2011文科数学总复习——抽象函数课时作业

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数学练习题抽象函数(含答案)

高考一轮专练——抽象函数1. 已知函数y = f (x )(x ∈R ，x ≠0)对任意的非零实数1x ，2x ，恒有f (1x 2x )=f (1x )+f (2x ),试判断f (x )的奇偶性。

2 已知定义在[-2，2]上的偶函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围3. 设f(x)是R 上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。

4. 设函数()f x 对任意121,[0,]2x x ∈,都有1212()()()f x x f x f x +=⋅,()2f x =已知(1)2f =，求1()2f ,1()4f 的值.5. 已知f （x ）是定义在R 上的函数，且满足：f （x+2）[1－f （x ）]=1+f （x ），f （1）=1997，求f （2001）的值。

6. 设f （x ）是定义R 在上的函数，对任意x ，y ∈R ，有 f （x+y ）+f （x-y ）=2f （x ）f （y ）且f （0）≠0.（1）求证f （0）=1；（2）求证：y=f （x ）为偶函数.7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有ba b f a f ++)()(＞0（1）若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）若f （k )293()3--+⋅xx x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。

9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.（1）求证: ()f x 是奇函数;（2）若(3),(24)f a a f -=试用表示.11．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足: ()()()f a b af b bf a •=+. （1）求(0),(1)f f 的值;（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论;（3）若(2)2f =,*(2)()n n f u n N n-=∈，求数列{n u }的前n 项和n s .12．已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. （1）若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式.13．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++，且1()02f =，当12x >时, ()f x >0. （1）求(1)f ;（2）求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; （3）判断函数()f x 的单调性，并证明.14．函数()f x 的定义域为R ，并满足以下条件：①对任意x R ∈,有()f x >0；②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =；③1()13f >.（1）求(0)f 的值;（2）求证: ()f x 在R 上是单调减函数;（3）若0a b c >>>且2b ac =，求证：()()2()f a f c f b +>.15．已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有()()()f m n f m f n +=•,且当0x >时,0()1f x <<.（1）证明:(0)1,0f x =<且时,f(x)>1;（2）证明: ()f x 在R 上单调递减;（3）设A=22{(,)()()(1)}x y f x f y f •>,B={(,)(2)1,x y f ax y a R -+=∈},若A B I =Φ,试确定a的取值范围.16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数,设F ()()()x f x f a x =--. （1）用函数单调性的定义证明:()F x 是R 上的增函数; （2）证明:函数y =()F x 的图象关于点(,0)2a成中心对称图形.17．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线1x =对称. （1）求(0)f 的值；（2）证明：函数()f x 是周期函数;（3）若()(01),f x x x =<≤求当x R ∈时，函数()f x 的解析式，并画出满足条件的函数()f x 至少一个周期的图象。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是（）A . ()()()123f f f -<<B . ()()()234f f f <<-C . ()()1202f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭D . ()()()531f f f <-<-【答案】D【解析】根据函数为偶函数，有()()()221f f f -=<，故函数在[)0,+∞上递减，所以()()()()()()10123452f f f f f f f ⎛⎫>>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（）．A ．恒大于B ．恒小于C ．可正可负D ．可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________．【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-．【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立．令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

高三抽象函数总结

高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。

考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。

本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。

抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。

由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。

例一.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。

变式训练1：已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求)(x f 的定义域。

变式训练2：已知函数)(x f 的定义域是]2,1[-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

二、求值问题例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①1)2(=f ，51)6(=f ；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f(3)，f(9)的值。

注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。

变式训练3：已知R x f 是定义在)(上的函数，且R x f ∈=对任意的,1)1(都有下列两式成立：)6(,1)()(.1)()1(;5)()5(g x x f x g x f x f x f x f 则若-+=+≤++≥+的值为变式训练4:设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f _____变式训练5：已知)(),(x g x f 都是定义在R 上的函数，对任意y x ,满足)()()()()(y f x g y g x f y x f ⋅-⋅=- ，且0)1()2(≠=-f f ，则)1()1(-+g g =_________三、值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

必修一数学抽象函数习题精选含答案

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抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在f x ()[]37，f x ()区间上是( ）[]--73，A. 增函数且最小值为B 。

增函数且最大值-5为-5C. 减函数且最小值为D 。

减函数且最大值-5为-5分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。

2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在上的偶函数满足,并且在上为增函数。

R f (x)f (2)0=f (x)(,0)-∞若，则实数的取值范围。

(1)(a)0a f ->a 二、抽象函数的单调性和奇偶性1。

证明单调性例3．已知函数f(x)= ，且f(x),g(x ）定义域都是R,且g(x ）〉0, 1)(1)(+-x g x g g(1） =2,g(x) 是增函数。

.(m)(n)(m n)(m,n )g g g R =+∈求证： f （x)是R 上的增函数.解：设x 1〉x 2因为，g(x ）是R 上的增函数，且g （x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) 〉0。

g （x 1)+1 > g(x 2)+1 〉0，〉〉0⇒1)(22+x g 1)(21+x g — 〉0。

⇒1)(22+x g 1)(21+x gf(x 1)- f(x 2)=- =1-—(1-）1)(1)(11+-x g x g 1)(1)(22+-x g x g 1)(21+x g 1)(22+x g =-〉0。

抽象函数_题型大全(例题_含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象.学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难.学好这部分知识.能加深学生对函数概念的理解.更好地掌握函数的性质.培养灵活性；提高解题能力.优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下：一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式.从而求出()f x .这也是证某些公式或等式常用的方法.此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=- 2.凑合法：在已知(())()fg xh x =的条件下.把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式.再利用代换即可求()f x .此解法简洁.还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x xx+=+.求()f x 解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x xx x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-.(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型.设定函数关系式.再由已知条件.定出关系式中的未知系数。

例3．已知()f x 二次实函数.且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++.则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数.∴()f x 的定义域关于原点对称.故先求x <0时的表达式。

《抽象函数》专题练习

专题抽象函数一、求抽象函数定义域1.已知函数f （21x -）定义域为[]1,3-, 求f （x ）的定义域2．函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x ＋1)的定义域是________．3.已知函数f [ 0，3 ]，求f （x ）的定义域二.求抽象函数解析式求函数解析式的常用方法：待定系数法、配凑法、换元法、方程组、特殊值法（1）若f [ f （x ）] = 4x+3，求一次函数f （x ）的解析式（2）已知f （x ）= 22x x -，求f （1x -）的解析式(3) 已知f （x ）-2 f （-x ）= x ，求函数f （x ）的解析式（4）设对任意数x ，y 均有()()222233f x y f y x xy y x y +=++-++，求f （x ）的解析式.练习：1.已知f （x ）是二次函数，且()()211244f x f x x x ++-=-+，求f （x ）2.已知2 f （x ）- f （-x ）= x+1 ，求函数f （x ）的解析式3．已知2 f （x ）-f 1x ⎛⎫⎪⎝⎭ = 3x ，求函数f （x ）的解析式4.已知对一切x ，y ∈R ，()()()21f x y f x x y y -=--+都成立，且f （0）=1，求f （x ）的解析式.5.若x x f x f 4)1()(3=-，则)(x f =_____________________三、解抽象不等式1.已知：f (x)是定义在[-1，1]上的增函数，且f(x-1)<f(x 2-1),求x 的取值范围.2.已知f(x)是定义在(0,)+∞上的函数，满足条件f(x y)=f(x)+f(y)；f(2)=1。

求：(1)证(8)3f = ；（2）求不等式()(2)3f x f x -->的解集。

3.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时()1f x >.（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<专题函数的奇偶性【知识梳理】1. 偶函数定义：一般地，设函数)(x f y =的定义域为A ，如果对于任意的A x ∈，都有，那么称函数)(x f y =是偶函数。

抽象函数的一节复习课

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ｘ２＞ｘｔ＞Ｏ．Ｘ＿２＞１
）＞０，即２）
。）＞０
２）
１）
）在（０，＋ ∞）上是增函数象函数问题的重要一点就是要抓住函数中的某些性质，通过局部（２）厂（２）：１＿，（４）２）＋，（２）＝２， ‘ ．）是偶函数．・．不等式性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形１）＜２可化为－厂（『２ｘ２－１Ｉ４）），又’ ．。函数在（ｏ，＋）上是增结合法等），突破 “ 抽象” 带来的困难，做到胸有成竹。另外，还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体函数模型，函数．ｏ ≠ｆ２ｘ￣－Ｉ１＜４，解得：＜且 ≠± ｝再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题。评析：第１问从函数单调性的定义出发，重现判断函数单调的以教材为起点，寻找有关抽象函数的典例步骤：设值，作差，变形，定号，下结论。关键是从抽象函数出发，在１．人教Ａ版Ｐ３６练习第２小题：已知）是偶函数，（）是奇没有函数解析式的前提下分析问题是一个难点，第２问先求值发函数，试将下图补充完整。（图略）、现４）＝２，再利用第１问结论去掉对应关系厂＇但由于不确定一１２．１．人教Ａ版Ｐ３９Ｂ组练习第３小题：已知函数ｆ（ｘ）是偶函具体在哪个区间，避免分类讨论，借助偶函数的性质；，（）一）＝数，而且在（０，＋。。）是减函数，判断，（）在（一。。，Ｏ）上是增函数还是Ｉ１）。另外，本题其实也可发现就是函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２Ｉｘｌ这个模型，减函数，并证明你的判断。也能帮助大家理解。

函数习题(最全)

1. 函数的概念1. 著名的Dirichlet 函数⎩⎨⎧=取无理数时取有理数时x x x D ,0,1)(，则)2(D =__________2. 如果()21f x x =+，则(((())))n ff f f f x 个＝3. k n f =)(（其中*N n ∈），k 是π的小数点后的第n 位数字，1415926535.3=π，则=ff f f f 个100)]}10([{ ___________4. 设{}{}2|0,|02x M x N y y ≤≤==≤≤，给出的4个图形中能表示集合M 到集合N 的映射的是5. 集合{|04},{|02}P x x Q y y =≤≤=≤≤，下列对应不表示从P 到Q 的函数是（）21.:.:331.:.:2A f x y x B f x y x C f x y xD f x y →=→=→=→=6. 设()φ≠+∞=⊆A B B A ,,0,,从A 到B 的两个函数分别为|log |)(5.0x x f =,xx g ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(, 若对于A 中的任意一个x ,都有)()(x g x f =,则集合A 中元素的个数为B.D.7. 两个有理数b a ,相加，得到c b a =+，这种运算能不能看成是一个映射？如果是，映射的定义域是什么？8. 平面上确定了单位长度后，每个三角形都有个面积. 三角形与它的面积的对应，可不可以是三角形集合到面积集合的一个映射？ 9. 设B A f →:是映射，A y A x ∈∈,，若),()(y f x f =是否一定有y x =？若)()(y f x f ≠，是否一定y x ≠？10. 将象棋中的马放在左下角，问将马这个棋子动9999步后，能否移动到原位？把点染成黑白两种颜色，实质上设计了一个从格子点集到两元素集{黑，白}的映射。

11. 已知{}21,a a A =，{}21,b b B =，则从A 到B 的不同映射共有_______个.拓展：当{}m a a a a A ,,,,321 =，{}n b b b b B ,,,,321 =，则从A 到B 的不同映射共___个. 12.设集合{}3,,,2),(<+∈∈<=+y x N y Z x x y x A ，{}2,1,0=B ，从A 到B 的对应关系y x y x f +→+)(:，试画出对应图，并判断这个对应是不是映射？2. 函数的定义域和值域1. 右图为函数()y f x =的图象，则该函数的定义域是值域是 ________2. 若函数)(x f 的定义域是[]1,1-，则函数的定义域是xx f )12(-__________ 3. 若函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈4. 已知一个函数的解析式为y=x 2,它的值域为[1,4],这样的函数的个数为 5. 函数12++=x x y 的值域为；函数216x y -=值域为函数251xy x =+的值域为；6. 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解为7. 下表表示x y 是的函数，则函数的值域是．8. 若函数2(2)f x -的定义域是[1-，1]，则函数(32)f x +的定义域为____________ 9. 设函数()0)f x a =<的定义域为D ，若所有点(,())(,)s f t s t D ∈构成一个正方形区域，则a 的值为10. 函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 2.1]3,-=-[2]2,-=-[2.2]2=,如果[2,0]x ∈-，那么()y f x =的值域为 ____11. 函数2y x =-的值域为[],a b ，则函数(2)y f x =+的值域为_________12. 函数122(2)y x x -=-的定义域是___________变式：函数 31)1()(--=x x f 的定义域为13. 函数6)1(3)1()(22+-+-=x a x a x f（1）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. （2）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.14. 已知函数[]()211,5f x x x =+∈,则函数(23)f x -的解析式为___________15. 已知)(x f 是一次函数, 且14))((-=x x f f ,则)(x f 的表达式为____________16. 若函数()y f x =的定义域是[-2,4]，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域_______17.函数()ln(1)f x x =-的定义域为18. 函数2()2()g x x x R =-∈，()4,12()(),12g x x x x f x g x x x ++<->⎧=⎨--≤≤⎩或,()f x 的值域是 ___ 19. 函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个20. 如图，函数f (x ) 的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．21. 已知函数)2(log 22-=x y 定义域是[]b a ,，值域是[]14log ,12，则a b +的值为_____22. 函数y ＝x |x |·a x (a >1)的值域为_______23. 设函数)3)(12()(x x x f --=的定义域为P ，函数)2(log )(22a x x x g +-=的定义域为Q ，若P Q P = ，则实数a的取值范围是________.24. 已知函数1)(2+=x x f ，14)(+=x x g 的定义域都是集合A ，函数)(x f 和)(x g 的值域分别为S 和T . （1）若[]2,1=A ，求T S ；（2）若[]m A ,0=，且T S =，求实数m 的值；（3）若对于A 中的每一个x 值，都有)()(x g x f =，求集合A . 26. 函数)2(2≠=x x y 的值域为________；函数xy 12=的值域为_________；x y 24log 2-=的值域是________28. 函数的值域专题第I 类：简单的复合函数引例1：241x y --=；)4(log 22x y -=；124++=x x y ；1sin sin 2++=x x y第II 类：带分式的复合函数（换元、部分分式法、反解（判别式法）、公式法）引例2：直接写出函数=y xx3121+-的值域为____________，曲线的对称中心为________；若添加条件[]1,0∈x ，则值域为________；根据以上结论直接写出函数的值域：[])1,0(3121∈+-=x xx y引例3：求函数132+-=x x y 的值域变式：求函数312-+=x x y 的值域变式：求函数x x x x y cos sin 2cos sin ++=（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ）的值域引例4：求函数158522+++=x x x y 的值域变式：若已知函数)(13)(22R x x nx mx x g ∈++-=的值域为[]8,2，求实数n m ,的值练：若已知函数)(18)(22R x x nx mx x g ∈+++=值域为[]9,1，求实数n m ,的值第III 类：带根式的复合函数引例5：求函数x x y 21--=的值域；思考：根式函数)0(≠+++=AC D Cx B Ax y 值域如何研究？引例6：求函数x x x f 211)(--+=的值域；变式1：求函数x x x f 21)(-+=的值域；变式2：求函数x x y -++=31的值域；变式3：求函数2111x x x y -+-++=的值域；练习：已知a 212x x a+-对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为_____ 第IV 类：构造法求函数的值域问题引例6：求函数223)1()(+-=x xx x f 的值域是__________变式：若关于x 的方程01234=++++ax ax ax x 有实数根，求实数a 的取值范围29. 已知1≥a ，函数[])1,0(4194)(∈+++=x x x x f ，1623)(23+--=a x a x x g [])1,0(∈x .（1）求函数)(x f 与函数)(x g 的值域；（2）若对任意[]1,01∈x ，存在[]1,02∈x ，使得)()(12x f x g =成立，求实数a 的取值范围.变式：函数421()421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的123x x x 、、，均存在以123()()()f x f x f x 、、为三边长的三角形，求实数k 的取值范围.30. 若函数)1(lo g )(2+=x x f 的定义域和值域都是[]b a ,，则____=+b a变式1：是否存在实数n m ,，使函数26)(x x f -=的定义域和值域均为[]n m ,？变式2：函数xa x f 1)(-=的定义域与值域均为区间[]n m ,（n m <），求实数a 的取值范围. 变式3：已知函数xx f 11)(-=，若存在实数)(,b a b a <使得)(x f 的定义域是[]b a ,，值域是[]),0(,R m m mb ma ∈≠，则实数m 的取值范围为_________变式4：函数()()21x f x x R x =∈+，区间[](),M a b a b =<其中，(){},N y y f x x M ==∈则使M N =成立的实数对(),a b 有个. 31. 若,1)(xx x f -=则方程x x f =)4(的根是________. 32. 已知21)(xx x f -=，则))((x f f 的定义域为__________.33. 求下列函数的值域. （1）1344342+-++-=x x x y ；（2）用逆求法求函数的值域： 1232+⋅=x xy ；1cos 31sin 2+-=x x y（3）用判别式法求函数的值域：242--+=x x x y ；92342++=x x y ；11522+-+-=x x x x y ；说明：对于分式函数n m pnx mx cbx ax y ,(22++++=不同时为0）求值域，若c bx ax ++2与p nx mx ++2无公共实根时，可用判别式法. （4）x x y 21-+=；x x y 292-++=；3. 函数的奇偶性1. 定义在R 上的两个函数中，)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，2)1()()(+=+x x g x f ，则=)(x f ____________变式：定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为______结论：任意一个定义在R 上的函数均可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和教材P 52 7 已知()f x 是一个定义在R 上的函数，求证：（i ）()()()g x f x f x =+-是偶函数；（ii ） ()()- ()h x f x f x =-是奇函数.变式：将)110lg()(+=xx f 分解为一个奇函数和一个偶函数之和. 2.函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f ______________ 3. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称，则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=______ 4. 已知函数f(x)=1122xxm ∙-+为奇函数，则m 的值等于_____变式：函数xxk k x g 212)(⋅+-=为奇函数，则实数k 的取值集合为____ 5. 函数)11()(+--=x x x x f ，函数|3||4|1)(2-++-=x x x x g ，则F(x)= )()(x g x f ∙的奇偶性为函数. 思考：和函数与积函数的奇偶性有何规律？6. 函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ，则函数g (x )的解析式为________变式1：已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时f (x )的解析式．变式2：已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．变式3：已知函数f (x )＝－22x －a ＋1.(1) 求证：f (x )的图象关于点M (a ，－1)对称；(2) 若f (x )≥－2x 在x ≥a 上恒成立，求实数a 的取值范围．变式4：已知函数)(x f y =的图像与x x y +=2的图像关于点()3,2-对称，则)(x f 的解析式为______________7. 下列说法中，正确命题的序号为______________（1）定义在R 上的函数()f x ，若()2(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数（2）定义在R 上的函数()f x ，若()2(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数（3）定义在R 上的函数()f x ，若()2(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数），则(1)f -=_______9. 已知 f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=e x -1(其中e 为自然对数的底数)，则f (ln21)=________ 10. 设偶函数f (x )满足3()8(0)f x x x =-≥,则{}(2)0=_______x f x ->11. 已知定义在R 上的函数f (x )在区间（8,+∞）上为减函数，且函数(8)y f x =+为偶函数，则(6).(7),(9),(10)f f f f 大小关系为____12. 函数))(1|(|)(a x x x f +-=为奇函数，则)(x f 的增区间为13. R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2(0x x f x g x a a a a -+=-+>≠且若(2),g a =则(2)_______f = 14. 已知函数211ln )(++-=x x x f ,则)21(lg )2(lg f f +＝． 15. 函数22()(1)(1)x ax f x x x +=+-为奇函数的充要条件是a = ． 16. 已知函数14)(++=x xax x f 是偶函数，则常数a 的值为17. 已知函数)(1||1sin ||)(R x x x x x f ∈++-=的最大值为M,最小值为m ，则m M +=18. 定义在{}0≠x x 上的偶函数)(x f ，当0>x 时，x x f 2)(=，则满足)56()(+=x f x f 的所有x 的值的和等于 . 19. 已知函数))(22()(1R x a x x f x x ∈⋅+=-+是偶函数，则实数a 的值为 .20. 判断下列函数的奇偶性.（1）x x x x f -+-=11)1()(；（2）22)1lg()(22---=x x x f ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=.1,2,1,0,1,2)(x x x x x x f21. 若函数121)(--=x a x f 是定义在(][)+∞-∞-,11, 上的奇函数，则)(x f 的值域为__________.23. 已知)(x f y =是定义在[]6,6-上的奇函数，且)(x f 在[]3,0上是x 的一次式，在[]6,3上是x 的二次式且满足3)5()(=≤f x f ，且2)6(=f ，则)(x f 的表达式为___________.24. 已知函数)(x f 的定义域是R ，若存在R c ∈，使得c c f =)(，则称c 是)(x f 的一个不动点.设)(x f 的不动点数目是有限多个（1）判断函数3)(x x f =和3)(x x g =的不动点的个数；（2）依据（1）的结论，研究奇函数的一般规律，并证明；（3）偶函数)(x f 的不动点的个数是偶数吗？若是，给出你的证明；若不是，说明理由.4. 函数奇偶性与单调性的关系1. 已知函数()y f x =是定义在[],22-上的偶函数，而且在[],20上是增函数，且)(x f 满足不等式)()1(m f m f <-，则实数m 的取值范围为__________ 2. 若f(x),g(x)均为奇函数，1)()()(++=x bg x af x F 在（0，+∞）上有最大值5，则在)0,(-∞上，F(x)的最值情况为_________3. 设奇函数()f x 的定义域为[]6,6-,当[]0,6x ∈时()f x 的图象如右图，不等式()0f x >的解集用区间表示为4. 设奇函数)(x f 在),0(+∞上为增函数，且,0)1(=f 则不等式0)()(<--xx f x f 的解集为___________ 5. 函数是定义在R 上的奇函数，且它是减函数，若实数a ，b 使得成立，则___ _____0（填>、=、<）6. 下列说法中：① 若2()(2)2f x ax a b x =+++（其中[21,4]x a a ∈-+）是偶函数，则实数2b =；② 20132013)(22-+-=x x x f 既是奇函数又是偶函数； ③ 已知 ()f x 是定义在R 上的奇函数，若当[0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+,则当x R ∈时，()(1)f x x x =+；其中正确说法的序号是 ____（填写正确命题的序号）7. 定义在R 上的偶函数)(x f ，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，则不等式(lg )(1)f x f <的解集是8. 已知函数)()1f x a =≠在[1,0]-上是增函数，则实数a 的取值范围是9. 已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >；②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是．11. 若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 .12. 已知f (x )是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若函数f (x )在区间[-1，t ]上的最小值为-1，则实数t 的取值范围是 .5. 函数的单调性1. 函数121)(+-=x x f 的单调递增区间是 ______ . 2. 设函数x x x f λ+=)(，其中常数0>λ.是否存在正的常数λ，使)(x f 在区间),0(+∞上单调递增？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.4. 已知函数()),0(2R a x xa x x f ∈≠+= （1）讨论函数()x f 的奇偶性；（2）()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围．5. 下列说法中，正确命题的序号为_________________（1）若定义在R 上的函数()f x 满足()2(1)f f >，则函数()f x 是R 上的单调增函数（2）若定义在R 上的函数()f x 满足()2(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是单调减函数（3）若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间[)0,+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数（4）若定义在R 上的函数()f x 在区间(],0-∞上是单调增函数，在区间()0,+∞上也是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数6. 若32+-=ax x y 在区间[]2,1上是单调增函数，求a 的取值范围为________8. 设0a >,0b >,已知函数()1ax b f x x +=+. (Ⅰ) 当a b ≠时,讨论函数()f x 的单调性(直接写结论);(Ⅱ) 当0x >时,(i)证明2)]([)()1(ab f a bf f =⋅; (ii)若ab x f ba ab ≤≤+)(2,求x 的取值范围. 9. 函数错误！未找到引用源。

抽象函数题型全归纳及答案

抽象函数题型全归纳及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域.例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域.解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域.例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____. 解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域.解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域. 例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集.例题4：函数的定义域是，求的定义域.解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域.解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］【巩固2】已知函数的定义域是，求函数的定义域. 解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__.解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力.例题5：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解析：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u-=+=--∴2()1xf x x -=-2. 凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法.例题6：已知3311()f x x xx +=+，求()f x 解析：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1) 3. 待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数.例题7：已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++4. 利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例题8：已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式.∵-x >0,∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-, ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当x <0时()lg(1)f x x =--∴lg(1),0()lg(1),0x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩例题9： ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x . 解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f xg x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……②显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1xg x x =-5. 赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例题10：设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++,及(1)f =1,求()f x解析：∵()f x 的定义域为N ，取y =1,则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)f =1,∴(2)f =(1)f +2,(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有()f n =1+2+3+……+n =(1)2n n +∴1()(1),2f x x x x N =+∈【巩固4】设函数f x ()存在反函数，g x fx h x ()()()=-1，与g x ()的图象关于直线x y +=0对称，则函数h x ()=A. -f x ()B. --f x ()C. --fx 1() D. ---fx 1()解析：要求y h x =()的解析式，实质上就是求y h x =()图象上任一点P x y ()00，的横、纵坐标之间的关系. 点P x y ()00，关于直线y x =-的对称点()--y x 00，适合y f x =-1()，即-=-x g y 00().又g x fx ()()=-1，∴-=-⇒-=-⇒=---x fy y f x y f x 0100000()()()，即h x f x ()()=--，选B.【巩固5】设对满足的所有实数x ，函数满足，求f(x)的解析式.解析：在中以代换其中x ，得：再在(1)中以代换x ，得化简得：评析：如果把x 和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键.通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值.其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化.或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解.例题11：已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：①；②，求f (3)，f (9)的值. 解析：取，得因为，所以又取，得例题12：定义在R 上的函数f x ()满足：f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=，求f ()2000的值.解析：由f x f x ()()220-+-=，以t x =-2代入，有f t f t ()()-=，∴f x ()为奇函数且有f ()00=，又由f x f x ()[()]+=--44()()(8)(4)()f x f x f x f x f x =-=-∴+=-+=，f x ()是周期为8的周期函数， ∴==f f ()()200000【巩固6】已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.解析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1【巩固7】已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，f ()11997=，求f (2001)的值.解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是f x f x f x ()()()+=+-211，f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++--+-=-412121111111所以f x f x f x ()()()+=-+=814，故f x ()是以8为周期的周期函数，从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997 四、值域问题例题13：设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，总成立，且存在，使得，求函数的值域.解析：令，得，即有或.若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有.由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段.【巩固8】已知函数f x ()对任意实数x y ，有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.解析：设x x 12<，且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0 ，∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111，∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0 ，得f ()00= ，∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用.例题14：已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围.解析： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a .（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立. （2）当32<<a 时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩（3）当25<<a 时，2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， . 例题15：f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.解析：： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos对x R ∈恒成立⇔m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立，223115214m m m m ⎧-≤-⎪∴≤≤⎨--≥⎪⎩，【巩固9】已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值.解析：由单调性，脱去函数记号，得k x k x k xk x k k x 222222221111412-≤-≤-⎧⎨⎪⎩⎪⇔≤+-+≥-⎧⎨⎪⎩⎪sin sin sin sin ()(sin )(2)由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⇒=-(sin )(sin )min max【巩固10】已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集.解析：设x x R 12、∈且x x 12<，则x x 210->，∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->2211211121()[()]()()2()()()f x f x x x f x x f x f x f x f x ∴=-+=-+->∴>，故f x ()为增函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=，22(1)3(22)3(1)22113f f a a f a a a ∴=∴--<=--<∴-<<，，，即因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13.六、单调性问题例题16：设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x 、y ，有，求证：在R 上为增函数.证明：在中取，得若，令，则，与矛盾所以，即有当时，；当时，而，所以又当时，，所以对任意，恒有设，则∴，∴在R 上为增函数例题17：已知偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函是减函数，并证明你的结论.证明：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12. 又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数.【巩固11】如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5解析：画出满足题意的示意图1，易知选B.七、奇偶性问题例题18：已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性. 解析：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数. 【巩固12】若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数.证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，0000()()y f x y f x ∴-=--∴=-，又y f x 00=()，∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数.八、周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,1. ，则是以为周期的周期函数；2. ，则是以为周期的周期函数；()y f x =x a ()()f x f x a =+()y f x =T a =()()f x a f x +=-()x f 2T a =3. ，则是以为周期的周期函数；4. ，则是以为周期的周期函数；5. ，则是以为周期的周期函数.6. ，则是以为周期的周期函数.7. ，则是以为周期的周期函数.8. 函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.9.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；10.函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；11.函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；例题19：设f x ()定义在R 上且对任意的x 有f x f x f x ()()()=+-+12，求证：f x ()是周期函数，并找出它的一个周期.解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出f x T f x ()()+=（T 为非零常数）则f x ()为周期函数，且周期为T.证明： f x f x f x ()()()()=+-+121∴+=+-+f x f x f x ()()()()1232()()12+得f x f x ()()()=-+33()()1f x a f x +=±()x f 2T a =()()f x a f x a +=-()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=+()x f 2T a =1()()1()f x f x a f x -+=-+()x f 4T a =1()()1()f x f x a f x ++=-()x f 4T a =()y f x =()()f a x f a x +=-0a >()f x 4T a =()f x 2T a =()y f x =()x R ∈x a =x b =()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y ()0,B b y ()a b <()f x ()2b a -()y f x =()x R ∈()0,A a y x b =()a b <()f x ()4b a -由（3）得f x f x ()()()+=-+364由（3）和（4）得f x f x ()()=+6.上式对任意x R ∈都成立，因此f x ()是周期函数，且周期为6.例题20：设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2，并存在正实数c ，使f c ()20=.试问f x ()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，且cosπ20=，猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数. f x c c f x c c f x c f c f x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()++++-=+=∴+=-∴+=-+=222222202故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期.【巩固13】设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称.对任意x x 12012，，∈[]都有f x x f x f x ()()()1212+=⋅.证明f (x )是周期函数. 证明：依题设y f x =()关于直线x =1对称,故f x f x x R ()()=-∈2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，∴-=-∈f x f x x R ()()2，,将上式中-x 以x 代换，得f x f x x R ()()=+∈2，这表明f x ()是R 上的周期函数，且2是它的一个周期f x ()是偶函数的实质是f x ()的图象关于直线x =0对称又f x ()的图象关于x =1对称，可得f x ()是周期函数,且2是它的一个周期由此进行一般化推广，我们得到思考一：设f x ()是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x a a =≠()0对称，证明f x ()是周期函数，且2a 是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a =对称.∴=-∈f x f a x x R ()()2，又由f x ()是偶函数知f x f x x R ()()-=∈，,∴-=-∈f x f a x x R ()()2，将上式中-x 以x 代换，得f x f a x x R ()()=+∈2，∴f x ()是R 上的周期函数,且2a 是它的一个周期思考二：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和x b a b =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于直线x a x b ==和对称()(2)()(2)(2)(2)f x f a x x R f x f b x x R f a x f b x x R ∴=-∈=-∈∴-=-∈，，，，，将上式的-x 以x 代换得f a x f b x x R ()()22+=+∈，∴+-=-+=-+=∈f x b a f x a b f x a a f x x R [()][()][()]()22222，∴f x ()是R 上的周期函数,且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，f x ()还是不是周期函数？我们得到思考三：设f x ()是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线x =1对称.证明f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.，证明： f x ()关于x =1对称,∴=-∈f x f x x R ()()2，又由f x ()是奇函数知()()(2)()f x f x x R f x f x x R -=-∈∴-=--∈，，，将上式的-x 以x 代换，得(2)()f x f x x R +=-∈，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x R ∴+=++=-+=--=∈，∴f x ()是R 上的周期函数,且4是它的一个周期f x ()是奇函数的实质是f x ()的图象关于原点（0，0）中心对称，又f x ()的图象关于直线x =1对称，可得f x ()是周期函数，且4是它的一个周期.由此进行一般化推广，我们得到思考四：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0中心对称，且其图象关于直线x b b a =≠()对称.证明f x ()是周期函数，且4()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于点M a ()，0对称，∴-=-∈f a x f x x R ()()2，f x ()关于直线x b =对称，()(2)(2)(2)f x f b x x R f b x f a x x R ∴=-∈∴-=--∈，，，将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[4()][2(24)][2(24)][2(2)][2(2)]()f b x f a x x Rf x b a f b x b a f a x b a f b x a f a x a f x x R+=-+∈∴+-=++-=-++-=-+-=+-=∈，，∴f x ()是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数f x ()，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则f x ()是R 上的周期函数.进一步我们想到，定义在R 上的函数f x ()，其图象如果有两个对称中心，那么f x ()是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设f x ()是定义在R 上的函数，其图象关于点M a ()，0和N b a b ()()，0≠对称.证明f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期.证明： f x ()关于M a N b ()()，，，00对称(2)()(2)()(2)(2)f a x f x x R f b x f x x R f a x f b x x R∴-=-∈-=-∈∴-=-∈，，，，将上式中的-x 以x 代换，得(2)(2)[2()][2(2)][2(2)]()f a x f b x x R f x b a f b x a f a x a f x x R+=+∈∴+-=+-=+-=∈，， ∴f x ()是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、对称性问题（1）对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心.2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数;⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数;⒀三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异.⒁绝对值函数：这里主要说的是和两类.前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称. ⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点.（2）抽像函数的对称性1、函数图像本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①的图像关于直线对称② 的图像关于直线对称. 特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.sin()y A x ωϕ=+(||)y f x =|()|y f x =y x x |ln |y x =|sin |y x =(0,)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+d x c =-a y c =x (,)d a c c-)(x f y =)(x f y =a x =⇔)()(x a f x a f -=+⇔)2()(x a f x f -=⇔)2()(x a f x f +=-)()(x b f x a f -=+⇔)(x f y =22)()(b a x b x a x +=-++=)(x f y =y ()()f x f x =-（2）中心对称①的图像关于点对称.② 的图像关于点对称. 特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.（3）对称性与周期性之间的联系①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；且函数为周期函数，周期；特别地：若是偶函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；且函数为周期函数，周期； ③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；且函数为周期函数，周期.特别地：若是奇函数，图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数.2、两个函数图像的对称性（互对称问题）（1）函数与图像关于直线对称.（2）函数与图像关于直线对称)(x f y =),(b a ⇔b x a f x a f 2)()(=-++⇔b x a f x f 2)2()(=-+⇔b x a f x f 2)2()(=++-c x b f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =),2(c b a +)(x f y =(0,0)()()0f x f x +-=()f x x a =x b =()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-)(x f y =x a =()f x 2a ()f x (,0)a (,0)b ()a b ≠()f x b a -()f x 2T b a =-()f x x a =(,0)b ()a b ≠()f x b a -2b a -()f x 4T b a =-)(x f y =x a =()f x a 4)(x a f y +=)(x a f y -=0=x )(x f y =)2(x a f y -=a x =（3）函数与图像关于直线对称（4）函数与图像关于直线对称即直线对称（5）函数与图像关于轴对称. （6）函数与图像关于轴对称.（7）函数与图像关于直线成轴对称.（8）函数与图像关于直线成轴对称.（9）函数与的图像关于直线对称.（10）函数与的图像关于直线对称.（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称.（12）函数与的图像关于点成中心对称.特别地，函数与图像关于原点对称.例题21：函数满足，求值. 解析：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（0，2002）对称.根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称.所以将上式中的x 用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a 、b 均为常数，函数对一切实数x 都满足，则函数的图象关于点（a ，b ）成中心对称图形.十、综合问题1) 比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解.)(x f y -=)2(x a f y +=a x -=)(x a f y +=)(x b f y -=0)()(=--+x b x a 2a b x -=)(x f y =)(x f y -=x )(x f y =)(x f y -=y )(x f y =()a x f a y -=-x y a +=)(x f y =()x a f y a -=+x y a -=()y f x =()1y f x -=y x =()y f x =()1y f x -=--y x =-()y f x =()y f a x =+()1y f a x -=+y x a =+)(x f y =)2(2x a f b y --=),(b a )(x f y =)(x f y --=例题22：已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______.解析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-<⇒-<<001221x x x x又x <0时，f x ()是增函数，∴-<f x f x ()()21f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11，故f x f x ()()->-122) 讨论方程根的问题例题23：已知函数f x ()对一切实数x 都满足f x f x ()()11+=-，并且f x ()=0有三个实根，则这三个实根之和是_______.分析：由f x f x ()()11+=-知直线x =1是函数f x ()图象的对称轴.又f x ()=0有三个实根，由对称性知x 11=必是方程的一个根，其余两根x x 23，关于直线x =1对称，所以x x 23212+=⨯=，故x x x 1233++=.3) 研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解.例题24：若函数y f x =+()2是偶函数，则y f x =()的图象关于直线_______对称解析：y f x =()的图象右移个单位左移个单位22y f x =+()2的图象，而y f x =+()2是偶函数，对称轴是x =0，故y f x =()的对称轴是x =2.例题25：若函数f x ()的图象过点（0，1），则f x ()+4的反函数图象必过定点__ 解析：f x ()的图象过点（0，1），从而f x ()+4的图象过点()-41，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，f x ()+4的反函数的图象必过定点()14，-.【巩固14】定义在R 上的函数f(x)满足：对任意实数m ，n ，总有，且当x >0时，0<f (x )<1.（1）判断f (x )的单调性；（2）设，，若，试确定a 的取值范围. 解析：（1）在中，令，得，因为，所以.在中，令因为当时，，所以当时而，所以又当x =0时，，所以，综上可知，对于任意，均有. 设，则所以，∴在R 上为减函数.（2）由于函数y =f (x )在R 上为减函数，所以即有，又，由单调性，有由，所以直线与圆面无公共点. 因此有，解得. 【巩固15】设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠.（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件.解析：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，∴=f ()00或f ()01=.若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，∴=f ()01.（2）设x x 12<，则x x 210->，由已知得f x x ()211->，因为x 10≥，f x ()11>，若x 10<时，->->x f x 1101，()，由f f x f x ()()()011=⋅-12211111()0()()()()()()f x f x f x x f x f x f x R f x ∴=>=-⋅>∴-，，在上为增函数。

高考数学函数专题训练《抽象函数》含答案解析

【解析】记，则
因为当时，，
所以在上单调递减
又因为，所以为偶函数
因为
所以，即，故选D.
二、填空题
13.已知定义在上的偶函数的导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由是偶函数，所以当时，由得，
设，则，
即当时，函数为减函数，
则且，则有，可得，
，故答案为0.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在上的函数，对任意两个不相等的正数，都有，
故，∴函数是上的减函数，
∵ ，∴ ，∴ .故选C.
5．已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，的周期为6，又为偶函数，
【答案】A
【解析】由，令，，则
时，
当时，令，则，即
又当时，
令，则
，即
在上单调递减
又
令，；令，；令，
数列是以为周期的周期数列
，，，，
在上单调递减
，，，
故选 .
10．已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为()
A． B． C． D．
，
，
, ，
又在内单调递减，
，，故选A.
6．已知定义在实数集上的函数的图象经过点，且满足，当时不等式恒成立，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ,所以函数f(x)是偶函数，

高中数学专题抽象函数

高中数学专题--抽象函数抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法〔如化归法、数形结合法等〕，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )y x (f =]指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+目录：一.定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。

例1.假设函数y = f 〔x 〕的定义域是[－2，2]，则函数y = f 〔x+1〕+f 〔x －1〕的定义域为 11≤≤-x 。

解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。

抽象函数+练习(含答案)教师版

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开.研究抽象函数首先要注意函数的定义域,尤其是在解答抽象函数对应的不等式时,通过抽象函数的单调性转变为自变量的大小关系式,不能忽视自变量的取值范围;其次抽象函数都是依据一类具体函数的性质抽象出来的,如()()()f x y f x f y +=+就是从正比例函数抽象出来的; ()()()f xy f x f y =+根据对数函数的性质抽象出来的; ()()()f x y f x f y +=根据指数函数的性质抽象出来的.因此在解决此类问题可以先类比具体函数的性质研究我们要解答的抽象函数的性质,解答抽象函数问题要注意赋值法的应用,通过赋值可以找到函数的不变性质,这个不变性质往往是解决问题的突破口.抽象函数性质的证明是一种代数推理,要注意推理的严谨性,每一步推理都要有充分的条件,不可以漏掉条件,更不要臆造条件,推理过程层次分明.一、抽象函数的概念抽象函数就是没有给出具体函数解析式的函数。

常见的解题方法有赋值法、换元法、具体化法等。

若()x f 的定义域是[]b a ,，则对()[]x g f 来说，必有()[]b a x g ,∈，从而可以得到函数()[]x g f 的定义域。

若()[]x g f 的定义域是[]b a ,，则[]b a ,应作为函数()x g 的定义域，进而求出()x g 的值域，从而得到函数()x f 的定义域。

总而言之，外层函数的定义域就是内层函数在复合函数的定义域上的值域。

抽象函数的值域和最值问题，一般先根据条件确定函数的单调性，然后再求其值域或最值。

对于选择、填空题也可以利用奇函数在对称区间上具有相同的单调性、偶函数在对称区间上具有相反的单调性等结论来求解。

【例1】函数()x f 对任意实数x 、y ，均满足()()()[]222y f x f y x f +=+，且()01≠f ，则()=2016f【难度】★★【答案】1008【解析】令1=y ，则()()()[]2121f x f x f +=+，即()()()[]2121f x f x f =-+，再令0=x ，1=y ，得()()()[]21201f f f +=，令0==y x ，得()00=f ，故()211=f ，则()()211=-+x f x f ，累加可得()10082016=f【例2】函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___.【难度】★★【答案】2][2,⋃-【解析】因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得 22<≤x 或-≤<-22x .【例3】已知()211x f x x =++,求()f x . 【难度】★ 【答案】1()1x f x x +=- 【解析】设1x u x =+,则1u x u =-∴1()2111u u f u u u +=+=--∴1()1x f x x+=- 【例4】如果奇函数()x f 在[]7,3上是增函数且有最小值为5，那么()x f 在[]3,7--上是（）A .增函数且有最小值为5-B .增函数且有最大值为5-C .减函数且有最小值为5-D .减函数且有最大值为5-【难度】★★【答案】B【例5】设)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，若函数)()(x g x f +的值域为)3,1[，则)()(x g x f -的值域为．【难度】★★【答案】]1,3(--【解析】在()()f x g x -代入x -，因为)(x f 是R 上的奇函数，)(x g 是R 上的偶函数，()()[()()]f x g x f x g x ---=-+，所以值域为]1,3(--，因为定义域为关于原点对称，所以值域是一样的，)()(x g x f -值域为]1,3(--【巩固训练】1.定义在R 上的函数()x f 满足()()()xy y f x f y x f 2++=+，()21=f ，则()=-3f【难度】★★【答案】62.已知函数)1(-x f 的定义域为[2，4],求函数)2(x f 的定义域.【难度】★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,213.若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域.【难度】★【答案】]1,1[-.【解析】函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-.4.已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有()f x +1()1g x x =-，求()f x ,()g x . 【难度】★★ 【答案】21()1f x x =-.2()1x g x x =- 【解析】∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=,()()g x g x -=-,不妨用-x 代换()f x +()g x =11x - ………①中的x , ∴1()()1f x g x x -+-=--即()f x －1()1g x x =-+……② 显见①+②即可消去()g x ,求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.已知函数f x ()对任意实数x y ，都有f x y f x f y ()()()+=+，且当x >0时，f x f ()()>-=-012，，求f x ()在[]-21，上的值域.【难度】★★【答案】[]-42，【解析】设x x 12<且x x R 12，∈，则x x 210->，由条件当x >0时，f x ()>0∴->f x x ()210又f x f x x x ()[()]2211=-+=-+>f x x f x f x ()()()2111∴f x ()为增函数，令y x =-，则f f x f x ()()()0=+-又令x y ==0得f ()00= ∴-=-f x f x ()()，故f x ()为奇函数，∴=-=f f ()()112，f f ()()-=-=-2214∴-f x ()[]在，21上的值域为[]-42，二、抽象函数的性质1、抽象函数的单调性抽象函数单调性的求解与证明一般按照单调性的定义来解决，但由于解析式的缺乏，往往只能对题设条件中的等量关系进行适当的拼与凑，来处理()()21x f x f -与0的大小比较，如将1x 变形成()221x x x +-、221x x x ⋅等。

抽象数学函数教案模板范文

教学对象：高中一年级教学时间：2课时教学目标：1. 知识与技能：理解抽象数学函数的概念，掌握抽象函数的定义域和值域，学会判断函数的性质。

2. 过程与方法：通过实例分析，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。

3. 情感与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养严谨的数学态度和团队合作精神。

教学重点：1. 抽象数学函数的概念2. 抽象函数的定义域和值域3. 抽象函数的性质教学难点：1. 理解抽象数学函数的概念2. 抽象函数的性质判断教学准备：1. 多媒体课件2. 抽象函数实例3. 练习题教学过程：第一课时一、导入1. 复习初中数学中的函数概念，引导学生思考函数的本质。

2. 提出抽象数学函数的概念，激发学生的兴趣。

二、新课讲授1. 介绍抽象数学函数的定义，结合实例讲解。

2. 讲解抽象函数的定义域和值域，举例说明。

3. 分析抽象函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。

三、实例分析1. 通过实例分析，帮助学生理解抽象函数的概念和性质。

2. 引导学生运用所学知识解决实际问题。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调抽象数学函数的概念和性质。

2. 布置课后作业，巩固所学知识。

第二课时一、复习导入1. 回顾上一节课所学内容，检查学生对抽象数学函数概念和性质的掌握情况。

2. 引导学生思考如何判断抽象函数的性质。

二、新课讲授1. 讲解如何判断抽象函数的奇偶性、周期性、单调性等性质。

2. 结合实例，讲解判断函数性质的步骤和方法。

三、课堂练习1. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

四、课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调判断抽象函数性质的方法。

2. 布置课后作业，进一步提高学生对抽象数学函数的理解和应用能力。

教学评价：1. 通过课堂提问、作业完成情况、课堂练习等，了解学生对抽象数学函数概念和性质的掌握程度。

2. 评价学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。

3. 关注学生的情感态度和价值观，培养学生的团队合作精神和严谨的数学态度。

高中常见抽象函数题型归纳

抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。

常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.三、常用变换技巧()()()()[()]()()()()()f y f x y f x y f x f x y y f x y f x f y f x f y +-=⇒=+-=⇒+=四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域.分析：已知函数的定义域是A ，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ )()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+()()()()()[()]()()()()f x f x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y f y +=⇒=-+=-⇒-=)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=⋅⇔-=()()()()()()()()()()x x x f x y f x f y f x f y f f y f f x f y y y y ⋅=+⇒=⋅=+⇒=-()()x f ϕ()x ϕ例3.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域.解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞例4.已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______. 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x a a x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1f x ()的定义域为(0)，1，意思是凡被f 作用的对象都在(0)，1中.评析：已知f(x)的定义域是A ，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题.例5.定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1例2.设函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且对于任意正实数y x ,都有)(xy f =)(x f )(y f +恒成立。

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第13讲抽象函数课时作业理

第13讲抽象函数1．(2017年江西南昌二模)已知函数f (x )＝sin x －x ，则不等式f (x ＋2)＋f (1－2x )<0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C ．(3，＋∞) D．(－∞，3)2．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( )A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 23D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x3．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f x1－f x，则f (2015)＝( )A ．2B ．－3C ．－12 D.134．给出下列三个等式：f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋y )＝f (x )f (y )，f (x ＋y )＝f x ＋f y1－f x f y.下列函数中，不满足其中任何一个等式的是( )A ．f (x )＝3xB ．f (x )＝sin xC ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝tan x5．已知奇函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )<0在R 上恒成立，且x ，y 满足不等式f (x 2－2x )＋f (y 2－2y )≥0，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[0,2 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,8]6．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (3－x )＝f (x )，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小关系不确定7．已知函数y ＝f (x －1)＋x 2是定义在R 上的奇函数，且f (0)＝－1，若g (x )＝1－f (x ＋1)，则g (－3)＝________.8．(2017年江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x－1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a－1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2.10．设f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a ，b ∈[－1,1]，当a ＋b ≠0时，都有f a ＋f b a ＋b>0.(1)若a >b ，比较f (a )与f (b )的大小；(2)解不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14； (3)记P ＝{x |y ＝f (x －c )}，Q ＝{x |y ＝f (x －c 2)}，且P ∩Q ＝∅，求c 的取值范围．第13讲抽象函数1．D 解析：函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且导函数是f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )＝sin x －x 是减函数，不等式f (x ＋2)＋f (1－2x )<0⇒f (x ＋2)<f (2x －1)，即x ＋2>2x －1⇒x <3.故选D.2．B 解析：由f (x ＋y )＝(x ＋y )3，f (x )f (y )＝x 3·y 3＝(xy )3，得f (x ＋y )≠f (x )f (y )，所以A 错误；由f (x ＋y )＝3x ＋y ，f (x )f (y )＝3x ·3y ＝3x ＋y，得f (x ＋y )＝f (x )f (y )．又函数f (x )＝3x 是定义在R 上的增函数．故选B.3．C 解析：方法一，由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4，故f (2015)＝f (3)＝－12.方法二，严格推证如下：f (x ＋2)＝1＋f x ＋1－f x ＋＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝f (x )，即f (x )的周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )(k ∈N *)，即f (2015)＝f (3)＝－12.4．B 解析：选项A ，函数满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )；选项C ，函数满足f (xy )＝f (x )＋f (y )；选项D ，函数满足f (x ＋y )＝f x ＋f y1－f x f y.5．D 解析：因为函数y ＝f (x )为奇函数，所以f (x 2－2x )≥f (2y －y 2)．由函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )<0在R 上恒成立，知函数y ＝f (x )在R 上为减函数，所以x 2－2x ≤2y －y 2，即(x －1)2＋(y －1)2≤2.故x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径2 2.从而x 2＋y 2的最小值为0，最大值为直径的平方8.6．A 解析：由f (3－x )＝f (x )知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝32对称．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32f ′(x )<0，所以当x <32时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x >32时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．因为x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，即x 1＋x 22>32，所以可知x 1距离对称轴x ＝32较近．故选A.7．2 解析：设h (x )＝f (x －1)＋x 2.由h (x )＝f (x －1)＋x 2为奇函数，得h (－x )＝－h (x )，即f (－x －1)＋x 2＝－f (x －1)－x 2，所以f (－x －1)＝－f (x －1)－2x 2.由g (x )＝1－f (x ＋1)，得g (－3)＝1－f (－2)＝1－[－f (1－1)－2×12]＝1＋f (0)＋2，又f (0)＝－1，所以g (－3)＝2.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析：f (－x )＝－x 3＋2x ＋e －x －1e －x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x e －x ＝3x 2≥0，所以函数f (x )是增函数．又f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即f (a －1)≤－f (2a 2)＝f (－2a 2)．所以a －1≤－2a 2,2a 2＋a －1≤0.解得－1≤a ≤12.9．解：(1)令x 1＝x 2>0，代入，得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0. 故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1.由于当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)． ∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．(3)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)．而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，∴当x >0时，由f (|x |)<－2，得f (x )<f (9)．∴x >9；当x <0时，由f (|x |)<－2，得f (－x )<f (9)． ∴－x >9，即x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9，或x <－9}． 10．解：设－1≤x 1<x 2≤1，则x 1－x 2≠0. ∴f x 1＋f －x 2x 1＋－x 2>0.∵x 1－x 2<0，∴f (x 1)＋f (－x 2)<0. ∴f (x 1)<－f (－x 2)．又f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)． ∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )是增函数．(1)∵a >b ，∴f (a )>f (b )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －12≤1，－1≤x －14≤1，x －12<x －14.∴－12≤x ≤54.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12≤x ≤54. (3)由－1≤x －c ≤1，得－1＋c ≤x ≤1＋c .∴P ＝{x |－1＋c ≤x ≤1＋c }．由－1≤x －c 2≤1，得－1＋c 2≤x ≤1＋c 2.∴Q ＝{x |－1＋c 2≤x ≤1＋c 2}． ∵P ∩Q ＝∅，∴1＋c <－1＋c 2或－1＋c >1＋c 2. 解得c >2，或c <－1.∴c 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

高三人教B文科数学一轮复习课时作业函数及其表示

课时作业(四) [第4讲函数及其表示] [时间：35分钟分值：80分]基础热身1．[2011·茂名模拟] 已知函数f (x )＝lg(x ＋3)的定义域为M ，g (x )＝12－x的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x <2}C ．{x |x <2}D ．{x |－3<x ≤2}2．下列各组函数中表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 与g (x )＝()x 2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3 C ．f (x )＝lne x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)3．设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形(如图K4－1所示)，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是________．(填序号)4．已知f (2x ＋1)＝3x －4，f (a )＝4，则a ＝________. 能力提升5A.[2,5] C ．(0,20] D ．{2,3,4,5} 6．[2011·北京卷] 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x ＜A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数). 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,167．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)8．[2012·潍坊模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．39．[2011·杭州调研] 已知函数f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝________. 10．[2011·江苏卷] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．11．[2011·青岛期末] 在计算机的算法语言中有一种函数[x ]叫做取整函数(也称高斯函数)，表示不超过x 的最大整数，例如[2]＝2，[3.3]＝3，[－2.4]＝－3.设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为________．12．(13分)设计一个水槽，其横截面为等腰梯形ABCD ，要求满足条件AB ＋BC ＋CD ＝a (常数)，∠ABC ＝120°，写出横截面面积y 与腰长x 之间的函数关系式，并求它的定义域和值域．难点突破13．(12分)已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且f (x )的最小值是－1，函数g (x )与f (x )的图象关于原点对称．(1)求f (x )和g (x )的解析式；(2)若h (x )＝f (x )－λg (x )在区间[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．课时作业(四)【基础热身】1．B [解析] M ＝{x |x >－3}，N ＝{x |x <2}，所以M ∩N ＝{x |－3<x <2}．故选B. 2．D [解析] 由函数的三要素中的定义域和对应法则进行一一判断，知D 正确． 3．②③ [解析] ①中的定义域不符合条件；④中不符合函数的对应性，只有②③符合题意．4.193 [解析] 令3x －4＝4，得x ＝83，∴a ＝2x ＋1＝193. 【能力提升】5．D [解析] 函数值只有四个数2、3、4、5，故值域为{2,3,4,5}．6．D [解析] 由题意可知⎩⎨⎧f (4)＝c4＝30，f (A )＝c A＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝60，A ＝16，故应选D.7．B [解析] 因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对g (x )，0≤2x ≤2，且x ≠1，故x ∈[0,1)． 8．A [解析] 当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得，2a ＋2＝0，解得a ＝－1，舍去；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得，a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，选A.9．11 [解析] 因为f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2，所以f (x )＝x 2＋2，所以f (3)＝32＋2＝11. 10．－34 [解析] 当a >0时，f (1－a )＝2－2a ＋a ＝－1－3a ＝f (1＋a )，a ＝－32<0，不成立；当a <0时，f (1－a )＝－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ＝f (1＋a )，a ＝－34.11．{－1,0} [解析] f (x )＝2x ＋1－11＋2x －12＝12－11＋2x， f (－x )＝12－11＋2－x ，当x >0时，f (x )∈⎝⎛⎭⎫0，12， f (－x )∈⎝⎛⎭⎫－12，0，此时[f (x )]＋[f (－x )]的值为－1；当x <0时，同理[f (x )]＋[f (－x )]的值为－1；当x ＝0时，[f (x )]＋[f (－x )]的值为0，故值域为{－1,0}．12．[解答] 如图，设AB ＝CD ＝x BE ⊥AD 于E .∵∠ABC ＝120°，∴∠BAD ＝60°，BE ＝32x ，AE ＝12x ，AD ＝a －x .故梯形面积y ＝12(a －2x ＋a －x )·32x＝－334x 2＋32ax ＝－334⎝⎛⎭⎫x －a 32＋312a 2. 由实际问题意义得，⎩⎪⎨⎪⎧x >0，a －x >0，a －2x >0⇒0<x <12a ，即定义域为⎝⎛⎭⎫0，12a . 当x ＝a 3时，y 有最大值312a 2，即值域为⎝⎛⎦⎤0，312a 2.【难点突破】13．[解答] (1)依题意，设f (x )＝ax (x ＋2)＝ax 2＋2ax (a >0)．f (x )图象的对称轴是x ＝－1，∴f (－1)＝－1，即a －2a ＝－1，得a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋2x .由函数g (x )的图象与f (x )的图象关于原点对称， ∴g (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x .(2)由(1)得h (x )＝x 2＋2x －λ(－x 2＋2x )＝(λ＋1)x 2＋2(1－λ)x . ①当λ＝－1时，h (x )＝4x 满足在区间[－1,1]上是增函数；②当λ<－1时，h (x )图象对称轴是x ＝λ－1λ＋1，则λ－1λ＋1≥1，又λ<－1，解得λ<－1； ③当λ>－1时，同理则需λ－1λ＋1≤－1，又λ>－1，解得－1<λ≤0.综上，满足条件的实数λ的取值范围是(－∞，0]．。

新高考数学文科一轮总复习课时练习3.7抽象函数(含答案详析)

第7讲抽象函数1． (2010 年陕西 )以下四类函数中，有性质“对随意的x>0 ， y>0，函数 f(x)知足 f(x ＋ y)＝ f(x)f( y)”的是 ( )A ．幂函数B ．对数函数C ．指数函数D ．余弦函数 f(a － 3)＋ f(9－ a 2)<0. 则 a 的取值2．已知定义域为 (－ 1,1)的奇函数 y ＝ f(x)是减函数，且范围是 ( )A ． (3， 10)B ． (2 2，3)C ． (22， 4) D ． (－2,3)3．已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数且知足 f x ＋ 3＝－ f(x)，若 x ∈ (0,3)时，f(x)＝ log 2(3x ＋ 1)，则 f(2011) ＝() 2A ． 4B ．－ 2C ． 2D ． log 271＋ f x，则 f(2011) ＝ ()4．已知函数 f(x)知足： f(1)＝ 2， f(x ＋ 1)＝ 1－ f x1 1A ．2B ．－3C ．－2D.3f x ＋ f y5．给出以下三个等式： f(xy)＝ f(x)＋ f(y)，f(x ＋ y)＝ f(x)f(y)，f(x ＋ y)＝1－ f x f y .以下函数中，不知足此中任何一个等式的是 ()A ． f(x)＝ 3xB ．f(x)＝ sinxC ． f(x)＝ log 2xD ． f(x)＝ tanx6．设 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(x ＋ 2)＝－ f(x)，那么以下五个判断：① f(x)的一个周期为 T ＝ 4；② f(x)的图象对于直线 x ＝1 对称；③ f(2010) ＝ 0；④ f(2011)＝ 0； ⑤ f(2012) ＝ 0.此中正确的个数有 ( )A ．2个B ．3个C ．4 个D ．5个7．对于函数 f(x)定义域中的随意 x 1， x 2(x 1≠ x 2) ，有以下结论：① f(x 1＋ x 2)＝ f(x 1) ·f(x 2 )；② f(x 1·x 2)＝ f( x 1)＋ f(x 2 )；f x 1 － f x 2 ③x 1－ x 2>0；④f x 1＋ x 2 <f x 1 ＋ f x 2 .22当 f(x)＝ x 1时，上述结论中正确结论的序号是 ____________；3 1 x时，上述结论中正确结论的序号是 ____________；当 f(x)＝2当 f(x)＝ lg x 时，上述结论中正确结论的序号是____________．π8．已知函数 y ＝ f(x)是定义在 R 上的奇函数，且y ＝f x ＋2 为偶函数，对于函数y ＝f(x)有以下几种描绘：① y ＝ f(x)是周期函数；② x ＝ π是它的一条对称轴；③ (－ π， 0)是它图象的一个对称中心；π④当 x＝时，它必定取最大值．2此中描绘正确的选项是 ________．9．函数 f(x)的定义域 D ：{ x|x∈R，且 x≠ 0} ，且知足对于随意x1，x2∈ D.有＋ f(x2)．(1)求 f(1) 的值；(2)判断 f(x)的奇偶性并证明；(3)假如 f(4)＝ 1， f(3x＋ 1)＋ f(2x－ 6)≤ 3，且 f(x)在 (0，＋∞ )上是增函数，求围．f(x1·x2)＝ f(x1) x的取值范10．设 f(x) 是定义在 [ － 1,1] 上的奇函数，且对随意a， b∈[ － 1,1]，当 a＋ b≠ 0 时，都有f a ＋ f ba＋ b>0.(1)若 a>b，比较 f( a) 与 f(b)的大小；11(2)解不等式 f x－2<f x－4；(3)2记 P＝{ x|y＝ f(x－ c)} ， Q＝ { x|y＝ f(x－ c )} ，且 P∩ Q＝ ?，求 c 的取值范围．第 7 讲抽象函数1． C 分析：假定 f(x)＝ a x ，f(x)f(y)＝ a x a y ＝ a x ＋ y＝ f(x ＋y) ．－ 1<a － 3<1 ，2．B分析：由条件得 f(a －3) ＜f(a 2－ 9)，即－ 1<a 2－ 9<1 ， ∴ a ∈ (22，3)，应选a － 3> a 2－ 9，B.3． C14． C 分析：方法一，由条件知， f(2) ＝－ 3， f(3) ＝－，f(4) ＝13， f(5) ＝ f(1) ＝ 2，故 f(x ＋ 4)＝ f(x)(x ∈N * )．1∴ f(x)的周期为 4，故 f(2011) ＝f(3)＝－ .2方法二，严格推证以下：f(x ＋ 2)＝1＋ f x ＋ 1＝－ 1 ，1－ f x ＋ 1 f x ∴ f(x ＋ 4)＝ f[( x ＋ 2)＋ 2]＝ f(x)．即 f(x) 周期为 4.故 f(4k ＋ x)＝ f(x)( k ∈ N * )．即 f(2011) ＝ f(3)＝－ 1. 25． B 分析：选项 A ，知足 f(x ＋ y)＝ f(x)f(y)；选项 C 知足 f(xy)＝ f( x)＋ f(y)；f x ＋ f y选项 D ，知足 f(x ＋y)＝.6． C7．③ ①④ ②③ 8．①③9．解： (1)令 x 1＝ x 2＝ 1，有 f(1× 1)＝ f(1)＋ f(1)，∴ f(1)＝ 0.(2) f (x)为偶函数，证明以下：令 x 1＝ x 2＝－ 1，有 f[( － 1)× (－ 1)] ＝f(－ 1)＋ f(－ 1)，∴ f(－ 1)＝ 0.令 x 1＝－ 1， x 2＝ x ，有 f(－ x)＝ f(－ 1)＋ f(x)， ∴ f(－ x)＝ f(x)．∴ f(x)为偶函数．(3) f (4× 4)＝f(4)＋ f(4) ＝ 2， f(16× 4)＝ f(16)＋ f(4) ＝ 3. 由 f(3x ＋ 1)＋ f(2x － 6)≤ 3，变形为 f[(3 x ＋ 1)(2x － 6)] ≤ f(64)． (*)∵ f(x)为偶函数，∴ f(－ x)＝f(x)＝ f(|x|)．∴不等式 (*) 等价于 f[|(3x ＋ 1)(2x － 6)|] ≤f(64)．又∵ f(x)在 (0，＋∞ )上是增函数，∴ |(3x ＋ 1)(2x － 6)|≤ 64，且 (3x ＋ 1)(2x － 6)≠ 0.解得－ 7≤ x<－1或－1 <x<3 或 3<x ≤ 5.3 33∴ x 的取值范围是 x －7≤ x ≤ 5，且 x ≠－ 1，且 x ≠ 3 .3 310．解：设－ 1≤ x 1<x 2≤ 1，则 x 1－ x 2≠ 0，∴f x 1 ＋ f － x 2 >0.x 1＋－x 2∵ x 1－ x 2<0，∴ f(x 1)＋ f(－ x 2)<0. ∴ f(x 1)< － f(－ x 2)．又 f(x)是奇函数，∴ f(－ x 2)＝－ f(x 2)．∴ f(x 1)< f(x 2)．∴ f(x)是增函数．(1)∵ a>b ，∴ f(a)>f(b)．1 1 (2)由 f x －2 <f x － 4 ，得－ 1≤ x －12≤ 1，1 ≤ 1，1 5 － 1≤ x － ∴－ ≤ x ≤ .4241 1 ，x － <x －2 4∴不等式的解集为x－1≤ x ≤5.2 4(3)由－ 1≤x － c ≤ 1，得－ 1＋ c ≤ x ≤ 1＋ c ， ∴ P ＝ { x|－1＋ c ≤ x ≤ 1＋c} ．由－ 1≤ x － c 2≤ 1，得－ 1＋ c 2≤ x ≤ 1＋ c 2，∴ Q ＝ { x|－ 1＋ c 2≤ x ≤ 1＋ c 2} ． ∵ P ∩ Q ＝ ?，∴ 1＋c<－ 1＋ c 2 或－ 1＋ c>1＋ c 2，解得 c>2 或 c<－ 1.∴ c 的取值范围是 (－∞，－ 1) ∪(2，＋∞ )．。

课时作业1：3.4　函数的应用(一)

3．4函数的应用(一)1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y 元，则y关于x的函数关系式是()A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)B．y＝0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2 000，x∈N*)D．y＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)答案 D解析由题意知，变速车存车数为(2 000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2 000－x)×0.8＝0.5x＋1 600－0.8x＝－0.3x＋1 600(0≤x≤2 000，x∈N*)．2．一种新型电子产品计划投产两年后，使成本降36%，那么平均每年应降低成本() A．18% B．20%C．24% D．36%答案 B解析设平均每年降低成本x，则(1－x)2＝0.64，得x＝0.2＝20%.3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元答案 B解析设y＝kx＋b(k≠0)，代入(1,800)和(2,1 300)，则⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝800，2k ＋b ＝1 300，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝500，b ＝300. 所以y ＝500x ＋300，当x ＝0时，y ＝300.4．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ，1≤x <10，x ∈N *，2x ＋10，10≤x <100，x ∈N *，1.5x ，x ≥100，x ∈N *.其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )A ．15B ．40C ．25D ．130答案 C解析令y ＝60，若4x ＝60，则x ＝15>10，不合题意；若2x ＋10＝60，则x ＝25，满足题意；若1.5x ＝60，则x ＝40<100，不合题意，故拟录用人数为25.5．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m (件)与售价x (元)满足一次函数：m ＝162－3x ，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为( )A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好答案 B解析设当每件商品的售价为x 元时，每天获得的销售利润为y 元．由题意得，y ＝m (x －30)＝(x －30)(162－3x )．上式配方得y ＝－3(x －42)2＋432.所以当x ＝42时，利润最大．6．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产机器________台．答案 50解析设安排生产x 台，则获得利润f (x )＝25x －y ＝－x 2＋100x＝－(x －50)2＋2 500.故当x ＝50台时，获利润最大．7．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min ，那么y ＝f (x )的解析式为________________．答案 y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，110x －2，40≤x ≤60解析由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 115x ，0≤x ≤30，2，30<x <40，110x －2，40≤x ≤60.8．某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2021年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率相同，则2020年预计经营总收入为________万元．答案 1 300解析设从2019年到2021年每年经营总收入的年增长率为x .由题意，得2019年经营总收入为40040%＝1 000(万元)，则有1 000(1＋x )2＝1 690.解得x ＝0.3，故2020年预计经营总收入为1 000(1＋0.3)＝1 300(万元)．9．某游乐场每天的盈利额y 元与售出的门票张数x 之间的函数关系如图所示，试由图象解决下列问题：(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元，每天至少卖出多少张门票？解 (1)由图象知，当x ∈[0,200]时，可设y ＝kx ＋b ，代入点(0，－1 000)和(200,1 000)，解得k ＝10，b ＝－1 000，从而y ＝10x －1 000，x ∈[0,200]．当x ∈(200,300]时，代入点(200,500)和(300,2 000)，解得k ＝15，b ＝－2 500，x ∈(200,300]．从而y ＝15x －2 500，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x －1 000，x ∈[0，200]，15x －2 500，x ∈(200，300]. (2)每天的盈利额超过1 000元，则x ∈(200,300]，由15x －2 500>1 000得，x >7003，故每天至少需要卖出234张门票．10．某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司有电脑6台，乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，从乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．(1)设甲地调运x 台至B 地，该公司运往A ，B 两地的总运费为y 元，求y 关于x 的函数解析式；(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？解 (1)甲地调运x 台到B 地，则剩下(6－x )台电脑调运到A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地12－(8－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )，则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，所以y ＝20x ＋960(x ∈N ，且0≤x ≤6)．(2)若使y ≤1 000，即20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，所以0≤x ≤2，x ∈N .所以x ＝0,1,2，即有3种调运方案．11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③答案 A解析由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确，故选A.12．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t 分钟注水2t 2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡？( )A ．3人B ．4人C ．5人D ．6人答案 B解析水箱内水量y ＝200＋2t 2－34t ，当t ＝172时，y 有最小值，此时共放水34×172＝289(升)，28965≈4.4，故至多可供4人洗澡．13.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 应分别为________．答案 15,12解析由题干图知x ，y 满足关系式x 20＝24－y 16，即y ＝24－45x ，矩形的面积S ＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫24－45x ＝－45(x －15)2＋180，故x ＝15，y ＝12时，S 取最大值．14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．答案 14.59 9解析设出租车行驶x 千米时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，当x ＝5.6时，y ＝8＋2.15×2.6＋1＝14.59(元)．由y ＝22.6，知x >8，由8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1＝22.6，解得x ＝9.15．某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P ＝1 000＋5x ＋110x 2，Q ＝a ＋x b，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )A ．a ＝45，b ＝－30B ．a ＝30，b ＝－45C ．a ＝－30，b ＝45D ．a ＝－45，b ＝－30答案 A解析设生产x 吨产品全部卖出，获利润为y 元，则y ＝xQ －P ＝x ⎝⎛⎭⎫a ＋x b －⎝⎛⎭⎫1 000＋5x ＋110x 2 ＝⎝⎛⎭⎫1b －110x 2＋(a －5)x －1 000(x >0)．由题意知，当x ＝150时，y 取最大值，此时Q ＝40.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －a －52⎝⎛⎭⎫1b －110＝150，a ＋150b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝－30. 16．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，飞机票价格为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，飞机票价格就减少10元，直到达到规定人数75人为止．旅行团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解 (1)设旅行团人数为x ，飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0<x ≤30，x ∈N *，900－10(x －30)，30<x ≤75，x ∈N *，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，x ∈N *，1 200－10x ，30<x ≤ 75，x ∈N *. (2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，x (1 200－10x )－15 000，30<x ≤75，x ∈N *. 即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x ∈N *，－10(x －60)2＋21 000，30<x ≤75，x ∈N *. 因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上单调递增，当x ＝30时，S 取最大值12 000.又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上的对称轴为x ＝60，当x ＝60时，S 取最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．。