最新人教版高中数学选修4-1《圆的切线的性质及判定定理》课堂导学
最新人教版高中数学选修4-1《圆的切线的性质及判定定理》预习导航
预习导航请沿着以下脉络预习：1．切线的性质定理(1)文字语言：圆的切线垂直于经过切点的半径．(2)符号语言：直线l与圆O相切于点A，则OA⊥l.(3)图形语言：如图所示．2．推论1(1)文字语言：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．(2)符号语言：直线l与圆O相切于点A，过O作直线m⊥l，则A∈m.(3)图形语言：如图所示．3．推论2(1)文字语言：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．(2)符号语言：直线l与圆O相切于点A，过A作直线m⊥l，则O∈m.(3)图形语言：如图所示．4．切线的判定定理(1)文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)符号语言：OA是圆O的半径，直线l⊥OA，且A∈l，则l是圆O的切线．(3)图形语言：如图所示．1．下列说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，且垂直于此直径的直线是圆的切线．其中正确的是()．A．①②B．②③C．③④D．①④答案：C解析：与圆有公共点的直线，可能是切线，也可能与圆相交，则①不正确；②不符合切线判定定理的条件，缺少过半径外端的条件，则②不正确；很明显③④正确．2．已知AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是()．A．AB与⊙O相切于直线CD上的点CB．CD经过圆心OC．CD是直线D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O答案：D解析：由图①②③可知，根据选项A，B，C中的条件都不能判定AB⊥CD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以选项D正确(如图④)．3．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD延长线交于点C，且AD＝DC，则∠ABD＝__________.答案：45°解析：∵BC为⊙O的切线，∴AB⊥BC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC．又∵AD＝DC，∴∠ABD＝∠CBD．∴∠ABD ＋∠CBD ＝2∠ABD ＝∠ABC ＝90°，即∠ABD ＝45°.4．如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ，D 是优弧 BC上一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝________.答案：50°解析：∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，OC ⊥AC ．∴∠ABO ＋∠ACO ＝180°.∴∠BAC ＋∠BOC ＝180°.又∠BAC ＝80°，∴∠BOC ＝100°.∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 5．如图，已知AC 是⊙O 的直径，OE ⊥AD ，OF ⊥AB ，E ，F 为垂足，OE ＝OF ，AC 是AD 和AB 的比例中项．求证：BC 是⊙O 的切线．证明：∵OE ⊥AD ，OF ⊥AB ，且OE ＝OF ，∴AC 平分∠BAD ．∴∠CAD ＝∠BAC ．∵AC 是AD 和AB 的比例中项，即AC 2＝AD ·AB ，∴AC AB ＝AD AC.∴△ACD ∽△ABC ． ∴∠ACB ＝∠ADC ．∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝90°.∴∠ACB ＝90°，即OC ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线．。
2.3 圆的切线的性质及判定定理 教学课件(人教A版选修4-1)
课前探究学习
课堂讲练互动知ຫໍສະໝຸດ 达标演练课后习题解答【变式 3】 如图所示，PB 与⊙O 相切于点 B，PO 交⊙O 于点 A， BC⊥OP 于 C， 若已知 OA＝3 cm， OP＝4 cm， 则 AC＝____cm. 解析 如图所示，连接 OB.
∵PB 是切线，∴OB⊥PB. ∵BC⊥OP，∴OB2＝OC· OP. OB2 9 ∴OC＝ ＝ . OP 4 9 3 ∴AC＝OA－OC＝3－4＝4(cm)． 答案 3 4
如果圆的一条直线满足以下三个
条件中的任意两条，那么就一定 满足第三条．它们是：①垂直于切线；②过切点；③过圆心． (2)本定理题设为：一条直线既过圆心又过切点，结论为：这条直 线与圆的切线垂直．如图所示，若直线l切⊙O于A，直线l′经过点
O、A，则直线l′⊥l.
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
课后习题解答
∠PQR＝90°－∠OQP.
所以∠RPQ＝∠PQR. 所以RP＝RQ. 反思感悟 题目中若有圆的切线，首先可以连接圆心和切点，出
现垂直关系．
课前探究学习
课堂讲练互动
知能达标演练
课后习题解答
【变式2】 如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AD是弦，过 点B的切线与AD的延长线交于点 C，且AD＝DC，求∠ABD的
割线， ∴PA2＝PB· PC.又 PA＝10，PB＝5， ∴PC＝20，BC＝15. ∵PA 切⊙O 于 A， ∴∠PAB＝∠ACP.
课前探究学习 课堂讲练互动 知能达标演练 课后习题解答
又∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA. AB PA 10 1 ∴CA＝PC＝20＝2. ∵BC 为⊙O 的直径，∴∠CAB＝90° . ∴AC2＋AB2＝BC2＝225.∴AC＝6 5，AB＝3 5. 又∠ABC＝∠E，∠CAE＝∠EAB， AB AD ∴△ACE∽△ADB，∴AE＝AC . ∴AD· AE＝AB· AC＝3 5×6 5＝90.
最新人教版高中数学选修4-1《圆的切线的性质及判定定理》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、圆的切线的性质定理及推论1.圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.此定理强调半径必须经过切点，否则结论不成立.由于过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；反过来，过切点且垂直于切线的直线一定经过圆心，由此可以得到两个推论.2.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.知识拓展分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，可得出如下结论：如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个:(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心.于是在利用切线性质时，过切点的半径是常作的辅助线.误区警示圆的切线还有两条性质应当注意，一是切线和圆只有一个公共点；二是切线和圆心的距离等于圆的半径.在许多实际问题中，我们也利用它们来解决.二、切线的判定定理1.切线的判定定理是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.在定理中要分清定理的题设和结论，强调“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，如图2-3-1的例子就不同时满足两个条件，所以都不是圆的切线.图2-3-12.用判定定理证明一直线与圆相切时，必须满足两个条件：①过半径的外端；②垂直于这条半径.方法归纳在解决相关问题时，若已知要证的切线经过圆上一点，则需把这点与圆心相连，证这直线与这半径垂直；否则需先向这直线作垂线，再证这垂线段是圆的半径.问题·探究问题判断一条直线是否是圆的切线，通常有哪些方法？一般如何选取合适的方法？思路:从圆与直线公共点的个数、直线到圆心的距离、直线与半径的位置思考.探究:判定切线通常有三种方法：（1）和圆有唯一一个公共点的直线是圆的切线；（2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线. “过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线”只是把“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”的定理具体化，在使用时要根据题目的具体要求选取合适的方法，如果涉及到数值计算或距离问题，通常利用（2），如果涉及到线段的位置关系等，通常选取（3）.典题·热题例1如图2-3-2所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AD+BC=AB，AB为⊙O的直径，图2-3-2求证：⊙O 与CD 相切.思路分析：欲证⊙O 与CD 相切,只需证明圆心O 到直线CD 的距离等于⊙O 的半径即可.证明：过O 点作OE ⊥CD ，垂足为E ，∴AD ∥OE ∥BC.∵O 为AB 的中点，∴E 为CD 的中点.∴OE=21(AD+BC). 又∵AD+BC=AB ， ∴OE=21AB=OA,即OE 是⊙O 的半径. ∴⊙O 与CD 相切.方法归纳 在不知道圆与直线是否有公共点的情况下,通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一.例2如图2-3-3所示，已知AB 为半圆O 的直径，直线MN 切半圆于点C ，AD ⊥MN 于点D ，BE ⊥MN 于点E ，BE 交半圆于点F ，AD=3 cm ，BE=7 cm.图2-3-3（1）求⊙O 的半径；（2）求线段DE 的长.思路分析：（1）连结OC ，证C 为DE 的中点.在解有关圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径.对于（2）则连结AF ，证四边形ADEF 为矩形，从而得到AD=EF ，DE=AF ，然后在Rt △ABF 中运用勾股定理,求AF 的长.解：（1）连结OC.∵MN 切半圆于点C ，∴OC ⊥MN.∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ，∴AD ∥OC ∥BE.∵OA=OB ，∴CD=CE.∴OC=21（AD+BE ）=5 cm. ∴⊙O 的半径为5 cm.（2）连结AF.∵AB 为半圆O 的直径，∴∠AFB=90°.∴∠AFE=90°.又∠ADE=∠DEF=90°，∴四边形ADEF 为矩形.∴DE=AF ，AD=EF=3 cm.在Rt △ABF 中，BF=BE-EF=4 cm ，AB=2OC=10 cm.由勾股定理，得AF=2124102222=-=-BF AB ，∴DE=212 cm.深化升华 在梯形当中，最常见的辅助线是高，通过作高，可以构造出直角三角形，然后在直角三角形中进行相关计算；当题目中涉及圆的切线问题时，常常需要作出过切点的半径，通过它可以构建有用的垂直关系.例3如图2-3-4所示，AB 为⊙O 的直径，BC 、CD 为⊙O 的切线，B 、D 为切点，图2-3-4（1）求证：AD ∥OC ；（2）若⊙O 的半径为1，求AD·OC 的值.思路分析：对于（1），连结OD 、BD ，证AD ⊥BD ，OC ⊥BD ；对于（2），连结BD ，证△ABD ∽△OCB 即可.（1）证明：连结OD 、BD.∵BC 、CD 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ，OD ⊥CD.∴∠OBC=∠ODC=90°.又∵OB=OD ，OC=OC ，∴Rt △OBC ≌Rt △ODC.∴BC=CD.∵OB=OD ，∴OC ⊥BD.又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB=90°,即AD ⊥BD.∴AD ∥OC.（2）解：∵AD ∥OC ，∴∠A=∠BOC.又∠ADB=∠OBC=90°，∴△ABD ∽△OCB. ∴OBAD OC AB =. ∴AD·OC=AB·OB=2×1=2.例4如图2-3-5,已知两个同心圆O,大圆的直径AB 交小圆于C 、D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，ED 交小圆于G ，若小圆的半径为2，EF=34，试求EG 的长.图2-3-5思路分析：由EF 和小圆切于点C ，易知EF ⊥CD.因为CD 为小圆的直径，联想“直径上的圆周角为90°”，考虑连结GC ，则GC ⊥ED.由已知条件容易求出CD 、EC 的长.在Rt △ECD 中利用勾股定理和射影定理不难求出EG 的长.解：连结GC ，则GC ⊥ED.∵EF 和小圆切于C ，∴EF ⊥CD ，EC=21EF=32. 又CD=4，∴在Rt △ECD 中，有ED=724)32(2222=+=+CD EC .∵EC 2=EG·ED ， ∴EG=77672)32(22==ED EC。
高中数学人教A版选修4-1学案第2讲 3 圆的切线的性质及判定定理 Word版含解析
三圆的切线的性质及判定定理
．掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．(重点、难点) ．掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切．(易错、易混点)
[基础·初探]
教材整理切线的性质定理及推论
阅读教材倒数第行以上部分，完成下列问题．
．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图--，已知切⊙于点，则⊥.
图--
．推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
．推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
是⊙的切线，能确定⊥的条件是( )
．∈．过切点
．∈，且过切点．是⊙的直径
【解析】由切线的性质定理知，选项正确．
【答案】
教材整理切线的判定定理
阅读教材～，完成下列问题．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
下列说法：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中正确的有( ) 【导学号：】
．①②．②③
．③④．①④
【解析】根据切线的定义及判定定理知③④正确．
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
.。
人教A版高中数学选修4-1 第3节圆的切线的性质及判定定理 名师公开课市级获奖课件(57张)
在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，
∴AD＝2DE. 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°， ∴BD＝2AD＝4DE. ∵DE的长是1 cm，∴BD的长是4 cm.
No.2 课堂学案
利用切线的性质求角度
如图所示，点 P 是⊙ O 外的一点， PA、PB 分别与 ⊙O相切于点A和点B，∠APB＝40°，C是弧AB上任意一点， 过点C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D和点E，求∠DOE的度 数．
第三节
圆的切线的性质及判定定理
课标定位
1．归纳总结圆的切线的有关知识．
2．深入理解圆的切线的性质、判定定理及推论． 3．灵活运用圆的切线的性质、判定定理及推论进行有关 计算与证明.
1．切线的判定与性质的应用．(重点) 2．对切线性质与判定的相关考查常与相似三角形结合在 一起，带有一定的综合性．(难点)
答案： C
3．如图，在半径分别为5 cm和3 cm的两个同心圆中，大 圆的弦AB与小圆相切于点C，则弦AB的长为________cm.
解析：
连接 OA、OC．
∵AB 是小圆的切线， 1 ∴OC⊥AB，∴AC＝2AB． ∵在 Rt△AOC 中， AC＝ 52－32＝4(cm)． ∴AB＝8 cm.
∵AB是直径，∴AD⊥BD． ∴△ABD是等腰直角三角形．
∴∠ABD＝45°.
利用切线的性质解决线段的长度问题
如图所示，在△ABC 中，a、b、 c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边，且 a、b 是关于 x 的一元二次方程 x2＋4(c＋2)＝(c＋ 4)x 的两个根，点 D 在 AB 上，以 BD 为直 径的⊙O 切 AC 于点 E. (1)求证：△ABC 是直角三角形； 3 (2)若 tan A＝4，求 AE 的长度．
高中数学人教A版选修4-1课件：2-3圆的切线的性质及判定定理
课堂篇 合作学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测
(1)证明:如图,连接OD,BD. ∵BC,CD是☉O的切线, ∴OB⊥BC,OD⊥CD. ∴∠OBC=∠ODC=90°. 又∵OB=OD,OC=OC, ∴Rt△OBC≌Rt△ODC. ∴BC=CD.又∵OB=OD,∴OC⊥BD. ∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°, 即AD⊥BD.∴AD∥OC. (2)解:∵AD∥OC,∴∠A=∠BOC. 又∠ADB=∠OBC=90°, ������������ ������������ ∴△ABD∽△OCB.∴ = .
课前篇 自主预习
1.切线的性质定理及其推论 (1)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. (3)推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 名师点拨1.圆的切线的性质定理及其两个推论可以用一个定理 叙述出来,即如果一条直线满足以下三个条件中的任意两个,那么 就一定满足第三个.它们是:①垂直于切线;②过切点;③过圆心. 2.利用圆的切线的性质定理及其两个推论,可以解决两条直线的 垂直、直线经过点、点在直线上等证明问题.
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画 “×”. (1)垂直于半径的直线是圆的切线. ( ) (2)切线和圆心的距离等于圆的半径. ( ) (3)圆的切线与圆只有一个公共点. ( ) (4)经过直径的一端且垂直于这条直径的直线是圆的切线. ( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)√
课堂篇 合作学习 探究一 探究二 探究三 当堂检测
变式训练1如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,☉O与腰 AB相切于点D.求证:AC与☉O相切. 证明:连接OD,过点O作OE⊥AC,垂足为E. ∵☉O与AB相切于点D, ∴OD⊥AB,且OD等于圆的半径. ∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ∴∠B=∠C,OB=OC. 又∠ODB=∠OEC=90°,∴△ODB≌△OEC. ∴OE=OD,即OE是☉O的半径, 即圆心O到直线AC的距离等于半径. 故AC与☉O相切.
最新人教版高中数学选修4-1《圆的切线的性质及判定定理》课堂探究
课堂探究知能点一：圆的切线的性质题目中若有圆的切线，首先可以连接圆心和切点，出现垂直关系．【例1】如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 交PC 的延长线于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数； (2)求DE 的长．(1)要求∠P ，连接OC ，在△POC 中，易证OC ⊥PC ，则sin ∠P ＝OC OP ＝12.从而得出∠P ＝30°.(2)要求DE ，则易转化为求BD －BE ，而BD ＝12PB ＝32，易证AE ∥PD ，∠EAB ＝30°，故BE ＝12AB ＝1，得出结论DE ＝12.解：(1)连接OC ．∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形． ∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2， ∴sin ∠P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°.(2)∵BD ⊥PD ，∴在Rt △PBD 中，由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3，得BD ＝32.连接AE .则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD ．∴∠EAB ＝∠P ＝30°， ∴BE ＝AB sin 30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12.1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O 的切线交AC于E.求证：DE⊥AC．证明：连接OD、AD，如图．∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC．∵AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边上的中线，即BD＝DC．又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC．∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC．2．如图，已知AB为半圆O的直径，直线MN切半圆于点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN 于点E，BE交半圆于点F，AD＝3 cm，BE＝7 cm.求⊙O的半径．解：连接OC．因为MN切半圆于点C，所以OC⊥MN.因为AD⊥MN，BE⊥MN，所以AD∥OC∥BE.因为OA＝OB，所以CD＝CE.所以OC ＝12(AD ＋BE )＝5 (cm)．所以⊙O 的半径为5 cm. 知能点二：圆的切线的判定在不知道圆与直线是否有公共点的情况下通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一．【例2】如图，△ABC 为等腰直角三角形，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ．求证：AC 与⊙O 相切．要证AC 与⊙O 相切，只需证明圆心O 到直线AC 的距离等于⊙O 的半径即可．证明：连接OD ，过点O 作OE ⊥AC ，垂足为E . 因为⊙O 与AB 相切于点D ，所以OD ⊥AB ，且OD 等于圆的半径．因为△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点， 所以∠B ＝∠C ，OB ＝OC ． 又因为∠ODB ＝∠OEC ＝90°， 所以△ODB ≌△OEC ．所以OE ＝OD ， 即OE 是⊙O 的半径，即圆心O 到直线AC 的距离等于半径． 所以AC 与⊙O 相切．如图，△ABO 中，OA ＝OB ，以O 为圆心的圆经过AB 的中点C ，且分别交OA 、OB 于点E 、F .(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若△ABO 腰上的高等于底边的一半，且AB ＝43，求 ECF的长． (1)证明：连接OC ，∵△ABO 为等腰三角形，C 为底边AB 的中点，∴OC ⊥AB ． ∴AB 为⊙O 的切线．(2)解：∵△ABO 腰上的高等于底边的一半， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝π6.∴∠AOB ＝2π3.又AB ＝43，∴AC ＝2 3. ∴OC ＝AC ·tan30°＝23×33＝2. ∴＝2×2π3＝4π3.。
人教新课标版数学高二-高中数学选修4-1 圆的切线的性质及判定定理 学案
[重点校]河南师大附中高中数学选修4-1：圆的切线的性质及判定定理学案【学习目标】1、理解圆和直线的位置关系，直线与圆相切的概念；2、会证明切线的性质定理和两个推论及切线的判定定理；并能利用其解决相关的几何问题.【自主学习】1、直线与圆的位置关系、、 .2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 .推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 .推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 .3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 .【自主检测】下列命题中正确的是（1）圆的切线垂直于半径（2）垂直于圆的半径的直线是圆的切线（3）过一个圆的直径两端点的两条切线互相平行（4）直线AB与⊙O相切于点A，过O作AB的垂线，垂足必是A（5）若同一个圆的两条切线互相平行，则连结切点所得的线段是该圆的直径(6) 过直径的端点，垂直于直径的直线是圆的切线【典例分析】例1、如图一，AB是⊙O的直径，⊙O过BC的中点D，DE AC⊥. 求证：DE 是⊙O的切线.⊥，例2、如图二，AB是⊙O的直径，P是⊙O外一点，PA AB•弦//BC OP，请判断PC是否为⊙O的切线，说明理由．例3、如图三，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D . 求证：AC 平分DAB ∠.【目标检测】1、AP 为⊙O 切线，P 为切点，OA 交⊙O 于点B ，40A ∠=，则APB ∠=（ ）A 、25°B 、20°C 、40°D 、35°2、已知P 为⊙O 外一点，以PO 为直径作⊙M ，⊙M 与⊙O 交于点A 、B ，求证：PA 、PB 是⊙O 的切线.3、如右图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ,90C ∠=,且AD BC AB +=，AB 为圆O 的直径，求证:圆O 与CD 相切.4、如图，在RT ABC ∆中，90C ∠=,BE 平分ABC ∠交AC 于点E ，点D 在AB 上，DE EB ⊥求证：AC 是BDE ∆的外接圆的切线.【总结提升】圆的切线的性质定理和和它的两个推论，涉及一条直线的三条性质：经过圆心；经过切点；垂直于切线.。
2.3 圆的切线的性质及判定定理 课件(人教A选修4-1)
∠BCD＝45° ， ∴∠BOD＝90° . ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角， ∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB ＝60° －45° ＝15° ， ∴∠DOC＝2∠DBC＝30° ， 从而∠BOC＝120° ， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30° .
在△OEC 中，因为∠EOC＝∠ECO＝30° ， ∴OE＝EC， 在△BOE 中，因为∠BOE＝90° ，∠EBO＝30° . ∴BE＝2OE＝2EC， CE CD 1 ∴BE＝DA＝ ， 2 ∴AB∥OD，∴∠ABO＝90° ， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线．
对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热
点，其解答思路常常是先证明某直线是圆的切线， 再利用切线的性质来求解相关结果．
5.如图， 已知两个同心圆 O， 大圆的直径 AB 交 小圆于 C、 大圆的弦 EF 切小圆于 C， D， ED 交小圆于 G，若小圆的半径为 2，EF＝4 3， 试求 EG 的长．
点击下图进入应用创新演练
解：连接 GC，则 GC⊥ED. ∵EF 和小圆切于 C， 1 ∴EF⊥CD，EC＝ EF＝2 3. 2 又 CD＝4，∴在 Rt△ECD 中， 有 ED＝ EC2＋CD2 ＝ 2 32＋42＝2 7.
由射影定理可知 EC2＝EG· ED， EC2 2 32 6 7 ∴EG＝ ED ＝ ＝ . 7 2 7
(2)数量关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．
(3)定理：过半径外端点且与这条半径 垂直 的直线是圆 的切线． 其中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数量关系来判定， 而(3)是用位置关系加以判定的．
[例1]
如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD
为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O
人教版高中数学选修4-1《2.3圆的切线的性质及判定定理》
D C
又∵AD⊥CD,
∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD. ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∴ ∠CAD=∠CAO. 故AC平分∠DAB.
A O B
习题2.3
1.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
D
A
E
B
线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个， 就可以推出第三个：（1）垂直于切线；（2） 过切点；（3）过圆心。
直线经过切点
切线垂直于半径
经过圆心
垂直于切线
直线经过切点 经过圆心
垂直于切线 经过圆心 直线经过切点
练一练
按图填空： (1). 如果AB是⊙O的切线， 那么 OA ⊥ AB. (2). 如果OA⊥AB，那 么AB是 ⊙O的切线
A
O
D E
.
B
F
例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.
证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,
∴OD是△ABC的中位线, ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º
E D C
∴∠ODE=90º
又∵D在圆周上,
A O
B
∴DE是⊙O是切线..
例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和 过C点的切线互相垂直,垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 证明:连接OC, ∵CD是⊙O的切线,
几何语言：∵ l 相切⊙O于Ａ, A是切点, OA是⊙O的半径 ∴l ⊥OA. 提示：切线的性质定理是证明两条直线垂直的重要根据; 作过切点的半径是常用辅助线之一.
高中数学 2.3圆的切线的性质及判定定义课件 新人教A版选修4-1
ED.
目
链
接
精选ppt
5
解析：方法一 连接BD(如图)，∵AB是⊙O的直 径，
∴∠B＝90°－∠A，∵EM⊥AB，
∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A.
∴∠ECD＝∠B.
又∵ED切⊙O于D，∴∠EDC＝∠B(证明略)．
栏 目
∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED.
链 接
方法二 ∵ED切⊙O于D，连接OD.
答案：2
精选ppt
8
题型二 判定定理的应用
例2 △ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，⊙O 与腰AB相切于点D.求证：AC与⊙O相切．
分析：要证AC与⊙O相切，只需证明圆心O到直线AC 的距离等于⊙O的半径即可．
栏 目 链
证明：如图，连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E. 接
精选ppt
9
15
例 如图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上一 点，⊙D与OA相切于点E，求证OB与⊙D相切．
栏 目 链 接
精选ppt
16
【错解】连接DE，设F为OB与⊙D的公共点，连接 DF，则DE＝DF.
∵OA与⊙D相切于点E，
∴DE⊥OA.
栏
目
又∵OD平分∠AOB.
链
∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切．
栏
故∠OED＝90°，DE 是⊙O 的切线．
目 链
(2)设 CE＝1，AE＝x，由已知得 AB＝2 3，BE＝ 12－x2.
接
由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以 x2＝ 12－x2，
即 x4＋x2－12＝0.
可得 x＝ 3，所以∠ACB＝60°.
精选ppt
14
析疑难
提
2019-2020学年度最新人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章圆的切线
2019-2020学年度最新人教B版高中数学-选修4-1教学案-第一章圆的切线1.2圆周角与弦切角1．2.1圆的切线[对应学生用书P15][读教材·填要点]1．直线与圆的位置关系(1)相离：直线和圆没有公共点，称直线和圆相离．(2)相交：如果圆心到一条直线的距离小于半径，则这条直线和该圆一定相交于两点，此时称直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．(3)相切：如果一条直线与一圆只有一个公共点，则这条直线叫做这个圆的切线，公共点叫做切点．2．圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．3．圆的切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径．推论1：从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等．推论2：经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角．4．三角形的内切圆、旁切圆(1)内切圆：与一三角形三边都相切的圆，叫做这个三角形的内切圆．(2)旁切圆：与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆，叫做三角形的旁切圆，一个三角形有三个旁切圆．[小问题·大思维]1．下列关于切线的说法中，正确的有哪些？①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．提示：由切线的定义及性质可知，只有③④正确．2．圆的切线的判定方法有哪些？提示：圆的切线的判定方法有：(1)定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)几何法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线．(3)判定定理：过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．[对应学生用书P16][例1]如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD.求证：DC是⊙O的切线．[思路点拨]本题考查圆的切线的判定方法．解决本题只要证明OD⊥CD即可．[精解详析]如图，连接OD.∵OC∥AD，∴∠3＝∠1，∠4＝∠2.∵OD＝OA，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠3.∵OD＝OB，OC＝OC，∴△DOC≌△BOC.∴∠CDO＝∠CBO.∵AB是直径，BC是切线，∴∠CBO＝90°，∴∠CDO＝90°.∴DC是⊙O的切线．证明某条直线是圆的切线，有以下规律：(1)若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；(2)若直线与圆的公共点没确定，应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”．1．如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E.求证：DE是⊙O的切线．证明：连接OD和AD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC.又∵AB＝AC，∴BD＝CD.∵AO＝OB，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．[例2]如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，求证：△PQR为等腰三角形．[思路点拨]本题考查切线的性质的应用．解答本题需要证明△PQR中的两个角相等，因为QR为切线，故可考虑连接OQ，得到垂直关系，然后再证明．[精解详析]连接OQ.因为QR是⊙O的切线，所以OQ⊥QR.因为OB＝OQ，所以∠B ＝∠OQB . 因为BO ⊥OA ，所以∠BPO ＝90°－∠B ＝∠RPQ ， ∠PQR ＝90°－∠OQP . 所以∠RPQ ＝∠PQR .所以RP ＝RQ ，所以PQR 为等腰三角形．(1)圆的切线的性质定理及它的两个推论，概括起来讲就是三点：①经过圆心；②切线长相等；③平分切线的夹角．(2)若题目条件中有圆的切线，可考虑连接圆心和切点，则得垂直关系．2.如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ∥AB ，连接AD ，并延长交⊙O过B 点的切线于E 点，作EG ⊥AC 交AC 的延长线于G 点．求证：AC ＝CG .证明：如图，连接BC 交AE 于F 点． ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠3. 又∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即AF ＝BF .①AB 为⊙O 的直径，BE 为⊙O 的切线，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠2＋∠4＝90°∠1＋∠5＝90°， ∴∠4＝∠5，即FE ＝BF .② 由①②得AF ＝FE .③又AB 为⊙O 的直径，∴BC ⊥AG . 又EG ⊥AG ， ∴BC ∥EG .④ 由③④得AC ＝CG .[例3] 某海域直径为30海里的暗礁区中心有一哨所，值班人员发现有一轮船从哨所正西方向45海里的B 处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号，但是轮船没有收到这一信号，直到又继续前进了15海里到达C 处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号．(1)若轮船收到第一次信号后，为避免触礁，航向改变角度至少为东偏北多少度． (2)当轮船收到第二次信号后，为避免触礁，轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少度？[思路点拨] (1)根据题意转化为B 作暗礁区域圆的切线问题． (2)与(1)问思路一致，在C 处作暗礁区域圆的切线求解．[精解详析] (1)如图所示，圆心A 为暗礁区中心的哨所位置，⊙A 的半径为15海里．过点B 作⊙A 的切线，D 是切点，连接DA .由切线的性质定理，知∠ADB ＝90°. 在Rt △ABD 中，sin ∠ABD ＝AD AB ＝1545＝13.∵sin 20°≈13，∴∠ABD ≈20°.∴当轮船第一次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏北20°.(2)过点C 作⊙A 的切线，E 为切点，连接AE . 由切线的性质定理，知∠AEC ＝90°. 在Rt △ACE 中，∵AC ＝45－15＝30， ∴sin ∠ACE ＝AE AC ＝1530＝12，∴∠ACE ＝30°.∴当轮船第二次收到危险信号时，所改变角的度数应至少为东偏南30°.解决实际问题要善于抓住问题的特征——动切线的特殊位置，分析切线的变化规律，从“变”中找出“不变”，使问题简单化．3．如图，AD 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点D ，AB 、AC 与圆相交于点E 、F .则AE ·AB 与AF ·AC 有何关系？请给予证明．解：AE·AB＝AF·AC.证明如下：连接DE.∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.又∵BC与⊙O相切于点D，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.由射影定理知，AD2＝AB·AE.同理AD2＝AF·AC.∴AE·AB＝AF·AC.[对应学生用书P17]一、选择题1．AB是⊙O的切线，在下列给出的条件中，能判定AB⊥CD的是()A．AB与⊙O相切于直线CD上的点CB．CD经过圆心OC．CD是直径D．AB与⊙O相切于C，CD过圆心O解析：圆的切线垂直于过切点的半径或直径．答案：D2．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D，AB＝6，BC＝8，则BD＝()A．4B．4.8C．5.2 D．6解析：∵BC是⊙O的切线，∴△ABC是直角三角形．∴AC＝AB2＋BC2＝10.∵AB是直径，∴AC⊥BD.∵AB 2＝AD ·AC ， ∴AD ＝AB 2AC ＝3610＝185.∴CD ＝10－185＝325.∵BD 2＝CD ·AD ， ∴BD ＝185×325＝245＝4.8. 答案：B3．如图所示，EB 是半圆⊙O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC ⊥BC 于C ，且AC 是半圆的切线，切点为D ，连接OD ，若AC ＝12，BC ＝9，则OD 的长为( )A ．5B ．458C ．6D ．4解析：∵AC ＝12，BC ＝9， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝15.∵AC 为半圆的切线，∴OD ⊥AC . 又∵AC ⊥BC ，∴OD ∥BC . ∴OD BC ＝AO AB ，∴OD 9＝15－OD 15，∴OD ＝458.答案：B4．已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°，过C 点的切线PC 与AB 的延长线交于P ，PC ＝5，则⊙O 的半径是( )A.533B ．536C ．10D ．5解析：如图，连接OC ，则OC ⊥PC ，∵∠PAC ＝∠OCA ＝30° ∴∠COP ＝60°，在 Rt △PCO 中，PC ＝5，则OC ＝PC tan ∠COP＝53＝533.答案：A二、填空题5.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝15 cm ，AB ＝25 cm ，以C 点为圆心，12 cm 为半径的圆和AB 的位置关系是________．解析：过点C 作CD ⊥AB ，∵AC ＝15 cm ，AB ＝25 cm ，∴BC ＝20 cm. ∴CD ＝15×2025＝12(cm)．∴半径为12 cm 的⊙C 与AB 相切． 答案：相切6．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，以A 为圆心，r 为半径的圆与BC 相切，则r 为________ cm.解析：∵AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ， ∴OB ＝4 cm ，OC ＝3 cm. ∴BC ＝OC 2＋OB 2＝5 cm.∵S △ABC ＝12AC ·BO ＝12×6×4＝12 cm 2，又∵S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×5r ，∴12＝5r 2.∴r ＝245 cm.答案：2457．如图，是两个滑轮工作的示意图，已知⊙O 1，⊙O 2的半径分别为4 cm,2 cm ，圆心距为10 cm ，AB 是⊙O 1，⊙O 2的公切线，切点分别为A ，B ，则公切线AB 的长为________ cm.解析：如图所示．分别连接O 1A ，O 2B .设AB 与O 1O 2交于C ，则有 △BCO 2∽△ACO 1，∴AO 1BO 2＝O 1C O 2C ，即42＝O 1C 10－O 1C . 解得O 1C ＝203.∴O 2C ＝10－203＝103.∴AB ＝O 1C 2－O 1A 2＋O 2C 2－O 2B 2 ＝ 4009－16＋ 1009－4 ＝8. 答案：88．如图，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点D ，若AB ＝BC ＝2 cm ，则CE ＝________，CD ＝________.解析：∵BC 是⊙O 切线，AB 为直径， ∴∠ABD ＝90°. ∵AB ＝2.∴OB ＝1. 又∵BC ＝2，∴OC ＝4＋1＝ 5.又∵OE ＝1，∴CE ＝(5－1) cm.连接BE .不难证明△CED ∽△CBE ， ∴CE CD ＝CB CE .∴CE2＝CB·CD.∴(5－1)2＝2CD.∴CD＝(3－5) cm.答案：(5－1) cm(3－5) cm三、解答题9.如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°，求证：DC是⊙O的切线．证明：连接OC、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠CAB＝30°，∴BC＝12AB＝BO，又∵BD＝BO，∴BC＝BO＝BD.则△OCD是直角三角形．∴OC⊥CD，∵OC是⊙O的半径．∴DC是⊙O的切线．10.如图，已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，若小圆的半径为2，EF＝43，试求EG的长．解：连接GC，则GC⊥ED.∵EF和小圆切于C，∴EF⊥CD，EC＝12EF＝2 3.又CD＝4，∴在Rt△ECD中，有ED＝EC2＋CD2＝(23)2＋42＝27.11 / 11由射影定理可知EC 2＝EG ·ED ，∴EG ＝EC 2ED ＝(23)227＝677.11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，锐角∠DAB 的平分线AC 交⊙O 于点C ，作CD ⊥AD ，垂足为D ，直线CD 与AB 的延长线交于点E .(1)求证：直线CD 为⊙O 的切线；(2)当AB ＝2BE ，且CE ＝ 3时，求AD 的长．解：(1)证明：连接OC ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC ＝∠CAB .∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OCA ＝∠DAC ，∴AD ∥CO .∵CD ⊥AD ，∴OC ⊥DE ，∴CD 为⊙O 的切线．(2)∵AB ＝2BO ，AB ＝2BE ，∴BO ＝BE ＝CO .设BO ＝BE ＝CO ＝x ，则OE ＝2x .在Rt △OCE 中，OC 2＋CE 2＝OE 2，则x 2＋(3)2＝(2x )2，∴x ＝1，∴AE ＝3，∠E ＝30°，AD ＝32.。
高中数学 2.3圆的切线的性质及判定定义课件 新人教A版选修41
栏 目 链 接
1．理解圆的切线的性质及其判定定理． 2．能正确应用圆的切线的性质及其判定定理．
栏 目 链 接
题型一 性质定理的应用
例1 如图，已知AB是⊙O的直径，ED切⊙O于D，
EM⊥AB于M，交AD于C，交⊙O于F.求证：EC
＝ED.
栏 目
链
接
解析：方法一 连接BD(如图)，∵AB是⊙O的直 径，
BC 交⊙O 于点 E.
(1)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；
(2)若 CA＝ 3CE，求∠ACB 的大小．
栏
目
பைடு நூலகம்
链
接
解析：(1)连结 AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.
在 Rt△AEC 中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.
连结 OE，则∠OBE＝∠OEB.
又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，
链 接
∴△ODB≌△OEC，
∴OE＝OD，
即OE是⊙O的半径，
即圆心O到直线AC的距离等于半 径．
∴AC与⊙O相切．
例3 如图，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC 交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上，试说明PE是⊙O的切 线．
栏 目 链 接
分析：要说明PE为⊙O的切线，就是要说明 PE⊥OP.因此需要作辅助线OP、BP. 解析：如图，∵AB是⊙O的直径，
栏 目 链 接
【错解】连接DE，设F为OB与⊙D的公共点，连接 DF，则DE＝DF.
∵OA与⊙D相切于点E，
∴DE⊥OA.
栏
又∵OD平分∠AOB.
目 链
接
∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切．
高中数学新人教A版选修4-1课件：2.3圆的切线的性质及判定定理
符号语言
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆
的切线
若 OA 是圆 O 的半径,直线 l⊥OA,且 A∈l,则 l 是圆
O 的切线
图形语言
作用
证明直线与圆相切
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
2
3
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
直线作垂线,再证明此垂线段是圆的半径,即用距离法证明;通常不
用定义法证明.
M 目标导航
UBIAODAOHANG
题型一
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型二
题型一
圆的切线性质的应用
【例1】 如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交BC于点D,
UBIAODAOHANG
1
2
3
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HON线的性质定理
文字语言
圆的切线垂直于经过切点的半径
符号语言
直线 l 与圆 O 相切于点 A,则 OA⊥l
图形语言
作用
证明两条直线垂直
D典例透析
IANLI TOUXI
M 目标导航
UBIAODAOHANG
∴∠OAB=90°,△OAB是直角三角形.
答案:C
M 目标导航
UBIAODAOHANG
1
2
3
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
人A版数学选修4-1讲义：第2讲 3 圆的切线的性质及判定定理
三圆的切线的性质及判定定理
1．掌握切线的性质定理及其推论，并能解决有关问题．(重点、难点) 2．掌握切线的判定定理，会判定直线与圆相切．(易错、易混点)
[基础·初探]
教材整理1切线的性质定理及推论
阅读教材P30倒数第2行以上部分，完成下列问题．
1．性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
如图2-3-1，已知AB切⊙O于点A，则OA⊥AB.
图2-3-1
2．推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
3．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
AB是⊙O的切线，能确定CD⊥AB的条件是()
A．O∈CD B．CD过切点
C．O∈CD，且CD过切点D．CD是⊙O的直径
【解析】由切线的性质定理知，选项C正确．
【答案】 C
教材整理2切线的判定定理
阅读教材P30～P31，完成下列问题．
判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
下列说法：
①与圆有公共点的直线是圆的切线；
②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；
③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．
其中正确的有() 【导学号：07370037】
A．①②B．②③
C．③④D．①④
【解析】根据切线的定义及判定定理知③④正确．
【答案】 C
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.。
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课堂导学
三点剖析
一、切线的性质
【例1】 如图2-3-1,两圆为以O 为圆心的同心圆,大圆的弦AB 是小圆的切线,C 为切点.求证:C 是AB 的中点.
图2-3-1
证明：连结OA 、OC 、OB,
∵OA=OB,
∴△OAB 是等腰三角形.
又∵AC 是小圆切线,C 是切点,
∴OC ⊥AB,即OC 是等腰三角形底边上的高.
∴OC 是AB 边上的中线.
∴C 是AB 的中点.
温馨提示
连结圆心、切点是解决切线问题时常用的作辅助线的方法之一.
二、切线的判定
【例2】 如图2-3-4,AB 是⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD=OB,点C 在圆上,∠CAB ＝30°.
求证:DC 是⊙O 的切线.
图2-3-4
证明：连结OC 、BC,
∵OA=OC,
∴∠CAB=∠ACO.
∴∠BOC=∠CAB+∠ACO=60°.
∵OB=OC,∴△OBC 是等边三角形.
∵BD=OB,∴BD=BC.
∴∠D=∠BCD.
∵∠OBC=∠D+∠BCD,
∴∠BCD ＝2
1∠OBC=30°. ∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°.
∴DC 是⊙O 的切线.
三、切线的性质与判定的综合运用
【例3】 如图2-3-6,直角梯形ABCD 中,以CD 为直径的圆恰好与腰AB 相切.
求证:以AB 为直径的圆也与腰CD 相切.
图2-3-6
思路分析：取CD 、AB 中点O 1、O 2,则O 1、O 2分别是两圆圆心,只需证O 2到CD 距离等于O 2A 或O 2B 即可.
证明:连结O 1O 2,作O 2E ⊥O 1D 于E,DF ⊥O 1O 2于F.
∵O 1C=O 1D,O 2B=O 2A,
∴O 1O 2∥AD ∥BC.
∴AB ⊥O 1O 2.∴DF=AO 2.
∵AB 与⊙O 1相切,∴O 1O 2=O 1D.
∴△O 1O 2E ≌△O 1DF.∴O 2E=DF.∴O 2E=O 2A.
∴⊙O 2与CD 相切于E 点.
各个击破
类题演练1
如图2-3-2,两个同心圆⊙O,大圆的弦AB 和AC 分别和小圆相切于点D 和E.
求证:DE 2
1BC.
图2-3-2
证明:连结OD 、OE,
∵AB 切小圆于D,∴OD ⊥AB.∴AD=BD.同理,AE=EC.
∴DE 是△ABC 的中位线.∴DE 2
1BC. 变式提升1
求证:一圆的两条平行切线的切点连线经过圆心.
图2-3-3
答案:已知:如图l 1、l 2分别切⊙O 于A 、B,l 1∥l 2,求证:O 在AB 上.
证明:连结OA,并延长交l 2于B′,
∵l 1切⊙O 于点A,∴OA ⊥l 1.又∵l 1∥l 2,
∴OA ⊥l 2,即OB′⊥l 2.
∴B 为l 2与⊙O 的切点.∴OB ⊥l 2.
但过O 只有一条直线与l 2垂直.∴B′与B 重合.
即A、O、B在一条直线上,或AB经过点O.
类题演练2
如图2-3-5,已知以Rt△ABC的直角边AB为直径,作⊙O与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点,连结DE.
求证:DE是⊙O的切线.
图2-3-5
证明:连结OD、BD.
∵AB是⊙O直径,
∴∠ADB=90°.
∴∠CDB=90°.
∵E是BC中点,
∴CE=EB=DE.
∴∠1=∠2.∵OB=OD,
∴∠3=∠4.
∴∠1+∠4=∠2+∠3.
∵在Rt△ABC中,∠ABC=∠2+∠3=90°,
∴∠EDO=∠1+∠4=90°.
∵D为⊙O上的点,
∴DE是⊙O的切线.
类题演练3
如图2-3-7,已知OC平分∠AOB,D是OC上任意一点,⊙D与OA相切于点E.
求证:OB与⊙D相切.
图2-3-7
证明:连结DE,过D作DF⊥OB,垂足为F.
OB与⊙D相切于点F.。