线性代数试讲教案设计

标准文档§3.2 向量组的线性相关性教学目的：理解向量组的线性相关、线性无关的定义；掌握向量组的相序相关性的判定定理 教学重点：掌握向量组的相序相关性的判定定理 教学难点：矩阵的秩及向量组的秩教学过程： 复习引入1.什么是向量？定义1 n 个数组成的有序数组),,,(21n a a a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 21，称为一个n 维向量，简称向量。

一般用小写的粗黑体字母表示，如 ,,,γβα。

这节课我们来学习向量组的线性相关性。

新课讲授：一、向量组线性相关性的定义定义5 对于向量组s ααα,,,21 ，如果存在不全为零的数s k k k ,,,21 ，使得 012211=+++=∑=si s s i i k k k k αααα （3-3）称向量组s ααα,,,21 线性相关.反之，如果只有在021====s k k k 时（3-3）式才成立，就称向量组s ααα,,,21 线性无关. 注意：1.若s ααα,,,21 线性无关，则只有当021====s k k k ，才有02211=+++s s k k k ααα .2.对于任一向量组，不是线性无关就是线性相关.3.向量组只包含一个向量α时，若0=α则说α线性相关，若0≠α，则说α线性无关.4.包含零向量的任何向量组是线性相关的.5.对于含有两个向量向量组，它线性相关的充要条件的两向量的分量对应成比例，几何意义是两向量共线（如图3.1）；三个向量相关的几何意义的三向量共面。

(1) 由两个 2 维向量构成的向量组 A : a 1 , a 2 ，线性相关的几何意义是 a 1 , a 2 共线. 在直线 y =2x 上取三点M 1, M 2 , M 3 , 作三个向量: →=11OM a ，→=22OM a ，→=33OM a 。

显然, 这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的.(2) 由三个 3 维向量构成的向量组线性相关的几何意义是这三个向量共面.如给定平面 π : x+y+z=3. 在 π 上取三点: M1(1,1,1) , M2(2,0,1) , M3(0,2,1) , 作三个向量:)2,1,1(11-==→RM a ，)2,0,2(22-==→OM a ，)2,2,0(33-==→OM a ，向量组 a 1 , a 2 , a 3线性相关,因为 2a 1 - a 2 - a 3 = 0.(3) 4维向量组线性相关的几何意义该向量组所对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的 四个平面交于同一条直线.例3 判断向量组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)1,0,,0,0,0()0,0,,0,1,0()0,0,,0,0,1(21 n e e e 的线性相关性。

解 设任意的常数n k k k ,,,21 ，都有),,,(212211n n n k k k e k e k e k =+++所以，当且仅当 021====n k k k才有 02211=+++n n e k e k e k因此，n e e e ,,,21 线性无关.n e e e ,,,21 称为基本单位向量组.例4 判断向量组)6,3,1(),5,2,0(),1,1,1(321===ααα的线性相关性. 解 设任意的常数n k k k ,,,21 ，都有)65,32,(32132131332211k k k k k k k k k k k +++++=++ααα所以，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+65032032132131k k k k k k k k ,才有 0332211=++αααk k k . 由于 1,1,1321-===k k k ,满足上面方程组，因此0)1(11321321=-++=-++αααααα,所以321,,ααα线性相关.例 5 设向量组321,,ααα线性无关，又211ααβ+=，322ααβ+=，133ααβ+=，试证明321,,βββ也线性无关.证明 设 0332211=++βββk k k ， 即0)()()2(3133223211=++-+++αααααααk k k ， 0)2()()(3312211321=++-+++αααk k k k k k k . 由321,,ααα线性无关知⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=++02003121321k k k k k k k ， 解此方程组，可以得到非零解)2,1,1(),,(321--=k k k ，于是321,,βββ线性相关.二、线性表示（线性组合）除了根据定义来判定向量组的线性相关性外，还有什么其他判定方法呢？在我们讲向量组线性相关的判定定理之前，我们先学习线性表示（线性组合）的定义。

定义6 给定向量α和向量组t βββ,,,21 ，如果存在一组数t k k k ,,,21 ，使得 t t k k k βββα+++= 2211，则称α为向量组t βββ,,,21 的一个线性组合，或者说α可由向量组t βββ,,,21 线性表示，t k k k ,,,21 称为组合系数。

例6 设)1,1,1,1(1=α，)1,1,1,1(2--=α，)1,1,1,1(3--=α，)1,1,1,1(4--=α，)1,1,2,1(=β，试问β能否由4321,,,αααα线性表示？若能写出具体表达式。

解 令 44332211ααααβk k k k +++=于是得线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--+=+++11214321432143214321k k k k k k k k k k k k k k k k因为 0161111111111111111≠-=------=D ，由克拉默法则求出 541=k ，412=k ，413-=k ，414-=k ， 所以 432141414154ααααβ--+= ，因此，β能由4321,,,αααα线性表示。

例7 设)0,3,2(-=α，)2,1,0(-=β，)4,7,0(--=γ，试问γ能否由α，β线性表示？ 解 令 βαγ21k k +=，于是得方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--=4273022211k k k k由第一个方程得01=k ，代入第二个方程得72=k ，但2k 不满足第三个方程，故方程组误解，所以γ不能由α，β线性表示。

三、线性相关性的判定定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充分必要条件是：s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.证明 设s ααα,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示，不妨设1α可由s ααα,,,21 线性表示，即s s k k k αααα+++= 33221，于是033221=----s s k k k αααα ， 显然，m l l l --- ,,,132不全为0，故m ααα,,,21 线性相关.反过来，设s ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数s k k k ,,,21 ，使02211=+++s s k k k ααα ，不妨设01≠k ，于是s s k k k k k k αααα13132121----= ， 即1α可由s ααα,,,21 线性表示.该定理的逆否命题：向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不能由其余向量线性表示.注：(1)若令n 元向量)1,0,,0,0,0(,),0,0,,0,1,0(),0,0,,0,0,1(21 ===n e e e ，则ne e e ,,,21线性无关.(2)任何一个n 元向量),,,(21n a a a =α都可由n e e e ,,,21 线性表示，即 n n e a e a e a +++= 2211α.定理2 若向量组t βββ,,,21 线性无关，而αβββ,,,,21t 线性相关，则α可由tβββ,,,21 唯一线性表示.证明 因为αβββ,,,,21t 线性相关，所以存在不全为零的数k k k k t ,,,,21 ，使得 02211=++++αβββk k k k t t ，可以断定0≠k （否则，与r ααα,,,21 线性无关矛盾）.于是β可由r ααα,,,21 线性表示，即 r r kkk k k k αααβ----= 2211. 这种表示法是唯一的，因若r r l l l αααβ+++= 2211 r r h h h ααα+++= 2211， 则0)()()(222111=-++-+-r r r h l h l h l ααα ，由于r ααα,,,21 线性无关，必有0)(=-i i h l ，即),,2,1(r i h l i i ==，所以β由r ααα,,,21 线性表示的表示法是唯一的.将一个向量组中的某些向量组成的向量组称为原向量组的部分组。

定理3 有一部分组线性相关的向量组一定线性相关.证明 设向量组s ααα,,,21 有一部分组线性相关，不妨设这个部分组为)(,,,21s r r <ααα ，则有不全为零的数r k k k ,,,21 ，使得02211=+++r r k k k ααα .从而不全为零的数0,,0,,,,21 r k k k ，使得00012211=+++++++m j j j k k k ααααα ，故m ααα,,,21 线性相关.推论 含有零向量的向量组必线性相关.该定理的逆否命题是：如果s ααα,,,21 线性无关，则其任一部分向量组成的向量组也线性无关.定理4 设n p p p ,,,21 为n ,,2,1 的一个排列，s ααα,,,21 和s βββ,,,21 为两个向量组，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=in i i i a a a 21α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n ip ip ip i a a a 21β，即i β是对i α各分量的顺序进行重排后得到的向量),,2,1(s i =，则这两个向量组有相同的线性相关性.证明 对任意的常数s k k k ,,,21 ，注意到下面两个列向量定理5 在r 维向量组s ααα,,,21 的各向量中，添上r n -个分量变成n 维向量组s βββ,,,21 ，(1)如果s βββ,,,21 线性相关，那么s ααα,,,21 也线性相关； (2) 如果s ααα,,,21 线性无关，那么s βββ,,,21 也线性无关.证明 对列向量来证明定理。

设121),,,(A s =ααα ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2121),,,(A A s βββ ，(1)如果s βββ,,,21 线性相关，就有一个非零的1⨯s 矩阵X ，使0),,,(212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X A X A X A A X s βββ . 从而 0),,,(121==X A X s ααα .因此s ααα,,,21 也线性相关.(2) 利用(1)和反证法容易证明(2)也成立.定理6 设A 是一个n 阶方阵,则A 的行(列)向量组线性相关的充分必要条件是0=A . 证明 设n n ij a A ⨯=)(，矩阵A 的列向量组为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 112111 α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a 222211 α,…, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n a a a211α令 02211=+++n n x x x ααα （3-4）即 0),,,(2121=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n x x x ααα，则 n ααα,,,21 线性相关⇔存在一组不全为零的实数n x x x ,,,21 ，使得式（3-4）成立，即齐次线性方程组 021=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x A （3-5） 有非零解存在.由第一章定理5的推论及其注解知，（3-5）式存在非零解⇔0=A . 推论 n 阶方阵A 可逆⇔A 的行(列)向量组线性无关. 例8 讨论下列矩阵的行(列)向量组的线性相关性：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321B ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=102120231C . 解 由于02≠=B ，因此B 的行(列)向量组线性无关； 由于0=C ，因此C 的行(列)向量组线性相关.例9 判断向量组)1,1,2(1-=α，)2,3,0(2-=α，)3,4,2(3-=α是否线性相关.解 以321,,ααα为行向量组得到3阶方阵 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=342230112A .由于0342230112=---=A ，故由定理6知321,,ααα线性相关.定理7 当n m >时，m 个n 维向量必线性相关.证明 设m ααα,,,21 为n 维向量组，对每个),,2,1(m i i =α添加n m -个零分量得到m 维向量组m βββ,,,21易知m βββ,,,21 构成m 维方阵的行列式等于0.由定理6知m βββ,,,21 线性相关，从而由定理5知m ααα,,,21 线性相关.推论 如果1+n 个n 维向量组必线性相关. 课堂小结1、如何正确理解向量组的线性相关(无关)的定义？线性相关、线性无关是两个对立的概念，它们之间的不同之处主要在于：①线性相关的向量组存在系数不全为的线性组合是零向量，而线性无关的向量组只有系数全为零的线性组合是零向量；②线性相关的向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示，而线性无关的向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示；③以线性相关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组存在非零解，而以线性无关的向量组为系数矩阵的齐次线性方程组只有零解. 2、怎样判断向量组的线性相关性？方法1：利用定义判断。