数学北师大八年级下册(2014年修订)《2 直角三角形》习题3
最新北师大版八年级数学下册《直角三角形》精品教学课件
∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，
在△PBD和△PCD中，
∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
开放训练，体现应用
例2 如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E
，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠FAC＝90°
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴∠BAE＋∠EBA＝90°
∴∠EBA＝∠FAC.
∴∠BFD＝∠CED＝90°
DF＝DE，
在△BDF和△CDE中 ∠BFD＝∠CED，
BF＝CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)
∴∠B＝∠C
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABCБайду номын сангаас∠EFD的大小有什么关系？
北师版八年级数学下册等腰三角形直角三角形综合练习题含答案
GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF4GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF等腰三角形的性質1D 2C 3A 4C 5B 6 60 7 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合 8 90°+1/2n°9 70°10略11 20= 2AB+BC 16=AB+1/2BC+AD 2AD=12 AD=6 12略等腰三角形的判定1A 2C 3A 4C角平分線上的點到兩角邊的高相等 5 1 6 AB=AC 7 2cm9方法一等腰三角形的性質法二證兩個大三角形全等再證兩個小三角形全等10略GAGGAGAGGAFFFFAFAF11等邊三角形1C 2 D 第四個是等邊三角形。
理由如下: ∵等腰三角形一腰上的中線也是這條腰上的高，∴這條中線是這條腰的垂直平分線∴腰與底邊相等∴這個等腰三角形是等邊三角形。
3A 4C 5 B∵AB=AC，∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD，∠BAC=∠CAD=60°∴△ADE是等邊三角形6. 60°7. 70°8. 3, 三邊的高，也是過邊中點并垂直于邊的直線同時也是角平分線9.1cm 11 ∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B＝∠C＝30°∵AD⊥AC∴△ACD為直角三角形∴DC=2AD （30°角所對的直角邊是斜邊的一半）∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°GAGGAGAGGAFFFFAFAF∴∠B＝∠BAD∴BD=AD （等角對等邊）∴BC=BD+CD=3AD12 證明：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC＝AC∠BCE＝∠ACDCE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，GAGGAGAGGAFFFFAFAF∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，∠CBF＝∠CAHBC＝AC∠BCF＝∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等邊三角形．（4）∵△CHF為等邊三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°，∴FH∥BD．GAGGAGAGGAFFFFAFAF13.連接CE，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，在△BCE與△ACE中，AC＝BCAE＝BECE＝CE∴△BCE≌△ACE（SSS），∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE與△BCE中，GAGGAGAGGAFFFFAFAFBD＝BC∠DBE＝∠CBEBE＝BE，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．直角三角形1.B 設∠A=∠B=X,5X=180°所以∠A=∠B=36°2.D3.B ∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠AEB=90°∴∠DBF與∠DFB互余,∠EAF與∠AFE互余,而∠DFB=∠AFE∴∠DBF=∠EAF又∵BF=AC∴ΔBDF≌ΔCADGAGGAGAGGAFFFFAFAF精品文檔∴BD=AD∴ΔABD是等腰直角三角形,∴∠ABD=45°5. 因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D6.C斜邊上的中線是斜邊的一半等腰直角三角形則斜邊上的高就是中線所以斜邊上的高是a/2填空 1. 30°或150°2. 15°或75° 3.4,10 (a-b)2=4，a2+b2=52，2ab=48，（a+b)2=a2+b2+2ab=100 5. 90度 6. 1 2 3 10.二分之根號2 11.135°35103 891F 褟N)21261 530D 匍39930 9BFA 鯺,m 39206 9926 餦25726 647E 摾oq23132 5A5C 婜R-GAGGAGAGGAFFFFAFAF。
北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
新北师大版八年级数学下册课课练2直角三角形习题
新北师大版八年级数学下册课课练《2 直角三角形》习题部分预览《2 直角三角形》习题1、判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由．（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等．（2）一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等．（3）一锐角与斜边对应相等．（4）两直角边对应相等．（5）两边对应相等．（6）两锐角对应相等．（7）一锐角和一边对应相等2、下面说法不正确的是（）．A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等．B、有两边对应相等的两个直角三角形全等．C、有两角对应相等的两个直角三角形全等．D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等．3、如图1，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，部分预览《2 直角三角形》习题1、判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由．（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等．（2）一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等．（3）一锐角与斜边对应相等．（4）两直角边对应相等．（5）两边对应相等．（6）两锐角对应相等．（7）一锐角和一边对应相等2、下面说法不正确的是（）．A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等．B、有两边对应相等的两个直角三角形全等．C、有两角对应相等的两个直角三角形全等．D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等．3、如图1，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，部分预览《2 直角三角形》习题1、判断下列条件能否判断两直角三角形全等，并说明理由．（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等．（2）一个锐角和这个锐角相邻的一条直角边对应相等．（3）一锐角与斜边对应相等．（4）两直角边对应相等．（5）两边对应相等．（6）两锐角对应相等．（7）一锐角和一边对应相等2、下面说法不正确的是（）．A、有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等．B、有两边对应相等的两个直角三角形全等．C、有两角对应相等的两个直角三角形全等．D、有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等．3、如图1，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，。
北师版八年级数学下册等腰三角形直角三角形综合练习题含答案
4等腰三角形的性质1D 2C 3A 4C 5B 6 60 7 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合8 90°+1/2n° 9 70°10略11 20= 2AB+BC 16=AB+1/2BC+AD 2AD=12 AD=6 12略等腰三角形的判定1A 2C 3A 4C角平分线上的点到两角边的高相等5 1 6 AB=AC 7 2cm9方法一等腰三角形的性质法二证两个大三角形全等再证两个小三角形全等10略11等边三角形1C 2 D 第四个是等边三角形。
理由如下: ∵等腰三角形一腰上的中线也是这条腰上的高，∴这条中线是这条腰的垂直平分线∴腰与底边相等∴这个等腰三角形是等边三角形。
3A 4C 5 B∵AB=AC，∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD，∠BAC=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形6. 60°7. 70°8. 3, 三边的高，也是过边中点并垂直于边的直线同时也是角平分线9.1cm 11 ∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B＝∠C＝30°∵AD⊥AC∴△ACD为直角三角形∴DC=2AD （30°角所对的直角边是斜边的一半）∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-90°=30°∴∠B＝∠BAD∴BD=AD （等角对等边）∴BC=BD+CD=3AD12 证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC＝AC∠BCE＝∠ACDCE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，∠CBF＝∠CAHBC＝AC∠BCF＝∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA），∴CF=CH；（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．（4）∵△CHF为等边三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°，∴FH∥BD．13.连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，AC＝BCAE＝BECE＝CE∴△BCE≌△ACE（SSS），∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE与△BCE中，BD＝BC∠DBE＝∠CBEBE＝BE，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．直角三角形1.B 设∠A=∠B=X,5X=180°所以∠A=∠B=36°2.D3.B∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠BDF=∠AEB=90°∴∠DBF与∠DFB互余,∠EAF与∠AFE互余,而∠DFB=∠AFE∴∠DBF=∠EAF又∵BF=AC∴ΔBDF≌ΔCAD∴BD=AD∴ΔABD是等腰直角三角形,∴∠ABD=45°5.因为是一块正方形的绿地，所以∠C=90°，由勾股定理得，AB=25米，计算得由A点顺着AC，CB到B点的路程是24+7=31米，而AB=25米，则少走31﹣25=6米．故选D6. C斜边上的中线是斜边的一半等腰直角三角形则斜边上的高就是中线所以斜边上的高是a/2 填空 1. 30°或150° 2. 15°或75° 3.4,10 (a-b)²=4，a²+b²=52，2ab=48，（a+b)²=a²+b²+2ab=100 5. 90度6. 1 2 3 10.二分之根号2 11.135°。
北师大版数学八年级下册：第一章《三角形的证明》含详细答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．52．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到A．1B．2C．D．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4(含答案)
北师大版2020-2021学年度八年级数学下册1.2直角三角形自主学习同步练习题4（含答案）1．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CD＝CA，D在BC上，∠ADE＝45°，E 在AB上，则∠BED的度数是（）A．60°B．75°C．80°D．85°2．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝2cm，则AB的长度是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，连接AD，则△ACD与△ADB的面积比为（）A．1B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于D点，连接BD，若AD＝4，则DC的值为（）A．1B．1.5C．2D．35．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（）A．4B．6C．8D．106．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．60°7．如图，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D点，CE⊥AB于E点，F，G分别为BC、DE的中点，若ED＝10，则FG的长为（）A．2B．C．8D．98．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A，B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是（）A．B．C．2D．9．如图，在△ABC中，BD、CE是高，点G、F分别是BC、DE的中点，则下列结论中错误的是（）A．GE＝GD B．GF⊥DE C．∠DGE＝60°D．GF平分∠DGE10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点P在△ABC内，连结P A，PB，PC，若∠1＝∠2＝∠3，且P A＝1，则PB的长是．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以△ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在△ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为．12．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝35°，则∠BAE的度数为°．14．如图，直线a∥b，Rt△ABC的直角顶点C在直线b上，∠2＝70°，∠1＝．15．如图：∠B＝∠C，DE⊥BC于E，EF⊥AB于F，∠ADE等于140°，∠FED＝．16．已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连结ME、MD、ED．设AB＝4，∠DBE＝30°，则△EDM的面积为．17．如图在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为．18．如图，∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE ⊥OA于E，OD＝4cm，则PE＝．19．如图，点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，则△CMN是三角形．20．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是11，AF⊥BC于F，BE⊥AC于E，且点D是AB的中点，则AF＝．21．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边△ABC，如图，并在边AC上任意取了一点F（点F不与点A、点C重合），过点F作FH⊥AB交AB于点H，延长CB到G，使得BG＝AF，连接FG交AB于点I．（1）若AC＝10，求HI的长度；（2）延长BC到D，再延长BA到E，使得AE＝BD，连接ED，EC，求证：∠ECD＝∠EDC．22．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝6cm，求AD的长．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于D，∠A＝30°，BD＝1，求AB的值．24．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，（1）求证：M是BE的中点．（2）若CD＝1，DE＝，求△ABD的周长．25．如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．26．直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．27．已知：如下图，△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，连接DE、AE．若DC∥AE，在DC上取一点F，使得DF＝DE，连接EF交AD于O．（1）求证：EF⊥DA．（2）若BC＝4，AD＝2，求EF的长．28．如图（1），已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图（2），上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．29．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．30．（1）如图，D是△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，E，F分别是BD，AC的中点，G，H分别是AD，EF的中点，求证：GH⊥EF．（2）若（1）中的∠ABC＝90°，其它条件不变，求的值．参考答案1．解：∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝60°，又∵CD＝CA，∴△ACD中，∠DAC＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，又∵∠ADE＝45°，∴∠BED＝∠ADE+∠DAE＝45°+30°＝75°，故选：B．2．解：∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∴BC＝2BD＝4cm，AB＝2BC＝8cm，故选：C．3．解：∵D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD＝30°，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAD＝60°﹣30°＝30°，∴Rt△ACD中，CD＝AD＝BD，∴△ACD与△ADB的面积比为，故选：B．4．解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD＝4，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD＝2，故选：C．5．解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．6．解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°．故选：C．7．解：连接EF、DF，∵BD⊥AC，F为BC的中点，∴DF＝BC＝9，同理，EF＝BC＝9，∴FE＝FD，又G为DE的中点，∴FG⊥DE，GE＝GD＝DE＝5，由勾股定理得，FG＝＝2，故选：A．8．解：取AB的中点F，连接CF、OF．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵∠AOB＝90°，AF＝FB，∴OF＝FC＝AB＝1，∵OC≤OF+CF，∴当O、F、C共线时，OC的值最大，最大值为2．故选：C．9．解：∵BD、CE是高，点G是BC的中点，∴GE＝BC，GD＝BC，∴GE＝GD，A正确，不符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF⊥DE，B正确，不符合题意；∠DGE的度数不确定，C错误，符合题意；∵GE＝GD，F是DE的中点，∴GF平分∠DGE，D正确，不符合题意；故选：C．10．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠PBC＝∠ACP，∴△APC∽△CPB，∴＝＝，在等腰△ABC中，＝，∵AP＝1，∴PC＝，∴PB＝3，故答案为3．11．解：如图，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，当MA＝MC时，作MT⊥AC，∵MT∥BC，AT＝TC，∴AM＝MB＝2，∴等腰三角形AMC的腰长为2，当AC＝AM′＝2时，等腰三角形ACM的腰长为2，故答案为2或2．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C＝35°，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠C＝55°，∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝20°．故答案为：20．14．解：∵a∥b，∴∠3＝∠2＝70°，∴∠1＝180°﹣90°﹣70°＝20°，故答案为：20°．15．解：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，由三角形的外角的性质可知，∠C＝∠ADE﹣∠DEC＝50°，∴∠B＝∠C＝50°，∵EF⊥AB，∴∠EFC＝90°，∴∠FEB＝90°﹣50°＝40°，则∠FED＝180°﹣40°﹣90°＝50°，故答案为：50°．16．解：∵在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，∴△ABE，△ADB是直角三角形，∴EM，DM分别是它们斜边上的中线，∴EM＝DM＝AB，∵ME＝AB＝MA，∴∠MAE＝∠MEA，∴∠BME＝2∠MAE，同理，MD＝AB＝MA，∴∠MAD＝∠MDA，∴∠BMD＝2∠MAD，∴∠EMD＝∠BME﹣∠BMD＝2∠MAE﹣2∠MAD＝2∠DAC＝60°，所以△DEM是边长为2的正三角形，所以S△DEM＝．故答案为：．17．解：等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，BC＝AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故答案为：5．18．解：过P作PF⊥OB于F，∵∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC＝15°，∵PD∥OA，∴∠DPO＝∠AOP＝15°，∴PD＝OD＝4cm，∵∠AOB＝30°，PD∥OA，∴∠BDP＝30°，∴在Rt△PDF中，PF＝PD＝2cm，∵OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF，∴PE＝PF＝2cm．故答案为：2cm．19．解：∵点C为线段AB的中点，∠AMB＝∠ANB＝90°，∴CM＝AB，CN＝AB，∴CM＝CN，∴△CMN是等腰三角形；故答案为：等腰．20．解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，∴DE＝DF＝AB，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝BC＝3，∵BE⊥AC，∴EF＝BC＝3，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，∴AB＝8，由勾股定理知AF＝＝＝＝．故答案为：．21．（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，如图1，过F作FD∥AB，交BC于D，过F作FN∥BC，交AC于N，∴∠FDC＝∠ABC＝60°，∴∠FDC＝∠ACB＝∠CFD＝60°，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝CF，∵AC＝BC，∴AF＝BD，∵BG＝AF，∴BD＝BG，∵BI∥DF，∴GI＝FI，∵FN∥BG，∴∠FNI＝∠GBI，在△FNI和△GBI中，∵，∴△FNI≌△GBI（AAS），∴NI＝BI，FN＝BG，∴FN＝AF，∵FH⊥AB，∴AH＝HN，∴HI＝HN+NI＝AB＝×10＝5；（2）证明：解法一：如图2，延长CD至P，使BC＝DP，连接AP、EP，∴BD＝CP，∵AE＝BD，∴AE＝CP，在△ACP和△CAE中，∵，∴△ACP≌△CAE（SAS），∴AP＝CE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴BP＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△ABP和△DPE中，∵，∴△ABP≌△DPE（SAS），∴AP＝ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC．解法二：如图3，延长CD至P，使BC＝DP，连接EP，∴BD＝PC＝AE，∵BE＝AB+AE，BP＝BC+CP，∴BE＝BP，∵∠ABC＝60°，∴△EBP是等边三角形，∴EB＝EP，∠EPD＝60°，∴∠EPD＝∠ABC，在△EBC和△EPD中，∵，∴△EBC≌△EPD（SAS）∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC．22．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝6cm，∴AD＝2cm．23．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，又CD⊥AB，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，BD＝1，可得BC＝2BD＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，则AB＝2BC＝4．24．解：（1）连接BD，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，∵D为AC的中点，∴∠DBC＝ABC＝30°，∵CD＝CE，∴∠E＝∠CDE，∵∠E+∠CDE＝∠ACB＝60°，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E，∴BD＝ED，∴DM⊥BE，∴M是BE的中点；（2）由题意可知，BD＝DE＝，∵D为AC的中点，∴AD＝CD＝1，AB＝AC＝2CD＝2，则△ABD的周长AB+AD+BD＝3+．25．解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE＝BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE＝×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．26．解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．27．解：（1）∵△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，∴DE＝AE＝BC，∴∠EDA＝∠EAD，∵DC∥AE，∴∠ADC＝∠EAD，∴∠ADC＝∠EDA，∵DF＝DE，∴EF⊥DA；（2）∵BC＝4，∴DE＝BC＝2，∵DE＝AE，，∴DO＝AD＝，在Rt△DEO中，EO＝＝1，∵DF＝DE，∴EF＝2EO＝2．28．（1）证明：如图（1），连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB），＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），＝360°﹣2（180°﹣∠A），＝2∠A，∴∠DME＝180°﹣2∠A；（3）结论（1）成立，结论（2）不成立，理由如下：连结DM，ME，在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC，＝2（180°﹣∠BAC），＝360°﹣2∠BAC，∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC），＝2∠BAC﹣180°．29．（1）解：∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE+DE+DF+AF＝5+5+4+4＝18；（2）证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴EF垂直平分AD．30．解：（1）如图所示，连接EG，FG，∵E是BD的中点，G是AD的中点，∴EG是△ABD的中位线，∴EG＝AB，同理可得，GF是△ACD的中位线，∴GF＝CD，又∵CD＝AB，∴GE＝GF，又∵H是EF的中点，∴GH⊥EF；（2）如图所示，当∠ABC＝90°时，∵EG是△ABD的中位线，∴EG∥AB，∴∠GEB+∠ABE＝180°，∴∠GEB＝90°，∵GF是△ACD的中位线，∴GF∥BC，∴∠EGF＝∠GEB＝90°，又∵GE＝GF，∴△GEF是等腰直角三角形，又∵H是EF的中点，∴GH＝EF，即的值为。
八年级数学下册试题一课一练1.2《直角三角形》习题-北师大版(含答案)
1.2《直角三角形》习题一、选择题1．如图，在ABC 中，AB AC 10==，BAC 120∠=，AD 是ABC 的中线，AE 是BAD ∠的角平分线，DF //AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长是( )A ．2B ．4C ．5D ．522．如图，∠AOB ＝150°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ．若OD ＝4，则PE 的长为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．43．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为( )A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米4.某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水. 某同学用直线(虛线)l 表示小河，,P Q 两点表示村庄，线段(实线)表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是( ).A ．B ．C ．D ．5.如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是A ．(0，0)B ．(0，1)C ．(0，2)D ．(0，3)6.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A ．2， 3， 4B ．4，6，7C ．3，4， 5D ．6，8，117.下列条件中，使ABC 不是直角三角形的是( )A ．3a =，4b =，5c =B ．222+=a b cC ．::2:2:3a b c =D ．::1:2:3A B C ∠∠∠=8.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是( )A ．7a =，25b =，24c =B ．3a =，3b =，4c =C ．6a =，8b =，10c =D ．8a =，17b =，15c =9.以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是( )A ．2，4，6B ．4，6，8C ．5，12，13D ．8，10，1210.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是( )A ．∠B ＝∠C +∠AB ．a 2＝(b +c )(b ﹣c )C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．a ：b ：c ＝3：4：511.下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是( )A ．4、5、6B ．5、12、13C ．3、4、5D ．112.由下列条件不能判定ABC ∆为直角三角形的是( )A ．ABC ∠+∠=∠B ．::1:1:2a b c =C ．()()2b c b c a +-=D ．1a =，b =c =13.在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，下列说法错误的是( )A ．如果∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果c 2＝b 2－a 2，则△ABC 是直角三角形C ．如果∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，则△ABC 是直角三角形D ．如果a 2＋b 2≠c 2，则△ABC 不是直角三角形二、填空题1.如图，边长为12的等边三角形ABC 中，E 是高AD 上的一个动点，连结CE ，将线段CE 绕点C 逆时针旋转60°得到CF ，连结DF ．则在点E 运动过程中，线段DF 长度的最小值是__________．2.如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则在①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中AP 长不可能是_____ (填序号)3.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，AB ＝10，将△ABC 沿CB 方向向右平移得到△DEF ．若四边形ABED 的面积为20，则平移距离为___________．4.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD=_______.5.如图，将一幅三角尺如图所示叠放在一起，若AB=24cm ，则阴影部分的面积是_ _．三、解答题1．如图，3AB =，4CB =，90ABC ∠=︒，13CD =，12AD =．求该图形的面积．2．如图，在△ABC 中，已知AB=8，BC=12，AC=18，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，已知线段DE=3．(1)求CD 的长；(2)连接BD ，△DBC 为何种特殊三角形？并说明理由．3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝15，D 是AB 上一点，BD ＝9，CD ＝12(1)求证：CD ⊥AB ；(2)求AC 的长．4．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 的中点，连接AD ，CBE 45∠=︒，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ，若AB 13,BC 10==，求AF 的长度．5．如图，在四边形ABCD 中，AB =13，BC =5，CD =15，AD =9，对角线AC ⊥BC ．(1)求AC 的长；(2)求四边形ABCD 的面积．6．如图，在四边形ABDC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，5BD =，CD =(1)连接BC ，求BC 的长；(2)求BCD △的面积．7．如图，已知四边形ABCD中，AB=24，AD=15，BC=20，CD=7，∠ADB+∠CBD=90°．(1)在BD的上方作△A'BD，使△A'BD≌△ADB(点A与点'A不重合)(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求四边形ABCD的面积．8．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．(1)求证：∠A＝90°；(2)若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的长．9．在图中，A (1，3)，B (﹣2，0)和C (2，﹣4)是一个直角三角形的顶点．(1)求AB 和BC 的长度，答案以根式表示；(2)求△ABC 的面积．10.如图，已知在ABC ∆中，AB AC =，D 为BC 边的中点，过点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为E ，F .(1)求证：DE DF =；(2)若60A ∠=︒，1BE =，求ABC ∆的周长.11.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，求OM的长．答案一、选择题1．C.2．A.3．B ．4.C.5.D ．6.C ．7.C ．8.B ．9.C ．10.C.11.A ．12.B.13.D.二、填空题1.32.④3.44.3．5.72cm 2．三、解答题1．解：连接AC ．∵在Rt ACB △中，3AB =，4CB =，∴5AC ==．在ACD △中，∵22222251213AC AD DC +=+==， ∴ADC 为直角三角形． ∴该图形的面积为11512342422ADC ACB S S -=⨯⨯-⨯⨯=△△． 2．解：(1)∵DE 是线段AB 的垂直平分线，AB=8 ∴AE=EB=4，∠AED=90°；在直角△ADE 中，AE=4，DE=3，∴5==AD ；∵AC=18，∴DC=AC-AD=13；(2)△BCD 是直角三角形．理由如下：∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∴DB=AD=5；在△BCD 中，BD=5，BC=12，CD=13.∵22251213+=∴222BD BC CD +=∴△BCD 是直角三角形3．证明：(1)15,9,12,BC BD CD ===2222229128114422515,BD CD BC ∴+=+=+===90,CDB ∴∠=︒.CD AB ∴⊥(2),9,AB AC BD ==设,AD x = 则9,AB x AC =+=90,CDB ∠=︒12,CD =90,CDA ∴∠=︒222,AC AD CD ∴=+()222912,x x ∴+=+ 1863,x ∴=7,2x ∴= 7259.22AC ∴=+= 4．解：AB AC AD BC =⊥，， BD CD ∴=，10BC =，5BD ∴=，Rt ABD 中，13AB =，12AD ∴===，Rt BDF 中，45CBE ∠=，BDF ∴是等腰直角三角形，5DF BD ∴==，1257AF AD DF ∴=-=-=．5．(1)AC BC ⊥，ABC ∴是直角三角形，13,5AB BC ==，2222213514412AC AB BC AC ∴=-=-==，；(2)15,9,12CD AD AC ===，222AC AD CD ∴+=， ACD ∴是直角三角形，则四边形ABCD 的面积为1122Rt ABC Rt ACD S S AC BC AC AD +=⋅+⋅， 1112512922=⨯⨯+⨯⨯， 84=，即四边形ABCD 的面积为84．6．(1)∵在ABC 中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，∴10BC =；(2)∵10BC =，5BD =，CD =∴222222105125,125BC BD CD +==+==，即222BC BD CD +=，∴BCD △是直角三角形，且90CBD ∠=︒，∴BCD △的面积为115102522BD BC ⋅=⨯⨯=．7．解：(1)如图1所示，△A′BD即为所求；(2)由(1)中作图得知：∠A′BD=∠ADB，A′B=AD=15，A′D=AB=24，连接A′C，如图2，∵∠ADB+∠CBD=90°，∴∠A′BD+∠CBD=90°，即∠A′BC=90°，∴A′B2+BC2=A′C2，∵A ′B=15，BC=20，∴A ′C=25，在△A ′CD 中，A ′D=24，CD=7，∴A ′D 2+CD 2=576+49=625，∵A ′C 2=625，∴A ′D 2+CD 2=A ′C 2．∴△A ′DC 是直角三角形，且∠A ′DC=90°，∴S 四边形A ′BCD ＝S △A ′BC +S △A ′CD 11201524723422⨯⨯+⨯⨯＝＝， ∵S △A'BD =S △ABD ，∴S 四边形ABCD =S 四边形A'BCD =234．8．(1)证明：连接CD ，∵BC 的垂直平分线DE 分别交AB 、BC 于点D 、E ， ∴CD ＝DB ，∵BD 2﹣DA 2＝AC 2，∴CD 2﹣DA 2＝AC 2，∴CD 2＝AD 2+AC 2，∴△ACD 是直角三角形，且∠A ＝90°；(2)解：∵AB ＝8，AD ：BD ＝3：5，∴AD ＝3，BD ＝5，∴CD ＝BD ＝5，∴在Rt ACD △中，4AC ==．9．=，= (2)∵=且AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC =90°，则△ABC的面积为111222AC BC ⨯⨯=⨯=．10.(1)证明: ∵DE ⊥AB,DF ⊥A ，∴∠BED=∠CFD=90°，∵AB=AC ，∴∠C=∠B ，∵D 是BC 的中点，∴.BD=CD ，在△BED 和△CFD 中,BED CFD B CBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BED ≌△CFD ，∴DE=DF ；(2)解：∵AB=AC, ∠A=60°，∴△ABC 为等边三角形，.∴∠B=60°， ∵∠BED=90°，∴∠BDE=30°，∴12BE BD =， ∵BE=1，∴BD=2，∴BC=2BD=4.∴△ABC 的周长为12.11.解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，∠AOB=60º，OP＝12，∴OD＝12OP=6，∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，∴MD＝ND＝12MN＝1，∴OM＝OD－MD＝6－1＝5．。
北师大版 八年级数学下册1.2直角三角形 直角三角形全等的判定(HL)-讲练课件-(共28张PPT)
A．HL
B．SAS
C．ASA
D．SSS
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB于点D.若
∠B＝28°，则∠AEC＝（ B ）
A．28°
B．59°
C．60°
D．62°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，ED⊥BC于点D，AB＝
BD，若AC＝8，DE＝3，则EC的长为 5 ．
B．AB＝AB
C．∠ABC＝∠ABD
D．∠BAC＝∠BAD
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若
AC＝6 cm，则AE＋DE等于（ C ）
A．4 cm
B．5 cm
C．6 cm
D．7 cm
4．如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.
( 1 )若以“SAS”为依据，需添加的一个条件为 AB＝CD ；
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ
＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当
AP＝ 5或10 时，△ABC和△PQA全等．
7．【教材P35复习题T13变式】如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别
为点C，D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F.求证：
= ，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．
∴∠ABC＝∠BAD.
3.如图，△ABC和△DEF为直角三角形，∠ABC＝∠DEF＝90°，边
BC，EF在同一条直线上，斜边AC，DF交于点G，且BF＝CE，AC＝DF.
求证：GF＝GC.
证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BC＝EF.
数学北师大版八年级下册直角三角形1.2 直角三角形 同步练习(含答案)
1.2直角三角形一、选择题1．下列命题中，是真命题的是（）A．相等的角是对顶角B．两直线平行，同位角互补C．等腰三角形的两个底角相等D．直角三角形中两锐角互补2．若三角形三边长之比为1∶2，则这个三角形中的最大角的度数是（）A．60°B．90°C.120°D．150°3．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于（）A∶1∶2 B．1∶2C．1∶2 D．2∶14．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．相等或互余5．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是（）A．一边和这边上的高对应相等B．两边和第三边上的高对应相等C．两边和其中一边的对角对应相等；D．两个直角三角形中的斜边对应相等二、填空题6．在等腰三角形中，腰长是a，一腰上的高与另一腰的夹角是30°，则此等腰三角形的底边上的高是．7．已知△ABC中，边长a，b，c满足a2＝13b2＝14c2，那么∠B＝ .8．如图1－46所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为海里（结果保留根号）．三、解答题9．已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝103cm，底边BC＝163cm，求底边上的高AD的长．10．如图1－47所示，把矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点F处，若AB＝12 cm，BC＝16 cm．（1）求AE的长；（2）求重合部分的面积．11．如图1－48所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处．（1）求证B′E＝BF；（2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给出证明．12．三个牧童A，B，C在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时，他们所需走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图1－49（1）所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过了一段时间，牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案．牧童B的划分方案如图1－49（2）所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧童C的划分方案如图1－49（3）所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等．（1）牧童B的划分方案中，牧童（填“A”“B”或“C”）在有情况时所需走的最大距离较远．（2）牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?（提示：在计算时可取正方形边长为2）参考答案1．C [提示：可以举出例子说明A ，B ，D 为假命题．]2．B [提示：设三边长分别为a ，a ，2a ，则a 2+）2＝（2a ）2，为直角三角形．3．D [提示：∠A ＝90°，∠B ＝30°，∠C ＝60°．]4．C [提示：如图1－50（1）所示，已知AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，AD ⊥BC 于点D ，A ′D ′上B ′C ′于D ′点，且AD ＝A ′D ′，根据HL 可判定Rt △ABD ≌Rt △A ′B ′D ′，从而证得∠B ＝∠B ′．如图1－50（2）所示，可知此时两角互补．]5．B [提示：利用HL 可证明．]6．12a a [提示：由题意可以画出如图1—51所示的两种情况．]7．60°[提示：b 2=3a 2，c 2=4a 2 c 2=a 2+b 2，b a ，c =2A ．8． [提示：在Rt △ACP 中，APC =45°，AP ,∴AC =PC =40．在Rt △PCB中，∠PBC =30°，BC , ∴AB =AC +BC . ]9．解：∵AD 为底边上的高∴BD =CD =12BC =12×163=83(cm )．在Rt △ABD 中由勾股定理，得AD =cm 10．解：(1) ∵∠CBD = ∠ FBD (轴对称图形的性质)，又∠CBD =∠ADB (两直线平行，内错角相等)，∴∠FBD =∠ADB (等量代换)．∴EB =ED (等角对等边)．设AE =xcm ，则DE =(16一x )cm ，即EB =(16一x )cm ，在Rt △ABE 中，AB 2=BE 2一AE 2即l 22=(16一x )2一x 2，解得x =3．5．即AE的长为3．5 cm．(2)BA⊥AD，∴S△BDE=12DE•BA=12×(1 6—3.5)×12=75(cm2)．11．(1)证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE．在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E．∴B′E=BF．(2)解：a，b ,f三者关系有两种情况．①a，b,c三者存在的关系是a2十b2=c2.证明如下：连接BE，则BE= B′E．由(1)知B′E=BF=c∴BE=C．在△ABE中，∠A=90°∴AE2+AB2=BE2∵AE=a AB=b，∴a2+b2=c2．②A．b，c三者存在的关系是a+b>c证明如下：连接BE，则BE=B′E．由(1)知B′E=BF=c，BE=f．在△ABE中，AE+AB>BE∴a+b>c.12．解：(1)C [提示：认真观察，用圆规或直尺进行比较，此方法适用于标准作图．] (2)牧童C的划分方案不符合他们商量的．划分原则．理山如下：如图1－52所示，在正方形DEFG中，四边形HENM，MNFP，DHPG都是矩形，且HN=NP=HG，则EN=NF，S矩形HENM=S矩形MNFP，取正方形边长为2．设HD=x，则HE=2一x,在Rt△HEN和Rt△DHG中，由HN=HG，得EH2+EN2=DH2+DG2，即(2一x)2+l2=x2+22，解得x =14,∴HE=2－x =74,∴S矩形HENM=S矩形MNFP=1×74=74,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则．。
北师大版八年级下册数学直角三角形专项训练(原创)
本题考查的知识点是三角形的内角和以及勾股定理，通过三角形三角之间的比例关系确定三角形为等腰直角三角形是解此题的关键．
2．B
【来源】2014-2015学年广东省揭西县张武帮中学八年级上学期期中数学试卷（带解析)
【解析】
在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，推断出62+82=102，由勾股定理的逆定理得此三角形是直角三角形，故选B．
AD BC，BC=2BD.
∠ADB=90°
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD= = =4
BC=2BD=2×4=8.
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.
7．A
【来源】江苏省丰县欢口镇欢口初级中学2019-2020学年九年级下学期阶段检测数学试题
【解析】
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形面积公式；证明△ABC是直角三角形是解题的关键．
15．
【来源】上海市静安区实验中学九年级下学期沪教版五四制第一轮复习直角三角形
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式可知．
【详解】
∵一个三角形的三边的长分别是 =1， ，
又∵12+（ ）2=（ ）2，
【解析】
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余可得到∠AED的度数，再根据平行线的性质即可得到∠C的度数．
【详解】
解：∵∠A=90°，∠ADE=30°，
∴∠AED=90°-30°=60°，
又∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED=60°，
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查了基本几何图形中的角度计算，解题的关键是熟知直角三角形的两个锐角互余以及平行线的性质．
北师大版八年级下册2 直角三角形
判定其全等.
2 直角三角形
题型五 识别互逆命题的真假
例题5 综写出下列命题的逆命题, 并判断逆命题的真假. (1)如果x=y,那么x2 =y2； (2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角； (3)如果a=b, 那么a-b =0； (4)如果a>b, 那么ac2>bc2； (5) 如 果 ∠ α 与 ∠ β 是邻补角 , 那 么 ∠ α +∠β=180°； (6)如果一个三角形的两个内角相等, 那么这两个内角所对的边相等．
2 直角三角形
锦囊妙计
判定两直角三角形全等的方法
(1)当有一条直角边和斜边对应相等时, 用“HL”判定其全等；
(2)当有两条直角边对应相等时, 用“SAS”判定其全等；
(3)当有一个锐角和斜边对应相等时, 用“AAS”判定其全等；
(4)当有一条直角边和一个锐角对应相等时, 用“AAS”或“ASA”
2 直角三角形
题型四 直角三角形全等的判定
例题4 木工师傅常用两个三角尺来平分一 个任意的锐角, 如图1-2-9, 在已知∠AOB的 两边上分别取OM=ON, 再分别过点M, N作 OA, OB的垂线, 交点为P, 画射线OP, 则OP 就是∠AOB的平分线, 说明其中的道理．
2 直角三角形
解 在Rt△OMP与Rt△ONP中, ∵OM=ON, OP=OP, ∴Rt△OMP≌Rt△ONP, ∴∠MOP=∠NOP, 即OP是∠AOB的平分线．
答案 15
2 直角三角形
锦囊妙计
巧用勾股定理求最短路程 解决此类问题, 通常“化曲面为平面”, 根据“两点之间线段最 短”确定最短路径；然后构造直角三角形, 利用勾股定理求解. 这是 解决最短路径问题重要而常见的思路.
北师大版八下数学《直角三角形》典例剖析(含答案)
“直角三角形”典例剖析勾股定理及其逆定理，互逆命题（定理），直角三角形的判定是直角三角形这一节的重要知识，下面就其典型题举例分析.一、勾股定理及其逆定理的应用㈠ 涉及线段的平方，考虑应用勾股定理或其逆定理证明例1 已知ΔABC 是直角三角形，E 、D 分别是直角边AB 、BC 上的任意点. 求证：2222AD CE AC DE +=+.分析：如图1，此题存在条件直角三角形，且所要证明的是线段的平方之间的关系，因此考虑应用勾股定理证明.所要证明的等式中的四条线段分属于四个直角三角形的斜边，只要应用勾股定理将四个直角三角形中的边的关系列出，便可得证.证明：∵ΔABD ，ΔCEB 都是直角三角形，∴222AD AB BD =+， 222CE BE BC =+.∴222222AD CE AB BD BE BC +=+++.同理可得：222222AC DE AB BC BD BE +=+++.∴2222AD CE AC DE +=+.㈡ 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形.例 2 在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是,,a b c ，且2a c b +=，12c a b -=，则ΔABC 的形状是（ ）A.直角三角形B. 等边三角形C.等腰三角形D. 等腰直角三角形 分析：要判断ΔABC 的形状关键是利用条件得到三边之间的关系. 将题目中的两式相乘，得222c a b -=，即222a b c +=，因此ΔABC 的形状是直角三角形，答案选A.二、逆命题的说法及其真假的判断例3 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.⑴ 等腰三角形的两个底角相等.⑵ 全等三角形的对应角相等.⑶ 如果a b =，那么22a b =.分析：一对互逆命题的条件、结论正好相反，据此可写出命题的逆命题，但应该注意的是在条件、结论互换的同时，由于条件变了，说法也应相应地改变，以避免出现知识上的错误. 判断命题的真假，可以据相关的定理、法则判断，也可以试举反例，或加以证明等.解：⑴ 逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，原命题，逆命题都是真命题（都是定理）.⑵ 逆命题为“角对应相等的两个三角形是全等三角形”，原命题是真命题，逆命题是假命题（没有边对应相等的条件）.⑶ 逆命题为“如果22a b =，那么a b =”，原命题是真命题，逆命题是假命题（说法不全面，少了a b =-的结论）.点评：⑴的逆命题，同学们最易这样说“两个底角相等的三角形是等腰三角形”，由于条件不再是等腰三角形，因此不存在底角，所以此说法是错误的. ⑵中，最易说出这样的逆命题“对应角相等的三角形是全等三角形”，由于条件不再是全等三角形，因此不存在对应角，所以此说法错误.三、直角三角形全等的判定.例4 如图2，BD 、CE 是三角形ΔABC 的高，且BD=CE. 求证：ΔABC 是等腰三角形.分析：要证ΔABC是等腰三角形，只要证明两边相等，或两角相等即可，由此题条件，可考虑利用全等三角形证明. 观察图形，发现CE、BD所在的三角形有两对，即ΔABD与ΔACE，ΔEBC与ΔDCB，可证明任一对三角形全等. 显然，ΔABD与ΔACE可利用AAS证明全等，得AB＝AC，因此ΔABC是等腰三角形；ΔEBC与ΔDCB，可通过HL证明全等，得∠ABC＝∠ACB，因此ΔABC 是等腰三角形.证明：略.。
北师版八年级数学下册等腰三角形直角三角形综合练习题含答案(K12教育文档)
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4等腰三角形的性质1D 2C 3A 4C 5B 6 60 7 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合 8 90°+1/2n° 9 70°10略11 20= 2AB+BC 16=AB+1/2BC+AD 2AD=12 AD=612略等腰三角形的判定1A 2C 3A 4C角平分线上的点到两角边的高相等 5 1 6 AB=AC 7 2cm9方法一等腰三角形的性质法二证两个大三角形全等再证两个小三角形全等10略11等边三角形1C 2 D 第四个是等边三角形。
理由如下: ∵等腰三角形一腰上的中线也是这条腰上的高，∴这条中线是这条腰的垂直平分线∴腰与底边相等∴这个等腰三角形是等边三角形. 3A 4C 5 B∵AB=AC，∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD ∴AE=AD,∠BAC=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形6。
60°7。
70°8。
3，三边的高，也是过边中点并垂直于边的直线同时也是角平分线9.1cm 11 ∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B＝∠C＝30°∵AD⊥AC∴△ACD为直角三角形∴DC=2AD （30°角所对的直角边是斜边的一半)∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°—90°=30°∴∠B＝∠BAD∴BD=AD （等角对等边)∴BC=BD+CD=3AD12 证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°,BC=AC=AB，EC=CD=ED，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC＝AC∠BCE＝∠ACDCE＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS）；(2）∵△BCE≌△ACD，∴∠CBF=∠CAH．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACH=60°．∴∠BCF=∠ACH，在△BCF和△ACH中，∠CBF＝∠CAHBC＝AC∠BCF＝∠ACH，∴△BCF≌△ACH（ASA)，∴CF=CH；（3）∵CF=CH,∠ACH=60°，∴△CFH是等边三角形．(4)∵△CHF为等边三角形∴∠FHC=60°，∵∠HCD=60°,∴FH∥BD．13.连接CE, ∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，在△BCE与△ACE中，AC＝BCAE＝BECE＝CE∴△BCE≌△ACE（SSS），∴∠BCE=∠ACE=30°∵BE平分∠DBC，∴∠DBE=∠CBE，在△BDE与△BCE中，BD＝BC∠DBE＝∠CBEBE＝BE,∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°．直角三角形1。
北师大版八下数学《直角三角形》典例剖析(含答案)
“直角三角形”典例剖析勾股定理及其逆定理，互逆命题（定理），直角三角形的判定是直角三角形这一节的重要知识，下面就其典型题举例分析.一、勾股定理及其逆定理的应用㈠ 涉及线段的平方，考虑应用勾股定理或其逆定理证明例1 已知ΔABC 是直角三角形，E 、D 分别是直角边AB 、BC 上的任意点. 求证：2222AD CE AC DE +=+.分析：如图1，此题存在条件直角三角形，且所要证明的是线段的平方之间的关系，因此考虑应用勾股定理证明.所要证明的等式中的四条线段分属于四个直角三角形的斜边，只要应用勾股定理将四个直角三角形中的边的关系列出，便可得证.证明：∵ΔABD ，ΔCEB 都是直角三角形，∴222AD AB BD =+， 222CE BE BC =+.∴222222AD CE AB BD BE BC +=+++.同理可得：222222AC DE AB BC BD BE +=+++.∴2222AD CE AC DE +=+.㈡ 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形.例 2 在ΔABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是,,a b c ，且2a c b +=，12c a b -=，则ΔABC 的形状是（ ）A.直角三角形B. 等边三角形C.等腰三角形D. 等腰直角三角形 分析：要判断ΔABC 的形状关键是利用条件得到三边之间的关系. 将题目中的两式相乘，得222c a b -=，即222a b c +=，因此ΔABC 的形状是直角三角形，答案选A.二、逆命题的说法及其真假的判断例3 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.⑴ 等腰三角形的两个底角相等.⑵ 全等三角形的对应角相等.⑶ 如果a b =，那么22a b =.分析：一对互逆命题的条件、结论正好相反，据此可写出命题的逆命题，但应该注意的是在条件、结论互换的同时，由于条件变了，说法也应相应地改变，以避免出现知识上的错误. 判断命题的真假，可以据相关的定理、法则判断，也可以试举反例，或加以证明等.解：⑴ 逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，原命题，逆命题都是真命题（都是定理）.⑵ 逆命题为“角对应相等的两个三角形是全等三角形”，原命题是真命题，逆命题是假命题（没有边对应相等的条件）.⑶ 逆命题为“如果22a b =，那么a b =”，原命题是真命题，逆命题是假命题（说法不全面，少了a b =-的结论）.点评：⑴的逆命题，同学们最易这样说“两个底角相等的三角形是等腰三角形”，由于条件不再是等腰三角形，因此不存在底角，所以此说法是错误的. ⑵中，最易说出这样的逆命题“对应角相等的三角形是全等三角形”，由于条件不再是全等三角形，因此不存在对应角，所以此说法错误.三、直角三角形全等的判定.例4 如图2，BD 、CE 是三角形ΔABC 的高，且BD=CE. 求证：ΔABC 是等腰三角形.分析：要证ΔABC是等腰三角形，只要证明两边相等，或两角相等即可，由此题条件，可考虑利用全等三角形证明. 观察图形，发现CE、BD所在的三角形有两对，即ΔABD与ΔACE，ΔEBC与ΔDCB，可证明任一对三角形全等. 显然，ΔABD与ΔACE可利用AAS证明全等，得AB＝AC，因此ΔABC是等腰三角形；ΔEBC与ΔDCB，可通过HL证明全等，得∠ABC＝∠ACB，因此ΔABC 是等腰三角形.证明：略.。