浙江省湖州市三校高考数学模拟试卷(4月份)
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷
浙江省衢州、丽水、湖州三地市2020届高三下学期数学4月教学质量检测试卷一、单选题 (共10题；共20分)1．（2分）已知集合A=[0,4]，B={x∈R||x|≤1}，则(∁R A)∩B=（）A．[−1,0)B．[−1,0]C．[0,1]D．(1,4]2．（2分）椭圆x22+y2=1的离心率是（）A．12B．13C．√23D．√223．（2分）已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．323B．4C．163D．84．（2分）明朝的程大位在《算法统宗》中（1592年），有这么个算法歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.它的意思是说：求某个数（正整数）的最小正整数值，可以将某数除以3所得的余数乘以70，除以5所得的余数乘以21，除以7所得的余数乘以15，再将所得的三个积相加，并逐次减去105，减到差小于105为止，所得结果就是这个数的最小正整数值.《孙子算经》上有一道极其有名的“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何.”用上面的算法歌诀来算，该物品最少是几件（）A．21B．22C．23D．245．（2分）函数f(x)=(e x+e−x)ln|x|的图象大致为()A ．B ．C ．D ．6．（2分）若实数x ，y 满足约束条件 {x −2y +3≥02x −y −3≤0x +y ≥0 ，则 2x +3y 的取值范围是（ ）A ．[−1,15]B ．[1,15]C ．[−1,16]D ．[1,16]7．（2分）若 a >,b >0 ，则“ ab ≤4 ”是“ ab a+b≤1 ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2分）已知任意 a ∈[−1，2] ，若存在实数b 使不等式 |x 2−ax|≤b 对任意的 x ∈[0，2] 恒成立，则（ ） A ．b 的最小值为4 B ．b 的最小值为6 C ．b 的最小值为8D ．b 的最小值为109．（2分）如图，正方形ABCD 的中心与圆O 的圆心重合，P 是圆O 上的动点，则下列叙述不正确的是（ ）A ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值. B ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值.C ．|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ | 是定值.D ．PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2是定值. 10．（2分）对任意的实数 x >0 ，不等式 2ae 2x −lnx +lna ≥0 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．2√eB ．12√eC ．2eD ．12e二、填空题 (共3题；共3分)11．（1分）若复数 z =21+i（i 为虚数单位），则 |z|= . 12．（1分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点M 是双曲线 x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 上的异于顶点的任意一点，过点M 作双曲线的切线l ，若 k OM ⋅k l =13，则双曲线离心率 e 等于 .13．（1分）已知函数 f(x)=x 2+ax +a ， A ={x ∈R|f(x)≤x} ， B ={x ∈R|f[f(x)]≤f(x)} ， A ≠∅,A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 .三、双空题 (共4题；共8分)14．（2分）在数列 {a n } 中， S n 为它的前 n 项和，已知 a 2=1 ， a 3=6 ，且数列 {a n +n} 是等比数列，则 a n = ， S n = .15．（2分）二项式 (1x −x 2)6 的展开式的各项系数之和为 ， x 4 的系数为 ．16．（2分）已知直线 l:mx −y =1, 若直线 l 与直线 x −my −1=0 平行，则m 的值为 ，动直线 l 被圆 x 2+y 2−2y −8=0 截得的弦长最短为 .17．（2分）已知随机变量X 的分布列如下表：其中 a >0，b >0 .且 E(X)=2 ，则b= ， D(2X −1) = .四、解答题 (共5题；共50分)18．（10分）在 △ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为 a,b,c 已知 tan(π4+A)=3 .（1）（5分）求 sin2A +cos 2A 的值；（2）（5分）若 △ABC 的面积 S =1 ， c =2 ，求 a 的值.19．（10分）如图，已知四棱锥 A −BCDE ，正三角形ABC 与正三角形ABE 所在平面互相垂直，BC// 平面 ADE ，且 BC =2 ， DE =1 .（1）（5分）求证： BC//DE ；（2）（5分）若 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求 CF 与平面 ABE 所成角的正弦值. 20．（10分）已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =a n 2+2a n 4，且 a n >0(n ∈N ∗) .（1）（5分）写出 a 1，a 2，a 3 的值，并求出数列 {a n } 的通项公式；（2）（5分）设 b n =√S n ， T n 为数列 {b n } 的前n 项和；求证： n 2+n 2<T n <n 2+2n 2.21．（10分）如图，设抛物线方程为 x 2=2py (p ＞0)，M 为直线 y =−2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B.（1）（5分）求直线AB 与y 轴的交点坐标；（2）（5分）若E 为抛物线弧AB 上的动点，抛物线在E 点处的切线与三角形MAB 的边MA ，MB 分别交于点 C ， D ，记 λ=S△EAB S △MCD，问 λ 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.22．（10分）已知 f(x)=(x 2−a)e −x ， g(x)=a(e −x +1)（1）（5分）当 a =1 时，判断函数 f(x) 的单调性；（2）（5分）当a>−1时，记f(x)的两个极值点为x1,x2(x1<x2)，若不等式x2f(x1)≤λ[f′(x2)−g(x1)]恒成立，求实数λ的值.答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】由题意∁R A=(−∞,0)∪(4,+∞)，B={x∈R||x|≤1}={x∈R|−1≤x≤1}，则(∁RA)∩B=[−1,0).故答案为：A.【分析】先计算出集合∁RA与B，再利用集合交集的概念即可得解.2．【答案】D【解析】【解答】由题意该椭圆a2=2，b2=1，由椭圆性质可得c2=a2−b2=1，所以离心率e=√c2a2=√12=√22.故答案为：D.【分析】由椭圆的一般式求得a2=2、b2=1、c2=1，利用e=√c2a2即可得解.3．【答案】C【解析】【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：所以V＝13×2×4×2＝163.故答案为：C.【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．4．【答案】C【解析】【解答】由题意可得70×2+3×21+2×15=233，则233−105×2=23.故答案为：C.【分析】由题意先计算出70×2+3×21+2×15=233，再计算233−105×2=23即可得解.5．【答案】D【解析】【解答】根据题意，函数的定义域 {x|x ≠0} ，因为 f(x)=(e x +e −x )ln|x| ，所以 f(x) 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除B 项， 当 x >1 时， f(x)>0 ，当 0<x <1 时， f(x)<0 ，排除 A,C 选项， 当 x →0 时， f(x)→−∞ ，所以D 项是正确的， 故答案为：D.【分析】根据题意，求出函数的定义域 {x|x ≠0} ，分析可得 f(x) 为偶函数，进而分析可得当 x >1 时， f(x)>0 ，当 0<x <1 时， f(x)<0 ，当 x →0 时， f(x)→−∞ ，分析选项，从而选出正确的结果.6．【答案】A【解析】【解答】由题意画出可行域，如图所示，令 z =2x +3y ，转化可得 y =−23x +z 3，数形结合可得，当直线 y =−23x +z3分别过点 A 、点 B 时， z 取最小值和最大值，由 {2x −y −3=0x +y =0 可得点 A(1,−1) ，由 {2x −y −3=0x −2y +3=0 可得点 B(3,3) ， 所以 z min =2−3=−1 ， z max =2×3+3×3=15 . 所以 2x +3y 的取值范围是 [−1,15] . 故答案为：A.【分析】由题意画出可行域，设 z =2x +3y ，数形结合即可得解.7．【答案】A【解析】【解答】 ∵ a >0 ， b >0 ，若 ab ≤4 ，则ab a+b ≤ab2ab =√ab 2≤1 ，当且仅当 a =b =2 时取等号，所以 ab a+b≤1 ； 当 a =1 ， b =5 时， ab a+b =56≤1 ，但 ab =5>4 ； ∴ “ ab ≤4 ”是“aba+b≤1 ”充分不必要条件.故答案为：A.【分析】由基本不等式可得：若 ab ≤4 ，则aba+b ≤1 成立；举出反例可得若 ab a+b≤1 ，则 ab ≤4 不一定成立，由充分条件和必要条件的概念即可得解.8．【答案】B【解析】【解答】由题意 |x 2−ax|≤b ⇔−b ≤x 2−ax ≤b ，设 f(x)=x 2−ax ， x ∈[0，2] ，其图象为开口向上，对称轴为 x =a2 的抛物线的一部分，当 a ∈[−1，0] 即 a 2∈[−12，0] 时， f(x)min =f(0)=0 ， f(x)max =f(2)=4−2a ≤6 ；当 a ∈(0,2] 即 a2∈(0,1] 时， f(x)min =f(a 2)=−a 24≥−1 ， f(x)max =f(2)=4−2a <4 ；若要 |x 2−ax|≤b 对于任意 a ∈[−1，2] ， x ∈[0，2] 均成立， 则 {b ≥6−b ≤−1 即b ≥6 ，所以b 的最小值为6.故答案为：B.【分析】转化条件得 −b ≤x 2−ax ≤b ，设 f(x)=x 2−ax ， x ∈[0，2] ，根据 a ∈[−1，0] 、 a ∈(0,2] 分类，分别求出函数 f(x) 的最值即可得解.9．【答案】C【解析】【解答】如图建立直角坐标系，设正方形边长为为 2a ，圆的半径为 r ，设点 P(x,y) ，则 A(a,a) ， B(−a,a) ， C(−a,−a) ， D(a,−a) ， x 2+y 2=r 2 ，则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,a −y) ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −x,a −y) ， PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a −x,−a −y) ， PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a −x,−a −y) ，对于A ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2(x 2+y 2)−4a 2=2r 2−4a 2 ，A 正确，不符合题意； 对于B ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4(x 2+y 2)=4r 2 ，B 正确，不符合题意； 对于C ，不妨令 a =1 ， r =2 ，当点 P(0,2) ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√(2−1)2+12+2√(2+1)2+12 =2√2+2√10 ；当点 P(√2,√2) ， |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2−√2+2+√2+2√2+22=4+2√6 ； C 错误，符合题意.对于D ， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=2(a −x)2+2(a +x)2+2(a −y)2+2(a +y)2 =8a 2+4(x 2+y 2)=8a 2+4r 2 ，D 正确，不符合题意. 故答案为：C.【分析】建立直角坐标系后，设正方形边长为2a ，圆的半径为r ，表示出各点坐标，利用坐标运算即可判断A 、B 、D ，举出反例即可判断C ，即可得解.10．【答案】D【解析】【解答】设 f(x)=2ae 2x −lnx +lna ，则 f′(x)=4ae 2x −1x.当 a ≤0 时， f′(x)<0 ，故 f(x) 单调递减，当 x →+∞ 时， f(x)→−∞ ，不成立； 当 a >0 时，取 f′(x)=4ae 2x −1x=0 ，根据图像知，方程有唯一解设为 x 0 ，则函数在 (0,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，故 f(x)min =f(x 0)=2ae 2x 0−lnx 0+lna ≥0 ，且 4ae 2x 0−1x 0=0 ，代换得到： 12x 0−2lnx 0−2x 0−2ln2≥0 ，易知函数 g(x)=12x −2lnx −2x −2ln2 在 (0,+∞) 上单调递减，且 g(12)=0 ，故 x 0≤12 . a =14x 0⋅e2x 0≥12e ，故当 x 0=12 时，有最小值为 12e . 故答案为： D .【分析】排除 a ≤0 的情况，存在唯一解 x 0 ，使则函数在 (0,x 0) 上单调递减，在 (x 0,+∞) 上单调递增，故 f(x)min =f(x 0) ， 4ae 2x 0−1x 0=0 ，代换得到 x 0≤12 ，代入计算得到答案.11．【答案】√2【解析】【解答】由题意 z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i ，所以 |z|=√12+12=√2 . 故答案为： √2 .【分析】由复数的运算法则得 z =1−i ，由复数模的概念即可得解.12．【答案】2√33【解析】【解答】当 y >0 时，由 x 2a 2−y 2b2=1 可得 y =√(x 2a 2−1)⋅b 2 ，求导得y ′=12⋅b2a2⋅2x ⋅1√(x 2a2−1)⋅b =b 2x a 2⋅1√(x 2a2−1)⋅b =b 2x a 2y ， 所以在双曲线上点 (x 0,y 0) 处的切线方程为 y −y 0=b 2x0a 2y 0⋅(x −x 0) ，化简得 x 0a 2x −y 0b2y =1 ，同理可得当 y ≤0 时依然成立；设点 M(m,n) ，则 k l =b 2m a 2n ， k OM =n m ， 由 k OM ⋅k l =13 得 b 2m a 2n ⋅n m =13 ，所以 b 2a 2=13 ， 所以双曲线离心率 e =√1+b 2a 2=√1+13=2√33 .故答案为： 2√33.【分析】利用导数证明在双曲线上点 (x 0,y 0) 处的切线方程为 x 0a 2x −y 0b 2y =1 ，转化条件得 b 2m a 2n ⋅n m =13，再利用 e =√1+b 2a 2即可得解. 13．【答案】0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6【解析】【解答】由 A ≠∅ ，可设 x 1 ， x 2(x 1≤x 2) 是方程 f(x)=x 即 x 2+(a −1)x +a =0的两个实根，则 A ={x ∈R|f(x)≤x}={x ∈R|x 1≤x ≤x 2} ， f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x 1 或 x 2 ， 则 f(x)−x =(x −x 1)(x −x 2) ，f[f(x)]−f(x)=[f(x)−x 1][f(x)−x 2] = [f(x)−x +x −x 1][f(x)−x +x −x 2]=[(x −x 1)(x −x 2)+(x −x 1)][(x −x 1)(x −x 2)+(x −x 2)]=(x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1) .由 A ⊆B 可得对任意 x 1≤x ≤x 2 ，均有 f[f(x)]−f(x)≤0 ，即 (x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1)≤0 对任意 x 1≤x ≤x 2 均成立，由 x −x 1≥0 ， x −x 2≤0 ， x −x 1+1>0 可得 x −x 2+1≥0 对任意 x 1≤x ≤x 2 均成立，所以 x 1−x 2+1≥0 ，所以 {Δ=(a −1)2−4a ≥0x 1−x 2+1=−√(x 1+x 2)2−4x 1x 2+1≥0 即 {(a −1)2−4a ≥0(a −1)2−4a ≤1 ， 解得 0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6 . 故答案为： 0≤a ≤3−2√2 或 3+2√2≤a ≤6 .【分析】设 x 1 ， x 2(x 1≤x 2) 是方程 f(x)=x 的两个实根，则可得 f[f(x)]=f(x)⇔f(x)=x 1 或 x 2 ，进而可得 f[f(x)]−f(x) =(x −x 1)(x −x 2)(x −x 1+1)(x −x 2+1) ，由 A ⊆B 可得对任意 x 1≤x ≤x 2 ，均有 f[f(x)]−f(x)≤0 ，即可得 x 1−x 2+1≥0 ，由韦达定理和根的判别式列出不等式组即可得解.14．【答案】3n−1−n ；3n2−n 2+n+12【解析】【解答】设 b n =a n +n ，数列 {b n } 的公比为 q ，则由题意 b 2=a 2+2=3 ， b 3=a 3+3=9 ，∴ q =b 3b 2=3 ， b 1=b 2q =1 ， ∴ b n =b 1q n−1=3n−1 ，∴ a n =b n −n =3n−1−n ，∴ S n =1−1+3−2+32−3+⋅⋅⋅+3n−1−n =(1+3+32+⋅⋅⋅+3n−1)−(1+2+3+⋅⋅⋅+n)=1⋅(1−3n)1−3−(1+n)n 2=3n2−n 2+n+12. 故答案为： 3n−1−n ， 3n2−n 2+n+12.【分析】设 b n =a n +n ，由等比数列的性质先求得 b n =3n−1 ，进而求得 a n =3n−1−n ；再利用分组求和法即可求得 S n .15．【答案】164；−316【解析】【解答】令 x =1 ， (1x −x 2)6=(1−12)6=164，故该二项式的展开式的各项系数之和为 164；二项式 (1x −x 2)6的展开式的通项公式为 T r+1=C 6r ⋅(1x )6−r ⋅(−x 2)r =C 6r ⋅(−12)r ⋅x 2r−6 ， 令 2r −6=4 即 r =5 ， C 65⋅(−12)5=−316，故 x 4 的系数为 −316 . 故答案为：164 ， −316.【分析】令 x =1 即可求得该二项式的展开式的各项系数之和；写出该二项式展开式的通项公式 T r+1=C 6r ⋅(−12)r ⋅x2r−6 ，令 2r −6=4 即可求得 x 4 的系数. 16．【答案】−1；2√5【解析】【解答】 ∵ 直线 l:mx −y =1 与直线 x −my −1=0 平行，∴m 1=−1−m ≠−1−1，解得 m =−1 ； 由题意可知直线 l:mx −y =1 恒过点 P(0,−1) ，圆 x 2+y 2−2y −8=0 的圆心 C(0,1) ，半径 r =3 ， CP =2 ， 易知当 CP ⊥l 时，直线被圆截得的弦长最短， 此时弦长为 2√r 2−CP 2=2√9−5=2√5 . 故答案为： −1 ； 2√5 .【分析】由直线平行的性质可得 m 1=−1−m ≠−1−1 ，解方程即可得 m =−1 ；由题意知直线 l 恒过点 P(0,−1) ，圆的圆心 C(0,1) ，半径 r =3 ，由圆的性质即可得所求弦长最小值为 2√r 2−CP ；即可得解.17．【答案】14；24 【解析】【解答】由题意 {12+b +14=1E(X)=0×12+2b +14a =2 ，解得 b =14， a =6 ； 所以 D(X)=(0−2)2×12+(2−2)2×14+(6−2)2×14=6 ，所以 D(2X −1)=22⋅D(X)=24 . 故答案为： 14， 24 .【分析】由概率和为1即可的 b =14，由题意结合期望公式可得 a =6 ，根据方差公式求得 D(X)后利用 D(2X −1)=22⋅D(X) 即可得解.18．【答案】（1）解：由题意 tanA =tan[(π4+A)−π4]=tan(π4+A)−tan π41+tan(π4+A)⋅tan π4=12 ， 所以 sin2A +cos 2A =2sinAcosA+cos 2A sin 2A+cos 2A=2tanA+1tan 2A+1=85（2）解：由（1） tanA =12 可得： tanA =sinA cosA =12即 cosA =2sinA ，又 sin 2A +cos 2A =1 ， A ∈(0,π) ，所以 sinA =√55 ， cosA =2√55；又 S =12bcsinA =1 ， c =2 可得 b =√5 ；a 2=b 2+c 2−2bccosA =5+4−8=1所以 a =1 .【解析】【分析】（1）由两角差的正切公式可得 tanA =12 ，转化条件 sin2A +cos 2A =2tanA+1tan 2A+1即可得解；（2）由同角三角函数的关系结合题意可得 sinA =√55 ， cosA =2√55，由三角形面积公式S =12bcsinA 可得 b =√5 ，再由余弦定理即可得解.19．【答案】（1）证明：因为 BC// 平面 ADE ， BC ⊂BCED ，且平面 BCED ∩ 平面 ADE =DE ， 所以 BC//DE（2）解：取 AB 中点O ，连接EO ，CO ，由题意可得OC 、OB 、OE 两两垂直， 如图所示建立空间直角坐标系，各点的坐标分别为 A(−1,0,0) ， B(1,0,0) ， C(0,√3,0) ， E(0,0,√3) ，..所以 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,0) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,0) ，所以 D(−12,√32,√3) ， AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,√3) . 所以 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13,√33,2√33) ，所以 F(−23,√33,2√33). 所以 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−23,−2√33,2√33) ， 因为平面 ABE 的一个法向量是 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，√3,0) 设CF 与平面ABE 所成的角为 θ ，则 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF ⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−23⋅2√73=√217 ， 所以CF 与平面ABE 所成角的正弦值为 √217.【解析】【分析】（1）由线面平行的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而可得平面 ABE 的一个法向量是 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和直线 CF 的方向向量 CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用 sinθ=|cos〈OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CF⃗⃗⃗⃗⃗ 〉| 即可得解.20．【答案】（1）解：因为 a n >0 ，当 n =1 时， a 1=S 1=a 12+2a 14 ，所以 a 1=2 ，当 n =2 时， S 2=a 1+a 2=a 22+2a 24 ，所以 a 2=4 ，当 n =3 时， S 3=a 1+a 2+a 3=a 32+2a 34 ，所以 a 3=6 ，当 n ≥2 时， a n =S n −S n−1=a n 2+2a n 4−a n−12+2a n−14 ，化简得 (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0 ， 因为 a n >0 ，所以 a n −a n−1−2=0 ； 所以数列 {a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，a n =2+2(n −1)=2n（2）证明：由（1）可得 S n =2+2n2⋅n =n(n +1) ， b n =√n(n +1) ；所以 b n >n ，所以 T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n >1+2+⋅⋅⋅+n =n 2+n 2；又 b n =√n(n +1)<n+(n+1)2=n +12；所以 T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n <(1+12)+(2+12)+⋅⋅⋅+(n +12)=n(n+1)2+n 2=n 2+2n 2 ；综上可得 n 2+n 2<T n <n 2+2n 2【解析】【分析】（1）分别令 n =1 、 n =2 、 n =3 即可得 a 1 、 a 2 、 a 3 的值；当 n ≥2时，利用 a n =S n −S n−1 可得 (a n +a n−1)(a n −a n−1−2)=0 ，则数列 {a n } 是首项为2，公差为2的等差数列，即可得解；（2）由等差数列前n 项和公式结合题意可得 b n =√n(n +1) ，根据b n >n 即可得 T n >n 2+n 2 ，根据 b n <n+(n+1)2 即可得 T n <n 2+2n 2，即可得证.21．【答案】（1）解：设 A(x 1,x 122p ) ， B(x 2,x 222p) ，抛物线方程 x 2=2py(p >0) 可变为 y =x 22p ，所以 y ′=xp ，所以 k AM =x 1p， k BM =x 2p ，直线 AM 的方程为 y −x 122p =x 1p (x −x 1) ，直线 BM 方程为 y −x 222p =x2p (x −x 2) ，则 {y −x 122p =x 1p (x −x 1)y −x 222p =x 2p (x −x 2) 解得 x M =x 2+x 12 ， y M =x 1x 22p ， 又k AB=x 222p −x 122px 2−x 1=x 2+x 12p ，所以直线 AB 的方程为 y −x 122p =x 2+x 12p(x −x 1) ，化简得 (x 1+x 2)x −2py −x 1x 2=0 ， 令 x =0 ， y =−x 1x 22p ， 又 y M =x 1x 22p=−2p ， 所以 y =2p ， 所以直线AB 与 y 轴的交点坐标为 (0,2p)（2）解：记 x M =x 1+x 22 ，设点 E(x 3,x 322p ) ， 可得直线 CD 的方程为 y −x 322p =x3p(x −x 3) ，由 {y −x 122p =x 1p (x −x 1)y −x 322p =x 3p (x −x 3) 可得 x C =x 1+x 32 ，同理 x D =x 2+x 32 ， 所以 |ACCM |=|x C −x 1x M −x C |=|x 1+x32−x 1||x 1+x 22−x 1+x 32|=|x 3−x 1x 2−x 3||CEED |=|x 3−x C x D −x 3|=|x 3−x 1+x32x 2+x 32−x3|=|x 3−x 1x 2−x 3| ， 所以 |AC CM |=|CEED | ，同理 |MD DB |=|x 3−x 1x 2−x 3| ， 所以 |AC CM |=|CE ED |=|MDDB| ， 设 |AC CM |=|CE ED |=|MD DB |=t ，记 S △MCE =S ，则 S △ACE =tS ， S △MDE =S t ， S △BDE =S t2 ， S △MAB S △MCD =|MA||MB||MC||MD|=t+11⋅t+1t =(t+1)2t， S △MCD =t+1t ⋅S ， 于是 S △MAB=(t+1)2t S △MCD =(t+1)2t ⋅t+1t ⋅S =(t+1)3t2S ，所以 S △EAB =S △MAB −S △MCD −S △ACE −S △BDE=(t+1)3t 2S −t+1t ⋅S −tS −S t 2=2(t+1)t ⋅S ，所以 λ=S△EAB S △MCD=2【解析】【分析】（1）设 A(x 1,x 122p ) ， B(x 2,x 222p) ，求导后可得直线AM 的方程与直线BM 方程，联立方程组可得yM =x1x22p，写出直线AB的方程为y−x122p=x2+x12p(x−x1)，令x=0即可得解；（2）设点E(x3,y3)，联立方程组可得x C=x1+x32，x D=x2+x32，进而可得|ACCM|=|CEED|=|MDDB|，设|ACCM|=|CEED|=|MDDB|=t，记S△MCE=S，表示出各三角形面积后，即可得解.22．【答案】（1）解：当a=1时，f(x)=(x2−1)e−x，所以f′(x)=(−x2+2x+1)e−x，令f′(x)=(−x2+2x+1)e−x=0，得−x2+2x+1=0，所以x1=1−√2，x2=1+√2，所以f(x)单调递减区间为(−∞,1−√2)，(1+√2，+∞)，单调递增区间为(1−√2,1+√2)（2）解：因为f′(x)=(−x2+2x+a)e−x，a>−1，所以−x2+2x+a=0有两个不等实根，由题意x1，x2为方程(−x2+2x+a)e−x=0即x2−2x−a=0的两相异根，则{x1+x2=2 x1x2=−a−x i2+2x i+a=0，所以f′(x2)−g(x1)=0−a(e−x1+1)=−a(e−x1+1)，x2f(x1)=x2(x12−a)e−x1=x2⋅2x1e−x1=2x1x2e−x1=−2ae−x1所以x2f(x1)≤λ[f′(x2)−g(x1)]可以转化为−2ae−x1≤−aλ(e−x1+1)，所以上式可化为(x12−2x1)[λ(e−x1+1)−2e−x1]≤0，则(x12−2x1)(λ−21+e x1)(e−x1+1)≤0即(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0，①当a∈(−1,0)时，由0<x1x2<1、x1+x2=2、x1<x2可得x1∈(0,1)，所以x12−2x1<0，所以λ−21+e x1≥0恒成立，因为此时21+e x1∈(21+e,1)所以λ≥1；②当a=0时x1=0，x12−2x1=0，显然(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0恒成立，即λ∈R；③当a∈(0,+∞)时，由x1x2<0可得x1∈(−∞,0)，x12−2x1>0，所以λ−21+e x1≤0恒成立，因为此时21+e x1∈(1,2)，所以λ≤1；综上可知：λ=1【解析】【分析】（1）求出导函数后，找到f′(x)>0、f′(x)<0的解集即可得解；（2）由题意结合韦达定理可知{x1+x2=2 x1x2=−a−x i2+2x i+a=0，原条件可化为(x12−2x1)(λ−21+e x1)≤0，根据a∈(−1,0)、a=0、a∈(0,+∞)分类讨论，即可得解.。
高考数学模拟考试试题含解析试题
三校2021年高考数学模拟考试试题〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题4分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据交集定义求解.【详解】选B.【点睛】此题考察集合交集，考察根本求解才能，属基此题.的一个焦点到一条渐近线的间隔是〔〕A. 1B. 2C. 4D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的间隔等于虚轴长一半，即得结果.【详解】因为双曲线的焦点到渐近线的间隔等于虚轴长一半，所以双曲线的一个焦点到一条渐近线的间隔是1,选A.【点睛】此题考察双曲线的焦点与渐近线，考察根本分析求解才能，属基此题.〔为虚数单位〕的一共轭复数是〔〕A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简复数为代数形式，再根据一共轭复数概念求解.【详解】因为,所以其一共轭复数是，选C.【点睛】此题考察一共轭复数概念，考察根本分析求解才能，属基此题.，满足约束条件，那么的最大值是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D【解析】【分析】先作可行域，再求范围，最后可得的最大值.【详解】作可行域，如图，那么直线过点A(-1,-1)时取最小值-4，过点时取最大值2，因此的最大值是4,选D.【点睛】此题考察线性规划求最值，考察根本分析求解才能，属基此题.，那么函数的图像可能为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数奇偶性，舍去B,D，再根据函数值正负确定选项.【详解】因为，所以舍去B,D，因为ln3>0,所以选C.【点睛】此题考察函数图象识别，考察根本分析判断才能，属基此题.与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直性质定理可证得充分性成立，举反例说明必要性不成立.【详解】因为，平面与平面相交于直线，直线在平面内，且，所以，因为直线在平面内，所以，即充分性成立，假设，，但时，与不一定垂直，即不一定垂直，即必要性不成立.选A.【点睛】此题考察面面垂直性质定理与充要关系，考察根本分析判断才能，属中档题.7.袋子中装有假设干个大小形状一样且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，假设取出小球上的数字的数学期望是2，那么的方差是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可假设标有数字1，2，3的小球各有1个，再根据方差定义求结果.【详解】因为取出小球上的数字的数学期望是2，且个数依次成等差数列，所以不妨设标有数字1，2，3的小球各有1个，从而随机抽取一个小球概率皆为，方差为，选B.【点睛】此题考察数学期望与方差，考察根本分析与求解才能，属中档题.中，为正三角形，，且在底面内的射影在的内部〔不包括边界〕，二面角，二面角，二面角的大小分别为，，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出三个二面角，再根据，确定二面角大小.【详解】设在底面内的射影为O，过O分别作AB,BC,CA垂线，垂足分别为D,E,F,那么，，，从而，，，因为，所以,,即,即，选C.【点睛】此题考察二面角，考察根本分析与判断才能，属中档题.，的夹角为，且，那么的最小值为〔〕A. B. C. 5 D.【答案】B【解析】【分析】建立坐标系，将转化为直线上一动点到两定点间隔和，再根据对称求最小值.【详解】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点间隔的和,因为关于直线的对称点为，所以选B. 【点睛】此题考察向量坐标表示与直线对称，考察等价转化与数形结合思想方法，考察根本求解才能，属难题.满足，，那么使的正整数的最小值是〔〕A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 2021 【答案】C【解析】【分析】令,利用裂项相消法得，再根据范围求正整数的最小值.【详解】令,那么,所以，从而，因为,所以数列单调递增，设当时, 当时,所以当时，，，从而,因此,选C.【点睛】此题考察数列递推关系与裂项相消法，考察等价转化与构造法，考察综合分析与求解才能，属难题.二、填空题：本大题一一共7小题，多空题每一小题6分，单空题每一小题4分，一共36分.11.我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？〞意思是：有一根竹子〔与地面垂直〕，原高二丈〔1丈=10尺〕，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的间隔为六尺，那么折断处离地面的高为__________尺．【解析】【分析】根据题意列方程，解得结果.【详解】设折断处离地面的高为尺．那么【点睛】此题考察数学文化与应用，考察根本分析与求解才能，属根底题.12.某几何体的三视图如下图〔单位：〕，那么该几何体的体积〔单位：〕等于_______，外表积〔单位：〕等于__________．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】先复原几何体，再根据柱体与锥体性质求体积与外表积.【详解】几何体一个边长为2的正方体挖去一个正四棱锥〔顶点在正方体下底面中心，底面为正方体上底面〕，因此几何体的体积为，外表积为【点睛】此题考察三视图与柱体与锥体性质，考察空间想象才能与根本求解才能，属根底题.中，内角，，所对的边分别为，，.，那么的值是__________，假设，，那么的面积等于_________.【答案】 (1). (2). 16【解析】【分析】第一空根据两角和正切公式得，再根据同角三角函数关系得的值，第二空先根据正弦定理得，再根据两角和正弦公式得,最后根据面积公式得结果.【详解】因为，所以，因此因为，所以因为()=,所以的面积等于【点睛】此题考察两角和正切公式、两角和正弦公式与正弦定理，考察根本分析求解才能，属根底题.，那么_________，_________.【答案】 (1). -27 (2). -940【解析】【分析】利用赋值法求系数.【详解】令得，所以，令得，令得，两式相加得【点睛】此题考察利用赋值法求二项展开式系数，考察根本分析求解才能，属根底题.，那么 __________，假设实数，且，那么的取值范围是__________．【答案】 (1). 4 (2).【解析】【分析】第一空直接代入对应解析式求解即可，第二空先根据函数图象确定关系及取值范围，再求的取值范围.【详解】),因为，且，所以,,因此.【点睛】此题考察分段函数求值以及函数图像，考察综合分析与求解才能，属中档题. 16.现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，假设每个盒子最多放一个小球，那么恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法一共有_______种.〔结果用数字表示〕【答案】336【解析】【分析】根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进展求解.【详解】先不考虑红球与黄球不相邻，那么4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，再考虑红球与黄球相邻，那么4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，因此所求放法为【点睛】此题考察排列组合应用，考察综合分析与求解才能，属中档题.的两个顶点，，过，分别作的垂线交该椭圆于不同于的，两点，假设，那么椭圆的离心率是__________．【答案】【解析】【分析】先求出，两点坐标，再根据弦长公式化简，解得离心率.【详解】过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，过作的垂线的方程为，与联立方程组解得，因为，所以【点睛】此题考察椭圆的离心率，考察综合分析与求解才能，属中档题.三、解答题：本大题一一共5小题，一共74分。
2024年浙江省中职数学高考押题模拟试卷(含答案)
浙江省2024年中职职教高考文化统考终极押题预测数学试卷姓名 准考证号本试卷共三大题，共4页。
满分150分，考试时间120分钟考生注意：1.答题前，请务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别写在试卷和答题纸规定的位置上。
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上相应的位置上规范答题，在本试卷上作答一律无效。
一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题3分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.设全集U =R ，{|02}A x x =≤≤，{|11}B x x =-≤≤，则图中阴影部分表示的区间是（ ）A ．[]0,1B ．()(),12,-∞-+∞C ．[]1,2-D ．(,1][2,)-∞-+∞ 2.下列命题中正确的是（ ）A ．若a b >，则11a b< B ．若a b <，则22ac bc < C ．若22a b >，则a b >D ．若22a b c c>，则a b > 3.函数()121f x x =++的值域为（ ） A ．()(),11,-∞+∞B ．()(),22,-∞+∞C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．()1,1- 4.若角α终边经过点()1,1-，则2sin 3cos cos 6cos 2sin ααααα++-的值为（ ） A ．54 B ．1 C ．34 D ．32- 5. “x 为整数”是“21x +为整数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知直线l 的倾斜角θ10y +-=的倾斜角互补，则θ=（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1507.已知数列{}n a 满足()*1111,21n n a a n a +==∈-N ，则5a 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．1-8.达-芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来引无数观赏者对其进行研究．某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一段圆弧，并测得圆弧AC 所对的圆心角α为60 ，弦AC 的长为10cm ，根据测量得到的数据计算：《蒙娜丽莎》缩小影像作品中圆弧AC 的长为（ ）（单位：cm ）A ．600πB ．100π3C ．10π3D ．5π39.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线24y x x =-+（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ）A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米10.若点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则AB 的长为（ ）A ．10B ．5C ．8D ．611.已知向量()5,2a = ，()4,3b =-- ，若c 满足320a b c -+= ，则c = （ ）A ．()23,12--B ．()23,12C ．()7,0D ．()7,0-12.直线220x y ++=与420ax y +-=互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）A ．()1,4-B ．()0,2-C ．()1,0-D ．0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭13.湖州市书画历史悠久，渊源深厚，自东晋六朝以来形成了浓郁深厚的书画遗风，孕育出了一代代书法与绘画大家。
2020-2021学年高三数学(文科)三校联考高考模拟试题及答案解析
三校联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A ．在[，]上是增函数B ．其图象关于直线x=﹣对称C ．函数g （x ）是奇函数D ．当x ∈[0，]时，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2）．（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]10．已知双曲线C ：﹣=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且=4，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．+1 B ．C ．+1 D ．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O （重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（ ） A ．π B ．π C ．π D ．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．设i 为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f （x ）=2x 2﹣xf ′（2），则函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程是 ． 15．若x ，y 满足若z=x+my 的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列； （2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a ，b ，c 的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率． 19．如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB=4，CD=2，侧面PAD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为PA 的中点．（1）求证：DE ∥平面PBC ； （2）求三棱锥A ﹣PBC 的体积．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+ablnx （其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R ），曲线y=f （x ）在点（e ，f （e ））处的切线方程为y=﹣e 2． （1）求b ；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga （x﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故函数f（x）=loga故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g （x ）=0，故g （x ）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B ．当x ∈[0，]时，2x ∈[0，]，cos2x ∈[﹣，1]，函数g （x ）的值域是[﹣1，2]，故选：D ．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1=1，S n 是数列{a n }前n 项的和，则（n ∈N +）的最小值为（ ） A ．4B ．3C ．2﹣2 D ．【分析】由题意得（1+2d ）2=1+12d ，求出公差d 的值，得到数列{a n }的通项公式，前n 项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a 1=1，a 1、a 3、a 13成等比数列， ∴（1+2d ）2=1+12d ． 得d=2或d=0（舍去）， ∴a n =2n ﹣1， ∴S n ==n 2， ∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A ．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等．9．已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数） A ．（0，）B ．[，]C ．（0，）D ．[，e]【分析】由题意，方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根，等价于y=f （x ）与y=ax 有2个交点，又a 表示直线y=ax 的斜率，求出a 的取值范围． 【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率， ∴y ′=，设切点为（x 0，y 0），k=，∴切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），而切线过原点，∴y 0=1，x 0=e ，k=， ∴直线l 1的斜率为， 又∵直线l 2与y=x+1平行， ∴直线l 2的斜率为，∴实数a 的取值范围是[，）． 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A．+1 B．C．+1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．πB．πC．πD．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4， ∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a ，则=， ∴a=2，设小球的半径为r ，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C ．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f （x ）满足：对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，且x ＞0时，有f （x ）＜2016，f （x ）的最大值、最小值分别为M ，N ，则M+N 的值为（ ） A ．2015B ．2016C ．4030D ．4032【分析】特殊值法：令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032．根据条件x ＞0时，有f （x ）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，都有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）﹣2016，∴令x 1=x 2=0，得f （0）=2016，再令x 1+x 2=0，将f （0）=2014代入可得f （x ）+f （﹣x ）=4032． 设x 1＜x 2，x 1，x 2∈[﹣2016，2016]，则x 2﹣x 1＞0，f （x 2﹣x 1）=f （x 2）+f （﹣x 1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解：=，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+bc ，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC 的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A ，进而通过正弦定理表示出c ，代入面积公式求得S+cosBcosC 的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a 2=b 2+c 2+bc ， ∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a ==2sinC ， ∴S===sinBsinC ∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos （B ﹣C ）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ，a n ，成等差数列． （1）证明数列{a n }是等比数列；（2）若b n =log 2a n +3，求数列{}的前n 项和T n ．【分析】（1）由题意得2a n =S n +，易求，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n ﹣2，从而可得b n ，进而有=，利用裂项相消法可得T n ；【解答】解：（1）证明：由S n ，a n ，成等差数列，知2a n =S n +， 当n=1时，有，∴，当n ≥2时，S n =2a n ﹣，S n ﹣1=2a n ﹣1﹣， 两式相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1（n ≥2），即a n =2a n ﹣1， 由于{a n }为正项数列，∴a n ﹣1≠0，于是有=2（n ≥2），∴数列{a n }从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2， ∴数列{a n }是以为首项，以2为公比的等比数列． （2）解：由（1）知==2n ﹣2，∴b n =log 2a n +3==n+1，∴==，∴T n =（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC 的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E ：（a ＞b ＞0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）为椭圆的两个焦点，M 为椭圆上任意一点，且|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3． （1）求椭圆E 的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF 1|，|F 1F 2|，|MF 2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a 、b ，即可求椭圆E 的方程；（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），结合x 1x 2+y 1y 2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB 的斜率不存在，设A （x 1，y 1），则B （x 1，﹣y 1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F 1F 2|=|MF 1|+|MF 2|， 即2×2c=2a ，得a=2c ．①又由，得②且a 2=b 2+c 2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E 的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r 为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m ，则r=，r 2=，①消去y ，整理得（3+4k 2）x 2+8kmx+4（m 2﹣3）=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C 2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。
2024浙江省高三下学期五校联考高考模拟考试数学及答案
2024年浙江省高考数学模拟卷命题：浙江省温州中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足1i 3iz=+−，则z 的共轭复数z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}21,M x x k k ==+∈Z ，{}31,N x x k k ==−∈Z ，则M N = （ ） A ．{}21,x x k k =+∈Z B ．{}31,x x k k =−∈Z C ．{}61,x x k k =+∈ZD ．{}61,x x k k =−∈Z3．已知不共线的平面向量a ，b 满足()()2a b a b λλ++∥，则正数λ=（ ）A ．1BCD ．24．传输信号会受到各种随机干扰，为了在强干扰背景下提取微弱信号，可用同步累积法．设s 是需提取的确定信号的值，每隔一段时间重复发送一次信号，共发送m 次，每次接收端收到的信号()1,2,3,,i i X s i m ε=+= ，其中干扰信号i ε为服从正态分布()20,N σ的随机变量，令累积信号1mi i Y X ==∑，则Y 服从正态分布()2,N ms m σ，定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方，例如1X 的信噪比为2s σ，则累积信号Y 的信噪比是接收一次信号的（ ）倍AB ．mC ．32mD ．2m5．已知函数()πcos 24f x x=+，则“()ππ8k k θ=+∈Z ”是“()f x θ+为奇函数且()f x θ−为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系xOy 中，直线2y x t =+与圆C ：22240x y x y +−+=相交于点A ，B ，若2π3ACB ∠=，则t =（ ） A ．12−或112− B ．－1或－6C ．32−或132− D ．－2或－77．已知甲、乙、丙、丁、戊5人身高从低到高，互不相同，将他们排成相对身高为“高低高低高”或“低高低高低”的队形，则甲、丁不相邻的不同排法种数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．188．已知双曲线()22221,0x y a b a b−=>上存在关于原点中心对称的两点A ，B ，以及双曲线上的另一点C ，使得ABC △为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．()2,+∞D ．+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数()()1e x f x x =+，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在区间()2,−+∞上单调递增B ．()f x 的最小值为21e−C ．方程()2f x =的解有2个D ．导函数()f x ′的极值点为－310．南丁格尔是一位英国护士、统计学家及社会改革者，被誉为现代护理学的奠基人．1854年，在克里米亚战争期间，她在接到英国政府的请求后，带领由38名志愿女护士组成的团队前往克里米亚救治伤员，并收集士兵死亡原因数据绘制了如下“玫瑰图”．图中圆圈被划分为12个扇形，按顺时针方向代表一年中的各个月份．每个扇形的面积与该月的死亡人数成比例．扇形中的白色部分代表因疾病或其他原因导致的死亡，灰色部分代表因战争受伤导致的死亡．右侧图像为1854年4月至1855年3月的数据，左侧图像为1855年4月至1856年3月的数据．下列选项正确的为（ ）A ．由于疾病或其他原因而死的士兵远少于战场上因伤死亡的士兵B ．1854年4月至1855年3月，冬季（12月至来年2月）死亡人数相较其他季节显著增加C ．1855年12月之后，因疾病或其他原因导致的死亡人数总体上相较之前显著下降D ．此玫瑰图可以佐证，通过改善军队和医院的卫生状况，可以大幅度降低不必要的死亡11．如图，平面直角坐标系上的一条动直线l 和x ，y 轴的非负半轴交于A ，B 两点，若1OB OA +=恒成立，则l 始终和曲线C 1=相切，关于曲线C 的说法正确的有（ ）A ．曲线C 关于直线y x =和y x =−都对称B ．曲线C 上的点到11,22和到直线y x =−的距离相等C ．曲线C 上任意一点到原点距离的取值范围是D ．曲线C 和坐标轴围成的曲边三角形面积小于π14−三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．12．若62a x x−展开式中的常数项为－160，则实数a =______．13．已知公差为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且()22342S b b =−+，()()612566S b b b b =++，则{}n S 的最小项是第______项．14．已知正三角形ABC 的边长为2，中心为O ，将ABC △绕点O 逆时针旋转角2π03θθ<<，然后沿垂直于平面ABC 的方向向上平移至A B C ′′′△，连接AA ′，AC ′，BA ′，BB ′，CB ′，CC ′，得到八面体ABCA B C ′′′，则该八面体体积的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知1tan A ，1cos B ，1tan C是等差数列．（1）若a ，b ，c 是等比数列，求tan B ；（2）若π3B =，求()cos A C −．16．（15分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，椭圆上的点到点F 距离的最大值和最小值分1+1． （1）求该椭圆的方程；（2）对椭圆上不在上下顶点的任意一点P ，其关于y 轴的对称点记为P ′，求P F PF ′+； （3）过点()2,0Q 作直线交椭圆于不同的两点A ，B ，求FAB △面积的最大值．17．（15分）如图，已知三棱台111ABC A B C −，112AB BC CA AA BB =====，114A B =，点O 为线段11A B 的中点，点D 为线段1OA 的中点．（1）证明：直线AD ∥平面1OCC ；（2）若平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，求直线1AA 与平面1BCC B 所成线面角的大小.18．（17分）第二次世界大战期间，了解德军坦克的生产能力对盟军具有非常重要的战略意义．已知德军的每辆坦克上都有一个按生产顺序从1开始的连续编号．假设德军某月生产的坦克总数为N ，随机缴获该月生产的n 辆（n N <）坦克的编号为1X ，2X ，…，n X ，记{}12max ,,,n M X X X = ，即缴获坦克中的最大编号．现考虑用概率统计的方法利用缴获的坦克编号信息估计总数N ． 甲同学根据样本均值估计总体均值的思想，用12nX X X X n+++=估计总体的均值，因此()112Ni N N i N X =+≈=∑，得12N X +≈，故可用21Y X =−作为N 的估计．乙同学对此提出异议，认为这种方法可能出现Y M <的无意义结果．例如，当5N =，3n =时，若11X =，22X =，34X =，则4M =，此时124112133Y M ++=⋅−=<． （1）当5N =，3n =时，求条件概率()5P Y M M <=；（2）为了避免甲同学方法的缺点，乙同学提出直接用M 作为N 的估计值．当8N =，4n =时，求随机变量M 的分布列和均值()E M ；（3）丙同学认为估计值的均值应稳定于实际值，但直观上可以发现()E M 与N 存在明确的大小关系，因此乙同学的方法也存在缺陷．请判断()E M 与N 的大小关系，并给出证明．19．（17分）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用．一般地，对无穷数列{}n a ，{}n b ，定义无穷数列()11nk n k n k c a b n +−=+=∈∑N ，记作{}{}{}*n n n a b c =，称为{}n a 与{}n b 的卷积．卷积运算有如图所示的直观含义，即{}n c 中的项依次为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律{}{}{}{}**n n n n a b b a =．（1）若n a n =，2n n b =，{}{}{}*n n n a b c =，求1c ，2c ，3c ，4c ；（2）对i +∈N ，定义{}i n T a 如下：①当1i =时，{}{}i n n T a a =；②当2i ≥时，{}i n T a 为满足通项10,,n n i n id a n i +−< = ≥ 的数列{}n d ，即将{}n a 的每一项向后平移1i −项，前1i −项都取为0．试找到数列(){}int ，使得(){}{}{}innni t a T a ⋅=； （3）若n a n =，{}{}{}*n n n a b c =，证明：当3n ≥时，122n n n n b c c c −−=−+．2024年浙江省高考数学模拟卷参考答案命题：温州中学 审题：金华一中一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 2 3 4 5 6 78 DDBBACBA第8题解析：设点(),A x y ，则可取),C，故22222222331x y y x a b a b=−=−，得2222222233a b b yb ax a +<=+，解得b a >，故离心率e >． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9 10 11 ABDBCDBCD第11题解析：A ．曲线C 不关于直线y x =−对称；B ．设C 上一点(),P x y2222210x y x y xy +−−−+=，而()222114122210x y xy x y x y x y xy =⇔++=⇒=−−⇔+−−−+=，成立；C．2221OP x y =+≤=，()222211228x y x y++≥≥=，成立； D ．(),P x y 到点()1,1A 的距离()()2222211222211AP x y x y x y xy −+−+−−++≥，故曲线C位于圆()()22111x y −+−=的左下部分四分之一圆弧的下方，故围成面积小于π14−． 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．第13题解析：6244020264S S SS =+=⋅⇒=，故{}n S 的最小项是第2项． 第14题解析：ABCA B C A ABCC A B C A B BC A C AC V V V V V ′′′′′′′′−−−′′−′=+++211π12222sin 22sin 3636θθ=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅π1sin 6θ =++∈ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（1）由2b ac =得2sin sin sin B A C =，sin cos cos 2112sin sinsin sin cos tan tan cos BC A B C A B A CC A =⇔+==+， 故22sin 1tan cos sin 2B B B B =⇔=．（2）若π3B =，则1sin sin sin cos 2A CB B ==， 又由()1cos cos cos sin sin 2A C A C AB +=−=−得1cos cos 2A C=−，故()1cos 2A C −=−． 注：第二问直接利用积化和差公式()()()1sin sin cos cos 2A C A C A C =−−+，写对公式给3分，条件代入正确化简给3分，最终答案1分． 16．（15分）（1）记c =1a c +=+，1a c −=−，解得a =1c =，故椭圆的方程为2212x y +=．（2）记椭圆的右焦点为F ′，则2PF P F PF PF a +=+=′′． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为2x my =+，联立22212x my x y =++=，得()222420m y my +++=， 故12y y −=21132ABF S y y =⋅⋅−=△令0t =>，则ABF S =≤=△m =时取到等号． 17．（15分）（1）取AB 中点M ，则1CM C O ∥，故O ，M ，C ，1C 共面， 由AM 与OD 平行且相等得平行四边形ODAM ，故AD OM ∥， 故AD ∥平面1OCC ．（2）法1（建系）：以O 为原点，OM ，1OA为x ，y 轴正方向，垂直于平面11ABB A 向上为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ．设))1cos Cαα−，表示出平面1ACC A的法向量11cos sin n αα+=，由对称性得平面11BCC B的法向量21cos 1,sin n αα+=，故120n n ⋅=，解得1cos 3α=，故C，(1n =，(11,n = ， 记所求线面角为θ，则1212,sin AA n n AA θ==，故π4θ=．法2（综合法）：连接1CA ，1CB ，取1A C 中点N ，则1111CN AA NA NC ====，故11CA CC ⊥， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，1CC =平面1BCC B 平面1ACC A ，故1CA ⊥平面1BCC B ，故11B C A C ⊥，又由11B C A C =，得11B C AC ==，延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则所求线面角即1AVC ∠，而111sin A C AVC AV ∠=1AA 与平面11BCC B法3（三余弦定理）：延长1C C ，1A A ，1B B 交于点V ，则11π3BVA ∠=，1111AVC BVC ∠=∠， 由平面11BCC B ⊥平面11ACC A ，用三余弦定理得111111cos cos cos BVA C VA C VB ∠=∠⋅∠，因此11cos C VA ∠1AA 与平面1BCC B 所成线面角即为11π4C VA ∠=．18．（17分）（1）5M =时，最大编号为5，另2辆坦克编号有24C种可能，故()2435355C P M C ===， 由Y M <，有2153X X −<⇔<，故总编号和小于9，除最大编号5外另2个编号只能是1，2， 仅1种可能，故()3511510P Y M M C <===且， 因此()()()51565P Y M M P Y M M P M <=<====且．（2）分布列如下：（3）直观上可判断()E M N <，证明：()()()NNk n k nE M kP M k NP M k N ====<==∑∑．19．（17分）（1）12c =，28c =，322c =，452=． （2）()11,10,2nn t n = =≥ ，对一般的i +∈N ，()1,0,i n n i t n i = = ≠． （3）法1：记{}n b 的前n 项和为n S ，由卷积运算的交换律有()11nkn k n k bc ==+−∑，故()11nn kn k n S kbc =+−=∑…①，因此()()111121nn n n k k n S kb n b c +++=+−−+=∑…②，②－①得11n n n S c c ++=−，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 法2：记{}n b 的前n 项和为n S ，常数列()1n T n +=∀∈N ，注意 (Ⅰ)易证卷积关于数列加法有分配律，将（Ⅰ）中所有数列对应项相加，得{}{}{}*n n n T b S =，注意 (Ⅱ)注意{}n T 是(){}int 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，{}n a 是(){}{}*nnit T 对所有i +∈N对应项相加所得的数列，易知卷积运算有结合律，因此将（Ⅱ）中所有数列对应项相加，得{}{}*n n n c a b =的通项即为1nn i i c S ==∑，故当3n ≥时，()()1112122n n n n n n n n n n b S S c c c c c c c −−−−−−=−=−−−=−+． 注：以上论证可用符号语言说明如下：定义数列加法：{}{}{}n n n z x y =+，其中nn n z x y =+．容易验证卷积运算满足结合律：{}{}(){}{}{}{}()****nnnnnnx y x y ωω=，数列加法关于卷积满足分配律：{}{}(){}{}{}{}{}***nnnnnnnx y x y ωωω+=+． 因此{}{}(){}(){}{}(){}(){}{}()11111*****n i n n n n n n n n j i j i i j i j i a b t t b t t b S ∞∞∞∞===== == ∑∑∑∑∑．。
专题2.3 平面向量中范围、最值等综合问题 高考数学选填题压轴题突破讲义(解析版)
一．方法综述平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质．二．解题策略类型一与向量的模有关的最值问题【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，，则三角形的面积为，解得，由，且C，P，D三点共线，可知，即，故.以所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，则，，，，则，，，则（当且仅当即时取“=”）.故的最小值为.【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使，且.【举一反三】1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形中边的长为，边的长为，矩形位于第一象限，且顶点分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，设，则因为所以则所以的最大值为所以选B2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（）A．B．C．5 D．【答案】B【解析】由题意可设,，因此表示直线上一动点到定点距离的和,因为关于直线的对称点为，所以选B.3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系中，，若，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，即，即，所以在以原点为圆心，半径为的圆上.得到三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，直线的方程为，圆心到直线的距离为，故的最小值是，故选C.类型二与向量夹角有关的范围问题【例2】【四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量与的夹角为，，，，，在时取得最小值若，则夹角的取值范围是______.【答案】【解析】，，，在时取得最小值解可得：则夹角的取值范围本题正确结果：【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】1、非零向量b a ,满足b a2=22b a，2|||| b a，则b a 与的夹角的最小值是 ．【答案】3【解析】由题意得2212a b a b r r r r ，24a b r r ，整理得22422a b a b a b r r r r r r ，即1a b r11cos ,22a b a b a b a b r rr r r r r r ，,3a b r r ，夹角的最小值为3 .2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________【答案】【解析】 由题意：，设，，因为，则与结合，又与结合，消去，可得：所以本题正确结果：类型三 与向量投影有关的最值问题【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2019届高三一模】若平面向量，满足||=|3|=2，则在方向上的投影的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 因为，所以，在方向上的投影为，其中为，的夹角．又，故．设，则有非负解，故， 故，故，故选A ．【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用；（2）计算角，.特别地，两个非零向量垂直的充要条件是.另外，的几何意义就是向量在向量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为．【举一反三】1、已知ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC u u u v u u u v u u u v v ，则向量CA u u u v 在向量CB u u u v方向上的投影为( ) A. 3 B. 3 C. -3 D. 3 【答案】B本题选择B 选项.2、设1,2OA OB u uu v u u u v ， 0OA OB u u u v u u u v ， OP OA OB u u u v u u u v u u u v ，且1 ，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围( ) A. 25-,15B.25,15C. 5,15D. 5-,15【答案】D当λ0 时， 0,x当222215λ8λ4482λ0521x λλλλ，故当λ1 时，1x 取得最小值为1，即1101x x， 当λ0 时， 222215844825215x，即15x 505x综上所述 5( ,1x故答案选D 类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.【举一反三】1、已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE DC u u u r u u u r的最大值为（ ）A. 1B. 12C. 3D. 2【答案】A2、【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】中，，，，且，则的最小值等于 A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意知，向量，且，可得点D 在边BC 上，，所以，则，即，所以时以C 为直角的直角三角形．如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，，当时，则最小，最小值为．故选：C ．3、已知圆的半径为2，是圆上任意两点，且，是圆的一条直径，若点满足（），则的最小值为（ ）A. -1B. -2C. -3D. -4 【答案】C类型五 平面向量系数的取值范围问题【例5】在矩形ABCD 中， 12AB AD ，，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD u u u v u u u v u u u v，则 的最大值为（ ）A. 3B. 22C. 5D. 2【答案】A∴圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=45， 设点P 25cosθ+1， 25）， ∵AP AB AD u u u v u u u v u u u v，25， 25sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴55cosθ+1=λ， 55sinθ+2=2μ， ∴255（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin （θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3， 故选：A【指点迷津】（1）向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；（2）以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题； （3）向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 【举一反三】1、【云南省昆明市云南师范大学附属中学2019届高三上学期第四次月考】已知正方形ABCD 的边长为1，动点P 满足，若，则的最大值为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】解：以A 为原点建立如图所示的直角坐标系：则，，，，设， ,则由得，化简得：，又，，，，表示圆上的点到原点的距离得平方，其最大值等于圆心到原点的距离加半径的平方，即，故选：C ．2.已知1,3,0OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v ，点C 在AOB 内，且OC u u u v 与OA u u u v 的夹角为030，设,OC mOA nOB m n R u u u v u u u v u u u v ，则mn的值为（ ）A. 2B. 52C. 3D. 4【答案】C 【解析】如图所示，建立直角坐标系．由已知1,3,OA OB u u u v u u u v，，则10033OA OB OC mOA nOB m n u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（，），（，），（，）， 33303n tan m， 3mn． 故选B3.【上海市金山区2019届高三二模】正方形ABCD 的边长为2，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 满足，若，其中m 、n R ，则的最大值是________【答案】 【解析】建立如图所示的直角坐标系，则A （﹣1，﹣1），B （1，﹣1），D （﹣1，1），P （，），所以（1，sinθ+1），（2，0），（0，2），又，所以，则，其几何意义为过点E （﹣3，﹣2）与点P （sinθ，cosθ）的直线的斜率，设直线方程为y +2k （x +3），点P 的轨迹方程为x 2+y 2＝1，由直线与圆的位置关系有：，解得：，即的最大值是1，故答案为：1类型六 平面向量与三角形四心的结合【例6】已知ABC 的三边垂直平分线交于点O ， ,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，且 222c b b ，则AO BC u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】2,23【指点迷津】平面向量中有关范围最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．【举一反三】1、如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A. 4B.C.D.【答案】B2.已知点O 是锐角三角形ABC 的外心，若OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v（m ， n R ），则（ ）A. 2m nB. 21m nC. 1m nD. 10m n 【答案】C【解析】∵O 是锐角△ABC 的外心，∴O 在三角形内部，不妨设锐角△ABC 的外接圆的半径为1，又OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v ，∴|OC u u u v |=| mOA nOB u u u v u u u v |，可得2OC u u u v =22m OA u u u v +22n OB u u u v +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v ，而OA u u u v ⋅OB uuu v =|OA u u u v|⋅|OB uuu v |cos ∠A 0B <|OA u u u v |⋅|OB uuu v|=1.∴1=2m +2n +2mn OA u u u v ⋅OB uuu v<22m n +2mn ，∴m n <−1或m n >1，如果m n >1则O 在三角形外部，三角形不是锐角三角形， ∴m n <−1， 故选：C.3、在ABC 中， 3AB ， 5AC ，若O 为ABC 外接圆的圆心（即满足OA OB OC ），则·AO BC u u u v u u u v的值为__________. 【答案】8【解析】设BC 的中点为D ，连结OD ,AD ，则OD BC u u u v u u u v，则：222212121538.2AO BC AD DO BC AD BCAB AC AC AB AC ABu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v三．强化训练1.【宁夏平罗中学2019届高三上期中】已知数列是正项等差数列，在中，，若，则的最大值为（）A．1 B．C． D．【答案】C【解析】解：∵，故三点共线，又∵，∴，数列是正项等差数列，故∴，解得：，故选：C．2.【山东省聊城市第一中学2019届高三上期中】已知M是△ABC内的一点，且，，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，，，则的最小值是（）A．2 B．8 C．6 D．3【答案】D【解析】∵，，∴，化为．∴．∴．则，而=5+4=9，当且仅当，即时取等号，故的最小值是9，故选：D．3．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟《黄金卷三》】已知是边长为的正三角形，且，，设函数，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,因为是边长为的正三角形，且，所以又因，代入得所以当时，取得最大，最大值为所以，解得，舍去负根.故选D项.4．【辽宁省鞍山市第一中学2019届高三一模】已知平面向量，，满足，若，则的最小值为A．B．C．D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选：B．5.已知直线分别于半径为1的圆O相切于点若点在圆O的内部（不包括边界），则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B6.【河南省南阳市第一中学2019届高三第十四次考试】已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．1 B．2 C．D．【答案】C【解析】解：以所在直线建立平面直角坐标系，设，，，因为所以，即，故，令（为参数），所以，因为，所以，，故选C.7．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊】如图所示，在中，，点在线段上，设，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：．∵，，三点共线，∴．即．由图可知．∴．令，得，令得或（舍）．当时，，当时，．∴当时， 取得最小值故选：D．8．【安徽省宣城市 2019 届高三第二次调研】在直角三角形中，边 的中线 上，则的最大值为（ ）.，，A．B．C．D．【答案】B 【解析】 解：以 A 为坐标原点，以 AB，AC 方向分别为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系， 则 B（2，0），C（0，4），中点 D(1,2)设，所以，，在 斜时，最大值为 ．故选：B． 二、填空题 9.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若对任意 λ∈R，不等式则 的最大值为_____． 【答案】2【解析】由，两边平方得，，则则，又，则，即，由 ，从而，即，从而问题可得解.恒成立， ，，2110.【2019 年 3 月 2019 届高三第一次全国大联考】已知 的内角 所对的边分别为 ，向量，，且，若 ，则 面积的最大值为________．【答案】 【解析】由 ，得，整理得．由余弦定理得，因为，所以．又所以，，当且仅当 时等号成立，所以，即．故答案为： ． 11.【四川省广元市 2019 届高三第二次高考适应】在等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上，且，【答案】【解析】解：等腰梯形 ABCD 中，已知，，，，，，，，，则的最小值为______．，22， ，则当且仅当即 时有最小值故答案为：12.【上海市七宝中学 2019 届高三下学期开学】若边长为 6 的等边三角形 ABC，M 是其外接圆上任一点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：是等边三角形， 三角形的外接圆半径为 ，以外接圆圆心 为原点建立平面直角坐标系，设，．设，则，．．23的最大值是．故答案为．13．【天津市第一中学 2019 届高三下学期第四次月考】在线段 以点 为中点，则的最大值为________【答案】0 【解析】中，已知 为直角，，若长为 的即 14．【安徽省黄山市 2019 届高三第二次检测】已知 是锐角，则 的取值范围为________.【答案】 【解析】 设 是 中点，根据垂径定理可知，依题意的最大值为 0. 的外接圆圆心， 是最大角，若，即，利用正弦定理化简得.由于，所以，即.由于 是锐角三角形的最大角，故，故.15．【北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模】已知点，，点 在双曲线的取值范围是_________．的右支上，则24【答案】【解析】设点 P(x,y),（x＞1），所以，因为，当 y＞0 时，y=,所以，由于函数在[1，+∞）上都是增函数，所以函数在[1，+∞）上是增函数，所以当 y＞0 时函数 f(x)的最小值=f(1)=1.即 f(x)≥1.当 y≤0 时，y=,所以，由于函数 所以函数在[1，+∞）上都是增函数， 在[1，+∞）上是减函数，所以当 y≤0 时函数 k(x)＞0.综上所述，的取值范围是.16．【上海市青浦区 2019 届高三二模】已知 为的外心，，大值为________【答案】【解析】设的外接圆半径为 1，以外接圆圆心为原点建立坐标系，因为，所以，不妨设，，，则，，，因为，所以，，则 的最25解得，因为 在圆上，所以 即， ，所以，所以，解得或，因为 只能在优弧 上，所以，故26。
2022年浙江省湖州市长兴县、余杭、缙云三校高考数学联考试卷(5月份+答案解析(附后)
2022年浙江省湖州市长兴县、余杭、缙云三校高考数学联考试卷（5月份）1. 设全集，集合，则( )A. B. C. D.2. 已知，若复数，复数z的实部是4，则z的虚部是( )A. B. C. 2i D. 23.如图，某多面体的体积是，其三视图如图所示，则正视图中的高( )A. 1B.C.D.4. 若实数x，y满足约束条件，则的最小值为( )A. 2B. 3C. 5D. 65. 已知a，b为非零实数，下列四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是( )A. B. C. D.6. 已知函数的图像如图所示，则实数a 的值可能是( )A. B. C. D. 27. 如图，已知四边形ABCD ，是以BD 为斜边的等腰直角三角形，为等边三角形，，将沿对角线BD 翻折到在翻折的过程中，下列结论中不正确的是( )A.B. DP 与BC 可能垂直C. 直线DP 与平面BCD 所成角的最大值是D. 四面体PBCD 的体积的最大是8. 已知，，定义，则的最小值是( )A. 5B. 6C. 8D. 19. 已知双曲线C ：的左，右焦点分别是，，点P 是双曲线C 左支上一点，满足，若以点P 为圆心，r 为半径的圆与圆：内切，与圆：外切，其中，则双曲线C的离心率为( )A. 2B.C. D.10. 已知数列的各项都是正数，记，数列的前n 项和为，给出下列四个命题：①若数列各项单调递增，则首项；②若数列各项单调递减，则首项；③若数列各项单调递增，当时，；④若数列各项单调递增，当时，则以下说法正确的个数( )A. 4B. 3C. 2D. 111. 若一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，则该三角形的面积，这就是著名的“秦九韶-海伦公式”若的三边长分别为5，6，7，则该三角形的面积为______.12. 若函数，则______，不等式的解集是______.13. 若，则______，______.14. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为______；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为______.15. 在中，，D是线段BC上一点，且，则______，AD的长为______.16.设，，若存在，，使得，则称函数与互为“n度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为______.17. 已知平面向量满足，若，则的最小值是______.18. 已知函数的部分图像如图所示．求的解析式；在锐角中，若边，且，求周长的最大值．19. 已知四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，是斜边为AP的等腰直角三角形．若时，求证：平面平面ABCD；若时，求直线PD与平面ABCD所成的角的正弦值．20.已知数列满足为实数，且，，，，且，，成等差数列．求q的值和的通项公式；设，记数列的前n项和为，若对任意的，满足，试求实数的取值范围．21. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为、，，设是第一象限内椭圆C上的一点，、的延长线分别交椭圆C于点、当时，的面积为求椭圆C的方程；分别记和的面积为和，求的最大值．22. 已知函数为自然对数的底数令，若不等式恒成立，求实数a的取值范围；令，若函数有两不同零点，求实数m的取值范围；证明：答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为集合，，所以故选：化简集合P，根据交集的定义求出即可．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：的实部是4，，解得，的虚部是故选：结合复数的四则运算，以及实部和虚部的定义，即可求解．本题主要考查实部和虚部的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：所以，解得：故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用几何体的体积公式求出几何体的高．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：实数x，y满足约束条件的可行域如图：当直线经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得，所以的最小值为故选：画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，是基础题．5.【答案】D【解析】解：A，当，满足，是成立的必要不充分条件，错误，B，当，时，满足，但不成立，错误，C，是R上的增函数，，是充要条件，错误，D，由，反之若，，满足，但不成立，正确，故选：根据不等式的性质，指对函数的性质，再结合充分而不必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，不等式的性质，指数函数，对数函数的性质，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由图像可得且且，即将这三个量代人表达式分母为0，即且且，解得，即，故选：由函数图像中的渐近线即可求得．本题考查了函数的定义域，对称性，渐近线，是基础题．7.【答案】C【解析】解：如图所示，取BD的中点M，连接PM，CM，是以BD为斜边的等腰直角三角形，，为等边三角形，，面PMC，，故A正确；对于B，假设，又，面PCD，，又，故DP与BC可能垂直，故B正确；当面面BCD时，此时面BCD，即为直线DP与平面BCD所成角，此时，故C错误；当面面BCD时，此时四面体PBCD的体积最大，此时的体积为：，故D正确．故选：对于A，取BD的中点M，即可得到面PMC，A选项可判断；对于B，采用反证法，假设，则面PCD，再根据题目所给的长度即可判断；对于C，当面面BCD时，此时直线DP与平面BCD所成角有最大值，判断即可；对于D，当面面BCD时，此时四面体PBCD的体积有最大值，计算最大体积判断即可．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：由题意，，，则，当且仅当，即时等号成立．的最小值是故选：由题意，，，再由不等式的性质结合基本不等式求最值即可．本题考查函数的最值及其几何意义，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．9.【答案】C【解析】解：由题意可得圆的方程可得圆心的坐标，半径为3a，由圆的方程可得圆心，半径为a，再由圆P与圆内切，可得，与圆外切可得，可得，由双曲线的定义及P在双曲线的左支上，可得，可得，，在中，，由余弦定理可得，可得，解得：离心率，故选：由题意可得圆，的圆心坐标及半径的值，再由圆P与与圆外切，与圆内切，可得的值，再由P在双曲线的左支上，可得的值，进而求出，的值，在中，由余弦定理可得a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的性质的应用及圆与圆内切，外切的性质的应用，余弦定理的应用，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：对于①，若数列各项单调递增，则，解得，，又，则，①正确；对于②，若数列各项单调递减，则，解得，，，②正确；由于，则，即，又，……，对于③，若数列各项单调递增，当时，由于，则，，③错误；对于④，若数列各项单调递增，当时，由于，则，，④正确．故选：对于①②，根据题意及数列的单调性列式可求得的范围，进而得到的范围；对于③④，先分析可得，则，再根据单调性及首项的范围进行判断即可．本题考查数列性质及数列递推关系的运用，考查运算求解能力，属于中档题．11.【答案】【解析】解：，该三角形的面积故答案为：将三边长分别代入“秦九韶-海伦公式”能求出结果．本题考查三角形面积的求法，考查“秦九韶-海伦公式”等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】【解析】解：函数，，则由不等式，结合的解析式，可得或，求得或，故答案为：3；由题意，利用分段函数，先求出的值，可得要求式子的值；根据函数解析式，分类讨论求得不等式的解集．本题主要考查分段函数的应用，解不等式，属于基础题．13.【答案】【解析】解：若，则，再令，可得，，故答案为：32；先求出的值，再令，可得要求式子的值．本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．14.【答案】【解析】解：“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，由题意，的可能值为0，1，2，则，所以故答案为：应用古典概型的概率求法求概率，写出的可能值并求出对应概率，进而求随机变量的期望．本题考查了古典概型的概率和随机变量的期望计算，属于中档题．15.【答案】【解析】解：在中，由正弦定理有，，即，；在中，由余弦定理有，，解得或，若，则，不合题意，故，，又，则，解得，故答案为：，利用正弦定理及二倍角公式可求得，利用余弦定理可求得AB及，再利用勾股定理得到本题主要考查正余弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由与互为“1度零点函数”，可得：，解得，由，解得，设其解为，与互为“1度零点函数”，，解得，，，设，则，当时，，是增函数，当时，，是减函数，，，，实数a的取值范围为故答案为：利用已知条件，结合新定义，推出a的表达式，构造函数，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．本题考查函数导数的应用，实际问题的处理方法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．17.【答案】【解析】解：设，，，，由，根据三角不等式有：，得，所以故答案为：利用绝对值三角不等式，及三角函数的有界性可进行化简分析．本题考查平面向量的数量积的应用，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．18.【答案】解：根据函数的部分图像，可得，，又，所以结合五点法作图，可得，求得，故的解析式为在锐角中，由，得，及，故，因为为锐角三角形，且，故，由正弦定理，得，又，故故周长的最大值为【解析】由顶点坐标求出A，由周期求出，由五点作图求出，可得函数的解析式．先求得角A的值，结合B的范围，利用正弦定理、三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，求得周长的最大值．本题主要考查由函数的部分图象求函数的解析式，由顶点坐标求出A，由周期求出，由五点作图求出，正弦定理，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．19.【答案】证明：因，则有，即有，又，且，AB，平面ABCD，于是得平面ABCD，而平面PBC，所以平面平面ABCD；解：在平面ABCD内，过B作直线垂直于AB，交直线CD于E，有，，如图，则为二面角的平面角，平面EBP，，于是得，中，，则，在中，，由余弦定理得，则有，显然平面平面EBP，在平面EBP内过B作，则平面ABP，以B为原点，分别以射线BA，BP，Bz为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，，设平面ABCD的法向量，则，令，得，而，设PD与平面ABCD所成的角为，，所以PD与平面ABCD所成的角的正弦值为【解析】根据给定条件，证明，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答．作出二面角的平面角并求出其大小，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答．本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．20.【答案】解：由己知，有，即，，又，由，得，则，当时，，当时，，故数列的通项公式为；由得，设数列的前n项和为，则，可得，两式相减得，，整理得，数列的前n项和为代入，得，即，又，，解得实数的取值范围是【解析】由己知可得，再由，得，即可求解q，然后分当和，求解数列的通项公式；由得，设数列的前n项和为，利用错位相减法求数列的前n项和．代入，利用数列的函数特性即可求实数的取值范围．本题考查数列递推式，考查等差数列定义的应用，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查数列的函数特性，是中档题．21.【答案】解：设，，由椭圆的定义可得：，的面积为，解得：，在中，，由余弦定理，即，所以，则，所以椭圆C的方程为：；设点P的坐标为，、，则直线的方程为，联立，整理可得：，所以，可得，同理可求得，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为【解析】设，，由椭圆的定义及的面积可得的值，再由余弦定理可得a的值，进而求出b的值，求出椭圆的方程；设P的坐标，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得的坐标，同理可得的坐标，代入三角形的面积公式可得表达式，整理，由均值不等式可得其最大值．本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆的综合应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．22.【答案】解：由题设，，则，所以为偶函数，故只需时，恒成立，而满足，所以有恒成立，令，则，若，则，仅当时等号成立，所以，即在上递增，则，即，所以，在上，则，综上，a的范围为由题设，，若得：，故在单调减，在单调增，且x趋向负无穷趋向于0，x趋向正无穷趋向于正无穷，又，，则时，；时，，要使有两个不同解，且，则；证明：由知时，，则；记且，则，所以上，上，故在上递减，上递增，且，所以也有两根，记为，又上，则，令，则为的两根，故，，所以，而，所以【解析】根据为偶函数，将问题转化为时恒成立，根据及参变分离求有恒成立，求参数范围；利用导数研究的单调性，及区间值域情况，进而判断有两不同解时m的范围即可；由知时，且，应用放缩法有，构造研究极值并判断的两根与，大小关系，得到即可证结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用综合法证明不等式，函数的零点和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属难题．。
2019年浙江省湖州市三校高考数学模拟试卷(4月份)解析版
2019年浙江省湖州市三校高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|0＜x＜2}，Q={x|-1＜x＜1}，则P∩Q=（）A. (−1,2)B. (0,1)C. (−1,0)D. (1,2)2.双曲线x24−y2=1的焦点到渐近线的距离为（）A. 1B. √2C. 2D. 33.复数21+i的共轭复数是（）A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i4.若变量x，y满足约束条件{y≤xx+y≤1y≥−1，则|x+3y|的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.设函数f（x）=x2ln1+x1−x，则函数f（x）的图象可能为（）A. B.C. D.6.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1，2，3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的数学期望是2，则X的方差是（）A. 13B. 23C. 83D. 438.已知三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA＞PB＞PC，且P在底面ABC内的射影在△ABC的内部（不包括边界），二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的大小分别为α，β，γ，则（）A. α>β>γB. γ>α>βC. α<γ<βD. α<β<γ9.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为60°，|a⃗|=1且c⃗=−2a⃗+t b⃗ (t∈R)，则|c⃗|+|c⃗−a⃗|的最小值为（）A. √13B. √19C. 5D. 9√13410.已知数列{a n}满足a1=12，a n+1=a n22018+a n(n∈N∗)，则使a n＞1的正整数n的最小值是（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为______尺．12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）等于______，表面积（单位：cm2）等于______．13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知tan（π4+A）=2，则sin A的值为______，若B=π4，a=4，则△ABC的面积等于______．14.若（x-3）3(2x+1)5=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，则a0=______，a0+a2+…a8=______．15.已知函数f（x）={−x2+4x,x>02−x,x≤0，则f（f（-1））=______，若实数a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是______．16.现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有______种．（结果用数字表示）17.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个顶点A（a，0），B（0，b），过A，B分别作AB的垂线交该椭圆于不同于的C，D两点，若2|BD|=3|AC|，则椭圆的离心率是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f（x）=2cos2x-2√3sin x cosx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求方程f（x）=-13在区间[0，π2]内的所有实根之和．19.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且DE=√3，平面ABCD⊥平面ADE，二面角A-CD-E为30°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDE；（Ⅱ）求AB与平面BCE所成角的正弦值．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公差d≠0，且S1，S3，S9成等比数列，数列{b n}满足b1S1+b2S2+…+b n S n=6-n2+4n+62n（n∈N*），{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记R n=1a1a2+1a2a3+⋯+1a n a n+1，试比较R n与12T n的大小．21.已知抛物线L：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（5，0）的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，|AC|的最小值为4．（Ⅰ）求抛物线L的方程；（Ⅱ）记△ABC、△AFM的面积分别为S1，S2，求S1•S2的最小值．22.已知函数f（x）=2x2，g（x）=m ln x（m＞0），曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若存在实数a，b，使得关于x的不等式g（x）≤ax+b≤f（x）+2对任意正实数x恒成立，求a的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵P={x|0＜x＜2}，Q={x|-1＜x＜1}；∴P∩Q=（0，1）．故选：B．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=，∴双曲线的焦点到渐近线的距离：d==1．故选：A．分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．3.【答案】A【解析】解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z=x+3y得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A时，截距最大，解方程组，解得A （，）．∴z的最大值为+3×=2．由图象可知当直线y=-x+经过点B（-1，-1）时，截距最小，最小值为：-4，则|x+3y|的最大值是：4．故选：D．作出可行域，将目标函数z=x+3y化为y=-x+，根据函数图象判断直线取得最大截距时的位置，得出最优解．本题考查了简单线性规划，画出可行域，判断目标函数的几何意义是解题的关键，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由＞0得（1+x）（x-1）＜0，得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），则f（-x）=x2ln =-x=-f（x），即函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，f （）=ln =ln3＞0，排除A，故选：C．判断的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性之间的关系以及利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：依题意，设2号小球有a个，1号有（a-d）个，三号有（a+d）个，则从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的分布列为：X 1 2 3P所以E（X）=1×+2×+3×==2，解得d=0，所以取出小球上的数字X的分布列为：X 1 2 3P所以E（X 2）==．∴D（X ）=E（X 2）-E2（X））=-22=．故选：B．根据题目所给信息，先求出三种小球的比例，即可得到其期望与方差．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过O作OD⊥AB，交AB于D，过O作OE⊥BC，交BC 于E，过O作OF⊥AC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，∵△ABC为正三角形，PA＞PB＞PC ，二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的大小分别为α，β，γ，∴α=∠PDO，β=∠PEO ，γ=∠PEO，OA＞OB ＞OC，AB=BC=AC，∴OD＞OF＞OE，∴α＜γ＜β．故选：C．过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过O作OD⊥AB，交AB于D，过O作OE⊥BC，交BC于E，过O作OF⊥AC，交AC于F，推导出OA＞OB＞OC，AB=BC=AC，得到OD＞OF＞OE，由此得到α＜γ＜β．本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：||=1，设为x轴方向的单位向量，因为t∈R，所以t表示与共线的任意向量，向量，的夹角为60°，不妨设=（1，），则=（t-2，t），=（t-3，t），所以||+||=+，表示（t，）到A点（2，0）的距离与（t，）到B点（3，0）的距离之和．即||+||=PA+PB，设P（t，），则P在直线l：y=上，设x轴关于直线l的对称直线为m，且A，B两点关于l的对称点分别为C，D．则PA=PC，PB=PD，所以||+||=PA+PD≥AD，由因为OA=2，OD=3，∠AOD=120°，所以由余弦定理||+||=PA+PD≥AD===．故选：B．建立坐标系，设出，的坐标，将||+||转化为距离和，找到直线的对称直线，再将距离和转化为两点间的距离即可．本题考查了平面向量基本定理，直线的对称直线，余弦定理等知识．属于难题．10.【答案】C【解析】解：∵a，a，令b n =，则，b1=，∴=，∴，，…=，以上式子相加可得，=∴=4036-，∵a，∴＞0，即a n+1＞a n，∴数列{a n}单调递增设当1≤n≤m时，，当n≥m+1时，a n＞1，∴当1≤n≤m时，，，∴∴，∴，a2019＜1；，a2020＞1使a n＞1的正整数n的最小值是2020 故选：C．令b n =，利用累加法求解，再根据范围求解正整数m的最小值即可本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用及累加法的应用，考查了的等价转化与构造法的应用，考查了综合分析与解决问题的能力11.【答案】9.1【解析】解：由题意，设折断处离地面的高为x尺，则：（20-x）2-x2=62，可得400-40x+x2-x2=36，解得x=9.1（尺）．故答案为：9.1．设出竹高，利用勾股定理求解即可．本题考查三角形的解法，勾股定理的应用，考查计算能力．12.【答案】16320+4√5【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是一个正方体挖去一个正四棱锥的几何体，正方体的棱长为2，所以几何体的体积为：2×2×2=．几何体的表面积为：5×2×2+4×=20+4．故答案为：；20+4．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面即可．本题考查三视图求解几何体的体积以及表面积，判断几何体的形状是解题的关键．13.【答案】√101016【解析】解：∵由tan（）=2，可得：=2，∴tanA=．∴=，又∵cos2A+sin2A=1，∴解得：sinA=．∵B=，a=4，sinA=，∴由正弦定理：，可得：b===4，∵tanA=，cosA==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．∴△ABC的面积S=absinC=×4×4×=16．故答案为：，16．利用正切的和与差化简tan （）=2．可得tanA的值，根据同角三角函数基本关系式可求得sinA的值，由正弦定理可求得b的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．14.【答案】-27 -940【解析】解：（x-3）8，令x=0，则a0=（-3）3=-27，令x=1，-1．分别可得：（-2）3×35=a0+a1+a2+…+a8；（-4）3×（-1）5=a0-a1+a2+…+a8．相加可得：a0+a2+…+a8=×（43-23×35）=-940．故答案为：-27，-940．（x-3）8，令x=0，则a0=（-3）3．令x=1，-1．分别可得：（-2）3×35=a0+a1+a2+…+a8；（-4）3×（-1）5=a0-a1+a2+…+a8．相加可得：a0+a2+…+a8．本题考查了二项式定理的求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】4 （2，4）【解析】解：函数f（x）=，可得f（-1）=2，f（f（-1））=f（2）=-4+8=4，作出f（x）的图象，实数a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），可得b+c=4，由2-a=4，解得a=-2，即-2＜a＜0，则a+b+c的范围是（2，4）．故答案为：4，（2，4）由分段函数，可先求f（-1），再求f（f（-1））；作出f（x）的图象，可得b+c=4，-2＜a＜0，即可得到所求范围．本题考查分段函数的运用：求函数值，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】336【解析】解：先不考虑红球和黄球不相邻的问题，将4个球全排列有种方法，再将两个空盒捆绑，和剩余的一个空盒插空有种方法，其中包含红球和黄球相邻的种方法，故恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有-=336种方法．故填：336．先将四个球排入四个盒子，将两个空盒捆绑后，和另一个空盒插空，再去掉红球和黄球相邻的情况即可．本题考查了计数原理，因为要求较多，故采用的特殊方法较多，计算时要特别注意做到不重不漏．本题属中档题．17.【答案】√33【解析】解：依题意可得k BD=K AC=-=，∵过A，B分别作AB 的垂线交椭圆T于D，C （不同于顶点），∴直线AC：y=（x-a），直线BD：y=x+b．由⇒（b4+a4）x2+2a3b2x=0，∴x B+x D =-⇒x D =-．由⇒（b4+a4）x2+-2a5x+a6-a2b4=0，∴x A x C =，∴x C =．∵|DB|=（0-x D），|AC|=（a-x C），由2|BD|=3|AC|，可得3x C-2x D=3a，化简可得2a2=3b2，椭圆T的离心率e====，故答案为：．求得AC，BD的斜率，可得直线AC，BD的方程，与椭圆方程联立，求得C，D的横坐标，由弦长公式和条件可得a，b的关系，再由离心率公式，可得所求值．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x-2√3sin x cosx=1+cos2x-√3sin2x=1-2sin（2x-π6），由f（x）单调递减可知，sin（2x-π6）递增，故2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ-π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ-π6，kπ+π3]，k∈Z，（Ⅱ）由1-2sin（2x-π6）=-13，得：sin（2x-π6）=23，由sin（2x-π6）在[0，π3]上递增，在[π3，π2]上递减，且12＜23＜1，得，方程在[0，π2]上有两不等实根α，β，且满足α+β2=π3．∴α+β=2π3．【解析】（Ⅰ）先根据二倍角公式、辅助角公式化基本三角函数，再根据正弦函数性质求减区间．（Ⅱ）根据正弦函数图象与性质求简单三角方程的根．本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数图象与性质，考查综合分析与求解能力，属中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：平面ABCD⊥平面ADE，平面ABCD∩平面ADE=AD，且CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE，从而CD⊥DE，CD⊥AE，∴∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角，即∠ADE=30°．又AD=2，DE=√3，由余弦定理得AE=1，∴AE2+DE2=AD2，即AE⊥DE．又CD∩DE=D，∴AE⊥平面CDE．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB⊥平面ADE，从而AB⊥AE，BE=√5，又CE=√7，BC=2，故S△BCE=√192．由已知，点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离AE=1，设点A到平面BCE的距离为d，则点D到平面BCE的距离也为d，由V B-CDE=V D-BCE得：13×√192×d=13×12×2×√3×1，d=2√3√19．∴AB与平面BCE所成角的正弦值sinθ=dAB=√5719．【解析】（Ⅰ）根据面面垂直性质定理得CD⊥平面ADE，即得∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角，利用余弦定理解得AE，根据勾股定理得AE⊥DE．最后根据线面垂直判定定理得结论；（Ⅱ）先利用等体积法求点A到平面BCE的距离，再根据解三角形得结果．本题考查面面垂直性质定理、二面角、线面垂直判定定理、等体积法求点到平面的距离以及线面角，考查综合分析与求解能力，属中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公差d≠0，且S1，S3，S9成等比数列，则：（3+3d）2=9+36d，解得：d=2，所以：a n=2n-1，故：S n=n2．由于：数列{b n}满足b1S1+b2S2+…+b n S n=6-n2+4n+62n（n∈N*），则：b1⋅12+b2⋅22+⋯+b n⋅n2=6−n2+4n+62n①，当n≥2时，b1⋅12+b2⋅22+⋯+b n−1⋅(n−1)2=6−(n−1)2+4(n−1)+62n−1②，①-②得：b n⋅n2=n22n，当n =1时，b 1=12．则：b n =12n （首项符合通项）， 故：b n =12n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：T n =1−12n ， 所以：12T n =12(1−12n )，由于R n =11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)， =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)，=12(1−12n+1)， 当n =1时，21＜2×1+1=3， 所以：R 1＞12T 1， 当n =2时，22＜2×2+1=5， 所以：R 2＞12T 2，当n ≥3时，2n =(1+1)2=1+C n1+⋯+C n n＞1+n +n(n−1)2≥2n +1，∴R n ＜12T n ．综上所述，当n ≤2时，R n ＞12T n ； 当n ≥3时R n ＜12T n ． 【解析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法求出结果，进一步利用数学归纳法求出结果． 本题考查的知识要点：本题考查利用和项与通项关系求通项公式、裂项相消法求和以及二项展开式应用，考查综合分析与求解能力，属中档题．21.【答案】解（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得|AC |min =2p =4，∴p =2，∴抛物线L 的方程为y 2=4x ．（Ⅱ）设直线AB ：x =ty +5，AC ：x =my +1， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），由{y 2=4x x=ty+5⇒y 2-4ty -20=0⇒y 1+y 1=4t ，y 1y 2=-20，同理可得y 1y 3=-4，从而C （4y 12，-4y 1），点C 到AB 的距离d =|4y 12+4ty 1−5|√1+t 2=1√1+t 2||16y 12+4|，|AB |=√1+t 2|y 1-y 2|=√1+t 2|y 1+20y 1|，∴S 1=2×|4y 12+1|•|y 1+20y 1|=2|y 1|（4y 12+1）（y 12+20）．又S 2=12×4×|y 1|=2|y 1|， ∴S 1•S 2=4（4y 12+1）（y12+20）=4（y12+80y 12+24）≥4（8√5+24）=96+32√5． 当且仅当y 12=4√5，即A （√5，±2√54）时S 1•S 2有最小值96+32√5．【解析】（Ⅰ）根据抛物线性质可得|AC|min =2p ，即得结果，（Ⅱ）设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求S 1•S 2，再利用基本不等式求最值．本题考查抛物线定义与性质以及基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题． 22.【答案】解：（Ⅰ）由f （x ）=g （x ），即2x 2=m ln x ，令F （x ）=lnxx 2−2m ，则F ′（x ）=1−2lnx x 3．∵F （x ）在（0，√e ）上递增，在（√e ，+∞）上增减， ∴F(x)max =F(√e)=12e −2m ，∴m =4e ；（Ⅱ）由题意知，必有g （1）≤ax +b ≤f （1）+2，即0≤a +b ≤4， 当a =0时，x ＞e b4e ，4e ln x ＜ax +b ，不符合题意；当a ＜0时，有b ＞0，此时x 0=max{1，-ba }，g （x 0）≥ax +b ，不符合题意， 因此有a ＞0，因此△=a 2-8（2-b ）≤0，①令h （x ）=g （x ）-（ax +b ）=4e ln x -ax -b ，则h ′（x ）=4ex −a ， h （x ）在（0，4ea ）上单调递增，在（4ea ，+∞）上单调递减， 故ℎ(x)max =ℎ(4ea )=4eln4e a−4e −b ≤0，②由①②两式知a 2−8(2−4eln 4e a+4e)≤0，构造函数φ（x ）=x 2−8(2−4eln4e x+4e)，则φ（4）=0，φ（x）在（0，4√e）上递减，在（4√e，+∞）上递增，故a min=4，此时b=0．【解析】（Ⅰ）根据导数研究函数图象，再根据图象确定有且仅有一个公共点的条件，解得结果，（Ⅱ）先根据特殊值缩小a的取值范围，再根据二次函数性质确定ax+b≤f（x）+2成立的条件，利用导数确定g（x）≤ax+b成立的条件，结合两个条件消b得关于a满足的条件，最后利用导数分析a取值范围，即得最小值．本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数研究不等式恒成立，考查综合分析与求解能力，属难题．。
浙江省湖州丽水衢州三地市高三数学下学期检测试卷二模解析版
高三数学下学期教学质量检测试卷二模一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分.）1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．2．已知i是虚数单位，则＝（）A．B．C．D．3．已知直线平面，点平面，那么过点且平行于直线的直线（）A．有无数条，仅有一条在平面内B．只有一条，且不在平面内C．有无数条，均不在平面内D．只有一条，且在平面内4．若实数x，y满足不等式组则的最小值是（）A．B．0C．1D．5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图是（）A．B．C．D．6．已知等比数列满足，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交点为，直线与另一条渐近线交于点．若点是线段中点，则双曲线的离心率是（）A．B．2C．D．38．已知函数.则当时，的图象不可能．．．是（）A．B．C．D．9．已知，，且，则下列结论正确的个数是（）①的最小值是4；②恒成立；③恒成立；④的最大值是.A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知为非常数数列且，，（），下列命题正确的是（）A．对任意的，，数列为单调递增数列；B．对任意的正数，存在，，（），当时，；C．存在，，使得数列的周期为；D．存在，，使得.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方？”该问题的答案是平方步.12．设，函数则；若，则实数的取值范围是．13．设.若，则实数，．14．袋子中有除颜色外形状完全相同的3个红球，2个白球．每次拿一个球，不放回，共拿两次.设拿出的白球个数为，则，=.15．在中，为的中点，若，，，则，．16．已知平面向量，，满足，，，则（）的最小值是.17．已知函数（），函数.若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.三、解答题（本大题共5个题，共74分.）18．已知函数，.（I）求函数的单调递增区间；（II）求函数的值域.19．如图，已知三棱台中，二面角的大小为，点在平面内的射影在上，，，.（I）证明：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.20．已知等差数列的前项和为，满足， .数列满足，，．（I）求数列，的通项公式；（II）设数列满足，，记数列的前项和为，若，求的最小值．21．如图，拋物线（）上的点（）到其准线的距离为2.过点作直线交拋物线于，两点，直线与直线交于点．（I）求证：直线轴；（II）记，的面积分别为，．若，求直线的方程.22．已知函数（）．（I）若，求函数的极小值点；（II）当时，讨论函数的图象与函数的图象公共点的个数，并证明你的结论．答案解析部分【解析】【解答】解：∵，∴A∩B= .故答案为：A.【分析】依题意，直接求交集即可得答案.【解析】【解答】解：.故答案为：B.【分析】直接利用复数的四则运算，化简求值即可.【解析】【解答】解：过直线l与点P的平面有且只有一个，记该平面为β,又因直线l//平面α，点P∈平面α,所以过点P且平行于直线l的直线只有一条，且这条线为平面α与平面β的相交线.故答案为：D.【分析】根据过直线外一点作与直线平行的直线只有一条可排除AC，再由线面平行的性质定理即可选出答案.【解析】【解答】解：作出可行域所表示的区域，如图所示，记z=3x+2y,可化为,看成斜率为的直线l，平移l经过点A时，纵截距最小，此时A满足，解得,即A(-7，11),代入z=3x+2y，取得最小值：3×(-7)+2×11=1.故答案为：C.【分析】依题意，先作出可行域，再利用几何法，代入点A即可得答案.【解析】【解答】解：将几何体各顶点字母标记如图，从左侧观察，得到如图所示的侧视图，其中，对角线DB(E)被几何体左侧面遮挡，应当为虚线，故选：C.【分析】根据侧视图(左视图)的定义，从几何体的左侧平视观察几何体，得到左视图，注意被遮挡的线段要画成虑线.【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，由，即,又a1<0，则1<q3,即q>1,则当q>1时，由a3-a5=a1q2-a1q4=a1q2(1-q2)>0,此时，a3>a5,即由，可得a3>a5成立,由a3>a5,即,又a1<0，则q2>1,即q>1或q<-1,a1-a4=a1-a1q3=a1(1-q3)，若q>1时，a1-a4=a1(1-q3)>0，a1>a4成立,若q<-1时，a1-a4=a1(1-q3)<0，a1>a4不成立,所以，若a3>a5,则a1>a4不成立,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故答案为：A【分析】结合等比数列的通项公式，先求得q的范围，再验证充分性与必要性是否成立，由此得到结果.【解析】【解答】解：如图，点Q是以F1F2为直径的圆的弦PF1中点，则OQ∈PF1，于是得∈F1OQ=∈POQ因直线OP，OQ是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知∈POF2=∈F1OQ，因此有，则有直线OP的斜率，则双曲线的离心率故答案为：B【分析】根据给定条件，利用圆的性质及双曲线的对称性求出，再结合即可计算得解.【解析】【解答】解：设，由，则g(x)的定义域为R,=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,由选项A,B可得其图像关于原点成中心对称，则函数f(x)为奇函数,则函数y=cos(3x+α)为偶函数，又α∈[0,π],，则α=0或π,由0<x<时，0<3x<,则cos3x>0，，则>0,当α=0，0<x<时，>0 ，故选项B有可能成立.当a=π，0<x<时，<0，故选项A有可能成立由选项CD可得其图像关于y轴对称，则函数f(x)为偶函数,则函数y=cos(3x+α)为奇函数，又α∈[0，π]，则α=,当α=时，，此时f(x)为偶函数,当0<x<时，0<3x<π,则sin3x>0，，则>0,则当0<x<时，<0,则选项C有可能成立，显然选项D不成立.故答案为：D【分析】取α=0,，π，分别判断出函数的奇偶性，再分析函数的函数值的符号可得到不成立的选项，从而得出答案.【解析】【解答】解：①，当且仅当2m=2n+1，即m=n+1，即n=0，m=1等号成立，而n>0，故错误；②令y=n+sinm-1，因为m>0，n>0，且m+n=1，所以f(m)=sinm-m，m∈(0，1)，则f'(m)=cosm-1≤0，所以f(m)在(0，1)上递减，则f(m)<f(0)=0，即n+sinm<1，故正确；③因为m>0，n>0，且m+n=1，所以，当且仅当m=n=时，等号成立，则log2m + log2n = log2mn ≤ log2=-2，故正确；④因为令，n∈(0.1)，则，n∈(0.1)，令f(n)=0，解得n=2-∈(0，1)，n=2+∈(0，1)，当0<n<2-时，f'(n)>0，当2-<n<1时，f'(n)<0，所以当n=2-时，取得最大值故正确.故答案为：C【分析】①利用基本不等式求解判断；②令y=n+sinm-1，得到f(m)=sinm-m，m∈(0,1)，用导数法判断；③利用基本不等式结合对数运算求解判断；④由，令，n∈(0.1)，用导数法求解判断.【解析】【解答】解：当<- 1时,a n+1-a n= sin(2a n)+< 0恒成立,此时数列{a n}为单调递减数列.A错误；令=-sin2,记g(x)=x+sin2x- sin2,h(x)=x,则g(1)=1,h(1)= 1,g'(x)= 1+ 2cos2x,令g'(x)= 1+2cos2x=0,得cos2x=-，取x=，则g(x)在[0,1]上单调递增.令g(x)= h(x),得x=- 1或x=1.如图所示：在区间平(- 1,1)内总能找到-个a1,使得a n的极限为1,B正确；假设存在，μ,使得数列{a n}的周期为2，即a n+2=a n,,②-①,得a n+2- a n+1= a n+1+sin(2a n+1)-sin(2a n),又a n+2=a n.化简得：2a n+sin(2a n) = 2a n+1+sin(2a n+1)记f(x)=x+sinx，则f'(x) =1+cosx≥0恒成立.故f(x)=x+sinx在R上单调递增.要使2a n+sin(2a n) = 2a n+1+sin(2a n+1),则需2a n+1=2a n与{a n}为非常数数列矛盾,C错误；因为，所以，则,不存在，，使得，D错误.故答案为：B.【分析】对于A选项：取<-1.即可判断数列{a n}为单调递减数列.对于B选项：令=-sin2,记g(x)=x+sin2x- sin2,根据g(x)的单调性结合其与h(x)=x的交点,即可说明总能找到一个a1,使得a n的极限为1，即可判断出结论.对于C选项：先假设存在，利用a n+2=a n化简后即可说明矛盾.对于D选项：利用等式表示出,即可判断结论.【解析】【解答】解：由题意得，扇形的弧长为30，半径为8,所以扇形的面积为：,故答案为：120.【分析】利用扇形的面积公式计算即可得答案.【解析】【解答】解：依题意得，,f(),由，得a≥-3.故答案为：2，a≥-3.【分析】直接将x = 9代入即可，先求出f(),然后再代入通过解解指数不等式即可得出答案.【解析】【解答】解：令x=1,则(1+2m)5+(1-1)4=a0+a1+a2+a3+a4+a5=32解得：m=.(x+1)5的第r+1项系数为T r+1=.所以(x+ 1)5展开式中的x3的系数为=10,(x- 1)4的第r+1项系数为T r+1=·x4-r.(-1)r所以(x- 1)4展开式中的x3的系数为-= -4；a3=10-4=6故答案为：；6.【分析】令x=1,即可求出m的值，再分别求出(x+1)5与(x- 1)4展开式中的x3的系数,再求和即为a3的值.【解析】【解答】解：依题意白球的个数为，可能取值为0, 1, 2.所以可得的分布列：所以.故答案为：，.【分析】依题意可能取值为0，1, 2,求出所对应的概率,即可得到的分布列，即可求出的数学期望.【解析】【解答】解：由,得,则,所以,所以，在∈ACD中，由,得，在∈BCD中，CD=1，BD=AD=5，,所以BC2=BD2+CD2-2BD·CD·，所以BC=，由,得.故答案为：5，.【分析】由题意可求出∈ADC的正弦和余弦，由和角公式求出sinA,利用正弦定理可求出AD；在∈BCD中由余弦定理求出BC,再由正弦定理可得答案.【解析】【解答】解：由，，不妨建立平面直角坐标系，使,设向量，则，整理得，不妨设,，则A(1，0),B(0，1),C(x,y),因为，记,所以A,B,D三点共线，由A(1，0)，B(0，1)可得：直线AB为x+y-1=0，所以点D落在直线AB上记,则E(,1).所以表示CD间的距离，表示DE间的距离，所以表示|CD|+|ED|.设F(x,y)为E关于直线AB的对称点，则，解得：·即F(0,).所以|ED|=|FD|.所以|CD|+|ED|=|CD|+|FD|≥|CF|.如图示，当C位于直线直线AB右上方的椭圆上时，|CD| +|ED|能取得最小值,由椭圆的几何性质，可知：当C位于短轴上顶点时，CF=最小，所以最小值为,故答案为：.【分析】建立恰当的平面直角坐标系，使,求出向量,满足,设,,,得A,B,C,D,E的坐标，求出点E关于直线AB的对称点F，把转化为|CD|+|ED|= |CD|+|FD|,利用几何意义得到：当C位于短轴上的顶点时，|CF|最小，即可得解.【解析】【解答】解：f1(x)+f2(x)=|x-a|+|x-2a|=,当0≤x<a时，a<3a-2x≤3a,当a≤x<2a时，f1(x)+f2(x)=a,当2a≤x≤3a时，a≤2x-3a≤3a,所以当x∈[0,3a]时，f1(x)+f2(x)∈[a,3a],g(x)=f1(x)f2(x)f3(x)=|(x-a)(x-2a)(x-3a)|，设h(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)，则h'(x)=(x-2a)(x-3a)+(x-a)(2x-5a)=3x2-12ax+11a2，令h'(x)=0，解得,所以h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且h(a)=h(2a)=h(3a)=0,当x→-∞时，h(x)→-∞,当x→+∞时，h(x)→-∞,故函数h(x)的大致图象如图所示，故函数g(x)的大致图象如图所示，又,所以对任意，恒成立，即，解得.故答案为：【分析】由题意g(x)=|(x-a)(x-2a)(x-3a)|，设h(x)=(x-a)(x-2a)(x-3a)，利用导数得出h(x)的单调性，作出其大致图象，从而得出g(x)的大致图象，得出g(x)的最大值，当x[0，3a]时，得出f1(x)+f2(x)的范围，即由g(x)≤2即可得出答案.【解析】【分析】(1)由辅助角公式化简f(x)的解析式，然后由正弦函数的单调性可得答案；(2)由题意f(+x)=cos(x+)，代入函数解析式化简，由正弦函数的性质可得答案.【解析】【分析】(1)过D作DE//AB交AC于E，连A1E，则四点A1、B1、D、E共面，通过证明AC∈DE，A1D∈AC，可证AC∈平面A1B1D；(2)法一：依题意易知，再分别求得A1D,BD,进而可得A1B，从而利用等体积法，求得h,进而求得结果.法二：以E为原点，ED、EC分别为x，y轴，过E且与DA1平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量公式计算可得结果.【解析】【分析】(1)利用基本量代换列方程组求出列{a n}的通项公式,用累乘法求出数列{b n}的通项公式；(2)先用裂项相消法求出，判断单调性，解不等式求出的最小值.【解析】【分析】(1)先求出抛物线方程为y2=4x,设直线AB的方程为t(y-2)=x-1，则由,解得，由，解得，又B，M，C共线，所以，求得，即可证明；(2)分别求出S1，S2，由S1S2=54，解得：t=0或t=2，即可求出直线AB的方程.【解析】【分析】( I )由a=-2，得，求导得f'(x),即可判断函数f(x)的单调性与极值；( II ) 记,求导得，，再对a分类讨论函数零点的个数，即可判断函数的图象与函数的图象公共点的个数.。
浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题含答案
2023学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题卷（答案在最后）考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟.2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()sin f x x=的最小正周期是A.4πB.2πC.πD.2π【答案】C 【解析】【详解】sin x 的图象是将sin x 的图象在x 轴下方的部分对称翻折上来所得，所以周期是sin x 周期的一半，即周期为π.2.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是A.若//,//,m n αα则//m n B.若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥C.若m α⊥，m n ⊥，则//n α D.若//m α，m n ⊥，则n α⊥【答案】B 【解析】【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.考点：空间点线面位置关系．3.已知,a b 是两个单位向量，若向量a 在向量b 上的投影向量为12b，则向量a 与向量a b - 的夹角为（）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【解析】【分析】由条件结合投影向量的定义可求,a b，再根据向量夹角余弦公式求结论.【详解】因为向量a 在向量b 上的投影向量为12b ，,a b是两个单位向量，所以1cos ,2a a b b b ⋅= ，所以1cos ,2a b = ，又[],0,πa b ∈ ，所以π,3a b = ，所以()21111122a ab a a b ⋅-=-⋅=-⨯⨯=，又11a a b =-=== ，，所以()1cos ,2a ab a a b a a b ⋅--==⋅- ，又[],0,πa a b -∈ ，所以向量a 与向量a b - 的夹角为π3，即60 .故选：B.4.设甲：“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦单调递增”，乙：“02ω<≤”，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据函数单调性求出ω的范围，即可判断答案.【详解】若“函数()2sin f x x ω=在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增”，则0ω>，由ππ22x ω-≤≤得ππ22x ωω-≤≤，则ππ23ππ24ωω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得302ω<≤，所以，甲是乙的充分不必要条件.故选：A5.设数列{}{},n n a b 满足11111,2,2nn n n n a b a b n a b ++==+=+=．设n S 为数列{}n n a b +的前n 项的和，则7S =（）A.110B.120C.288D.306【答案】A 【解析】【分析】利用分组求和法，结合已知，可得答案.【详解】711223344556677S a b a b a b a b a b a b a b =+++++++++++++()()()()()()11232345456767a b a b b a a b b a a b b a =+++++++++++++246112222422622448161264110=++⨯++⨯++⨯+=++++++=.故选：A.6.将5名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个志愿者至少去一个社区，每个社区至少1名，则不同的分配方法数是（）A.300B.240C.150D.50【答案】C 【解析】【分析】先分组，人员构成可能为1、1、3或1、2、2，再将3组全排列即可得.【详解】先将5名志愿者分成3组，若这三组的人员构成为1、1、3，则共有35C 种分组方案，若这三组的人员构成为1、2、2，则共有225322C C A 种分组方案，再将这3组志愿者随机分配到三个社区，共有33A 种分配方案，故共有2233535322C C 103C +A 106150A 2⎛⎫⨯⎛⎫⋅=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种分配方法.故选：C.7.设集合{1,1}M =-，{|0N x x =>且1}x ≠，函数()xxf x a a λ-=+（0a >且1a ≠），则（）A.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为增函数B.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为减函数C.(),,M a f x λ∀∈∃∈N 为奇函数D.(),,M a f x λ∃∈∀∈N 为偶函数【答案】D 【解析】【分析】结合指数函数的单调性与奇偶性检验各选项即可.【详解】当1λ=时，()x xf x a a -=+，1a >时，()f x 在(,0)-∞上不是增函数，故A 不正确；当1λ=-时，()xxf x a a-=-，1a >时，()f x 在(0,)+∞上为增函数，B 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故C 不正确；当1λ=时，()x xf x a a -=+，()()x x f x a a f x --=+=，()f x 为偶函数，故D 正确；故选：D.8.在ABC 中，已知sin cos sin ,cos sin cos A A n C n C B B ==．若πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则n =（）A.无解B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】由πtan 34A ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭可得tan 2A =，进而得到tan tan tan 2A B C =⋅=，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得tan tan 2B C +=，设tan B t =，有2220t t -+=，可得该方程无解，故不存在这样的n .【详解】由π1tan tan 341tan AA A+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，即tan 2A =，则cos 0A ≠，由sin cos sin ,cos sin cos A An C n C B B ==，知cos 0C ≠，则tan tan tan AC B=，则tan tan tan 2A B C =⋅=，又()()tan tan tan tan πtan tan tan 1tan tan B CA B C B C B C B C+=--=-+=-=+-⋅，故tan tan 2B C +=，设tan B t =，则tan 2C t =-，有()22t t -=，即2220t t -+=，4840∆=-=-<，即该方程无解，故不存在这样三角形，即n 无解.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<的两根为1z 和2z ，则（）A.12z z =B.121z z ⋅=C.12=z zD.1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】求出方程的两根，即可判断A ，利用韦达定理判断B ，计算出两根的模，即可判断C ，利用复数代数形式的除法运算及B 项的结论化简12z z ，即可判断D.【详解】关于x 的方程210(22)x tx t ++=-<<，则240t ∆=-<，4i 2t x -±∴=，不妨设1422t z =-+，24i 22t z =--，12z z ∴=，故A 正确；由韦达定理可得121z z =，故B正确；121z z ==，故C 正确；121z z = ，∴2222111212222z z t t z z z z ⎛⎫-===-+=- ⎪ ⎪⎝⎭，则21222z t z ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，当0t ≠时，12R z z ∉，此时1122z z z z ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：ABC ．10.已知函数()f x 对任意实数x 均满足()()2211f x f x +-=，则（）A.()()f x f x -=B.1f=C.()113f -=D.函数()f x在区间上不单调【答案】ACD 【解析】【分析】令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，可推导出()()f x f x -=，进而可判断A ，利用赋值法可判断B ,C ；先算出满足21x x =-的x 值，由此可得1123f f ⎛⎫+==⎪⎪⎝⎭，即可判断D .【详解】对于A ，令x 等价于x -，则()()2211f x f x -+-=，所以()()()2112f x f x f x ---==，故A 正确；对于B ，令1x =，则()()2101f f +=，令0x =，则()()2011f f +=，解得：()()1013f f ==，令x =，()211ff +=，则13f =，故B 错误；对于C ，由A 知，()()f x f x -=，所以()()1113f f -==，故C 正确；对于D ，令21x x =-，所以210x x --=，解得：12x ±=，令12x =，则112122ff ⎛⎫⎛+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以15123f ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，因为152+∈，15123f f⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间上不单调，故D 正确.故选：ACD .11.过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ⊥交AB 于点M ，则（）A.直线NB 与抛物线C 有2个公共点B.直线MN 恒过定点C.点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠D.3MNAB的最小值为【答案】BCD 【解析】【分析】设出直线AB 的方程为2x ty =+，代入24y x =，然后写出切线方程，结合韦达定理可判断AB ；根据B 可得M 的轨迹方程，从而判断C ；利用弦长公式及点到直线的距离公式表示出3MN AB，然后利用导数的知识求出最值进而判断D.【详解】设直线AB 的方程为2x ty =+，221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立224x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2480y ty --=，则12124,8y y t y y +==-，对于A ：抛物线C 在点A 处的切线为21124y y y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2x =-时得12112144282222y y y y y yty -=-=+=-=，即()2,2N t -，所以直线NB 的方程为1221222242424y y y y y y x y --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭--，整理得1144y y x y =--，联立112444y y x y y x ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，消去x 的122116604y y y y ++=，解得18y y =-，即直线NB 与抛物线C 相切，A 错误；对于B ：直线MN 的方程为()122x y t t +=--，整理得y x t=-，此时直线MN 恒过定点()0,0，B 正确；对于C ：又选项B 可得点M 在以线段OP 为直径的圆上，点O 除外，故点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=≠，C 正确；对于D：222t MN +==，AB ===则()()3253222222221t t MN AB t ⎛⎫++==+，,m m =≥则()352221MN m ABm =-，设()()5222,1m f m m m=≥-则()()()()()()()2426242244221018121511m m m m m m mf m m m -----'==--，当>m 时，()0f m '>，()f mm <<时，()0f m '<，()f m 单调递减，所以()()2min 25255851f m f ===-，D 错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：直线与抛物线联立问题第一步：设直线方程：有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，都可由点斜式设出直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与抛物线方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式Δ：计算一元二次方程根的判别式Δ＞0.第四步：写出根之间的关系，由根与系数的关系可写出．第五步：根据题设条件求解问题中的结论．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出与圆221x y +=相切且方向向量为(的一条直线的方程______．【答案】2y =+或2y =-（写出一个即可）【解析】【分析】由条件可设直线方程为y b =+，结合条件列方程求b 即可得结论.【详解】因为切线的方向向量为(，故可设切线方程为y b =+，因为直线y b =+与圆221x y +=相切，又圆221x y +=的圆心坐标为()0,0，半径为1，圆心()0,0到直线y b =+2b =，所以12b =，所以2b =或2b =-，所以与圆221x y +=相切且方向向量为(的直线为2y =+或2y =-，故答案为：2y =+或2y =-（写出一个即可）.13.函数()2f x=______．【答案】【解析】【分析】借助换元法令t =，可得()()325f x h t t t t==-+-，借助导数求取函数()h t 的单调性后，即可得解.【详解】令0t =>，则21x t =-，故()()()2223321125f tt t x t t t-++==-+---，令()()3250h t t t t t=-+->，则()()(242222231235235t t t t t t th t t t '++--++=-++==-，当(t ∈时，()0h t '>，当)t ∈+∞时，()0h t '<，则()h t在(上单调递增，在)+∞时单调递减，故()35h t h≤=-+⨯即函数()2f x =.故答案为：.14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm ，开口直径为8cm ．旅客使用纸杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于______．【答案】17【解析】【分析】依题意，利用等腰三角形ABC 求得cos α,再由余弦定理求出椭圆长轴长，作出圆锥的轴截面交椭圆于点,P Q ，建立坐标系，利用三角形重心性质和相似三角形求出点P 坐标，代入椭圆方程即可求得半短轴长，利用离心率定义计算即得.【详解】如图，设BCD α∠=,因12,8AB AC BC ===,故41cos 123α==，又6CD =,由余弦定理，22212cos 3664268683BD CD BC CD BC α=+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即BD =,设椭圆中心为O ,作圆锥的轴截面AMN ,与底面直径BC 交于E ，与椭圆交于,P Q ，连AE 交BD 于G ，以点O 为原点，DB 为x 轴，建立直角坐标系.则23AG AE =,又由APQ AMN 得216,33PQ MN ==133DG DB ==,从而33OG =-=则得8(,)33P -,不妨设椭圆方程为22221x y a b+=，把a =和点P坐标代入方程，解得b =，则3c ==，故.17c e a ===故答案为：31717.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*4224,21n n S S a a n ==+∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足13b =，令21n n n n a b a b ++⋅=⋅，求证：192nk k b =<∑．【答案】（1）()21n a n n *=-∈N （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意可得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解方程求出1,a d ，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）可得12123n n b n b n +-=+，由累乘法可求出{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求解即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．由4224,21n n S S a a ==+，得()()11114684212211a d a da n d a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩，解得：1a 1,d 2==，所以()()12121n a n n n *=+-=-∈N ．【小问2详解】由（1）知，()()12123n n n b n b +-=+，即12123n n b n b n +-=+，12321n n b n b n --=+，122521n n b n b n ---=-，……，322151,75b b b b ==，利用累乘法可得：1211212325313212175n n n n n b b b n n b b b b b n n -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，12311nkn nk bb b b b b -==+++++∑ ()()9911212122121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭9111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫=-+-+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦ 911221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以191912212nk k b n =⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∑．16.已知函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点，（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）证明：函数()f x 有且只有一个零点．【答案】（1）答案见解析；（2）（ⅰ）10a -<<；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再分1a ≤-、10a -<<、0a ≥三种情况，分别求出函数的单调区间；（2）（ⅰ）由（1）直接解得；（ⅱ）结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.【小问1详解】函数()()()21ln 22f x a x x a =+-∈R 的定义域为()2,-+∞，且()()21122x a a f x x x x -+++='=-++，当1a ≤-时，()0f x '≤恒成立，所以()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时，令()0f x '=，即()2110x a -+++=，解得11x =，21x =，因为10a -<<，所以011a <+<，则211-<<-，所以当()2,1x ∈-时()0f x '<，当()1x ∈时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()2,1--上单调递减，在()1上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时，此时12≤-，所以()1x ∈-时()0f x ¢>，当)1,x ∈+∞时()0f x '<，所以()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．综上可得：当1a ≤-时()f x 在()2,-+∞单调递减；当10a -<<时()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减；当0a ≥时()f x 在()1--上单调递增，在)1,-+∞上单调递减．【小问2详解】（ⅰ）由（1）可知10a -<<．（ⅱ）由（1）()f x 在()2,1-上单调递减，在()1-上单调递增，在)1,-+∞上单调递减，所以()f x 在1x =-处取得极大值，在1x =-处取得极小值，又10a -<<，所以011a <+<，则112<<，又())))211ln1102f x fa =-=+-<极大值，又())110f f<<，所以()f x 在()1,+∞上没有零点，又10a -<<，则44a<-，则440e e a -<<，442e 2e 2a --<-<-，则240e 24a ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，所以2441e 24e 202a af ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在()2,1--上存在一个零点，综上可得函数()f x 有且只有一个零点．17.如图，在多面体ABCDPQ 中，底面ABCD 是平行四边形，60,244,DAB BC PQ AB M ∠=︒===为BC 的中点，,,PQ BC PD DC QB MD ⊥⊥∥．（1）证明：90ABQ ∠=︒；（2）若多面体ABCDPQ 的体积为152，求平面PCD 与平面QAB 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）10．【解析】【分析】（1）根据余弦定理求解DM =，即可求证DM DC ⊥，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直，（2）根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得PM h ==坐标系，求解法向量求解.【小问1详解】在DCM △中，由余弦定理可得DM =，所以222DM DC CM +=，所以90MDC ∠=︒，所以DMDC ⊥．又因为DC PD ⊥，,,DM PD D DM DP ⋂=⊂平面PDM ,所以DC ⊥平面PDM ,PM ⊂平面PDM ．所以DC PM ⊥．由于//,2PQ BM PQ BM ==,所以四边形PQBM 为平行四边形，所以PM QB ∥．又AB DC ，所以AB BQ ⊥，所以90ABQ ∠=︒．【小问2详解】因为QB MD ⊥，所以PM MD ⊥，又PM CD ⊥，,,DC MD D DC MD ⋂=⊂平面ABCD ,所以PM ⊥平面ABCD ．取AD 中点E ，连接PE ，设PM h =．设多面体ABCDPQ 的体积为V ，则33P CDEM A PEM P CDEM P AEM P CDEM ABQ PEM V V V V V V V ------=+=+=+三棱柱四棱锥四棱锥四棱锥112π152212551sin 333323AEM AEM AEM AEM CDEM S h S h S h S h S h h =⨯+⨯=⨯+⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯=△△△△四边形．解得PM h ==建立如图所示的空间直角坐标系，则()())2,0,,1,0A B C-，)(((),,,0,0,0DP Q M ．则平面QAB 的一个法向量()1,0,0n =．所以()0,1,0,CD PD ==-，设平面PCD 的一个法向量(),,m x y z =，则0,0,m CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y =⎧⎪-=取()3,0,1m = ．所以cos 10m n m n θ⋅==⋅ ．所以平面PAD 与平面PMD夹角的余弦值为10．18.已知,A B 是椭圆22:14xE y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.（1）求点M 的坐标.（2）过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()3,0；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，4525±【解析】【分析】（1）设()00,P x y，利用两点距离距离得PM =，然后根据330,22m m ≤分类讨论求解即可；（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得121265y y ty y +=-，写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点G 在以AB为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，写出直线AC 的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.【小问1详解】设()00,P x y 是椭圆上一点，则220044x y +=，因为()022PM x ==-≤≤，①若min30,12m PM <≤==，解得0m =（舍去），②若min3,12m PM >==，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.【小问2详解】（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以121265y y ty y +=-，①由216800t ∆=->，得t>或t <，易知直线AC 的方程为()1122y y x x =++，②直线BD 的方程为()2222y y x x =+-，③联立②③，消去y ，得()()()()121212221211212552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则()()12212155265526y y y x x y y y-+++==---++，解得43x =，即点G 在直线43x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以253n =±，即425,33G ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭.故直线AC 的方程为()25y x =±+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，解得2A x =-,所以412929C x =-⋅-=，所以9C y =±,故25l MC k k ==±.19.在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球n 次，红球出现m 次．假设每次摸出红球的概率为p ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率p 的估计值为p m n=．（1）若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为Y ，则()3,Y B p ～．注：()p P Y k =表示当每次摸出红球的概率为p 时，摸出红球次数为k 的概率）（ⅰ）完成下表；k0123()14P Y k =2764164()34P Y k =9642764（ⅱ）在统计理论中，把使得．．()p P Y k =的取值达到最大时的．．．．．．．．p ，作为p 的估计值，记为 p ，请写出 p 的值．（2）把（1）中“使得()p P Y k =的取值达到最大时的p 作为p 的估计值 p ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数θ构建对数似然函数()l θ，再对其关于参数θ求导，得到似然方程()0l θ'=，最后求解参数θ的估计值．已知(),Y B n p ～的参数p 的对数似然函数为()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，其中0,1,i i X i ⎧=⎨⎩第次摸出白球第次摸出红球．求参数p 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．【答案】（1）（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；（2）11ni i X n =∑，答案见解析【解析】【分析】（1）（ⅰ）分14p =与34p =计算即可得；（ⅱ）结合题意与所得表格即可得解；（2）求取函数()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑的导数，借助导数得到函数的最大值点，即可得解.【小问1详解】因为袋中这两种颜色球的个数之比为1:3，且()3,Y B p ～，所以p 的值为14或34；（ⅰ）当14p =时，()()211134271C 164P Y p p ==-=，()()2213492C 164P Y p p ==-=，当34p =时，()()30033410C 164P Y p p ==-=，()()22334272C 164P Y p p ==-=，表格如下k0123()14P Y k =27642764964164()34P Y k =16496427642764（ⅱ）由上表可知()()33C 1kk kp P Y k p p -==-．当0y =或1时，参数14p =的概率最大；当2y =或3时，参数34p =的概率最大．所以1,0,143,2,3ˆ4y p y ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】由()11()ln 1ln(1)nnii i i l p Xp X p ===+--∑∑，则()()111111n ni i i i l p X X p p =='=---∑∑，令()1111101n n i i i i X X p p ==--=-∑∑，即()11111111nniii i nnniiii i i X n X pnpXXX=====---===-∑∑∑∑∑，故11n i i p X n ==∑，即当110,n i i X n p =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '>，当11,1n i i p X n =⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∑时，()0l p '<，故()l p 在110,n i i X n =⎛⎫ ⎪⎝⎭∑上单调递增，在11,1n i i X n =⎛⎫⎪⎝⎭∑上单调递减，即当11n i i p X n ==∑时，()l p 取最大值，故11ˆni i pX n ==∑，因此，用最大似然估计的参数 p 与频率估计概率的 p 是一致的，故用频率估计概率是合理的．【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数求取函数()l p 取最大值时的p ，得到11ˆni i pX n ==∑.。
2020—2021年最新高考总复习数学(文)三校联考模拟试题及答案解析.docx
2019年高三校际联合检测文科数学本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
满分150分。
考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：=V Sh柱体(S是柱体的底面积，h是柱体的高)；34=3V Rπ球(R是球的半径)第I卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若复数z满足11zi=+(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z的模为(A)0 (B)1 (C) 2(D)2(2)已知命题:,sin 1p x R ∀∈≤，则p ⌝是 (A),sin 1x R x ∀∈≥(B) ,sin 1x R x ∀∈> (C),sin 1x R ∃∈≥(D),sin 1x R x ∃∈>(3)若集合{}21x A x =>，集合{}ln B x x =>0，则“x ∈A ”是“x ∈B ”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(4)一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为10，则判断框中应填入的条件是 (A) 3k ≥- (B) 2k ≥- (C) 3k <-(D) 3k ≤-(5)函数()cos x y e x ππ=-≤≤ (其中e 为自然对数的底数)的大致图象为(6)某几何体的三视图如图所不，则该几何体的体积是 (A)43π (B)243π+(C)223π+(D)53π(7)函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位后，所得图象与y 轴距离最近的对称轴方程为 (A) 3x π=(B) 6x π=- (C)24x π=-(D)1124x π=(8) ABC ∆三内角A ，B ，C 的对边分别为,,,120a b c A =o ，则()sin 30a C b c--o 的值为(A)12(B)12-(C)32(D)32-(9)已知函数()2016112,01,2log , 1.x x f x x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪>⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是(A)(1，2016) (B)[1，2016] (C)(2，2017) (D)[2，2017](10)如图，已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于P ，Q两点，若60,3PAQ OQ OP ∠==ou u u r u u u r 且,则双曲线C 的离心率为 (A) 233(B)72(C)396(D) 3第II 卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．(11)将某班参加社会实践的48名学生编号为：l ，2，3，…，48，采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是____________．(12)设不等式组0,4,1x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为M ，若直线():2l y k x =+上存在区域M 内的点，则实数k 的取值范围是___________．(13)若,a b R ∈，且满足条件()()22111a b ++-<，则函数()log a b y x +=是增函数的概率是____________．(14)在计算“()12231n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+”时，某同学发现了如下一种方法： 先改写第k 项：()()()()()111211,3k k k k k k k k +=++--+⎡⎤⎣⎦由此得()1121230123⨯=⨯⨯-⨯⨯，()1232341233⨯=⨯⨯-⨯⨯， ……()()()()()1112113n n n n n n n n +=++--+⎡⎤⎣⎦相加，得()()()112231123n n n n n ⨯+⨯+⋅⋅⋅++=++.类比上述方法，()()12323412n n n ⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+++=_______________________． (结果写成关于n 的一次因式的积．．．．．．的形式) (15)已知不等式()[]22222201,22x xxxa x --+-+≥∈在时恒成立，则实数a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． (16)(本小题满分12分)2016年“五一”期间，高速公路某服务区从七座以下小型汽车中，按进服务区的先后每间隔50辆就抽查一辆进行询问调查．共询问调查40名驾驶员．将他们在某段高速公路的车速(km ／h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，得到如图所示的频率分布直方图．(I)求这40辆小型车辆的平均车速(各组数据平均值可用其中间数值代替)； (II)若从车速在[60，70)的车辆中任意抽取2辆，求其中车速在[65，70)的车辆中至少有一辆的概率．(17)(本小题满分12分)已知函数()()2cos 23sin cos sin f x x x x a x =-+的一个零点是12π．(I)求函数()f x 的最小正周期；(II)令,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求此时()f x 的最大值和最小值． (18)(本小题满分12分)等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，数列{}n b 是等比数列，且满足11223,1,10a b b S ==+=，5232a b a -=．(I)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(II)令2,n n nn S c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，，为偶数，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2n T .(19)(本小题满分12分)如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 是等腰梯形，其中AB//EF ，AB=2AF ，∠BAF=60°，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为△OBF 的重心．(I)求证：平面ADF ⊥平面CBF ； (II)求证：PM ／／平面AFC ．(20)(本小题满分13分)已知函数()()212ln 21xf x f x x+'=+． (I)求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；(II)若关于x 的方程()()121,f x a f x e e⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；(Ⅲ)若存在120x x >>，使()()1122ln ln f x k x f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．(21)(本小题满分14分)如图，A(2，0)是椭圆()222210x y a a a b +=>>长轴右端点，点B ，C 在椭圆上，BC过椭圆O ，0,,,AC BC OC AC M N ⋅==u u u u r u u u u r u u u r u u u r为椭圆上异于A ，B 的不同两点，MCN∠的角平分线垂直于x 轴． (I)求椭圆方程；(II)问是否存在实数λ，使得MN BA λ=u u u u r u u u r，若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．参考答案及评分标准说明：本标准中的解答题只给出一种解法，考生若用其它方法解答，只要步骤合理，结果正确，准应参照本标准相应评分。
浙江省衢州、丽水、湖州三市11月质量检测2024届高三数学答案
第1页 共9页衢州、丽水、湖州2023年11月三地市高三教学质量检测试卷数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 10- 14.1- 15. 1y x =- 16.四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin cos cos cos cos sin B C B AB A C+-=+.（1）求sin A ；（2）若点D 在边BC 上，2BD DC =，2c b =，2AD =，求ABC ∆的面积. 解：（1）由题意得22222sin sin sin cos cos sin sin B C C B A A B ⋅+=-=-，-----------2分所以222b c a bc +-=-，故2221cos 22b c a A bc +-==-，------4分 因为0A π<<，所以sin 2A =.-----------------------------------5分（2）设CD x =，则2BD x =，在ADB ∆中，有2222244cos 28AD BD AB x c ADB AD BD x+-+-∠==⨯.第2页 共9页在ADC ∆中，有222224cos 24AD CD AC x b ADC AD CD x+-+-∠==⨯.----------------------------------7分 又πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠， 所以有2226212c x b =-+. 又2c b =，所以222b x =+. 在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-.又3a x =，2c b =，2π3A =， 所以有22222194472x b b b b ⎛⎫=+-⨯-= ⎪⎝⎭.联立2222297b x x b ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得3x b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以26c b ==，----------------------------------9分 所以11sin 362222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=.----------------------------------10分另解：由2BD DC =，2c b =，知AD 是BAC ∠平分线，所以3BAD CAD π∠=∠=在ADB ∆中，有222()423a c c =+-.在ADC ∆中，有221()423a b b =+-，所以22424(42)c c b b +-=+-结合2c b =解得26c b ==，所以11sin 3622ABC S bc A ∆==⨯⨯=.18．（本题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，//EF AD ,2,1,AF AD EF CF ====,BE 与CF 交于点M .（1）若N 是BF 中点，求证：AN CF ⊥； （2）求直线MD 和平面ABE 所成角的正弦值.证：（1）由平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥，知AB ⊥平面ADEF ，第3页 共9页故AB AF ⊥，---------------------------------------------------------------------------------------------------2分 另一方面，在ACF ∆中，222AF AC CF +=知AF AC ⊥，从而AF ⊥平面ABCD .-------4分 故AF AD ⊥，又AB AD ⊥，知AD ⊥平面BAF ，故AD AN ⊥，故BC AN ⊥，又N 是BF 中点，AF AB =，故AN BF ⊥，进而AN ⊥平面BCEF ,故AN CM ⊥.-------------------6分（2）以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AF 所在的直线为x 、y 、z 轴，则)0,0,0(A 、)0,0,2(B 、)0,2,0(D 、)2,1,0(E 、)34,32,32(M ，则)34,34,32(--=MD ，---------8分设面ABE 的法向量为()z y x n ,,= ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AE n AB n 得()1,2,0-=n，----------------10分则552sin =θ.------------------------------------------------------------------------------------------12分 19．（本题满分12分）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.（1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如右图： 现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善22⨯列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．（2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为35，来自乙生产的概率为25），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.第4页 共9页------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分2230(10818)5 3.84118121515K ⨯-==>⨯⨯⨯，-------------------------------4分故有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.-------------------------------5分（2）记事件A 代表“一袋中有4个合格品”，事件B 代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件C 代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故3()5P B =,2()5P C =，下求()P B A ：由()()()()()P A P A B P B P A C P C =⋅+⋅----------------------------------------------------7分44413232864(5())(5())5555553125=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=--------------------------------------10分 故()()()8()()()9P A B P B P AB P B A P A P A ⋅===.-------------------------------12分 20．（本题满分12分）已知函数()cos sin f x x x a x =+.（1）若1a =-，证明：当01x <<时，3()3x f x >-；（2）求所有的实数a ，使得函数()y f x =在[]π,π-上单调.第5页 共9页又()(1)cos sin f x a x x x '=+-.-----------------------------------------------------------------------8分因为()022f ππ'=-<，所以函数()y f x =在[]0,π只能单调递减，由(0)10()(1)0f a f a π'=+≤⎧⎨'=-+≤⎩，解得1a =-.------------------------------------------------10分下证当1a =-时，()cos sin f x x x x =-在[]π,π-上单调.由于()f x 是奇函数，只要()y f x =在[]0,π单调，因为()sin 0f x x x '=-≤，所以()f x []0,π单调递减.----------------------------12分解法2：（2）因为()cos sin ()f x x x a x f x -=--=-，所以()f x 为奇函数.--------------------------6分 要使函数()y f x =在[]π,π-上单调，只要函数()y f x =在[]0,π上单调.又()(1)cos sin f x a x x x '=+-.------------------------------------------------------------------------8分 （i ）若(0)10f a '=+=，即1a =-时，()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()y f x =在[]0,π上单调递减，所以1a =-满足题意；（ii ）若(0)10f a '=+>，则()(1)0f a π'=-+<，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在12,(0,)x x π∈，使得当1(0,)x x ∈时，()0f x '>，当2(,)x x π∈时，()0f x '<，所以()y f x =在1(0,)x 单调递增，在2(,)x π单调递减，因此1a >-不合题意；（iii ）若(0)10f a '=+<，则()(1)0f a π'=-+>，故(0)()0f f π''⋅<，所以由零点存在定理得存在34,(0,)x x π∈，使得当3(0,)x x ∈时，()0f x '<，当4(,)x x π∈时，()0f x '>，所以()y f x =在3(0,)x 单调递减，在4(,)x π单调递增，因此1a <-不合题意；------------------10分 因此所求实数a 的取值范围是1a =-.-------------------------------------------------------------12分 21．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 满足11a =．第6页 共9页（1）若2243a a a +=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足n b =*N n ∈，且{}n b 是等差数列，记n T 是数列1n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.对任意*N n ∈，不等式4n T λ<恒成立，求整数．．λ的最小值． 解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则2113(12)d d d +++=+，得12d =±，-------------2分 故12n n a +=或32n n a -=.-----------------------------------------4分（2）由{}n b 为等差数列，可设n b pn q =+，记{}n a 的公差为d ，故1(1)n a n d =+-.所以pn q +=，显然0p ≥，0pn q +≥，----------------------------6分 平方得22222224p n pqn q d n d ++=+-，该式对任意*n N ∈成立，故2222024p d pq q d ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，得20p d q ==⎧⎨=⎩.故21n a n =-，2n b n =.------------------------------------8分 因此11112(21)nnn k k k k T a b k k ====-∑∑， 一方面，11111112(21)22nnn k k k k T a b k k ====>-=-∑∑，故42n T >，------------------9分 另一方面，111211114442112(21)()()22nn n n n k k k k k k T a b k k k k k k ========+---∑∑∑∑22111122213(1)1nnk k k k k k n ==⎛⎫<+=+-=+-< ⎪--⎝⎭∑∑.--------------------------------11分故整数．．λ的最小值为3.-------------------------------------------------------------------------12分法二：记{}n a 的公差为d ，则1b =，2b =3b =，-------------------------6分第7页 共9页上式平方后消去d 可得2222322135b b b b --=，结合3122b b b +=可知212b b =， 故2d =，21n a n =-，2n b n =.-----------------------------------------------------------------------8分下同方法一. 22．（本题满分12分）已知抛物线22C y px =：（05p <<）上一点M 的纵坐标为3，点M 到焦点距离为5. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点(1,0)作直线交C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作C 的切线1l 与2l ， 1l 与2l 相交于点D ，过点A 作直线3l 垂直于1l ，过点B 作直线4l 垂直于2l ，3l 与4l 相交于点E ，1l 、2l 、3l 、4l 分别与x 轴交于点P 、Q 、R 、S .记DPQ ∆、DAB ∆、ABE ∆、ERS ∆的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S .若124S S =34S S ，求直线AB 的方程.解：（1）设(),3M t ，由题意可得9252ptpt =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即9522p p +=，解得1p =或9p =(舍去)，所以抛物线C 的方程为22y x =.-------------------------------------------------------3分（2）设经过()11,A x y ，()22,B x y 两点的直线方程为():1AB l x my m R =+∈，与抛物线方程22y x =联立可得222y my =+，即2220y my --=，根据韦达定理知122y y m +=，122y y =-.-------------------------------------------------------5分由题意得直线1l 方程为1111111()2y y x x y x y y =-+=+，令0y =，得212y x =-，即21,02y P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.直线2l 方程为2212y y x y =+，令0y =，得222y x =-，即22,02y Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.则第8页 共9页222122y y PQ =-.------------------------------------------------------------------6分 联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得1212122y y x y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即()1,D m -， 则D 到直线AB l的距离2D AB d -==.直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，令0y =，得2112y x =+，即211,02y R ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 直线4l 的方程为32222y y y x y =-++，令0y =，得2212y x =+，即221,02y S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.则222122y y RS =-. 联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得2222x m y m⎧=+⎨=⎩，即()222,2E m m +，----------------------------------------------7分 则E 到直线AB l 的距离E AB d -==.由上可得22211112222D y y S PQ y m =⋅=-，21,2d AB S AB d -=⋅=312E AB S AB d -=⋅=第9页 共9页222141122222E y y S RS y m =⋅=-.--------------------------------------------------10分所以212342=42S S m S S +==，得m = 所以直线AB的方程为：1x =+.-----------------------------------------12分。
2023届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三下学期4月教学质量检测(二模)数学试题及答案解析
2023届浙江省湖州、衢州、丽水三地市高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题及答案解析一、单选题1.若集合(){}013≥--=x x x M ，()(){}013≥--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}3≥x x B .{}31≥≤x x x 或C .{}31≥=x x x 或D .{}31==x x x 或2.已知i zi+=1（其中i 为虚数单位），若z 是z 的共轭复数，则=-z z （）A .1-B .1C .i-D .i3.设M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，则=+++MD MC MB MA 22（）A .AB B .CDC .AB2D .CD 214.甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8的概率是（）A .61B .91C .365D .3675.已知函数()()0,0cos >≠=ωωa x a x f ，若将函数()x f y =的图象向左平移ωπ6个单位长度后得到函数()x g y =的图象，若关于x 的方程()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，则实数ω的取值范围是（）A .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，B .⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，C .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡724710，6.喜来登月亮酒店是浙江省湖州市地标性建筑，某学生为测量其高度，在远处选取了与该建筑物的底端B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ，先测得︒=∠45BCD ，︒=∠105BDC ，100=CD 米，在点C 处测得酒店顶端A 的仰角︒=∠28ACB ，则酒店的高度约为（）（参考数据：4.12≈，4.26≈，53.028tan ≈︒）A .91米B .101米C .111米D .121米7.已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，BC 是圆O 的直径，弦AC 的中点为D .若点B在第一象限，直线AB 、BD 的斜率之和为0，则直线AB 的斜率是（）A .45-B .25-C .5-D .52-8.人教A 版必修第一册第92页上“探究与发明”的学习内容是“探究函数xx y 1+=的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数xx y 12+=的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C ，则该双曲线C 的离心率是（）A .25210-B .255-C .5410-D .5410-二、多选题9.已知βα，为两个平面，n m ，为两条直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则下列命题正确的是（）A .若n m ∥，则βα∥B .若n m ，为异面直线，则α与β相交C .若α与β相交，则n m ，相交D .若βα⊥，则nm ⊥10.若实数b a ,满足1≤a 且100≤+b a ，则（）A .ab 的最小值是100-B .ab 的最大值是99C .ab b a ++的最小值是201-D .ab b a ++的最大值是20011.已知正方形ABCD 中，2=AB ，P 是平面ABCD 外一点.设直线PB 与平面ABCD 所成角为α，设三棱锥ABC P -的体积为V ，则下列命题正确的的是（）A .32=+PC P A ，则α的最大值时4πB .32=+PC P A ，则V 的最大值时31C .若422=+PD P A ，则V 的最大值是32D .若422=+PD P A ，则α的最大值时4π12.抛物线x y C 42=：的焦点为F ，准线l 交x 轴于点A ，点B 为准线上异于A 的一点，直线AB 上的两点D ，E 满足AEEB ADDB OB ==（为坐标原点），分别过D ，E 作x轴平行线交抛物线C 于Q P ，两点，则（）A .BOD AOD ∠=∠sin sinB .OEOD ⊥C .直线PQ 过定点⎪⎭⎫⎝⎛021D .五边形DPFQE 的周长7>l 三、填空题13.()()y x y x +-8的展开式中27y x 的系数是.14.定义在R 上的非零数函数()x f 满足：()()x f x f =-，且()()02=+-x f x f .请写出符合条件的一个函数的解析式()=x f .15.已知数列，，，， 9,75,3,1,75,3,1,5,3,1,3,1,1其中第一项是1，接下来的两项是3,1，再接下来的三项是5,3,1，以此类推.将该数列前n 项的和记为n S ，则使得400>n S 成立的最小正整数n 的值是.16.已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：离心率为21=e ，F 为椭圆C 的右焦点，B A ,是椭圆C 上的两点，且FB F A λ=.若FB F A ⊥，则实数λ的取值范围是.四、解答题17.已知数列{}n a 满足：21=a ，且对任意的*N n ∈，⎪⎩⎪⎨⎧+=++是偶数是奇数n a n a a n n n nn ,22,211.（1）求32a a ，的值，并证明数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列；（2）设()*12Nn a b n n ∈=-，求数列{}nb 的前n 项和nT .18.如图，在三棱锥111C B A ABC -中，底面ABC ⊥平面B B AA 11，ABC ∆是正三角形，D 是棱BC 上一点，且DB CD 3=，B A A A 11=.（1）求证：D A C B 111⊥；（2）若2=AB 且二面角11B BC A --的余弦值为53，求点1A 到侧面C C BB 11的距离.19.在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足BCA C A 222sin sin sin 1sin sin -=-且C A ≠.（1）求证：C B 2=；（2）已知BD 是ABC ∠的平分线，若4=a ，求线段BD 长度的取值范围.20.为提升学生的人文素养，培养学生的文学学习兴趣，某学校举办诗词竞答大赛.该竞赛由3道必答题和3道抢答题构成，必答题双方都需给出答案，答对得1分，答错不得分；抢答题由抢到的一方作答，答对得2分，答错扣1分.两个环节结束后，累计总分高者获胜.由于学生普遍反映该赛制的公平性不足，所以学校将进行赛制改革：调整为必答题4道，抢答题2道，且每题的分值不变.（1）为测试新赛制对选手成绩的影响，该校选择甲、乙两位学生在两种赛制下分别作演练，并统计双方的胜负情况.请根据已知信息补全以下22⨯列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为获胜方与赛制有关？（2）学生丙擅长抢答，已知丙抢到抢答题机会的概率为6.0，答对每道抢答题的概率为8.0，答对每道必答题的概率为()10<<p p ，且每道题的作答情况相互独立.（i ）记丙在一道抢答题中的得分为X ，求X 的分布列与数学期望；（ii ）已知学生丙在新、旧赛制下总得分的数学期望之差的绝对值不超过1.0分，求p 的取值范围.附：()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22，其中nd c b a =+++旧赛制新赛制合计甲获胜6乙获胜1合计1020()2k K P ≥0.150.100.050.0250k 2.0722.7063.8415.02421.已知双曲线1422=-y x C ：，点A 是双曲线C 的左顶点，点P 的坐标为()0,4.（1）过点P 作C 的两条渐近线的平行线分别交双曲线C 于S R ,两点.求直线RS 的方程；（2）过点P 作直线l 与椭圆1422=+y x 交于点E D ,，直线AE AD ,与双曲线C 的另一个交点分别是点N M ,.试问：直线MN 是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.22.已知函数()()0sin >+-=a bx x a e x f x.（1）当0=b 时，函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有极小值，求实数a 的取值范围；（2）当0<b 时，设0x 是函数()x f 的极值点，证明：()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥.（其中71828.2≈e 是自然对数的底数）参考答案一、单选题12345678CDACBBCD1.解析：∵(){}{}31013≥==≥--=x x x x x x M 或，()(){}{}13013≤≥=≥--=x x x x x x N 或，∴M ∩=N {}31≥=x x x 或.2.解析：由i z i +=1，则()()()211111i i i i i i i z +=-+-=+=，则21i z -=，∴i z z =-.3.解析：由题意可得MB MD MC MA -=-=，，∴MDMB MB MC MC MA MD MC MB MA +++++=+++22ABMA MB MB MC =-=+=4.解析：记事件“A =甲乙两人离开电梯的楼层数的和是8”由题意，总的基本事件为：两个人各有6中不同的下法，故共有36种结果，则时间包含两人分别从2楼和6楼下，3楼和5楼下，均从4楼下，共有2+2+1=5种不同下法.∴事件A 的概率为：()365=A P .5.解析：由题意可得：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 6cos πωωπωx a x a x g ，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1270π，x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈+612766πωπππω，x ，∵()0=x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1270π，上有且仅有两个不相等的实根，∴⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈+25236127πππωπ，，解得4716<≤ω，即实数ω的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡4716，.6.解析：由题可得︒=∠30CBD ，在BCD ∆中BDCBCCBD CD ∠=∠sin sin ，又()42645sin 60cos 45cos 60sin 4560sin 105sin sin +=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=∠BDC∴()265021426100sin sin +=+⨯=∠∠=CBDBDCCD BC ，又()10128tan 2650tan ≈︒⨯+=∠=ACB BC AB 米.7.解析：已知()0,1A 是圆222r y x O =+：上一点，∴101222==+r 设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()1-=x k y ，联立()⎩⎨⎧-==+1122x k y y x ，整理得()01212222=-+-+k x k x k ，0>∆恒成立，∴2212k k x x B A +=+，2211k k x x B A +-=，由于1=A x ，∴2211k k x B +-=，则()2121kkx k y B B +-=-=，由于BC 是圆O 的直径，由中点坐标公式可得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--22212,11k kk k C ，则弦AC 的中点D 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛++221,11k k k ∵直线AB 、BD 的斜率之和为0，∴k k k k k kk k k BD-=+-+-+-+-=222221111112整理得()052=-k k ，解得0=k 或5±=k .又点B 在第一象限，∴1-<k ，故5-=k .即直线AB 的斜率是5-.8.解析：由xx y 12+=的两条渐近线分别为x y 2=，0=x ，∴该函数对应的双曲线焦点在x y 2=，0=x 夹角（锐角）的角平分线l 上，设kx y l =：且2>k ，若βα，分别是kx y =，x y 2=的倾斜角，故2tan ,tan ==βαk 故βα-为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，由()ααπβαtan 12tan tan =⎪⎭⎫⎝⎛-=-，即()k k k 1212tan tan 1tan tan tan =+-=+-=-βαβαβα，整理得0142=--k k ，可得52+=k （负值舍去），∴绕原点顺时针旋转得到焦点位于x 轴上的双曲线C 一条渐近线斜率为25521-=+=a b ，故()54105491122-=-+=+=ab e .二、多选题9.解析：n m ∥，m ⊥平面α，n ⊥平面β，，则两平面平行，故A 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，n m ，为异面直线，则α与β相交，故B 正确；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若α与β相交，则n m ，相交或异面，故C 错误；m ⊥平面α，n ⊥平面β，若βα⊥，则n m ⊥，故D 正确.10.解析：由题设，⎩⎨⎧≤+≤-≤≤-10010011b a a ，如下图可行域，由图知：可行域边界交点坐标依次为()99,1，()101,1-，()991--，，()1011-，，显然ab 在坐标值异号的两交点处取最小值，坐标值同号的两交点处取最大值，故ab 的最小值是101-，最大值是99，A 错，B 对；由图知：[]199,201-∈++ab b a ，在第一象限边界交点、第四象限边界交点处分别取得最大、最小值，C 对，D 错.11.解析：由题意知，点P 为动点，C A ,为定点，32=+PC P A ，由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以22=AC 为焦距，长轴为32的椭圆，将此椭圆绕AC 旋转一周，得到一个椭球，即点P 的轨迹是一个椭球，9101112ABDBCACABD而椭球面为一个椭圆，由22222,32222=+==c a ，即2,3==c a ，得122=-=c a b ，当点P 运动到椭球的上、下顶点时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯==∆b S V ABC ；设点P 在平面ABCD 上的射影为Q ，则BQPQ=αtan ，又10≤<PQ ，20≤<BQ ，且BQ PQ ≤，∴当且仅当BQ PQ =时αtan 最大，即α的最大值时4π；当422=+PD P A 时，由42=AD 得222AD PD P A =+，则点P 的轨迹是以AD 为直径的球，设AD 的中点为O ，则O 为球心，当AD OP ⊥即1=OP 时，V 取到最大值，此时32122213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆OP S V ABC ；当直线BP 与球相切于点P 即BP OP ⊥时，α取得最大值，此时5551sin ===OB OP α，则4πα≠.12.解析：如图，不妨设1>=t OB ，点B 在x 轴上方，()0,1y D -()00>y ∵AEEB ADDB OB ==，则AD t DB =，AE t EB =，易得()()011y t B +-，，设()E y E ,1-，则()t y y y t EE=--+010，得到011y tty E -+=，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-0111y t t E ，，且()2202211t y t =++，即()222011t t y +-=，选项A ，如图，令βα=∠=∠AOB AOD ，，⎪⎭⎫⎝⎛∈20,πβα，，则αβ-=∠BOD ，∵201sin y y +=α，2011cos y +=α，()ty t 01sin +=β，t1cos =β，∴()=-=∠αβsin sin BOD ()⋅+ty t 012011y +t 1-201y y +⋅2001y y +=αsin =，∴BOD AOD ∠=∠sin sin ，∴选项A 正确；选项B ，∵()0,1y OD -=，()⎪⎭⎫⎝⎛-+-=ty t OE 1110，，则⋅OD +=1OE ()ty t -+1120()0111111122=-=+-⋅-++=t t t t ，∴OE OD ⊥，即OE OD ⊥，选项B 正确；选项C ，易知直线PQ 斜率存在，设直线PQ 的斜率为k ，()01,y x P ，()⎪⎭⎫⎝⎛-+ty t x Q 1102，，将()01,y x P 代入x y 42=，得到()()141141422201+-=+-==t t t t y x ，∴()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,141y t t P ，同理可得()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++-t y t t t Q 11,1410∴()()()()()()()()()()()022020001214112141411114114111y t t t t ty t t t y t y t t t t t y t y t k +-=++--=+-++---+=+---+--+=，∴直线PQ 的方程为()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t x y t y y 1411200，假设直线PQ 过定点⎪⎭⎫ ⎝⎛021，，则有()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+-=-t t y t y 141211200，得到0211=--+t t ，即023=+t ，不对t 恒成立，∴选项C 不正确；选项D ，由抛物线定义知，21p x PF DP +==，22px QF EQ +==，∴五边形DPFQE 的周长()ED QF PF l ++=2，又∵()1411+-=t t x ，()1412-+=t t x ，()0,1y D -，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-021,1y t t E ，()222011t t y +-=，∴=l ()()p y t t y t t t t 211141141200+-+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-()()4121211210+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=y t tt t t t ()()()()()()()411212112141112121121222222+--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=++-⋅-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++-=t t t t t t t t t t tt t t t ，又∵1>=t OB ，∴()()()()11211212121121=-+⋅+->-+++-t t t t t t t t ，()()11211121124224242222>+--+=+--=--t t t t t t t tt t ，∴7421=++>l ，故选项D 正确.三、填空题13.20；14.x y 2cosπ=（答案不唯一）；15.59；16.⎦⎤⎢⎣⎡+-374374，13.解析：二项式()8y x -中，()r rrrr y x C T -+-=8811，当y x +中取x 时，这一项为()r rr ry xC --981，∴2=r ，()281282=-C ，当y x +中取y 时，这一项为()1881+--r rr ry xC ，∴1=r ，()81181-=-C ，∴展开式中27y x 的系数是20288=+-.14.解析：∵()()02=+-x f x f ∴()x f 的对称中心为()0,1，且由()()x f x f =-可得出()x f 的对称轴为y 轴，且周期为4的偶函数都可以.15.解析：将已知数列分组，每组的第一项均为1，即第一组：1；第二组：3,1；第三组：53,1，；以此类推：将各组数据之和记为数列{}n b ，则()22121n n n b n =-+=，记数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则()()612121222++=+++=n n n n T n ；∴400385621111010<=⨯⨯=T ，400506623121111>=⨯⨯=T ；∵1021b b b +++ 对应{}n a 中项数为55211101021=⨯=+++ 项，即1055T S =，∴40039453135858<=+++=S ，400401753138559>=++++=S ，则使得400>n S 成立的最小正以整数59=n .16.解析：椭圆的右焦点为极点，建立坐标系，设()θρ,A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+2,0πθρB 过点A 作l AH ⊥交l 于点H ，l 为椭圆的右准线ca x 2=，过点A 作⊥AM 极轴交极轴于点M ，由椭圆的第二定义知：e AHAO=，则ρ=AO ，∴θρcos 2--=c c a AH ，则e c ca=--θρρcos 2，代入化简可得：θρcos 12e a b +=，同理可得：θπθρsin 12cos 1220e a b e a b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=，由FB F A λ=可得λθθθθθθρρ=+-=+-=+-==cos 2sin 2cos 211sin 211cos 1sin 10e e FB F A ，θθλcos 2sin 2+-=，λ表示()22，C 与()θθsin ,cos -D 两点的连线的斜率，而()θθsin ,cos -D 可看作圆122=+y x 上任意一点，∴λ的几何意义为圆122=+y x 上一点与()22，C 两点的连线的斜率，过点()22，C 作圆的切线可求出z 的最大值和最小值，由分析知，过点()22，C 直线的斜率一定存在，设为()22-=-x k y ，即022=+--k y kx ，故圆心()0,0到直线022=+--k y kx 的距离为：11222=++-kk ，化简得：03832=+-k k ，解得：374-=k 或374+=k，∴374cos 2sin 2374+≤+-≤-θθ，故374374+≤≤-λ.四、解答题17.解：（1）由题意可得：1212==a a ，1022233=+=a a .由题意得⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=+----+++324384382238232121212121221212n n n n n n n n a a a a a ，又038321≠=+a ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-3212n a 是等比数列.（2）由（1）知32438112-⋅==--n n n a b .运用分组求和可得()()nn n T n n n n 321498324141383244438110--=---⋅=-+++=- 18.解：（1）取BC AB ,的中点E O ,，连接AE OD D A O A ,,,11，∵ABC ∆是正三角形，∴BC AE ⊥；∵B A A A 11=，O 为AB 中点，∴AB O A ⊥1，∵DB CD 3=，E 为BC 中点，∴D 为BE 中点，又O 为AB 中点，∴AE OD ∥，∴BC OD ⊥；∵平面ABC ⊥平面B B AA 11，平面ABC ∩平面AB B B AA =11，⊂O A 1平面B B AA 11，∴O A 1⊥平面ABC ，又⊂BC 平面ABC ，∴BC O A ⊥1；∵O OD O A =⋂1，⊂OD O A ,1平面OD A 1，∴BC ⊥平面OD A 1，又⊂D A 1平面OD A 1，∴BC ⊥D A 1，又11C B BC ∥，∴D A C B 111⊥.（2）取11C B 中点F ，连接DF F A ,1，由三棱柱结构特征知：AE F A ∥1，又AE OE ∥，∴AF OD ∥，即F D O A ,,1，四点共面，由（1）知：BC ⊥平面ODF A 1，∵⊂DF D A ，1平面ODF A 1，∴DF BC ⊥，D A BC 1⊥，∴DF A 1∠是二面角11B BC A --的平面角，∴53cos 1=∠DF A ，作DF G A ⊥1，垂足为G ，∵G A BC 1⊥，G A DF 1⊥，D DF BC =⋂，⊂DF BC ,平面11B BCC ，∴G A 1⊥平面11B BCC ，设h O A =1，则121+=h AA ，又312221=-==F A AE ，∴2321==AE OD ，∴4321+=h D A ，432122121+=⎪⎭⎫⎝⎛+=h F A O A DF ，∴53432343432cos 2221212211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++=⋅-+=∠h h h DFD A F A DF D A DF A ，解得3=h ，又54sin 1=∠DF A ，∴G A D A DF A DF D A S DF A 111121sin 211⋅=∠⋅⋅=∆，即G A 1215215421521521⋅⨯=⨯⨯⨯，解得：51521=G A ，即点1A 到侧面C C BB 11的距离为5152.19.解：（1）由题意得BCA C C A 222sin sin sin sin sin sin -=-，即B C A C 2sin sin sin sin 1+=.由正弦定理得：ac c b +=22，又由余弦定理得：B ac c a b cos 2222-+=，∴B c a c cos 2-=，故B C A C cos sin 2sin sin -=，故()B C C B C cos sin 2sin sin -+=，整理得()C B C -=sin sin，又ABC ∆为锐角三角形，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20π，B ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈-22ππ，C B ∴C B C -=，因此C B 2=.（2）在BCD ∆中，由正弦定理得C BD BDC a sin sin =∠，∴CBDBDC sin sin 4=∠∴CC C BDC C BD cos 22sin sin 4sin sin 4==∠=，∵ABC ∆为锐角三角形，且C B 2=，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<<23022020ππππC C C ，解得46ππ<<C .故23cos 22<<C ，∴22334<<BD .因此线段BD 长度的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,334.20.解：（1）根据所给数据，可得下面的22⨯列联表：根据列联表得，()841.34.2151051049162022<=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，又()05.0841.32=≥K P ，故没有95%的把握认为获胜方与赛制有关.（2）（i ）由题意知丙的作答情况共有三类：抢答且答错，未抢答成功，抢答且答对，则丙在一道抢答题中的得分X 可能为2,0,1-，()12.02.06.01=⨯=-=X P ，()4.00==X P ，()48.08.06.02=⨯==X P 故可列出X 的分布列如下：旧赛制新赛制合计甲获胜6915乙获胜415合计101020X-102因此()84.048.0212.01=⨯+⨯-=X E .21.解：（1）由题意，得双曲线C 的渐近线方程为x y 21±=，过P 与x y 21=平行的直线方程为()421-=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=--=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛-43,25R ，过P 与x y 21-=平行的直线方程为()421--=x y ，由()⎪⎩⎪⎨⎧=---=4442122y x x y 解得⎪⎭⎫⎝⎛43,25S ，∴直线RS 的方程为25=x.（2）直线MN 过定点.由已知，易知过P 的直线斜率存在且不为0，直线AD ，AE 斜率存在且不为0，设直线AD ，AE 的直线方程分别为21-=y t x 和22-=y t x ，()D D y x D ,()E E y x E ,，由⎩⎨⎧=--=442221y x y t x 得()0441221=-+y t y t ，解得44211+=t t y D ，则4822121+-=t t x D .同理44222+=t t y E ，4822222+-=t t x E .又E D P ,,三点共线，而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=44,42422112121t t t t PD ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--=44,42422222222t t t t PE .故044424244424221122222222121=+⨯+---+⨯+--t t t t t t t t ，解得1221=t t .P0.120.40.48设()11,y x M ，()22,y x N ，则11112t k x y k AD MN ==+=，22212t k x y k AE AN ==+=，∴1222221121=+⋅+=y x y x t t ，即()()()()m kx m kx y y x x ++==++212121121222化简整理得：()()()0412*******21221=-+-++-m x x k x x km （*），易知直线MN 斜率存在，设直线MN 的方程为m kx y +=，由⎩⎨⎧=-+=4422y x m kx y ，消去y 整理得()044841222=----m kmx x k ，∴当0412≠-k 且()()014116642222>+-+=∆mkm k 时22212214144,418km x x k km x x ---=-=+，代入（*）化简，解得0222=--k mk m ，即()()02=-+k m k m ，故k m -=或k m 2=.当k m 2=时，k kx m kx y 2+=+=，经过点()0,2-，不符合题意，当k m -=时，k kx m kx y -=+=，经过点()0,1，满足题意.因此直线MN 过定点()0,1.22.解：（1）由题意知()x a e x f xsin -=在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值，则()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上有解，故x e a x cos =，设()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0cos πx x e x g x ，显然()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()10=g ，()+∞=→x g x 2lim π，∴1>a .当1>a 时，()0cos =-='x a e x f x在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，又()010<-='a f ，022>=⎪⎭⎫⎝⎛'ππe f ，由零点存在定理可知⎪⎭⎫⎝⎛∈∃2,0πα，且()0='αf ，此时当()α,0∈x 时，()0<'x f ，当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,παx 时，()0>'x f ，∴()x f 在()α,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,πα上单调递增，故()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上有极小值点.因此实数a 的取值范围是1>a .（2）由题意知()b x a e x f x+-='cos ，故()0cos 000=+-='b x a ex f x .()()000000sin sin 00x f bx x a e bx x a e x f x x '++-=+-=()bbx x a e b bx x x a e x x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++-=000004sin 22cos sin 200πa b bx e x 2200-++≥.设()()R x a b bx e x h x ∈-++=22，则()b e x h x+='2，当⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈2ln ,b x 时，()0<'x h ，()x h 单调递减；当⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈，2ln b x 时，()0>'x h ，()x h 单调递增，∴()a b b b h x h 22ln 2ln -⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥.因此()a b b x f 22ln 0-⎪⎭⎫⎝⎛-≥成立.。
浙江省稽阳联谊学校2024届高三下学期4月联考 数学试题【含答案】
2024年浙江省稽阳联谊学校高考数学联考试卷（4月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知在复平面内()1i z +对应的点位于第二象限，则复数z 可能是（）A ．12i+B ．2i+C ．1i+D ．1i-2．已知集合(){}2|0log 12A x x =<-<，{}2|23B x x x =->，则A B = （）A ．()1,3B ．()2,3C ．()3,4D ．()3,53．722x x x ⎛⎝的展开式中的常数项是（）A ．224B ．448C ．560D ．280-4．“πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”是“1cos 2x =”的（）A ．充分必要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件5．已知P ，(){}22,2|||Q x y x y x ∈+ ，则PQ 的最大值是（）A ．2B ．22C ．4D ．426．如图，战国时期楚国标准度量衡器——木衡铜环权1954年出土于湖南长沙，“木衡”杆长27厘米，铜盘直径4厘米.“环权”类似于砝码，用于测量物体质量.九枚“环权”重量最小的为1铢，最大的为半斤（我国古代1两24=铢，1斤16=两），从小到大排列后前3项为等差数列，后7项为等比数列，公比为2.若铜盘一侧某物体为2两13铢，则另一侧需要放置的“环权”枚数为（）A ．2枚B ．3枚C ．4枚D ．5枚7．设1x ，2x ，…，n x 是总体数据中抽取的样本，k 为正整数，则称()11n kk i i b x x n ==-∑为样本k 阶中心矩，其中11ni i x x n ==∑为样本均值.统计学中，当我们遇到数据分布形状不对称时，常用样本中心矩的函数——样本偏度3322s b bβ=来刻画偏离方向与程度.若将样本数据1x ，2x ，…，100x 绘制柱形图如图所示，则（）A ．0s β<B ．0s β=C ．0s β>D ．s β与0的大小关系不能确定8．已知定义在R 上的函数()f x 恒大于0，对x ∀，R y ∈，都有()()()224f x y f x f y +=⋅，且()11f =，则下列说法错误的是（）A ．()102f =B ．()()()20f x f x f ⋅-=C ．()20241k f k =∑是奇数D ．()f x 有最小值二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数()3221f x x x x =-++，下列说法正确的是（）A ．2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．方程()32f x =有3个解C ．当[]0,2x ∈，()[]1,3f x ∈D ．过点()0,1作()y f x =的切线，有且仅有一条10．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且10a ≠向量()11,n a a S +=，()1,1n b S =+ ，对于任意*n ∈N ，都有a b，则下列说法正确的是（）A ．存在实数1a ，使得数列{}n S 成等比数列B ．存在实数1a ，使得数列{}n S 成等差数列C ．若11a =-，则12n n a a +-=D ．若12a =，则()()()()12422111111n n a a a a a +++++=- 11．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，1124A B AB ==，球O 内切于棱台，点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），则（）A ．球O 的表面积为8πB ．三棱锥1P BCC -的外接球球心可能为O C ．若直线DP ⊥面11PB C ，则53DP =D ．平面1PBC 与球O 的截面面积最小值是π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知平面向量()1,2a =- ，()4,2a b +=，若()()a kb a kb +⊥- ，则k 的值可以是.（写出一个值即可）13．若0a >，0b >，则221min ,4ab a b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大值是.（其中{}min ,a b 表示a ，b 中的较小值）14．已知左、右焦点为()1,0F c -，()2,0F c 的椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>），圆2C ：22252x y cx c +-+0=，点A 是椭圆1C 与圆2C 的交点，直线2AF 交椭圆1C 于点B .若1AF AB =，则椭圆的离心率是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知ABC 面积为S ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：①)2224;S a b c +-；②sin cos2A Bc A +=；③()πsin cos 6c A C b C ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭(1)求角C ；(2)若3c =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，ABC ，求角平分线CD 的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16．如图，五面体ABCDEF 中，已知面ADE ⊥面CDEF ，AB CD EF ∥∥，AD AE =，CD AD ⊥.(1)求证：AB AE ⊥.(2)若224AB CD EF ===，π3ABC AED ∠=∠=，点P 为线段AF 中点，求直线BP 与平面BDF 夹角的正弦值.17．盒中共有3个小球，其中1个黑球，2个红球.每次随机抽取1球后放回，并放入个同k （N k ∈）色球.(1)若0k =，记抽取n 次中恰有1次抽中黑球的概率为n P ，求n P 的最大值；(2)若1k =，记事件1B 表示抽取第i 次时抽中黑球.（ⅰ）分别求()123P B B B ，()123P B B B ，()123P B B B ；（ⅱ）结合上述分析，请直接写出抽取n 次中恰有2次抽中黑球的概率.18．已知抛物线Γ：22y px =（0p >）的焦点为F ，A ，B 是抛物线Γ上两点（A ，B 互异）.(1)若AF FB =，且2AB =，求抛物线Γ的方程.(2)O 为坐标原点，G 为线段AB 中点，且12OG AB =.（ⅰ）求证：直线AB 过定点；（ⅱ）x 轴上的定点E 满足EO 为AEB ∠的角平分线，连接AE 、BE ，延长BO 交AE 于点P ，延长AO 交BE 于点Q ，求OPQ S 的最大值（用含p 的代数式表示）.19．已知函数()12ln x f x e a x x a-=+-，a R ∈(1)当2a =-时，求()f x 的最小值；(2)若()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；(3)当01a <<时，设1x 为函数()f x 的极大值点，求证：()11f x e<.1．A【详解】解：()()12i 1i 13i ++=-+，对应的点为()1,3-，在第二象限，A 正确；()()2i 1i 13i ++=+，对应的点为()1,3，不在第二象限，B 错误；()()1i 1i 2i ++=，对应的点为()0,2，不在第二象限，C 错误；()()1i 1i 2-+=，对应的点为()2,0，不在第二象限，D 错误．故选：A.根据复数的乘法运算，逐一核对选项即可．本题考查复数的几何意义，属于基础题．2．D【详解】解：集合(){}2|0log 12{|25}A x x x x =<-<=<<，{}2|23{|3B x x x x x =->=>或1}x <-，故()3,5A B = .故选：D.先求出集合A ，B ，再结合交集的运算，即可求解．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．3．B【详解】解：二项式7x⎛ ⎝的展开式的通项公式为3772177(2)rr r r r r r T C x C x --+⎛==⋅- ⎝，0r =，1， (7)令3722r-=-，则6r =，所以多项式的展开式的常数项为26627(2)448x C x -⋅⋅-=.故选：B.求出二项式7x⎛⎝的展开式的通项公式，然后令x 的指数为–2，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，属于基础题．4．C【详解】解：由πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得()ππ3x k k Z =-∈1cos 2x ⇒=，即充分性成立；反之，()1πcos π23x x k k Z =⇒=±∈，即必要性不成立，故“πsin 03x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭”是“1cos 2x =”的充分不必要条件．故选：C.利用充分条件与必要条件的概念判断即可．本题考查正弦函数的图象与性质及充分条件与必要条件的应用，属于中档题．5．C【详解】解：P ，(){}22,2|||Q x y x y x ∈+ ，如图，故P ，Q 在两圆及其内部的范围内，所以PQ 得最大值为4.故选：C.先求出P ，Q 两点的轨迹，再结合图形，即可求解．本题主要考查两点之间的距离，属于基础题．6．B【详解】解：设数列{}n a ，11a =，9192a =，由3a ，4a ，…，9a 成等比数列，公比为2，则332n n a -=⋅，3n ，故由1a ，2a ，3a 成等差数列，得n a n =，3n ，2两13铢需要放置一枚2两，一枚12铢，一枚1铁的环权，故需要3枚．故选：B.根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解．本题主要考查数列的应用，属于基础题．7．C【详解】解：样本偏度反应数据偏离方向与程度，由图表可得，有比较多的小于样本均值3.4x =的数据，当右侧有长尾时，受极端值影响，()10033110100i i b x x ==->∑，而样本方差20b >，则0s β>.故选：C.由图可知，右拖尾时30b >，而样本方差20b >，从而判断s β的符号．本题主要考查了频数分布直方图的应用，属于基础题．8．D【详解】解：()()()224f x y f x f y +=⋅，取0y =，则()()()240f x f x f =，故()102f =，选项A 正确；取y x =-，则()()()24f x f x f x -=⋅-，则()()14f x f x ⋅-=，选项B 正确．取0x =，12y =，则()()211402f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则21122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，取12y =，()()()211422f x f x f f x ⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，()12k f k -=，则()20241k f k =∑是奇数，选项C 正确；取函数()12x f x -=，符合题目条件，但此时()f x 无最小值，故选项D 错误．故选：D.根据已知条件，结合赋值法，即可求解．本题主要考查抽象函数及其应用，考查转化能力，属于中档题．9．AC【详解】解：对于A ，()3221f x x x x =-++，则()2341f x x x '=-+，所以()64f x x ='-'，由()0f x ''=，得23x =，所以()y f x =关于22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中心对称，所以2222333f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对于B ，因为()3221f x x x x =-++，所以()2341f x x x '=-+，令()0f x ¢>，得1x >，或13x <，令()0f x '<，得113x <<，所以()f x 在()1,+∞，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在13x =处有极大值，极大值为131327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为313272<，所以方程()32f x =有唯一解，故B 错误；对于C ，由B 可知，()f x 在10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[]1,2上单调递增，在1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又因为()01f =，131327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11f =，()23f =，所以()f x 的最大值为3，最小值为1，即()[]1,3f x ∈，故C 正确；对于D ，若点()0,1为切点，由()01f '=，可得切线方程为1y x -=，即10x y -+=，若点()0,1不是切点，设切点坐标为()320000,21x x x x -++，且00x ≠，则切线的斜率()2000341k f x x x '==-+，所以切线方程为()()()32200000021341y x x x x x x x --++=-+-，又因为切线方程过点()0,1，所以()()()322000000121341x x x x x x --++=-+-，解得01x =或0（舍去），所以切线方程为10y -=，即1y =.综上所述，过点()0,1作()y f x =的切线有2条，故D 错误．故选：AC.由()0f x ''=可求出()f x 的对称中心，进而可判断A ，求导得到()f x 的单调性和最值，进而可判断BC ，分点()0,1是切点和不是切点两种情况讨论，结合导数的几何意义可判断D.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．10．BCD【详解】解：由10a ≠，向量()11,n a a S += ，()1,1n b S =+ ，对于任意*n ∈N ，都有a b ，可得()111n n S a S +=+，若11a =，则11n n S S +-=，可得{}n S 是等差数列，故B 正确；若11a ≠，可得11111111n n a a S a S a a +⎛⎫-=- ⎪--⎝⎭，可得1111111n n a a S a a +=---，则()1nn a a =，故A 错误；若11a =-，则(1)n n a =-，12n n a a +-=，故C 正确；若12a =，则2n n a =，()()()()()()()()2222422121212121212121nn-++⋯⋯+=-++⋯+ 1122211n n a ++=-=-，故D 正确．故选：BCD.由向量共线的坐标表示推得()111n n S a S +=+，讨论1a 的值，结合等差数列和等比数列的定义和通项公式，可得结论．本题考查数列的递推式和向量共线的坐标表示、等差数列和等比数列的定义、通项公式，考查转化思想和方程思想、运算能力和推理能力，属于中档题．11．ACD【详解】解：已知正四棱台1111ABCD A B C D -，1124A B AB ==，球O 内切于棱台，点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），对于A 选项，取AD ，BC ，11B C ，11A D 的中点分别为M ，N ，X ，Y ，再取MN ，XY 的中点为S ，R ，则2MN =，4XY =，球O 内切于棱台，则O 点即为梯形MNXY 内切圆心，易知O 为SR 中点，且MO ，YO 均为角平分线，故OYR MSO △∽△，则r OR OS ====故球O 的表面积24π8πS r ==，故A 选项正确；对于B 选项，由上述分析可得，3MY XN ==，则正四棱台1111ABCD A B C D -的侧棱1AA =，作OE XN ⊥，垂足为E ，则E 为XN 三等分点（靠近N ）.设E N h '=，由勾股定理得22221E N BN E X B X '+=+'，则2h =，11B BC 的外接圆心E '为XN 三等分点（靠近X ），则三棱锥11P B BC -的外接球球心O '满足'⊥O E 平面11B BC ，显然OE ⊥平面11B BC ，故三棱锥11P B BC -的外接球球心不可能为O ，故B 选项错误；对于C 选项，若直线DP ⊥平面11PB C ，作11DH B C ⊥，垂足为H ，则P 的轨迹为以DH 为直径的圆，圆所在的平面与11B C 垂直，又点P 为侧面11A ADD 上一点（含边界），取1C X ，1D Y 的中点1Z ，2Z ，作12Z G Z D ⊥，垂足为P ，此时53DP =，故C 选项正确；对于D 选项，平面1PBC 与球O 的截面为圆，半径0r 满足2220r d r +=，故只需找离O 最远的平面1PBC 即可，显然观察四个顶点即可，其中P 取A ，1D 时为同一平面11ABC D ，此时显然离O 较近，当P 取1A 时，作OF BR ⊥，垂足为F ，则OF ⊥平面1PBC ，105d =；当P 取D 时，作1OG C S ⊥，垂足为G ，则OG ⊥平面1PBC ，1d =，故0max 1r =，故圆的截面面积为π，故D 选项正确．故选：ACD.对于A ：取AD ，BC ，11B C ，11A D 的中点分别为M ，N ，X ，Y ，再取MN ，XY 的中点为S ，R ，证出OYR MSO △∽△，进而求得r 即可；对于B ：利用条件得出三棱锥11P B BC -的外接球球心O '满足'⊥O E 平面11B BC ，显然OE ⊥平面11B BC ，即可判断；对于C ：若直线DP ⊥平面11PB C ，则P 的轨迹为以DH 为直径的圆，求解即可；对于D ：当P 取D 时，作1OG C S ⊥，垂足为G ，则OG ⊥平面1PBC ，1d =，即可得解．本题考查的知识点：棱台的性质，棱台和球的关系，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于中档题．12．【详解】解：平面向量()1,2a =- ，()4,2a b += ，∴()()3,4b a b a =+-=，∴()13,24a kb k k +=+-+ ，()13,24a kb k k -=---，∵()()a kb a kb +⊥- ，∴()()22225250a kb a kb a k b k +⋅-=-=-= ，解得5k =±.故答案为：利用平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质求解．本题考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．12【详解】解：设221min ,4M ab a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，则M ab ，2214M a b + ，所以2224ab M a b +，即12M =，当且仅当2a b =时取等号．故答案为：12.设221min ,4M ab a b ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭，则M ab ，2214M a b + ，即2224ab M a b + ，结合基本不等式即可求解．本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．14【详解】解：设2C ：222502x y cx c +-+=与x 轴的交点为P ，Q ，不妨设,02c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,0Q c ，11223PF QF PF QF ==，根据阿波罗尼斯圆的定义，得到123AF AF =，又1AF AB =，则222BF AF =，因为22cos b AF a θ=+，22cos b BF a θ=-，代入222BF AF =，得到cos 3a c θ=，在12AF F △中，132AF a =，22aAF =，由余弦定理得22294224423a a a a c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得33c a =.故答案为：3.根据阿波罗尼斯圆的定义，得到123AF AF =∣，再得到cos 3a cθ=，最后利用余弦定理求出e .本题考查椭圆的性质，属于中档题．15．(1)π3C =；【详解】解：（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得14sin 2cos 2ab C ab C ⨯=，可得tan C =()0,πC ∈，所以π3C =；若选②，由正弦定理可得：sin sin sin cos 2C C A A =，因为sin 0A >，所以2sin cos cos 222C C C=，cos 02C ≠，可得1sin 22C =，再由()0,πC ∈，可得π26C =，即π3C =；若选③，由正弦定理可得：πsin sin sin cos 6C B B C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，sin 0B >，可得ππcos cos 26C C ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,πC ∈，可得ππ26C C -=-，解得π3C =；（Ⅱ）因为3c =，D 是AB 上的点，CD 平分ACB ∠，ABC 的面积为4，所以()1π1π53sin sin 23264ab a b CD =+⋅⨯=，可得5ab =，()a b CD +⋅=由余弦定理可得22222cos ()3c a b ab C a b ab =+-=+-，即2935CD ⎛=-⨯ ⎝⎭，解得524CD =.即角平分线CD（Ⅰ）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得tan C 的值，再由角C 的范围，可得角C 的大小；选②，由正弦定理及半角公式可得sin2C的值，再由角C 的范围，可得角C 的大小；若选③，由正弦定理及诱导公式可得角C 的大小；（Ⅱ）由等面积法及余弦定理可得角平分线CD 的值．本题考查正弦定理，余弦定理的应用，角平分线的性质的应用，属于中档题．16．(1)证明见解析；77.【详解】解：（Ⅰ）证明：取DE 中点M ，连接AM ，因为AD AE =，所以AM DE ⊥，又因为面面ADE ⊥面CDEF ，且面ADE 面CDEF DE =，所以AM ⊥面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，所以AM CD ⊥，又因为CD AD ⊥，且AM AD A = ，所以CD ⊥面ADE ，所以CD AE ⊥，又AB CD ，所以AB AE ⊥；（Ⅱ）因为在直角梯形ABCD 中，π3ABC ∠=，AB 4=，2CD =，易求得AD =AD AE =，3AED π∠=，所以三角形ADE 为等边三角形，如图，以M 为原点建立直角坐标系，()0,0,0M ，()0,0,3A ，)2,0F ，()0,4,3B ，()D ，因为P 是AF 中点，所以点P 坐标为32⎫⎪⎪⎝⎭，所以33,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，)2,3BF =--，()2,0DF =，设面BDF 的法向量为(),,n x y z =r，则23020BF n y z DF n y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，则可取(1,n =，所以||sin |cos ,|||||BP n BP n BP n θ⋅=〈〉==⋅（Ⅰ）由已知证出AM ⊥面CDEF ，则AM CD ⊥，进而得出CD ⊥面ADE ，再根据AB CD 以及线面垂直的性质定理即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出面BDF 的法向量，结合向量夹角公式即可求解．本题考查线线垂直的判定以及空间向量的应用，属于中档题．17．(1)49；(2)（ⅰ）110，110，110；（ⅱ）()()()2112n n n -++【详解】解：（Ⅰ）若0k =，设抽取n 次中抽中黑球的次数为X ，则1,3X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，故()11112213333n n n nn P P X C --⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由()1213n n n P P n++=，12345P P P P P >=><>…，故n P 最大值为2P 或3P ，即n P 的最大值49；（Ⅱ）（ⅰ）()()()()123121321123134510||P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯= ，()()()()123121321213134510||P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯=，()()()()123121321||213134510P B B B P B P B B P B B B ==⨯⨯= ；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n 次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，则()()()()()212341211223123456212n n n n n n P C P B B B B B n n n ---==⨯⨯⨯⨯⨯⨯=+++ .（Ⅰ）利用独立事件的概率乘法公式求解；（Ⅱ）（ⅰ）利用条件概率公式求解；（ⅱ）由（ⅰ）可进行猜测，抽取n 次中恰有2次抽中的黑球的概率与抽球次序无关，再结合独立事件的概率乘法公式求解．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了条件概率公式，属于中档题．18．(1)22y x=(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）249p .【详解】解：（Ⅰ）因为AF FB =，则线段AB 是抛物线的通径，所以22AB p ==，得到1p =，抛物线方程为22y x =.（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为12OG AB =，所以O 在以AB 为直径的圆上，所以90AOB ∠=︒，所以1OA OB k k ⋅=-，设211,2y A y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫⎪⎝⎭，则21222112222AB y y pk y y y y p p-==+-，所以直线AB 方程为1212122y y py x y y y y =+++，又12221OA OB p pk k y y ⋅=⋅=-，所以2124y y p =-，AB 方程为()21212122422p p py x x p y y y y y y -=+=-+++，直线AB 过定点()2,0p .（ⅱ）设()0,0E x ，EO 为AEB ∠的角平分线，则0AE BE k k +=，12221200022y y y y x x pp+=--，整理得()()22120210220y y px y y px -+-=，因为2124y y p =-，解得02x p =-，即1OA k k =，2OB k k =，不妨设10k >，因为121k k =-，则21122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理22222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EA 的方程为()12121k y x p k =++，与直线2y k x =的交点横坐标12122P pk x k k =-，同理21222Q pk x k k =-，所以12OPQ QS OP OQ ==△2p =2p=()()()()()22111112221224221111121111222122252125k k k k k k p p p k k k k k k +++===⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭，令111k t k +=，则2t ，所以()22212212252OPQ t S p p t t t=⋅=⋅-++△，当且仅当2t =，取最大值249p .（Ⅰ）利用抛物线的性质即可求解；（Ⅱ）（ⅰ）因为12OG AB =，则可推得1OA OB k k ⋅=-，设211,2y A y p ⎛⎫⎪⎝⎭，222,2y B y p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出122AB p k y y =+，进一步可得直线AB 的方程1212122y y py x y y y y =+++，然后由12221OA OB p pk k y y ⋅=⋅=-，可得2124y y p =-，代入直线AB 的方程即可得证；（ⅱ）设()0,0E x ，EO 为AEB ∠的角平分线，则0AE BE k k +=，可得02x p =-，即1OA k k =，2OB k k =，不妨设10k >，因为121k k =-，则21122,p p A k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理22222,p p B k k ⎛⎫⎪⎝⎭，直线EA 的方程为()12121k y x p k =++，与直线2y k x =的交点横坐标12122P pk x k k =-，同理21222Q pk x k k =-，表示出12OPQ S OP OQ =△，运用换元法求解即可．本题考查抛物线的方程与性质，考查联立直线与抛物线的方程解决综合问题，属于中档题．19．(1)最小值为1；(2)[)1,a ∈+∞(3)证明见解析【详解】解：（Ⅰ）当2a =-时，()12ln x f x e x x -=-+，定义域为()0,∞+，则()121x f x e x-'=-+，由()1220x f x e x -=+'>'，可得()f x '在()0,∞+单调递增，且()10f '=，故()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，则()f x 的最小值为()11f =；（Ⅱ）若()f x 在定义域内单调递增，则()0f x ' 在()0,x ∈+∞上恒成立，()1122x x xe x aa a f x e x a x--'-+=+-=，令()12x g x xex a a -=-+，则()()()2110a a g a+-= ，且()00g a = 可知1a ，下证1a 时，()0g x ，由()12x h a xex a a-=-+关于1a 单调递增，则()121x h a xe x --+ ，令()121x G x xex -=-+，则()()112x G x x e -'=+-，故()G x '在()0,x ∈+∞上单调递增，且()10G '=，则()G x 在()0,1上单调遂减，在()1,+∞上单调递增，所以()()10G x G = ，综上所述，[)1,a ∈+∞时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；（Ⅲ）()12x a f x e x a -=+-'，()12x a f x e x-'=-'，则()f x ''在()0,∞+上单调递增，且存在唯一0x ，使得()00f x ''=，故()f x '在()00,x 上单调遂减，()0,x +∞单调递增，其中0120x x e a -=，且由()0,1a ∈，则()00,1x ∈，而()()000110012002210x x x a f x e x e x a x e---=+-'=+-<，故存在唯一极大值点1x 与极小值点2x ，满足102x x x <<，又()111120x a f x e x a -=+-='，则11112x x x e a a-=+，由()122120a f a e a a-=+-<-<'，故11x a <<，()()()()()111111*********ln 1ln 11ln 1x x x f x e a x x x e a x x e x x a---=+-=-+-<-+-，令()()()11ln 1x x x e x x ϕ-=-+-，()0,1x ∈，则()1ln 0x x xe x ϕ-=-+<'，0x +→时，()ln 10x x -<，0x =时，()111x x e e--=，所以()1x eϕ<，即()11f x e<.（Ⅰ）当2a =-时，()12ln x f x e x x -=-+，定义域为()0,∞+，求导得到()f x 的单调性，进而求出()f x 的最值；（Ⅱ）若()f x 在定义域内单调递增，则()0f x ' 在()0,x ∈+∞上恒成立，由()10f ' 可得1a ，再证1a 时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增即可；（Ⅲ）求导可知存在唯一0x ，使得()f x '在()00,x 上单调递减，()0,x +∞单调递增，进而可得102x x x <<，再结合()10f x '=证明即可．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，属于中档题．。
概率统计与期望方差分布列大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)
概率统计与期望方差分布列大题压轴练新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023秋·浙江·高三校联考期末）抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子，每次使用筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃，若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再次放入抽屉中，求：(1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率；(2)取了3次后，取出的一次性筷子的个数（双）的分布列及数学期望；(3)取了(2,3,4n n =，…）次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率．2．（2022·江苏南京·南京市江宁高级中学校考模拟预测）2022年2月6日，中国女足在两球落后的情况下，以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6:5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．(1)扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有12的可能性扑不到球．不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数X 的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住．记第n 次传球之前球在甲脚下的概率为n p ，易知121,0==p p ．①试证明14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；②设第n 次传球之前球在乙脚下的概率为n q ，比较10p 与10q 的大小．3．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考开学考试）中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车､电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程为4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.(1)求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的相关性强弱；(2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关；(3)在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取3人，记这3人中，男性的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.25≈；②参考公式：（i ）线性回归方程：ˆy bxa =+，其中()()()121ˆˆ,ni ii n i i x x yy b a y bxx x ==--==--∑∑；（ii ）相关系数：()()niix x y y r --=∑0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强.（iii ）()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.附表：α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.8284．（2023·浙江·模拟预测）2022年卡塔尔世界杯决赛圈共有32队参加，其中欧洲球队有13支，分别是德国、丹麦、法国、西班牙、英格兰、克罗地亚、比利时、荷兰、塞尔维亚、瑞士、葡萄牙、波兰、威尔士．世界杯决赛圈赛程分为小组赛和淘汰赛，当进入淘汰赛阶段时，比赛必须要分出胜负．淘汰赛规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，若比分相同，则进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，就要通过点球大战来分出最后的胜负．点球大战分为2个阶段．第一阶段：前5轮双方各派5名球员，依次踢点球，以5轮的总进球数作为标准（非必要无需踢满5轮），前5轮合计踢进点球数更多的球队获得比赛的胜利．第二阶段：如果前5轮还是平局，进入“突然死亡”阶段，双方依次轮流踢点球，如果在该阶段一轮里，双方都进球或者双方都不进球，则继续下一轮，直到某一轮里，一方罚进点球，另一方没罚进，比赛结束，罚进点球的一方获得最终的胜利．下表是2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果：（）:（）法国”表示阿根廷与法国在常规比赛及加时赛的比分为33:，在点注：“阿根廷4332:战胜法国．球大战中阿根廷42(1)请根据上表估计在世界杯淘汰赛阶段通过点球大战分出胜负的概率．(2)根据题意填写下面的22 列联表，并通过计算判断是否能在犯错的概率不超过0.01的前提下认为“32支决赛圈球队闯入8强”与是否为欧洲球队有关．欧洲球队其他球队合计闯入8强未闯入8强合计(3)若甲、乙两队在淘汰赛相遇，经过120分钟比赛未分出胜负，双方进入点球大战．已知甲队球员每轮踢进点球的概率为p，乙队球员每轮踢进点球的概率为23，求在点球大战中，两队前2轮比分为2:2的条件下，甲队在第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．参考公式：22(),.()()()()n ad bc n a b c da b c d a c b dχ-==+++ ++++()2Pχα≥0.10.050.010.0050.001α 2.706 3.841 6.6357.87910.8285．（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码()2016x x t=-12345销量/y万辆1012172026(1)统计表明销量y与年份代码x有较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若95w=，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人）；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为()f p ，求当w 为何值时，()f p 最大．附：ˆˆy bxa =+为回归方程，1221ˆniii nii x ynxy b xnx ==-=-∑∑，ˆˆay bx =-．6．（2022秋·江苏南通·高三校考期中）核酸检测也就是病毒DNA 和RNA 的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测成本，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n 份分为一组，将样本分成若干组，从每一组的标本中各取部分，混合后检测，若结果为阴性，则判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；若结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.若每次检测费用为a 元，记检测的总费用为X 元.(1)当n =3时，求X 的分布列和数学期望.(2)比较n =3与n =4两种方案哪一个更好，说明理由.7．（2023秋·辽宁·高三校联考期末）2022年冬奥会由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛在改造一新的水立方进行.中国女子冰壶队作为东道主对奥运冠军发起冲击.奥运会冰壶比赛将分为循环赛､淘汰赛和决赛三部分，其中循环赛前三名晋级淘汰赛.在淘汰赛中，循环赛第一和第二的两支队伍先进行一场比赛，胜者晋级最后的决赛，负者与循环赛第三名再进行一场比赛，胜者晋级决赛，败者即为本届比赛的第三名.决赛决出比赛的第一名与第二名.(1)循环赛进行九轮比赛，每支队伍都需要与其余九支队伍各进行一场比赛.中国队的主要对手包括加拿大队､瑞士队､瑞典队､英国队.若循环赛的赛程完全随机排列，则中国队在前六轮之内完成与主要对手交锋的概率是多少？(2)若中国队以循环赛第二名的成绩进入淘汰赛，同时进入淘汰赛的还有排名第一的加拿大队和排名第三的瑞士队.过往战绩表明，中国队与加拿大队对战获胜的概率为40%，与瑞士队对战获胜的概率为60%，加拿大队战胜瑞士队的概率为70%.假定每场比赛胜负的概率独立.若以随机变量X 表示中国队最终获得的名次，求其分布列和数学期望.8．（2023·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70,100)内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“=Y 频率组距”)时，发现Y 满足*8109,16300,N ,55(1)11,161520n n Y n n X n k n n -⎧⎪⎪=∈<+⎨⎪-⋅>⎪-⎩.（1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[90,95)的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[85,90)的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖.（i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A B ，两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.9．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有12的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有12的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一和技能二各触发1次”，求条件概率()P B A (2)设n 是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2n 的概率记为n P ，求n P .10．（2023春·福建南平·高三校联考阶段练习）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的110，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为99100，9899，9798，设人工抽检的综合指标不达标率为p （01p <<）．(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；(2)人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为()p ϕ，求()p ϕ的极大值点0p ；(3)若芯片的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的0p 作为p 的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良．11．（2023·福建莆田·统考二模）互花米草是禾本科草本植物，其根系发达，具有极高的繁殖系数，对近海生态具有较大的危害．为尽快消除互花米草危害，2022年10月24日，市政府印发了《莆田市互花米草除治攻坚实施方案》，对全市除治攻坚行动做了具体部署．某研究小组为了解甲、乙两镇的互花米草根系分布深度情况，采用按比例分层抽样的方法抽取样本．已知甲镇的样本容量12m =，样本平均数18x =，样本方差2119s =；乙镇的样本容量18n =，样本平均数36y =，样本方差2270s =．(1)求由两镇样本组成的总样本的平均数z 及其方差2S ；(2)为营造“广泛发动、全民参与”的浓厚氛围，甲、乙两镇决定进行一次“互花米草除治大练兵”比赛，两镇各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲镇举行．比赛规则：每场比赛直至分出胜负为止，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为35，当比赛在乙镇举行时，甲镇代表队获胜的概率为12．假设每场比赛结果相互独立.甲镇代表队的最终得分记为X ，求()E X ．参考数据：2222212183888,183623328,28.8829.44,1210.81399.68,187.2933.12⨯=⨯==⨯=⨯=．12．（2023·福建厦门·统考二模）移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W 与年份代码t 的散点图，其中年份2018-2022对应的t 分别为1~5．(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；(2)(i)假设变量x 与变量Y 的n 对观测数据为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(xn ，yn )，两个变量满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩（随机误差ii i e y bx =-）．请推导：当随机误差平方和Q ＝21ni i e =∑取得最小值时，参数b 的最小二乘估计．(ii)令变量,x t t y w w =-=-，则变量x 与变量Y 满足一元线性回归模型2()0,()Y bx eE e D e σ=+⎧⎨==⎩利用(i)中结论求y 关于x 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数()()niit t r w w -=-∑，()25176.9i i w w=-=∑，()()5127.2iii t t w w =--=∑，5160.8ii w ==∑27.7≈13．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）学校篮球队30名同学按照1，2，…，30号站成一列做传球投篮练习，篮球首先由1号传出，训练规则要求：第()128,m m m ≤≤∈N 号同学得到球后传给1m +号同学的概率为23，传给2m +号同学的概率为13，直到传到第29号（投篮练习）或第30号（投篮练习）时，认定一轮训练结束，已知29号同学投篮命中的概率为13，30号同学投篮命中的概率为67，设传球传到第()230,n n n ≤≤∈N 号的概率为n P ．(1)求4P 的值；(2)证明：{}()1228n n P P n +-≤≤是等比数列；(3)比较29号和30号投篮命中的概率大小．14．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品α分为两类不同剂型1α和2α．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为34和35，第二次检测时两类试剂1α和2α合格的概率分别为45和23．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品α才算合格．(1)设经过两次检测后两类试剂1α和2α合格的种类数为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品α进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为()f p ，若当0p p =时，()f p 最大，求0p 的值．15．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）由mn 个小正方形构成长方形网格有m 行和n 列.每次将一个小球放到一个小正方形内，放满为止，记为一轮.每次放白球的频率为p ，放红球的概率为q ，1p q +=.(1)若2m =，12p q ==，记y 表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数，统计数据如表：n 12345y7656423026求y 关于n 的回归方程 ln y bna =+ ，并预测10n =时，y 的值；（精确到1）(2)若2m =，2n =，13p =，23q =，记在每列都有白球的条件下，含红球的行数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率，并证明：()()111nmm n p q -+-≥.附：经验回归方程系数：1221ˆki ii kii x y kx ybxkx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，51ln 53i i i n y =⋅=∑，ln 3.8y =.16．（2023·山东枣庄·统考二模）某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动．高三（1）班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动共有交通协管员、创建宜传员、文明监督员三项可供选择．每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12．每人每参加1项活动可获得综合评价10分，选择参加几项活动彼此互不彩响，求(1)在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生的概率；(2)记随机选取的两人得分之和为X，求X的期望．17．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省仙桃中学校考模拟预测）治疗慢性乙肝在医学上一直都是一个难题，因为基本不能治愈，只是可以让肝功能正常，不可以清除病毒，而且发展严重后还具有传染性，所以在各种体检中肝功能的检查是必不可少的.在对某学校初中一个班上64名学生进行体检后，不小心将2份携带乙肝的血液样本和62份正常样本（都用试管独立装好的）混在了一起，现在要将它们找出来，试管上都有标签，采用将共64份样品采用混检的方式，先将其平均分成两组，每组32份，将每组的32份进行混检，若携带病毒的在同一组，则将这一组继续取两份平均分组的混合样本进行检验，若携带病毒的样本不在同一组，则将两组都继续平均分组混检下去，直到最后将两份携带病毒的样本找出为止（样品检验时可以很快出结果，每次含病毒的那一组进行平均分组时，每个含病毒的样本被分到任意一组的概率都是12，且互不影响），设共需检验的次数为X.(1)求随机变量X的分布列和期望；(2)若5岁以上的乙肝患者急性和慢性的比例约为91：，急性乙肝炎症治愈率可达9 10，没有治愈的会转为慢性乙肝，慢性乙肝炎症治愈率只有3100，在找出两个乙肝样本后通知其进行治疗，求两人最后至少有一人痊愈的概率o P.（结果保留两位有效数字）18．（2023春·江苏南京·高三南京市第一中学校考开学考试）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据：性别锻炼不经常经常女生4060男生2080(1)依据0.01α=的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；(2)从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率；(3)为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第n 次传球后球在甲手中的概率.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.0100.0050.001x α 6.6357.87910.82819．（2022秋·湖北·高三黄冈中学校联考阶段练习）随机变量的概念是俄国数学家切比雪夫在十九世纪中叶建立和提倡使用的.切比雪夫在数论､概率论､函数逼近论､积分学等方面均有所建树，他证明了如下以他名字命名的离散型切比雪夫不等式：设X 为离散型随机变量，则()()()2P X E X λλ-λ为任意大于0的实数.切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X 的分布未知的情况下，对事件X λλ-的概率作出估计.(1)证明离散型切比雪夫不等式；(2)应用以上结论，回答下面问题：已知正整数5n .在一次抽奖游戏中，有n 个不透明的箱子依次编号为1,2,,n ，编号为()1i i n 的箱子中装有编号为0,1,,i 的1i +个大小､质地均相同的小球.主持人邀请n 位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为i 的箱子中抽取的小球号码为i X ，并记1n i i X X i==∑.对任意的n ，是否总能保证()0.10.01P X n （假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论.附：可能用到的公式（数学期望的线性性质）：对于离散型随机变量12,,,,n X X X X 满足1n i i X X ==∑，则有()1()ni i E X E X ==∑.20．（2022秋·湖北十堰·高三校联考阶段练习）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A 、B 进行体育运动和文化项目比赛，由A 部、B 部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A 部、B 部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A 部、B 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A 部获胜的概率为()01p p <<，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X ，求()E X ，并求当()E X 取最大值时p 的值；(2)当12p =时，记一共进行的比赛局数为Y ，求()5P Y ≤．21．（2022秋·广东广州·高三广州市真光中学校考开学考试）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标A 的数量y 与连续用药天数x 具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据(),i i x y ，1,2,3,4,5i =，其中i x 表示连续用药i 天，i y 表示相应的临床疗效评价指标A 的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标A 的数量y 变化明显，随着天数增加，y 的变化趋缓.经计算得到如下一些统计量的值：5162i i y ==∑，()()5147i i i x xy y =--=∑，51 4.79i i u =≈∑，()251 1.615i i u u =-≈∑，()()5119.38i i i u u y y =--≈∑，其中ln i i u x =.(1)试判断y a bx =+与ln y a b x =+哪一个适宜作为y 关于x 的回归方程类型？并建立y 关于x 的回归方程；(2)新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.若第1条生产线出现不合格药品的概率为0.012，第2条生产线出现不合格药品约概率为0.009，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.（i ）随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；（ii ）若在抽查中发现不合格药品，求该药品来自第1条生产线的概率.参考公式：对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线y a bx =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121n i i in i ix x y y b x x ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$.22．（2022·广东深圳·统考二模）2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛．．．．．．．．．．．．，若甲连续赢两场．．．．．则专业队获胜；若甲连续输两场．．．．．则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理A卷
高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A. (7,4)-- B.(7,4) C.(1,4)- D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=（3,1），∴BC =AC AB -=(7,4)，故选A.2.【黄石市第三中学（稳派教育）高三阶段性检测】若()1,3MA =-，()1,7MB =，则12AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=-()()()1111,732,41,222=+-==，故选B.3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=()5,7，故选A. 4.【重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点，向量，，则点的坐标为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量，，∴，又∴∴点的坐标为故选：C.5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，23CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A ．13- B.13C.231-D.2 【答案】B【解析】由已知得，13AD AB =，故13CD CA AD CA AB =+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=．6. 已知平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C.【解析】∵a 与b 共线，∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，则|2|a b -等于（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故22|2|435a b -=+=,故应选D.8.【襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）高三上期中联考】点G 为ABC ∆的重心（三边中线的交点）．设,GB a GC b ==，则12AB 等于（） A.3122a b - B. 12a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，∵点G 为ABC ∆的重心，∴0GA GB GC GA a b ++=++=， ∴GA a b =--， ∴()()11112222AB GB GA a a b a b ⎡⎤=-=++=+⎣⎦.选B.9.已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==，且//a b ，则tan θ=（ ）A ．32 B ．32- C ．23 D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，故选A. 10.向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//a b ，则cos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．2-D ．22-【答案】A11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）A.1142+a b B.1124+a b C.2133+a b D. 1233+a b 【答案】C 【解析】,AC a BD b ==，11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+ 因为E 是OD 的中点,||1||3DE EB ∴=,所以，13DF AB = ()1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166AC BD -=1166a b - ，11112266AF AD DF a b a b =+=++-＝2133a b +,故选C.12. ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，若AG x AE y AF =+，则x y +等于（ ）A.32B.43C.1D.23【答案】B ．第II 卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学2024年高三第三次调查研究考试数学试题
浙江省湖州市安吉县上墅私立高级中学2024年高三第三次调查研究考试数学试题 考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ） A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]0,1 D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2．已知等差数列{a n }，则“a 2＞a 1”是“数列{a n }为单调递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．若函数()y f x =的定义域为M ＝{x|－2≤x≤2}，值域为N ＝{y|0≤y≤2},则函数()y f x =的图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>5．若向量(1,5),(2,1)a b ==-，则(2)a a b ⋅+=（ ）A ．30B ．31C ．32D ．336．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i < 7．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( ) A ．7 B ．8 C ．31 D ．32 8．2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示（以十位数字为茎，个位数字为叶）.若甲队得分的中位数是86，乙队得分的平均数是88，则x y +=（ ）A ．170B ．10C ．172D ．129．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．22B ．32C ．102D ．1210．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺11．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是10312．某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[20,40)（单位：元）的同学有34人，则n 的值为（ ）A ．100B ．1000C ．90D ．90二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(湖丽衢二模)2024年浙江省丽水、湖州、衢州三地市4月高三教学质量检测试卷数学试题卷+答案解析
【新结构】（湖丽衢二模）2024年浙江省丽水、湖州、衢州三地市4月高三教学质量检测试卷数学试题卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则A 与B的关系是()A.互斥B.互为对立C.相互独立D.相等2.双曲线的渐近线方程为，则()A. B. C. D.23.复数z满足为虚数单位，则的最小值是()A.3B.4C.5D.64.已知平面向量，满足，若，则与的夹角是()A. B. C. D.5.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则()A.3B.9C.10D.136.将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，，有，则()A. B. C. D.7.已知椭圆，，为左、右焦点，P为椭圆上一点，，直线经过点若点关于l的对称点在线段的延长线上，则C的离心率是()A. B. C. D.8.已知正实数，，满足，，，则，，的大小关系是()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.有一组样本数据，，，，，的平均数是，方差是，极差为R，则下列判断正确的是()A.若，，，，，的平均数是，则B.若，，，，，的极差是，则C.若方差，则D.若，则第75百分位数是10.已知直三棱柱中，且，直线与底面ABC所成角的正弦值为，则()A.线段上存在点D，使得B.线段上存在点D，使得平面平面C.直三棱柱的体积为D.点到平面的距离为11.已知函数的定义域为R，且，，为偶函数，则()A. B.为奇函数 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，BC边上的高等于，则的面积是__________，__________.13.已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则__________.14.已知正四面体的棱长为1，若棱长为a的正方体能整体放入正四面体中，则实数a 的最大值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
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高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合P={x|0＜x＜2}，Q={x|-1＜x＜1}，则P∩Q=（）A. （-1，2）B. （0，1）C. （-1，0）D. （1，2）2.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D. 33.复数的共轭复数是（）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i4.若变量x，y满足约束条件，则|x+3y|的最大值是（）A. 1B. 2C. 3D. 45.设函数f（x）=x，则函数f（x）的图象可能为（）A. B.C. D.6.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知袋子中装有若干个大小形状相同且标有数字1,2,3的小球，每个小球上有一个数字，它们的个数依次成等差数列，从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字的数学期望是2，则的方差是（）A. B. C. D.8.已知三棱锥P-ABC中，△ABC为正三角形，PA＞PB＞PC，且P在底面ABC内的射影在△ABC的内部（不包括边界），二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B9.已知向量，的夹角为60°，||=1且，则||+||的最小值为（）A. B. C. 5 D.10.已知数列{a n}满足，（n∈N*），则使a n＞1的正整数n的最小值是（）A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021二、填空题（本大题共7小题，共42.0分）11.我国古代某数学著作中记载了一个折竹抵地问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”意思是：有一根竹子（与地面垂直），原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为六尺，则折断处离地面的高为______尺．12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm）等于______，表面积（单位：cm2）等于______．13.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知tan（）=2，则sin A的值为______，若B=，a=4，则△ABC的面积等于______．14.若（x-3）8，则a0=______，a0+a2+…a8=______．15.已知函数f（x）=，则f（f（-1））=______，若实数a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是______．16.现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有________种.(结果用数字表示)17.已知椭圆的两个顶点A（a，0），B（0，b），过A，B分别作AB的垂线交该椭圆于不同于的C，D两点，若2|BD|=3|AC|，则椭圆的离心率是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数f（x）=2cos2x-2sin x cosx．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）求方程f（x）=-在区间[0，]内的所有实根之和．19.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且DE=，平面ABCD⊥平面ADE，二面角A-CD-E为30°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面CDE；（Ⅱ）求AB与平面BCE所成角的正弦值．20.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公差d≠0，且S1，S3，S9成等比数列，数列{b n}满足b1S1+b2S2+…+b n S n=6-（n∈N*），{b n}的前n项和为T n．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记R n=，试比较R n与的大小．21.已知抛物线L：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点M（5，0）的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线AF交抛物线L于另一点C，|AC|的最小值为4．（Ⅰ）求抛物线L的方程；（Ⅱ）记△ABC、△AFM的面积分别为S1，S2，求S1•S2的最小值．22.已知函数f（x）=2x2，g（x）=m ln x（m＞0），曲线f（x）与g（x）有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若存在实数a，b，使得关于x的不等式g（x）≤ax+b≤f（x）+2对任意正实数x恒成立，求a的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵P={x|0＜x＜2}，Q={x|-1＜x＜1}；∴P∩Q=（0，1）．故选：B．进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集的运算．2.【答案】A【解析】解：双曲线中，焦点坐标为（，0），渐近线方程为：y=，∴双曲线的焦点到渐近线的距离：d==1．故选：A．分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．3.【答案】A【解析】解：复数z===1-i的共轭复数=1+i．故选：A．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：作出约束条件表示的可行域如图所示：由目标函数z=x+3y得y=-x+，由图象可知当直线y=-x+经过点A时，截距最大，解方程组，解得A（，）．∴z的最大值为+3×=2．由图象可知当直线y=-x+经过点B（-1，-1）时，则|x+3y|的最大值是：4．故选：D．作出可行域，将目标函数z=x+3y化为y=-x+，根据函数图象判断直线取得最大截距时的位置，得出最优解．本题考查了简单线性规划，画出可行域，判断目标函数的几何意义是解题的关键，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：由＞0得（1+x）（x-1）＜0，得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），则f（-x）=x2ln=-x=-f（x），即函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，f（）=ln=ln3＞0，排除A，故选：C．判断的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数奇偶性和对称性之间的关系以及利用排除法是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：依题意，设2号小球有a个，1号有（a-d）个，三号有（a+d）个，则从中随机抽取一个小球，若取出小球上的数字X的分布列为：所以E（X）=1×+2×+3×==2，解得d=0，X所以E（X2）==．∴D（X）=E（X2）-E2（X））=-22=．本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：如图，过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过O作OD⊥AB，交AB于D，过O作OE⊥BC，交BC于E，过O作OF⊥AC，交AC于F，连结OA，OB，OC，PD，PE，PF，∵△ABC为正三角形，PA＞PB＞PC，二面角P-AB-C，二面角P-BC-A，二面角P-AC-B的大小分别为α，β，γ，∴α=∠PDO，β=∠PEO，γ=∠PEO，OA＞OB＞OC，AB=BC=AC，∴OD＞OF＞OE，∴α＜γ＜β．故选：C．过P作PO⊥平面ABC，垂足为O，过O作OD⊥AB，交AB于D，过O作OE⊥BC，交BC于E，过O作OF⊥AC，交AC于F，推导出OA＞OB＞OC，AB=BC=AC，得到OD ＞OF＞OE，由此得到α＜γ＜β．本题考查二面角的大小的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】B【解析】解：||=1，设为x轴方向的单位向量，因为t∈R，所以t表示与共线的任意向量，向量，的夹角为60°，不妨设=（1，），则=（t-2，t），=（t-3，t），所以||+||=+，表示（t，）到A点（2，0）的距离与（t，）到B点（3，0）的距离之和．即||+||=PA+PB，设P（t，），则P在直线l：y=上，设x轴关于直线l的对称直线为m，且A，B 两点关于l的对称点分别为C，D．则PA=PC，PB=PD，所以||+||=PA+PD≥AD，由因为OA=2，OD=3，∠AOD=120°，所以由余弦定理||+||=PA+PD≥AD===．故选：B．建立坐标系，设出，的坐标，将||+||转化为距离和，找到直线的对称直线，再将距本题考查了平面向量基本定理，直线的对称直线，余弦定理等知识．属于难题．10.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用及累加法的应用，考查了的等价转化与构造法的应用，考查了综合分析与解决问题的能力令b n=，利用累加法求解，再根据范围求解正整数n的最小值即可【解答】解：∵，，令b n=，则，b1=，∴=，∴，，…=，以上式子相加可得，=∴=4036-，∵a，∴＞0，即a n+1＞a n，∴数列{a n}单调递增设当1≤n≤m时，，当n≥m+1时，a n＞1，∴当1≤n≤m时，，，∴∴，∴，a2019＜1；，a2020＞1使a n＞1的正整数n的最小值是2020故选：C．11.【答案】9.1故答案为：9.1．设出竹高，利用勾股定理求解即可．本题考查三角形的解法，勾股定理的应用，考查计算能力．12.【答案】20+4【解析】【分析】本题考查三视图求解几何体的体积以及表面积，判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题目．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积与表面即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是一个正方体挖去一个正四棱锥的几何体，正方体的棱长为2，所以几何体的体积为：2×2×2=．几何体的表面积为：5×2×2+4×=20+4．故答案为：；20+4．13.【答案】16【解析】解：∵由tan（）=2，可得：=2，∴tan A=．∴=，又∵cos2A+sin2A=1，∴解得：sin A=．∵B=，a=4，sin A=，∴由正弦定理：，可得：b===4，∵tan A=，cos A==，∴sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=×+×=．∴△ABC的面积S=ab sin C=×4×4×=16．故答案为：，16．利用正切的和与差化简tan（）=2．可得tan A的值，根据同角三角函数基本关系式的正弦函数公式可求sin C的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．14.【答案】-27 -940【解析】解：（x-3）8，令x=0，则a0=（-3）3=-27，令x=1，-1．分别可得：（-2）3×35=a0+a1+a2+…+a8；（-4）3×（-1）5=a0-a1+a2+…+a8．相加可得：a0+a2+…+a8=×（43-23×35）=-940．故答案为：-27，-940．（x-3）8，令x=0，则a0=（-3）3．令x=1，-1．分别可得：（-2）3×35=a0+a1+a2+…+a8；（-4）3×（-1）5=a0-a1+a2+…+a8．相加可得：a0+a2+…+a8．本题考查了二项式定理的求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】4 （2，4]【解析】【分析】本题考查分段函数的运用：求函数值，考查数形结合思想和运算能力，属于基础题．由分段函数，可先求f（-1），再求f（f（-1））；作出f（x）的图象，可得b+c=4，-2＜a0，即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=，可得f（-1）=2，f（f（-1））=f（2）=-4+8=4，作出f（x）的图象，实数a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），可得b+c=4，由2-a=4，解得a=-2，即-2＜a0，则a+b+c的范围是（2，4]．故答案为：4，（2，4].16.【答案】336【解析】解：先不考虑红球和黄球不相邻的问题，将4个球全排列有种方法，再将两个空盒捆绑，和剩余的一个空盒插空有种方法，其中包含红球和黄球相邻的种方法，故恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有-=336种方法．故填：336．先将四个球排入四个盒子，将两个空盒捆绑后，和另一个空盒插空，再去掉红球和黄球不重不漏．本题属中档题．17.【答案】【解析】解：依题意可得k BD=K AC=-=，∵过A，B分别作AB的垂线交椭圆T于D，C（不同于顶点），∴直线AC：y=（x-a），直线BD：y=x+b．由⇒（b4+a4）x2+2a3b2x=0，∴x B+x D=-⇒x D=-．由⇒（b4+a4）x2+-2a5x+a6-a2b4=0，∴x A x C=，∴x C=．∵|DB|=（0-x D），|AC|=（a-x C），由2|BD|=3|AC|，可得3x C-2x D=3a，化简可得2a2=3b2，椭圆T的离心率e====，故答案为：．求得AC，BD的斜率，可得直线AC，BD的方程，与椭圆方程联立，求得C，D的横坐标，由弦长公式和条件可得a，b的关系，再由离心率公式，可得所求值．本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2cos2x-2sin x cosx=1+cos2x-sin2x=1-2sin（2x-），由f（x）单调递减可知，sin（2x-）递增，故2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ-，kπ+]，k∈Z，（Ⅱ）由1-2sin（2x-）=-，得：sin（2x-）=，由sin（2x-）在[0，]上递增，在[，]上递减，且，得，方程在[0，]上有两不等实根α，β，且满足=．∴α+β=．【解析】（Ⅰ）先根据二倍角公式、辅助角公式化基本三角函数，再根据正弦函数性质求减区间．（Ⅱ）根据正弦函数图象与性质求简单三角方程的根．本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数图象与性质，考查综合分析与求解能力，属中档题．19.【答案】（Ⅰ）证明：平面ABCD⊥平面ADE，平面ABCD∩平面ADE=AD，且CD⊥AD，∴CD⊥平面ADE，从而CD⊥DE，CD⊥AE，∴∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角，即∠ADE=30°．又AD=2，DE=，由余弦定理得AE=1，∴AE2+DE2=AD2，即AE⊥DE．又CD∩DE=D，,∴AE⊥平面CDE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，CD⊥平面ADE，可得AB⊥平面ADE，从而AB⊥AE，BE=，又CE=，BC=2，故S△BCE=．由已知，点B到平面CDE的距离等于点A到平面CDE的距离AE=1，设点A到平面BCE的距离为d，则点D到平面BCE的距离也为d，由V B-CDE=V D-BCE得：=，d=，设AB与平面BCE所成角为，∴AB与平面BCE所成角的正弦值sinθ=．【解析】本题考查面面垂直性质定理、二面角、线面垂直判定定理、等体积法求点到平面的距离以及线面角，考查综合分析与求解能力，属于中档题．（Ⅰ）根据面面垂直性质定理得CD⊥平面ADE，得∠ADE即为二面角A-CD-E的平面角，利用余弦定理解得AE，根据勾股定理得AE⊥DE．最后根据线面垂直判定定理得结论；（Ⅱ）先利用等体积法求点A到平面BCE的距离，再根据解三角形得结果．20.【答案】解：（Ⅰ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，公差d≠0，且S1，S3，S9成等比数列，则：（3+3d）2=9+36d，解得：d=2，所以：a n=2n-1，故：．由于：数列{b n}满足b1S1+b2S2+…+b n S n=6-（n∈N*），则：①，当n≥2时，②，①-②得：=，当n=1时，．则：（首项符合通项），故：．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，所以：，由于，=，=，当n=1时，21＜2×1+1=3，所以：，当n=2时，22＜2×2+1=5，所以：，当n≥3时，≥2n+1，∴．综上所述，当n≤2时，；当n≥3时．【解析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，进一步利用裂项相消法求出结果，进一步利用数学归纳法求出结果．本题考查的知识要点：本题考查利用和项与通项关系求通项公式、裂项相消法求和以及二项展开式应用，考查综合分析与求解能力，属中档题．21.【答案】解（Ⅰ）由已知及抛物线的几何性质可得|AC|min=2p=4，∴p=2，∴抛物线L的方程为y2=4x．（Ⅱ）设直线AB：x=ty+5，AC：x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由⇒y2-4ty-20=0⇒y1+y1=4t，y1y2=-20，同理可得y1y3=-4，从而C（，-），点C到AB的距离d==，|AB|=|y1-y2|=|y1+|，∴S1=2×|+1|•|y1+|=（+1)(y+20）．又S2=×4×|y1|=2|y1|，∴S1•S2=4（+1）（y+20）=4（y++24）≥4（8+24）=96+32．当且仅当y12=4，即A（，±2）时S1•S2有最小值96+32．【解析】本题考查抛物线定义与性质以及基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题．（Ⅰ）根据抛物线性质可得|AC|min=2p，即得结果，（Ⅱ）设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求S1•S2，再利用基本不等式求最值．22.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=g（x），即2x2=m ln x，令F（x）=，则F′（x）=．∵F（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上增减，∴，∴m=4e；（Ⅱ）由题意知，必有g（1）≤ax+b≤f（1）+2，即0≤a+b≤4，当a=0时，x＞，4e ln x＜ax+b，不符合题意；当a＜0时，有b＞0，此时x0=max{1，-}，g（x0）≥ax+b，不符合题意，因此有a＞0，因此△=a2-8（2-b）≤0，①令h（x）=g（x）-（ax+b）=4e ln x-ax-b，则h′（x）=，h（x）在（0，）上单调递增，在（）上单调递减，故，②由①②两式知，构造函数φ（x）=，则φ（4）=0，φ（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，故a min=4，此时b=0．【解析】（Ⅰ）根据导数研究函数图象，再根据图象确定有且仅有一个公共点的条件，解得结果，（Ⅱ）先根据特殊值缩小a的取值范围，再根据二次函数性质确定ax+b≤f（x）+2成立的条件，利用导数确定g（x）≤ax+b成立的条件，结合两个条件消b得关于a满足的条件，最后利用导数分析a取值范围，即得最小值．本题考查利用导数研究函数零点以及利用导数研究不等式恒成立，考查综合分析与求解能力，属难题．。