4.1对数及其运算(一)2014

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对数及其运算1

lg MN lg M lg N;
M lg M lg ； N lg N lg M lg M lg N ; lg N lg M N lg M lg N.

√

× × ×
3 4 5 6
× ×
例2 求
log3 92 35 的值.
将下列指数式写成对数式：
1
5 625;
4
3 8 16;
练习2
4 3
2 4
1 3 ; 27
-3
5a 15.
将下列对数式写成指数式：
1 log 1 16 4;
1 3; 3 log 1 3 27
2
2 log3 243 5; 4 loga 0.1 1.
log 3 9 3
2 5
2 3log3 10 10；
3 log2.5 2.5 1； 4 ln1 0.
例2 求
2 5 解设 log 3 9 3 = u，则 3u 92 35
的值：
∴
3 3
u
4+5
∴
u9
即
log 3 9 3 =9.
其中a叫做对数的底数,N 叫做真数. 如：3
2
3 9，则2可以用对数来表示，对数中的底数为___ log3 9 9 对数中的真数为___,记为_______ 以3为底9的对数. 读作______________
引例：1.15x
2
10
x log1.15 10
2 log 1 4
loga MN loga M loga N
M 0, N 0
a 0且a 1, M 0, N 0

§4 4.1.1 对数

注：底数a的取值范围：(a 底数a的取值范围：真数N的取值范围: 真数N的取值范围:
2.指数式与对数式的互化: 2.指数式与对数式的互化: 指数式与对数式的互化
指数幂真数对数
a =N
b
底数
loga N= b
log a N＝b ↓↓ ↓ ↓↓ ↓ 底数
b =N a
指数幂
底数真数对数
3.对数的性质 3.对数的性质
幂底数真数
3.能够求出一些特殊的对数式的值. 3.能够求出一些特殊的对数式的值. 能够求出一些特殊的对数式的值
追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他。
?
1.对数的定义： 1.对数的定义：对数的定义
一般地，如果a(a>0 a≠1)的次幂等于N 一般地，如果a(a>0 , a≠1)的b次幂等于N，
即：a b = N
那么就称b叫做以为底N的对数，那么就称b叫做以a为底N的对数，
记作： a N = b log
底数
↑↑ 真数
> 0且a ≠ 1)
(N > 0)
两种常用的对数：两种常用的对数：
(1)常用对数： (1)常用对数：常用对数我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 10为底的对数叫做常用对数简记作lgN lgN。 log10 N 简记作lgN。 log 例如：例如： 10 5 简记作lg5； 10 3.5 简记作lg3.5. 简记作lg5 log lg5；简记作lg3.5. (2)自然对数： (2)自然对数：自然对数在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，为底的对数叫自然对数自然对数。为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。为了简便，为了简便，N的自然对数简记作lnN lnN。 log e N 简记作lnN。为了简便,N的常用对数为了简便,N的常用对数 ,N

对数及其运算

4.1对数及其运算(教案)江西省石城中学伊达东一. 教学目标1. 知识与技能(1)理解对数的概念；(2)能熟练的进行对数式与指数式的互化：(3)能利用科学计算器进行数值分析，掌握对数的运算性质.2. 过程与方法经历由指数得到对数的过程，并引出对数运算性质的研究，在这个过程中进行猜想，得出规律，再进行证明.3. 情感态度价值观确立和增强成就意识且有正确的成就动机二. 教学重点与难点1. 重点：对数的概念，对数的运算性质及简单运用.2. 难点: (1) 对数符号的理解；(2) 正确使用对数运算性质.三. 学法与教法1. 学法：探究交流、讲练结合.2. 教法：讲授法、讨论法.四. 教材分析1. 教材以国民经济生产总值增长的实际问题引入，1.0822x ,这是已知底数和幂的值，求指数的问题，因而要引入一种新的运算，即对数，从而引出本节的对数问题.2. 对数的运算性质是本小节的重点之一，教材中“对数运算性质”的处理，是通过引导学生用科学计算器分析教材中给出的一系列数据中的等量关系，总结猜想出规律，再进行证明，并把在学习过程中，由于对公式辨认不清而常发生的错误，作为思考题让学生交流，这样处理，是为了让学生经历数学发现的过程.五. 教学过程(一) 创设情景通过图片(从赣一中走出的快乐女生5强选手杨洋荣归母校，感恩母校)引出：杨洋是一位非常受欢迎的歌手，她以柔美的声音和高贵的气质得到无数观众的肯定，在60强时的网上支持者就高达80000人，并以平均每日15%的速度递增. 问：(1) 10天后支持者为多少？(2) 多少天后杨洋的支持者将变为60强时的10倍？得到：x1.15=10如何求X？象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数的问题，现实生活中许多问题都需要求指数：如国民经济增长、放射性物质的衰变等等，因而要引入一种新的运算，这就是我们这节课要学习的内容：对数及其运算.设计意图：(1) 引用学生身边的例子，使学生更有兴趣；(2) 让学生体会对数形成的过程；(3) 德育教育——励志感恩.(二) 新课探析1. 对数的概念一般地，如果a (a >0,a ≠1)的b 次幂等于N ，即ba=N，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 log a N b =,读作以a 为底N 的对数, 其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 (1) 强调书写格式；（2）解释符号“log ”，是英文单词“对数”的缩写，是一个符号，表示一种运算，已知底数、幂求指数的；(3) 回到例题，解决问题.2. 思考交流(对概念的进一步认识)(1) log ba a MN b == (逆运算关系)动画展示，看出指数式与对数式的实质一样，只是形式不同，它们之间是逆运算关系，可以相互转化.并且从指数的角度分析N ，a,b 的范围. 练习1 将下列指数式写成对数式:(学生口答)(1) 45625=; (2) 31327-=; (3) 43816=; (4) 515a=.练习2 将下列对数式写成指数式:(学生口答)(1) 12log 164=-; (2) 3log 2435=;(3) 131log 327=; (4) lg 0.11=-. 设计意图：通过动画展示，表格对比，形象直观，便于学生理解. (2) 将()01101a ,a a a ,a ==>≠写成对数式.得出并强调 log 10a =，log 1a a =.设计意图：从学生熟习的指数式与对数式的互化引入，显得更自然. (3) 计算并猜测：2log 82= 8 ; 6log 366= 36 ;猜测:log a Na = N .证明：设log a Nau =，则化为对数式log log a a u N =，即u N =.练习3:2log 34=9 .设计意图：(1) 从特殊到一般符合学生的认知规律； (2) 适度加深，兼顾优等生. (4) 两种在生活和科技中常见的对数.常用对数：以10为底的对数，如10log N 记为lg N .自然对数：以 e 为底的对数，如e log N 记为ln N(e =2.71828……).3. 例题例1 求下列各式的值：(学生口答)(1) 5log 25; (2) 3log 103; (3) ln1; (4) 2.5log 2.5.例2 求()253log 93⨯的值.解设()253log 93=u ⨯ ，则25393u =⨯. ∴4533u+=.∴9u =即()253log 939⨯=.4. 对数的运算如果转化为指数式去计算显得麻烦，有没有什么方法可以使之更简单呢？接下来，我们将通过这个表格来继续探讨对数的运算性质. 利用计算器填表并猜测有什么规律：大胆猜测：()lg lg lg MN M N =+ ()00M ,N >>(1) ()log log log a a a MN M N =+ ()0100a ,a ,M ,N >≠>>这只是我们猜测的结果，接下来给予证明.证明：设log ,log a a M p N q ==，则由对数定义，得: pqa =M,a =N . 因为pqp+qMN=a a =a⋅，所以,()log a p q MN +=,即 ()a a a log MN =log M+log N .那么()log a xyz = .同学们能不能快速的计算出以下式子的结果？ (2) ()log =a MN ()n R ∈. 利用 (1)、(2) 写出 (3) 的结果.(3)log =aMN()00M ,N >>. (记忆方法) 对数运算要小心, 真数相乘对数加, 真数相除对数减,真数乘方指数出. 设计意图：(1) 节省时间；(2) 符合学生从特殊到一般，先猜测后证明的认知规律； (3) 由新知识得到新知识，培养学生探索知识的习惯； (4) 填空也是对公式的简单应用；(5) 对数运算，学生经常出错，编写口决使学生加深印象. 练习4：判断对错.(1) lg 2lg51+=; ( ) (2) ()()()()lg 35=lg 3+lg 5-⋅---⎡⎤⎣⎦; ( ) (3) ()lg =lg lg MN M N ⋅; ( ) (4) lg lg=lg M MN N; ( ) (5) lg lg lg lg MM N N-=; ( ) (6) ()lg lg lg M N M N +=⋅. ( )回到例2 计算： ()253log 93⨯ (利用对数运算性质答题). 练习5：15lg100=______________.利用运算性质，可以把高一级的运算转化成低一级的运算，这样加快了计算速度，简化了计算过程，显示了对数计算的优越性，其实对数运算最早就出现在天文学中的距离计算中.设计意图：(1) 通过对比，让学生感受对数运算的优越性; (2) 熟习运算性质; (3) 节省时间.例3. 用log ,log ,log a a a x y z 表示下列各式：(学生板演)（1）()2log a x yz ; （2）log a. 设计意图：通过判断的形式让学生自己分析容易出错的式子，如00M ,N >>等，使学生认识到这里容易出错，在使用时要想一想能不能用，通过几次练习后，自然就掌握了对数运算性质.（三）小结1. 体会对数的形成过程.()log 0,1b a a N N b a a =⇔=>≠ 他们之间是逆运算关系，可以相互转化. 2. 对数的运算性质.(1) ()log log log a a a MN M N =+ ()0100a ,a ,M ,N >≠>>;(2) a log log na M n M=()n R ∈;(3) alog =log log a a MM N N-()00M ,N >>. （四）作业P87 T6 (1)(2)(5) （五）课后思考1. 课本例6；2. 如何用计算器计算引例中 1.15log 10的值？设计意图：(1) 回到引例，前后照应;(2) 为下一课作准备.本节课紧紧围绕2个重点来展开，第一是对数的概念，第二是对数的运算性质.当然这节课内容较多，因此时间的分配也是这节课所要重点考虑的问题.对于概念，向学生解释“log ”符号，并通过动画展示、表格对比，体现指数式与对数式是逆运算关系，可以相互转化.通过练习使学生达到熟练程度.对于运算性质，是通过分析数值、猜测、推导得到的，同一个例题，一种转化为指数式，另一种运用对数运算性质进行对比，让学生体会对数运算性质的优越性. 还通过判断题加深学生对运算性质的认识,通过学生板演反馈信息.对于时间的分配上，以学生懂的不讲，学生一听就懂的少讲，学生难理解，易错的多讲为原则，因此在指数式与对数式的互化就用的时间少一点，在对数的概念和运算性质上花的时间多一点.。

对数及其运算基础知识及例题

对数及其运算基础知识及例题1、定义：对数是指用一个数b（b>0且不等于1）作为底数，将一个正数a表示成幂b的指数的形式，即a=b^x（x为实数），则x称为以b为底a的对数，记作logb a。

2、性质：①logb 1=0（b>0且不等于1）②logb b=1（b>0且不等于1）③logb (mn)=logb m+logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）④logb (m/n)=logb m-logb n（m>0，n>0，b>0且不等于1）⑤logb m^k=klogb m（m>0，b>0且不等于1，k为任意实数）3、对数的运算性质：①logb (mn)=logb m+logb n②logb (m/n)=logb m-logb n③logb m^k=klogb m④logb (a^k)=klogb a⑤logb a=logc a/logc b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）4、换底公式：XXX b（b>0，且不等于1，c>0，且不等于1）5、对数的其他运算性质：①logb a=logb c，则a=c②logb a=logc a/logc b=logd a/logd b6、常用对数和自然对数：常用对数：以10为底数的对数，记作XXX。

自然对数：以自然常数e（e≈2.）为底数的对数，记作ln。

典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x的取值范围：1）log2(x-5)≥0；（2）log(x-1)-log(x+2)0.改写为：1）x≥5；2）x>1且x<2；3）x>1且x1且x>1.类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化：1)log2 16=4；(2)log1/27=-3；(3)log3 1/2= -1/log2 3；(4)53=125；(5)2^-1=1/2；(6)(1/3)^x=9.改写为：1)2^4=16；2)1/27=3^-3；3)3^-1/2=2/log2 3；4)5^3=125；5)2^-1=1/2；6)x=log(1/3)9/log(1/3)2.类型三、利用对数恒等式化简求值1+log5 77=log5 500.类型四、积、商、幂的对数例4.用loga x,loga y,loga z表示下列各式：1)loga (xy/z)=loga x+loga y-loga z；2)loga (xy)=loga x+loga y；3)loga (x^2/y^3z)=2loga x-3loga y-loga z；4)loga (x^2y^3/z)=2loga x+3loga y-loga z。

幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案

教案：幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = x^a，其中a 是实数。

性质：幂函数的图像是一条曲线，随着a 的不同取值，曲线的形状也会发生变化。

当a > 1 时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在x > 0 的区间上是减函数；当a = 0 时，函数是常数函数；当a < 0 时，函数在x >0 的区间上是增函数。

1.2 幂函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的幂函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。

性质：当a > 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x > 0 的区间上有定义；当a < 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x < 0 的区间上有定义；当a 为正整数时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当a 为负整数时，函数在x < 0 的区间上是增函数。

第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a 是正实数。

性质：指数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。

指数函数的图像经过点(0, 1)，并且随着a 的增大，曲线的斜率也会增大。

2.2 指数函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的指数函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。

性质：当a > 1 时，函数在整个实数域上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在整个实数域上是减函数；指数函数的图像具有反射性，即f(x) = a^x 和f(x) = a^(-x) 的图像关于y 轴对称。

第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a 是正实数。

性质：对数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。

3.41 对数及其运算(1)

§4 对数教学分析我们在前面的学习过程中，已了解了指数函数的概念和性质，它是后续学习的基础，从本节开始我们学习对数及其运算．使学生认识引进对数的必要性，理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用．教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能，教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，尽量利用计算器和计算机创设教学情境，为学生的数学探究与数学思维提供支持．三维目标1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；理解和掌握对数的性质；掌握对数式与指数式的关系；通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，并掌握化简求值的技能；运用对数运算性质解决有关问题．培养学生分析、综合解决问题的能力；培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度．2．通过与指数式的比较，引出对数的定义与性质；让学生经历并推理出对数的运算性质；让学生归纳整理本节所学的知识．3．学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力；通过对数的运算法则的学习，培养学生严谨的思维品质；在学习过程中培养学生探究的意识；让学生感受对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性．重点难点教学重点：对数式与指数式的互化及对数的性质，对数运算的性质与对数知识的应用．教学难点：对数概念的理解，对数运算性质的推导及应用．课时安排 3课时3.4．1 对数及其运算(1)导入新课思路1.1.庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取4次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1.⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝？⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0.125⇒x ＝？ 2．(1＋8%)x ＝2⇒x ＝？都是已知底数和幂的值，求指数．你能看得出来吗？怎样求呢？像上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数〔引出对数的概念，教师板书课题〕．新知探究提出问题①利用计算机作出函数y ＝13×1.01x 的图像.②从图像上看，哪一年的人口数要达到18亿、20亿、30亿……？③如果不利用图像该如何解决？说出你的见解.即1813＝1.01x ，2013＝1.01x ，3013＝1.01x ，在这几个式子中，x 分别等于多少？④你能否给出一个一般性的结论？活动：学生讨论并作图，教师适时提示、点拨．对问题①，回忆计算机作函数图像的方法，抓住关键点．对问题②，图像类似于人的照片，从照片上能看出人的特点，当然从函数图像上就能看出函数的某些点的坐标．对问题③，定义一种新的运算．对问题④，借助③，类比到一般的情形．讨论结果：①如图1.图1②在所作的图像上，取点P ，测出点P 的坐标，移动点P ，使其纵坐标分别接近18,20,30，观察这时的横坐标，大约分别为32.72,43.29,84.04，这就是说，如果保持年增长率为1个百分点，那么大约经过33年、43年、84年，我国人口分别约为18亿、20亿、30亿．③1813＝1.01x ，2013＝1.01x ，3013＝1.01x ，在这几个式子中，要求x 分别等于多少，目前我们没学这种运算，可以定义一种新运算，即若1813＝1.01x ，则x 称作以1.01为底的1813的对数．其他的可类似得到，这种运算叫作对数运算．④一般性的结论就是对数的定义：一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的x 次幂等于N ，就是a x ＝N ，那么数x 叫作以a 为底N的对数(logarithm)，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．有了对数的定义，前面问题的x 就可表示了：x ＝log 1.011813，x ＝log 1.012013，x ＝log 1.013013.例如：42＝16⇔2＝log 416；102＝100⇔2＝log 10100；42＝2⇔2＝log 42；10－2＝0.01⇔－2＝log 100.01.提出问题①为什么在对数定义中规定a >0，a ≠1？②根据对数定义求log a 1和log a a a >0，a 的值.③负数与零有没有对数？④a log a N ＝N 与log a a b ＝b a >0，a 是否成立？讨论结果：①这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log (－2)12；若a ＝0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a ＝1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值．综之，就规定了a ＞0且a ≠1.②log a 1＝0，log a a ＝1.因为对任意a ＞0且a ≠1，都有a 0＝1，所以log a 1＝0.同样易知：log a a ＝1.即1的对数等于0，底的对数等于1.③因为底数a ＞0且a ≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b ∈R ，a b ＞0恒成立，即只有正数才有对数，零和负数没有对数．④因为a b ＝N ，所以b ＝log a N ，a b ＝a log a N ＝N ，即a log a N ＝N .因为a b ＝a b ，所以log a a b ＝b .故两个式子都成立．(a log a N ＝N 叫对数恒等式)思考我们对对数的概念和一些特殊的式子已经有了一定的了解，但还有两类特殊的对数对科学研究和了解自然起了巨大的作用，你们知道是哪两类吗？活动：同学们阅读课本的内容，教师引导，板书．解答：①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫作常用对数．为了简便，N 的常用对数log 10N 简记作lg N .例如：log 105简记作lg 5；log 103.5简记作lg 3.5.②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e ＝2.718 28…为底的对数，以e 为底的对数叫作自然对数，为了简便，N 的自然对数log e N 简记作ln N .例如：log e 3简记作ln 3；log e 10简记作ln 10.应用示例1将下列指数式写成对数式：(1)54＝625；(2)3－3＝127；(3)438＝16；(4)5a ＝15. 活动：学生阅读题目，独立解题，把自己解题的过程展示在屏幕上，教师评价学生，强调注意的问题．对(1)根据指数式与对数式的关系，4在指数位置上，4是以5为底625的对数．对(2)根据指数式与对数式的关系，－3在指数位置上，－3是以3为底127的对数．对(3)根据指数式与对数式的关系，43在指数位置上，43是以8为底16的对数．对(4)根据指数式与对数式的关系，a 在指数位置上，a 是以5为底15的对数．解：(1)log 5625＝4；(2)log 3127＝－3；(3)log 816＝43；(4)a ＝log 515. 思考指数式与对数式的互化应注意哪些问题？活动：学生考虑指数式与对数式互化的依据，回想对数概念的引出过程，理清对数与指数幂的关系，特别是位置的对照．解答：若是指数式化为对数式，关键要看清指数是几，再写成对数式．若是对数式化为指数式，则要看清真数是几，再写成幂的形式．最关键的是搞清N 与b 在指数式与对数式中的位置，千万不可大意，其中对数的定义是指数式与对数式互化的依据．例2 求下列各式的值：(1)log 525；(2)13log 32；(3)3log 310；(4)ln 1；(5)log 2.52.5. 活动：学生独立解题，教师同时展示学生的做题情况，要求学生说明解答的依据，利用指数式与对数式的关系，转化为指数式求解．解：(1)因为52＝25，所以log 525＝2.(2)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝32，所以13log 32＝－5. (3)设3log 310＝N ，则log 3N ＝log 310，所以N ＝10，即3log 310＝10.(4)因为e 0＝1，所以ln 1＝0.(5)因为2.51＝2.5，所以log 2.52.5＝1.点评：本题要注意方根的运算，同时也可借助对数恒等式来解．例3 将下列对数式写成指数式． (1)12log 16＝－4；(2)log 3243＝5；(3)131log 27＝3；(4)lg 0.1＝－1. 活动：学生阅读题目，独立解题，发表自己的见解，把结果用多媒体显示在屏幕上．解：根据指数式与对数式的关系，得(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16；(2)35＝243；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；(4)10－1＝0.1.点评：对数的定义是指数式与对数式互化的根据．拓展提升请你阅读课本，搜集有关对数发展的材料，以及有关数学家关于对数的材料，通过网络查寻关于对数换底公式的材料，为下一步学习打下基础．课堂小结(1)对数引入的必要性；(2)对数的定义；(3)几种特殊数的对数；(4)负数与零没有对数；(5)对数恒等式；(6)两种特殊的对数．课堂作业：P80练习1课后作业：P87 习题3-4 A组1，2。

4.1对数及其运算(一)、(二)解析

log100.01=-2
思考 (1)式子ab=N和logaN=b(a>0,a≠1,N>0)有什么关系?
对数式与指数式的关系
指数对数
ab=N
幂值
logaN=b
真数
底数(a>0,a≠1)
思考 (2)求对数loga1,logaa(a>0,a≠1).
对于a>0,a≠1都有 a0=1,a1=a 所以
loga1=0 logaa=1
讲解范例例1 将下列指数式写成对数式：
25 32 1 1 （ 2） 2 2 （3） 3 x 81 1 x （4） 4 6
（ 1）log2 32Fra bibliotek 51 log2 1 2
log3 81 x
1 l og4 x 6
练习（ 1）（ 2）
1.把下列指数式写成对数式:
2.对数的运算性质有什么特点?
例1
求下列各式的值．
(1)10lg3－ 10× log51＋ πlogπ2； (2)alogab· logbc · log c1； (3)lglne； (4)log
2－ 1
. 3＋2 2
1
【思路点拨】
充分利用对数基本性质及恒等式．
【解】 (1)原式＝ 3－10× 0＋ 2＝ 5. (2)∵ logc1＝ 0， ∴原式＝ a0＝1. (3)∵ lne＝1， ∴ lglne＝ lg1＝ 0. (4)∵ 3＋ 2 2＝ ( 2)2＋ 2 2＋ 1＝ ( 2＋ 1)2， 1 ∴ log 2－ 1 3＋2 2 1 ＝ log 2－ 1 ＝ log 2－ 1( 2－ 1)＝1. 2＋ 1
计算下列各式的值： 1 32 4 (1) lg － lg 8＋ lg 245； 2 49 3 2 (2)lg5 2＋ lg8 ＋ lg5· lg20＋ (lg2) 2； 3 lg 2＋ lg3－ lg 10 (3) . lg1.8

对数的运算法则及公式是什么

对数的运算法则及公式是什么对数是数学中比较重要的知识点之一，那么对数都有哪些公式呢?下面是由编辑为大家整理的“对数的运算法则及公式是什么”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

运算法则loga(MN)=logaM+logaN；loga(M/N)=logaM-logaN；logaNn=nlogaN；(n,M,N∈R)；如果a=em，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数的底，其为无限不循环小数。

定义：若an=b(a>0，a≠1)则n=logab。

换底公式logMN=logaM/logaN；换底公式导出：logMN=-logNM。

推导公式log(1/a)(1/b)=log(a^-1)(b^-1)=-1logab/-1=loga(b)；loga(b)*logb(a)=1；loge(x)=ln(x)；lg(x)=log10(x)。

拓展阅读：学好数学的几条建议1、要有学习数学的兴趣。

“兴趣是最好的老师”。

做任何事情，只要有兴趣，就会积极、主动去做，就会想方设法把它做好。

但培养数学兴趣的关键是必须先掌握好数学基础知识和基本技能。

有的同学老想做难题，看到别人上数奥班，自己也要去。

如果这些同学连课内的基础知识都掌握不好，在里面学习只能滥竽充数，对学习并没有帮助，反而使自己失去学习数学的信心。

建议同学们可以看一些数学名人小故事、趣味数学等知识来增强学习的自信心。

2、要有端正的学习态度。

首先，要明确学习是为了自己，而不是为了老师和父母。

因此，上课要专心、积极思考并勇于发言。

其次，回家后要认真完成作业，及时地把当天学习的知识进行复习，再把明天要学的内容做一下预习，这样，学起来会轻松，理解得更加深刻些。

3、要有“持之以恒”的精神。

要使学习成绩提高，不能着急，要一步一步地进行，不要指望一夜之间什么都学会了。

即使进步慢一点，只要坚持不懈，也一定能在数学的学习道路上获得成功!还要有“不耻下问”的精神，不要怕丢面子。

高中数学第三章指数函数与对数函数第4节4.1对数及其运算第1课时对数课件北师大版必修1

阶
阶
段
段
一
三
1．理解对数的概念．(重点)
2．掌握指数式与对数式的互化．(重点)
3．理解并掌握对数的基本性质．(难点、易混点)
学
阶段二
业分层测
评
【答案】 C
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零和负数没有对数．(
)
(2)1的对数是1.(
)
(3)2log22－1＝－1.(
)
指数对数
【解析】 ∵b5－－2b>>00，， ∴2<b<5 且 b≠4.故选 D. 5－b≠1，
【答案】 D
[再练一题] 2．求下列各式中的 x 值： (1)log2(ln (lg x))＝0；(2)logx25＝2； (3)log5x2＝2.
【解析】由 logπ[log3(lnx)]＝0，得 log3(lnx)＝1，则 lnx＝3，故 x＝e3.
3×2log43＝3×2log2 3＝3 3.
[基础· 初探]
教材整理 1
对数的定义
阅读教材 P78～P79“思考交流”之间的部分内容，完成下列问题．
1．对数的有关概念：
§4 对数
4．1 对数及其运N算
1
1
第 1 课时对0数
0
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)2－7＝11 28；(2)33＝27；(3)10－1＝0.1；
解惑：
【尝试解答】 (1)log21128＝－7；(2)log327＝3；(3)lg 0.1＝－1；(4)12－5＝ 32；(5)10－3＝0.001.
指数式与对数式[小的组合互作化型]
[再练一题] 1．将下列指数函数化为对数函数，对数函数化为指数函数． ①35＝243，②13m＝5.73，③log1216＝－4， ④ln10＝2.303.

高中数学第三章指数函数和对数函数3.4对数3.4.1对数及其运算课件北师大版必修1

第五页，共31页。
4．对数的运算性质条件
性质
a>0，a≠1，且 M>0，N>0
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN (2)logaMn＝nlogaM(n∈R) (3)logaMN ＝logaM－logaN
第六页，共31页。
|自我尝试| 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数 log39 和 log93 的意义一样．( × ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( × ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( √ ) (4)logaMN＝llooggaaMN( × ) (5)log3(－2)2＝2log3(－2)( × )
第七页，共31页。
2．如果 a＝b(a>0 且 a≠1)，则( )
A．2logab＝1
B．loga12＝b
C．log 1 a＝b
D．log 1 b＝a
2
2
【解析】将四个选项中的对数式转化为指数式，依次为 2logab ＝1⇒ a＝b；
loga 1 ＝b⇒ab＝12；log 1 a＝b⇒21b＝a；log 1 b＝a⇒21a＝b.选 A.
第十七页，共31页。
【解析】 (1)因为 log2(log3x)＝0，所以 log3x＝1，所以 x＝3. (2)因为 log5(log2x)＝1，所以 log2x＝5，所以 x＝25＝32. (3) 32－1＝2 32＋1＝ 3＋1，所以 log( 3＋1) 32－1＝log( 3＋1)( 3＋1)＝1，所以 x＝1.
跟踪训练 1 将下列指数式与对数式互化： (1)25＝32；(2)21－2＝4； (3)log381＝4；(4)log134＝m.
【解析】 (1)log232＝5； (2)log 1 4＝－2；

对数及其运算1

a
logaN
=N
对数恒等式
例题
讲解
例1 将下列指数式写成对数式: 解: log5625=4. (1)54=625 1 1 6 log 6. 解: (2)2 2
64
64
(3)3a=27
m
解:
log327=a.
1 (4) 5.73 解: 3
log 1 5.73 m.
4
所以须要创立新的符号,能在已知底数和幂的值时,表示出该指数的表达式.这就是我们本节课将要学习的对数及对数符号.
形成概念
一般地,如果a(a>0,a≠1)的 b 次幂等于N, 即ab=N, 那么数b叫做以a为底 N的对数,
记作：
logaN=b
(式中的a叫做对数的底数,N叫做真数.)
(对数式 “logaN” 表示的意思就是:一个乘方的底数是a,乘方的结果是N时所“对应的那个指数”)
式log20, log3(-3),以及log05, log-23, log12等都无意义.
有了对数知识,前面提出的“已知底数和幂的值,如何用(含有底数和幂的)式子去表达出与其对应的指数”之问题就迎刃而解了. 例如,因为42=16,所以底数为4,幂为16,对数(对应的指数) 是2,就可写为 log416=2
随堂检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0
1 2
(B). log55=1与51=5.
1 3
1 1 1 (C).log3 9 2与9 3 (D).27 3与log27 3 3 解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
书写格式：
logaN

北师大版高中数学必修一课时跟踪检测：第三章 §4 4.1 对数及其运算

第三章 §4 4．1 对数及其运算课时跟踪检测一、选择题1．若log a b ＝c ，则a ，b ，c 之间满足( ) A ．a c ＝b B ．a b ＝c C ．c a ＝bD ．c b ＝a解析：log a b ＝c ⇔a c ＝b . 答案：A2．设5lg x ＝25，则x 的值为( ) A ．25 B ．100 C ．±25D ．±100 解析：∵5lg x ＝25，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100. 答案：B3．已知x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，则log x y x 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．xD ．y解析：由x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝0，得(x －2)2＋(y －1)2＝0，∴x ＝2，y ＝1，∴log x y x ＝log 21＝0.答案：A4．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －12等于( ) A ．13 B ．123 C ．122D ．133解析：∵log 7[log 3(log 2x )]＝0， ∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，即x ＝23＝8. ∴x －12＝122.答案：C5．已知f (10x )＝x ，则f (5)＝( ) A ．lg 5 B ．1 C ．510D ．105解析：令10x ＝5，则x ＝log 105＝lg 5.∴f (5)＝lg 5. 答案：A6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( )A ．－3B ．3C ．13 D ．－13答案：C 二、填空题7．式子2log 25＋log 121的值为________．解析：2log 25＋log 121＝5＋0＝5. 答案：58．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝________.解析：由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ，即x 2＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－3.又⎩⎨⎧1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3.答案：－39．设a ，b ∈R ，且(2a －1)2＋(b －8)2＝0，则log 2(ab )＝________. 解析：由(2a －1)2＋(b －8)2＝0，得a ＝12，b ＝8， ∴ab ＝4.log 2(ab )＝log 24＝2. 答案：2 三、解答题10．设a ，b ∈R ，且b ＝1－a 2＋a 2－1a ＋1，求lg(a ＋b )的值．解：⎩⎨⎧1－a 2≥0，a 2－1≥0，a ＋1≠0，∴⎩⎨⎧a 2＝1，a ＋1≠0，∴a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1， ∴lg(a ＋b )＝lg 1＝0.11．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19log 34的值．解：原式＝3×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116 ＝－4716.12．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值．解：原函数式可化成f (x )＝lg a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1lg a 2－1lg a ＋4lg a .由已知，f (x )有最大值3，所以lg a <0，并且－1lg a ＋4lg a ＝3，整理得4(lg a )2－3lg a －1＝0，解得lg a ＝1，或lg a ＝－14. ∵lg a <0，故取lg a ＝－14.∴a ＝10－14.13．若集合{x，xy，lg(xy)}＝{0，|x|，y}，求log2(x2＋y2)的值．解：根据集合中元素的互异性知x≠0，y≠0，∴第一个集合中的元素xy≠0，只有lg(xy)＝0，可得xy＝1. ①然后，还有两种可能，x＝y，②或xy＝y，③由①②联立，解得x＝y＝1，或x＝y＝－1，若x＝y＝1，xy＝1违背集合中元素的互异性；若x＝y＝－1，则xy＝|x|＝1，从而两集合中的元素相同，∴x＝－1，y＝－1符合集合相等的条件，所以log2(x2＋y2)＝log22＝1.由①③联立，解得x＝y＝1，不符合题意．综上，log2(x2＋y2)＝1.由Ruize收集整理。

对数及其运算(一)课件

3 3 3 3
2
幂真数
对数
a N loga N x(a>0且a 1)
x
底数底数
练习：若2x＝5，则x＝ log25
16 x＝16，则x＝ log 若1.03 1.03
若10x＝8，则x＝ log108 若ex＝16，则x＝ loge16
3、常用的两种对数：
（1）常用对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm)。 N的常用对数简记作lgN 即 log10N=lgN
(5)
(4)
log 1 16 4
2
lg 0.01 2 （6） ln10 2.303
例2.求下列各式中ｘ的值：
(1)
(2)
2 log 64 x 3 log x 8 6
(3) lg100
(4)
2
x
ln e x
小结：
1．对数定义： 2.指数式与对数式互化
3.理解:a＞0且a≠1；
（2）自然对数:以无理数e=2.71828…… 为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，为了简便，N的自然对数简记作lnN。即 logeN=lnN
在吗？为什么？由此能得到什么结论？
思考: (1)当a>0，且a≠1时，log a(-2), loga0存
(2)根据对数定义，log a1和log a a（a>0，
a≠1）的值分别是多少？
4. 常用的结论:
①零和负数没有对数.
(在 log a N b中, a 0, a 1, N 0）
②loga1=0 ③logaa=1
【精讲点拨】
（1）54=625

《3.4.1对数及其运算(1)》课件

过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发

对数及其运算教案

§4.1对数及其运算一、教材及学情分析对数及其运算是北师大版普通高中数学课程标准实验教科书《数学1（必修）》第三章第四单元第一节，是在系统学习研究函数的一般方法、指数的概念及运算性质,基本掌握指数函数的概念及性质的基础上引入的，既是指数有关知识的承接和延续，又是后续研究对数函数、探讨函数应用的基础,本节共两课时，本课是第一课时，重点研究对数的概念及其性质,教材以2000年国民经济生产总值增幅为背景，引入对数概念，在使学生认识引进对数必要性的同时,强化学生的数学应用意识，“思考交流”旨在引导学生进一步厘清指数式与对指数式之间的关系，明确1和底数对数的特点，深化真数取值范围的理解，为对数函数学习打下伏笔。

常用对数及自然对数是对数的特例,教材将其安排在对数性质之后，旨在引领学生经历“特殊——一般——特殊”的过程，进一步发展学生的理性思维。

因此，本节内容无论是只是传承，还是数学思想方法的强化渗透，都具有非常重要的奠基作用。

经历了义务教育阶段学习的高一学生，思维正处于由经验型向理论型过渡与转型期，思维的发散性与聚敛性基本成型，已具有研究函数和从事简单数学活动的能力，加之指数及指数函数等知识铺垫，对于本单元学习奠定了必要的知识和经验基础。

二、教法选择根据教材及学情特点，本课以“尝试指导，效果回授”教学法为主，辅之于讨论法和自学辅导法。

以问题为主线，活动为载体，力求创设有效的教学情境, 引导学生在在观察中思考，在思考中探索，在探索中发现，在发现中收获，在收获中创新，在创新中升华，通过具有一定层次梯度的问题序列，多角度、全方位训练学生思维的聚敛性和发散性。

为增大课堂容量，“注重信息技术与数学课程的整合”，可借助多媒体辅助教学,为学生的教学探究与教学思维提供支持。

教具准备：PPT 演示文稿；学具准备：教科书，课堂练习本。

三、教学目标及重难点【目标呈现】①能说出对数的概念。

②掌握对数的性质。

③知道指数与对数的关系，能熟练地进行指数式与对数式互换。

对数函数及其运算

2.2对数函数（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）．（4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈④log a NaN =⑤log log (0,)b na a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．课堂练习对数函数与指数函数的混合运算： 1、若log 2,log 3,a a m n ==则32m na-=_________2、若1a >且01b <<，则不等式log (3)1b x a ->的解集为________3、已知35,abA ==且112a b+=，则A 的值是________ 4、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是( )A 、2a -B 、52a -C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 对数函数的定义域与解析式注意复合函数的定义域的求法，形如[])(x g f y =的复合函数可分解为基本初等函数)(),(x g u u f y ==，分别确定这两个函数的定义域。