湘教版八上数学实数知识点总结
新版湘教版秋八年级数学上册第三章实数小结与复习说课稿
新版湘教版秋八年级数学上册第三章实数小结与复习说课稿一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第三章实数小结与复习，主要内容包括实数的定义、分类、性质以及实数的运算。
这一章是整个初中数学的重要基础，对于学生来说，理解和掌握实数的相关知识至关重要。
二. 学情分析八年级的学生已经初步掌握了实数的基本概念和运算方法，但对于实数的深入理解和灵活运用还不够。
因此，在教学过程中，需要引导学生从表面的运算过渡到对实数本质的理解，提升他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握实数的定义、分类和性质，能够熟练进行实数的运算。
2.过程与方法：通过复习，让学生学会用实数解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.重点：实数的定义、分类、性质和运算。
2.难点：实数运算的灵活应用，以及对于实数本质的理解。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究实数的性质和运算方法。
2.利用多媒体教学手段，展示实数的图形和实际应用，增强学生的直观感受。
六. 说教学过程1.导入：通过复习已学过的实数知识，引导学生回顾实数的基本概念和运算方法。
2.新课导入：介绍实数的定义、分类和性质，引导学生深入理解实数的概念。
3.实例讲解：通过实际问题，展示实数的运算方法，让学生学会将实数应用于实际问题中。
4.课堂练习：布置一些具有代表性的习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，使学生对实数的定义、分类、性质和运算有一个清晰的认识。
6.课后作业：布置一些综合性的题目，让学生在课后进行复习和巩固。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出实数的核心概念和运算方法。
可以采用流程图、等形式，展示实数的分类、性质和运算规律。
八. 说教学评价教学评价主要通过课堂练习、课后作业和学生的参与度来进行。
关注学生对实数的理解程度和运算能力的提升，以及他们在解决问题时的创新性和灵活性。
湘教版八年级数学上册知识点总结
湘教版八年级数学上册知识点总结湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：认真阅读教材P1-40，回顾相关知识。
二、课堂点拨：知识点一：分式的概念考点1：分式的定义。
知识点二：分式的性质考点4：分式的基本性质：1.分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。
2.分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
3.分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
考点5：最简分式1.约分：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
2.最简分式：分子与分母没有公因式。
知识点三：分式的运算考点6：分式的加减法1.同分母分式相加减，分子相加减，分母不变。
2.异分母分式相加减，先找到最简公分母，然后分子相加减，分母不变。
考点7：分式的乘除法1.分式乘法：分子乘分子，分母乘分母，然后约去公因式。
2.分式除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式的乘方：分子、分母各自乘方。
第二章：三角形知识点一：三角形的定义知识点二：三角形的分类知识点三：三角形的性质知识点四：三角形的全等第三章：实数知识点一：实数的定义知识点二：实数的分类知识点三：实数的运算第四章：一元一次不等式（组）知识点一：不等式的定义知识点二：不等式的性质知识点三：一元一次不等式的解法知识点四：一元一次不等式的应用知识点五：一元一次不等式组的解法第五章：二次根式知识点一：二次根式的定义知识点二：二次根式的运算以上是八年级数学上册的知识点总结。
八年级上册数学实数知识总结[1]
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第一章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o 等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：记作“a ”，读作根号a 。
性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。
表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。
性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。
八年级数学上册第3章实数(湘教版)
八年级数学上册第3章实数（湘教版）第3章实数1 平方根第1课时平方根、算术平方根能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根.理解开平方与平方两者之间的联系与区别.认识非负数的平方根的特点.自学指导：阅读教材P105～107，完成下列问题.知识探究平方根：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r 叫作a的一个平方根，2＝a，所以a的平方根有且只有两个：r与－r；算术平方根：把a的正平方根叫作a的算术平方根.正数a的平方根表示为±a；算术平方根表示为a；负平方根表示为－a.一个正数的两个平方根的关系是互为相反数.零的平方根是0，零的算术平方根是0，记作0，负数没有平方根.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，开平方与平方互为逆运算.自学反馈25的平方根是±5，3是9的算术平方根.3表示3的算术平方根；如果－x2有平方根，那么x的值为0.切一块面积为16c2的正方形钢板，它的边长是多少？解：4c.活动1 小组讨论例1 分别求下列各数的平方根：36，259，1.21.解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±36＝±6.由于2＝259，因此259的平方根是53与－53，即±259＝±53.由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即±1.21＝±1.1.求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数.例2 分别求下列各数的算术平方根：100，1625，0.49.解：由于102＝100，因此100＝10.由于2＝1625，因此1625＝45.由于0.72＝0.49，因此0.49＝0.7.活动2 跟踪训练下列说法不正确的是A.－2是2的平方根B.2是2的平方根c.2的平方根是2D.2的算术平方根是2一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根.求下列各式的值：±2.89；－256169；1916；±2.解：±1.7.－1613.54.±11.活动3 课堂小结本节课学习了平方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算.第2课时无理数、用计算器求算术平方根理解无理数的概念和它的本质特征.正确使用计算器求一个数的算术平方根.自学指导：阅读教材P108～110，完成下列问题.知识探究无理数：无限不循环小数叫作无理数.归纳几种类型的无理数，并举例说明：圆周率：π；开方不尽的数：如2；特殊规律的数，如：0.010__010__001….用计算器求正数a的平方根：按键→输入数字a→按＝键.自学反馈在等式x2＝6中，下列说法中正确的是A.x可能是整数B.x可能是分数c.x可能是有理数D.x是无理数下列各数中，是无理数的是A.4B.π2c.13D.12活动1 小组讨论例用计算器求下列各式的值. 024；解：依次按键：1024＝显示：32所以，1024＝32.依次按键：8＝显示：2.828427125所以，8≈2.828.活动2 跟踪训练下列说法正确的是A.有理数只是有限小数B.无理数是无限小数c.无限小数是无理数D.π3是分数在13，3.1415926，0.7070070007…，0.6，2π中，无理数有A.1个B.2个c.3个D.4个用计算器求下列各数的值：24≈2.50；0.24≈0.49；3.47≈11.11;__56.88≈7.54.用计算器分别计算：0.0009，0.09，9，900，90000，你能发现什么规律？解：0.0009＝0.03，0.09＝0.3，＝3，900＝30，90000＝300.我发现：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.活动3 课堂小结学生概括：1.什么是无理数？怎样用计算器求算术平方根？2 立方根通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实世界中的客观存在，了解立方根的概念.会求某些数的立方根，能用计算器求一个数的立方根及其近似值.自学指导：阅读教材P112～113，完成下列问题.知识探究如果一个数b，使得b3＝a，那么b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根，a的立方根记作3a.每个数都有立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.求一个数的立方根的运算叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.用计算器求正数a的立方根：按2ndF键→按键→输入被开立方数a→按＝键.自学反馈－18的立方根是－12，64的立方根的相反数是－4.活动1 小组讨论例1 分别求下列各数的立方根：1，827，0，－0.064.解：由于13＝1，因此31＝1；由于3＝827，因此3827＝23；由于03＝0，因此30＝0；由于3＝－0.064，因此3－0.064＝－0.4.可根据开立方与立方互为逆运算来求立方根.例2 用计算器求下列各数的立根：3，－1.331.解：按键2ndF 343＝显示：7所以，3343＝7.按键：2ndF 1.331＝显示：－1.1所以，3－1.331＝－1.1.例3 用计算器求32的近似值.解：按键：2ndF 2＝显示：1.25992105所以，32≈1.260.许多有理数的立方根都是无理数，如32，33，…都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们.活动2 跟踪训练下列等式成立的是A.31＝±1B.3225＝15c.3－125＝－5D.3－9＝－3立方根等于它本身的数是±1，0.求下列各数的立方根：；8125；－63.解：3.25.－6.下列各式是否有意义？为什么？－33；－3；33；31103.解：、、有意义，因为任何一个数都有立方根；－3没有意义，因为负数没有平方根.活动3 课堂小结一个数只有一个立方根，且当a>0时，3a>0；a＝0时，3a＝0；a0，那么a>b；如果a－b－6D.5＜3100计算：3－53；1－2＋2－3＋3－2.解：－23.1.用计算器计算：π－2＋3；12＋3×6.解：3.46.4.74.活动3 课堂小结本节课你有什么收获？。
湘教版数学八年级上册 3.3 实数
3.3实数第1课时 实数的概念1.从感性上认可无理数的存在，并通过探索说出无理数的特征，弄清有理数与无理数的本质区别，了解并掌握无理数、实数的概念以及实数的分类，知道实数与数轴上的点的一一对应关系.2.让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系 .3.培养学生勇于发现真理的科学精神，渗透“数形结合”及分类的思想和对立统一、矛盾转化的辨证唯物主义观点.【教学重点】无理数、实数的概念和实数的分类.【教学难点】无理数与有理数的本质区别，实数与数轴上的点的一一对应关系.一、情景导入，初步认知我们在前面学过无理数，什么样的数是无理数呢？举例说明？【教学说明】复习相关内容，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？2、0、1、414、9、π、-32、32、0.1010010001… （相邻两个1之间逐次增加一个0）【教学说明】学生自己回忆有理数、无理数的分类，为引入实数的概念及分类作好铺垫．【归纳结论】有理数和无理数统称为实数.2.根据实数的概念，你能对实数分类吗？【归纳结论】实数以概念可分为：【教学说明】通过对实数进行分类，让学生进一步领会分类的思想，培养学生从多角度思考问题，为他们以后更好地学习新知识作准备.同时也能使学生加深对无理数和实数的理解.3.任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，那么无理数是否可以用数轴上的点来表示呢？思考：如何用数轴上的点表示无理数8和-8？我们已经知道，一个面积为8的正方形的边长是8，因此我们以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与正半轴的交点M就表示8，与负半轴的交点N就表示-8，如图所示：这样，我们就分别用数轴上唯一的一个点表示出了无理数8和-8.事实上，每一个无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.【归纳结论】每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.即：实数和数轴上的点一一对应.4.实数从正负性又如何分类呢？【归纳结论】实数分为正实数、零、负实数.5.有理数中有互为相反数的两个有理数，那么实数中有没有互为相反数的两个实数呢？举例说明.6.对于实数a的绝对值，又是什么样的呢？【归纳结论】设a表示一个实数，则：【教学说明】使学生通过类比的方式得到实数的相关知识，加深对实数的理解.三、运用新知，深化理解1.教材P118例1.2.判断下列说法是否正确(1)无限小数都是无理数(2)有理数都是有限小数(3)无理数都是无限小数(4)带根号的数都是无理数答案：四个全是错的.3.实数x 满足x+x 2=0,则x 是( C )A.非零实数B.非负数C.零和负数D.负数4.当x 时，式子102+x 有意义.答案：≥-55.如图，在数轴上表示实数14的点可能是( C )A.点MB.点NC.点PD.点Q6.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？π、-3.1415926、113355、39、321、38、0、27、3π、0.5、3.14159、-0.020*******、13、22、3625、0.10010001… 答案：略.7.求-364 、3-π的相反数和绝对值解：-364的相反数是364，绝对值是364；3-π的相反数是π-3，绝对值是π-3.【教学说明】巩固提高.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题3.3”中第1、2 题.本次教学，我坚持从兴趣入手，从差异入手，做到了在细致处求真、求创意，真正地使学生表明自己的看法，阐述自己的观点，大胆表现自我，张扬个性，体现出他们这个年龄应有的特点，因此，我认为这节课不仅很好地实现了知识与技能目标，对于过程与方法和情感态度与价值观两个目标的实现也非常到位，是比较成功的.第2课时实数的运算1.了解有理数的运算在实数范围内仍然适用，能用有理数估计一个无理数的大致范围.2.理解有效数字的概念，会根据要求进行近似值的运算.3.能利用计算器比较实数的大小，进行实数的四则运算.4.通过用不同的方法比较两个无理数的大小，理解估算的意义、培养数感和估算能力.5.养成学生的合作互助意识，提高学生的交流和表达能力.【教学重点】在实数范围内会运用有理数运算.【教学难点】用有理数估算一个无理数的大致范围.一、情景导入，初步认知1.在有理数范围内绝对值、相反数、倒数的意义是什么？2.比较两个有理数的大小有哪些方法？3.你能借用有理数范围内的规定举例说明无理数的绝对值、无理数的倒数、两个无理数互为相反数吗？【教学说明】复习相关内容，为本节课的教学作准备.二、思考探究，获取新知1.做一做：填空设a,b,c是任意实数，则（1）a+b= （加法交换律）；（2）（a+b）+c= （加法结合律）；（3）a+0=0+a= ;（4）a+（-a）=（-a）+a= ;（5）ab= （乘法交换律）；（6）（ab）c= （乘法结合律）；（7）1·a=a·1= ;（8）a（b+c）= （乘法对于加法的分配律）；（9）实数的减法运算规定a-b=a+ ;（10）对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a ·b=b·a=1,我们把b叫作a的；（11）实数的除法运算（除数b≠0）,规定a÷b=a·;（12）实数有一条重要性质，如果a≠0,b≠0,那么ab 0.【教学说明】学生合作交流、探讨，并求出答案. 让一名同学上黑板展示，并讲解该题的解题过程.2.两个实数是如何比较大小的呢？【教学说明】结合有理数的比较，采用类比的方式得到比较实数大小的方法.3.有理数的相关运算在实数范围内是否适用?为什么？【归纳结论】对比有理数，对于实数，我们可以得出：每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;在实数范围内，负实数没有平方根；在实数范围内，每个实数a有且只有一个立方根.4.动脑筋：不用计算器，比较5与2哪个大？与3比较呢？【分析】因为（5）2=5,22=4,且5>4，所以5>2； 因为32=9，且5<9，所以5<3.【教学说明】教师适当引导，学生相互交流，找到解题办法.三、运用新知，深化理解1.教材P120例2、例3.2.要使二次根式1 x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是（ A ）A.x ≥1B.x ≤1C.x>1D.x<13.不用计算器，计算：（1）26+36-46解：原式=6（2）27+37-7解：原式＝（2+3-1）7=47（3）32+52-72-22解：原式=-2（4）323-345+341+325 解：原式=336.已知实数x ，y 满足|x-5|+y+4=0，求代数式（x+y ）2016的值.解：依题意当x=5,y=-4时，解得（x+y ）2016=（5-4）2016=17.你还会比较2+3与π的大小吗？ 解：用计算器求得2+3≈3.14626437，而 π≈3.141592654，因此2+3＞π．8.已知5的整数部分是a ，小数部分是b ，求a-b1的值． 【分析】由于22=4＜5＜32=9，估计5的大小，可得a 、b 的值，将ab 的值代入代数式可得答案．解：∵22=4＜5＜32=9，∴2＜5＜3，∴a=2，b=5-2，∴原式=-5．【教学说明】结合有理数的运算，采用类比的方式得到实数的运算与有理数的运算是一样的.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题3.3”中第4、5、6、10 题.本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系.根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等.对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求.。
湘教版数学八年级上册知识点总结
湘教版数学八年级上册知识点总结
第一章分式
第二章三角形
(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）
(2)证明两个直角三角形等同样可以SAS,ASA和AAS.
）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.
）全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.
SAS可得△ACD≌△例：
如图，在△ABC中，已知∠∠2，BE=CD，
AB=5，AE=2，
则CE=3.
等腰等边三角形知识清单梳理
1
AC＝
2AB；
长度，若斜边不明确，应分类讨
论.
（3）在折叠问题中，求长度，往
往需要结合勾股定理来列方程解
决.
6.直角
三角
形的
判定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则
△ABC是Rt△；
(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角
形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△
(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
第三章实数
第四章一元一次不等式（组）知识清单梳理
x≥a x＞a x≤a x＜a
：列不等式解决简单的实际问题
）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.
）应用不等式解决问题的情况：
第五章二次根式。
八年级数学上册 第3章 实数知识点总结 (新版)湘教版
精品文档欢迎下载 第3章 实数1、定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2。
那么，这正 数x 叫做a 的算术平方根。
记作a ，读作“根号a 〞。
a 叫做被开方数，规定0的算术平方根还是0。
2、性质：双重非负性〔0≥a ，0≥a 〕。
负数没有算术平方根。
3、a a =2〔a 是任意数〕，a a =2)(〔a 是非负数〕。
1、定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2。
那么，这个x 叫做a 的平方根。
记作a ±，读作“正、负根号a 〞。
a 叫做被开方数。
规定0的算术平方根还是0。
2、性质：〔1〕正数有两个平方根，它们互为相反数。
〔2〕0的平方根是0。
负数没有平方根。
3、未知数次数是两次的方程，结果一般都有两个值。
414.12≈，732.13≈，236.25≈，646.27≈1、定义：如果一个数x 的立方等于a ， 即a x =3。
那么，这个x 叫做a 的立方根。
记作3a ，读作“三次根号a 〞。
a 叫做被开方数。
2、性质：〔1〕正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
〔2〕3333a a -=-〔3〕a a =33)(平方根算术平方根 平方根立方根a 取任意数实数正实数 负实数0 实数有理数无理数整数分数〔有理数和分数是相同的概念〕〔可以看成分母是1的分数〕正整数负整数0 有限小数无限循环小数无限不循环小数 1、开方开不尽的方根2、圆周率π以及含有π3、具有特定结构的数〔0.010010001……〕。
湘教版八年级数学上册3.3实数(共42张PPT)
知5－导
感悟新知
(6)(ab)c=________(乘法结合律)； (7)1·a=a·1=________；
知5－导
(8)a(b +c)=________(乘法对于加法的分配律)，
(b+c)a=________(乘法对于加法的分配律)；
(9)实数的减法运算规定为a-b=a+____；
(10)对于每一个非零实数a，存在一个实数b，满足a·b=b·a=1，
知5－讲
感悟新知
知5－讲
要点精析：在实数范围内做开方运算时，要注意正
实数和零既能开平方，也能开立方，负实数
不能开平方.
(1)运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
感悟新知
知5－讲
(2)运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减同 级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括 号里面的.
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
2
，0，144，
9 ，π，
2 3
，3
2 ，0.101 001 0001…(邻
两个1之间逐次增加一个0).
解：0，1.414， 9 ， 2 是有理数，
3
2 ，π，3 2，0.1010 000 1是无理数.
感悟新知
结论
知1－讲
有理数和无理数统称为实数(real number). 这样，我们可以得到：
课堂小结
实数
运算种类：
运算级别 第一级 运算名称 加 减 运算结果 和 差
第二级 乘除 积商
第三级 乘方 平方 幂 方根
课堂小结
实数
3.易错警示：(1)负实数只能开奇次方，不能开偶次方； (2)计算结果中如果包含开方开不尽的数，则保留根号，
湘教版八年级数学上册知识点总结
湘教版八年级数学上册知识点总结湘教版八年级数学上册知识点总结第一章：分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复与测试第二章：三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复与测试第三章：实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第四章：一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复与测试第五章：二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复与测试知识点总结第一章：分式1.构建前的回顾在阅读教材P1-40之前，我们需要回顾一下相关的知识点。
2.分式的概念分式是指以分数形式表示的代数式，其中分母不为零。
3.分式的性质分式有以下基本性质：分式的分子与分母都乘以同一个非零数，所得分式与原分式相等。
分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
分式的符号可以通过改变分子、分母或分式本身的符号来改变，但分式的值不变。
最简分式是指分子与分母没有公因式的分式。
4.分式的运算分式的加减法：同分母分式相加减，分子相加减，分母不变；异分母分式相加减，先找到它们的最简公分母，然后将分子相加减，分母不变。
分式的乘除法：分式乘法就是将分子和分母分别相乘，然后约分；分式除法就是将除式的分子和分母颠倒位置，然后与被除式相乘。
5.分式方程分式方程是指含有分式的方程，可以通过将分式化为一元一次方程来解决。
第二章：三角形本章介绍了三角形的基本概念、命题与证明、等腰三角形、线段的垂直平分线、全等三角形和用尺规作三角形等知识点。
第三章：实数本章介绍了实数的概念，以及平方根和立方根的计算方法。
第四章：一元一次不等式（组）本章介绍了不等式的基本性质、一元一次不等式的解法和应用，以及一元一次不等式组的解法。
新湘教版八年级数学上册小结与复习：第三章《实数》
新湘教版八年级数学上册小结与复习：第三章《实数》知识梳理：1、平方根: (1)定义：若r 2=a 则_____叫作_____的一个平方根(2)性质：正数有且只有______个平方根0的平方根是________负数________平方根2、立方根：若b 3=a,则________叫作________的立方根3实数分类：(1) ________ ___________实数 实数 ____________________ ___________4平面直角坐标系（1）建立平面直角坐标系后，平面上的点与___________一一对应（25点的坐标变换公式(1)平移公式: 点左右平移, 横坐标_________, 纵坐标__________.点上下平移, 横坐标_________, 纵坐标__________.（2）轴反射公式: 关于x 轴对称的两个点, 横坐标_________, 纵坐标__________. 关于y 轴对称的两个点, 横坐标_________, 纵坐标__________. ＊ (3)关于原点对称的两个点, 横坐标_________, 纵坐标__________.基础自测:1、4的平方根是_________， 9的算术平方根是_________2、 =_________3 、的相反数是_________ ，绝对值是_________4≈_________(保留五个有效数字)5、下列各数中：1，0，113，π，0.010010001无理数有（ ）A 6个B 4个C ３个D ２ 个６、比较大小 ： ０７、点P （ －２，－３）到ｘ轴的距离是_________８、直角坐标系内点P（１，３）向右平移２个单位长度后得到的点的坐标是_________ ９、点P（－２，４）关于x轴对称的点的坐标是_________＊１０、点M（２，１）关于原点对称的点的坐标是_________精例解析:π-＝__________2____________１、计算 3.14_____________x-=______________３、若1４、点M（４，ｙ）与ｘ轴的距离是３，则点Ｍ的坐标是______________５、探究（１）课本Ｐ８Ｂ组１，２题（２）课本Ｐ１１Ｂ组１，２题（３）试写出下列算式的结果2＝_______________ _______________3＝_______________ _______________2＝_______________ _______________3＝_______________ ＝_______________达标测评：１、16的平方根是__________,2、—8的立方根是______________.3、写出三个无理数_____________________.4、若x x=_________.5、近似数0.10260有__________个有效数字.6、点M（1，-2）向左平移2个单位长度后，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是_____________.7、第三象限内的点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是1，则A点的坐标是_____________.。
八年级上册数学实数知识总结
实数一、实数的概念及分类1.实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2.无理数: 无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时, 要抓住“无限不循环”这一时之, 归纳起来有四类:（1）开方开不尽的数, 如等；（2）有特定意义的数, 如圆周率π, 或化简后含有π的数, 如+8等；（3）有特定结构的数, 如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值, 如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1.相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数, 零的相反数是零）, 从数轴上看, 互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称, 如果a与b互为相反数, 则有a+b=0, a=—b, 反之亦成立。
2.绝对值在数轴上, 一个数所对应的点与原点的距离, 叫做该数的绝对值。
（|a|≥0）。
零的绝对值是它本身, 也可看成它的相反数, 若|a|=a, 则a≥0；若|a|=-a, 则a≤0。
3.倒数如果a与b互为倒数, 则有ab=1, 反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴解题时要真正掌握数形结合的思想, 理解实数与数轴的点是一一对应的, 并能灵活运用。
5.估算三、平方根、算数平方根和立方根1.算术平方根: 一般地, 如果一个正数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地, 0的算术平方根是0。
表示方法: 记作“”, 读作根号a。
性质: 正数和零的算术平方根都只有一个, 零的算术平方根是零。
2.平方根: 一般地, 如果一个数x的平方等于a, 即x2=a, 那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法: 正数a的平方根记做“”, 读作“正、负根号a”。
性质：一个正数有两个平方根, 它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：求一个数a 的平方根的运算, 叫做开平方。
湘教版八年级数学上册 3.3.1实数(1)
如： √2·√12 =1，则 √2 的倒数是√12
3.绝对值：数轴上一个数表示的点离开原点的 距离叫这个数的绝对值.
正实数的绝对值是它的本身；负实数的绝对值是 它的相反数；0的绝对值是0.
如：︱√2︱ =√2 ，︳- √2︳=√2
实数和数轴上的点一一对应. 实数分为正实数、零、负实数
议一议：如果在数轴上表示，正实数、零、 负实数应该在数轴的原点的哪侧呢？
三、实数的性质
问题四：有理数中的相反数、绝对值、倒数等 概念对实数是否仍然适用？ 1、相反数：只有符号不同的两个数叫互为相反 数，零的相反数是零.
实数a的相反数记作-a.
如： √2 的相反数是- √2 .
π
π
2 ，绝对值是 2 。
（4）π-3.15的相反数是 3.15-π，绝对值是 3.15-π 。
（5）点A在数轴上表示的数为3√5，点B在数轴上对应
的数为-√5 ，则A、B两点的距离是 4√5 。
2、对于实数a，b，给出以下判断：
（1）若 a = b ，则 √a = √b ； （2）若 a < b ，则a<b； （3）若a=-b，则(-a)2=b2.
解：∵ a+√2b=(1- √2 )2
即：a+ √ 2 b=1-2√ 2=3-2√ 2
则 a=3，b=-2
∴
ab=3-2=
1 9
1.叙述实数的概念和分类； 2.数轴上的点代表的数和实数的关系是什么？ 3.类比有理数，实数有哪些性质？
作业：P118练习 P121 A 1、2
a， 当a>0时 设a表示一个实数，则：︳a ︳= 0， 当a=0时
八年级数学上册第三章实数小结与复习湘教版_5
第3章小结与复习【学习目标】1．归纳和整理本章知识点，形成系统知识．2．强化对平方根、算术平方根、立方根、实数等相关概念的理解．3．能够进行简单的实数相关运算和实数的大小比较． 【学习重点】 强化对本章所有概念的理解，能够熟练地进行相关的实数运算．【学习难点】实数大小的比较．行为提示：学生独立完成本章知识梳理． 提示：有理数都可以表示成有限小数或无限循环小数．无理数是无限不循环小数，它不能表示成分数形式，任何一个无理数，都可以用给定精确度的有理数来近似地表示．情景导入 生成问题本章知识结构图 有理数无理数实数实数大小的比较实数与数轴的点一一对应相反数绝对值实数运算⎩⎪⎨⎪⎧开方⎩⎪⎨⎪⎧平方根立方根加、减、乘、除、乘方注意：1．到目前为止，我们所说的“数”通常指实数．2．正数有两个平方根，它们是一对相反数．负数没有平方根；0的平方根是0.3．在实数范围内，任何实数有且只有一个立方根．行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案．教会学生落实重点．行为提示：教会学生怎么交流．先对学，再群学．充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决(可按结对子学—帮扶学—组内群学来开展)．在群学后期教师可有意安排每组展示问题，并给学生板书题目和组内演练的时间．自学互研 生成能力知识模块一 实数的分类及运算例1：下面几个数：0.1· 237·，1.010010001…，－30.064，3π，227，5，其中，无理数的个数有( C )A ．1B ．2C ．3D ．4例2：下列说法中正确的是( A )A .81的平方根是±3B ．3的立方根是±3C .1＝±1D ．－5是5的平方根的相反数知识模块二 数形结合变式练习例3：如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A ，则点A 表示的数是( B )A ．－ 2B ．2－ 2C ．1－ 2D ．1＋ 2例4：已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：化简：|2c －a|＋|c －b|－|a ＋b|－|a －c －b|.解：原式＝a －2c ＋b －c －a －b ＋a －c －b＝a －b －4c.知识模块三 估计并比较无理数的大小例5：通过估算，比较5－12与58的大小． 解：58＝1.252，5－12≈2.24－12＝1.242， ∵1.252>1.242， ∴58>5－12. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主学习、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 实数的分类及运算知识模块二 数形结合变式练习知识模块三 估计并比较无理数的大小课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：_______________________________________________________________。
初二数学上学期实数总结
初二数学上学期实数总结初二数学上学期实数总结第一部分：基础复习八年级数学(上)第二章：实数一、中考要求：1．在经历数系扩张、探求实数性质及其运算规律的过程；从事借助计算器探索数学规律的活动中，发展同学们的抽象概括能力，并在活动中进一步发展独立思考、合作交流的意识和能力．2．结合具体情境，理解估算的意义，掌握估算的方法，发展数感和估算能力．3．了解平方根、立方根、实数及其相关概念；会用根号表示并会求数的平方根、立方根；能进行有关实数的简单四则运算．4．能运用实数的运算解决简单的实际问题，提高应用意识，发展解决问题的能力，从中体会数学的应用价值．二、中考卷研究(一)中考对知识点的考查：20xx、20xx年部分省市课标中考涉及的知识点如下表:序号所考知识点比率1平方根、立方根及算术平方根4%2二次根式的计算2.5-7%3实数的意义及运算2.5-5%(二)中考热点：本章多考查平方根、立方根、二次根式的有关运算以及实数的有关概念，另外还有一类新情境下的探索性、开放性问题也是本章的热点考题．三、中考命题趋势及复习对策本章是初中数学的基础知识，在中考中占有一定的比例，它通常以填空、选择、计算题出现，这部分试题难度不大，主要考查对概念的理解以及运用基础知识的能力，以后的中考试题，会在考查基础知识、基本技能、基本方法的同时，会加强考查运用所学知识的分析能力、解决简单实际问题的能力．针对中考命题趋势，在复习中应、夯实基础知识，注重对概念的理解，培养分析判断能力，提高计。
算能力．★★★(I)考点突破★★★考点1：平方根、立方根的意义及运算，用计算器求平方根、立方根一、考点讲解：1．平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．2．开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．3．算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．4．立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=A，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．7．开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．8．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如64的平方根为士8，易丢掉－8，而求为64的算术平方根；（2）4的平方根是士2，误认为4平方根为士2，应知道4=2．二、经典考题剖析：【考题1－1】一个数的算术平方根是a，比这个数大3的数为（）A、a+3B.a－3C.a+3D.a2+3解:D点拨：这个数为a2，比它大3的数为a2+3．【考题1－2】16的平方根是______解：士2点拨：因为16=4，4的平方根是士2．【考题1－3】已知(x-2)2+|y-4|+z6=0，求xyz的值．解：48点拨：一个数的偶数次方、绝对值，非负数的算术平方根均为非负数，若几个非负数的和为零，则这几个非负数均为零．【考题1－4】实数P在数轴上的位置如图l－2l所示：解：48点拨：由图可知1所以(p1)2(P2)2P12P1所以xyz=2×4×6=48．【考题1－5】327的平方根是_________解：±3点拨327=3.3的平方根是±3三、针对性训练：(20分钟)(答案：229)1．若某数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数等于（）A．0B．±1C．－1或0D．0或12．一个自然数的算术平方根是x,则下一个自然数的算术平方根是（）A.x+1B.x2+1C.x1D.x213．一个正方体A的体积是棱长为4厘米的正方体B的体积的127，这个正方体A的棱长是______厘米．4.31-a=2,那么(1－a)3=______________5．已知y=x3－3，且y的算术平方根为4，求x．6．如果3x+16的立方根是4，试求2x+4的平方根．7．已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足a2－6a+9+b4|c5|0，试判断△ABC的形状．考点2：实数的有关概念，二次根式的化简一、考点讲解：1．无理数：无限不循环小数叫做无理数．2．实数：有理数和无理数统称为实数．3．实数的分类：实数正实数有理数或0。
(完整版)湘教版八年级数学上册复习提纲
20200002233..无理数的表示算术平方根定义如果一个非负数的平方等于，即那么这个非负数就叫做的算术平方根，记为，算术平方根为非负数平方根正数的平方根有个，它们互为相反数的平方根是负数没有平方根定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，记为立方根正数的立方根是正数负数的立方根是负数的立方根是定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根，记为x a x ax a a a a x a a a x a x a x a a =≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=±⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪=⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪八年级数学上册复习提纲第一章 实数1。
平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：如果2x a =，那么x 是a的平方根，记作：a 的算术平方根。
（2）性质：①当a ≥0≥0；当a②2＝aa =。
2。
立方根的概念及其性质：（1）概念：若3a ，那么x 是a（2a =；②3a = 3。
实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和无理数的统称；（2）分类：按定义分为有理数可分为整数的分数；按性质分为正数、负数和零。
无理数就是无限不循环小数；小数可分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数；其中有限小数和无限循环小数称为分数。
（书上有图） 4、无理数：无限不循环小数5。
与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。
因此，数轴正好可以被实数填满。
30.实数及其相关概念概念有理数和无理数统称实数分类有理数无理数或正数负数绝对值、相反数、倒数的意义同有理数实数与数轴上的点是一一对应⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪6（a ≥0，b ≥0） a ≥0，b ＞0）。
湘教版八年级数学上册知识点总结
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯湘教版八年级数学上册知识点总结第1章分式1.1 分式1.2 分式的乘法和除法1.3 整数指数幂1.4 分式的加法和减法1.5 可化为一元一次方程的分式方程本章复习与测试第2章三角形2.1 三角形2.2 命题与证明2.3 等腰三角形2.4 线段的垂直平分线2.5 全等三角形2.6 用尺规作三角形本章复习与测试第3章实数3.1 平方根3.2 立方根3.3 实数第4章一元一次不等式（组）4.1 不等式4.2 不等式的基本性质4.3 一元一次不等式的解法4.4 一元一次不等式的应用4.5 一元一次不等式组本章复习与测试第5章二次根式5.1 二次根式5.2 二次根式的乘法和除法5.3 二次根式的加法和减法本章复习与测试知识点总结第一章：分式一、课前构建：回顾相关知识：认真阅读教材P1－40二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1:分式的定义：知识点二：分式的性质★考点4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘，所得分式与原分式相等。
即（其中）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
即（其中）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
即。
★考点5:最简分式（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。
约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
（2）最简分式：分子与分母没有分式，叫做最简分式。
知识点三：分式的运算★考点6:分式的加减法①同分母分式相加减，分母，把分子。
即。
②异分母分式相加减，要先，即把各个分式的分子与分母都乘适当的同一个非零多项式，化为同分母的分式，再加减。
即。
①最简公分母的系数是各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母和式子是各分母的所有字母和式子。
③最简公分母的每个字母或式子的指数是它在各分母中次数最高。
例7、计算的结果是。
★考点7:分式的乘除法乘：分式乘分式，把分子乘分子，分母乘分母，分别作为积的分子、分母，然后约去分子与分母的公因式。
数学：第1章《实数》总复习素材(湘教版八年级上)
数学：第1章《实数》总复习素材（湘教版八年级上）第一部分：基础知识1、平方根：①、概念：若x²=a，则x是a的一个平方根。
（x²=a则x=±a）②、性质：正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
③、表示：正数a的平方根表示为±a。
2、算术平方根：①、概念：正数a正的平方根叫做a的算术平方根。
②、性质：正数a的算术平方根只有一个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根。
③、表示：正数a的算术平方根表示为a3、立方根：①、概念：若b³=a,则b是a的一个立方根（b³=a则b=3a）；②、性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0的立方根是0；③、表示：数a的立方根表示为3a。
4、a在a≥0时才有意义，在a＜0时没有意义。
5、记住：2=1.414 3=1.732 5=2.2366、公式：(a)²=a(a≥0), 2a=∣a∣= (3a)³=a 33a=a 3－a=-3a7、实数的分类：实数分为有理数和无理数；实数分为正实数、零、负实数。
8、实数和数轴上的点一一对应。
9、有效数字：一个近似数，从左边第一个不为0的数字起直到右边最后一个数字止，其中所有的数字就叫有效数字。
10、对称点的坐标：点（x,y）关于x轴对称的点的坐标是（x,-y）; 关于y轴对称的点的坐标是(-x,y);关于原点对称的点的坐标是（-x,-y）.11、倒数：乘积为1的两个数；相反数：和为0的两个数。
第二部分：习题1、64的平方根是，算术平方根是，立方根是。
2、16的平方根是，8的相反数的立方根是。
3、立方根等于它本身的数有。
a－才有意义。
4、当a 时，1(－= ，-102－=5、计算：（2）²= ，2)23６４２７－＝ ，（３－８）³＝ ３－８3)(＝6、-2的相反数是 ，绝对值是 。
7、已知一个数的绝对值是5，则这个数是 。
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湘教版八上数学
1、定义：如果一个正数x
的平方等于a ，即a x
=2。
那么，这正
数x 叫做a 的算术平方根。
记作a ，读作“根号a ”。
a 叫做被开 方数，规定0的算术平方根还是0。
2、性质：双重非负性（0≥a ，0≥a ）。
负数没有算术平方根。
3、a a =2
（a 是任意数），a a =2)(（a 是非负数）。
1、定义：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2。
那么，这个x 叫做a 的平方根。
记作a ±，读作“正、负根号a ”。
a 叫做被开
方数。
规定0的算术平方根还是0。
2、性质：（1）正数有两个平方根，它们互为相反数。
（2）0的平方根是0。
负数没有平方根。
3、未知数次数是两次的方程，结果一般都有两个值。
414.12≈，732.13≈，236.25≈，646.27≈
1、定义：如果一个数x 的立方等于a ， 即a x =3。
那么，这个x 叫做a 的立方
根。
记作3a ，读作“三次根号a ”。
a 叫做被开方数。
2、性质：（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）3333a a -=-
（3）a a =3
3)(
平方根
算术平方根 平方根
立方根
a 取任意数
实数
正实数 负实数
0 实数
有理数
无理数整数
分数（有理数和分数是相同的概念）
1的分数）
正整数
负整数
0 有限小数
无限循环小数
无限不循环小数
1、开方开不尽的方根
2、圆周率π以及含有π
3、具有特定结构的数（0.010010001……）。