2012高考四川理科数学精彩试题及问题详解(高清版)

2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(卷)参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)＝P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率P n(k)＝C knp k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)球的表面积公式S＝4πR2其中R表示球的半径球的体积公式V＝43πR3其中R表示球的半径第一部分(选择题共60分)本部分共12小题，每小题5分，共60分．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．)(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．212．复数2(1i)2i-=( )A．1 B．－1 C．i D．－i3．函数293()3ln(2)3xxf x xx x⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩，，，在x＝3处的极限( )A．不存在 B．等于6C．等于3 D．等于0A．101 B．808 C．1 212 D．2 0124．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连结EC，ED，则sin∠CED ＝( )A ．10 B ．10C ．10D ．155．函数y ＝a x－1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )6．下列命题正确的是( )A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 7．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b a b 成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |8．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( )A ．22B ．23C ．4D ．259．某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元10．如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作与平面α成45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足∠BOP ＝60°，则A ，P 两点间的球面距离为( )A ．2arccos4R B ．π4RC ．3arccos RD ．π3R11．方程ay ＝b 2x 2＋c 中的a ，b ，c ∈{－3，－2,0,1,2,3}，且a ，b ，c 互不相同．在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有( )A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条12．设函数f (x )＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 5)＝5π，则[f (a 3)]2－a 1a 5＝( )A ．0B ．21π16 C ．21π8 D ．213π16第二部分 (非选择题 共90分)本部分共10小题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(U A )∪(U B )＝________. 14．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．15．椭圆22143x y+=的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B．当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．16．记[x]为不超过实数x的最大整数．例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{x n}满足x1＝a，1[] 2nnna xxx+⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(n∈N*)．现有下列命题：①当a＝5时，数列{x n}的前3项依次为5,3,2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n＝x k；③当n≥1时，x n－1；④对某个正整数k，若x k＋1≥x k，则x k＝．其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某居民小区有两个相互独立的安全防系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ.18．函数2()6cos32xf x xωω=-(ω＞0)在一个周期的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f (x )的值域； (2)若0()f x =，且x 0∈(103-，23)，求f (x 0＋1)的值． 19．如图，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝90°，∠PAB ＝60°，AB ＝BC ＝CA ，平面PAB⊥平面ABC ．(1)求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小； (2)求二面角B －AP －C 的大小．20．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值； (2)设a 1＞0，数列110lgn a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．21．如图，动点M 与两定点A (－1,0)，B (2,0)构成△MAB ，且∠MBA ＝2∠MAB ．设动点M 的轨迹为C ．(1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y ＝－2x ＋m 与y 轴相交于点P ，与轨迹C 相交于点Q ，R ，且|PQ |＜|PR |，求||||PR PQ 的取值围． 22．已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线y ＝－x 2＋2na 与x 轴正半轴相交于点A ．设f (n )为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距．(1)用a 和n 表示f (n )；(2)求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；(3))当0＜a ＜1时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由． 1． D 含x 2的项是展开式中的第三项T 3＝27C x 2＝21x 2，所以x 2的系数是21.2． B22(1i)12i i 2i12i 2i 2i--+-===-.3． A 当x ＜3时，33329lim ()limlim (3)63x x x x f x x x →→→-==+=-； 当x ＞3时，33lim ()limln(2)0x x f x x →→=-=.由于f (x )在x ＝3处的左极限不等于右极限，所以函数f (x )在x ＝3处的极限不存在．4． B 因为四边形ABCD 是正方形，且AE ＝AD ＝1，所以∠AED ＝π4. 在Rt △EBC 中，EB ＝2，BC ＝1，所以sin ∠BEC ＝55，cos ∠BEC ＝255.sin ∠CED ＝sin(π4－∠BEC )＝22cos ∠BEC －22sin ∠BEC ＝225510()25510-=. 5． D 当x ＝－1时，y ＝a －1－1a＝0，∴函数图象恒过(－1,0)点，显然只有D 项符合，故选D 项．6．C 若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A 项不正确错；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，则经过这三个点的平面与这个平面相交，B 项不正确；如图，平面α∩β=b ，a ∥α，a ∥β，过直线a 作平面ε∩α=c ，过直线a 作平面γ∩β=d ，∵a ∥α，∴a ∥c ，∵a ∥β，∴a ∥d ，∴d ∥c ，∵c α，d α，∴d ∥α，又∵d β，∴d ∥b ，∴a ∥b ，C 项正确；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面可平行、可相交，D 项不正确．7．C 因为||||=a b a b ，则向量||a a 与||b b 是方向相同的单位向量，所以a 与b 共线同向，即使||||=a b a b 成立的充分条件为C 项． 8． B 由抛物线定义，知2p ＋2＝3，所以p ＝2，抛物线方程为y 2＝4x .因为点M (2，y 0)在抛物线上，所以0=22y ±20||423OM y =+=9． C 设某公司生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，获利为z 元，则x ，y 满足的线性约束条件为212,212,x yx yx xy y+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥∈⎪⎪≥∈⎩且且Z,Z,目标函数z＝300x＋400y.作出可行域，如图中四边形OABC的边界及其部整点．作直线l0：3x＋4y＝0，平移直线l0经可行域点B时，z取最大值，由212212x yx y+=⎧⎨+=⎩，，得B(4,4)，满足题意，所以z max＝4×300＋4×400＝2 800.10．A 过点A作AH⊥平面BCD，∵平面BCD与底面所成的角为45°，AO⊥平面α，且点B为交线上与平面α的距离最大的点，∴点H在OB上，且∠AOB=45°.过点H作HM⊥OP，垂足为M，连接AM，在等腰直角三角形AOH中，AH=OHR.在Rt△HOM中，∠HOP=60°，∴HM=OH·24R=.在Rt△AHM中，AM====，则在Rt△AMO中，4sin4RAOPR∠==，∴cos∠AOP，∴AOP∠=，∴A，P两点的球面距离为arccos4R11． B 因为a ，b 不能为0，先确定a ，b 的值有25A 种，则c 有14C 种，即所形成的抛物线有2154A C 80=条．当b ＝±2时，b 2的值相同，重复的抛物线有1133C C 9=条；当b ＝±3时，b 2的值相同，重复的抛物线有1133C C 9=条，所以不同的抛物线共有21115433A C 2C C 62-=条．12． D 因为{a n }是以π8为公差的等差数列，所以a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π8，a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4，则f (a 1)＝2a 3－π2－cos(a 3－π4)，f (a 2)＝2a 3－π4－cos(a 3－π8)，f (a 3)＝2a 3－cos a 3，f (a 4)＝2a 3＋π4－cos(a 3＋π8)，f (a 5)＝2a 3＋π2－cos(a 3＋π4)．所以f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＋f (a 5)＝10a 3－[cos(a 3－π4)]＋cos(a 3－π8)＋cos a 3＋cos(a 3＋π8)＋[cos(a 3＋π4)] ＝10a 3－(2cos a 3＋cos a 3＋2cos π8cos a 3)＝10a 3－(2＋1＋2cos π8)cos a 3＝5π.则a 3＝π2.于是a 1＝a 3－π4＝π4，a 5＝a 3＋π4＝3π4，f (a 3)＝2×π2－cos π2＝π.故[f (a 3)]2－a 1a 5＝π2－π4×3π4＝213π16.13．答案：{a ，c ，d }解析：U A ＝{c ，d }，U B ＝{a }，所以(U A )∪(U B )＝{a ，c ，d }．14．答案：90°解析：如图，以点D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系D －xyz . 设正方体的棱长为2，则1MA ＝(2，－1，2)，DN ＝(0,2,1)，10MA DN ⋅=，故异面直线A 1M 与ND 所成角为90°.15．答案：3解析：设椭圆的右焦点为F1，则|AF|＝2a－|AF1|＝4－|AF1|，∴△AFB的周长为2|AF|＋2|AH|＝2(4－|AF1|＋|AH|)．∵△AF1H为直角三角形，∴|AF1|＞|AH|，仅当F1与H重合时，|AF1|＝|AH|，∴当m＝1时，△AFB的周长最大，此时S△FAB＝12×2×|AB|＝3.16．答案：①③④解析：当a＝5时，x1＝5，251 []32x+==，353[]3[]22x+==，①正确．当a＝1时，x1＝1，211[]1 []12x+==，x3＝1，x k恒等于1=；当a＝2时，x1＝2，2213 [][]1 22x+===，321[]31[][]122x+===，所以当k ≥2时，恒有1k x ==；当a ＝3时，x 1＝3，231[]22x +==，332[]32[][]122x +====，431[]1[]22x +==，532[]32[][]122x +===，613[]22x +==， 所以当k 为偶数时，x k ＝2，当k 为大于1的奇数时，x k ＝1，②不正确．在x n ＋[n a x ]中，当n a x 为正整数时，x n ＋[n a x ]＝x n ＋nax≥∴1[][]2n n n a x x x ++=≥=；当n a x 不是正整数时，令[n a x ]＝n a x －t ，t 为[na x ]的小数部分，0＜t ＜1，1[][]=[][]]2222n n n n n a a x x tx x t tx +++-=>==，∴x n ＋1≥]，∴x n≥]，即x n1，③正确．由以上论证知，存在某个正整数k ，若x k ＋1≥x k ，则x k ＝]，④正确． 17．解：(1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1491()11050P C p -=-⋅=. 解得15p =. (2)由题意，P (ξ＝0)＝03311C ()101000=， P (ξ＝1)＝1231127C ()(1)10101000⋅-=， P (ξ＝2)＝22311243C ()(1)10101000⋅-=， P (ξ＝3)＝3331729C (1)101000-=.故随机变量ξ127243729270123100010001000100010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 18．解：(1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ωx ＝ωx ＋π3)． 又正三角形ABC 的高为BC ＝4.所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2π8ω=，π4ω=.函数f (x )的值域为[-．(2)因为0()f x =，由(1)有00ππ())43x f x =+=，即0ππ4sin()435x +=.由x 0∈(103-，23)，知0ππππ,4322x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以0ππ3cos 435x ⎛⎫∈+== ⎪⎝⎭.故00πππ(1))443x f x +=++＝0πππ()434x ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝00ππππππsin()cos cos sin 434434x x ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎦＝435252⨯+⨯=. 19．解：解法一：(1)设AB 的中点为D ，AD 的中点为O ，连结PO ，CO ，CD ．由已知，△PAD 为等边三角形．所以PO ⊥AD ．又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AD ， 所以PO ⊥平面ABC ．所以∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角．不妨设AB =4，则PD =2，CD =OD =1，PO =.在Rt △OCD 中，CO =.所以，在Rt △PO C 中，tan PO OCP CO ∠===.故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为arctan 13.(2)过D 作DE ⊥AP 于E ，连结CE . 由已知可得，CD ⊥平面PAB ． 根据三垂线定理知，CE ⊥PA ．所以∠CED 为二面角B －AP －C 的平面角．由(1)知，DE =在Rt △CDE 中，tan 2CD CED DE ∠===. 故二面角B －AP －C 的大小为arctan 2.解法二：(1)设AB 的中点为D ，作PO ⊥AB 于点O ，连结CD ． 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AD ， 所以PO ⊥平面ABC ． 所以PO ⊥CD ．由AB =BC =CA ，知CD ⊥AB ． 设E 为AC 中点，则EO ∥CD ，从而OE ⊥PO ，OE ⊥AB ．如图，以O 为坐标原点，OB ，OE ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .不妨设PA ＝2，由已知可得，AB ＝4，OA ＝OD ＝1，OP =CD =所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，C (1,23,0)，P )．所以CP ＝(－1，-，而OP ＝(0,0)为平面ABC 的一个法向量． 设α为直线PC 与平面ABC 所成的角，则0sin 416CP OP CP OPα⋅===.故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为arcsin.(2)由(1)有，AP ＝)，AC ＝(2,． 设平面APC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则,0,0AP AP AC AC ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇔⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩n n n n()(()()111111,,0,,,0.x y z x y z ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩从而11110,20.x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩取1x =y 1＝1，z 1＝1，所以n ＝(1,1)．设二面角B －AP －C 的平面角为β，易知β为锐角． 而面ABP 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，则cos ||||||5β⋅===n m n m . 故二面角B －AP －C的大小为20．解：(1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得22a ＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2.③ 若a 2＝0，由①知a 1＝0；若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①④解得，a 1＋1，a 2＝2；或a 1＝1，a 2＝2.综上可得，a 1＝0，a 2＝0；或a 11，a 2＋2；或a 1＝1，a 2＝2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＋1，a 2＋2.当n ≥2时，有(2)a n ＝S 2＋S n ，(2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1)a n ＝(2＋)a n －1，即a na n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1n －1＝＋1)·)n －1.令110lg n na b a =，则b n ＝1－)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝121100lg 2n -.所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为1lg22-)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝10lg 8＞lg1＝0，当n ≥8时，811001lg lg1021282n b b ≤=<=， 故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为1777()7(113lg2)217lg2222b b T ++-===-. 21．解：(1)设M 的坐标为(x ，y )，显然有x ＞0，且y ≠0. 当∠MBA ＝90°时，点M 的坐标为(2，±3)．当∠MBA ≠90°时，x ≠2，由∠MBA ＝2∠MAB ，有22tan tan 1tan MABMBA MAB∠∠=-∠，即2||2||1||21()1y y x y x x +-=--+. 化简可得，3x 2－y 2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x 2－y 2－3＝0上，综上可知，轨迹C 的方程为3x 2－y 2－3＝0(x ＞1)． (2)由222,330y x m x y =-+⎧⎨--=⎩消去y ， 可得x 2－4mx ＋m 2＋3＝0.(*)由题意，方程(*)有两根且均在(1，＋∞)．设f (x )＝x 2－4mx ＋m 2＋3，所以222241,2(1)1430,(4)4(3)0.m f m m m m -⎧->⎪⎪=-++>⎨⎪∆=--+>⎪⎩解得，m ＞1，且m ≠2.设Q ，R 的坐标分别为(x Q ，y Q )，(x R ，y R )，由|PQ |＜|PR |有2R x m =，2Q x m =所以||||R Q x PR PQ x ==1=-+. 由m ＞1，且m ≠2，有117<-+<+且17-+≠. 所以||||PR PQ 的取值围是(1,7)∪(7,7+)．22．解：(1)由已知得，交点A 的坐标为0)．对y ＝－x 2＋12a n 求导得y ′＝－2x ，则抛物线在点A处的切线方程为y x =，即n y a =+.则f (n )＝a n.(2)由(1)知f (n )＝a n，则33()1()11f n n f n n -≥++成立的充要条件是a n ≥2n 3＋1.即知，a n ≥2n 3＋1对所有n 成立．特别地，取n ＝2得到a ≥当a =，n ≥3时，a n ＞4n ＝(1＋3)n ＝1＋1C n ·3＋2C n ·32＋3C n ·33＋…≥1＋1C n ·3＋2C n ·32＋3C n ·33＝1＋2n 3＋12n [5(n －2)2＋(2n －5)] ＞2n 3＋1.当n ＝0,1,2时，显然)n≥2n 3＋1.故a =时，33()1()11f n n f n n -≥++对所有自然数n 都成立．所以满足条件的a.(3)由(1)知f (k )＝a k，则11211()(2)k k nnk kf k f k a a===--∑∑，(1)()(0)(1)1n f f n a a f f a --=--. 下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)k nf f n f k f k f f =->⋅--∑.首先证明：当0＜x ＜1时，21274x x x ≥-.设函数g (x )＝274x (x 2－x )＋1,0＜x ＜1.则812()()43g'x x x =-．当0＜x ＜23时，g ′(x )＜0；当23＜x ＜1时，g ′(x )＞0.故g (x )在区间(0,1)上的最小值g (x )min ＝g (23)＝0.所以，当0＜x ＜1时，g (x )≥0，即得21274x x x ≥-.由0＜a ＜1知0＜a k＜1(k ∈N *)，因此2127 4kk k a a a ≥-，从而11211127()(2)4k k n nn kk kk a f k f k a a ====≥--∑∑∑ ＝127274141n n a a a a a a +--⋅>⋅-- ＝27(1)() 4(0)(1)f f n f f -⋅-.。