2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试(一)数学理科试题(wd无答案)

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2020届高三下学期第一次模拟考试理科数学试卷及答案解析(附答题卡)

高三级数学（理科）答卷第1页（共6页）2020届高三年级第二学期第一次模拟考试数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：共12题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若{|1},{|1}P x x Q x x =<=>，则A ．P Q ⊆B ．Q P ⊆C ．R C P Q ⊆D ．R Q C P ⊆ 2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为 A ．2 B ． 2 C ． D ．3．已知函数f (x )＝xax x 212++，若4))0((=f f ，则log 6a =A ．B ．2C ．1D ．6 4．命题p ：数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，命题q ：数列{}n a 是常数列，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0<b ，0>cB ．0>b ，0>cC ．0>b ，0<cD ．0<b ，0<ci aii1+2--1-21212()()2c x bx x f ++-=高三级数学（理科）答卷第2页（共6页）6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是A ．710 B ．35 C ．12 D ．257．在平行四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-=AD AB ＝，则该四边形的面积为A．B ．C ．5D ．108．设实数y x ,满足⎩⎨⎧≤-≤-≤+≤-1111y x y x ，则y x 2+的最大值和最小值分别为A ．1，1-B ．2，2-C ．1，2-D ．2，1-9．设{}n a 是公比不为－1的等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的焦距为A ．B ．CD 11．已知函数=，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是A ．B ．C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，30ABC ∠=o，APC ∆的面积为2，则三棱锥P ABC -的外接球体积的最小值为552()f x 22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩(,0]-∞(,1]-∞高三级数学（理科）答卷第3页（共6页）A ．83π B ．163π C ．323π D ．643π二、填空题：共4题，每题5分，满分共20分，把答案填在答题卷的横线上． 13．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为_________________． 14．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则7S = . 15．函数x x y cos 4sin 3-=在θ=x 处取得最大值，则=θsin ．16．已知圆22:1O x y +=和点，若定点(,0)B b (2)b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点，都有||||MB MA λ=，则 .三、解答题：第17~21题为必做题，每题满分各为12分，第22~23题为选做题，只能选做一题，满分10分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且43cos =B a 3sin =A b ．（1）求边长a 的值；（2）若ABC ∆的面积10=S ，求ABC ∆的周长L ．18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱中，分别是的中点，.2221＝＝＝＝AB CB AC AA（1）证明：//平面；（2）求二面角的余弦值．19．(本小题满分12分)已知函数()ln f x x a x =-(R ∈a ).(2,0)A -M λ=111ABC A B C -,D E 1,AB BB 1BC 1A CD 1D A C E --高三级数学（理科）答卷第4页（共6页）（1）当a >0时，求f (x )的单调区间；（2）讨论函数f (x )的零点个数.20．(本小题满分12分)已知椭圆的焦距为4，且过点)2,2(P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为．取点，连接，过点作的垂线交轴于点．点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．21．(本小题满分12分)心理学研究表明，人极易受情绪的影响．某选手参加7局4胜制的乒乓球比赛．（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为31；但实际上，如果前一局获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到21；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为41. 求该选手在前3局获胜局数X 的分布列及数学期望；（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为sin A 、sin B 、sin C ，记A 、B 、C 为锐角ABC ∆的内角，求证：sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1A B C A B A C B C A B C ++---+<选做题：请考生在下面两题中任选一题作答． 22．(本小题满分10分) 选修4—4：极坐标与参数方程已知动点，都在曲线：上，且对应参数值分别为α与α2（02απ<<），点为的中点．（1）求点M 的轨迹的参数方程（用α作参数）；（2）将点M 到坐标原点)0,0(O 的距离d 表示为α的函数，并判断点M 的轨迹是否过坐标原点)0,0(O .2222:1(0)x y C a b a b+=>>0000(,)(0)Q x y x y ≠C Q x E (0,22)A AE A AE x D G D y QG QG P Q C ()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数M PQ高三级数学（理科）答卷第5页（共6页）23．(本小题满分10分) 选修4—5：不等式选讲设函数()f x =1(0)x x a a a++->．（1）证明：()f x ≥2；（2）若()35f <，求实数a 的取值范围．2019—2020学年度第二学期第一次模拟考试数学（理科）答卷题号一二三总分 17 18 19 20 21 22/23 得分本框为考号填涂区和选择题答题区，必用2B 铅笔填涂，填涂的正确方法是：一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1 [A] [B] [C] [D] 7[A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 6[A] [B] [C] [D] 12 [A] [B] [C] [D]考号填涂区以下为非选择题答题区必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定的区域内作答，否则答案无效。

2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷(一)数学理科试题答案

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 、选择题：本大题共 2020届高三入学调研考试卷理科数是符合题目要求的. 【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】【答案】 12小题，每小题10.【答案】C 11.【答案】 C 12. 【答案】 A二 _、填空题 :本大题共4小题, 13. 【答案】 2 120或 314. 【答案】 4815. 【答案】 (x 4)2 (y 4)2 516. 【答案】 5 14三、解答题 :本大题共 6小题， 17. 【答案】 (1) A 45 ； 12 (2) .【答案】 9. A 5每小题【解析】T tan B1 tan(C A)' 学（一）答案5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项5分.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.sin B cosBcos(C sin(C A) A) cos(C A)cos B sin(C A)sin Bcos(C A B) 0，即 cos(180 2A) 0 .••• AA 1 平面 ABC ,•平面 AAC i C 平面 ABC ,• BD 平面 AAC -C ,••• BD AE .又•••在正万形 AAC -C 中，D , E 分别是AC , CC -的中点，易证得：△ A -AD△ACE ,A - DA AEC ,•/ AEC CAE90 ,• • A -DACAE 90，即 AD AE又 A -D I BD D ,• AE平面A -BD , AE平面 AEB ,所以平面AEB 平面ABD .(2)取 AC -中点 F ,以 DF , DA , DB 为 x ,y , z 轴建立空间直角坐标系,二 cos2A 0, 0 A 180，2A 90 ,则 A 45 •(2)T tanBsin Btan(C 45 )ta^ 2 ,•1 tan CtanC si nC3 J0，由正弦定理—2 2sin A 2T可得12 •.1011 4 所以 S -bcsinA2____ 12_2 五12 518.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）V AB BC CA ,D 是AC 的中点，•••BD AC ，D(0, 0,0),E(1, 1,0),B(0,0,、,3) , A(2,1,0),uuu - uurDB (0,0, .3) , DE (1, 1,0),uur UJITBA (2,1, 、、3) , (1,2,0)，uuu _DB m 0 V3z 0 设平面DBE的一个法向量为m(x, y,z)，贝y uuurDE m 0 x y 0令x 1，则m (1,1,0),设平面BA i E的一个法向量为n (a,b,c),UULT _ntt BA n 0 2a b ,3c 0则uuir ,EA n 0 a 2b 0令b 1,则n ( 2,1,、、3),鶴1，将点入，解得b 1，则a2，b 3 32所以椭圆的标准方程为—y2 1 .，观察可知为锐角,cos m, nl m, n l 1|m|| n| 4’故二面角D1BE A的余弦值为一•419.【答案】2⑴一 y2 1; (2) y.14 3「2x2 2设二面角D BE A的平面角为2【解析】（1）依题意，得c b，所以a.2b，2(2)由题意知直线I 的斜率存在，设I 斜率为k , P(O,m) ( m 1),则直线I 方程为y kx m ,mn 9设 A(x i , y i ), B(X 2,y 2)，直线 I 与圆 O 相切，则1,即 m 21 k 2,Ji k 2联立直线与椭圆方程，消元得(1 2k 2)x 2 4kmx 2m 2 2 0 ,调整后应纳税：2500 3% 75元，比较两纳税情况，可知调整后少交个税 220元,即个人的实际收入增加了 220元.(2)由题意，知［3000,5000)组抽取3人，［5000,7000)组抽取4人,0,当 x 1,y3 或 x 3, y 1 时，X所求分布列为k 0, x ] x 24 km 21 2k 2X-|X 22m 2 2 1 2 k 22k 2药，uur 因为PA uuuAB , 所以x 22x !，即 x-i4 km 3(1 2k 2) 2 X1k 2 1 2k 2 '所以29(1 2k 2)1, 解得 k 27，即2 14 2，m3 Z2 2 ，所求直线方程为32 220.【答案】(1)220 ; (2 )见解析.【解析】(1)按调整前起征点应缴纳个税为:1500 3% 2500 10% 295元,0,y4时, X 4，所以X 的所有取值为：0,2,4 ,P(X0)18 35P(X 2) C3C ： C 3C 4 16C ； 35’P(X4)C30C 4丄35y 2 时，X2E(X) 018 35 空4丄3535 36 35 21.【答案】 (1) ,0]U{2}； (2) [0,). 【解析】(1) f(x) x 2 a l n x a f (x) 2x -x c 2 2x a ①当 a 0 时，f (x) 0恒成立, 所以 f (x)单调递增, 因为 f(1) 0，所以f (x)有唯一零点, 即a 0符合题意; ②当 a 0时，令f (x) 0，解得x0存事g亠:，列表如下: 由表可知, (i )当 (ii )当因为f(e 故存在x 1 (iii )当因为 f (a )上递增.a2f(x)min f(・，)，函数f(x)在(0,、)上递减，在min1 a ) (e 1) 1，即a2 时，f (x)minf (1) 0，所以a 2符合题意;f(1) 0，ae一)，使得 f(xjf(1)0，所以0 a 2不符题意;1，即 a 2 时，f (2)f(1) 0， (a 所以h(t)单调递增, 故存在x 2(、：a21) aln(a 1)2 In (a 1) t1 a(a2 ln(a1))，1 In th(t)，则 1h(t) 1即 h(t) h(1) 0，所以 f (a 1)0，所以 a 11)，使得 f(X 2) f (1)0，所以a 2不符题意;综上，a的取值范围为(，0] U{2}.(2)g(x) a ln x e x ex，贝U g (x) — e x e , g (x) e x x ax [1,).①当a 0 时，g (x) 0恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)g(i) 0,0符合题意;②当a 0时, g (x) 0恒成立，所以g (x)单调递增,又因为g (1) g (ln(e a))a a a(1 ln(e a)) °ln(e a) ■‘ln(e a)所以存在X。

2020年高考理科数学模拟测试卷及答案解析

2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共50分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘帽在答题卡上指定位置。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试题卷上无效。

3.考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ={a 2-4a ,-1},N={b2-4b+1,-2},f:x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a+b 等于A.1B.2C.3D.42.若011<<ba ，则下列结论不正确．．．的是 A.a 2<b 2 B.ab <b 2 C.2>+b a a b D.|a |-|b |=|a-b |3.从8名女生，4名男生中选出6名学生级成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则汪同的抽取方法种数为A.C 2448CB.C 3438CC.312CD.A 2448A 4.已知方程(x 2-6x+k )(x 2+62x+h )=0的4个实根经过调整后组成一个以2为首项的等比数列，则k+h =A.2-22B.2+22C.-6+62D.245.若已知tan10°=a ，求tan110°的值，那么在以下四个答案：①a a a a a 211333132--+-+；③；② ④2a 12-中，正确的是A.①和③B.① 和④C.②和③D.②和④ 6.设F 1、F 2分别为双曲线12222=-b y a x (a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。

2020届高三上第一次模考理科数学试卷及答案解析

2020届高三第一次统一测试理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}22|≤≤-=x x B ，则A B =I （） A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22. 若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（）A ．25BC ．5D ．173. 设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，12a ＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )A ．－72B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－364．设向量→a ，→b ,满足2||2||==→→b a 且1|32|=+→→b a ，则向量→a 在向量→b 方向的投影为（）A. -2B. -1C. 1D. 25()cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（）A ．773 B ．37 C ．77D 6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（） A ．a b d c >>> B ．c a d b >>> C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7.若βα,是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（）条件A.充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 8．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.255 B.35 C.45 D.559．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)3()5(-=+x f x f ，如果当[)4,0∈x 时，)2(log )(2+=x x f ，则)766(f =（）A ．2-B ．3C ．3-D ．210.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（）A.π12B.π6C.π3D.5π611.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（）A.),2()1,(+∞--∞YB. )2,1(-C.)1,2(-D.),1()2,(+∞--∞Y 12．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围是（）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞（Ⅱ卷非选择题满分90分）二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = 15.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别c b a ,,，若ABC ∆的面积为)(21222b a c --则内角C 的余弦值=16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分.17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()2n n S a n n =-∈*N ．（1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()13521n a a a a n +++++∈*N L ．18.（本题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，且C a A c cos 3sin =（1）求角C;（2）若A A B C c 2sin 5)sin(sin ,21=-+=,求ABC ∆的面积。

2020届高考理科数学(理数)高三模拟试卷(全国1卷)pdf参考答案

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2  3x  4  0 ，( x  4)( x  1)  0 ， x  4 或x  1 ， A  {x | x  4 或 x  1} ， CU A={x | 1 x 4} ， y  2x  2  2 ， B  {y | y  2} ，可知 (CU A)  B  {x | 2  x 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z  1  i  (1  i)(1  2i)  1  3i ，复数 z 的虚部为  3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2  ( 3)2  10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn  2an  4 ，可得当 n  1 时， a1  2a1  4 ， a1  4 ，当n2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5  4  24  64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x)  2 020x  sin 2x 满足 f (x)  2 020x  sin 2x  f (x) ，且 f (x)  2 020  2cos 2x  0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2  x)  f (1  t) 0 可以变为 f (x2  x)  f (1  t) f (t  1) ，可知 x2  x t  1 ，t x2  x  1 ，x2  x  1  (x  1)2 2 3 3 ，可知实数 t 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y   3x ，可得双曲线的方程为x2  y2   ，把点 P(2，3) 代入可得 4  3= ，   1 ，双曲线的 3方程为 x2  y2  1，c2  1  3  4，c  2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x)  sin(x  π )sin x  cos2 x3 (sin x cos π  cos x sin π )sin x  1  cos 2x332 3 sin 2x  1 cos 2x  3  1 ( 3 sin 2x  1 cos 2x)  3444 2224 1 sin(2x  π )  3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x)  1 sin(4x  π )  3 ，最小正周期为2642π  π ，故选项 A 错误； x  π ， 4x  π  4  π  π  π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1  3  5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ  π ，3)(k  Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC  120°，且 AD  3 ，BD  DC  1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2  1  1  2 11 cos120° 3， BC  3 ，据正弦定理可得 BC  2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O  平面 BDC ， O 为三棱锥 A  BCD 的外接球的球心，过点 O 作 OK  AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R  12  ( 3 )2  7 ，可得外接球的表面积为22S  4πR2  4π  ( 7 )2  7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x  y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n  64 ，n  6 ，(2x  3)n  (2x  3)6 ，设 x  1  t ，2x  3  2t  1 ，(2x  3)n  (2x  3)6  (2t  1)6  a 0  a1t  a 2t 2   a 6t 6 ，可得 Tr1  C64 (2t)6414  C64 22t 2  60t 2 ，可知 a2  60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0  y0  6  0 ，则过点 P 向圆 C 作切线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0  yy0  4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y  4  0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x)  log2 (x2  e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x)  f (| x |) ，当 x  0 时，单调递增，而 (5)0.2  1 ， 0  (1)0.3  1 ， b  a ，42cf(log 125)  4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2，  log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25)  4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c  a  b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1)  f (x2 ) x1  x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1  ln x2x)1 x20，可知 a1 1  lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b)  a|a| (1，5)  (1，2)  9 5 .5514.【答案】 5  2 6【解析】首先作出可行域，把 z  ax  by(a  0，b  0) 变形为 y  a x  z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a  2b  3  2b  3a  2 5  2 2b  3a  5  2 6 ，当且仅当bababb  6 a 取等号，可知最小值为 5  2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A  cos B  2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B  2 3 sin B sin C ，可知 sin( A  B)  2 3 sin B sin C ，33sin C  2 3 sin B sin C ，sin B  3 ，在 ABC 内，可知 B  π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B  π ，利用余弦定理可得 b2  a2  c2 332ac cos B  a2  c2  ac 2ac  ac  ac ，可知 ac 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B 1 16  3  4 3 ，当且仅当 a  c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2  2 px( p  0) 的准线方程为 x  2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2  8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12  8x1 ，y22  8x2 两式相减可得 ( y1  y2 )( y1  y2 ) 8(x1 x2 )，y1  y2  x1  x2 8 y1  y2 ，可知    8  (1)  1 2 y0 x0  y0  6  0，解得  x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA  OB  2OM  2(2，4)  (4，8) ，可得 | OA  OB |  | (4，8) |  42  82  4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1  1，an1  2an  1 ，可得 an1  1  2(an  1) ，{an  1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分  an  1  2  2n1  2n ， an  2n  1 .即数列 { an } 的通项公式 an  2n  1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn  n2 ，可得 b1  S1  1 ，当 n 2 时， bn  Sn  Sn1  n2  (n  1)2  2n  1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn  2n  1 .--------------- 6 分（2）可知 cn  bn  an  (2n  1)  (2n  1) (2n  1)  2n  (2n  1) --------------- 7 分设 An  1 2  3 22  5  23   (2n  1)  2 n ， 2 An  1 22  3  23    (2n  3)  2 n  (2n 1)  2 n 1 ，两式相减可得  An  2  2(22  23   2 n)  (2n  1)  2 n 1 ，可得 An  6  (2n  1)  2n1  2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1)  2nn2，所以 Tn  6  (2n  1)  2n1  2n2  n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD  面 ABCD ， PD  BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH  DC 交 DC 于 H ， BH  1 ，BD  DH 2  BH 2  1  1  2 ，BC  2 ，( 2)2  ( 2)2  22 ，即 DB2  BC 2  DC 2 ，即 BC  DB .--------------- 2 分  BC  DB ， PD  BD  D ， BC  平面 PDB ，  BC  平面 EBC 平面 PBC  平面 PDB .--------------- 4 分（2）连接 PH ， BH  面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH  BH  1 ， BH  1 ， PH  2 ， PH 2 PD2  DH 2  PH 2 ， PD2  1  2 ， PD  1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB  a AB  a 设平面 PEB的法向量为 a  (x，y，z) ， 0 0  xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE  b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos  a  b  1 3  0 11 4| a || b | 1 1 32 1  42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为  7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2  2 列联表，满意不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2  120  (30 15  25  50)2 55 65 80  40 960  6.713  6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，   0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( )  0  5  1 15  2  15  3 1  9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2  4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e  c  2 ， a2a2  b2  c2 ，解得 a2  2，b2  1 ， x2  y2  1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y  x 1 ，联立   x2 2y2 1，解得y  x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3，，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD |  4 2 ，又原点 O 到直线 y  x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32  2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y  kx  t，ykxt，联立  x2  2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得   (4kt)2  4(2k 2  1)(2t 2  2)  0 ，整理可得 t 2  2k 2  1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k  t)，B(2，2k  t) ，--------------- 8 分则 | AF2 |  (1 1)2  (k  t  0)2 k 2  2kt  t2| BF2 | (2 1)2  (2k  t  0)2 1  (4k 2  4kt  t2) k 2  2kt  t2  2 为定值.--------------- 12 分 2k 2  4kt  2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x)  x  a  1  x2  ax  1 ，设 h(x)  x2  ax  1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1)  h(3)  0 ，可得 (1  a  1)(9  3a  1)  0 ，解得 2  a  10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x)  2x  2 (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x  2x  2 a(x22x)，因为x0，可得a2ln x x2 2x   2x2，--------------6分设g(x)2ln x  2x  x2  2x2，g' ( x)2(x  1)(2ln x (x2  2x)2x).设 h(x)  2 ln x  x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 )  2ln 2  1  0 ， h(1)  1  0 .22故存在一点 x0  (0.5，1) ，使得 h(x0 )  0 ，--------------- 8 分当 0  x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0  x0  0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0  2x0  2  x02  2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2   2 cos2   6 ， 2(x2  y2 )  x2  6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2  x2  1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x  4 y  4  3a  0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2  6  (4  3a)x  (4  3a)2  48  0 ，可知   [6  (4  3a)]2  4  33  [(4  3a)2  48]  0 ，解得 a  66  4 或 a   66  4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y  3 sin则 2x  3y  2 2 cos  3 3 sin  (2 2)2  (3 3)2 sin(  ) ，其中 tan  2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2  (3 3)2  35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a  1 时， f (x)  | 3x  6 |  | x  1 |  x 10 ，当 x  1时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x 1 ，可得 x  1；--------------- 2 分当 1 x 2 时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x 1 ，可得 x  1；当 x  2 时， (3x  6)  (x 1)  x 10 ，解得 x 5 ，综上可得 {x | x 5或x 1} .--------------- 4 分（2）由 f (x)  0 可知， f (x)  | 3x  6 |  | x 1| ax  0 ， | 3x  6 |  | x 1|  ax ，设 g(x)  | 3x  6 |  | x 1| ， h(x)  ax ，同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x  5，x  1， g(x)  2x  7，1 x 2，可得 A(2，3) ， 4x  5，x  2，当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x)  0 有两个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3  a  4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题(理工类)

绝密★启用并使用完毕前2020年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟试题（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

命题人：雅安中学黄潘第Ⅰ卷（选择题共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|230}A x x x =--<,2{|log 2}B x x =<，则A B =（A ）(1,4)- （B ）(1,3)-（C ）(0,3) （D ）(0,4)2．若复数3i(R,i 12ia a +∈-为虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（A ）6- （B ）2-（C ）4（D ）63．函数2cos(2)2y x π=-是（A ）最小正周期为π的奇函数（B ）最小正周期为π的偶函数（C ）最小正周期为2π的奇函数（D ）最小正周期为2π的偶函数 4．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，则使得0n a >的最小正整数n 为（A ）7（B ）8（C ）9（D ）105．直线0x y m -+=与圆22210x y x +--=有两个不同交点的一个充分不必要条件是（A ）31m -<<（B ）42m -<<（C ）1m <（D ）01m <<6．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数，要求1不在首位，3不在百位的五位数共有（A ）72个（B ）78个（C ）96个（D ）54个7．定义某种运算⊕，a b ⊕的运算原理如右框图所示，设1S x =⊕，[2,2]x ∈-，则输出的S 的最大值与最小值的差为（A ）2（B ）1-S a=是否?a b ≥||S b =开始,a b输入（C ）4（D ）38．下列命题:①若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α；②若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行； ④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点．其中正确的个数是（A ）1（B ）2（C ）3 （D ）49．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，||4PF =，则直线AF 的倾斜角等于（A ）712π（B ）23π （C ）34π （D ）56π 10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()(4)f x f x =-，且当2x ≠时，其导函数()f x ' 满足()2()xf x f x ''>，若24a <<，则（A ）2(2)(3)(log )af f f a << （B ）2(3)(log )(2)af f a f << （C ）2(log )(3)(2)af a f f <<（D ）2(log )(2)(3)af a f f <<第Ⅱ卷（非选择题共100分）注意事项：必须使用黑色签字笔或钢笔在答题卡上作答。

2020届全国1卷高考仿真模拟试卷理科数学含答案

2
3
3
2
令 f (x) 0 ，得 1 ex 1 ， x (ln 1 ，ln 1 )， f (x) 在 (∞，ln 1)
为偶函数，得 a 2 .又 f (1) 1 b 0 ，所以 b 1 .故选 C.
4. 【答案】D
【解析】由题意知抛物线的焦点 F ( p ，0) ，则
|3 p 4| 2
p，
2
32 (4)2 2
解得 p 4 ，所以抛物线的准线方程为 x 2 .故选 D.
5. 【答案】C
【解析】 (1 2x)n 展开式的通项 Tr1 Cnr (2x)r 2r Cnr xr ，令 r 2，
又 | OF | c ，| FP |2 | OP |2 | OF |2 c2 ，所以 | FP | b .因为 M ，
N ，F 三点共线，所以 | FP | | FM | | FN | r ，所以 FM 的长为通径长度的一半，即 | FM | | FP | b2 b ，所以 a b ，所以 a2
得 4Cn2 60 n 6 ，可知二项式系数的最大值为 C63 20 . 6. 【答案】B
【解析】因为 f (x) cos x cos sin x sin cos( x )，所以将
2
2
2
f (x) 的图象向右平移 π 个单位长度后，所得函数图象的解析式 3
g(x) cos(1 x π ) .因为 g(x) 的图象关于点 (π，0) 对称，所 26
Байду номын сангаас
以 cos( π π ) 0，即 cos( π ) 0，又 0 π ，所以 π .
26
3
6
7. 【答案】A
【解析】第一步，安排督察组组长：因为 M ，N 两地都至少有 1

2020届开卷教育联盟全国高三模拟考试(一)数学理科试题

开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（一）数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60M x x x =+-<，{}|03N x x =<<，则M N =I ( )A. ()2,2-B. ()0,3C. ()0,2D. ()4,3-【答案】C 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合M ，再由集合交集运算即可求解.【详解】集合{}2|60M x x x =+-<，解一元二次不等式可得{}|32M x x =-<<{}|03N x x =<<，由交集运算可得{}{}{}|32|03|02x x x x x M x N -<<⋂<<=<=<I ，即()0,2M N =I ，故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2.设i 为虚数单位，若复数z 满足()255z i i ⋅-=-，则复数z 的虚部为( ) A. -1 B. i -C. -2D. 2i -【答案】A 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，求得复数z ，再根据复数的概念即可求得虚部. 【详解】复数z 满足()255z i i ⋅-=-，则化简可得552iz i-=-，由复数除法运算化简可得()()()()5525515532225i i i iz i i i i -+--====---+，所以复数z 的虚部为1-，故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的概念应用，属于基础题. 3.已知0.2log 2a =，0.33b =，3log 2c =，则( ) A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a <<【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得0.2log 20a =<，0.331b =>，30log 21c <=<，所以a c b <<，故选：B.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，由中间值法比较大小，属于基础题.4.我们规定离心率e =( ) ①一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆；②短轴长与长轴长之比为的椭圆是优美椭圆；③椭圆2212x =是优美椭圆；④焦距、短轴长、长轴长成等比数列的椭圆是优美椭圆. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的几何性质，结合定义即可求得四个选项中的椭圆离心率，即可判断是否为优美椭圆.【详解】对于A ，一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆，则满足()()()22222a c a b b c +=+++，化简可得220a ac c --=，即210e e +-=，解得12e -+=或12e -=，所以A 正确；对于B ，即b a =，则12c e a ====≠，所以B 错误；对于C ，椭圆2212x +=，则12c e a ====，所以C 正确；对于D ，焦距、短轴长、长轴长成等比数列，即()2222b c a =⨯，化简可得220a ac c --=，由A 可知，D 中椭圆为优美椭圆，所以D 正确，综上可知，正确的为ACD ，故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质简单应用，椭圆离心率的求法，属于基础题.5.我国传统文化中有天干地支之说，天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”.其中甲、乙五行属木，归东方，丙、丁五行属火，归南方，戊、己五行属土，归中央，庚、辛五行属金，归西方，壬、癸五行属水，归北方.在天干十个字中随机取两个，则它们五行属性相同的概率是( ) A.19B.18C.17D.16【答案】A 【解析】【分析】根据古典概型概率，结合排列数求法，即可得解.【详解】从天干十个字中随机取两个，所有取的种类为210109452C ⨯==，共有金木水火土五行，所以随机取的两个五行相同的概率为51459=，故选：A.【点睛】本题考查了古典概型概率求法，组合数计算公式的简单应用，属于基础题. 6.函数()()22xf x x x e =-的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD ；再由0x <时，()f x 恒为正，排除C 即可得解.【详解】函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为2±，故排除AD ，且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ，即只有B 选项符合要求，故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.7.已知非零向量OA u u u r ，OB uuu r 满足213515OA OB AB ==u u u r u u u r u u u r ，则OA u u u r ，OB uuu r的夹角为( )A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】【分析】根据向量模长的等量关系，可得三条边长的比值，结合余弦定理即可求得OA u u u r ，OB uuu r夹角的余弦值，进而求得OA u u u r ，OB uuu r的夹角.【详解】非零向量OA u u u r ，OB uuu r满足213515OA OB AB ==u u u r u u u r u u u r ，则::5:3:7OA OB AB =u u u r u u u r u u u r，设3OB t =u u u r，0t >，则5OA t =u u u r ，7AB t =u u u r，由余弦定理求得()()()2225371cos 2532t t t AOB t t+-∠==-⨯⨯.而0AOB π<∠<，所以23AOB π∠=，即OA u u u r ，OB uuu r的夹角为23π，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量模长关系，余弦定理在解三角形中的应用，平面向量夹角的求法，属于基础题.8.执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=；此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=；此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2.故选D.【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.9.记集合{}11A a =，{}223,A a a =，{}3456,,A a a a =，{}478910,,,A a a a a =，…，其中{}n a 为公差大于0的等差数列，若{}23,7A =，则195属于( ) A. 10A B. 11AC. 12AD. 13A【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，先求得数列{}n a 的通项公式，进而判断出195的项数；结合等差数列求和公式，即可判断出195所在的集合.【详解】数列{}n a 为公差大于0的等差数列，{}23,7A =，则23a =，37a =， ∴45n a n =-，故195是第50项，前9个集合共()9919452S ⨯+==项，第10个集合有10项，所以第50项属于10A . 故选：A.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 10.已知椭圆C 的两个焦点为()0,1±，过顶点的直线1l ：1y k x a =+与2l ：()20y k x a a =-≠的交点恰好在C 上，且122k k =-，则C 的方程为( )A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22123x y +=D. 2212y x +=【答案】D 【解析】【分析】根据直线方程可知两直线分别过上、下两顶点，设两直线交点为(),P x y ，由两点间斜率公式及122k k =-化简可得椭圆的标准方程，结合焦点坐标即可确定参数a ，进而代入可得椭圆的方程.【详解】过顶点的直线1l ：1y k x a =+与2l ：()20y k x a a =-≠的交点恰好在C 上，则两直线分别过上、下两顶点，设两条直线的交点为(),P x y ，则有2y a y ax x-+⋅=-，化简得222212y x a a +=，由椭圆C 的两个焦点为()0,1±，所以可得2212a a -=，解得22a =，故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，两点间斜率公式的应用，注意焦点的位置，属于中档题.11.已知函数()()sin cos f x a x b x x R =+∈，若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 3x =-，则点(),a b 所在的直线方程为( )A. 30x y -=B. 30x y +=C. 30x y -=D. 30x y +=【答案】B 【解析】【分析】由辅助角公式对三角函数式化简，结合正弦函数对称轴的性质求得0x 的表达式，代入条件0tan 3x =-中，用诱导公式化简即可求得30a b +=，即可得点(),a b 所在的直线方程. 【详解】由辅助角公式化简函数可得()()sin cos f x a x b x x R =+∈x x ⎫=+⎪⎭(),tan b x aαα=+=则对称轴满足,2x k k Z παπ+=+∈，则,2x k k Z παπ=-+∈因为0x x =是函数()f x 的一条对称轴，则0,2x k k Z παπ=-+∈，则0sin 12tan tan tan 22tan cos 2x k παππαπαπαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，即3ab-=，所以30a b +=，即点(),a b 所在的直线方程为30x y +=，故选：B.【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数式化简中的应用，正弦函数对称轴性质应用，正切函数诱导公式的简单应用，属于中档题.12.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，M 为AB 中点，ABC ∆，ABD ∆，CDM ∆都是正三角形，若6AB =，则球O 的表面积为( ) A. 52π B. 54πC. 56πD. 60π【答案】A 【解析】【分析】根据题意画出四面体ABCD ，过ABC ∆，ABD ∆的外心1O ，2O 分别作平面ABC ，ABD 的垂线，可知两条直线相交于一点O ，点O 即为ABCD 外接球球心；由等边三角形外心性质，结合线段关系即可求得外接球的半径，进而得球的表面积.【详解】过ABC ∆，ABD ∆的外心1O ，2O 分别作平面ABC ，ABD 的垂线，显然两垂线都在平面CDM 内，故它们相交于一点O ，点O 为外接球球心，如下图所示：因为6AB =，所以在CDM ∆中，226333MC MD =-=12133MO MO MC ===，1230OMO OMO ∠=∠=︒，∴1231OO OO ===o ，所以22222112133133R OC OO CO ⎛==+=+⨯= ⎝，球的表面积2452R ππ=. 故选：A.【点睛】本题考查了四面体外接球的求法，等边三角形外心性质的应用，球表面积的求法，对空间想象能力要求高，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.曲线sin xy e x =⋅在点()0,0处的切线方程为______.【答案】0x y -= 【解析】【分析】根据曲线先求得导函数，即可求得当0x =的到数值，即为切线斜率，再由点斜式即可得切线方程. 【详解】曲线sin x y e x =⋅，则sin cos xxy e x x e '=⋅+⋅()sin cos x e x x =+则当0x =时，()0sin0cos01k y e ='=+=，所以y x =，即0x y -=，故答案：0x y -=.【点睛】本题考查了导数的几何意义应用，切线方程的求法，属于基础题.14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若11a =，2463a a =，则5S =______.【答案】121 【解析】【分析】根据等比数列通项公式，可代入等式求得公比，再由等比数列前n 项和公式即可求得5S .【详解】等比数列{}n a ，由2463a a =，则()235113a qa q =，因为11a =，代入可得653q q =，解得3q =，所以由等比数列的前n 项和公式可得551312113S -==-，故答案为：121.【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.15.在抗击“非洲猪瘟”的战斗中，某市场防疫检测所得知一批共10只猪中混入了3只携带病毒的猪，在没有传染扩散前，马上逐个不放回地检测，每次抽中各只猪的机会均等，直到检测出所有病猪就停止检测，则恰在第六次检测后停止的概率是______. 【答案】112【解析】【分析】恰在第六次检测后停止说明第六次检测出的为携带病毒的猪，前5只检测的猪有3只健康猪和两只携带病毒的猪，分步计算出前六个位置安排的方法数，结合总的排序数，即可得概率值. 【详解】恰在第六次停止即前五只猪3好2病，第六只是病猪，则从7只健康的猪中选择3只37C 种方法，将选出的3只猪排列在前五个位置共有35A 种方法，将前五个位置中的两个空位和第六个位置安排携带病毒的猪共有33A 种方法，故共有333753C A A ⋅⋅种排列，前6只猪共有610A 种排列，故概率为3337536107655433211123109876512A A C A ⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 故答案为：112. 【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，分步乘法计数原理及概率求法，属于中档题.16.已知抛物线28y x =的焦点到双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>线E 的离心率的取值范围是______. 【答案】(]1,2 【解析】【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，由双曲线方程可得渐近线方程，根据点到直线距离公式及题设，即可得,b c 的不等式，结合双曲线中,,a b c 关系即可求得离心率的范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点坐标为()2,0，双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，则由题意可得点()2,0到直线0bx ay ±=2bc=≤ 所以2243b c ≤，即()22243c ac-≤，224c a ≤，2ce a=≤，故双曲线E离心率的取值范围是(]1,2.故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合应用，抛物线的焦点及双曲线渐近线方程的求法，点到直线距离公式的应用及双曲线离心率取值范围的求法，一元二次不等式的解法，综合性强，属于中档题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.已知向量,14x m ⎫=⎪⎭u r ，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅u r r .（1）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()12f B =，2a =，3c =，求sin A 的值.【答案】（1）443x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 的最小值为12-；（2）7. 【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算，结合三角函数降幂公式及辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数图像与性质即可求得函数()f x 的最小值及取最小值时x 的值；（2）将B 代入函数解析式，结合等量关系可求得B ，进而由余弦定理可求得b ，再根据正弦定理即可求得sin A 的值.【详解】（1）向量,14x m ⎫=⎪⎭u r ，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅u r r ，则()2cos cos 444x x f xx =+1cos222x x+=+1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-，k Z ∈，时()f x 取最小值即443x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 的最小值为12-. （2）∵()131sin 262B f B π+⎛⎫=++=⎪⎝⎭， ∴3sin 262B π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∵0B π<<， ∴26263B πππ<+<， ∴263B ππ+=， ∴3B π=，在ABC ∆中，由余弦定理得22212cos 4922372b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴7b =，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a b A B=， ∴32212sin 77A ⨯==.【点睛】本题考查了三角函数恒等变形的应用，降幂公式及辅助角公式的应用，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.18.在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为矩形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，且//AB CD ，AD CD ⊥，222CD AB AD ===，点M 为棱BC 的中点.（1）求证：BD FM ⊥；（2）若直线AC 与直线FM 所成角为45︒，求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）56【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质可知FC ⊥平面ABCD ，即CF BD ⊥，根据所给线段关系及勾股定理逆定理，可证明BD BC ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面BCF ，从而证明BD FM ⊥.（2）根据题意以D 为原点，DA uuu r为x 轴正方向建立空间直角坐标系，设ED h =，写出各个点的坐标，由直线AC 与直线FM 所成角为45︒求得h ，由空间向量数量积运算求得平面BCE 的法向量，即可由空间向量数量积的坐标运算求得直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形CDEF 为矩形，所以FC CD ⊥.又平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF I 平面ABCD CD =，则FC ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故FC BD ⊥.取CD 的中点N ，连接BN ，在直角梯形ABCD 中，可知222BDAD AB =+=，222BC BN CN =+=，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. 又CF BC C =I ，故BD ⊥平面BCF . 又FM ⊂平面BCF ，所以BD FM ⊥.（2）由（1）知DA ，DC ，DE 两两垂直，以D 为原点，DA uuu r为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,0,E h ，则()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,F h ，()1,1,0B ，13,,022M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故()1,2,0AC =-u u u r ，11,,22FM h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r .因直线AC 与直线FM 所成角为45︒，故cos 45AC FM AC FM⋅︒==u u u r u u u u r u u ur u u u u r ，解得5h =. 设直线BF 与平面BCE 所成的角为θ，平面BCE 的法向量为(),,n x y z =r，则1,1,5BF ⎛=- ⎝⎭u u u r，1,1,5BE ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，()1,1,0BC =-uu u r ，故00n BE x y z nBC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，则1y =，z =所以(n =r，故sin BF n BF nθ⋅==u u u r r u u u r r ，故直线BF 与平面BCE所成角的正弦值为6. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质及线面垂直的判定定理应用，由线面垂直判定线线垂直，由异面直线夹角大小求线段长，用法向量法求直线与平面夹角，属于中档题.19.某市举办“爱我华夏，弘扬传承”知识抢答赛，最后有张珊、李诗两位选手进入冠亚军PK 赛，规则如下：依次从忠、孝、仁、义、礼、信、智七个题库中每一次随机选取一道题两人抢答，胜者得25分，败者不扣分（无平局），先得100分者为冠军，结束PK.由于两人阅读习惯区别，在前面的比赛中得出：张珊在忠、孝、礼、智方面略有优势，胜率为0.6，其它方面两人不分伯仲，胜率都是0.5. （1）求PK 结束时李诗恰得25分的概率；（2）记PK 结束时抢答场数为x ，求x 的分布列及期望. 【答案】（1）0.18；（2）分布列见解析，5.785. 【解析】【分析】（1）根据题意可知共比赛5次，且前四次李诗只胜一次，由独立事件概率乘法公式即可求解.（2）因为至少答4题，因而抢答场数x 所有可能的值为4，5，6，7，分别讨论四种情况下各自的胜率即可求得分布列，由分布列即可求得期望值.【详解】（1）李诗恰得25分则张珊得100分，即共比赛5次，前四次李诗胜一次，第五次张珊胜；则李诗在前四次只胜一次的概率0.60.40.50.50.60.40.60.50.50.6P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯0.60.60.50.50.60.60.60.50.50.60.18+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（2）x 所有可能的值为4，5，6，7，4x =即某人连胜4次，所以()222240.60.50.40.50.13P x ==⋅+⋅=；5x =即某人前4次3胜l 负第五次胜，张珊4:1胜的概率为0.18，李诗4:1胜的概率为223220.60.50.420.40.50.08⋅⋅⋅+⋅⋅=，所以()50.180.080.26P x ==+=；6x =即某人前五次3胜2负第六次胜，各有三类：①在第1，2，5场中负2次，②在第3，4场中连负2次，③在第1，2，5场中负1次，第3，4场中负1次，张珊4:2胜的概率为32332330.60.50.40.60.560.60.40.50.171⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=.李诗4:2胜的概率为23332330.60.50.40.40.560.60.40.50.134⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=，所以()60.1710.1340.305P x ==+=；()()()()714560.305P x P x P x P x ==-=-=-==，故分布列为期望()40.1350.2660.30570.305 5.785E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了独立事件乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法及期望求法，注意分类讨论时要做到不重不漏，属于中档题.20.已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程；（2）若3AP PB =u u u v u u u v，求|AB |．【答案】（1）12870x y --=；（2）3. 【解析】【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =u u u r u u u rQ 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则33AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 21.已知函数()22ln f x x a x x=++（0x >，a 为常数）. （1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）对任意两个不相等的正数1x ，2x ，求证：当0a ≤时，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）20x y -+=；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）将1a =代入解析式，并求得导函数()f x '，代入1x =即可求得切线斜率；将1x =代入函数解析式求得切点坐标，即可由点斜式求得切线方程；（2）由函数解析式求得导函数()f x '；构造函数()()()2222f x f x x x f t x ++⎛⎫=-⎪⎝⎭，可求导得()t x '，将()f x '代入()t x '并变形化简，即可判断出()t x 的单调区间，进而确定()()20t x t x ≥=，再由12x x ≠可知()10t x >恒成立，即原不等式成立.【详解】（1）1a =时，函数()22ln f x x x x=++，则()2212f x x x x'=-+，故()11k f ='=，又()13f =，所以切线方程为()311y x -=⨯-，即20x y -+=.（2）证明：函数()22ln f x x a x x=++（0x >，a 为常数）. 则()222a f x x x x'=-+，构造函数()()()2222f x f x x x f t x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，∴()()211222x x f x f t x '+⎛⎫='-' ⎪⎝⎭，所以()()()22222118222a a t x x x x x x x x x x ⎡⎤'=-+-+-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ ()()()2222223122x x ax x x x x x x x ⎡⎤+=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，∵102>，()222230x x x x x +>+，()202a x x x -≥+， ∴()()2222231022x x ax x x x x x ++->++. 故当()20,x x ∈时，()0t x '<，()t x 为减函数；故当()2,x x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 为增函数.故对一切()0,x ∈+∞，()()20t x t x ≥=.当且仅当2x x =时取等号. 题中12x x ≠，故()10t x >恒成立，原不等式得证.【点睛】本题考查了导数的几何意义及切线方程的求法，构造函数法在证明不等式中的应用，利用导数证明函数的单调性并求得最值，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值．【答案】(1) M (－1,0);(2)21-. 【解析】试题分析：（1）将两个曲线方程均化为直角坐标方程，联立得到交点坐标即可；（2）点点距转化为圆心到直线的距离加减半径. 解析： (1)曲线C 1：消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．① 曲线C 2：ρcos＝－⇒x ＋y ＋1＝0，②联立①②，消去y 可得x 2－x －2＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)．(2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆．设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝＝，所以|AB |的最小值为－1.选修4-5：不等式选讲23.设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值. 【答案】（1）32；（2）34. 【解析】【分析】（1）根据函数解析式，分类讨论可得分段函数解析式，画出函数图像即可求得函数的最大值，即为m 的值；（2）代入（1）中m 的值，将等式分组，结合基本不等式即可求得2ab bc +的最大值. 【详解】（1）函数()121f x x x =--+分类讨论化简可得()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩，画出函数图像如下图所示，由图像可知当12x =-时，函数取得最大值32m =.21 （2）由（1）可知32m =，所以2223232a cb ++=，而()()22222223232242a cb a bc b ab bc =++=+++≥+ ∴324ab bc +≤，当且仅当12a b c ===±时，等号成立， ∴2ab bc +的最大值为34. 【点睛】本题考查了含绝对值函数最值的求法，数形结合法求最值，基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.。

2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套

2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b>”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（） A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（）A ．5B ．34C ．41D ．526． ()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππU 大致的图象是（） A ． B ． C ． D ．7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值不可能为（） A ．14B ．15C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（）A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦L =（） A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．已知函数()()e exx af x a =+∈R 在区间[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞ C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos 0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。