2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份)
重庆市巴蜀中学2020届高三下学期高考适应性月考(六)数学(理)试题 Word版含解析
巴蜀中学2020届高考适应性月考卷（六）理科数学一、选择题1.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >， 所以{}20A B x x ⋂=-<<， 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数z 满足：()11i z i +=-，其中i 是虚数单位，则z 的值为（ ） A. 1 B.12C. 1-D. 12-【答案】A 【解析】 【分析】先通过复数的乘除运算化简复数，再求模.【详解】因为()221111i i z i i i--===-+-， 所以1z =. 故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算和复数模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 3.已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.74P ξ≤=，则()02P ξ≤≤=（ ）A. 0.26B. 0.24C. 0.48D. 0.52【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，得到2μ=，利用正态分布的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.74P ξ≤=，所以()2,00.26P μξ=≤=， 所以()()()020.24042P P P ξξξ≤-=≤≤≤=.故选：B【点睛】本题主要考查随机变量的正态分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.已知向量()1,2a =-，()1,3b =，2,4c ，若t 为实数，()//a tb c +，则t =（ ）A .2B. 2-C. 4D. 4-【答案】D 【解析】 【分析】根据()//a tb c +，由共线向量得到()()22341t t +=-+求解. 【详解】因为向量()1,2a =-，()1,3b =， 所以()1,23a tb t t +=-++， 因为()//a tb c +，所以()()22341t t +=-+， 解得4t =-.故选：D .【点睛】本题主要考查平面向量的共线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5.下列说法中，正确的有（ ）个. ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②过球面上任意两点只能作球的一个大圆； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】举例说明.②根据平面的基本性质判断.③举例说明.④根据斜二测画法判断. 【详解】①如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误； ②过球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，故错误；③一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥，满足题意，故正确； ④因为平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，故错误. 故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线与圆()()22311x y -+-=没有交点，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）A. 54e < B.53e < C. 513e >>D. 514e >>【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有1>求解.【详解】因为双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的渐近线a y x b =±与圆()()22311x y -+-=没有交点，1>，解得34a b >， 又因为222c a b =+，所以53e =<. 故选：C .【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.“ln ln x y >”是“1132x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =的图象（ ）A. 关于点7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 关于直线712x π=-对称 D. 关于直线712x π=对称 【答案】B 【解析】 【分析】 根据()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，可得推出()()f x f x π+=，即T π=得到2ω=，再由()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，得到3x π=是()f x 的一条对称轴，求得()f x 再验证即可.【详解】因为()23f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，()06f x f x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 所以236f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即266f x f x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()()fx f x π+=，所以T π=，所以2ω=， 因为()23f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以2sin =133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以232k ππϕπ+=+，又2πϕ<， 所以6πϕ=-，所以()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. 所以77sin 2012126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9.如图是某个闭合电路的一部分，每个元件正常导电的概率为23，则从A 到B 这部分电源能通电的概率为（ ）A. 188243 B.55243 C. 95243D. 148243【答案】A 【解析】 【分析】由并联和串联电路性质先求出从A 到B 电路不能正常工作的概率，再由对立事件的概率求解.【详解】从A 到B 电路不能正常工作的概率为1222115115511133333927243P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯-⨯=⨯=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以从A 到B 电路能正常工作的概率为15518811243243p P =-=-=. 故选：A .【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10.已知()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，且对任意实数x ，都有()2123f x mx -+>，则m 的取值范围是（ ）A. 22m -<<B. 02m <<C. 44m -<<D. 2m >【答案】A 【解析】 【分析】根据()121xaf x =-+是定义域为R 的奇函数，由()00f =，得到a ，再利用函数的单调性，将()()21213f x mx f -+>=恒成立，转化为210x mx -+>恒成立求解.【详解】因为()121x af x =-+是定义域为R 的奇函数所以由()00f =，得2a =， 而()()21213f x mx f -+>=且()f x 单调递增， 所以210x mx -+>恒成立， 所以240m -<， 解得22m -<<. 故选：A .【点睛】本题主要考查函数的基本性质以及不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.锐角ABC 的三边分别为,,a b c ，2cos a b B =，则cb的取值范围是（ ） A. [)1,3B. 1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 3⎛ ⎝D. [)1,2【答案】D 【解析】 分析】根据2cos a b B =，由正弦定理得到sin 2sin cos sin 2A B B B ==，再根据ABC 是锐角三角形，分2A B =，2A B π+=两种情况求解. 【详解】因为2cos a b B =， 所以sin 2sin cos sin 2A B B B ==， 因为ABC 是锐角三角形，所以当2A B =时，()0,202,202,2B B B B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-+<⎪⎩解得64B ππ<<.所以 211sin ,42B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()2sin 3sin sin 334sin 1,2sin sin sin B c C B B b B B Bπ-====-∈. 当2A B π+=时，B C =，得1cb=. 故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理以及三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.已知单调递增的整数列{}n a 共有n 项，11a =，200n a =，且对任意的整数[]2,m n ∈，都存在整数[],1,1i j m ∈-使得m i j a a a =+（,i j 可以相等），则数列{}n a 至少有（ ）项. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的新定义，采用验证推理的方法求解.【详解】当10n =时，数列1,2,3,5,10,20,40,80,160,200满足； 若有9项，依题意22a =，12m m a a -≤，所以34a ≤，48a ≤，516a ≤，632a ≤，764a ≤，8128a ≤，而9200a =，所以8100a =，750a =，625a =，此时625816a =>+， 所以5a 无法取整数； 显然当8n ≤都不成立. 故选：D .【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了分析推理求解的能力，属于难题. 二、填空题13.如果1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，则展开式中21x 的系数是______. 【答案】90- 【解析】 【分析】根据1nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为32，令1x =解得n ，得到其通项公式，再令x的指数为-2求解即可.【详解】令1x =，得展开式中各项系数之和为2n . 由232n =，得5n =，通项公式为(()()5355215513rrrr r rr r x x T C C ---+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭= 令5322r-=-，得3r = 所以21x 的系数是()32351390C -⨯⨯=-. 故答案为：90-【点睛】本题主要考查二项展开式的系数以及通项公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=______.【解析】【分析】 根据1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由平方关系得到sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由角的变换得到sin sin 66ππαα⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式求解.【详解】因为1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin sin in cos cos sin 666666s ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：16【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15.设抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 的抛物线上，直线AB 过焦点F ，若32BF AF -=，则AF BF 的值为______.【答案】12【解析】 【分析】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x =+⎧⎨=⎩，再根据32BF AF -=，结合抛物线定义解得21,x x ，然后由1222px AF p BF x +=+求解. 【详解】设直线AB 方程为()()11221,,,,x ty A x y B x y =+，联立方程组214x ty y x=+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=,所以1212044y y t y y >⎧⎪+=⎨⎪=-⎩所以()()()2121212121111ty ty t y y x y y x t ++++==+=⋅因为32BF AF -=， 由抛物线定义得：2132x x -=， 所以112x =，22x =， 故1112212AF BF +==+.故答案为：12【点睛】本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16.在三棱锥A BCD -中，2AB BC BD ===，22AC AD ==，CD 23=，则三棱锥A BCD -的外接球的半径为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据2AB BC BD ===，22AC AD ==，由勾股定理得到AB BC ⊥，AB BD ⊥，从而有 AB ⊥平面BCD ，根据截面圆的性质，得到球心到平面BCD 的距离h ，在CBD 中，由余弦定理和正弦定理求得BCD 的外接圆半径r ，再利用球的半径为22R r h =+求解. 【详解】如图所示：因为2AB BC BD ===，AC AD == 由勾股定理得AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC BD B =所以AB ⊥平面BCD ，所以球心到平面BCD 的距离为1在CBD 中，由余弦定理得2221cos 22BC BD CD CBD BC BD +-∠==-⋅，所以23CBD π∠=所以BCD的外接圆半径为122sin3=，=【点睛】本题主要考查球的外接问题，以及截面圆的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、解答题17.已知数列{}n a 中，11a =，()*1122n n n a a n +=-∈N . （1）求证：数列{}2nn a ⋅是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设1nn a b n =+，令{}n b 的前n 项和为n S ，求证：1n S <. 【答案】（1）证明见解析；12n n n a +=（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ，两边同时乘以2n ，有11221n nn n a a ++⋅-⋅=，再由等差数列定义求解.（2）由（1）知112n n n a b n ==+，再利用等比数列求和公式求解..【详解】（1）∵11a =，()*1122nn n a a n +⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭N ， 两边同时乘以2n ，即有11221n n n n a a ++=-，即11221n n n n a a ++⋅-⋅=.又1122a =，所以数列{}2nn a ⋅是首项为2和公差为1的等差数列， 所以21nn a n ⋅=+， 故12n nn a +=. （2）由（1）知112n n n a b n ==+， 所以111122111212n n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-<-.【点睛】本题主要考查等差数列的定义以及等比数列的求和公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90DAB ∠=︒，2BC =，1AD =，PAB △与PAD △都是等边三角形.（1）证明：平面PBD ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）63- 【解析】 【分析】（1）取BD 的中点为O ，连接,PO AO ，根据PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =，得到PO BD ⊥，再由222PO AO PA +=，得到PO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PO ⊥平面ABD ，再利用面面垂直的判定定理证明.（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面APD 和平面PDC 一个法向量，由二面角的向量公式求解.【详解】（1）如图所示：设BD 的中点为O ，连接,PO AO ，因为PAB △与PAD △都是等边三角形且有公共边PA ，又1AD =， 所以1AD AB AP PD PB =====，所以PO BD ⊥. 在等腰直角三角形ABD 中，易知22AO =， 又ABD PBD △△，所以22PO =， 所以222PO AO PA +=，所以PO AO ⊥. 又BDOA O =，,BD OA ⊂平面ABD ，所以PO ⊥平面ABD .又PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD .（2）由（1）知，,,BD OA OP 两两垂直，以O 为原点，取,,OB OA OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图3所示的空间直角坐标系，则2,02A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,02C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20,0,2P ⎛ ⎝⎭. 设平面APD 一个法向量为()1111,,n x y z =，又22,22DA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，22,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1111220,22220,22x y x z +=⎪+=⎩，取11x =，得()11,1,1n =--.设平面PDC 的一个法向量为()2222,,n x y z =，又()0,2,0DC =-，2222DP ⎛= ⎝⎭，所以22220,220,x z ⎧==，取21x =，得()21,0,1n =-. 所以1211116cos ,332n n ⨯+-⨯-==⨯设二面角A PD C --的大小为,,2πθθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以126cos cos ,n n θ=-=. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即2019新型冠状病毒.2020年2月7日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”.患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现.基于目前流行病学调查，潜伏期为1~14天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能成为传染源.某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取10000人，答题成绩统计如图所示.（1）由直方图可认为答题者的成绩z 服从正态分布()2,N μσ，其中2,μσ分别为答题者的平均成绩x 和成绩的方差2s ，那么这10000名答题者成绩超过84.81分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）（2）如果成绩超过56.19分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这10000名答题者的成绩来估计全市的民众，现从全市中随机抽取4人，“防御知识合格者”的人数为ξ，求()3P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②()2~,z Nμσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，()220.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=，30.84130.595=.【答案】（1）1587人（2）0.499 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求得x ，z 服从正态分布()2,N μσ根据提供的数据，得到()()22,70.5,14.31N N μσ=，然后通过σ法则求解.（2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=，()~4,0.8413B ξ，利用二项分布公式求解.【详解】（1）由题意知：450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 因为z 服从正态分布()2,N μσ，其中70.5x μ==，()2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()()56198481068.6..2P z P z μσμσ-<<+=<<=， ∴()10.682684.810.15872P z -≥==， ∴竞赛成绩超过84.8的人数估计为0.1587100001587⨯=人. （2）由（1）知，成绩超过56.19的概率为10.15870.8413-=， 而()~4,0.8413B ξ，∴()()44431410.841310.5010.499P P C ξξ≤=-==-⋅=-=.【点睛】本题主要考查频率分布直方图估计总体，正态分布以及二项分布的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 作圆()()22:8R x a y b -+-=的两条切线，切点分别为,A B ，圆心R 的轨迹为C .（1）若AOB ∠为钝角，求四边形OARB 的面积的取值范围； （2）设OA 与OB 的斜率分别为12,k k ，且1212k k =-，OA 与OB 交轨迹C 于,M N ，求22OM ON +的值.【答案】（1）()0,8（2）36 【解析】【分析】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.根据AR =得到OA =，再由2OARB OARS S =△求解.（2）根据1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=，得到12,k k 是方程()2228280ak abk b --+-=的两根，再由 1212k k =-得到圆心的轨迹方程，由点()11,M x y ，()22,N x y ，在轨迹C 上，结合1212k k =-，由()()2222221122OM ON x y x y +=+++求解.【详解】（1）设AOR θ∠=，则,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭. AR =OA =，()820,8tan OARB OAR S S θ==∈△.（2）由于1:OA y k x =与圆R=，整理得()222118280a k abk b --+-=，同理()222228280a k abk b --+-=， 故12,k k 是方程()2228280a k abk b --+-=的两根.所以21228182b k k a -==--，整理得(2212412a b a +=≠±，故轨迹C的方程为(2212412x y x +=≠±.设()11,M x y ，()22,N x y ，由1212k k =-，得121220y y x x +=①， 又221112412x y +=，所以2211242x y =-，同理2222242x y =-， 则()()()2222222212121212242242448576x x y y y yy y =--=--+，将①代入得221212y y +=.所以()()()()22222222112212242436OM ON x y x y y y +=+++=-+-=.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法以及直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()()22ln 1f x x x a x=+-.（1）证明：1ln 1x x≥-+； （2）（i ）证明：当102a <<时，对任意0,1a x a ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，总有()0f x >； （ii ）讨论函数()f x 的零点个数.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析（ii ）当0a ≤或12a =时，函数()f x 有唯一零点；当0a >且12a ≠时，函数()f x 有两个零点 【解析】 【分析】（1）()()1ln 10g x x x x=+->，用导数法求得最小值大于零即可。
重庆八中(6月三诊)2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理科)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理科）注意事项：1．答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．212ii+=-（ ） A ．i - B ．i C ．1i + D ．1i -+2．若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．函数()21x xe ef x x --=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知向量()1,2a =，2b =，且a b ⊥，则2a b +=（ ）A B C ．13 D ．175．若直线0x y -=与圆224690x y x y +--+=相交于A ，B 两点，则AB =（ ）A ．2BC ．3D 6．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 3a B =，cos 4b A =，则c =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，叫做“物不知数”问题，后由宋朝数学家秦九韶在《数书九章》中给出了完整系统的解答．此类问题在后续发展过程中形成了多种简便快捷的求解方法，右边的程序框图给出了某个“物不知数”问题最小整数解的求解方法——“逐步约束法”．其中，若正整数n 除以正整数m 的余数为r ，则记为()mod n r m =，例如()71mod3≡．执行该程序框图，则输出的n 为（ ）A ．20B ．38C ．47D ．538．某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为（ ） A ．712 B ．23 C ．56 D ．11129．直角ABC中，AB AC ==D 为BC 边上一点，沿AD 将ACD 折起，使点C 在平面ABD 内的正投影H 恰好在AB 上，若1AH =，则二面角C AD B --的余弦值是（ ） A ．13 BCD10．若函数()cos 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在(),a a -上没有最小值，则a 的最大值为（ ） A ．12πB ．6πC ．512πD ．712π11．已知函数()[](]123,1,21,2,82x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（ ） A ．()()27f f = B ．函数()f x 有5个零点C ．函数()f x 在[]3,6上单调递增D ．函数()f x 的值域为[]2,4-12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线l 与y 轴相交于点M ，与C 的右支相交于点P ，且M 为线段1PF 的中点，若C 的渐近线上存在一点N ，使得2MN NP =，则C 的离心率为（ ）AB ．53C ．2 D二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数()132cos x f x f x π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________． 14．若x ，y 满足约束条件2044054200x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≥⎩．则3z x y =+的最小值为________．15．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin 2cos 2αα+=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 16．三棱台111ABC A B C -中，111112A A B B C C A B ====，4AB =，侧面11A B BA ⊥底面ABC ，M 为AB 的中点，线段MC 的长为________（2分）；该三棱台的所有顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________（3分）．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．（12分）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 是其前n 项和，若39S =，且5a 是2a 与14a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记2log n n n b a a =-，n N +∈，证明：1n n b b +<．18．（12分）近几年来，热饮越来越受到年轻人的欢迎．一个研究性学习小组为了研究气温对热饮销售的影响，统计了学校门口一个热饮店在2019年1月份某6天白天的平均气温和热饮销售量，得到以下数据：（1）求销售量关于气温的回归直线方程，若某天白天的平均气温为16C ︒，估计当天的热饮销售量； （2）根据表格中的数据计算2R （精确到0.001），由此解释平均气温对销售量变化的影响． 参考公式：()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-；()()212211niii nii y y R y y ==-=--∑∑．19．（12分）已知抛物线()2:20C y px p =>，直线l 经过点()2,0P p ，且与C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）判断AOB 的形状，并说明理由；（2）若513OA OB OP +⋅=AOB 的面积为5，求l 的方程．20．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，2PD PB ==，H 为PC 的中点，过AH 的平面分别交线段PD ，PB 于点M ，N ．（1）若//BD 面AMHN ，求证：MN PC ⊥；（2）若3PA PC ==，AC =AC 与面AMHN 所成角的正弦值的最大值． 21．（12分）已知函数()()()21ln 2112f x x x a x =--+-，其中1a ≥． （1）证明：函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，并求2212x x +的取值范围；（2）若曲线()y f x =在点()1,0处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求a 的所有可能值． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2224111k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若P 为曲线C 上一点，求P 到直线l 距离的取值范围． 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 设函数()12f x x x a =-++． （1）若2a =，求()8f x ≤的解集；（2）若()31f x x ≥--，x R ∈，求a 的取值范围．参考答案一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分． 1．B 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．C 9．A 10．C 11．C 12．B二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．32-14．50715．2- 16．2，16π 三．解答题：共70分． （一）必考题：共60分． 17．设{}n a 的公差为d ，0d ≠．（1）由条件，得123252149a a a a a a ++=⎧⎨=⎩．即()()()12111339413a d a d a d a d +=⎧⎪⎨+=++⎪⎩． 解得：11a =，2d =，所以()121n a n =+-，21n a n =-． 5分 （2）由（1）得：()221log 21n b n n =---，n N +∈，()1221log 21n b n n +=+-+，12212log 21n n n b b n +-⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭因为n N +∈，所以2112113n n +≤-<，2221log 3log 021n n -⎛⎫-≤< ⎪+⎝⎭．从而12242log 3log 03n n b b +-≥-=>，故1n n b b +<． 12分 18．（1）由条件，5x =，135y =，从而()()61504iii x x y y =--=-∑，()261168ii x x =-=∑，解得：()()()1213niii nii x x y y b x x ==--==--∑∑，150a y bx =-=．所以，气温预报销售量的回归直线方程为：3150y x =-+． 5分 当16x =时，102y =．因此，某天白天的平均气温为16C ︒时，估计可以卖出102杯热饮．7分 （2）()6152iii y y =-=∑，()2611564ii y y =-=∑．()()2212152110.9671564niii ni i y y R y y==-=-=-≈-∑∑． 所以，平均气温解释了96.7%的销售量变化（或销售量变化有96.7%是由平均气温引起的）． 12分19．设直线l 的方程为；2x my p =+，代入22y px =， 化简得：22240y pmy p --=，2242160p m p ∆=+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pm +=，2124y y p =-，（1）因为2221212244y y x x p p==，所以12120OA OB x x y y ⋅=+=． 故AOB 是直角三角形，斜边为AB ． 5分 （2）4OA OB OP AB OP p +===AOB 的面积()121212252S p y y p y y p =⋅+=-==，解得：1p =，294m =． 故直线l 的方程为：2340x y --=或2340x y +-=． 12分 20．（1）证明：连接AC ，BD 交于点O ， 因为//BD 面AMHN ，面AMHN面PBD MN =，BD ⊄面AMHN ，则//BD MN ．因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为BD 的中点． 因为PB PD =，所以PO BD ⊥， 又因为ACPO O =，所以BD ⊥面P AC ，PC ⊂面P AC ，所以PC BD ⊥，由//BD MN ，故MN PC ⊥． 5分 （2）因为PA PC =，所以PO AC ⊥，由（1）知，PO BD ⊥，AC BD ⊥， 以O 为原点，以OA ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．因为AC =3PA =，PO =1BO =，所以)A，()C，(P，H ⎛ ⎝⎭，()0,1,0D ，从而22AH ⎛=- ⎝⎭，(0,DP =-，()AD =-，()AC =- 设()01DM DP λλ=≤≤，()AM AD DP λλ=+=--设面AMH 的法向量(),,n x y z =，则00n AH n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()02210x z y z λ⎧-+=⎪⎨⎪+-+=⎩．令x =)312,,61n λλ⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭设θ为直线AC 与面AMHN 所成角，所以2sin 23831AC n AC nθλ⋅==⎫+⎪-⎭，当13λ=时，sin θ取得最大值19．经检验，此时点N 在线段PB 上，符合题意． 12分21．（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()221121ax a x f x a x x x-++'=-+-=，设()()221g x ax a x =-++， 因为()222440a a a ∆=+-=+>且20a a +>，10a>，所以()0g x =在()0,+∞上有两个不等实根1x ，()212x x x <，且当()10,x x ∈，()2,x +∞时，()0g x >，()0f x '>； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()0f x '<．所以()f x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 故1x ，2x 是()f x 的两个极值点，且12221a x x a a ++==+，121x x a=． 从而()222212121222242211x x x x x x a a a a⎛⎫+=+-=+-=++ ⎪⎝⎭，又因为[)1,a ∈+∞，所以(]10,1a∈，故(]22121,7x x +∈． 5分 （2）由()11f '=-知曲线在()1,0处切线方程为1y x =-+， 原问题等价于方程()1f x x =-+只有一个实根， 设()()()()211112ln x h x f x x a x x =+-=+---， ()()()()11111x x ax h a x x x--'=+--=． ①当1a =时，()()210x h x x-'=≥，()h x 在()0,+∞上单增，而()10h =，所以()h x 只有一个零点1x =，符合题意． ②当1a >时，令()0h x '=得1x a =或1，11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0h x '>；当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<．从而()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，()f x 在11a ⎛⎫< ⎪⎝⎭上单调递减， 所以()h x 在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上有一个零点1x =， 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，因为()110h h a ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，设()()1121a a ea a ϕ+=->，则()1121102a e a ϕ+'=->，()a ϕ在()1,+∞单调递增， 所以()0a ϕ>，即112a ea +>，从而11210a ea--<<， 取11200,a x e --⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()200011111111102222h x a a x x a a <--+---<--++=．∴存在101,x x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x =，此时()h x 有两个零点，不符题意．综上，a 可取得的所有值为1． 12分22．（1）由2211k y k -=+得211y k y -=+，代入241k x k =+得()21x k y =+，又由211y k y -=+，得()221141x yyy -=++， 整理得曲线C 的普通方程为()22114x y y +=≠-； 直线l的极坐标方程为1cos sin 222ρθρθ-=， 因为cos x ρθ=及sin y ρθ=，所以直线l的普通方程为40x -=．（2）设点()2cos ,sin P θθ，则点P 到直线l 的距离为=因为()1sin 1θϕ-≤+≤，所以点P 到直线l的距离的取值范围为4422⎡-⎢⎣⎦． 10分23．（1）由2a =，1228x x -++≤，当1x ≥时，1228x x -++≤，解得73x ≤，所以713x ≤≤， 当11x -<<时，1228x x -++≤，解得5x ≤，所以11x -<<， 当1x ≤-时，1228x x ---≤，解得：31x -≤≤-， 综上可得：733x -≤≤，所求的解集为73,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）()312223f x x x a x ≥--⇒++-≥恒成立， 又()()()2222222g x x a x x a x a =++-≥+--=+， ()min 2323g x a a ∴-+≥⇒+≤-，或235a a +≥⇒≤-或1a ≥，所求的a 的取值范围是：(][),51,-∞-+∞．。
【6月5日重庆一中高考模拟理数】2020年6月重庆市第一中学2020届高三6月模拟考试理数试卷含答案
()()12,+-='='x x g e x f x ，()111:x x e e y l x x -=-∴，即()1111:x x e x x e y l -+=，又()()()2222221:x x x a x x y l --=++--，即()a x x x y l ++-=22221:， ()⎩⎨⎧+=--=∴ax e x x e x x 221211121，由()a e e x e x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴-=212211,21111， 即()()014641112=++-+a e x e x x ， )(x f 与)(x g 有两条不同的公切线⇔()()014642=++-+a e x e x x 在R 上有两个不同实根， 令()()R x a e x e x h x x ∈++-+=,1464)(2，由于()122)(-+='x e e x h x x ，令,12)(-+=x e x u x 02)(>+='x e x u ，∴)(x u 在R 上单增，而0)0(=u ，∴当()0,∞-∈x 时，()↓<'<)(,0,0)(x h x h x u ；当()+∞∈,0x 时，()↑>'>)(,0,0)(x h x h x u 。
∴44)0()(-=≥a h x h ，必须1044<⇒<-a a 。
当+∞→x 时，()+∞→x h ；当-∞→x 时，()()()14144146422+→++-+→++-+=--a a e e a e x ex h x x x x ， 必须141,014<<-∴>+a a . 21.解：（1）1,2323,3=∴=⇒====b a a a c e c ，椭圆14:22=+y x E . （2）易知l 的斜率存在且不为0，设)0(3:≠+=t ty x l ，()()2211,,,y x D y x C ， 由()()01324143143222222=-++⇒=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=ty y t y ty y x ty x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴41432221221t y y t t y y ， 设点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-t P 3,0，()00,y x Q ，则t y 03-=⋅， 由C Q A 、、三点共线，110011x y x y -=-，由D Q B 、、三点共线，220011x y x y +=+， 上面两式相除得：()()1111211200+-=+-y x y x y y ，()()()()()()22212122222121222001141141111+---=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∴y y y y y x y x y y ()()()()()()212121************y y y y y y y y y y y y +++++-=++--=222222233332332414321414321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-++=+-+-+-++=t t t t t t t t t t t t ，结合图形易知1100+-y y 与33-+t t 同号，33311000t y t t y y -=⇒-+=+-∴， 130=-=⋅∴t y OQ OP ，即OQ OP ⋅为定值1. 22.（1）由)4πρθ=+，得4cos 4sin ρθθ=-，所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，22(2)(2)8x y -++=.所以曲线2C 是以(2,2)-为圆心，为半径的圆.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入22(2)(2)8x y -++=，整理得24cos 40t t α--=. 设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则124cos t t α+=，124t t =-.121212114MA MB t t t t MA MB MA MB t t ++-+======， 解得21cos 16α=，则sin α=. 23.解（1）当0,1a b ==时，不等式()()f x g x ≥为411x x x +≥++-.当1x ≥时，原不等式4114x x x x ⇔+≥++-⇔≤，此时，原不等式的解为14x ≤≤； 当11x -≤<时，原不等式2x ⇔≥-， 此时，原不等式的解为11x -≤<；当1x <-时，原不等式4423x x x ⇔+≥-⇔≥-，此时，原不等式的解为413x -≤<-. 综上，原不等式的解集为4,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当[]1,1x ∈-时，()112g x x x =++-=故当1a =时，不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-220x bx ⇔++≥在[]1,1-上恒成立 当0x =时，显然成立；当(]0,1x ∈时，问题等价于20x b x ++≥在(]0,1上恒成立，而min 2()3x b b x++=+， 故3b ≥- 当[)1,0x ∈-时，问题等价于20x b x ++≤在[)1,0-上恒成立，而max 2()3x b b x ++=-， 故3b ≤ 综上，实数b 的取值范围是[]3,3-。
2020年重庆市高考理科数学仿真模拟试题一(附答案)
2020年重庆市高考理科数学仿真模拟试题一（附答案）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}03A x x =<<，{}2log 1B x x =>则A B ⋂=（ ） A. (2,3)B. (0,3)C. (1,2)D. (0,1)2. 若p ：x R ∀∈，c o s 1x ≤，则（ ） A. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x > B. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x > C. p ⌝：0x R ∃∈，0cos 1x ≥ D. p ⌝：x R ∀∈，cos 1x ≥3. 下列说法中，正确的是（ ）A. 命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B. 命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是：“任意2,0x R x x ∈-≤” C. 命题“p 或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D. 已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件4. 设函数2,3,()(1),3x x f x f x x ⎧≥=⎨+<⎩则()2log 6f 值为（ ） A. 3B. 6C. 8D. 125. 函数21010()x xf x x--=的图像大致为（ ）A. B. C. D.6. 已知向量a ，b 满足1a =，1a b ⋅=-，则(2)a a b ⋅-=（ ） A. 4B. 3C. 2D. 17. 某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（ ）正视图 仰视图 俯视图A. B.C.D.8. 一布袋中装有个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ） A. 若，则乙有必赢的策略 B. 若，则甲有必赢的策略 C. 若，则甲有必赢的策略D. 若，则乙有必赢的策略9．若函数f （x ）＝a sin x +cos x （a 为常数，x ∈R）的图象关于直线x ＝6π对称，则函数g （x ）＝sin x +a cos x 的图象（ ） A ．关于直线x ＝－3π对称 B ．关于直线x ＝6π对称 C ．关于点（3π，0）对称 D ．关于点（56π，0）对称 10．三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．212πC ．21πD ．42π11．直线12=+by ax 与圆122=+y x 相交于A 、B 两点（其中b a ,是实数），且AOB ∆是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P ),(b a 与点)1,0(之间距离的最小值为( ) A 0 B. 2 C.12- D. 12+12．抛物线2y 2px =p>0（）的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且120AFB ∠=，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为1M ，则1MM AB的最大值为（ ）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
重庆市第一中学2020届高三下学期6月模拟考试+数学(理)答案
2020年重庆一中高2020级高三下期模拟考试数 学 试 题 卷（理科）参考答案1--6：DABCAD 7---12:CABCBD 13.3 14.9 15.6 16.217.解：（1）122310,40,4a a a a q +=+==所以公比故111410,2a a a +==得，121242n n n a --=⨯=所以212log 221n n b n -==-，()()1212122n n n n n a a S n +-⎡⎤+⎣⎦===（2）假设存在正整数m ，使得24,4,85m m m b S b +成等差数列，则28485m m m S b b =++，即223200m m --=解得542m m =-=或，由,4m N m *∈=得，故存在. 18.解：（1）证明：因为2AC =，12CC ，16AC =所以22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥.又因为1BC BB ⊥，11BB CC ∥，所以1BC CC ⊥，AC BC C =I ，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ，所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）解：连接AM ，因为2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥.由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11BB C C .以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量是(0,0,1)m =u r，3)A ，2,0)N ，1(12,0)C -.设1AP t AC =u u u r u u u u r（01t <<），(,,)P x y z ， (,,3)AP x y z =u u u r，1(12,3)AC =--u u u u r ，代入上式得x t =-，2y t =，3(1)z t =-，所以(233)P t t t -.设平面MNP 的一个法向量为111(,,)n x y z =r ，2,0)MN =u u u u r ，(233)MP t t t =-u u u r，x由00n MN n MP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r，得11110)0tx t z =-++-=⎪⎩.，令1z t =，得,0,)n t =r . 因为二面角P MN C --的平面角的大小为30°，所以2m n m n =u r r g u r r=，解得34t =. 所以点P 为线段1AC 上靠近点1C的四等分点，故1PC =19.解：（1）9组数据中需要充电的数据组数为3组.X 的所有可能取值为1,2,3.()()()1625343636367779991151,2,312212C C C C C C P X P X P X C C C =========（2）由题意知()()11.880.9924 1.5niix x r ωω---==≈=-⨯⨯∑， 0.990.789r =>Q ，∴有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；（3）对bx y ae =两边取对数得ln ln y a bx =+,设ln a μ=，又ln y ω=，则ˆˆˆbx ωμ=+， ()()()9192111.88ˆ0.19860iii ii x x bx x ωω==---===--∑∑，易知5x =， 1.550.1729ω=≈. µ=1.162 1.16bx μω∴=-≈$，而ˆ0.20b ≈-，故µ0.20 1.16x ω=-+， ∴所求y x 与的经验关系式为0.20 1.16x y e -+=$，即0.203.19x y e -=$.20.解：（1）设()2()()()=⋅=-++xF x f x g x exx a ，()2()1'=--++x F x e x x a ，由条件知：()0'≤F x 在R 上恒成立，即210--++≤x x a 在R 上恒成立，即45-≤a ，∴a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-45,.（2）设公切线l 分别与)(x f 、)(x g 切于B A 、两点，设()()a x x x B e x A x++-22221,,,1，()()12,+-='='x x g e x f x ，()111:x x e e y l x x -=-∴，即()1111:x x e x x e y l -+=，又()()()2222221:x x x a x x y l --=++--，即()a x x x y l ++-=22221:，()⎩⎨⎧+=--=∴ax e x x e x x 221211121，由()a e e x e x x x x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-∴-=212211,21111， 即()()014641112=++-+a ex e x x ，)(x f 与)(x g 有两条不同的公切线⇔()()014642=++-+a e x e x x 在R 上有两个不同实根，令()()R x a ex e x h xx∈++-+=,1464)(2，由于()122)(-+='x e e x h x x ，令,12)(-+=x e x u x02)(>+='x e x u ，∴)(x u 在R 上单增，而0)0(=u ，∴当()0,∞-∈x 时，()↓<'<)(,0,0)(x h x h x u ；当()+∞∈,0x 时，()↑>'>)(,0,0)(x h x h x u 。
重庆市巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷( 六)理科数学含解析
……………………………（9 分）
又 DC (0，
2，0)
，
DP
2 2
，0，
2 2
，
所以
2 y2
2
2 x2
0， 2 2 z2
取 0，
x2
1，得
n2
(1，0， 1)
.
所以
cosn1，n2
11
(1) 3
(1) 2
6. 3
…………………………（11 分）
设二面角
A PD C
理科数学参考答案·第 6 页（共 8 页）
∴ y (x) 的最小值为(
2a ) ln
2a
a
1 2
．
①令 m(a) ln
2a
a
1 2
，则
m(a)
1 2a
1，
所以
m(a)
在
0，1 2
上单调递增，在
12 ，
上单调递减，又
m
1 2
2． z
1 1
i i
(1 i)2 1 i2
i，| z | 1 ，故选
A．
3．
0.74
2
0.26
0.24
，故选
B．
4．依题意 (1 t，2 3t)∥(2，4) ，所以 2(2 3t) 4(1 t)， 得 t 4 ，故选 D．
5．只有第三个正确，故选 A．
6．依题意
3a 1 b
a b
∴
P(z
≥
84.81)
1
0.6826 2
0.1587，
………………………………………………（6 分）
∴竞赛成绩超过 84.8 的人数估计为 0.1587 10000 1587 人.
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试(2020届康德卷6月三诊考试)理科数学试卷及答案
2020年重庆市普通高等学校招生全国统一考试6月调研考试（2020届康德卷6月三诊考试）理科数学试卷★祝考试顺利★一、选一择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。
已知集合2{|31},{|lg()},x x B x y x x -≤≤==-则A∩B=A ．(]0,1B ．(0,1) [].0,1C [).3,1D -2．在复平面内,复数z 对应点Z (x,y),若||||,z i z i -=+则A.0y = B ．[]0,0,1y x =∈ C ．0x = D ．[]0,0,1x y =∈3．命题p ：∀x ∈N,|2|3x +≥的否定为A ．∀x ∈N,|2|3x +<B ．∀x N,|2|3x +<C ．∃x ∈N,|2|3x +≥D ．∃x ∈N,|2|3x +<4．已知 2.122312log ,,225a b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 A ．a b c << B ．c a b << C ．a c b << D ． b a c <<5．设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为n S ,若92727,a a a ++=且89,S S =则d=A ．-3B ．-1C ．1D ．36.若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>则(||)0.6806,(||2)0.9544,(||3)0.9974.P X P X P X μσμσμσ-≤≈-≤≈-≤≈已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布()10100,N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为A ．159B ．46C ．23D ．137．已知向量()()12,34a b =-=r r ，，/,若向量→c 与→a 共线,且→c 在→b 则|→c |=A ．1B ．2C ．58．设α,β是空间中的两个平面,,m 是两条直线,则使得α∥β成立的一个充分条件是A ． ⊂α,m ⊂β,∥mB ．⊥m ,∥α,m ⊥αC ． ⊂α,m ⊂α,∥β,m ∥βD ．∥m ,⊥α,m ⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术,明代的律学家朱载填创建了十二平均律,并把十二平均律计算得十分精确,与当今的十二平均律完全相同,其方法是将一个八度音程(即相邻的两个具有相同名称的音之间,如图中88键标准钢琴键盘的一部分中,c 到1c 便是一个八度音程)均分为十二等分的音律,如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符,分别是c,d,e,f,g,a,b,则多出来的5个音符为c#(读做“升c”),d#,f#,g#,a#;12音阶为：c,c#,d,d#,e,f ．f#,g,g#,a,a#,b,相邻音阶的频率之比为1如图,则键盘c 和d 的频率之比为21即1键盘e 和f 的频率之比为1键盘c 和1c 的频率之比为1：2,由此可知,图中的键盘1b 和2f 的频率之比为A ．1B ．C :1D :1。
【精品卷】2020年重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学试题(有答案解析)
2020年重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学试题一、单选题1．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．若圆锥的轴截面是一个顶角为23π，腰长为2的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）A ．2B ．1CD ．23．已知在等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7,则数列{}n a 的通项公式（ ） A ． B ．-1 C ．+1 D ．-34．已知集合A ＝{}2650x x x -+≤，B ＝{x y =，则A∩B 等于( )A ．[1,3]B ．[1,5]C ．[3,5]D ．[1，＋∞) 5．非零向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=√2|b ⃑⃑|，且(a ⃑−b ⃑⃑)⊥(2a ⃑+3b⃑⃑)，则a ⃑与b ⃑⃑夹角的大小为（ ） A ．π3 B ．π4 C ．2π3 D ．3π4 6．已知复数z 满足21i z i =+（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2 BC ．D ．4 7．已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ）A ．34B ．14C ．35D ．45-8．已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于,A B 两点．若223AF BF =，125BF BF =，则C 的方程为（ ）.A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=9． 的直线与双曲线22221x y a b-=恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．[2，+∞）B ．（2，+∞）C ．(D ．)+∞ 10．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（ ）A ．19B ．112C ．115D ．11811．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f fB ．()()sin cos βα>f fC ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能12．已知π()cos (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，ππ63f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内有最大值，无最小值，则ω可能的值为（ ）A ．83B ．143C ．503D ．263二、双空题13．如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，将四边形ABEF 沿EF 折起，使得二面角1A EF D --的大小为120︒（如图2），则1B C =__________；三棱锥1B CDE -的外接球的表面积为____________．（本题第一空2分，第二空3分）三、填空题14．已知实数x ，y 满足{11y xx y y ≤+≤≥-，则2x y +的最大值是________．15．在曲线33y x x =-的所有切线中，平行于x 轴的切线的切点坐标是_________________________ .16．如图，已知三点,,A B C 在球O 的表面上，ABC ∆是边长为O ABC -的体积为6，则球O 的表面积为______.四、解答题17．如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；（Ⅱ）求点C 到平面MAB 的距离.18．已知等差数列{a n }满足a 1=3, a 5=15, 数列{b n }满足b 1=4, b 5=31, 设正项等比数列{c n }满足c n =b n −a n .（1）求数列{a n }和{c n }的通项公式;（2）求数列{b n }的前n 项和.19．某高校在今年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名考生的笔试成绩，分为 5 组制出频率分布直方图如图所示.(1)求,,,a b c d的值.(2)该校决定在成绩较好的 3、4、5 组用分层抽样抽取 6 名学生进行面试，则每组应各抽多少名学生？(3)在(2)的前提下，从抽到 6 名学生中再随机抽取 2 名被甲考官面试，求这 2 名学生来自同一组的概率.20．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为：12cos2sinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线():0l y kx k =>，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB +的取值范围.21．（Ⅰ）解不等式|1||4|7++-≤x x（Ⅱ）已知0a >，0b >，且2a b +=，求9411+++a b 的最小值. 22．已知a 为实常数，函数()ln 1f x x ax =+-. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()2121ln 12f x mx x x m R =-+++∈ （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）当01m <≤时，曲线():C y f x =在点()0,1P 处的切线l 与C 有且只有一个公共 点，求m 的值.参考答案1．C先计算出饼图中40~50岁的职工所占的比例，再乘以25即可得出结果.由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此，40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=.故选：C.本题考查利用分层抽样计算所抽取的人数，根据分层抽样的特点列方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.2．D根据题意得到，母线长为2，截面顶角为2π，此时截面面积最大，即可得到答案. 由题知：圆锥的轴截面是一个顶角为23π，母线长为2， 所以当截面顶角为2π，此时截面面积最大，max 12222=⨯⨯=S . 故选：D 本题主要考查圆锥截面面积问题，属于简单题.3．D试题分析：由于数列{}n a 是等差数列，所以26a a 与的等差中项是，故有，又有37a a 与的等差中项是，所以，从而等差数列的公差，因此其通项公式为，故选Ｄ．考点：等差数列．4．C求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中x 的范围确定出B ，找出A 与B 的交集即可 由A 中不等式变形可得：()()150x x --≤，解得15x ≤≤ []15A ∴=，由B中y =30x -≥，即3x ≥)3B ⎡∴=+∞⎣，则[]A B 35⋂=，。
2020年重庆市高考数学模拟试卷(理科)(6月份) (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜1}，B＝{x|y＝lg（x﹣x2）}，则A∩B＝（）A．（0，1]B．（0，1）C．[0，1]D．[﹣3，1）2．在复平面内，复数z对应点Z（x，y），若|z﹣i|＝|z+i|，则（）A．y＝0B．y＝0，x∈[0，1]C．x＝0D．x＝0，y∈[0，1] 3．命题p：∀x∈N，|x+2|≥3的否定为（）A．∀x∈N，|x+2|＜3B．∀x∉N，|x+2|＜3C．∃x∈N，|x+2|≥3D．∃x∈N，|x+2|＜34．已知a=log232，b=(12)2.1，c=(25)−2，则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜a＜c5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．137．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．58．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c，d，e，f，g，a，b，则多出来的5个音符为c#（读做“升c”），d#，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：110．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π311．已知点Q （﹣2，0）与抛物线y 2＝2px （p ＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若AB →=3BP →，且直线QA 的斜率为1，则p ＝（ ） A ．2B ．4C ．2+2√2D ．4√212．已知A(2，1)，B(23，0)，C ，D 四点均在函数f （x ）＝log 2ax x+b的图象上，若四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是（ ） A ．265B ．263C ．525D ．523二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ ．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 ． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，AB ＝BC ＝2，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点． （1）证明：DE ⊥平面BCC 1B 1；（2）若直线BE 与平面AA 1B 1B 所成角为30°，求二面角C ﹣BD ﹣E 的大小．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．参考答案一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣x 2）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，1]B ．（0，1）C ．[0，1]D ．[﹣3，1）【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 解：∵A ＝{x |﹣3≤x ＜1}，B ＝{x |x ﹣x 2＞0}＝{x |0＜x ＜1}， ∴A ∩B ＝（0，1）． 故选：B ．2．在复平面内，复数z 对应点Z （x ，y ），若|z ﹣i |＝|z +i |，则（ ） A ．y ＝0B ．y ＝0，x ∈[0，1]C ．x ＝0D ．x ＝0，y ∈[0，1]【分析】由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，写出复数的模，整理后得答案． 解：由题意，z ＝x +yi （x ，y ∈R ），代入|z ﹣i |＝|z +i |，得|x +（y ﹣1）i |＝|x +（y +1）i |， 即√x 2+(y −1)2=√x 2+(y +1)2， 整理得：y ＝0． 故选：A ．3．命题p ：∀x ∈N ，|x +2|≥3的否定为（ ） A ．∀x ∈N ，|x +2|＜3 B ．∀x ∉N ，|x +2|＜3C ．∃x ∈N ，|x +2|≥3D ．∃x ∈N ，|x +2|＜3【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p ：“∀x ∈N ，|x +2|≥3”的否定为：∃x ∈N ，|x +2|＜3． 故选：D ．4．已知a =log 232，b =(12)2.1，c =(25)−2，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜a ＜c【分析】可以得出14＜log 232＜1，(12)2.1＜14，(25)−2＞1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．解：∵14=log2214＜log232＜log22=1，(12)2.1＜(12)2=14，(25)−2＞(25)0=1，∴b＜a＜c．故选：D．5．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2+a7+a9＝27，且S8＝S9，则d＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的通项公式与前n项和的定义，即可求出公差d的值．解：等差数列{a n}中，a2+a7+a9＝（a1+d）+（a1+6d）+（a1+8d）＝3（a1+5d）＝3a6＝27，所以a6＝9；又S8＝S9，所以a9＝0；所以a9﹣a6＝3d＝﹣9，解得d＝﹣3．故选：A．6．若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2）（σ＞0），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6806，P （|X﹣μ|≤2σ）≈0.9544，P（|X﹣μ|≤3σ）≈0.9974．已知某校1000名学生某次数学考试成绩服从正态分布N（10，100），据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为（）A．159B．46C．23D．13【分析】由题意，μ＝110，σ＝10，结合2σ原则可得P（X＞130），乘以1000得答案．解：由题意，μ＝110，σ＝10，故P（X＞130）＝P（X＞μ+2σ）=1−0.95442=0.0228．∴估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为1000×0.0228＝22.8≈23．故选：C．7．已知向量a→=(−1，2)，b→=(3，4)，若向量c→与a→共线，且c→在b→方向上的投影为√5，则|c→|＝（）A．1B．2C．√5D．5【分析】根据平面向量的共线定理和投影的定义，求出向量c→，再求模长．解：向量a→=（﹣1，2），向量c→与a→共线，设c→=（﹣λ，2λ），由b→=（3，4），所以c→在b→方向上的投影为|c→|cosθ=c→⋅b→|b→|=−3λ+8λ5=√5，解得λ=√5，所以c→=（−√5，2√5），所以|c→|=√(−√5)2+(2√5)2=5．故选：D．8．设α，β是空间中的两个平面，l，m是两条直线，则使得α∥β成立的一个充分条件是（）A．l⊂α，m⊂β，l∥m B．l⊥m，l∥α，m⊥βC．l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥βD．l∥m，l⊥α，m⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系分析四个选项中能够推出α∥β的条件即可得答案．解：对于A，由l⊂α，m⊂β，l∥m，不一定得到α∥β，α与β也可能相交；对于B，由l⊥m，l∥α，m⊥β，不一定得到α∥β，α与β也可能相交，如图，对于C，l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，不一定得到α∥β，只有添加条件l与m相交时，才有α∥β；对于D，由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m⊥β，可得α∥β．∴使得α∥β成立的一个充分条件是D．故选：D．9．音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到c 1便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为c #（读做“升c ”），d #，f #，g #，a #；12音阶为：c ，c #，d ，d #，e ，f ．f #，g ，g #，a ，a #，b ，相邻音阶的频率之比为1：√212．如图，则键盘c 和d 的频率之比为1：(√212)2即1：√26，键盘e 和f 的频率之比为1：√212，键盘c 和c 1的频率之比为1：2，由此可知，图中的键盘b 1和f 2的频率之比为（ ）A ．1：√23B ．1：√2C ．√23：1D ．√2：1【分析】根据所给定义，由图推得f 2是b 1后的第6个音阶即可得到答案解：根据题意，因为相邻音阶的频率之比为1：√212，而键盘f 2是b 1后的第6个音阶， 故频率之比为1：(√212)6=1：√2， 故选：B ．10．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ，若对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)，则实数φ中的取值可以是（ ） A ．−π3B ．−π6C ．π6D ．π3【分析】先根据三角函数公式化简解析式，再由条件得到函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称；进而求得结论．解：因为函数f （x ）＝sin2x cos φ+2cos 2x sin φ﹣sin φ＝sin2x cos φ+（2cos 2x ﹣1）sin φ＝sin2x cos φ+cos2x sin φ＝sin （2x +φ）， ∵对任意x ∈R ，f(x)=f(5π6−x)， ∴函数f （x ）的图象关于直线x =5π12对称； 故2×5π12+φ＝k π+π2（k ∈Z ），即φ＝kπ−π3，k∈Z，故选：A．11．已知点Q（﹣2，0）与抛物线y2＝2px（p＞0），过抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B两点，与y轴交于点P，若AB→=3BP→，且直线QA的斜率为1，则p＝（）A．2B．4C．2+2√2D．4√2【分析】判断A、B的位置，结合向量关系，推出A、B横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可．解：由题意可知A在第一象限，B在第四象限，由AB→=3BP→，可知：x A＝4x B，则y A＝﹣2y B，又A、F、B三点共线，可得y A−y Bx A−x B=y Bx B−p2，即2py A+y B=y By B22p−p2，可得y A y B＝﹣P2，∴−12y A2＝﹣p2，即y A=√2p，x A＝p，由QA斜率为1可得：y Ax A+2=1，即√2pp+2=1，则p＝2（√2+1）．故选：C．12．已知A(2，1)，B(23，0)，C，D四点均在函数f（x）＝log2axx+b的图象上，若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD的面积是（）A．265B．263C．525D．523【分析】把点A，B的坐标代入函数f（x）的解析式，求出a，b的值，再利用BA→=CD→得到x2=x1+43，由f（x2）﹣f（x1）＝1得x1x2＝2x2﹣4x1，把x2=x1+43代入即可得到点C的坐标，从而求出BA→，BC→，得到平行四边形ABCD的面积．解：∵函数f（x）＝log2axx+b，由f（2）＝1可得2a2+b=2，∴a＝b+2，由f（23）＝0可得23a23+b=1，∴a＝1+32b，解得：a＝4，b＝2，∴f（x）=log24xx+2，设点C ，D 的横坐标分别为x 1，x 2，由题意可知BA →=CD →，则x 2−x 1=43，∴x 2=x 1+43，由f （x 2）﹣f （x 1）＝1得：log 2x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=1，∴x 2(x 1+2)x 1(x 2+2)=2，∴x 1x 2＝2x 2﹣4x 1，把x 2=x 1+43代入解得x 1=23或﹣4，又∵点C 不与B 重合，∴x 1＝﹣4，∴C （﹣4，3）， ∴BA →=(43，1)，BC →=(−143，3)，故平行四边形ABCD 的面积S ＝|43×3−1×(−143)|=263，故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线y ＝2﹣x 与圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝ 2 ．【分析】根据题意，分析圆的圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，结合直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆x 2+y 2+4x ﹣5＝0即（x +2）2+y 2＝9，其圆心为（﹣2，0），半径r ＝3， 圆心到直线y ＝2﹣x 的距离d =|−2−2|1+1=2√2， 则弦长|AB |＝2×√r 2−d 2=2×√9−8=2； 故答案为：2．14．曲线f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ，则a +b ＝ 4 ．【分析】先对f （x ）求导，然后求出f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率，再根据在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b 和切线过切点（0，a ），得到关于a ，b 的方程，进一步求出a +b 的值．解：由f （x ）＝sin x +a （x ﹣1）2，得f ′（x ）＝cos x +2a （x ﹣1）， ∴f （x ）在（0，f （0））处的切线斜率k ＝f '（0）＝1﹣2a ， ∵f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝﹣3x +b ， ∴1﹣2a ＝﹣3，∴a ＝2，又y ＝﹣3x +b 过（0，a ），∴b ＝a ＝2， ∴a +b ＝4． 故答案为：4．15．已知（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5（a ∈R ）的展开式中各项系数之和为﹣1，则展开式中x 的系数为 ﹣9 ．【分析】先求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式的特点，求出展开式中x 的系数． 解：∵令x ＝1，可得（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5展开式的各项系数之和为a •15＝﹣1， ∴a ＝﹣1，∴（x 2﹣x +a ）（2x ﹣1）5＝（x 2﹣x ﹣1）（2x ﹣1）5＝x 2•（2x ﹣1）5﹣x •（2x ﹣1）5﹣（2x ﹣1）5；显然这三项展开后，只有后面两项有x ；即（﹣x ）•（﹣1）5−∁54•2x •（﹣1）4＝﹣9x ；故展开式中x 的系数为﹣9； 故答案为：﹣9．16．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝105，则b 的取值范围是 （√30，√35] ．【分析】设等差数列的公差为d ，用b 和d 表示a 和c ，结合题意列出不等式求出b 的取值范围．解：设等差数列的公差为d ，则a ＝b ﹣d ，c ＝b +d ； 所以a 2+b 2+c 2＝（b ﹣d ）2+b 2+（b +d ）2＝3b 2+2d 2＝105； 不妨设d ≥0，由a +b ＞c ，得b ﹣d +b ＞b +d ，解得d ＜b2； 所以3b 2≤105＜3b 2+b 22，解得30＜b 2≤√35， 即√30＜b ≤√35；所以b 的取值范围是（√30，√35]． 故答案为：（√30，√35]．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17\～2117．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，设c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和．【分析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义、通项公式可得所求； （2）由等差数列的定义和通项公式，可得b n ，求得c n ={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和． 解：（1）由4S n ，3S n +1，2S n +2成等差数列， 可得6S n +1＝4S n +2S n +2，即3S n +1＝2S n +S n +2， 即2（S n +1﹣S n ）＝S n +2﹣S n +1，即2a n +1＝a n +2，所以等比数列{a n }的公比为2， 又a 1＝1，可得a n ＝2n ﹣1，n ∈N*；（2）由b 1＝0，b n +1﹣b n ＝1，可得{b n }是首项为0，公差为1的等差数列， 则b n ＝n ﹣1，n ∈N*，c n ={a n ，n 为奇数b n ，n 为偶数={2n−1，n 为奇数n −1，n 为偶数，所以{c n }的前2n 项和为c 1+c 2+…+c 2n ＝（a 1+a 3+…+a 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ）＝（1+4+16+…+22n ﹣2）+（1+3+…+2n ﹣1）=1−4n 1−4+1+2n−12•n =4n 3−13+n 2． 18．某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：代数 几何 数论 组合 第1题 0.6 0.8 0.7 0.7 第2题 0.5 0.7 0.7 0.6 第3题 0.4 0.5 0.5 0.3 第4题0.20.30.30.2假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X的分布列．【分析】（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，由此能预测学生甲考试得160分的概率．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，从而X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，分别求出相应的概率，能求出X的分布列．解：（1）学生甲得160分，即第1，2题做对一道，第3、4题都做对，∴P＝（0.6×0.3+0.4×0.7）×0.5×0.2＝0.046．（2）由题知学生甲第1题必得40分，只需考虑另三道题的得分情况，故X的所有可能取值为40，80，100，140，160，200，P（X＝40）＝0.3×0.7×0.7＝0.147，P（X＝80）＝0.7×0.7×0.7＝0.343，P（X＝100）＝0.3×C32×0.3×0.7=0.126，P（X＝140）=0.7×C21×0.3×0.7=0.294，P（X＝160）＝0.3×0.3×0.3＝0.027，P（X＝200）＝0.7×0.3×0.3＝0.063．∴X的分布列为：X4080100140160200P0.1470.3430.1260.2940.0270.063 19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB＝BC＝2，D，E 分别为AA1，B1C的中点．（1）证明：DE⊥平面BCC1B1；（2）若直线BE与平面AA1B1B所成角为30°，求二面角C﹣BD﹣E的大小．【分析】（1）取BC的中点F，连结AF，EF，推导出DE∥AF，且DE＝AF，AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，从而B1B⊥面ABC，进而B1B⊥AF，由此能证明AF ⊥平面BCC1B1，从而DE⊥面BCC1B．（2）过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，推导出FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B 的距离为1，EF∥面AA1B1B，E到平面AA1B1B的距离d＝1，求出BE＝2，EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣BD﹣E的大小．解：（1）证明：取BC的中点F，连结AF，EF，则EF∥B1B∥DA，且EF=12B1B=DA，∴DE∥AF，且DE＝AF，又△ABC是等腰直角三角形，∴AF⊥BC，由A1A⊥面ABC，且A1A∥B1B，∴B1B⊥面ABC，∴B1B⊥AF，B1B∩BF＝B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥面BCC1B．（2）解：过F作FH⊥AB，由题意得FH＝1，由A1A⊥面ABC，知A1A⊥面ABC，知A1A⊥FH，∴FH⊥面AA1B1B，即点F到平面AA1B1B的距离为1，又EF∥B1B，EF⊄平面AA1B1B，∴EF∥面AA1B1B，∴点E与点F到平面AA1B1B的距离相等，∴E到平面AA1B1B的距离d＝1，∴sin30°=dBE=1BE，解得BE＝2，∴EF=√2，BB1＝2√2，以F为原点，FA为x轴，FB为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，√2，0），C（0，−√2，0），D（√2，0，√2），E（0，0，√2），∴CB→=（0，2√2，0），BD→=（√2，−√2，√2），BE→=（0，−√2，√2），设平面CBD和平面BDE的法向量分别为m→=(x1，y1，z1)，n→=（x2，y2，z2），则{m →⋅CB →=2√2y 1=0m →⋅BD →=√2x 1−√2y 1+√2z 1=0，取x 1＝1，得m →=（1，0，﹣1）， {n →⋅BD →=√2x −√2y +√2z =0n →⋅BE →=−√3y +√3z =0，取y 2＝1，得n →=（0，1，1）， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=−12，由图知二面角C ﹣BD ﹣E 是锐二面角， ∴二面角C ﹣BD ﹣E 的大小为π3．20．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y ＝kx +m （k ＞0，m ＞0）与椭圆C 交于P ，Q 两点（均不在y 轴上），点A(0，−m 2)，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且△OPQ 的面积为√62（O 为坐标原点），求直线l 的方程．【分析】（1）根据正方形面积为4可得b ＝c =√2，椭圆方程可求；（2）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由题意直线l 的方程为：l ：y ＝kx +m ，（k ＞0，m ≠0，±1）根据韦达定理和直线的斜率以及等比数列的性质，可求出k ，再根据弦长公式，点到直线的距离公式，和三角形的面积公式即可求出m 的值，则直线PQ 的方程即可求出．解：（1）由题知b ＝c =√2，a ＝2， 故C 的方程为：x 24+y 22=1；（2）联立{x 24+y 22=1y =kx +m，整理得（1+2k 2）x 2+4km +2m 2﹣4＝0，则△＝8（2﹣m 2+4k 2）＞0得4k 2+2＞m 2，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=−4km 1+2k2，x 1x 2=2m 2−42k 2+1，由直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，则k 2=y 1+m 2x 1•y 2+m2x 2=kx 1+32m x 1•kx 2+32m x 2， 即k 2x 1x 2＝k 2x 1x 2+32mk （x 1+x 2）+94m 2，又m ＞0，所以k （x 1+x 2）=−32m ， 即−4k 2m 2k 2+1=−32m ，则k 2=32，又S △OPQ =12•|m |•|x 1﹣x 2|，所以√62=|m|2•√8(2−m 2+4k 2)2k 2+1=|m|2•√8(8−m 2)4，即m 4﹣8m 2+12＝0，解得m 2＝2或6，均满足△＞0． 又k ＞0，m ＞0，且P 、Q 均不在y 轴上，所以k =√62，m =√6，故直线l 的方程为y =√62x +√6．21．已知函数f （x ）=12x 2+ae x −lnx ，a ∈R ．（1）若x =12是函数f （x ）的极值点，求a 的值； （2）当a ≥1时，证明：f （x ）＞138+ln 2． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，解出验证即可； （2）问题转化为只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2，令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，根据函数的单调性怎么即可．解：（1）f ′（x ）＝x +ae x −1x，由题意知f ′（12）＝0，即12+a √e −2＝0，解得：a =2e，又f ″（x ）＝1+ae x +1x 2＞0， ∴f ′（x ）在（0，+∞）上递增， 故当a =32√e 时，有x ∈（0，12）时，f ′（x ）＜0， x ∈（12，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x =12是f （x ）的极小值点；（2）当a ≥1时，对于∀x ＞0有ae x ≥e x ， 即f （x ）≥12x 2+e x ﹣lnx ， 故要证明f （x ）＞138+ln 2，只需证明12x 2+e x ﹣lnx ＞138+ln 2， 令g （x ）=12x 2+e x ﹣lnx ，则g ′（x ）＝x +e x −1x，g ″（x ）＝1+e x +1x 2＞0， ∴g ′（x ）在（0，+∞）递增，又g ′（12）=√e −32＞0，g ′（13）=√e 3−83＜0， 故存在x 0∈（13，12），使得g ′（x 0）＝0，则g （x ）在（0，x 0）递减，在（x 0，+∞）递增，∴g （x ）≥g （x 0）=12x 02+e x 0−lnx 0，又x 0+e x 0−1x 0=0，∴g （x 0）=12x 02−x 0+1x 0−lnx 0，令h （x ）=12x 2﹣x +1x −lnx （13＜x ＜12），则h ′（x ）＝x ﹣1−1x 2−1x＜0， ∴h （x ）在（13，12）递减，∴h （x ）＞h （12）=138+ln 2， 故g （x 0）＞138+ln 2，故g （x ）＞138+ln 2， 原不等式得证． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），直线l经过点（2，0）且倾斜角为α，0＜α＜π2，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）过原点O 作直线l 的垂线l 1，垂足为P ，l 1交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求△ABP 的面积的最大值及相应的α的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =cosθy =1+sinθ（θ为参数），转换为直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ＝2sin θ．（2）由题意知直线l 1的极坐标方程为θ=α+π2，则：{ρ=2sinθθ=α+π2，所以ρB =2sin(α+π2)=2cosα．故：|OP |＝2sin α，|AP |＝2cos α，所以|BP |＝2cos α+2sin α． 所以S △ABP =12×2(cosα+sinα)2cosα=√2sin(2α+π4)+1． 当2α+π4=π2，即α=π8时，面积的最大值为√2+1． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M ． （1）求M ；（2）若正数a ，b 满足1a 3+1b 3=Mab ，证明：a 4b +ab 4≥43．【分析】（1）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|，结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得所求最大值； （2）由（1）可得1a 3+1b 3=3ab ，a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b 3）（a 3+b 3），再由基本不等式即可得证．解：（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|＝3， 当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值3，即M ＝3； （2）证明：正数a ，b 满足1a +1b =3ab ，故a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）=13（1a 3+1b3）（a 3+b 3）=13（1+1+a 3b3+b3a3） ≥13（2+2√a 3b3⋅b 3a3）=43，当且仅当a ＝b =√235时等号成立，故a 4b +ab 4≥43．。
重庆市第一中学2020届高三6月模拟数学(理)试题 PDF版含答案
当 1 x 1 时，原不等式 x 2 ， 此时，原不等式的解为 1 x 1 ；
当 x 1时，原不等式 x 4 2x x 4 ，此时，原不等式的解为 4 x 1.
3
3
综上，原不等式的解集为
4 3
,
4
.
（2）当 x 1,1 时， g x x 1 x 1 2
故当 a 1时，不等式 f x g x 的解集包含1,1 x2 bx 2 0 在1,1 上恒成立
设 AP t AC1 （ 0 t 1 ）， P(x, y, z) ，
AP (x, y, z 3) ， AC1 (1, 2, 3) ，
代入上式得 x t ， y 2t ， z 3(1 t) ，所以 P(t, 2t, 3 3t) .
设平面 MNP 的一个法向量为 n (x1, y1, z1) ， MN (0, 2, 0) ， MP (t, 2t, 3 3t) ，
令 h(x) ex 2 4x 6ex 4a 1, x R ，由于 h(x) 2ex ex 2x 1 ，令 u(x) ex 2x 1,
u(x) ex 2 0 ， u(x) 在 R 上单增，而 u(0) 0 ，
当 x ,0时， u(x) 0, hx 0, h(x) ；当 x 0, 时， u(x) 0, hx 0, h(x) 。
3 同号， y0 1 t
3
y0 1 t
3 3
y0
t， 3
OP OQ 3y0 1，即 OP OQ 为定值 1. t
22.（1）由 4 2 cos( ) ，得 4 cos 4 sin ，所以 2 4 cos 4 sin ， 4
即 x2 y2 4x 4y ， (x 2)2 ( y 2)2 8 .
2aa
4
重庆2020届高三高考考前适应性考试数学(理)试题Word版含答案及解析
重庆2020届高三高考考前适应性考试数学（理）试题满分150分。
考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，请考生认真阅读答题卡上的注意事项。
务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上指定位置，贴好考号条形码或将考号对应数字涂黑。
用2B铅笔将试卷类型A填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．非选择答题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的清洁。
考试结束后，监考人员将答题卡和试卷一并收回。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则集合（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数（）A. B. C. D.3.从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中偶数的个数为（）A. 7200B. 2880C. 120D. 604.已知向量，，则的最大值为（）A. 1B.C. 3D. 95.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. -1B. 0C.D. 16.几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A. 729B. 428C. 356D. 2437.下列说法中错误的是（）A. 先把高二年级的1000多学生编号为1到1000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为，，……的学生，这样的抽样方法是系统抽样法B. 正态总体在区间和上取值的概率相等C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1D. 若一组数据1、、2、3的平均数是2，则该组数据的众数和中位数均是28.，是：上两个动点，且，，到直线：的距离分别为，，则的最大值是（）A. 3B. 4C. 5D. 69.已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，，则这个球的表面积为（）A. B. C. D.10.已知函数的最小正周期为，其图象向左平移个单位后所得图象关于轴对称，则的单调递增区间为（）A. ，B. ，C. ，D. ，11.在数列中，已知，且对于任意的，都有，则（）A. B. C. D.12.已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为.当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知向量满足，则向量的夹角的大小为__________．14.已知实数满足不等式组的最大值为___________．15.在平面直角坐标系中，已知，点是角终边上一点，则的值是___________．16.如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：①AD∥平面SBC；②；③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；④与平面SCD所成的角为45°．其中正确结论的序号是__________．三、解答题：共70分。
2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学(理)试题(解析版)
2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}0A x x =≤，{}2B x x =>-，则集合()UA B =（ ）A ．{}20x x -<≤ B ．{}20x x -≤≤ C ．{2x x ≤-或}0x ≥ D ．{2x x ≤-或}0x >【答案】D【解析】先由交集的运算求得A B ，再由补集的运算得出选项.【详解】因为{}0A x x =≤，{}2B x x =>-， 所以{}20A B A x x ⋂==-<≤， 所以()UAB ={2x x ≤-或}0x >，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，属于基础题. 2．已知复数21iz i=-，则其共轭复数z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1C ．iD ．-i【答案】A【解析】化简复数z 为标准形式，即可得. 【详解】22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， 1z i ∴=--，故选：A. 【点睛】此题考复数的运算，属于简单题. 3．已知1a =，2b =，且()a ab ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】由()a ab ⊥-，可得()210a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，根据cos ,a b a b a b⋅=⋅，即可求得答案.【详解】设向量a 与向量b 的夹角为θ ，∵()a ab ⊥-，∴()210a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=，得1a b ⋅=， 又∵1a =，2b =，∴2cos 2a b a bθ⋅==⋅，又0θπ≤≤，∴4πθ=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据向量的数量积求向量夹角，解题关键是掌握向量数量积公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是（ ）A ．该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半.B ．该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当.C ．该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D ．该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当. 【答案】C【解析】某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A ，2019年全年的收入为2A ，分别计算出相应数据，对比选项得出答案． 【详解】因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A ，2019年全年的收入为2A ．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.220.4A A ⨯=，2015年食品的消费额为0.40.4A A ⨯=，相等，A 错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.220.4A A ⨯=，2015年食品的消费额为0.30.3A A ⨯=，0.440.33A A =，B 错； 由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.320.6A A ⨯=，2015年休闲旅游的消费额为0.10.1A A ⨯=，0.660.1AA=，C 对； 由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.1520.3A A ⨯=，2015年生活用品的消费额为0.050.05A A ⨯=，不相等，D 错； 故选：C 【点睛】本题考查样本估计总体的实际应用，考查折线统计图,考查学生对图表的认知能力，属于中档题．5．若1x =是函数()ln f x x m x =+的极值点，则函数()f x （ ） A ．有极小值1 B ．有极大值1 C ．有极小值-1 D ．有极大值-1【答案】A【解析】先根据极值定义得m ，再求导函数零点，根据导函数符号变化规律确定极值. 【详解】因为x =1是函数()ln f x x m x =+的极值点，所以()1m f x x '=+，()'1101m f =+=，解得1m =-，所以()ln f x x x =-，()()111>0x f x x x x-=-='， 所以>1x 时，()'>0fx ，函数()f x 单调递增，01x <<时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，所以函数()f x 有极小值(1)1ln11f =-=， 故选：A ．【点睛】本题考查求函数的极值，属于基础题.6．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．43π B ．16πC ．163π D ．323π 【答案】D【解析】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r,因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3=22=16V ππ⨯⨯圆柱,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的23， 所以所求圆柱内切球的体积为2232=16=333V V ππ=⨯圆柱. 故选:D 【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.7．已知随机变量ξ服从二项分布25,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()21D ξ+=（ ）A ．125B ．8C ．245D ．5【答案】C【解析】先由二项分布求得()D ξ，再根据方差的性质得选项. 【详解】因为随机变量ξ服从二项分布25,5B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()22651555D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以()()2624212455D D ξξ=⨯=⨯+=，故选：C. 【点睛】本题考查二项分布的方差的计算，以及方差的性质，属于基础题.8．设函数()111222x xf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x x =，则函数()()y f g x =（ ）A ．是偶函数且在()1,+∞上单调递增B ．是偶函数且在()1,+∞上单调递减C ．是奇函数且在()1,+∞上单调递增D ．是奇函数且在()1,+∞上单调递减【答案】A【解析】根据函数()111222x xf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x x =，得到()()()=h x f g x 111222⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x，然后由奇偶性定义判断，当1x >时，由函数解析式得到()g x ，()f x 的单调性，然后由复合函数的单调性求解. 【详解】因为函数()111222x xf x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x x =，所以()()()=h x f g x 111222⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x， ()h x -()111111222222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=⎭xxx xh x ，所以()()y f g x =是偶函数，当1x >时，()g x x =单调递增，()11111222122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭=x x x f x 单调递增，由复合函数的单调性知()()y f g x =在()1,+∞上单调递增， 故选：A【点睛】本题主要考查复数函数的奇偶性和单调性，还考查了转化运算求解问题的能力，属于中档题.9．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】连接111,,AB AD B D ，则点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点建立坐标系，利用向量方法可求出范围. 【详解】 过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上， 连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB AP θ⋅===⋅ == 当12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12， 10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤. 故选：C. 【点睛】本题考查向量法求异面直线所成角的范围，属于中档题.10．已知圆22:40C x y x +-=上存在点(),M m n ，使得直线:1l mx ny +=与圆22 :1O x y +=相交于不同的两点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．[]0,4C ．1,44⎛⎤⎥⎝⎦D ．(],4-∞【答案】C【解析】本题首先可根据点(),M m n 在圆C 上得出04m ≤≤以及224m n m +=，然后根据直线l 与圆O 相交于不同的两点得出21r mn结果. 【详解】因为2240x y x +-=即()2224x y -+=，所以04m ≤≤，224m n m +=， 因为直线:1l mx ny +=与圆22:1O x y +=相交于不同的两点， 所以圆心到直线的距离小于半径，即21r mn，14m ，1，解得14m >，144m <≤， 故选：C . 【点睛】本题考查根据直线与圆位置关系求参数，若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于半径，考查计算能力，体现了基础性和综合性，是中档题.11．已知,a b ∈R ，且()()21211ab--=，则2a b a b +++的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】由已知条件和基本不等式求得+42+2a b a b ≥≥，，当且仅当a b =时，取等号，由此可得选项. 【详解】因为()()21211ab--=，所以()2222+1+1a ba b-=⋅，即22+22ab a b =⋅，又>0>022a b ，，所以2222+a b a b ⋅≥=2≥，当且仅当a b =时，取等号，所以+42+2a b a b ≥≥，，当且仅当a b =时，取等号， 所以2+462a b a b +≥+=+，当且仅当a b =时，取等号， 故选：B. 【点睛】本题考查基本不等式的应用之求最值，运用时，注意基本不等式成立的条件. 12．在非等腰ABC 中，内角,,A B C 满足()()()2222 sin sin sin sin sin sin A B C A B A B -⋅=+⋅-，若关于x 的不等式()()22cos 11cos 0x A x x x B --+->对任意[]0,1x ∈恒成立，则角A 的取值范围为（ ）A ．,,6443ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．3,,8448ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．5,312ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,,124412ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】首先整理式子()()()2222sin sin sin sin sin sin A B C A B A B -⋅=+⋅-可得：sin 2sin 2A B =，因为非等腰ABC ，所以2A B π+=，则：()()22cos 11sin 0x A x x x A --+->在[]0,1x ∈恒成立，整理移项，再利用基本不等式得：cos (1)sin 11x A x Ax x-+≥>-，再利用三角函数的性质，即可得解. 【详解】在ABC 中，由sin sin()C A B =+，代入可得：()()()2222sin sin sin()sin sin sin A B A B A B A B -⋅+=+⋅-，所以：()()2222sinsin (sin cos cos sin )sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B A B A B A B -⋅+=+⋅-整理可得：sin cos sin cos A A B B =， 即：sin 2sin 2A B =，因为非等腰ABC ，所以2A B π+=，cos sin B A =，代入()()22cos 11cos 0x A x x x B --+->可得：()()22cos 11sin 0x A x x x A --+->，两边同除(1)x x -，可得： cos (1)sin 11x A x A x x-+>-在[]0,1x ∈恒成立， cos (1)sin11x A x Ax x-+≥>-， 即1sin 22A >，又因为2A B π+=，则02A π<<，所以5266A ππ<<，即51212A ππ<<，又因为ABC 非等腰，所以4A π≠，所以5,,124412A ππππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D.【点睛】本题考查了解三角形，考查了三角形的性质及恒等变换公式，考查了转化思想和基本不等式，本题解题的关键是对原式的处理，使之能使用基本不等式，而不能走进一元二次不等式的误区，进行讨论，属于较难题.二、填空题13．已知变量x、y满足线性约束条件160xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y=+的最小值是____________.【答案】3【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+，找出使得该直线在y轴上截距最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组160xx yx y≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立1xx y=⎧⎨-=⎩，解得1x y==，即点()1,1A，平移直线2z x y=+，当该直线2z x y=+经过可行域的顶点()1,1A时，直线2z x y=+在y轴上的截距最小，此时z取最小值，即min2113z=⨯+=.故答案为：3.【点睛】本题考查线性目标函数最值的求解，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.14．二项式2nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是第7项，则n =____________.【答案】9【解析】本题首先可以写出二项式2nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的通项，然后根据通项写出二项式2nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的第7项，最后根据第7项是常数项即可得出结果.【详解】二项式2nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的通项为112kn kkknT C xx，则二项式2nx x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的第7项为6666697122n nn nn T C xC x x，因为第7项是常数项，所以90n -=，9n =， 故答案为：9. 【点睛】本题考查根据二项式展开式的常数项求参数，考查二项式展开式的通项的应用，二项式()na b +展开式的通项为1C k n k kk n T a b -+=，考查计算能力，是简单题.15．如图，在四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，24AD DC ==，3sin 4B ∠=，9sin sin 22CAB ACB ∠⋅∠=，则ABC 的面积为____________.【答案】6【解析】由2D B ∠=∠可求得cos D ∠，在ADC 中，由余弦定理即可求得AC ，在ABC 中利用正弦定理求得16BC AB ⋅=，由三角形的面积公式可求得答案.【详解】 因为3sin 4B ∠=，2D B ∠=∠，所以2231cos cos 212sin 1248D B B ⎛⎫∠==-=-⨯=- ⎪⎝⎭，在ADC 中，222221+cos 4+22282242AD DC AC AD DC D ⎛⎫=∠=-= ⎪⎝⎭-⋅⋅-⨯⨯⨯，所以22AC =，在ABC 中，224223sin sin sin 34BC AB AC CAB ACB B ====∠∠，又9sin sin 22CAB ACB ∠⋅∠=，所以242216229sin sin 16922BC AB CAB ACB ⎛⎫⨯⋅=⨯∠⋅∠=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以ABC 的面积为113sin 166224ABCS AB BC B =⨯⨯⨯=⨯⨯=， 故答案为：6. 【点睛】本题主要考查正余弦定理的应用于解三角形，以及余弦的二倍角公式，属于中档题. 16．已知抛物线()21:20C ypx p =>，圆222:12p C x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与y 轴相切，过1C 的焦点F 的直线从上至下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四个点（如图所示），且AB BD =，O 为坐标原点，则DA OF ⋅=____________.【答案】2【解析】由相切可求出2p =，设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，将直线与抛物线联立后由韦达定理可求出21242x x m +=+，121=x x ，124y y m +=，124y y =-，结合||||AB BD =，可得到中点B 的坐标，代入圆的方程中去，可求出212m =，从而可求出DA OF ⋅的大小. 【详解】解：由圆2C 与y 轴相切可知，12p= ，解得2p =，所以21:4C y x =，()222:11C x y -+=，由题意知，()1,0F ,设()()1122,,,A x y D x y ，直线:AD 1x my =+，与抛物线方程联立得214x my y x=+⎧⎨=⎩ ，即2440y my --=， 由韦达定理知，124y y m +=，124y y =-，则()21212242x x m y y m +=++=+，()21212116y y x x ==.因为||||AB BD =，则()221,2B m m +，代入2C 得，424410m m +-=，解得2m =， 因为()()1212,,1,0DA x x y y OF =--=，所以122DA OF x x -====⋅， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了向量的数量积运算.本题的关键是由中点求出直线的方程.注意运用韦达定理简化运算，属于中档题.三、解答题17．等比数列{} n a 满足()1*1104n n n a a n N -++=⋅∈，数列{}n b 的前n 项和为 nS ，且2log n n b a =.（1）求n b 和n S 的表达式；（2）是否存在正整数m ，使得4m b ，4m S ，285m b +成等差数列？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n b n =-，2n S n =；（2）存在；4m =.【解析】（1）利用等比数列的基本量运算求得数列n a 的通项公式，可得n b ，利用等差数列的求和公式计算出n S ；（2）假设存在正整数m ，使得4m b ，4m S ，285m b +成等差数列，利用等差中项的定义可解得m ． 【详解】（1）1210a a +=，2340a a +=， 所以公比4q =，故11410a a +=，得12a =，121242n n n a --=⨯=， 所以212log 221n n b n -==-， ()()1212122n n n n n a a S n +-⎡⎤+⎣⎦===.（2）假设存在正整数m ，使得4m b ，4m S ，285m b +成等差数列， 则28485m m m S b b =++，即223200m m --=， 解得52m =-或4m =， 由*m N ∈，得4m =，故存在. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差中项的应用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，1BC BB ⊥，12CC =，且有16AC =.（1）证明：平面ABC ⊥平面11BB C C ；（2）,M N 分别是11, BC B C 的中点，P 是线段1AC 上的动点，若二面角P MN C --的平面角的大小为30，求线段1PC 的长度. 【答案】（1）证明见解析；（2）14PC =. 【解析】（1）由勾股定理得1AC CC ⊥，再由已知，根据线面垂直的判定可证1CC ⊥平面ABC ，由面面垂直的判定定理可得证；（2）由（1）可得AM ⊥平面11BB C C .以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，设()101AP t AC t =<<，(),,P x y z ，根据二面角的向量求解方法可求得点P 的坐标，从而得到答案. 【详解】（1）证明：因为2AC =，1CC，1AC =22211AC CC AC +=，即1AC CC ⊥，又因为1BC BB ⊥，11//BB CC ，所以1BC CC ⊥，AC BC C =，所以1CC ⊥平面ABC .因为1CC ⊂平面11BB C C ， 所以平面ABC ⊥平面11BB C C .（2）连接AM ，因为 2AB AC ==，M 是BC 的中点，所以AM BC ⊥.由（1）知，平面ABC ⊥平面11BB C C ，所以AM ⊥平面11 BB C C . 以M 为原点建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则平面11BB C C 的一个法向量取()0,0,1m =，(00A ,，()N，()1C -.设()101AP t AC t =<<，(),,P x y z ，(,,AP x y z =，(1AC =-，代入上式得x t =-，y =，)1z t =-，所以()P t -.设平面MNP 的一个法向量为()111,,n x y z =，()MN =，()MP t =-，由00n MN n MP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得)1111010tx t z =--=⎪⎩， 令1z t =，得()3,0,n t =-.因为二面角P MN C--的平面角的大小为30，所以3m nm n⋅=，即()223231t t=-+，解得3t4=.所以点P为线段1AC上靠近点1C的四等分点，故16PC=.【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角的向量求解方法，属于中档题.19．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位某电动汽车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时间x（单位：小时）的9组测试数据如下：x123456789y 2.772 1.92 1.36 1.12 1.090.740.60.53如果剩余电量不足1，则电池需要充电.（1）从这9组数据中随机选出7组，用X表示需要充电的数据组数，求随机变量X的分布列；（2）根据电池放电的特点，剩余电量y与时间x满足经验关系式：bxy ae=.设ln yω=，利用表格中的9组数据求x与ω的相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系.当0.789r>时，可认为有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系，否则不能认为；（3）求y与x的经验关系式.（结果保留两位小数）154 4.38 2.09≈ 2.43 1.5≈， 1.16 3.19e≈， 2.168.67e≈.这9组测试数据的一些相关量见下表：相关公式：对于样本()(),1,2,,n i i v u i =.其回归直线ˆˆˆu bv a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ii nv v uu bv v ==--=-∑∑，ˆˆa u bv=-，相关系数()()niiv v u u r --=∑.【答案】（1）答案见解析；（2）0.99r ≈-，有99%的把握认为x 与ω之间具有线性相关关系；（3）0.20ˆ 3.19xye -=.【解析】（1）X 的所有可能取值为1，2，3,求出相应的概率即可列出分布列； （2）利用题目中给的数据和公式求出相关系数r ，与0.789比较即可判断；（3）对bxy ae =两边取对数得ln ln y a bx =+，设ln a μ=，又ln y ω=，则ˆˆˆbx ωμ=+，，先求出ˆ0.20 1.16x ω=-+，再求出所给的方程为0.20 1.16ˆx y e -+=即可. 【详解】（1）9组数据中需要充电的数据组数为3组，X 的所有可能取值为1，2，3.()1636791112C C P X C ===，()236759122C C P X C ===，()3436975312C C P X C ===， 所以X 的分布列为（2）由题意知()()11.880.9924 1.5niix xrωω---==≈=-⨯⨯∑，0.990.789r=>，∴有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系.（3）对bxy ae=两边取对数得ln lny a bx=+，设ln aμ=，又ln yω=，则ˆˆˆbxωμ=+，()()()1992111.88ˆ0.19860ii iiixxxbxωω==-===----∑∑，易知5x=，1.550.1729ω=≈.ˆˆ 1.162 1.16bxμω∴=-=≈，而ˆ0.20b≈-，故ˆ0.20 1.16xω=-+，∴所求y与x的经验关系式为0.20 1.16ˆxy e-+=，即0.20ˆ 3.19xy e-=.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，考查相关系数的应用，考查非线性回归方程的求法，属于中档题.20．已知函数()xf x e=与()2,g x x x a a R=-++∈，其中e为自然对数的底数.（1）若()()⋅f xg x是R上的单调递减函数，求a的取值范围；（2）若()f x与()g x有两条不同的公切线，求a的取值范围.【答案】（1）5,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦；（2）114a-<<.【解析】（1）求出()()()()2xF x f x g x e x x a=⋅=-++的导数，则()0F x'≤在R 上恒成立，即可求出a的范围；（2）()f x 与()g x 有两条不同的公切线等价于()()246410x x e x e a +-++=在R 上有两个不同实根，构造函数利用导数可建立不等式求解. 【详解】（1）设()()()()2xF x f x g x exx a =⋅=-++，()()21x F x e x x a '=--++，由条件知：()0F x '≤在R 上恒成立， 即210x x a --++≤在R 上恒成立，()()()214110a ∴∆=--⨯-⨯+≤，解得54a ≤-，a ∴的取值范围为5,4⎛⎤-∞-⎥⎝⎦. （2）设公切线l 分别与()f x 、()g x 切于A 、B 两点，设()11,xA x e ，()2222,B x x x a -++，()x f x e '=，()21g x x '=-+，()111:x x l y e e x x ∴-=-，即()111:1x x l y e x x e =+-，又()()()22222:12l y x x a x x x --++=--，即()222:12l y x x x a =-++，∴()112212121x x e x x e x a ⎧=-⎪⎨-=+⎪⎩，由1212x e x -=， ()1121112x x e x e a ⎛⎫-∴-=+ ⎪⎝⎭，即()()112146410x x e x ea +-++=，()f x 与()g x 有两条不同的公切线等价于()()246410x x e x e a +-++=在R 上有两个不同实根， 令()()()24641x xh x ex ea =+-++，由于()()221xxh x eex '=+-，令()21xu x e x =+-，()20xu x e '=+>，()u x ∴在R 上单增，而()00u =，∴当(),0x ∈-∞时，()0u x <，()0h x '<，()h x 单调递减；当()0,x ∈+∞时，()0u x >，()0h x '>，()h x 单调递增.()()044h x h a ∴≥=-，必须4401a a -<⇒<.当x →+∞时，()h x →+∞； 当x →-∞时，()()2464141xxx h x e a a e--=+++→+， 必须410a +>，114a ∴-<<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和方程的解的问题，属于较难题.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点为)F，离心率e =点A 、B 分别是椭圆E 的上、下顶点，O 为坐标原点. （1）求椭圆E 的方程；（2）过F 作直线l 分别与椭圆E 交于C 、D 两点，与y 轴交于点P ，直线AC 和BD 交于点Q ，求OP OQ ⋅的值.【答案】（1）22:14x E y +=；（2）1. 【解析】（1）先求出2a =，1b =，再求椭圆的方程；（2）先联立方程得到1212214y y y y t ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩，再得到010111y y x x --=和020211y y x x ++=，最后判断出1OP OQ t⋅=-=，即OP OQ ⋅为定值1. 【详解】 （1）3c =，2c e a a ===⇒=， 1b ∴=，椭圆22:14x E y +=.（2）易知l 的斜率存在且不为0，设):0l x ty t =≠，()11,C x y ，()22,D x y ，由(()3222221410414x ty ty y t y x y ⎧=⎪⇒+=⇒++-=⎨+=⎪⎩，∴122122414y y t y y t ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设点0,P ⎛ ⎝⎭，()00,Q x y ，则OP OQ ⋅=-， 由A 、Q 、C 三点共线，010111y y x x --=， 由B 、Q 、D 三点共线，020211y y x x ++=， 上面两式相除得：()()2100121111x y y y x y --=++， ()()()()()()22222102220122122214111111411y y x y y y x y y y ---⎛⎫-∴== ⎪++-+⎝⎭()()()()()()212122111122111111y y y y y y y y y y y y ---++==+++++22211-⎛⎫===， 结合图形易知0011yy -+同号，0011y y -∴=+0y⇒=， 01OP OQ t ∴⋅=-=，即OP OQ ⋅为定值1. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、椭圆中的定值问题，是中档题.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ≤<），点()0,2M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状；（2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若11||||4MA MB +=，求sin α的值.【答案】（1）()()22228x y -++=；曲线2C 是以()2,2-为圆心，（2）sin 4α=. 【解析】（1）先化简，利用cos ,sin x y ρθρθ==代换即得方程，再判断形状即可； （2）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程得到关于t 的二次方程，利用参数的几何意义计算11MA MB +，列关系求参数即可. 【详解】（1）由4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得4cos 4sin ρθθ=-， 所以24cos 4sin ρρθρθ=-，即2244x y x y +=-，()()22228x y -++=.所以曲线2C 是以()2,2-为圆心，.（2）将cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩代入()()22228x y -++=， 整理得24cos 40t t α--=.设点A ，B 所对应的参数分别为12,t t ，则124cos t t α+=，1240t t =-<，即12,t t 异号，11MA MB MA MB MA MB++=1212124t t t t t t +-=====， 解得21cos 16α=，所以22115sin 1cos 11616αα=-=-=，又0απ≤<，则sin 4α=. 【点睛】本题考查了曲线的极坐标方程和直角坐标方程，以及曲线的参数方程，属于中档题. 23．已知函数24f x ax bx ，()11g x x x =++-.（1）当 0a =， 1b =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）当1a =时，不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求实数b 的取值范围.【答案】（1）4,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）[]3,3-. 【解析】（1）当 0a =，1b =时，不等式()()f x g x ≥为411x x x +≥++-， 分1≥x 和 1x <-进行讨论，去绝对值转化为一元一次不等式即可得解；（2）当[]1,1x ∈-时，()112g x x x =++-=，故当1a =时，不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，即转化为220x bx ++≥在[]1,1-上恒成立，参变分离，即可得解.【详解】（1）当 0a =，1b =时，不等式()()f x g x ≥为411x x x +≥++-， 当1≥x 时，原不等式411x x x ⇔+≥++-4x ⇔≤，此时，原不等式的解为14x ≤≤；当11x -≤<时，原不等式分2x ≥-，此时，原不等式的解为11x -≤<； 当 1x <-时，原不等式42x x ⇔+≥-4 3x ⇔≥-，此时，原不等式的解为413x -≤<-. 综上，原不等式的解集为4,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （2）当[]1,1x ∈-时，()112g x x x =++-=，故当1a =时，不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-220x bx ⇔++≥在[]1,1-上恒成立，当0x =时，显然成立；当(]0,1x ∈时，问题等价于20x b x++≥在(]0,1上恒成立， 而min23x b b x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，故3b ≥-； 当[)1,0x ∈-时，问题等价于20x b x++≤在[)1,0-上恒成立， 而max23x b b x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，故3b ≤， 综上，实数b 的取值范围是[]3,3-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了转化思想、分类讨论思想和恒成立思想，有一定的计算量，属于中档题.。
2020年重庆一中高考数学适应性试卷(理科)(6月份)
2020年重庆一中高考数学适应性试卷（理科）（6月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=(1+i)(1+ai)为纯虚数，则实数a的值为()A. 1B. −1C. 0D. ±12.已知集合A={x|x2<2,x∈Z}，则A的真子集共有()个．A. 3B. 4C. 6D. 73.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列表述中正确的是()A. 有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B. 若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C. 这种血清预防感冒的有效率为95%D. 这种血清预防感冒的有效率为5%4.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2−4y+3=0相切，则该双曲线C的离心率为()A. 2√3B. 2C. √3D. 2√335.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparcℎus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m1−m2=2.5(lgE2−lgE1)，其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2)已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1+2.3x+2.7x2)()A. 1.24B. 1.25C. 1.26D. 1.276.向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则|a⃗−b⃗ |的取值范围为()A. [1,+∞)B. [0,+∞)C. [12,+∞) D. [√32,+∞)7.如图所示的程序框图中，若输入的m=4，t=2，则输出的y=()A. 24B. 25C. 50D. 518. 设数列{a n }的前n 项之和为S n ，条件p ：数列{a n }为等差数列；条件q ：S n 为关于n 的二次函数．则p是q 的( )条件．A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要9. 设函数f(x)=e x1−e x，下列说法中正确的是( )A. f(x)的单调递增区间为(−∞,0)∪(0,+∞)B. f(x)图象的对称中心为(0,−12) C. f(x)图象的对称中心为(−12,0) D. f(x)的值域为(−1,0)10. 抛物线y 2=x 的焦点为F ，O 为坐标原点，点P 在抛物线上，向量FP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，过P 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，线段HF 和抛物线交于点Q ，则|HF||FQ|=( )A. 1B. 2C. 3D. 2311. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平．他在著作《数书九章》中叙述了已知三角形的三条边长a ，b ，c ，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S =√14[a 2c 2−(a2+c 2−b 22)2].已知△ABC 的三条边长为a ，b ，c ，其面积为12，且a 2+c 2−b 2=14，则△ABC 周长的最小值为( ) A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 12. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)x，则对任意x 1、x 2∈(0,+∞)，x 1≠x 2，下列不等式中一定成立的有( )①f(x 1+x 2)<f(x 1)+f(x 2)；②f(x 1)+f(x 2)<x 2x 1f(x 1)+x 1x 2f(x 2)； ③f(2x 1)<2x 1f(1)；④f(x 1x 2)<f(x 1)f(x 2). A. ①②③ B. ②④ C. ②③ D. ③二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 已知锐角α满足tan(π4−α)=12，则sinα=______．14. 将序号分别为1，2，3，4，5，6的6张参观券全部分给5个人，每人至少1张，如果获得2张参观券的人的参观券序号为相邻的数字，那么不同的分法有______种．15. 已知四面体ABCD 满足：AB =BC =CD =DA =AC =1，BD =√2，则四面体ABCD 外接球的表面积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 已知等比数列{a n }的公比为q ，且0<a 1<1，a 2020=1，则q 的取值范围为 (1) ；能使不等式(a 1−1a 1)+(a 2−1a 2)+⋯+(a m −1a m)≤0成立的最大正整数m = (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=cos x2(sin x2+√3cos x2)，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)求f(B)的取值范围；(2)当a=4，b=4√33，且f(B)取(1)中的最大值时，求△ABC的面积．18.如图1，四边形PBCD是等腰梯形，BC//PD，PB=BC=CD=2，PD=4，A为PD的中点．将△ABP沿AB折起，点M，N分别是棱PD，PC的中点，如图2．(1)证明：PC⊥平面ABNM；(2)若PC=√6，求平面ABNM与平面PAD所成锐二面角的余弦值．19.在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如图折线图：(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，写出你认为最重要的两个统计结论；(2)治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的A 项目或乙地区的B 项目投入研发资金，经过评估，对于A 项目，每投资十万元，一年后利润是l.38万元、1.18万元、l.14万元的概率分别为16、12、13；对于B 项目，利润与产品价格的调整有关，已知B.项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是p(0<p <1)，记B 项目一年内产品价格的下调次数为ξ，每投资十万元，ξ取0、1、2时，一年后相应利润是1.4万元、1.25万元、0.6万元．记对A 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为ξ1，记对B 项目投资十万元，一年后利润的随机变量为ξ2． (i)求ξ1，ξ2的概率分布列和数学期望Eξ1，Eξ2；(ii)如果你是投资决策者，将做出怎样的决策？请写出决策理由．20. 已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，B 为椭圆C 短轴的端点，若△BF 1F 2的面积为√2，且cos∠F 1BF 2=13． (1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l ：y =kx +m 与椭圆C 交于P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，M 为线段PQ 的中点，且M 在曲线2x 23+y 2=1上，设O 为坐标原点．求sin∠OPQsin∠POM 的范围．21. 已知函数f(x)=ae x +x 2−bx ，(a >0,b ∈R,e 是自然对数的底数)．(1)若a =b ，讨论函数y =f(x)在R 上的零点个数；(2)设b =2，点(m,n)是曲线y =f(x)上的一个定点，实数x 0>m ，f′(x)为f(x)的导函数．试比较f(x 0)与f′(x 0+m 2)(x 0−m)+n 的大小，并证明你的结论．22.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=2acosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ+cosθ.曲线C1与曲线C2交于M，N两点．(1)若a=2，求|MN|的值．(2)若a=4−2√2，求∠MON的大小．23.设不等式|2x−1|<1的解集是M，且a，b∈M．(1)试比较ab+1与a+b的大小；(2)设max A表示数集A中的最大数，ℎ=max{√ab 22√ab}，证明：ℎ≥√2．答案和解析1.【答案】A【解析】解：复数z =(1+i)(1+ai)=1+ai +i +ai 2=(1−a)+(1+a)i ， 且z 为纯虚数， 所以{1−a =01+a ≠0，解得a =1． 故选：A ．化简复数z ，根据纯虚数的定义列方程求出a 的值．本题考查了复数的代数形式运算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 2.【答案】D【解析】解：∵A ={−1,0，1}，∴A 有(23−1)个真子集，即7个真子集． 故选：D ．可得出集合A ={−1,0，1}，然后可写出集合A 的所有真子集，从而得出集合A 的真子集个数．本题考查了集合的运算及集合的子集个数，若一个集合中有n 个元素，则它有2n 个子集，有(2n −1)个真子集，属于基础题． 3.【答案】A【解析】解：根据查对临界值表知P(K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，即A 正确；95%仅是指“血清与预防感冒”可信程度，但也有“在100个使用血清的人中一个患感冒的人也没有”的可能，即B ，C ，D 不正确． 故选A ．根据查对临界值表知P(K 2≥3.841)≈0.05，故有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故可得结论．独立性检验中研究两个量是否有关，这是一种统计关系，不能认为是因果关系．利用独立性检验不仅能考查两个变量是否有关系，而且能较精确地给出这种判断的可靠性程度．因此，在生物统计、医学统计、处理社会调查问题数据等方面都有广泛的应用． 4.【答案】D【解析】解：取双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)渐近线bx −ay =0．∵双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)渐近线与x 2+y 2−4y +3=0相切，∴(x −2)2+y 2=1的圆心(2,0)到渐近线的距离d =r ， ∴√a 2+b 2=1，化为2b =c ，两边平方得c 2=4b 2=4(c 2−a 2)，化为3c 2=4a 2． ∴e =ca =2√33．故选：D．由于双曲线的渐近线与x2+y2−4y+3=0相切，可得圆心(2,0)到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质扥个基础知识与基本技能方法，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：设“心宿二”的星等是m1，“天津四”的星等是m2，“心宿二”的亮度是E1，“天津四”的亮度是E2，则m1=1.00，m2=1.25，E1=rE2，∵两颗星的星等与亮度满足m1−m2=2.5(lgE2−lgE1)，∴1−1.25=2.5[lgE2−lg(rE2)]，即：lgr=0.1，∴r=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×(0.1)2=1+0.23+0.027=1.257，∴与r最接近的是1.26，故选：C．根据题意，结合对数的运算性质即可求出结果．本题主要考查了对数的运算，是基础题．6.【答案】D【解析】解：设|b⃗ |=x，因为向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，则|a⃗−b⃗ |=√a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +|b⃗ |2=√12−2×1⋅x⋅12+x2=√x2−x+1=√(x−12)2+34≥√32；故选：D．设|b⃗ |=x，根据模长的定义结合二次合适的性质即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的模长以及计算，考查计算能力．7.【答案】C【解析】解：m=4，t=2，y=1，第一次循环，i=3≥0，y=5；第二次循环，i=2≥0，y=12；第三次循环，i=1≥0，y=25；第四次循环，i=0≥0，y=50，第五次循环，i=−1<0，输出y=50，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8.【答案】D【解析】解：条件p：数列{a n}为等差数列；条件q：S n为关于n的二次函数．由p不一定得出q，例如：a n=2，则S n=2n，不是二次函数．反之不一定成立：例如S n =n 2+n +1，可得a n ={3,n =12n,n ≥2，数列{a n }不为等差数列则p 是q 的既不充分也不必要条件． 故选：D ．通过举例说明：由p 不一定得出q ，反之不一定成立． 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9.【答案】B【解析】解：函数f(x)=e x1−e x ，可得函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，由于f′(x)=e x(1−e x )2>0，所以函数的单调递增区间为(−∞,0)和(0,+∞)故选项A 错误． 由于f(x)=e x 1−ex =−1+11−e x，因为e x >0e ，所以1−e x <1，所以：f(x)=e x1−e x =−1+11−e x ∈(−∞,−1)∪(0,+∞)，故选项D 错误． 由于f(x)=e x1−e x，所以f(−x)=e −x1−e −x =−11−e x ， 则f(x)+f(−x)=−1，所以函数f(x)的对称中心为(0,−12)，故选项B 正确，选项C 错误．故选：B ．直接利用函数的性质，单调性，对称性函数的定义域和值域求出结果．本题考查的知识要点：函数的关系式的变换，函数的对称性，函数的值域，函数的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.【答案】C【解析】解：由抛物线定义知PH =PF ，结合∠HPF =60°，知△HPF 为等边三角形．故HF 和准线夹角θ=30°，作QE ⊥准线，垂足为E ，则QF =QE ， 则sinθ=sin30°=|QE||QH|=|QF||QH|=12， 故|HF||FQ|=|HQ|+|QF||QF|=2|QF|+|QF||QF|=3，故选：C ．由题意画出图形，可知△HPF 为等边三角形．得到HF 和准线夹角θ=30°，作QE ⊥准线，垂足为E ，则QF =QE ，求解直角三角形可得|QF||QH|=12，再由和比定理得结论．本题考查抛物线的几何性质，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由已知：S =√14[a 2c 2−(a2+c 2−b 22)2]①，且a 2+c 2−b 2=14②，S =12．由将②式代入①式得：12=√14[a 2c 2−(142)2]⇒ac =25，∴△ABC 周长l =a +c +b =a +c +√a 2+c 2−14≥2√ac +√2ac −14=16．取等条件a =c =5，b =6，故周长的最小值为16． 故选：C ．结合面积公式，以及代数运算的方法，容易求出ac 的值，然后结合基本不等式，即可求出周长的最小值． 本题考查正余弦定理，面积公式的综合应用，同时考查基本不等式在求二元式子最值时的方法．属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由已知g(x)=f(x)x，则g′(x)=f′(x)x−f(x)x 2<0，故g(x)在(0,+∞)单调递减，故(x 1−x 2)[g(x 1)−g(x 2)]<0，展开即为②； 由于2x 1>1，故g(2x 1)<g(1)，故③正确；由于x 1+x 2>x 1⇒g(x 1+x 2)<g(x 1)⇒x1x 1+x 2f(x 1+x 2)<f(x 1)，同理x 2x 1+x 2f(x 1+x 2)<f(x 2)，相加得f(x 1+x 2)<f(x 1)+f(x 2)，故①正确； 取f(x)=1，它符合题意，但是④并不成立，综上一定成立的有①②③， 故选：A ． 令g(x)=f(x)x，求出函数的导数，结合函数的单调性逐一判断即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.【答案】√1010【解析】解：∵1−tanα1+tanα=tan(π4−α)=12，∴tanα=13，∴{sinαcosα=13sin 2+cos 2α=1，可得sin 2α=110．又α是锐角，故sinα=√1010．故答案为：√1010．先由两角差的正切公式求出tanα，然后结合平方关系、商数关系，列出关于sinα的方程求解即可．本题考查两角和与差的正切公式、同角三角函数基本关系式的应用，同时考查学生运用方程思想解题的能力，属于基础题． 14.【答案】600【解析】解：根据题意，分2步进行分析：①6张参观券全部分给5个人，获得2张参观券的人的参观券序号为相邻的数字，有1和2，2和3，3和4，4和5，5和6，五种情况，将其分给5人中的1个，有5种情况，则连号参观券有5×5=25种分法，②将剩下的4张参观券分给其他4个人，有A44=24种分法，则一共有25×24=600种不同的分法；故答案为：600根据题意，分2步进行分析：①分析参观券序号的情况，进而计算可得连号参观券的分法，②将剩下的4张参观券分给其他4个人，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．15.【答案】2π【解析】解：因为AB=BC=CD=DA=AC=1，BD=√2，所以AB2+AD2=BD2，BC2+CD2=BD2，则△ABD，△CBD均为直角三角形，故该四面体外接球的球心为公共斜边BD的中点，半径r=12BD=√22，故表面积S=4πr2=2π，故答案为：2π．根据条件可得△ABD，△CBD均为直角三角形，则四面体外接球的球心为公共斜边BD的中点，进而可求得其半径．本题考查四面体外接球的表面积，根据条件确定好球心是关键，属于中档题．16.【答案】(1,+∞)4039【解析】解：由已知a1q2019=1⇒a1=1q2019，结合0<a1<1知0<1q2019<1，解得q>1故q的取值范围为(1,+∞)．由已知得a1+a2+⋯+a m≤1a1+1a2+⋯+1a m即a1(1−q m)1−q ≤1a1(1−1q m)1−1q，将a1=1q2019代入整理得：q m≤q4039⇒m≤4039故最大正整数m=4039．故答案是：(1,+∞)；4039．根据a2020=1和等比数列的通项公式可以求得a1的值，结合0<a1<1求得公比的取值范围；根据题意可以得到a1+a2+⋯+a m≤1a1+1a2+⋯+1a m，根据等比数列的前n项和公式整理该不等式，通过解不等式求得答案．本题考查等比数列的性质，考查等比数列的求和公式，考查运算与推理、证明的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)f(x)=cos x2(sin x2+√3cos x2)=sin x2cos x2+√3cos2x2=12sinx+√3(cosx+1)2=sin(x+π3)+√32，因为B 为三角形的内角， 所以B ∈(0,π) 所以B +π3∈(π3,4π3)，所以f(B)∈(0,1+√32]…(5分)(2)f(B)=1+√32⇒B +π3=π2⇒B =π6，由正弦定理得：asinA=bsinB ⇒4sinA =4√3312⇒sinA =√32， 若A =π3，则C =π2，可得S △ABC =12absinC =8√33若A =2π3，则C =π6，可得B =C =π6，b =c =4√33， 可得S △ABC =12bcsinA =4√33.…(12分)【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用可求f(x)=sin(x +π3)+√32，可求范围B +π3∈(π3,4π3)，利用正弦函数的性质可求其范围．(2)由(1)及题意可求B 的值，由正弦定理可求sin A 的值，进而根据三角形的面积公式即可计算得解． 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：(1)证明：由题意，AD =BC 且AD//BC ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，又PB =BC =CD =2，PD =4，所以△PBA 是正三角形，ABCD 是菱形，取AB 的中点为E ，连结PE ，CE ，易知△ABC 是正三角形，则AB ⊥PE ，AB ⊥EC ，又PE ∩EC =E ，则AB ⊥平面PEC ，所以AB ⊥PC ；又PB =BC =2，则BN ⊥PC ，又AB ∩BN =B ，所以PC ⊥平面ABMN ． (2)因为PE =CE =2×√32=√3，PC =√6，所以PE ⊥EC ，又AB ⊥PE 且AB ⊥EC ，则以EB ，EC ，EP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(−1,0，0)，B(1,0，0)，C(0,√3,0)，D(−2,√3,0)，P(0,0,√3)．由(1)得平面ABMN 的一个法向量为CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√3,√3)， 可取平面ABMN 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,1)， 设平面PAD 的法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)，又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0)，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)， {AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗ =0，取y =1，得n 2⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−1)， |cos〈n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ 〉|=2√5×√2=√105所以平面α与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为√105．【解析】(1)推导出四边形ABCD 是菱形，取AB 的中点为E ，连结PE ，CE ，推导出AB ⊥PC ，BN ⊥PC ，由此能证明PC ⊥平面ABMN ．(2)以EB ，EC ，EP 为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面α与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，得到： ①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低． ②甲地区比乙地区的方差大．∴Eξ1=1.38×16+1.18×12+1.14×13=1.2，2(ii)当Eξ1<Eξ2，得1.2<−0.5p 2−0.3p +1.4，即5p 2+3p −2<0， 解得0<p <25，当Eξ1=Eξ2时，p =25.当Eξ1>Eξ2时，25<p <1，∴当0<p <25时，投资B 项目；当p =25时，两个项目都可以； 当25<p <1时，投资A 项目．【解析】(1)根据图中甲、乙两个地区折线图的信息，得到①甲地区比乙地区的新增人数的平均数低．②甲地区比乙地区的方差大．(2)(i)求出ξ1的概率分布列，得到Eξ1=1.2，由题意得ξ～B(2,p)，求出ξ的概率分布列，再由由题意得下调次数ξ和利润ξ2的关系求出ξ2的概率分布列和Eξ2=−0.5p 2−0.3p +1.4．(ii)当Eξ1<Eξ2，解得0<p <25，当Eξ1=Eξ2时，p =25.当Eξ1>Eξ2时，25<p <1，从而当0<p <25时，投资B 项目；当p =25时，两个项目都可以；当25<p <1时，投资A 项目．本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查二项分布、折线图性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由cos∠F 1BF 2=2a 2−4c 22a 2=13⇒c 2a 2=13⇒a 2=3c 2，b 2=2c 2，△F 1BF 2=12×2cb =bc =√2， 故椭圆C 的方程为x 23+y 22=1；(2)联立{y =kx +m2x 2+3y 2=6⇒(3k 2+2)x 2+6kmx +3m 2−6=0． ⇒△=24(3k 2+2−m 2)>0⇒3k 2+2>m 2.且x 1+x 2=−6km 3k 2+2，x 1x 2=3m 2−63k 2+2；设M(x 0,y 0)，x 0=x 1+x 22=−3km 3k +2,y 0=2m3k +2，依题意，2x 023+y 02=1，即23(−3km3k 2+2)2+(2m3k 2+2)2=1化简得：3k 2+2=2m 2；所以(−3k 2m ,1m)⇒|OM|2=9k 2+44m 2=3m 2−12m 2|PQ|2=(1+k 2)|x 1−x 2|2=(1+k 2)24(3k 2+2−m 2)(3k 2+2)2=2(2m 2+1)m 2在△OPM 中sin∠OPQ sin∠POM =|OM||PM|=√4|OM|2|PQ|2=√3m 2−12m 2+1=√32−522m 2+1因为3k 2+2=2m 2，所以m 2≥1，√32−522m 2+1∈[√23,√32)=[√63,√62) 所以sin∠OPQsin∠POM 的范围为[√63,√62)【解析】(1)利用已知条件，通过余弦定理结合三角形的面积，求出a ，b ，然后推出椭圆方程．(2)联立{y =kx +m 2x 2+3y 2=6.利用判别式以及韦达定理，设M(x 0,y 0)，然后求解|PQ|，化简sin∠OPQsin∠POM ，然后求解范围即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 21.【答案】解：(1)若a =b ，则f(x)=ae x +x 2−ax ， 所以：f′(x)=ae x +2x −a ，易知f′(0)=0，因为a >0，所以y =f′(x)=ae x +2x −a 在R 上单调递增，所以：x ∈(−∞,0)，f′(x)<0⇒y =f(x)单调递减，x ∈(0,+∞)， f′(x)>0⇒y =f(x)单调递增，f(x)min =f(0)=a >0， 所以函数y =f(x)在R 上的零点个数为0 (4分)(2)f(x 0)>f′(x 0+m2)(x 0−m)+n 证明：f(x)=ae x +x 2−2x ，则f′(x)=ae x +2x −2所以f′(x 0+m 2)=aex 0+m 2+x 0+m −2，f(x 0)>f(x 0+m 2)(x 0−m)+n ⇔f(x 0)−n x 0−m>f′(x 0+m 2)，f(x 0)−n x 0−m=f(x 0)−f(m)x 0−m=a(e x 0−e x )+x 02−m 2−2x 0+2m x 0−m=a(e 1−e m )x 0−m+(x 0+m)−2， 原不等式等价于a(e x 0−e m )x 0−m>a ×ex 0−m2，等价于a(e x 0−e m )x 0−m>a ×ex 0+m 2(7分)不妨设t =x 0−m ，t >0，原不等式等价于(et−∞−e m )t>e t2−m两边同除以e m得到(e t −1)t>e t 2，即(e t −1)>te t2令g(t)=e t −1−te t2，则g′(t)=e t −(t2+1)e t2=e t2(e t2−t2−1)令ℎ(t)=e t2−t 2−1⇒ℎ′(t)=12e t2−12≥0g(t)>0对t >0恒成立，g(t)在t >0单调递增，因为g(0)=0， 所以g(t)>0对t >0恒成立，所以f(x 0)>f(x 0+m 2)(x 0−m)+n(12分)【解析】(1)求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最小值，判断函数的零点个数即可； (2)代入b 的值，原不等式等价于a(e x 0−e m )x 0−m>a ×ex 0−m 2，不妨设t =x 0−m ，t >0，原不等式等价于(e t−∞−e m )t>et2−m ，两边同除以e m得到(e t −1)t>e t 2，即(e t −1)>te t2令g(t)=e t −1−te t2，根据函数的单调性证明结论即可．本题考查了函数的单调性，零点问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)由ρ=2acosθ，得ρ2=2aρcosθ， ∵x =ρcosθ，y =ρsinθ，ρ2=x 2+y 2，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2+y 2−2ax =0，即(x −a)2+y 2=a 2， 由ρ=2sinθ+cosθ，得ρ(sinθ+cosθ)=2，即C 2的直角坐标方程为x +y =2．当a =2时，直线C 2经过C 1的圆心，∴|MN|=2a =4；(2)由{ρ=2acosθρ=2cosθ+sinθ，得cosθ(cosθ+sinθ)=4−2√2=2+√24， ∴12(cos2θ+1)+12sin2θ=2+√24，得sin(2θ+π4)=12．结合图形可知2θ1+π4=π6，2θ2+π4=5π6，θ1=π12−π8，θ2=5π12−π8， 得∠MON =θ2−θ1=π3．【解析】(1)把两曲线的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得两曲线的直角坐标方程，再由a=2时，直线C2经过C1的圆心求得|MN|的值；(2)联立两曲线的极坐标方程，可得sin(2θ+π4)=12，结合图形可得2θ1+π4=π6，2θ2+π4=5π6，进一步求得∠MON的大小．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查运算求解能力，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．23.【答案】解：由|2x−1|，得−1<2x−1<1，解得0<x<1，∴M={x|0<x<1}．(Ⅰ)由a，b∈M，得0<a<1，0<b<1，∴(ab+1)−(a+b)=(a−1)(b−1)>0，故ab+1>a+b．(Ⅱ)由ℎ=max{√ab 22√ab，得ℎ≥√ab ，ℎ≥22√ab，∴ℎ2≥ab ⋅22ab=a2+b2ab≥2，∴ℎ≥√2，当且仅当a=b时等号成立．【解析】(Ⅰ)先求出集合M，然后利用作差法比较ab+1与a+b的大小；(Ⅱ)由条件知ℎ2≥ab 22ab=a2+b2ab≥2，从而证明ℎ≥√2成立．本题考查了绝对值不等式的解法，作差法比较大小和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。
2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(6)
∴ ?RA＝ { x|x＜ 3} ，
∵ B＝ { x|1＜x≤9} ，
∴（ ?RA）∩ B＝ { x|1＜ x＜ 3} ，
故选： A．
1
2．（ 5 分）设 z＝ 4﹣ 3i，则在复平面内 对应的点位于（
）
??
A ．第一象限
B ．第二象限
C．第三象限
D ．第四象限
【解答】 解：由题意得 z＝ 4﹣ 3i ，
2020 年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（ 6）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）设集合 A＝ { x|y= √??- 3} ， B＝ { x|1＜x≤ 9} ，则（ ?RA）∩ B＝（ ）
A ．（ 1， 3）
B ．（3， 9）
C． [3， 9]
1
2．（ 5 分）设 z＝ 4﹣ 3i，则在复平面内
+
的值．
|????| |????|
23．设函数 f （x）＝ |x﹣ a|+|x﹣ 4|（ a≠ 0）．
（ 1）当 a＝ 1 时，求不等式 f（x）＜ x 的解集；
第 4页（共 23页）
（ 2）若 ??(??+) 1 ≥ 4??恒成立，求 a 的取值范围．
第 5页（共 23页）
2020 年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（ 6）
级、中学高级； ⑥ 无论是否把我计算在内，以上条件都成立．由此队员的叙述可以推测
出他的学段及职称分别是
、
．
16．（ 5 分）设函数 f （ x）是偶函数，当
??(3- ??)， 0 ≤ ??≤ 3
x≥0 时， f（ x） =
{ -
3 ??+
2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(5)
B ．{3 ， 5}
C． {3 ， 4}
D． {2 ， 7}
→
2．（ 5 分）已知复数 z 在复平面内对应的向量为 ???，? O 为坐标原点，则 |z|为（
）
A ．1
B ．√2
C． √3
D．2
??≤ ??
3．（ 5 分）已知 x， y 满足不等式组 {??+ ??≥ 2 ，则 z＝﹣ 2x+y 的最大值为（
9．（ 5 分）若执行如图所示的程序框图，则输出
S 的值为（
）
第 8页（共 20页）
1 A ．- 3
1 B．
2
3 C．
4
【解答】 解：当 i ＝ 1 时， i＜ 2018 成立， S= 1 1-4
=-
1，i ＝ 2 3
当
i ＝ 2 时， i ＜2018 成立， S=
1 1+
1 3
=
3，i＝3 4
当
l 与曲线
C 分别
第 4页（共 20页）
交于 M ，N 两点．
（ 1）写出曲线 C 和直线 l 的普通方程；
1
1
（ 2）若点 P（3，﹣ 1），求
-
的值．
|????| |????|
23．设函数 f （x）＝ |x+2|+|x﹣ 3|
（Ⅰ）求不等式 f（ x）＞ 9 的解集；
（Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（ x）≤ |3m﹣ 2|有解，求实数 m 的取值范围．
）
A ．36
B ．32
C． 28
D． 24
【解答】
解： S6=
6(??2 +??5) 2
= 3×（ 3+9 ）＝ 36．
2020年重庆市高考数学(理科)模拟试卷(4)(a卷)
2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（4）（A卷）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3} 2．（5分）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则＝（）A．B．C．1D．3．（5分）把数列{a n}的各项按顺序排列成如下的三角形状，记A（i，j）表示第i行的第j个数，例如A（3，3）＝a7，若A（i，j）＝a2018，则j﹣i ＝（）A．36B．37C．38D．454．（5分）已知a＝log52，b＝log72，c＝0.5a﹣2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩．其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．16B．20C．D．7．（5分）已知平面向量＝（2，1），＝（2，4），则向量，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（5分）设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AD与BC的夹角为θ，则＝（）A．B．C．D．10．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）下列命题中，是假命题的是（）A．B．∀x∈R，sin x+cos x≠2C．函数f（x）＝|sin x+cos x|的最小正周期为2πD．＝312．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）函数f（x）＝在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则a ＝．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，若等腰直角三角形P AB 的斜边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为．15．（5分）已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是；此时四面体F﹣ADP的外接球的半径是．16．（5分）设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝5，S7＝49．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜3．18．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．19．（12分）2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）．（i ＝1，2，3，…，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，＝289.8，＝1.6，，，其中t i＝，．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．20．（12分）已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：x≥1+lnx；（3）证明：f（x）≤（x+1）2e sin x．21．（12分）已知F（1，0），点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox，极坐标系中A（），B（），C（），D（），弧所在圆的圆心分别为（），（1，π），（），（1，0），曲线C1是弧，曲线C2是弧，曲线C3是弧，曲线C4是弧．（1）分别写出C1，C2，C3，C4的极坐标方程；（2）直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），若直线l与曲线C1有两个不同交点M，N，求实数λ的取值范围，并求出|PM|+|PN|的取值范围．23．已知a＞0，b＞0，a+b＝2．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）证明：+≥．2020年重庆市高考数学（理科）模拟试卷（4）（A卷）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x≤3}B．{x|0≤x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|1＜x＜3}【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥0}，∴A∩B＝{x|0＜x≤3}．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）已知平面向量、的夹角为135°，且为单位向量，，则＝（）A．B．C．1D．【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可．【解答】解：由题意知，平面向量、的夹角为135°，且||＝1，，所以||＝＝，•＝1××cos135°＝﹣1，＝+2+＝1+2×（﹣1）+2＝1，所以＝1．故选：C．【点评】本题考查了根据平面向量的数量积计算模长的应用问题，是基础题．3．（5分）把数列{a n}的各项按顺序排列成如下的三角形状，记A（i，j）表示第i行的第j个数，例如A（3，3）＝a7，若A（i，j）＝a2018，则j﹣i ＝（）A．36B．37C．38D．45【分析】由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的，根据规律求得．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，②每一行种的数字都是逐渐递增的所以第44行的最后一个项的项数为442＝1936，即为a1936；所以第45行的最后一个项的项数为452＝2025，即为a2025；所以若A（m，n）＝a2018，一定在45行，即i＝45，所以a1937是第第45行的第一个数，2018﹣1937+1＝82，故j＝82．所以j﹣i＝82﹣45＝37．故选：B．【点评】本题考查归纳推理，考查利用数列的递推式解决数学问题的能力，要求会根据图形归纳总计得到一组数的规律，是中档题．4．（5分）已知a＝log52，b＝log72，c＝0.5a﹣2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：∵1＜log25＜log27，∴1＞log52＞log72，又0.5a﹣2＞0.5﹣1＝2，则c＞a＞b，故选：A．【点评】本题考查了对数函数的单调性、对数的换底公式，考查了计算能力，属于基础题．5．（5分）如图茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩．其中乙中的两个数字被污损，且已知甲、乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数进行比较；【解答】解：由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为；乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （x≤y）；∵甲，乙中位数相同；∴90+x＝91⇒x＝1；乙的平均数为；∵乙的平均成绩低于甲；∴1≤y＜3；⇒y＝1或2．∴乙的平均成绩低于甲的概率p＝；故选：A．【点评】本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质；考查了学生的计算能力，属于基础题．6．（5分）某长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．16B．20C．D．【分析】三视图复原的几何体是长方体的一部分，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，然后求解几何体的表面积．【解答】解：三视图复原的几何体是长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的表面积为：＝20+2．故选：D．【点评】此题考查了由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力，本题是基础题，常考题型．7．（5分）已知平面向量＝（2，1），＝（2，4），则向量，夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据向量的坐标，以及向量夹角的余弦公式即可求出的值．【解答】解：∵＝（2，1），＝（2，4），∴．故选：B．【点评】本题考查了向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．8．（5分）设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合等比中项的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若G是a，b的等比中项，则G2＝ab．当a＝b＝G＝0时，满足G2＝ab，但a，G，b不能构成等比数列，所以“G2＝ab”是“G是a，b的等比中项”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用等比数列的性质和定义进行判断是解决本题的关键．属于基础题．9．（5分）如图两个同心球，球心均为点O，其中大球与小球的表面积之比为3：1，线段AB与CD是夹在两个球体之间的内弦，其中A、C两点在小球上，B、D两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部．当四面体ABCD的体积达到最大值时，此时异面直线AD与BC的夹角为θ，则＝（）A．B．C．D．【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为，内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例．判断当四面体ABCD体积最大时，AB，CD的位置关系，作出异面直线AD，BC所成的角θ，解直角三角形求得．【解答】解：设正方体的边长为2，则其内切球半径为1，外接球的半径为，∴内切球和外接球的表面积之比为1：3，符合题意中的小球和大球的比例，依题意CD，AB最长为，AC最长为小球的直径2．∵三角形的面积，若a，b为定值，则时面积取得最大值．画出图象如下图所示，其中A，C分别是所在正方形的中心，O是正方体内切球与外接球的球心，CD∥AD1，CD＝AD1，CB1∥AB，CB1＝AB．∵，故此时四面体A﹣BCD的体积最大．∵CE∥AB，CE＝AB，∴四边形ABCE为平行四边形，∴BC∥AC，∴∠ADE是异面直线BC和AD所成角，∴∠ADE＝θ，∵AD＝AE，设G是DE的中点，则AG⊥DE，∴，∴．故选：A．【点评】本题考查了几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属中档题．10．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中．为分担“逆行者”的后顾之忧，某校教师志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．今欲随机安排甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，则甲恰好辅导2次的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，相当于每天从2人中选一人，且每人至少被选一次的选法，然后求出甲恰好辅导2次的安排方法的结果数，再结合等可能事件的概率公式即可求解．【解答】解：甲、乙2位志愿者为1位小学生辅导功课共4次，每位志愿者至少辅导1次，每次由1位志愿者辅导，相当于每天从2人中选一人，且每人至少被选一次的选法有24﹣2＝14种选法，则甲恰好辅导2次的时间有甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲共6种安排法；故概率P＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了等可能事件的概率求解，属于基础试题．11．（5分）下列命题中，是假命题的是（）A．B．∀x∈R，sin x+cos x≠2C．函数f（x）＝|sin x+cos x|的最小正周期为2πD．＝3【分析】对每一选项继续分析A、根据三角函数的性质，即可判断；B、sin x+cos x＝sin （x+）≤≠2，即可判断；C、利用周期函数定义即可判断；D、22l0g43＝2l0g23＝3，即可判断．【解答】解：A、根据三角函数的性质，y＝cos x在x∈（0，）单调递减，y＝sin x在x∈（0，）单调递增，当x∈（0，）时y＝cos x的图象在y＝sin x图象上方，在如图所示所以正确；B、∀x∈R，sin x+cos x＝sin（x+）≤≠2，故正确；C、利用周期函数定义即可判断，|sin x+cos x|＝|sin（x+）|的最小正周期为π可知不正确；D、22log43＝2log23＝3，正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查三角函数的性质，对数的运算，比较基础．12．（5分）已知函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．[0，e3﹣4]B．[0，+2]C．[+2，e3﹣4]D．[e3﹣4，+∞）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，构造函数g（x）＝x3﹣3lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，解可得a的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，若函数f（x）＝﹣x3+1+a（≤x≤e，e是自然对数的底）与g （x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则方程﹣x3+1+a＝﹣3lnx在区间[，e]上有解，﹣x3+1+a＝﹣3lnx⇔a+1＝x3﹣3lnx，即方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，设函数g（x）＝x3﹣3lnx，其导数g′（x）＝3x2﹣＝，又由x∈[，e]，g′（x）＝0在x＝1有唯一的极值点，分析可得：当≤x≤1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，当1≤x≤e时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最小值g（1）＝1，又由g（）＝+3，g（e）＝e3﹣3；比较可得：g（）＜g（e），故函数g（x）＝x3﹣3lnx有最大值g（e）＝e3﹣3，故函数g（x）＝x3﹣3lnx在区间[，e]上的值域为[1，e3﹣3]；若方程a+1＝x3﹣3lnx在区间[，e]上有解，必有1≤a+1≤e3﹣3，则有0≤a≤e3﹣4，即a的取值范围是[0，e3﹣4]；故选：A．【点评】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知存在关于x轴对称的点转化为方程a﹣x3＝﹣3lnx⇔﹣a＝3lnx﹣x3在上有解．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）函数f（x）＝在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则a ＝．【分析】先对函数求导数，利用切点处导数值为切线斜率求出a的值．【解答】解：由题意得：．又∵切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，故切线斜率k＝．∴，∴．故答案为：．【点评】本题考查导数的几何意义，要注意两直线垂直时斜率的关系，不要将垂线当成切线．属于基础题．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，若等腰直角三角形P AB 的斜边AB为圆C的一条弦，则PC的最大值为．【分析】根据已知条件得出CP⊥AB且平分AB，设∠ACP＝α，把|PC|的长用α表示出来，再结合三角函数的性质即可求解．【解答】解：连接圆心C与P，则CP⊥AB且平分AB，设交点为D，设∠ACP＝α，则|CD|＝|AC|cosα，|AD|＝|AC|sinα，∵等腰直角△P AB中，D为斜边中点，∴|AD|＝|DP|，∴|PC|＝|CD|+|DP|＝2cosα+2sinα＝2sin（α+），当α+＝，即α＝时|PC|的长达到最大值，∴PC的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15．（5分）已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是；此时四面体F﹣ADP的外接球的半径是．【分析】由已知中矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，将△DEF沿FD翻折，翻折后的点E恰与BC上的点P重合．设AB＝1，F A＝x（x＞1），AD＝y，我们利用勾股定理分别求出BP，PC，根据BC＝BP+PC，可以得到x，y的关系式，利用换元法结合二次函数的性质，可得答案．四面体F﹣ADP的外接球的球心为DF的中点，即可求出四面体F﹣ADP的外接球的半径．【解答】解：设F A＝x（x＞1），AD＝y，∵矩形ABCD与矩形ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，F A＝x（x＞1），AD＝y，∴FE＝FP＝AD＝BC＝y，AB＝DC＝1，F A＝DE＝DP＝x在Rt△DCP中，PC＝在Rt△F AP中，AP＝在Rt△ABP中，BP＝∵BC＝BP+PC＝+＝y整理得y2＝，令x2＝则y2＝，则当t＝，即x＝时，y取最小值2．四面体F﹣ADP的外接球的球心为DF的中点，DF＝＝，四面体F﹣ADP的外接球的半径是．故答案为：，．【点评】本题考查的知识点是空间两点之间的距离计算，由于本题是几何与代数知识的综合应用，运算量比较大，而且得到的x，y的关系比较复杂，因此要用换元法，简单表达式．16．（5分）设函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）的两个极值点分别为x1，x2，若≤﹣2恒成立，则实数a的取值范围是a≥e+．【分析】由函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，可知f（x）不单调，利用导数求得a的范围，运用韦达定理可得a＝x1+x2＝x2+＞2，作差f（x1）﹣f（x2），再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），通过求导，判断单调性可得x2≥e，即可得到a的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝﹣x+alnx（a∈R）有两个极值点分别为x1，x2，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣﹣1+＝﹣，令g（x）＝x2﹣ax+1，其判别式△＝a2﹣4．当﹣2≤a≤2时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＜﹣2时，△＞0，g（x）＝0的两根都小于零，在（0，+∞）上，f′（x）＜0，则f （x）在（0，+∞）上单调递减，不合题意．当a＞2时，△＞0，设g（x）＝0的两个根x1，x2都大于零，令x1＝，x2＝，x1x2＝1，当0＜x＜x1时，f′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，f′（x）＞0，当x＞x2时，f′（x）＜0，故f（x）分别在（0，x1），（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，∴a的取值范围是（2，+∞）．则a＝x1+x2＝x2+＞2，∵f（x1）﹣f（x2）＝﹣x1+alnx1﹣（﹣x2+alnx2）＝+（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），∴＝﹣﹣1+a•＝﹣2+a•．若≤﹣2恒成立，则﹣2+a•≤﹣2，∴≤，不妨设x1＜x2，则x1﹣x2≤（lnx1﹣lnx2）．又x1＝，∴﹣x2≤（﹣2lnx2），∴﹣x2+lnx2≤0（x2＞1）①恒成立．记F（x）＝﹣x+•lnx（x＞1），F′（x）＝﹣﹣1+•，记x1′＝[﹣]，x2′＝[+]，F（x）在（1，x2′）上单调递增，在（x2′，+∞）上单调递减，且易知0＜x1′＜1＜x2′＜e．又F（1）＝0，F（e）＝0，∴当x∈（1，e）时，F（x）＞0；当x∈[e，+∞）时，F（x）≤0．故由①式可得，x2≥e，代入方程g（x2）＝x22﹣ax2+1＝0，得a＝x2+≥e+（a＝x2+在x2∈[e，+∞）上递增）．又a＞2，∴a的取值范围是a≥e+．故答案为：a≥e+．【点评】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算能力，属于难题．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a3＝5，S7＝49．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设，T n为数列{b n}的前n项和，求证：T n＜3．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则：，解得：a1＝1，d＝2，故：．证明：（Ⅱ）由于：a n＝2n﹣1，所以，则：①②①﹣②得：＝．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，四边形CDEF为正方形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）若点G是棱AB的中点，求证：EG∥平面BDF；（Ⅱ）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC上是否存在点H，使平面BDF⊥平面HAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．【分析】（I）求出CD＝1，证明四边形EFBG是平行四边形得出EG∥BF即可得出EG ∥平面BDF；（II）建立空间坐标系，求出平面BDF的法向量和的坐标，则直线AE与平面BDF 所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）假设存在H点满足条件，求出平面HAD的法向量，令＝0，根据方程是否有解得出结论．【解答】（I）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2AD＝2，∠DAB＝60°，∴CD＝AB﹣2AD cos60°＝1，即CD＝AB．∵CD EF，CD AB，又BG＝AB，∴EF BG，∴四边形EFBG是平行四边形，∴EG∥BF，又EG⊄平面BDF，BF⊂平面BDF，∴EG∥平面BDF（II）解：∵AD＝1，AB＝2，∠DAB＝60°，∴BD＝＝，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD．∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，DE⊥CD，∴DE⊥平面ABCD．以D为原点，以直线DA，DC，DE为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示：则A（1，0，0），E（0，0，1），B（0，，0），D（0，0，0），F（﹣，，1）∴＝（﹣1，0，1），＝（0，，0），＝（﹣，，1），设平面BDF的法向量为＝（x，y，z），则，＝0，∴，令z＝1得＝（2，0，1），∴cos＜＞＝＝＝﹣，设直线AE与平面BDF所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝．（3）解：设H（﹣，，h），（0≤h≤1）当h＝0时，显然平面BDF与平面HAD不垂直，则＝（﹣，，h），＝（1，0，0），设平面HAD的法向量为＝（x，y，z），则，，∴，令y＝得＝（0，，﹣）．假设存在点H，使得平面BDF⊥平面HAD，则，∴＝﹣＝0，方程无解．∴线段FC上不存在点H，使平面BDF⊥平面HAD．【点评】本题考查了线面平行的判定，空间向量与空间角，空间位置的关系，属于中档题．19．（12分）2020年，新冠状肺炎疫情牵动每一个中国人的心，危难时刻众志成城，共克时艰，为疫区助力．福建省漳州市东山县共101个海鲜商家及个人为缓解武汉物质压力，募捐价值百万的海鲜输送武汉．东山岛，别称陵岛，形似蝴蝶亦称蝶岛，隶属于福建省漳州市东山县，是福建省第二大岛，中国第七大岛，介于厦门市和广东省汕头之间，东南是著名的闽南渔场和粤东渔场交汇处，因地理位置发展海产品养殖业具有得天独厚的优势．根据养殖规模与以往的养殖经验，某海鲜商家的海产品每只质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）．（1）随机购买10只该商家的海产品，求至少买到一只质量小于265克该海产品的概率；（2）2020年该商家考虑增加先进养殖技术投入，该商家欲预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．现用以往的先进养殖技术投入x i（千元）与年收益增量y i（千元）．（i ＝1，2，3，…，8）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y＝a+b的附近，且＝46.6，＝563，＝6.8，＝289.8，＝1.6，，，其中t i＝，．根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量．附：若随机变量Z～N（1，4），则P（﹣5＜Z＜7）＝0.9974，0.998710≈0.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归线v＝α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．【分析】（1）由已知结合正态分布的对称性求得P（ξ＜265），可知随机变量X～B（10，0.0013），由此求得随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率；（2）由已知求得与的值，则线性回归方程可求，取x＝49求得y值即可得答案．【解答】解：（1）由已知，单只海产品质量ξ～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，由正态分布的对称性可知，P（ξ＜265）＝[1﹣P（μ﹣3σ＜ξ＜μ+3σ）]＝（1﹣0.9974）＝0.0013，设购买10只该商家海产品，其中质量小于265g的为X只，故X～B（10，0.0013），故P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣（1﹣0.0013）10≈1﹣0.9871＝0.0129，∴随机购买10只该商家的海产品，至少买到一只质量小于265克的概率为0.0129；（2）由，＝563，，＝1.6，有，且＝563﹣68×6.8＝100.6，∴y关于x的回归方程为，当x＝49时，年销售量y的预报值＝576.6千元．故预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元．【点评】本题考查正态分布概率的求法，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20．（12分）已知函数f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明：x≥1+lnx；（3）证明：f（x）≤（x+1）2e sin x．【分析】（1）求出f（0）和f'（0）的值，利用点斜式可写出所求切线的方程；（2）构造函数g（x）＝x﹣lnx﹣1，利用导数求出函数y＝g（x）的最小值g（x）min，由g（x）min≥0可证明出x≥1+lnx；（3）证明出（x+1）2e sin x＞0，利用（2）中的结论可得出（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，化简后可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2ln（x+1）+sin x+1，∴，则f'（0）＝3，f（0）＝1，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x+1；（2）设函数g（x）＝x﹣（1+lnx）＝x﹣lnx﹣1，则，令g'（x）＜0，得0＜x＜1；令g'（x）＞0，得x＞1．所以，函数y＝g（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增．则函数y＝g（x）在x＝1处取得极小值，亦即最小值，即g（x）min＝g（1）＝0，即x≥1+lnx；（3）证明：因为函数y＝f（x）的定义域为（﹣1，+∞），所以（x+1）2＞0，（x+1）2e sin x ＞0，由（2）知，（x+1）2e sin x≥1+ln[（x+1）2e sin x]，即（x+1）2e sin x≥2ln（x+1）+sin x+1，又（0+1）2e sin0＝1，所以等号可以成立，从而f（x）≤（x+1）2e sin x．【点评】本题考查利用导数求切线方程，同时也考查函数不等式的证明，考查推理论证能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知F（1，0），点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．【分析】（1）设P（x，y），则PF中点坐标为（，），由以PF为直径的圆与y轴相切得，化简即可得到曲线C的方程；（2）由y2＝4x（y＞0），得，y'＝，利用导数的几何意义得到k1＝，k2＝，由k1+k2＝3，得：①，令f（x）＝3x3﹣6x2﹣12x+8，利用导数得到函数f（x）在（0，+∞）内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．【解答】解：（1）设P（x，y），x＞0，y＞0，又F（1，0），则PF中点坐标为（，），因为以PF为直径的圆与y轴相切，所以，即，整理得C的方程为：y2＝4x（y＞0），（2）由y2＝4x（y＞0），得，y'＝，设P（，y0）（y0＞0），则k1＝＝，k2＝＝，由k1+k2＝3，即+＝3，得：①，令f（x）＝3x3﹣6x2﹣12x+8，由f'（x）＝9x2﹣12x﹣12＝0得，x＝﹣，或x＝2，因为当x∈（0，2）时，f'（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，又f（0）＝8＞0，f（2）＝﹣16＜0，f（4）＝56＞0，f（x）的图象连续不断，所以f（x）在（0，+∞）内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．【点评】本题主要考查了动点轨迹方程，以及利用导数研究函数的零点，是中档题．四．解答题（共2小题，满分10分）22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系Ox，极坐标系中A（），B（），C（），D（），弧所在圆的圆心分别为（），（1，π），（），（1，0），曲线C1是弧，曲线C2是弧，曲线C3是弧，曲线C4是弧．（1）分别写出C1，C2，C3，C4的极坐标方程；（2）直线l的参数方程为（t为参数），点P的直角坐标为（2，2），若直线l 与曲线C1有两个不同交点M，N，求实数λ的取值范围，并求出|PM|+|PN|的取值范围．【分析】（1）设弧上任意一点M（ρ1，θ），推出，同理可得：C2的极坐标方程为；C3的极坐标方程为；C4的极坐标方程为ρ4＝2cosθ，或．（2）直线l的参数方程为，消去t得y＝2+λ（x﹣2），过定点P（2，2），C1直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1直线l的标准参数方程为，代入C1直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1，求出|PM|+|PN|的表达式，然后求解|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（1）如图所示：设弧上任意一点M（ρ1，θ）因为ABCD是边长为2的正方形，AB所在的圆与原点相切，其半径为1，所以，所以C1的极坐标方程为；同理可得：C2的极坐标方程为；C3的极坐标方程为；C4的极坐标方程为ρ4＝2cosθ，或，（2）因为直线l的参数方程为，所以消去t得y＝2+λ（x﹣2），过定点P（2，2），C1直角坐标方程为x2+（y﹣1）2＝1，如图所示：，因为直线l与曲线C1有两个不同交点M，N，所以，因为直线l的标准参数方程为，代入C1直角坐标方程x2+（y﹣1）2＝1得，＝，令，所以，所以．所以|PM|+|PN|的取值范围是．【点评】本题考查极坐标方程的应用，参数方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．23．已知a＞0，b＞0，a+b＝2．（Ⅰ）求+的最小值；（Ⅱ）证明：+≥．【分析】（Ⅰ）通过1的代换，利用基本不等式求解表达式的最小值即可．（Ⅱ）利用分析法转化证明即可．【解答】解：（Ⅰ）a＞0，b＞0，a+b＝2．所以+＝（+）（a+（b+1））＝[2+]≥（2+2）＝，当且仅当a＝，b＝时，取等号．+的最小值为：．（Ⅱ）证明：要证明+≥，由a＞0，b＞0，即证明a2+b2≥2，因为，所以当且仅当a＝b时，有，即a2+b2≥2成立，所以：+≥．【点评】本题考查不等式的证明，基本不等式求解表达式的最小值，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．。
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2020年重庆市高考数学模拟试卷（理科）（6月份）
一、选一择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合{|31}A x x =-<„，2{|()}B x y lg x x ==-，则(A B =I ) A ．(0，1]
B ．(0,1)
C ．[0，1]
D ．[3-，1)
2．（5分）在复平面内，复数z 对应点(,)Z x y ，若||||z i z i -=+，则( ) A ．0y =
B ．0y =，[0x ∈，1]
C ．0x =
D ．0x =，[0y ∈，1]
3．（5分）命题:p x N ∀∈，|2|3x +…的否定为( ) A ．x N ∀∈，|2|3x +< B ．x N ∀∉，|2|3x +< C ．x N ∃∈，
|2|3x +…
D ．x N ∃∈，|2|3x +<
4．（5分）已知 2.122312
log ,(),()225
a b c -===，则( )
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b a c <<
5．（5分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若27927a a a ++=，且89S S =，则(d = )
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
6．（5分）若随机变量X 服从正态分布(N μ，2)(0)σσ>，则(||)0.6806P X μσ-≈„，(||2)0.9544P X μσ-≈„，(||3)0.9974P X μσ-≈„．已知某校1000名学生某次数学考试成
绩服从正态分布(10,100)N ，据此估计该校本次数学考试成绩在130分以上的学生人数约为(
) A ．159
B ．46
C ．23
D ．13
7．（5分）已知向量(1,2),(3,4)a b =-=r r ，若向量c r 与a r 共线，且c r
在b r ，则||(c =r
)
A ．1
B ．2
C
D ．5
8．（5分）设α，β是空间中的两个平面，l ，m 是两条直线，则使得//αβ成立的一个充分条件是( )
A ．l α⊂，m β⊂，//l m
B ．l m ⊥，//l α，m β⊥
C ．l α⊂，m α⊂，//l β，//m β
D ．//l m ，l α⊥，m β⊥
9．（5分）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术，明代的律学家朱载堉创建了十二
平均律，并把十二平均律计算得十分精确，与当今的十二平均律完全相同，其方法是将一个八度音程（即相邻的两个具有相同名称的音之间，如图中88键标准钢琴键盘的一部分中，c 到1c 便是一个八度音程）均分为十二等分的音律，如果用正式的音乐术语称呼原来的7个音符，分别是c ，d ，e ，f ，g ，a ，b ，则多出来的5个音符为#c （读做“升c ” )，#d ，#f ，#g ，#a ；12音阶为：c ，#c ，d ，#d ，e ，f ．#f ，g ，#g ，a ，#a ，b ，相邻音阶的频率之比为121:2．如图，则键盘c 和d 的频率之比为2121:(2)即61:2，键
盘e 和f 的频率之比为121:2，键盘c 和1c 的频率之比为1:2，由此可知，图中的键盘1b 和2f 的频率之比为( )
A ．32
B ．2
C 32
D 2
10．（5分）已知函数2()sin 2cos 2cos sin sin f x x x ϕϕϕ=+-，若对任意x R ∈，5()(
)6
f x f x π
=-，则实数ϕ中的取值可以是( ) A ．3
π
-
B ．6
π
-
C ．
6
π D ．
3
π 11．（5分）已知点(2,0)Q -与抛物线22(0)y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，
B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =u u u r u u u r
，且直线QA 的斜率为1，则(p = )
A ．2
B ．4
C ．222+
D ．4212．（5分）已知2(2,1),(,0),,3A B C D 四点均在函数2()log ax f x x b
=+的图象上，若四边形ABCD
为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是( ) A ．
26
5
B ．
263
C ．
525
D ．
523
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）直线2y x =-与圆22450x y x ++-=交于A ，B 两点，则||AB = ． 14．（5分）曲线2()sin (1)f x x a x =+-在点(0，(0))f 处的切线方程为3y x b =-+，则
a b += ．
15．（5分）已知25()(21)()x x a x a R -+-∈的展开式中各项系数之和为1-，则展开式中x 的系数为 ．
16．（5分）已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且222105a b c ++=，则b 的取值范围是 ．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17\～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．（12分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且4n S ，13n S +，22n S +成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足10b =，11n n b b +-=，设,,n n n
a n c
b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n
c 的前2n 项和．
18．（12分）某项数学竞赛考试共四道题，考察内容分别为代数、几何、数论、组合，已知前两题每题满分40分，后两题每题满分60分，题目难度随题号依次递增，已知学生甲答题时，若该题会做则必得满分，若该题不会做则不作答得0分，通过对学生甲以往测试情况的统计，得到他在同类模拟考试中各题的得分率，如表所示：
假设学生甲每次考试各题的得分相互独立．
（1）若此项竞赛考试四道题的顺序依次为代数、几何、数论、组合，试预测学生甲考试得160分的概率；
（2）学生甲研究该项竞赛近五年的试题发现第1题都是代数题，于是他在赛前针对代数版块进行了强化训练，并取得了很大进步，现在，只要代数题是在试卷第1、2题的位置，他就一定能答对，若今年该项数学竞赛考试四道题的顺序依次为代数、数论、组合、几何，试求学生甲此次考试得分X 的分布列．
19．（12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB BC ==，
D ，
E 分别为1AA ，1B C 的中点．
（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；
（2）若直线BE 与平面11AA B B 所成角为30︒，求二面角C BD E --的大小．
20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，将其左、右焦点和短轴的两个端点顺次连
接得到一个面积为4的正方形． （1）求椭圆C 的方程；
（2）直线:(0,0)l y kx m k m =+>>与椭圆C 交于P ，Q 两点
（均不在y 轴上），点(0,)2
m
A -，若直线AP ，PQ ，AQ 的斜率成等比数列，且OPQ ∆6
O 为坐标原点）
，求直线l 的方程．
21．（12分）已知函数2
1(),2
x f x x ae lnx a R =+-∈． （1）若1
2
x =
是函数()f x 的极值点，求a 的值； （2）当1a …
时，证明：13
()28
f x ln >+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos (1sin x y θ
θθ=⎧⎨=+⎩
为参数），直线
l 经过点(2,0)且倾斜角为α，02
π
α<<
，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系．
（1）求曲线C 的极坐标方程；
（2）过原点O 作直线l 的垂线1l ，垂足为P ，1l 交曲线C 于另一点B ，当α变化时，求ABP ∆的面积的最大值及相应的α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分）。