标的解析式现在我们将上述过程整合在一起，得到抛物线顶点在 x 轴正半轴的解析式。

首先，我们用 x = -b/(2a) 来表示对称轴的方程。

然后，我们将 x = -b/(2a) 代入抛物线方程 y = ax² + bx + c，得到顶点的纵坐标 y。

最终，我们得到了抛物线顶点在 x 轴正半轴的解析式，即顶点的坐标为 ( -b/(2a), c -b²/(4a) )。

通过这个解析式，我们可以直接得到抛物线在 x 轴正半轴上的顶点坐标，而无需进行额外的计算。

高中数学抛物线的顶点和对称轴

高中数学抛物线的顶点和对称轴
二次函数的图象是一条抛物线，这条抛物线是轴对称图形，其顶点的横坐标为，对称轴是直线，可见，对称轴是经过顶点且垂直于x轴的一条直线。

当时，方程有不相等二实数根和，相应的抛物线与x轴有两个不重合的交点和。

而对称轴恰为线段AB 的垂直平分线。

这是因为。

换言之，在这种情况下，对称轴方程也可以改写为。

例1、已知抛物线与x轴交于点A（1，0）和点B（7，0），顶点为M，且△MAB是等腰直角三角形，求抛物线的解析式。

分析：设与是抛物线图象上的两点，显然直线AB//x轴。

此时抛物线对称轴方程为。

这一点很容易证明。

A、B在x轴上时是一种特殊情况。

解析：由抛物线的对称性知MA=MB，并且。

对称轴为。

△MAB为等腰直角三角形，所以斜边AB上的高即斜边上的中线，则高为
顶点M的坐标为（4，3）或（4，-3）。

当M（4，3）时，设，将A（1，0）代入，求得。

这时，
当M（4，-3）时，同理可得。

这时。

例2、已知不等式对于任何实数x都成立，且抛物线经过和
两点，抛物线的顶点为C，且△ABC是等边三角形，求抛物线的解析式。

解析：成立，说明且，抛物线在x轴下方，且与x轴无交点。

由点A与点B的纵坐标相等，得对称轴方程为
，线段AB之长为4+2=6。

由△ABC为正三角形，可求得AB边上的高为。

因为抛物线顶点在x 轴下方，故坐标为。

设解析式为。

将代入可求得。

抛物线平移、对称变换

抛物线平移、对称变换专题一：抛物线平移、对称变换学习目标： 1.抛物线平移顶点，与坐标系交点关系2. 利用对称性求点的坐标知识框架：【1】抛物线的平移变换只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向与开口大小。

【2】求抛物线2=++（0a≠）沿坐标轴平y ax bx c移后的解析式，一般可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后利用抛物线平移变换的有y a x h k关规律将原顶点坐标改变成平移后的新顶点坐标即可。

抛物线平移变换的规律是：左加右减（在括号），上加下减（在末梢）。

【3】抛物线绕其顶点旋转180°只改变抛物线的开口方向，而不改变抛物线的开口大小及顶点位置。

【4】求抛物线2=++（0a≠）绕其顶点旋转y ax bx c180°后的解析式，同样可先将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后将二次项系数直接改变成y a x h k其相反数即可。

【5】⑴抛物线沿y轴翻折只改变抛物线的顶点位置，而不改变抛物线的开口方向及开口大小。

⑵抛物线沿x轴翻折将同时改变抛物线的开口方向及顶点位置，但抛物线的开口大小不变。

【6】求抛物线2=++（0a≠）沿某条坐标轴y ax bx c翻折后的解析式，首先仍应将其配方成顶点式()2=-+（0a≠），然后再根据翻折的方向来确定y a x h k新抛物线的解析式——若是沿y轴翻折，则只需将其顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标即可；若是沿x轴翻折，则除了要将顶点坐标改变成翻折后的新顶点坐标外，还需将二次系数改变成其相反数。

真题汇编：第一部分（选择题）（2013-2014海淀）二次函数22+1y x =-的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转180，则旋转后的抛物线的解析式为( ) A ．221y x =-- B ．221y x =+ C ．22y x = D ．221y x =-【方法总结】（2015-2016北师大实验二龙路中学）将抛物线22y x =向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的抛物线解析式是（）．A ．22(1)3y x =-- B ．22(1)3y x =++C ．22(1)3y x =-+ D ．22(1)3y x =+-【方法总结】（2015-2016北京三中）将抛物线 224=+y x绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）. A ． 224=--y x B ． 224=-+y xC ．224=-y xD ． 22=-y x【方法总结】（2015-2016北京市昌平第三中学）把抛物线y =2x 2-3沿x 轴翻折，所得的抛物线是（）A.y ＝－2x 2－3B. y ＝2x 2-3C. y ＝2x 2＋3D. y ＝－2x 2+3【方法总结】（2015-2016北京三帆中学）二次函数23+1y x =-的图象如图所示, 将其沿x 轴翻折后得到的抛物线的解析式为 A ．231y x=-- B ．23y x =C ．231y x=+ D ．231y x=-【方法总结】丰台区2017-2018中，抛物线221x y =x x y 2212-=，的阴影部分的面积是( )A ．2 B. 4 C. 8 D. 16【方法总结】第二部分（填空题）海淀区2017-201822y x =平移后经过点(0,3)A，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2013-2014海淀）已知点P（-1，m）在二次函数21y x=-的图象上，则m的值为；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 .【方法总结】（2015-2016年北京市第三十一中学）抛物线图像22x=xx-y，平=经过平移得到抛物线图像5y-422--移方法是______【方法总结】朝阳区2015-2016如图，抛物线y=4-x2通过9平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O （0，0），它的顶点为A ，以O 为圆心，OA 为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=4-9x2交于点C ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为．【方法总结】丰台区2014-2015如图，⊙O 的半径为2, 1C 是函数的221x y =的图象，2C 是函数的221x y -=的图象，3C 是函数的x y =的图象，则阴影部分的面积是______【方法总结】第三部分（解答题）（2013-2014东城）二次函数2y axbx c=++的图象与x轴交于点A （-1, 0），与y 轴交于点C （0，-5），且经过点D （3，-8）. （1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．【方法总结】（2016-2017北京四十四中初三上期中）抛物线22y x =向上平移后经过点(0,3)A ，求平移后的抛物线的表达式．【方法总结】（2016-2017北京西城铁路第二中学初三上期中）如图，一段抛物线：(2)y x x =-（0≤x ≤2），记为1C ，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2 ，交x 轴于点A 2 ；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；… ，如此进行下去，直至得C 10．（1）请写出抛物线C 2的解析式：；（2）若P （19，a ）在第10段抛物线C 10上，则a =_________．【方法总结】西城区2014-2015已知：抛物线1C ：2y axbx c=++经过点()10A -，、()30B ，、()03C -，．⑴ 求抛物线1C 的解析式；⑵ 将抛物线1C 向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线2C 经过坐标原点，并写出2C 的解析式；⑶ 把抛物线1C 绕点()10A -，旋转180︒，写出所得抛物线3C 顶点D 的坐标．【方法总结】【纠错回顾】。

(文章)利用抛物线的对称轴解题

利用抛物线的对称轴解题抛物线的对称轴是二次函数的一个重要特性，巧用这个对称性，能使求解变得简洁，下面举例说明；1. 用对称比大小例1、已知二次函数234y x x =--，若x x 2132320->->，试比较1y 与2y 的大小；解析：因为抛物线的对称轴为x =32，且3201->x ，x 2320->，所以x 1在对称轴的左侧，x 2在对称轴的右侧，因为x 1到对称轴x =32的距离为||x x 113232-=-，x 2到对称轴x =32的距离为||x x 223232-=-，由题意知：x x 2132320->->，即x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，所以21y y >2. 用对称求解析式例2. 已知抛物线y ax bx c =++2的顶点坐标为（－1，4），与x 轴两交点间的距离为6，求此抛物线的解析式。

解析：因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为x =-1，又因为抛物线与x 轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为： x 113=--，x 213=-+，则两交点的坐标为（-4，0）、（2，0）；求函数的解析式可有两种方法：解法(1)：设抛物线的解析式为顶点式：y a x =++()142，把（2，0）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为y x =-++49142()；解法(2)：设抛物线的解析式为两点式：(4)y a x =+（x-2），把（－1，4）代入得a =-49，所以抛物线的解析式为：4(4)9y x =-+（x-2）；3. 用对称性解答方程问题例3. 关于x 的方程x px 210++=（p >0）的两根之差为1，则p 等于（） A. 2 B. 4 C.3 D.5解析：设方程x px 210++=的两根为x 1、x 2，则抛物线y x px =++21与x 轴两交点的坐标为（x 1，0），（x 2，0）因为抛物线的对称轴为x p =-2，所以x p 1212=--，x p 2212=-+，因为x x 121⋅=，所以()()---+=p p 2122121，得：p 25=，因为p >0，所以p =5 故选D。

高三复习-抛物线对称轴公式

抛物线对称轴公式抛物线对称轴公式：x=-b/2a。

垂直于准线并通过焦点的线（即通过中间分解抛物线的线）被称为“对称轴”。

y=ax²+bx+c=a(x²+b/ax)+c=a（x²+b/ax+b²/4a²）+c-b²/4a=a（x+b/2a）²-（-4ac+b²）/（4a）顶点(-b/2a，(4ac-b²)/4a)对称轴x=-b/2a二次函数图象在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax1+bx+c的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。

如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由y=ax²平移得到的。

二次函数图像是轴对称图形，对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点P。

特别地，当b=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0），是顶点的横坐标（即x=-b/2a）。

二次函数图像有一个顶点P，坐标为P（h，k）。

当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。

即可表示为顶点式y=a（x-h）1+k（a≠0）h=-b/2a，k=（4ac-b²）/4a。

二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。

当a0时，二次函数图象向上开口；当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a0，与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a 0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同号。

当a0，与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a0，所以b/2a要小于0，所以a、b要异号。

可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。

4.2抛物线的对称轴和顶点(2014年)

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