河南省顶尖名校2021届高三上学期10月联考理科数学试题(含答案解析)

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2021年高三上学期10月月考试题数学(理) 含答案

2021年高三上学期10月月考试题数学（理）含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝．(0,1)2. 复数z ＝a ＋i 1－i为纯虚数，则实数a 的值为．13. 不等式|x ＋1|·(2x ―1)≥0的解集为． {x |x ＝―1或x ≥12}4. 函数f (x )＝13x －1＋a （x ≠0），则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的条件（用“充分不必要”，“必要不充分”“充要”“既非充分又非必要”填写）．5. 充要6. m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．(9,－4)7. 向量a ＝(1,2)、b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k ＝_________． 8. 由题意知，a 与b 不共线，故k ∶1＝1∶(－3)，∴k ＝－139. 关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是． 10. [－4,4]11. 已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．412. 解：x ＋2y ＝8－x ·(2y )≥8－⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4) (x＋2y ＋8)≥0．又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4．13. 已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________．(－∞,3]14. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12·→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC＝． 315. 若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________．[12,＋∞)16. 解：f '(x )＝2mx ＋1x －2≥0对x ＞0恒成立，2mx 2＋1－2x ≥0∴2m ≥2x －1x 2＝－1x 2＋2x，令t ＝1x ＞0∴2m ≥－t 2＋2t ，∵()－t 2＋2t max ＝1，∴2m ≥1，∴m ≥12． 17. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是． (－∞,4)18. 将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．19. 解法一：点代入y ＝sin(2x －2φ)∴sin(2π3－2φ)＝32∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3∴φ＝－k π＋π6或φ＝－k π∴φ的最小值为π6．20. 解法二：结合函数y ＝sin2x 的图形．21. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是． 22. ⎣⎡ln33,⎭⎫1e二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 23. （本小题满分14分） 24. 已知直线和．25. 问：m 为何值时，有：（1）；（2）．解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去．当时，即 ∴当时，． ………7分（2）由得或； ∴当或时，． ………14分 26. （本小题满分14分）27. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． 28. （1）求f (x )的解析式；29. （2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分30. （本小题满分15分）31. 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， 32. （1）k a －b 与a －k b 垂直；33. （2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分34. （本小题满分15分）35. 如图①，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和供电站C ，村庄B 与A 、C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要修建电缆，从供电站C 向村庄A 、B 供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．36. （1）已知村庄A 与B 原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km ．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．37. （2）如图②，点E 在线段AD 上，且铺设电缆的线路为CE 、EA 、EB ．若∠DCE ＝θ(0≤θ≤ π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y 的最小值．解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD . 过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分（2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分38. （本小题满分16分）39. 已知a 为实数，函数f (x )＝a ·ln x ＋x 2－4x ．40. （1）是否存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值？证明你的结论； 41. （2）若函数f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围； 42. （3）设g (x )＝2a ln x ＋x 2－5x －1＋ax，若存在x 0∈[1, e]，使得f (x 0)＜g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝a x ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a 2或x ＜1－1－a2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增，∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时，在上单调递减，所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为，因为，所以，，故此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分43. （本小题满分16分）44. 已知常数a ＞0，函数f (x )＝13ax 3－4(1－a )x ，g (x )＝ln(ax ＋1)－2x x ＋2．45. （1）讨论f (x )在(0,＋∞)上的单调性；46. （2）若f (x )在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上存在两个极值点x 1、x 2，且g (x 1)＋g (x 2)＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）由题意可知：f '(x )＝ax 2－4(1－a )当a ≥1时，f '(x )＞0，此时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增．当0＜a ＜1时，由f '(x )＝0得：x 1＝2a (1－a )a （x 2＝－2a (1－a )a＜0舍去）当x ∈(0, x 1)时，f '(x )＜0；当x ∈(x 1,＋∞)时，f '(x )＞0.故f (x )在区间(0, x 1)上单调递减，在区间(x 1,＋∞)上单调递增．综上所述，当a ≥1时，f (x )在区间(0,＋∞)上单调递增；当0＜a ＜1时，f (x )在区间(0,2a (1－a )a )上单调递减，在区间(2a (1－a )a,＋∞)上单调递增． ………6分（2）由（1）知，当a ≥1时，f '(x )≥0，此时f (x )不存在极值点，因而要使得f (x )有两个极值点，必有0＜a ＜1. 又∵f (x )的极值点只可能是x 1＝2a (1－a )a 和x 2＝－2a (1－a )a，由g (x )的定义可知，x ＞－1a 且x ≠－2，∴－2a (1－a )a ＞－1a 且2a (1－a )a x ≠2解得：0＜a ＜12或12＜a ＜1 【定义域在这里很重要】 ………8分此时，由（*）式易知，x 1, x 2分别是f (x )的极小值点和极大值点．而g (x 1)＋g (x 2)＝ln(ax 1＋1)(ax 2＋1)－2x 1x 1＋2－2x 2x 2＋2＝ln[a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1]－4x 1x 2＋4(x 1＋x 2)x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝ln(2a －1)2－4(a －1)2a －1＝ln(2a －1)2－22a －1－2………10分令x ＝2a －1，由0＜a ＜12且a ≠12知，当0＜a ＜12时，－1＜x ＜0；当12＜a ＜1时，0＜x ＜1 ，记h (x )＝ln x 2＋2x－2．①当－1＜x ＜0时，h (x )＝2ln(－x )＋2x－2，设t ＝－x ∈(0,1)， (t )＝2ln t －2t －2单调递增 ∴ (t )＜ (1)＝－4＜0∴h (x )＜－4＜0，故当0＜a ＜12时，g (x 1)＋g (x 2)＜0，不合题意，舍去．②当0＜x ＜1时，h (x )＝2ln x ＋2x －2，∴h '(x )＝2x －2x 2＝2x －2x2＜0，∴h (x )在(0,1)上单调递减，∴h (x )＞h (1)＝0，故当12＜a ＜1时，g (x 1)＋g (x 2)＞0．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1．………16分附加题(考试时间：30分钟总分：40分)xx.1021.（选修4—2：矩阵与变换）（本小题满分10分) 已知矩阵（1）求；（2）满足AX ＝二阶矩阵X解：(1) ………5分(2) ………10分22．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分)在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋2sin θ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3t(t 为参数)，求直线l 被曲线C 所截得的弦长．解：曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，圆心为(1，1)，半径为2，(3分)直线的直角坐标方程为3x －y －3＝0，(5分)所以圆心到直线的距离为d ＝||3－1－32＝12，(8分)所以弦长＝22－14＝7.(10分)23.（本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝3，AA 1＝AC ＝4，AA 1⊥平面ABC ； AB ⊥AC ，（1）求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；（2）在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，求BDBC 1的值．解：（1）如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A －, 则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为, 则,即,令,则,,所以.同理可得,平面BB 1C 1的法向量为, 所以.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角,所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为. ………5分（2）设D 是直线BC 1上一点,且. 所以.解得,,. 所以.由,即.解得.因为,所以在线段BC 1上存在点D , 使得AD ⊥A 1B .此时,. ………10分1C 1A 1B 1C ABC24.（本小题满分10分)（1）证明：①；②（其中）；（2）某个比赛的决赛在甲、乙两名运动员之间进行，比赛共设局，每局比赛甲获胜的概率均为，首先赢满局者获胜（）. ①若，求甲获胜的概率；②证明：总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）. 解：（1）①()()()()()()()()()111!1!!!()!1!(1)!1!()!1!1!11!r r n nr n n r n r n n C C r n r r n r r n r n C r n r +++++-⎡⎤⎣⎦+=+=-+--+-+==++-+……2分②由① ……3分（2）①若，甲获胜的概率()10156)1()1(2322242233+-=-+-+=p p p p p pC p p pC p P ……5分②证明：设乙每一局获胜的概率为，则．记在甲最终获胜的概率为，则()nn nn n nn n nn n n n n n n n n n n qC q Cq Cpqp pC q p pC q p pC p P 2221122211...1...++++=++++=++++++所以，()()()()()[]()()[()][][]()()()0122)()()(...)1()1()11(......1...1...11...1...1 (112111212111212211122211212211122211212211211221)3221211212231321211222131222211112221312222111122213122222111<-=-=-=+--=+--+-+++-++-+-=+++++++++-++++=++++--++++=++++-++++=-++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++q C q p C qC q p C qC q p C qC C q p C q C C q C C C q C C q C C q p qC q C q C q q C q C q C qC q C q C p q C q C q C q qC q C q C p q C q C q C p q C q C q C p P P n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n所以即总局数越多，甲获胜的可能性越大（即甲获胜的概率越大）． ………10分 26545 67B1 枱Ay21102 526E 剮40664 9ED8 默33073 8131 脱 35752 8BA8 讨25121 6221 戡24143 5E4F 幏34944 8880 袀34497 86C1 蛁。

2021年高三上学期10月月考数学(理)试题含答案

xx学年第一学期10月月考高三年级数学试题（理科））李翠清本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|2x+1≥1}，则M∩N等于（）A．（﹣2，﹣1] B．（﹣2，1] C．[1，3）D．[﹣1，3）2．=（）A．i B．-i C．1+i D．1﹣i3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则且；④若，则，其中真题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34.命题p：；命题q：在中，若sinA>sinB，则A>B。

下列命题为真命题的是（）A.pB.C.D.5.若的展开式中项系数为20，则的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 16.已知=则的值为（）A.2B. 3C. 4D.167.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的结果是（）A. B. C. D.8．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．9.若等比数列的各项均为正数，且=2（e为自然对数的底数），则= （）A. 20B.30C.40D.5010. 已知变量满足约束条件若目标函数 (其中)仅在点(1，1)处取得最大值，则的取值范围为 ( )A． B． C． D．11．设直线：，圆，若在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，则的取值范围是( )A．B．C．D．12.右图为某四面体的三视图，其正视图、侧视图、俯视图均为边长为4的正方形，则该四面体的内切球的半径为（）A． B． C． D．2021年高三上学期10月月考数学（理）试题含答案二、填空题（每题5分，共20分.把答案填在答题纸的横线．．．．．．．．上）13.已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数m的值为．14. 设向量ab若是实数，且，则的最小值为．15．已知，α是第四象限角，且tan（α+β）=1，则tanβ的值为．16．对于函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”. 某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算1232016()()()()2017201720172017f f f f= .三、解答题（本大题共6个题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置．．．．．．．．．．）17.（本小题满分10分）8个篮球队中有3个强队，任意将这8个队分成两组（每组4个队）进行比赛（1）求至少有两个强队分在组中的概率；（2）用表示分在组中强队的个数，求的分布列和数学期望。

2021届河南省高三10月联考数学(理)试题(解析版)

2021届河南省高三10月联考数学（理）试题一、单选题1．设命题：p ：1x ∀<-，202xx +>，则p ⌝为（） A ．01x ∃<-，2002x x +≤ B ．01x ∃≥-，2002x x +≤ C ．1x ∀<-，202x x +≤ D ．1x ∀≥-，202xx +≤ 【答案】A【解析】根据全称命题的否定为特称命题可得结果. 【详解】因为全称命题的否定为特称命题，所以命题p 的否定为p ⌝：“01x ∃<-，2002x x +≤”. 故选：A. 【点睛】本题考查了全称命题的否定为特称命题，属于基础题. 2．已知集合{}ln 0M x x =<，12N x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（）A ．∅B ．12x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭C ．{}1x x <D ．102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】化简集合M ，根据集合的交集运算可得结果. 【详解】因为{}{}ln 001M x x x x =<=<<，12N x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，所以102M N x x ⎧⎫⋂=<≤⎨⎬⎩⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.3．函数()3ln x x f x x =-的图象在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则tan α=（） A ．1- B ．2- C ．3- D ．4-【答案】B【解析】求出函数的导函数，导函数在1x =的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可. 【详解】由题意得()2ln 13x f x x '=+-，所以切线斜率()12k f '==-，所以tan 2α.故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.4．中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（） A ．7点36分 B ．7点38分C ．7点39分D ．7点40分【答案】B【解析】设7点t 分()060t <<时针OA 与分针OB 重合，在7点时，时针、分针所成的夹角为210︒，根据时针每分钟转0.5︒，分针每分钟转6︒，可得60.5210t t ︒=︒+︒，解方程即可. 【详解】设7点t 分()060t <<时针OA 与分针OB 重合. 在7点时，时针OC 与分针OD 所夹的角为210︒，时针每分钟转0.5︒，分针每分钟转6︒，则分针从OD 到达OB 需旋转6t ︒，时针从OC 到达OA 需旋转0.5t ︒，于是60.5210t t ︒=︒+︒，解得2383811t =≈（分），故选：B. 【点睛】本题考查了任意角的表示以及终边相同角的表示，考查了基本运算能力，属于基础题.5．若3512a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1235b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，351log 2c =，则下列结论正确的是（） A ．b c a >> B ．c a b >>C ．a b c >>D ．c b a >>【答案】D【解析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行判断. 【详解】考虑中间值1212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据指数函数的单调性，得132511122⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1d a >>；根据幂函数的单调性，得112213125⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1d b <<；根据对数函数的单调性，得335513log log 125c =>=，所以1c bd a >>>>. 故选：D . 【点睛】本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题. 6．函数()2cos sin 1x x f x xx +=+的部分图象大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数图象的对称性排除选项C ，D ；根据当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除B .从而可得答案. 【详解】因为()2cos sin 1x x f x xx +=+，所以()()()()()22cos sin cos sin 11x x x x x f x xf x x x --+-+-==-=-+-+，所以函数()f x 为奇函数，排除选项C ，D ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，所以排除B . 故选：A. 【点睛】本题考查了奇函数图象的对称性，考查了排除法，考查了根据函数解析式选择图象，考查了诱导公式，属于基础题.7．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P (单位：mg /L )与时间t (单位：h )间的关系为0ektP P -=(其中0P ，k是正的常数).如果在前10h 消除了20%的污染物，则20h 后废气中污染物的含量是未处理前的（） A ．40% B ．50% C ．64% D ．81%【答案】C【解析】根据0t =得污染物含量得初始值为0P ，根据10t =得1100.8k e -=，可得1000.8tP P =。

2021年高三上学期10月月考理数试题含答案

2021年高三上学期10月月考理数试题含答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合，，则集合（）A ．B ．C ．D ．2．若，则下列不等式中不成立的是（）A ．B ．C ．D ．3．函数的零点有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．设，，，则的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．5．下面几种推理过程是演绎推理的是（）A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角，则+=B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列中，，，计算，由此推测通项6．已知函数的导函数为，且满足，则（）A ．B ．C ．D ．7．函数的定义域和值域都是，则( )A ．B ．C ．D ．8．函数满足，那么函数的图象大致为（）9．设函数是定义在上周期为3的奇函数，若，，则有（）A ．且B ．或C ．D ．10．已知，是互不相同的正数，且，则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把答案填在题中横线上11．．12．设实数满足则的最大值为．13．观察下列式子：，，，…，根据上述规律，第个不等式应该为．14．在等式“”的两个括号内各填入一个正整数，使它们的和最小，则填入的两个数依次为、．15．下列四个命题：①命题“若，则”的否命题是“若，则”；②若命题，则；③若命题“”与命题“或”都是真命题，则命题一定是真命题；④命题“若，则”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题有6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16．（本题满分12分）已知集合，，．(Ⅰ)求集合；(Ⅱ)若，求实数的取值范围．17．（本题满分12分）设命题：函数在上是增函数，命题：，如果是假命题，是真命题，求的取值范围．18．（本题满分12分）已知函数．(Ⅰ)若函数的图象在处的切线方程为求的值；(Ⅱ)若函数在上是增函数，求实数的最大值．19．（本题满分12分）已知二次函数．(Ⅰ)若且函数的值域为求函数的解析式；(Ⅱ)若且函数在上有两个零点，求的取值范围．20．（本题满分13分）某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理．据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度(单位：毫克/立方米)随着时间(单位：天)变化的函数关系式近似为，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用．(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求的最小值(精确到，参考数据：取)．21．（本题满分14分）设，函数．(Ⅰ)求的单调递增区间；(Ⅱ)设问是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；(Ⅲ)设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为直线的斜率为．证明：．高三数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：ABADA BCCBD二、填空题：11．8 12．4 13．14．4，12 15．②③三、解答题16.解：(Ⅰ)由，得．…………………………2分由不等式得所以．…………………………4分所以．…………………………6分(Ⅱ)因为，所以，…………………………8分所以…………………………9分解得．…………………………11分所以，实数的取值范围是．…………………………12分17．解：∵函数在上是增函数，∴，…………………………2分由得方程有解，………………4分∴，解得或…………………………5分∵是假命题，是真命题，∴命题一真一假，…………………………6分①若真假，则∴；…………………………8分②若假真，则解得，…………………………10分综上可得的取值范围为…………………………12分18．解：(Ⅰ)∵∴．于是由题知解得．…………………………2分∴．∴，于是，解得．…………………………4分(Ⅱ)由题意即恒成立，∴恒成立；……………6分减函数极小值增函数∴…………………………11分∴．∴的最大值为…………………………12分19．解：(Ⅰ)因为所以…………………………2分因为函数的值域为所以方程有两个相等的实数根，…………………………3分即有等根，故．…………………………5分所以；…………………6分(Ⅱ)解法一：因为在上有两个零点，且，所以有……8分(图正确，答案错误，扣2分)通过线性规划可得．……12分(若答案为，则扣1分)解法二：设的两个零点分别为，所以；…………8分不妨设，因为，且，所以,…………………………10分因为，所以．…………………………12分20．解：(Ⅰ)因为一次喷洒4个单位的去污剂，所以空气中释放的浓度为…………………………2分当时，令，解得，所以．当时，令，解得，所以．于是得，…………………………5分即一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达8天．…………………………6分(Ⅱ)设从第一次喷洒起，经天，浓度．…………………………8分因为，而，所以，…………………………10分故当且仅当时，有最小值为．令，解得，…………………………12分所以的最小值为．…………………………13分21．解：在区间上，．…………………………1分(Ⅰ) ．(1)当时，∵，∴恒成立，的单调增区间为；………2分(2)当时，令，即，得∴的单调增区间为…………………………3分综上所述：当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为…………………………4分(Ⅱ)得…………………………5分当时，恒有∴在上为单调增函数，故在上无极值；…………………………6分当时，令，得单调递增，单调递减．∴无极小值…………………………8分综上所述：时，无极值时，有极大值无极小值．…………………………9分29922 74E2 瓢25903 652F 支{28051 6D93 涓>31261 7A1D 稝11[~29029 7165 煥p31708 7BDC 篜21076 5254 剔20099 4E83 亃。

2021届河南省高三联考数学(理)试题(解析版)

【详解】
因为，
所以，
所以函数为奇函数，排除选项C，D；
又当时，，所以排除B.
故选：A.
【点睛】
本题考查了奇函数图象的对称性，考查了排除法，考查了根据函数解析式选择图象，考查了诱导公式，属于基础题.
7．企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量 (单位： )与时间 (单位： )间的关系为 (其中，是正的常数).如果在前消除了20%的污染物，则后废气中污染物的含量是未处理前的（）
2．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合，根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
因为，，
所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性解不等式，考查了集合的交集运算，属于基础题.
3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为，则（）
A． B． C． D．
A．40%B．50%C．64%D．81%
【答案】C
【解析】根据得污染物含量得初始值为，根据得，可得。代入可得，从而可得答案.
【详解】
当时，；
当时，，即，得，
所以；
当时，，
故选：C.
【点睛】
本题考查了指数型函数的应用，属于基础题.
8．在边长为2的正方形中，为的中点，交于 .若，则（）
【答案】B
【解析】求出函数的导函数，导函数在的函数值即是切线的斜率，根据斜率求出倾斜角即可.
【详解】
由题意得，所以切线斜率，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，求切线的斜率.

高三数学10月联考试题理含解析试题

实验中学2021届高三上学期10月段测试本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

数学〔理科〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】由题可知．故此题答案选．中，，为等比数列，且，那么的值是〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的定义与性质，求出的值，再利用等比数列的性质求出的值．【详解】等差数列中，，又，所以，解得或者〔舍去〕，所以，所以．应选．【点睛】此题考察了等差与等比数列的性质与应用问题，考察了计算才能，是根底题目．3.，“函数有零点〞是“函数在上是减函数〞的〔〕．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，应选B．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.4.下面给出四种说法：①设、、分别表示数据、、、、、、、、、的平均数、中位数、众数，那么；②在线性回归模型中，相关指数表示解释变量对于预报变量变化的奉献率，越接近于，表示回归的效果越好；③绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；④设随机变量服从正态分布，那么．其中不正确的选项是〔〕．A. ①B. ②C. ③D. ④【答案】C【解析】【分析】对于A，根据数据求出的平均数，众数和中位数即可判断；对于B，相关指数R2越接近1，表示回归的效果越好；对于C，根据频率分布直方图断定；对于D，设随机变量ξ服从正态分布N〔4，22〕，利用对称性可得结论；【详解】解：①将数据按从小到大的顺序排列为：、、、、、、、、、，中位数：；；这组数据的平均数是．因为此组数据中出现次数最多的数是，所以是此组数据的众数；那么；②越接近于，表示回归的效果越好，正确；③根据频率分布直方图的意义，因为小矩形的面积之和等于，频率之和也为，所以有各小长方形的面积等于相应各组的频率；故③错；④∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线的对称轴是，∴．故④正确．应选．【点睛】此题主要考察命题的真假判断，涉及统计的根底知识：频率分布直方图和线性回归及分类变量X，Y的关系，属于根底题．5.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是该几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一局部后所得，那么该几何体的体积为〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可得，直观图为一个完好的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．【详解】由三视图可得，直观图为一个完好的圆柱减去一个高为的圆柱的一半，．应选．【点睛】此题考察了由三视图复原几何体，体积计算公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．，假设函数图象上存在点满足约束条件，那么实数的最小值为〔〕．A. B. C. D.【答案】B【分析】作出不等式组表示的平面区域，观察图形可得函数的图象与直线x﹣y+3＝0交于点〔﹣1，2〕，当点A与该点重合时图象上存在点〔x，y〕满足不等式组，且此时m到达最小值，由此即可得到m的最小值．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，其中，再作出指数函数的图象，可得该图象与直线交于点，因此，当点与重合时，图象上存在点满足不等式组，且此时到达最小值，即的最小值为．应选．【点睛】此题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最小值，着重考察了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．7.有一个球的内接圆锥，其底面圆周和顶点均在球面上，且底面积为．球的半径，那么此圆锥的侧面积为〔〕．A. B. C. 或者 D.【答案】C【解析】由题意列方程求出圆锥的高h，再求出圆锥的母线长l，即可求出圆锥的侧面积．【详解】圆锥，是底面圆心，为球心，，∴，①如图①，，[在上]，∴，．②如图②，，∴，∴．应选．【点睛】此题考察了丁球内接圆锥的侧面积问题，求出圆锥的高是关键，考察空间想象才能与计算才能，属于中档题．，过点的直线与相交于，两点，且的中点为，那么双曲线的离心率为〔〕．A. B. C. D.【答案】B【分析】由中点坐标公式，将A和B点代入双曲线的方程，两式相减即可求得直线的斜率，由直线AB的斜率k==1，即可求得=，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线C的离心率．【详解】设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由AB的中点为N〔12，15〕，那么x1+x2=24，y1+y2=30，由，两式相减得：=，那么==，由直线AB的斜率k==1，∴=1，那么=，双曲线的离心率e===，∴双曲线C的离心率为，应选：B．【点睛】此题考察双曲线的离心率公式，考察中点坐标公式，考察点差法的应用，考察直线的斜率，考察计算才能，属于中档题．中，，分别是棱，的中点，是与的交点，面与面相交于，面与面相交于，那么直线，的夹角为〔〕．A. B. C. D.【答案】A【解析】画出图象，可得m即为CF，进而根据线面平行的断定定理和性质定理可得m∥n．【详解】如下图：∵，分别是棱，的中点，故，那么面即为平面与平面相交于，即直线，由，可得平面，故面与面相交于时，必有，即，即直线，的夹角为．应选．【点睛】此题考察的知识点是空间直线的夹角，线面平行的断定定理及性质定理，难度中档．，给出以下四个命题：①函数的图象关于直线对称；②函数在区间上单调递增；③函数的最小正周期为；④函数的值域为．其中真命题的个数是〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】解：对于函数，由于，，∴，故的图象不关于直线对称，故排除①．在区间上，，，单调递增，故②正确．函数，，∴，故函数的最小正周期不是，故③错误．当时，，故它的最大值为，最小值为；当时，，综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．应选．【点睛】此题主要考察三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．与直线围成的封闭图形内任取一点，为坐标原点，那么直线被该封闭图形解得的线段长小于的概率是〔〕．A. B. C. D.【答案】C【解析】如图圆的方程为，由圆方程，直线方程，抛物线方程知，．整个密闭区域的面积为，满足条件的区域面积为．由几何概型知所求概率为．故此题答案选．在上存在两个极值点，那么的取值范围为〔〕．A. B. C. D.【答案】D【解析】函数在(0,2)上存在两个极值点，等价于在(0,2)上有两个零点，令f′(x)=0,那么，即，∴x−1=0或者，∴x=1满足条件,且 (其中x≠1且x∈(0,2)；∴ ,其中x∈(0,1)∪(1,2)；设t(x)=ex⋅x2,其中x∈(0,1)∪(1,2)；那么t′(x)=(x2+2x)e x>0，∴函数t(x)是单调增函数，∴t(x)∈(0,e)∪(e,4e2)，∴a∈.此题选择D选项.点睛：2．求极值、最值时，要求步骤标准、表格齐全，区分极值点与导数为0的点；含参数时，要讨论参数的大小．3．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比拟才能下结论．一个函数在其定义域内最值是唯一的，可以在区间的端点获得．二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13.，，，那么，，的大小是__________．【答案】【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得：a b，c log67．即可得出．【详解】解：a b，c log67．∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点睛】此题考察了指数函数与对数函数的单调性，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．，的夹角为，且，．假设平面向量满足，那么__________．【答案】【解析】由题可设,,设,由题,解得，.15.展开式中，常数项是__________．【答案】60【解析】解：因为展开式中，通项公式为，令x的次数为零可知常数项为60.满足，，且，假设表示不超过的最大整数，那么__________．【答案】【解析】构造，那么由题意可得：故数列是为首项，为公差的等差数列，，，以上个式子相加可得解得，那么点睛：此题考察了等差数列的通项公式及数列的递推式的应用，考察了累加求和的方法，裂项求和方法的应用，解答此题的关键是纯熟掌握通项公式的求法，考察了学生的推理才能和计算才能，属于中档题。

2021年高三10月月考数学(理)试卷含解析

2021年高三10月月考数学（理）试卷含解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则= ．2．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=．3．某算法流程图如图所示，则输出k的值是．4．已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）= ．5．曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为．6．已知函数，则的值为．7．对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．8．求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为．9．如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为．10．若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．11．已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是．12．设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．13．已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．16．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．17．（15分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．18．（15分）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．19．（15分）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．20．（15分）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．xx学年江苏省连云港市灌南县华侨双语学校高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（xx•江苏模拟）已知复数z=（1+i）（2﹣i）（i为虚数单位），则=3﹣i．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：由z=（1+i）（2﹣i）=3+i，∴=3﹣i．故答案为：3﹣i．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．（xx•江苏三模）设集合M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=[1，2）．【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出M与N解集的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合M中不等式x2+x﹣6＜0，分解因式得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，∴M=（﹣3，2），又N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2）．故答案为：[1，2）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（xx•江苏模拟）某算法流程图如图所示，则输出k的值是5．【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序运行后输出的结果．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得；k=1，S=10﹣1=9；k=2，S=9﹣2=7；k=3，S=7﹣3=4；k=4，S=4﹣4=0；S≤0，输出k=4+1=5．故答案为：5．【点评】本题考查了循环结构的程序框图应用问题，解题时应模拟程序的运行过程，是基础题目．4．（xx•江苏四模）已知α是第二象限角，且sinα=，则tan（α+）=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得tanα，代入两角和的正切公式可得．【解答】解：∵α是第二象限角sinα=，∴cosα=﹣=﹣，∴tanα==﹣，∴tan（α+）==．故答案为：【点评】本题考查两角和的正切公式，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．5．（xx秋•仪征市期末）曲线y=2lnx在点（e，2）处的切线（e是自然对数的底）与y轴交点坐标为（0，0）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出曲线方程的导函数，把切点横坐标代入导函数中表示出的导函数值即为切线的斜率，由切点坐标和斜率表示出切线方程，把x=0代入切线方程中即可求出y轴交点坐标．【解答】解：对y=2lnx求导得：y′=，∵切点坐标为（e，2），所以切线的斜率k=，则切线方程为：y﹣2=（x﹣e），把x=0代入切线方程得：y=0，所以切线与y轴交点坐标为（0，0）．故答案为：（0，0）．【点评】本题的解题思想是把切点的横坐标代入曲线方程的导函数中求出切线的斜率，进而写出切线方程．6．（xx•盐城三模）已知函数，则的值为．【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】利用公式tanx=、sin2α=2sinαcosα、cos2α=2cos2α﹣1即可化简求值．【解答】解：因为f（x）==，所以f（）=．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系及正余弦的倍角公式．7．（xx•江苏模拟）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是[﹣4，5] ．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；不等式．【分析】θ∈（0，），可得+=（sin2θ+cos2θ）=5+，利用基本不等式的性质即可得出最小值．根据对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，可得|2x﹣1|≤，即可得出．【解答】解：∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．【点评】本题考查了基本不等式的性质、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（xx春•姜堰市期中）求“方程3x+4x=5x的解”有如下解题思路：设，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程的解为﹣1或1．【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比求求“方程3x+4x=5x的解”的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x=，解之即得方程的解．【解答】解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R 上单调递增，∵，∴x=，解之得，x=﹣1或1．故答案为：﹣1或1．【点评】本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．9．（xx•江苏模拟）如图所示，已知点O为△ABC的重心，OA⊥OB，AB=6，则•的值为72．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】由三角形的重心的向量表示，可得=﹣（+），由向量的三角形法则，代入向量OC，再由向量垂直的条件和勾股定理，计算即可得到所求值．【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=﹣2=﹣2×（+）=﹣（+），由OA⊥OB，AB=6，则=0，+==36．则•=（﹣）•（﹣）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+2×36=72．故答案为：72．【点评】本题考查三角形重心的向量表示，考查向量垂直的条件，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．10．（2011•江苏二模）若函数，则函数y=f（f（x））的值域是．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域；函数的值域．【专题】计算题；分类讨论．【分析】讨论x的正负，代入相应的解析式，然后求出函数f（x）的值域，再代入相应的解析式，求出y=f（f（x））的值域，即可求出所求．【解答】解：设x＜0，则f（x）=2x∈（0，1）∴y=f（f（x））=f（2x）当x∈（0，1）时f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，﹣）设x＞0，则f（x）=﹣2﹣x∈（﹣1，0）∴y=f（f（x））=f（﹣2﹣x）当x∈（﹣1，0）时f（x）=2x∈（，1）综上所述：y=f（f（x））的值域是故答案为：【点评】本题主要考查了指数函数的值域，以及复合函数的值域问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．11．（xx•徐州三模）已知函数f（x）=（a∈R）．若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则a的取值范围是（0，）．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】分别讨论a的取值范围，利用参数分离法，结合导数研究函数的最值即可得到结论．【解答】解：当a=0时，f（x）==＞0，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＜0时，f（x）=＞0，此时函数f（x）单调递减，则不存在f（x）≥0的解集恰为[m，n]，当a＞0时，由f（x）≥0得，当x＜0，＞0，，此时（x）=＞0，则f（x）≥0的解集为（﹣∞，0），不满足条件，当x＞0时，不等式等价为a，设g（x）=，则g，当x＞1时，g′（x）＜0，当0＜x＜1时，g′（x）＞0，即当x=1时，g（x）取得极大值，同时也是最大值g（1）=，∴若存在实数m，n，使得f（x）≥0的解集恰为[m，n]，则必有a，即0＜a，故答案为：（0，）【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查分类讨论的数学思想，综合性较强，难度较大．12．（xx•徐州模拟）设曲线y=（ax﹣1）e x在点A（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1﹣x）e﹣x在点B（x0，y2）处的切线为l2．若存在，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的值域；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【专题】计算题．【分析】根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为﹣1，列出关于等式由解出，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围．【解答】解：函数y=（ax﹣1）e x的导数为y′=（ax+a﹣1）e x，∴l1的斜率为，函数y=（1﹣x）e﹣x的导数为y′=（x﹣2）e﹣x∴l2的斜率为，由题设有k1•k2=﹣1从而有∴a（x02﹣x0﹣2）=x0﹣3∵得到x02﹣x0﹣2≠0，所以，又a′=，另导数大于0得1＜x0＜5，故在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为1．∴故答案为：【点评】此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．13．（xx•崇川区校级一模）已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf （x）﹣3在区间（1，xx）上零点的个数为11．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．【解答】解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，而y=在x=时也有y=1；当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，而y=在x=3时也有y=；当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，而y=在x=6时也有y=；…，当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，而y=在x=1536时也有y=；综合以上分析，将区间（1，xx）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．故答案为：11．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．14．（xx•泰州二模）若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1] ．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；三角函数的求值．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换应用，考查了导数的综合运用，计算量大，具有一定的难度，是难题．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（15分）（xx•河南校级二模）已知函数．（1）设，且，求θ的值；（2）在△ABC中，AB=1，，且△ABC的面积为，求sinA+sinB的值．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；正弦定理．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=2cos（x+）+，由可得，cos（θ+）=，结合已知可求θ的值；（2）由（1）知由已知面积可得，从而有由余弦定理得可得a2+b2=再由正弦定理得可求．【解答】解：（1）==．（3分）由得于是（k∈Z）因为所以（7分）（2）因为C∈（0，π），由（1）知．（9分）因为△ABC的面积为，所以，于是．①在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．由余弦定理得，所以a2+b2=7．②由①②可得或于是．（12分）由正弦定理得，所以．（14分）【点评】（1）考查了二倍角公式的变形形式的应用，辅助角公式可以把函数化为一个角的三角函数，进而可以研究三角函数的性（2）考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用．16．（15分）（xx秋•徐州期中）已知二次函数f（x）=ax2﹣bx+1．（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为﹣1，求a的值．【考点】一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值．【专题】计算题．【分析】（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2﹣bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值；（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为﹣1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案．【解答】解：（1）不等式ax2﹣bx+1＞0的解集是（，），故方程ax2﹣bx+1=0的两根是x1=，x2=，所以=x1x2=，=x1+x2=，所以a=12，b=7．（2）∵b=a+2，∴f（x）=ax2﹣（a+2）x+1=a（x﹣）2﹣+1，对称轴x==+，当a≥2时，x==+∈（，1]，∴f（x）min=f（）=1﹣=﹣1，∴a=2；当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=﹣1成立．综上可得：a=1或a=2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（15分）（xx•信阳一模）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=1，BC=2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC．（1）设∠MOD=30°，求三角形铁皮PMN的面积；（2）求剪下的铁皮三角形PMN面积的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】应用题；三角函数的图像与性质．【分析】（1）设MN交AD交于Q点由∠MOD=30°，利用锐角三角函数可求MQ，OQ，=MN•AQ可求进而可求MN，AQ，代入S△PMN（2）设∠MOQ=θ，由θ∈[0，]，结合锐角三角函数的定义可求MQ=sinθ，OQ=cosθ，代=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）展开利用换元法，转化为二次入三角形的面积公式S△PMN函数的最值求解【解答】解：（1）设MN交AD交于Q点∵∠MOD=30°，∴MQ=，OQ=（算出一个得2分）=MN•AQ=××（1+）=…（6分）S△PMN（2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0，]，MQ=sinθ，OQ=cosθ=MN•AQ=（1+sinθ）（1+cosθ）∴S△PMN=（1+sinθcosθ+sinθ+cosθ）…．（11分）令sinθ+cosθ=t∈[1，]，=（t+1+）∴S△PMNθ=，当t=，的最大值为．…..…（14分）∴S△PMN【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用及利用三角函数求解函数的最值，换元法的应用是求解的关键18．（15分）（2011•新课标）已知函数f（x）=+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3=0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a=1，b=1（II）由（I）知f（x）=所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）=0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．19．（15分）（2011•江苏二模）心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x天后的存留量；若在t（t＞4）天时进行第一次复习，则此时存留量比未复习情况下增加一倍（复习的时间忽略不计），其后存留量y2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为，存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时刻为“二次复习最佳时机点”（1）若a=﹣1，t=5，求“二次复习最佳时机点”；（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）第一次复习后的存留量是y2，不复习时的存留量为y1，复习后与不复习的存留量差是y=y2﹣y1；把a、t代入，整理即得所求；（2）求出知识留存量函数y=+﹣（t＞4，且t、a是常数，x是自变量），y取最大值时对应的t、a取值范围即可．【解答】解：（1）设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，由题意，第一次复习后的存留量是，不复习的存留量为；∴；当a=﹣1，t=5时，=≤=，当且仅当x=14时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天．（2）知识留存量函数=≤，当且仅当时取等号，由题意，所以﹣4＜a＜0．【点评】本题考查了含有字母参数的函数类型的应用，题目中应用基本不等式a+b≥2（a ＞0，b＞0）求出最值，有难度，是综合题．20．（15分）（xx•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．（1）试讨论f（x）的单调性；（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．【解答】解：（1）∵f（x）=x3+ax2+b，∴f′（x）=3x2+2ax，令f′（x）=0，可得x=0或﹣．a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）＞0，且f（﹣）＜0，∴b＞0且+b＜0，∵b=c﹣a，∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，∴c=1，此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，∵函数有三个零点，∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），综上c=1．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．28094 6DBE 涾37302 91B6 醶39449 9A19 騙E21759 54FF 哿20781 512D 儭31582 7B5E 筞31135 799F 禟Q29265 7251 牑35431 8A67 詧32475 7EDB 绛。

河南省2020-2021学年高三10月联考数学理科试题

A．40%B．50%C．64%D．81%
8．在边长为2的正方形中，为的中点，交于 .若，则（）
A．1B． C． D．
9．若对任意恒成立，则的最大值为（）
A．2B．3C． D．
10．若：；：，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
20．已知的一个极值点为2.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最值.
21．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求B；
（2）若，AD为BC边上的中线，当的面积取得最大值时，求AD的长.
22．已知函数 .
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，判断函数零点的个数，并说明理由.
【详解】
考虑中间值，根据指数函数的单调性，得，即；
根据幂函数的单调性，得，即；
根据对数函数的单调性，得，所以 .
故选：D.
【点睛】
本题考查指数式和对数式比较大小，属于基础题.
6．A
【分析】
根据奇函数图象的对称性排除选项C，D；根据当时，，排除B.从而可得答案.
【详解】
因为，
所以，
A． B． C． D．
4．中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事、政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事、政治的“焦点”，则这个时刻大约是（）
A．7点36分B．7点38分C．7点39分D．7点40分
所以函数为奇函数，排除选项C，D；

河南省2021届高三10月联考试题数学(理)Word版含答案

2021～2021学年高三10月质量检测理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两局部。

总分值150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内工程填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡，上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

4.本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1.设命题p ：∀x<－1，x 2＋2π>0，那么⌝p 为 A.∃x 0<－1，x 02＋0x 2≤0 B.∃x 0≥－1，x 02＋0x 2≤0 C.∀x<－1，x 2＋x 2≤0 D.∀x ≥－1，x 2＋x 2≤0 ＝{x|lnx<0}，N ＝{x|x ≤12}，那么M ∩N ＝ A.∅ B{x|≤12} C.{x|x<1}D.{x|0<x ≤12} 3.函数f(x)＝xlnx －x 3的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，那么tanα＝A.－1B.－2C.－3D.－4“焦点访谈〞是时事、政治评论性较强的一个节目，坚持用“事实说话〞，深受广阔人民群众的喜爱，其播出时间是晚上看电视节目人数最多的“黄金时间〞，即晚上7点半到8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻也是时针与分针重合的时刻，高度显示“聚焦〞之意，比喻时事、政治的“焦点〞，那么这个时刻大约是＝3512⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝351log 2，那么以下结论正确的选项是 A.b>c>aB.c>a>bC.a>b>cD.c>b>a6.函数f(x)＝2cos sin 1x x x x ++的局部图象大致为 7.企业在生产中产生的废气要经过净化处理后才可排放，某企业在净化处理废气的过程中污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P ＝P 0e －kt (其中P 0，k 是正的常数)。

高三数学上学期10月试题理含解析试题

“荆、荆、襄、宜四地七校联盟〞2021届高三数学上学期10月联考试题理〔含解析〕制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅…… 日期：2022年二月八日。

本套试卷一共4页，23题〔含选考题〕。

全卷满分是150分。

考试用时120分钟。

考前须知：1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、考生号等填写上在答题卡和试卷规定的正确位置上。

2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

3．在在考试完毕之后以后，将答题卡交回。

一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

请将正确之答案填涂在答题卡上。

〕{}|3,x A y y x R ==∈，{}|B x y x R ==∈，那么A B =〔〕A. 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B. ()0,1C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】集合A 表示函数3,xy x R =∈的值域，集合B 表示函数y =的求法，求出集合A 、B ，再求AB 即可.【详解】解：因为3,xy x R =∈，那么0y >，即()0,A =+∞，又y =x ∈R ,由120x -≥，解得12x ≤，即1,2B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦，即AB =10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，应选D.【点睛】此题考察了函数的定义域、值域的求法，重点考察了集合交集的运算，属根底题.()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为〔〕A. -1B. 1C. -2D. 2【答案】A 【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】解：令320x -=，解得3log 2x =，令3log 60x +=，解得3log 6x =-，那么函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-，应选A.【点睛】此题考察了分段函数零点的求解，重点考察了对数的运算，属根底题.ln 2a =，125b -=，201cos 2c xdx π=⎰，那么a ，b ，c 的大小关系〔〕A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】D 【解析】【分析】由定积分的运算可得c =1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，再由以e 为底的对数函数的单调性可得1ln 22a =>=，再由以12y x -=的单调性可得11221542b --=<=，比拟即可得解. 【详解】解：201cos 2c xdx π=⎰=1sin 2x |20π=11(sin sin 0)222π-=，又 11221542b --=<=，1ln 22a =>=，即b c a <<，应选D.【点睛】此题考察了定积分的运算、对数值比拟大小，指数幂比拟大小，重点考察了不等关系，属中档题.4.以下四个结论：①假设点()(),20P a a a ≠为角α终边上一点，那么sin α=②命题“存在0x R ∈，2000x x ->〞的否认是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤〞； ③假设函数()f x 在()2019,2020上有零点，那么()()201920200f f ⋅<； ④“log 0a b >〔0a >且1a ≠〕〞是“1a >，1b >〞的必要不充分条件. 其中正确结论的个数是〔〕 A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C 【解析】【分析】对于①，由三角函数的定义，讨论0a >，0a <即可；对于②，由全称命题与特称命题的关系判断即可得解；对于③，由零点定理，需讨论函数在()2019,2020是否单调；对于④，由充分必要性及对数的运算即可得解.【详解】解：对于①，当0a >时，有sin α===当0a <时，有sin α===对于②，命题“存在0x R ∈，2000x x ->〞的否认是“对于任意的x ∈R ，20x x -≤〞；由特称命题的否认为全称命题，那么②显然正确；对于③，假设函数()f x 在()2019,2020上有零点，那么()()201920200f f ⋅<；假设函数在()2019,2020为单调函数，那么必有()()201920200f f ⋅<，假设函数在()2019,2020不单调，那么必有()()201920200f f ⋅<，不一定成立，即③错误；对于④，当“1a >，1b >〞时，可得到“log 0a b >〔0a >且1a ≠〕〞，当“log 0a b >〔0a >且1a ≠〕〞时，那么“1a >，1b >〞或者“01a <<，01b <<〞，即④正确，应选C.【点睛】此题考察了三角函数的定义、全称命题与特称命题、零点定理及充分必要条件，重点考察了逻辑推理才能，属综合性较强的题型. 5.()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，那么tan β的值是〔〕A. -7B. 7C. 1D. -1【答案】B 【解析】【分析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α，再由两角和的正切公式()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，将tan 2α代入运算即可.【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=，那么tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-，解得tan β= 7，应选B.【点睛】此题考察了诱导公式及两角和的正切公式，重点考察了运算才能，属中档题.6.()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，那么函数()y f x =的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，那么函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可.【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，那么()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，那么函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，那么 ()4421(0821f x πππ-=<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <，应选D.【点睛】此题考察了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考察了函数的思想，属中档题.()()()3,a f x m x m a R =+∈是幂函数，且其图像过点(，那么函数()()2log 3a g x x mx =+-的单调递增区间为〔〕 A. (),1-∞- B. (),1-∞C. ()1,+∞D. ()3,+∞【答案】A 【解析】【分析】由幂函数的定义可得31m +=，由其图像过点(，那么2α=12α=，由复合函数的单调性有：()y g x =的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可. 【详解】解：因为()()()3,af x m x m a R =+∈，那么31m +=，即2m =-，又其图像过点(，那么2α=12α=，那么()()212log 23g x x x =--，由复合函数的单调性有：()()212log 23g x x x =--的单调递增区间等价于223,(0)t x x t =-->的减区间，又223,(0)t x x t =-->的减区间为(),1-∞-，应选A.【点睛】此题考察了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考察了对数的真数要大于0，属中档题.()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕得到函数()g x 的图象，那么以下说法正确的选项是〔〕 A. 函数()g x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称 B. 函数()g x 的最小正周期为2πC. 函数()g x 的图象关于直线6x π=对称D. 函数()g x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D 【解析】【分析】由三角函数图像的平移变换及伸缩变换可得()sin()6g x x π=-，再结合三角函数的周期、单调区间、对称轴、对称点的求法求解即可. 【详解】解：将函数()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭的图象向右平移6π，所得图像的解析式为 sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕得到函数()g x 的图象，那么()sin()6g x x π=-，令6x k ππ-=，那么6x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于点,06k ππ⎛+⎫⎪⎝⎭，k Z ∈对称,即A 错误；令62x k πππ-=+，那么23x k ππ=+，即函数()g x 的图象关于直线23x k ππ=+，k Z ∈对称,及C 错误；由221T ππ==，即C 错误；令 22262k x k πππππ-≤-≤+，得22233k x k ππππ-≤≤+，即函数()g x 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 正确，应选D.【点睛】此题考察了三角函数图像的平移变换及伸缩变换，重点考察了三角函数图像的性质，属中档题.R 上的函数()f x 满足对任意x ∈R 都有()()110f x f x ++-=成立，且函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，那么()2019f =〔〕 A. 0 B. 2C. -2D. -1【答案】A 【解析】【分析】由()()110f x f x ++-=，可得()()20f x f x ++-=，又由函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，可得函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，再结合函数对称性及奇偶性可得函数的周期为4，再运算即可.【详解】由()()110f x f x ++-=，那么()()20f x f x ++-=，① 又函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，那么函数()f x 的图像关于y 轴对称，即()()f x f x =-，②联立①②可得()()4f x f x =+，即函数()f x 的周期为4，即()2019f =(50541)(1)f f ⨯-=-，又因为()()110f x f x ++-=，令0x =得(1)0f =，又函数()f x 的图像关于y 轴对称，那么(1)0f -=，即()2019f =0，应选A.【点睛】此题考察了函数的对称性、奇偶性、周期性及利用函数的性质求值，属中档题.()()sin x f x e x a =-有极值，那么实数a 的取值范围为〔〕A. ()1,1-B. []1,1-C. ⎡⎣D. (【答案】D 【解析】【分析】由函数()()sin xf x ex a =-有极值，等价于sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x 均有解，又()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即00a a ⎧<⎪>，运算即可得解.【详解】解：因为()()sin xf x e x a =-，所以()()'sin cos x fx e x x a =+-，令()sin cos g x x x a =+-，由函数()()sin xf x ex a =-有极值，那么sin cos x x a +-=0有变号根，即()0>g x ，()0<g x 均有解，又()sin cos )4g x x x a x a π=+-=+-，即()g x a a ⎡⎤∈⎣⎦，即0a a ⎧<⎪>，即a <<，应选D.【点睛】此题考察了导数的运算、函数的极值及三角函数的值域，重点考察了方程有解问题，属中档题.()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，那么不等式()()12f x f x ->的解集为〔〕A. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】由()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数，由()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数，再结合函数的性质解不等式11112112x x x x ⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩即可得解.【详解】解：因为函数()22cos f x x x =+，[]1,1x ∈-，所以()2()2cos()f x x x -=-+-=22cos ()x x f x +=，即函数()f x 为偶函数，又()'2(sin )0fx x x =-≥在[]0,1x ∈恒成立，即函数()f x 在[]0,1为增函数，又()()12f x f x ->，那么11112112x x x x⎧-≤-≤⎪-≤≤⎨⎪->⎩，解得103x ≤<，即不等式()()12f x f x ->的解集为10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭应选B.【点睛】此题考察了函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，重点考察了函数性质的应用，属中档题.()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，假设函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，那么以下判断一定正确的选项是〔〕A. ()()10f ef <B. ()()12ef f <C. ()()303e f f >D. ()()514e f f -<【答案】C 【解析】【分析】先设函数()()xf xg x e =，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可.【详解】解：令()()x f x g x e = ，那么''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()x x f x f x e e--=，那么 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，那么(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误. 应选C.【点睛】此题考察了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考察了函数的性质，属中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕()3ln 2f x x x x =+，那么曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，那么曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，那么()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=，故答案为750x y --=.【点睛】此题考察了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考察了导数的应用及运算才能，属根底题.()(()32log 1f x ax x a R =++∈且()13f =-，那么()1f -=__________．【答案】5 【解析】【分析】先观察函数()f x 的构造，再证明()()2f x f x +-=，再利用函数的性质求解即可.【详解】解：因为()(32log 1f x ax x =++，所以()(332()log ()log(22f x f x ax x a x x +-=++-+-+=，又()13f =-，那么()1f -=2(1)235f -=+=，故答案为5.【点睛】此题考察了对数的运算及函数()f x 性质的判断，重点考察了观察才能及逻辑推理才能，属中档题.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 且满足sin b C a =，22285a cb ac +-=，那么tan C =___________．【答案】-3 【解析】【分析】由余弦定理可得cos 45B =，3sin 5B =，再由正弦定理可得sin sin sin cos cos sin BC B C B C =+，再结合运算即可得解.【详解】解：因为22285a cb ac +-=，那么2224cos 25a cb B ac +-==，那么3sin 5B =，又因为sin b C a =，那么sin sin sin B C A =，那么sin sin sin sin()sin cos cos sin B C A B C B C B C ==+=+，将cos 45B =，3sin 5B =代入得，sin 3cosC C =-, 即sin tan 3cos CC C==-，故答案为-3.【点睛】此题考察了利用正弦定理、余弦定理进展边角互化，重点考察了两角和的正弦公式及运算才能，属中档题.()22x k f x e x kx =-+在[]0,2上单调递增，那么实数k 的取值范围是________．【答案】21,e ⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】由()'x fx e kx k =-+，利用导数再分情况讨论当0k ≤，当2k e ≥，当01k <≤时，当21k e <<时函数()xg x e kx k =-+的最小值，即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：由()22xk f x e x kx =-+，那么()'x fx e kx k =-+，由函数()f x 在[]0,2上单调递增，那么()'0x fx e kx k =-+≥在[]0,2恒成立，设()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈①当0k ≤时，()xg x e kx k =-+，[]0,2x ∈为增函数，要使()0g x ≥，那么只需()00g ≥，求得10k -≤≤， ②由()'xg x e k =-，1 当2k e ≥时，()'0g x ≤，即函数()g x 为减函数，即()2min (2)g x g e k ==-，要使()0g x ≥，那么只需()2min 0g x e k =-≥，即2k e =，2当01k <≤时，有()'0xg x e k =-≥，即函数()g x 为增函数，要使()0g x ≥，那么只需()min (0)10g x g k ==-≥，即01k <≤，3当21k e <<时，有当0ln x k <<时，()'0g x <，当2ln k x e <<时，()'0g x >，即函数()g x 在(0,ln )k 为减函数，在2(ln ,)k e 为增函数，即()min (ln )2ln g x g k k k k ==-，要使()0g x ≥，那么只需()min 2ln 0g x k k k =-≥，即2k e <，综上可得实数k 的取值范围是21,e ⎡⎤-⎣⎦，故答案为21,e ⎡⎤-⎣⎦.【点睛】此题考察了利用导数求函数的单调区间，函数的最值，重点考察了分类讨论的数学思想方法，属综合性较强的题型.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕ABC ∆中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos cos a c Cb B-=. 〔1〕求角B 的大小；〔22sin cos 222C A A-的取值范围.【答案】〔1〕3B π=〔2〕⎝⎭ 【解析】【分析】〔1〕由正弦定理化边为角可得2sin sin cos sin cos A C CB B-=，再由两角和的正弦可得2sin cos sin A B A =，即得1cos 2B =，得解；〔22sin cos 222C A A -=1cos 262C π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，再结合203C π<<求解即可. 【详解】解：〔1〕由2cos cos a c C b B -=得到2sin sin cos sin cos A C CB B-=，即()2sin cos sin A B B C =+，即2sin cos sin A B A =，又∵A 为三角形内角，∴sin 0A ≠，所以1cos 2B =，从而3B π=. 〔2()21sin cos cos 1sin 22222C A A C A -=+-12sin 2232C C ⎛⎫=--+⎪⎝⎭π11sin cos 426C C C π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭， ∵203C π<<，∴5666C <+<πππ，∴cos 6C ⎛⎫<+< ⎪⎝⎭π1cos 26C π⎛⎫<+<⎪⎝⎭.2sin cos 222C A A-的取值范围为44⎛ ⎝⎭. 【点睛】此题考察了正弦定理、正弦与余弦的二倍角公式及三角函数求值域问题，重点考察了运算才能，属中档题.18.第二届〔〕园林博览会于2021年9月28日至11月28日在园博园举办，本届园林博览会以“辉煌荆楚，生态园博〞为主题，展示生态之美，文化之韵，吸引更多优秀企业来荆HY ，从而促进经济快速开展.在此次博览会期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放场.该种设备年固定研发本钱为50万元，每消费一台．．．．．需另投入80元，设该公司一年内消费该设备x 万台且全部售完，每万台．．．的销售收入()G x 〔万元〕与年产量x 〔万台〕满足如下关系式：()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪+⎩.〔1〕写出年利润()W x 〔万元〕关于年产量x 〔万台〕的函数解析式；〔利润=销售收入-本钱〕〔2〕当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.【答案】〔1〕()W x 2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩〔2〕当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元【解析】【分析】〔1〕先阅读题意，再建立起年利润()W x 关于年产量x 的函数解析式即可；〔2〕利用配方法求二次函数的最值可得当020x <≤时()()22251200W x x =--+，即()()max 201150W x W ==，再利用重要不等式可得当90011x x +=+即29x =时()max 1360W x =，再比拟两段上的最大值即可得解.【详解】解：〔1〕()()8050W x xG x x =--2210050,0209000101950,201x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪+⎩. 〔2〕当020x <≤时()()222100502251200W x x x x =-+-=--+， ∴()()max 201150W x W ==. 当20x >时()90010119601W x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭1019601360≤-⨯=，当且仅当90011x x +=+即29x =时等号成立，∴()()max 291360W x W ==. ∵13601150>，∴当年产量为29万台时，该公司获得的利润最大为1360万元.【点睛】此题考察了分段函数及分段函数的最值，主要考察了重要不等式，重点考察了阅读才能及解决实际问题的才能，属中档题.ABCDE 中，DE AB ∥，AC BC ⊥，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =且平面DAC ⊥平面ABC .〔1〕设点F 为线段BC 的中点，试证明EF ⊥平面ABC ；〔2〕假设直线BE 与平面ABC 所成的角为60，求二面角B AD C --的余弦值.【答案】〔1〕详见解析〔2〕34【解析】【分析】〔1〕由四边形DEFO 为平行四边形.∴EFDO ，再结合DO ⊥平面ABC ，即可证明EF ⊥平面ABC ；〔2〕由空间向量的应用，建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z 轴的空间直角坐标系，再求出平面ADC 的法向量()0,1,0m =，平面ADB 的法向量()23,3,1n =，再利用向量夹角公式求解即可.【详解】〔1〕证明：取AC 的中点O ，连接EF ，OF ， ∵在DAC ∆中DA DC =，∴DO AC ⊥.∴由平面DAC ⊥平面ABC ，且交线为AC 得DO ⊥平面ABC . ∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴OF AB ，且2AB OF =.又DE AB ∥，2AB DE =，∴OFDE ，且OF DE =.∴四边形DEFO 为平行四边形.∴EF DO ，∴EF ⊥平面ABC .〔2〕∵DO ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 所在直线为z ()1,0,0A ，()1,0,0C -，()1,4,0B -.∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成的角为60EBF ∠=. ∴tan 6023DO EF BF ===.∴()0,0,23D . 可取平面ADC 的法向量()0,1,0m =，设平面ADB 的法向量(),,n x y z =，()2,4,0AB =-，()1,0,23AD =-，那么240230x y x z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1z =，那么23x =，3y =.∴()23,3,1n =，∴3cos ,4m n m n m n⋅<>==， ∴二面角B AD C --的余弦值为34.【点睛】此题考察了线面垂直的断定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考察了空间想象才能，属中档题.20.如图，过点()2,0P 作两条直线2x =和l ：()20x my m =+>分别交抛物线22y x =于A ，B 和C ，D 〔其中A ，C 位于x 轴上方〕，直线AC ，BD 交于点Q .〔1〕试求C ，D 两点的纵坐标之积，并证明：点Q 在定直线2x =-上；〔2〕假设PQC PBDS S λ∆∆=，求λ的最小值.【答案】〔1〕详见解析〔2〕3 【解析】【分析】〔1〕联立直线方程与抛物线方程求得2240y my --=，从而可得124y y =-，再由点斜式方程求得直线AC 的方程为()12222y x y -=-+，直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 求出2x =，得解；〔2〕由题意有()()111222PQC PBDS x x S x λ∆∆+==-，再令()120t x t =->，那么432t tλ=++，再由重要不等式求最小值即可得解.【详解】解：〔1〕将直线l 的方程2x my =+代入抛物线22y x =得：2240y my --=，设点()11,C x y ，()22,D x y ，那么124y y =-. 由题得()2,2A ，()2,2B -，直线AC 的方程为()12222y x y -=-+，直线BD 的方程为()22222y x y +=--，消去y 得()12121224y y y yx y y -+=-+，将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上. 〔2〕∵()111222PQC S AP x x ∆=+=+，()221222PBD S BP x x ∆=-=-，又221212164224y y x x =⋅==，∴()()111121122242222PQCPBD S x x x x S x x x λ∆∆+++====---.令()120t x t =->，那么()()2443322t t t t t λ++==++≥，当且仅当t =12x =+λ取到最小值3.【点睛】此题考察了直线过定点问题及三角形面积公式，重点考察了圆锥曲线的运算问题，属中档题.()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈，()()'g x f x =〔()'f x 是()f x 的导函数〕，()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为12π-. 〔1〕务实数a 的值；〔2〕判断函数()f x 在()0,π内的极值点个数，并加以证明.【答案】〔1〕1a =〔2〕()f x 在()0,π上一共有两个极值点，详见解析【解析】【分析】〔1〕先求得()()1'sin 2g x f x ax x ==-，再求得()()'sin cos g x a x x x =+，再讨论a 的符号，判断函数()g x 的单调性，再求最值即可得解；〔2〕利用〔1〕的结论，结合()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由零点定理可()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；再当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由导数的应用可0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =，即()g x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减，再结合特殊变量所对应的函数值的符号可得()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点，综合即可得解. 【详解】解：〔1〕由()()()1sin cos 2f x a x x x x a R =--∈那么()()1'sin 2g x f x ax x ==-，那么()()'sin cos g x a x x x =+，①当0a =时()12g x =-，不合题意，舍去. ②当0a <时()'0g x <，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()()max 11022g x g π-==-≠，不合题意，舍去.③当0a >时()'0g x >，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()max 112222a g x g πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴综上：1a =.〔2〕由〔Ⅰ〕知()1sin 2g x x x =-，()'sin cos g x x x x =+，当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，()1002g =-<，10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ∴()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有且仅有一个变号零点；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()''2cos sin 0g x x x x =-<，∴()'g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减. 又'102g π⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()'0g ππ=-<， ∴0,2x ππ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使()0'0g x =且当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()'0g x >，当()0,x x π∈时()'0g x <， ∴()g x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,x π上单调递减. 又10222g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()002g x g π⎛⎫>> ⎪⎝⎭，()102g π=-<，∴()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个变号零点.∴()g x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个变号零点，∴()f x 在()0,π上一共有两个极值点. 【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性及最值，主要考察了零点定理，重点考察了函数的思想及运算才能，属综合性较强的题型.请考生在第22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．xOy 中，以原点O 为极点，x C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=，P 点的极坐标为3,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60.〔1〕写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标；〔2〕设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求11PA PB+的值. 【答案】〔1〕曲线C 的直角坐标方程为24x y =；P 点的直角坐标为()0,3〔2〕6【解析】【分析】〔1〕由极坐标与直角坐标的互化可得C 的直角坐标方程为24x y =，P 点的直角坐标为()0,3P ；〔2〕将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线的参数方程中t 的几何意义1212PA PB t t t t +=+=-，再求解即可.【详解】解：〔1〕曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =， P 点的极坐标为：3,2P π⎛⎫ ⎪⎝⎭，化为直角坐标为()0,3P . 〔2〕直线l 的参数方程为cos 33sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即123x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，将l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得21124t =+，整理得：2480t --=，显然有>0∆，那么1248t t ⋅=-，12t t +=121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=，1212PA PB t t t t +=+=-==，所以11PA PB PA PB PA PB ++==⋅【点睛】此题考察了极坐标与直角坐标的互化，直线的参数方程及，直线的参数方程中t 的几何意义，属中档题.()5f x x =-，()523g x x =--.〔1〕解不等式()()f x g x <；〔2〕假设存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，务实数a 的取值范围.【答案】〔1〕()1,3〔2〕2a ≥【解析】【分析】〔1〕由绝对值的意义，分别讨论5x ≥，352x ≤<，32x <即可；〔2〕原命题等价于()()2f x g x -的最小值小于或者等于a ，再利用绝对值不等式的性质可得()()2f x g x -=()2102352102352x x x x =-+--≥----=. 即()()2f x g x -的最小值为2，即可得解. 【详解】解：〔1〕原不等式即5235x x -+-<，∴55235x x x ≥⎧⎨-+-<⎩或者3525235x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-<⎩或者325325x x x ⎧<⎪⎨⎪-+-<⎩，所以x 无解或者332x ≤<或者312x <<，即13x <<,∴原不等式的解集为()1,3.〔2〕假设存在x ∈R 使不等式()()2f x g x a -≤成立，那么()()2f x g x -的最小值小于或者等于a . ()()225523f x g x x x -=--+-()2102352102352x x x x =-+--≥----=. 当且仅当3,52x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时取等号，∴()()2f x g x -的最小值为2.∴2a ≥.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法及绝对值不等式的性质，重点考察了分类讨论的数学思想方法，属中档题.制卷人：打自企；成别使；而都那。

高三10月份联考数学理科试题试题

保密★启用前2021-2021学年度高三10月份联考数学〔理科〕试题考前须知：1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用4B 或者5B 铅笔准确涂写在答题卡上，同时将第II 卷答卷密封线内的工程填写上清楚。

2．第1卷每一小题在选出答案以后，用4B 或者5B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上一、选择题：〔本大题一一共有10个小题，每一小题5分，一共50分。

每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合要求的。

〕 1．集合{}0,P m =，{}2250,Q x x x x Z =-<∈，假设PQ φ≠，那么m 等于〔〕A ．1B ．2C ．1或者52D ．1或者22．假设p ．q 为简单命题，那么“p 且q 为假〞是“p 或者q 为假〞的〔〕A ．充分不必要的条件B ．必要不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3．直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是〔〕A ．040B ．050C ．0130D ．01404．设函数f(x)=2242311233x x x x ax +⎧-⎪⎪--⎨⎪⎪+⎩()()11≤>x x 在点x=1处连续，那么a 等于〔〕A ．-21 B ．21 C ．-31D ． 315．假设函数)2,2()(21)(-++=在为常数，a x ax x f 内为增函数，那么实数a 的取值范围〔〕A ．),21(+∞B ．),21[+∞C ．)21,(-∞D ．]21,(-∞6．函数y=sin(ωx+φ)与直线y=21的交点中，间隔最近的两点间的间隔为3π,那么此函数的最小正周期是〔〕A ．3π B ．πC ．2πD ．4π7．设S n ．T n 分别为等差数列{a n }与{b n }的前n 项和，假设S n T n ＝2n －13n ＋2，那么77a b等于〔〕A ．1323B ．2744C ．2541D ．23388．()f x 为sin x 与cos x 中较小者，其中x R ∈，假设()f x 的值域为[,]a b ，那么a b +的值是〔〕A ．0B ．212+ C ．212- D ．212-9．给出以下四个函数f(x)=-;x 31-g(x)=1-||x|-1|;φ(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>;x ,,x ,,x ,010001h(x)=()⎪⎩⎪⎨⎧--x log ,,x log 2201111-≤<<-≥x ,x ,x 及它们的图象那么图象①，②，③，④分别对应的函数为〔〕A ．φ(x),h(x),g(x),f(x)B ．φ(x),g(x),h(x),f(x)B ．φ(x),h(x),f(x),g(x)D ．φ(x),g(x),f(x),h(x)10．方程abx x x x b a x a x 则且的两根为2121210,,01)2(<<<=+++++的取值范围〔〕A ．)32,2(--B ．)21,2(--C ．]32,2(--D ．]21,2(--二、填空题〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分〕 11．函数1x y e+=的反函数是。

高三数学上学期10月联考试题理试题 2

卜人入州八九几市潮王学校荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2021届高三10月联考理科数学试题本套试卷一共4页，23题〔含选考题〕。

全卷总分值是150分。

考试用时120分钟。

本卷须知：2．答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷上无效。

3．在在考试完毕之后以后，将答题卡交回。

一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的。

请将正确之答案填涂在答题卡上。

〕 1．全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，那么以下结论正确的选项是A ．MN N =B ．()UMN =∅C ．M N U =D ．()U M N ⊆2．以下函数中，既是偶函数，又在(),0-∞上单调递增的是 A ．()22x x f x -=-B ．2()1f x x =-C ．()cos f x x x =D ．()ln f x x =-A ．“假设x y =，那么sin sin x y =“()0000,,ln 1x x x ∃∈+∞=-〞的否认是“()0,,ln 1x x x ∀∈+∞≠-〞C ．假设p q ∨p q ∧D ．00,x ∃>使“00x x a b >〞是“0a b >>〞的必要不充分条件4．假设tan 2α=，那么sin 4cos 5sin 2cos αααα-+的值是A ．16B ．16-C ．12D ．12-5．11617a=，16log b =17log c =，那么a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．假设将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ()0ϕ>个单位，所得图象关于原点对称，那么ϕ最小时，tan ϕ=A．-．7．函数21()7,0(x)2log (1),0xx f x x ⎧-<⎪=⎨⎪+≥⎩，假设()1f a <，那么实数a 的取值范围是 A.()[),30,1-∞- B.()()3,01,1-- C.()3,1- D.()(),31,-∞-+∞8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程〞指汽车从出厂开场累计行驶的路程．在这段时间是内，该车每100千米平均耗油量为A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升9．平面直角坐标系xOy中，点00(,)P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，假设5 36ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且3sin()65πα+=，那么0x 的值是A ．310-B ．310+C ．310D ．310- 10．函数2()(1)x f x e x =-+〔e 为自然对数的底〕，那么()f x 的大致图象是ABCD 11．函数()x f x e =，,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且222334a b c ab +-=，那么以下不等式一定成立的是A ．()()sin cos f A fB ≤B ．()()sin sin f A f B ≤C ．()()cos sin f A f B ≤D ．()()cos cos f A f B ≤12．设实数0λ>，假设对任意的()2,x e ∈+∞，不等式ln 0xe x λλ-≥恒成立，那么λ的最小值为A ．22eB ．22eC ．212eD ．22e二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕13．函数log (1)4a y x =-+的图象恒过定点P ,点P 在幂函数()f x 的图象上，那么(3)f =．14．假设函数()()3212f x a x ax x =++-为奇函数，那么曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为．15．2:,10p x R mx ∃∈+≤，2:,10q x R x mx ∀∈++>，假设p q ∨m的取值范围为．16．1()2sin (,)64f x x x R πωω⎛⎫=+>∈ ⎪⎝⎭，假设()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，那么ω的取值范围是．三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕 17．〔本小题总分值是12分〕如图,D 是直角ABC ∆斜边BC 上一点,AC =．〔Ⅰ〕假设30DAC ∠=，求角B 的大小；〔Ⅱ〕假设2BDDC =，且AD =DC 的长．18．〔本小题总分值是12分〕如图，多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED PA ∥，且22PA ED ==．〔Ⅰ〕证明：平面PAC ⊥平面PCE ；〔Ⅱ〕假设直线PC 与平面ABCD 所成的角为45︒，求二面角P CE D --的余弦值．19．〔本小题总分值是12分〕国家质量监视检验检疫局于2021年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家HY ．新HY 规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或者等于80毫克/百毫升为醉酒驾车．经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图〞如下：该函数模型如下：根据上述条件，答复以下问题：〔Ⅰ〕试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量到达最大值？最大值是多少？〔Ⅱ〕试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？〔时间是以整小时计算〕〔参考数据：ln15 2.71,ln30 3.40,ln90 4.50≈≈≈〕 20．〔本小题总分值是12分〕椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点(2,0)，且其中一个焦点的坐标为()1,0. 〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；〔Ⅱ〕过椭圆E 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,A B ，在x 轴上是否存在点M ，使得MA MB ⋅为定值？假设存在，求出点M 的坐标；假设不存在，请说明理由． 21．〔本小题总分值是12分〕EDBCA P函数()ln(1)1()x f x e ax x x R =+++-∈.〔Ⅰ〕假设0x ≥时,()0f x ≥恒成立，务实数a 的取值范围；〔Ⅱ〕求证：23e2<. 请考生在第22、23两题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分． 22．〔本小题总分值是10分〕选修4-4：极坐标和参数方程选讲极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：1(x tt y t=-⎧⎨=⎩为参数)，曲线C 的极坐标方程为:4cos ρθ=．〔Ⅰ〕写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；〔Ⅱ〕设直线l 与曲线C 相交于,P Q 两点,求PQ 的值．23．〔本小题总分值是10分〕选修4-5：不等式选讲函数()1f x x =-．〔Ⅰ〕解关于x 的不等式()0f x x ->；〔Ⅱ〕假设2(43)((4)1)f a f a -+>-+，务实数a 的取值范围．荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 2021届高三10月联考理科数学参考答案一．选择题：二、填空题13．914．20x y --=15．2m <16．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：17．解：〔Ⅰ〕在△ABC 中,根据正弦定理,有sin sin AC DCADC DAC=∠∠.因为AC =,所以sin ADC DAC ∠=∠=.………………………………3分又 6060>+∠=∠+∠=∠BBAD B ADC 所以120ADC∠=.于是 3030120180=--=∠C,所以60B ∠=.……………………………………6分〔Ⅱ〕设DCx =,那么2BD x =,3BC x =,AC =.于是sin AC B BC ==,cos B =,.6x AB =………………………………………9分在ABD ∆中,由余弦定理,得2222cos ADAB BD AB BD B =+-⋅,即2222642223x x x x =+-⨯⨯=,得x =，故DC =分 18．证明：〔Ⅰ〕连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F，连接,OF EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ． ··········· 2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ．··················· 4分因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ··············· 5分Mz yxPACB DE〔Ⅱ〕因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，所以45PCA ∠=，所以2AC PA ==．所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ，那么AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -． ·································· 7分那么()0,02P ，，)0C，，()0,21E ，，()0,20D ，，()3,1,2,PC =-(),CE =-()0,0,1DE =．设平面PCE 的法向量为()111,,x y z =n ，那么0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩令11y =，那么112.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．…………………………………………9分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，那么0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =那么220.y z ⎧⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．cos ,⋅===⋅n m n m n m ，设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos θ= ········ 11分即二面角P CED --的余弦值为． ····················· 12分19．解：〔Ⅰ〕由图可知，当函数()f x 获得最大值时，02x <<，…………………1分此时()40sin()133f x x π=+，……………………………………………………………2分当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 获得最大值为max 401353y =+=．………………4分 53毫克/百毫升．………………5分〔Ⅱ〕由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x >．由0.5901420xe-⋅+<，得0.5115x e -<，…………………………………………………7分两边取自然对数，得0.51ln ln15xe-<………………………………………………………8分即0.5ln15x -<-，所以ln15 2.715.420.50.5x ->==-，…………………………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．………………………………………………12分注：假设根据图象猜6个小时，可给结果分2分．20．解：〔Ⅰ〕由得2,1a c ==，∴b =E 的方程为22143x y +=；...........4分〔Ⅱ〕假设存在点0(,0)M x ,使得MA MB ⋅为定值，当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1xmy =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(34)690m y my ++-=..............................................................6分设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++，............................7分 22002(615)9(1)34x m x m --=+-+.............................................................................9分要使上式为定值,即与m 无关，应有0615934x -=- 解得0118x =，此时13564MA MB ⋅=-．.................................................................................11分当直线l 的斜率为0时，不妨设(2,0),(2,0)A B -，当M 的坐标为11(,0)8时13564MA MB ⋅=-综上，存在点11(,0)8M 使得13564MA MB ⋅=-为定值．.……………………………………12分21．解:〔Ⅰ〕法一：假设0x ≥时,那么()11x f x e a x '=+++..................................................1分 ()()211xf x e x ''=-+，()()211xf x e x ''=-+在[)0+∞，上单调递增，那么()()0=0f x f ''''≥......................................................................................................................3分那么()f x '在[)0+∞，上单调递增，()()0=2f x f a ''≥+..............................................................4分①当20a +≥，即-2a ≥时，()0f x '≥，那么()f x 在[)0+∞，上单调递增，此时()()0=0f x f ≥，满足题意................................................................................................5分②假设2a <-,由()f x '在[)0+∞，上单调递增，由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=.那么当00x x <<时,()()00f x f x ''<=,∴函数()f x 在()00,x 上单调递减.∴()()000f x f <=．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞..................................................................................7分法二：假设x ≥时,那么()11x f x e a x '=+++...................................................................................1分① 2a ≥-，令()1xg x e x =--，那么()10xg x e '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，那么()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+．…………………………………………………...............3分 ∴()()1112011x f x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增.∴()()00f x f ≥=，成立.......….............5分②假设2a <-,由()()()()222111011x xx e f x e x x +-''=-=≥++. ∴函数()f x '在[)0,+∞上单调递增.由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=.那么当00x x <<时,()()00f x f x ''<=,∴函数()f x 在()00,x 上单调递减.∴()()000f x f <=．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞..........................................................................7分〔Ⅱ〕证明:由(Ⅰ)知,当2a =-时,()f x =()2ln 11x e x x -++-在[)0,+∞上单调递增.......................................................................................................................................9分那么()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1211ln 1102e ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭.∴3ln 22>∴232e >,即232e<...................................................................................................12分22.解：〔Ⅰ〕.24cos ,4cos ρθρθ=∴=,由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1x ty t=-⎧⎨=⎩,消去t 解得：10x y +-=.所以直线l 的普通方程为10x y +-=．………5分〔Ⅱ〕把1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入224x y x +=,整理得230t +-=, 设其两根分别为12,t t，那么12123t t t t +=⋅=-12PQ t t ∴=-==0分亦可求圆心()2,0到直线10x y +-=的间隔为2d =，从而PQ =23．解：〔Ⅰ〕()0f x x ->可化为1x x ->，所以22(1)x x ->，所以12x <，所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………5分〔Ⅱ〕因为函数()1f x x =-在[1)+∞，上单调递增，431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+.所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围是(2,6)．……………………………………………………………10分荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟 2021届高三10月联考理科数学参考答案二．选择题：二、填空题13．914．20x y --=15．2m <16．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：17．解：〔Ⅰ〕在△ABC 中,根据正弦定理,有sin sin AC DCADC DAC=∠∠.因为AC =,所以sin ADC DAC ∠=∠=.………………………………3分又 6060>+∠=∠+∠=∠BBAD B ADC 所以120ADC∠=.于是 3030120180=--=∠C,所以60B ∠=.……………………………………6分〔Ⅱ〕设DC x=,那么2BD x =,3BC x =,AC =.于是sin AC B BC ==,cos B =,.6x AB =………………………………………9分在ABD ∆中,由余弦定理,得2222cos ADAB BD AB BD B =+-⋅,即2222642223x x x x =+-⨯⨯=,得x =，故DC =分 18．证明：〔Ⅰ〕连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F，连接,OF EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF PA ，且12OF PA =，因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ． ··········· 2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥．因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ． ···················· 4分因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ··············· 5分〔Ⅱ〕因为直线PC 与平面ABCD 所成角为45，所以45PCA ∠=，所以2AC PA ==．所以AC AB =，故△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为M ，连接AM ，那么AM BC ⊥．以A 为原点，AM ，AD ，AP 分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系A xyz -． ·································· 7分那么()0,02P ，，)0C，，()0,21E ，，()0,20D ，，()3,1,2,PC =-(),CE =-()0,0,1DE =．设平面PCE 的法向量为()111,,x y z =n ，那么0,0,PC CE ⎧=⎪⎨=⎪⎩nn即11111120,0.y z y z +-=++=⎪⎩ 令11y =，那么11 2.x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以)=n ．…………………………………………9分设平面CDE 的法向量为()222,,x y z =m ，那么0,0,DE CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm 即22220,0.z y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令21,x =那么220.y z ⎧⎪⎨=⎪⎩所以()=m ．cos ,⋅===⋅n m n m n m ，设二面角P CE D --的大小为θ，由于θ为钝角，所以cos θ=， ·········11分即二面角P CE D--的余弦值为． ·····················12分 19．解：〔Ⅰ〕由图可知，当函数()f x 获得最大值时，02x <<，…………………1分此时()40sin()133f x x π=+，……………………………………………………………2分当32x ππ=，即32x =时，函数()f x 获得最大值为max 401353y =+=．………………4分 53毫克/百毫升．………………5分〔Ⅱ〕由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时2x>．由0.5901420xe-⋅+<，得0.5115x e -<，…………………………………………………7分两边取自然对数，得0.51ln ln15xe-<………………………………………………………8分即0.5ln15x -<-，所以ln15 2.715.420.50.5x ->==-，…………………………………11分故喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．………………………………………………12分注：假设根据图象猜6个小时，可给结果分2分．20．解：〔Ⅰ〕由得2,1a c ==，∴b =E 的方程为22143x y +=；...........4分〔Ⅱ〕假设存在点0(,0)M x ,使得MA MB ⋅为定值，当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1xmy =+，联立221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得22(34)690m y my ++-=..............................................................6分设1122(,),(,)A x y B x y ，那么12122269,3434m y y y y m m +=-⋅=-++，............................7分 Mz yxPACBDE22002(615)9(1)34x m x m --=+-+.............................................................................9分要使上式为定值,即与m 无关，应有0615934x -=- 解得0118x =，此时13564MA MB ⋅=-．.................................................................................11分当直线l 的斜率为0时，不妨设(2,0),(2,0)A B -，当M 的坐标为11(,0)8时13564MA MB ⋅=-综上，存在点11(,0)8M 使得13564MA MB ⋅=-为定值．.……………………………………12分21．解:〔Ⅰ〕法一：假设0x ≥时,那么()11x f x e a x '=+++..................................................1分 ()()211x f x e x ''=-+，()()211x f x e x ''=-+在[)0+∞，上单调递增，那么()()0=0f x f ''''≥......................................................................................................................3分那么()f x '在[)0+∞，上单调递增，()()0=2f x f a ''≥+..............................................................4分①当20a +≥，即-2a ≥时，()0f x '≥，那么()f x 在[)0+∞，上单调递增，此时()()0=0f x f ≥，满足题意................................................................................................5分 ②假设2a <-,由()f x '在[)0+∞，上单调递增，由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=.那么当00x x <<时,()()00f x f x ''<=,∴函数()f x 在()00,x 上单调递减.∴()()000f x f <=．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞..................................................................................7分法二：假设x ≥时,那么()11x f x e a x '=+++...................................................................................1分② 2a ≥-，令()1xg x e x =--，那么()10xg x e '=-≥，()g x 在[)0,+∞上单调递增，那么()(0)0g x g ≥=，故1x e x ≥+．…………………………………………………...............3分 ∴()()1112011x f x e a x a a a x x '=++≥+++≥=+≥++. ∴函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增.∴()()00f x f ≥=，成立.......….............5分②假设2a <-,由()()()()222111011x xx e f x e x x +-''=-=≥++. ∴函数()f x '在[)0,+∞上单调递增.由于()020f a '=+<，,()0x f x '→+∞>.故()00,x ∃∈+∞,使得()00f x '=.那么当00x x <<时,()()00f x f x ''<=,∴函数()f x 在()00,x 上单调递减.∴()()000f x f <=．综上所述,实数a 的取值范围是[)2,-+∞..........................................................................7分〔Ⅱ〕证明:由(Ⅰ)知,当2a =-时,()f x =()2ln 11xe x x -++-在[)0,+∞上单调递增.......................................................................................................................................9分那么()102f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即1211ln 1102e ⎛⎫-++-> ⎪⎝⎭.∴3ln 22>∴232e >,即232e <...................................................................................................12分22.解：〔Ⅰ〕.24cos ,4cos ρθρθ=∴=,由222,cos x y x ρρθ=+=,得224x y x +=,所以曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=,由1x ty t=-⎧⎨=⎩,消去t 解得：10x y +-=.所以直线l 的普通方程为10x y +-=．………5分〔Ⅱ〕把1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入224x y x +=,整理得230t +-=, 设其两根分别为12,t t，那么12123t t t t +=⋅=-12PQ t t ∴=-==0分亦可求圆心()2,0到直线10x y +-=的间隔为2d =，从而PQ =23．解：〔Ⅰ〕()0f x x ->可化为1x x ->，所以22(1)x x ->，所以12x <，所以所求不等式的解集为12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭．………………………………………………………5分〔Ⅱ〕因为函数()1f x x =-在[1)+∞，上单调递增，431a -+>，2(4)11a -+≥，2(43)((4)1)f a f a -+>-+.所以243(4)1a a -+>-+所以(41)(42)0a a -+--<，所以42a -<，所以26a <<.即实数a 的取值范围是(2,6)．……………………………………………………………10分。

2021年高三数学上学期第一次联考(10月)试题理(含解析)

2021年高三数学上学期第一次联考（10月）试题理（含解析）一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．1．在复平面内，复数（4＋5i）i（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝｛x｜2－3x－2x2＞0｝，B＝｛x｜y＝ln（x2一1）｝，则AB＝A．（一2，一1）B．（一，一2）U（1，＋）C．（一1，） D．（一2，一1）U（l，＋）3．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，B＝600，则cosC＝A．一B．C．一D．4．设，则A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b5．要得到函数f（x）＝的图象，只需将函数g（x）＝的图象A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位6．已知数列｛a n｝满足a1＝1，a n－1＝2a n（n≥2，nN＊），则数列｛a n｝的前6项和为A、63 B．127 C．D．7、已知，则的值为A、－B、－C、D、－8、已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且，点F是BD上靠近D的四等分点，则9、下列函数中，在区间（0,1）上单调递增的有A、0个B、1个C、2个D、3个10、下列命题中是真命题的为A．“存在”的否定是‘不存在”B．在△ABC中，“AB2＋AC2＞BC2”是“△ABC为锐角三角形”的充分不必要条件C ．任意D、存在11·己知实数x，y满足232423120xyy xx y⎧≥-⎪⎪≤+⎨⎪+-≤⎪⎩，直线（2＋）x一（3＋）y＋（l一2）＝0（R）过定点A，则的取值范围为A、［，7］B、［，5］C、（－，］［7，＋］D、（－，］［5，＋］l2．已知函数，若关于x的方程f（x）＝g（x）有唯一解x0，且x0（0，＋），则实数a的取值范围为A·（一一1）B．（一l，0）C．（0，1）D．（1，＋）第II卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题一第（21）题为必考题，每个题目考生都必须作答．第（22）题一第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共20分．把答案填在题中的横线上．13．由曲线与曲线围成的平面区域的面积为·14．已知函数图象关于原点对称．则实数a的值构成的集合为15．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝600，E是线段AD上靠近A的三等分点，F是线段DC的中点，若AB＝2，AD＝，则＝16．设数列｛a n｝的前n项和为S n，已知a1＝1，a n＋1＝2S n＋2n，则数列｛a n｝的通项公式a n＝三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分12分）已知函数．（I）求函数f（x）的解析式；（II）若在〔一〕内，函数y＝f（x）十m有两个零点，求实数m的取值范围．18．（本小题满分12分）已知等差数列｛a n｝的前n项和为Sn，且a1＝1，S10＝55．（I）求数列｛a n｝的通项公式；（II）若数列｛bn｝满足b1＝l，，求数列的前n项和Tn．19．（本小题满分12分）已知函数f（x）=＋b，x［一l，l］的最大值为M．（I）用a，b表示M；（II）若b=，且对任意x[0，2]，sin2x一2x十4≤M，求实数a的取值范围．20．（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A， B，C的对边，AM是BC边上的中线，G是AM上的点，且．（I）若△ABC三内角A、B、C满足sinA：sinB：sinC＝：1：2，求sinC的值．（II）若，当AG取到最小值时，求b的值．21．（本小题满分12分）设函数f（x）＝（I）求函数f（x）的极值；（II）已知g（x）＝f（x＋1），当a＞0时，若对任意的x≥0，恒有g（x））≥0，求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4一1：几何证明选讲如图，AB为圆O的直径，过点B作圆O的切线BC，任取圆O上异于A、B的一点E，连接AE并延长交BC于点C，过点E作圆O的切线，交边BC于一点D．（I）求证：OD／／ AC；（II）若OD交圆0于一点M，且∠A＝600，求的值·23．（本小题满分10分）选修4一4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程是以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为·（I）求曲线C的直角坐标方程；（II）若直线l过点（2，3），求直线l被圆C截得的弦长．24．（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲已知函数f（x）＝｜2x＋1｜，g（x）＝｜3x一a｜（aR）．（I）当a＝2时，解不等式：f（x）＋g（x）＞x＋6；（II）若关于x的不等式3f（x）＋2g（x）≥6在R上恒成立，求实数a的取值范围·233186 81A2 膢u36396 8E2C 踬22192 56B0 嚰25318 62E6 拦 20853 5175 兵34163 8573 蕳'36842 8FEA 迪26211 6663 晣25233 6291 抑20684 50CC 僌20237 4F0D 伍。

2021年高三上学期10月联考数学理试题含答案

2021年高三上学期10月联考数学理试题含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．若（为虚数单位），则的值可能是（） A ． B. C. D. 2．已知集合，则（） A ． B ． C ． D ．3．“”是“直线与直线互相垂直”的（） A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．等比数列中的、是函数的极值点，则（）A. xxB. 4030C.4032D.xx 5．中，分别是角A ，B ，C (1,3),(cos ,sin ),//p q B B p q=-=且=（）A ．B ．C ．D ．6．甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为（）A ．0.36B ．0.216C ．0.432D ．0.648 7．若x,y 满足约束条件且目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.8．阅读如图所示的程序框图，则输出的的值是（） A ． B ． C ． D ．第9题图9．已知函数的图像的一部分如图所示，其中，为了得到函数的图像，只要将函数的图像上所有的点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍．C．把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；D．把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；10．若函数在区间上为单调函数，则实数不可能取到的值为A． B．C．D．11．设二次函数（）的值域为，则的最大值为（）A． B．C． D.12．已知定义域为R的函数以4为周期,且函数，若满足函数恰有5个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。

2021届河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校高三10月联考数学(理)试题解析

2021届河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校高三10月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|280A x x x =+->，(){}ln 1|B y y x ==+，则集合()A B =R（）A ．(]1,2-B ．[]4,2-C ．RD ．[)4,1--答案：B思路：解一元二次不等式求出集合A ，再求出集合A 的补集，根据对数函数的性质求出集合B ，根据集合的交集运算即可求出结果. 解：因为{}()(){}{22804202A x x x x x x x x =+-=+-=或}4x <-；所以{}|42RA x x =-≤≤；(){}ln 1|B y y x R ==+=所以()A B =R[]4,2-.故选：B . 点评：本题主要考查了集合的补集和交集运算以及对数函数的值域，属于基础题.2．把角α终边逆时针方向旋转2π后经过点(P -，则cos a =（）A ．12B C ．12-D ．答案：B思路：根据任意角的三角函数的定义可得sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，在根据诱导公式即可求出结果. 解：由题意可知sin 2πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭s s 22c in o a πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭=. 故选：B . 点评：本题主要考查了任意角的三角函数和诱导公式的应用，属于基础题.3．已知函数(4),0()3,0xf x x f x x --≥⎧=⎨<⎩则(99)f =（） A ．13B ．9C ．3D ．19答案：C思路：由题意可知，当0x ≥时，函数()f x 是周期为4的周期函数，可得(99)(4251)(1)f f f =⨯-=-，由此即可求出结果.解：当0x ≥时，()(4)f x f x =-，所以()(4)f x f x =+，所以当0x ≥时，函数()f x 是周期为4的周期函数，所以(99)(4251)(1)f f f =⨯-=-；又(1)=3f -，所以(99)3f =. 故选：C. 点评：本题主要考查了函数的周期性和分段函数的概念，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且公差0d ≠，若743S a =，则（） A ．34S S = B ．35S S =C ．45S S =D ．46S S =，答案：A思路：根据等差数列的前n 项和公式，可得40a =，由此即可得到结果. 解：由题意可知，()177447732a a S a a +===，所以40a = 所以33344+0+S S S a S ===. 故选：A. 点评：本题主要考查了等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.5．2020年7月31日，中国宣布北斗三号全球卫星导航系统正式开通，成为继美国GPS 等系统后另一个能为全球提供高质量导航定位的系统.北斗卫星由长征三号乙运载火箭成功送人太空，长征三号乙运载火箭在发射时会产生巨大的噪音.声音的等级()d x (单位：dB )与声音的强度x (单位：2w/m )满足13()9lg110xd x -=⨯，火箭发射时的声音等级约为153dB ，两人交谈时的声音等级大约为54dB ，那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的（） A ．910 B ．1010C ．1110D ．1210答案：C 思路：解：因为声音的等级()d x (单位：dB )与声音的强度x (单位：2w/m )满足13()9lg110xd x -=⨯，则()13910d x x -=；因为火箭发射时的声音等级约为153dB ，则火箭发射时的声音强度约为15313491010-=；又两人交谈时的声音等级大约为54dB ，则两人交谈时声音强度约为5413791010--=，因此那么火箭发射时的声音强度大约是两人交谈时声音强度的1110倍. 故选：C. 点评：本题主要考查由给定函数模型解决实际问题，属于基础题型. 6．已知a ､b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（） A ．若a b <，c d <则ac bd < B ．若0ab >，0bc ad ->，则0c da b-< C ．若a b >，c d >则a d b c ->- D ．若a b >，0c d >>则a b d c> 答案：C思路：根据不等式的性质对各个选项逐一验证，即可得到结果. 解：若0a b <<，0c d <<，则ac bd <；故选项A 错误；若0ab >，0bc ad ->，则0bc adab ->，即0c d a b->，故选项B 错误；若a b >，c d >，则d c ->-，所以a d b c ->-，故选项C 正确；若0c d >>，则110d c >>；若0a b >>，则a b d c>；故选项D 错误；故选：C. 点评：本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.7．已知曲线()3f x x b =+在()0x a a =>处的切线方程为310x y -+=，则函数lg y ax b =+图象的对称轴方程为（）A ．3x =-B ．13x =-C ．1x =D ．3x =答案：A思路：利用导数的几何意义求出,a b 的值，然后可得答案. 解：因为()23f x x '=，曲线()3f x x b =+在()0x a a =>处的切线方程为310x y -+=，所以()233f a a '==，结合0a >可得1a =所以()114f b =+=，解得3b =所以lg lg 3y ax b x =+=+图象的对称轴方程为3x =- 故选：A 点评：本题考查的是导数的几何意义，属于基础题. 8．函数1sin 0sin cos 2x y x x x π-+⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最大值和最小值分别为（）A ．1,1- B．22-C．2，0 D ．0,1-答案：D思路：根据二倍角公式和同角的基本关系化简可得22tan 2tan 11sin 22sin cos tan 2tan 122x x x y x x x x -+--+==+-++，再令tan 2x t =，[]0,1t ∈，可得()22112y t =+--，再根据二次函数的性质即可求出结果.解：设tan2xt =，则[]0,1t ∈，则222222sin 2sin cos cos tan 2tan 11sin 222222sin cos sin 2sin cos cos tan 2tan 1222222x x xxx x x y x x x xx x x x -+--+--+===+-++-++ ()2222212211212112t t t t t t t -+-==+=+-++----，由[]0,1t ∈，得()22121t -≤--≤-，所以()2211012t -≤+≤--，所以当0t =，即0x =时，min 1y =-；当1t =，即4x π=时，max 0y =.故选：D. 点评：本题主要考查了二倍角公式、同角基本关系，以及换元法在求函数值域中的应用，属于中档题.9．若单位向量a ，b 满足223a b a b +=-⋅，则+=a b （） A ．1 BC ．1D 答案：A思路：根据题中条件，先求出12a b ⋅=-，再由向量模的计算公式，即可的出结果. 解：因为单位向量a ，b 满足223a b a b +=-⋅，所以()22244120a b a b a b a b ⎧++⋅=⋅⎪⎨⎪⋅<⎩，即()212450a b a b a b ⎧⋅-⋅-=⎪⎨⎪⋅<⎩，解得12a b ⋅=-，因此222221a b a b a b a b +=++⋅=+⋅=.故选：A. 点评：本题主要考查求向量的模，熟记向量模的计算公式即可，属于常考题型.10．已知函数()f x 的图象如图所示，若()g x 与()f x 的图象关于原点对称，则()g x 的解析式可以是（）A ．2||()2x x g x x -=-B ．||2()2x xg x x =-C ．2||||()2x x g x x =- D ．2()2xx g x x =-答案：B思路：由图像可知，函数()f x 为奇函数，()g x 与()f x 的图象关于原点对称，可证()()g x f x =，由此再根据函数图像，即可得到结果.解：设函数()g x 上任意一点坐标为(),x y ，即()y g x =，则(),x y 关于原点的对称点坐标为(),x y --；又()g x 与()f x 的图象关于原点对称，所以点(),x y --在函数()f x 的图像上，由图像可知，函数()f x 为奇函数，所以()()=y f x f x -=--，即()y f x =所以()()g x f x =，故()g x 为奇函数且图像与()f x 相同，又A,C 为偶函数，故排除A ，C ；由图像可知当()0,2x ∈时，()()0g x f x =>，故B 满足要求. 故选：B . 点评：本题主要考查了函数奇偶性、对称性质，考查了数形结合思想，属于基础题.11．已知函数2(1)3()+---=xx a x af x e在区间(1，2)有最大值，无最小值，则实数a 的取值范围为()A ．(,4)-∞-B ．[1,)-+∞C ．(-4，-1)D ．[-4，-1]答案：C思路：函数()f x 在区间(12)，)有最大值，无最小值，则导函数()()214xx a x f x e -+++'=在(1，2)上必有零点，即函数()()214g x x a x =-+++在(12)，上必有零点，由零点存在性定理即可求解．解： ()()214xx a x f x e-+++'=，由题意，函数()()214g x x a x =-+++必有两个根，且一个根大于零，一个根小于零， ∵函数()()213 xx a x af x e+---=在区间(12)，有最大值,无最小值， ∴函数()()214g x x a x =-+++在(12)，上必有零点， ∴()()()11140?242140g a g a ⎧-+++>⎪⎨-+++<⎪⎩＝＝，解得41a -<<-．故选：C ．点评：本题考查利用导数研究函数的性质，考查零点存在性定理，属于中档题． 12．已知锐角1x ，2x 满足1212sin cos 2x x x x π-<+-，则下列结论一定正确的是（）A ．112sin sin()x x x ≤+B ．121tan tan2x x x +> C ．1122sin cos sin cos x x x x +>+ D ．1212sin sin cos cos x x x x +>+答案：D思路：结合已知条件，构造函数()sin f x x x =-，得：122x x π+>，根据选项，逐一验证即可. 解：令()sin f x x x =-，则'()cos 10f x x =-≤，()f x 在R 单调递减, 由1212sin cos 2x x x x π-<+-,得1122sin sin 22x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-<---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()122f x f x π⎛⎫<-⎪⎝⎭，所以122x x π>-，即122x x π+>.对于A,当12512x x π==时，)5555sin sin sin 121261)()2((ππππ=≤+，故A 错.对于B,当12,43x x ππ==时，127tan tan tan 2244x x ππ+=>，故B 错. 对于C,当12,63x x ππ==时，1115sin cos 46412x x x ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭同理，22755sin cos 34121212x x ππππππ⎛⎫⎛⎫+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C错.对于D,要证1212sin sin cos cos x x x x +>+，即证1122sin cos sin cos x x x x ->-+，即证12sin sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面予以证明，由122x x π+>，得122x x π>-，得1244x x ππ->-，又1x ，2x 为锐角，所以1,444x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，2,444x πππ⎛∈-⎫- ⎪⎝⎭，又sin y x =在,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，所以12sin sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简即1212sin sin cos cos x x x x +>+，故D 对. 故答案为：D 点评：本题结合导数，考查三角恒等变换、三角函数单调性，属于难题. 二、填空题13．函数的图象4,40,()4cos,,02x x f x x x π+-≤<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩与x 轴所围成的封闭图形的面积为__________. 答案：12思路：分别在[]4,0-上、0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上求得函数()f x 与x 轴所围成封闭图形的面积，再把这两个值加起来，即得所求. 解：由题意可得：围成的封闭图形的面积为:()02202440144cos 44sin 2S x dx xdx x x xππ--⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰，()08164sin0122π=--+-=故答案为：12 点评：本题主要考查了定积分的的几何意义，属于基础题.14．数列{}n a 中11a =，13n n a a +=，*n N ∈.若其前k 项和为40，则k =__________. 答案：4思路：根据等比数列的定义可知数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列前n 项和公式即可求出结果. 解：因为数列{}n a 中11a =，13n n a a +=，所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列；所以()1134013k k S ⨯-==-，所以3=81k，所以4k=.故答案为：4. 点评：本题主要考查了等比数列的定义和前n 项和公式的应用，属于基础题.15．若0a >,0b >,则222248a b ab a b++++的最小值为__________.答案：8思路：对原式化简，可得()22224882a b ab a b a b a b+++=++++，再根据基本不等式，即可求出结果. 解：因为()()22228224882a b a b ab a b a b a b a b+++++==+++++ 又0a >，0b >，所以0a b +>，所以()828a b a b ++≥=+; 当且仅当()82a b a b+=+时，即2a b +=时取等号.故答案为：8. 点评：本题主要考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题. 16．函数1()lg(9)ln 109xxx xf x e =++-的零点个数为__________.答案：1思路：易知函数()f x 的定义域为()0,∞+，假设存在()00x ∈+∞,，使得0()=0f x ，设()()000lg 9ln 109xx x x e m +=-=，根据指数与对数互换，可得00910x x m e +=，00109x x m e -=，由此001010x x m m e e +=+，再根据函数的单调性可知0x m =；则000910x x x e +=，即009101010xxe ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令()911010x xe g x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据零点存在定理和函数的单调性即可得到结果. 解：由题意可知1090x x ->，即1091x⎛⎫ ⎪⎭>⎝，所以0x >；所以函数()f x 的定义域为()0,∞+；又()()()1()lg 9ln lg 9ln 109109x xx x x x xxf x e e =++=+---假设存在()00x ∈+∞,，使得0()=0f x ，即()()0000lg 9ln 109=0x x x xe +--；设()()000lg 9ln 109xx x x e m +=-=，则00910x x m e +=，00109x x m e -=，所以001010x x m m e e +=+.易知10x xy e =+在()0,∞+上是增函数，所以0x m =，所以000910x x x e +=，两边同时除以010x ，得00911010x x e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即009101010x xe ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；设()911010x x e g x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()911010x xe g x ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()0+∞，上是减函数，且()11010e g -=>,()2229192101010100e e g -⎛⎫⎛⎫=+-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；由函数的零点存在定理，存在唯一的实数()01,2x ∈，使得91=01010x xe ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即910x x x e +=只有一个根0x ，故函数()f x 只有一个零点. 故答案为：1. 点评：本题主要考查了函数的单调性和函数零点存在定理的运用，解题的关键是将原问题转化为910x x x e +=的零点个数，这是解决本题的关键，本题属于难题. 三、解答题17．设{}n a 是公差不为0的等差数列，47a =，1a 为2a ，3a 的等比中项. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 答案：（1）35n a n =-；（2）346nn-. 思路：（1）根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），由题中条件列出方程求出首项和公差，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）求出13n n a a +，利用裂项相消法，即可求出前n 项和.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d （0d ≠），因为47a =，且1a 为2a ，3a 的等比中项，则()()12111372a d a d a d a +=⎧⎨++=⎩，解得123a d =-⎧⎨=⎩，所以()23135n a n n =-+-=-，（2）由（1）可得()()1311353233532n n a a n n n n +==-----，所以数列13n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为11111+11353212447n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎭⎝⎭⎝⎭31113123223246nn n n=-+-=--=---. 点评：本题考查等差数列基本量计算，考查等比中项的应用，考查裂项相消求和法，属于常考题型.18．已知12()22x x b f x +-=+是定义在R 上的奇函数.(1)求b 的值；(2)判断()f x 在R 上的单调性，并用定义证明； (3)若()211()0f a f a -+-<，求实数a 的取值范围.答案：(1)1b =；(2)单调递减函数，证明见解析；(3)()2,1a ∈-.思路：(1)根据函数()f x 是R 上的奇函数，可知()()f x f x -=-，把0x =代入，即可得到结果；(2)利用减函数的定义即可证明．(3)根据奇函数的性质，可得()211()0f a f a -+-<成立，等价于()2(11)f a f a -<-成立，再根据()f x 在R 上是减函数，可得211a a ->-，由此即可求出结果．解：(1)因为()f x 是奇函数，所以()10002bf a-+=⇒=+，解得1b =， (2)证明：由(1)可得：()1211122221x x x f x +-+==-++．设12x x ∀<，∴21220x x >>，则()()()()211212121122021212121x x x x x x f x f x --=-=>++++， ∴()()12f x f x >． ∴()f x 在R 上是减函数． (3)∵函数()f x 是奇函数．∴()211()0f a f a -+-<成立，等价于()22()11()1f a f a f a =-<---成立，∵()f x 在R 上是减函数，∴211a a ->-，所以()2,1a ∈-.点评：本题主要考查了奇函数的性质，定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求参数的值，属于函数性质的应用；属于基础题．19．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A ，B ，C 三点满足1233OC OA OB =+. （1）求AC CB值；（2）已知()()()21,cos ,1cos ,cos ,0,,?223A x B x x x f x OAOC m AB π⎡⎤⎛⎫+∈=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭若()f x 的最小值为()g m ，求()g m 的最大值. 答案：（1）2（2）1 思路：（1）由1233OC OA OB =+，得2()3OC OA OB OA -=-，化简得2AC CB =，即可得到答案；（2）化简函数22()(cos )1f x x m m =-+-，对实数m 分类讨论求得函数()f x 的最小值，得到关于m 的分段函数()g m ，进而求得函数()g m 的最大值. 解：（1）由题意知,,A B C 三点满足1233OC OA OB =+，可得2()3OC OA OB OA -=-，所以22()33AC AB AC CB ==+，即1233AC CB =即2AC CB =，则2AC CB =，所以||2||AC CB =. （2）由题意，函数2222()2||1cos cos 2cos 333f x OA OC m AB x x m x ⎛⎫⎛⎫=•-+=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22(cos )1x m m =-+-因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos [0,1]x ∈，当0m <时，()f x 取得最小值()1g m =，当01m ≤≤时，当cos x m =时，()f x 取得最小值2()1g m m =-，当1m 时，当cos 1x =时，()f x 取得最小值()22g m m =-，综上所述，210()101221m g m mm m m <⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，可得函数()g m 的最大值为1，即()g m 的最大值为1. 点评：本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积的坐标性质，以及三角函数和二次函数的性质的综合应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 20．已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<. （1)若3πϕ=，用“五点法”在给定的平面直角坐标系中画出函数()f x 在区间[0,]π上的图象；（2)若()f x 为偶函数，求ϕ的值；（3)在（2)的前提下，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在[0,]π上的单调递减区间.答案：（1)图像见解析；（2)23π；（3)单减区间是2π,π3. 思路：（1)当3πϕ=时，化简函数()f x 的解析式，用五点法作出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象．（2)因为()f x 为偶函数，则y 轴是()f x 图象的对称轴，求出sin 16πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=，再根据ϕ的范围，求得ϕ的值．（3)根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，求得()2cos 4623x x g x f ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令2223x k k k z ππππ≤-≤+∈,，求得x 的范围，即可求得()g x 的单调减区间，从而求得得()g x 在[0,]π的单调递减区间．解：（1)当3πϕ=时，33133 sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 2 3322y x x x x x x ππ=+-+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-+⎭+3sin 2cos 22sin 26π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭x x x ，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，26x π+6π2π π32π 2π136πx0 6π 512π 23π 1112ππy12-21故函数()y f x =在区间[]0,π上的图象是：（2)()()()3sin 2cos 22sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛+-⎫ ⎪⎝=+-⎭+，因为()f x 为偶函数，则y 轴是()f x 图象的对称轴，所以sin 16πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=，则()62k k Z ππϕπ-=+∈，即3)2(k k Z πϕπ=+∈．又因为0ϕπ<<，故2 3πϕ=．（3)在（2）的前提下，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故将()f x 的图象向右平移6π个单位，可得函数2cos 22cos 663f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再把所得的图象上各个点的横坐标变为原来的4倍，可得函数()12cos 23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭g x x 的图象，令2223x k k k z ππππ≤-≤+∈,，解得284233k x k k z ππππ+≤≤+∈,，故()g x 的单调减区间为2842,33k k k z ππππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦++∈，．又[0,]x π∈，所以()g x 在[0,]π的单调递减区间是2π,π3．点评：本题主要考查用五点法作()sin y A ωx φ=+的图象，求函数()sin y A ωx φ=+的单调区间，()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，属于中档题． 21．已知函数()()2lg 2f x x ax b=++的定义域为集合A ，函数()g x =(k ∈R )的定义域为集合B ，若()MA B B ⋂=，(){}12MA B x x ⋃=-≤≤.（1）求实数,a b 的值；（2）求实数k 的取值范围. 答案：（1）1,22a b =-=-；（2）112,10⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.思路：由集合()MA B B ⋂=和(){}12MA B x x ⋃=-≤≤，得到{}12MA x x =-≤≤，进而得到1-和2是方程220x ax b ++=的两个根，即可求得,a b 的值；（2）由函数()g x (k ∈R )的定义域为集合B ，得出224230kx x k +++≥的解集为B ，且满足MB A ⊆，令2()2423h x kx x k =+++，结合二次函数的图象与性质，列出不等式组，即可求解. 解：由题意，集合()MA B B ⋂=，可得MB A ⊆，又由(){}12MA B x x ⋃=-≤≤，所以{}12MA x x =-≤≤，可得{|1A x x =<-或2}x >，又因为函数()()2lg 2f x x ax b =++的定义域为集合A ，所以1-和2是方程220x ax b ++=的两个根，可得1,22a b =-=-.（2）因为函数()g x =k ∈R )的定义域为集合B ，即224230kx x k +++≥的解集为B ，且满足{}12MB A x x ⊆=-≤≤，令2()2423h x kx x k =+++，要使得M B A ⊆，则满足()20442230412(1)410(2)10110k k k k h k h k <⎧⎪∆=-⨯+≥⎪⎪-≤-≤⎨⎪⎪-=-≤⎪=+≤⎩，解得11210k -≤≤-，即实数k 的取值范围112,10⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 点评：本题主要考查了集合的混合运算，一元二次不等式的解集与方程的关系及解法，以及二次函数的图象与性质的综合应用，着重考查转化思想，以及分析问题和解答问题能力. 22．已知函数()()ln 11xf x e kx x =+--，（1）求()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线的方程；（2）若()f x x ≥在[)0,+∞上恒成立，求实数k 的取值范围.答案：（1）0x y -=；（2）2 1,⎛⎤-∞⎥⎝⎦. 思路：（1）求出()f x 的导数，求出()0f '即为切线斜率，在计算出()0f ，即可求出切线方程；（2）设()()ln 11xg x e kx x x =+---，两次求出()g x 的导数，讨论k 的范围，根据()g x 的单调性证明()0g x ≥恒成立即可求出k 的取值范围.解：（1）()()()()()ln 1ln 1ln 11x x kx f x e kx x kx x e k x x '''=-+-⋅+=-+-⎡⎤⎣⎦+， ()01f ∴'=，又()00f =，则切线方程为()010y x -=⨯-，即0x y -=；（2）设()()ln 11xg x e kx x x =+---，则()()ln 111xkxg x e k x x '=-+--+，令()()ln 111xkx h x e k x x =-+--+，则()()211xk k h x e x x '=--++，（i ）当0k >时，()h x '在[)0,+∞上为增函数，()()min 012h x h k ''∴==-，当120k -≥，即102k <≤时，()0h x '≥，则()h x 在[)0,+∞上单调递增，则()()min 00h x h ==，()0g x '∴≥恒成立，()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()00g x g ≥=，符合题意；当12k >时，存在00x >，当[)00,x x ∈时，()0h x '<， ()h x ∴在[)00,x 递减，此时()()00h x h ≤=，即()0g x '≤，则()g x 在[)00,x 递减，此时()()00g x g ≤=，即当()00,x x ∈时，()0g x <，故()0g x ≥不恒成立，不符合题意；（ii ）当0k ≤时，0k ->，()1,ln 10,01x xe x x ∴≥+≥≥+，()0g x '∴≥， ()g x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()00g x g ≥=，符合题意，综上，12k ≤. 点评：本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数解决不等式恒成立问题，属于较难题.。

高三数学10月联考试题理含解析试题 2

卜人入州八九几市潮王学校七校2021届高三10月联考数学〔理〕试题第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.{|A x y ==，{|0}B x x =<，那么=B C A 〔〕A.{0,4}B.(0,4]C.[0,4]D.(0,4)【答案】C 【解析】【分析】求出集合A ，进而得到A C B .【详解】(]{|,4,{|0},A x y B x x ===-∞=<[]0,4A C B ∴=.应选C.【点睛】此题考察集合的运算，属根底题.)1,2(且与直线320x y -=垂直的直线方程为〔〕A.2310x y --=B.0732=-+yx C.3240x y --=D.3280x y +-=【答案】B 【解析】【分析】设要求的直线方程为：23m 0x y ++=，把点〔2，1〕代入解得m 即可得出．【详解】设要求的直线方程为：23m 0x y ++=，，把点〔2，1〕代入可得：4+3+m=0，解得m=-7．可得要求的直线方程为：2370x y +-=，应选：B ．【点睛】此题考察了直线互相垂直的充要条件，考察了推理才能与计算才能，属于根底题．()f x 的定义域为[]0,6，那么函数()23f x x -的定义域为〔〕A.()0,3B.[)(]1,33,8⋃C.[)1,3D.[)0,3【答案】D 【解析】【分析】由函数f 〔x 〕的定义域为[][0,6求出函数f 〔2x 〕的定义域，再由分式的分母不等于0，那么函数()23f xx -的定义域可求．【详解】：∵函数f 〔x 〕的定义域为[]0,6,由0≤2x≤6，解得0≤x≤3．又x-3≠0，∴函数()23f x x -的定义域为[)0,3．应选D ．【点睛】此题考察了函数的定义域及其求法，给出函数f 〔x 〕的定义域为[a ，b]，求解函数f[g 〔x 〕]的定义域，直接求解不等式a≤g〔x 〕≤b 即可，是根底题．{}n a 满足11a =，0n a >，11=-+n n a a ，那么32n a <成立的n 的最大值为〔〕A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】由于数列{a n }满足a 1=11=，利用“累加求和〞可得=++⋯+，即可得出．【详解】∵数列{a n }满足a 1=11=,11n n =++⋯+=-+=，∴a n＝n 2．那么使a n ＜32成立的n 的最大值是5．故应选B.．【点睛】此题考察了“累加求和〞方法，属于根底题．0x R ∃∈，022020<+++m mx x m 的取值范围是〔〕A.(,1][2,)-∞-+∞B.),2()1,(+∞--∞C.[1,2]-D.)2,1(-【答案】C 【解析】【分析】0，解不等式，得到此题结论．∃x∈R，使得x 2+2mx+m≤0∀x∈R，使得x 2+2mx+m ≥0x 2+2mx+m=0的判别式：△=4m 2-4〔m+2〕≤0．∴-1≤m ≤2．应选C.．sin(3)y x ϕ=+的图象向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，那么π6ϕ=〞是()f x 是偶函数〞的A.充分不必要条件B.必婴不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条仲【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数的平移关系式，求解函数的解析式，利用充要条件判断求解即可．【详解】把函数()sin 3y x ϕ=+的图像向左平移9π个单位长度后，得到的图象的解析式是33y sin x πϕ=++（），该函数是偶函数的充要条件是 32k k Z ππϕπ+=+∈，，所以那么“6πϕ=〞是“()f x 是偶函数〞的充分不必要条件．应选：A ．【点睛】此题考察三角函数的图象变换以及充分必要条件，属中等题．2()24xx f x =-的图像大致为〔〕 A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数解析式可得函数为偶函数，又12x =时102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得答案. 【详解】函数()224xx f x =-的定义域为()()+∞⋃-∞-,22,，且()()()22,2424xx x x f x f x ---===--即函数()f x 为偶函数，排除A,B ，又2121120224f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭==< ⎪⎝⎭-，排除C. 应选D.【点睛】此题考察函数图像的识别，属根底题.{}n a 满足11a =，132log (1)21n n a a n +=+-+，那么41a =〔〕 A.-1 B.-2C.-3D.31log 40-【答案】C 【解析】【分析】由132log 121n n a a n +⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭可得()()133log 21log 21n n a a n n +-=--+累加可得结果. 【详解】()()13333221log 1log log 21log 212121n n n n n a a a a n n n n +-⎛⎫⎛⎫=+-=+=+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()133log 21log 21n na a n n +-=--+，那么414033log 79log 81,a a -=-……将以上40个式子相加得41133log 1log 81,a a -=-又11a =，可得应选C.【点睛】此题考察累加求和，属根底题. 9.1a b >>，a b b a =，ln 4ln a b =，那么=ba〔〕B.2C.34D.4【答案】D 【解析】【分析】由44ln 4ln ln ln ab a b a b =⇒=⇒=，结合b a a b =可得答案.【详解】由题1a b >>，，44ln 4ln ln ln a b a b a b =⇒=⇒=，又由应选D.【点睛】此题考察对数、指数的运算性质，属根底题.ABC ∆中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，假设CD 是角C 的角平分线，且CD b =，那么cos C =〔〕A.34B.18 C.23D.16【答案】B 【解析】【分析】由sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，可得22224cos ,a b c b C +-=结合余弦定理可得2,a b =又CD 是角C 的角平分线，且CD b =，结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得cos2C 的值，那么cos C 可求.【详解】由sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，根据正弦定理可得22224cos ,ab c b C +-=又由余弦定理可得2222cos ,a b c ab C +-=故24,a b =即2,a b =结合三角形角平分线定理可得2BD AD =，再结合余弦定理可得()22222222cos54cos 22C C BD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-， 222222cos 22cos 22C CAD b b b b b b =+-⨯⨯⨯=-，由2224BD AD BD AD =⇒=，可得2222354cos 88cos ,cos ,2224C C C b b b b -=-∴=故2231cos 2cos 121,248C C ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭应选B.【点睛】此题考察正弦定理，余弦定理及三角形角平分线定理，属中档题.{}n a 的前n 项和n S ，且满足121a a ==，21n n S a +=-〕A.21n n n a a a ++=+B.13599100a a a a a ++++=C.2469899a a a a a ++++=D.12398100100S S S S S ++++=-【答案】C 【解析】【分析】由121a a ==，21n n S a +=-，可得111,n n S a -+=-那么21,n n n a a a ++=-由此验证四个选项即可. 【详解】由121a a ==，21n n S a +=-，可得111,n n S a -+=-，两式相减可得21,n n n a a a ++=-即21,n n n a a a ++=+〔故A.正确〕，那么13599112349798a a a a a a a a a a a ++++=+++++++1981100100 1,a S a S S =+=+-=〔故B.正确〕，同理24698223459697a a a a a a a a a a a ++++=+++++++12345969797001,a a a a a a a S a =+++++++==-〔故C 错误〕，同理1239834510098S S S S a a a a ++++=++++-1001210098100.S a a S =---=-故D.正确〕，应选C.【点睛】此题考察利用递推数列推到数列的性质，属中档题.()f x 的导函数为'()f x ，假设2()'()2f x f x +>，(0)5f =，那么不等式2()41x f x e -->的解集为〔〕 A.(0,)+∞ B.)0,(-∞C.(,0)(1,)-∞+∞ D.(1,)+∞【答案】A 【解析】【分析】】根据题意，令224xx g x ef x e =⋅--（）（），对其求导结合题意分析可得()0g x >′，即函数g 〔x 〕为增函数；分析可以将不等式()241x f x e -->，转化为0g x g （）＞（），由函数的单调性分析可得答案．【详解】令224xx g x ef x e =⋅--（）（），那么()()2222222'20xx x x gx e f x e f x e e f x f x ⎡⎤=⋅+⋅-''=+->⎣⎦（）（）（），故224xx g x ef x e =⋅--（）（）在R 上单调递增，又()05f =，故原不等式等价于0g x g >（）（），由224x x g x e f x e =⋅--（）（）在R 上单调递增，可得不等式()241x f x e -->的解集为()0,+∞.应选A.【点睛】此题考察函数单调性与奇偶性的结合，结合条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，总分值是20分，将答案填在答题纸上〕OAB ∆中，点C 满足4AC CB =-，OB y OA x OC +=，那么=-x y __________．【答案】35 【解析】【分析】直接利用三角形法那么和向量的线性运算求出结果．【详解】△OAB 中，点C 满足4AC CB =-，设，那么： 4?AC BC ＝，所以：4()OCOA OC OB --＝，所以：415,333OC OB OA y x ＝--=，故答案为53【点睛】此题考察的知识要点：向量的线性运算的应用，三角形法那么的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．14.2tan()33πα-=，那么22cos ()3πα+=__________．【答案】913【解析】【分析】由222222cos 213cos cos 33cos sin tan 1333παππααπππααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得答案【详解】由题222222cos 213cos cos 33cos sin tan 1333παππααπππααα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为913. 【点睛】此题考察同角三角函数根本关系式，诱导公式，属中档题.[,2]x a a ∈+，均有33(3)8x a x +≤，那么a 的取值范围是__________．【答案】(,1]-∞- 【解析】【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．【详解】由题对任意的[],2x a a ∈+，均有()3338x a x +≤，又因为函数3x y =在R 上单调递增，所以32x a x +≤在[],2x a a ∈+上恒成立，即0≤+a x ，所以20a a ++≤,得到1a ≤-.即答案为(],1-∞-.【点睛】此题主要考察函数单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考察函数的性质，是中档题．x 的方程1cos (0)kx x k -=>恰好有两个不同解，其中α为方程中较大的解，那么tan2αα=_______．【答案】1- 【解析】【分析】由题意可知直线y 1(0)kx k=->与y cos x =相切，求导另一些率相等可求α，进而得到tan2αα【详解】如下列图，直线y 1(0)kx k =->与y cos x =有两个交点，那么cos 1cos 1sin ,,sin k αααααα++=-=∴=-那么22cos sincos 122tantan 1.2sin 22cos sin cos 222αααααααααα+⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭ 即答案为-1.【点睛】此题考察由导数求直线的斜率，同角三角函数根本关系式，二倍角公式，属中档题. 三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕()cos()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图像相邻两个对称轴之间的间隔为2π，且()f x 的图像与x y sin =的图像有一个横坐标为4π的交点. 〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕当7[0,]8x π∈时，求()f x 的最小值，并求使()f x 获得最小值的x 的值. 【答案】〔1〕()cos(2)4f x x π=-；〔2〕1-.【解析】【分析】〔1〕由题可知：2T ππω==，2ω=，又()f x 的图像与sin y x=的图像有一个横坐标为4πcos 2sin 44ππϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2πϕ<，求出ϕ，即可得到()f x 的解析式；〔2〕因为70,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,442x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由此可求求()f x 的最小值，并得求使()f x 获得最小值的x 的值. 【详解】〔1〕由题可知：2Tππω==，2ω=，又cos 2sin 44ππϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，2πϕ<，得4πϕ=-. 所以()cos 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.〔2〕因为70,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,442x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当24x ππ-=，即58xπ=时，()f x 获得最小值.()min 518f x f π⎛⎫==-⎪⎝⎭. 【点睛】此题考察了正弦函数的图象与性质的应用问题，是中档题．ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin a C B =.〔1〕假设b=0120=C ，求ABC ∆的面积S ；〔2〕假设:2:3b c =，求2sin sin A BC-.【答案】〔1〕18；〔2〕1. 【解析】【分析】〔1〕由2sin sin a CB =，得2ac =，∴2a =，由三角形面积公式可求ABC ∆的面积S ；〔2〕∵2a =，:2:3b c =，∴::2:3a b c =，故可设a=，2b k =，3c k =，(0)k >，那么2225cos 26b c a A bc +-==，化简sin 6cos 2sin 3A B A C --=即可得到答案.【详解】〔1〕由2sin sin a C B =，得2ac =，∴2a =，∵b =，∴6a=，∴011sin 6sin1201822S ab C ==⨯⨯=.〔2〕∵2a =，:2:3b c =，∴::2:3a b c =，故可设a=，2b k =，3c k =，(0)k >，那么2225cos 26b c a A bc +-==，6cos 213A -====.【点睛】此题考察正弦定理，余弦定理以及三角形面积公式的应用，考察了二倍角公式以及同角三角函数郭先生，属中档题.{}n a 的前n 项和n S ，313S =，123111139a a a ++=. 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕假设34log 2n n b a =+，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T . 【答案】〔1〕13-=n n a ；〔2〕84nn +. 【解析】【分析】〔1〕设等比数列{}n a 的公比为q ，那么12332212322111139a a a S a a a a a ++++===，解得：23a =. 312333313S a a a q q=++=++=，解得3q =，可求数列{}n a 的通项公式；〔2〕由〔1〕及题设可得：42nb n =-，()()111111424244242n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，由裂项相消法可求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【详解】〔1〕设等比数列{}n a 的公比为q ，那么13123322123132221111139a a a a a S a a a a a a a a +++++=+===，解得：23a =. 312333313S a a a q q=++=++=，解得3q =，所以13n na -=.〔2〕由〔1〕及题设可得：42nb n =-，()()111111424244242n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以11111114266104242nT n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭111424284nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考察等比数列的根本量计算，考察裂项相消法求和，属中档题.()3213f x x x mx =--. 〔1〕假设()f x 在()0,+∞上存在单调递减区间，求m 的取值范围；〔2〕假设1x =-是函数的极值点，求函数()f x 在[]0,5上的最小值.【答案】〔1〕(1,)-+∞；〔2〕9-. 【解析】【分析】〔1〕()2'2f x x x m =--，由题可知，()2'20f x x x m =--<在()0,+∞上有解，所以22m x x >-，由此可求m 的取值范围；因为()'1120f m -=+-=，所以3m =.〔2〕因为()'10f -=，可得3m =.所以()2'23f x x x =--，令()'0f x =，解得：1x =-或者3x =.讨论单调性，可求函数()f x 在[]0,5上的最小值.【详解】〔1〕()2'2f x x x m =--，由题可知，()2'20f x x x m =--<在()0,+∞上有解，所以22m x x >-，那么1m >-，即m 的取值范围为()1,-+∞.〔2〕因为()'1120f m -=+-=，所以3m =.所以()2'23f x x x =--，令()'0f x =，解得：1x =-或者3x =.所以当()0,3x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减；当()3,5x ∈时，()'0f x >，函数()f x 单调递增. 所以函数()f x 在[]0,5上的最小值为()39999f =--=-.【点睛】此题主要考察了导数与函数的单调性，极值的关系，以及再给定区间上的最值问题，属根底题.．M与直线340x +=相切于点(，圆心M 在x 轴上.〔1〕求圆M 的方程；〔2〕过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，直线OB OA ,分别与直线8x =相交于,C D 两点，记,OAB OCD 的面积分别是21,S S ．求12S S 的取值范围.【答案】〔1〕22(4)16x y -+=；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕由题可知，设圆的方程为()222x a y r -+=，列出方程组，求得4a =，4r =，即可得到圆的方程；〔2〕设直线OA 的斜率为k()0k ≠，那么直线OA 的方程为y kx =，联立方程组，求得点A 的坐标，同理得到点B 的坐标，求得,OA OBOC OD，得到所以2142221S k S k k =++，利用根本不等式，即可求解. 【详解】〔1〕由题可知，设圆的方程为()222x a y r -+=，()221711a r a ⎧-+=⎪⎨=-⎪-⎩，解得4a =，4r =，所以圆的方程为()22416x y -+=．〔2〕由题意知，π2AOB ∠=，设直线OA 的斜率为k()0k ≠，那么直线OA 的方程为y kx =，由2280y kxx y =⎧⎨+-=⎩，得()22180k xx +-=，解得0,0x y =⎧⎨=⎩或者228181x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，那么点A 的坐标为2288,11k k k ⎛⎫⎪++⎝⎭．又直线OB 的斜率为1k -，同理可得点B 的坐标为2288,11k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由题可知，()8,8Ck ，88,D k⎛⎫- ⎪⎝⎭．因此12S OA OB OA OB S OD OC OC OD⋅==⋅⋅，又2281181A C x OA k OC x k +===+，同理221OB k OD k =+，所以21422221112142S k S k k k k ==≤++++，当且仅当1k =时取等号．又120S S >，所以12S S 的取值范围是10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】此题主要考察了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据题意设出直线的方程，分别求得点A 的坐标，同理得到点B 的坐标，求得,OA OBOC OD，进而得到2142221S k S k k =++，利用根本不等式求解是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，以及推理与运算才能.()ln a f x x x =-，其中0a ≠.〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕(x)()x g f e =，11(,())A x g x ，22(,())B x g x 〔12x x <〕是函数()g x 图像上的两点，证明：存在),(210x x x ∈，使得21021()()'()g x g x g x x x -=-.【答案】〔1〕当0a <时，'()0f x <恒成立，所以()f x 在(0,)+∞0a >时，当1(0,)a x a -∈时，'()0f x <，()f x 在1(0,)a a -上单调递减，当1(,)a x a -∈+∞时，'()0f x >，()f x 在1(,)a a -+∞上单调递增；〔2〕见解析. 【解析】【分析】〔1〕()111'a a a x a f x ax x x-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=，分类讨论函数()f x 的单调性；〔2〕()ax gx e x =-，()'1ax g x ae =-，令()()()()21212121'ax ax axg x g x e e x g x ae x x x x ϕ--=-=---，那么()()()121121211ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t Ft e t =--，讨论其单调性可知()()00F t F >=，即10t e t -->.从而()()212110a x x ea x x ----<，()()121210a x x e a x x ---->.又1210ax e x x >-，2210ax e x x >-. 所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，由零点存在性定理可得结论.【详解】〔1〕因为()ln (0)a f x x x x =->，所以()111'a a a x a f x ax x x-⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=，当0a <时，()'0f x <恒成立，所以()f x 在()0,+∞上单调递减.当0a>时，()'0f x =，得1a x a -=当10,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，()f x 在10,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当1,a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 在1,aa -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.〔2〕证明：()()x ax gx f e e x ==-，()'1ax g x ae =-，令()()()()21212121'ax ax axg x g x e e x g x ae x x x x ϕ--=-=---，那么()()()121121211ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1t F t e t =--，那么()'1t F t e =-，当0t<时，()'0F t <，()F t 单调递减；当0t >时，()'0F t >，()F t 单调递增. 故当0t ≠时，()()00F t F >=，即10t e t -->.从而()()212110a x x ea x x ---->，()()121210a x x e a x x ---->.又1210ax e x x >-，2210ax e x x >-. 所以()10x ϕ<，()20x ϕ>.因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在()012,x x x ∈，使得()00x ϕ=，即存在()012,x x x ∈，使得()()()21021'g x g x g x x x ---.【点睛】此题考察利用导数研究函数的性质，属难题.。