几何图形与平面图形
图形与几何初中知识点总结
图形与几何初中知识点总结图形与几何是初中数学的一个重要部分，其中包括平面图形、空间图形、几何相似、三角形、圆等知识点。
本文将对这些知识点进行总结。
一、平面图形1.矩形：四边都是直角的四边形，对边平行且相等。
周长为2a+2b，面积为ab。
2.正方形：四边均相等，对边是平行且相等的。
周长为4a，面积为a²。
3.平行四边形：对边平行，且相等。
周长为2a+2b，面积为ah。
4.梯形：两个底分别是a和b，两腰分别是c和d，高为h。
周长为a+b+c+d，面积为(h/2)×(a+b)。
5.菱形：四边均相等，对角线相等且平分角。
周长为4a，面积为(d1×d2)/2。
二、空间图形1.立方体：六个面都是正方形，每个角都是直角。
体积为a³，表面积为6a²。
2.正方体：六个面都是正方形，每个角都是直角。
体积为a³，表面积为6a²。
3.长方体：六个面都是矩形，每个角都是直角。
体积为ab×h，表面积为2ab+2ah+2bh。
4.棱锥：一个底是正方形，其他部分都是四个三角形。
体积为(a²h)/3，表面积为a√(a²+4h²)+2a²。
5.棱柱：底面为正方形，侧面是矩形。
体积为a²h，表面积为2a²+4ah。
6.圆锥：底面是圆形，侧面为三角形。
体积为(πr²h)/3，表面积为πr(r+√(r²+h²))。
7.圆柱：底面是圆形，侧面为矩形。
体积为πr²h，表面积为2πr²+2πrh。
三、几何相似几何相似是指两个图形的形状相似，但是大小不同。
当两个图形相似时，它们的对应边长成比例，对应角度相等。
1.相似三角形：两个三角形如果它们的对应角度相等，并且对应边长成比例，那么它们是相似的。
如果两个三角形相似，那么它们的面积也成比例。
2.黄金分割：在一个等边三角形中，将一条边分成两个线段，他们的比为黄金分割比1:1.618。
几何图形(基础)知识点讲解
几何图形（基础）知识讲解【学习目标】1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；3. 理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图形剖析常见几何体的形成过程.【要点梳理】要点一、几何图形1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．要点诠释：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形(1)立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体，圆柱，圆锥，球等.(2)平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．要点诠释：(1)常见的立体图形有两种分类方法：(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、从不同方向看从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．要点三、简单立体图形的展开图有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可得到。
根据26个形状(三年级几何上册)
根据26个形状(三年级几何上册)根据26个形状（三年级几何上册）
三年级几何上册研究的一个重要内容就是认识各种形状，其中包括了26种常见的平面图形。
下面我们来逐一了解这些形状。
一、三角形
三角形是由连个较短的线段与一个较长线段组成的平面图形。
三角形有许多分类方法，比如按照其边长和角的大小。
常见的三角形有等腰三角形、直角三角形等。
二、四边形
四边形是具有四条边的平面图形。
其中，平行四边形的对边相等且平行；矩形是一种特殊的平行四边形，它的对角线长度相等，且各角为直角；正方形同样是矩形的一种，具有四条边和四个角都相等的特点；梯形则是仅有一组对边平行的四边形。
三、正多边形
正多边形指所有边和角都相等的多边形，其边数至少为3。
最
常见的正多边形是三角形、正方形和五边形。
四、圆形
圆形是具有同心圆的平面图形。
圆形的特点是圆心到任意一点
的距离相等，这个距离称为半径；圆心到圆上任意一点所在的圆周
的距离为直径。
圆形常见的参数有周长和面积。
五、其他图形
此外，在三年级的几何上册中还会研究到一些其他的平面图形，比如弧形、扇形、椭圆等。
这些图形的特点各不相同，但同样重要。
以上就是三年级几何上册学习的26种图形，希望对你有所帮助。
平面图形与立体图形的区别与应用
平面图形与立体图形的区别与应用图形是我们生活中不可或缺的一部分，它们以不同的形状和结构存在于我们的周围。
平面图形和立体图形是两种常见的图形形式，它们在几何学和实际应用中有着不同的特点和用途。
本文将探讨平面图形与立体图形的区别，并介绍它们在实际生活中的应用。
首先，平面图形是二维的，只有长度和宽度两个维度，没有厚度。
平面图形可以用纸或者屏幕上的绘图工具进行绘制，如矩形、三角形、圆形等。
它们的特点是具有明确的边界和平面内部的形状，可以用数学方法进行精确描述和计算。
平面图形在几何学中有广泛的应用，如计算面积、周长等。
相比之下，立体图形是三维的，具有长度、宽度和高度三个维度。
立体图形有立体感，可以在空间中存在，并且有实际的体积。
常见的立体图形有立方体、球体、圆柱体等。
立体图形的特点是可以从各个角度观察，并且可以有不同的表面和内部结构。
立体图形在实际生活中有广泛的应用，如建筑设计、工程制图等。
平面图形和立体图形在应用中有着不同的用途。
平面图形主要用于描述和计算平面内的形状和属性。
例如，我们可以使用平面图形计算房间的面积，绘制地图来表示地理信息等。
平面图形还可以用于设计和制作平面艺术品，如绘画、装饰等。
平面图形的应用范围广泛，几乎涉及到各个领域。
而立体图形则主要用于描述和计算立体物体的形状和属性。
立体图形在建筑设计中起着重要的作用，可以帮助设计师更好地理解和展示建筑物的外观和内部结构。
在工程制图中，立体图形可以帮助工程师和技术人员更好地理解和分析机械零件的结构和功能。
此外，立体图形还在医学成像、计算机图形学等领域有广泛的应用。
除了几何学和实际应用，平面图形和立体图形还在艺术和设计中发挥着重要的作用。
平面图形可以用于绘画、平面设计等艺术形式，它们的形状和颜色可以传达不同的情感和意义。
立体图形在雕塑、建筑设计等领域有着独特的表现力，可以通过形状和空间的变化来创造出丰富的艺术效果。
总结起来，平面图形和立体图形是两种不同的图形形式，它们在几何学和实际应用中有着不同的特点和用途。
4[1]11立体图形与平面图形1
![4[1]11立体图形与平面图形1](https://img.taocdn.com/s3/m/2d8b5b0c02d276a201292e40.png)
将下面的几何图形分为两组
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有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等. 有些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形. 如线段、角、三角形、长方形、圆等.
(打“√”或“×”) (1)球与圆都是平面图形.( × ) (2)如图所示的图形中有3个立体图形.( √ )
【解析】选B.圆柱从正面和左面看到的均是长方形，从上面看 到的是圆；长方体从三个方向看到的均是长方形；选项C从正 面和左面看到的均是梯形，从上面看到的是圆环；选项D从正 面和左面看到的均是三角形，从上面看到的是“ ”.
4.(2012·玉林中考)下列几何体中，从正面、左面、上面看到 的图形都相同的是( )
【解析】(1)观察可知共有5个正方体. (2)S表＝5×6a2-10a2=20a2.
题组二：立体图形的展开图 1.(2012·天门中考)将如图所示表面带有图案的正方体沿某些 棱展开后，得到的图形是( )
【解析】选C.由正方体可知三种图案不能在一行或一列，故排 除A项、B项；若五角星在圆的下面，则正方形在圆的右面， 故D项不正确.
【总结提升】立体图形与展开图 同一个立体图形，按不同方式展开得到的展开图不一定一样，
因此，一个立体图形的展开图并不是唯一确定的.但是无论是哪 种方式的展开图将其围成的立体图形都是同一个.
5.(2012·吉林中考)如图，由5个完全相同的小正方体组合成 一个立体图形，从上面看到的图形是( )
【解析】选A.从上面看到的图形，共分两行两列四个正方形.
解：（1）按柱、锥、球来分：长方 体、正方体、圆柱、棱柱是柱体。圆锥 棱锥是锥体。球是球体。
（2） 按平面和曲面来分：长方体、
正方体、棱柱、棱锥只有平面。圆柱、 圆锥、球至少有一个曲面。
第一节 简单几何图形(含答案)...七年级数学 学而思
第一节简单几何图形1．基本概念(1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何，图形；(2)立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形：(3)平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，他们是平面图形；(4)从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形，往往会得到不同形状的平面图形：(5)展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．2．点、线、面、体(1)几何体也可简称为体，如：长方体、正方体等；(2)包围着体的是面，面有平面和曲面两种；(3)面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种：(4)线与线相交成点；(5)点动成线、线动成面、面动成体；(6)几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素3．基本图形4．欧拉公式简单多面体的顶点数V ，面数F 及棱数E 之间的关系为：.2=-+E F V”“141)1(--型（六种）”“132)2(--型（三种）；”“33)3(-型（一种）；”“222)4(--型（一种）；6．截一个几何体截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状随截法的不同而改变，一般为多边形或圆，也可能是不规则图形．1．当一个平面去截一个几何体时，一般的截面与几何体的几个面相交就得到几条交线，截面就是几边形，因此，若一个几何体有几个面，则截面最多为几边形．2．牢记圆柱体的侧面展开图是矩形或者正方形；直棱柱的侧面展开图也是矩形或者正方形；圆锥的侧面展开图形扇形，不可能是圆3．正方形的十一种展开图中，3-3型2-2-2型”只有一种．（河北中考）图4-1-1和图4-1-2所示中所有的正方形都全等，将图4-1-1的正方形放在图4-1-2中的①②③④例1．某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是( )1-4--24-11.B C.③④.D①⋅.A②检测1．下面图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )例2．一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数为( ).C19.D.A2120.B22检测2．正十二面体的棱数与顶点数之差为( ).C9.D.B1012.A11例3．把如图4-1-3所示的纸片按虚线折叠成纸盒，可以得到( )314--检测3．（福建建阳市模拟）明明用纸（如图414--所示）折成了一个正方体的盒子，里面装了一瓶墨水，与其他空盒子混放在一起，只凭观察，选出墨水在哪个盒子中( )414-- 514--例4．（江苏下城区校级模拟）用一个平面去截正方体，截得的平面图形是矩形，这时正方体被截成的两部分可以是6面体和6面体（如图4-1-5所示）．如果截法不同，那么被截成两部分的多面体还可以是（ ）检测4．用一个平面去截一个正方体，最多会有( )种不同边数的截面．4.A5.B6.C7.D例5．（山东聊城模拟）过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图4-1-7所示的几何体，其展开图正确的为( )714--检测5．（江苏省竞赛题）图814--是图914--中立方体的平面展开图，两图中的箭头位置和方向是一致的，那么图814--中的线段AB 与图914--中对应的线段是( )e A . h B . k C . d D .4---91814-第一节简单几何图形（建议用时：25分钟）实战演习1．以下图形中，不是平面图形的是( )A．圆 B.角 C.圆锥 D．线段2．下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是( )3．如图114--所示是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图，那么在原正方体中和“国”字相对的面是( )A ．中 B.钓 C.鱼 D ．岛4．如图214--所示的正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开（外表面朝上），展开图可能是( )5．如图4-1-3所示是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是（包装材料厚度不计） 704040.⨯⨯A 807070.⨯⨯B 808080.C ⨯⨯ 807040.D ⨯⨯6．下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是( )7．（北京丰台一模）将一正方体纸盒沿如图414--所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为( )正方体纸盒 纸盒剪裁线 8．如图514--所示是一个正方体的平面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b c a -的值等于( ) 43.-A 6.-B 43.C 6.D 9．如图614--所示，有一个正方体纸巾盒，它的平面展开图是( )10.（北京中考）如图714--所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是( )114--214--314--414--514--614--714--11．将一边长为2的正方形纸片折成四部分，再沿折痕折起来，恰好能不重叠地搭建成一个三棱锥，则三棱锥四个面中最小的面积是( )1.A 23.B 21.C 32.D 12．如图814--所示，这个几何体的名称是 ，它是由 个面组成，它有 个顶点，经过每个顶点有 条边．814-- 914-- 1014--13．从棱长为2的正方体毛坯的一角，挖去一个棱长为1的小正方体，得到一个如图914--所示的零件，则这个零件的表面积为14．（江苏盐城校级一模）有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图1014--所示的顺时针方向滚动，每滚动ο90算一次，则滚动第2014次后，骰子朝下一面的点数是15．（湖北荆州中考）如图1114--所示，将一张边长为6cm 的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 .2cm1114-- 1214--16．阅读下面的材料：1750年，欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用F E ,,V 分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有.2=+-F E V 这个发现，就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：据资料介绍：60C 是一种由60个碳原子构成的分子，这种分子的微观结构是个多面体，形似足球，故名足球烯，60C 具有金属光泽，有许多优异性能，如超导、强磁性、耐高压、抗化学腐蚀等，在光、电、磁等领域有潜在的应用前景如图1214--所示，已知足球烯的分子具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形．那么，这种多面体的棱数是17．有一块长为,50cm 宽为cm 10的废铁皮，准备用它来加工一些棱长为cm 10的无盖正方体铁盒，怎样下料，才能使得加工的盒子数最多；最多有几个．18.指出下列平面图形各是什么几何体的展开图．拓展创新19.（江苏句容市期末）一个正方体的表面涂满了同种颜色，按如图1314--所示将它切成27个大小相等的小立方块．设其中仅有i 个面涂有颜色的小立方块的个数为,2,1(=i x i ),3则321,,x x x 之间的数量关系为1314-- 1414--拓展1．如图1414--所示，一个333⨯⨯的魔方，每个小正方体的边长为1，从上层拿掉最中间的一个小正方体，则剩下的几何体的表面积为拓展2．在拓展1的条件下，从上层拿掉一个小正方体，则剩下的几何体的表面积为极限挑战20.将一个正方体的表面全涂上颜色．(1)如图1514--所示，如果把正方体的棱2等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到8个小正方体，设其中3面被涂上颜色的有a 个，则=a(2)如图1614--所示，如果把正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到27个小正方体，设这些小正方体中有3个面涂有颜色的有a 个，各个面都没有涂色的有b 个，则=+b a(3)如图1714--所示，如果把正方体的棱4等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到64个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c 个，各个面都没有涂色的有b 个，则=+b c(4)如果把正方体的棱n 等分，然后沿等分线把正方体切开，能够得到 个小正方体．设这些小正方体中有2个面涂有颜色的有c 个，各个面都没有涂色的有b 个，则c =+b1514-- 1614-- 1714--课堂答案培优答案。
4.1.1 立体图形与平面图形
从正面看
从上面看 从左面看
【跟踪训练】
分别将下列四个物体与其相应的从上面看到的图 连接起来：
温馨提示：为更好地满足您的学习和使用需求，课件在下载后可以自由编辑，请您根据实际情况进行调整！Thank you for
把你手中的立体图形沿棱展开，看它的平面展 开图是什么?
长方体
展开
圆柱
展开
圆锥
展开
A
B
C
D
13. 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何 体．那么从哪个方向看得到的图形中面积最小（ ）
A.从正面看
B.从左面看
C.从上面看
D.三种一样
【解析】选B.从正面看是由5个小正方形构成的平面图形；
从左面看是由3个小正方形构成的平面图形；从上面看是由
5个小正方形构成的平面图形.
14.（宁波·中考）骰子是一种特别的数字立方体(如
象出熟悉的几何体吗？
根据上述实物，我们想象出熟悉的几何体是：
长方体
正方体
圆柱体
球
4.1.1 立体图形与平面图形
圆锥体
有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、 球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.
常见的立体图形
长方体 正方体
圆柱
圆锥 球
【例题】
下列实物与给出的哪个立体图形对应？
C.圆
D.长方形
3.如图所示，将下列图形与对应的图形名称用线连 接起来.
4.下列图形中，都是柱体的一组是（ C ）
5．长方形、正方形、圆等都是 平面 图形. 6．写出下列几何体的名称．
三棱柱
三棱锥
圆锥
7．下列图形中为圆柱的是（ D ）．
8．埃及金字塔类似于几何体（ C ）．
2022年人教版七年级上册数学第四章几何图形初步单元教案
第四章几何图形初步4.1几何图形4.1.1立体图形与平面图形第1课时认识几何图形◇教学目标◇【知识与技能】1.通过实物和具体模型,认识从实物中抽象出来的几何图形;2.了解立体图形和平面图形的概念,并能归纳常见的立体图形和平面图形.【过程与方法】经历探索立体图形与平面图形之间的关系,发展空间观念.【情感、态度与价值观】体会把实物抽象出几何图形的过程.◇教学重难点◇【教学重点】识别一些基本几何图形.【教学难点】认识从物体外形抽象出来的几何图形.◇教学过程◇一、情境导入观察下图中的“鸟巢”,你能抽象出熟悉的几何图形吗?二、合作探究探究点立体图形与平面图形典例1下列图形中不是立体图形的是()A.四棱锥B.长方形C.长方体D.正方体[解析]几何图形的各部分不都在同一平面内的图形叫立体图形,几何图形的各部分都在同一平面内的图形叫平面图形.由定义可知A,C,D均为立体图形.[答案] B下列各组图形中都是平面图形的一组是()A.三角形、圆、球、圆锥B.点、线段、数学书的封面、长方体C.点、三角形、四边形、圆D.点、直线、线段、正方体[答案] C典例2将下列的几何体进行分类,并说出每个几何体的名称.[解析]分别根据柱体、锥体、球体的定义进行分类.[答案]柱体有(1)(2)(4)(7);锥体有(5)(6);球体有(3).(1)长方体(四棱柱);(2)三棱柱;(3)球;(4)圆柱;(5)圆锥;(6)四棱锥;(7)六棱柱.将下列几何体分类,柱体有;锥体有.(只填序号)[答案]①②③⑤⑥三、板书设计认识几何图形立体图形{柱体{棱柱圆柱锥体{棱锥圆锥台体{棱台圆台球体:球◇教学反思◇本节课的内容较简单,课堂上通过动手操作培养学生动手操作能力,同时也加深了学生对立体图形和平面图形的认识;通过自主探究活动,让学生感受图形的形状特点,提升学生的空间想象能力.第2课时折叠、展开与从不同方向观察立体图形◇教学目标◇【知识与技能】1.会识别从正面、左面、上面看物体所得的平面图形;2.会画一些常见几何体及简单组合体从正面、左面、上面看物体所得的平面图形;3.直观认识简单立体图形的平面展开图.【过程与方法】在平面图形和立体图形的相互转化中,初步发展空间观念,发展几何直觉.【情感、态度价值观】通过探讨现实生活中的实物制作,激发学生学习的热情.【情感、态度与价值观】培养敢于面对困难的精神,感受几何图形的美感.◇教学重难点◇【教学重点】识别、画出简单几何体从正面、左面、上面看物体所得的平面图形,了解直棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的平面展开图.【教学难点】由从正面、左面、上面看物体所得的平面图形,还原为实物图,根据平面展开图想象相应的几何体.◇教学过程◇一、情境导入对于一些立体图形的问题,常把它们转化为平面图形来研究处理,从不同的方向看立体图形,往往会得到不同形状的平面图形.例如放在桌面上的茶杯,从不同侧面得到不同的图形,你能用学过的诗句描述这种现象吗?二、合作探究探究点1会从正面、左面、上面看物体所得的平面图形典例1如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的,从正面看得到的图形是()[答案] D下列水平放置的四个几何体中,从正面看得到的图形与其他三个不相同的是()[答案] D典例2一个几何体由大小相同的小方块搭成,从上面看到的几何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数字表示在该位置的小方块的个数,则从正面看到几何体的形状图是()[答案] D探究点2会画从正面、左面、上面看物体所得的平面图形典例3如图是由4个大小相等的正方体搭成的几何体,你能画出从正面、左面、上面看得到的平面图形吗?[解析]从正面、左面、上面看得到的平面图形分别如图所示:探究点3探究立体图形的展开图典例4如图所示,下列四个选项中,不是正方体表面展开图的是()[答案] C三、板书设计折叠、展开与从不同方向观察立体图形1.从不同的方向观察立体图形2.立体图形的展开图◇教学反思◇本节课的内容有点难度,主要是培养学生的空间观念和空间想象力.应鼓励学生多动手画图,让学生自主探索立体图形与平面图形之间的对应关系.4.1.2点、线、面、体◇教学目标◇【知识与技能】1.认识点、线、面、体的几何特征,感受它们之间的关系;2.探索点、线、面运动后形成的几何图形.【过程与方法】培养学生操作、观察、分析、猜测和概括等能力,同时渗透转化、化归、变换的思想.【情感、态度与价值观】培养学生积极主动的学习态度和自主学习的方式.◇教学重难点◇【教学重点】了解点、线、面、体是组成几何图形的基本元素,认识点、线、面、体的几何特征,感受它们之间的关系.【教学难点】探索点、线、面运动后形成的几何图形.◇教学过程◇一、情境导入如图是一个长方体,它有几个面?面和面相交的地方形成了几条棱?棱和棱相交成几个顶点?二、合作探究探究点1从静态角度认识点、线、面、体典例1如图所示的几何体是由几个面围成的?面与面相交成几条线?它们是直的还是曲的?[解析] 从图中可以看出该几何体由4个面组成,4个面相交成6条线,有2条是曲的.圆柱由 面围成,它有 个底面,是平的,有 个侧面,是曲的,底面与侧面相交形成的线有 条,是 (填“直的”或“曲的”). [答案] 3 2 1 两 曲的探究点2 从动态角度认识点、线、面、体典例2 将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体为 ()[解析] 圆柱是由一长方形绕其一边长旋转而成的;圆锥是由一直角三角形绕其直角边旋转而成的;C 中该几何体是由直角梯形绕其下底旋转而成的;D 中该几何体是由直角三角形绕其斜边旋转而成的. [答案] D如图所示的图形绕虚线旋转一周,所形成的几何体是 ( )[答案] B 三、板书设计点、线、面、体点、线、面、体{定义关系{静态关系动态关系◇教学反思◇本节课在学生已有的数学知识基础上,由学生自己观察、发现、探究从对点的认识到对线、面、体的进一步认识,使学生经历运用图形描述现实世界的过程,进一步发展学生的抽象思维能力.4.2直线、射线、线段第1课时直线、射线、线段的概念◇教学目标◇【知识与技能】理解直线、射线、线段的概念及它们的联系与区别,掌握它们的表示方法.【过程与方法】能在现实情境中,进行抽象的数学思考,提高抽象概括能力.【情感、态度与价值观】体验通过实验获得数学猜想,得到直线性质的过程.◇教学重难点◇【教学重点】理解直线、射线、线段的概念、表示方法及它们的联系与区别.【教学难点】直线、射线、线段的表示方法;实现文字、图形、符号三种语言的相互转化.◇教学过程◇一、情境导入我们在小学已经学过线段、射线和直线,你能说说它们的区别和联系吗?二、合作探究探究点1探究直线的性质典例1下列语句中正确的个数是 ()①延长直线AB;②延长射线OA;③在线段AB的延长线上取一点C;④延长线段BA至C,使AC=AB.A.1个B.2个C.3个D.4个[答案] B探究点2线段在生活中的应用典例2我们知道,若线段上取一个点(不与两个端点重合,以下同),则图中线段的条数为1+2=3条;若线段上取两个点,则图中线段的条数为1+2+3=6条;若线段上取三个点,则图中线段的条数为1+2+3+4=10条…请用你找到的规律解决下列实际问题:杭甬铁路(即杭州——宁波)上有萧山,绍兴,上虞,余姚4个中途站,则车站需要印制的不同种类的火车票为()A.6种B.15种C.20种D.30种[解析]车票需要考虑往返情况,故有2(1+2+3+4+5)=30.[答案] D乘火车从A站出发,沿途经过3个车站方可到达B站,那么A、B两站之间需要制定种不同的票价.[答案]10三、板书设计直线、射线、线段的概念直线、射线、线段{直线:无端点,无长度射线:一端点,无长度线段:两端点,有长度◇教学反思◇本节课是学生学习几何图形知识的基础,这堂课需要掌握的知识点多,而且比较抽象,教师在教学时要体现新课程的三维目标,并在有效地利用学生已有的旧知来引导学生学习新知.第2课时线段的比较◇教学目标◇【知识与技能】1.了解尺规作图的概念,会用尺规作图作一条线段等于已知线段;了解度量线段的两种方法,对线段进行大小比较.2.理解线段中点的概念,利用和、差、倍、分关系计算线段的长度.【过程与方法】经历画图的数学活动过程,提高学生的动手操作与实践能力.【情感、态度价值观】体会数学是解决实际问题的重要工具,通过对解决问题过程的反思,懂得知识源于生活并用于生活.◇教学重难点◇【教学重点】线段的大小比较,利用和、差、倍、分关系计算线段的长度.【教学难点】线段的等分点表示方法及运用.◇教学过程◇一、情境导入小明和小华在比身高,以下是他们的对话:小明:“我身高1.5 m.”小华:“我身高1.53 m,比你高3 cm.”怎样比较两条线段的长短呢?你能从比身高上受到一些启发吗?二、合作探究探究点1尺规作图典例1如图,已知线段a,b,c(a>b),用圆规和直尺画线段,使它等于a-b+2c.[解析]如图所示:线段AE=a-b+2c.探究点2探索比较线段长短的方法典例2A,B,C三点在同一直线上,线段AB=5 cm,BC=4 cm,那么线段AC的长度是()A.1 cmB.9 cmC.1 cm或9 cmD.以上答案都不对[解析]第一种情况:C点在AB之间上,故AC=AB-BC=1 cm;第二种情况:当C点在AB的延长线上时,AC=AB+BC=9 cm.[答案] C三、板书设计线段的比较线段的长短比较{度量法叠合法◇教学反思◇教师要尝试让学生自主学习,优化课堂数学的反馈与评价,通过评价激发学生的求知欲,坚定学生学习的自信心.第3课时线段的性质◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握“两点之间,线段最短”的性质,并能熟练应用;2.理解两点的距离,并能计算线段中两点的距离.【过程与方法】经历画图的数学活动过程,提高学生的动手操作与实践能力.【情感、态度价值观】体验通过实验获得数学猜想,得到直线性质的过程.◇教学重难点◇【教学重点】掌握“两点之间,线段最短”的性质及应用.【教学难点】两点的距离定义及计算.◇教学过程◇一、情境导入如图,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线.二、合作探究探究点1探究线段性质典例1如图所示,设A,B,C,D为4个村庄,现在需要在四个村庄中间建一个自来水中心,请你确定一个点,使这4个村庄的居民到该中心的距离之和最小.[解析]如图,连接AC,BD交于O点,此时距离之和AC+BD为最小.如图所示,A,B是两个村庄,若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水,问水泵站应修在河边的什么位置,才能使铺设的管道最短,并说明理由.[解析]如图所示,根据两点之间,线段最短,连接AB,交l于O点,则O点为水泵站位置.“两点之间,线段最短”这一定理在生活中有许多应用,例如修高速路时,隧道将路变直;铺水管时,走最短的路线等.探究点2两点间的距离典例2已知线段AB=10 cm,点C在直线AB上,试探讨下列问题:(1)是否存在一点C,使它到A,B两点的距离之和等于8 cm?并说明理由;(2)是否存在一点C,使它到A,B两点的距离之和等于10 cm?若存在,它的位置是唯一的吗?(3)当点C到A,B两点距离之和等于20 cm,试说明点C的位置,并举例说明.[解析](1)根据两点之间,线段最短,AC+BC最短距离为10 cm,故不存在合条件的点.(2)存在,这样的点不唯一,线段AB上任意一点均满足条件.(3)存在,在A、B两点外5 cm处的点均满足条件.三、板书设计线段的性质1.线段性质:两点之间线段最短2.两点的距离:连接两点间的线段的长度,叫做这两点间的距离◇教学反思◇本节课通过引导学生主动参与学习过程,探究出线段的性质,从中培养学生动手和合作交流的能力,解决生活中的数学问题是为了进一步巩固两点之间的距离的意义,渗透数形结合思想解决线段长问题,渗透分类讨论思想,训练学生思维严谨性.4.3角4.3.1角◇教学目标◇【知识与技能】1.从实例中建立角的概念,从静态和动态两方面理解角的形成,掌握角的两种定义形式;2.掌握角的四种表示方法,角的度量单位及其换算.【过程与方法】提高学生的识图的能力,学会用运动变化的观点看问题.【情感、态度与价值观】保持学习兴趣,养成积极探索的精神和合作意识,感受数学的价值.◇教学重难点◇【教学重点】角的概念与角的表示方法.【教学难点】角的度量单位及其换算.◇教学过程◇一、情境导入时钟的时针、分针组成的形状是?二、合作探究探究点1探究角的定义及表示方法典例1看图解答下列问题:(1)以A为顶点共有几个角?如何表示?(2)以D为顶点共有几个角?如何表示?(3)图中能用一个大写字母表示的角有几个?分别是哪些角?∠BAC能用∠A表示吗?为什么?(4)图中共有几个角?[解析](1)以A为顶点共有3个角,分别是∠3,∠4,∠BAC.(2)以D为顶点共有8个角,分别是∠5,∠6,∠BDA,∠7,∠EDC,∠8,∠ADG,∠BDG.(3)能用一个大写字母表示的角有2个,分别是∠B,∠C;∠BAC不能用∠A表示,因为以A为顶点的角不止一个角.(4)图中共有17个角.探究点2角的度量典例2(1)填空:①57.18°=度分秒;②17°31'48″=度.(2)解答:38°15'与38.15°相等吗?如不等,谁大?[解析](1)①571048②17.53(2)因为38.15°=38°9',38°9'<38°15',所以38°15'大.(1)36.33°可化为()A.36°30'3″B.36°33'C.36°30'30″D.36°19'48″(2)15°24'36″=°.[答案](1)D(2)15.41°【技巧点拨】用度、分、秒表示的角度和用度表示的角度的相互转化的过程正好相反:大单位化小单位乘以进率;而小单位化大单位要除以进率.三、板书设计角角{角的概念角的表示方法度、分、秒的换算◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下三个方面:首先,理解角的定义并掌握角的四种表示方法.其次,能够熟练进行度、分、秒的换算,为接下来角的和差运算打下良好的基础.最后,形成严谨的学习态度.4.3.2角的比较与运算◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握角的大小比较方法和角的和差运算;2.理解角平分线的定义及表示方法并能在实际情景中应用.【过程与方法】经历比较角的大小、用量角器画角平分线、用折纸法确定角平分线的过程,积累活动经验,培养动手操作能力.【情感、态度与价值观】让学生认识到用新知识构建新意义的过程,增强学生学习数学的愿望和信心,培养学生爱思考,善于交流的良好的学习习惯.◇教学重难点◇【教学重点】理解角平分线的定义.【教学难点】角平分线的定义、表示及应用.◇教学过程◇一、情境导入前面我们已经学习了比较两条线段的方法,那么怎样比较两个角的大小呢?二、合作探究探究点1角的大小比较典例1如图,射线OC,OD分别在直角∠AOB的内部,外部,则下列各式正确的是()A.∠AOB<∠BOCB.∠AOB=∠CODC.∠AOB<∠AODD.∠BOC>∠DOC[解析]∠BOC在∠AOB的内部,所以∠AOB>∠BOC,A错误;∠AOB与∠COD无重叠的边,∠AOB在∠AOD的内部,所以∠AOB<∠AOD,C正确;同理可得D错误.[答案] C探究点2探究角的和差运算典例2计算:(1)65°53'26″+37°14'53″;(2)106°27'30″-98°25'42″;(3)23°25'24″×4;(4)102°48'21″÷3.[解析](1)65°53'26″+37°14'53″=102°8'19″.(2)106°27'30″-98°25'42″=8°1'48″.(3)23°25'24″×4=93°41'36″.(4)102°48'21″÷3=34°16'7″.计算:(1)45°4'+2°58'=;(2)180°-72°55'=;(3)108°×5=;(4)180°26'÷5=.[答案](1)48°2'(2)107°5'(3)540°(4)36°5'12″探究点3探究角平分线的定义及表示典例3如图,OB 是∠AOC 的平分线,OD 是∠EOC 的平分线,如果∠AOE =130°,求∠BOD 的度数.[解析] 因为OB 是∠AOC 的平分线,OD 是∠EOC 的平分线,所以∠COB =12∠AOC ,∠COD =12∠COE ,所以∠BOD =∠COB +∠COD =12(∠AOC +∠COE )=12∠AOE =65°.三、板书设计角的比较与运算角的比较与运算{角的大小比较角的和差运算角平分线的定义及相关计算◇教学反思◇在讲授知识的过程中必须对旧的知识进行适当的复习,使学生能对角的知识有一个更深的记忆.在角的形象比较中,要努力引导学生的思维方向.重叠法是一个难点,但此法比较适用于实际中的比较.对于角度的计算要设计各个类型的教学.4.3.3余角和补角◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握余角、补角的定义、性质及应用;2.理解方位角的意义,会画方位角.【过程与方法】经历余角、补角性质的推导和应用过程,初步掌握图形语言与符号语言之间的相互转化,进一步提高识图能力,发展空间观念.【情感、态度与价值观】通过互余、互补性质的学习过程,培养善于观察、独立思考、合作交流的良好学习习惯.◇教学重难点◇【教学重点】方位角的辨析与应用.【教学难点】余角、补角的性质及应用.◇教学过程◇一、情境导入知识回顾(1)叙述直角、平角的概念.(2)画出直角、平角的图形.二、合作探究探究点1探究余角、补角的性质典例1点A,O,B在一直线上,射线OD,OE分别平分∠AOC和∠BOC.(1)图中互余的角有对;(2)∠3的补角是.[解析](1)由已知,∠1=∠2,∠3=∠4,且∠2+∠4=90°,所以互余的角有:∠1与∠3,∠1与∠4,∠2与∠3,∠2与∠4共4对;(2)∠3的补角是∠AOE.[答案](1)4(2)∠AOE探究点2角的计算还多1°,求这个角.典例2一个角的补角与这个角的余角的和是平角的34×180+1,解得[解析]设这个角为x°,则它的余角为(90-x)°,补角为(180-x)°,则(90-x+180-x)=34x=67.答:这个角为67°.,则这个角的度数是.一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的13[答案]60°探究点3方位角典例3如图,O点是学校所在位置,A村位于学校南偏东42°方向,B村位于学校北偏东25°方向,C村位于学校北偏西65°方向,在B村和C村间的公路OE(射线)平分∠BOC.(1)求∠AOE的度数;(2)公路OE上的车站D相对于学校O的方位是什么?(以正北、正南方向为基准)[解析](1)因为A村位于学校南偏东42°方向,所以∠1=42°,则∠2=48°.因为C村位于学校北偏西65°方向,所以∠COM=65°.因为B村位于学校北偏东25°方向,所以∠4=25°,所以∠BOC=90°.因为OE(射线)平分∠BOC,所以∠COE=45°,∠EOM==20°,所以∠AOE=20°+90°+48°=158°.(2)由(1)可得∠EOM=20°,则车站D相对于学校O的方位是北偏西20°.三、板书设计余角和补角余角和补角{余角、补角的性质余角、补角的计算方位角◇教学反思◇对于七年级学生来说,他们在生活中已有一定的确定位置的经验,方位角的概念、方位角的表示是学生在小学就有所了解的,但根据题意画出方位角以及运用方位角的知识确定点的方位是学生不熟悉的.。
第六章 几何图形初步 第一节 立体图形与平面图形
第六章 几何图形初步§6.1立体图形与平面图形【知识要点】1．我们把从实物中 出的各种图形统称为几何图形．2．各部分都．在同一平面内的几何图形是 ； 各部分不都．．在同一平面内的几何图形是 ． 3．立体图形类型一 几何图形的分类例1 请将如图所示的几何图形进行分类，①② ③ ④⑤ ⑥⑦ ⑧⑨ ⑩ ⑪ ⑫⑬ ⑭ ⑮其中平面图形有 ；立体图形有 ．一般来说，平面图形与立体图形的判断方法，可以通过定义判断，也可以通过有无虚线去判断．⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩棱柱柱体圆柱球体棱锥锥体圆锥练习1将正方体、圆锥、球、四棱柱四种几何体分类正确的是( )A ． 正方体、四棱柱是柱体，球是球体B ． 正方体、圆锥、四棱柱是柱体，球是球体C ． 正方体、四棱柱是立体图形，圆锥、球是平面图形D ． 正方体、球、圆锥、四棱柱都是柱体类型二 立体图形的分类例2 把下列物体和与其相似的几何图形连接起来，并指出哪些是柱体，哪些是锥体，哪些是球体？练习2下列立体图形中，属于棱柱的有( )个．① ② ③ ④ ⑤ ⑥类型三 平面图形的分类例3 如图所示是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有( )A ． 正方形、三角形、长方形、圆B ． 正方形、长方形、三角形、圆、梯形C ． 正方形、长方形、扇形、圆、梯形D ． 长方形、扇形、圆、梯形帐篷练习3下列立体图形：①三角形②长方形③正方形④圆⑤四棱锥⑥圆柱．其中属于平面图形的是( )A．①②④B．①②③C．①②⑥D．④⑤⑥类型四综合应用例4如图中各立体图形的名称是什么？他们的表面包含哪些平面图形？试指出这些平面图形在立体图形中的位置．练习4把下图中的几何体分类，并说明它们横截面的图形名称．补充知识棱台、圆台五棱台圆台。
立体图形与平面图形
立体图形与平面图形一、立体图形1. 柱体棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱.2. 锥体棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.圆锥：以直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥.3. 球体半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面所围成的几何体叫球体.4. 多面体围成棱柱和棱锥的面是平的面，像这样的立体图形叫多面体.棱柱有三棱柱、四棱柱、五棱柱等.棱锥也有三棱锥、四棱锥、五棱锥等.二. 画立体图形1. 三视图法从正面、上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，然后描绘三张所看到的图，即视图，这样就把一个物体转化为平面的图形.从正面看到的图形称为正视图；从上面看到的图形称为俯视图；从侧面看到的图形称为侧视图，按观察方向不同，有左视图，右视图.注:⑴正视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”；⑵正视图与侧视图的高度相等，且相互平齐，即“高平齐”；⑶俯视图与侧视图的宽度相等，即“宽相等”.2. 欧拉公式多面体具有的顶点数，棱数和面数满足欧拉公式：顶点数＋面数－棱数＝2三、柱体、锥体的展开名称几何体图形平面展开图底面形状侧面展开形状正方体正方形长方形圆锥圆扇形圆柱圆长方形四、常见几何体的主视图【典型例题】例1. 下列说法是否正确？正确的打“√”，不正确的打“×”，并简要说明理由.（1）柱体的上、下两个面一样大（2）圆柱和圆锥的底面都是圆，圆柱的侧面是长方形，圆锥的侧面是三角形（3）棱柱的底面是四边形，侧面可能是三角形（4）棱锥的侧面都是三角形（5）球体、圆柱、圆锥都不是多面体.分析：要对以上各种说法作出正确的判断，应从熟悉柱体、锥体、球体这些立体图形入手，把握它们各自的特征，弄清它们之间的区别.解：（1）√.柱体包括圆柱和棱柱.圆柱的两个底面都是大小一样的圆，棱柱两个底面都是一样大的三角形或多边形.（2）×.圆柱和圆锥的侧面都是弯曲的面.而长方形、三角形都是平的面，两者显然有区别.（3）×.棱柱的底面除了四边形以外，还可以是三角形等其它图形，棱柱的侧面都是四边形.（4）√.棱锥的所有棱都交于一点，侧面都是三角形.（5）√.多面体都是由平的面围成的立体图形，而球体、圆柱、圆锥并不都是由平面围成的.说明：留心生活中的物体，并能从中抽象出立体图形，除了注意不同类立体图形的区别，更应注意同类立体图形的细微差别.例2. 能否组成一个22条棱，10个面，15个顶点的棱柱或棱锥？为什么？分析：本题很难利用图形作出判断、考虑到棱柱或棱锥都是多面体，多面体都应满足“欧拉公式”.解：根据欧拉公式，顶点数＋面数－棱数＝2+-=当顶点数为15，面数为10时，棱数应为：1510223因此，不能组成一个棱数为22，面数为10，顶点数为15的棱柱或棱锥.说明：欧拉公式体现了多面体中顶点数、面数与棱数之间的关系，已知其中的两个数就可以求出第三个数.另外，还可以用它来判断具有某些条件的多面体是否存在.例3. 填空正方体是由_________个顶点，_________条棱，_________个面组成的，它还具有以下特点（写出三个）___________________________.解：正方体是由8个顶点，12条棱，6个面组成的，它还具有以下特点：所有的棱都相等，所有的面都是正方形，它是一个多面体.（或柱体、四棱柱等）例4. 用火柴摆出正方形，用多少根火柴才能摆出6个正方形？尽可能多地设想各种方案.并画出你的图形.（要求摆出的6个正方体的边长限于一根火柴的长）解：第一种方法：摆平面图形需要用17根火柴.第二种方法：摆三棱柱需要用15根火柴.第三种方法：摆正方体需要用12根火柴.例5.如图，下面是一个物体的三视图，试描述该物体的形状.正视图左视图俯视图分析：由物体的三视图想象物体的形状，要几个视图联系起来看.从正视图中可看出它是由两个部分叠加或是左边挖掉了一个形体，再对照俯视图，左视图便可知道右边上面加了半个圆柱体，圆柱下面是一个长方体，并且圆柱体的左面与长方体左面平齐，柱体的底面直径与长方体的宽一样.解：该物体的形状如图所示：说明：由视图想象物体的形状一般按以下步骤进行：（1）分线框，把几个视图联系起来看，把物体大致分成几部分；（2）识形体，定位置，根据每一部分的视图想象出它的形体，并确定它们的相互位置；（3）综合起来想整体，确定各个部分的形体及相互位置后，整个物体的形状也就清楚了.例6. 如图所示是一个几何体的两个视图，求该几何体的体积（ 取3.14，长度单位cm ）2032402530正视图 俯视图分析：从所给两个视图可以确定，设几何体是由两部分组成的，下面是一个长方体，它的长、宽、高分别是30cm 、25cm 、40cm.上面是一个圆柱体，底面圆的直径是20cm ，长为32cm ，所以该几何体的体积是这两部分体积之和.解：长方体体积为：30×25×40=30000cm3圆柱体体积为：3.14×102×32=10048 cm 3 30000+10048=40048cm 3答：几何体体积为400483cm .例7. 如图所示的立方体，将其展开得到的图形是（ ）A B C D （例8图）。
初一数学第17讲：几何图形(教师版
第十七讲几何图形（相关知识点精讲，标题加粗，正文宋体5号，单倍行距，首行缩进2字符）一、平面图形1、概念：图形所表示的各个部分都在同一平面内的图形，如直线、三角形等。
2、常见的平面图形（1）多边形：由线段围成的封闭图形叫做多边形。
多边形中三角形是最基本的图形。
（2）圆：一条线段绕它的端点旋转一周而形成的图形。
（3）扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径围成的图形叫做扇形。
二、立体图形1、概念：图形所表示的各个部分不在同一平面内的图形，如圆柱体。
2、常见的立体图形（1）柱体：A棱柱---有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱。
B 圆柱---以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边围绕它旋转一周二形成的曲面所围成的集合体叫做圆柱。
（2）椎体：A棱锥—有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
B圆锥—以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面围成的几何体叫做圆锥。
（3）球体：半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做球体。
（4）多面体：围成棱柱和棱锥的面都是平的面，想这样的立体图形叫做多面体。
三、从不同方向观察几何体从正面、上面、左面三个不同方向看一个物体，然后描出三张所看到的图（分别叫做正视图、俯视图、侧视图），这样就可以把立体图形转化为平面图形。
四、展开图1、立体图形的展开图有些立体图形是有一些平面图形围成的，把它们的表面适当剪开后在平面上展开得到的平面图形称为立体图形的展开图。
2、根据展开图判断立体图形的规律：A展开图全是长方形或正方形时------正方体或长方体；B展开图中含有三角形时-----棱锥或棱柱；若展开图中含有2个三角形3个长方形---- 三棱柱；若展开图中全是三角形（4个）-----三棱锥。
C展开图中含有圆和长方形-----圆柱；D展开图中含有扇形------圆锥。
新冀教版数学七年级上册第二章几何图形的初步认识 小结与复习
考点三 线段的相关计算
例3 在直线a上任取一点A，截取AB＝16 cm，再截取 AC＝40 cm，求AB的中点D与AC的中点E之间的距离．
[解析] 题中没有指明点C的具体位置，故应该分两种 情况进行分析，从而求得DE的长．
解：(1)如图，因为AB＝16 cm，AC＝40 cm，
点D，E分别是AB，AC的中点， 所以AD＝1/2AB＝8 cm，AE＝1/2AC＝20 cm， 所以DE＝AE－AD＝20－8＝12(cm)；
6.如图，D是线段AB的中点， E是线段BC的中 点，BE＝1/5AC＝2 cm，则线段DE的长为 5cm 点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°， ∠EOD＝25°，OD平分∠COE.
(2)如图，因为AB＝16 cm，AC＝40 cm，
点D，E分别是AB，AC的中点， 所以AD＝1/2AB＝8 cm，AE＝1/2AC＝20 cm， 所以DE＝AE+AD＝20+8＝28(cm)；
针对训练
5.点A，B，C 在同一条直线上，AB＝3 cm， BC=1cm．则AC的长是 2cm或4cm ．
射线只有一个端点，以点 A，B，C，D 为端点的 射线分别有 2 条，由图可知共有 8 条射线；直线只有 1 条．
针对训练
3.如图，图中共有___6_____个角．
4.乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站， 那么A，B两站之间需要安排____2_0___种不同的车票．
[解析] 如图，从A到B共有AC， AD，AE，AB，CD，CE，CB， DE，DB，EB10条线段，因为两站之间，出发点不同， 车票就不同，如A到C与C到A不同，故应有20种车票．
(1)角是有公共端点的两条射线所组成的图形．这个 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边. (2)角可以看做一条射线绕着端点旋转到另一个位置所 形成的图形． 2.角的表示方法
第四章几何图形初步-教师版
第四章几何图形初步4．1几何图形课时1立体图形与平面图形重点：立体图形和平面图形的概念．难点：从实物的外形中抽象出几何图形1．观察P115图4．1－1中的实物图，你能说出他们像我们熟悉的什么图形吗？能说一下他们的大体组成部分吗？通过观察图形你有什么感想？【答案】楼房类似于长方体，它由许多线和面组成；交通标志由弯曲的箭头组成……；通过观察图形可知图形世界是丰富多彩的．2．你能不能设计一个装墨水的墨水盒？你知道墨水盒是什么形状吗？【答案】可以设计一个墨水盒，墨水盒是长方体形状的.1.探究几何图形1阅读教材P115的内容，填一填下面的问题：（1）由教材图4．1－1可知图形世界是多姿多彩的，各种各样的物体除了具有颜色、质量、材料等性质外，还具有形状、大小和位置关系，物体的形状、大小和位置关系是几何研究的内容．（2）观察教材图4．1－1可知纸盒从整体上看，它的形状是长方体；看不同的侧面，得到的是长方形或正方形；看棱得到的是线段；看顶点得到的是点．从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形2.探究立体图形（重点）1阅读教材P116的内容，解决下列问题：（1）观察教材P116图4．1－3，你能发现什么？【答案】发现：教材P116图4．1－3的图形各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．图中的帐篷、茶叶盒类似于棱柱，金字塔类似于棱锥．（2）说一说图4－1．1－1′中的这些几何图形有什么共同特点？【答案】这些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．（3）阅读教材P116思考，并做一做，然后完成下列填空．①正方体的特征：有六个面，每个面都是正方形，实物如魔方．②长方体的特征：有六个面，每个面一般是长方形，实物如砖．③圆柱的特征：两个底面是等圆、侧面是一个曲面，实物如笔筒．④棱柱的特征：底面是多边形，上下两个底面的大小和形状完全相同，侧面是长方形（或正方形），实物如螺母．（本书只讨论直棱柱）⑤圆锥的特征：底面是圆，侧面是曲面，有一个顶点，实物如沙堆、漏斗．⑥球的特征：圆圆的、可以滚动，由一个曲面围成，实物如篮球．（1）立体图形相关知识：几何体是从实物中抽象出的数学模型，常见的几何体有长方体、正方体、圆柱、棱柱、圆锥、球等．（2）几何体的分类：常见几何体可以分为柱体、锥体、球体，其中柱体包含圆柱和棱柱，锥体包含圆锥和棱锥.3.探究平面图形（重点）说一说图4－1．1－2′中的这些几何图形有什么共同特点？【答案】各部分都在同一平面内，它们是平面图形（1）平面图形的定义：有些几何图形的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．常见的平面图形有线段、角、多边形（如三角形、长方形等）、圆等．平面图形的共同点是图形上的点都在同一平面内．组成平面图形的线有直线，也有曲线．（2）几何图形包括平面图形和立体图形【例1】如图4－1．1－3′的物体分别类似于哪些几何体？将这些几何体进行分类，并说明理由.【解】图①类似于长方体，图②类似于圆锥，图③类似于圆柱；图④类似于球，图⑤类似于五棱柱，图⑥类似于四棱锥．分类：（答案不唯一）（1）可按是否有曲面分：图①⑤⑥一类，没有曲面；图②③④一类，有曲面．（2）可按柱体、锥体、球体分：图①③⑤一类，是柱体；图②⑥一类，是锥体；图④一类，是球体．（3）可按是否有顶点分：图①②⑤⑥一类，有顶点；图③④一类，无顶点.【例2】如图4－1．1－4′中的图案是由5种平面图形组成的，它们分别是平行四边形、三角形、正方形、长方形、圆．课时2从不同方向看物体重点：从正面、左面、上面看一些简单几何体或它们的组合体得到平面图形．难点：1．由从不同方向看简单组合体所得到的平面图形得出立体图形．2．根据从不同方向看一个立体图形得到的平面图形想象并描述它的形状．观察你身边的一个物体，试着从不同的角度去看它，你看到的形状是一样的吗？【答案】一般不一样.1.探究从不同方向看物体（重点）1. 如图4－1．1－1′中的这几个几何体，试着从正面、左面、上面去看看，你得到了怎样的几何图形？试填写下表2. 下面我们看几个由小正方体组成的图形，如图4－1．2－2′，从正面、左面、上面看得到的平面图形各是什么？【答案】从正面、左面、上面看得到的平面图形如图4－1．2－1．要全面了解一个几何体的形状，必须从三个不同方向进行观察，分别是从正面看（由前向后），从左面看（由左向右），从上面看（由上向下）3.阅读教材P118探究，你能画出从不同方向看教材图4．1－7中的立体图形得到的平面图形吗？【答案】能，如图4－1．2－2．注意：这里画出的图形是从正面、左面、上面看到的平面图形，只是示意图，不要求有严格的几何画法和严格的尺寸，但所画的平面图形应形状正确、大小大致相同，也可参考以下画法要领：长对正、高平齐、宽相等，如图4－1．2－3．左边为立体图形，右边为从三个不同方向观察得到的平面图形.【例1】分别从正面、左面、上面观察如图4－1．2－4′的立体图形，各能得到什么平面图形？试填写下表.难点确定小正方体的个数解此类题时要分析从正面看、从左面看、从上面看得到的图形，推断每排小正方体的个数．【例2】图4－1．2－5′是从三个方向观察由一些相同的小正方体构成的立体图形得到的平面图形，在这个几何体中，小正方体的个数是（）A．7B．6C．5D．4【分析】由从正面看到的图形可以想象出这个几何体最简单的情形是如图4－1．2－6′；由从左面看到的图形可以想象这个几何体应再在图4－1．2－6′的背后的底层至少又藏有一个小正方体；由从上面看到的图形又可以想象在图4－1．2－6′中的背后中间至少还有一个小正方体，从而可知，这个几何体是图4－1．2－6′中的背后底层的中间处有一个小正方体，因此，小正方体的个数是5，故选C．【答案】C．课时3几何图形的展开与折叠重点：基本几何体与其展开图之间的关系．难点：正确判断一个平面图形能否折叠成立体图形如图4－1．3－1′的这些精美的包装盒是怎么制成的？【答案】略1.探究常见的立体图形的展开图（重点）1. 图4－1．3－2′是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同.【答案】分别可以得到正方体、圆柱、三棱柱、圆锥、长方体．对应图形如图4－1．3－1．2.自己动手把一个包装盒剪开铺平，看看它的展开图由哪些平面图形组成？再把展开的纸板复原为包装盒，体会包装盒与它的展开图的关系．【答案】略（1）有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展成平面图形．这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．（2）制作立体模型的步骤：①画出正确的展开图是关键；②裁剪、折叠、粘贴；③修饰、加工注意：（1）不是所有的立体图形都可以展开，球便不能展开．（2）对于同一个立体图形，按不同的方式展开，一般可以得到不同的平面图形.2.探究正方体的展开图（重点）将正方体（如图4－1．3－3′）的表面沿棱适当剪开，观察它的展开图是怎样的，然后画出示意图．（沿着不同的棱剪开，会得到不同的展开图，比一比，看谁得到的结果多！）正方体的展开图有11种基本情况，如图4－1．3－4′．注意：判断正方体的展开图应牢记几类不能围成正方体的形状：（1）排成一排的面超过4个的；（2）排列成“田”字形的；（3）排列成“凹”字形的.【例1】如图4－1.3－5′，第二行的哪种几何体的表面能展成第一行的平面图形？【解】第二行（1），（2），（3），（4）中几何体分别能展成第一行平面图形D，A，B，C．【例2】图4－1．3－6′是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“爱”相对的面上的汉字是（C）．A．小B．美C．脑D．筋课时4点、线、面、体重点：认识点、线、面、体的几何特征．难点：从实物或模型中抽象出体、面、线、点的概念，并举出确切的实例描述概念.1．从图4－1．4－1′中你能找到什么样的几何图形？【答案】从图中可以找到点、线、面、体．2．分别观察图4－1．4－2′中组成圆柱、圆锥、正方体的面，它们有区别吗？【答案】组成圆柱、圆锥的面有区别，有曲的面，有平的面，组成正方体的面没有区别，均是平的面.1.探究点、线、面、体（重点）1物体的构成往往包含多种元素，几何图形也是如此．以长方体为例，我们来分析一个图形的构成元素．（1）如图4－1．4－3′，观察长方体模型，它有几个面？面与面相交的地方形成了几条线？线与线相交成几个点？三棱柱呢？【答案】长方体有6个面，面与面相交的地方形成了12条线，线与线相交成８个点；三棱柱有５个面，面与面相交的地方形成了9条线，线与线相交成6个点．（2）由此可见，构成几何图形的元素包含哪些？【答案】包含点、线、面、体．2认识“体”．（1）请观察包装盒、易拉罐和篮球，想一想从它们的外形中分别可以抽象出什么立体图形？再举一些你所熟悉的立体图形．【答案】包装盒、易拉罐和篮球，从它们的外形中分别可以抽象出长方体（或正方体）、圆柱、球．立体图形还有圆锥、棱柱、棱锥等.长方体、正方体、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体简称体.（2）观察（1）中提到的一些几何体，再联想上一课时“展开图”的知识，想一想，包围着体的是面？是线？还是点？【答案】容易得出结论：包围着体的是面．3四棱锥、圆柱、圆锥分别有哪些面？这些面有区别吗？【答案】四棱锥的面都是平的面，圆柱、圆锥的面有平的面，也有曲的面．故面是有区别的，面有平的面、曲的面．4利用长方体、圆柱、棱柱、棱锥等熟悉的几何体模型，结合下列问题开展小组合作探究．（1）面与面相交的地方形成了什么？它们有什么不同？【答案】面与面相交的地方形成了线，线分直线和曲线．（2）线与线相交又得到了什么？它们有什么不同吗？【答案】线与线相交的地方得到了点，点只代表位置，没有大小，点与点之间没有区别.2.探究点、线、面、体的关系1我们知道物体运动时会留下运动轨迹．如果把笔尖看成一个点，这个点在纸上运动时（如图4－1.4－4′）形成的图形是线还是面？请用精炼的语言加以概括．【答案】点动成线2汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面（如图4－1．4－5′），从几何的角度观察这种现象，你可以得出什么结论？请用精练的语言加以概括．【答案】线动成面．3想一想：当面运动时又会形成什么图形？如何验证你的猜想？【答案】面动成体，如图4－1.4－1．【例1】（1）飞机表演“飞机拉线”，我们用数学知识可解释为点动成线，用数学知识解释下列现象：①一只小蚂蚁行走留下的路线可解释为点动成线；②时钟秒针旋转时，形成一个圆面可解释为线动成面．③一个圆沿着它的一条直径旋转形成的图形可解释为面动成体．（2）图4－1．4－6′揭示的数学道理是什么？【解】（2）利用运动观点结合图形可以体会到点动成线，线动成面，面动成体．【例2】如图4－1．4－7′，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.【解】如图4－1．4－2．难点计算长方形绕轴旋转得到的立体图形的体积此类题有三个关键点：一要考虑两种情况；二要能想象判断出两个不同圆柱的高及底面半径的值；三要正确计算.【例3】现在有一个长为4cm，宽为3cm的长方形，绕它的一边所在直线旋转一周，得到圆柱体的体积是多少？【解】当绕着长为4cm的边旋转时，得到的圆柱的体积为V1＝π×32×4＝36π（cm3）；当绕着长为3cm的边旋转时，得到的圆柱的体积为V2＝π×42×3＝48π（cm3）．因此得到圆柱体的体积是36πcm3或48πcm3．4．2直线、射线、线段课时1直线、射线、线段重点：掌握“两点确定一条直线”的基本事实．难点：几何语言的应用.1．如果你想将一个墙壁挂衣架固定在墙上，至少需要（B）个钉子．A．一个B．两个C．三个D．无数个2．想一想，如果两条直线相交，会有几个交点，作图试试．【答案】两条直线相交会有1个交点，图略.1.探究关于直线的基本事实及点和直线的位置关系1动手作图试一试：（1）过一点O可以作几条直线？经过两点A，B呢？动手试一试．【答案】过一点O可以作无数条直线，如图4－2．1－（1）．过两点A，B能作一条直线，如图4－2．1－1（2）．（2）如果经过两点任意画曲线或折线，试一试能画几条？【答案】能画无数条.经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线.注意：“确定”可以解释为“有且仅有”，“有”表示存在，“仅有”表示唯一.2.探究直线、射线、线段（重点）1阅读教材P126，教材P126中图4.2－2的直线可记作直线AB或记作直线l．点A，B都在直线AB 上．注意：直线没有端点，是向两方无限延伸的，画直线时要画出向两方无限延伸的部分.2如图4－2．1－1′，试着描述图（1）中点与直线，图（2）中直线与直线的关系.【答案】题图（1）中点O在直线l上（直线l经过点O），点P在直线l外（直线l不经过点P），题图（2）中直线a与直线b相交于点O．（1）点与直线的位置关系：①点在直线上（直线经过点）；②点在直线外（直线不经过点）．（2）当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫作他们的交点.3阅读教材P126－P127，填空．射线和线段都是直线的一部分．类似于直线的表示，教材图4.2－5中的线段可记作线段AB 或线段a，其中点A、点B是线段的端点．教材图4．2－6中的射线可记作射线OA或射线l，其中点O是射线的端点．4直线、射线、线段有什么联系与区别？试填写下表：【例1】下列说法中，正确的是（B）．A．射线OA与射线AO是同一条射线B.线段AB与线段BA是同一条线段C．过一点只能画一条直线D. 三条直线相交，必有三个交点【例2】按下列语句画出图形：（1）点A在直线MN上；（2）经过O点的两条直线a，b；（3）射线AB不经过点P．【解】（1）（2）（3）如图4－2.1－2．难点探究数线段的规律【例3】如图4－2.1－2′，在一条直线上取2个点A，B，共得几条线段？在一条直线上取3个点A，B，C，共得几条线段？在一条直线上取4个点A，B，C，D时，共得多少条线段？在一条直线上取n个点时，共可得多少条线段？（注：1＋2＋3＋…＋n＝12n n+（））【解】在一条直线上取2个点，可以得到1条线段：线段AB；在一条直线上取3个点，可得到3条线段：线段AB，线段AC，线段BC；在一条直线上取4个点时，有3＋2＋1＝6（条）线段，分别为线段AB，线段AC，线段AD，线段BC，线段BD，线段CD；…在一条直线上取n个点时，有（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n n-（）（条）线段课时2线段的比较与运算重点：进行线段的长短比较及线段的和差运算．难点：进行线段的和差运算1．线段、射线、直线的本质区别是直线没有端点，射线只有一个端点，线段有两个端点．2．关于直线的基本事实是：两点确定一条直线．3．线段、射线、直线中，线段可以度量长度，所以只有线段才可以比较长短．4．老师手里的纸上有一条线段（如图4－2．2－1′），你能在你的练习本上作出一条同样长的线段来吗？【答案】能，先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段.1.探究线段的长短1如图4－2.2－2′，你知道如何比较这两个人的身高吗？你有哪些方法？【答案】（方法一）分别测量出这两个人的身高后比较；（方法二）让这两个人站在同一水平面上，再比较．2由1中比较两人身高的方法中你得到什么启发？你知道如何比较两条线段的长短吗？【答案】任意画两条线段AB，CD，比较AB，CD的长短可按以下方法：（方法一）分别量出线段AB，CD的长度，再比较．（方法二）把两条线段AB，CD叠合，使端点A与端点C重合，点B，D落在点C（或点A）的同侧．当点B落在C，D之间时，如图4－2.2－1（1），这时AB＜CD；当点B落在CD的延长线上时，如图4－2．2－1（2），这时AB＞CD；当点B与点D重合时，如图4－2.2－1（3），这时AB＝CD．线段的长短比较：比较两条线段的长短，我们可用刻度尺分别测出它们的长度来比较（度量法），或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较（叠合法），利用此方法时，要使两条线段的一个端点重合，另一个端点落在同一侧，才能进行比较.2. 探究线段的和差（重点）1如图4－2．2－3′，线段AB和AC的长短关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？【答案】AB＜AC．线段AC与线段AB的差是线段BC，即AC－AB＝BC．从图中还可得到：AC－BC ＝AB，BC＋AB＝AC．2如图4－2．2－4′，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到线段a与线段b的和，线段a与线段b 的差呢？画法：（1）①画射线AP；②在射线AP上顺次截取线段AB＝a，BC＝b．线段AC就是所要求作的线段a+b．记作AC＝a＋b，如图4－2．2－5．（2）①画射线AP；②在射线AP上顺次截取线段AB＝a，AC＝b．线段BC就是所要求作的线段a-b．记作BC＝a－b，如图4－2.2－6′．（1）在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图．我们可以用直尺画射线AC，再利用圆规在射线AC上截取AB＝a．这就是“作一条线段等于已知线段”的尺规作图．（2）用尺规作线段的和或差，要先作一条射线，然后在射线上截取所需线段.3.探究线段的中点（重点）1怎样找出一条线段AB的中点M？【答案】可以用刻度尺测量，也可以通过折叠找.2线段的中点：如图4－2．2－7′，点m是线段AB上一点，并且点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫作线段AB的中点．可知AM＝BM＝12 AB．3观察教材P129图4．2－11（2），点M，N把线段AB分成相等的三条线段，点M，N就是线段AB 的三等分点；观察教材P129图4．2－11（3），点M，N，P把线段AB分成相等的四条线段，点M，N，P就是线段AB的四等分点．4.探究关于线段的基本事实及两点间的距离（重点）1如图4-2.2－8′，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，在图上画出最短路线.【答案】能．直接连接线段AB，则线段AB最短，图略.（1）关于线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单地说：两点之间，线段最短．（2）两点的距离：连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离.【例1】如图4－2.2－9′，已知线段a，求作线段AC＝2a．【解】作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上顺次截取AB＝BC＝a，则线段AC＝2a．则线段AC就是要求作的线段，如图4－2．2－2．【例2】如图4－2.2－10′，C，D是线段AB上两点．若BC＝4cm，AB＝10cm，且D是AC的中点，则CD的长等于（A）A．3cm B．6cm C．11cm D．14cm4.3角课时1角重点：1．角的概念及其表示方法．2．角的度量单位及其换算．难点：1．对角的概念的理解．2．角的换算1．观察图4－3．1－1′中的实物，你发现这些实物给我们共同的形象是什么？图4－3．1－1【答案】剪刀的角、圆规两脚的夹角、鳄鱼张开的嘴都给我们以角的形象.2．如图4-3．1－2′，已知∠AOB，你能用量角器量出它的度数吗？说说用量角器量角的步骤.【答案】∠AOB的度数为55°．用量角器量角的度数的步骤略.1.探究角的有关概念1观察材料P133图4．3－1，钟面上的时针与分针（或时针与秒针或分针与秒针），棱锥相交的两条棱，三角尺两条相交的边线，都给我们以角的形象．2你会画出角的图形吗？角有什么特征？【答案】图略．特征：有两条射线，并且两条射线有公共端点.角的定义：（1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．（2）动态定义：一条射线绕着它的端点旋转形成的图形叫作角，这个端点叫作角的顶点，这条射线的起始位置和终止位置的两条射线叫作角的两条边，其中起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边.3如果一个角的终边旋转到与始边成一条直线时，形成平角（如图4－3．1－3′（1））．当旋转到终边与始边重合时，形成周角（如图4－3．1－3′（2））.2.探究角的表示方法（重点）阅读教材P133角的表示方法，你能说出角的表示方法有几种吗？1角的几何符号用“∠”表示．角有以下几种表示方法：（1）用三个大写英文字母表示任意一个角，三个点分别是顶点和两边上的任意点，顶点的字母必须写在中间．如图4－3．1－4′（1）中的角，可以记作∠AOB或∠BOA．（2）用一个大写英文字母表示一个独立的角．这个字母就是表示角的顶点的字母．如图4－3．1－4′（1）中的角可记作∠O．（3）用一个小写的希腊字母表示一个角，如图4－3．1－4′（2）中的角可记作∠α．（4）用一个阿拉伯数字表示一个角，如图4－3．1－4′（3）中的角可记作∠1．注意：用单个大写字母表示角时，顶点处只能有一个角．当有两个或两个以上的角是同一个顶点时，不能用一个大写字母表示角.3.探究角的度量（重点）阅读教材P134的内容解决下列问题：1你知道测量角的工具吗？常用的测量单位是什么？【答案】测量角的工具：量角器；常用的度量单位：度、分、秒.2把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°．把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′．把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角，记作1″．如∠α的度数是51度26分37秒，可记作∠α＝51°26′37″（用符号表示）．由此我们可以得出：1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″.角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的．以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制．此外，还有以弧度为基本单位的弧度制（以后将要学到），军事上经常使用的角的密位制等.3除量角器外，工程测量中，还经常用经纬仪来测量角的大小．你还见过其他的度量角的工具吗？【答案】三角尺4利用三角尺或量角器你能画出哪些角？【答案】借助三角尺，可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角．借助量角器可以画出任何给定度数（如36°，108°）的角.【例1】 如图，4－3．1－5′ ，∠1，∠2表示的角可 分 别 用 大 写 字 母 表 示 为 ∠ABC （或 ∠CBA ）， ∠BCN （或 ∠NCB ）；∠A 也可表示为 ∠BAC （或 ∠CAB ），还可以表示为 ∠MAN （或 ∠NAM ） ．【例 2】 按要求进行转化 ．（1） 35．12° （用度、分、秒表示）； （2）28°7′48″ （用度表示） ．【解】 （1）35°7′12″． （2）28．13°．难点 与钟面角有关的计算（1）钟面角是指钟表表盘上的时针、分针、秒针之间的夹角．在计算时，主要是计算时针与分针之间的夹角 ．（2）1分钟分针转过 6°，1小时时针转过 30°，1分钟时针转过0.5°．（3）时针与分针夹角的计算公式（其中 m 表示时针所指钟面的时钟数，n 表示分针所指钟面的分钟数，即 m 时n 分）：① 当时针在分针前面时，钟面角 ＝30°m ＋0.5°n －6°n ； ② 当时针在分针后面时，钟面角 ＝6°n －30°m －0.5°n ． 综上可知， m 时 n 分时钟面角 ＝ ︱30°m ＋0.5°n －6°n ︱ ．【例3 】 某人下午六点多钟外出买东西，看手表上的时针与分针的夹角是110° ，下午近7点回家时，发现时针与分针的夹角又是 110° ，求这个人外出了多长时间.【解】 （方法一）设时针从某人外出到回家转过 x ° ，则分针转过（2×110°＋x ° ），由题意，得 00000211036030x x ⨯+= 解得x ＝20． 因时针每小时转过30°，则 00202303=（时）＝40分，即某人外出用了 40分钟 ．（方法二）分针1分钟转 6°，时针1分钟转 0.5°． 开始分针在时针后面，时针与分针夹角为 １１０° ，后来分针在时针前面，时针与分针夹角为110°． 设这个人外出用了x 分，则（ 6－0.5）x ＝110＋110． 解得 x ＝40． 即这个人外出了40分钟.课时2角的比较与运算重点：角的大小、和差、角平分线的几何意义及数量关系．难点：在图形中观察角的和差关系.1．角的度、分、秒是60进制的，1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．2．如图4－3．2－1′，已知线段AB，CD，你有哪些办法比较它们的长短？【答案】测量法、叠合法.1.探究角的比较及和、差、倍、分（重点）1类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？（1）度量法：用量角器量出两个角的度数，然后比较大小．（2）叠合法：将两个角的顶点及一边重合，两个角的另一边落在重合一边的同侧，由两个角的另一边的位置关系确定两个角的大小．如图4－3．2－2′，令∠AEC与∠BOD的边EA与OB重合，∠AEC与∠BOD的另一边落在EA（或OB）的同侧，当EC与OD重合时，那么∠AEC＝∠BOD，如图4－3.2－2′（1）．当EC落在∠BOD的内部时，那么∠AEC＜∠BOD，如图4－3.2－2′（2）．当EC落在∠BOD的外部时，那么∠AEC＞∠BOD，如图4－3.2－2′（3）．2利用一副三角尺，你能画出哪些度数的角？这些角有什么规律？【答案】一副三角尺上的角都是常用的角，它们分别是30°，60°，90°；45°，45°，90°的角．利用这些角可以很方便地画出与这些角相关的一些特殊角，如：15°，75°，105°，120°，135°，150°等，这些角都是三角尺上的角的和或差.角的比较及角的和、差、倍、分：（1）如图4－3．2－3′（1），∠2在∠1外部时，∠DEF是∠1与∠2的和，记作∠DEF＝∠1＋∠2．。
(完整版)几何图形初步知识点
几何图形初步知识点归纳1.几何图形1、几何图形：从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。
2、立体图形：这些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
3、平面图形：这些几何图形的各部分都在同一个平面内。
4、虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。
立体图形中某些部分是平面图形。
5、三视图：从左面看，从正面看，从上面看6、展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
7、⑴几何体简称体；包围着体的是面；面面相交形成线；线线相交形成点；⑵点无大小，线、面有曲直；⑶几何图形都是由点、线、面、体组成的；⑷点动成线，线动成面，面动成体；⑸点：是组成几何图形的基本元素。
练习：1、下列叙述正确的有 （ ）（1）棱柱的底面不一定是四边形；（2）棱锥的侧面都是三角形；（3）柱体都是多面体；（4）锥体一定不是多面体A.1个B.2个C.3个D.4个2、若一个多面体的顶点数20，面数为12，则棱数为 （ ）A.28B.32C.30D.263、在世界地图上，一个城市可以看作 （ ）A.一个点B.一条直线C.一个面D.一个几何体4、直线AB 上有一点C ，直线AB 外有一点D ，则A 、B 、C 、D 四点能确定的直线有（ ）A.3条B.4条C.1条或4条D.4条或6条5、C 为线段AB 延长线上的一点，且AC=AB ，则BC 为AB 的 （ ）23A.B.C. D. 323121236、如图中是正方体的展开图的有（ ）个A 、2个B 、3个D 1、底面是三角形的棱柱有 个面， 个顶点， 条棱。
2、手电筒发出的光给我们的形象是 。
3、下列说法中：①直线是射线长度的2倍；②线段AB 是直线AB 的一部分；③延长射线OA 到B 。
正确的序号是 。
aA B4、已知：线段AC和BC在同一直线上，如果AC=10㎝，BC=6㎝，D为AC的中点，E为BC的中点，则DE= 。
七年级数学上册第四章 几何图形初步教案
第四章几何图形初步4．1几何图形4．1.1立体图形与平面图形第1课时认识几何图形【教学目标】1．通过观察生活中的大量图片或实物，体验、感受、认识以生活中的事物为原型的几何图形，认识一些简单几何体(长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等)的基本特性，能识别这些几何体．2．知道什么是立体图形和平面图形，能够认识立体图形和平面图形．一、自主预习阅读教材P114～116，完成下列内容．1．几何图形包括平面图形和立体图形．2．有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，这样的几何图形叫做平面图形．3．有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，这样的几何图形叫做立体图形．二、例题精讲知识点1认识平面图形例1(教材P115“思考”)图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．解：答案见图中连线．【跟踪训练1】(《名校课堂》4.1.1第1课时习题)请写出图中的立体图形的名称．(1)(2)(3)(4)(1)圆柱；(2)三棱柱；(3)三棱锥；(4)圆锥．知识点2认识平面图形例2(教材P116“思考”) 如图，下列各图中包含哪些简单平面图形？请再举出一些平面图形的例子．解：第①个图形包含长方形、五角星；第②个图形包含圆；第③个图形包含正方形、长方形、三角形、圆；第④个图形包含正方形、三角形；第⑤个图形包含长方形、正方形、三角形；第⑥个图形包含圆、长方形、正方形、梯形.举例：【跟踪训练2】(《名校课堂》4.1.1第1课时习题)下图中包含哪些简单的平面图形？解：图中包含圆、正方形、长方形、三角形、平行四边形．三、巩固训练1．下面几种几何图形中，属于平面图形的是(A)①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱．A．①②④B．①②③C．①②⑥D．④⑤⑥2．下面的几何体中，属于棱柱的有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图是一座房子的平面图，组成这幅图的几何图形有(C)A．三角形、长方形B．三角形、正方形、长方形C．三角形、正方形、长方形、梯形D．正方形、长方形、梯形第3题图第4题图4.如图所示，电镀螺杆呈现出了两个几何体的组合，则这两个几何体分别是圆柱体，六棱柱．5．观察图中的立体图形，分别写出它们的名称．,球),圆锥),正方体),圆柱体),长方体) 四、课堂小结1．知道常见的立体图形，平面图形．2．生活中很多图案都由简单的几何图形构成，我们也有能力设计美观、有意义的图案．第2课时展开、折叠与从不同方向观察立体图形【教学目标】1．能够识别常见立体图形从不同方向看到的图形并能够正确的画出它们．2．能够识别常见立体图形的平面展开图．一、自主预习阅读教材P117～118，思完成列内容．1．从三个方向看立体图形包括哪三种？解：从三个方向看立体图形：从正面看，从左面看，从上面看．2．什么是立体图形的展开图？解：将立体图形的表面适当剪开，展开成平面图形，这样的平面图形为立体图形的展开图．二、例题精讲知识点1从不同方向观察立体图形例1(教材P117“探究”)如图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能得到什么平面图形？解：从正面看从左面看从上面看【跟踪训练1】(《名校课堂》4.1.1第2课时习题)下列基本几何体中，从正面、上面、左面观察都是相同图形的是(C)A．圆柱B．三棱柱C．球D．长方体知识点2立体图形的展开与折叠例2(教材P118“探究”)你还记得长方体和圆柱的展开图吗？下图是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同．解：第一个图形能围成正方体；第二个图形能围成圆柱(含上、下底面)；第三个图形能围成三棱柱(含上、下底面)；第四个图形能围成圆锥(含底面)；第五个图形能围成四棱柱(或长方体)．【跟踪训练2】(《名校课堂》4.1.1第2课时习题)下列图形中，不可以作为一个正方体的展开图的是(C)A B C D三、巩固训练1．如图是书桌上放的一本书，则从上面看得到的平面图形是(A)A B C D2．在下面的四个几何体中，从左面和正面看得到的图形不相同的几何体是(B)A B C D3．下面形状的四张纸板，按图中线经过折叠可以围成一个三棱柱的是(C)A B C D4．一个正方体的每个面都有一个汉字，其展开图如图所示，那么在该正方体中，和“值”字相对的字是(A)A．记B．观C．心D．间5．请分别指出与图中表面展开图相应的立体图形的名称．(1)(2)(3)(4)解：(1)三棱柱．(2)圆柱．(3)四棱锥．(4)圆锥．四、课堂小结1．知道常见立体图形从三个方向看得到的图形．2．学会简单几何体(如棱柱、正方体等)的平面展开图，知道按不同的方式展开会得到不同的展开图．3．学会动手实践，与同学合作．4．不是所有立体图形都有平面展开图．4．1.2点、线、面、体【教学目标】1.了解几何体、平面和曲面的意义，能正确判定围成几何体的面是平面还是曲面．2．了解几何图形构成的基本元素是点、线、面、体及其关系，能正确判定由点、线、面、体经过运动变化形成的简单的几何图形．3．激发学生对数学的好奇心和求知欲，体验数学活动中小组合作的重要性．一、自主预习阅读教材P119～120，完成下列问题．1．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素．2．体是由面组成，面与面相交成线，线与线相交成点．3．点没有大小之分，线没有粗细之分．二、例题精讲知识点1点、线、面、体例1(《名校课堂》4.1.2习题)如图所示的是一个棱柱，请问：(1)这个棱柱由几个面围成？各面的交线有几条？它们是直的还是曲的？(2)这个棱柱的底面和侧面各是什么形状？(3)该棱柱有几个顶点？解：(1)这个棱柱由5个面围成，各面的交线有9条，它们是直的．(2)棱柱的底面是三角形，侧面是长方形．(3)有6个顶点．【跟踪训练1】给出下列结论：①圆柱由3个面围成，这3个面都是平的；②圆锥由2个面围成，这2个面中，1个面是平的，1个面是曲的；③球仅由1个面围成，这个面是曲的；④长方体由6个面围成，这6个面都是平的．其中正确的是(B)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④知识点2由平面图形旋转而成的立体图形例2(教材P120练习T2)如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．解：答案见图中连线．【跟踪训练2】下列图形绕着它的一边所在的直线旋转一周，能得到圆柱的是(B)A．三角形B．长方形C．五边形D．半圆三、巩固训练1．笔尖在纸上写字说明点动成线；车轮旋转时看起来像个圆面，这说明线动成面；一枚硬币在光滑的桌面上快速旋转形成一个球，这说明面动成体．2．如图的几何体有4个面，6条棱，4个顶点．3．围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的，哪些面是曲的？解：球的表面、圆柱和圆锥的侧面都是曲面．其余的面都是平面．4．用第一行的平面图形绕轴旋转一周，便得到第二行中的某个几何体，用线连一连．解：如图．四、课堂小结1．多姿多彩的图形是由点、线、面、体组成．点是构成图形的基本元素．2．点无大小，线有直线和曲线，面有平面和曲面．3．体由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点．4．点动成线，线动成面，面动成体．4．2直线、射线、线段第1课时直线、射线、线段【教学目标】1.能在现实情境中，经历画图的数学活动过程，理解并掌握直线的性质，能用几何语言描述直线性质．2．会用字母表示直线、射线、线段，会根据语言描述画出图形．掌握三者的联系和区别．3．培养学生的基本画图能力．一、自主预习阅读教材P125～126，回忆直线、射线、线段的一些基本概念和基本知识，并认真总结下列问题，体会直线的公理．1．直线、射线、线段的联系与区别．图形表示方法端点个数延伸方向线段线段AB或线段a 两个不向任何一方延伸射线射线AB或射线a 一个向一方无限延伸直线直线AB或直线a 0 向两方无限延伸2.直线公理：两点确定一条直线．【点拨】(1)表示线段、射线、直线的时候，都要在字母前注明“线段”“射线”“直线”．(2)用两个大写字母表示直线或线段时，两个字母可以交换位置，表示射线的两个大写字母不能交换位置，必须把端点字母放在前面．二、例题精讲例1(教材P126练习T2)按下列语句画出图形：(1)直线EF经过点C;(2)点A在直线l外；(3)经过点O的三条线段a，b，c;(4)线段AB，CD相交于点B.解：(1)如图所示：(2)如图所示：(3)如图所示：(4)如图所示：【跟踪训练】(《名校课堂》4.2第1课时习题)下列表示方法正确的是(B)①②③④A．①②B．②④C．③④D．①④三、巩固训练1．下列语句：①点a在直线l上；②直线的一半就是射线；③延长直线AB到C；④射线OA与射线AO是同一条射线.其中正确的语句有(A)A．0句B．1句C．2句 D.3句2．如图给出的直线、射线、线段，根据各自的性质，能相交的是(D)A B C D3．下列事实可以用“经过两点有且只有一条直线”来说明的是(B)A．从王庄到李庄走直线最近B．在正常情况下，射击时要保证瞄准的一只眼睛在准星和缺口确定的直线上，才能射中目标C．向远方延伸的铁路给我们一条直线的印象D．数轴是一条特殊的直线4．线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点．5．如图，图中共有6条线段，8条射线．6.平面上有三点A、B、C，①连接其中任意两点，共可得线段3条；②经过任意两点画直线，共可得到直线1条或3条．7．如图，已知平面上四点A、B、C、D.(1)画直线AB；(2)画射线AD；(3)直线AB、CD相交于点E；(4)连接AC、BD相交于点F.解：略四、课堂小结1．掌握直线、射线、线段的表示方法．2．理解直线、射线、线段的联系和区别． 3．知道直线的性质．4．经过两点有一条直线，并且只有一条直线．第2课时 比较线段的长短及线段的性质【教学目标】1.掌握线段比较的两种方法，会表示线段的和差．2．理解线段中点的意义及表示方法，理解两点的距离的意义． 3．会运用“两点之间，线段最短”的性质解决生活中的实际问题． 一、自主预习阅读教材P126～129，完成下列内容．1．在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图． 2．点M 把线段AB 分成相等的两条线段AM 与MB ，点M 叫做线段AB 的中点． 3．两点的所有连线中，线段最短，简单说成：两点之间，线段最短． 4．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． 二、例题精讲知识点1 线段的中点及等分点例1 (《名校课堂》4.2第2课时习题)如图，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝6，求CD 的长； (2)若AC ＝30，BD ＝10，求AB 的长． 解：(1)因为点D 是线段BC 的中点， 所以CD ＝12BC.因为AB ＝10，AC ＝6， 所以BC ＝AB －AC ＝10－6＝4. 所以CD ＝12BC ＝2.(2)因为点D 是线段BC 的中点， 所以BC ＝2BD. 因为BD ＝10， 所以BC ＝2×10＝20. 因为AB ＝AC ＋BC ， 所以AB ＝30＋20＝50.【跟踪训练1】 如图，在直线上顺次取A ，B ，C 三点，使AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，如果O 是线段AC 的中点，求线段OB 的长度．解：因为AB ＝4 cm ，BC ＝3 cm ， 所以AC ＝AB ＋BC ＝7 cm. 因为点O 是线段AC 的中点， 所以OC ＝12AC ＝3.5 cm.所以OB ＝OC －BC ＝3.5－3＝0.5(cm)． 知识点2 线段的性质例2 如图，这是A 、B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A 、B 两地行程最短，应如何设计线路？在图中画出，并说明你的理由．解：如图所示，连接AB.理由：两点的所有连线中，线段最短．【跟踪训练2】 如图，平面上有A 、B 、C 、D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备修建一个蓄水池，不考虑其他因素，请你画出蓄水池P 的位置，使它与4个村庄的距离之和最小．解：连接AC 、BD 的交点即为P 点的位置，如图． 三、巩固训练1．下列说法正确的是(D)A ．连接两点的线段就叫做两点间的距离B ．在所有连接两点的线中直线一定最短C ．线段AB 就是表示点A 到点B 的距离D ．线段AB 的长度是点A 到点B 的距离 2．如图，下列关系式中与图不符合的式子是(C)A ．AD －CD ＝AB ＋BC B ．AC －BC ＝AD －BD C ．AC －BC ＝AC ＋BD D ．AD －AC ＝BD －BC3．为比较两条线段AB 与CD 的大小，小明将点A 与点C 重合使两条线段在一条直线上，点B 在CD 的延长线上，则(B)A．AB＜CD B．AB＞CDC．AB＝CD D．以上都有可能4．如图，从A到B有4条路径，最短的路径是③，理由是(D)A．因为③是直的B．两点确定一条直线C．两点间距离的定义D．两点之间线段最短5．已知线段AB＝6，若C为AB的中点，则AC＝3．6．若线段AB＝5 cm，BC＝2 cm，且A，B，C三点在同一条直线上，则点C可能在AB上，也可能在AB的延长线上，则AC的长等于3__cm或7__cm．7．如图，已知线段a和b，且a＞b，用直尺和圆规作一条线段，使它等于2a＋b.解：图略．8．已知，如图，AB＝16 cm，C是AB上一点，且AC＝10 cm，D是AC的中点，E是BC的中点，求线段DE 的长．解：因为D是AC的中点，AC＝10 cm，所以DC＝12AC＝5 cm.又因为AB＝16 cm，所以BC＝AB－AC＝6 cm.因为E是BC的中点，所以CE＝12BC＝3 cm.所以DE＝DC＋CE＝8 cm.四、课堂小结线段⎩⎪⎨⎪⎧线段的大小比较⎩⎪⎨⎪⎧度量法叠合法线段的中点线段的性质：两点之间，线段最短4．3角4．3.1角【教学目标】1.理解角的两种定义，识别角的符号．2．知道角的几种表示方法，并能够正确表示．3．掌握角的度量单位及度、分、秒的进位制，能够熟练的进行转换．一、自主预习阅读教材P132，知道角的定义、角的表示方法、周角、平角，完成下列内容．1．角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角也可以看作一条射线绕端点旋转而形成的图形．2．如果一个角的终边旋转到与始边成一条直线时，所成的角叫做平角．继续旋转，当终边旋转到与始边重合时，所成的角叫做周角．3．角的表示方法：角用“∠”表示，读做“角”．(1)用三个大写字母表示；(2)用表示角的顶点的字母表示；(3)用一个数字或一个希腊字母(α、β、γ、θ)表示．(4)度、分、秒是角的基本度量单位：1°的角等分成60份就是1′的角；1′的角等分成60份就是1″的角．角度制：1°＝60′，1′＝(160)°，1′＝60″，1″＝(160)′，1°＝3__600″．【点拨】度、分、秒是60进制的．二、例题精讲知识点1角的定义和表示方法例1(《名校课堂》4.3.1习题)如图，∠1，∠2表示的角可分别用大写字母表示为∠ABC，∠BCN；∠A也可表示为∠BAC，还可以表示为∠MAN．【跟踪训练1】如图，能用∠1，∠ACB ，∠C三种方法表示同一个角的是(C)A B C D知识点2角的度量例2(教材P134练习T2)(1)35°等于多少分？等于多少秒？(2)38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪一个大？解：(1)35°＝35×60＝2 100×60＝126 000秒．(2)38.15°＝38.15×60＝2 289分．38°15′＝38×60＋15＝2 295分．所以38°15′＞38.15°.【跟踪训练2】已知∠1＝27°18′，∠2＝27.18°，∠3＝27.3°，则下列说法正确的是(A)A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠2＝∠3三、巩固训练1．下列关于角的说法正确的个数是(A)①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长，角越大；③在角一边的延长线上取一点D；④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．A．1 B．2 C.3 D．42．若∠A＝20°20′，∠B＝20.20°，∠C ＝20.5°，则下面的结论正确的是(D)A．∠A＝∠B B.∠A＝∠CC．∠C＝∠B D.∠A，∠B，∠C两两不等3．如图，能用一个字母表示的角有∠B，用三个大写字母表示∠1为∠MCB，∠2为∠AMC.第3题图第4题图4．如图，A，O，D三点在一条直线上，写出图中小于平角的角：∠AOC，∠AOE，∠COE，∠COD，∠EOD．5．如图是一个时钟的钟面，下午1点30分，时钟的分针与时针所夹的角等于135°.(1)以B 为顶点的角有几个？把它们表示出来； (2)指出以射线BA 为边的角；(3)以D 为顶点，DC 为一边的锐角有几个？分别表示出来．解：(1)以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABD 、∠ABC 、∠DBC. (2)以射线BA 为边的角有2个，分别是∠ABD 和∠ABC. (3)以D 为顶点，DC 为一边的锐角有1个，是∠CDE.7．如图，在∠AOB 的内部，从顶点O 引出1条射线，此图中共有几个角？如果引出2条？引出3条呢？依此规律，引出n 条可得到多少个角？解：从顶点O 引出1条射线，图中共有3个角；引出2条射线，图中共有6个角；引出3条射线，图中共有10个角；引出n 条射线，可得到（n ＋1）（n ＋2）2个角．四、课堂小结 角⎩⎪⎨⎪⎧角的概念角的表示方法角的度量与换算4．3.2 角的比较与运算【教学目标】1．会用量角器度量角，并会比较两个角的大小． 2．会根据图形判断角的和差倍分． 3．记住角平分线的定义． 一、自主预习阅读教材P134～136，完成下列内容．1．比较两个角的大小，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，也可以把它们叠合在一起比较它们的大小，这两种方法分别叫度量法和叠合法．2．角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．如：如图，若OB 是∠AOC 的平分线，则∠AOC ＝2∠AOB ＝2∠BOC ，∠AOB ＝∠BOC ＝12∠AOC ．二、例题精讲知识点1 角的大小比较例1 (教材补充例题)如图，点A ，O ，B 在一条直线上，OD 平分∠AOB ，回答下列问题：(1)试比较∠AOB 、∠AOD 、∠AOE 、∠AOC 的大小； (2)找出图中的三个等量关系．解：(1)因为点A ，O ，B 在一条直线上， 所以∠AOB 是平角． 因为OD 平分∠AOB ， 所以∠AOD ＝12∠AOB ＝90°.由图知∠AOC 是钝角、∠AOD 是直角、∠AOE 是锐角， 所以∠AOB ＞∠AOC ＞∠AOD ＞∠AOE. (2)等量关系有：∠COE ＝∠EOD ＋∠COD ， ∠AOB ＝2∠AOD ＝∠AOE ＋∠BOE ， ∠DOB ＝∠COD ＋∠BOC. 【点拨】 角的大小比较的方法：(1)如果已知角是锐角、直角、周角、平角、钝角，就可以直接由它们之间的关系比较大小； (2)可以通过量角器量角度来比较大小；(3)可以根据各角在同一图中的位置关系比较角的大小．【跟踪训练1】 在∠AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在(A) A ．∠AOB ＞∠AOC B ．∠AOB ＜∠BOC C ．∠BOC ＞∠AOC D ．∠AOC ＞∠BOC 知识点2 角度的运算 例2 计算： (1)90°－36°12′15″ (2)32°17′53″＋42°42′7″ (3)25°12′35″×5;(4)53°÷6.解：(1)90°－36°12′15″＝53°47′45″. (2)32°17′53″＋42°42′7″＝74°59′60″＝75°.(3)25°12′35″×5＝125°60′175″＝126°2′55″. (4)53°÷6＝8°50′.【点拨】 度、分、秒的运算方法：(1)在进行角度的加法运算时，先算秒，再算分，最后算度，满60″时，把60″化为1′，满60′时，把60′化为1°； (2)进行角度的减法时，不够减，借1°化为60′，借1′化为60″；(3)关于度、分、秒的乘法运算，把度、分、秒分别乘乘数，满60″时，把60″化为1′，满60′时，把60′化为1°； (4)关于度、分、秒的除法运算，把度的余数化成分或把分的余数化为秒后再进行除法运算. 知识点3 与角平分线有关的计算例3 如图，OC 是∠AOD 的平分线，OE 是∠DOB 的平分线． (1)如果∠AOB ＝130°，那么∠COE 是多少度？(2)在(1)的条件下，如果∠COD ＝20°，那么∠BOE 是多少度？解：(1)因为OC 是∠AOD 的平分线， 所以∠COD ＝12∠AOD.因为OE 是∠BOD 的平分线， 所以∠DOE ＝12∠BOD.所以∠COD ＋∠DOE ＝12∠AOD ＋12∠BOD ＝12(∠AOD ＋∠BOD)．因为∠COD ＋∠DOE ＝∠COE ，∠AOD ＋∠BOD ＝∠AOB ， 所以∠COE ＝12∠AOB.因为∠AOB ＝130ﾟ， 所以∠COE ＝65°.(2)因为∠COE ＝65°，∠COD ＝20°， 所以∠DOE ＝∠COE －∠COD ＝45°. 又因为OE 平分∠DOB ， 所以∠BOE ＝∠DOE ＝45°. 【跟踪训练2】如图所示，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON 等于135°．三、巩固训练1．射线OC在∠AOB内部，下列四个选项不能判定OC是∠AOB的平分线的是(C)A．∠AOB＝2∠AOC B．∠AOC＝12∠AOBC．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB D．∠AOC＝∠BOC2．如图，在横线上填上适当的角：(1)∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝∠AOD－∠AOB；(2)∠AOB＝∠AOC－∠COB＝∠AOD－∠BOD；(3)∠BOC＝∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠COD－∠AOB.第2题图第3题图3．如图，若OC平分∠AOB，∠AOB＝60°，则∠1＝30°.4.已知∠AOB＝80°，∠AOC＝40°，则∠BOC的度数为120°或40°．5．计算：(1)15°37′＋42°51′；(2)90°－68°17′50″；(3)5°26′×3; (4)178°53′÷5.解：(1)原式＝58°28′.(2)原式＝21°42′10″.(3)原式＝16°18′.(4)原式＝35°46′36″.6．如图，已知O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，求∠BOD的度数．解：因为O是直线CD上的点，OA平分∠BOC，∠AOC＝35°，所以∠BOC＝2∠AOC＝70°.所以∠BOD＝180°－∠BOC＝110°.四、课堂小结角的大小比较和运算⎩⎪⎨⎪⎧角的大小比较⎩⎪⎨⎪⎧度量法叠合法角的运算角平分线4．3.3 余角和补角【教学目标】1．了解两个角互余或互补的意义．2．掌握同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等． 3．理解方位角的概念，会用角描述方向，解决实际问题． 一、自主预习阅读教材P137～138，完成下列内容．1．一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝90°，那么∠1与∠2互为余角．2．一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．几何语言表示为：如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互为补角． 3．性质：等角(同角)的余角相等，等角(同角)的补角相等． 4．判断题：(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角．(×)(2)若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互为余角．(×) (3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角．(×) (4)互补的两个角不可能相等．(×) (5)钝角没有余角，但一定有补角．(√)(6)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余．(×) (7)如果∠A ＝25°，∠B ＝75°，那么∠A 与∠B 互为余角．(×) (8)如果∠A ＝x°，∠B ＝(90－x)°，那么∠A 与∠B 互余．(√) 二、例题精讲 知识点1 余角、补角例1 如图，点O 在直线AB 上，OD 平分∠COA ，OE 平分∠COB.(1)∠COB＋∠AOC＝180°，∠EOD＝90°；(2)图中互余的角有4对，互补的角有5对．【跟踪训练】1．若∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，则∠1＝∠3.理由是同角的补角相等．2．已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数．解：设这个角是x，则这个角的补角为180°－x，余角为90°－x，所以3(90°－x)＝180°－x，整理，得2x＝90°，解得x＝45°，即这个角的度数为45°.知识点2方位角例2如图1，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上．同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔A方位的方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线．图1图2画法：以点O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间．射线OB 的方向就是北偏东40°(图2)，即客轮B所在的方向．请你在图2上画出表示货轮C和海岛D方向的射线．解：略．【跟踪训练】3．(《名校课堂》习题)如图，根据点A，B，C，D，E在图中的位置填空．(1)射线OA 表示东北方向； (2)射线OB 表示北偏西30°；(3)射线OC 表示南偏西60°；(4)射线OD 表示正南方向；(5)射线OE 表示南偏东50°．三、巩固训练1．若∠1＝40°，则∠1的余角的度数是(C)A ．20°B ．40°C ．50°D ．60°2．在灯塔O 处观测到轮船A 位于北偏西54°的方向，同时轮船B 在南偏东15°的方向，那么∠AOB 的大小为(C)A ．69°B ．111°C ．141°D ．159° 3．下列结论正确的个数为(C)①互余且相等的两个角是45°；②锐角的补角是钝角；③锐角没有余角，钝角没有补角；④两个钝角不可能互补．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC.若∠BOC ＝70°，∠AOC ＝50°.(1)求出∠AOB 及其补角的度数；(2)请求出∠DOC 和∠AOE 的度数，并判断∠DOE 与∠AOB 是否互补，并说明理由．解：(1)∠AOB ＝∠BOC ＋∠AOC ＝70°＋50°＝120°，其补角为180°－∠AOB ＝180°－120°＝60°.(2)∠DOC ＝12∠BOC ＝35°，∠AOE ＝12∠AOC ＝25°.∠DOE 与∠AOB 互补．理由：∠DOE ＝∠DOC ＋∠COE ＝35°＋25°＝60°，∠DOE ＋∠AOB ＝60°＋120°＝180°，故∠DOE 与∠AOB 互补．四、课堂小结1．余角、补角的概念：(1)和为90°的两个角互为余角；(2)和为180°的两个角互为补角．2．余角、补角的性质：(1)等角(同角)的余角相等；(2)等角(同角)的补角相等．。
几何图形初步知识点
几何图形初步知识点归纳1.几何图形1、几何图形：从形形色色的物体外形中得到的图形叫做几何图形。
2、立体图形：这些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
3、平面图形：这些几何图形的各部分都在同一个平面内。
4、虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。
立体图形中某些部分是平面图形。
5、三视图：从左面看，从正面看，从上面看6、展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
7、⑴几何体简称体；包围着体的是面；面面相交形成线；线线相交形成点； ⑵点无大小，线、面有曲直；⑶几何图形都是由点、线、面、体组成的； ⑷点动成线，线动成面，面动成体； ⑸点：是组成几何图形的基本元素。
练习：1、下列叙述正确的有 （ ） （1）棱柱的底面不一定是四边形；（2）棱锥的侧面都是三角形；（3）柱体都是多面体；（4）锥体一定不是多面体A.1个B.2个C.3个D.4个2、若一个多面体的顶点数20，面数为12，则棱数为 （ ）A.28B.32C.30D.26 3、在世界地图上，一个城市可以看作 （ ）A.一个点B.一条直线C.一个面D.一个几何体4、直线AB 上有一点C ，直线AB 外有一点D ，则A 、B 、C 、D 四点能确定的直线有（ ）A.3条B.4条C.1条或4条D.4条或6条 5、C 为线段AB 延长线上的一点，且AC=23AB ，则BC 为AB 的 （ ） A.32 B.31 C.21 D.23 6、如图中是正方体的展开图的有（ ）个A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个二、填空题 1 2、手电筒发出的光给我们的形象是。
3、下列说法中：①直线是射线长度的2倍；②线段AB 是直线AB 的一部分；③延长射线OA 到B 。
a4、已知：线段AC和BC在同一直线上，如果AC=10㎝，BC=6㎝，D为AC的中点，E为BC 的中点，则DE=。
几何图形初步知识要点
几何图形初步一、知识框架⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧→⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧等（同）角的余角相等等（同）角的补角相等余角和补角角的平分线角的大小比较角的度量角两点之间线段最短两点确定一条直线直线、射线、线段平面图形平面图形展开立体图形从不同方向看立体图形立体图形几何图形 二、知识梳理考点1：图形的概念、形成与结构1、定义：（1）几何图形：我们把从事物中抽象出的各种图形统称为几何图形.(2） 立体图形：几何图形上的各部分不都在同一平面内，这种图形叫做立体图形，又称空间图形。
（3）平面图形：几何图形上的各部分都在同一平面内，这种图形叫做平面图形。
2、几何图形的形成：几何体简称为体，长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体。
包围着体的是面.面有平的面和曲的面两种。
体和体相交的地方形成面，面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。
点、线、面、体经过运动变化,组合成各种几何图形。
点动成线，线动成面,面动成体。
3、几何图形的结构：点、线、面、体组成几何图形。
点是构成图形的基本元素。
4、几何图形的分类：⎩⎨⎧正方形、圆。
平面图形：如三角形、。
如正方体、圆柱、棱锥立体图形（几何体）：几何图形考点2：三视图与展开图（1）三视图：对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理,从不同方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形.一般从立体图形的正面、左面、上面看它得到的平面图形来表示它。
(2) 平面展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
正方形展开图的知识要点:第一类：有6种。
特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形。
简称“141型"第二类：有3种。
特点：是有3个连成一排的正方形,其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型"第三类：仅有一种。
初中数学 第4章 几何图形初步 教案及试题
第四章几何图形初步基础知识通关4.1几何图形1.几何图形：长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形.2.立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在内，它们是立体图形.3.平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各部分都在内，它们是平面图形.4.展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成 .这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.5.点、线、面、体：（1）体：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥几何体.几何体也简称体；（2）面：包围着体的是面；（3）线：面和面相交的地方形成线；（4）点：线和线相交的地方是点.4.2直线、射线、线段6.两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.简单说成：................7.交点：当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线，这个叫做它们的交点.8.尺规作图：在数学中，我们常限定用和作图，这就是尺规作图.9.中点：点 M 把线段 AB 分成的两条线段AM 与MB，点 M 叫做线段 AB 的中点.10.两点的所有连线中，最短.简单说成：两点之间，线段最短.11.距离：连接两点间的，叫做这两点的距离.4.3角12.角：角也是一种基本的几何图形.13.度、分、秒：（1）把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作；（2）把一度的角 60 等分，每一份叫做 1 分的角，记作；（3）把1 分的角60 等分，每一份叫做1 秒的角，记作 ..14.角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个的角的射线，叫做这个角的平分线.15.余角：一般地，如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角.16.补角：类似地，如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角.17.余角的性质：同角（等角）的余角 ....18.补角的性质：同角（等角）的补角 ....19.角的运算：如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.4.4课题学习-设计制作长方体形状的包装纸盒单元检测一．选择题（共 10 小题）1.某正方体的每个面上都有一个汉字，如图所示的是它的展开图，那么在原正方体中，与“神“字所在面相对的面上的汉字是（）A．认B．眼C．确D．过2.下列几何体中，其侧面展开图为扇形的是（）A．B．C.D．3.下列说法错误的个数为（）①57.18°＝57°10′48″②三条直线两两相交，有三个交点③x＝0 是一元一次方程④若线段 PA＝PB，则点 P 是线段 AB 的中点⑤连接两点间的线段，叫做两点间的距离．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．在平面内有A、B、C、D 四点，过其中任意两点画直线，则最多可以画（）A．4 条B．6 条C．8 条D．无数条5．下列换算中，错误的是（）A．0.25°＝900″B．16°5′24″＝16.09°C．47.28°＝47°16′48″D．80.5°＝80°50′6.已知互为补角的两个角的差为 35°，则较大的角是（）A．107.5°B．108.5°C．97.5°D．72.5°7.如图，在A、B 两处观测到 C 处的方位角分别是（）A．北偏东65°，北偏西40°B．北偏东65°，北偏西50°C．北偏东25°，北偏西40°D.北偏东 35°，北偏西 50°8.如图，∠AOB＝130°，射线 OC 是∠AOB 内部任意一条射线，OD、OE 分别是∠AOC、∠BOC 的角平分线，下列叙述正确的是（）A.∠DOE 的度数不能确定B.∠AOD＝∠EOCC．∠AOD+∠BOE＝65°D．∠BOE＝2∠COD9.将长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC、BD 为折痕，若∠ABC＝35°，则∠DBE 的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．60°10.在图所示的4×4 的方格表中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（）A．β＜α＜γB.β＜γ＜αC.α＜γ＜βD．α＜β＜γ二．填空题（共 10 小题）11.下面的几何体中，属于柱体的有个．12.已知角A 的余角比它的补角的还少10°，则∠A＝．13．已知：∠A 的余角是 52°38'，则∠A 的补角是．14．计算：48°59′+67°31′﹣21°12′＝．15.如图所示，在一条笔直公路 l 的两侧,分别有 A、B 两个小区,为了方便居民出行,现要在公路 l 上建一个公共自行车存放点,使存放点到A、B 小区的距离之和最小,你认为存放点应该建在处（填“C”“E”或“D”），理由是．16.已知，在直线 AB 上有一点 C，BC＝3cm，AB＝8cm，M 为线段 AB 的中点，N 为线段 BC 的中点，则 MN＝．17.如图，∠AOB＝140°，如果点 A 在点O 的北偏东 20°，那么点 B 在点O 的南偏西°．第 17 题图第 18 题图18．如图，∠AOD＝135°，∠AOC＝75°，∠DOB＝105°，则∠BOC＝．19.正方体切去一个块，可得到如图几何体，这个几何体有条棱．20.已知 A、B、C 三点都在直线 l 上，AC 与BC 的长度之比为 2：3，D 是AB 的中点．若 AC＝4cm，则 CD 的长为cm．三．解答题（共 5 小题）21.如图，B、C 两点把线段 MN 分成三部分，其比为 MB：BC：CN＝2：3：4，点 P 是MN 的中点，PC ＝2cm，求 MN 的长．22.如图，已知OD 平分∠AOB，OE 在∠BOC 内，且∠BOE＝∠EOC，∠AOC＝170°．（1）若知∠AOB＝70°，求∠EOC 的度数；（2）若知∠DOE＝70°，求∠EOC 的度数．23.如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）（1）画直线 AB；（2）画射线 AC；（3）连接 BC 并延长 BC 到E，使得 CE＝AB+BC；（4）在线段 BD 上取点 P，使 PA+PC 的值最小．24.已知线段AB＝m（m 为常数），点C 为直线AB 上一点，点P、Q 分别在线段BC、AC 上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，当点C 恰好在线段AB 中点时，则PQ＝（用含m 的代数式表示）；（2）若点 C 为直线 AB 上任一点，则 PQ 长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C 在点A 左侧，同时点P 在线段AB 上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ 与1 的大小关系，并说明理由．25.如图 1，将一副直角三角尺的顶点叠一起放在点 A 处，∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，保持三角尺ABC 不动，三角尺 AED 绕点A 顺时针旋转，旋转角度小于 180°．（1）如图 2，AD 是∠EAC 的角平分线，直接写出∠DAB 的度数；（2）在旋转的过程中，当∠EAB 和∠DAC 互余时，求∠BAD 的值．四、附加题26.如果两个锐角的和等于 90°，就称这两个角互为余角．类似可以定义：如果两个角的差的绝对值等于 90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠l＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1 和∠2 互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．（1）如图，O 为直线 AB 上一点，OC 丄 AB 于点 O，OE⊥OD 于点 O，请写出图中所有互为垂角的角有；（2）如果有一个角的垂角等于这个角的补角的，求这个角的度数．27．P 是线段 AB 上一点，AB＝12cm，C，D 两点分别从 P，B 同时向 A 点运动，且 C 点的运动速度为2cm/s，D 点的运动速度为 3cm/s，运动的时间为 ts．（1）如图若 AP＝8cm，①运动 1s 后，求 CD 的长；②当 D 在线段 PB 上运动时，试说明线段 AC 和线段 CD 的数量关系；（2）如果t＝2 时，CD＝1.5cm，试探索 AP 的值．2.同一平面3.同一平面4.平面图形6.两点确定一条直线7.相交，公共点8.无刻度的直尺，圆规9.相等10.线段11.线段的长度13.1°，1′，1″14.相等15.90°16.180°17.相等18.相等一．选择题（共 10 小题）基础知识通关答案单元检测答案1.【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“神”与“确”是相对面．故选：C．【知识点】2,42.【分析】根据特殊几何体的展开图，可得答案．【解答】解：A、圆柱的侧面展开图是矩形，故 A 错误；B、三棱柱的侧面展开图是矩形，故 B 错误；C、圆锥的侧面展开图是扇形，故 C 正确；D、三棱锥的侧面展开图是三角形，故 D 错误．故选：C．【知识点】2,43.【分析】依据度分秒的换算，相交线，一元一次方程的定义，线段的中点的定义、两点间的距离的概念进行判断即可．【解答】解：①57.18°＝57°10′48″，正确；②三条直线两两相交，有一个或三个交点，错误；③x＝0 是一元一次方程，正确；④若线段 PA＝PB，则点 P 不一定是线段 AB 的中点，错误；⑤连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离，错误．故选：C．【知识点】7,9,11,134.【分析】没有明确平面上四点是否在同一直线上，需要运用分类讨论思想.分四点在同一直线上，当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，当没有三点共线时三种情况讨论即可．【解答】解：分三种情况：1、四点在同一直线上时，只可画 1 条；2、当三点在同一直线上，另一点不在这条直线上，可画 4 条；3、当没有三点共线时，可画 6 条．所以最多可以画 6 条．故选：B．【知识点】6,75.【分析】直接利用度分秒转换法则分别计算得出答案．【解答】解：A、0.25°＝15′＝900″，正确，不合题意；B、16°5′24″＝16°5.4′＝16.09°，正确，不合题意；C、47.28°＝47°16′48″，正确，不合题意；D、80.5°＝80°30′，错误，符合题意．故选：D．【知识点】136.【分析】设较大的角为 x，根据互为补角的两个角的和等于 180°表示出较小的角，然后列出方程求解即可．【解答】解：设较大的角为 x，则较小的角为 180°﹣x根据题意得，x﹣（180°﹣x）＝35°解得 x＝107.5°故选：A．【知识点】167.【分析】根据方向角的定义即可判断．【解答】解：A 处观测到的 C 处的方向角是：北偏东 65°B 处观测到的C 处的方向角是：北偏西 50°．故选：B．【知识点】12,138.【分析】依据 OD、OE 分别是∠AOC、∠BOC 的平分线，即可得出∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°，结合选项得出正确结论．【解答】解：∵OD、OE 分别是∠AOC、∠BOC 的平分线∴∠AOD＝∠COD，∠EOC＝∠BOE又∵∠AOD+∠BOE+∠EOC+∠COD＝∠AOB＝130°∴∠AOD+∠BOE＝∠EOC+∠COD＝∠DOE＝65°故选：C．【知识点】149.【分析】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD 为折痕，则∠CBD 的度数为 90°，然后根据平角的定义即可得到结论．【解答】解：∵一张长方形纸片沿 BC、BD 折叠∴∠ABC＝∠A′BC，∠EBD＝∠E′BD而∠ABC+∠A′BC+∠EBD+∠E′BD＝180°∴∠A′BC+∠E′BD＝180°×＝90°即∠ABC+∠DBE＝90°∵∠ABC＝35°∴∠DBE＝55°【知识点】1610.【分析】根据题意和图得出：∠DGC＝∠DCG＝45°,∠HGF＝∠GHF＝45°,再根据∠DGC+∠HGF+γ＝180°，从而得出γ＝90°，然后结合图观察出α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．【解答】解：由题意知：∠DGC＝∠DCG＝45°同理∠HGF＝∠GHF∠＝45°又∵∠DGC+∠HGF+γ＝180°∴γ＝90°由图可知α＞90°，β＜90°∴β＜γ＜α故选：B．【知识点】16二．填空题（共 10 小题）1.【分析】解这类题首先要明确柱体，椎体、球体的概念，然后根据图示进行解答．【解答】解：柱体分为圆柱和棱柱，所以柱体有第一个图形正方体、第三个图形圆柱、第五个图形六棱柱，第六个图形三棱柱共 4 个．故答案为：4．【知识点】212.【分析】根据题意和余角、补角的概念列出方程，解方程即可．【解答】解：设∠A=a由题意得90°﹣a＝（180°﹣a）﹣10°，解得a＝60°．故答案为：60°．【知识点】15,1613.【分析】根据一个角的补角比它的余角多 90°求解即可．【解答】解：∠A 的余角为：90°﹣∠A，∠α的补角为：180°﹣∠A∴∠A 的补角比∠A 的余角大 90°∴∠A 的补角为：52°38′+90°＝142°38′故答案为：142°38′【知识点】15,1614.【分析】根据度分秒加减法计算法则进行解答．【解答】解：48°59′+67°31′﹣21°12′＝116°30′﹣21°12′＝95°18′．故答案为：95°18′【知识点】1315.【分析】根据两点之间线段最短可得公共自行车存放点的位置是 E 处．【解答】解：公共自行车存放点应该建在 B 处，理由是两点之间线段最短．故答案为：E，两点之间线段最短．【知识点】1016.【分析】根据中点的定义，可分别求出 AM、BN 的长度，点C 存在两种情况，一种在线段 AB 上，一种在线段 AB 外，分类讨论，即可得出结论．【解答】解：依题意可知，C 点存在两种情况，一种在线段 AB 上，一种在线段 AB 外．①C 点在线段 AB 上，如图 1：∵点 M 是线段 AB 的中点，点 N 是线段 BC 的中点，∴AM＝＝4cm，BN＝＝1.5cm， MN＝AB﹣AM﹣BN＝4﹣1.5＝2.5cm；②C 点在线段 AB 外，如图 2：：∵点 M 是线段 AB 的中点，点 N 是线段 BC 的中点∴AM＝＝4cm，BN＝＝1.5cmMN＝AB﹣AM+BN＝8﹣4+1.5＝5.5cm综上得 MN 得长为 2.5cm 或 5.5cm故答案为：2.5cm 或5.5cm【知识点】917.【分析】结合图形，然后求出 OB 与西方的夹角的度数，即可得解．【解答】解：如图，根据题意得，∠AOC＝20°，∠COD＝90°∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝30°∴点 B 在点O 的南偏西 60°故答案为：60【知识点】15,1918.【分析】根据图中角与角之间的关系即可求出答案．【解答】解：∵∠AOD＝135°，∠DOB＝105°∴∠AOB＝∠AOD﹣∠DOB＝135°﹣105°＝30°∵∠AOC＝75°∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝75°﹣30°＝45°故答案为：45°．【知识点】1919.【分析】通过观察图形即可得到答案．【解答】如图，把正方体截去一个角后得到的几何体有 12 条棱．故答案为：12．【知识点】2,520.【分析】抓住 A、B、C 三点都在直线 l 上，没有给顺序也没有给图，基本确定题目多解；确定两条线段：AC＝4，BC＝6，画出图，根据题中的中点条件和和差关系即可解决问题【解答】解：∵AC 与BC 的长度之比为 2：3，AC＝4 ∴BC＝6如图，C 在AB 之间时，AB＝AC+BC＝10D 是AB 的中点，AD＝DB＝5CD＝AD﹣AC＝5﹣4＝1如图，C 在AB 外面时，AB＝BC﹣AC＝2D 是AB 的中点，AD＝DB＝1CD＝AD+AC＝1+4＝5故答案：1 或 5【知识点】9三．解答题（共 5 小题）21.【分析】根据比例设 MB＝2x，BC＝3x，CN＝4x，然后表示出 MN，再根据线段中点的定义表示出PN，再根据 PC＝PN﹣CN 列方程求出 x，从而得解．【解答】解：∵MB：BC：CN＝2：3：4∴设 MB＝2xcm，BC＝3xcm，CN＝4xcm∴MN＝MB+BC+CN＝2x+3x+4x＝9xcm∵点 P 是MN 的中点∴PN＝MN＝xcm∴PC＝PN﹣CN即x﹣4x＝2解得 x＝4所以，MN＝9×4＝36cm．【知识点】9,112.【分析】（1）可以设∠BOE 为x，根据条件列方程解决，求出∠BOE；（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a，根据条件列方程解决，求出∠BOE．【解答】解：∵∠AOC＝170°，∠AOB＝70°∴∠BOC＝100°设∠BOE＝x，则∠ECO＝3x∴∠BOC＝∠BOE+∠EOC＝x+3x＝100°∴x＝25°∴∠EOC＝25°（2）设∠BOE＝a，则∠ECO＝3a∵∠DOE＝70°，OD 平分∠AOB∴∠AOD＝∠BOD＝∠DOE-∠BOE＝70°﹣a∴∠AOC＝2∠AOD+∠BOE+∠EOC＝2（70°﹣a）+a+3a＝170°∴a＝15°∴∠EOC＝3a＝45°【知识点】14,1923.【分析】根据直线、射线、线段的概念、两点之间，线段最短画图即可．【解答】解：如图所画：【知识点】8,1024.【分析】（1）根据已知AB＝m（m 为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；（2）根据已知AB＝m（m 为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；（3）根据题意，画出图形，求得 2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出 2AP+CQ﹣2PQ 与1 的大小关系．【解答】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC∵点 C 恰好在线段 AB 中点∴AC＝BC＝AB∵AB＝m（m 为常数）∴PQ＝CQ+CP＝AC+ BC＝×AB+ × AB＝ AB＝ m；故答案为：m；（2）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP∴CQ＝AC，CP＝BC∵AB＝m（m 为常数）∴PQ＝CQ+CP＝AC+ BC＝×（AC+BC）＝AB＝ m；故PQ 是一个常数，即是常数m；（3）如图：∵CQ＝2AQ，∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．【知识点】9,1125.【分析】（1）依据 AD 是∠EAC 的角平分线，即可得出∠DAE＝∠CAD＝45°，再根据∠BAC＝60°，即可得到∠DAB 的度数；（2）分两种情况讨论，设∠BAD＝α，依据∠EAB 和∠DAC 互余，列方程求解即可．【解答】解：（1）如图2，∵AD 是∠EAC 的角平分线∴∠DAE＝∠CAD＝45°∵∠BAC＝60°∴∠DAB＝60°﹣45°＝15°；（2）分两种情况讨论：①如图，当∠EAB 和∠DAC 互余时，设∠BAD＝α则∠BAE＝45°﹣α，∠CAD＝60°﹣α∴45°﹣α+60°﹣α＝90°解得α＝7.5°；②如图，当∠EAB 和∠DAC 互余时，设∠BAD＝α则∠BAE＝α﹣45°，∠CAD＝α﹣60°∴α﹣45°+α﹣60°＝90°解得α＝97.5°；综上所述，当∠EAB 和∠DAC 互余时，∠BAD 的值为 7.5°或 97.5°．【知识点】14,15,19四、附加题26.【分析】（1）根据互为垂角的定义即可求解；（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的”作为相等关系列方程求解．【解答】解:(1)互为垂角的角有 4 对:∠EOB 与∠DOB,∠EOB 与∠EOC,∠AOD 与∠COD,∠AOD 与∠AOE；（2）设这个角的度数为x 度，则①当 0＜x＜90 时，它的垂角是（90+x）度，依题意有90+x＝（180﹣x）,解得x＝30；②当 90＜x＜180 时，它的垂角是（x﹣90）度，依题意有x﹣90＝（180﹣x）,解得x＝130．故这个角为 30 度或130 度．故答案为：∠EOB 与∠DOB，∠EOB 与∠EOC，∠AOD 与∠COD，∠AOD 与∠AOE．【知识点】15,18,1927.【分析】（1）①先求出 PB、CP 与DB 的长度，然后利用 CD＝CP+PB﹣DB 即可求出答案．②用t表示出 AC、DP、CD 的长度即可证明 AC＝2CD；（2）当 t＝2 时，求出 CP、DB 的长度，由于没有说明 D 点在 C 点的左边还是右边，故需要分情况讨论．【解答】解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2（cm），DB＝3×1＝3（cm）∵AP＝8 cm，AB＝12 cm∴PB＝AB﹣AP＝4 cm∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3（cm）②∴AP＝8 cm，AB＝12 cm∴BP＝4 cm，AC＝（8﹣2t）cm∴DP＝（4﹣3t）cm∴CD＝CP+DP＝2t+4﹣3t＝（4﹣t）cm．∴线段 AC 是线段 CD 的二倍．（2）当t＝2 时，CP＝2×2＝4（cm），DB＝3×2＝6（cm）当点 D 在点C 的右边时，如图所示：∵CD＝1.5 cm∴CB＝CD+DB＝7.5 cm∴AC＝AB﹣CB＝4.5 cm∴AP＝AC+CP＝8.5 cm．当点 D 在点 C 的左边时，如图所示：∴AD＝AB﹣DB＝6 cm∴AP＝AD+CD+CP＝11.5 cm综上所述：AP＝8.5cm 或 AP＝11.5cm【知识点】11。
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课题 4.1.1几何图形与平面图形
一、学习目标
1、通过观察生活中的大量图片或实物，经历把实物抽象成几何图形的过程；
2、能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状；
3、能识别一些简单几何体，正确区分平面图形与立体图形。
学习重点：识别简单的几何体
学习难点：从具体事物中抽象出几何图形
二、自主探究
1、几何图形
（1）仔细观察图4.1-1,让同学们感受是丰富多彩的图形世界；
（2）出示一个长方体的纸盒，让同学们观察图4.1-2回答问题：
从整体上看，它的形状是 从不同侧面看，你看到的图形是 看棱得到的是 看顶点的到的是 。
我们见过的长方体、圆柱、圆锥、球、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都是从形形色色的物体外形中得出的。
我们把这些图形称为几何图形。
2、立体图形
说一说下面这些几何图形有什么共同特点？
有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是 .(如： ）
请再举出一些立体图形的例子.
想一想
生活中还有哪些物体的形状类似于这些立体图形呢？
3、平面图形
（1）纸盒
（1）长方体
（2）长方形
（3）正方形（4）线段 点
说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？
平面图形的概念
线段、角、三角形、长方形、圆等它们的各部分都在同一平面内，它们是 。
请再举出一些平面图形的例子。
思考：立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，它们的区别在哪里？它们有什么联系？
三、课堂练习
课本119页练习
四、要点归纳
1、
2、平面图形与立体图形的关系： 立体图形的各部分不都在同一平面内，而平面图形的各部分都在同一平面内； 立体图形中某些部分是平面图形。
五、拓展训练
1.下列几种图形：①长方形；②梯形；③正方体；④圆柱；⑤圆锥；⑥球. 其中属于立体图形的是（ ）
A. ①②③；
B. ③④⑤；
C. ① ③⑤；
D. ③④⑤⑥
【总结反思】
现实物体 几何图形 平面图形 立体图形
看外形。