强连通图与其支撑树的关系

,
向 树 与 有 向 图 的 连 通 性 之 间 有 着 什 么 联 系 ? 在 本文 中 中 寻 找 具 有 某 种 特性 的 最 短 支 撑 树 的 计 算 方 法
、
。
我 们 将 对 这 些 问 题进行 讨 论
。
,
并
给 出 有关 有 向 图 孩 连通性 的 几 个 充 要 条 件 及 有 关 的 结 论
D
,
:
V
。
任V
,
D
中有 以
,
。
为 根 的 出树
且
:
T
为
u
,
的 支 撑树
任v
,
,
。
证
中有以
(V
i
,
:
充 分性
,
:
V
由于 有 向 图 也可到 达
, :
,
D
u
为 根 的 出树
。 ,
,
则
。
可到达
D A T
。
又因
刀
为根的 支 撑出 树
V V
,
。
,
故
V
是 强连 通 的
。:
必 要性 在 故 树
;
中任取 一点
,
开始 时令
,
一 {
,
}
:
A:
,
一
必
,
由于 有 向 图
一 {。
:
,
是强 谁 通 的
Z
,
\
犷: )
Z
护必
,
取
:
a
i
~
珑)
(
。:
。:
)
任
(V
:
V D
\ V
)
令
。:
V:
。:
}
,
=
(
D
a
:
};
若 若
(V:
,
V
W
V
一必
( 则 v
,
么 T 即为 有向图
,
中以
: ,
为根的 出树
人)
,
且
a
为
( v
的支撑
护 )
,
,
W 护必
)
,
Z
如 果 我 们 令 一 个 有 向图
的 逆有 向 图 是反转
D
中所 有 弧 的 方 向而 得 到 的
67
有 向图
,
, 记作 D
,
, 显然 ( D
, 一 D )
。。
。
因此
,
一 棵 有 向 树 的 逆 有 向 图仍 是 有 向 树
,
;
以点
t 7
。。
为
根 的 出树 的 逆 有 向 图 是 以 点
T 仍是 以 有向图 l
V
:
l 一V V
A
,
C
0 v
且
是一棵 有 向树
3
v
,
定义 均 可 到达
v 。
,
设
,
全一 ,
(V
,
若在
v
。
V
中有一 点
v
。
。。 ,
中任一 点
。
,
。
,
则称
v
。
,
是以
V
u
为 根 的 出树
;
,
,
若存在 一点
任
, V
, ,
任V ~
,
且 对于
:
V
:Biblioteka Baidu
中任一点
{
。。
。
可到
达
则称
砂
v 为根 的 入树 是以 0 任V
:
,
以 上 构 造法
总 可 以找 到
下 面 我 们 所讨 论 的 有 向 图
。
, v
,
均视 为 严格 的 定义 中有 以 到
A
,
即无 环 且 任 何 两 条 端 点 相 同 的弧 都 不 具 有 相 同 的 方 向 设
,
1图
D
一
。
(F
,
A )
是有 向 图
,
,
对于
a
犷
:
中任 何 两 点
。
,
若
U盖
二
可到达
a `
。
(即 D
。` 一
,
。
为 起点
则
,
T
(儿 ) 一
击 ) 显 然是 一 棵 以
,
。:
为 根的 出树
,
(人)
是 有向
的 支撑树
若
V ,+ 通 、+
:
V
\ V 护必
a
.
由
(。
, v Z ,
D
u
`
的强 连通性
)
,
易知
;
( V
令
:
.
,
八凡 ) 括 必
{a
: , a
这时取
:
~
, ,
任
。,
,
(矶
,
犷
;
\ V
二
.
)
,
=
{,
…
。. +
合
,
}
,
A.+
:
=
Z
,
…
,
a
.
}
,
T
(
A.
+
:
~
(V
.
+
:
,
)
。
由
~
,
尹
(儿+ 1 ) 的 取法 易 知
,
T
(人 ’ + l )
是 有 向 图
。
D
中 一裸以
D
。:
为 根 的 出树
V
,
,
当
k+
1
}叫 ~
k一
.
时
,
,
’ 7 ( 凡+ 1 )
还是
D
D
的 一 棵支 撑 树
。
,
又 由有 向 图
T
:
的项 点集
的 有 限性故 知 按
v
。
为 根的入树
,
反这 亦然
T
。
同样
。
,
以 点
。。
为结 点 的 树
.
的逆
为 结点 的 树
,
,
简称 尹 是
,
的逆向树
在 引 入 以上概 念后
定理
I T D~
,
就 可 以 给 出 以 下 有 关 强 连通 图 与 有 向 树 的 一 个 充 要 条 件
则
D
(V
) A 是 有 向图
D
v
是强 连通 的 充要条 件是 中有 以
,
因为 ~ …
,
D
,
是 强 连通 图
。:
,
所以有 ’ F (
A:
a
:
,
犷\
,
护少
,
,
又取
,
Z
~
,
任
\ V
矶=
V
Z
令
,
V3
,
{
。:
。3
会
,
v`
}
: ,
,
一 …
{
,
a
,
,
a :
}
如 此继 续下去
.
一 般地 有 且
T
{
。:
。 2
,
小
A
。
= (犷
{
a
a
卜 } (V
:
C
犷
滋
,
C
月)
,
。
若
图
刀
V
\ 玖~
毛
必
;
,
广 州 大 学 学 报
JO U R N A L O F G U A N G Z H O U
19 93
年第
2
期
U N IV E R S I T Y
总第 1 3 期
强 连 通 图 与 其 支 撑 树 的 关 系
. 翟晓燕
提要
本文 通过 对强 连 通图 与 有 向树 关 来 的 研 究
,
。
,
给 出 了一 组 有 关有 向 图
强 连 通 的 充 要 条 件及 有 趣 的 结 论 的最短 支撑 树 的 计葬 方 法
并 提 出 了在 网 络 图 中 寻 找 具 有 某 种 特 殊 性 质
在图论中
了 大量 的 工 作
,
树是 一类 非 常 简 单而又很 有用 的 图 然 而在现 实 生 活中
, ,
。
人 们 对这 一 类 图
,
,
。
,
以
为 终 点 的 道路
v
.
尸一 。 a 0 叭
。
… 卜
, t
,
。
v ,
,
秒
0
一
越
,
~
砂
-
是
D
中从
,
。`
的弧 定义
少
且所有 的 点
2
均 不同
)
且
也可到达
,
则称
D D
是强 连 通的
。
设
D一
( V
。
,
A 是 有向 图 ) ) A 是 有 向树
0 v
,
T
一
(V l
,
A ) 是 l
的 支撑树是 指 使 得对 于
最后
,
我 们还给 出 了 在 网 络 图
一
为 了 方 便起 见
,
强 连 通 图 与其 支 撑 树 的 关 系
。
,
我 们 首 先 介 绍 和 引 进 有 关 的 基本 概 念 在 本 文 中
。
,
除特 别 声 明 外
。
,
以
] 中一 致 下 讨 论 中 引 用 的 图 论 术语 及有关 专 用 表 示 符 号 均 与 l[
若有 一点
u
且
v
V
U
v
Z
,
v
门v : ~
}
,
使得V 或简称
任 V
,
,
可 到达
3
,
v
。
可到达
则称
是 以 矶 为 根部
0 v
为 结 点 的 出树
为以
。。
为 结 点 的树
。
。
由 定义
我 们 容 易看 出
,
以 一 点 为 根 的 出 树 和 以 一 点 为 根 的 入 树是 以 一 点 为 结 点 的
D
树 的 特 殊情 况
网 络 中 的 单 行道
例如 交通 很多 问 题 是 有 序 的 一 项工 程 中 各 工 序 之 间 的 先 后 关 系 自动 流 水 作 业 线 的 传 送带 等 把
。
,
— 带 有 方 向 选择 的
树的 研 究 已 做
。
:
这 类 实际 问 题 用 有 向 图描 述
我 们 就 自然 会 考 虑
:
在 一 个有 向 图 中 是 否 存 在 有 向 树 ? 有