2017_2018学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性四直角三角形的射影定理创新应用教学案新人
直角三角形射影定理学案
第一讲相似三角形的判定及有关性质4 直角三角形的射影定理班级:姓名:知识与技能:掌握直角三角形中成比例的线段的性质,并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.情感与价值观:培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。
重点:直角三角形的射影定理的证明及应用;2、已知:如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于D.(1)图中有几条线段?(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?(4)观察第(3)题的结果,有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?(5)由上可得到哪些等积式?(二)直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是比例中项;两直角边分别是的比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
已知:求证:证明:A A用勾股定理能证明射影定理吗?写出你的想法.二、当堂训练1、如图,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。
,,82==DB AD 求的长。
和BC AC CD ,2、如图,ΔABC 中,顶点C 在AB 边上的射影为D ,且BD AD CD ∙=2。
求证:ΔABC 是直角三角形。
证明:三、课堂小结与反思AA B四、课后检测1.如图1—4—1中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,AD=3,BD=2,则AC :BC 的值是( )A .3:2B .9:4C .3:2D .2:32.在Rt △ACB 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D ,若BD :AD=1:4,则tan ∠BCD 的值是( )A. 41B. 31C. 21 D.2 3.下列命题中,正确的有( )①两个直角三角形是相似三角形;②等边三角形都是相似三角形;③锐角三角形都是相似三角形;④两个等腰直角三角形是相似三角形.A .1个 B. 2个 C. 3个 D .4个4.已知直角△ABC 中,斜边AB=5cm ,BC=2 cm ,D 为AC 上一点,DE ⊥AB 交AB 于E ,且AD=3.2cm ,则DE=( )A .1.24 cmB .1.26 cmC .1.28cmD .1.3 cm5.如图1—4—2,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D ,DF ⊥AC 于F ,DE ⊥AB 于E 。
第一讲相似三角形的判定及有关性质
SADE 1 , 解:因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 SABD 2
1 3 所以SADE SABC , SDECB SABC , 4 4 SADE 1 所以 . S DECB 3
2
4.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高,AC=5, BC=8,则S△CDA∶S△CDB等于(
点评
比例求值,求面积,求线段长,它们是一个有机的统一
体,它们可以互为条件,以相似三角形为核心,有时借助平行线分 线段成比例定理,演绎出众多题型和方法.
【变式迁移】 2.如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,若△AEF的面 积等于6cm2,则△ADF的面积等于 18 cm2.
解:由题意得△AEF与△CDF为相似三角形,又AE∶CD=1∶3, 由△AEF的面积为6cm2得△CDF的面积为54cm2, 又S△ADF∶S△CDF=1∶3,所以S△ADF=18cm2.
解:因为AD⊥BC,所以△ADB是直角三角形, 又DE⊥AB,由射影定理,AD2=AE·AB, 同理可得,AD2=AF·AC,
AE AC 3 . 所以AE·AB=AF·AC,所以 AF AB 4
拓展练习1:如图,在RtABC中,AF 是斜边BC上的 高线,且BD DC FC 1,则AC
图5
B
图4
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2
直线,必平分另一腰。
符号语言: ∵在梯形ABCD,AD∥EF∥BC,AE=EB ∴DF=FC
经过三角形一边的中点与另一
边平行的直线,必平分第三边。
符号语言 ∵△ABC中,EF∥BC,AE=EB ∴AF=FC
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理教材梳理素材1
四 直角三角形的射影定理庖丁巧解牛知识·巧学一、射影所谓射影,就是正投影.其中,从一点到一条直线所作垂线的垂足,叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段,叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1—4—2,AB 在AC 上的射影是线段AC ;BC 在AC 上的射影是点C ;AC 、BC 在AB 上的射影分别是AD 、BD ,这样,Rt △ABC 中的六条线段就都有了名称,它们分别是:两条直角边(AC 、BC),斜边(AB ),斜边上的高(CD),两条直角边在斜边上的射影(AD 、BD)。
图1—4-2二、直角三角形的射影定理由于角之间的关系,图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系,于是Rt △ABC 的六条线段之间存在着比例关系.△ACD ∽△CBD ,有BD CD CD AD =,转化为等积式,即CD 2=AD·BD ; △ACD ∽△ABC,有ACAD AB AC =,转化为等积式,即AC 2=AB·AD; △BCD ∽△BAC ,有BCBD BA BC =,转化为等积式,即BC 2=BA·BD. 用语言来表述,就是在直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.联想发散这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1—4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是AB上的高.已知AD=4,BD=9,就可以求CD、AC。
由射影定理,得CD2=AD·BD=4×9=36.因为边长为正值,所以CD=6,AC2=AD·AB=4×(4+9)=52。
所以AC=132。
我们还可以求出BC、AB,以及△ABC的面积等。
问题·探究问题1 在直角三角形中,我们已经学过三边之间的一个重要关系式,如图1—4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,那么AC2+BC2=AB2,这一结论被称作勾股定理,同样是在直角三角形中,勾股定理和射影定理有什么联系?如何说明这种联系?图1—4—3思路:将射影定理产生的式子AC2=AB·AD和BC2=BA·BD左右两边分别相加。
2017-2018学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性 三 相似三角形的判定创新应用教学案
三似三角形的判定及性质1.相似三角形的判定[对应学生用书P7]1.相似三角形(1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数).(2)预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.2.相似三角形的判定定理(1)判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似,简述为:两角对应相等,两三角形相似.(2)判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似,简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.(3)判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似,简述为:三边对应成比例,两三角形相似.[说明] 1.在这些判定方法中,应用最多的是判定定理1,即两角对应相等,两三角形相似.因为它的条件最容易寻求.在实际证明当中,要特别注意两个三角形的公共角.判定定理2则常见于连续两次证明相似时,在证明时第二次使用此定理的情况较多.2.引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理,可以判定两直线平行.3.直角三角形相似的判定定理(1)定理:①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似.(2)定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.[说明] 对于直角三角形相似的判定,除了以上方法外,还有其他特殊的方法,如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件的利用.[对应学生用书P8][例1] 如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD是角平分线,证明:△ABC∽△BCD.[思路点拨] 已知AB=AC,∠A=36°,所以∠ABC=∠C=72°,而BD是角平分线,因此,可以考虑使用判定定理1.[证明] ∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°.又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°,∴∠A=∠CBD.又∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BCD.判定两三角形相似,可按下面顺序进行:(1)有平行截线,用预备定理;(2)有一对等角时,①找另一对等角,②找夹这个角的两边对应成比例;(3)有两对应边成比例时,①找夹角相等,②找第三边对应成比例,③找一对直角.1.如图,BC∥FG∥ED,若每两个三角形相似,构成一组相似三角形,那么图中相似的三角形的组数是( )A.1 B.2C.3 D.4解析:△AED与△AFG相似,△AED与△ABC相似,△AFG与△ABC相似.答案:C2.如图,O是△ABC内任一点,D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,求证:△DEF∽△ABC.证明:∵D,E,F分别是OA,OB,OC的中点,∴DE =12AB ,EF =12BC ,FD =12CA .∴DE AB =EF BC =FD CA =12.∴△DEF ∽△ABC .3.如图,D 在AB 上,且DE ∥BC 交AC 于E ,F 在AD 上,且AD 2=AF ·AB ,求证:△AEF ∽△ACD .证明:∵DE ∥BC ,∴AC AE =AB AD.① ∵AD 2=AF ·AB ,∴AD AF =AB AD.② 由①②两式得AC AE =ADAF,又∠A 为公共角,∴△AEF ∽△ACD .[例2] Q 是CD 的中点,求证:△ADQ ∽△QCP .[思路点拨] 由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明AD QC =DQCP即可.[证明] 在正方形ABCD 中, ∵Q 是CD 的中点,∴AD QC=2. ∵BP PC =3,∴BC PC=4. 又BC =2DQ ,∴DQ CP=2. 在△ADQ 和△QCP 中,AD QC =DQCP=2,∠C =∠D =90°,∴△ADQ∽△QCP.直角三角形相似的判定方法:(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定.(2)两个直角三角形,已经具备直角对应相等,只要再证明有一对锐角相等,或夹直角的两边对应成比例,就可以证明这两个直角三角形相似.4.如图,∠C=90°,D是AC上的一点,DE⊥AB于E,求证:△ADE∽△ABC.证明:∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°,∵∠C=90°,∴∠DEA=∠C.∵∠A=∠A.∴△ADE∽△ABC5.如图,BD,CE是△ABC的高,BD,CE交于F,写出图中所有与△ACE相似的三角形.解:∵∠ACE为公共角,由直角三角形判定定理1,知Rt△FDC∽Rt△ACE.又∠A为公共角,∴Rt△ABD∽Rt△ACE.又∵∠A+∠ACE=90°,∠A+∠ABD=90°,∴∠ACE=∠ABD.∴Rt△FBE∽Rt△ACE.故共有三个直角三角形,即Rt△ABD,Rt△FBE,Rt△FCD与Rt△ACE相似.[例3] 如图,D为△ABC的边AB上一点,过D点作DE∥BC,DF∥AC,AF交DE于G,BE交DF于H,连接GH.求证:GH∥AB.[思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式GE DE =EHEB成立,再证△EGH ∽△EDB ,由相似三角形的定义得∠EHG =∠EBD 即可.[证明] ∵DE ∥BC , ∴GE FC =AG AF =DG FB ,即GE DG =CFFB.又∵DF ∥AC ,∴EH HB =CFFB. ∴GE DG =EH HB .∴GE ED =EHEB.又∠GEH =∠DEB , ∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG =∠EBD . ∴GH ∥AB .不仅可以由平行线得到比例式,也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系.有时用它来证明角与角之间的数量关系,线段之间的数量关系.6.如图,△ABC 的三边长是2、6、7,△DEF 的三边长是4、12、14,且△ABC 与△DEF 相似,则∠A =__________,∠B =__________,∠C =________.AB=EF=AC=________.解析:∠A =∠D ,∠B =∠E ,∠C =F .AB DE =BC EF =AC DF =12. 答案:∠D ∠E ∠F DE BC DF 127.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点F 在BA 的延长线上,连接CF 交AD 于点E .(1)求证:△CDE ∽△FAE ;(2)当E 是AD 的中点,且BC =2CD 时, 求证:∠F =∠BCF .证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD .又∵点F 在BA 的延长线上, ∴∠DCF =∠F ,∠D =∠FAE . ∴△CDE ∽△FAE .(2)∵E 是AD 的中点,∴AE =DE . 由△CDE ∽△FAE ,得CD FA =DE AE. ∴CD =FA .∴AB =CD =AF .∴BF =2CD .又∵BC =2CD ,∴BC =BF .∴∠F =∠BCF .8.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AD ⊥BC 于D ,点E 是AC 的中点,ED 的延长线交AB 的延长线于F .求证:AB AC =DF AF.证明:∵E 是Rt △ADC 斜边AC 上的中点, ∴AE =EC =ED . ∴∠EDC =∠C =∠BDF . 又∵AD ⊥BC 且∠BAC =90°, ∴∠BAD =∠C . ∴∠BAD =∠BDF .又∠F =∠F ,∴△DBF ∽△ADF , ∴DB AD =DF AF.又在Rt △ABD 与Rt △CBA 中,AB AC =DBAD, ∴AB AC =DF AF.[对应学生用书P10]一、选择题1.如图所示,AD ∥EF ∥BC ,GH ∥AB ,则图中与△BOC 相似的三角形共有( )A .1个B .2个C .3个D .4个解析:根据相似三角形的判定定理可得: △OEF ∽△OBC (∵EF ∥BC ); △CHG ∽△CBO (∵HG ∥OB ); △OAD ∽△OBC (∵AD ∥BC ). 故与△BOC 相似的三角形共有3个. 答案:C2.下列判断中,不.正确的是( ) A .两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似 B .斜边和一直角边长分别是25,4和5,2的两个直角三角形相似 C .两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似 D .两个等腰直角三角形相似解析:由直角三角形相似判定定理知A 、B 、D 正确. 答案:C3.如图,要使△ACD ∽△BCA ,下列各式中必须成立的是( )A.AC AB =ADBC B.AD CD =AC BCC .AC 2=CD ·CB D .CD 2=AC ·AB解析:∠C =∠C ,只有AC CD =CB AC,即AC 2=CD ·CB 时,才能使△ACD ∽△BCA .答案:C4.如图,在等边三角形ABC 中,E 为AB 中点,点D 在AC 上,使得AD AC=13,则有( ) A .△AED ∽△BED B .△AED ∽△CBD C .△AED ∽△ABD D .△BAD ∽△BCD 解析:因为∠A =∠C ,BC AE =CDAD=2,所以△AED ∽△CBD .答案:B 二、填空题5.如图,△ABC 中,DE ∥BC ,GF ∥AB ,DE ,GF 交于点O ,则图中与△ABC 相似的三角形共有________个,它们分别是____________________.解析:与△ABC 相似的有△GFC ,△OGE ,△ADE . 答案:3 △GFC ,△OGE ,△ADE6.如图所示,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于点D ,BC =3,AC =4,则AD =________,BD =________.解析:由题设可求得AB =5, ∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ,∴AB AC =AC AD .∴AD =AC 2AB =165. 又∵Rt △ABC ∽Rt △CBD ,∴AB CB =BC BD .∴BD =BC 2AB =95. 答案:165 957.已知:在△ABC 中,AD 为∠BAC 的平分线,AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ,与BC 的延长线交于点F ,若CF =4,BC =5,则DF =________.解析:连接AF . ∵EF ⊥AD ,AE =ED , ∴AF =DF , ∠FAD =∠FDA .又∵∠FAD =∠DAC +∠CAF , ∠FDA =∠BAD +∠B , 且∠DAC =∠BAD ,∴∠CAF =∠B .而∠CFA =∠AFB , ∴△AFC ∽△BFA . ∴AF CF =BFAF.∴AF 2=CF ·BF =4×(4+5)=36.∴AF =6,即DF =6. 答案:6 三、解答题8.如图,已知△ABC 中,AB =AC ,D 是AB 的中点,E 在AB 的延长线上,且BE =AB ,求证:△ADC ∽△ACE .证明:∵D 是AB 的中点,∴AD AB =12. ∵AB =AC ,∴AD AC =12.∵ BE =AB ,∴AB AE =12.又AB =AC ,∴AC AE =12.∴AD AC =AC AE.又∠A 为公共角,∴△ADC ∽△ACE .9.如图,直线EF 交AB 、AC 于点F 、E ,交BC 的延长线于点D ,AC ⊥BC ,且AB ·CD =DE ·AC .求证:AE ·CE =DE ·EF . 证明:∵AB ·CD =DE ·AC ∴AB DE =AC CD. ∵AC ⊥BC ,∴∠ACB =∠DCE =90°. ∴△ACB ∽△DCE . ∴∠A =∠D .又∵∠AEF =∠DEC ,∴△AEF ∽△DEC . ∴AE DE =EF CE. ∴AE ·CE =DE ·EF .10.如图所示,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,AE 是∠CAB 的角平分线,CD 与AE 相交于点F ,EG ⊥AB 于G .求证:EG 2=FD ·EB .证明:因为∠ACE =90°,CD ⊥AB ,所以∠CAE +∠AEC =90°,∠FAD +∠AFD =90°. 因为∠AFD =∠CFE , 所以∠FAD +∠CFE =90°. 又因为∠CAE =∠FAD , 所以∠AEC =∠CFE . 所以CF =CE .因为AE 是∠CAB 的平分线,EG ⊥AB ,EC ⊥AC , 所以EC =EG ,CF =EG .因为∠B +∠CAB =90°,∠ACF +∠CAB =90°, 所以∠ACF =∠B .因为∠CAF =∠BAE , 所以△AFC ∽△AEB ,AF AE =CF EB. 因为CD ⊥AB ,EG ⊥AB , 所以Rt △ADF ∽Rt △AGE . 所以AF AE =FD EG ,CF EB =FDEG.所以CF ·EG =FD ·EB ,EG 2=FD ·EB .2.相似三角形的性质[对应学生用书P11]1.相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 相似三角形周长的比等于相似比. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.2.两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方. [说明] 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高,应包括一切“对应点”连接的线段;同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径.[对应学生用书P11][例1] 已知如图,△ABC 中,CE ⊥AB 于E ,BF ⊥AC 于F ,若S△ABC=36 cm 2,S △AEF =4 cm 2,求sin A 的值.[思路点拨] 由题目条件证明△AEC ∽△AFB ,得AE ∶AF =AC ∶AB ,由此推知△AEF ∽△ACB ,进而求出线段EC 与AC 的比值.[解] ∵CE ⊥AB 于E ,BF ⊥AC 于F , ∴∠AEC =∠AFB =90°. 又∵∠A =∠A ,∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF =AC AB.又∵∠A =∠A ,∴△AEF ∽△ACB . ∴(AE AC)2=S △AEF S △ACB =436. ∴AE AC =26=13. 设AE =k , 则AC =3k , ∴EC =22k .∴sin A =EC AC =223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关,解决此类问题,要善于联想,变换比例式,从而达到目的.1.如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB ,AC 边上的点.AB =8 cm ,AC =10 cm ,若△ADE 和△ABC 相似,且S △ABC ∶S △ADE =4∶1,则AE =________cm.解析:因为△ADE ∽△ABC ,且S △ABC ∶S △ADE =4∶1,所以其相似比为2∶1,即AE AC =12或AEAB=12,所以AE =5或4(cm). 答案:5或42.如图,在▱ABCD 中,AE ∶EB =2∶3. (1)求△AEF 与△CDF 周长的比; (2)若S △AEF =8,求S △CDF .解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD 且AB =CD .∵AE EB =23,∴AE AE +EB =22+3,即AE AB =25.∴AE CD =25. 又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF , ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长=2∶5. (2)S △AEF ∶S △CDF =4∶25, 又S △AEF =8,∴S △CDF =50.[例2] 如图,一天早上,小张正向着教学楼AB 走去,他发现教学楼后面有一水塔DC ,可过了一会抬头一看:“怎么看不到水塔了?”心里很是纳闷.经过了解,教学楼、水塔的高分别是20米和30米,它们之间的距离为30米,小张身高为1.6米.小张要想看到水塔,他与教学楼之间的距离至少应有多少米?[思路点拨] 此题的解法很多,其关键是添加适当的辅助线,构造相似三角形,利用相似三角形的知识解题.[解] 如图,设小张与教学楼的距离至少应有x 米,才能看到水塔. 连接FD ,由题意知,点A 在FD 上,过F 作FG ⊥CD 于G ,交AB 于H ,则四边形FEBH ,四边形BCGH 都是矩形.∵AB ∥CD ,∴△AFH ∽△DFG . ∴AH ∶DG =FH ∶FG .即(20-1.6)∶(30-1.6)=x ∶(x +30), 解得x =55.2(米).故小张与教学楼的距离至少应有55.2米,才能看到水塔.此类问题是利用数学模型解实际问题,关键在于认真分析题意,将实际问题转化成数学问题,构造相似三角形求解.3.如图,△ABC 是一块锐角三角形余料,边BC =200 mm ,高AD =300 mm ,要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件,使矩形较短的边在BC 上,其余两个顶点分别在AB 、AC 上,求这个矩形零件的边长.解:设矩形EFGH 为加工成的矩形零件,边FG 在BC 上,则点E 、H 分别在AB 、AC 上,△ABC 的高AD 与边EH 相交于点P ,设矩形的边EH 的长为x mm.因为EH ∥BC ,所以△AEH ∽△ABC . 所以AP AD =EHBC. 所以300-2x 300=x 200,解得x =6007(mm),2x =1 2007(mm).答:加工成的矩形零件的边长分别为6007 mm 和1 2007mm.4.已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ,和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm ,求另一个三角形内切圆和外接圆的面积.解:设边长为3 cm,4 cm,5 cm 的三角形的内切圆半径为r ,外接圆半径为R ,因为该三角形为直角三角形,所以R =52,且12(3+4+5)r =12×3×4,即r =1.∴S 内切圆=π(cm 2),S 外接圆=π·(52)2=25π4(cm 2).又两三角形的相似比为512,∴S ′内切圆=(125)2S 内切圆=144π25(cm 2),S ′外接圆=(125)2S 外接圆=36π(cm 2).[对应学生用书P12]一、选择题1.如图,△ABC 中,DE ∥BC ,若AE ∶EC =1∶2,且AD =4 cm ,则DB 等于( )A .2 cmB .6 cmC .4 cmD .8 cm解析:由DE ∥BC , 得△ADE ∽△ABC , ∴AD AB =AE AC.∴AD DB =AE EC =12. ∴DB =4×2=8(cm). 答案:D2.如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4,周长之和是35,那么这两个三角形的周长分别是( )A .13和22B .14和21C .15和20D .16和19解析:由相似三角形周长之比,中线之比均等于相似比可得.∴周长之比l 1l 2=34.又l 1+l 2=35,∴l 1=15,l 2=20,即两个三角形的周长分别为15,20. 答案:C3.如图所示,在▱ABCD 中,AB =10,AD =6,E 是AD 的中点,在AB 上取一点F ,使△CBF ∽△CDE ,则BF 的长是( )A .5B .8.2C .6.4D .1.8解析:∵△CBF ∽△CDE ,∴BF DE =CB CD. ∴BF =DE ·CB CD =3×610=1.8. 答案:D4.如图,是一个简单的幻灯机,幻灯片与屏幕平行,光源到幻灯片的距离是30 cm ,幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ,幻灯片上小树的高度是10 cm ,则屏幕上小树的高度是( )A .50 cmB .500 cmC .60 cmD .600 cm解析:图中的两个三角形相似.设屏幕上小树的高度为x cm ,根据相似三角形对应高的比等于相似比,得x 10=30+15030,解得x =60 cm.答案:C 二、填空题5.在比例尺为1∶500的地图上,测得一块三角形土地的周长为12 cm ,面积为6 cm 2,则这块土地的实际周长是________m ,实际面积是________m 2.解析:这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形,由比例尺可知,它们的相似比为1500,则实际周长是12×500=6 000(cm)=60 m ;实际面积是6×5002=1 500 000(cm 2)=150 m 2.答案:60 1506.如图,在△ABC 中,D 为AC 边上的中点,AE ∥BC ,ED 交AB 于G ,交BC 延长线于F ,若BG ∶GA =3∶1,BC =10,则AE 的长为________.解析:∵AE ∥BC ,∴△BGF ∽△AGE . ∴BF ∶AE =BG ∶GA =3∶1. ∵D 为AC 中点,∴AE CF =ADDC=1. ∴AE =CF .∴BC ∶AE =2∶1.∵BC =10,∴AE =5. 答案:57.如图所示,在矩形ABCD 中,AE ⊥BD 于E ,S矩形ABCD =40 cm 2.S △ABE ∶S △DBA =1∶5,则AE 的长为________.解析:因为∠BAD =90°,AE ⊥BD , 所以△ABE ∽△DBA . 所以S △ABE ∶S △DBA =AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA =1∶5,所以AB ∶DB =1∶ 5. 设AB =k cm ,DB =5k cm , 则AD =2k cm. 因为S 矩形ABCD =40 cm 2,所以k ·2k =40,所以k =25(cm). 所以BD =5k =10 (cm).AD =45(cm). 又因为S △ABD =12BD ·AE =20,所以12·10·AE =20.所以AE =4(cm). 答案:4 cm 三、解答题8.如图,已知△ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,D 为AB 中点,E 是AC 上的点,BE 、CD 交于M .若AC =3AE ,求∠EMC 的度数.解:如图,作EF ⊥BC 于F , 设AB =AC =3,则AD =32,BC =32,CE =2,EF =FC = 2.∴BF =BC -FC =2 2.∴EF ∶BF =2∶22=1∶2=AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC .∴∠2=∠1. ∵∠EMC =∠2+∠MCB ,∴∠EMC =∠1+∠MCB =∠ACB =45°.9.如图,▱ABCD 中,E 是CD 的延长线上一点,BE 与AD 交于点F ,DE =12CD .(1)求证:△ABF ∽△CEB ;(2)若△DEF 的面积为2,求▱ABCD 的面积. 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴∠A =∠C ,AB ∥CD . ∴∠ABF =∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ,△DEF ∽△ABF . ∵DE =12CD ,∴S △DEF S △CEB =(DE EC )2=19, S △DEF S △ABF =(DE AB )2=14. ∵S △DEF =2,∴S △CEB =18,S △ABF =8, ∴S 四边形BCDF =S △BCE -S △DEF =16. ∴S ▱ABCD =S 四边形BCDF +S △ABF =16+8=24.10.如图所示,在矩形ABCD 中,AB =12 cm ,BC =6 cm ,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动,点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动,如果P 、Q 同时出发,用t 秒表示移动的时间(0≤t ≤6),那么:(1)当t 为何值时,△QAP 为等腰直角三角形?(2)对四边形QAPC 的面积,提出一个与计算结果无关的结论. (3)当t 为何值时,以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似? 解:(1)由题意可知:AQ =6-t (cm),AP =2t (cm). 若△QAP 为等腰直角三角形, 则AQ =AP ,即t =2(s). (2)S 四边形QAPC =S 矩形ABCD -S △DQC -S △PBC =12×6-12×12×t -12×6×(12-2t )=72-6t -36+6t =36(cm 2), 结论:无论P 、Q 运动到何处,S 四边形QAPC 都不变,为36 cm 2.(3)①△QAP ∽△ABC ,∴AQ AB =AP BC .∴6-t 12=2t6. ∴t =1.2 s. ②△QAP ∽△CBA ,∴AQ BC =AP AB .∴6-t 6=2t 12.∴t =3 s. 即t 为1.2 s 或3 s 时,以Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.。
2017-2018高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定新人教B选修4-1(1)
证明比例线段或比例式通常利用三角形相似来解决,而证明 三角形相似,常利用圆内接四边形的性质寻找角之间的关系.
3.试证明:在圆内接四边形 ABCD 中, AC·BD=AD·BC+AB·CD.
证明:如图,在 AC 上取点 E,使∠ADE=∠1. 又∠3=∠4,∴△ADE∽△BDC.
∴AADE=BBDC,
(1)求证:FB=FC; (2)求证:FB2=FA·FD; (3)若 AB 是△ABC 外接圆的直径,∠EAC=120°,BC= 6 cm,求 AD 的长.
解:(1)证明:∵AD 平分∠EAC, ∴∠EAD=∠DAC. ∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB. ∴FB=FC. (2)证明:∵∠FAB=∠FCB=∠FBC, ∠AFB=∠BFD, ∴△FBA∽△FDB.∴FFDB=FFAB,∴FB2=FA·FD.
[精解详析] (1)连接 AE,AF,AC,AD, 则∠BDA=∠AEC,∠ACB=∠AFD. 又∵∠DBA=∠CBA,∴ AD= AE . ∴AD=AE,∴△ACE≌△AFD. 故 CE=DF. (2)由(1)∠BDA=∠AEC,∠ACB=∠AFD, 又∵DF=CE,∴△ACE≌△AFD, ∴AD=AE,∴∠DBA=∠CBA.
相切,切点为 A,∠MAB=35°,则∠D=
()
A.35° C.125°
B.90° D.150°
解析:连接 BD,则∠MAB=∠ADB=35°,∵BC 是⊙O 的直 径,∴∠BDC=90°,所以∠D=∠ADB+∠BDC=125°.
答பைடு நூலகம்:C
2.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,∠DCE=
50°,则∠BOD 等于
2018学年高中数学选修4-1课件:第1讲 相似三角形的判定及有关性质 第4节 精品
利用射影定理证明比例式
已 知 : 如 图 , △ABC 中 , ∠ACB = 90° , CD⊥AB 于 D , DE⊥AC 于 E,DF⊥BC于F.
求证:CD3=AE·BF·AB.
[思路点拨] ∠ACB=90°.CD⊥AB → CD2=AD·DB → CD3=AE·BF·AB
[解题过程] 证明:∵∠BCA=90°,CD⊥BA,
求树(AB)的高度为多少米?
1.射影 (1) 点 在 直 线 上 的 正 射 影 : 从 一 点 向 一 直 线 所 引 垂 线 的 ____垂__足____,叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影:线段的_两__个__端__点___在这条直线 上的___正__射__影___间的线段. (3)射影:点和线段的___正__射__影___简称为射影.
1.一个直角三角形的一条直角边为3 cm,斜边上的高为
2.4 cm,则这个直角三角形的面积为( )
A.7.2 cm2
B.6 cm2
C.12 cm2
D.24 cm2
解析: 长为 3 cm 的直角边在斜边上的射影为 32-2.42= 1.8 cm,故由射影定理知斜边长为13.28=5 cm,∴三角形的面积
2.射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是_两__直__角__边___在斜边上射影的比例 中项;两直角边分别是它们在___斜__边___上射影与__斜__边____的比 例中项.
(2)图形语言 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的
高,则有CD2=__A_D__·B__D___. AC2=__A__D_·_A_B___,BC2=___B_D_·_A_B___.
2.Rt△ABC中有正方形DEFG,点D、G分
2017-2018学年高中数学选修4-1课件人教A版1.3相似三角形的判定及性质1.3.2
������������
������������
������������
=
△������������������的周长 ������������ =3,故 =3. ������������ △������������������的周长 ������������ 2 ������������ 4 9 ������������ ������������ 2 3 ������������ ������������ 2 1
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
利用相似三角形的性质解决计算问题
【例 1】 (1)如图,在▱ABCD 中,点 E 在 AB 上,且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则
△������������������的周长 △������������������的周长
=
.
(2)如图,在△ABC 中,DE∥BC,S△ADE∶S△ABC=4∶9,则 AE∶ EC= .
2.相似三角形的性质
学 习 目 标 1.掌握相似三角形 的性质. 2.能利用相似三角 形的性质解决有关 问题.
思 维 脉 络 相似三角形的性质定理 相似三角形外接圆的性质
相似三角形的性质
1.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比 都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 名师点拨相似三角形性质的运用: (1)证明线段成比例、角相等、线段相等、线段的垂直、平分等; (2)计算边长、周长、角度、面积、图形的面积比等.
探究一
讲相似三角形的判定及有关性质第直角三角形的射影定理ppt
02
直角三角形射影定理
射影定理定义
射影定理定义
射影定理是指在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的 比例中项。
定理的数学表达
如果直角三角形ABC中,角A是直角,BC是斜边,AB和AC是两条直角边,那 么AB和AC在斜边BC上的射影的比等于BC与AB和AC的比。
射影定理证明方法
01 方法一
利用相似三角形证明
02 证明过程
03 方法二
利用面积法证明
可以利用三角形ABC和三角形 AB'C'(其中A'B'是AB在斜边BC上 的射影)相似。得到 AB'/A'B=AC/AC'。再根据射影的 定义。得到AB'/A'B=BC/AB
04 证明过程
可以利用三角形面积公式。得到 S(ABC)=1/2*AB*AC*sinA。 S(A'B'C')=1/2*A'B'*A'C'*sinA。 根据射影的定义
而得到射影等于(6×8)/10=4.8。 • 应用二:解决物理问题 • 应用场景:当需要求解或证明光学、力学等物理问题时,可以利用射影定理来求解或证明。 • 应用实例:在一根直杆上挂有一根绳子,绳子的一端固定在地面上,另一端通过一个定滑轮与重物相连,
求绳子在地面上的投影长度。 • 应用方法:根据射影定理,可以得到绳子在地面上的投影与地面上绳子投影的比例中项等于绳子与重物的
讲相似三角形的判定及有关 性质第直角三角形的射影定
理ppt 2023-10-29
contents
目录
• 相似三角形判定及性质 • 直角三角形射影定理 • 案例分析 • 总结与展望
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4_1
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
12
1.射影
从一点向一条直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的
正射影.一条线段的两个端点在一条直线上的正射影之间的线段,叫
做这条线段在这条直线上的正射影.点和线段的正射影简称为射影.
【做一做1】 线段MN在直线l上的射影不可能是 ( )
������△������������������ ������△������������������
=
������������ ������������
=
������������������������22.
12
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
又∵AC=3,AD=2,
∴AB=
������������2 ������������
=
92.
答案:
9 2
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理 可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
D典例透析 IANLI TOUXI
【做一做2-1】 如图,已知在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D, 且CD=4,则AD·DB等于( )
A.16 B.4 C.2 D.不确定
解析:∵AC⊥CB,CD⊥AB, ∴AD·DB=CD2. 又∵CD=4,∴AD·DB=42=16.
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质本讲整合课件新人教A版选修4
(2)DE·DC=AE·BD.
证明(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC.又
BC=CB,∴△ABC≌△DCB.
(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,
∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB.
∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.
又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.
2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例.
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所
得的对应线段成比例.
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
例1如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,过点O作AB的平行线,
2
与AD,BC分别交于点E,F,与CD的延长线交于点K,则
比例中项.
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
例3如图所示,在Rt△ABC中有正方形DEFG,点D,G分别在AB,AC
上,点E,F在斜边BC上,求证:EF2=BE·FC.
证明
如图所示,过点A作AH⊥BC于点H,
则DE∥AH∥GF.
知识网络
专题一
专题二
专题三
=
,
= .
1
= 4 , = .
1
所以 16 = 4,即 BM=4.取 BC 的中点 P,
知识网络
专题一
专题二
专题归纳
高考体验
专题三
作 PQ∥DH 交 EH 于 Q,如图,则 PQ 是梯形 ADHE 的中位线,
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修4-1
3.如图所示,线段 AB 的两个端点 A 和 B 在直线 MN 上的正射影分别是 A′和 B′,线段 A′B′是线段 AB 在 直线 MN 上的正射影.特别地,如果线段 AB 垂直于直线 MN,那么 AB 在 ,在 Rt△ABC 中,AC⊥CB,CD⊥AB 于
证明:因为 CD 垂直平分 AB, 所以△ACD 和△BED 均为直角三角形,并且 AD= DB, 又因为 DF⊥AC,DG⊥BE,
运用射影定理时,要注意其成立的条件,要结合图 形去记忆定理.当所给条件中具备运用定理的条件时, 可直接运用定理,有时也可通过作垂线使之满足定理运 用的条件,再运用定理.在处理一些综合问题时,常常 与相似三角形的知识相联系,要注意它们的综合运用.
所以由射影定理可得 AC2=AD·AB=AD(AD+3).
4.在△ABC 中,∠A=90°,AD⊥BC 于点 D,AD =6,BD=12,则 CD=________,AC=__________,AB2∶ AC2=__________.
解析:如图所示, AB2=AD2+BD2,
又因为 AD=6,BD=12,
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
[知识提炼·梳理]
1.射影 (1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线 的垂足. (2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条 直线上的正射影间的线段. (3)点和线段的正射影简称为射影.
以上给出了一些图形的变式,不要把正射影理解为只 是由一点向水平线引垂线的特殊情形.
[变式训练] 如图所示,在△ABC 中, D、F 分别在 AC、BC 上,且 AB⊥AC, AF⊥BC,BD=DC=FC=1,求 AC.
解:在△ABC 中,设 AC 为 x, 因为 AB⊥AC,AF⊥BC,又 FC=1,
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 1.3 相
(2)若它们的面积差是 420 cm2,则这两个三角形的面 积分别为________和________.
答案:(1)80 cm 40 cm (2)560 cm2 140 cm2
5.两相似三角形的相似比为 1∶3,则其外接圆的半 径之比为________,内切圆的周长之比为________.
2.有关边长、面积的计算,若已知三角形相似,可 以直接应用相似三角形的性质进行求解;但有时需要先证 明两个三角形相似,然后再利用相似三角形的性质求解.
[迁移探究 1] (改变问法)典例 1 条件不变,试求ABFC. 解:由典例解析知 S△AEF=( m- n)2. 因为△AEF∽△BEC,
所以ABFC2=SS△△BAEECF=(
(2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比, 外接圆的面积比等于相似比的平方.
温馨提示 应用相似三角形的性质一定要注意“对 应”:高、中线必须是对应边的高、中线,角平分线必须 是对应角的角平分线,否则得出的结论就可能是错误的.
m- m
n)2 ,
所以ABFC=
m- m
n =1-
n m.
[ 迁 移 探 究 2] (改 变 条 件 )将 “S△ DCF = n” 改 为 “DC∶AE=3∶2”,其他条件不变,结果又如何?
解:因为 AE∥CD,所以△AEF∽△DCF. 又因为 DC∶AE=3∶2, 所以 S△DCF∶S△AEF=9∶4. 因为 AB=DC,所以 AB∶AE=3∶2,
解:因为 AE∥CD,所以△AEF∽△DCF. 因为 AF∥BC,所以△AEF∽△BEC, 所以△BEC∽△DCF. 又 S△BEC=m,S△DCF=n, 所以ECCF2=SS△△DBECCF=mn ,
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质本讲综述素材 新人教A版选修41
第一讲相似三角形的判定及有关性质
本讲综述
在本讲中主要学习平行线分线段成比例定理及其推论,相似三角形、相似比等概念,相似三角形的判定定理和性质定理,直角三角形中的射影定理等,通过这些定理的学习,把握数学中的转化思想,提高逻辑思维能力.
本讲的重点是相似三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形中的射影定理,难点是证明相似三角形时如何寻求相似的条件,利用射影定理探讨线段之间的关系.
在本讲的探究证明中,掌握从特殊到一般和化归的思想方法,学会解决问题的程序模式.通过具体问题的解决,训练自己的逻辑推理技能,提高逻辑思维能力,进一步形成对数学的浓厚兴趣,发展对数学的深层认识.
学习本讲内容之前,需要回顾平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定和性质,通过类比,理解平行线分线段成比例定理及其推论,理解相似三角形的判定定理和性质定理,事实上,全等是相似比为1的相似.
学习好本讲的关键是在三角形中寻找相似的条件,通常先找两个角对应相等,再找一个角对应相等,夹这个角的两边对应成比例;或找三边对应成比例.
学习本讲可以采用类比的方法,将相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质对比,这将有助于知识的理解与记忆.从特殊到一般的思考方法及化归的思想方法是本讲研究数学问题的重要方法,学习中要注意体会.
学习本讲时应注意特别强调证明,从问题的特殊性发现一般性结论后,必须对结论进行严格的证明,在证明过程中形成逻辑推理技能,提高逻辑思维能力;在发现和证明问题的过程中提高解决问题的能力.
1。
2018学年高中数学人教A版课件选修4-1 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第1讲 3 1 精品
图 1-3-6
【自主解答】 ∵DE∥BC, ∴GFCE=AAGF=DFGB ,即DGGE=CFBF. 又∵DF∥AC,∴EHHB=CFBF. ∴DGGE =EHHB,∴GEDE=EEHB . 又∠GEH=∠DEB,∴△EGH∽△EDB, ∴∠EHG=∠EBD,∴GH∥AB.
1.由平行线可以得到比例式,由比例式也可以确定两直线 的平行关系.
【自主解答】 ∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠C=∠BAD,Rt△ADB∽Rt△CDA, ∴AACB=BADD. 又∵E 是 AC 的中点,∴AE=DE=EC, ∴∠DAE=∠ADE,∴∠BAD=∠BDF. 又∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD. ∴BADD=DAFF, 即AACB=DAFF.
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图 1-3-11 【证明】 因为∠DAE=120°,△ABC 是等边三角形, 所以∠ABE=120°=∠DAE, 又∠E 为公共角, 在△EAB 和△EDA 中,有两组对应角相等,所以△EAB∽△EDA.
我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
2.给出下列四个命题:
①三边对应成比例的两个三角形相似;
②一个角对应相等的两个直角三角形相似;
③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似;
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质4直角三角形的射影定理课件新人教A版选修41
我还有这些不足: (1) __________________________________________________ (2) _________________________________________________ 我的课下提升方案: (1) _________________________________________________ (2) _________________________________________________
图 1-4-7
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【解析】 设圆 O 的直径 AB=2R,则 AD=23R,DO=R3,DB=43R.
由相交弦定理,得
CD2=AD·DB,所以
CD=2
3
2 R.
在 Rt△CDO 中,CO=R,由射影定理可得 EO=DCOO2=R9,
于是 CE=R-R9=89R,故ECOE=8. 【答案】 8
第八页,共29页。
1.解答本题(1)时,关键是把ABDD转化为BACC2. 2.解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角三角形 中有关线段的长度.在解题时,要紧抓线段比之间的关系及线 段的平方与乘积相等这些条件,紧扣等式结构形式,达到最终 目的.
第九页,共29页。
[再练一题] 1.如图 1-4-3,在 Rt△ABC 中,CD 为斜边 AB 上的高,若 AD=2 cm,DB =6 cm,求 CD,AC,BC 的长.
第六页,共29页。
[小组合作型]
与射影定理有关的计算 已知 CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高,如果两直角边 AC, BC 的长度比为 AC∶BC=3∶4. (1)求 AD∶BD 的值; (2)若 AB=25 cm,求 CD 的长. 【精彩点拨】 先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值; 再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值.最后由射影定理 CD2=AD·BD,求得 CD 的长.
高中数学 第一章 相似三角形的判定及有关性 1.4 直角三角形的射影定理教案1 新人教A版选修41
1 A A ′M N N A A ′ B ′ M直角三角形的射影定理教学目标(一) 知识与技能1.能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题;2.通过对射影定理的探究,使学生经历探索数学问题的过程,逐步形成探究问题的意识,发展探究问题的能力.(二)过程与方法借助相似三角形的判定定理及性质定理,采用小组探究的方式,推导出射影定理.(三)情感态度与价值观通过小组活动,让学生体验合作学习的愉悦,培养学生团队合作精神.教学重点 射影定理的证明.教学难点 建立三角形以外的和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系.教学方法 师生协作共同探究法.教学用具 黑板 多媒体教学过程设计一 复习引入 在前面的学习中,大家已经知道了射影,请作出点A 及线段AB 在直线MN 上的射影.如图,⊿ABC 是直角三角形,CD 为斜边AB 上的高.显然,AB 、BD 分别是AC 、CD 在斜边AD 上的射影.二 新知探究如图,⊿ABC 是直角三角形,CD 为斜边AB 上的高.提出问题: 1.在这个图形中,有哪几组相似三角形?(三组:⊿ACD 与⊿CBD ,⊿BDC 与⊿BCA ,⊿CDA 与⊿BCA )2.把学生分为三组,分组讨论:结合相似三角形对应边成比例的性质,寻找每组三角形中的线段长度关系:⊿ACD 与⊿CBD 中,CD 2= AD ·BD ,⊿BDC 与⊿BCA 中,BC 2= BD ·AB ,⊿CDA 与⊿BCA 中,AC 2= AD ·AB .CB A B D2b这三个关系式形式完全一样,但不便于记忆,因此,在这里教师适时引导学生结合射影定义及图像,观察三个关系式的特点,在此基础上,即可得出射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.三 例题分析例1 如图,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D .AD=2,DB=8,求CD 、AC 和BC 的长.解:∵∠ACB 是半圆上的圆周角,∴∠ACB=90°,即⊿ABC 是直角三角形.由射影定理可得:CD 2=AD ·BD=2×8=16,解得CD=4;AC 2=AD ·AB=2×10=20,解得AC=25; BC 2=BD ·AB=8×10=80,解得BC= 45.例2 如图,⊿ABC 中,顶点C 在AB 边上的射影为D ,且CD 2=AD ·BD .求 证:⊿ABC 是直角三角形.证明:在⊿CDA 和⊿BDC 中,∵点C 在AB 上的射影为D ,∴CD ⊥AB .∴∠CDA=∠BDC=90°.又∵CD 2=AD ·BD ,∴AD:CD=CD:DB .∴⊿CDA ∽⊿BDC .在⊿ACD 中, ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°. ∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°.∴⊿ABC 是直角三角形.(该例题表明,射影定理的逆定理也是成立的.学生在这个命题的证明中,可能对如何建立条件与结论之间的关系有些困难.教学中可从如下两方面来引导:①“射影”总是与“垂直”相伴,由此可以与“直角三角形”相联系;②我们往往将等式CD 2=AD ·BD 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” .学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了.)四 课堂练习1 在⊿ABC 中,∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高.已知CD=60,AD=25,求BD 、AB 、AC 、BCa A D C A D OB C B的长.(直接运用射影定理.)2 如图,已知线段a、b,求作线段a和b的比例中项.(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同作图方法.)五课堂小结(引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳.)1 知识内容:掌握射影定理及其逆定理,并能熟练运用.2 思想方法:化归.六课后作业1 基础训练:在⊿ABC中,∠C=90°, CD⊥AB,垂足为D,AC=12,BC=5,求CD的长.2 小组探究:请学生以四人学习小组为单位,探究是否还有其它的方法来证明射影定理.(培养学生的创造性思维及团结协作的能力.)3。
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.4直角三角形的射影定理a41a高二41数学
思维辨析
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么(nàme)这个三角形是直角三角形. (
)
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做一做2 如图,在Rt△ABC中,∠C是直角(zhíjiǎo),CD⊥AB于点D,若AD=4,BD=2,
则CD=
,AC=
,BC=
高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 三 相似三角形的判定及性质教材梳理素材 新人教A版选修41
三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、三角形相似的预备定理在初中,我们已经学过相似三角形的知识,其定义是如果两个三角形的对应角相等,对应边成比例,那么称这两个三角形相似.对于三角形相似,其中对应边的比值叫做相似比(或相似系数).利用上一节所学的平行线分线段成比例定理,可得预备定理:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形和原三角形相似.其原理如下:如图1-3-2,△ABC 中,DE∥BC,则由平行线分线段成比例定理,有BCDEAC AE AB AD ==,而由DE∥BC,易得∠D=∠B,∠E=∠C,又∠A 是公共角,所以△ABC 与△ADE 具备相似的条件,即△ABC 中,若DE∥BC,则△ABC∽△ADE.图1-3-2二、相似三角形的判定方法 判定两个三角形相似的方法有:(1)定义法,即对应边成比例,对应角相等的三角形是相似三角形.当然有了判定定理后,就不用定义判定了,这是因为定义中的条件太多,实际上并不需要.(2)平行法,即平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似.这就是预备定理.最常用的是判定定理,即①判定定理1:两角对应相等,两三角形相似;②判定定理2:两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似;③判定定理3:三边对应成比例,两三角形相似.方法点拨 在这些判定方法中,应用最多的是判定定理1,即两角对应相等,两三角形相似.因为它的条件最容易寻求,实际证明当中,要特别注意两个三角形的公共角.在连续两次证明相似时,在第二次使用判定定理2的情况较多.辨析比较 对于直角三角形相似的判定,除以上方法外,还有其他特殊的方法: (1)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似;(2)如果一个直角三角形的一条直角边和斜边与另外一个直角三角形的直角边和斜边对应成比例,那么这两个直角三角形相似;(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件的利用. 三、相似三角形的性质如果两个三角形相似,那么它们的形状相同,只在大小上有所区别,这两个三角形的对应元素之间有很重要的关系,分别是:(1)相似三角形对应角相等,对应边成比例;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形的周长比等于相似比;(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方;(5)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.利用这些关系,可以进行各种各样的求值和证明.问题·探究问题在初中,我们已经学过全等三角形,两个全等三角形的大小、形状是完全一样的,相似三角形是形状相同但大小不一样的三角形,显然,当两个相似三角形的相似比为1的时候,相似三角形就成了全等三角形,那么,这两者之间有哪些联系和差别呢?思路:鉴于相似三角形和全等三角形的类似点,在学习相似三角形的性质时,可以类比全等三角形的性质来研究.们研究相似三角形的性质的时候,切记从相似比入手即可,涉及到线段的比均等于相似比,只有面积的比是相似比的平方.典题·热题例1如图1-3-3,在△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,AE⊥AD交CB延长线于点E,则下列结论正确的是()图1-3-3A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC思路分析:本题考查相似三角形的判定,根据相似三角形的判定方法,用排除法结合条件易选出正确选项.答案:C深化升华判定三角形相似,首先考虑两角对应相等,特别是当图形中只有角的关系时,常常通过角的转换实现角的相等关系,还应该多注意公共角这一隐含条件的使用.例2如图1-3-4所示,已知D是△ABC中AB边上的一点,DE∥BC且交AC于E,EF∥AB且交BC于F,且S△ADE=1,S△EFC=4,则四边形BFED的面积等于()图1-3-4A.2B.4C.5D.9思路分析:由题易得△ADE∽△EFC,S△ADE∶S△EFC=1∶4,∴AE∶EC=1∶2,AE∶AC=1∶3.∴S△ADE∶S△ABC=1∶9.∴S BFED=5.答案:C例3如图1-3-5,已知在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 是角平分线,试利用三角形相似的关系说明AD 2=DC·AC.图1-3-5思路分析:有一个角是36°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线, ∴∠CBD=36°,则可推出△ABC∽△BCD,进而由相似三角形的对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明:∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=72°. 又∵BD 平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°.∴AD=BD=BC,且△ABC∽△BCD.∴BC∶AB=CD∶BC.∴BC 2=AB·CD.∴AD 2=AC·CD.深化升华 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式ab=cd 或平方式a 2=bc ,一般都是先证明比例式b dc a =或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例4如图1-3-6,已知在△ABC 中,D 是BC 边上的中点,且AD=AC ,DE⊥BC,DE 与AB 相交于点E ,EC 与AD 相交于点F.图1-3-6(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若S △FCD =5,BC =10,求DE 的长.思路分析:第(1)问,∵AD=AC,∴∠ACB=∠CDF.又D 是BC 中点,ED⊥BC, ∴∠B=∠ECD.∴△ABC∽△FCD.第(2)问利用相似三角形的性质,作AM⊥BC 于M ,易知S △ABC =4S △FCD . ∴S △ABC =20,AM=4.又∵AM∥ED,∴BMBDAM ED =,再根据等腰三角形的性质及中点,可以求出DE.也可运用△ABC∽△FCD,由相似比为2,证出F 是AD 的中点,通过“两三角形等底等高,则面积相等”,求出S △ABC =20.(1)证明:∵DE⊥BC,D 是BC 中点,∴EB=EC.∴∠B=∠1. 又∵AD=AC,∴∠2=∠ACB.∴△ABC∽△FCD. (2)解法一:过点A 作AM⊥BC,垂足为点M. ∵△ABC∽△FCD,BC=2CD ,∴)(CDBC S S FCD ABC =∆∆ 2=4. 又∵S △FCD =5,∴S △ABC =20.∵S △ABC =21BC·AM,BC=10,∴20=21×10×AM.∴AM=4. 又∵DE∥AM,∴BMBDAM ED =. ∵DM=21DC=25,BM=BD +DM ,BD=21BC=5,∴25554+=DE ∴DE=38. 解法二:作FH⊥BC,垂足为点H.图1-3-7∵S △FCD =21DC·FH,又∵S △FCD =5,DC=21BC=5, ∴5=21×5×FH.∴FH=2. 过点A 作AM⊥BC,垂足为点M ,∵△ABC∽△FCD,∴BC DC AM FH ==21.∴AM=4. 又∵FH∥AM,∴AM FH DM DH ==42=21. ∴点H 是DM 的中点.又∵FH∥DE,∴DCHCDE FH =. ∵HC=HM+MC=415,∴54152=DE .∴DE=38.例5如图1-3-8,小明欲测量一座古塔的高度,他站在该塔的影子上前后移动,直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠,此时他距离该塔18 m ,已知小明的身高是1.6 m ,他的影长是2 m.图1-3-8(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似?为什么? (2)求古塔的高度.思路分析:由题意,知△ABC 与△ADE 相似,这是因为两个三角形均为直角三角形,并且这两个三角形有一个公共角,由判定定理可得相似,利用对应边成比例,可以获得塔高.解:(1)△ABC∽△ADE.理由如下:∵BC⊥AE,DE⊥AE,∴∠ACB=∠AED=90°. ∵∠A=∠A,∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE,∴DEBCAE AC =. ∵AC=2 m ,AE =2+18=20(m),BC =1.6 m. ∴DE6.1202=.∴DE=16. 答:古塔的高度为16 m.例6一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米,面积为1.5平方米,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面,甲、乙两位同学的加工方法分别如图1-3-9(1)、(2)所示.那么哪位同学的加工方法符合要求?说说你的理由(加工损耗忽略不计,计算结果中的分数可保留).(1) (2)图1-3-9思路分析:两个图形中均有相似三角形,图(1)中CB CD AB DE =,即225.1xx -=,可得正方形的边长,图(2)中可运用相似比等于对应高的比列出等式,进而求出正方形的边长.解:由AB=1.5米,S △ABC =1.5平方米,得BC=2米.如图1-3-9(1),若设甲加工的桌面边长为x 米,由DE∥AB,推出Rt△CDE∽Rt△CBA,可求出x=76米. 如图1-3-9(2),过点B 作Rt△ABC 斜边上的高BH ,交DE 于P ,交AC 于H. 由AB=1.5米,BC=2米,S △ABC =1.5平方米,得AC=2.5米,BH=1.2米. 设乙加工的桌面边长为y 米, ∵DE∥AC,∴Rt△BDE∽Rt△BAC. ∴AC DE BH BP =,即5.22.12.1y y =-.解之,得y=3730353076>=,即x>y,x 2>y 2, ∴甲同学的加工方法符合要求.深化升华 在三角形中有平行于一边的直线时,通常考虑三角形相似,利用比值获得线段的长或三角形的面积.。
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四角三角形的射影定理[对应学生用书P14]1.射影(1)点在直线上的正射影:从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影:线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.(3)射影:点和线段的正射影简称为射影.2.射影定理(1)文字语言:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.(2)图形语言:如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,则有CD2=AD·BD,AC2=AD·AB,BC2=BD·AB.[对应学生用书P14][例1] 如图,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,若AD=2 cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.[思路点拨] 在直角三角形内求线段的长度,可考虑使用勾股定理和射影定理.[解] ∵CD2=AD·DB=2×6=12,∴CD=12=23(cm).∵AC2=AD·AB=2×(2+6)=16,∴AC=16=4(cm).∵BC2=BD·AB=6×(2+6)=48,∴BC=48=43(cm).故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.(1)在Rt△ABC中,共有AC、BC、CD、AD、BD和AB六条线段,已知其中任意两条,便可求出其余四条.(2)射影定理中每个等积式中含三条线段,若已知两条可求出第三条.1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是AB上的高.已知BD=4,AB=29,试求出图中其他未知线段的长.解:由射影定理,得BC2=BD·AB,∴BC=BD·AB=4×29=229.又∵AD=AB-BD=29-4=25.且AC2=AB2-BC2,∴AC=AB2-BC2=292-4×29=529.∵CD2=AD·BD,∴CD=AD·BD=25×4=10.2.已知:CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,如果两直角边AC,BC的长度比为AC∶BC =3∶4.求:(1)AD∶BD的值;(2)若AB=25 cm,求CD的长.解:(1)∵AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,∴AD·AB BD·AB=AC2BC2.∴ADBD=(ACBC)2=(34)2=916.(2)∵AB=25 cm,AD∶BD=9∶16,∴AD=99+16×25=9(cm),BD=169+16×25=16(cm).∴CD=AD·BD=9×16=12(cm).[例2]BE,F、G分别为垂足.求证:AF·AC=BG·BE.[思路点拨] 先将图分解成两个基本图形(1)(2),再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论.[证明] ∵CD 垂直平分AB ,∴△ACD 和△BDE 均为直角三角形,且AD =BD . 又∵DF ⊥AC ,DG ⊥BE , ∴AF ·AC =AD 2,BG ·BE =DB 2.∵AD 2=DB 2, ∴AF ·AC =BG ·BE .将原图分成两部分来看,就可以分别在两个三角形中运用射影定理,实现了沟通两个比例式的目的.在求解此类问题时,关键就是把握基本图形,从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明.3.如图所示,设CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高.求证:CA ·CD =BC ·AD . 证明:由射影定理知:CD 2=AD ·BD , CA 2=AD ·AB , BC 2=BD ·AB .∴CA ·CD =AD 2·BD ·AB =AD ·BD ·AB ,BC ·AD =AD ·AB ·BD .即CA ·CD =BC ·AD .4.Rt △ABC 中有正方形DEFG ,点D 、G 分别在AB 、AC 上,E 、F 在斜边BC 上.求证:EF 2=BE ·FC . 证明:过点A 作AH ⊥BC 于H .则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH =BE BH ,GF AH =FC CH.∴DE ·GF AH 2=BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2=BH ·CH , ∴DE ·GF =BE ·FC . 而DE =GF =EF , ∴EF 2=BE ·FC .[对应学生用书P15]一、选择题1.已知Rt △ABC 中,斜边AB =5 cm ,BC =2 cm ,D 为AC 上一点,DE ⊥AB 交AB 于E ,且AD =3.2 cm ,则DE =( )A .1.24 cmB .1.26 cmC .1.28 cmD .1.3 cm解析:如图,∵∠A =∠A ,∴Rt △ADE ∽Rt △ABC , ∴AD AB =DE BC,DE =AD ·BC AB =3.2×25=1.28.答案:C2.已知直角三角形中两直角边的比为1∶2,则它们在斜边上的射影比为( ) A .1∶2 B .2∶1 C .1∶4D .4∶1解析:设直角三角形两直角边长分别为1和2,则斜边长为5,∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45.答案:C3.一个直角三角形的一条直角边为3 cm ,斜边上的高为2.4 cm ,则这个直角三角形的面积为( )A .7.2 cm 2B .6 cm 2C .12 cm 2D .24 cm 2解析:长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32-2.42=1.8(cm),由射影定理知斜边长为321.8=5(cm),∴三角形面积为12×5×2.4=6(cm 2).答案:B4.如图所示,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,D 为垂足,若CD=6 cm ,AD ∶DB =1∶2,则AD 的值是( )A .6 cmB .3 2 cmC .18 cmD .3 6 cm解析:∵AD ∶DB =1∶2, ∴可设AD =t ,DB =2t .又∵CD 2=AD ·DB ,∴36=t ·2t ,∴2t 2=36,∴t =32(cm),即AD =3 2 cm. 答案:B 二、填空题5.若等腰直角三角形的一条直角边长为1,则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________.解析:射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长. 答案: 26.如图所示,四边形ABCD 是矩形,∠BEF =90°,①②③④这四个三角形能相似的是________.解析:因为四边形ABCD 为矩形, 所以∠A =∠D =90°.因为∠BEF =90°,所以∠1+∠2=90°. 因为∠2+∠3=90°,所以∠1=∠3. 所以△ABE ∽△DEF . 答案:①③7.在△ABC 中,∠A =90°,AD ⊥BC 于点D ,AD =6,BD =12,则CD =__________,AC =__________,AB 2∶AC 2=__________.解析:如图,AB 2=AD 2+BD 2,又AD =6,BD =12, ∴AB =6 5.由射影定理可得,AB 2=BD ·BC ,∴BC =AB 2BD=15.∴CD =BC -BD =15-12=3.由射影定理可得,AC 2=CD ·BC , ∴AC =3×15=3 5.∴AB 2AC 2=BD ·BC CD ·BC =BD CD =123=4. 答案:3 3 5 4∶1 三、解答题8.如图:在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,DE 是Rt △BCD 斜边BC 上的高,若BE =6,CE =2.求AD 的长是多少.解:因为在Rt △BCD 中,DE ⊥BC ,所以由射影定理可得:CD 2=CE ·BC , 所以CD 2=16, 因为BD 2=BE ·BC , 所以BD =6×8=4 3.因为在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,所以由射影定理可得:CD 2=AD ·BD ,所以AD =CD 2BD =1643=433.9.如图,在△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,且CD 2=AD ·BD ,求证:∠ACB =90°.证明:∵CD ⊥AB , ∴∠CDA =∠BDC =90°. 又∵CD 2=AD ·BD , 即AD ∶CD =CD ∶BD ,∴△ACD ∽△CBD .∴∠CAD =∠BCD . 又∵∠ACD +∠CAD =90°, ∴∠ACB =∠ACD +∠BCD =∠ACD +∠CAD =90°.10.已知直角三角形周长为48 cm ,一锐角平分线分对边为3∶5两部分. (1)求直角三角形的三边长; (2)求两直角边在斜边上的射影的长.解:(1)如图,设CD =3x ,BD =5x ,则BC =8x , 过D 作DE ⊥AB , 由题意可得,DE =3x ,BE =4x ,∴AE +AC +12x =48. 又AE =AC ,∴AC =24-6x ,AB =24-2x . ∴(24-6x )2+(8x )2=(24-2x )2, 解得:x 1=0(舍去),x 2=2. ∴AB =20,AC =12,BC =16, ∴三边长分别为:20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于F 点, ∴AC 2=AF ·AB .∴AF =AC 2AB =12220=365(cm);同理:BF =BC 2AB =16220=645(cm).∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ,645cm.[对应学生用书P16]近两年高考中,由于各地的要求不同,所以试题的呈现形式也不同.但都主要考查相似三角形的判定与性质,射影定理,平行线分线段成比例定理;一般试题难度不大,解题中要注意观察图形特点,巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果.在使用平行线分线段成比例定理及其推论时,一定要搞清有关线段或边的对应关系,切忌搞错比例关系.1.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB =4,CD =2,E ,F 分别为AD ,BC 上的点,且EF =3,EF ∥AB ,则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________.解析:由CD =2,AB =4,EF =3, 得EF =12(CD +AB ),∴EF 是梯形ABCD 的中位线,则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高,设为h , 于是两梯形的面积比为 12(3+4)h ∶12(2+3)h =7∶5. 答案:7∶52.如图,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ,点D 在半径OC 上的射影为E .若AB =3AD ,则CEEO的值为________.解析:连接AC ,BC ,则∠ACB =90°. 设AD =2,则AB =6, 于是BD =4,OD =1.如图,由射影定理得CD 2=AD ·BD =8,则CD =2 2. 在Rt △OCD 中,DE =OD ·CD OC =1×223=223. 则CE =DC 2-DE 2=8-89=83, EO =OC -CE =3-83=13.因此CE EO =8313=8.答案:8[对应学生用书P16]直线上截得的线段所呈现的规律,主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法,其中,平行线等分线段定理是线段的比为1的特例.[例1] 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,DH ∥GC . 求证:EG ∥BH .[证明] ∵DE ∥BC , ∴AE AC =AD AB. ∵DH ∥GC ,∴AH AC =ADAG.∴AE ·AB =AC ·AD =AH ·AG . ∴AE AH =AGAB.∴EG ∥BH .[例2] 如图,直线l 分别交△ABC 的边BC ,CA ,AB 于点D ,E ,F ,且AF =13AB ,BD =52BC ,试求EC AE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ,并作EG ∥AB 交BC 于点G ,由平行截割定理,知BF CN =DB DC ,CN AF =ECAE,两式相乘,得BF CN ·CN AF =DB DC ·ECAE,即EC AE =BF AF ·DC DB.又由AF =13AB ,得BFAF =2,由BD =52BC ,得DC DB =35,所以EC AE =2×35=65.角关系.其应用非常广泛,涉及到多种题型,可用来计算线段、角的大小,也可用来证明线段、角之间的关系,还可以证明直线之间的位置关系.其中,三角形全等是三角形相似的特殊情况.[例3] 如图所示,AD 、CF 是△ABC 的两条高线,在AB 上取一点P ,使AP =AD ,再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证:PQ =CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线,∴∠ADB =∠BFC =90°. 又∠B =∠B ,∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF =AB CB.又∵PQ ∥BC ,∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC =AP AB .∴AP PQ =AB BC .∴AD CF =APPQ.又∵AP =AD ,∴CF =PQ .[例4] 四边形ABCD 中,AB ∥CD ,CE 平分∠BCD ,CE ⊥AD 于点E ,DE =2AE ,若△CED 的面积为1,求四边形ABCE 的面积.[解] 如图,延长CB 、DA 交于点F ,又CE 平分∠BCD ,CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形,E 为FD 的中点. ∴S △FCD =12FD ·CE=12×2ED ·CE =2S △CED =2,EF =ED =2AE .∴FA =AE =14FD .又∵AB ∥CD , ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD =(FA FD )2=(14)2=116. ∴S △FBA =116×S △FCD =18.∴S 四边形ABCE =S △FCD -S △CED -S △FBA =2-1-18=78.系,此定理常作为计算与证明的依据,在运用射影定理时,要特别注意弄清射影与直角边的对应关系,分清比例中项,否则在做题中极易出错.[例5] 如图,在△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,DE ⊥AC 于E ,EF ⊥AB 于F .求证:CE 2=BD ·DF .[证明] ∵∠ACB =90°,DE ⊥AC , ∴DE ∥BC .∴BD CE =ABAC.同理:CD ∥EF ,∴CE DF =ACAD.∵∠ACB =90°,CD ⊥AB , ∴AC 2=AD ·AB . ∴AC AD =AB AC . ∴CE DF =BD CE. ∴CE 2=BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间:90分钟,满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图,已知AA ′∥BB ′∥CC ′,AB ∶BC =1∶3,那么下列等式成立的是( )A .AB =2A ′B ′ B .3A ′B ′=B ′C ′ C .BC =B ′C ′D .AB =A ′B ′解析:∵AA ′∥BB ′∥CC ′,∴AB BC =A ′B ′B ′C ′=13.∴3A ′B ′=B ′C ′. 答案:B2.如图,∠ACB =90°.CD ⊥AB 于D ,AD =3、CD =2,则AC ∶BC 的值是( )A .3∶2B .9∶4 C.3∶ 2D.2∶ 3解析:Rt △ACD ∽Rt △CBD ,∴AC BC =AD CD =32.答案:A3.在Rt △ABC 中,CD 为斜边AB 上的高,若BD =3 cm ,AC =2 cm ,则CD 和BC 的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B .1 cm 和 3 cm C .1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析:设AD =x ,则由射影定理得x (x +3)=4, 即x =1(负值舍去), 则CD =AD ·BD =3(cm),BC =BD ·AB =+=23(cm).答案:D4.如图,在△ABC 中,∠BAC =90°,AD 是斜边BC 上的高,DE 是△ACD的高,且AC =5,CD =2,则DE 的值为( )A.2215 B.215 C.3215D.2125解析:AC 2=CD ·BC , 即52=2×BC , ∴BC =252.∴AB =BC 2-AC 2=2524-52=5212. ∵DE AB =DC BC ,∴DE =2215. 答案:A5.如图所示,给出下列条件:①∠B =∠ACD ;②∠ADC =∠ACB ;③AC CD =ABBC;④AC 2=AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A .1B .2C .3D .4解析:①由∠B =∠ACD ,再加上公共角∠A =∠A ,可得两个三角形相似;②由∠ADC =∠ACB ,再加上公共角∠A =∠A ,可得两个三角形相似;③AC CD =ABBC,而夹角不一定相等,所以两个三角形不一定相似;④AC 2=AD ·AB 可得AC AD =ABAC,再加上公共角∠A =∠A ,可得两个三角形相似.答案:C6.如图,DE ∥BC ,S △ADE ∶S 四边形DBCE =1∶8,则AD ∶DB 的值为( )A .1∶4B .1∶3C .1∶2D .1∶5解析:由S △ADE ∶S 四边形DBCE =1∶8 得S △ADE ∶S △ABC =1∶9. ∵DE ∥BC , ∴△ADE ∽△ABC . ∴(AD AB)2=S △ADE S △ABC =19. ∴AD AB =13,AD DB =12. 答案:C7.△ABC 和△DEF 满足下列条件,其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A .∠A =∠D =45°38′,∠C =26°22′,∠E =108° B .AB =1,AC =1.5,BC =2,DE =12,EF =8,DF =16 C .BC =a ,AC =b ,AB =c ,DE =a ,EF =b ,DF =c D .AB =AC ,DE =DF ,∠A =∠D =40° 解析:A 中∠A =∠D ,∠B =∠E =108°, ∴△ABC ∽△DEF ;B 中AB ∶AC ∶BC =EF ∶DE ∶DF =2∶3∶4; ∴△ABC ∽△EFD ; D 中AB AC =DE DF,∠A =∠D , ∴△ABC ∽△DEF ;而C 中不能保证三边对应成比例. 答案:C8.在Rt △ACB 中,∠C =90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD =1∶4,则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D .2解析:由射影定理得CD 2=AD ·BD ,又BD ∶AD =1∶4.令BD =x ,则AD =4x (x >0), ∴CD 2=4x 2,∴CD =2x ,tan ∠BCD =BD CD =x 2x =12.答案:C9.在▱ABCD 中,E 为CD 上一点,DE ∶CE =2∶3,连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ,则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF =( )A .4∶10∶25B .4∶9∶25C .2∶3∶5D .2∶5∶25解析:∵AB ∥CD , ∴△ABF ∽△EDF .∴DE AB =DF FB =25. ∴S △DEF S △ABF =(25)2=425. 又△DEF 和△BEF 等高. ∴S △DEF S △EBF =DF FB =25=410. 答案:A10.如图,已知a ∥b ,AF BF =35,BCCD=3.则AE ∶EC =( )A.125 B.512C.75D.57解析:∵a ∥b ,∴AE EC =AG CD ,AF BF =AGBD.∵BC CD=3,∴BC =3CD ,∴BD =4CD .又AF BF =35,∴AG BD =AF BF =35.∴AG 4CD =35.∴AG CD =125. ∴AE EC =AG CD =125. 答案:A二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上) 11.如图,D ,E 分别是△ABC 边AB ,AC 上的点,且DE ∥BC ,BD =2AD ,那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________.解析:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC .∵BD =2AD ,∴AB =3AD .∴AD AB =13.∴△ADE 的周长△ABC 的周长=AD AB =13.答案:1312.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,DF ∥AC ,AE ∶AC =3∶5,DE =6,则BF =________.解析:∵DE ∥BC ,∴DE BC =AE AC ,∴BC =DE ·AC AE =6×53=10, 又DF ∥AC ,∴DE =FC =6. ∴BF =BC -FC =4. 答案:413.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,BE 与CD 相交于点O ,直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ,若DN ∶MC =1∶4,则NE ∶BM =________,AE ∶EC =________.解析:OD OC =DN MC =14,∴OE OB =OD OC =14.∴NE BM =OE OB =14. 又DE BC =OD OC =14, ∴AE AC =DE BC =14. ∴AE ∶EC =1∶3. 答案:1∶4 1∶314.阳光通过窗口照到室内,在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示),已知亮区一边到窗下的墙角距离CE =8.7 m ,窗口高AB =1.8 m ,那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析:∵BD ∥AE ,∴BC AB =CDDE. ∴BC =AB ·CDDE. ∵AB =1.8 m ,DE =2.7 m ,CE =8.7 m , ∴CD =CE -DE =8.7-2.7=6(m). ∴BC =1.8×62.7=4(m).答案:4三、解答题(本大题共4个小题,满分50分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分12分)如图,△ABC 中,BC 的中点为D ,∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证:MN ∥BC .证明:∵MD 平分∠ADB , ∴AD BD =AM MB.∵ND 平分∠ADC ,∴AD DC =AN NC. ∵BD =DC ,∴AM MB =AD BD =AD DC =AN NC. ∴MN ∥BC .16.(本小题满分12分)如图,已知:△ABC 中,AB =AC ,AD 是中线,P 是AD 上一点,过C 作CF ∥AB ,延长BP 交AC 于E ,交CF 于F ,求证:BP 2=PE ·PF .证明:连接PC , ∵AB =AC ,AD 是中线,∴AD 是△ABC 的对称轴, 故PC =PB , ∠PCE =∠ABP . ∵CF ∥AB , ∴∠PFC =∠ABP , 故∠PCE =∠PFC , ∵∠CPE =∠FPC , ∴△EPC ∽△CPF , 故PC PF =PE PC, 即PC 2=PE ·PF , ∴BP 2=PE ·PF .17.(本小题满分12分)如图,四边形ABCD 是平行四边形,P 是BD 上任意一点,过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ,交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证:PE ·PG =PF ·PH ;(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时,请判断PE 、PC 、PG 的关系,并给出证明.解:(1)证明:∵AB ∥CD ,∴PE PF =PB PD. ∵AD ∥BC ,∴PH PG =PBPD,∴PE PF =PH PG.∴PE ·PG =PH ·PF . (2)关系式为PC 2=PE ·PG .证明:由题意可得到右图, ∵AB ∥CD ,∴PE PC =PB PD. ∵AD ∥BC ,∴PC PG =PBPD.∴PE PC =PC PG,即PC 2=PE ·PG .18.(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元,计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图).(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花,单位为8元/m 2,当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元,请计算种满△BMC 地带所需的费用;(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择,单价分别为12元/m 2和10元/m 2,应选择种哪种花木,刚好用完所筹集的资金?解:(1)∵四边形ABCD 为梯形,∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ,∴S △AMD S △CMB =(AD BC )2=14. ∵种植△AMD 地带花费160元, ∴S △AMD =1608=20(m 2).∴S △CMB =80(m 2).∴△CMB 地带的花费为80×8=640元. (2)S △ABM S △AMD =BM DM =BCAD=2, ∴S △ABM =2S △AMD =40(m 2). 同理:S △DMC =40(m 2).所剩资金为:1600-160-640=800元, 而800÷(S △ABM +S △DMC )=10(元/m 2). 故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金.。