最值与三角形费马点的美丽邂逅
三角形 几何 费马点
三角形几何费马点
费马点，又称斯泰纳点，是指在三角形中，使得三角形内任意两点到该点的距离之和最短的点。
费马点是三角形的一个重要几何概念，具有广泛应用。
在三角形中，费马点也可以被定义为使得三角形内任意两点到该点的距离之和最大的点。
费马点的求解方法有多种，其中最常用的是通过构造等边三角形来确定费马点的位置。
具体来说，可以将三角形中的每个角度构造一个等边三角形，然后将这些等边三角形连接起来，得到一个正三角形。
该正三角形的中心即为费马点。
费马点有着许多有趣的性质，例如：
1.费马点和三角形的其他重要点（重心、垂心、外心、内心）构成的四边形是一个菱形。
2.费马点到三角形三边的距离相等。
3.在任意三角形中，费马点、重心、垂心、外心、内心都在一条直线上，这条直线称为欧拉线。
通过研究费马点及其相关性质，可以深入理解三角形的几何性质，为解决三角形相关问题提供帮助。
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专题67 费马点中三线段模型与最值问题(解析版)
专题67 费马点中三线段模型与最值问题【专题说明】费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。
主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。
（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60° 构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题【模型展示】问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC 为边作等边△BCF ，连接AF ，必过点P ，有∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ．有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！【精典例题】1、如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将∠ABG 绕点B 逆时针旋转60°得到∠EBF ，当AG+BG+CG 取最小值时EF 的长（ ）A ． 2B ．C ． 3D ． 3【答案】D【详解】解：如图，∠将∠ABG绕点B逆时针旋转60°得到∠EBF，∠BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∠∠BFG是等边三角形．∠BF=BG=FG，．∠AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∠当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF∠BC交CB的延长线于F，∠∠EBF=180°-120°=60°，∠BC=4，∠BF=2，，在Rt∠EFC中，∠EF2+FC2=EC2，∠∠CBE=120°，∠∠BEF=30°，∠∠EBF=∠ABG=30°，∠EF=BF=FG，∠EF=13， 故选：D ．2、如图，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转60°得到ADE ∆，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：PA PC PE +=问题解决：如图，在MNG ∆中，6MN =，75M ∠=︒，MG =O 是MNG ∆内一点，则点O 到MNG ∆三个顶点的距离和的最小值是___________【答案】【详解】如图，将∠MOG 绕点M 逆时针旋转60°，得到∠MPQ ，显然∠MOP 为等边三角形，∠，OM ＋OG ＝OP ＋PQ ，∠点O 到三顶点的距离为：ON ＋OM ＋OG ＝ON ＋OP ＋PQ ，∠当点N 、O 、P 、Q 在同一条直线上时，有ON ＋OM ＋OG 最小，此时，∠NMQ ＝75°+60°＝135°，过Q 作QA∠NM 交NM 的延长线于A ，则∠MAQ=90°，∠∠AMQ ＝180°-∠NMQ=45°，∠MQ ＝MG ＝∠AQ ＝AM ＝MQ•cos45°=4，∠NQ ==故答案为：3、如图，四边形 ABCD 是菱形，A B =6，且∠ABC =60° ，M 是菱形内任一点，连接AM ，BM ，CM ，则AM +BM +CM 的最小值为________．【答案】【详解】将∠BMN 绕点B 顺时针旋转60度得到∠BNE ，∠BM =BN ，∠MBN =∠CBE =60°，∠MN=BM∠MC=NE∠AM +MB +CM =AM +MN +NE ．当A 、M 、N 、E 四点共线时取最小值AE ．∠AB =BC =BE =6，∠ABH =∠EBH =60°，∠BH ∠AE ，AH =EH ，∠BAH =30°，∠BH =12AB =3，AH =∠AE =2AH =故答案为4、如图，∠ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为，则BC＝_____．【详解】如图将∠ABP绕点A顺时针旋转60°得到∠AMG．连接PG，CM．∠AB=AC，AH∠BC，∠∠BAP=∠CAP ，∠PA=PA ，∠∠BAP∠∠CAP （SAS ），∠PC=PB ，∠MG=PB ，AG=AP ，∠GAP=60°，∠∠GAP 是等边三角形，∠PA=PG ，∠PA+PB+PC=CP+PG+GM ，∠当M ，G ，P ，C 共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值为线段CM 的长，∠AP+BP+CP 的最小值为，∠∠BAM=60°，∠BAC=30°，∠∠MAC=90°，∠AM=AC=2，作BN∠AC 于N ．则BN=12AB=1，CN=25、如图，四边形ABCD 是正方形，∠ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM.∠ 求证：∠AMB∠∠ENB ；∠ ∠当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；∠当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；∠ 当AM ＋BM ＋CM 的最小值为13 时，求正方形的边长.【答案】（1）∠AMB∠∠ENB ，证明略。
直角三角形的费马点
直角三角形的费马点在一个阳光明媚的下午，我们坐在公园的长椅上，聊着聊着，就说到了一个有趣的话题，直角三角形的费马点。
听起来是不是有点学术？这个点可有意思了，大家伙儿都知道，三角形的形状千奇百怪，但直角三角形特别引人瞩目。
要知道，在数学的世界里，费马点是个神奇的存在，像个无所不知的智者，让你在寻找最短路径的时候，无论多复杂的情况，都能找到那条最优的线路。
就像你追公交车的时候，心里想着，哪个站点离我最近，怎么才能快点赶到，那种感觉一模一样。
想象一下，你跟朋友们一起玩游戏，大家要把各自的家搬到一个共同的地方，当然要选择一个最方便的位置，才能让大家都能最快到达，不是吗？这就是费马点的魅力所在，能把每一个点的距离都缩到最短。
那直角三角形的费马点可没那么简单。
它就像个隐藏的宝藏，藏在图形的某个角落里，得费点脑筋才能找到。
不过，别担心，寻找这个点的过程就像一场刺激的寻宝游戏，兴奋又紧张。
说到直角三角形，大家可能会想起课本上的那个经典例子。
三个角，两个直角，一条边短得像小朋友的笑脸，另一条长得像个大人。
在这其中，费马点似乎总是充满了神秘感。
要找到这个点，你需要想象自己在三角形的每个顶点上，像个小精灵一样，飞来飞去，观察每个角落。
这个时候，可能会有人说，哎呀，费马点到底在哪里啊！找到它就像发现了自己的真爱，一开始可能有点迷茫，但慢慢你就能感受到那种心灵的共鸣。
再说到实际应用，费马点不仅仅是数学家的玩物，它在生活中也有不少应用。
想象一下，在城市规划里，设计师们必须考虑每一个人的便利，费马点就是那个让他们头疼却又不得不关注的角色。
比如，你要在城市里建立个公园，大家都想在离家最近的地方玩，费马点就能给出最优的建议，确保每个人都能享受阳光和欢笑。
是不是觉得数学突然变得超有用？嘿，这就是科学的魅力，真是让人惊叹。
直角三角形的费马点就像人生中的一些选择，表面上看似简单，其实暗藏玄机。
就像你跟朋友一起去吃饭，选择餐厅的时候，大家的意见千奇百怪，最后总得找个折中的地方，才能让大家都满意。
三角形费马点的证明及应用
三角形费马点的证明及应用费马点是指在平面上的任意三个不共线的点A、B、C中，使得∠ABC、∠ACB 和∠BAC的三个角的和最小的点。
费马点也称为斯纳尔·费马点，他是17世纪法国数学家斯纳尔·费马所研究的最小角三个角的位置问题。
为了证明费马点的存在，我们可以利用极限的思想进行推导。
首先假设在AB上存在一个点X使得∠CAX为等腰三角形CAX的顶角。
那么我们可以构造一个角为∠XAC的等腰三角形XAC。
显然，∠BAX=∠XAC，那么由三角形外角和定理可知∠ABC+∠AXC=180度。
由于AX是由三角形外一点引出的两条射线，所以AXC>180度，所以∠ABC<∠BAC。
同理，我们可以得到两个不等式：∠BAC<∠BCA，∠BCA<∠CAB。
将这三个不等式相加得到：∠ABC+∠BAC+∠BCA<∠ABC+∠BAC+∠CAB。
即∠ABC+∠BAC+∠BCA的和是最小的三个角的和。
我们可以进一步构造一个点P，在平面上使得∠BAP=∠BCP=∠CAP，即三角形ABP、BCP和CAP是等腰三角形。
由于三个等腰三角形所形成的角APB、BPC 和CPA的和一定是最小的，所以∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定是∠APB+∠BPC+∠CPA的和的一个下界。
我们可以发现，当P点与三角形ABC的内角A,B,C重合时，三角形ABP、BCP 和CAP都是等边三角形，此时∠APB+∠BPC+∠CPA=360度。
所以，∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定小于等于360度，在平面上一定存在一个点使得∠ABC+∠BAC+∠BCA的和为最小。
这个点就是费马点。
费马点的应用非常广泛，尤其是在物理学和工程学中。
例如，在导弹的航空导航中，费马点可以确定导弹的最短飞行路径，从而最大限度地节省燃料。
在通信网络中，费马点可以确定网络中的最佳传输路径，提高信息传输的效率。
此外，费马点还可以应用于地理学领域，确定地理坐标系统的最佳布局。
专题37 几何最值之费马点问题【热点专题】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习(全国
2
2
2
答：二次函数解析式为 y 3 x2 3x 3 3 .
2
2
(3)直线 AH 的解析式为 y 3x 3 3 ，直线 BK 的解析式为 y 3x 3 ，
由
y
3 x 3
3
解得
x
3
，即 K(3,2 3 )，则 BK=4，
y
3x
3
y 2 3
∵点 H、B 关于直线 AK 对称,K(3,2 3 )，∴HN+MN 的最小值是 MB，
模型展示：如图，在△ABC 内部找到一点 P，使得 PA＋PB＋PC 的值最小.
当点 P 满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则 PA＋PB＋PC 的值最小，P 点称为三 角形的费马点. 特别地，△ABC 中，最大的角要小于 120º，若最大的角大于或等于 120º，此时费马 点就是最大角的顶点 A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于 120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120°。
②∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝AB＝2 2 ，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，∴AC＝ AB2 BC2 ＝ 2 AB＝4，
∵△ADE 绕点 D 逆时针旋转 90°得到△ DCF，∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°， 设 AE＝CF＝x，EF2＝y，则 EC＝4−x，∴y＝（4−x）2＋x2＝2x2−8x＋160（0＜x≤4）．即 y＝2（x−2）2＋8， ∵2＞0，∴x＝2 时，y 有最小值，最小值为 8， 当 x＝4 时，y 最大值＝16，∴8≤EF2≤16． （2）如图中，将△ ABE 绕点 A 顺时针旋转 60°得到△ AFG，连接 EG，DF．作 FH⊥AD 于 H．
费尔马点作等边三角形
费尔马点作等边三角形摘要：1.费马点介绍2.费马点与等边三角形的关系3.如何在已知三角形中寻找费马点4.费马点的应用5.总结正文：众所周知，费马点是在一个三角形中，通过构造直角三角形，使得该三角形的三条边长度分别为原三角形边长的一半、根号三倍的一半和根号三倍的一半。
这样构造的三角形是等边三角形。
今天我们就来探讨一下费马点作等边三角形的相关知识。
首先，我们来了解一下费马点的来源。
费马点，又称费马氏点，是由法国数学家皮埃尔·德·费马于17世纪提出的。
他在研究几何问题时，发现了这个特殊的点，并将其应用在解决几何问题上。
费马点在三角形中的位置具有一定的规律，它可以使三角形的三条边长度满足特定的比例关系。
接下来，我们来探讨费马点与等边三角形的关系。
在任何一个三角形中，通过作一个高，我们可以将三角形分为两个直角三角形。
根据勾股定理，我们可以求得这两个直角三角形的两条直角边长分别为原三角形边长的一半和根号三倍的一半。
将这两个直角边长连接起来，就可以得到一个等边三角形。
而这个等边三角形的顶点，就是费马点。
那么，如何在已知三角形中寻找费马点呢？我们可以按照以下步骤操作：1.作出三角形的高，将三角形分为两个直角三角形。
2.分别求得这两个直角三角形的两条直角边长。
3.将这两条直角边长连接起来，得到等边三角形的顶点。
费马点在实际生活中有很多应用，例如在建筑、工程等领域，通过找到费马点，可以使得三角形更加稳定，提高结构的承载能力。
此外，费马点在数学、物理等领域也有着广泛的应用。
总之，费马点作等边三角形是一个有趣且实用的几何知识。
三角形的费马点
三角形的费马点有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小，请同学们想一想，这个供水站应该建在哪里？事实上，这是法国著名数学家费马提出的一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小，人们称这个点为“费马点”.当三角形有一个内角大于或等于120°的时候，费马点就是这个内角的顶点；当三角形三个内角都在120°以内，那么费马点就是三角形内与三角形三顶点的连线两两夹角为120°的点.显然在第一种情况下，费马点的位置就是那个大于或等于120°的内角的顶点.在第二种情况下，如图所示：我们只需要以△ABC三边AB、AC、BC为边在三角形外作三个等边△ABC1、△ACB1和△BCA1，连接AA1、BB1和CC1，三线交点P就是费马点.同学们肯定会想为什么？等同学们学习了三角形全等的知识后就可以去探索这其中的道理了.再看一个数学问题：将军从甲地出发到河边饮马，然后再到乙地军营视察，显然有许多走法，那走什么样的路线最短呢？这个问题被古希腊亚历山大里亚城的一位久负盛名的学者海伦解决了，后来被人们称作“将军饮马”问题.费马思考了这个问题，他觉得不仅是将军有这样的烦恼，运动着的车、船、飞机，包括人们每天走路都要遇到这样的问题.人们总希望寻求最佳的路线，尽量走近道，少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短路线问题.费马就把这样的问题联想到某一个图形中，他大胆提出在任意三角形中有且仅有一点到三个顶点的距离最短，并对此进行了充分的证明.现在研究表明不止是三角形，其它多边形也存在这样的点.平面四边形的费马点：在凸边形中，对角线交点即费马点；在凹四边形中，凹顶点即为费马点.那费马点在我们的生活中有没有应用价值呢？文章开头的供水站建在费马点肯定是最节约成本的；再譬如打篮球、踢足球时，你时刻注意的是怎样进攻，但要与自己的队友保持最好的距离和方位，前后左右都要顾及，这其实就是在找多边形中的“费马点”.数学为科学之母，现在已经有很多方面应用到费马点的性质，在医学上、建筑上、军事上……像类似费马点这样的问题还有很多，同学们只要你们积极思考，遇到问题多问几个为什么，多一些打破砂锅问到底的精神，你们也会像费马一样发现更多更有趣的数学问题.。
专题 几何最值之费马点问题【热点专题】
专题训练几何最值之费马点问题【热点专题】问题分析“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点.主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题.（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°.最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值.证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ.即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE【例1】1．如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【例2】2．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．(1)求证：△AMB≌△ENB；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；(3)当AM＋BM＋CM的最小值为3+1时，求正方形的边长．3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME 的最小值为______．4．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A B C D5．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME 的最小值为______．6．已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+6，求正方形的边长．小．8．若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为________；(2)如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．9．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=22；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；②求EF2的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．10．已知，如图，二次函数y=ax2+2ax−3a a≠0图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H、B关于直线l：y=+3对称.(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK//AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.。
最值与曲线费马点的美丽邂逅
最值与曲线费马点的美丽邂逅费马点理论是微积分中的一个重要概念，它在数学和其他学科中有广泛应用。
最值问题也是一个常见的问题，我们经常需要在一定范围内找到函数的最大值或最小值。
最值与曲线费马点的美丽邂逅即指在寻找最值问题时，可以通过费马点来辅助分析与解答。
费马点是指函数的驻点，即函数导数为零的点。
通过求解函数的导数并令其为零，我们可以找到曲线上的驻点。
这些驻点往往是曲线上的极大值或极小值。
对于寻找函数最值问题，我们可以通过以下步骤来结合最值与曲线费马点的美丽邂逅：1. 首先，我们确定函数的定义域和目标范围。
这将帮助我们确定函数在何处寻找其最值。
2. 接下来，我们求解函数的导数。
导数表示函数在某一点的变化率。
找到导数为零的点，即为函数的驻点。
3. 在驻点和定义域的端点处，比较函数的取值，以确定最大值或最小值。
4. 最后，我们使用曲线上的驻点来验证我们的最值结果。
通过计算函数在驻点处的二阶导数，我们可以判断是否为极大值或极小值。
通过以上步骤，我们可以有效地解决最值问题，并且通过与曲线费马点的结合，更加清晰地理解函数的最值特点。
总结起来，最值与曲线费马点的美丽邂逅在解决最值问题时提供了一种有效的思路和方法。
通过找到函数的驻点，并结合驻点处的取值，我们可以确定函数的最大值或最小值。
这种方法在数学中得到广泛应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。
在使用最值与曲线费马点的方法时，我们需要注意函数的定义域、导数的求解和驻点的验证过程。
正确使用这个方法将帮助我们更好地分析和解决最值问题。
通过应用最值与曲线费马点的美丽邂逅，我们可以更加深入地理解数学中的最值概念，并通过具体问题的实践应用，提高我们的问题解决能力。
相似三角形与三角形的费马点的关系
相似三角形与三角形的费马点的关系相似三角形是几何学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解三角形的特性和性质。
费马点是三角形内到三个顶点距离之和最短的点，也被称为费马点或费马定理的求点。
本文将探讨相似三角形与三角形的费马点之间的关系。
一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。
相似三角形有以下重要性质：1. 边长比例：在两个相似三角形中，对应边的长度比例相等。
可以用如下表示：$ \frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$。
2. 高度比例：在两个相似三角形中，对应高的长度比例相等。
可以用如下表示：$ \frac{h_1}{h_2}=\frac{AB}{A'B'}$。
3. 面积比例：在两个相似三角形中，对应面积的比例是边长比例的平方。
可以用如下表示：$ \frac{S_1}{S_2}=\left(\frac{AB}{A'B'}\right)^2$。
二、费马点的定义和性质费马点是三角形内到三个顶点距离之和最短的点。
也可以通过费马定理来描述费马点的求解方法。
费马定理指出，对于任意三角形ABC，存在一个点P，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。
这个点P就是费马点。
费马点具有以下重要性质：1. 距离之和最短：费马点是到三个顶点距离之和最短的点。
也就是说，对于任意的点P，PA+PB+PC≥PA'+PB'+PC'，其中A'、B'、C'是三角形ABC的三个顶点。
2. 角度相等：费马点是三个顶点所对应角度（∠APB、∠BPC、∠CPA）相等的点。
3. 对称性：费马点与三个顶点的连线构成一个等边三角形。
三、相似三角形与费马点的关系相似三角形与费马点存在一定的关联。
三角形的费尔马点
三角形的费尔马点（求三角形内一点到三个顶点距离之和的最小值）2012-05-26 22:38:43| 分类：默认分类|字号订阅三角形的费尔马点在物理有一个这样的“最小势能原理”（也称为狄利克雷原理 Principle of Dirichlet ）：“一个物体或系统当处于平衡位置时，它的势能是最小。
如果一个物体或系统当所处的位置，使它的势能是最小，那么这点就是它的平衡位置。
”因此我们可以利用这原理协助解决费马难题。
首先用铁线作和原三角形同大小的三角形，在每个顶点放上一个滑轮。
每个滑轮穿过一个重量为 m 的重物。
假定吊物体另外一端的线都绑在一起，这结点称为 P 。
现在让重物重挂下来，这结点最初会移动，可是过一会儿它就不动了，这时正是整个系统处于平衡状态。
这时你看那结点的所在位置就是所要找的“费马点”。
为什么会如此呢？假定三角形与地面的距离是 h 。
滑轮 A ， B ， C 挂的重物与地面距离分别为 a ， b ， c 。
绑重物的所有绳子长是 t 。
现在令整个系统的重心是 G ，并且距离地面是 r 。
则系统的势能是 m · a+m · b+m · c= （ 3m ）· rr=(a+b+c)/3在平衡位置时，重心最靠近地面，因为这样它的势能才是最小，因此此时 a+b+c 也是最小。
吊在滑轮下的绳子共长（ h-a ） + （ h-b ） + （ h-c ）即 3h- （ a+b+c ）。
因此在△ ABC 里的平面绳子的长是等于： * s=t-[3h- （ a+b+c ） ]= （ t-3h ） + （ a+b+c ）。
t-3h 是一个固定数， s 的长最小当且仅当 a+b+c是最* 小。
因此只有在系统平衡时，结点的位置必须是“费马点，才能使到 a+b+c 为最小。
你看我们用物理方法轻而易举的找到“费马点”。
现在在铁三角形里的结点 P 受到三个相等的拉力拉。
从物理学我们知道：“平面三力成平衡，那么三力线或者平行，或者交于一点。
著名的三角形费马点!
著名的三角形费马点!著名的三角形费马点在数学领域中，三角形费马点是一个备受研究和赞赏的著名概念。
它以法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）的名字命名，他在17世纪提出了相关问题。
三角形费马点也被称为费马点、费马城以及费马定理。
本文将介绍三角形费马点的定义、性质和一些实际应用。
一、三角形费马点的定义三角形费马点可以用以下方式定义：在任意给定的三角形中，三条边上的点分别连接起来，形成一个内角和为180度的三角形。
费马点是使得这三条连线之和最短的点。
二、三角形费马点的性质1. 最短路径性质：费马点的最大特征是使得三条连线之和最短。
这一性质可以通过以下方式证明：假设不是费马点，那么我们可以通过移动该点，使三个角度各自减小。
当这三个角度之和等于180度时，三条连线的长度一定更短。
2. 几何解释：费马点也可以通过几何的方式解释。
在一个逆时针方向的三角形内，如果以三角形的三个角为圆心，连接相邻两角的弧长相等，那么这个点就是费马点。
换句话说，费马点使得到其他两个角的路径长度最小。
三、三角形费马点的实际应用1. 交通规划：三角形费马点在交通规划中有着广泛的应用。
通过计算路程和路径的最短距离，可以帮助规划者设计更高效的道路网络，减少人们的行车时间和交通拥堵现象。
2. 通信网络：在通信网络中，寻找最短路径非常重要。
三角形费马点的原理可以帮助确定通信网络中的基站分布，以便实现最佳的信号传输和覆盖范围。
3. 水源分配：在水资源规划中，找到最短路径可以有效地分配水源。
费马点的最短路径性质可以在保证供水充足的情况下，减少水资源的浪费，提高供水效率。
4. 地图导航：现代导航系统的算法中，也使用到了三角形费马点的理念。
通过找到最短路径，用最短的时间和距离将用户从一个位置导航到另一个位置。
四、结语三角形费马点是一个重要而独特的数学概念。
它不仅在理论数学领域有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着诸多的应用价值。
费马点最值问题
费马点最值问题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]费马点破解策略费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP则△APC≌△APC，PC＝PC因为∠BAC≥120°所以∠PAP＝∠CAC≤60所以在等腰△PAP中，AP≥PP所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC所以点A为△ABC的费马点2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O如图，在△ABC 中，若∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 均小于120°，O 为费马点，则有∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心例1如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3-x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短解：∵t ＝vGM v v GM 22GA GA 2+=+ ∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短如图，假设在OM 上存在一点G ，则BG ＝AG∴MG ＋2AG ＝MG ＋AG ＋BG把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′G ′B ，连结GG ′，MM ′∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形则GG ′＝G ′B ＝GB又∵M ′G ′＝MG∴MG ＋AG ＋BG ＝M ′G ′＋GG ′＋AG∵点A 、M ′为定点∴AM ′与OM 的交点为G ，此时MG ＋AG ＋BG 最小∴点G 的坐标为（0，32）例2A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？ 解：如图，将△ABP 绕点N 逆时针旋转60°，得到△EBM ；同样，将△DCQ 绕点C 顺时针旋转60°，得到△FCN ，连结AE 、DF ，则△ABE 、△DCF 均为等边三角形，连结PM 、QN ，则△BPM ，△CQN 均为等边三角形所以当点E ，M ，P ，Q ，N ，F 共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF 的长，如图，此时点P ，Q 在EF 上，1＝2＝3＝4＝30．进阶训练1．如图，在ABC 中，ABC ＝60，AB ＝5，BC ＝3，P 是ABC 内一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值，并确定当PA ＋PB ＋PC 取得最小值时，APC 的度数．答案：PA ＋PB ＋PC 的最小值为7，此时APC ＝120．【提示】如图，将APB绕点B逆时针旋转60，得到A'BP'，连结PP'，A'C．过点A'作A'EBC，交CB的延长线于点E．解Rt A'E C求A'C的长，所得即为PA＋PB＋PC的最小值．2．如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连结AM，CM，EN．（1）当M在何处时，AM＋CM的值最小（2）当M在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？请说明理由；（3）当AM＋BM＋CM31时，求正方形的边长．答案：（1）当点M落在BD的中点时，AM＋CM的值最小，最小值为AC的长；（2）连结CE，当点M位于BD与CE的交点处时．AM＋BM＋CM的值最小，最小值为CE的长．（32【提示】（3）过点E作EFBC，交CB的延长线于点F，解Rt EFC即可．。
压轴密训之八：最值之费马点
中考考点-------费马点一、历史背景和定义【历史背景】皮埃尔·德·费马（Pierre De Fermat )，法国律师和业余数学家。
被誉为"业余数学家之王"。
曾提出关于三角形的一个有趣问题：若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小.这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个.【数学定义】(1)托里拆利的解法中提到：对于每一个角都小于120°的△ABC的每一条边为底边，向外作正三角形，然后作这三个正三角形的外接圆。
托里拆利指出这三个外接圆会有一个共同的交点，而这个交点就是所要求的点。
这个点因此也叫做托里拆利点。
（如下左图）(2)也可以，如上右图，分别以BC 、AC 为边向外侧作等边三角形ACE 、BCF ，连结AF 、BE 交于一点，则该点即为所求的P 点（即费马点）.【证明过程】类似证明方法还有如下：（只提供图，过程同学们自己研究）E二、 实战演练先来一个正规的三角形的题吧!【例1】 （2019年龙岩市质检）如图，△ABC 中， ∠ABC =30°，AB =4，BC =5，P 是△ABC 内部的任意一点，连结P A ，PB ，PC ，则P A +PB +PC 的最小值为 ．【解析】如图，将△ABP 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△DBE ，连结EP 、AD 、CD ，∴△ABP ≌△DBE ，∴∠ABP ＝∠DBE ，BD ＝AB ＝4，∠PBE ＝∠ABD ＝60°，BE ＝PE ，AP ＝DE ， ∴△BPE 是等边三角形，∴EP ＝BP ， ∴AP +BP +PC ＝PC +EP +DE ≥CD ， ∴当点D 、E 、P 、C 四点共线时，P A +PB +PC 有最小值CD ，∵∠ABC ＝30°， ∴∠DBC ＝∠ABD ＋∠ABC ＝90°，22224541CD BD C =+=+=做完一个题，那就来个灵魂三问？（1）如何作三角形的费马点？ （2）为什么是这个点？ （3）费马点怎么考？问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG =42，点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．OMNG图2图1ABCD EP下面这个题可能会给你一点想法正方形的题目也来一个！【例2】 （2019年中雅真题）如图，点P 为正方形ABCD 对角线BD 上一动点，2AB =，则AP BP CP ++的最小值为( ) A.25+B.26+C.4D.32【解析】利用旋转，费马点思维将ABP △绕着点A 顺时针旋转60︒，得''AB P △， ∵'AP AP =，'60PAP ∠=︒∴'APP △为等边三角形， ∴'AP PP =，又由旋转可知，''BP B P = ∴'''AP BP CP CP PP B P ++=++，当120APC ∠=︒时，∵'180APC APP ∠+=︒，''180AP P AP B ∠+=︒∴此时''C P P B 、、、四点共线， 此时AP BP CP ++的最小值为'B C ∵'2AB AB ==，且'60BAB =︒过B ’作AD BC 、的垂线分别交AD BC 、于G H 、，可知'30B AG ∠=︒，''13B G B H AG HB ====， ()()22'32184362B C =++=+=+62=+如图,四边形ABCD 是正方形,△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD (不含B点)上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM .(1)求证：△AMB ≌△ENB ；(2)①当M 点在何处时，AM +CM 的值最小； ②当M 点在何处时，AM +BM +CM 的值最小，并说明理由；(3)当AM +BM +CM 的最小值为31+时，求正方形的边长。
中考数学常见几何模型最值模型-费马点问题
专题12 最值模型-费马点问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】结论1：如图，点M 为△ABC 内任意一点，连接AM 、BM 、CM ，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时，MA +MB +MC 的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A 。
（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）【模型证明】以AB 为一边向外作等边三角形△ABE ，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ．△△ABE 为等边三角形，△AB ＝BE ，△ABE ＝60°．而△MBN ＝60°，△△ABM ＝△EBN ．在△AMB 与△ENB 中，△AB BEABM EBN BM BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AMB △△ENB （SAS ）． 连接MN ．由△AMB △△ENB 知，AM ＝EN ．△△MBN ＝60°，BM ＝BN ，△△BMN 为等边三角形．△BM ＝MN ．△AM +BM +CM ＝EN +MN +CM ．△当E 、N 、M 、C 四点共线时，AM +BM +CM的值最小．此时，△BMC ＝180°﹣△NMB ＝120°；△AMB ＝△ENB ＝180°﹣△BNM ＝120°；△AMC ＝360°﹣△BMC ﹣△AMB ＝120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC 的AB 、AC 为一边向外作等边△ABE 和等边△ACF ，连接CE 、BF ，设交点为M ，则点M 即为△ABC 的费马点。
三角形的费马点问题
项目
内容
费马点定义
在一个三角形中，使得该点到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点。
费马点性质
- 费马点是三角形内部或边界上的一个点，具体位置取决于三角形的形状。- 对于任意三角形，费马点到三个顶点的距离之和是最小的。- 在某些特定情况下（如等边三角形），费马点与三角形的重心、垂心、外心等重合。
钝角三角形
- 费马点位于三角形的外部，且位于钝角的补角所对应的边的垂直平分线上。- 通过构造以钝角顶点为顶点的两个等腰三角形（腰长等于原三角形的钝角两边），然后连接这两个等腰三角形的底边中点，得到的交点（在三角形外部）即为费马点。- 费马点到三个顶点的距离之和等于这两个等腰三角形的腰长之和减去钝角两边之差（或加上它们的和，但通常我们关注的是减去的情况，因为费马点是使距离和最小的点）。
特殊情况
- 对于等边三角形，费马点与重心、垂心、外心等重合，位于三角形的中心。- 对于等腰三角形，费马点位于底边的垂直平分线上，且到两个底边顶点的距离相等。
锐角三角形
- 费马点位于三角形的内部。-等边三角形的顶点，得到的交点即为费马点。- 费马点到三个顶点的距离之和等于这三个等边三角形的高之和。
直角三角形
- 费马点位于斜边的中点上（对于直角而言，该点也是直角三角形的重心和垂心）。- 费马点到直角顶点的距离等于斜边的一半，到另外两个顶点的距离之和等于斜边的另一半加上直角边之差（或和，取决于具体直角三角形的边长关系）。
三角形的费马点——点到三角形三个端点的和的最小值问题
三角形的费马点——点到三角形三个端点的和的最小值问题
费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
通过这个证明，大家有没有发现，其实可以看作将三角形apc绕点a逆时针旋转60度，得到的c'，当四个点在同一直线上时，四点之和最小，即点p 到a，b，c的距离和最小。
那么后期在选择、填空题时，如果题目中没有求p 点的位置的话，而是直接求到三个端点的距离的问题时，我们可以直接选一条边绕顶点选择，对角线就是最小距离和。
最后来看下去年北京延庆的一道中考模拟题。
以后大家可以记住这个结论，学会找费马点，学会求点到三角形三个端点的最小值问题。
不知道大家有没有发现，手拉手也可以解答此题呢？。
三角形的费马点
三角形的费马点
费马点是指在平面上给定一些点，费马点是这些点到达的其他点距离之和最短的点。
对于一个三角形来说，费马点就是使得三个顶点与费马点的距离之和最小的点。
在一个三角形中，费马点即为三条角平分线的交点，它也被称为费马点、斯坦纳点，或者直角三角形中的乌尔什拉斯点。
以一个三角形ABC为例，设费马点为P。
费马点满足三个角度相等的条件，即∠APB = ∠BPC = ∠CPA = θ。
在三角形ABC中，任意取一点P，可以得到AP、BP、CP与∠APB、∠BPC、∠CPA的关系：
1.根据三角形内角和定理，有∠APB + ∠BPC + ∠CPA = 180°。
2.根据正弦定理，有AP/sin(∠APB) = BP/sin(∠BPC) =
CP/sin(∠CPA)。
由于AP + BP + CP是常数，求解使得AB + BC + CA最小的点P，等价于求解使得AP + BP + CP最小的点P。
因此可以通过构造三个角等于θ的角平分线，找到这个最小值。
通过计算三个角度相等的角平分线的交点，即可确定费马点的位置。
这个点既可以在三角形内部，也可以在三角形外部，它到三角形的各个顶点的距离之和是最小的。
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最值与三角形“费马点”的美丽邂逅
福建省德化县第三中学 许金注
近几年的一些考试命题中，用一些古老的数学问题改编的试题屡见不鲜．如著名的将军饮马问题、费马①点问题、胡不归问题等．这些题型在平时如果没有进行专题训练，要在考试有限的时间内完成，基本上是不可能的．这就要求我们数学老师对这些问题的研究，注重引导学生不断进行总结归纳，对一些基本思路或基本结论相同的数学问题进行模型提练，使相互联系的数学知识系统化、模块化．在模式识别、一模多变的过程中，打通学生的思维通道，拓宽解题思路，拓展解题方法，提升他们分析问题、解决问题的能力．
本文是就“费马点”问题作探究．
给出如下定义：位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点称为费马点．
证明：如图3，把△APC 绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′． ∴则△APP ′为等边三角形， ∴AP =PP ′，P ′C ′=PC ， ∴P A +PB +PC =PP ′+PB +P ′C ′．
即点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长，
∴PP PB P C BC ''++''≤
图3
∴当B ，P ，P ′，C ′四点在同一直线上时，P A +PB +PC 最小． 这时∠BP A =180°-∠APP ′=180°-60°=120°， ∠APC =∠AP ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°， ∠BPC =360°-∠BP A -∠APC =360°-120°-120°=120°．
因此，当ABC △的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．
【实战运用】
【例1】(湖州中考题)若点P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =120°，则点P 叫做△ABC 的费马点．
(1)若P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC =60°，P A =3，PC =4，则PB 的值为； (2)如图4，在锐角△ABC 的外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．
解：(1)利用相似三角形可求PB
的值为 (2)设点P 为锐角△ABC 的费马点， 即∠APB =∠BPC =∠CP A =120°
如图4，把△ACP 绕点C 顺时针旋转60°到△B′CE 连结PE ，则△EPC 为正三角形． ∵∠B′EC =∠APC =120°，∠PEC =60°∴∠B′EC +∠PEC =180° 即P 、E 、B′三点在同一直线上
∵∠BPC =120°，∠CPE =60°，∴∠BPC +∠CPE =180°， 即B 、P 、E 三点在同一直线上
∴B 、P 、E 、B′四点在同一直线上，即BB ′过△ABC 的费马点P ． 又PE =PC ，B′E =P A ，∴BB ′=EB ′+PB +PE =P A +PB +PC ．
费马点套路：通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形(等边三角形)、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．即：旋转60°(90°)——构造等边三角形(等腰直角三角形)——两点之间线段最短．
费马点问题是个有趣的数学问题，它告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
图
4
【例2】如图5，点P 是等腰Rt △ABC 内一动点，AB =BC
求P A +PB +PC 的最小值．
【思路剖析】由“费马点”模型可知，要求P A +PB +PC 的最小值即需将△APB 绕B 点逆时针旋转60°，则能发现本题所隐藏的两组等边三角形，即△BPP ′和△BAA ′,即可把相关线段进行转化；
此时有BP PP =',AP A P ='',PC 保持不动，要想使得P A +PB +PC 的值最小，
只有A P PP PC '''，，三条线段在同一条直线上，如下图6所示，求出线段A C '的长即为最小值．
求A C '的长主要是抓住ABA '∠=60°构造直角三角形，根据A B '=AB
和AB ⊥BC ，可过A '点作A D '⊥BC 于D 点，这构造出了双直角三角形，接下来顺着解直角三角形就可以了．(这是很常见的构造直角三角形)，所
以
A C '=
1+
值得一提的是，这里须要有较强的运算能力，这种题目也是训练运算能力的好题目！ 【运用升华】
【例3】如图，设点P 到等边三角形ABC 两顶点A ，B 的距离分别为3,2.求PC 的最大值.
【思路剖析】
如图，连接PC ，将△ABP 绕点B 顺时针旋转60°,得到BCP '，则AP CP '=,BP BP '=,根据“三角形两边之和大于第三边”可知，PC PB BP '≤+(当P ，P’，C 三点共线时取等号)，
故PC 最大值为PB BP '+=2+3=5.
【变式】如图，在四边形ABCD 中，BC =CD ，∠BCD =90°，AB =4，AD =3，求对角线AC 的最大值.
【思路剖析】
将△ACB 绕点C 顺时针旋转90°,得到
A CD '
，
AC A C ''==
，因为7AA AD DA ''≤+=，故AA '最大值为7，此时AC
. 图6
2
图5
反思：这里主要是利用“费马点”旋转的解题思想，通过旋转改变线段的位置，从而达到优化图形．当然这两个题目都还可以用其它的旋转方法来解题！可以试试！
【学习评价】
1.如图7，四边形ABCD 是菱形，AB =4，且∠ABC =60°，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD (不含B 点)上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN ，AM ，CM ，求AM +BM +CM 的最小值.
2.在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，点P 是△ABC 内的一点，
求
2PA 的最小值.
【提示：2)PA PB PC +=++，所以，只要将△APC 绕着A 点逆时针旋转90
°，PP ',这样只要,,,B P P C ''四点在同一条直线上就可以了，接下来就是求BC '了.】
3.如图8，点P 是矩形ABCD 对角线BD 上的一个动点，已知AB =2，BC PA +PB +PC 的最小值是______.
(
)
核心思想方法：旋转三角形，利用直角三角形对线段n
PA m
进行等线段转换，转化为垂线段最短问题．
核心解题步骤：
第一步，将所求的线段和改写成n PB PA m +
（m
n
＜1）形式； 第二步，在AD 的一侧，与AB 的异侧，构造一个角α，使得sin α=
n
m
； 第三步，过点B 作第二步所构成的角一边的垂线，该垂线段的长度就是所求最小值；
说明：①皮耶·德·费马(PierredeFermat)是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶
·德·费马具有律师的全职工作．
图8
图7
N
M E
D
C
B
A。