10.08.07高三数学(理)《名师导学-函数的奇偶性、周期性和对称性》(课件)

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高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性

高考数学知识点精讲函数的奇偶性与周期性高考数学知识点精讲：函数的奇偶性与周期性在高考数学中，函数的奇偶性与周期性是非常重要的知识点，理解并掌握它们对于解决函数相关问题具有关键作用。

接下来，咱们就一起来详细探讨一下这两个重要的概念。

一、函数的奇偶性1、奇函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做奇函数。

比如说，常见的奇函数有 y ＝ sin x ，y ＝ x 等。

我们以 y ＝ x 为例来直观地理解一下奇函数的特点。

当 x 取某个值时，比如 x ＝ 3 ，那么 f(3) ＝ 3 ；而当 x 取－3 时，f(－3) ＝－3 ，也就是 f(－3) ＝ f(3) ，这就体现了奇函数的性质。

奇函数的图象关于原点对称。

这意味着，如果我们知道了函数在原点一侧的图象，就可以通过原点对称的方式得到另一侧的图象。

2、偶函数如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。

像 y ＝ cos x ，y ＝｜x| 等都是偶函数。

以 y ＝｜x| 为例，当 x ＝3 时，f(3) ＝ 3 ；当 x ＝－3 时，f(－3) ＝ 3 ，即 f(－3) ＝ f(3) ，这符合偶函数的定义。

偶函数的图象关于 y 轴对称。

同样，如果知道了函数在 y 轴一侧的图象，通过 y 轴对称就能得到另一侧的图象。

判断一个函数是奇函数还是偶函数，通常有以下几种方法：（1）定义法：就是根据奇函数和偶函数的定义，分别计算 f(x) 和f(x) 或者 f(x) ，看是否相等。

（2）图象法：通过观察函数的图象是否关于原点对称（奇函数）或者关于 y 轴对称（偶函数）来判断。

二、函数的周期性1、周期函数的定义对于函数 y ＝ f(x) ，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x) 都成立，那么就把函数 y ＝ f(x) 叫做周期函数，周期为 T 。

高三数学奇偶性及周期性知识点整理

高三数学奇偶性及周期性知识点整理高三数学函数的奇偶性、周期性知识点一函数的奇偶性和周期性函数的奇偶性定义：偶数函数：通常，如果函数FX的定义域中的任意X存在F-X=FX，那么函数FX称为偶数函数。

奇函数：一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有f-x=-fx，那么函数fx是奇函数。

功能周期：1定义：若t为非零常数，对于定义域内的任一x，使fx+t=fx恒成立，则fx叫做周期函数，t叫做这个函数的一个周期。

周期函数的定义域必须是无界的。

2若t是周期，则k·tk≠0，k∈z也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期。

并非所有周期函数都具有最小正周期，例如常数函数FX=C。

奇函数与偶函数性质：1奇偶函数映像的对称性：奇偶函数映像关于原点对称，偶偶函数映像关于y轴对称。

3在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数;②两个偶函数的和、积是偶函数;③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义字段关于数字轴原点的对称性是函数FX为奇数或偶数的必要但不充分的条件1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数fx为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.2.函数的周期性使a和B不为零，如果：1函数y=fx存在fx=fx+a==>函数最小正周期t=|a|2函数y=FX存在FA+x=FB+x=>函数最小正周期T=|b-a|3函数y=fx存在fx=-fx+a==>函数最小正周期t=|2a|4.函数y=FX有FX+a===>函数最小正周期t=|2a|5函数y=FX有FX+a===>函数最小正周期t=|4a|高三数学函数奇偶性和周期性的两个知识点一、函数的奇偶性二、周期性1、周期函数对于函数y=FX，如果有一个非零常数T，那么当x在定义字段中取任何值时，就有FX+T=FX，那么函数y=FX称为周期函数，T是函数的周期2、最小正周期如果在周期函数FX的所有周期中都有一个最小正数，那么这个最小正数称为FX的最小正周期三、奇、偶函数的有关性质：1.定义域关于原点对称，这是函数奇偶性的必要条件和不足条件；2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反之亦然;3如果奇数函数FX定义为x=0，则F0=0；4利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同;利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反.5如果函数满足FX+T=FX，从函数周期性的定义可以看出，T是函数的周期；需要注意的是，NTN∈ Z和N≠ 0也是函数的周期四、利用定义判断函数奇偶性的方法首先，找到函数的定义域。

高考数学复习考点知识讲解课件8 函数的奇偶性、对称性与周期性

(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个__最__小__的__正___数___，那么这
个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．
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常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则周期 T＝2a(a>0)． (2)若 f(x＋a)＝f1x，则周期 T＝2a(a>0)．
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__－__f_(x_)__，关于___原__点_____对称
那么函数 f(x)就叫做奇函数
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2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有__f(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)__，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
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基础知识夯实
01
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知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，且_f_(－__x_)_＝__f_(x_)，那关于___y__轴_____对称
么函数 f(x)就叫做偶函数
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函数的奇偶性、周期性和对称性教案

函数的奇偶性、周期性和对称性适用学科高中数学适用年级高中一年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点奇偶性的概念；奇偶性的判断；奇偶性的应用；轴对称问题；中心对称问题；周期性的概念教学目标1. 识记奇、偶性的有关性质，能用奇偶函数的有关性质解题，会解释函数奇偶性与单调性的关系；2. 理解函数的周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．教学重点解决综合利用函数的性质解决有关问题．教学难点函数的单调性与奇偶性、周期性的综合应用教学过程一、复习预习1. 了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域。

2．理解函数的三种表示法：解析法、图像法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。

3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。

5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值。

6．会运用函数图像理解和研究函数的性质。

二、知识讲解考点1：奇、偶函数的概念和性质1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期一条规律：奇、偶函数的定义域关于原点对称．（函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．）两个性质：(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图像法；(3)性质法．三条结论(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或1()()f x af x+=或1()()f x af x+=-，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.三、例题精析【例题1】下列函数：①f (x )＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f (x )＝x 3－x ；③f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)；④f (x )＝3x －3－x 2；⑤f (x )＝lg 1－x 1＋x.其中奇函数的个数是( )． A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】①f(x)＝1－x2＋x2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x2＋x2－1是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x3－x 的定义域为R ，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x3－x 是奇函数；③由x ＋x2＋1>x ＋|x|≥0知f(x)＝ln(x ＋x2＋1)的定义域为R ，又f(－x)＝ln(－x ＋－x 2＋1)＝ln 1x ＋x2＋1＝－ln(x ＋x2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；④f(x)＝3x －3－x 2的定义域为R ，又f(－x)＝3－x －3x 2＝－3x －3－x 2＝－f(x)，则f(x)为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x<1，f(x)＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1,1)，又f(－x)＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f(x)，则f(x)为奇函数．【例题2】已知f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x ≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.【答案】（1）f(x)是偶函数；（2）见解析【解析】(1)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1. ∴f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f(x)．故f(x)是偶函数．(2)证明当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0，所以f(x)＝x ⎝⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.四、课堂运用【基础】1. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(2)f(x)＝x2－|x－a|＋2.【答案】（1）所以f(x)是奇函数；（2）当a＝0时，所以f(x)是偶函数；当a≠0时，f(x)既不是偶函数也不是奇函数．【解析】(1)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x<0，或0<x ≤2，因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]，则f(x)＝4－x2x. f(－x)＝4－－x 2－x ＝－4－x2x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝x2－|x|＋2，f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a ≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－|2a|＋2，f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．2.已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m 的取值范围．【答案】－1≤m ＜1.【解析】 ∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2，－2≤1－m2≤2，解得－1≤m ≤ 3.① 又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m ＞m2－1，即－2＜m ＜1.②综合①②可知，－1≤m ＜1.【巩固】1.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.【答案】).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f 【解析】当[]2,3--∈x ，即[]3,2∈-x ，4)3(24)3(2)()(22++-=+---=-=x x x f x f又)(x f 是以2为周期的周期函数，于是当[]2,1∈x ，即243-≤-≤-x 时，[]).21(4)1(243)4(2)()4()(22≤≤+--=++--=⇒-=x x x x f x f x f 有).21(4)1(2)(2≤≤+--=∴x x x f2、设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.【答案】在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.【解析】（由题设知函数)(x f 图象关于直线2=x 和7=x 对称，又由函数的性质得 )(x f 是以10为周期的函数.在一个周期区间[)10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且x f f f f f f ==-=+==故)(x f 图象与x 轴至少有2个交点.而区间[)30,30-有6个周期，故在闭区间[]30,30-上)(x f 图象与x 轴至少有13个交点.【拔高】1、已知f(x)是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2007)=_________.【答案】0【解析】(6)()(3)f x f x f +=+令x=-3，则f(-3+6)=f(-3)+f(3)，即f(3)=f(-3)+f(3), 又∵f(x)为偶函数∴f(3)=f(3)+f(3)，解得f(3)=0.∴f(x+6)=f(x)，即函数f(x)的周期为6.因为2007÷6=334 (3)所以f (2007)=f (3)=0.课程小结【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系，高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时，常常将它们综合在一起命制试题. 【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f－x与f x的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f x＋T与f x 的关系，它们都与f x有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到.函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题.课后作业【基础】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)【答案】D【解析】由函数f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上是增函数可以推知，f(x)在[－2,2]上递增，又f(x－4)＝－f(x)⇒f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.【巩固】2.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)的值．【答案】（1）见解析（2）f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]（3）f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)=1【解析】(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2) 当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．(3) ∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.【拔高】3．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．个性化教案【答案】（1）f(π)＝π－4（2）S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. （3）函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)）【解析】(1)由f(x ＋2)＝－f(x)得，f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2]＝－f(x ＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得：f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x ≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4. (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)．。

抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习

()±()
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)

f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(

A.f(0)=0
解析:法一

B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()

f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,

所以 f( )= .
答案:(1)

函数的奇偶性、周期性与对称性+课件-2025届高三数学一轮复习

常用结论
函数周期性的常用结论
设函数 y ＝ f ( x )， x ∈R， a ＞0， a ≠ b .
(1)若 f ( x ＋ a )＝－ f ( x )，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
1
(2)若 f ( x ＋ a )＝±
，则2 a 是函数 f ( x )的周期；
()
(3)若 f ( x ＋ a )＝ f ( x ＋ b )，则｜ a － b ｜是函数 f ( x )的周期.
于直线 x ＝ a 对称.
(2)若函数 y ＝ f ( x ＋ b )是奇函数，则 f ( x ＋ b )＋ f (－ x ＋ b )＝0，函数 y ＝ f ( x )的图
象关于点( b ，0)中心对称.
2. 函数的周期性
(1)周期函数
一般地，设函数 f ( x )的定义域为 D ，如果存在一个非零常数 T ，使得对每一个 x ∈
∈[4，6)时， f ( x )＝ x 2－12 x ＋32.

， )
2
2
＋
2
对称.
对称.
(1)奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有
对称性.(2)注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内 x
的符号相同，对称性的表示中，括号内 x 的符号相反.
常用结论
函数 f ( x )图象的对称性与周期的关系
(1)若函数 f ( x )的图象关于直线 x ＝ a 与直线 x ＝ b 对称，则函数 f ( x )的周期为2｜ b －
0 .
⁠
(2)若函数在关于原点对
称的区间上单
称的区间上有最值，则
调性⑤ 相同 .
⁠

第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性

D．a<b<c
答案：A
15
函数的奇偶性、周期性与对称性
《高考特训营》 ·数学返回
解析：由结论 3 知函数 f(x)的图象关于 x＝1 对称，当 1<x1<x2 时，[f(x1) －f(x2)](x1－x2)>0，则 f(x2)>f(x1)，所以函数 f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以 a＝f(－21)＝f(2＋12)＝f(52)，因为 3>25>2>1，所以 b<a<c.故选 A．
202函4届数的奇偶性、周期性与对称性
《高考特《训高营考》特·训数营学》 ·返数回学
第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性
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函数的奇偶性、周期性与对称性
《高考特训营》 ·数学返回
课程标准解读
命题方向
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含 1.函数的奇偶性
义.
2.会运用函数的图象理解和研究函数的 2.函数的周期性
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函数的奇偶性、周期性与对称性
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[注意] 周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使f(x＋T)＝f(x)为恒等式，即自变量x每增加一个 T后，函数值就会重复出现一次．
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函数的奇偶性、周期性与对称性
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3．函数的对称性 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝ f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．

备战高考数学复习知识点讲解课件10---函数的奇偶性、周期性、对称性

得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
2 ．设 f(x) 为奇函数，且当 x≥0 时， f(x) ＝ ex － 1 ，则当 x<0 时， f(x) ＝
________．
解析：当x<0时，－x>0，
因为当x≥0时，f(x)＝ex－1，
所以f(－x)＝e－x－1.
又因为f(x)为奇函数，
所以f(2 022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝－f(2)＝－3.
2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]
时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．
解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，
所以f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，
1．(2022·安徽亳州高三月考)函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，若f(2)＝3，则
f(2 022)＝(
A．3
B.－3
√
)
C.6
D.2 022
解析：因为函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋4)，
即f(x＋4)＝－f(x)，
则f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数，周期为8，

3
3 3

fx＋2＝－fx＋2＋2＝－f(x＋3)，

所以 f(x)＝f(x＋3)，所以 f(x)是周期为 3 的周期函数，所以 C 正确；
因为 f(－1)＝1，f(0)＝－2，所以 f(2)＝f(－1)＝1，f(3)＝f(0)＝－2，

3
3
3

函数的奇偶性、对称性、周期性课件(人教版)

(3)(2020·全国)已知函数 f(x)=sin x 1 ，则( D )
sin x
A．f(x)的最小值为 2
B．f(x)的图象关于 y 轴对称
C．f(x)的图象关于直线 x 对称
D．f(x)的图象关于直线 x 对称
2
专题二：函数的对称性
例 5：(2016·全国)已知函数 f (x)(x R) 满足 f (x) 2 f (x) ，若函数 y x 1 与 y f (x) 图 x
(2)已知 f (x) 是奇函数，且当 x 0 时，f (x) eax .若 f (ln 2) 8 ，则a ___-_3______.
(3)(2020·海南 8)若定义在 R 的奇函数 f(x)在(, 0) 单调递减，且 f(2)=0，则满足
xf (x 1) 0 的 x 的取值范围是（ D ）
专题二：函数的对称性
例 4：(1)函数 f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为__x_＝_12____．
(2)(2017·全国)函数 f (x) lnx ln(2 x) 图象的对称轴方程为__x_＝_1____．
f (2 x) ln(2 x) ln x f (x) ，所以 f (x) 的图象关于直线x 1 对称，
令 4(x 2)(x 3) 8 ，整理得：9x2 45x 56 0 ， 9
(3x 7)(3x 8) 0,
x1
7 3
,
x2
8 3
（舍），
x (, m] 时，
f
(
x)
8 9
成立，即
m
7 3，mFra bibliotek,7 3
，故选
B．
专题三：函数的周期性
小结： (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．

高三函数的周期性与对称性课件

函数的周期性
周期性的概念
周期函数以固定的周期重复数具有平移、拉伸和反射等性质。
周期函数的图像
正弦函数的图像是一条连续的波浪线，呈现周期性变化。
周期函数应用举例
周期性在声波、光波、电信号等现象中具有重要应用。
函数的对称性
1
偶函数和奇函数的定义
偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称。
2
偶函数和奇函数的性质及图像
偶函数具有对称图像，奇函数具有关于原点对称的图像。
3
偶函数、奇函数和周期函数的关系
周期函数可以同时具有偶函数和奇函数的对称性。
4
对称函数应用举例
对称函数在几何学、计算机图形学和物理学等领域有广泛应用。
综合应用
1 生活实际
通过例子，说明周期性和对称性在人类身边的生活中的应用，如音乐、绘画、建筑等。
高三函数的周期性与对称性课件
介绍高三函数的周期性和对称性的重要性和应用场景。探讨函数的周期性和对称性的概念及性质，并能够熟练地解决相关题型。
概述
重要性
了解函数的周期性和对称性有助于解决复杂的函数问题，提高数学应用能力。
应用场景
周期性和对称性在自然科学、经济学、工程学等领域有广泛应用。
目标
介绍本课程的学习目标和内容，准备学生理解函数的周期性和对称性。
2 经济
探索周期性和对称性在经济领域的应用，如经济周期、周期性的经济指标预测等。
3 科学
介绍周期性和对称性在自然科学和工程学中的应用，如周期性震动、交流电等。
总结
通过本课程的学习，你将掌握函数的周期性和对称性的概念及性质，并能够灵活地运用于解决实际问题。

第03课奇偶性周期性与对称性(课件)

【典例】已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则 f(2 023)＝________．
【解析】因为 f(x＋4)＝f(x－2)，所以 f(x＋6)＝f(x)，则 T＝6 是 f(x)的周期．
所以 f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．又 f(x)在 R 上是偶函数，
【反思】把自变量转化到对于的定义域上进行求解.
【考点 13】周期性与奇偶性的简单问题
一、【考点逐点突破】
【典例】函数 f(x)满足 f(x＋1)＝f(x－1)，且 f(x)为定义在 R 上的奇函数，则 f(2 021)＋f(2 022)＝________.
【解析】∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为 2，∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，
一、【考点逐点突破】
【考点 8】已知函数解析式，判断函数奇偶性与单调性
【典例】已知函数 f(x)＝ln(2＋2x)＋ln(3－3x)，则 f(x)( ) A.是奇函数，且在(0，1)上单调递增 B.是奇函数，且在(0，1)上单调递减 C.是偶函数，且在(0，1)上单调递增 D.是偶函数，且在(0，1)上单调递减
A．f(x)的图象关于直线 x＝2 对称 B．f(x)的图象关于点(2,0)对称
C．f(x)的周期为 4
D．y＝f(x＋4)为偶函数
【解析】∵f(2＋x)＝f(2－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，故 A 正确，B 错误；
∵函数 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，则 f(－x)＝f(x＋4)，又 f(－x)＝f(x)，
又 f(x)为定义在 R 上的奇函数，∴f(0)＝0，且 f(－1)＝－f(1)，①

高三数学教案：函数的对称性奇偶性

函数的对称性、周期性知识点及方法对称性、周期性的概念；函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性、周期性与函数的解析式；化归思想二次函数的对称性1．已知)(x f 是二次函数，图象开口向上,)2()2(x f x f -=+, 比较)22(),1(f f 大小。

2．若二次函数)(x f 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较)22(),1(),0(f f f -的大小。

3．二次函数32)(22+-+-=m mx x x f 满足)2()2(--=-x f x f ,求)(x f 的顶点的坐标。

4．已知)0()(2>++=a c bx ax x f ,且)7()3(x f x f +=-.（1）写出b a ,的关系式（2）指出)(x f 的单调区间。

5．设二次函数)(x f 满足)2()2(+=-x f x f ,图象与y 轴交点为（0, 2），与x 轴两交点间的距离为2，求)(x f 的解析式。

函数的对称性、周期性与函数的解析式1．已知)(x f 是奇函数，当0≥x 时，)1lg()(2++=x x x f ,求)(x f 的解析式. 2．已知)(x f 是偶函数，当0≤x 时，1)(3+=x x f ,求)(x f 的解析式.3．已知函数的)(x g 图象与函数29)(2+-=x x x f 的图象关于原点成中心对称, 求)(x g 的解析式。

4．设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ≤1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式. 5．设 1)(+=x x f , 求 )1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线的解析式. 6．已知函数)1(-=x f y 是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=x1, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求)(x f y = 的解析式.7．已知函数)(x f 是偶函数，当)1,0[∈x 时，,1)(x x f -=又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在)6,5[的解析式. 定义在R 上的偶函数)(x f 满足).2()2(x f x f -=+且当]0,2[-∈x 时,45)21()(-=x x f .（1）求)(x f 的单调区间;（2）求)60(log 2f 的值.8．定义在R 上的函数f (x )以4为周期,当x ∈[－1,3]时,f (x )=|x －1|－1, 求当x ∈[－1621,－1421]时f (x )的最小值。

函数的奇偶性、周期性与对称性课件-2023届高考数学一轮复习

f(x)=
cos
π 2
,0
<
+1
2
,-2 <
≤ 2, 则 f(f(15))的值为
≤ 0,
.
（2）已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(x+2)=- 1 ,当 2<x≤4 时,
()
f(x)=x,则 f - 11 =
2
当. x (8,10]时f (x) ________
例2（. 1）已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x-4),且当
（3）.设函数 f(x)=3+x+
1-
2·22
-1 的最大值为
+1
M,最小值为
N,则
M+N
的值是(
).
A.2
B.3
C.4
D.6
（4）.已知函数 f(x)=ln( 2 + 1-x)+3-x-3x,不等式 f(a 2 + 4)+f(x2+5)≤0
对∀x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围为(
A.[-2,+∞)
A.f(x-1)-1
B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
考向2 已知函数的奇偶性求参数的值
例2 1.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值为
.
2“. a
1”是“
f
(x)
ex a
a ex
为偶函数”的
_______条件
3.已知f
③ f (x a) 1 f (x) ,则T 2a 1 f (x)