(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分专题六函数与导数第1讲函数的图象与性质练典型习题提数学素养

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数学二轮复习专题练三核心热点突破专题六函数与导数第1讲函数图象与性质含解析

专题六函数与导数第1讲函数图象与性质高考定位1。

以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、值域、最值、奇偶性、单调性和周期性;2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3。

函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法。

真题感悟1。

(2020·全国Ⅱ卷）设函数f（x)＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜，则f(x)(）A。

是偶函数，且在错误!单调递增B。

是奇函数，且在错误!单调递减C。

是偶函数，且在错误!单调递增D。

是奇函数，且在错误!单调递减解析f(x）＝ln｜2x＋1|－ln|2x－1｜的定义域为错误!.∵f（－x)＝ln|－2x＋1｜－ln｜－2x－1|＝ln|2x－1｜－ln|2x＋1|＝－f（x），∴f(x）为奇函数,故排除A,C。

又当x∈错误!时，f(x）＝ln（－2x－1)－ln（1－2x）＝ln 错误!＝ln 错误!＝ln 错误!，∵y＝1＋错误!在错误!上单调递减，由复合函数的单调性可得f（x）在错误!上单调递减。

故选D.答案D2。

（2019·全国Ⅰ卷)函数f（x）＝错误!在[－π,π］的图象大致为()解析显然f(－x）＝－f(x），x∈[－π，π],所以f(x)为奇函数，排除A；又当x＝π时，f（π）＝错误!〉0，排除B，C，只有D适合.答案D3.（2020·新高考山东、海南卷)若定义在R上的奇函数f（x)在（－∞，0）单调递减，且f（2)＝0,则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是(）A.［－1，1］∪[3，＋∞）B.[－3,－1]∪［0,1］C.[－1，0]∪[1,＋∞）D.[－1,0]∪［1，3]解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,则f(0)＝0。

又f（x）在（－∞,0）单调递减，且f（2)＝0，画出函数f（x）的大致图象如图（1）所示,则函数f(x－1）的大致图象如图（2）所示。

当x≤0时，要满足xf(x－1）≥0,则f（x－1）≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf（x－1）≥0，则f（x－1)≥0，得1≤x≤3。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：第二部分圆锥曲线的定义方程与性质含解析

一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到渐近线的距离为3，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为( )A ．1B ． 3C ．2D ．2 3解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c ，0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为bc a 2＋b2＝b ＝3，即c 2－a 2＝3，又e ＝ca＝2，所以a ＝1，该双曲线的实轴的长为2a ＝2.2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A ．12B ．1C ．32D ．2解析：选B.设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1，2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.3．(2019·高考全国卷Ⅲ)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A ．324B ．322C ．2 2D ．3 2解析：选A.不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan ∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 4．(2019·昆明模拟)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( ) A ．13B ．12C ．23D ．3解析：选A.如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a 2.所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.5．(2019·湖南湘东六校联考)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与Γ相交于A ，B 两点．若AF →＝3FB →，则k ＝( )A ．1B ．2C ． 3D ． 2解析：选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为AF →＝3FB →，所以y 1＝－3y 2.因为椭圆Γ的长轴长是短轴长的2倍，所以a ＝2b ，设b ＝t ，则a ＝2t ，故c ＝3t ，所以x 24t 2＋y 2t 2＝1.设直线AB 的方程为x ＝sy ＋3t ，代入上述椭圆方程，得(s 2＋4)y 2＋23sty －t 2＝0，所以y 1＋y 2＝－23sts 2＋4，y 1y 2＝－t 2s 2＋4，即－2y 2＝－23st s 2＋4，－3y 22＝－t 2s 2＋4，得s 2＝12，k ＝2，故选D.6．(多选)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )A ．△ABF 是等边三角形B ．|BF |＝3C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6x解析：选ACD.因为以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，所以△ABF 是等边三角形，所以∠FBD ＝30°.因为△ABF 的面积为34|BF |2＝93，所以|BF |＝6.又点F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，则该抛物线的方程为y 2＝6x .二、填空题7．已知P (1，3)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线上的点，则双曲线C 的离心率是________．解析：双曲线C 的一条渐近线的方程为y ＝b a x ，P (1，3)是双曲线C 渐近线上的点，则ba＝3，所以离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a2＝2. 答案：28．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．解析：不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M |＝2c ＝8，所以|F 2M |＝2a －8＝4.设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，|F 1M |2＝（x ＋4）2＋y 2＝64，x >0，y >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝15，所以M 的坐标为(3，15)．答案：(3，15)9．(2019·湖南师大附中月考改编)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．解析：抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线方程为y ＝－p2，准线方程与双曲线方程联立可得x 23－p 212＝1，解得x ＝± 3＋p 24.因为△ABF 为等边三角形，所以32|AB |＝p ，即32×23＋p 24＝p ，解得p ＝6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为y ＝±x ，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为32＝322.答案：6322三、解答题10．(2019·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率．解：(1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以，椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x p ，y p )(x p ≠0)，M (x M ，0)．设直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0，可得x p ＝－20k4＋5k 2，代入y ＝kx ＋2得y p ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率为y p x p ＝4－5k2－10k.在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k.由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2.由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝⎛⎭⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245，从而k ＝±2305.所以，直线PB 的斜率为2305或－2305.11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若k OM ·k ON ＝54，求原点O 到直线l 的距离的取值范围．解：(1)由题知e ＝c a ＝32，2b ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝1，a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，依题意，Δ＝(8km )2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＞0，化简得m 2＜4k 2＋1，① x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，若k OM ·k ON ＝54，则y 1y 2x 1x 2＝54，即4y 1y 2＝5x 1x 2，所以4k 2x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝5x 1x 2，所以(4k 2－5)·4（m 2－1）4k 2＋1＋4km ·(－8km4k 2＋1)＋4m 2＝0，即(4k 2－5)(m 2－1)－8k 2m 2＋m 2(4k 2＋1)＝0，化简得m 2＋k 2＝54，②由①②得0≤m 2＜65，120＜k 2≤54，因为原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，所以d 2＝m 21＋k 2＝54－k 21＋k 2＝－1＋94（1＋k 2），又120＜k 2≤54，所以0≤d 2＜87，所以原点O 到直线l 的距离的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，2147.12．(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为42，离心率为13.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且F 1M ∥F 2N ，直线F 1M 的斜率为26，记直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，求3k 1＋2k 2的值．解：(1)由题意，得2b ＝42，c a ＝13.又a 2－c 2＝b 2，所以a ＝3，b ＝22，c ＝1.所以椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.(2)由(1)可知A (－3，0)，B (3，0)，F 1(－1，0)．据题意，直线F 1M 的方程为y ＝26(x ＋1)．记直线F 1M 与椭圆C 的另一个交点为M ′.设M (x 1，y 1)(y 1>0)，M ′(x 2，y 2)．因为F 1M ∥F 2N ，所以根据对称性，得N (－x 2，－y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧8x 2＋9y 2＝72y ＝26（x ＋1），消去y ，得14x 2＋27x ＋9＝0.由题意知x 1>x 2，所以x 1＝－37，x 2＝－32，k 1＝y 1x 1＋3＝26（x 1＋1）x 1＋3＝469，k 2＝－y 2－x 2－3＝26（x 2＋1）x 2＋3＝－263，所以3k 1＋2k 2＝3×469＋2×⎝⎛⎭⎫－263＝0，即3k 1＋2k 2的值为0.。

2019-2020年高考数学二轮复习专题2 函数与导数第1讲函数的图象与性质理

2019-2020年高考数学二轮复习专题2 函数与导数第1讲函数的图象与性质理函数的定义域、值域及解析式1.(xx江西卷)函数y=ln(1-x)的定义域为( B )(A)(0,1) (B)[0,1) (C)(0,1] (D)[0,1]解析:由题意知解得0≤x<1.故选B.2.设函数f(x)=则满足f(x)≤2的x的取值范围是( D )(A)[-1,2] (B)[0,2](C)[1,+∞) (D)[0,+∞)解析:当x≤1时,由21-x≤2,知x≥0,即0≤x≤1.当x>1时,由1-log2x≤2,知x≥,即x>1,所以满足f(x)≤2的x的取值范围是[0,+∞).3.(xx吉安一模)若幂函数f(x)的图象经过点(3,),则函数g(x)=+f(x)在[,3]上的值域为( A )(A)[2,] (B)[2,](C)(0,] (D)[0,+∞)解析:设f(x)=xα,因为f(x)的图象过点(3,),所以3α=,解得α=-.所以f(x)=.所以函数g(x)=+f(x)=+=+,当x∈[,3]时,在x=1时,g(x)取得最小值g(1)=2,在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=+=,所以函数g(x)在x∈[,3]上的值域是[2,].故选A.函数的图象及其应用4.(xx安徽“江淮十校”十一月联考)函数y=f(x)=的大致图象是( B )解析:由函数解析式可得f(x) 为偶函数,且当|x|≤1时,x2+y2=1(y≥0),因为y≥0,所以图象取x轴上方部分;当x>1时,f(x)=,其图象在第一象限单调递减,所以选B.5.(xx广西柳州市、北海市、钦州市模拟)若f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]内g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,则实数m的取值范围为( D )(A)[0,) (B)[,+∞)(C)[0,) (D)(0,]解析:当x∈(-1,0)时,x+1∈(0,1),由题意可得,f(x)=-1=-1,所以f(x)=因为g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,所以y=f(x)与y=mx+m的图象有两个交点,两函数图象如图,结合图象可知,0<m≤时,两函数图象有两个交点.6.(xx山西三模)函数f(x)=若方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根,则实数m的取值范围是.解析:方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根可化为函数f(x)=与函数y=mx-的图象有四个不同的交点,作函数f(x)=与函数y=mx-的图象如下,由题意,C(0,-),B(1,0),故k BC=.当x>1时,f(x)=ln x,f′(x)=,设切点A的坐标为(x1,ln x1),则=,解得x1=,故k AC=,结合图象可得,实数m的取值范围是(,).答案:(,)函数的性质及其应用7.(xx北京卷)下列函数中为偶函数的是( B )(A)y=x2sin x (B)y=x2cos x(C)y=|ln x| (D)y=2-x解析:A选项,记f(x)=x2sin x,定义域为R,f(-x)=(-x)2sin(-x)=-x2sin x=-f(x),故f(x)为奇函数;B选项,记f(x)=x2cos x,定义域为R,f(-x)=(-x)2cos(-x)=x2cos x=f(x),故f(x)为偶函数;C选项,函数y=|ln x|的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,故为非奇非偶函数;D选项,记f(x)=2-x,定义域为R,f(-x)=2-(-x)=2x=,故f(x)为非奇非偶函数.故选B.8.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(1)= .解析:由题意f(-1)=2×(-1)2+1=3,又f(x)为奇函数,所以f(1)=-f(-1)=-3.答案:-39.(xx湖南卷)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .解析:由偶函数的定义可得f(-x)=f(x),即ln(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax,所以2ax=-ln e3x=-3x,所以a=-.答案:-10.已知函数f(x)在R上满足=0(λ≠0),且对任意的实数x1≠x2(x1>0,x2>0)时,有>0成立,如果实数t满足f(ln t)-f(1)≤f(1)-f(ln ),那么t的取值范围是.解析:根据已知条件及偶函数、增函数的定义可知f(x)是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数, 所以由f(ln t)-f(1)≤f(1)-f(ln )得f(ln t)≤f(1),所以|ln t|≤1,-1≤ln t≤1,所以≤t≤e,所以t的取值范围为[,e].答案:[,e]11.(xx广西河池模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=()1-x,则下列命题:①2是函数f(x)的周期;②函数f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增;③函数f(x)的最大值是1,最小值是0;④当x∈(3,4)时,f(x)=()x-3.其中正确命题的序号是.解析:由已知条件得f(x+2)=f(x),则f(x)是以2为周期的周期函数,所以①正确.当-1≤x≤0时,0≤-x≤1,f(x)=f(-x)=()1+x,函数y=f(x)的图象如图所示,由图象知②正确,③不正确.当3<x<4时,-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)=()x-3,因此④正确.答案:①②④12.(xx郑州模拟)已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:①直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴;②f(x+2)=-f(x);③当1≤x1<x2≤3时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0,则f(xx),f(xx),f(xx)从大到小的顺序为.解析:由f(x+2)=-f(x)得f(x+4)=f(x),所以f(x)的周期是4,所以f(xx)=f(3),f(xx)=f(0),f(xx)=f(1).因为直线x=1是函数f(x)图象的一条对称轴,所以f(xx)=f(0)=f(2).由1≤x1<x2≤3时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0,可知当1≤x≤3时,函数单调递减,所以f(xx)>f(xx)>f(xx).答案:f(xx)>f(xx)>f(xx)一、选择题1.(xx湖南卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( A )(A)f(x)= (B)f(x)=x2+1(C)f(x)=x3(D)f(x)=2-x解析:因为y=x2在(-∞,0)上是单调递减的,故y=在(-∞,0)上是单调递增的,又y=为偶函数,故A正确;y=x2+1在(-∞,0)上是单调递减的,故B错;y=x3为奇函数,故C错;y=2-x为非奇非偶函数,故D错.故选A.2.(xx临沂模拟)函数y=f(x)=ln ()的图象大致是( A )解析:因为函数y=ln (),所以x+sin x≠0,所以x≠0,故函数的定义域为{x|x≠0}.再根据y=f(x)的解析式可得f(-x)=ln ()=ln ()=f(x),故函数f(x)为偶函数,故函数的图象关于y轴对称,排除B,D.当x∈(0,1)时,因为0<sin x<x<1,所以0<<1,所以函数y=ln ()<0,故排除C,只有A满足条件,故选A.3.(xx开封二模)已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=30.3·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),c=（log3）·f（log3）,则 a,b,c的大小关系是( B )(A)a>b>c (B)c>a>b(C)c>b>a (D)a>c>b解析:因为当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,即[xf(x)]′<0,所以g(x)=xf(x)在(-∞,0)上是减函数.又因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)=xf(x)是定义在R上的偶函数,所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上是增函数.又因为30.3>1>logπ3>0>log3=-2,2=-log3>30.3>1>logπ3>0,所以（-log3）f（-log3）>30.3·f(30.3)>(logπ3)·f(logπ3),即（log3）f（log3）>30.3·f(30.3)>(log π3)·f(logπ3),即c>a>b.故选B.4.(xx武汉市2月调研)若函数f(x)=在[2,+∞)上有意义,则实数a的取值范围为( C )(A){1} (B)(1,+∞)(C)[1,+∞) (D)[0,+∞)解析:由函数f(x)在[2,+∞)上有意义,得ax-2≥0在[2,+∞)上恒成立,则解得a≥1,故选C.5.(xx鹰潭二模)已知函数f(x)=+xxsin x在x∈[-t,t]上的最大值为M,最小值为N,则M+N 的值为( B )(A)0 (B)4032 (C)4030 (D)4034解析:记g(x)=,则g(x)==xx+,记p(x)=,则p(-x)==.因为函数y=xxsin x是奇函数,它在[-t,t]上的最大值与最小值互为相反数,所以最大值与最小值的和为0.又因为y=xx x+1是[-t,t]上的增函数,所以M+N=xx++xx+=4032,故选B.6.(xx西安模拟)已知g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则x的取值范围是( C )(A)(-∞,-2)∪(1,+∞) (B)(-∞,1)∪(2,+∞)(C)(-2,1) (D)(1,2)解析:因为g(x)是定义在R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=-ln(1-x),所以当x>0时,-x<0,g(-x)=-ln(1+x),即当x>0时,g(x)=ln(1+x),因为函数f(x)=所以函数f(x)=可判断f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,因为f(2-x2)>f(x),所以2-x2>x,解得-2<x<1,故选C.7.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为( C )(A)-5 (B)-6 (C)-7 (D)-8解析:由题意知g(x)===2+,函数f(x)的周期为2,则函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的图象如图所示.由图形可知函数f(x),g(x)在区间[-5,1]上的交点为A,B,C,易知点B的横坐标为-3,若设C 的横坐标为t(0<t<1),则点A的横坐标为-4-t,所以方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实数根之和为-3+(-4-t)+t=-7.8.设f(x)的定义域为D,若f(x)满足条件:存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,],则称f(x)为“倍缩函数”.若函数f(x)=ln(e x+t)为“倍缩函数”,则t的范围是( D ) (A)(,+∞) (B)(0,1)(C)(0,] (D)(0,)解析:因为函数f(x)=ln(e x+t)为“倍缩函数”,所以存在[a,b]⊆D,使f(x)在[a,b]上的值域是[,],因为函数f(x)=ln(e x+t)为增函数,所以即即方程e x-+t=0有两个不等的正根,即解得t的范围是(0,).9.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( C )(A)(1,10) (B)(5,6)(C)(10,12) (D)(20,24)解析:因为f(x)=因此可以画出其图象.设f(a)=f(b)=f(c)=k.则由图象可知y=k与y=f(x)有三个互不相等的实根时,k∈(0,1), 即f(a)=|lg a|=-lg a=lg=k,即a=.f(b)=lg b=k,即b=10k.所以ab=×10k=1.f(c)=-+6=k,所以c=12-2k.又因为k∈(0,1),所以c∈(10,12),所以abc∈(10,12),故选C.10.(xx开封模拟)将边长为2的等边△PAB沿x轴正方向滚动,某时刻P与坐标原点重合(如图),设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),关于函数y=f(x)有下列说法:①f(x)的值域为[0,2];②f(x)是周期函数;③f(-1.9)<f(π)<f(xx).其中正确的说法个数为( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:根据题意画出顶点P(x,y)的轨迹,如图所示.轨迹是一段一段的圆弧组成的图形.从图形中可以看出,①f(x)的值域为[0,2],正确;②f(x)是周期函数,周期为6,②正确;③由于f(-1.9)=f(4.1),f(xx)=f(3);而f(3)<f(π)<f(4.1),所以f(-1.9)>f(π)>f(xx);故③不正确;11.(xx山东潍坊市一模)对于实数m,n定义运算“⊕”:m⊕n=设f(x)=(2x-1)⊕(x-1),且关于x的方程f(x)=a恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是( A ) (A)(-,0) (B)(-,0)(C)(0,) (D)(0,)解析:由2x-1≤x-1,得x≤0,此时f(x)=(2x-1)⊕(x-1)=-(2x-1)2+2(2x-1)(x-1)-1=-2x, 由2x-1>x-1,得x>0,此时f(x)=(2x-1)⊕(x-1)=(x-1)2-(2x-1)(x-1)=-x2+x,所以f(x)=(2x-1)⊕(x-1)=作出函数的图象可得,要使方程f(x)=a(a∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,不妨设x1<x2<x3,则0<x2<<x3<1,且x2和x3关于x=对称,所以x2+x3=2×=1,则x2+x3≥2,等号取不到,所以0<x2x3<.当-2x=时,解得x=-,所以-<x1<0,因为0<x2x3<,所以-<x1·x2·x3<0,即x1·x2·x3的取值范围是(-,0),故选A.二、填空题12.(xx安徽卷)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为.解析:函数y=|x-a|-1的大致图象如图所示,所以若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,只需2a=-1,可得a=-.答案:-13.(xx江苏卷)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.解析:由|f(x)+g(x)|=1可得f(x)+g(x)=±1,即g(x)=-f(x)±1,则原问题等价于函数y=g(x)与y=-f(x)+1或y=g(x)与y=-f(x)-1的图象的交点个数问题,在同一坐标系中作出y=g(x),y=-f(x)+1及y=-f(x)-1的图象,如图,由图可知,函数y=g(x)的图象与函数y=-f(x)+1的图象有2个交点,与函数y=-f(x)-1的图象有2个交点,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为4.答案:414.(xx四川宜宾市二诊)如果y=f(x)的定义域为R,对于定义域内的任意x,存在实数a使得f(x+a)=f(-x)成立,则称此函数具有“P(a)性质”.给出下列命题:①函数y=sin x具有“P(a)性质”;②若奇函数y=f(x)具有“P(2)性质”,且f(1)=1,则f(xx)=1;③若函数y=f(x)具有“P(4)性质”,图象关于点(1,0)成中心对称,且在(-1,0)上单调递减,则y=f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(1,2)上单调递增;④若不恒为零的函数y=f(x)同时具有“P(0)性质”和“P(3)性质”,则函数y=f(x)是周期函数.其中正确的是(写出所有正确命题的编号).解析:①因为sin (x+π)=-sin x=sin (-x),所以函数y=sin x具有“P(a)性质”,所以①正确;②因为奇函数y=f(x)具有“P(2)性质”,所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=f(x),周期为4,因为f(1)=1,所以f(xx)=f(3)=-f(1)=-1,所以②不正确;③因为函数y=f(x)具有“P(4)性质”,所以f(x+4)=f(-x),所以f(x)的图象关于x=2对称,即f(2-x)=f(2+x),因为图象关于点(1,0)成中心对称,所以f(2-x)=-f(x),即f(2+x)=-f(-x),所以得出f(x)=f(-x),f(x)为偶函数,因为图象关于点(1,0)成中心对称,且在(-1,0)上单调递减,所以图象也关于点(-1,0)成中心对称,且在(-2,-1)上单调递减, 根据偶函数的对称性得出在(1,2)上单调递增,故③正确;④因为具有“P(0)性质”和“P(3)性质”,所以f(x)=f(-x),f(x+3)=f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,且周期为3,故④正确.答案:①③④。

2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：第二部分专题六基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程[做真题]题型一指数与指数函数1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a 1，c ＝0.20.3∈(0，1)，所以a <c <b .故选B. 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A.因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________．解析：法一：由x >0可得－x <0，由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－e a (－x )]＝e －ax ，则f (ln 2)＝e －a ln 2＝8，所以－a ln 2＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3. 法二：由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )，所以f (ln 2)＝－f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝－(－e a ln 12)＝8，所以a ln 12＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3.答案：－3题型二对数与对数函数(一题多解)(2016·高考全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：选C.法一：由a >b >1，0<c <1，知a c >b c ，A 错；因为0<c <1，所以－1<c －1<0，所以y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1>a c －1，又ab >0，所以ab ·b c －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c ，B 错；易知y ＝log c x 是减函数，所以0>log c b >log c a ，D 错；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，所以－a log b c >－b log a c >0，所以a log b c <b log a c ，故C 正确．法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确．题型三函数的零点问题1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C.函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：3[山东省学习指导意见]1．指数函数(1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．2．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式，并能进行运算．(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(3)知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)． 3．幂函数了解幂函数的概念：结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．4．函数与方程(1)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．(2)了解二分法求方程近似解 5．函数模型及其应用(1)会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型的广泛应用．(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)基本初等函数的图象与性质[典型例题](1)(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ． y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x(2)(2019·高考天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c 0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 (1)对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数y ＝1x 可转化为y ＝x －1，所以函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B 中的函数y ＝2－x可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12x，因此函数y ＝2－x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C 中的函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项C 不符合题意，故选A.(2)因为a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2，b ＝log 38>1，c ＝0.30.2<1，所以c 1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.优解：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 (1)A (2)A (3)D基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(一题多解)若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.法一：因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x＝2x ，所以g (x )＝log 2x ，所以f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x.所以f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2，4)，因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以函数g (x )的图象经过点(4，2)，所以f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.2．(2019·福建五校第二次联考)已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选D.a ＝log 372，c ＝log 1315＝log 35，由对数函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得log 35>log 372>log 33，所以c >a >1.借助指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的图象易知b ＝⎝⎛⎭⎫1413∈(0，1)，故c >a >b ，选D.3．(2019·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x －1，则f (log 32)＝3log32－1＝2－1＝1.答案：⎝⎛⎭⎫－2，－891函数与方程 [典型例题]命题角度一确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)(2)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，32上零点的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【解析】 (1)因为a >1，00，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1，2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎡⎦⎤－12，32上的交点有5个．【答案】 (1)B (2)C判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度二已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)(2019·合肥市第二次质量检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1](2)(2019·济阳模拟)若关于x 的方程e x ＋ax －a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，0]B ．[0，e 2)C ．(－e ，0]D ．[0，e)【解析】 (1)当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f (x )的图象，如图所示．要使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则方程f (x )－b ＝0，即f (x )＝b 有三个不同的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0，1]，故选D.(2)由题意可知只需证e x ＋ax －a >0恒成立，即证e x >－a (x －1)．当x <1时，－a >e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2<0，则f (x )单调递减，即有f (x )<0，解得－a ≥0，即a ≤0；当x ＝1时，e>0成立，a 可以是任意实数；当x >1时，－a <e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2，当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝2时，f (x )取得极小值，也是最小值e 2，即有－a <e 2，解得a >－e 2.综上，实数a 的取值范围是(－e 2，0]，故选A. 【答案】 (1)D (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．(2019·长春市质量监测(一))已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2，6]上所有零点的和为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D.令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2与g (x )＝1－sin πx 的图象，如图所示，又f (x )，g (x )的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，且这些交点关于直线x ＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.2．已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e x x －kx ＝0只有一个根，即方程e xx 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点．因为g ′(x )＝（x －2）e x x 3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24.答案：⎝⎛⎭⎫0，e 24函数的实际应用 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1R B ．M 22M 1R C ．33M 2M 1R D ．3M 23M 1R (2)(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg 10.1D ． 10－10.1【解析】 (1)由M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝⎛⎭⎫1＋r R 2＋M 2⎝⎛⎭⎫r R 2＝⎝⎛⎭⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝⎛⎭⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D. (2)根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1，天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2，则由已知条件可知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，把m 1与m 2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，得lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1，故选A.【答案】 (1)D (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2021年 B ．2022年 C ．2023年D ．2024年解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2018年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.2．某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：℃)满足的函数关系式为y ＝e kx ＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________ h.解析：由已知，得e b ＝192，e 22k ＋b ＝48，两式相除得e 22k ＝14，所以e 11k ＝12，所以e 33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝18×192＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.答案：24一、选择题1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝3.2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0，0)B ．(0，－1)C ．(－2，0)D ．(－2，－1)解析：选C.令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．3．若a ＝log 1π13，b ＝e π3，c ＝log 3cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b解析：选B.因为0<1π<13<1，所以1＝log 1π1π>log 1π13>0，所以0<a <1，因为b ＝e π3>e 0＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3cos π5<log 31＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B.4．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，选D.5．若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()解析：选A.若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.6．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a 0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选 A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a 0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0，1)时f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．9．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 3 2＋x 2－x，若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析：选D.由2＋x 2－x >0得x ∈(－2，2)，又y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 3 2＋x2－x ＝log 3x －2＋42－x＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <2，1m>1，解得12<m <1，故选D. 10．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的所有零点之和等于( ) A ．5π B ．6π C ．7πD ．8π解析：选C.f (x )＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x )－sin(2x ＋x )＝－2cos 2x sin x ，令f (x )＝0, 可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，因为x ∈[0，2π]，所以2x ∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得2x ＝π2或2x ＝3π2或2x ＝5π2或2x ＝7π2，所以x ＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0可得x ＝0或x ＝π或x＝2π，因为π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，所以f (x )的所有零点之和等于7π，故选C.11．(多选)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.则关于x 的方程f (x )＝k 的根的情况，下列结论正确的是( )A ．当k ＝1时，方程有一个实根B ．当k >1时，方程有两个实根C ．当k ＝0时，方程有一个实根D ．当k ≥1时，方程有实根解析：选ABD.方程f (x )＝k 化为e |x |＝k －|x |，设y 1＝e |x |，y 2＝k －|x |.y 2＝k －|x |表示斜率为1或－1的直线，折线与曲线y 1＝e |x |恰好有一个公共点时，k ＝1.如图，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD.12．(多选)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1>1解析：选AC.函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2，2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2<4，所以x1＋x2<2.13．(多选)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)．下列命题正确的有()A．f(2 016)＋f(－2 017)＝0B．函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数C．直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点D．函数f(x)的值域为(－1，1)解析：选ACD.根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如图所示，根据图象可知，A，f(2 016)＋f(－2 017)＝0正确；B，函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以B不正确；C，根据图象可知y＝x与f(x)的图象有1个交点，所以C正确；D，根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，所以D正确．二、填空题14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f (log 216)＝________．解析：由题可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0，所以f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝⎝⎛⎭⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝8. 答案：815．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，所以－1<ln x <1，解得1e <x <e.答案：⎝⎛⎭⎫1e ，e16．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1，2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝log 3 x ＋2x －a 在区间(1，2)内有零点，且f (x )在(1，2)内单调，所以f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1.答案：()log 32，117．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫43＝________，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：因为偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数，则f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫43－2＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝f ⎝⎛⎭⎫23＝23，若－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，则f (－x )＝－x ＝f (x )，即f (x )＝－x ，－1≤x ≤0，由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝k (x ＋1)，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，等价为函数f (x )与h (x )＝k (x ＋1)有4个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示， h (x )过定点A (－1，0)，f (3)＝1，则k 满足0<h (3)≤1，即0<4k ≤1，得0<k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：23 ⎝⎛⎦⎤0，14。

2020年高考数学(理)大题分解专题06 函数与导数

当 x ( 2 1，+) 时, F (x) 0 , F (x) 单调递减. a
因此 F (x) F ( 2 1) 2 ln 2 2 a ln a a 2 ln a ．
a
a
2
2
令函数 g(a) a 2 ln a ,其中 1 a 2 ,
又因为 f (0) 1，所以曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y 1.
【肢解
2】（2）求函数
f
x 在区间
0,
π 2
上的最大值和最小值.
（2）设 h(x) ex (cos x sin x) 1 ，则 h(x) ex (cos x sin x sin x cos x) 2ex sin x .
【解析】（1） f (x) 3x2 2ax 3x(x 2 a) ， 3
当 a 0 ， f (x) 0 ，函数递增区间是 (, ) ，
当 a 0 ，递增区间是 (, 2 a), (0, ) ， 3
当 a 0 ，递增区间是 (, 0), ( 2a , ) . 3
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大题肢解一
专题 06 函数与导数
函数的最值
（2020 安徽省十四校联盟高三段考）已知函数 f x ex cos x x .
（1）求曲线 y f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（2）求函数
f
x 在区间
0,
π 2
1 m
1 e
所以
m
的取值范围是

1
e
e
,1
.
变式训练一

2020年高考数学（理）总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练（解析版）

2020年高考数学（理）总复习：函数的图象与性质、函数与方程题型训练题型一函数的定义域、值域及解析式【题型要点解析】(1)函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．(2)分段函数问题的5种常见类型及解题策略①求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．②求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．③解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．④求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程．奇偶性：利用奇函数(偶函数)的定义判断．(3)函数值和值域的求法：求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等，要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法．例1．已知函数f(x2－3)＝lgx2x2－4，则f(x)的定义域为________．【解析】设t＝x2－3，则x2＝t＋3，则f(t)＝lgt＋3t＋3－4＝lgt＋3t－1，由t＋3t－1>0得t>1或t<－3，∵t ＝x 2－3≥－3，∴t >1，即f (t )＝lgt ＋3t －1的定义域为(1，＋∞)，故函数f (x )的定义域为(1，＋∞)．【答案】 (1，＋∞)例2．设集合A ＝⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0，B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈A ，2(1－x )，x ∈B .若x 0∈A ，且f [f (x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( )A.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0B.⎥⎦⎤⎝⎛21,41 C.⎪⎭⎫⎝⎛21,41 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡83,0【解析】因为x 0∈A ，即0≤x 0<12，所以f (x 0)＝x 0＋12，12≤x 0＋12<1，即12≤f (x 0)<1，即f (x 0)∈B ，所以f [f (x 0)]＝2[1－f (x 0)]＝1－2x 0.因为f [f (x 0)]∈A ，所以0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12.又因为0≤x 0<12，所以14<x 0<12，故选C.【答案】 C题组训练一：函数的定义域、值域及解析式1．函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f (2x －1)lg (2－x )的定义域是________．【解析】 ∵函数f (x )的定义域是[0,3]，∴由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤32－x >0lg (2－x )≠0得：⎩⎨⎧12≤x ≤2x <2x ≠1，即12≤x <2且x ≠1，即函数的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x <2且x ≠1，【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤2，且x ≠1 2．设[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[2.6]＝2，[－2.6]＝－3.设g (x )＝a xa x ＋1(a >0，且a ≠1)，那么函数f (x )＝[g (x )－12]＋[g (－x )－12]的值域为( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{1，－1}D ．{－1,0}【解析】∵g (x )＝a x a x ＋1，∴g (－x )＝1a x ＋1，∴0<g (x )<1,0<g (－x )<1，g (x )＋g (－x )＝1. 当12<g (x )<1时，0<g (－x )<12，∴f (x )＝－1. 当0<g (x )<12时，12<g (－x )<1，∴f (x )＝－1.当g (x )＝12时，g (－x )＝12，∴f (x )＝0.综上，f (x )的值域为{－1,0}，故选D.【答案】 D3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f (－92)＝( )A.12 B.2 C.22D ．1【解析】 ∵f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立， ∴f (x )的周期为2，f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－92)＝f (－12)＝f (12)∵当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，∴f (12)＝2，故选B.【答案】 B题型二函数的图象及其应用【题型要点解析】(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．例1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x(x >0)ln (－x )1－x (x <0)的图象大致是( )【解析】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x1＋x(x >0)ln (－x )1－x (x <0)，满足f (－x )＝f (x )，所以函数是偶函数，排除选项B ，D ；当x ∈(0,1)时，f (x )＝ln x1＋x<0，排除A.故选C. 【答案】C2．函数y ＝2sin x 1＋1x2⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈43,00,43ππx 的图象大致是( )【解析】函数满足f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，关于原点对称，f (x )＝2x 2sin x 1＋x 2，f ′(x )＝(4x sin x ＋2x 2cos x )(1＋x 2)－2x 2sin x ·2x (1＋x 2)2＝4x sin x ＋2x 2cos x ＋2x 4cos x (1＋x 2)2，f ′(π2)>0，并且f (π2)>0，满足条件的只有A ，故选A. 【答案】 A题组训练二：函数的图象及其应用1．函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x 的大致图象是( )【解析】因为函数f (x )＝ln(|x |－1)＋x ，所以x >1时，f (x )＝ln(x －1)＋x ，函数在(1，＋∞)上递增，只有选项A 符合题意，故选A.【答案】 A2．函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )【解析】因为f ′(x )＝(2x －2＋x 2－2x )e x ＝(x 2－2)e x ，所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，函数单调递增；当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数单调递增；又x <－2时，x 2－2x >0，即f (x )>0.应选答案B.【答案】B题型三函数的性质及其应用【题型要点解析】解决与函数有关的综合问题的常见4个切入点(1)已知函数的单调性和周期性，常画出函数的图象求解；(2)已知函数的奇偶性和相对函数的对称性，常画出函数的图象求解；(3)求函数的最值或值域时，常结合相应函数在待求区间上图象的最高点、最低点的纵坐标求解；(4)求解方程(不等式)中的参数的取值范围时，常借助函数性质求解．例1．设函数f (x )＝ln (1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31B.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,∪(1，＋∞)C.⎪⎭⎫⎝⎛-31,31 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-31,∪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,31【解析】函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln (1＋x )－11＋x 2，在(0，＋∞)上y ＝ln (1＋x )单调递增，y ＝－11＋x 2也单调递增，根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知，f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇔|x |＞|2x －1|⇔x 2＞(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1＜0⇔13＜x ＜1.【答案】A例2．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|的零点分别为x 1，x 2，…，x n ，则x 1＋x 2＋…＋x n ＝( )A ．nB ．－nC ．－2nD ．－3n【解析】函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称，函数f (x ＋1)的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到的，所以函数f (x ＋1)的对称轴为直线x ＝－1，且函数g (x )＝|x 2＋2x －3|的对称轴也是直线x ＝－1，所以方程f (x ＋1)＝|x 2＋2x －3|零点关于直线x ＝－1对称，所以有x 1＋x 2＋…＋x n ＝－n ，故选B.【答案】 B题组训练三：函数的性质及其应用1．如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点P (x ，y )的轨迹方程式为y ＝f (x )(x ∈R )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)； ③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减； ④f (x )d x ＝π＋12.其中判断正确的序号是________．【解析】当－2≤x ≤－1时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆；当－1≤x ≤1时，P的轨迹是以B 为圆心，2为半径的14圆；当1≤x ≤2时，P 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的14圆；当2≤x ≤3时，P 的轨迹是以A 为圆心，1为半径的14圆，所以函数的周期为4，图象如图所示．根据其对称性可知y ＝f (x )是偶函数，所以①正确；因为最小正周期为4，所以②正确；函数f (x )在[2,3]上单调递增，所以③错误；根据定积分的几何意义可知f (x )d x ＝18×π×(2)2＋12×1×1＋14×π×12＝π＋12，所以④正确，故正确答案为①②④.【答案】 ①②④2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|，x ∈(0，2]min{|x －1|，|x －3|}，x ∈(2，4]min{|x －3|，|x －5|}，x ∈(4，＋∞).(1)若f (x )＝a 有且只有1个实根，则实数a 的取值范围是________．(2)若关于x 的方程f (x ＋T )＝f (x )有且只有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是________．【解析】函数f (x )图象如下图．根据上图，若f(x)＝a只有1个实根，则a>1；若将函数f(x)的图象向左平移T＝2个单位时，如下图所得图象与f(x)的图象在(0,4]上重合，此时方程f(x＋T)＝f(x)有无穷多个解，所以若方程有且只有3个不同的实根，平移图象，如下图观察可知2<T<4或－4<T<－2.【答案】(1)(1，＋∞)(2)(－4，－2)∪(2,4)【专题训练】一、选择题1．函数f(x)＝2－2x＋1log3x的定义域为()A．{x|x<1}B．{x|0<x<1} C．{x|0<x≤1} D．{x|x>1}【解析】要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2x≥0log 3x ≠0，x >0即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠1x >0，得0<x <1，即函数的定义域为{x |0<x <1}，故选B.【答案】 B2．若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．eC.1eD ．－1【解析】解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e1－t，即f (x )＝1e1－x ，故f (2)＝e .解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.【答案】 B3．下列函数中，可以是奇函数的为( ) A ．f (x )＝(x －a )|x |，a ∈R B ．f (x )＝x 2＋ax ＋1，a ∈R C ．f (x )＝log 2(ax －1)，a ∈RD ．f (x )＝ax ＋cos x ，a ∈R【解析】对于A ，f (－x )＝(－x －a )|－x |＝(－x －a )|x |，若f (－x )＋f (x )＝(－2a )|x |＝0，则a ＝0，A 满足；对于B ，f (－x )＝(－x )2－ax ＋1，若f (－x )＋f (x )＝2x 2＋2＝0，则方程无解，B 不满足；对于C ，由ax －1>0，不管a 取何值，定义域均不关于原点对称，则C 不满足；对于D ，f (－x )＝－ax ＋cos(－x )＝－ax ＋cos x ，若f (－x )＋f (x )＝2cos x ＝0，则不满足x 为一切实数，D 不满足．故选A.【答案】A4．已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】方法一由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ≠0，解得f (x )的定义域为{x |x >－1，且x ≠0}．令g (x )＝ln (x ＋1)－x ，则g ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1，当－1<x <0时，g ′(x )>0；当x >0时，g ′(x )<0.∴f (x )在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B 符合．方法二本题也可取特值，用排除法求解：f (2)＝1ln 3－2<0，排除A.f ⎪⎭⎫⎝⎛-21＝1ln 12＋12＝1lne 2<0，排除C ，D ，故选B. 【答案】 B5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x ，x <0log 2(x ＋1)＋2，x ≥0(e 为自然对数的底数)，则不等式f (x )>4的解集为( )A ．(－ln 2,0)∪(3，＋∞)B ．(－ln 2，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－ln 2,0)【解析】当x <0时，2e x >4，解得：x >ln 2，不合题意；当x ≥0时，log 2(x ＋1)＋2>4，解得：x >3，综上可得：不等式的解集为：(3，＋∞)．【答案】C6．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)且f(0)＝3，则f(b x)和f(c x)的大小关系是()A．f(b x)≤f(c x)B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x)D．大小关系随x的不同而不同【解析】∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.∴f(x)在(－∞，1)上递减，在(1，＋∞)上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f(3x)≥f(2x)．若x<0，则3x<2x<1，∴f(3x)>f(2x)．∴f(3x)≥f(2x)．即f(b x)≤f(c x)．【答案】 A7．函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|的图象大致为()【答案】 A8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >0，|x ＋3|，－4≤x <0(a >0且a ≠1)．若函数f (x )的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0,1)∪(1,4)【解析】由题意得y ＝log a x 与y ＝|x －3|,0<x ≤4有且仅有一个交点，当0<a <1时，有且仅有一个交点；当a >1时，需满足log a 4>4－3⇒1<a <4，因此a 的取值范围是(0,1)∪(1,4)，选D.【答案】 D9．如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25 D.812【解析】当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，则n －8<0⇒n <8，于是mn <16，则mn 无最大值．当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0，则mn ≤m ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29m ＝－12m 2＋9m .而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，∴m ∈[2,0)时，g (m )<g (2)＝16，∴mn <16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值．当m >2时，f (x )的图象开口向上且过点(0,1)，要使f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥2 2m ·n ，∴mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，取“＝”，此时满足m >2.故(mn )max ＝18.故选B.【答案】 B10．若函数f (x )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛641f f ＝________. 【答案】 1411．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1＋x ＋sin x ，若正实数a ，b 满足f (4a )＋f (b －9)＝0，则1a ＋1b 的最小值为________．【解析】因为f (－x )＝－f (x )，故由题设可得当4a ＋b ＝9，即4a 9＋b 9＝1时，则1a ＋1b＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+b a a b a 1994＝19⎪⎭⎫ ⎝⎛+++a b b a 414≥19(5＋4)＝1，当且仅当b ＝2a 时取等号．【答案】 112．．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数y ＝2[f (x )]2＋2bf (x )＋1有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是________．【解析】根据题意作出f (x )的简图：由图象可得当k ∈(0,1)时，函数f (x )－k 有四个不同零点．若方程2f 2(x )＋2bf (x )＋1＝0有8个不同实数解，令k ＝f (x )，则关于k 的方程2k 2＋2bk ＋1＝0有两个不同的实数根k 1、k 2，且k 1和k 2均为大于0且小于1的实数，即有k 1＋k 2＝－b ，k 1k 2＝12.故：⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8>00<k 1＋k 2<2k 1k 2>0(k 1－1)(k 2－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b >2或b <－20<－b <2b >－32，可得－32<b <－ 2.【答案】⎝⎛⎭⎫－32，－2。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用课件：第二章 2.3 函数的奇偶性与周期性

解析因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0，若函数f(x)为R上的减函数，则满足当x>0时，函数为减函数，且－1－a≤0，
此时－－a2＝2a≤0，
－1－a≤0，
a≤0，
即
即－1≤a≤0.
a≥－1，
命题点3 利用函数的性质解不等式
例4 (1)(2018·聊城模拟)已知函数f(x)＝|x|(10x－10－x)，则不等式f(1－2x)＋
B.减函数且f(x)<0
C.增函数且f(x)>0
√D.增函数且f(x)<0
(2)(2018·烟台模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)
命题点1 求函数值或函数解析式
例2 (1)设f(x)是定义在R上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，
f(x)＝
ax＋b，－2≤x<0，
则f(2
021)＝_－__12__.
ax－1，0<x≤2，
e－x－1－x，x≤0，
(2)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝__e_x_－_1_＋_x_，__x_>_0______.
则 f(2 020)＝_－__2_－___3_.
解析由 f(x＋2)＝ 1 ，得 f(x＋4)＝ 1 ＝f(x)，
－fx
－fx＋2
所以函数 f(x)的周期为 4，所以 f(2 020)＝f(4).因为 f(2＋2)＝ 1 ，－f2
所以 f(4)＝－f12＝－2－1
＝－2－ 3
3.
故 f(2 020)＝－2－ 3.
123456
6.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝__3__. 解析 ∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1). 又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3). ∴f(－1)＝3.

2020版高考数学(鲁京津琼)新增分大一轮讲义：第六章6.1数列的概念与简单表示法Word版含解析

§6.1数列的概念与简单表示法最新考纲 1.通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是一种特殊函数．1．数列的有关概念2.数列的表示方法3.a n与S n的关系若数列{a n}的前n项和为S n，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号． 2．数列的通项公式a n ＝3n ＋5与函数y ＝3x ＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式a n ＝3n ＋5是特殊的函数，其定义域为N *，而函数y ＝3x ＋5的定义域是R ，a n ＝3n ＋5的图象是离散的点，且排列在y ＝3x ＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × ) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (4)1，1，1，1，…不能构成一个数列．( × ) (5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )(6)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＝S n －S n －1.( × ) 题组二教材改编2．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝4a n ＋1，则a 3＝. 答案 21解析由题意知，a 2＝4a 1＋1＝5，a 3＝4a 2＋1＝21.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝.答案 5n －4 题组三易错自纠4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是．答案 (－3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，则此数列最大项的值是．答案 30解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N * 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， a 1＝2不满足上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，a 1＝2不满足上式.2n －1，n ≥2，n ∈N *.题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…； (2)－1，7，－13，19，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5555，….解 (1)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n (2n －1)(2n ＋1).(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为 a n ＝(－1)n (6n －5)．(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22. (4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征． (2)相邻项的变化特征．(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征． (4)各项符号特征等．(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．跟踪训练1(1)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝.答案 (－1)n 1n (n ＋1)解析这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n (n ＋1).(2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝.答案2n ＋1n 2＋1解析数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.题型二由a n 与S n 的关系求通项公式例2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，则a n ＝. 答案 4n －5解析 a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)(2018·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝. 答案－63解析 ∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.(3)已知数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，则a n ＝. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n，n ≥2解析当n ＝1时，由已知，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②得na n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式，∴a n＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.思维升华已知S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，一定要检验a 1的情况．跟踪训练2(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1. 当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2.(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，则a n ＝.答案13n解析因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，①则当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② ①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .(3)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝.答案 (－2)n －1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝23a 1＋13，即a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n －23a n －1，故a na n －1＝－2，故a n ＝(－2)n －1. 题型三由数列的递推关系求通项公式例3设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则a n ＝. 答案 n 2＋n ＋22解析由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22.引申探究1．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝nn ＋1a n ”，如何求解？解 ∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n.2．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a n ＋3”，如何求解？解设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1－t ＝2(a n －t )，即a n ＋1＝2a n －t ，解得t ＝－3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝5，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以5为首项，2为公比的等比数列．所以b n ＝5×2n －1，故a n ＝5×2n －1－3.3．若将“a n ＋1＝a n ＋n ＋1”改为“a n ＋1＝2a na n ＋2”，如何求解？解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝2，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝2，则1a 1＝12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2.∴a n ＝2n. 4．若将本例条件换为“a 1＝1，a n ＋1＋a n ＝2n ”，如何求解？解 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2，故a n ＋2－a n ＝2. 即数列{a n }的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列．当n 为偶数时，a 2＝1，故a n ＝a 2＋2⎝⎛⎭⎫n 2－1＝n －1.当n 为奇数时，∵a n ＋1＋a n ＝2n ，a n ＋1＝n (n ＋1为偶数)，故a n ＝n .综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数，n ∈N *.思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋m 时，构造等差数列． (2)当出现a n ＝xa n －1＋y 时，构造等比数列． (3)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (4)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练3(1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝. 答案 3×2n －1－2解析由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1， ∴当n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，将以上各式累加，得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n (n ＋1)，则通项公式a n ＝.答案 4－1n解析原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋11－12，a 3＝a 2＋12－13，a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，逐项相加得a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1n ，经验证a 1，a 2也符合．题型四数列的性质命题点1 数列的单调性例4已知a n ＝n －1n ＋1，那么数列{a n }是( )A ．递减数列B ．递增数列C ．常数列D ．摆动数列答案 B解析 a n ＝1－2n ＋1，将a n 看作关于n 的函数，n ∈N *，易知{a n }是递增数列．命题点2 数列的周期性例5(2019·钦州质检)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n ，则S 2020＝.答案 0解析 ∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n 1－3a n，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3， a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3，且a 1＋a 2＋a 3＝0，则S 2020＝S 3×673＋1＝a 1＝0. 命题点3 数列的最值例6(2018·山东、湖北部分重点中学冲刺模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)，则nS n 的最小值为( ) A ．－3B ．－5C ．－6D ．－9 答案 D解析由S m －1＝－2，S m ＝0， S m ＋1＝3(m ≥2)可知a m ＝2，a m ＋1＝3，设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝1， ∵S m ＝0，∴a 1＝－a m ＝－2，则a n ＝n －3，S n ＝n (n －5)2，nS n ＝n 2(n －5)2.设f (x )＝x 2(x －5)2，x >0，f ′(x )＝32x 2－5x ，x >0，∴f (x )的极小值点为x ＝103，∵n ∈N *，且f (3)＝－9，f (4)＝－8， ∴f (n )min ＝－9.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．跟踪训练4(1)(2018·石家庄模拟)若数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n ，则a 2020的值为( )A ．2B ．－3C ．－12D.13答案 D解析因为a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n，所以a 2＝1＋a 11－a 1＝－3，a 3＝1＋a 21－a 2＝－12，a 4＝1＋a 31－a 3＝13，a 5＝1＋a 41－a 4＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，故a 2020＝a 505×4＝a 4＝13.(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－10n (n ∈N *)，则数列{na n }中数值最小的项是() A ．第2项 B ．第3项C ．第4项D ．第5项答案 B解析 ∵S n ＝n 2－10n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －11；当n ＝1时，a 1＝S 1＝－9也适合上式．∴a n ＝2n －11(n ∈N *)．记f (n )＝na n ＝n (2n －11)＝2n 2－11n ，此函数图象的对称轴为直线n ＝114，但n ∈N *，∴当n ＝3时，f (n )取最小值．∴数列{na n }中数值最小的项是第3项．1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的( )A ．第19项B ．第20项C ．第21项D ．第22项答案 C解析数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1，令6n －1＝55，得n ＝21.2．记S n 为数列{a n }的前n 项和．“任意正整数n ，均有a n >0”是“{S n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵“a n >0”⇒“数列{S n }是递增数列”，∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分条件．如数列{a n }为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{S n }是递增数列，但是a n 不一定大于零，还有可能小于零，∴“数列{S n }是递增数列”不能推出“a n >0”，∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的不必要条件．∴“a n >0”是“数列{S n }是递增数列”的充分不必要条件．3．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于( )A ．255B ．256C ．510D ．511答案 C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510. 4．(2018·长春五校模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前6项和为( )A.215B.415C.511D.1011。

2020版高考数学一轮复习(练习·鲁京津琼专用)专题2函数概念与基本初等函数Ⅰ 第6练函数的单调性与最值

第6练函数的单调性与最值[基础保分练]1．函数f (x )＝x 2＋2x －8的单调减区间是( )A ．(－∞，－4]B ．(－∞，－1]C ．[－1，＋∞)D ．[2，＋∞) 2．(2018·山东邹城一中期中)定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 －2 3x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－5]B ．(－∞，－5)C ．[－5，＋∞)D ．(－5，＋∞)3．已知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是( ) A ．f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 B ．f (a 2－a ＋1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 C ．f (a 2－a ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 D ．f (a 2－a ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 4．(2018·大连模拟)定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( )A ．f (－1)<f (3)B ．f (0)>f (3)C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3) 5．(2018·新乡模拟)若函数f (x )＝log a |x －1|在(－∞，1)上单调递增，则f (a ＋2)与f (3)的大小关系是( )A ．f (a ＋2)>f (3)B ．f (a ＋2)<f (3)C ．f (a ＋2)＝f (3)D ．不能确定6．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )>f (2a－2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2)B ．[0,2)C ．[0,1)D ．[－1,1)7．(2019·安徽省肥东县高级中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≤2，2＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的最大值为1，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1B ．(0,1) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(1，＋∞)8．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈(0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈(－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0 9．已知函数f (x )＝|x ＋1|在区间[a ，＋∞)是增函数，则实数a 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12log ，x ≥2，2a x －3a ，x <2(其中a >0且a ≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围为________． [能力提升练]1．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值为( )A ．－1B ．1C ．6D ．122．(2018·河南鹤壁高中月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增 3．(2018·榆林调研)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f x x在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( ) A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]4．(2018·石家庄模拟)若函数f (x )＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 最大为( )A ．(－∞，0)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 5．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．6．如果定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”．给出下列函数：①y ＝x ＋1；②y ＝x 2＋1；③y ＝e x＋1；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln|x |，x ≠0，0，x ＝0，其中“H 函数”的序号是________．答案精析基础保分练1．A 2.A 3.A 4.A 5.A 6.C7．A [∵当x ≤2时，f (x )＝x －1，∴f (x )max ＝f (2)＝1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≤2，2＋log a x ，x >2，(a >0且a ≠1)的最大值为1，∴当x >2时，2＋log a x ≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，log a 2≤－1，解得a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，故选A.]8．A [当x ∈(－2，－1]时，x ＋2∈(0,1]，∴f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋1)＝2f (x )，∴f (x ＋2)＝f [(x ＋1)＋1]＝2f (x ＋1)＝4f (x )，∴4f (x )＝x 2＋3x ＋2(－2<x ≤－1)，∴f (x )＝14(x 2＋3x ＋2) ＝14⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322－116(－2<x ≤－1)， ∴当x ＝－32时，f (x )取得最小值－116，故选A.] 9．[－1，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1，函数f (x )＝|x ＋1|在区间[a ，＋∞)是增函数，当x ≥－1时，f (x )是增函数；当x <－1时，f (x )是减函数，∴区间[a ，＋∞)左端点a 应该在－1的右边，即a ≥－1，∴实数a 的取值范围是[－1，＋∞)．10.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 解析由题意，分段函数的值域为R ，由此可知0<a <1，且log 122≥2a 2－3a ，解得12≤a <1. 能力提升练1．C [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵y 1＝x －2，y 2＝x 3－2在定义域内都为增函数，且y 1<y 2.∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．B [∵y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b 2a<0. ∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．]3．D [因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f x x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．]4．B [f (x )＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－x ，x ≥0，－x1－x ，x <0 ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧ －⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x <0.画出草图如图，由图易知f (x )＝|x |(1－x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是增函数．] 5．(0,1]解析 ∵函数f (x )＝－x 2＋2ax 在区间[1,2]上是减函数，∴a ≤1. 又∵函数g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上也是减函数， ∴a >0.故实数a 的取值范围是(0,1]．6．①③解析 ∵x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，∴(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，∴x 1－x 2，f (x 1)－f (x 2)同号，即函数f (x )是单调递增函数，①y ＝x ＋1是定义在R 上的增函数，满足条件；②y ＝x 2＋1当x <0时，函数单调递减，不满足条件；③y ＝e x ＋1是定义在R 上的增函数，满足条件；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln|x |， x ≠0，0， x ＝0，当x >0时，函数单调递增，当x <0时，函数单调递减，不满足条件，综上满足“H 函数”条件的函数为①③，故答案为①③.。

2020版新高考数学新增分大一轮(鲁京津琼)专用课件：第二章 2.9 函数模型及其应用

C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的
收入的变化率相同
√
D.前6个月的平均收入为40万元
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3. 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种 1 商品x万件时的生产成本为C(x)＝ x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元， 2 为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 18 万件.
2.(2018· 广西柳州联考)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了 30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为
√
解析 y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C. 又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.
k f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) x
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质函数性质在(0，＋∞) 上的增减性 y＝ax(a>1) 递增单调_____ y＝logax(a>1) 递增单调_____ y＝xn(n>0) 单调递增
p＋1q＋1－1 .
解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，
∴x＝ 1＋p1＋q－1.
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7.已知某种动物繁殖量y(只) 与时间x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到 200 只. 解析由题意知100＝alog3(2＋1)， ∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1). 当x＝8时，y＝100log39＝200.

(京津鲁琼专用)2020版高考数学第二部分专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质练习

第1讲三角函数的图象与性质[做真题]题型一三角函数图象及其变换1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D.易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2，故选D. 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．解析：函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．答案：2π3题型二三角函数的性质1．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( ) A ．f (x )＝|cos 2x | B ．f (x )＝|sin 2x | C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |解析：选A.A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增；③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③解析：选C.通解：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.优解：因为f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；因为y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，所以f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π解析：选A.法一：f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 法二：因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意，知f ′(x )＝－sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减解析：选D.根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，23π上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，π上单调递增，故D 不正确．所以选D.5．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，||φ≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5解析：选B.因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π2＝kT 2＋T4(k ∈Z ，T 为周期)，得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，所以T ≥π6，k ≤112，又当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.6．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1.答案：1[山东省学习指导意见]1．任意角的三角函数(1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化． (2)理解任意角三角函数(正弦、余弦和正切)的定义．(3)会用诱导公式⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±α，π±α的正弦、余弦与正切，理解同角三角函数的基本关系式．2．三角函数的图象和性质(1)能画出y ＝sin x 、y ＝cos x 、y ＝tan x 的图象．(2)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等)，了解三角函数的周期性．(3)了解y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．知道参数A 、ω、φ对函数图象变化的影响．(4)会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．三角函数的定义、诱导公式及基本关系[考法全练]1．角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边经过点P (4，y )，且sin θ＝－35，则tan θ＝( ) A ．－43B ．43C ．－34D ．34解析：选C.因为角θ的终边经过点P (4，y )，sin θ＝－35<0，所以角θ为第四象限角，所以cos θ＝1－sin 2θ＝45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－34，故选C.2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan(π－α)＝( ) A ．43 B ．23 C ．－23D ．－43解析：选A.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，得sin α＝1－cos 2α＝45，所以tan(π－α)＝－tan α ＝－sin αcos α＝－45－35＝43. 3．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则 1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝____________．解析：因为1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.答案：sin θ－cos θ4．若tan α＝cos α，则1sin α＋cos 4α＝____________．解析：tan α＝cos α⇒sin αcos α＝cos α⇒sin α＝cos 2α，故1sin α＋cos 4α＝sin 2α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋cos 2αsin α＋cos 4α＝sin α＋sin αsin α＋sin 2α＝sin 2α＋sinα＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.答案：25．(2019·福建模拟改编)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边交单位圆O 于点P (a ，b )，且a ＋b ＝75，则ab ＝________，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝________．解析：由题知sin α＝b ，cos α＝a .因为a ＋b ＝75，所以sin α＋cos α＝75.两边平方可得sin 2 α＋cos 2α＋2sin αcos α＝4925，所以1＋2sin αcos α＝4925，所以2sin αcosα＝2425.所以sin αcos α＝ab ＝1225，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－sin 2α＝－2sin αcos α＝－2425. 答案：1225 －2425(1)三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r， tan α＝y x(其中r ＝x 2＋y 2)． (2)利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．[注意] “奇变偶不变，符号看象限”． (3)基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin x cos x.[技能] 利用同角三角函数的基本关系求函数值时，要注意确定符号．三角函数的图象与解析式[典型例题]命题角度一由“图”定“式”(一题多解)(2019·成都市第二次诊断性检测)将函数f (x )的图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12B ．f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π12 【解析】法一：根据函数g (x )的图象可知A ＝1，12T ＝π3＋π6＝π2，T ＝π＝2πω，ω＝2，所以g (x )＝sin(2x ＋φ)，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，所以2π3＋φ＝π＋k π，k ∈Z ，φ＝π3＋k π，k ∈Z ，又因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，将g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移π4个单位长度后，即可得到函数f (x )的图象，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.法二：根据g (x )的图象可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3－π62＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，因为f (x )的图象向右平移π4个单位长度后，即可得到g (x )的图象，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1，对于A ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin π4≠1，不符合题意；对于B ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－cos 0＝－1≠1，不符合题意；对于C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝cos 0＝1，符合题意；对于D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝sin π4≠1，不符合题意．【答案】 C由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT .记住三角函数的周期T 的相关结论：①两个相邻对称中心之间的距离等于T2. ②两条相邻对称轴之间的距离等于T2.③对称中心与相邻对称轴的距离等于T4.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A ，ω，B 已知)，也可代入图象与直线y ＝B 的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．命题角度二图象变换(1)(一题多解)(2019·广州市调研测试)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象，则f (x )＝( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋16πB ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16πC ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋13π D ．sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋13π(2)若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．112B ．52C ．12D ．32【解析】 (1)法一：由题设知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －16π.设12x ＋π3＝t ，则x ＝2t －2π3，所以f (t )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫2t －2π3－16π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6t －16π.故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x －16π.故选B.法二：由题设知，先将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f (x )的图象，故f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－16π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫6x －16π.故选B.(2)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，所以－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，所以ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为52，故选B.【答案】 (1)B (2)B三角函数图象的变换规律由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法．[提醒] (1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对x 作的变换．(2)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左(右)平移k 个单位长度后，其图象对应的函数解析式为g (x )＝sin[ω(x ±k )＋φ]，而不是g (x )＝sin(ωx ±k ＋φ)．命题角度三三角函数图象的应用(1)(多选)(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f (x )＝|sin x |·|cos x |，则下列说法正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B ．f (x )的最小正周期为π2C ．(π，0)是f (x )图象的一个对称中心D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减 (2)已知函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3cos x ＋3，若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为____________．【解析】 (1)f (x )＝|sin x |·|cos x |＝12|sin 2x |，作出函数f (x )的图象如图所示，由图知函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，f (x )的最小正周期为π2，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，f (x )的图象无对称中心，故C 不正确．(2)方程g (x )＝0同解于f (x )＝m ，在平面直角坐标系中画出函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m ∈[3，2)时，方程f (x )＝m 有两个不同的解．【答案】 (1)ABD (2)[3，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集．准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值．[对点训练]1．(2019·高考天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f (x )的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A ．－2B ．－ 2C ． 2D ．2解析：选C.由f (x )为奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g (x )＝A sin 12ωx .由g (x )的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g (x )＝A sin x ．g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.2．(2019·湖南省五市十校联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f (2 019)的值为________．解析：由题图易知，函数f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－1＝6，所以ω＝2πT ＝π3，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，将(0，1)代入，可得A sinφ＝1，所以f (2 019)＝f (6×336＋3)＝f (3)＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝－A sin φ＝－1.答案：－1三角函数的性质[典型例题](1)(一题多解)(2019·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，则下列关于g (x )的说法正确的是( )A ．最大值为3B ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π12上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是g (x )图象的一个对称中心 D ．直线x ＝－π6是g (x )图象的一条对称轴(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 【解析】 (1)通解：因为函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和函数g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1(|φ|<π2)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3＋φ＝±1(k ∈Z )，所以对任意k ∈Z 均存在m ∈Z ，使得k π＋2π3＋φ＝m π.因为|φ|<π2，所以π6<2π3＋φ<7π6，所以2π3＋φ＝π，所以φ＝π3，所以g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1，所以g (x )的最大值为4，所以A 错误．令2n π≤2x ＋π3≤2n π＋π，n ∈Z ，得n π－π6≤x ≤n π＋π3，n ∈Z ，所以B 错误．因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋π3＋1＝1，所以⎝⎛⎭⎪⎫π12，1是g (x )图象的一个对称中心，所以C 错误．因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＋1＝4，所以直线x ＝－π6为函数g (x )图象的一条对称轴，所以D 正确．故选D.优解：因为函数f (x )＝2sin(ωx －π6)(ω>0)和函数g (x )＝3cos(2x ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (－π6)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3－π6＝－2，又－2为函数f (x )的最小值，所以直线x ＝－π6为函数f (x )图象的一条对称轴，所以直线x ＝－π6为函数g (x )图象的一条对称轴，故选D.(2)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ4＋π6≥－π2＋2k π，k ∈Z 2ωπ3＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ω≤83－8k ，k ∈Z ω≤12＋3k ，k ∈Z ，又ω>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧83－8k >012＋3k >0，k ∈Z ，所以k ＝0，则0<ω≤12，故选B.法二：取ω＝1，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，令π2＋2k π≤x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上单调递减，与函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增矛盾，故ω≠1，结合四个选项知选B.【答案】 (1)D (2)B三角函数性质的应用要注意以下两点：首先要将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再对比y ＝sin x 的性质，即把ωx ＋φ看成一个整体处理，但是一定要注意ω>0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析．[对点训练]1．(一题多解)(2019·武昌区调研考试)已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z ) C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) 解析：选B.法一：因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6 ，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )．故选B.法二：因为f (x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx －12cos ωx＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1，所以f (x )＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，由2k π≤x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，故选B.2．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(0<ω<1，|φ|<π2)的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，2π3上是减函数B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0C ．f (x )≥1的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π3，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 解析：选D.由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|<π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0<ω<1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.3．(多选)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的周期是π2B ．f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}C ．直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴D ．f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z 解析：选ABC.函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期T ＝π12＝2π，故A 错误；函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的值域为[0，＋∞)，故B 错误；当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，即直线x ＝5π3不是f (x )图象的对称轴，故C 错误；令k π－π2<12x －π6≤k π，k ∈Z ，解得2k π－2π3<x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，故D 正确．故选ABC.4．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象上相邻两个最高点的距离为6，P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－2是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是( )A ．(1，0)B ．(2，0)C ．(3，0)D ．(4，0)解析：选C.由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝6，则ω＝2πT ＝2π6＝π3.结合点P 的坐标可得A ＝2，且π3×32＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，得φ＝2k π－π(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋2k π－π＝－2sin π3x (k ∈Z )．令π3x ＝k ′π(k ′∈Z )，得x ＝3k ′(k ′∈Z )，取k ′＝1可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)．三角函数的值域与最值问题[典型例题](1)已知将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6cos x ＋12的图象向左平移5π12个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上的值域为( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 (2)(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．【解析】 (1)因为f (x )＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6＋12＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π12－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.因为－π3≤x ≤π3，所以0≤2x ＋2π3≤4π3，则－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3≤1，故－32≤g (x )≤1.故选C.(2)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1，令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]，所以f (x )＝－2t 2－3t ＋1. 又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，所以当t ＝1时，f (x )有最小值－4. 【答案】 (1)C (2)－4有关三角函数的值域与最值问题的解题策略(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，转化为二次函数去求解．(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，再转化为关于t 的二次函数去求解．[对点训练]1．(2019·济南市模拟考试)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)在[0，π]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则ω的最小值为( )A ．23B ．34C ．43D ．32解析：选 A.因为0≤x ≤π，ω>0，所以－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6.又f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以ωπ－π6≥π2，所以ω≥23，故选A.2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值为________．解析：由题意得，f (x )＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.因为π2≤x ≤3π4，所以5π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤－22，所以1－2≤1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4上的最小值为1－ 2.答案：1－ 2一、选择题1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x 1＝π4，x 2＝3π4是函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝( )A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选A.依题意得函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2×(3π4－π4)＝π，解得ω＝2，选A.2．(2019·昆明市诊断测试)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为( )A ．x ＝π12B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝5π12解析：选D.由题意，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3图象的一条对称轴的方程为x ＝5π12.故选D. 3．(2019·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈ZC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎪⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：选B.由－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，则函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B.4．(2019·济南市学习质量评估)为了得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B.因为y ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以要得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选B.5．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π24解析：选D.因为函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的图象过点A (0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝32，所以φ＝2k π±π6(k ∈Z )．因为|φ|<π2，所以φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2cos(ωx －π6)．因为f (x )＝2cos(ωx －π6)的图象过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，所以cos （ω－1）π6＝0，所以（ω－1）π6＝m π＋π2(m ∈Z )，所以ω＝6m ＋4(m ∈Z )．因为ω>0，πω>π6，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6.因为x ＝π24时，f (x )＝2，所以x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D. 6．(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )的图象．若函数g (x )为偶函数，则函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1B ．(－1，1)C ．(0，2]D ．(－1，2]解析：选D.由f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，得T ＝π，又ω>0，所以2πω＝π，解得ω＝2.将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度后，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ的图象．因为函数g (x )为偶函数，所以2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由|φ|<π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.因为0<x <π2，所以－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上的值域是(－1，2]，故选D.7．(一题多解)(2019·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，则ω的最大值为( )A ．12 B ．1 C ．2D ．4解析：选 C.法一：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8，所以ωx ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ωπ8＋π4，因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.法二：逐个选项代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C. 8．(2019·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π8D ．π解析：选C.由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0<m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C.9．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，且f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，则f (x )取最大值时x 的值为( )A ．π3＋k π，k ∈ZB ．π4＋k π，k ∈ZC ．π6＋k π，k ∈ZD ．－π6＋k π，k ∈Z解析：选C.由f ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )得f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，即当x ＝π6时，f (x )取得最值，所以2×π6＋φ＝n π＋π2，n ∈Z ，φ＝n π＋π6，n ∈Z .又f (π)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ，所以sin(2π＋φ)>sin(π＋φ)，即sin φ>－sin φ，得sin φ>0，所以n ∈Z ，且n 为偶数．不妨取n ＝0，即φ＝π6，当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，故选C.10．(2019·广东六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A |x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 036解析：选 B.f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f (x )max＝2，f (x )的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2使得对任意实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，所以f (x 2)＝f (x )max ，f (x 1)＝f (x )min ，故A |x 1－x 2|的最小值为A ×12T＝π1 009，故选B. 11．(多选)已知函数f (x )＝sin 4x －cos 4x ，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )的最大值为2 C ．f (x )的图象关于y 轴对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增解析：选ACD.因为f (x )＝sin 4x －cos 4x ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos 2x ，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π，f (x )的最大值为1.因为f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，因为y ＝cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递减，所以f (x )＝－cos 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上单调递增，故选ACD.12．(多选)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( )A ．φ＝5π6B.⎝⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心C ．f (φ)＝－2D ．x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴解析：选ABD.由题意得，平移后的函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象关于y 轴对称，则－π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，因为0<φ<π，所以φ＝5π6，故A 正确；f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，由2x ＋5π6＝k π，k ∈Z ，得对称中心的横坐标为－5π12＋k π2，k ∈Z ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )图象的一个对称中心，故B 正确；f (φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π3＋5π6＝2sin 5π2＝2，故C 不正确；由2x ＋5π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝－π6＋k π2，k ∈Z ，所以x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴，故D 正确．13．(多选)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的23，得到函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象．已知函数g (x )的部分图象如图所示，则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为2B ．f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0中心对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝π6对称D ．f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递减解析：选ACD.由图可知，A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9－π18＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.又由g ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝2可得φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，且|φ|<π2，所以φ＝－π6.所以g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π，最大值为2，选项A 正确．对于选项B ，令2x ＋π6＝k ′π(k ′∈Z )，得x ＝k ′π2－π12(k ′∈Z )，所以函数f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k ′π2－π12，0(k ′∈Z )，由k ′π2－π12＝π6，得k ′＝12，不符合k ′∈Z ，B 错误．对于选项C ，令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝π6＋k π2(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，故C 正确．当x ∈[π6，π3]时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递减，所以选项D 正确．故选ACD.二、填空题14．已知函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，若|a －b |的最小值是1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝________．解析：因为函数f (x )＝4cos(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)，所以φ＝π2，所以f (x )＝－4sin ωx ，又A (a ，0)，B (b ，0)是其图象上两点，且|a －b |的最小值是1，所以函数f (x )的最小正周期为2，所以ω＝π，所以f (x )＝－4sin πx ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝－4sin π6＝－2.答案：－215．(2019·长春市质量监测(二))定义在[0，π]上的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)有零点，且值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，则ω的取值范围是________．解析：由0≤x ≤π，得－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，当x ＝0时，y ＝－12.因为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－π6，ω≥16.因为值域M ⊆⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以ωπ－π6≤π＋π6，ω≤43，从而16≤ω≤43.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，43 16．(2019·蓉城名校第一次联考)已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．解析：因为2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0，所以1－cos 2x －3sin 2x ＋m －1＝0，所以cos 2x ＋3sin 2x －m ＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m ，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝m 2.方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π的图象与y ＝m 2的图象有2个不同的交点．作出y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π及y＝m 2的图象如图所示，则－1<m 2<－12，即－2<m <－1，所以m 的取值范围是(－2，－1)．答案：(－2，－1)17．(2019·江西赣州摸底改编)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.则f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin π3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z .答案：3＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z。

(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.8函数与方程教案(含解析)

§2.8函数与方程最新考纲1.结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.2.根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( √ )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ ) 题组二教材改编2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3,4) D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵f (2)＝ln2－1<0，f (3)＝ln3－23>0且函数f (x )的图象在(0，＋∞)上连续不断，f (x )为增函数， ∴f (x )的零点在区间(2,3)内．3．函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析由f ′(x )＝e x＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．题组三易错自纠4．函数f(x)＝ln2x－3ln x＋2的零点是( )A．(e,0)或(e2，0) B．(1,0)或(e2，0)C．(e2，0) D．e或e2答案 D解析f(x)＝ln2x－3ln x＋2＝(ln x－1)(ln x－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2.5．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是．答案(－8,1]解析m＝－x2＋2x在(0,4)上有解，又－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y＝－x2＋2x在(0,4)上的值域为(－8,1]，∴－8<m≤1.6．已知函数f(x)＝x－x(x>0)，g(x)＝x＋e x，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点分别为x1，x2，x3，则( )A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3C．x2<x3<x1D．x3<x1<x2答案 C解析作出y＝x与y＝x(x>0)，y＝－e x，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知选C.题型一函数零点所在区间的判定1．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)答案 B解析∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝ln x＋x－2的图象在(0，＋∞)上是连续的，且为增函数，∴f(x)的零点所在的区间是(1,2)．2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析∵a<b<c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A.3．已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝.答案 2解析对于函数y＝log a x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．题型二函数零点个数的判断例1(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．答案 2解析当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)(2018·天津河东区模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. (3)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点答案 B解析当x ∈(]0，1时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos1>0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.思维升华函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数． (3)利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C.(2)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为．答案 2解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．题型三函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例2 (1)(2018·石景山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，x 3，x <1，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则k 的取值范围是__________．答案 (0,1)解析作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1x 3，x <1的函数图象如图所示：方程f (x )＝k 有两个不同零点，即y ＝k 和f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1x 3，x <1的图象有两个交点，由图可得k 的取值范围是(0,1)．(2)已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．答案 (0,1)∪(9，＋∞) 解析由题意知a >0.在同一直角坐标系中作出y ＝|x 2＋3x |，y ＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y ＝|x 2＋3x |与y ＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－3x ，y ＝a (1－x )有两组不同解，消去y 得x 2＋(3－a )x ＋a ＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a )2－4a >0，即a 2－10a ＋9>0，解得a <1或a >9. 又a >0，∴0<a <1或a >9. 引申探究本例(2)中，若f (x )＝a 恰有四个互异的实数根，则a 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，94 解析作出y ＝|x 2＋3x |，y ＝a 的图象如图所示．由图象易知，当y ＝|x 2＋3x |和y ＝a 的图象有四个交点时，0<a <94.命题点2 根据函数零点的范围求参数例3若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12解析依题意，结合函数f (x )的图象分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练2(1)方程12log (a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为．答案 1解析若方程12log (a －2x )＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，因为14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ≥1，故a 的最小值为1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0解析作出函数f (x )的图象如图所示．当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决．例(1)若函数f (x )＝|log a x |－2－x(a >0且a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A ．mn ＝1 B ．mn >1 C ．0<mn <1 D ．以上都不对答案 C解析由题设可得|log a x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，不妨设a >1，m <n ，画出函数y ＝|log a x |，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象如图所示，结合图象可知0<m <1，n >1，且－log a m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，log a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，以上两式两边相减可得log a (mn )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12m<0，所以0<mn <1，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1,0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)答案 C解析令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x ).在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示.若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－a ，a ＝－1. 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意；当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意. 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞).故选C.(3)若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为．答案 (－∞，2－22]解析由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x(t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)答案 C解析因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2,4)．2．函数f (x )＝12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析函数f (x )＝12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数是方程12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0的解的个数，即方程12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的解的个数，也就是函数y ＝12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.3．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案 C解析因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，1x ，x >0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D解析当x ≤0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1＝m ，解得m ≤1；当x >0时，x ＋f (x )＝m ，即x ＋1x＝m ，解得m ≥2，即实数m 的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．故选D.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1,0) D ．[－1,0)答案 D解析当x >0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a ＝0有一个根即可，即e x＝－a .当x ≤0时，e x∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1，0)，故选D.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．答案 3解析依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2.令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0，即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2019x＋log 2019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为．答案 3解析因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2019x＋log 2019x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12019内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.10．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝12log x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )>g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为．答案 5解析由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )＋a ，x <0，f (x ＋1)，x ≥0，a ∈R ，当0≤x <1时，f (x )＝1－x ，则f (x )的零点个数为________．答案 1解析当x <0时，必存在x 0＝－e －a<0，使得f (x 0)＝0，因此对任意实数a ，f (x )在(－∞，0)内必有一个零点；当x ≥0时，f (x )是周期为1的周期函数，且0≤x <1时，f (x )＝1－x .因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f (x )的零点个数为1.12．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．解显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1]．13．已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78D ．－38答案 C解析依题意，方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有1个解，故f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)有1个实数解，∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有两相等实数解，故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.14．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为．答案11－2π解析由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.15．(2018·济南模拟)设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，求x 1＋4x 2的取值范围．解 f (x )＝x －a －x 的零点x 1是方程x ＝a －x ，即1x＝a x的解，g (x )＝x log a x －1的零点x 2是方程x log a x －1＝0，即1x ＝log a x 的解，即x 1，x 2是y ＝a x与y ＝log a x 与y ＝1x交点A ，B 的横坐标，可得0<x 1<1，x 2>1，∵y ＝a x的图象与y ＝log a x 关于y ＝x 对称，y ＝1x的图象也关于y ＝x 对称，∴A ，B 关于y ＝x 对称，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2，∴A 关于y ＝x 的对称点A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1，x 1与B 重合，1x 2＝x 1，即x 2x 1＝1，x 1＋4x 2＝x 1＋x 2＋3x 2>2x 1x 2＋3x 2>2＋3＝5，x 1＋4x 2的取值范围是(5，＋∞)．16．已知函数f (x )是偶函数，f (0)＝0，且x >0时，f (x )是增函数，f (3)＝0，则函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为．答案 3解析画出函数y ＝f (x )和y ＝－lg|x ＋1|的大致图象，如图所示．∴由图象知，函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3.17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|log 2x |，0<x ≤2，(x －3)(x －4)，x >2，若f (x )＝m 有四个零点a ，b ，c ，d ，求abcd的取值范围．解作出函数f (x )的图象，不妨设a <b <c <d ，则－log2a＝log2b，∴ab＝1.又根据二次函数的对称性，可知c＋d＝7，∴cd＝c(7－c)＝7c－c2(2<c<3)，∴10<cd<12，∴abcd的取值范围是(10,12)．。

鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.6对数与对数函数教案含解析

§2.6 对数与对数函数最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对数在简化运算中的作用.2.通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质①log a N a ＝N ；②log a a N＝N (a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．概念方法微思考1．根据对数换底公式：①说出log a b ，log b a 的关系？ ②化简log m na b .提示 ①log a b ·log b a ＝1；②log m na b ＝nmlog a b .2．如图给出4个对数函数的图象．比较a ，b ，c ，d 与1的大小关系．提示 0<c <d <1<a 0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( √ )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．( √ ) 题组二教材改编2．[P68T4]log 29·log 34·log 45·log 52＝. 答案 23．[P82A 组T6]已知a ＝213－，b ＝log 213，c ＝12log 13，则a ，b ，c 的大小关系为．答案 c >a >b解析 ∵0<a <1，b <0，c ＝12log 13＝log 23>1.∴c >a >b .4．[P74A 组T7]函数y ＝23log (2x －1)的定义域是．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 解析由23log (2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y ＝23log (2x －1)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.题组三易错自纠5．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝ad D ．d ＝a ＋c答案 B6．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1,0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1,0<c <1答案 D解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.7．若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞) 解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数的运算1．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B ．10C ．20D ．100 答案 A解析由已知，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，则1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. 解得m ＝10.2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg25÷10012－＝. 答案－20解析原式＝(lg2－2－lg52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20. 3．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.答案 1解析原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.4．设函数f (x )＝3x＋9x ，则f (log 32)＝. 答案 6解析 ∵函数f (x )＝3x ＋9x， ∴f (log 32)＝339log 2log 2log 43929＋＝＋＝2＋4＝6.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．题型二对数函数的图象及应用例1(1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)，则函数f (x )的大致图象为( )答案 C解析先作出当x ≥0时，f (x )＝ln(x ＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y 轴对称的图象，可得函数f (x )在R 上的大致图象，如选项C 中图象所示．(2)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数即方程|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的解的个数，即函数y＝|log 0.5x |与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象交点的个数，作出两函数的图象(图略)可知它们有2个交点．(3)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析由题意得，当0<a <1时，要使得4x<log a x ⎝⎛⎭⎪⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，124＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 引申探究若本例(3)变为方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练1(1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.故选C.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是．答案 (1，＋∞)解析如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点．题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例2 (2018·潍坊模拟)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3423，c ＝34log 23，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 34log 34＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2323<⎝ ⎛⎭⎪⎫3423<1<34log 23，即a 1，所以x ＝ 5.(2)已知不等式log x (2x 2＋1)<log x (3x )<0成立，则实数x 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12解析原不等式⇔①⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，2x 2＋1>3x >1，或②⎩⎪⎨⎪⎧x >1，2x 2＋1<3x <1，解不等式组①得13<x <12，不等式组②无解．所以实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12. 命题点3 对数函数性质的综合应用例4(1)若函数f (x )＝log 2(x 2－ax －3a )在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4) B ．(－4,4]C ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D ．[－4,4) 答案 D解析由题意得x 2－ax －3a >0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y ＝x 2－ax －3a 在(－∞，－2]上单调递减，则a2≥－2且(－2)2－(－2)a －3a >0，解得实数a 的取值范围是[－4,4)，故选D.(2)函数f (x )＝log 2x ·x )的最小值为．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)x ＋4－2a ，x <1，1＋log 2x ，x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是．答案 (1,2]解析当x ≥1时，f (x )＝1＋log 2x ≥1，当x <1时，f (x )＝(a －1)x ＋4－2a 必须是增函数，且最大值大于或等于1才能满足f (x )的值域为R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a －1＋4－2a ≥1，解得a ∈(1,2]．思维升华利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．跟踪训练2 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b答案 D解析 a ＝log 32<log 33＝1，b ＝log 52<log 55＝1. 又c ＝log 23>log 22＝1，所以c 最大．由1<log 23<log 25，得1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b .(2)已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，且a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则f (x )min ＝f (2)＝log a (8－2a )>1，且8－2a >0，解得1<a <83.当0<a <1时，f (x )在[1,2]上是增函数，由f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，知f (x )min ＝f (1)＝log a (8－a )>1，且8－2a >0. ∴a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83.比较指数式、对数式的大小比较大小问题是每年高考的必考内容之一，基本思路是：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.例(1)设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c 1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .(2)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a b >c答案 B解析因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .(3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是_______．(填序号)①a <b <c ；②b <a <c ；③c <b <a ；④a <c <b . 答案 ①解析由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下可能：1<c log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. (5)已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是．答案 b >a >c解析易知y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|log 2x |，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b >a >c .1．log 29·log 34等于( ) A.14B.12C ．2D ．4 答案 D解析方法一原式＝lg9lg2·lg4lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.方法二原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.2．(2018·宁夏银川一中模拟)设a ＝0.50.4，b ＝log 0.40.3，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a log 0.40.4＝1，c ＝log 80.4<log 81＝0，∴a ，b ，c 的大小关系是c <a 0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A ．5B ．3C ．－1D.72答案 A解析由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331log log 22313－＋＝＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.4．函数f (x )＝x log a |x ||x |(0<a <1)的大致图象是( )答案 C解析当x >0时，f (x )＝log a x 单调递减，排除A ，B ；当x <0时，f (x )＝－log a (－x )单调递减，排除D.故选C.5．已知函数f (x )＝ln e x e －x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018e 2019＝1009(a ＋b )，则a 2＋b 2的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 ∵f (x )＋f (e －x )＝2， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫e 2019＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2e 2019＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2018e 2019＝2018，∴1009(a ＋b )＝2018，∴a ＋b ＝2. ∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．6．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(2，＋∞)C ．(1，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞答案 A解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y＝log a M 为增函数，又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．7．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝，b ＝.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a，∴(a )a，即2a a ，即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是．答案 [0，＋∞) 解析当x ≤1时，由21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，由1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.9．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是．答案 (0,1)解析由题意知，在(0,10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，∴ab ＝1,0<c <lg10＝1，∴abc 的取值范围是(0,1)．10．已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b ＝0，即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14，又0<a 0，且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解 (1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3，∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.12．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝12log x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解 (1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝12log (－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以x <0时，f (x )＝12log (－x )，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，0，x ＝0，12log (－x )，x <0.(2)因为f (4)＝12log 4＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<|x 2－1|<4，解得－5<x <5且x ≠±1，而x 2－1＝0时，f (0)＝0>－2，所以x ＝1或x ＝－1. 所以－5<x < 5.所以不等式的解集为{x |－5<x <5}．13．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是( ) (参考数据：lg3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093答案 D解析由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg3361－lg1080＝361lg3－80lg10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg1033＝33，lg1053＝53，lg1073＝73，lg1093＝93，故与M N最接近的是1093.故选D.14．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1 答案 A解析当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.15．若函数f (x )＝log a (x 2－x ＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a ＝. 答案 2解析令u (x )＝x 2－x ＋2，则u (x )在[0,2]上的最大值u (x )max ＝4，最小值u (x )min ＝74.当a >1时，y ＝log a u 是增函数，f (x )max ＝log a 4＝2，得a ＝2；当0<a <1时，y ＝log a u 是减函数，f (x )max ＝log a 74＝2，得a ＝72(舍去)．故a ＝2.16．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1. (1)计算：f (2020)＋f (－2020)；(2)对于x ∈[2,6]，f (x )<lg m(x ＋1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1. ∴函数的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1＋x 1－x ＝0，∴f (x )为奇函数．故f (2020)＋f (－2020)＝0.(2)当x ∈[2,6]时，f (x )<lg m (x ＋1)(7－x )恒成立可化为x －11＋x <m(x ＋1)(7－x )恒成立．即m >(x －1)(7－x )在[2,6]上恒成立．又当x ∈[2,6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9. ∴当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，∴m >9. 即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．。

(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.7函数的图象教案(含解析)

§2.7函数的图象最新考纲1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．1．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．2．图象变换(1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)――――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )． ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，你能得到f(x)解析式满足什么条件？提示f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)．2．若函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象关于点(a，b)对称，求f(x)，g(x)的关系．提示g(x)＝2b－f(2a－x)题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( × ) (2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( × ) 题组二教材改编2．[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x的图象关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝－f (x )，即函数f (x )为奇函数，故选C.3．[P32T2]小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是．(填序号)答案③解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除②.故③正确．4．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是．答案 (－1,1]解析在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图)．由图象知不等式的解集是(－1,1]．题组三易错自纠5．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案 C6．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案 y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 7．(2018·太原调研)若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案 (0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的辨识例1(1)函数y ＝x 2ln|x ||x |的图象大致是( )答案 D解析从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x ≠0，且当x >0时，y ＝x ln x ，y ′＝1＋ln x ，可知函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．由此可知应选D. (2)设函数f (x )＝2x，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝－|f (x )|C ．y ＝－f (－|x |)D ．y ＝f (－|x |)答案 C解析题图中是函数y ＝－2－|x |的图象，即函数y ＝－f (－|x |)的图象，故选C. 思维升华函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在同一直角坐标系下的图象大致是( )答案 B解析因为函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位得到的，所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除C ，故选B.(2)函数y ＝1ln|e x －e －x |的部分图象大致为( )答案 D解析令f (x )＝1ln|e x －e －x |，则f (－x )＝1ln|e －x －e x |＝1ln|e x －e －x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，C.当x >1时，y ＝1ln|e x －e －x |＝1ln (e x －e －x )，显然y >0且函数单调递减，故D 正确．题型三函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) D ．f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 C解析将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．(2)设f (x )＝|lg(x －1)|，若0<a 2ab (由于a 4. 命题点2 解不等式例3函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x<0的解集为．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2解析当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝cos x >0.当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，4时，y ＝cos x <0.结合y ＝f (x )，x ∈[0,4]上的图象知，当1<x <π2时，f (x )cos x <0.又函数y ＝f (x )cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1，所以f (x )cos x <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.命题点3 求参数的取值范围例4(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是．答案 (0,1]解析作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图所示，由图可知k ∈(0,1]．(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1解析先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)(2018·昆明检测)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值答案 C解析画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是．答案[－1，＋∞)解析如图作出函数f(x)＝|x＋a|与g(x)＝x－1的图象，观察图象可知，当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，因此a的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )答案 B解析当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C ；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝1＋5， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝22.∵22<1＋5，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，从而排除D ，故选B. (2)已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.(3)(2018·全国Ⅱ)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )答案 B解析 ∵y ＝e x －e －x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴f (x )＝e x－e －xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e >0，排除D 选项．又e>2，∴1e <12，∴e－1e >32，排除C 选项．故选B.二、函数图象的变换问题例2已知定义在区间[0,4]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 D解析方法一先作出函数y ＝f (x )的图象关于y 轴的对称图象，得到y ＝f (－x )的图象；然后将y ＝f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝f (2－x )的图象；再作y ＝f (2－x )的图象关于x 轴的对称图象，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D. 方法二先作出函数y ＝f (x )的图象关于原点的对称图象，得到y ＝－f (－x )的图象；然后将y ＝－f (－x )的图象向右平移2个单位，得到y ＝－f (2－x )的图象．故选D.方法三当x ＝0时，y ＝－f (2－0)＝－f (2)＝－4.故选D. 三、函数图象的应用例3(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是．答案 (3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.(2)不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为．答案 2解析不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x <12log x .设f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，g (x )＝12log x ，在同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为2.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1，若实数a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是．答案 (2,2021)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2020，所以2<a ＋b ＋c <2021.1．(2018·浙江)函数y＝2|x|sin2x的图象可能是( )答案 D解析由y ＝2|x |sin2x 知函数的定义域为R ，令f (x )＝2|x |sin2x ，则f (－x )＝2|－x |sin(－2x )＝－2|x |sin2x .∵f (x )＝－f (－x )，∴f (x )为奇函数． ∴f (x )的图象关于原点对称，故排除A ，B. 令f (x )＝2|x |sin2x ＝0，解得x ＝k π2(k ∈Z )，∴当k ＝1时，x ＝π2，故排除C.故选D.2.如图，不规则四边形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 交AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分的面积为y ，则y 关于x 的图象大致是( )答案 C解析当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.3．已知函数f(x)＝log a x(0<a<1)，则函数y＝f(|x|＋1)的图象大致为( )答案 A解析先作出函数f (x )＝log a x (0<a <1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x <0时的图象，故选A.4.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)等于( )A ．－12B ．－54C ．－1D ．－2答案 C解析由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1，故选C.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e－x －1答案 D解析与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x.依题意，f (x )的图象向右平移一个单位，得y ＝e －x的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.6．(2018·承德模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(0,1) D ．(－∞，＋∞)答案 A解析当x ≤0时，f (x )＝2－x－1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)．7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为．答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}． 8．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则实数a ＝. 答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2. 9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个实数根，则k 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个实数根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为．答案 (4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是．答案 [1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3. 12．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当实数m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个实数解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个实数解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)<0 B ．f (x 1)＋f (x 2)>0 C ．f (x 1)－f (x 2)>0 D ．f (x 1)－f (x 2)<0答案 D解析函数f (x )的图象如图实线部分所示，且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数，又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x －1，x >1，－1＋11－x ，x <1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ≥0，1，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x ＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，5－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1，g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，13log x ，x >1的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，求实数k 的取值范围．解由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )(x ∈[0,6])的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16.。

(鲁京津琼专用)2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.5指数与指数函数教案

§2.5指数与指数函数最新考纲1.通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，通过具体实例，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.4.在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型．1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna－＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质概念方法微思考1.如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集跟a的取值有关．提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a (n ∈N *)．( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘．( × ) (3)函数y ＝3·2x与y ＝2x ＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m<a n(a >0，且a ≠1)，则m <n .( × ) (5)函数y ＝2－x在R 上为单调减函数．( √ ) 题组二教材改编2．[P59A 组T4]化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝. 答案－2x 2y3．[P56例6]若函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则f (－1)＝.答案2解析由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫22x ，所以f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1＝ 2. 4．[P59A 组T7]已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3513－，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3514－，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3234－，则a ，b ，c 的大小关系是．答案 c ⎝ ⎛⎭⎪⎫3514－>⎝ ⎛⎭⎪⎫350，即a >b >1，又c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3234－<⎝ ⎛⎭⎪⎫320＝1，∴c 0，a ≠1，解得a ＝2.7．若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是．答案 (－2，－1)∪(1，2) 解析由题意知0<a 2－1<1，即1<a 2<2，得－2<a <－1或1<a < 2.8．若函数f (x )＝a x 在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________. 答案 2或12解析若a >1，则f (x )max ＝f (1)＝a ＝2；若0<a <1，则f (x )max ＝f (－1)＝a －1＝2，得a ＝12.所以，a ＝2或12.题型一指数幂的运算1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3 C ．(－2)0＝－1 D ．144()a－＝1a答案 D解析对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a 3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，144()a－＝1a，故D 正确．2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－27823－＋0.00212－－10(5－2)－1＋π0＝.答案－1679解析原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－2＋12500－10(5＋2)(5－2)(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 3．化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫1412－·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12(a >0，b >0)＝.答案 85解析原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.4．化简：412333223384a a ba b a -⎛-÷- ⎝⎭+＝(a >0)．答案 a 2解析原式＝11111251111333333336223331111111111223333353362[()(2)]2()(2).()(2)(2)()2a a b a b a a a aa ab a aa ab b a a a b b --⋅÷⨯⨯⨯+⋅+⋅-＝－＝思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加； ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二指数函数的图象及应用例1(1)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<0答案 D解析由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.(2)若函数y＝|4x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为____________．答案(－∞，0]解析函数y＝|4x－1|的图象是由函数y＝4x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围是(－∞，0]．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1(1)已知实数a，b满足等式2019a＝2020b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析如图，观察易知，a，b的关系为a<b<0或0<b<a或a＝b＝0.(2)方程2x＝2－x 的解的个数是．答案 1解析方程的解可看作函数y ＝2x和y ＝2－x 的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．题型三指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例2(1)已知a ＝432，b ＝254，c ＝1325，则( ) A ．b <a <c B ．a 220，可知b 15<a 15<c 15，所以b <a <c . (2)若－1<a <0，则3a，a 13，a 3的大小关系是．(用“>”连接) 答案 3a>a 3>a 13解析易知3a>0，a 13<0，a 3<0，又由－1<a <0，得0<－a <1，所以(－a )3<(－a )13，即－a 3<－a 13，所以a 3>a 13，因此3a >a 3>a 13. 命题点2 解简单的指数方程或不等式例3(1)(2018·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≥0，2a －x，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为．答案 12解析当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)若偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为．答案 {x |x >4或x <0} 解析 ∵f (x )为偶函数，当x <0时，－x >0，则f (x )＝f (－x )＝2－x－4，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－4，x ≥0，2－x－4，x <0，当f (x －2)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，2x －2－4>0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，2－x ＋2－4>0，解得x >4或x <0.∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}．命题点3 指数函数性质的综合应用例4(1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是．答案 (－∞，4]解析令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 在R 上单调递增，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是．答案 [0，＋∞)解析设t ＝2x(t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．(3)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13243ax x －＋有最大值3，则a ＝.答案 1解析令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量；(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练2 (1)已知f (x )＝2x－2－x，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7914－，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9715，则f (a )，f (b )的大小关系是__________．答案 f (b )<f (a )解析易知f (x )＝2x －2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7914－＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9714>⎝ ⎛⎭⎪⎫9715＝b ，∴f (a )>f (b )．(2)函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x)的大小关系是( ) A ．f (b x )≤f (c x) B ．f (b x )≥f (c x) C ．f (b x )>f (c x) D ．与x 有关，不确定答案 A解析 ∵f (x ＋1)＝f (1－x )，∴f (x )关于x ＝1对称，易知b ＝2，c ＝3，当x ＝0时，b 0＝c 0＝1，∴f (b x )＝f (c x)，当x >0时，3x>2x>1，又f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (b x)<f (c x)，当x <0时，3x<2x <1，又f (x )在(－∞，1)上单调递减， ∴f (b x)<f (c x )，综上，f (b x)≤f (c x)．(3)若不等式1＋2x＋4x·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞ 解析从已知不等式中分离出实数a ，得a ≥－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤－34.故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，＋∞.1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 1，所以b <a <c .2．已知函数f (x )＝5x，若f (a ＋b )＝3，则f (a )·f (b )等于( ) A ．3B ．4C ．5D ．25 答案 A解析 ∵f (x )＝5x ，∴f (a ＋b )＝5a ＋b＝3，∴f (a )·f (b )＝5a ×5b ＝5a ＋b＝3.故选A.3．(2018·海淀模拟)已知x >y >0，则( ) A.1x >1yB.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫12y C ．cos x >cos y D ．ln(x ＋1)>ln(y ＋1)答案 D解析因为当x ＝2，y ＝1时，1x <1y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，cos x <cos y ，所以可排除选项A ，B ，C ，故选D.4．已知f (x )＝3x －b(2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )A ．[9,81]B ．[3,9]C ．[1,9]D ．[1，＋∞) 答案 C解析由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2,4]上是增函数，f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故选C.5．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 B解析由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B. 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[－3,0)C ．[－3，－1]D ．{－3}答案 B解析当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1，所以⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)．7．若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为．答案－1解析 f (0)＝m ＋23，∴函数f (x )的图象不过第三象限等价于m ＋23≥0，即m ≥－23，∵“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，∴a <－23，则实数a 能取的最大整数为－1.8．不等式222x x－＋>⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4的解集为．答案 (－1,4) 解析原不等式等价于222x x－＋>2－x －4，又函数y ＝2x为增函数，∴－x 2＋2x >－x －4，即x 2－3x －4<0，∴－1<x <4.9．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是．答案 (－1,2)解析原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.10．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是．答案 0解析当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x ＝12x －2x为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.11．已知9x－10·3x＋9≤0，求函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2的最大值和最小值．解由9x －10·3x ＋9≤0，得(3x －1)(3x－9)≤0，解得1≤3x≤9，即0≤x ≤2.令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则14≤t ≤1，y ＝4t 2－4t ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋1.当t ＝12，即x ＝1时，y min ＝1；当t ＝1，即x ＝0时，y max ＝2.12．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1bx－m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x.(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.13．(2018·安徽滁州中学月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．[1，＋∞) 答案 C解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2t.当t <1时，3t －1＝2t，令g (t )＝3t －1－2t，则g ′(t )＝3－2tln2，当t <1时，g ′(t )>0，g (t )在(－∞，1)上单调递增，即g (t )<g (1)＝0，则方程3t －1＝2t 无解．当t ≥1时，2t ＝2t 成立，由f (a )≥1，得a <1，且3a －1≥1，解得23≤a <1；a ≥1，且2a≥1，解得a ≥1.综上可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.故选C. 14．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R )满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是．答案 (0,4]解析因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝－1，所以f (x )＝2|x －1|.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．当m <n ≤1或1≤m <n 时，离对称轴越远，m 与n 的差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x的性质知极限值为0.当m <1<n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值2－(－2)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]．15．设f (x )＝|2x －1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c4.(选填“>”“<”“＝”)答案 <解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 若c ≤1，则2a<2,2c≤2，故2a＋2c<4；若c >1，则由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c<4.综上知，总有2a＋2c<4.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －2λ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋4(－1≤x ≤2)．设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2.当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋74⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝74.所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74，故函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，5316. (2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)．设φ(x )＝2·2x＋12·2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤2x ≤4，当2x＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2；当2x＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658.∴函数φ(x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，658.故实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，658.。

(京津鲁琼专用)高考数学二轮复习第二部分专题六函数与导数第3讲导数的简单应用练习(含解析)

第3讲导数的简单应用[做真题]题型一导数的几何意义1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax .若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x解析：选D.法一：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以(－x )3＋(a －1)(－x )2＋a (－x )＝－[x 3＋(a －1)x 2＋ax ]，所以2(a －1)x 2＝0，因为x ∈R ，所以a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.法二：因为函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax 为奇函数，所以f (－1)＋f (1)＝0，所以－1＋a －1－a ＋(1＋a －1＋a )＝0，解得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，所以f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y ＝x .故选D.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1解析：选D.因为y ′＝a e x＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以曲线在点(1，a e)处的切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.3．(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y ＝2ln(x ＋1)，所以y ′＝2x ＋1.当x ＝0时，y ′＝2，所以曲线y ＝2ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y －0＝2(x －0)，即y ＝2x .答案：y ＝2x4．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．解析：设y ＝kx ＋b 与y ＝ln x ＋2和y ＝ln(x ＋1)的切点分别为(x 1，ln x 1＋2)和(x 2，ln(x 2＋1))．则切线分别为y －ln x 1－2＝1x 1(x －x 1)，y －ln(x 2＋1)＝1x 2＋1(x －x 2)，化简得y ＝1x 1x ＋ln x 1＋1，y ＝1x 2＋1x －x 2x 2＋1＋ln(x 2＋1)，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝－x2x 2＋1＋ln （x 2＋1），解得x 1＝12，从而b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2题型二导数与函数的单调性、极值与最值1．(2017·高考全国卷Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3D ．1解析：选A.因为f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，所以f ′(x )＝(2x ＋a )ex －1＋(x 2＋ax －1)ex －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]ex －1.因为x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)ex －1的极值点，所以－2是x 2＋(a ＋2)x ＋a －1＝0的根，所以a ＝－1，f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1＝(x ＋2)(x －1)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1，令f ′(x )<0，解得－2<x <1，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得极小值，且f (x )极小值＝f (1)＝－1，选择A.2．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，则f (x )的最小值是________．解析：法一：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ，所以f ′(x )＝2cos x ＋2cos 2x ＝4cos 2x ＋2cos x －2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －12(cos x ＋1)，由f ′(x )≥0得12≤cos x ≤1，即2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z ，由f ′(x )≤0得－1≤cos x ≤12，即2k π＋π≥x ≥2k π＋π3或2k π－π≤x ≤2k π－π3，k ∈Z ，所以当x ＝2k π－π3(k ∈Z )时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3＝－332. 法二：因为f (x )＝2sin x ＋sin 2x ＝2sin x (1＋cos x )＝4sin x 2cos x2·2cos 2x 2＝8sinx2cos 3x 2＝833sin 2x2cos 6x2，所以[f (x )]2＝643×3sin 2x 2cos 6x 2≤643· ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3sin 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 2＋cos 2x 244＝274，当且仅当3sin 2x 2＝cos 2x 2，即sin 2x 2＝14时取等号，所以0≤[f (x )]2≤274，所以－332≤f (x )≤332，所以f (x )的最小值为－332.答案：－332[某某省学习指导意见]1．导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵，理解导数的几何意义． 2．导数的运算(1)能根据导数定义，求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x的导数．(2)能利用导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 3．导数在研究函数中的应用(1)结合实例，了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．4．生活中的优化问题举例会利用导数在解决实际问题(探究利润最大、用料最省、效率最高等优化问题)．导数的几何意义[典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0(2)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为________．(3)(2019·某某市调研测试)若过点A(a，0)作曲线C：y＝x e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值X围是________．【解析】(1)依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.(2)f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故点P的坐标为(1，3)或(－1，3)．(3)设切点坐标为(x0，x0e x0)，y′＝(x＋1)e x，y′|x＝x0＝(x0＋1)e x0，所以切线方程为y－x0e x0＝(x0＋1)e x0(x－x0)，将点A(a，0)代入可得－x0e x0＝(x0＋1)e x0(a－x0)，化简，得x20－ax0－a＝0，过点A(a，0)作曲线C的切线有且仅有两条，即方程x20－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a>0，解得a>0或a<－4，故实数a的取值X围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【答案】(1)C (2)(1，3)或(－1，3) (3)(－∞，－4)∪(0，＋∞)(1)求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，已知切线的斜率k，求切线方程再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率[对点训练]1．(2019·某某调研)设曲线C ：y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，在曲线C 上一点M (1，－4)处的切线记为l ，则切线l 与曲线C 的公共点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.y ′＝12x 3－6x 2－18x ，所以切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12，所以切线l 的方程为12x ＋y －8＝0.联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y －8＝0y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，消去y ，得3x 4－2x 3－9x 2＋12x －4＝0，所以(x ＋2)(3x －2)(x －1)2＝0，所以x 1＝－2，x 2＝23，x 3＝1，所以切线l 与曲线C 有3个公共点．故选C.2．(2019·某某某某一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝________，切线方程为________．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝1利用导数研究函数的单调性[典型例题]命题角度一求函数的单调区间或判断函数的单调性已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax 2＋x（x ＋1）2，且1<a <2，试讨论函数f (x )的单调性．【解】函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x （x －2a ＋3）（x ＋1）3，x >－1. ①当－1<2a －3<0，即1<a <32时，当－1<x <2a －3或x >0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当2a －3<x <0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②当2a －3＝0，即a ＝32时，f ′(x )≥0，则f (x )在(－1，＋∞)上单调递增．③当2a －3>0，即32<a <2时，当－1<x <0或x >2a －3时，f ′(x )>0，则f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增．当0<x <2a －3时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，2a －3)上单调递减．综上，当1<a <32时，f (x )在(－1，2a －3)，(0，＋∞)上单调递增，在(2a －3，0)上单调递减；当a ＝32时，f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当32<a <2时，f (x )在(－1，0)，(2a －3，＋∞)上单调递增，在(0，2a －3)上单调递减．利用导数求函数的单调区间的三种方法(1)当不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0求出单调区间．(2)当方程f ′(x )＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f ′(x )＝0，求出实数根，把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和实根按从小到大的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f ′(x )在各个区间内的符号，从而确定单调区间．(3)不等式f ′(x )＞0或f ′(x )＜0及方程f ′(x )＝0均不可解时求导数并化简，根据f ′(x )的结构特征，选择相应的基本初等函数，利用其图象与性质确定f ′(x )的符号，得单调区间．命题角度二已知函数的单调性求参数已知函数f (x )＝ln x －a 2x 2＋ax (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，某某数a 的取值X 围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x 2＋x ，其定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝1x －2x ＋1＝－2x 2－x －1x，令f ′(x )＝0，则x ＝1(负值舍去)．当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)法一：f ′(x )＝1x－2a 2x ＋a＝－（2ax ＋1）（ax －1）x.①当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，所以f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数，不合题意； ②当a >0时，由f ′(x )<0，得x >1a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，a >0，解得a ≥1；③当a <0时，由f ′(x )<0，得x >－12a.所以f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞. 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－12a ≤1，a <0，解得a ≤－12.综上所述，实数a 的取值X 围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．法二：f ′(x )＝1x －2a 2x ＋a ＝－2a 2x 2＋ax ＋1x.由f (x )在区间(1，＋∞)上是减函数，可得g (x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1≤0在区间(1，＋∞)上恒成立．①当a ＝0时，1≤0不合题意；②当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧14a <1，g （1）≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，－2a 2＋a ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >14或a <0，a ≥1或a ≤－12，所以a ≥1或a ≤－12.所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪[1，＋∞)．(1)已知函数的单调性，求参数的取值X 围，应用条件f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，x ∈(a ，b )恒成立，解出参数的取值X 围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f ′(x )不恒等于0的参数的X 围．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上不单调，则转化为f ′(x )＝0在(a ，b )上有解．[对点训练]1．若函数f (x )＝(x ＋a )e x在区间(0，＋∞)上不单调，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝e x (x ＋a ＋1)，由题意，知方程e x(x ＋a ＋1)＝0在(0，＋∞)上至少有一个实数根，即x ＝－a －1>0，解得a <－1.答案：(－∞，－1)2．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，讨论f (x )的单调性．解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x－a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x－a )． ①若a ＝0，则f (x )＝e 2x在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．③若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0；故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增．利用导数研究函数的极值(最值)问题[典型例题]命题角度一求已知函数的极值(最值)已知函数f (x )＝ln x x－1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设m >0，求函数f (x )在区间[m ，2m ]上的最大值．【解】 (1)因为函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln x x2，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）>0，x >0得0<x <e ；由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ）<0，x >0，得x >e. 所以函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(2)①当⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤e ，m >0，即0<m ≤e2时，(m ，2m )⊆(0，e)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递增，所以f (x )max ＝f (2m )＝ln 2m2m－1；②当m <e<2m ，即e2<m <e 时，(m ，e)⊆(0，e)，(e ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间(m ，e)上单调递增，在(e ，2m )上单调递减，所以f (x )max ＝f (e)＝ln e e －1＝1e－1；③当m ≥e 时，(m ，2m )⊆(e ，＋∞)，函数f (x )在区间[m ，2m ]上单调递减，所以f (x )max＝f (m )＝ln mm－1.综上所述，当0<m ≤e 2时，f (x )max ＝ln 2m 2m －1；当e 2<m <e 时，f (x )max ＝1e－1；当m ≥e 时，f (x )max ＝ln mm－1.利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f ′(x )＝0的根，再检查f ′(x )在方程根的左右函数值的符号． (2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f ′(x )＝0根的大小或存在情况来求解．(3)求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，在求得极值的基础上，结合区间端点的函数值f (a )，f (b )与f (x )的各极值进行比较得到函数的最值．命题角度二已知函数的极值或最值求参数(2019·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋b . (1)讨论f (x )的单调性；(2)是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[0，1]的最小值为－1且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解】 (1)f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a3.若a >0，则当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a3单调递减；若a ＝0，f (x )在(－∞，＋∞)单调递增；若a <0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a3，(0，＋∞)单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，0单调递减．(2)满足题设条件的a ，b 存在．(i)当a ≤0时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递增，所以f (x )在区间[0，1]的最小值为f (0)＝b ，最大值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当b ＝－1，2－a ＋b ＝1，即a ＝0，b ＝－1.(ii)当a ≥3时，由(1)知，f (x )在[0，1]单调递减，所以f (x )在区间[0，1]的最大值为f (0)＝b ，最小值为f (1)＝2－a ＋b .此时a ，b 满足题设条件当且仅当2－a ＋b ＝－1，b ＝1，即a ＝4，b ＝1.(iii)当0<a <3时，由(1)知，f (x )在[0，1]的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋b ，最大值为b 或2－a ＋b .若－a 327＋b ＝－1，b ＝1，则a ＝332，与0<a <3矛盾．若－a 327＋b ＝－1，2－a ＋b ＝1，则a ＝33或a ＝－33或a ＝0，与0<a <3矛盾．综上，当且仅当a ＝0，b ＝－1或a ＝4，b ＝1时，f (x )在[0，1]的最小值为－1，最大值为1.已知函数极值点或极值求参数的方法列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，再利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 [对点训练](2019·某某质量检测(一))已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x (其中常数a ≠0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且在(0，e]上的最大值为1，某某数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋x 2－3x ，x >0， f ′(x )＝1x ＋2x －3＝2x 2－3x ＋1x，令f ′(x )＝0，解得x 1＝12，x 2＝1，当0<x <12时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递增；当12<x <1时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x >1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增．所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)f ′(x )＝2ax 2－（2a ＋1）x ＋1x ＝（2ax －1）（x －1）x，令f ′(x )＝0，得x ′1＝1，x ′2＝12a，因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ′2＝12a ≠x ′1＝1，当12a<0时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以f (x )在(0，e]上的最大值为f (1)，令f (1)＝1，解得a ＝－2.当0<12a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，1上单调递减，在(1，e]上单调递增，所以最大值1可能在x ＝12a或x ＝e 处取得，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝ln 12a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2－(2a ＋1)×12a ＝ln 12a －14a －1<0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2. 当1<12a <e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12a 上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤12a ，e 上单调递增，所以最大值1可能在x ＝1或x ＝e 处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，所以f (e)＝ln e ＋a e 2－(2a ＋1)e ＝1，解得a ＝1e －2，与1<12a <e 矛盾．当12a≥e 时，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以最大值1在x ＝1处取得，而f (1)＝ln 1＋a －(2a ＋1)<0，不符合题意．综上所述，a ＝1e －2或a ＝－2.一、选择题1．已知直线2x －y ＋1＝0与曲线y ＝a e x＋x 相切(其中e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是( )A ．12 B ．1 C ．2D ．e解析：选B.由题意知y ′＝a e x＋1＝2，则a >0，x ＝－ln a ，代入曲线方程得y ＝1－ln a ，所以切线方程为y －(1－ln a )＝2(x ＋ln a )，即y ＝2x ＋ln a ＋1＝2x ＋1⇒a ＝1.2．(2019·某某第二次诊断性检测)已知直线l 既是曲线C 1：y ＝e x的切线，又是曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切线，则直线l 在x 轴上的截距为( )A ．2B ．1C ．e 2D ．－e 2解析：选B.设直线l 与曲线C 1：y ＝e x的切点为A (x 1，e x 1)，与曲线C 2：y ＝14e 2x 2的切点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，14e 2x 22.由y ＝e x ，得y ′＝e x，所以曲线C 1在点A 处的切线方程为y －e x 1＝e x 1(x －x 1)，即y ＝e x 1x －e x 1(x 1－1) ①.由y ＝14e 2x 2，得y ′＝12e 2x ，所以曲线C 2在点B 处的切线方程为y －14e 2x 22＝12e 2x 2(x －x 2)，即y ＝12e 2x 2x －14e 2x 22 ②.因为①②表示的切线为同一直线，所以⎩⎪⎨⎪⎧e x 1＝12e 2x 2，e x 1（x 1－1）＝14e 2x 22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝2，所以直线l的方程为y ＝e 2x －e 2，令y ＝0，可得直线l 在x 上的截距为1，故选B.3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值X 围为( ) A ．(－∞，－26] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C.由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1，g （1）≥0⇔－26≤a ≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，a ≥－5⇔a ≥－26，故选C. 4．函数f (x )(x >0)的导函数为f ′(x )，若xf ′(x )＋f (x )＝e x，且f (1)＝e ，则( ) A ．f (x )的最小值为e B ．f (x )的最大值为e C ．f (x )的最小值为1eD ．f (x )的最大值为1e解析：选A.设g (x )＝xf (x )－e x，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－e x ＝0，所以g (x )＝xf (x )－e x为常数函数．因为g (1)＝1×f (1)－e ＝0，所以g (x )＝xf (x )－e x ＝g (1)＝0，所以f (x )＝e xx ，f ′(x )＝e x（x －1）x2，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0，所以f (x )≥f (1)＝e.5．若函数f (x )＝e x－(m ＋1)ln x ＋2(m ＋1)x －1恰有两个极值点，则实数m 的取值X 围为( )A ．(－e 2，－e) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－e 2C ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 D ．(－∞，－e －1)解析：选 D.由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ex－(m ＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1x－2＝0在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，所以m＋1＝x e x 1－2x 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，令g (x )＝x e x1－2x，则g ′(x )＝－e x（x －1）（2x ＋1）（1－2x ）2，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，其图象如图所示，要使m ＋1＝x e x1－2x 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，则m ＋1<g (1)，即m ＋1<－e ，m <－e －1，所以实数m 的取值X围是(－∞，－e －1)．故选D.6．(多选)对于函数f (x )＝xe x ，下列说法正确的有( )A ．f (x )在x ＝1处取得极大值1eB ．f (x )有两个不同的零点C ．f (4)<f (π)<f (3)D ．πe 2>2e π解析：选AC.由函数f (x )＝x e x ，可得函数f (x )的导数为f ′(x )＝1－xe x .当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．可得函数f (x )在x ＝1处取得极大值1e，且为最大值，所以A 正确；因为f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且f (0)＝0，当x >0时，f (x )>0恒成立，所以函数f (x )只有一个零点，所以B 错误；由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且4>π>3>1，可得f (4)<f (π)<f (3)，所以C 正确；由f (x )在(1，＋∞)上单调递减，且π>2>1，可得πe π<2e2，即πe 2<2e π，所以D 错误．故选AC. 二、填空题7．(2019·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3(x 2＋3x ＋1)e x，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝3，所以所求的切线方程为y ＝3x .答案：y ＝3x8．函数f (x )＝x 2－ln x 的最小值为________．解析：因为f (x )＝x 2－ln x (x >0)，所以f ′(x )＝2x －1x ，令2x －1x ＝0得x ＝22，令f ′(x )>0，则x >22；令f ′(x )<0，则0<x <22.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞上单调递增，所以f (x )的极小值(也是最小值)为⎝ ⎛⎭⎪⎫222－ln 22＝1＋ln 22.答案：1＋ln 229．(2019·某某某某一中期末改编)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x的极值点，则f ′(－2)＝________，f (x )的极小值为________．解析：由函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x 可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x ＋(x 2＋ax －1)e x，因为x ＝－2是函数f (x )的极值点，所以f ′(－2)＝(－4＋a )e －2＋(4－2a －1)e －2＝0，即－4＋a ＋3－2a ＝0，解得a ＝－1.所以f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x.令f ′(x )＝0可得x ＝－2或x ＝1.当x <－2或x >1时，f ′(x )>0，此时函数f (x )为增函数，当－2<x <1时，f ′(x )<0，此时函数f (x )为减函数，所以当x ＝1时函数f (x )取得极小值，极小值为f (1)＝(12－1－1)×e 1＝－e.答案：0 －e 三、解答题10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x, f (e)＝e ＋1，f ′(x )＝1x ＋1，f ′(e)＝1＋1e，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －(e ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e (x －e)，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＋1x .(2)f ′(x )＝1x －2ax ＋1＝－2ax 2＋x ＋1x，x >0，①当a ≤0时，显然f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，令f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x＝0，则－2ax 2＋x ＋1＝0，易知其判别式为正，设方程的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则x 1x 2＝－12a<0，所以x 1<0<x 2，所以f ′(x )＝－2ax 2＋x ＋1x ＝－2a （x －x 1）（x －x 2）x，x >0.令f ′(x )>0，得x ∈(0，x 2)，令f ′(x )<0得x ∈(x 2，＋∞)，其中x 2＝1＋8a ＋14a.所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋8a ＋14a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1＋8a ＋14a ，＋∞上单调递减． 11．已知常数a ≠0，f (x )＝a ln x ＋2x . (1)当a ＝－4时，求f (x )的极值；(2)当f (x )的最小值不小于－a 时，某某数a 的取值X 围．解：(1)由已知得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ＋2＝a ＋2xx.当a ＝－4时，f ′(x )＝2x －4x.所以当0<x <2时，f ′(x )<0，即f (x )单调递减；当x >2时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增．所以f (x )只有极小值，且在x ＝2时，f (x )取得极小值f (2)＝4－4ln 2. 所以当a ＝－4时，f (x )只有极小值4－4ln 2. (2)因为f ′(x )＝a ＋2xx，所以当a >0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，即f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a <0时，由f ′(x )>0得，x >－a2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－a2，＋∞上单调递增；由f ′(x )<0得，x <－a2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2上单调递减．所以当a <0时，f (x )的最小值为极小值，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a .根据题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a ≥－a ，即a [ln(－a )－ln 2]≥0.因为a <0，所以ln(－a )－ln 2≤0，解得a ≥－2，综上实数a 的取值X 围是[－2，0)．12．(2019·某某市调研测试)已知函数f (x )＝x e x＋a (ln x ＋x )． (1)若a ＝－e ，求f (x )的单调区间；(2)当a <0时，记f (x )的最小值为m ，求证：m ≤1.解：(1)当a ＝－e 时，f (x )＝x e x－e(ln x ＋x )，f (x )的定义域是(0，＋∞)．f ′(x )＝(x ＋1)e x －e ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＝x ＋1x (x e x －e)．当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时．f ′(x )>0.所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． (2)证明：f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )，令g (x )＝x e x＋a ，则g ′(x )＝(x ＋1)e x>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为a <0，所以g (0)＝a <0，g (－a )＝－a e －a＋a >－a ＋a ＝0，故存在x 0∈(0，－a )，使得g (x 0)＝x 0e x 0＋a ＝0. 当x ∈(0，x 0)时，g (x )<0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )<0，f (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )＝x ＋1x(x e x＋a )>0，f (x )单调递增．故x ＝x 0时，f (x )取得最小值，即m ＝f (x 0)＝x 0e x 0＋a (ln x 0＋x 0)．由x 0e x 0＋a ＝0得m ＝x 0e x 0＋a ln(x 0e x 0)＝－a ＋a ln(－a )，令x ＝－a >0，h (x )＝x －x ln x ，则h ′(x )＝1－(1＋ln x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，h ′(x )＝－ln x >0，h (x )＝x －x ln x 单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝－ln x <0，h (x )＝x －x ln x 单调递减，故x ＝1，即a ＝－1时，h (x )＝x －x ln x 取得最大值1，故m ≤1.。

2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用讲义：第三章 3.2 导数的应用第1课时

§3.2导数的应用最新考纲 1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)，以及在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)．1．函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．2．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)≥0，右侧f′(x)≤0x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0图象极植f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．概念方法微思考1．“f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f′(x)>0在(a，b)上恒成立”，这种说法是否正确？提示不正确，正确的说法是：可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．2．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示必要不充分题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( √ ) (2)函数的极大值一定大于其极小值．( × )(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ ) 题组二教材改编2．如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下列判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝2时，f (x )取到极小值答案 C解析在(4,5)上f ′(x )>0恒成立，∴f (x )是增函数． 3．函数f (x )＝e x －x 的单调递增区间是________．答案 (0，＋∞)解析由f ′(x )＝e x －1>0，解得x >0，故其单调递增区间是(0，＋∞)． 4．当x >0时，ln x ，x ，e x 的大小关系是________．答案 ln x <x <e x解析构造函数f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1，可得x ＝1为函数f (x )在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点，故f (x )≤f (1)＝－1<0，所以ln x <x .同理可得x <e x ，故ln x <x <e x . 5．现有一块边长为a 的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．答案227a 3 解析容积V ＝(a －2x )2x,0<x <a2，则V ′＝2(a －2x )×(－2x )＋(a －2x )2＝(a －2x )(a －6x )，由V ′＝0得x ＝a 6或x ＝a 2(舍去)，则x ＝a6为V 在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V max ＝227a 3. 题组三易错自纠6．函数f (x )＝x 3＋ax 2－ax 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3,0]解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －a ≥0在R 上恒成立，即4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ≤0，即实数a 的取值范围是[－3,0]．7．(2018·郑州质检)若函数f (x )＝13x 3－32x 2＋ax ＋4恰在[－1,4]上单调递减，则实数a 的值为________．答案－4解析 f ′(x )＝x 2－3x ＋a ，且f (x )恰在[－1,4]上单调递减，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋a ≤0的解集为[－1,4]，∴－1,4是方程f ′(x )＝0的两根，则a ＝(－1)×4＝－4.8．若函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，m ＝________.答案 4解析 f ′(x )＝x 2－4，x ∈[0,3]，当x ∈[0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2,3]时，f ′(x )>0，所以f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m .所以在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，所以m ＝4.9．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1,2)上有极值，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫32，4解析 f ′(x )＝x 2＋2x －2a 的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x ＝－1，则f ′(x )在(1,2)上是单调递增函数，因此⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3－2a <0，f ′(2)＝8－2a >0，解得32<a <4，故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，4.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参函数的单调性1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 答案 B解析由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2(x ≠0)，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，∴函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.故选B. 2．函数f (x )＝x ·e x －e x ＋1的递增区间是( )A ．(－∞，e)B ．(1，e)C ．(e ，＋∞)D ．(e －1，＋∞)答案 D解析由f (x )＝x ·e x －e x ＋1，得f ′(x )＝(x ＋1－e)·e x ，令f ′(x )>0，解得x >e －1，所以函数f (x )的递增区间是(e －1，＋∞)．3．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )的单调递减区间是________．答案 ⎝⎛⎭⎫0，1e 解析因为函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e . 4．(2018·开封调研)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是______________________．答案 ⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x . 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 思维升华确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)解不等式f ′(x )>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间． (4)解不等式f ′(x )<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．题型二含参数的函数的单调性例1 讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <1时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a 2a ，＋∞上单调递增．思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．跟踪训练1 已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)(a >0)．试讨论f (x )的单调性．解由题意得f ′(x )＝e x [ax 2＋(2a －2)x ](a >0)，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2－2aa. ①当0<a <1时，令f ′(x )>0，则x <0或x >2－2aa ，令f ′(x )<0，则0<x <2－2aa；②当a ＝1时，f ′(x )≥0在R 上恒成立； ③当a >1时，令f ′(x )>0，则x >0或x <2－2aa ，令f ′(x )<0，则2－2aa<x <0.综上所述，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2－2a a ，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫0，2－2a a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；当a >1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫2－2a a ，0上单调递减．题型三函数单调性的应用命题点1 比较大小或解不等式例2 (1)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3，若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( ) A ．g (a )<0<f (b ) B ．f (b )<0<g (a ) C ．0<g (a )<f (b ) D ．f (b )<g (a )<0答案 A解析因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时，a ∈(0,1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0. 由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1,2)，又f (1)＝e －1>0，所以f (b )>0. 综上可知，g (a )<0<f (b )．(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0.若a ＝f (e )e ，b＝f (ln 2)ln 2，c ＝f (3)3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．b <a <c B ．a <c <b C ．a <b <c D ．c <a <b 答案 D解析设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又当x <0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )<0，即函数g (x )在区间(－∞，0)内单调递减．因为f (x )为R 上的偶函数，所以 2<e<3，可得g (3)<g (e)<g (ln 2)，即c <a (m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为( ) A ．(0,2 019) B ．(2 019，＋∞) C ．(2 021，＋∞) D ．(2 019,2 021)答案 D解析令h (x )＝f (x )x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0， ∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2，即h (m －2 019)>h (2)． ∴m －2 019<2且m －2 019>0，解得2 019<m <2 021. ∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________．答案 (－∞，－2)∪(0,2)解析 ∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)上为减函数，又φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．命题点2 根据函数单调性求参数例3 (2018·石家庄质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围．解 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)．引申探究1．本例(2)中，若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递增，求a 的取值范围．解因为h (x )在[1,4]上单调递增，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1,4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．2．本例(2)中，若h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解 h (x )在[1,4]上存在单调递减区间，则h ′(x )<0在[1,4]上有解，所以当x ∈[1,4]时，a >1x 2－2x有解，又当x ∈[1,4]时，⎝⎛⎭⎫1x 2－2x min ＝－1(此时x ＝1)，所以a >－1，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．思维升华根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集． (2)f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．跟踪训练2 (1)(2018·安徽江南十校联考)设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(0,3]答案 A解析 ∵f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝x －9x，∴由f ′(x )≤0，解得0<x ≤3，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，a ＋1≤3，解得1<a ≤2.(2)(2018·乐山期末)若f (x )＝x 2－a ln x 在(1，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(－∞，2) D ．(－∞，2]答案 D解析由f (x )＝x 2－a ln x ，得f ′(x )＝2x －ax ，∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴2x －ax ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≤2x 2在(1，＋∞)上恒成立，∵当x ∈(1，＋∞)时，2x 2>2，∴a ≤2.用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能： ①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．例已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2－(2a ＋1)x ，若a ≥0，试讨论函数g (x )的单调性．解 g ′(x )＝2ax 2－(2a ＋1)x ＋1x ＝(2ax －1)(x －1)x .∵函数g (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴当a ＝0时，g ′(x )＝－x －1x.由g ′(x )>0，得0<x <1，由g ′(x )<0，得x >1. 当a >0时，令g ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝12a ，若12a <1，即a >12，由g ′(x )>0，得x >1或0<x <12a ，由g ′(x )<0，得12a <x <1；若12a >1，即0<a <12，由g ′(x )>0，得x >12a 或0<x <1，由g ′(x )<0，得1<x <12a，若12a ＝1，即a ＝12，在(0，＋∞)上恒有g ′(x )≥0. 综上可得：当a ＝0时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数g (x )在(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞上单调递增；当a ＝12时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >12时，函数g (x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．1．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案D解析因为f(x)＝(x－3)e x，所以f′(x)＝e x(x－2)．令f′(x)>0，得x>2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．2．(2018·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案C解析由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.3．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案D解析利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 答案 A解析因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A. 5．已知函数f (x )＝12x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f ′(x )＝32x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件． 6．若f (x )＝ln xx ，e<a f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )f (b )>1 答案 A解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，当x >e 时，f ′(x )<0，则f (x )在(e ，＋∞)上为减函数，所以f (a )>f (b )．7．已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x < f (x )cos x ，则( ) A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4 D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3 答案 A解析令g (x )＝f (x )sin x，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x ，由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， ∴g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332， ∴3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. 8．(2018·昆明调研)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．答案 {x |x <－1或x >1} 解析设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减． ∵f (x 2)<x 22＋12， ∴f (x 2)－x 22<f (1)－12， ∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即不等式的解集为{x |x <－1或x >1}．9．已知g (x )＝2x ＋x 2＋2a ln x 在[1,2]上是减函数，则实数a 的取值范围为__________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－72 解析 g ′(x )＝－2x 2＋2x ＋2ax ，由已知得g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立，可得a ≤1x－x 2在[1,2]上恒成立．又当x ∈[1,2]时，⎝⎛⎭⎫1x －x 2min ＝12－4＝－72. ∴a ≤－72.10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪(0,1)解析因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0. 当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x ，则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0. 则当x >0时，g ′(x )＝⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0<x <1时，由g (x )>g (1)＝0，得f (x )x >0，所以f (x )>0；在(－∞，0)上，当x <－1时，由g (x )<g (－1)＝0，得f (x )x <0，所以f (x )>0. 综上知，使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 (－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求实数k 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．解 (1)f ′(x )＝1x－ln x －k e x(x >0)．又由题意知f ′(1)＝1－ke ＝0，所以k ＝1.(2)f ′(x )＝1x－ln x －1e x (x >0)．设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递减．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，所以f ′(x )>0；当x >1时，h (x )<0，所以f ′(x )<0. 综上，f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．12．(2018·信阳高级中学模拟)已知函数f (x )＝be x －1(b ∈R ，e 为自然对数的底数)在点(0，f (0))处的切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．解因为f (0)＝b －1，所以过点(0，b －1)，(2，－2)的直线的斜率为k ＝b －1－(－2)0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－be x ，由导数的几何意义可知，f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，所以f (x )＝1e x －1.则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1e x ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增．13．定义在区间(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )使不等式2f (x )<xf ′(x )<3f (x )恒成立，其中y ＝f ′(x )为y ＝f (x )的导函数，则( ) A ．8<f (2)f (1)<16B ．4<f (2)f (1)<8C ．3<f (2)f (1)<4D ．2<f (2)f (1)<3答案 B解析 ∵xf ′(x )－2f (x )>0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 2′＝f ′(x )·x 2－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3>0，令g (x )＝f (x )x2，∴g (x )＝f (x )x 2在(0，＋∞)上单调递增，∴f (2)22>f (1)12，又由2f (x )<3f (x )，得f (x )>0，即f (2)f (1)>4.∵xf ′(x )－3f (x )<0，x >0，∴⎣⎡⎦⎤f (x )x 3′＝f ′(x )·x 3－3x 2f (x )x 6＝xf ′(x )－3f (x )x 4<0，令h (x )＝f (x )x3，∴h (x )＝f (x )x 3在(0，＋∞)上单调递减，∴f (2)23<f (1)13，即f (2)f (1)<8. 综上，4<f (2)f (1)<8.14．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－19，＋∞ 解析对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 由题意知，f ′(x )>0在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.15．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－6x 2＋4，则g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝________. 答案 0解析 g ′(x )＝6x 2－12x ，∴g ″(x )＝12x －12，由g ″(x )＝0，得x ＝1，又g (1)＝0，∴函数g (x )的对称中心为(1,0)，故g (x )＋g (2－x )＝0，∴g ⎝⎛⎭⎫1100＋g ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋g ⎝⎛⎭⎫199100＝g (1)＝0. 16．已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．解 f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x (x >0)，①当0<a <1时，1a>1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a.②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立． ③当a >1时，0<1a<1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0，解得1a<x <1.综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减；当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．。