抛物线的综合问题
抛物线与相似综合问题
抛物线与相似综合问题【典型例题】如图①，抛物线与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，-3)，设抛物线的顶点为D .（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？；（3）探究坐标轴上是否存在点p ，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．1231.如图①，抛物线y=-x2 +b x +c与直线y=x+5 交于坐标轴上B、C两点，抛物线交x轴于另一点A.（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，PN⊥x轴，垂足为N点，交BC于M点，BC将△PBN的面积分成相等的两部分，求P点坐标；（3）在（2）中，点K在抛物线上，且在第四象限，KE⊥y轴，垂足为E，是否存在这样的点K，使△PBN∽△OKE（BN与EK为对应边），若存在，求出K点坐标．122.在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y=-94(x -2)2 +c 与x 轴交于A 、B 两点，（点A 在点B 左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，sin ∠MOH=552.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）过H 的直线与y 轴相交于点P ，过O 、M 两点作直线PH 的垂线，垂足分别为F 、E ，若HFHE =21时，求点P 的坐标；（3）将（1）中的抛物线沿y 轴折叠，使点A 落在点D 处，连接MD ，Q 为（1）中的抛物线上的一动点，直线NQ 交x 轴于点G ，当Q 点在抛物线上运动时，是否存在点Q ，使△ANG 与△ADM 相似？若存在，求出所有符合条件的直线QG 的解析式；若不存在，请说明理由．3.已知：如图，一次函数y=21x +1的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；二次函数y=21x 2 +b x +c 的图象与一次函数y=21x +1的图象交于B 、C 两点，与x 轴交于D 、E 两点，且D 点坐标为(1，0).（1）求二次函数解析式；（2）求四边形BDEC 的面积S ； （3）在x 轴上是否存在点P ，使得△PBC 是以P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P ，若不存在，请说明理由．4.设抛物线y=a x 2 +b x -2与x 轴交于两个不同的点A (-1，0) 、B (m ，0) ，与y 轴交于点C.且∠ACB=90ｏ.（1）求m 的值；（2）求抛物线的解析式，并验证点D (1，-3) 是否在抛物线上；（3）已知过点A 的直线y=x +1交抛物线于另一点E. 问：在x 轴上是否存在点P ，使以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似？若存在，请求出所有符合要求的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图①，在平面直角坐标系中，有点M (0，-m) 、D (-42m ，0) ，且∠BMD=90ｏ，（m>0），抛物线y=a x 2+(a +4)x +4过点B ，与x 轴交于A 点，与y 轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，直线PC 交直线MD 于N ，若有MN=MB ，求P 点的坐标；（3）如图②，点E 在第四象限，且∠AEB=90ｏ，对称轴交x 轴于S 点，直线y=x +1交抛物线对称轴于F 点，连EF ，BK 平分∠ABE 交EF 于K ，KG ⊥AB 于G ，则EFKG+AS 的值是否发生变化，若不变，求其值．6.如图①，已知抛物线的顶点为A(2，1) ，且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点M ，使得△AOM 的内心正好在直线y=-x 上；（3）连接OA 、AB ，如图②，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．1212N。
高中数学 抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线经典结论和例题方程1. 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y = 将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-所以2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--，即0y p k AB =，同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是( )A．4 B．3 3 C．4 3 D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题例5、已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．例6、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值例7、已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．(2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于( ) A．4 2 B．8C．8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 8．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为π4，求△POM的面积．解析一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5. (2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p 2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)；设 OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16. 当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.例7 、(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB |＝2r ＝564＋32b ＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485，则圆心Q 的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x －245)2＋(y ＋4)2＝16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2. 6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8C ．8 3D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.11 10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a 4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a 4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a 4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为 y 2＝－2px (p >0)，则－p 2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x . (2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1，∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14．解：设点M (y 214，y 1)，P (y 224，y 2)，∵P ，M ，A 三点共线，∴k AM ＝k PM ，即y 1y 214＋1＝y 1－y 2y 214－y 224，即y 1y 21＋4＝1y 1＋y 2，∴y 1y 2＝4. ∴ OM · OP ＝y 214·y 224＋y 1y 2＝5.∵向量 OM 与 OP 的夹角为π4，∴| OM |·|OP |·cos π4＝5.∴S △POM ＝12| OM | ·| OP | ·sin π4＝52.。
抛物线专题(附答案)
抛物线专题考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换1.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和的最小值为【[解析]过点P 作准线的垂线l 交准线于点R ，由抛物线的定义知，PR PQ PF PQ +=+，当P 点为抛物线与垂线l 的交点时，PR PQ +取得最小值，最小值为点Q 到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为32. 已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当MF MA +最小时, M 点坐标是 ( )A. )0,0(B. )62,3(C. )4,2(D. )62,3(-[解析] 设M 到准线的距离为MK ,则MK MA MF MA +=+|||，当MK MA +最小时，M 点坐标是)4,2(，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程3.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.[解析] (1)设所求的抛物线的方程为22y px =-或22(0)x py p =>, ∵过点(-3,2) ∴229)3(24⋅=--=p p 或 ∴2934p p ==或 ∴抛物线方程为243y x =-或292x y =,前者的准线方程是1,3x =后者的准线方程为98y =- (2)令0x =得2y =-，令0y =得4x =，∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,42p =, ∴8p =，此时抛物线方程216y x =;焦点为(0,-2)时22p = ∴4p =，此时抛物线方程28x y =-.∴所求抛物线方程为216y x =或28x y =-,对应的准线方程分别是4,2x y =-=.4.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y 2=10x 的条件是____________.（要求填写合适条件的序号）[解析] 用排除法，由抛物线方程y 2=10x 可排除①③④，从而②⑤满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与Y 轴的交点，A 为抛物线上一点,且3||,17||==AF AM ，求此抛物线的方程[解析] 设点'A 是点A 在准线上的射影，则3|'|=AA ，由勾股定理知22|'|=MA ，点A 的横坐标为)23,22(p -，代入方程py x 22=得2=p 或4，抛物线的方程y x 42=或y x 82= 考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证6.设A 、B 为抛物线px y22=上的点,且 90=∠AOB (O 为原点),则直线AB 必过的定点坐标为__________.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置 ［解析］设直线OA 方程为kx y =,由⎩⎨⎧==px y kx y 22解出A 点坐标为)2,2(2k p k p ⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y x k y 212解出B 点坐标为)2,2(2pk pk -，直线AB 方程为221)2(2k pk x k pk y ---=+,令0=y 得p x 2=，直线AB 必过的定点)0,2(p【指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可由A 点坐标用k1-换k 而得。
第15讲 抛物线(七大题型)(教师版)-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义
③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的 4 倍. ④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时， 首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求 一次项的系数，否则，应展开相应的讨论. ⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程 的形式，再求参数 p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一
解得 p 1 或 p 4 ， 2
故抛物线的标准方程为 y2 x 或 x2 = -8 y ，
故选：C
例 10．(2023·宁夏石嘴山·高二平罗中学校考期中)若抛物线 y2 2 px p 0 上一点 P 2, y0 到其准线的距离
为 3，则抛物线的标准方程为( )
A． y2 4x
B． y2 6x
x p 2
|
MF
|
p 2
x0
e=1
y p 2
|
MF
|
y0
p 2
y p 2
|
MF
|
p 2
y0
知识点诠释： (1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；
(2)标准方程中的参数 p 的几何意义是指焦点到准线的距离；p＞0 恰恰说明定义中的焦点 F 不在准线 l 上
这一隐含条件；参数 p 的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于 p 的值，才
所以点 P 到抛物线焦点的距离为 y0 2 3.
故选：B
第8节 抛物线综合探究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程
第8节 抛物线综合探究教材对抛物线的引入，通常从圆锥曲线的第二定义开始．动点到定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e ，若10<<e ，则动点的轨迹是椭圆，若1>e ，则轨迹为双曲线，此时出现一个问题：1=e 时的轨迹是什么？【实验1】抛物线的生成1=e 时的轨迹即是要求动点到定点的距离等于它到定直线的距离．据此，可以作以下探究．【探究步骤】1.隐藏平面直角坐标系；2.作直线AB 和定点C ，过点C 作直线AB 的垂线b ；3.在直线AB 上任取一点D ；4.连结CD ，作CD 的垂直平分线c ；5.过点D 作AB 的垂线交直线c 于点F ，连结CF ；6.由垂直平分线的性质，可知点F 到直线AB 的距离恰好等于F 到点C 的距离，符合题设的要求，由此，跟踪点F ；7.拉动点D ，得到点F 的轨迹，该轨迹被称为抛物线；8.为方便研究，取消对点F 的跟踪，选择“轨迹”工具，依次点击点F 和点D ，得到点F 的轨迹；9.显示平面直角坐标系；10.调节点F 和直线AB 的位置，使得抛物线的顶点为坐标原点，开口分别向左，向右，向上，向下，得到４种抛物线的标准位置及其标准方程．【思考】满足“动点到定点的距离等于它到定直线的距离”的动点轨迹一定是抛物线吗？ 事实并非如此．调整点C 的位置，使之在直线AB 上，观察此时轨迹是什么？GGB 课件显示，此时轨迹未定义．这是因为前面作图的过程中，把点F 设定为CD 的垂直平分线c 与过点D 所作AB 的垂线的交点，当点F 在直线AB 上时，上述两直线恰好平行，无法相交，轨迹未定义．为解决这个问题，打开案例中的“2-6实验3.ggb”课件，调节滑杆e ，使1=e ，调节点F 的位置，使点F 恰好在y 轴上，此时，课件清晰显示轨迹为一条过点F 且与y 轴垂直的直线．【实验2】求折线段距离之和的最值已知定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，点B 是抛物线上的任一点，过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ，求BC AB +的最小值．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出定点)4,1(A 和抛物线x y 42=，在抛物线上任取一点B ；2.过点B 作y 轴的垂线，交y 轴于点C ；3.测量BC AB ,的值，并计算BC AB +；4.拉动点B ，观察BC AB +的最小值． 经实验，发现BC AB +的最小值可能为３．这是因为若设抛物线x y 42=的焦点为F ，则1-=BF BC ，从而1-+=+BF AB BC AB ，对于折线BF AB ,，显然的，当F B A ,,三点共线时，长度最短，即4=≥+AF BF AB ，从而3≥+BC AB ，故本题答案为３．【拓展探究1】设点A 是椭圆13422=+y x 上任一点，点21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，点)2,3(-B ，求AB AF +1的最大值．【探究步骤】1.作出椭圆13422=+y x 及点,,B A 21,F F ； 2.作出线段AB AF ,1，测量AB AF ,1，计算AB AF +1的值；3.拉动点A ，观察AB AF +1的最大值． 经观察，可得AB AF +1的最大值可能为83.6．【分析】在【实验1】的求解中，把BC 转化为1-BF ，折线AB AF ,1又该如何转化呢？容易想到根据椭圆的定义，421=+AF AF ，故可得214AF AF -= 据此给出以下解答：AB AF AB AF +-=+214，要求AB AF +1的最大值，只需求24AF AB -+的最大值，易得当点2,,F B A 三点共线时，2AF AB -将取得最大值222=BF ，本题答案为224+．【拓展探究2】已知双曲线1:22=-y x C 的左、右焦点分别为21,F F ，点M 是双曲线C 右支一动点，)1,2(A ，求2MF AM +的最小值．【实验3】抛物线若干性质的验证和圆、椭圆、双曲线一样，抛物线也有很多常用的重要性质，在此选择其中几个，用数学实验的方法对其进行验证．【探究问题1】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，点C 在抛物线的准线上，且x BC //轴．证明：直线AC 过原点O ．【探究步骤】1.在GGB 绘图区作出抛物线px y 22=，设置参数()10,0∈p ，增量1.0； 2.作出焦点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p F ，过焦点的直线，及直线与抛物线的交点B A ,； 3.过点B 作x BC //轴，且与准线交于点C ；4.连结AC ；5.拉动滑杆p ，验证直线AC 是否恒过原点O ．经实验验证，以上结论成立．设),(),,(2211y x B y x A ，又设2:p my x AB +=，代入px y 22=，得0222=--p mpy y .由根与系数的关系，得221p y y -=，即122y p y -=． ∵x BC //轴，且C 在准线2p x -=上，∴),2(2y p C -． 则OA OC k x y y p p y k ===-=111222，∴直线AC 经过原点O . 【探究问题2】 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，设),(),,(2211y x B y x A ，则221p y y -=，4221p x x =． 以上性质可由【探究问题1】得到验证．【探究问题3】设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于B A ,两点，则pBF AF 211=+． 抛物线的其他性质，读者可参照前面的例子对其进行验证和证明．【实验4】抛物线综合探究【探究问题4】若直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点，设直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，P 为l 上一点，求PN PM ⋅的最小值．【分析】本题因直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=均已经确定，故点N M ,也是定点，直线l 是抛物线C 的切线，且MN l //，故直线l 也是定直线．求得直线l ：1+=x y ．【探究步骤】1.作直线1-=x y 与抛物线x y C 4:2=相交于N M ,两点；2.作直线l ：1+=x y ，并在l 上任取一点P ；3.作PN PM ,，在指令栏输入“v u *”得到PN PM ⋅；4.拉动点P ，寻求PN PM ⋅的最小值． 探究可得，PN PM ⋅的最小值大约为14-．以下给出数学求解：若设),(),,(2211y x N y x M ， 由⎩⎨⎧+==142y x x y 可知：(*)0442=--y y ，则21,y y 是方程(*)的两根，4,42121-==+y y y y ．又点P 在直线1:+=x y l 上，可设)1,(+m m P ， 则)1,(),1,(2211---=---=m y m x PN m y m x PM682)1(288)1(2)(22)1)(1()1)(1()1)(1())((222212*********--=++--=+++-=----+-+-+=----+--=⋅m m m m m y y m y y m y m y m y m y m y m y m x m x PN PM又R ∈m ，故可求得PN PM ⋅的最小值为14-.【说明】在列出方程(*)之后，我们发现直接把21,y y 求出来，其表达式是比较复杂的，故用了“设而不求”的思路．如果21,y y 的值较简单，可直接求解21,y y ，这样可以使得计算更加便捷．【探究问题5】已知直线022:=+-y x l 交抛物线)0(:2>=m mx y C 于B A ,两点，点P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q ，试探究是否存在实数m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．【分析】这是一道存在性的探究问题，探究是否存在以Q 为直角顶点的ABQ Rt ∆，其本质为探究以AB 为直径的圆是否与抛物线相交，而交点Q 和点P 的连线是否恰好垂直于x 轴．【探究步骤】1.作出抛物线2:mx y C =，设置参数)10,0(∈m ，增量为1.0；2.作直线022:=+-y x l 与抛物线C 交于B A ,两点；3.作线段AB 的中点P ；4.作以AB 为直径的圆，并作该圆与抛物线C 的交点Q ；5.作直线PQ ；6.拉动滑杆m ，仔细观察是否存在实数m ，使得直线PQ 恰好垂直于x 轴． 经实验探究，应该存在唯一的实数2≈m ，使得命题成立． 给出以下数学证明：联立方程⎩⎨⎧=+-=0222y x mx y 得(*)0222=--x mx 依题意，有21,08)2(2->∴>+-=∆m m ， 若设),(),,(2211y x B y x A ，则21,x x 是方程(*)的两根，因为点P 是AB 的中点，所以)22,1(+mm P 假设满足条件的点Q 存在，则)1,1(mm Q ，222121212122111)12())(34(5)1)(1()1)(1()1,1()1,1(m m x x m x x my m y m x m x my m x m y m x QB QA +-++-+=--+--=--⋅--=⋅∴04641)12(2)34(10222=+--=+-+-+-=m m m m m m m 21,2-==∴m m 或， 又21->m ． ∴存在实数2=m ，使ABQ ∆是以Q 为直角顶点的直角三角形．。
抛物线知识点归纳总结与经典习题
抛物线一、抛物线的定义及其应用例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．例2、设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( )A．4 B．3 3 C．4 3 D．8例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( )A．y2＝32x B．y2＝9x C．y2＝92x D．y2＝3x三、抛物线的综合问题例5、已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求AD·EB的最小值练习题1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于( ）A．1 B．4 C．8 D．162．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )A．－1716B．－1516C.716D.15163．已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A.34B．1 C.54D.744．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离B．相交 C．相切D．不确定5．已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 ( ) A．4 2 B．8C． 8 2 D．166．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( ) A．(－2,1) B．(1,2) C．(2,1) D．(－1,2)7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．168．抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，抛物线的方程（）A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x9以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA| ＋|FB| ＝________.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)．14已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线l：y＝－12x＋b与抛物线C交于A，B两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．一、抛物线的定义及其应用例1、(1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1.由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连结AF 交曲线于P 点，则所求的最小值为|AF |，即为 5.(2)如图，自点B 作BQ 垂直准线于Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即p ＝4，根据已 知只要|FM |>4即可．根据抛物线定|FM |＝y 0＋2由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．二、抛物线的标准方程和几何性质例3、设点A (x 1，y 1)，其中y 1>0.由点B 作抛物线的准线的垂线，垂足为B 1.则有 |BF |＝|BB 1|；又|CB |＝2|FB |，因此有|CB |＝2|BB 1|，cos ∠CBB 1＝|BB 1||BC |＝12，∠CBB 1＝π3.即直线AB 与x 轴的夹角为π3.又|AF |＝|AK |＝x 1＋p2＝4，因此y 1＝4sin π3＝23，因此△AKF 的面积等于12|AK |·y 1＝12×4×23＝4 3.例4．分别过点A 、B 作AA 1、BB 1垂直于l ，且垂足分别为A 1、B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |得|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，又|AA 1|＝|AF |＝3，∴|AC |＝2|AA 1|＝6，∴|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，∴F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝12|AA 1|＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x .三、抛物线的综合问题例5、 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x <0)． (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k x －1y 2＝4x，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. (7分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. (8分)因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)·(x 4＋1)＝ x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 (11分) ＝1＋(2＋4k 2)＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1＝8＋4(k 2＋1k2)≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时， AD ·EB 取最小值16.练习题：1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，a4)，双曲线的上焦点为(0,2)，依题意则有a4＝2解得a ＝8.2．解析：抛物线方程可化为x 2＝－y 4，其准线方程为y ＝116.设M (x 0，y 0)，则由抛物线的定义，可知116－y 0＝1⇒y 0＝－1516.3．解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 4．解析：设抛物线焦点弦为AB ，中点为M ，准线l ，A 1、B 1分别为A 、B 在直线l 上的射影，则|AA 1|＝|AF |，|BB 1|＝|BF |，于是M 到l 的距离d ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝半径，故相切． 5．解析：依题意F (2,0)，所以直线方程为y ＝x －2由⎩⎨⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||FA |－|FB ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.6．解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D.答案：B7．解析：设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝ ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．168．解析：由准线方程x ＝－2，可知抛物线为焦点在x 轴正 ，半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为 y 2＝2px ＝8x9．解析：抛物线的焦点为F (0,4)，准线为y ＝－4，则圆心为(0,4)，半径r ＝8. 所以，圆的方程为x 2＋(y －4)2＝64.10．解析：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)，则准线为y ＝－a4.∵Q (－3，m )在抛物线上，∴9＝am .而点Q 到焦点的距离等于点Q 到准线的距离，∴|m －(－a4)|＝5.将m ＝9a 代入，得|9a ＋a4|＝5，解得，a ＝±2，或a ＝±18，∴所求抛物线的方程为x 2＝±2y ，或x 2＝±18y .11．解析：由⎩⎨⎧y 2＝4x 2x ＋y －4＝0，消去y ，得x 2－5x ＋4＝0(*)，方程(*)的两根为A 、B 两点的横坐标，故x 1＋x 2＝5，因为抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以| FA | ＋| FB | ＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝712．解析：因线段AB 过焦点F ，则|AB |＝|AF |＋|BF |.又由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1，故|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.13．解析：双曲线方程化为x 29－y 216＝1，左顶点为(－3,0)，由题设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则－p2＝－3，∴p ＝6，∴抛物线方程为y 2＝－12x .(2)由于P (2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y 2＝mx 或x 2＝ny ，代入P 点坐标求得m ＝8，n ＝－1， ∴所求抛物线方程为y 2＝8x 或x 2＝－y .14． (1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，由抛物线定义和已知条件可知|MF |＝1－(－p 2)＝1＋p2＝2，解得p ＝2, 故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x消去x 并化简整理得y 2＋8y －8b ＝0.依题意应有Δ＝64＋32b >0，解得b >－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ，设圆心Q (x 0，y 0)，则应用x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，所以圆的半径为r ＝|y 0|＝4. 又|AB |＝x 1－x 22y 1－y 22＝1＋4y 1－y 22＝ 5[y 1＋y 22－4y 1y 2]＝564＋32b所以|AB|＝2r＝564＋32b＝8，解得b＝－8 5 .所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝485，则圆心Q的坐标为(245，－4)．故所求圆的方程为(x－245)2＋(y＋4)2＝16.。
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2(附答案)
初中数学二次函数应用题型分类——抛物线形物体问题2（附答案）1．如图，池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（）A．2.1m B．2.2m C．2.3m D．2.25m2．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．10s3．某建筑物，从10m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面403m，则水流落地点B离墙的距离OB是（）A．2m B．3m C．4m D．5m4．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m，水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A．0.55米B．1130米C．1330米D．0.4米5．如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是( )A ．2.5米B ．3米C ．3.5米D ．4米6．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y （米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．5米D ．6米 7．同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）．于是好奇的小王同学进行了实地测量研究．当小王用一定的力按住顶部A 下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且a ＝﹣118．洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD ．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径GH ＝12cm ，喷嘴位置点B 距台面的距离为16cm ，且B 、D 、H 三点共线．小王在距离台面15.5cm 处接洗手液时，手心Q 到直线DH 的水平距离为3cm ，若学校组织学生去南京进行研学实践活动，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是（ ）cm ．A ．3B ．2C ．3D ．2 8．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米9．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h (单位：m)与水流运动时间t (单位:s)之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( ) A ．6 s B ．4 s C ．3 s D ．2 s10．某公园一喷水池喷水时水流的路线呈抛物线（如图）．若喷水时水流的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣x 2+2x+1.25，则水池在喷水过程中水流的最大高度为（ ）A ．1.25米B ．2.25米C ．2.5米D ．3米11．市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x(单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是____米．12．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ，水管的顶端安有一个喷水池，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取A 点为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为______，水管AB 的长为______m ．13．某市民广场有一个直径16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA 的顶端A 处汇合，水柱离中心3米处达最高5米，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的他站立时必须在离水池中心O________米以内．14．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线，水流的高度h （单位：m ）与水流喷出时间t （单位：s ）之间的关系式为2305h t t =-，那么水流从喷出至回落到水池所需要的时间是__________s ．15．如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA ＝1.25m ，A 处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O ，直径为线段CB ．建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x 轴的距离为2.25m ，到y 轴的距离为1m ，则水落地后形成的圆的直径CB ＝_____m ．16．如图，公园里喷水池中的水柱的形状可以看成是抛物线，小明想知道水柱的最大高度，于是画出示意图，并测出了一些数据：水柱上的点C,D 到地面的距离都是1.6米，即 1.6BC OD ==米，1AB =米，5AO =米，则水柱的最大高度是______米.17．消防员的水枪喷出的水流可以用抛物线212y x bx =-+来描述，已知水流的最大高度为20m ，则b 的值为________． 18．某体育公园的圆形喷水池的水柱如图①所示，如果曲线APB 表示落点B 离点O 最远的一条水流(如图②)，其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式为y ＝－x 2＋4x ＋94，那么圆形水池的半径至少为_______米时，才能使喷出的水流不落在水池外．19．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y ＝﹣x 2+4x （单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是_____米．20．两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A 处透过窗户E 发现乙楼F 处出现火灾，此时A ,E ,F 在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m 高的D 处喷出，水流正好经过E ,F . 若点B 和点E 、点C 和F 的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m ，再向左后退了____m ，恰好把水喷到F 处进行灭火．21．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离中心3m．（1）在给定的坐标系中画出示意图；（2）求出水管的长度．22．如图1，已知水龙头喷水的初始速度v0可以分解为横向初始速度v x和纵向初始速度v y，θ是水龙头的仰角，且v02=v x2+v y2．图2是一个建在斜坡上的花圃场地的截面示意图，水龙头的喷射点A在山坡的坡顶上（喷射点离地面高度忽略不计），坡顶的铅直高度OA为15米，山坡的坡比为13．离开水龙头后的水（看成点）获得初始速度v0米/秒后的运动路径可以看作是抛物线，点M是运动过程中的某一位置．忽略空气阻力，实验表明：M与A的高度之差d（米）与喷出时间t（秒）的关系为d=v y t-5t2；M与A 的水平距离为v x t米．已知该水流的初始速度v0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°．（1）求水流的横向初始速度v x和纵向初始速度v y；（2）用含t的代数式表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x 的取值范围）；（3）水流在山坡上的落点C离喷射点A的水平距离是多少米？若要使水流恰好喷射到坡脚B处的小树，在相同仰角下，则需要把喷射点A沿坡面AB方向移动多少米？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）23．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y=3+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y =13-x 2+bx +c 表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB 的最大高度；（3）在斜坡上距离A 点2米的C 处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？ 24．游乐园新建的一种新型水上滑道如图，其中线段PA 表示距离水面（x 轴）高度为5m 的平台（点P 在y 轴上）.滑道AB 可以看作反比例函数图象的一部分，滑道BCD 可以看作是二次函数图象的一部分，两滑道的连接点B 为二次函数BCD 的顶点，且点B 到水面的距离2BE m =，点B 到y 轴的距离是5m.当小明从上而下滑到点C 时，与水面的距离3m 2CG =，与点B 的水平距离2m CF =.（1）求反比例函数的关系式及其自变量的取值范围；（2）求整条滑道ABCD 的水平距离；（3）若小明站在平台上相距y 轴1m 的点M 处，用水枪朝正前方向下“扫射”，水枪出水口N 距离平台3m 2，喷出的水流成抛物线形，设这条抛物线的二次项系数为p ，若水流最终落在滑道BCD 上（包括B 、D 两点），直接写出p 的取值范围.25．如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一个水管AB ．水管的顶端安有一个喷水管、使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ．高度为3m ．水柱落地点D 离池中心A 处3m ．建立适当的平面直角坐标系，解答下列问题．（1）求水柱所在抛物线的函数解析式；（2）求水管AB 的长．26．某小区有一半径为8m 的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线．在距水池中心3m 处达到最高，高度为5m ，且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．以水平方向为x 轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线对应的函数关系式；（2）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8m 的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？27．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA ，点O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的圆形喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任意平面上，水流喷出的高度()y m 与水平距离()x m 之间的关系如图所示，建立平面直角坐标系，右边抛物线的关系式为2y x 2x 3=-++.请完成下列问题：（1）将2y x 2x 3=-++化为()2y a x h k =-+的形式，并写出喷出的水流距水平面的最大高度是多少米；（2）写出左边那条抛物线的表达式；（3）不计其他因素，若要使喷出的水流落在池内，水池的直径至少要多少米？ 28．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）29．某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y （m ）与喷出水流喷嘴的水平距离x （m ）之间满足2122y x x =-+ （l ）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？（2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？30．图1是一个倾斜角为α的斜坡的横截面，1tan 2α=．斜坡顶端B 与地面的距离BC 为3米．为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A ，喷头A喷出的水珠在空中走过的曲线可以看作抛物线的一部分．设喷出水珠的竖直高度为y （单位：米）（水珠的竖直高度是指水珠与地面的距离），水珠与喷头A 的水平距离为x （单位：米），y 与x 之间近似满足函数关系2y ax bx =+（a ，b 是常数，0a ≠），图2记录了x 与y 的相关数据．（1）求y关于x的函数关系式；（2）斜坡上有一棵高1.8米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A 喷出的水珠能否越过这棵树．参考答案1．D【解析】【分析】设抛物线的解析式为y= a(x-1)2+3(0≤x≤3)，将(3，0)代入求得a值，则x=0时得的y值即为水管的长．【详解】解：由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m，则设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3(0≤x≤3)，代入(3，0)得，0=a×(3-1)2+3，求得：a=34．将a值代入得到抛物线的解析式为：y=-34(x-1)2+3(0≤x≤3)，令x=0，则y=94=2.25．则水管长为2.25m，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．2．C【解析】【分析】将h关于t的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论．【详解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将二次函数的关系式变形为顶点式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，将函数的关系式进行变换找出顶点坐标即可．3．B【解析】【分析】以OB为x轴，OA为y轴建立平面直角坐标系，A点坐标为（0，10），M点的坐标为（1，403），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解．【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+403，把点A（0，10）代入a(x﹣1)2+403，得a(0﹣1)2+403＝10，解得a＝﹣103，因此抛物线解析式为y＝﹣103(x﹣1)2+403，当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；即OB＝3米．故选B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．4．B【解析】【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x＝1.25＝54，A（0，0.8），C（3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝13 30，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键5．B【解析】【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．【详解】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，把A（0，2.25）代入，得2.25=a+3，a=-0.75．∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．当y=0时，0=-0.75（x-1）2+3，解得：x1=-1（舍去），x2=3．OB=3米．故选：B．【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题，解答本题是求出抛物线的解析式．6．B【解析】【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值．【详解】解：∵y=-32x2+6x=-32（x2-4x）=-32[（x-2）2-4]=-32（x-2）2+6，∴当x=2时，y有最大值，∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7．B【解析】【分析】根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解．【详解】解：如图：根据题意，得Q （9，15.5），B （6，16），OH ＝6，设抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+bx +c ， 12×81915.5,,183114.×36616,18b c b c b c ⎧-++=⎧⎪=⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-++=⎩⎪⎩解得， 所以抛物线解析式为y ＝﹣118x 2+23x +14． 当y ＝0时，即0＝﹣118x 2+23x +14， 解得：x ＝2（负值舍去），又OH=6， 所以洗手液落在台面的位置距DH 的水平距离是2cm ．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算．8．A【解析】）∵y=－x 2＋4x=2x-24-+（），∴当x=2时，y 有最大值4，∴最大高度为4m9．A【解析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t -5t 2即可求出t ，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．解：水流从抛出至回落到地面时高度h 为0，把h =0代入h =30t −5t 2得：5t 2−30t =0，解得：t 1=0(舍去),t 2=6.故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s.故选A.10．B【解析】试题分析：直接利用二次函数解析式得出水流离地面的最大高度．解：∵y=﹣x 2+2x+1.25=﹣（x ﹣1）2+2.25，∴水池在喷水过程中水流的最大高度为2.25米．故选B ．考点：二次函数的应用．11．4【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.【详解】水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线24y x x =-+的顶点坐标的纵坐标， ∴()22424y x x x =-+=--+，∴顶点坐标为：()2,4， ∴喷水的最大高度为4米.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题.12．()()2323304y x x =-++-≤≤ 2.25． 【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案，再由题意可得，3x =-时得到的y 值即为水管的长．【详解】以喷水池中心A 为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系． 抛物线的解析式为：()23134y x =--+， 当选取点D 为坐标原点时，相当于将原图象向左平移3个单位， 故平移后的抛物线表达式为：()()2323304y x x =-++-≤≤； 令3x =-，则33 2.254y =-+=． 故水管AB 的长为2.25m ． 故答案为：()()2323304y x x =-++-≤≤；2.25． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．13．7【解析】【分析】根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a 值，求出函数解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；【详解】设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a （x －3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a （x －3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=－15，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=－15（x－3）2+5（0＜x＜8）．当y=1.8时，有－15（x－3）2+5=1.8，解得：x1=－1（舍去），x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．故答案为：7【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，用利用待定系数法求出二次函数表达式并利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值．14．6【解析】【分析】由于水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2即可求出t，也就求出了水流从抛出至回落到地面所需要的时间．【详解】水流从抛出至回落到地面时高度h为0，把h=0代入h=30t-5t2得：5t2-30t=0，解得：t1=0（舍去），t2=6．故水流从抛出至回落到地面所需要的时间6s．故答案为：6【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是正确理解题意，利用函数解决问题，结合实际判断所得出的解．15．5【解析】【分析】设y轴右侧的抛物线解析式为：y＝a（x−1）2＋2.25，将A（0，1.25）代入，求得a，从而可得抛物线的解析式，再令函数值为0，解方程可得点B 坐标，从而可得CB 的长．【详解】解：设y 轴右侧的抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣1）2+2.25∵点A （0，1.25）在抛物线上∴1.25＝a （0﹣1）2+2.25解得：a ＝﹣1∴抛物线的解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2+2.25令y ＝0得：0＝﹣（x ﹣1）2+2.25解得：x ＝2.5或x ＝﹣0.5（舍去）∴点B 坐标为（﹣2.5，0）∴OB ＝OC ＝2.5∴CB ＝5故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键．16．7225【解析】【分析】设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0），代入后得到三元一次方程组，解方程组即可求出抛物线解析式，再求顶点坐标即可．【详解】解：设解析式为2y ax bx c =++，由题意可知点D 为（0，1.6），点C 为（4，1.6），点A 为（5，0）， ∴ 1.6164 1.62550c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得825322585a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩， ∴解析式为：2832825255y x x =-++， ∴当3225282()25x =-=⨯-时，y 有最大值为7225. ∴水柱的最大高度是7225米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，用待定系数法求出二次函数的解析式是解题关键． 17．±【解析】【分析】利用二次函数的性质列出关于b 的方程，求出方程的解即可得到b 的值．【详解】解：抛物线y =12-x 2+bx ， 根据题意得： 2b a - =122b -⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=b ，当x =b 时，取得最大值为20，21202b b b -+=， 12b 2=20， b =±． 故答案为：b =±． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的性质． 18．92【解析】【详解】当y=0时，即-x2+4x+94=0，解得x1=92，x2=-12（舍去）．答：水池的半径至少92米时，才能使喷出的水流不落在水池外．故答案是：92．19．4米【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故选A．【点睛】考点：二次函数的应用．理解二次函数性质是关键.2010【解析】设直线AE的解析式为:y=kx+21.2.把E（20,9.2）代入得，20k+21.2=9.2,∴k=-0.6,∴y =-0.6x +21.2. 把y =6.2代入得， -0.6x +21.2=6.2， ∴x =25, ∴F (25,6.2).设抛物线解析式为：y=ax 2+bx +1.2, 把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入得，40020 1.29.262525 1.2 6.2a b a b ++=⎧⎨++=⎩解之得0.041.2a b =-⎧⎨=⎩ ， ∴y =-0.04x 2+1.2x +1.2，设向上平移0.4m ，向左后退了h m, 恰好把水喷到F 处进行灭火由题意得 y =-0.04(x +h )2+1.2(x+h )+1.2+0.4, 把F (25,6.2)代入得，6.2=-0.04×(25+h )2+1.2(25+h )+1.2+0.4， 整理得 h 2+20h -10=0, 解之得110x =-,210x =-（舍去）.∴向后退了10)m点睛：本题考查了二次函数和一次函数的实际应用，设直线AE 的解析式为:y =kx +21.2. 把E （20,9.2）代入求出直线解析式，从而求出点F 的坐标.把E （20,9.2）, F (25,6.2)代入y=ax 2+bx +1.2求出二次函数解析式.设向左平移了h m ，表示出平移后的解析式，把点F 的坐标代入可求出k 的值.21．（1）详见解析；（2）水管长为2.25m ． 【解析】 【分析】（1）以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系； （2）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3），将（3，0）代入求得a 值，则x ＝0时得的y 值即为水管的长． 【详解】解：（1）建立以池中心为原点，竖直安装的水管为y 轴，与水管垂直的为x 轴建立直角坐标系；（2）由于在距池中心的水平距离为1m 时达到最高，高度为3m ， 则设抛物线的解析式为： y ＝a （x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 代入（3，0）求得：a ＝﹣34． 将a 值代入得到抛物线的解析式为： y ＝﹣34（x ﹣1）2+3（0≤x ≤3）， 令x ＝0，则y ＝94＝2.25． 故水管长为2.25m ．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据图形建立合适的直角坐标系. 22．（1）水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒；（2）y=-2581x +43x+15；（3）水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动610 【解析】【分析】（1）根据题意利用θ的正弦和余弦定义可得结论；（2）由（1）的表示出v x 表示出x ，OA 已知，利用y=d+OA ，代入OA 的值和d 与t 的函数关系式，可以得解；（3）先求得点A 和点B 的坐标，进而写出其直线解析式，再将其与（2）中抛物线解析式联立，从而求得落点C 的坐标，再利用平移知识及勾股定理可以求解． 【详解】解：（1）∵v 0为15米/秒，水龙头的仰角θ为53°，∴cosθ=0xv v ，sinθ=0y v v ，∴v x =15cos53°=15×35=9，v y =15sin53°=15×45=12；答：水流的横向初始速度v x 是9米/秒，纵向初始速度v y 是12米/秒； （2）x=v x t=9t ， ∴t=9x ， 又M 与A 的高度之差d （米）与喷出时间t （秒）的关系为d=v y t-5t 2∴y=d+OA=12t-5t 2+15=-5×2()9x +12×9x +15=-2581x +43x+15；∴y 与x 的关系式为：y=-2581x +43x+15．（3）∵坡顶的铅直高度OA 为15米，山坡的坡比为13，∴OB=45米，点A （0，15）点B （45，0）∴直线AB 的解析式为：y=13x -+15，将其与抛物线解析式联立得：254158131153y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得015x y =⎧⎨=⎩（舍）或276x y =⎧⎨=⎩，∴水流在山坡上的落点C 坐标为（27，6），喷射点A 沿坡面AB 方向移动的距离等于BC 的距离，而答：水流在山坡上的落点C 离喷射点A 的水平距离是27米，需要把喷射点A 沿坡面AB 方向移动 【点睛】本题考查了二次函数的应用以及坡度问题和解直角三角形的应用等知识，正确构造出直角三角形是解题关键． 23．（1）y =-13x 2+3x +5；（2）当x=2时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254；（3）水柱能越过树，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出A,B 的坐标，再把其代入解析式即可 （2）由（1）即可解答（3）过点C 作CD ⊥OA 于点D ，求出ODOD 代入解析式即可 【详解】（1）∵AB =10、∠OAB =30°， ∴OB =12AB =5、OA则A （0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入y =-13x 2+bx +c，得：175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：5b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为y =-13x 2+5； （2）水柱离坡面的距离d =-13x 2+3x +5-（-3x +5）=-13x 2+533x =-13（x 2-53x ） =-13（x -532）2+254， ∴当x =532时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为254； （3）如图，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，∵AC =2、∠OAB =30°， ∴CD =1、AD 3 则OD 3， 当x 3时，y =-13×（32+33×3＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 【点睛】此题考查二次函数的应用，解题关键在于求出A,B 的坐标 24．（1）10y x=，25x ≤≤；（2）7m ；（3）91332128p -≤≤-. 【解析】 【分析】（1）在题中，BE=2，B 到y 轴的距离是5，即反比例函数图象上一点的横坐标和纵坐标都已告知，则可求出比例系数k ；（2）根据B ，C 的坐标求出二次函数解析式，得到点D 坐标，即OD 长度再减去AP 长度，可得滑道ABCD 的水平距离；（3）由题意可知点N 为抛物线的顶点，设水流所成抛物线的表达式为213(1)2y p x =-+，通过计算水流分别落到点B 和点D 可以得出p 的取值范围.。
高一数学+人教A版2019选择性必修第一册3-3-2+抛物线的简单几何性质(第2课时)
2 py
p
直线AF的方程为y 2 0 2 x
④
y0 p
2
l
2
0
2
A
O
联立①④ , 消去x , 可得y0 y ( y p ) y y0 p 0,
2
y
2
D
B
F
即( y y0 )( y0 y p 2 ) 0.
p2
可得点B的纵坐标为
, 与点D的纵坐标相等 , 于是DB平行于x轴
四
种
抛
物
线
及
其
标
准
方
程
标准方程
焦点坐标
准线方程
焦点位置
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
x
p
2
x轴的
正半轴上
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x轴的
负半轴上
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
2
y
p
2
y轴的
正半轴上
x2=-2py
(p＞0)
p
F (0, )
消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值.
2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法:(1)通过方程判断;(2)对
参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;(3)利用曲线的
性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为
定值;(4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.
练一练
如图，已知抛物线y2 ＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线
抛物线的综合问题
(1 12 )( xM xN )2
2 xM xN
88 2
4 x1 4 x2
8 2 x1 x2 8 2
x1 x2
(4 x1)(4 x1)
x1 x2 4( x1 x2 ) 16
设直线AB为y=kx+1,代入抛物线 x2 4 y ，得
kx ，得
2 4x
4 A( k 2
,
4 )
k
同理可得 B(16k 2 , 8k )
当4
k2
16k 2，即 k
4 8k
k AB
k
4 k2
16k 2
2
1
1时
2
k 2k
2
所以直线AB的方程为
y 8k
故动点P的轨迹方程为 y2 4x(x≥0)和y=0(x<0)
l l (2)如图
y
由题意知，直线 l1 的斜率存在且 A1
不为y为=0k，(x设-1)为,代k入,则直y2线l14的x方中程，得 0
k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0E
D F
2
x
B
设A(x1, y1), B(x2, y2), 则
(3)设点P的坐标为(x, y) ，则由 x y 2 0 ，得 x y 2
所以 AF BF x12 ( y1 1)2 x22 ( y2 1)2
4y1 ( y1 1)2 4y1 ( y2 1)2 ( y1 1)( y2 1)
解决最值问题的关键是建立函数关系式再利用 求最值的方法来解决。
解决直线过定点问题的关键是把直线方程表示 出来，化简成y=m(x-t)+n的形式，可知直线恒过点 P(t,n).
抛物线型问题
抛物线型问题一、背景抛物线型问题是在数学和物理学中常见的问题，它涉及到抛物线的几何特性和运动物体的轨迹。
在解决这类问题时，我们需要运用数学模型和物理原理，以理解抛物线的性质和运动规律。
二、抛物线的定义与性质抛物线是一种二次曲线，它的方程可以表示为y = ax^2 + bx + c。
对于给定的方程，当b=c=0时，曲线就是一条通过原点的直线，当a=0时，曲线就是一个点。
而当a、b、c不全为0时，我们得到一个抛物线。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是关于其对称轴对称的。
2. 抛物线的顶点是其对称轴与曲线的交点。
3. 抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
4. 抛物线的宽度（也称为焦距）由系数b和c决定。
三、解决抛物线型问题的策略解决抛物线型问题需要综合考虑数学和物理学的知识。
以下是一些常用的策略：1. 建立数学模型：首先需要将实际问题转化为数学问题，通过设立方程来描述抛物线的几何特性和运动规律。
2. 分析方程：对建立的方程进行分析，找出关键的参数和关系，如顶点、开口方向、焦距等。
3. 运用物理原理：根据问题的具体情况，运用物理原理来分析物体的运动轨迹和规律。
4. 求解方程：通过求解方程，找出未知数或未知量，从而找到物体的运动轨迹或抛物线的性质。
5. 检验与验证：最后需要对结果进行检验和验证，以确保答案的正确性和准确性。
四、应用实例1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c。
通过求解这个方程，我们可以找到抛物线的顶点、开口方向和焦距等性质。
2. 运动物体的轨迹：当一个物体在力的作用下沿着抛物线运动时，我们需要运用物理原理来分析它的运动轨迹和规律。
例如，一个物体在一个恒力的作用下沿着斜抛运动轨迹向上运动，这个轨迹就是一个抛物线。
我们可以通过建立物理模型和数学方程来求解这个问题的未知量，如物体的初速度和运动时间等。
3. 光的反射和折射：在光学中，抛物线型问题也经常出现。
认识美丽的抛物线 解决关键的压轴题
认识美丽的抛物线解决关键的压轴题黄陂区实验中学方铭2012年5月18日认识美丽的抛物线解决关键的压轴题黄陂区实验中学方铭抛物线是初中数学中很重要的一个知识点，也是学好高中数学的基础。
不但如此，它更是一根轴，能够把初中数学很多重要的知识点带动起来。
因此，近些年，在全国各地的中考试题中，抛物线经常作为重点题和压轴题，来全面考察学生的数学知识和学习潜力。
因此，针对这种情况，我们师生都必须引起高度的重视，认识抛物线，攻克压轴题。
下面，我就简要谈谈抛物线的备考思路。
一、熟悉抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a，顶点坐标( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )2.a、b、c的几何含义。
a的符号确定抛物线的开口方向，|a|的大小确定抛物线的开口程度；a与b的符号共同确定对称轴的位置；c的符号确定抛物线与y轴交点的位置。
3.抛物线与X轴的交点。
Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
4.抛物线的增减性。
当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a，在对称轴的右侧y随x的增大而增大。
当a＜0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在x= -b/2a 处取得最大值f(-b/2a)=4ac-b2/4a，在对称轴的右侧y随x的增大而减小。
二、了解抛物线解析式的求法1、已知三点坐标，选择一般式y=ax2+bx+c已知抛物线过A（1，-4）、B（2，-3）、C（4,5），求其解析式分析：y=x2－2x－32、已知顶点坐标，选择顶点式已知抛物线y=ax2-2ax+b的最低点纵坐标是-9，且过点（-2,0）分析：y=a(x－1)2－9过(－2,0) ∴a=1，即y=x2－2x－8在抛物线的平移、旋转和翻折过程中，要熟练运用顶点式求解析式。
2024年中考数学专项训练：函数实际综合应用(抛物线型问题)
2024年中考数学专项训练：函数实际综合应用(抛物线型问题)一、单选题1如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在AB处，此时桥洞中水面宽度AB仅为4米，桥洞顶部点O到水面AB的距离仅为1米；旱季最低水位线在CD处，此时桥洞中水面宽度CD达12米，那么最低水位CD与最高水位AB之间的距离为()A.8米B.9米C.10米D.11米2如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为()A.1B.1.5C.2D.33从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示，则当t=1.5s时，小球的高度为()A.18mB.20mC.25mD.30m4如图，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)具有h=20t-5t2的函数关系，下列解释正确的是()A.小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1sB.小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升C.小球从飞出到落地要用4sD.小球的飞行高度可以达到25m5如图1，校运动会上，依依同学进行了投实心球比赛．我们发现，实心球在空中飞行的轨迹可以近似看作是抛物线．如图2建立平面直角坐标系，已知实心球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系是y=-112x2+23x+53，则该同学此次投掷实心球的成绩是()A.8mB.9mC.10mD.12m6如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时．达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是()A.水流运行轨迹满足函数y=-140x2-x+1B.水流喷射的最远水平距离是40米C.喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D.若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌7某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA,O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y m与水平距离x m之间的关系式是y=-x2+2x+3，则下列结论错误的是()A.柱子OA的高度为3mB.喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C.喷出的水流距水平面的最大高度是3mD.水池的半径至少要3m 才能使喷出的水流不至于落在池外8如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为()A.0.5米B.22米C.33米D.0.85米二、填空题9某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y =-x 2+6x (单位：米)的一部分．则水喷出的最大高度是米．10“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图像，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的(如图)，水柱的最高点为P ，AB =2m ，BP =9m ，水嘴高AD =5m ，则水柱落地点C 到水嘴所在墙的距离AC 是m ．11某公园草坪上有一个草坪喷灌器OA ，从点A 向四周喷水，喷出的水柱类似于抛物线，且形状相同．如图是该喷灌器喷水时的截面图，以水平方向为x 轴，点O 为原点建立直角坐标系，点A 在y 轴上，x 轴上的点C ，D 为最远的落水点，水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为y =-15x -4 2+5．则喷灌器OA 的高度是m ．12如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h (单位：m )与飞行时间t (单位：s )之间具有函数关系：h =-5t 2+20t ，则小球飞行最大高度是m ．13掷实心球是福建省中考体育考试的抽选考项目．实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y m 与水平距离x m ，抛出时起点处高度为53，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处，则行进高度y m 与水平距离x m 的关系式是．14一名男生在一个水平的训练场地里推铅球，铅球飞行高度y m 与距离该男生的水平距离x m 之间满足：y =-112x 2+23x +53，则铅球推出的距离为m ．15某市新建一座景观桥．桥的拱肋ADB 可视为抛物线的一部分，桥面AB 可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB 为40米，桥拱的最大高度CD 为16米(不考虑灯杆和拱肋的粗细)，则与CD 的距离为5米的景观灯杆MN 的高度为米．16如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO 与BD 均为0.9米，绳子甩到最高点C 处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离为m 米处，若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他的头顶)，则m 的取值范围是．三、解答题17现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴，以过点O作垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求OE= 12m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．(1)求满足设计要求的抛物线的函数解析式；(2)现需在这一隧道内壁的同样高度的A、B处安装上照明灯，如图所示，若要求A、B两个照明灯之间的水平距离为8m，求出此时A、B两个照明灯距离地面的高度．18如图所示，一个运动员推铅球，铅球在点A处出手53米，铅球落地点在B处，铅球运行中在运动员前4米处(即OC=4))，最高点高为3米，已知铅球经过的路线是抛物线．根据图示的直角坐标系回答下列问题．(1)求铅球所经过路线的函数表达式．(2)铅球的落地点离运动员有多远？19要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高94m时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．以O为原点，OA所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系．(1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；(2)求水柱落地点A到水池中心O的距离．20如图所示，一场篮球比赛中，某篮球队员甲的一次投篮命中，篮球运行轨迹为抛物线的一部分．已知篮球出手位置点A与篮筐的水平距离为5m，篮筐距地面的高度为3m，当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.6m．(1)求篮球出手位置点A的高度．(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起拦截，已知乙的拦截高度为3.12m，那么他能否获得成功？并说明理由．(3)若甲在乙拦截时，突然向后后退0.2m，再投篮命中(此时乙没有反应过来，置没有移动)，篮球运行轨迹的形状没有变化，且篮球越过乙时，超过其拦截高度0.08m，求篮球出手位置的高度变化．参考答案：1.【答案】A【分析】本题主要考查二次函数的应用，结合图形弄清实际意义是解题的关键．以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，先求出函数关系式，再求出点D的坐标，最后求解即可．【详解】解：如图，以顶点O为坐标原点建立平面直角坐标系，设抛物线的函数关系式为y=ax2，由题意可得B2,-1，代入函数关系式，得4a=1，解得a=-1 4，∴抛物线的解析式为y=-14x2，∵CD=12，∴可设D6,t，代入抛物线的解析式，得t=-14×62=-9，∴D6,-9，∴OF=9，∴EF=OF-OE=9-1=8，∴最低水位CD与最高水位AB之间的距离为8米．故选：A．2.【答案】D【分析】首先建立坐标系，然后利用待定系数法求得函数的解析式，然后令y=0，即可求解．【详解】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是(1，4)，设抛物线的解析式是y=a(x-1)2+4，把(0，3)代入解析式得：a+4=3，解得：a=-1，则抛物线的解析式是：y=-(x-1)2+4，当y=0时，-(x-1)2+4=0，解得：x1=3，x2=-1(舍去)，则水池的最小半径是3米．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式是本题的关键．3.【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．由待定系数法求得函数解析式，再将t =1.5s 代入计算，即可求解．【详解】解：设函数解析式为h =a t -3 2+40，将0,0 代入得：0=a 0-3 2+40，解得a =-409，∴函数解析式为h =-409t -3 2+40，当t =1.5s 时，h =-4091.5-3 2+40=30，即小球的高度为30m故选：D ．4.【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据函数表达式，可以求出h =0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t -5t 2=15的意义为h =15时所用的时间，据此解答．【详解】解：20t -5t 2=15的两根t 1=1与t 2=3，即h =15时所用的时间，∴小球的飞行高度是15m 时，小球的飞行时间是1s 或3s ，故A 不符合题意；h =20t -5t 2=-5(2-t )2+20，∴对称轴直线为：t =2，最大值为20，故D 不符合题意；∴t =3时，h =15，此时小球继续下降，故B 不符合题意；∵当h =0时，t 1=0，t 2=4，∴t 2-t 1=4，∴小球从飞出到落地要用4s ，故C 符合题意．故选：C ．5.【答案】C【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y =0，解方程即可．【详解】解：该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，∴令y =0，则-112x 2+23x +53=0，整理得：x 2-8x -20=0，解得：x 1=10，x 2=-2(舍去)，答：该同学此次投掷实心球的成绩为10m ，故选：C ．6.【答案】C【分析】A 、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y =a (x -20)2+11，用待定系数法求得a 的值即可求得答案；B 、把y =0代入函数y =-140x 2+x +1即可水流喷射的最远水平距离，C 、坡度为1：10的坡地解析式为y =110x ，设抛物线上点P (x , -140x 2+x +1),过P 作PQ ∥y 轴，交OA 于Q ，点Q (x , 110x ),PQ =-140x 2+x +1-110x =-140x -18 2+9.1，当x =18时喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度；D 、向后平移后的解析式为y =-140(x -13)2+11，把x =30代入解析式求得y 的值，再减3后与2.3比较大小即可做出判断．【详解】解：A 、设水流运行轨迹满足的函数关系式为y =a (x -20)2+11，把(0，1)代入解析式得：400a +11=1，解得：a =-140，∴解析式为y =-140(x -20)2+11=-140x 2+x +1；故A 不符合题意；B 、当y =0时，-140(x -20)2+11=0；解得x =±2110+20，∴水流喷射的最远水平距离是2110+20米；故B 不符合题意；C 、坡度为1：10的坡地解析式为y =110x ，设抛物线上点P (x , -140x 2+x +1),过P 作PQ ∥y 轴，交OA 于Q ，点Q (x , 110x ),∴PQ =-140x 2+x +1-110x =-140x 2+910x +1=-140x -18 2+9.1，当x =18时喷射出的水流与坡面OA 之间的最大铅直高度是9.1米，故C 符合题意；D 、向后7米平移后的解析式为y =-140(x -13)2+11，当x =30时，y =3.775，3.775-3=0.775<2.3，∴不可以避开对这棵石榴树的喷灌，故选项D 不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．7.【答案】C【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)，与x 轴，y 轴的交点，解答题目的问题．【详解】解：∵y =-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，∴当x =0时，y =3，即OA =3m ，故A 正确，当x =1时，y 取得最大值，此时y =4，故B 正确，C 错误当y =0时，x =3或x =-1(舍去)，故D 正确，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．8.【答案】A【分析】根据题意建立直角坐标系，点(0，2.5)、(2，2.5)、(0.5，1)都在抛物线上，设抛物线解析式，列方程组，求解析式，根据解析式很容易就可求出抛物线的顶点坐标，纵坐标的绝对值即为绳子的最低点距地面的距离．【详解】以A 为原点，AC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线的函数关系式为：y =ax 2+bx +c ．将(0，2.5)、(2，2.5)、(0.5，1)代入y =ax 2+bx +c 得：c =2.54a +2b +c =2.50.25a +0.5b +c =1 ，解得：a =2b =-4c =2.5，∴抛物线的表达式为：y =2x 2-4x +2.5；∵y =2x 2-4x +2.5=2(x -1)2+0.5，∴抛物线的顶点坐标为(1，0.5)，∴绳子的最低点距地面的距离为0.5米．故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，本题关键在于正确选择原点建立直角坐标系，正确确定有关点的坐标，求出抛物线解析式．9.【答案】9【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =-x 2+4x 的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y =-x 2+6x ，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y =-x 2+6x 的顶点坐标的纵坐标，∴y =-x 2+6x =-(x -3)2+9，∴顶点坐标为：(3,9)，∴喷水的最大高度为9米，故答案为：9．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．10.【答案】5【分析】以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，易得点D 和点P 的坐标，设抛物线的解析式为：y =a x -2 2+9，代入点D 的坐标求得函数的解析式，再求出点C 的坐标即可得到AC 的长度．【详解】解：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 0,0 ，D 0,5 ，P 2,9 ，∵点P 是最高点，∴设抛物线的解析式为：y =a x -2 2+9，将点D 坐标代入，可得：5=4a +9，解得：a =-1，∴y =-x -2 2+9，令y =0，解得：x 1=5，x 2=-1，∴点C 5,0 ，∴AC =5m ，故答案为：5．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，建立适当的坐标系，设出顶点式是解题的关键．11.【答案】1.8【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A 的坐标，进而可得出喷灌器OA 的值．【详解】解：当x =0时y =-15×0-4 2+5=1.8，∴点A 的坐标为0,1.8 ，∴喷灌器OA 的高度是1.8m ．故答案为：1.8．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点A 的坐标．12.【答案】20【分析】本题考查二次函数的应用．把一般式化为顶点式，即可得到答案．【详解】∵h =-5t 2+20t =-5(t -2)2+20且-5<0，∴当t =2时，h 取最大值20．故答案为：20．13.【答案】y =-427x 2+89x +53【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是根据题意列出函数解析式y =a x -3 2+3，把0，53 代入求出a 的值即可得出答案．【详解】解：∵当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处，∴该抛物线的顶点坐标为3,3 ，∴设该抛物线的解析式为y =a x -3 2+3，∵抛出时起点处高度为53，∴该抛物线经过0，53 ．∴a 0-3 2+3=53，∴a =-427，∴y 关于x 的函数表达式是y =-427x -3 2+3=-427x 2+89x +53．故答案为：y =-427x 2+89x +53．14.【答案】10【分析】本题考查了实际问题与二次函数，当y =0时，解方程-112x 2+23x +53=0即可求解，此题把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．【详解】解：当y=0时，-112x2+23x+53=0，解得：x1=10，x2=-2(舍去)，∴铅球推出的距离为10m，故答案为：10．15.【答案】15【详解】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y=ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x=5时y的值即可．【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线表达式为y=ax2+16，由题意可知，B的坐标为20，0∴400a+16=0∴a=-125∴y=-125x2+16，∴当x=5时，y=15．答：与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米，故答案为：15．【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．16.【答案】1<m<5【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于1.4米列不等式即可得到m的值．【详解】解：以O为坐标原点，OA所在直线为y轴OD所在直线为x轴，由题意可得，A(0,0.9)，B(6,0.9)，C(3,1.8)，设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点代入可得，c =0.99a +3b +c =1.836a +6b +c =0.9 ，解得：a =-110b =35c =910 ，∴y =-110x 2+35x +910，∵身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离为m 米处能够正常跳大绳，即跳绳高度要高于1.4米，∴-110m 2+35m +910>1.4，当-110m 2+35m +910=1.4时，整理得m 2-6m +5=0，解得m 1=1，m 2=5，即身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上，∵绳子甩到最高时要超过他的头顶，∴1<m <5，故答案为1<m <5．【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标．17.【答案】(1)y =-14(x -6)2+9(2)5m【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键．(1)设抛物线的函数表达式为y =-14(x -6)2+9，将0，0 代入，即可求解．(2)求出点A 的横坐标，即可求解．【详解】(1)解：∵OE =12m ，该抛物线的顶点P 到OE 的距离为9m ．∴抛物线的顶点P (6,9)，∴可设抛物线的解析式为y =a (x -6)2+9，把0，0 代入，得a =-14，∴抛物线的解析式为y =-14(x -6)2+9．(2)解：∵A 、B 距离地面的高度相同，∴A 、B 两点关于抛物线的对称轴对称．如图，过点B 作y 轴的垂线BQ ，交y 轴于点Q ，交抛物线的对称轴于点F ，则BF 经过点A ．由(1)知，抛物线的对称轴为x =6，则FQ =6．∵AB =8，则BF =AF =4，∴AQ =FQ -AF =2，BQ =QF +BF =10，∴A 点的横坐标为2，B 点的横坐标为10，令x =2，代入抛物线的解析式y =-14(x -6)2+9，得y =5，∴此时A 、B 两个照明灯距离地面的高度为5m ．18.【答案】(1)y =-112x -4 2+3(2)10米【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解题的关键是求出解析式；(1)设抛物线的解析式为y =a (x -4)2+3，运用待定系数法求出解析式即可；(2)由(1)中方程的解可以得出结论．【详解】(1)解：由题意得：A 点坐标为0,53，D 点坐标为(4,3)，且D 为抛物线的顶点，∴设抛物线的解析式为y =a (x -4)2+3，∴53=a (0-4)2+3，∴a =-112，∴抛物线解析式为y =-112(x -4)2+3；(2)解：令y =0，则0=-112(x -4)2+3，∴(x -4)2=36，解得x =10或x =-2(因为B 点在x 轴正半轴)，∴B 点坐标为(10,0)，∴OB =10，∴铅球的落地点离运动员有10米远，答：铅球的落地点离运动员有10米远．19.【答案】(1)y =-34x -1 2+3(2)水柱落地点A 到水池中心O 的距离为3m【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的性质是解题关键．(1)根据题意设抛物线解析式为y =a (x -1)2+3，把0,94代入解析式求出a 即可；(2)令y =0，解方程即可．【详解】(1)根据题意知，抛物线的顶点坐标为1,3 ，∴设抛物线解析式为y =a x -1 2+3，把0,94 代入解析式得，94=a +3，解得a =-34，∴水柱高度y 与距离池中心的水平距离x 的函数表达式为y =-34x -1 2+3；(2)令y=0，则-34x-12+3=0，解得x1=3，x2=-1(舍去)，∴A3，0，∴OA=3，∴水柱落地点A到水池中心O的距离为3m．20.【答案】(1)点A的高度为2.25m(2)获得成功，理由见解析(3)篮球出手位置的高度提高了0.074m【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，以及求二次函数解析式．(1)根据题意可得两点(3,3.6)和(5,3)，可设抛物线的表达式为：y=a x-32+3.6，代入即可求得解析式；(2)将x=1代入即可求得函数值，再与3比较大小即可；(3)根据题意求得变化后的函数解析式，结合数据的变化即可求得变化值．【详解】(1)解：由题意得，抛物线的顶点为：(3,3.6)，抛物线过点(5,3)，设抛物线的表达式为：y=a x-32+3.6，将(5,3)代入上式得：3=a5-32+3.6，解得：a=-0.15，则抛物线的表达式为：y=-0.15x-32+3.6，当x=0时，y=-0.150-32+3.6=2.25，即点A的高度为2.25m；(2)获得成功，理由：当x=1时，y=-0.15(x-3)2+3.6=-0.15(1-3)2+3.6=3<3.12，故能获得成功；(3)由题意得，新抛物线的a=-0.15，抛物线过点(5,3)、(1,3.2)，则设抛物线的表达式为：y=-0.15x2+bx+c，则3.2=-0.15+b+c3=-0.15×25+5b+c，解得：b=0.85c=2.5，则抛物线的表达式为：y=-0.1x2+0.85x+2.5，当x=-1时，y=-0.1x2+0.85x+2.5=2.324>2.25，则2.324-2.25=0.074，故篮球出手位置的高度提高了0.074m．。
一道直线与抛物线综合问题研究
所以 x1 x2
所以 x1 x2 y1 y2 0 ， （也可以由斜率乘积为 1 得到） 。 所以 2 2 p 0 ，所以 0 （舍去）或 2 p ， 所以直线 MN : x ty 2 p ，所以直线 MN 与 x 轴交于定点 (2 p, 0) 。 （2）命题（1）的逆命题：已知抛物线 y 2 2 px( p 0) ， M , N 为抛物线上两点，若直线 MN 过 x 轴的一个定点，则 OM ON 。 证明：设直线 MN 过 x 轴上的定点 ( , 0) ，则 MN : x ty ， 由
直线与抛物线综合问题
（1）已知抛物线 y 2 2 px( p 0) ， M , N 为抛物线上两点，且 OM ON ，求证： 直线 MN 与 x 轴交于定点； （2）命题（1）的逆命题成立吗？证明你的结论。 （1）设直线 MN : x ty ，
由
x ty 得 y 2 2 pty 2 p 0 ，所以 y1 y2 2 pt , y1 y2 2 p ， 2 y 2 px
所以 x1 x2
所以逆命题不成立。
x ty 得 y 2 2 pty 2 p 0 ，所以 y1 y2 2 pt , y1 y2 2 p ， 2 y 2 px
( y1 y2 )2 2 ， 所以 x1x2 y1 y2 2 2 p ( 2 p) 不一定为 0， 2 4p
人教A版高中同步学考数学选修1精品课件 第二章 习题课——抛物线的综合问题
-1-
课标阐释
1.掌握利用抛物线的定
义解决有关问题的方法;
2.掌握抛物线焦点弦问
题的求解方法;
3.掌握抛物线中的定点
与定值问题的求解方法.
思维脉络
课前篇自主预习
1.利用抛物线的定义解题
若抛物线的焦点为F,准线为l,点P在抛物线上,那么点P到点F的距
离等于点P到l的距离.
故点 P 的坐标为(-5,±4 5).
答案:B
课前篇自主预习
【做一做2】 过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,
若F是线段AB的中点,则|AB|=(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:由题可知,线段AB为抛物线的通径,
所以|AB|=2p=4,故选D.
答案:D
课前篇自主预习
【做一做3】 若过抛物线C:y2=4x的焦点且斜率为2的直线与C交于
解得 = 2 6, 或
=4
= 4,
= 5,
故所求的抛物线方程为 y2=-8x,m 的值为±2 6.
方法二:依题意设抛物线方程为 y2=-2px(p>0),则准线方程为 x=2 .
由抛物线定义可知,点 M(-3,m)到准线的距离也等于 5,因此 +3=5,解
2
得 p=4.
于是所求抛物线方程为 y2=-8x,将点 M(-3,m)坐标代入该方程可得
(
16
答案:2 2
课前篇自主预习
【做一做5】 已知抛物线x2=4y,经过其焦点F的直线与抛物线相交
于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2为定值.
证明:抛物线x2=4y的焦点F(0,1),
第九讲 与抛物线有关的综合问题(讲稿)
首都师范大学附属丽泽中学高三培优讲座北京丰台二中 张健第九讲：与抛物线有关的综合问题1.（2010年朝阳二模19）已知动点M 到点(1, 0)F 的距离，等于它到直线1x =-的距离．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 任意作互相垂直的两条直线12,l l ，分别交曲线C 于点,A B 和,M N ．设线段AB ，MN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求FPQ ∆面积的最小值．解：（Ⅰ）设动点M 的坐标为(,)x y ，|1|x =+，化简得24y x =，所以点M 的轨迹C 的方程为24y x =．4分 （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为11(, )x y ，22(,)x y ，则点P 的坐标为1212(,)22x x y y ++． 由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =- (0)k ≠，由24,(1),y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2242(24)416160k k k D =+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以12242x x k +=+， 12124(2)y y k x x k+=+-=． 所以点P 的坐标为222(1, )k k+. 由题知，直线2l 的斜率为1k -，同理可得点Q 的坐标为2(12,2)k k +-.当1k ≠±时，有222112k k+≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ kk k k k k k+==-+--. 所以，直线PQ 的方程为222(12)1ky k x k k+=---， 整理得2(3)0yk x k y +--=. 于是，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ； 当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点(3, 0)E ．F Q P NBMAO yx综上所述，直线PQ 恒过定点(3, 0)E ．…10分 （Ⅲ）可求的||2EF =， 所以FPQ ∆面积121||(2||)2(||)42||||S FE k k k k =+=+≥. 当且仅当1k =±时，“=”成立，所以FPQ ∆面积的最小值为4． 13分2.已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点F(1,0), 1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点M （4，0）的直线l 与抛物线2C 分别相交于A,B 两点.（Ⅰ）写出抛物线2C 的标准方程；（Ⅱ）若12AM MB =，求直线l 的方程；（Ⅲ）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值. 解：（Ⅰ）由题意，抛物线2C 的方程为：24y x =，…………2分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k k =-≠存在且. 联立2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x ，得 24160ky y k --=，3分显然216640k ∆=+>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则 124y y k+=① 1216y y ⋅=- ② 4分又12AM MB =，所以 1212y y =- ③ 5分由①② ③消去12,y y ，得22k =，故直线l的方程为y -或y =+ .………6分（Ⅲ）设(,)P m n ，则OP 中点为(,)22m n， 因为O P 、两点关于直线(4)y k x =-对称，所以(4)221nm k n k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，即80km n k m nk -=⎧⎨+=⎩，解之得2228181k m k k n k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，……8分 将其代入抛物线方程，得：222288()411k k k k-=⋅++，所以，21k =. ……………9分 联立 2222(4)1y k x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得：2222222222()8160b a k x k a x a k a b +-+-=. …10分由2222222222(8)4()(16)0k a b a k a k a b ∆=--+-≥，得242222216()(16)0a k b a k k b -+-≥，即222216a k b k +≥，……………12分 将21k =，221b a =-代入上式并化简，得 2217a ≥，所以a ≥，即2a ≥ 因此，椭圆1C分 3.（2012年东城二模理18）已知抛物线C ：24x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,MA MB ，切点分别为A ,B .（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程；（Ⅱ）证明：以AB 为直径的圆恒过点M . 解：（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±.代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. …3分设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=． …5分证明：（Ⅱ）设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ， 所以12MA x k =，22MB x k =，切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-， 切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．…7分又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-． ……9分因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=.……13分 所以以AB 为直径的圆恒过点M ． ………14分4.（2010年西城期末19）已知抛物线x y C 4:2=，直线b kx y l +=:与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点。
综合问题题目
ABC二次函数专题练习1. 抛物线y=ax 2 + bx + c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，对称轴为直线x=1,已知：A(-1,0)、C(0,-3)。
（1）求抛物线y= ax 2+ bx + c 的解析式； （2）求△AOC 和△BOC 的面积比；（3）在对称轴上是否存在一个P 点,使△PAC 的周长最小。
若存在，请你求出点P 的坐标；若不存在，请你说明理由。
2. 抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.3．在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）， 已知A 点坐标为（0，3）． （1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ， C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.4．已知抛物线y ＝－12x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ．（1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式；（2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数x解析式，并探究S 的最大值．5．已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与该二次函数的图象交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为(3,4)，B 点在轴y 上. （1）求m 的值及这个二次函数的关系式；（2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A 、B 不重合），过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四形？若存在，请求出此时说明理由.6．一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象经过A （0，－2），B （1，0）两点，与反比例函数xk y 2错误！未找到引用源。
专题：抛物线上面积类综合问题
专题二十五：抛物线上面积类综合问题方法点睛在处理相应二次函数有关的面积类综合问题时，结合相应的图形特征，学会灵活转化和计算，注意运用全等，勾股及相似等相关知识，体现数形结合及代数式的运算计巧，对于相应交点，学会联立方程组来求取点坐标典例分析类型一：由已知面积来定未知面积类问题例1：（2022青海中考）如图1，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C.图1图2（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 是抛物线的对称轴与直线BC 的交点，点F 是抛物线的顶点，求EF 的长；（3）设点P 是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足6PAB S =△的点P ？如果存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨）与y 轴交于点B ，其中点B 坐标为（0，－4），点C 坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D 是直线AB 下方抛物线上一个动点，连接AD 、BD ，探究是否存在点D ，使得△ABD 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P 为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB 为直角三角形，请求出点P 的坐标．类型二：图形面积的最大值问题例2：（2022广安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x m =++（a≠0）的图象与x 轴交于A 、C 两点，类型三：与面积倍分有关的综合题例3：（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C （0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．专题过关1.（2022枣庄中考）（12分）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC ∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（1）①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD 的函数表达式．（2）点E 是直线AD 下方抛物线上一点，连接BE 交AD 于点F ，连接BD ，DE ，BDF 的面积记为1S ，DEF 的面积记为2S ，当122S S =时，求点E 的坐标；（3）点G 为抛物线的顶点，将抛物线图象中x 轴下方部分沿x 轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为1C ，点C 的对应点C '，点G 的对应点G '，将曲线1C ，沿y 轴向下平移n 个单位长度（06n <<）．曲线1C 与直线BC 的公共点中，选两个公共点作点P 和点Q ，若四边形C G QP ''是平行四边形，直接写出P 的坐标．2.（2022沈阳中考）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线23y ax bx =+-经过点()6,0B 和点()4,3D -与x 轴另一个交点A ．抛物线与y 轴交于点C ，作直线AD ．（3）在（1）的条件下，抛物线与y 轴交于点B，点P 是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD 交于点M，PD 与y 轴交于点N．设S＝S △PAM ﹣S △BMN ，问是否存在这样的点P，使得S 有最大值？若存在，请求出点P 的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．3．（2022日照中考）（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y＝﹣x 2+2mx+3m，点A（3，0）．（1）当抛物线过点A 时，求抛物线的解析式；（2）证明：无论m 为何值，抛物线必过定点D，并求出点D 的坐标；（1）求a ，c 的值；（2）经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；（3）P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.（2022泸州中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C 作CD x ∥轴交二次函数图象于点D ，P 是二次函数图象上异于点D 的一个动点，连接PB 、PC ，若PBC BCD S S =△△，求点P 的坐标；（3）如图3，若点P 是二次函数图象上位于BC 下方的一个动点，连接OP 交BC 于点Q ．设点P 的横坐标为t ，试用含t 的代数式表示PQ OQ 的值，并求PQ OQ的最大值．5.（2022乐山中考）如图1，已知二次函数()20y ax bx c a =++>的图象与x 轴交于点()1,0A -、()2,0B ，与y 轴交于点C ，且tan 2OAC ∠=．（1）当2k =时，求A ，B 两点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB '，BB '，若B AB 'V 的面积与OAB 的面积相等，求k 的值；（3）试探究直线'AB 是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．6.（2022成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线()30y kx k =-≠与抛物线2y x =-相交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点B 关于y 轴的对称点为B '．过A，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D 是第二象限内抛物线上的动点，设点D 的横坐标为m，求四边形ABCD 面积S 的最大值及此时D 点的坐标；（3）若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q 为顶点的四边形是以AC 为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022烟台中考）（14分）如图，已知直线y＝x+4与x 轴交于点A，与y 轴交于点C，抛物线y＝ax 2+bx+c 经A 在点B 左侧），且215x x -=连接BC ，D 是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC ，CD ，:DCE BCE S S △△是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D ，DF 垂直AC 于点F ，使得DCF 中有一个锐角等于与BAC ∠的两倍？若存在，求点D 得横坐标，若不存在，请说明理由．8.（2022泰安中考）如图，抛物线2321y mx mx m =+-+的图象经过点C ，交x 轴于点()()12,0,,0A x B x （点3y x =-．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上一点，若12PBC ABC S S =，请直接写出点P 的坐标；（3）点Q 是抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．9.（2022通辽中考）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，直线BC 方程为（1）求该抛物线的解析式；（2）如图1，N 是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM ，记AOG MOG ，的面积分别为12,S S ．当122S S =，且直线CN AM ∥时，求证：点N 与点M 关于y 轴对称；（3）如图2，直线BM 与y 轴交于点H ，是否存在点M ，使得27OH OG -=．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10.（2022包头中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax c a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，点B 的坐标是(2,0)，顶点C 的坐标是(0,4)，M 是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM 与y 轴交于点G ．交于点C ，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）如图，点P 为第一象限内抛物线上的点，过点P 作PD AB ⊥，垂足为D ，作PE x ⊥轴，垂足为E ，交AB 于点F ，设PDF 的面积为1S ，BEF 的面积为2S ，当124925S S =时，求点P 坐标；（3）点N 为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N ，使得直线BC 垂直平分线段PN ？若存在，请直接写出点N 坐标，若不存在，请说明理由．11.（2022营口中考）在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++经过点127,28A ⎛⎫- ⎪⎝⎭和点()4,0B ，与y 轴（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在第四象限，点D 在线段BC 上，连接PD 并延长交x 轴于点E ，连接CE ，记DCE 的面积为1S ，DBP 的面积为2S ，当12S S =时，求点P 的坐标；（3）如图2，若点P 在第二象限，点F 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l 与线段BC 交于点G ，当90PBC CFG ∠+∠=︒时，求点P 的横坐标．12.（2022盘锦中考）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于,(4,0)A B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,4)C -，点P 在抛物线上，连接,BC BP ．（1）求这两个函数的表达式；（2）当1y 随x 的增大而增大且12<y y 时，直接写出x 的取值范围；（3）平行于x 轴的直线l 与函数1y 的图像相交于点C 、D （点C 在点D 的左边），与函数2y 的图像相交于点E .若△ACE 与△BDE 的面积相等，求点E 的坐标.13.（2022泰州中考）如图，二次函数211y x mx =++的图像与y 轴相交于点A ，与反比例函数2(0)k y x x =>的图像相交于点B(3，1).（1）当该函数的图像经过原点()0,0O ，求此时函数图像的顶点A 的坐标；（2）求证：二次函数2(2)4y x m x m =+-+-的顶点在第三象限；（3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线2y x =--上运动，平移后所得函数的图像与y 轴的负半轴的交点为B ，求AOB 面积的最大值．14.（2022连云港中考）已知二次函数2(2)4y x m x m =+-+-，其中2m >．(1)求抛物线F 1的解析式；(2)如图2，作抛物线F 2，使它与抛物线F 1关于原点O 成中心对称，请直接写出抛物线F 2的解析式；(3)如图3，将(2)中抛物线F 2向上平移2个单位，得到抛物线F 3，抛物线F 1与抛物线F 3相交于C ，D 两点(点C 在点D 的左侧)．①求点C 和点D 的坐标；②若点M ，N 分别为抛物线F 1和抛物线F 3上C ，D 之间的动点(点M ，N 与点C ，D 不重合)，试求四边形CMDN面积的最大值．15.（2022岳阳中考）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线F 1：y =x 2+bx +c 经过点A(−3,0)和点B(1,0)．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点()(),06P m n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作FE //AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．16.（2022娄底中考）如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时，求B 的坐标；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值17.（2022常德中考）如图，已经抛物线经过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =-，且OA OC =，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC ，当点P 在直线AC 上方时，求四边形PABC 面积的最大值，并求出此时P 点的坐标；（3）设M 为抛物线对称轴上一动点，当P ，M 运动时，在坐标轴上是否存在点N ，使四边形PMCN 为矩形？若存在，直接写出点P 及其对应点N 的坐标；若不存在，请说明理由．18.（2022随州中考）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y ax bx c a =+++<与x 轴分则点A 和点()10B ,，（1）直接写出点B 和点D 的坐标；（2）如图1，连接OD ，P 为x 轴上的动点，当tan ∠PDO ＝12时，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是点B 关于抛物线对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m （0＜m ＜5），连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ．设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求12S S 的最大值．19.（2022黄冈中考）抛物线y ＝x 2－4x 与直线y ＝x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在点P ，使PBC 的面积是BCD △面积的4倍，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．20.（2022龙东中考）如图，抛物线2y x bx c =++经过点()1,0A -，点()2,3B -，与y 轴交于点C ，抛物线的21.（2022哈尔滨中考）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2y ax b =+经过点521,28A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,28B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与y 轴交于点C ．（1）求a ，b 的值；（2）如图1，点D 在该抛物线上，点D 的横坐标为2-，过点D 向y 轴作垂线，垂足为点E ．点P 为y 轴负半轴上的一个动点，连接DP 、设点P 的纵坐标为t ，DEP 的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA ，点F 在OA 上，过点F 向y 轴作垂线，垂足为点H ，连接DF 交y 轴于点G ，点G 为DF 的中点，过点A 作y 轴的平行线与过点P 所作的x 轴的平行线相交于点N ，连接CN ，PB ，延长PB 交AN 于点M ，点R 在PM 上，连接RN ，若35CP GE =，2PMN PDE CNR ∠+∠=∠，求直线RN 的解析式．22.（2022贺州中考）如图，抛物线2y x bx c =-++过点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线对称轴上一动点，当PCB 是以BC 为底边的等腰三角形时，求点P 的坐标；（3）在（2）条件下，是否存在点M 为抛物线第一象限上的点，使得BCM BCP S S =△△？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．23.（2022广东中考）如图，抛物线2y x bx c =++（b ，c 是常数）的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，()1,0A ，4AB =，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．（1）求该抛物线的解析式；（2）求CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．24.（2022福建中考）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx =+经过A （4，0），B （1，4）两点．P 是抛物线上一点，且在直线AB的上方．（1）求抛物线的解析式；（2）若△OAB 面积是△PAB 面积的2倍，求点P 的坐标；（3）如图，OP 交AB 于点C ，PD BO ∥交AB 于点D ．记△CDP ，△CPB ，△CBO 的面积分别为1S ，2S ，3S ．判断1223S S S S +是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．25.（2022南阳卧龙一模）如图，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(6,0),(1,0)A B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为该抛物线对称轴上一点，当CM BM +最小时，求点M 的坐标；（3）若点P 在抛物线第一象限的图象上，则ACP △面积的最大值为________．26.（2022西工大附中三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W 1与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣6），顶点为D （﹣2，2）．（1）求抛物线W 1的表达式；（2）将抛物线W 1绕原点O 旋转180°得到抛物线W 2，抛物线W 2的顶点为D'，在抛物线W 2上是否存在点M ，使S △D′AD ＝S △D′DM ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．27.（2022山西百校联考）如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A 和点()3,0B ，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式，并直接写出BC 所在直线的表达式．（2）点P 为第四象限内抛物线上一点，连接AP ，BP ，求四边形APBC 面积的最大值及此时点P 的坐标．（3）设点D 是BC 所在直线上一点，且点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使ACD △为等腰三角形？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．28.（2022山西一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为(3,0)，B 点坐标为(1,0)-，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）b =________，c =________；（2）在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29.（2022山西三模）综合与探究如图，直线(0)y kx b k =+≠与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线213222y x x =-++过点B ，C ，且与x 轴交于另一点A ，点D 为抛物线上一动点，其横坐标为m ．（1）求k ，b 的值和点A 的坐标．（2）若点D 在第一象限，连接AD 交BC 于点E ，连接AC ，CD ，当CDE △的面积是ACE 的面积的一半时，求m 的值．（3）连接BD ，是否存在点D ，使得∠=∠DBA BCO ，若存在，直接写出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2022临汾二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过()4,0A -，()0,4B -，()2,0C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y x =-上的动点，若以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．。
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抛物线的综合问题(六十八)1．(优质试题·广东中山第一次统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB|＝( ) A ．6 B ．8 C ．9 D ．10答案 B解析 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋p ＝8.故选B.2．若抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点的坐标是( ) A ．(12，1)B ．(0，0)C ．(1，2)D ．(1，4)答案 A解析 设与直线y ＝4x －5平行的直线为y ＝4x ＋m ，由平面几何的性质可知，抛物线y ＝4x 2上到直线y ＝4x －5的距离最短的点即为直线y ＝4x ＋m 与抛物线相切的点．而对y ＝4x 2求导得y ′＝8x ，又直线y ＝4x ＋m 的斜率为4，所以8x ＝4，得x ＝12，此时y ＝4×(12)2＝1，即切点为(12，1)，故选A.3．(优质试题·北京东城期末)过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，如果|BF|＝3，|BF|>|AF|，∠BFO ＝2π3，那么|AF|的值为( ) A ．1 B.32 C ．3 D ．6答案 A解析 由已知直线的斜率为k ＝3，则方程为y ＝3(x －p 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －p 2），y 2＝2px ，得3x 2－5px ＋3p 24＝0，即(2x －3p)(6x －p)＝0.因为|BF|>|AF|，所以x B ＝32p ，x A ＝p 6，依题意x B ＋p 2＝2p ＝3，所以p ＝32，则|AF|＝x A ＋p 2＝23p ＝1.故选A.4．(优质试题·广东汕头第三次质检)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，与直线y ＝2x －4交于A ，B 两点，则cos ∠AFB ＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 ∵抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，∴点F 的坐标为(1，0)．又∵直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，∴A ，B 两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA →＝(0，－2)，FB →＝(3，4)，∴cos ∠AFB ＝FA →·FB →|FA →||FB →|＝－810＝－45.故选D.5．(优质试题·河南四校联考)设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px(p>0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为( ) A.33 B.23 C.22D ．1 答案 C解析 由题意可得F(p 2，0)．设P(y 022p，y 0)，当y 0<0时，k OM <0；当y 0>0时，k OM >0.∵要求k OM 的最大值，∴y 0>0.∵OM →＝OF →＋FM →＝OF →＋13FP →＝OF →＋13(OP →－OF →)＝13OP →＋23OF →＝(y 026p ＋p3，y 03)，∴k OM ＝y 03y 026p ＋p 3＝2y 0p ＋2py 0≤22y 0p ·2p y 0＝22，当且仅当y 02＝2p 2，即y 0＝2p 时取得等号．故选C.6．(优质试题·广西玉林期末)从抛物线y 2＝4x 的准线l 上一点P 引抛物线的两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点．若直线AB 的倾斜角为π3，则P 点的纵坐标为( )A.33B.233C.433 D ．2 3答案 B解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(－1，y)，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.∵直线AB 的倾斜角为π3，∴4y 1＋y 2＝3，∴y 1＋y 2＝433.切线PA 的方程为y －y 1＝2y 1(x －x 1)，切线PB 的方程为y －y 2＝2y 2(x －x 2)，即切线PA 的方程为y ＝2y 1x ＋12y 1，切线PB 的方程为y ＝2y 2x ＋12y 2.∴y 1，y 2是方程t 2－2yt ＋4x ＝0两个根，∴y 1＋y 2＝2y ＝433.∴y ＝233.故选B. 7．(优质试题·石家庄市高三检测)已知圆C 1：x 2＋(y －2)2＝4，抛物线C 2：y 2＝2px(p>0)，C 1与C 2相交于A ，B 两点，且|AB|＝855，则抛物线C 2的方程为( ) A ．y 2＝85xB ．y 2＝165x C ．y 2＝325x D ．y 2＝645x答案 C解析 由题意，知直线AB 必过原点，则设AB 的方程为y ＝kx(k>0)，圆心C 1(0，2)到直线AB 的距离d ＝2k 2＋1＝22－（455）2＝255，解得k ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋（y －2）2＝4，可取A(0，0)，B(85，165)，把(85，165)代入抛物线方程，得(165)2＝2p·85，解得p ＝165，所以抛物线C 2的方程为y 2＝325x ，故选C.8．直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( )A ．(－3，0)B ．(0，－3)C ．(3，0)D ．(0，3)答案 A解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 12＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，所以b ＝－3，即直线l ：x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3，0)．9.(优质试题·湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l ：y ＝k(x ＋1)(k>0)与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M ，N ，若|AM|＝2|BN|，则k 的值是( ) A.13 B.23C.223 D ．2 2答案 C解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k （x ＋1），消去x ，得ky 2－4y ＋4k ＝0.①因为直线与抛物线相交，所以有 Δ＝42－4×k ×4k ＝16(1－k 2)>0.(*)y 1，y 2是方程①的两个根，所以有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝4.②③又因为|AM|＝2|BN|，所以y 1＝2y 2.④ 解由②③④组成的方程组，得k ＝223.把k ＝223代入(*)式检验，不等式成立．所以k ＝223，故选C.10．(优质试题·威海一模)过抛物线C ：y 2＝2px(p>0)上一定点P(x 0，y 0)(y 0>0)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，若直线PA ，PB 关于直线x ＝x 0对称，则log 2|y 1＋y 2|－log 2y 0的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．－12D ．无法确定答案 A解析 设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .由y 12＝2px 1，y 02＝2px 0相减得(y 1－y 0)(y 1＋y 0)＝2p(x 1－x 0)，故k PA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0(x 1≠x 0)．同理可得k PB ＝2p y 2＋y 0(x 2≠x 0)．若直线PA ，PB 关于直线x ＝x 0对称，则PA ，PB 的倾斜角互补．故k PA ＝－k PB ，即2p y1＋y 0＝－2p y 2＋y 0.所以y 1＋y 2＝－2y 0，故y 1＋y 2y 0＝－2，故log 2|y 1＋y 2|－log 2y 0＝1.故选A. 11．(优质试题·东城区期末)已知抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M ，若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 由题可知，抛物线开口向上且焦点坐标为(0，p2)，双曲线焦点坐标为(2，0)，所以两个焦点连线的直线方程为y ＝－p 4(x －2)．设M(x 0，y 0)，则有y ′＝1p x 0＝33⇒x 0＝33p.因为y 0＝12p x 02，所以y 0＝p 6.又M 点在抛物线的切线上，即有p 6＝－p 4(33p －2)⇒p ＝433，故选D. 12．(优质试题·浙江杭州七校模拟质量检测)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点(0，3)的直线与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点D ，若|AF|＋|BF|＝6，则点D 的坐标为________． 答案 (4，0)解析 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋3，代入抛物线y 2＝4x ， 整理得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－6k －4k 2，由|AF|＋|BF|＝6，得(x 1＋p 2)＋(x 2＋p2)＝x 1＋x 2＋p ＝－6k －4k 2＋2＝6，解得k ＝－2，k ＝12(舍去)，所以线段AB 的中点为(2，－1)，线段AB 的垂直平分线方程为y ＋1＝12(x －2)，令y ＝0，得x ＝4.故点D 的坐标为(4，0)．13．(优质试题·郑州质检)设抛物线y 2＝16x 的焦点为F ，经过点P(1，0)的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且2BP →＝PA →，则|AF|＋2|BF|＝________． 答案 15解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．∵P(1，0)，∴BP →＝(1－x 2，－y 2)，PA →＝(x 1－1，y 1)． ∵2BP →＝PA →，∴2(1－x 2，－y 2)＝(x 1－1，y 1)， ∴x 1＋2x 2＝3，－2y 2＝y 1.将A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)代入抛物线方程y 2＝16x ，得 y 12＝16x 1，y 22＝16x 2.又∵－2y 2＝y 1，∴4x 2＝x 1.又∵x 1＋2x 2＝3，解得x 2＝12，x 1＝2.∴|AF|＋2|BF|＝x 1＋4＋2(x 2＋4)＝2＋4＋2×(12＋4)＝15.14．等腰直角三角形AOB 内接于抛物线y 2＝2px(p>0)，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB ，△AOB 的面积是16，抛物线的焦点为F.若M 是抛物线上的动点，则|OM||MF|的最大值为________．答案233解析 设等腰直角三角形OAB 的顶点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2.由|OA|＝|OB|，得x 12＋y 12＝x 22＋y 22，∴x 12－x 22＋2px 1－2px 2＝0，即(x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2p)＝0. ∵x 1>0，x 2>0，2p>0，∴x 1＝x 2，即点A ，B 关于x 轴对称．∴设直线OA 的方程为y ＝x ，与抛物线方程联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2p ，∴|AB|＝4p ，∴S △OAB ＝12×2p ×4p ＝4p 2.∵△AOB 的面积为16，∴p ＝2.∴焦点F(1，0)．设M(m ，n)，则n 2＝4m ，m>0，设点M 到准线x ＝－1的距离等于d ， 则|OM||MF|＝|OM|d＝m 2＋4mm ＋1.令m ＋1＝t ，t>1，则m ＝t －1，|OM||MF|＝－3（1t －13）2＋43≤233(当且仅当t ＝3时，等号成立)．∴|OM||MF|的最大值为233.15．(优质试题·河北唐山一中期末)已知抛物线C ：x 2＝2py(p>0)，圆O ：x 2＋y 2＝1. (1)若抛物线C 的焦点F 在圆上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求|AF|；(2)若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相交于点M ，N ，求|MN|的最小值及相应p 的值． 答案 (1)5－1 (2)223解析 (1)由题意得F(0，1)，∴C ：x 2＝4y.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x 2＋y 2＝1，得y A ＝5－2，∴|AF|＝5－1.(2)设M(x 0，y 0)，则切线l ：y ＝x 0p (x －x 0)＋y 0，整理得x 0x －py －py 0＝0.由|ON|＝1得|py 0|＝x 02＋p 2＝2py 0＋p 2，∴p ＝2y 0y 02－1且y 02－1>0.∴|MN|2＝|OM|2－1＝x 02＋y 02－1＝2py 0＋y 02－1＝4y 02y 02－1＋y 02－1＝4＋4y 02－1＋(y 02－1)≥8，当且仅当y 0＝3时等号成立． ∴|MN|的最小值为22，此时p ＝ 3.16.(优质试题·江西九江一模)已知抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，过点F 且倾斜角为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B 两点，求|FA|·|FB|的取值范围．答案 (1)y 2＝4x (2)|FA|·|FB|∈[3，＋∞)解析 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0.设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x. (2)由(1)知，F(1，0)，设C(x 0，y 0)，则圆C 的方程是 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 02. 令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0.又∵y 02＝4x 0，∴Δ＝4y 02－12x 0＋3＝y 02＋3>0恒成立．设A(－12，y 3)，B(－12，y 4)，则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34.∴|FA|·|FB|＝y 32＋94·y 42＋94＝（y 3y 4）2＋94（y 32＋y 42）＋8116＝（3x 0－34）2＋94[4y 02－2（3x 0－34）]＋8116＝9x 02＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|.∵x 0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)．1．(优质试题·南昌一模)已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB|，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3 B.3π4 C.5π6 D.2π3答案 D解析 因为x 1＋x 2＋4＝233|AB|，|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋4，所以|AF|＋|BF|＝233|AB|.在△AFB中，由余弦定理得cos ∠AFB ＝|AF|2＋|BF|2－|AB|22|AF||BF|＝（|AF|＋|BF|）2－2|AF||BF|－|AB|22|AF||BF|＝43|AB|2－|AB|22|AF||BF|－1＝13|AB|22|AF||BF|－1.又|AF|＋|BF|＝233|AB|≥2|AF||BF|，当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立，所以|AF||BF|≤13|AB|2，所以cos ∠AFB ≥13|AB|22×13|AB|2－1＝－12，所以∠AFB ≤2π3，即∠AFB 的最大值为2π3.2．(优质试题·辽宁五校期末联考)已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是( ) A ．2B.12。