广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研数学试题(wd无答案)
广东省深圳高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试化学试题(解析版)
B.元素对应形成的简单离子半径大小顺序为：d>c>a>b
C.b单质的电子式为：b××b
D.c、d两种元素气态氢化物的稳定性比较：d >c
【答案】D
【解析】
【分析】已知化合物中的b元素不存在正价，则b为F元素，则a为O元素，c为S元素，d为Cl元素。
【详解】A．a为O元素，c为S元素，二者可以形成化合物SO2、SO3，均为只含共价键的共价化合物，故A错误；
B.燃煤中加入生石灰可以有效降低二氧化碳的排放，减少温室效应
C.植物油的主要成分为不饱和高级脂肪酸甘油酯，长时间放置的植物油会因水解而变质
D.在杀灭新冠肺炎的战役中，世界卫生组织将二氧化氯列为A类高效安全灭菌消毒剂，二氧化氯能用于杀菌消毒是基于其强氧化性
【答案】D
【解析】
【详解】A．植物秸秆主要成分 纤维素，纤维素多步水解只能得到葡萄糖，葡萄糖再无氧发酵才能生成乙醇，故A错误；
A.分子式为C19H12O6，有可能用它制抗凝血药
B.属于酚类物质
C.可发生水解、加成、氧化反应
D.1mol双香豆素在碱性条件水解，消耗NaOH4 mol
【答案】B
【解析】
【详解】A．根据该物质的结构简式可知其分子式为C19H12O6，小母牛食用腐败草料后，血液不会凝固，而腐败草料中含有双香豆素，所以有可能用它制抗凝血药，故A正确；
A.23 g Na与O2完全反应生成Na2O和Na2O2时转移电子数为NA
B.13g13C中所含的中子数在标准状况下为6NA
C.在标准状况下，22.4L三氧化硫所含原子数为4NA
D.1mol乙酸和1mol乙醇加入浓硫酸并加热，充分反应后生成的乙酸乙酯的分子数为NA
广东省深圳实验学校2020-2021学年高二上学期第二阶段考试化学试题(wd无答案)
广东省深圳实验学校2020-2021学年高二上学期第二阶段考试化学试题一、单选题(★★★) 1. 下列说法中正确的是A．储热材料是一类重要的能量储存物质，单位质量的储热材料在发生熔融或结晶时会吸收或释放较大的热量B．反应热的单位kJ·mol-1表示1mol物质参加反应时的能量变化C．Mg在CO2中燃烧生成MgO和C，反应中化学能全部转化成热能D．在可逆反应中，正反应焓变与逆反应焓变相等(★★★) 2. 下列关于能源的说法不正确的是A．生物质能、地热能、氢能、风能、潮汐能、天然气等为清洁能源B．化石燃料在燃烧过程中能产生污染环境的一氧化碳、二氧化硫等有害气体C．化石燃料的燃烧一定是放热反应，但并不是所有的化学反应都一定伴随着能量变化D．直接燃烧煤不如将煤进行深加工后燃烧效果好(★★★) 3. 25℃、101 kPa时，强酸与强碱的稀溶液发生中和反应的中和热△ H=-57.3kJ∙mol -1，，石墨的燃烧热△ H=-393.5kJ∙mol -1，乙醇的燃烧热△ H=-1366.6kJ∙mol -1。
下列热化学方程式书写正确的是A．B．C．D．(★★) 4. 下列事实不能用勒夏特列原理解释的是A．黄绿色的氯水光照后颜色变浅B．CaCO 3(s)CaO(s)+CO2(g)，平衡时将容器的体积缩小至一半，新平衡的浓度与原平衡相同C．用浓氨水和氢氧化钠固体可快速制取氨气D．打开汽水瓶时，有大量气泡溢出(★★★★) 5. 对于在一个密闭容器中进行的反应C(s)+H 2O(g) CO(g)+H 2(g) ，下列条件的改变对反应速率几乎没有影响的是①增加C的量；②增加CO的量；③将容器的体积缩小一半；④保持体积不变，充入N 2以增大压强；⑤升高反应体系的温度；⑥保持压强不变，充入N 2以增大体积。
A．②③B．①④C．①⑥D．④⑥(★★★) 6. 在一定温度下，下列叙述不是可逆反应A(g)＋3B(g) 2C(g)达到平衡状态标志的是（）①C生成的速率与C分解的速率相等；②单位时间内生成a mol A，同时生成3a mol B；③A、B、C的浓度不再变化；④A、B、C的压强不再变化；⑤混合气体的总压强不再变化；⑥混合气体的物质的量不再变化；⑦单位时间内消耗a mol A，同时生成3a mol B；⑧A、B、C的分子数之比为1∶3∶2A．②⑧B．①⑥C．②④D．③⑧(★★★) 7. 下列有关平衡常数的说法正确的是A．改变条件，反应物的转化率增大，平衡常数也一定增大B．2NO 2(g)N2O4(g)，开始时充入1molN2O4，平衡常数表达式为C．对于给定的可逆反应，温度一定时，其正、逆反应的平衡常数相等D．，若改变温度使平衡常数增大，则该反应一定是往正反应方向移动(★★) 8. 下列过程一定不能自发进行的是( )A．2N2O5(g)=4NO2(g)＋O2(g) ΔH＞0B．2H2(g)＋O2(g)=2H2O(l) ΔH＜0C．(NH4)2CO3(s)=NH4HCO3(s)＋NH3(g) ΔH＞0D．2CO(g)=2C(s)＋O2(g) ΔH＞0(★★★) 9. 在一定温度下，冰醋酸加水稀释过程中，溶液导电能力如图所示，下列说法不正确的是A．用湿润的pH试纸测量a处溶液的pH，测量结果可能偏小B．a、b、c三点，a点时醋酸溶液中H＋浓度最小C．b点时，醋酸电离程度最大D．可通过微热的方法使c点溶液中c(CH3COO-)增大(★★★) 10. 氢碘酸(HI)可用“四室式电渗析法”制备，其工作原理如图所示(阳膜和阴膜分别只允许阳离子、阴离子通过)。
广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(wd无答案)
广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期期末教学质量检测数学试题一、单选题(★★★) 1. 复数z 满足 ，则A ．B ．C ．D ．(★) 2. 已知随机变量 ，那么随机变量 的均值 （）A ．B ．C ．D ．(★) 3. 为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系，运用列联表进行独立性检验，经计算，则所得的结论是：有______把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”附表：A ．B ．C ．D ．(★★) 4. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （）A ．B ．C ．D ．(★) 5. 设函数 的图象与 轴相交于点 ，则曲线 在点 处的切线方程（）A．B．C．D．(★★) 6. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，我国古代的数学家赵爽创制了一幅“股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成大正方形，若直角三角形中较小的锐角的正切值为，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形概率是（）A．B．C．D．(★★) 7. 现有、、、、五人，随意并排站成一排，那么、相邻且在左边的概率为（）A．B．C．D．(★) 8. 如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C．D．(★) 9. 在展开式中，二项式系数的最大值为，含的系数为，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 已知某三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，正视图如图所示．若该三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A．B．C．D．(★★) 11. 在正方体的个顶点中，以任意个顶点为顶点的三棱锥，共有（）A．个B．个C．个D．个(★★★) 12. 设函数是奇函数的导函数，，当时，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 某高中的三个年级共名学生，用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为的样本．已知高一年级有名学生，高二年级有名学生，则在高三年级应抽取______名学生．(★★★) 14. 在的展开式中，含项的系数是 _______________ . (★★) 15. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有性质．下列函数中所有具有性质的函数的序号为_______．① ② ③ ④三、双空题(★★) 16. 设是原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的实部为______，虚部为_______．四、解答题(★★) 17. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．(★★★) 18. 如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若，，求点到平面的距离．(★★) 19. 如图是某地区2000年至2019年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2019年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型①：；根据2010年至2019年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型②：．（1）分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．(★★★★) 20. 如图1，在平行四边形中，，，，将沿折起，使得平面 平面 ，如图2．图1图2 （1）证明： 平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．(★★★) 21. 某超市计划在九月订购一种时令水果，每天进货量相同，进货成本每个 元，售价每个元（统一按个销售）．当天未售出的水果，以每个 元的价格当天全部卖给水果罐头厂根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关.如果最高气温不低于 ，需求量为 个；如果最高气温位于区间，需求量为个；如果最高气温低于，需求量为 个．为了确定九月份的订购计划，统计了前三年九月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温天数以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求九月份这种水果一天的需求量 （单位：个）的分布列．（2）设九月份一天销售这种水果的利润为 （单位：元）．当九月份这种水果一天的进货量（单位：个）为多少时， 的数学期望达到最大值？(★★★) 22. 已知函数．（1）当时，判断函数是否有极值，并说明理由；（2）若函数 有两个极值点 ，，且，证明：．。
2020-2021学年广东省广州市天河中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年广东省广州市天河中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程为（ ） A ．22y x = B ．22x y =- C ．2y x =-D ．2x y =-【答案】B【分析】根据准线方程,可知抛物线的焦点在y 轴的负半轴,再设抛物线的标准方程为22x py =-,根据准线方程求出p 的值,代入即可求解.【详解】由题意可知,抛物线的焦点在y 轴的负半轴, 所以可设抛物线的标准方程为：()220x py p =->,因为抛物线的准线方程是12y =, 所以122p =,即1p =, 所以所求抛物线的标准方程为22x y =-. 故选:B【点睛】本题考查根据抛物线的准线方程求其标准方程;熟练掌握四种不同形式的抛物线的标准方程是求解本题的关键;属于基础题.2．平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列式子中与1D M 相等的是（ ）A ．1122--a b c B ．1122a b c -+C ．1122-++a b c D ．1122a b c --+ 【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算性质以及图示即可表示1D M .【详解】∵平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，AB a =，AD b =，1AA c =，∴()()111111AM A AB AD AD AA 222D M D a b c =-=+-+=-- 故选A ．【点睛】主要考查了空间向量的线性运算及其几何意义，属于基础题.3．已知等比数列{}n a 满足11374a a a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且77a b =，则13(S = )A ．52B ．26C ．78D ．104【答案】A【分析】利用等比数列的性质求出74a =，从而774b a ==，再由等差数列的求和公式及等比数列中项的性质可得13713S b =，能求出结果．【详解】解：等比数列{}n a 满足11374a a a =，可得2774a a =，解得74a =，数列{}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，且774a b ==， 则1311371()1313134522S b b b =+⨯==⨯=．故选：A ．【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，以及等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F 的面积为1，则双曲线的方程为（ ）A ．22123x y -=B ．22132x y -=C ．2214x y -=D ．2214y x -=【答案】C【解析】试题分析：由已知c =．因为点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F 的面积为1，所以122PF PF ⋅=，又22221212||||420PF PF F F c +===，所以222121212()||216PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=，即2416a =，24a =，2221b a c =-=，故选C ．【解析】1．双曲线的定义、标准方程；2．双曲线的几何性质．5．已知P 是椭圆2214x y +=上的动点，则P点到直线:0l x y +-=的距离的最小值为（ ） A．2BC．5D．5【答案】A【解析】试题分析：设()2cos ,sin P θθ，由点到直线距离公式有d ===. 【解析】直线与圆锥曲线位置关系．6．已知P 为抛物线24y x =上一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上一个动点，那么点P到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是（ ） A．1 B．2 C1 D 2【答案】C【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而问题转化为求点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值，根据图象可知当,,P Q F 三点共线时P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F 的距离减去圆的半径.【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，圆()2241x y +-=的圆心为()0,4C，半径1r =，根据抛物线的定义可知点P 到准线的距离等于点P 到焦点的距离，进而推断当,,P Q F 三点共线时，P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的焦点距离之和的最小值为171FC r -=，故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，属于中档题. 与抛物线的定义有关的最值问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；（2）将拋物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．22B 21C ．322-D 31【答案】B【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得222222321a p b p ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解.【详解】易知2p c =，且2222222222222444a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有2223c e a==-1e ==-故选：B【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题8．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（ ）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【分析】先根据a ，b ，c 的关系得出229a b +=，设出A ，B 两点的坐标，代入双曲线方程，两式相减利用中点坐标公式，求出AB k ，再根据直线过点M ，F 求出AB k ，即可得出222a b =，进而求出2a ，2b 得出双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线E 的标准方程为：22221x y a b-=，由题意知：3c =， 即229a b +=①设()11,A x y ，()22,B x y ，AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式作差得：22221212220x x y y a b---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又0235M F AB M F y y kx x -===----，即2255a -=-， 解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=. 故选：B.【点睛】方法点睛：解决双曲线有关弦以及弦中点的问题，常利用根与系数的关系以及“点差法”，但前提必须保证直线与双曲线有两个不同的交点.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．“00x ∃>，200210x x -->”的否定为“0,x ∀≤2210x x --≤”C ．“若1x >，则21x >”的逆否命题为真命题D ．“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件 【答案】CD【分析】对A ，写出该命题的否命题，即可判断；对B ，写出该命题的否定命题，即可判断；对C ，由原命题与逆否命题同真假可知，只需判断原命题的真假即可；对D ，由充分必要条件的定义即可判断.【详解】解：对A ，“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对B ，“00x ∃>，200210x x -->”的否定为“0,x 2210x x --≤”，故B 错误；对C ，“若1x >，则21x >”为真命题，由原命题与逆否命题同真假知，其逆否命题也为真命题，故C 正确； 对D ，1x =-时，2560x x --=成立，∴充分性成立；当2560x x --=时，解得：1x =-，或6x =，∴必要性不成立；故“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，故D 正确. 故选：CD.10．已知A ，B 两点的坐标分别是()1,0-，()1,0，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（ ） A ．当1m =-时，点P 的轨迹为圆B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m >时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点） 【答案】ABD【分析】设出P 点的坐标，根据直线AP 的斜率与直线BP 的斜率之积为m ，可得出含有参数m 的点P 轨迹方程，然后对m 进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项.【详解】设点P 的坐标为(,)x y ，直线AP ，BP 的斜率为()11AP yk x x =≠-+，()11BP yk x x =≠- 由已知得，()111y y m x x x ⨯=≠±+- 化简得点P 的轨迹方程为()2211,0y x x m m+=≠±≠-，分析A ，当1m =-时，方程为221(1)x y x +=≠±，故A 正确；分析B ，当10m -<<，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示焦点在x 轴上的椭圆，故B 正确；分析C ，当01m <<，方程为()2211y x x m+=≠±-，不表示抛物线，故C 错误；分析D ，1m ，方程为()2211y x x m+=≠±-，表示焦点在x 轴上的双曲线，故D 正确；故选：ABD.【点睛】曲线的轨迹方程解题步骤为： ①设动点坐标(,)x y②根据题意建立x 与y 的关系式③化简整理x 与y 的关系式，得出轨迹方程. 11．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a = B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=【答案】ABD【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项.【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S .12．已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线2222 1.x y N m n -=：若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ）1.74≈≈）A ．椭圆的离心率1e =B ．双曲线的离心率2e =C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在不同的四个点B i (i =1,2,3,4),使得12i i B F B F ⊥ 【答案】ABD【分析】不妨设1c =，由已知条件可求得椭圆M 和双曲线N 的参数，进而求得离心率，判定AB ；根据,b c 的大小关系，可知当A 为椭圆M 的上顶点时21F AF ∠为钝角，从而判定C 错误；以12F F 为直径作圆与双曲线N 有四个不同的交点，即符合D 中的要求. 【详解】如图，不妨设1c =，双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 在第一象限的交点坐标为1,22P ⎛ ⎝⎭，由正六边形的性质，可得12PF PF ⊥，2160PF F ∠=︒,211,||PF PF ∴==，椭圆M 的长轴长a =,∴2221b a c =-=<,b c ∴<, ∴当A 为椭圆的上顶点时21F AF ∠为钝角，120AF AF ⋅<,故C 错误；∴椭圆M 离心率11e ==，故A 正确；双曲线N 的渐近线方程为y =,∴=nm，又∵2224m n c +==,1,m n ∴==∴双曲线N 的离心率为22ce m==,故B 正确；以12F F 为直径作圆，显然与双曲线N 有四个不同的交点，这四个点关于12F F 所张的角为直角，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的性质，属于中档题.取1c =可以给后面的计算带来方便，利用椭圆的定义求椭圆中的参数a 是常用的方法，可以减少运算量.三、填空题13．与双曲线2212x y -=有相同的渐近线，并且过点()2,3--的双曲线方程是______.【答案】221714y x -=【分析】设双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为222x y -=λ，(0)λ≠，把点()23--，代入，求出λ的值，由此能求出双曲线方程． 【详解】设双曲线2212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程为222x y -=λ，(0)λ≠，把点()23--，代入，得：492-7=-，7λ∴=-， ∴所求双曲线方程为221714y x -=．故答案为：221714y x -=.【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．一般的，与221Ax By +=的渐近线相同的双曲线的方程都可以表示为22(0,0)Ax By k AB k +=<≠.14．已知实数,x y 满足不等式组0,0,28,39,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩则3z x y =+的最大值是__________．【答案】12 【解析】分析：画出不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的可行域，平移3z x y =+，结合所画可行域，可求得3z x y =+的最大值.详解：作出不等式组002839x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域如阴影部分，分析知，平移直线3z x y =+，由图可得直线经过点()A 0,4时，z 取得最大值，且max 03412z =+⨯=，故答案为12. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．已知椭圆22195y x +=的上焦点为F ，M 是椭圆上一点，点()23,0A ，当点M在椭圆上运动时，MA MF +的最大值为__________. 【答案】10【分析】先设椭圆的下焦点为F '，由椭圆的定义知：6MF MF '=-，利用MA MF AF -'≤'，即可得到MA MF +的最大值．【详解】解：如图所示：设椭圆的下焦点为F '，22195y x +=， 3a ∴=，26a =，又||26MF MF a '+==，即6MF MF '=-，6MA MF MA MF '∴+=-+， 又MA MF AF ''-≤，当且仅当A ，F '，M 共线且F '在线段AM 上时等号成立，2952c a =--=， ()0,2F '∴- ()222324AF '∴=+=，||4MA MF '∴-≤，MA MF ∴+的最大值为4610+=. 故答案为：10.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是数形结合，根据三角形的三边性质及椭圆的定义即可得到最值.四、双空题 16．函数()21f x x x =+-（x ＞1）的最小值是______；取到最小值时，x =______．【答案】1 12【分析】由题知10x ->，又由()2111f x x x =-++-，结合基本不等式即可求解． 【详解】∵1x >， ∴10x ->，由基本不等式可得()121111f x x x ≥==-++-，当且仅当211x x -=-即1x =1．故答案为：1；1+【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，考查学生的运算求解能力．五、解答题17．命题:p 对()0,x ∀∈+∞，()1f x x a x=+>成立，命题:q 关于x 的不等式240x x a -+<的解集为空集.（1）若命题p 为真，求实数a 的取值范围； （2）若“p 或q ”为真，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(),2-∞；（2）()[),24,-∞+∞.【分析】（1）利用基本不等式求出函数()f x 在区间()0,∞+上的最小值，进而可求出当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围；（2）求出当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围，由“p 或q ”为真可知p 真或q 真，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）若命题p 为真命题，对()0,x ∀∈+∞，()1f x x a x=+>，则()min a f x <，当0x >时，由基本不等式可得()12f x x x =+≥=， 当且仅当1x =时，等号成立，所以，函数()f x 在()0,∞+上的最小值为2，2a ∴<； （2）若命题q 为真命题，则关于x 的不等式240x x a -+<的解集为空集， 所以，1640a ∆=-≤，解得4a ≥.因为“p 或q ”为真，则p 真或q 真，所以，实数a 的取值范围是()[),24,-∞+∞.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ．已知112a b =，26S =，312S =，243T =，*n ∈N ． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数k ，使得6k S k <且139k T >？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2n a n =；113n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）存在4k =满足题意．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，在等差数列{}n a 中，由已知求解公差d ，进一步求得首项，可得等差数列的通项公式；由112a b =求得1b ，结合已知求得2b ，可得等比数列的公比，则等比数列的通项公式可求； （2）由（1）知，1()(1)2k k k a a S k k +==+，由6k S k <解得k 范围，再由131132239k k T -=->⨯，解得k 范围，即可判断出结论． 【详解】解：（1）设数列{}n a 的为d ，在数列{}n a 中，3236S S a -== 又因为2123321236S a a a d a d d =+=-+-=-=，所以2d = 从而1322a a d =-=，所以2(1)22n a n n =+-⨯= 由112a b =得：111b T == 因为22141133b T T =-=-=，设数列{}n b 的公比为q 所以2113b q b ==，所以1111133n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）知：()1(1)2k k k a a S k k +==+所以(1)6k S k k k =+<，整理得250k k -<，解得05k <<又因为1111313*********13k k kk T -⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭==-=- ⎪⨯⎝⎭- 所以131132239k k T -=->⨯，即11139k -<，解得3k > 所以4k =【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3，短轴一个端点到右焦点的(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的左焦点且斜率为1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求AB .【答案】(1)22132x y +=；(2)5【分析】(1)先由离心率得到a =到223b c +=，结合222a b c =+，即可求出椭圆C 的方程；(2)写出直线方程，联立直线与椭圆的方程，根据弦长公式即可求出AB .【详解】解：(1)由题意知：c e a ==，即a = ①，即2223b c +== ② 又222a b c =+ ③由①②③解得：23a =，22b =，∴椭圆C 的方程为：22132x y +=；(2)由(1)知：椭圆的左焦点()110F -，， ∴直线l 的方程为：1y x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立：221132y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ， 整理得：25630x x +-=，∴1265x x +=-，1235x x =-，5AB ∴==． 【点睛】思路点睛：求解椭圆中的弦长问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式，即可求出结果；有时也可由直线与椭圆方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出弦长.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*240.n n S a n N -+=∈(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a +=；（2）n T 22n n +=⋅．【分析】（1）利用已知条件，利用递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步求出1(1)2n n b n ++⋅=，再利用乘公比错位相减法求出数列的和．【详解】（1）令1n =，则14a =且()*240n n S a n N -+=∈①，当2n ≥时，11240n n S a ---+=②， ①-②得：122n n n a a a -=-，所以：12nn a a -=(常数)， 则数列{}n a 是以14a =为首项，2为公比的等比数列.则11422n n n a -+=⋅=，当1n =时，14a =(符合通项)，故12n n a +=.（2）由（1）得：2log n n n b a a =⋅1(1)2n n +=+⋅， 则：2312232(1)2n n T n +=⋅+⋅++⋅①，所以：34222232(1)2n n T n +=⋅+⋅++⋅②， ①-②得：312822(1)2n n n T n ++-=+++-+⋅，()128218(1)221n n n -+-=+-+⋅-，解得：231(1)222n n n T n +-=+⋅-⋅22n n +=⋅.【点睛】方法点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查数列求和，数列求和的方法总结如下：1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．21．已知F 是顶点在原点，对称轴为x 轴的抛物线的焦点，()1,1A 在抛物线上. （1）B 、C 是该抛物线上的两点，3BF CF +=，求线段BC 的中点到y 轴的距离；（2）过点()3,1P -的直线与抛物线交于M ，N 两个不同的点（均与点A 不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值. 【答案】（1）54；（2）证明见解析． 【分析】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，代入A 的坐标，可得p ，运用抛物线的定义，以及中点坐标公式可得所求距离；（2）设直线l 的方程为3x my m =++，代入抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．【详解】（1）设抛物线的方程为22(0)y px p =>，由21p =，可得12p =， 抛物线的方程为2y x =，F 是抛物线2y x =的焦点，1(4F ，0)，准线方程14x =-，设1(C x ，1)y ，2(B x ，2)y ，根据抛物线的定义可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可得114CF x =+，21||4BF x =+， 则2111|344BF CF x x +=+++=，可得1252x x +=，则线段BC 的中点横坐标为54， 故线段AB 的中点到y 轴的距离为54； （2）证明：设过点(3,1)P -的直线l 的方程为3(1)x m y -=+，即3x my m =++，代入2y x =得230y my m ---=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ， 则12y y m +=，123y y m =--， 所以121212121212221212121211()1()1··11(2)(2)(2)()(2)y y y y y y y y y y k k x x my m my m m y y m m y y m ---++-++===--+++++++++22231221(3)(2)(2)442m m m m m m m m m ---+--===---+++++，即12k k 为定值12-． 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线定义的应用，考查直线与曲线中的定值问题，解决本题的关键点是利用两点的斜率公式表示出12k k ，并利用韦达定理代入计算，并消去公因式得到定值，考查了学生计算能力，属于中档题．22．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，直线1y =与C.(1)求椭圆C 的方程；(2)分别过1F 、2F 作1l 、2l 满足12l l //，设1l 、2l 与C 的上半部分分别交于A 、B 两点，求四边形21ABF F 面积的最大值.【答案】(1) 22143x y +=；(2)3【分析】(1)利用焦距为2以及直线1y =与C 的两个交点间的距离，求出a ， b 即可求椭圆C 的方程；(2)直线与椭圆方程联立，先求出2ADF S ，再找到四边形面积与三角形面积的关系，即可求出四边形21ABF F 面积的最大值. 【详解】解：(1)由题意知：1y =与C 的两个交点间的距离为463，∴椭圆过点26，即2222226318113a b a b ⎛ ⎝⎭+=+= ① 又22c =，即1c =，又222a b c =+，即221a b =+②由①②解得：24a =，23b =，∴椭圆的方程为22143x y +=；(2)如图所示：设直线1:1l x my =-，它与C 的另一个交点为D ，联立：221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得：22(34)690m y my +--=，2144(1)0m ∆=+>，设交点()11,A x y ，()22,D x y ， 则122634m y y m +=+，122934y y m =-+， 22222121||14694433m AD m m m m ⎛⎫- ⎪+++⎛⎫∴=+-⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭又2F 到1l 的距离为21d m =+，22221121122341ADF m Smm +∴==++， 令211t m =+≥，则221m t =-，21231ADF St ∴=+， 即当1t =时，最大值为3， 设四边形21ABF F 的面积为S ， 由椭圆的对称性知：21BF DF =，21211111(||||)(||||)||222ADF S AF BF d AF DF d AD d S ∴=+⋅=+⋅=⋅=，∴四边形21ABF F 面积的最大值为3.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到四边形21ABF F 面积与2ADF △面积的关系.第 21 页共 21 页。
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高二上学期期末考试英语试题+Word版含答案
深圳高级中学（集团）2020－2021 学年第一学期期末测试高二英语试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第 1 至第 9 页，第Ⅱ卷第9 至第 11 页。
全卷满分 120 分：第Ⅰ卷 80 分；第Ⅱ卷 40 分。
考试时间 120 分钟。
注意事项：1、答题前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2、答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、答第Ⅱ卷时，使用黑色墨水签字笔在答题卡指定区域书写，要求字体工整，笔迹清晰。
4、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
第I 卷选择题部分一、单项选择（共30小题；每小题0.5分，满分15分）请从各题所给的A、B、C、D 四个选项中，选出一个最佳选项。
1.China, a country with more than 5,000 years of history, is peopled with fifty-six distinctive ethnic groups and thus is renowned for its rich and cultures.A.delicateB. distinguishedC. diverseD. distinct2.Among the various books concerning calligraphy, I like Introduction t o Calligraphy , which is highly thought of by calligraphy fans.A.in factB. in contrastC. in particularD. in addition3.our school, I am writing this letter to cordially extend my invitation to alumni(校友) from all over the world to participate in this grand festival with us.A.Instead ofB. In place ofC. In exchange forD. On behalf of4.Before the journey, it is necessary that you should learn some Chinese daily expressions, whichwill you a wonderful experience in China.A.provideB. guaranteeC. serveD. attempt5.The problem of garbage pollution is getting so serious that many cities around the world are now being surrounded by garbage and people are suffering from the of it.A.circumstancesB. componentsC. consequencesD. conclusions6.Ranging from visiting time-honored Jiangnan gardens, reading dating from thousands of years ago, to appreciating the local Jiangnan songs, various activities opened up a window for us to catch a glimpse of the poetic world.A.guidebooksB. brochuresC. advertisementsD. poems7.his misfortune, Steven Hawking set an example to the whole world, showing his determination to overcome any hardship.A.In favour ofB. In charge ofC. In spite ofD. In danger of8.The students in SZSHS have great admiration for their English teachers, whose helpfulness and kindness win great popularity and a good among them.A.reliabilityB. refreshmentC. reputationD. restoration9.As we all know, jiaozi, regarded as a symbol of reunion, is one of the most foodsduring the Spring Festival, which most people will eat with their family to celebrate the coming of the new year.A.normalB. ordinaryC. generalD. typical10.The reason why the China Railway High-Speed (CRH) is favoured by many passengers is thatcompared with other means of transportation such as cars and planes, the CRH’s higher speedthan cars’ and lower price than planes’people from all walks of life.A.appeal toB. contribute toC. subscribe toD. devote to11.Knowing that you show a for Tai Chi and are willing to learn it, I’m more than gladto offer you some practical advice.A.possibilityB. professionC. prejudiceD. preference12.As for the present, I recommend that you select some well-designed ones and it should not benecessarily expensive but .A.averageB. abstractC. appropriateD. actual13.The campus book fair will attract students from different schools and there they will sell, buy andsecond-hand books.A.removeB. conveyC. consumeD. exchange14.by an anonymous English teacher, the camera club was set up with her generousdonation and has served all the students for 15 years, during which many wonderful activities have been organized and arranged in our club.A.FoundB. SponsoredC. AttemptedD. Supplied15.My rich experience as a passionate and responsible translator ___________ me for the jobadvertised on your website.A.equipsB. qualifiesC. enablesD. allows16.Likewise, if you have trouble in coping with your academic challenges, listening to upbeat musicmay help you brighten your day, boost your mood and thus relieve your .A.stressB. shadowC. sorrowD. darkness17.Knowing that you have been to online games for a long time, I am very worriedabout you and willing to do my utmost to help you get rid of the bad hobby.A.adaptedB. addictedC. opposedD. accommodated18.If you want to have a further understanding of paper-cut, it is wise of you to know someworld-famous figures and appreciate their which can best demonstrate theirunparalleled skills.A.masterpiecesB. perspectivesC. judgmentsD. techniques19.Troubled by the new language and the unfamiliar surroundings, I’m writing to ask whether itpossible for you to offer me some advice on how to get to the new campus life in a foreign country.A.accustomedB. connectedC. allergicD. admitted20.Many Chinese still tend to live together because by doing this all family members can develop astrong sense of belonging as well as their emotional bonds.A.enhanceB. strengthenC. boostD. improve21.For the sake of our human beings’h ealth and happiness, posters were put up around thecommunity to public concern over environment protection.A.accumulateB. preserveC. causeD. arouse22.In order to protect the wildlife, it is high time that severe measures should be to stopillegal hunting and logging.A.inventedB. organizedC. adoptedD. scheduled23.Since you seem to be surprised at the fact that in China, three generations, grandparents, parentsand children, often live together, it will be my pleasure to explain this to you.A.phenomenonB. coincidenceC. exampleD. detail24.With the belief that family and friends are those who shape my life, I spend large oftime I can spare keeping them company.A.numberB. amountC. dealD. quantities25.Sally and I quietly exchanged amused when we heard this.A.glancesB. wordsC. opinionsD. anxiety26.a t several foreign languages, I’m confident that I’m fit for the volunteer job in thisexhibition.A.ExcellingB. EnrollingC. EngagingD. Experiencing27.On the path of pursuing knowledge, numerous teachers we have may have a lifelongimpact on us, and even contribute to shaping who we are.A.evaluatedB. awaitedC. assistedD. encountered28.So, if you can come and celebrate the Dragon-boat Festival with our family, I am sure you can get a much deeper into our culture.A.understandingB. commandC. insightD. comprehension29.When it comes to dormitories, what deserves your special attention is how much thefee is.A.entranceB. accommodationC. tuitionD. living30.If interested in the competition, please your photo on our school website beforeNovember 22nd.A.submitB. applyC. registerD. consult二、阅读理解（共两节，满分50分）第一节（共15 小题；每小题 2.5 分, 满分37.5 分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C、D 四个选项中选出最佳选项。
广东省珠海二中2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题含答案
（1）求 cos C ；
（2）若 c 3 ，求 a b 的取值范围.
解：（1） a c cos B 1 b ，由正弦定理可得 sin A sin C cos B 1 sin B ，
2
2
即 sin B C sin C cos B 1 sin B ，整理得 sin B cos C 1 sin B .
3、非选择题必须用黑色自己的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如
需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项
有 (8k 2 )2 4(1 2k 2 )(8k 2 2) 0 ，整理得 2k 2 1 0 .
设 A(x1,y1) ， B(x2 , y2 ) ，则
x1
x2
8k 2 1 2k2
，
x1x2
8k 2 2 1 2k2
.
有 kAF
kBF
y1 x1 1
y2 x2 1
k x1 2
x1 1
k x2 2
g
x
sin
x
4
的图像，则正数
的
最小值等于 3 . 2
17.下列命题中：（1）“若 xy 1，则 x，y 互为倒数”的逆命题；（2）“四边相等的四边形是正方形”的否命
题；（3）“梯形不是平行四边形”的逆否命题；（4）“若 sin x sin y ，则 x y ”的逆命题.其中是真命题的
是（1）（2）（3）（4）.
2020-2021学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
十四两条直线的交点坐标两点间的距离公式(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是( )A.-24B.6C.-6D.242.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为( )A. B. C.3 D.23.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C. D.4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是.6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.三、解答题7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.(1)求实数m的值.(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.【加练·固】已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.(15分钟·30分)1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )A. B.C. D.2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( )A. B.1+C.1+D.2-3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.5B.C.5D.24.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.十四两条直线的交点坐标两点间的距离公式(20分钟·40分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)两条直线l1:2x+3y-m=0与l2:x-my+12=0的交点在y轴上,那么m的值可以是( )A.-24B.6C.-6D.24【解析】选BC.2x+3y-m=0在y轴上的截距为,直线x-my+12=0在y轴上的截距为,由=得m=±6.2.已知A(-1,0),B(5,6),C(3,4)三点,则的值为( )A. B. C.3 D.2【解析】选D.由两点间的距离公式,得|AC|==4,|CB|==2,故==2.3.若直线3x+2y-2m-1=0与直线2x+4y-m=0的交点在第四象限,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-2)B.(-2,+∞)C. D.【解析】选D.联立两直线的方程得解得因为交点在第四象限,所以解得m>-.4.设A(-2,3),B(1,2),若直线ax+y-1=0与线段AB相交,则a的取值范围是( ) A.[-1,1] B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)【解析】选C.直线ax+y-1=0经过定点P(0,1),k PA==-1,k PB==1.因为直线ax+y-1=0与线段AB相交,所以-a≥1或-a≤-1,则a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,则P的坐标是.【解析】因为点A(-1,2),B(2,),在x轴上求一点P,使|PA|=|PB|,所以设P(a,0),则=,解得a=1.所以P(1,0).答案:(1,0)6.两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点为,经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.【解析】联立解得所以两直线2x-3y-12=0和x+y-1=0的交点坐标为(3,-2);当直线l过原点时,直线方程为y=-x,即2x+3y=0,当直线l不过原点时,设直线方程为x+y=a,则3-2=a,即a=1.所以直线方程为x+y-1=0.所以经过此交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0或x+y-1=0.答案:(3,-2) 2x+3y=0或x+y-1=0三、解答题7.(10分)已知三条直线l1:x+y-3=0,l2:3x-y-1=0,l3:2x+my-8=0经过同一点M.(1)求实数m的值.(2)求点M关于直线l:x-3y-5=0的对称点N的坐标.【解析】(1)解方程组得交点M(1,2).将点M(1,2)的坐标代入直线l3:2x+my-8=0,得m=3.(2)方法一:设点N的坐标为(m,n),则由题意可得解得所以对称点N的坐标为(3,-4).方法二:由(1)知M(1,2),所以,过M且与x-3y-5=0,垂直的直线方程为:y-2=-3(x-1),即3x+y-5=0.解方程组得交点为H(2,-1),因为M,N的中点为H,所以,x N=2×2-1=3,y N=2×(-1)-2=-4,所以对称点N的坐标为(3,-4).【加练·固】已知点A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).判断A,B,C,D四点能否围成四边形,并说明理由.【解析】不能.理由如下:因为k AB==2,k BC==2,即k AB=k BC,所以A,B,C三点共线,所以A,B,C,D四点不能围成四边形.(15分钟·30分)1.(5分)已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点 ( )A. B.C. D.【解析】选 D.由2a+b=1,得b=1-2a,代入直线方程ax+3y+b=0中,得ax+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0,令解得所以该直线必过定点.2.(5分)△ABC的三个顶点分别为A(0,3),B(3,3),C(2,0),如果直线x=a,将△ABC分割成面积相等的两部分,那么实数a的值等于( )A. B.1+C.1+D.2-【解析】选A.AC:+=1,即3x+2y-6=0.由得,因为S△ABC=,所以×a×=,得a=或a=-(舍去).3.(5分)已知两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,则|PA|+|PB|的最小值为( )A.5B.C.5D.2【解析】选D.因为两定点A(-3,5),B(2,8),动点P在直线x-y+1=0上,所以点A(-3,5),B(2,8)在直线x-y+1=0同侧,设点A关于直线x-y+1=0的对称点为C(a,b),则解得a=4,b=-2,所以C(4,-2),所以|PA|+|PB|的最小值为:|BC|==2.4.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,3),B(-1,1),若直线x-y-m=0上存在点P使得|PA|=|PB|,则实数m的取值范围是.【解析】设P(x,x-m),因为|PA|=|PB|,所以|PA|2=3|PB|2,所以(-3-x)2+(3-x+m)2=3(-1-x)2+3(1-x+m)2,化简得2x2-2mx+m2-6=0,则Δ=4m2-4×2(m2-6)≥0,解得-2≤m≤2,即实数m的取值范围是[-2,2].答案:[-2,2]5.(10分)已知直线l1:2x+y-6=0和点A(1,-1),过A点作直线l与已知直线l1相交于B点,且使|AB|=5,求直线l的方程.【解析】若l与x轴垂直,则l的方程为x=1,由得B点坐标为(1,4),此时|AB|=5,所以x=1为所求;当l不与x轴垂直时,可设其方程为y+1=k(x-1).解方程组得交点B(k≠-2).由已知=5,解得k=-.所以y+1=-(x-1),即3x+4y+1=0.综上可得,所求直线l的方程为x=1或3x+4y+1=0.。
2020-2021学年上学期广东省深圳市南山区期末考试九年级数学试卷 (Word版 含解析)
广东省深圳市南山区2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）。
1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．806．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡上）.11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为．三、解答题：（16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，共计55分）16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．【解答】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．故选：A．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【分析】根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：设红球有x个，根据题意得，3：（3+x）＝1：5，解得x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解，所以估计盒子中红球的个数大约有12个，故选：D．4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．80【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积是10，∴△A′B′C′的面积是40，故选：C．6．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；故选：C．7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．1【分析】由点A是反比例函数y＝的图象上，可得S△AOD＝3，根据等底同高的三角形面积相等可得S△AOB＝S＝2，进而求出S△BOD＝1，再根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出S△BOD＝1，进而求出k △ACB的值．【解答】解：延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，∵点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，∴S△AOD＝|k|＝×6＝3，S△AOB＝S△ACB＝2，∴S△BOD＝S△AOD﹣S△AOB＝3﹣2＝1，又∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝|k|＝1，∴k＝2，k＝﹣2（舍去），故选：B．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，∴AE＝＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，∴的值为，故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM ∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝S△ABF．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①正确；设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，∵BE⊥AC，∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，而∠BAE＝∠ADC＝90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即b＝a，∴AD＝CD，故②正确；如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；如图，连接CE，由△AEF∽△CBF，可得，设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选：D．二．填空题（共5小题）11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为12．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为9.4米．【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例计算．【解答】解：设这棵大树高为x，根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．可得树高比影长为＝1.25，则有＝＝0.8，解可得：x＝9.4米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为1000．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m ﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠F AE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF ＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为y ＝．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x ﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20，∴反比例函数的解析式为y＝故答案为y＝．三．解答题16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先移项得到2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，所以x1＝2，x2＝6；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．【分析】（1）画树状图即可得出答案；（2）共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：（2）由（1）得：共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，∴正好由丙将接力棒交给丁的概率为＝．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．【分析】（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，根据月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（3）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣36＜0，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元．【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，依题意，得：280﹣×20≥130，解得：x≤55．答：每个背包售价应不高于55元．（2）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3120，整理，得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．（3）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3700，整理，得：x2﹣98x+2410＝0．∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，∴该方程无解，∴这种书包的销售利润不能达到3700元．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b＝0，解得，b＝3，对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，∴OH＝OB+BH＝9，∴点C的坐标为（2，9），∴k＝2×9＝18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，∴△ABD的面积＝×6×3＝9；（3）EF＝BD＝×6＝2，设E（m，3m+3），当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m+2）（3m+3）＝18，解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m﹣2）（3m+3）＝18，解得，m3＝（舍去），m4＝，综上所述，m的值为1或．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为BE+DF＝EF．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．证△AFE≌△AFG得EF＝FG，从而得出答案；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，知∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，证△AEF≌△AHF得EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．据此知BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，由AB＝AC＝4知∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，从而得E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED得DE＝DE′，根据DE2＝BD2+EC2可得答案．【解答】解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为：BE+DF＝EF．（2）成立．证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF＝α，∴∠BAE+∠F AD＝α，∴∠DAH+∠F AD＝α，∴∠F AH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE＝，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2＝，解得．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ＝AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为1；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．（2）结论：＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．故答案是：＝；②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为：1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．由＝，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．。
广东省深圳市宝安区2020-2021学年高一上学期期末考试 语文试题(Word版,无答案)
宝安区2020－2021学年第一学期期未调研测试卷高一语文2021．01 本试卷共8页，24小题，满分为150分。
考试用时150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔把考生号中相应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷阅读题（78分）一、古代诗文阅读（本大题12小题，49分）1．根据原文补写岀下列句子中的空缺部分。
（10分）（1）恰同学少年，风华正茂；__________，__________。
（毛泽东《沁园春·长沙》）（2）__________，__________，周公吐哺．天下归心。
（曹操《短歌行》）（3）__________，，不能十步；__________，功在不舍。
（荀子《劝学》）（4）《梦游天姥吟留别》中的李白梦游天姥而非瀛洲，是因为瀛洲__________，而天姥山与之相比，却__________。
（5）秦观在《鹄桥仙·纤云弄巧》里称赞牛郎织女在“七夕”的短暂相会胜过人间凡俗之爱的句子是：__________，__________。
阅读下面这首唐诗，完成2～3题。
（8分）悲善才（节选）李绅东头弟子曹善才，琵琶请进新翻曲。
翠蛾列坐层城①女，笙笛参差齐笑语。
天颜静听朱丝弹，众乐寂然无敢举。
衔花金凤当承拨，转腕拢弦促挥抹，花翻凤啸天上来，徘徊满殿飞春雪。
流莺子母飞上林，仙鹤雌雄唳明月。
【注】①层域：京师。
2．下列对这首诗的理解和赏析，不正确．．．的一项是（）（3分）A．首句点明事因，曹善才精于琵琶，所以新改编了乐曲进献给皇帝欣赏。
浙江省名校协作体2020-2021高二上学期开学考试数学试题(wd无答案)
浙江省名校协作体2020-2021高二上学期开学考试数学试题(wd无答案)一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 已知角的顶点与原点 O重合，始边与轴的非负半轴重合，将的终边按顺时针方向旋转后，过点，则等于（）A．B．C．D．(★★★) 3. 下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（）A．B．C．D．(★) 4. 已知，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 将函数的图象经过以下变换后可得函数的图象，其中不正确的是（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移，再作关于轴对称D．向左平移，再作关于轴对称(★★) 6. 若函数的图象上存在点，满足不等式组，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．(★★) 7. 下列函数图象中，不可能是函数的图象的是（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知数列是无穷等差数列，是其前 n项和，若存在最大值，则（）A．在中最大的数是B．在中最大的数是C．在中最大的数是D．在中最大的数是(★★★) 9. 在中，，，是的外接圆的直径，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 已知对任意，不等式恒成立，则（）A．B．C．存在，有D．对于任意，有二、双空题(★) 11. 已知向量，若，则___________；若，则=___________.(★★★) 12. 已知函数，则___________；的零点为___________. (★★) 13. 已知数列中，，，则___________；设数列的前项的和为，则=___________.(★★) 14. 已知中，角 A， B， C所对的边分别是，已知，是边上一点，且，则=___________；=___________.三、填空题(★★★) 15. 已知为正实数，且，则的最小值为___________.(★★★) 16. 设，当取得最小值时，函数的最小值为___________.(★★★) 17. 已知数列满足：，，若正整数使得成立，则___________.四、解答题(★★) 18. 已知函数.（1）求的最小正周期及的值；（2）若，求的取值范围.(★★★) 19. 已知数列是公差为正的等差数列，是和的等比中项，. （1）求的通项公式；（2）若，是数列的前 n项和，求使得成立的最大整数 n.(★★★) 20. 已知中，角所对的边分别是，满足.（1）求证：；（2）若，且，求的内切圆半径.(★★★) 21. 已知函数.（1）若，写出的单调区间(不要求证明)；（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.(★★★) 22. 已知数列的前 n项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为.求证：；（3）数列满足，试比较与的大小，并说明理由.。
2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.23.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.76.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=08.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √249.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞010.（多选题，5分）已知双曲线C过点(3，√2)且渐近线方程为y=±√3x，则下列结论正3确的是（）A.C的方程为x2−y2=13B.C的离心率为√3C.曲线y=e x-2-1经过C的一个焦点D.直线x−√3y−1=0与C有两个公共点11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC的体积为定值D.当D1M=2MB时，平面EAC⊥平面MAC13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（1）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比4课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，点M为棱A1B1的中点．（1）求证：C1M || 平面DB1E；（2）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．19.（问答题，12分）已知点P（1，m）是抛物线C：y2=2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l：y=k（x-1）与抛物线C相交于不同的两点A，B．（1）求抛物线C的方程；（2）若|AB|=8，求k的值．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；，求数列{b n}的前n项和T n．（2）设b n=a n+1a n+1a n21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；，求三棱锥M-ACP体积．（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√3322.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？（2）若l过点（m3若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．2021-2022学年广东省深圳第二高级中学、第七高级中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）在空间直角坐标系下，点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为（）A.（3，-6，2）B.（-3，-6，-2）C.（3，6，-2）D.（3，-6，-2）【正确答案】：C【解析】：直接利用点的对称的应用求出结果．【解答】：解：点M（-3，6，2）关于y轴对称的点的坐标为N（3，6，-2）；故选：C．【点评】：本题考查的知识要点：点的对称，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.（单选题，5分）若椭圆x2p +y24=1的一个焦点为（0，-1），则p的值为（）A.5B.4C.3D.2【正确答案】：C【解析】：由题意得到关于p的方程，解方程即可确定p的值．【解答】：解：由题意可知椭圆的焦点在y轴上，则a2=4，b2=p，c2=1，从而4=p+1，p=3．故选：C．【点评】：本题主要考查椭圆的标准方程，椭圆的简单性质的应用，属于基础题．3.（单选题，5分）双曲线x2m2+12−y24−m2=1的焦距是（）A.4B. 2√2C.8D.与m有关【正确答案】：C【解析】：由双曲线的方程可先根据公式c2=a2+b2求出c的值，进而可求焦距2c【解答】：解：由题意可得，c2=a2+b2=m2+12+4-m2=16∴c=4 焦距2c=8故选：C．【点评】：本题主要考查了双曲线的定义的应用，解题的关键熟练掌握基本结论：c2=a2+b2，属于基础试题4.（单选题，5分）在数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），则a2020的值为（）A. −14B.5C. 45D.以上都不对【正确答案】：A【解析】：求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可．【解答】：解：数列{a n}中，a1=- 14，a n=1−1a n−1（n＞1），a2=1+4=5，a3=1- 15 = 45，a4=1- 54=- 14，•••，所以数列的周期为3，a2020=a673×3+1=a1= −14．故选：A．【点评】：本题考查数列的递推关系式的应用，数列项的求法，是基础题．5.（单选题，5分）若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（）A.4B.5C.6D.7【正确答案】：A【解析】：求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．【解答】：解：抛物线y2=4x的准线方程为x=-1∵抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2 √3，则P（3，±2√3），∴P到抛物线的准线的距离为：4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．故选：A．【点评】：本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．6.（单选题，5分）中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得（）A.78石B.76石C.75石D.74石【正确答案】：A【解析】：由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差d=a3−a13−1 = −362=-18，再由S3=3a1+3×22×(−18) =180，能求出甲应该分得78石．【解答】：解：今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，∴ d=a3−a13−1 = −362=-18，S3=3a1+3×22×(−18) =180，解得a1=78（石）．∴甲应该分得78石．故选：A．【点评】：本题考查等差数列的首项的求法，考等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（单选题，5分）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（1，2），且AC=BC，则△ABC的欧拉线的方程为（）A.x-2y-4=0B.2x+y-4=0C.4x+2y+1=0D.2x-4y+1=0【正确答案】：D【解析】：由三角形的重心、垂心和外心的定义与性质，推出△ABC的欧拉线就是线段AB的中垂线，再求得中垂线的斜率和线段AB的中点，即可得解．【解答】：解：因为AC=BC，所以点C在线段AB的中垂线上，设该中垂线为直线l，取BC的中点D，连接AD，则AD与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的重心，过点A作AE⊥BC于E，则AE与直线l的交点在直线l上，该交点即为△ABC的垂心，因为外心到△ABC的三个顶点的距离相等，所以外心也在直线l上，故△ABC的欧拉线就是直线l，由A（2，0），B（1，2），知AB的中点坐标为（32，1），直线AB的斜率为2−01−2=-2，所以直线l的斜率为12，其方程为y-1= 12（x- 32），即2x-4y+1=0．故选：D．【点评】：本题考查直线方程的求法，两条直线的垂直关系，理解三角形的重心、垂心和外心的定义与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8.（单选题，5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos∠F1AF2= 34，则椭圆的离心率e=（）A. 12B. √22C. 14D. √24【正确答案】：D【解析】：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在三角形中由余弦定理可得a，c之间的关系，进而求出离心率．【解答】：解：由题意可得|AF1|=|AF2|=a，|F1F2|=2c，在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1AF2= |PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1|•|PF2| = a2+a2−4c22a2= 34，可得a2=8c2，即离心率e= ca = √24（0＜e＜1），故选：D．【点评】：本题考查椭圆的几何性质，考查余弦定理的应用，是基础题．9.（多选题，5分）已知递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7=S11，则（）A.a10＞0B.当n=9时，S n最大C.S17＞0D.S19＞0【正确答案】：BC【解析】：由递减的等差数列{a n}的前n项和为S n，S7=S11，列出方程，求出a1=−172d＞0，再逐一判断各选项．【解答】：解：∵递减的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 7=S 11，∴ {d ＜07a 1+7×62d =11a 1+11×102d，解得 a 1=−172d ＞0， ∴a 10=a 1+9d=- 172d +9d = 12d ＜0，故A 错误；S n =na 1+ n (n−1)2d =- 17d 2n + d 2n 2 - d 2n = d 2 （n-9）2- 812d ． ∴当n=9时，S n 最大，故B 正确；S 17=17a 1+17×162d =17×（- 172 d ）+136d=-8.5d ＞0，故C 正确； S 19=19a 1+ 19×182 d=19×（- 172d ）+171d=9.5d ＜0，故D 错误．故选：BC ．【点评】：本题考查命题真假的判断，等差数列的性质，考查运算求解能力，是基础题．10.（多选题，5分）已知双曲线C 过点 (3，√2) 且渐近线方程为 y =±√33x ，则下列结论正确的是（ ）A.C 的方程为 x 23−y 2=1B.C 的离心率为 √3C.曲线y=e x-2-1经过C 的一个焦点D.直线 x −√3y −1=0 与C 有两个公共点【正确答案】：AC【解析】：由双曲线的渐近线为 y =±√33x ，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；直线与双曲线的渐近线的关系判断D ．【解答】：解：由双曲线的渐近线方程为 y =±√33x ，可设双曲线方程为 x 23−y 2=λ ， 把点 (3，√2) 代入，得 93 -2=λ，即λ=1．∴双曲线C 的方程为 x 23−y 2=1 ，故A 正确；由a 2=3，b 2=1，得c= √a 2+b 2 =2，∴双曲线C √3 = 2√33 ，故B 错误；取x-2=0，得x=2，y=0，曲线y=e x-2-1过定点（2，0），故C 正确； 双曲线的渐近线 x ±√3y =0，直线 x −√3y −1=0 与双曲线的渐近线平行，直线 x −√3y −1=0 与C 有1个公共点故D 不正确．故选：AC．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题11.（多选题，5分）已知直线l：（a+1）x+ay+a=0（a∈R）与圆C：x2+y2-4x-5=0，则下列结论正确的是（）A.存在a，使得l的倾斜角为90°B.存在a，使得l的倾斜角为135°C.存在a，使直线l与圆C相离D.对任意的a直线l与圆C相交，且a=1时相交弦最短【正确答案】：AD【解析】：对于AB选项，根据倾斜角可判断直线的位置以及斜率，进而可以求出a的值，而C选项根据直线与圆相离满足的条件可求出a的值是否存在，而D选项，先求出直线过的定点，可判断直线与圆的位置，且定点与圆心连线与直线垂直时弦长最短可求出a的值．【解答】：解：选项A：当a=0时，直线方程为x=0，此时倾斜角为90°，A正确，选项B：当倾斜角为135°时，直线斜率为-1，即- a+1a=-1，解得a为空集，B错误，选项C：圆C的圆心为C（2，0），半径r=3，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为|(a+1)×2+a|√(a+1)2+a2＞3，整理得：9a2+6a+5＜0，不等式无解，C错误，选项D：经分析直线过定点M（0，-1），此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线CM与直线l垂直时，直线CM和直线l的斜率之积等于-1，即：−a+1a ×0−(−1)2−0=-1解得a=1，此时弦长最短，D正确，故选：AD．【点评】：本题考查了直线与圆的位置关系以及直线倾斜角和直线过定点的问题，考查了学生的运算能力，推理能力，属于基础题．12.（多选题，5分）如图，点E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点，点M在线段BD1上运动，则下列结论正确的是（）A.直线AD与直线C1M始终是异面直线B.存在点M，使得B1M⊥AEC.四面体EMAC 的体积为定值D.当D 1M=2MB 时，平面EAC⊥平面MAC【正确答案】：BCD【解析】：当M 为BD 1的中点时可知A 错误，证明BD 1 || 平面EAC 可知C 正确；建立空间坐标系，利用向量判断BD 即可．【解答】：解：（1）当M 为BD 1的中点时，直线AD 与直线C 1M 是相交直线，交点为A ，故A 错误；（2）以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间坐标系D-xyz ，设正方体棱长为1，则A （1，0，0），E （0，0， 12 ），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1），∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0， 12）， B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，-1）， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，-1，1）． BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （0≤λ≤1），则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，-λ，λ-1），若B 1M⊥AE ，则 B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即λ+ 12 （λ-1）=0，解得λ= 13， ∴当M 为线段BD 1的靠近B 的三等分点时，B 1M⊥AE ，故B 正确；（3）连接BD ，取BD 的中点O ，连接EO ，则O 也是AC 的中点，由中位线定理可知BD 1 || EO ，∴BD 1 || 平面ACE ，故V E-MAC =V M-ACE =V B-ACE ，故C 正确；（4）∵AC⊥BD ，AC⊥DD 1，BD∩DD 1=D ，∴AC⊥平面BDD 1，∴AC⊥OE ，AC⊥OM ，故∠EOM 为二面角E-AC-M 的平面角，当D 1M=2BM 时，M （ 23 ， 23 ， 13 ），又O （ 12 ， 12 ，0），∴ OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ 16 ， 16 ， 13 ）， OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 12 ，- 12 ， 12）， ∴ OE ⃗⃗⃗⃗⃗ •OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 112 - 112 + 16 =0，∴OE⊥MO ， 故平面EAC⊥平面MAC ，故D 正确．故选：BCD ．【点评】：本题考查了空间线面位置关系的判断与性质，可适当选用平面向量法解决几何问题，属于中档题．13.（填空题，5分）等轴双曲线的离心率为___ ．【正确答案】：[1] √2【解析】：根据等轴双曲线的定义，可得a=b，从而可得离心率．【解答】：解：∵等轴双曲线中a=b∴c= √a2+b2 = √2 a= √2∴e= ca故答案为：√2【点评】：本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．14.（填空题，5分）若a n=（-1）n•（2n-1），则数列{a n}的前21项和S21=___ ．【正确答案】：[1]-21【解析】：直接利用数列的通项公式和组合法的应用求出结果．【解答】：解：由于a n=（-1）n•（2n-1），则S21=（-1+3）+（-5+7）+（-9+11）+…+（-41）=2×10-4=-21．故答案为：-21．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式，组合法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．15.（填空题，5分）将数列{n}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（2，3），（4，5，6），⋯，则第22组中的第一个数是 ___ ．【正确答案】：[1]232【解析】：根据已知可得，第n组中最后一个数即为前n组数的个数和，由此可求得第21组的最后一个数，进而求得第22组中的第3个数【解答】：解：由条件，可得第21组的最后一个数为1+2+3+4+5+6+⋯⋯+21= 21(1+21)2=231，所以第22组的第1个数为232．【点评】：本题考查了归纳推理，等差数列前n项和公式的应用，找到数字的规律是解题的关键，属于中档题．16.（填空题，5分）数列{a n}中，a1=1，a n+a n+1=（14）n，S n=a1+4a2+42a3+…+4n-1a n，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n-4n a n=___ ．【正确答案】：[1]n【解析】：先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1两边同乘以4，再相加，求出其和的表达式，整理即可求出5S n-4n a n的表达式．【解答】：解：由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n-1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n-1•4n-1+a n•4n②① + ② 得：5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n-1•（a n-1+a n）+a n•4n=a1+4× 14 +42•（14）2+…+4n-1•（14）n-1+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n-4n•a n=n，故答案为：n．【点评】：本题主要考查数列的求和，用到了类比法，关键点在于对课本中推导等比数列前n 项和公式的方法的理解和掌握．17.（问答题，10分）已知各项均为正数的等差数列{a n}中，a1+a2+a3=15，且a1+2，a2+5，a3+13构成等比数列{b n}的前三项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n+b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）通过等数列中项的性质求出a2=5，等比数列中项性质求出d=2，然后分别求出数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）分组求和即可．【解答】：解：（1）设等差数列的公差为d，则由已知得，a1+a2+a3=3a2=15，即a2=5，又（5-d+2）（5+d+13）=（a 2+5）2=100，解得d=2或d=-13（舍去），所以a 1=a 2-d=3，∴a n =a 1+（n-1）×d=2n+1，又b 1=a 1+2=5，b 2=a 2+5=10，∴q=2，∴ b n =5⋅2n−1 ．（2）由（1）知，a n +b n =2n+1+5×2n-1，所以T n = n (3+2n+1)2 + 5−5×2n 1−2=5×2n +n 2+2n-5．【点评】：本题考查了等差数列等比数列的综合，分组求和，属于基础题．18.（问答题，12分）如图所示，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，点M 为棱A 1B 1的中点．（1）求证：C 1M || 平面DB 1E ；（2）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明C 1M 与平面DB 1E 的法向量数量积为零即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值．【解答】：（1）证明：建系如图，C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3），C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2，−2，−2) ， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1），令 n ⃗ =(1，−1，2) ，因为 B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =0， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0 ， 所以 n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的法向量，因为 C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ =0，C 1M⊄平面DB 1E ，所以C 1M || 平面DB 1E ．（2）解：由（1）知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，2，0) ， n ⃗ =(1，−1，2) 为平面DB 1E 的一个法向量， 设AB 与平面DB 1E 所成角为θ，所以 sinθ=|cos ＜AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ |=√33， 所以直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值为 √33 ．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，12分）已知点P （1，m ）是抛物线C ：y 2=2px 上的点，F 为抛物线的焦点，且|PF|=2，直线l ：y=k （x-1）与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ．（1）求抛物线C 的方程；（2）若|AB|=8，求k 的值．【正确答案】：【解析】：（1）利用已知条件求出p，即可得到抛物线方程．（2）设出AB坐标，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】：解：（1）抛物线C：y2=2px的准线为x=p2，由|PF|=2得：1+p2=2，得p=2．所以抛物线的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由{y=k(x−1)y2=4x，可得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，Δ=16k2+16＞0，∴ x1+x2=2k2+4k2，∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴ |AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=8，解得：k=±1，所以k的值为1或-1．【点评】：本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，是基本知识的考查，中档题．20.（问答题，12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=3a1=3，且当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n．（1）证明：数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）设b n=a n+1a n+1a n，求数列{b n}的前n项和T n．【正确答案】：【解析】：（1）将条件中的递推式整理为a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），从而可证数列{a n+1-a n}是等比数列；（2）化简数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法求和．【解答】：（1）证明：因为当n≥2，n∈N*时，a n+1+2a n-1+3S n-1=3S n，所以a n+1+2a n-1=3S n-3S n-1=3a n，所以a n+1-a n=2a n-2a n-1=2（a n-a n-1），即a n+1−a na n−a n−1=2，（n≥2，n∈N*），又a2-a1=3-1=2，所以数列{a n+1-a n}是首项为2，公比为2的等比数列；解：（2）由（1）知，a n+1−a n=2⋅2n−1=2n，则a1=1，a2−a1=21，a3−a2=22，…… a n−a n−1=2n−1，各项相加，可得a n=1+21+22+⋯+2n−1=1−2n1−2=2n-1，所以b n=a n+1a n+1a n =2n(2n+1−1)(2n−1)= 12n−1−12n+1−1，故 T n=b1+b2+…+b n= 121−1−122−1+122−1−123−1+…+12n−1−12n+1−1= 121−1−12n+1−1= 1−12n+1−1．【点评】：本题考查了等比数列的证明以及数列的求和问题，属于中档题．21.（问答题，12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD || BC，AD⊥CD，且AD=CD=1，BC=2，PA=1．（1）求证：AB⊥PC；（2）点M在线段PD上，二面角M-AC-D的余弦值为√33，求三棱锥M-ACP体积．【正确答案】：【解析】：（1）可证△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，可得PA⊥AB，进而AB⊥平面PAC，可证结论；（2）过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，△MND是等腰直角三角形，可解得x，从而可求体积．【解答】：（1）证明：∵四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=1，BC=2，∴AC= √2，AB= √(BC−AD)2+CD2 = √2，∴△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC，∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴AB⊥PC，（2）解：过点M作MN⊥AD于N，则MN || PA，∴MN⊥平面ABCD，∴MN⊥AC，过点M作MG⊥AC于G，连接NG，则AC⊥NG，∴∠MGN是二面角M-AC-D的平面角，若cos∠MGN= √33，则√2 NG=MN，又AN= √2 NG=MN，设MN=x，则AN=x，ND=1-x，∵△MND是等腰直角三角形，解得x=1-x，所以MN= 12，所以M是PD的中点，所以V P-ACM= 12 V P-ACD= 12× 13× 12×1×1×1= 112．【点评】：本题考查线线垂直的证明，以及空间几何体的体积，属中档题．22.（问答题，12分）已知椭圆C：9x2+y2=m2（m＞0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点（m3，m），延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即x P=2x M，建立方程关系即可得到结论．【解答】：解：（1）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M （x M，y M），将y=kx+b代入9x2+y2=m2（m＞0），得（k2+9）x2+2kbx+b2-m2=0，则判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，则x1+x2= −2kb9+k2，则x M= x1+x22= −kb9+k2，y M=kx M+b= 9b9+k2，于是直线OM的斜率k OM= y Mx M = −9k，即k OM•k=-9，∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．（2）四边形OAPB能为平行四边形．∵直线l过点（m3，m），∴由判别式△=4k2b2-4（k2+9）（b2-m2）＞0，即k2m2＞9b2-9m2，∵b=m- k3m，∴k2m2＞9（m- k3m）2-9m2，即k2＞k2-6k，即6k＞0，则k＞0，∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3，由（1）知OM的方程为y= −9kx，设P的横坐标为x P，由{y=−9kx9x2+y2=m2得x P2=k2m29k2+81，即x P=3√9+k2，将点（m3，m）的坐标代入l的方程得b= m(3−k)3，即l的方程为y=kx+ m(3−k)3，将y= −9k x，代入y=kx+ m(3−k)3，得kx+ m (3−k )3 = −9kx 解得x M =k (k−3)m 3(9+k 2) ， 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P =2x M ，于是 3√9+k 2 =2× k (k−3)m 3(9+k 2) ， 解得k 1=4- √7 或k 2=4+ √7 ，∵k i ＞0，k i ≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4- √7 或4+ √7 时，四边形OAPB 能为平行四边形．【点评】：本题主要考查直线和圆锥曲线的相交问题，联立方程组转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2020-2021学年广东省深圳市高二(下)期末数学模拟试卷
2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A.（-∞，5）B.（0，5）C.{1，2，3，4}D.{0，1，2，3，4}2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则z的模为（）A. √2B. √3C.2D.33.（单选题，5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有（）A.16种B.18种C.36种D.81种4.（单选题，5分）半径为√2的球O中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（）A.πB.2πC.4πD.8π5.（单选题，5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）A.0.1B.0.15C.0.2D.0.256.（单选题，5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮．1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5（lgE 2-lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）．已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.227.（单选题，5分）已知直角梯形ABCD ，A=90°，AB || CD ，AD=DC= 12 AB=1，P 是BC 边上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（ ） A.[-1，1] B.[0，2] C.[-2，2] D.[-2，0]8.（单选题，5分）设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ，则不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为（ ） A. (−25，0) B.（0，2） C. (25，2)D. (−∞，−2)∪(25，+∞)9.（多选题，5分）已知圆锥曲线C 的一个焦点为F （0，1），则C 的方程可以为（ ） A.y 2=4x B. y =14x 2C. x 2m−1+y 2m =1(0＜m ＜1)D. x 21−m+y 2m =1(0＜m ＜1)10.（多选题，5分）已知函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(x ∈R ，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A.直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴B.f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC.f（x）在区间[−π3，π6]上单调递增D.将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A.若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab2B.若a+b2=1，则2a−b≥12C.若log a2020＞log b2020＞0，则e a−b＜abD.若a＞1，则a+1a−1≥312.（多选题，5分）如图，正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1，点M为对角线A'D上的动点，设过M且与A'D垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有（）A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√15213.（填空题，5分）已知等差数列{a n}，a1+a5=a2+3，则S7=___ ．14.（填空题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点是圆M：（x-3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于___ ．15.（填空题，5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风．台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动，则台风中心___ 小时后距离城市A最近．如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150km，台风移动的方向与速度不变，那么该城市___ （填“会”或“不会”）受台风侵袭．16.（填空题，5分）3σ准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除．对于正态分布的随机误差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则．为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果的平均值得εn～N(0，1n2)，为误差使εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要测量___ 次．17.（问答题，10分）在① sinA=√2sinB；② tanB=13；③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，b 2+c2−a2bccosB=4√23，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1-S n=2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求数列{1d n}前n+1项的和T n+1．19.（问答题，12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”．为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示．老年50 125 105 （1）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k0）0.05 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.82820.（问答题，12分）如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且AD=AM=BM．（1）证明：AN⊥BD；（2）若二面角A-BD-C的大小为2π3，求二面角A-MN-D的余弦值．21.（问答题，12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），动直线l经过C的焦点F，且与C交于A、B两点．当F为线段AB中点时，|AB|=4．（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（异于点F），满足|QB||QA|=|BF||AF|？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．22.（问答题，12分）设函数f(x)=sin(x−π4 )√2e x −x，x∈[−π4，π4]．（1）求f（x）的极大值点；（2）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2，求证：x1+x2＜0．2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A.（-∞，5）B.（0，5）C.{1，2，3，4}D.{0，1，2，3，4}【正确答案】：C【解析】：利用交集定义直接求解．【解答】：解：∵集合A={x∈Z|x＜5}，B={y|y=2x}={y|y＞0}，∴A∩B={1，2，3，4}．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（单选题，5分）已知复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则z的模为（）A. √2B. √3C.2D.3【正确答案】：A【解析】：利用复数模的运算性质求解即可．【解答】：解：因为z（1+i）=2i，则|z||1+i|=|2i|，即|z|• √2 =2，=√2．所以|z|=√2故选：A．【点评】：本题考查了复数模的求解，解题的关键是掌握复数模的运算性质，属于基础题．3.（单选题，5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名记者，不同的安排方法共有（）A.16种B.18种C.36种D.81种【正确答案】：C【解析】：根据题意，分2步进行分析：① 将4名记者分为3组，② 将分好后的三组全排列，安排到三家公司，由分步计数原理计算可得答案．【解答】：解：根据题意，分2步进行分析：① 将4名记者分为3组，有C42=6种分组方法，② 将分好后的三组全排列，安排到三家公司，有A33=6种安排方法，则有6×6=36种安排方法，故选：C．【点评】：本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4.（单选题，5分）半径为√2的球O中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的体积为（）A.πB.2πC.4πD.8π【正确答案】：B【解析】：根据圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质得出圆柱的高h、底面半径r与球的半径R之间的关系，用h和r表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值，再计算对应圆柱的体积．【解答】：解：画出球内接圆柱的轴截面，如图所示：设圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，）2+r2=R2，则（ℎ2解得h=2 √R2−r2．=2πR2，所以圆柱的侧面积为S=2πrh=4πr• √R2−r2=4π √r2(R2−r2)≤4π• √(r2+R2−r2)24R=1，高为h= √2 R=2．当且仅当r2=R2-r2时取等号，此时球内接圆柱底面半径为r= √22圆柱的体积为：V=πr2h=π•12•2=2π．故选：B．【点评】：本题考查了球与圆柱的组合体应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是中档题．5.（单选题，5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25【正确答案】：C【解析】：由集合原理先求出报名插花艺术且瑜伽的学员，即可求得答案．【解答】：解：由题意根据集合原理可知，报名插花艺术且瑜伽的学员有15+25-30=10名，10÷50=0.2，所以报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为0.2．故选：C．【点评】：本题考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（单选题，5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮．1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5（lgE 2-lgE 1），其中星等为m k 的星的亮度为E k （k=1，2）．已知小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77，且当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2，则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（ ） A.1.28 B.1.26 C.1.24 D.1.22【正确答案】：B【解析】：把已知数据代入公式计算 E1E 2．【解答】：解：由题意2.02-1.77=2.5（lgE 2-lgE 1），可得 lg E1E 2=0.1 ，∴ E1E 2=100.1≈1+2.3×0.1+2.7×0.12=1.257≈1.26 ．故选：B ．【点评】：本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．7.（单选题，5分）已知直角梯形ABCD ，A=90°，AB || CD ，AD=DC= 12 AB=1，P 是BC 边上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为（ ） A.[-1，1] B.[0，2] C.[-2，2] D.[-2，0] 【正确答案】：D【解析】：P 在BC 上，不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中0≤λ≤1），把 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为关于λ的函数求解即可．【解答】：解：因为P 在BC 上，不妨设 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则 PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ （其中0≤λ≤1） 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ）• PC⃗⃗⃗⃗⃗= AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ + BP ⃗⃗⃗⃗⃗ •PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ • PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ） AB ⃗⃗⃗⃗⃗ • BC ⃗⃗⃗⃗⃗ + λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ •（1-λ） BC⃗⃗⃗⃗⃗ =（1-λ）×2× √2 ×cos135°+λ（1-λ）×（ √2 ）² =-2（1-λ）+2λ（1-λ） =-2λ2+4λ-2=-2（λ-1）²，因为0≤λ≤1，所以-2（λ-1）²∈[-2，0]， 故选：D ．【点评】：本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想，是中档题．8.（单选题，5分）设函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ，则不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为（ ） A. (−25，0) B.（0，2） C. (25，2)D. (−∞，−2)∪(25，+∞) 【正确答案】：C【解析】：先判断函数f （x ）为偶函数，然后利用导数判断函数f （x ）的单调性，利用奇偶性以及单调性将不等式等价转化为|2x|＞|3x-2|，求解即可．【解答】：解：因为函数 f (x )=xln(x +√1+x 2) ， 则f （-x ）= (−x )ln [(−x )+√1+(−x )2]=−xln 1√x 2+1+x= xln(x +√1+x 2)=f (x ) ，故函数f （x ）为偶函数，当x ＞0时，f'（x ）= ln(x +√1+x 2)+x •1+2x 2√x 2+1x+√x 2+1＞0 ，所以f （x ）在（0，+∞）上单调递增，不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0，即f （2x ）＞f （3x-2）， 等价于f （|2x|）＞f （|3x-2|）， 所以|2x|＞|3x-2|，解得 25＜x ＜2 ．，所以不等式f （2x ）-f （3x-2）＞0的解集为 (25，2) ．故选：C．【点评】：本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断与应用，函数单调性的判断与应用，含有绝对值的不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）已知圆锥曲线C的一个焦点为F（0，1），则C的方程可以为（）A.y2=4xB. y=14x2C. x2m−1+y2m=1(0＜m＜1)D. x21−m +y2m=1(0＜m＜1)【正确答案】：BC【解析】：由题意可得焦点在y轴上，可得A不正确，将B中的方程写成标准形式可得B正确，由m的范围，将C中的方程写成标准形式，可得C正确，D中由m的范围，如果分母相等时可得曲线为圆，所以D不正确．【解答】：解：由焦点坐标在y轴，而A中焦点在x轴上，可得A不正确，B中标准形式为x2=4y，所以可得焦点坐标为（0，1），所以B正确；C中，因为m∈（0，1），所以m-1＜0，所以双曲线的标准形式为y 2m - x21−m=1，且c2=m+1-m=1，所以可得C正确；D中，因为m∈（0，1），所以当m=1-m时，即m= 12，此时曲线为圆，所以D不正确；故选：BC．【点评】：本题考查圆锥曲线的标准方程的写法及焦点坐标的求法和命题真假的判断，属于基础题．10.（多选题，5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴B.f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈ZC.f（x）在区间[−π3，π6]上单调递增D.将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象【正确答案】：ABC【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】：解：根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象，可得A=2，14• 2πω= 5π12- π6，∴ω=2．结合五点法作图，可得2× π6+φ= π2，∴φ= π6，即 f（x）=2sin（2x+ π6）．令x= 2π3，求得f（x）=-2，为最小值，故直线x=2π3是f（x）图象的一条对称轴，故A正确；令x=- π12+kπ，求得f（x）=0，f（x）图象的对称中心为(−π12+kπ，0)，k∈Z，故B正确；在区间[−π3，π6]上，2x+ π6∈[- π2，π2']，函数f（x）单调递增，故C正确；将f（x）的图象向左平移π12个单位长度后，可得到y=2sin（2x+ π3）的图象，故D错误，故选：ABC．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．11.（多选题，5分）已知a＞0，b＞0，则下列结论正确的是（）A.若a＞b，则a3+b3＞a2b+ab2B.若a+b2=1，则2a−b≥12C.若log a2020＞log b2020＞0，则e a−b＜abD.若a＞1，则a+1a−1≥3【正确答案】：ACD【解析】：利用作差法判断A ，利用二次函数的性质判断B ，利用构造函数的单调性判断C ，利用基本不等式判断D ．【解答】：解：A ：∵a ＞b ，∴（a 3+b 3）-（a 2b+ab 2）=（a-b ）2（a+b ）＞0，∴A 正确， B ：∵a+b 2=1，a ＞0，b ＞0，∴0＜b ＜1，∴a -b=-b 2-b+1∈（-1，1），∴2a-b ∈（ 12 ，2），∴B 错误， C ：由log a 2020＞log b 2020＞0，则1＜a ＜b ， 设函数f （x ）= e x x ，f′（x ）= e x (x−1)x 2 ，则f （x ）在（1，+∞）单调递增，所以f （a ）＜f （b ），即 e a a ＜ e bb ，则有e a-b ＜ab ，∴C 正确，D ：若a ＞1，则a+ 1a−1 =a-1+ 1a−1 +1≥2 √1 +1=3，当且仅当a-1= 1a−1 ，即a=2时取等号，∴a+ 1a−1 ≥3，∴D 正确． 故选：ACD ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，涉及到不等式的性质、函数单调性，属于中档题． 12.（多选题，5分）如图，正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的所有棱长均为1，点M 为对角线A'D 上的动点，设过M 且与A'D 垂直的平面截此正六棱柱所得截面为σ，则下列说法正确的有（ ）A.σ可以为△AB'F'B.σ可以为四边形C.σ可以为五边形D.σ的面积最大值为√152【正确答案】：ABD【解析】：利用线面垂直的判定定理即可判断选项A ，将平面AB'F'沿直线A'D 方向平移，分析变化过程中σ的形状，即可判断选项B ，C ，当截面σ为矩形时，其投影面积最大，截面σ的面积最大，求解即可判断选项D ．【解答】：解：∵四边形A'ABB'为正方形，∴AB'⊥BA'，连接BD，在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中，∠ABC=∠BCD=120°，则∠DBC=30°，∴∠ABD=90°，∴AB⊥BD，∵B'B⊥BD，AB∩B'B=B，∴BD⊥平面ABB'A'，∵AB'⊂平面ABB'A'，∴AB'⊥BD，∵BD∩BA'=B，∴AB'⊥平面A'BD，∴A'D⊥AB'，∵B'F'⊥A'D，∴A'D⊥平面AB'F'，故选项A正确；由题意可知，截面σ与平面AB'F'平行或重合，亦可视为将平面AB'F'沿直线A'D方向平移，若将平面AB'F'向点A'平移，则σ为三角形；若将平面AB'F'向点D平移，则σ的形状变化过程为：等腰三角形→六边形→矩形（四边形）→六边形→等腰三角形，故选项B正确，选项C错误；因为截面σ与底面ABCDEF所成的角相等，欲使截面σ的面积最大，只需考虑其在底面ABCDEF的投影面积最大，故当截面σ为矩形时，其投影面积最大，设B'C'和E'F'的中点分别为P，Q，则矩形BPQF面积为√152，即σ的面积最大值为√152，故选项D正确．故选：ABD．【点评】：本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题．13.（填空题，5分）已知等差数列{a n}，a1+a5=a2+3，则S7=___ ．【正确答案】：[1]21【解析】：根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，即可求解．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴2a1+4d=a1+d+3，化简可得，a1+3d=3，即a4=3，∴S7=7a4=7×3=21．故答案为：21．【点评】：本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．14.（填空题，5分）椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点是圆M：（x-3）2+y2=1的圆心，且C的长轴长为10，则该椭圆的离心率等于___ ．【正确答案】：[1] 35【解析】：由圆M的方程可得圆心M的坐标，由题意可得椭圆中的c的值，再由长轴长可得a的值，进而求出椭圆的离心率．【解答】：解：由圆M的方程可得圆心M（3，0），所以由题意可得c=3，由题意2a=10，所以a=5，所以椭圆的离心率e= ca = 35，故答案为：35．【点评】：本题考查椭圆的离心率的求法及由圆的方程可得圆心坐标的方法，属于基础题．15.（填空题，5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风．台风中心位于A东偏南45°方向、距离城市200√3km的海面P处，并以25km/h的速度向西偏北15°方向移动，则台风中心___ 小时后距离城市A最近．如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150km，台风移动的方向与速度不变，那么该城市___ （填“会”或“不会”）受台风侵袭．【正确答案】：[1]12; [2]不会【解析】：由题意画出图形，求解三角形可得台风中心距A最近时，台风中心B距A与P的距离，可得台风中心距离城市A最近的时间；进一步判断城市A是否受到台风影响．【解答】：解：如图，台风中心沿PB由P向B行驶，当台风中心距A最近时，AB⊥PB，由题意可知，∠APB=30°，又AP=200 √3 km，∴AB=200 √3 ×sin30°=100 √3 km，PB= 200√3 ×cos30°=300km，=12 h．而风速为25km/h，∴ 30025即台风中心12小时后距离城市A最近；∵台风侵袭范围为圆形区域的半径150km，且100√3＞150，∴该城市不会受到台风侵袭．故答案为：12；不会．【点评】：本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查运算求解能力，是基础题．16.（填空题，5分）3σ准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除．对于正态分布的随机误差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则．为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果)，为误差使εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要测量的平均值得εn～N(0，1n2___ 次．【正确答案】：[1]10【解析】：利用正态分布的意义以及正态分布曲线的对称性进行分析求解即可．【解答】：解：由题意，正态分布的随机误差落在±3σ之外的概率只有0.27%，所以落在（-3σ，3σ）的概率为0.9973，根据正态曲线的对称性，要使误差εn在（-0.3，0.3）的概率不小于0.9973，则3n≤0.3，解得n≥10．故答案为：10．【点评】：本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义，解题的关键是利用正态分布曲线的对称性，属于基础题．17.（问答题，10分）在① sinA=√2sinB；② tanB=13；③ −√2cosC(acosB+ bcosA)=c这三个条件中任选一个，补充在下列问题中并解答．问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，b 2+c2−a2bccosB=4√23，且____．（1）求tanA；（2）若△ABC的最大边长为4，求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用余弦定理消去边，得到A、B两角余弦值的关系；联立条件① 或② 或③ 、内角和公式，利用三角恒等变换解出tanA；（2）利用“大角对大边“得c=4，利用正弦定理得a，b的值，再求面积．【解答】：解：（1）由b 2+c2−a2bccosB=2bccosAbccosB=4√23有3cosA=2√2cosB（*），则A、B都是锐角.........（2分）若选① sinA=√2sinB，则sinB=√2*）有cosB=2√2由1=cos2B+sin2B=(√2)2+(2√2)2 = 12sin2A+98cos2A又sin2A+cos2A=1且A是锐角，可得sinA=√55，cosA=2√55，所以tanA=12．.....................（6分）若选② tanB=13，则cosB=3√1010，又由（*）有cosA=2√55，又sin2A+cos2A=1，可得sinA=√55，所以tanA=12......................（6分）若选③ −√2cosC(acosB+bcosA)=c，由正弦定理有−√2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=−√2cosCsinC=sinC，则cosC=−√22，则C=135°，由（*）有3cosA=2√2cosB=2√2cos(180°−135°−A)=2cosA+2sinA，故tanA=12．.....................（6分）（2）由① ② ③ 都可得sinA=√55，cosA=2√55，sinB=√1010，cosB=3√1010，sinC=√22，................................（8分）因为sinA＜sinB＜sinC，所以a＜b＜c，所以最长边c=4，由正弦定理有asinA =bsinB=csinC，则a=4√105，b=4√55，......................（10分）所以△ABC的面积为12absinC=12×4√105×4√55×√22=85．..................（12分）【点评】：本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转化与化归、方程等思想，意在考查学生的逻辑推理，数学运算等核心素养．18.（问答题，12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且a n+1-S n=2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，求数列{1d n}前n+1项的和T n+1．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】：解：（1）（解法一）设等比数列{a n}的公比为q，已知a n+1-S n=2，当n≥2时，a n-S n-1=2，两式相减可得a n+1-a n-（S n-S n-1）=0，即a n+1=2a n，则q=2，当n=1时，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，解得a1=2，故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N∗．（解法二）设等比数列{a n}的公比为q，已知a n+1-S n=2，当n=1时，得a2-a1=2，即a1q-a1=2，当n=2时，得a3-s2=2，即a1q2−a1q−a1=2，两式相除可得q2-2q=0，因为q≠0，所以q=2，a1=2，故等比数列{a n}的通项公式为a n=2n，n∈N∗．（2）若在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，则a n+1=a n+（n+2-1）d n，即为2n+1-2n=（n+1）d n，整理得d n=2nn+1，所以1d n=n+12n，（解法一）T n+1=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n+1d n+1，即T n+1=221+322+423+⋅⋅⋅+n+12n+n+22n+1，1 2T n+1=222+323+424+⋅⋅⋅+n+12n+1+n+22n+2，两式相减，得12T n+1=1+122(1−12n)1−12−n+22n+2=32−12n+1−n+22n+2，故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1．（解法二）T n=1d1+1d2+1d3+⋅⋅⋅+1d n−1+1d n，即T n=221+322+423+⋅⋅⋅+n2n−1+n+12n，1 2T n=222+323+424+⋅⋅⋅+n2n+n+12n+1，两式相减得：12T n=1+122(1−12n−1)1−12−n+12n+1=32−12n−n+12n+1，所以T n=3−n+32n，故数列{1d n }前n+1项的和T n+1=3−n+42n+1．【点评】：本题主要考查数列通项a n与前n项和S n的关系、等比数列的定义、等比等差数列的通项公式、错位相减法求和，考察了学生的运算、逻辑推理等核心素养．19.（问答题，12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展格局”．为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示．（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？附表及公式：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．【正确答案】：【解析】：（1）求出ξ的可能取值，求出概率，再求解期望即可．（2）利用已知条件求解联列表，然后求解K2，即可判断结果．【解答】：解：（1）随机选一人，设该客户的消费额为ξ千元，则ξ的可能取值为：2，6，10，依题意可得，p(ξ=2)=3001000=310，p(ξ=6)=4001000=25，p(ξ=10)=3001000=310，所以该客户的消费期望是：E(ξ)=2×310+6×25+10×310=6千元．（2）2×2列联表如下：K2=1000×(300×200−100×400)2400×600×700×300≈7.937，因为7.937＞6.635，所以有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关．【点评】：该题在国内经济“双循环”的大背景下，选取学生熟知的服装消费分析消费者的消费现状，并以此提供决策依据．本题试图考察随机变量的分布列与数学期望，2×2列联表以及独立性检验．并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心素养．20.（问答题，12分）如图，在四面体ABCD中，△BCD为等边三角形，点M，N分别为棱BD，CD的中点，且AD=AM=BM．（1）证明：AN⊥BD；（2）若二面角A-BD-C的大小为2π3，求二面角A-MN-D的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）不妨设O为MD的中点，且OD=a，则BD=4a，AD=BM=2a，连接AO，NO，MC，通过△AOD∽△BAD，证明AO⊥BD，MC⊥BD，推出ON || MC，证明ON⊥BD，证明BD⊥平面AON，然后证明AN⊥BD．（2）建立如图所示空间直角坐标系O-xyz，说明∠AON为二面角A-BD-C的平面角，求出平面AMN的一个法向量，平面DMN的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A-MN-D的余弦值即可．【解答】：（1）证明：如图1，不妨设O为MD的中点，且OD=a，则BD=4a，AD=BM=2a，连接AO，NO，MC，∵点M为棱BD的中点，且AM=BM，∴BA⊥AD，即∠BAD=π2，………………（1分）∵ AD BD =12=ODAD，且∠ADO=∠BDA，∴△AOD∽△BAD，∴ ∠AOD=∠BAD=π2，即AO⊥BD，………………（2分）又∵△BCD 为等边三角形，点M 为棱BD 的中点， ∴MC⊥BD ，……………………………………………（3分） ∵点O ，N 分别为MD ，CD 的中点， ∴ON || MC ，∴ON⊥BD ，…………………………………（4分） ∵AO ，ON⊂平面AON ，且AO∩ON=O ， ∴BD⊥平面AON ，…………………………（5分） 又∵AN⊂平面AON ，∴AN⊥BD ． …………………………………（6分） （2）解：建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ，由（1）可知，∠AON 为二面角A-BD-C 的平面角，且 AO =NO =√3a ， 若二面角A-BD-C 的大小为 2π3 ，则 ∠AON =2π3，……………………（7分）∴ A (0，−√3a2，3a 2) ，M （a ，0，0）， N(0，√3a ，0) ，……………………（8分）∴ MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，−√3a 2，3a 2) ， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a ，√3a ，0) ， 不妨设平面AMN 的一个法向量为 n ⃗ =(x ，y ，z) ，则 {−x −√3y 2+3z 2=0，−x +√3y =0，解得 {x =√3y ，z =√3y ， 令y=1，则 n ⃗ =(√3，1，√3) ，……………………（10分）显然 m ⃗⃗ =(0，0，1) 为平面DMN 的一个法向量， ∴ cos ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n|⃗⃗⃗⃗ =√31×√7=√217，……………………（11分）二面角A-MN-D 的大小即为 ＜m ⃗⃗ ，n ⃗ ＞ ， ∴二面角A-MN-D 的余弦值为 √217．【点评】：本题以空间四面体为载体，主要涉及到线面垂直的位置关系和二面角的求法，重点考查学生的直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是中档题．21.（问答题，12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），动直线l经过C的焦点F，且与C交于A、B两点．当F为线段AB中点时，|AB|=4．（1）求抛物线方程；（2）问：在x轴上是否存在点Q（异于点F），满足|QB||QA|=|BF||AF|？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意可得AB与x轴垂直，可得A的横坐标与焦点F的相同，纵坐标为2，代入抛物线的方程可得参数p的值，进而求出抛物线的方程；（2）设直线AB的方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，|QB||QA|=|BF||AF|，可得k QA+k QB=0，进而求出存在这样的点Q满足条件．【解答】：解：（1）∵|AB|=4且F为线段AB中点，∴AB⊥x轴，不妨设点A在x轴上方，设A（p2，2），代入C：y2=2px（p＞0），有p2=4且p＞0，∴p=2；抛物线方程为y2=4x；（2）假设存在点Q（t，0）满足题意，设直线l AB：x=my+1，A(y124，y1)，B(y224，y2)，由{y2=4x，x=my+1，可得y2-4my-4=0，所以{y1+y2=4m，y1y2=−4．由 |QB||QA|=|BF||FA| ，得 |BF||QB|=|FA||QA| ，由抛物线定义可知∠AQF=∠BQF ，即k QA +k QB =0， k QA +k QB =y 1y 124−t +y2y 224−t =4(y 1+y 2)(y 1y 2−4t )(y 12−4t)(y 22−4t)=0 ，y 1y 2=4t=-4，t=-1，∴Q （-1，0）， 综上所述，存在Q （-1，0）满足题意．【点评】：本题主要考查了抛物线的方程，抛物线的定义，探究性问题，考查了学生的运算能力，逻辑推理等核心素养．属于中档题． 22.（问答题，12分）设函数 f (x )=sin(x−π4)√2ex −x ， x ∈[−π4，π4] ．（1）求f （x ）的极大值点；（2）若f （x 1）=f （x 2），且x 1≠x 2，求证：x 1+x 2＜0．【正确答案】：【解析】：（1）根据导数符号与函数单调性之间的关系求出函数f （x ）的单调性，进而可求得f （x ）的极大值点；（2）不妨设x 1＜x 2，则 −π4≤x 1＜0＜x 2≤π4 ，要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜-x 2，即证f （x 2）=f （x 1）＜f （-x 2），构造性函数作差证明即可．【解答】：解：（1）因为 f′(x )=cosx e x−1 ， f″(x )=−√2sin(x+π4)e x，由 x ∈[−π4，π4] ，得 sin (x +π4)≥0 ，故f''（x ）≤0， 所以f'（x ）在 x ∈(−π4，π4) 单调递减，又f'（0）=0， 所以f （x ）在 [−π4，0] 单调递增，f （x ）在 (0，π4) 单调递减， 所以x=0是f （x ）的极大值点，（2）证明：不妨设x 1＜x 2，则 −π4≤x 1＜0＜x 2≤π4， 要证x 1+x 2＜0，即证x 1＜-x 2，又f （x 1）=f （x 2），且x 1≠x 2，f （x ）在 (−π4，0) 单调递增，]，即证f（x2）＜f（-x2），x2∈(0，π4令函数g（x）=f（x）-f（-x），则g'（x）=f'（x）+f'（-x）=cosx（e x+e-x）-2，记h（x）=cosx（e x+e-x）-2，则h'（x）=-sinx（e x+e-x）+cosx（e x-e-x），设m（x）=h'（x），因为m′（x）=-2sinx（e x-e-x）＜0，)上单调递减，且h'（0）=0，h'（x）在(0，π4)上单调递减，且h（0）=0，所以h'（x）＜0，h（x）在(0，π4)上单调递减，且g（0）=0，即g'（x）＜0，g'（x）在(0，π4所以g（x）＜0，即f（x）-f（-x）＜0，命题得证．【点评】：本题以基本初等函数的极值、单调性问题和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，化归转化思想和逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性．。
2020-2021学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
二十八抛物线方程及性质的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=03.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A. B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]4.已知抛物线C:x2=6y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为5,则|AF|+|BF|= ( )A.8B.11C.13D.16二、填空题(每小题5分,共10分)5.抛物线x=8y2的通径(通径即过焦点垂直于对称轴的弦)长为.6.设F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= .三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线截直线x-2y-1=0所得的弦长为,求此抛物线的方程.8.已知抛物线y2=2px(1<p<3)的焦点为F,抛物线上的点M(x0,1)到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N,求的值.(15分钟·30分)1.(5分)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为( )A.-3B.3C.2D.-22.(5分)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是 ( )A.5B.4C.2+1D.+13.(5分)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.4.(5分)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .【加练·固】已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·= -4,则点A 的坐标是.5.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(5,a)为抛物线C上一点,且|PF|=8.(1)求抛物线C的方程.(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过Q(0,-3),求直线l的方程.1.已知在抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为.2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,-4)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点(A,B异于点P),且k AP+k BP=-2,试判断直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.二十八抛物线方程及性质的应用(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有( )A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】选B.当直线垂直于x轴时,满足条件的直线有1条;当直线不垂直于x轴时,满足条件的直线有2条.2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0【解析】选D.设切线方程为2x-y+m=0,与y=x2联立得x2-2x-m=0,Δ=4+4m=0,m=-1,即切线方程为2x-y-1=0.3.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是( )A. B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】选C.准线x=-2,Q(-2,0),设l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,得x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0<k≤1.综上,k的取值范围是[-1,1].4.已知抛物线C:x2=6y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为5,则|AF|+|BF|= ( )A.8B.11C.13D.16【解析】选C.抛物线C:x2=6y的焦点为F,直线l与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点的纵坐标为5,设A(x1,y1),B(x2,y2),y1+y2=10,则|AF|+|BF|=y1+y2+p=10+3=13.二、填空题(每小题5分,共10分)5.抛物线x=8y2的通径(通径即过焦点垂直于对称轴的弦)长为.【解析】抛物线x=8y2,即y2=x,可得2p=,因此通径长为.答案:6.设F为抛物线C:y2=8x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|= .【解析】由y2=8x,得2p=8,p=4,则F(2,0),所以过A,B的直线方程为y=(x-2),联立得x2-28x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=28,所以|AB|=x1+x2+p=28+4=32.答案:32三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线截直线x-2y-1=0所得的弦长为,求此抛物线的方程.【解析】设抛物线方程为x2=ay(a≠0).由方程组消去y,得2x2-ax+a=0.因为直线与抛物线有两个交点,所以Δ=(-a)2-4×2×a>0,即a<0或a>8.设两交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以|AB|===,因为|AB|=,所以=,即a2-8a-48=0,解得a=-4或a=12,所以所求抛物线的方程为x2=-4y或x2=12y.8.已知抛物线y2=2px(1<p<3)的焦点为F,抛物线上的点M(x0,1)到准线的距离为.(1)求抛物线的标准方程.(2)设直线MF与抛物线的另一交点为N,求的值.【解析】(1)由题意知消去x0得2p2-5p+2=0,因为1<p<3,解得p=2,所以x0=,所以抛物线标准方程为y2=4x.(2)因为F(1,0),M,所以k MF=-,直线MF的方程为4x+3y-4=0,联立方程得方程组消去x得y2+3y-4=0,解得y=-4或1,将y=-4代入y2=4x,解得x=4,则|MF|=+1=,|NF|=4+1=5,所以==.(15分钟·30分)1.(5分)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为( )A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+b对称,所以=-1,所以=-1,所以y1+y2=-1.因为y1y2=-1,所以x1+x2=+=(y1+y2)2-2y1y2=3,所以两点A(x1,y1),B(x2,y2)中点坐标为.代入y=x+b,可得b=-2.2.(5分)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,P到其准线的距离为d,Q为圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上一个动点,d+|PQ|的最小值是 ( )A.5B.4C.2+1D.+1【解析】选B.点P是抛物线y2=4x上的点,又点P到抛物线准线的距离为d,点P到圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上的动点Q的距离为|PQ|,由抛物线定义知:点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离,如图所示,连接圆心C与F,交圆于Q.FC交抛物线的点即为使d+|PQ|最小时P的位置,所以d+|PQ|的最小值为:|FC|-1,因为C(-2,4),F(1,0),所以|FC|==5,|CQ|=1,所以d+|PQ|的最小值为5-1=4.3.(5分)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+的最小值是.【解析】设AB的方程为x=my+4,代入y2=4x得y2-4my-16=0,则y1+y2=4m,y1y2=-16,所以+=(y1+y2)2-2y1y2=16m2+32,当m=0时,+的最小值为32.答案:324.(5分)(2018·全国卷Ⅲ)已知点M和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .【解析】由抛物线的方程y2=4x可知其焦点F的坐标为(1,0),所以直线AB的方程为y=k(x-1), 由得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1x2=1,因为∠AMB=90°,所以·=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=(x1+1)(x2+1)+(y1-1)(y2-1)=(x1+1)(x2+1)+[k(x1-1)-1]·[k(x2-1)-1]=(1-k-k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+k2+2k+2=(1-k-k2)+(1+k2)+k2+2k+2=0,整理可解得k=2.答案:2【加练·固】已知O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·= -4,则点A 的坐标是.【解析】因为抛物线的焦点为F(1,0),设A,则=,=,由·=-4得y0=±2,所以点A的坐标是(1,2)或(1,-2).答案:(1,2)或(1,-2)5.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(5,a)为抛物线C上一点,且|PF|=8.(1)求抛物线C的方程.(2)过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过Q(0,-3),求直线l的方程.【解析】(1)由抛物线定义,可得5+=8,解得p=6,所以抛物线C的方程为:y2=12x.(2)由(1)知,F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为x=my+3,联立方程消去x,整理得y2-12my-36=0,则Δ=144m2+144>0,且y1+y2=12m,y1y2=-36.因为以线段AB为直径的圆过点Q(0,-3),所以·=0,即x1·x2+(y1+3)·(y2+3)=0,所以x1x2+3(y1+y2)+y1y2+9=0,所以(my1+3)(my2+3)+3(y1+y2)+y1y2+9=0,所以(m2+1)y1y2+(3m+3)(y1+y2)+18=0,-36m2-36+36m2+36m+18=0,所以m=.所以直线l的方程为:x=y+3,即2x-y-6=0.1.已知在抛物线y=x2上存在两个不同的点M,N关于直线y=kx+对称,则k的取值范围为.【解析】设M(x1,),N(x2,),两点关于直线y=kx+对称,显然k=0时不成立,所以=-,即x1+x2=-.设MN的中点为P(x0,y0),则x0=-,y0=k×+=4.又中点P在抛物线y=x2内,所以4>,即k2>,所以k>或k<-.答案:∪2.已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,-4)到焦点F的距离|PF|=2x0.(1)求抛物线C的方程.(2)设直线l与抛物线C交于A,B两点(A,B异于点P),且k AP+k BP=-2,试判断直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由.【解析】(1)由题可得:解得x0=2,p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)过定点(-2,0).设直线l的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),联立消x得:y2-8my-8n=0,Δ=32(2m2+n)>0,所以y1+y2=8m,y1y2=-8n,所以k AP===,同理k BP=,又k AP+k BP=-2,所以y1y2-16=0,所以n=-2,所以直线l的方程为:x=my-2,过定点(-2,0).。
2020-2021学年广东省梅州市高二上学期期末考试数学试题 解析版
2020-2021学年广东省梅州市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．命题“∃x0∈（0，+∞），x02+1≤2x0”的否定为（）A．∀x∈（0，+∞），x2+1≤2x B．∀x∈（0，+∞），x2+1＞2xC．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1≤2x D．∀x∈（﹣∞，0]，x2+1＞2x2．已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若向量，，且，则实数λ的值是（）A．0B．1C．﹣2D．﹣14．已知圆C的圆心是直线x+y+1＝0与直线x﹣y﹣1＝0的交点，直线3x+4y﹣11＝0与圆C 交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（）A．x2+（y+1）2＝18B．C．（x+y）2+y2＝18D．5．已知双曲线的一个焦点与抛物线y2＝﹣12x的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．6B．C．D．6．若函数f（x）＝2x+在区间[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．a≥0B．a≥2C．a＜2D．a≤27．一个矩形铁皮的长为16cm，宽为10cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为x（cm），小盒子的容积为V（cm3），则（）A．当x＝2时，V有极小值B．当x＝2时，V有极大值C．当时，V有极小值D．当时，V有极大值8．设函数f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x）若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2020，则不等式e x f（x）＞e x+2019的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（2019，+∞）C．（2019，+∞）D．（0，+∞）二、多项选择题（共4小题）.9．设f（x），g（x）都是单调函数，其导函数分别为f'（x），g'（x），h（x）＝f（x）﹣g （x），下列命题中正确的是（）A．若f'（x）＞0，g'（x）＞0，则h（x）单调递增B．若f'（x）＞0，g'（x）＜0，则h（x）单调递增C．f'（x）＜0，g'（x）＞0，则h（x）单调递减D．若f'（x）＜0，g'（x）＜0，则h（x）单调递减10．下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（）A．设A，B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线B．设定C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P 的轨迹为椭圆C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率D．双曲线与椭圆有相同的焦点11．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，下列式子中正确的是（）A．a1+c1＝a2+c2B．a1﹣c1＝a2﹣c2C．c1a2＞a1c2D．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．x0＝2是f（x）的极小值点B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正整数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x1≠x2，若f（x1）＝f（x2），则x1+x2＞4三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．直线l过坐标原点且与线y＝e x相切，则l的方程为．14．已知过点的椭圆C的焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），则椭圆C的标准方程是．15．如图，桥的桥洞呈抛物线形，桥下水面宽16米，当水面上涨2米后达到警戒水位，水面宽变为12米，此时桥洞顶部距水面的高度约为米（精确到0.1米）．16．如图，四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为2，O是底面正方形ABCD中心，E为PC 中点，则直线OE与直线PD所成角的余弦值为．四、解答题：解答应写出文字说明。
2020-2021学年广东省深圳高级中学高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x ∈R|3x +2>0}，B ={x ∈R|(x +1)(x −3)>0}，则A ∩B =( )A. (−∞,−1)B. (−1,−23)C. ﹙−23，3﹚D. (3,+∞)2. 如果a <b <0，那么下列各式一定成立的是( )A. |a|<|b|B. a 2<b 2C. a 3<b 3D. 1a <1b3. 德国数学家秋利克在1837年时提出“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，“这个定义较清楚地说明了函数的内涵，只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象、表格还是其它形式．已知函数f(x)由如表给出，则f(f(2020))的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 20184. 若命题“∃x 0∈R ，使得x 02+mx 0+2m −3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( )A. [2,6]B. [−6,−2]C. (2,6)D. (−6,−2)5. 设a =0.60.3，b =0.30.6，c =0.30.3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <a <cB. a <c <bC. b <c <aD. c <b <a6. 若实数a ，b 满足1a +4b =√ab ，则ab 的最小值为( )A. √2B. 2C. 2√2D. 47. 已知函数f(x)={2x ,x ≥2(x −1)2,x <2，若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，则数k 的取值范围是( )A. (0,1)B. (1,2)C. (0,2)D. (1,3)8. 已知函数f(x)=2+x2+|x|，x ∈R ，则不等式f(x 2−2x)<f(2x −3)的解集为( )A. (1,2)B. (1,3)C. (0,2)D. (1,32]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列函数中，最小值是2的是()A. y=a2−2a+2a−1(a>1) B. y=√x2+2+1√x2+2C. y=x2+1x2D. y=x2+2x10.下列四个结论中正确的是()A. 命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”B. 命题“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是真命题C. “a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件D. 当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减11.如图1是某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入−支出费用).由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图1变为图2与图3，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有4种说法中正确的是()A. 图2的建议是：减少支出，提高票价B. 图2的建议是：减少支出，票价不变C. 图3的建议是：减少支出，提高票价D. 图3的建议是：支出不变，提高票价12.对∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是()A. ∃x∈R，x≥[x]+1B. ∀x，y∈R，[x]+[y]≤[x+y]C. 函数y=x−[x](x∈R)的值域为[0,1)D. 若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[t5]=3…，[t n]=n−2同时成立，则正整数n的最大值是5三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f(x)=a x−2−4(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，则A的坐标为．14.若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4，则a的值为．15.y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，则y=f(3−x2)的单调递减区间为．16.对于函数f(x)，若在定义域存在实数x，满足f(−x)=−f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.化简求值：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32.18.设函数y=√−x2+7x−12的定义域为集合A，不等式1x−2≥1的解集为集合B．(1)求集合A∩B；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的和为6．(1)求函数f(x)解析式；(2)求函数g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值．20.已知函数f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=x3．(1)求x<0时f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x+1)≥8f(x)．21.为了研究某种药物，用小白鼠进行试验，发现药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的3小时内，药物在白鼠血液内的浓度y1与时间t满足关系式：y1=4−at(0<a<43,a为常数)，若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度y2与时间t满足关系式：y2={√t,0<t<13−2t,1≤t≤3，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．(1)若a=1，求3小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值？(2)若使小白鼠在用药后3小时内血液中的药物浓度不低于4，求正数a的取值范围．22. 定义在R 上的函数g(x)和二次函数ℎ(x)满足：g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，ℎ(−2)=ℎ(0)=1，ℎ(−3)=−2． (1)求g(x)和ℎ(x)的解析式；(2)若对于x 1，x 2∈[−1,1]，均有ℎ(x 1)+ax 1+5≥g(x 2)+3−e 成立，求a 的取值范围；(3)设f(x)={g(x),x >0ℎ(x),x ≤0，在(2)的条件下，讨论方程f[f(x)]=a +5的解的个数．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力，属于基础题．先求出集合B和A，然后利用交集运算求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|(x+1)(x−3)>0}={x|x<−1或x>3}，}，又集合A={x∈R|3x+2>0}={x|x>−23}∩{x|x<−1或x>3}={x|x>3}，所以A∩B={x|x>−23故选：D．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．根据条件取特殊值a=−2，b=−1，即可排除ABD；由不等式的基本性质，即可判断C．【解答】解：由a<b<0，取a=−2，b=−1，则可排除ABD；由a<b<0，根据不等式的基本性质可知C成立．故选：C．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．先求出f(2020)=2018，从而f(f(2020))=f(2018)，由此能求出结果．【解答】解：由题意知：f(2020)=2018，f(f(2020))=f(2018)=3．故选：C．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查存在量词命题的真假，二次不等式恒成立，考查转化思想．先写出原命题的否定，再根据原命题为假，其否定一定为真，利用不等式对应的是二次函数，结合二次函数的图象与性质建立不等关系，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”的否定为：“∀x∈R，都有x2+mx+2m−3≥0”，由于命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m−3<0”为假命题，则其否定为真命题，∴Δ=m2−4(2m−3)≤0，解得2≤m≤6．则实数m的取值范围是[2,6]．故选：A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了幂函数和指数函数的性质，是基础题．利用幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，比较出a，c的大小，再利用指数函数y=0.3x 在R上单调递减，比较出b，c的大小，从而得到a，b，c的大小关系．【解答】解：∵幂函数y=x0.3在(0,+∞)上单调递增，且0.6>0.3，∴0.60.3>0.30.3，即a>c，∵指数函数y=0.3x在R上单调递减，且0.6>0.3，∴0.30.6<0.30.3，即b<c，∴b<c<a，故选：C．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．由已知得a，b>0，利用√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b即可得出ab≥4，验证等号成立的条件．【解答】解：实数a，b满足1a +4b=√ab，则a，b>0．∴√ab=1a +4b≥2√1a⋅4b，可得ab≥4，当且仅当1a =4b，a=1，b=4时取等号．则ab的最小值为4．故选：D．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．题目等价于函数y=f(x)的图象与直线y=k有3个交点，作出图象，数形结合即可【解答】解：作出函数f(x)的图象如图：若关于x 的方程f(x)=k 有三个不同的实根，即函数y =f(x)的图象与直线y =k 有三个交点，根据图象可知，k ∈(0,1)． 故选：A ．8.【答案】A【解析】 【分析】本题考查分段函数的性质以及应用，注意将函数解析式写出分段函数的形式，属于中档题．根据题意，将函数的解析式写出分段函数的形式，据此作出函数的大致图象，据此可得原不等式等价于{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得x 的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f(x)=2+x2+|x|={−4x−2−1,x <01,x ≥0，其图象大致为：若f(x 2−2x)<f(2x −3)，则有{x 2−2x <0x 2−2x <2x −3，解可得：1<x <2，即不等式的解集为(1,2)；故选：A．9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了基本不等式的应用，关键掌握应用基本不等式的基本条件，一正二定三相等，属于基础题．根据应用基本不等式的基本条件，分别判断即可求出．【解答】解：对于A：a−1>0，y=a2−2a+2a−1=(a−1)2+1a−1=(a−1)+1a+1≥2√(a−1)⋅1a−1=2，当且仅当a−1=1a−1，即a=2时取等号，故A正确；对于B：y=√x2+2√x2+2≥2，当且仅当√x2+2=√x2+2，即x2=−1时取等号，显然不成立，故B错误；对于C：y=x2+1x2≥2√x2⋅1x2=2，当且仅当x=±1时取等号，故C正确；对于D：当x<0时，无最小值，故D错误．故选：AC．10.【答案】AD【解析】【分析】本题考查命题的真假的判断，考查充要条件，命题的否定，幂函数的性质等知识的应用，是基本知识的考查．利用命题的否定判断A；令n=2k和n=2k+1，k∈Z分析n2+1是不是4的倍数判断B；根据充要条件判断C；由幂函数的性质判断D即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0<1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”，满足命题的否定形式，所以A正确；令n=2k，k∈Z，则n2+1=4k2+1不是4的倍数，令n=2k+1，k∈Z，则n2+1=4k2+4k+2不是4的倍数，所以“至少有一个整数n，n2+1是4的倍数”是假命题，所以B不正确；“a>5且b>−5”推出“a+b>0”成立，反之不成立，如a=5，b=−4，满足a+ b>0，但是不满足a>5且b>−5，所以“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件不成立，所以C不正确．当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减，满足幂函数的性质，所以D正确；故选：AD．11.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了用函数图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查了读图能力和数形结合思想．根据题意知图象反应了收支差额y与乘客量x的变化情况，即直线的斜率说明票价问题；当x=0的点说明公司的支出情况，再结合图象进行说明．【解答】解：根据题意和图(2)知，两直线平行即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了此建议是减少支出而保持票价不变；由图(3)看出，当乘客量为0时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，即说明了此建议是提高票价而保持支出不变，故选：BD．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础，由新定义把问题转化不等关系是解题关键．由新定义得[x]≤x <[x]+1，可得函数f(x)=x −[x]值域判断C ；根据题意，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，判断D ． 【解答】解：∀x ∈R ，x <[x]+1，故A 错误；由“取整函数”定义可得，∀x ，y ∈R ，[x]≤x ，[y]≤y ，由不等式的性质可得[x]+[y]≤x +y ，所以[x]+[y]≤[x +y]，B 正确；由定义得[x]≤x <[x]+1，所以0≤x −[x]<1，所以函数f(x)=x −[x]的值域是[0,1)，C 正确；若∃t ∈R ，使得[t 3]=1，[t 4]=2，[t 5]=3，…[t n ]=n −2同时成立，则1≤t <√23，√24≤t <√34，√35≤t <√45，√46≤t <√56，…√n −2n ≤t <√n −1n ，因为√46=√23，若n ≥6，则不存在t 同时满足1≤t <√23，√46≤t <√56，只有n ≤5时，存在t ∈[√35,√23)满足题意，故选：BCD ．13.【答案】(2,−3)【解析】 【分析】本题主要考查指数函数的性质，利用a 0=1的性质是解决本题的关键．比较基础． 根据指数函数的性质，令指数为0进行求解即可求出定点坐标． 【解答】解：由x −2=0得x =2，此时f(2)=a 0−4=1−4=−3， 即函数f(x)的图象过定点A(2,−3)， 故答案为：(2,−3)14.【答案】38【解析】 【分析】口向上和向下两种情况判定函数值在何时取最大值，并根据最大值为4，即可求出对应的实数a的值【解答】解：当a=0时，f(x)=1，不符合题意，舍去．当a≠0时，f(x)的对称轴方程为x=−1，(1)若a<0，则函数图象开口向下，函数在[1,2]递减，当x=1时，函数取得最大值4，即f(1)=a+2a+1=4，解得a=1(舍)．(2)若a>0，函数图象开口向上，函数在[1,2]递增，当x=2时，函数取得最大值4，即f(2)=4a+4a+1=4，解得a=3，8，综上可知，a=38．故答案为：3815.【答案】[0,+∞)【解析】【分析】本题考查了复合函数的单调性问题，考查二次函数的性质，属于中档题．根据复合函数单调性“同增异减”的原则，问题转化为求y=3−x2的单调递减区间，求出即可．【解答】解：根据复合函数单调性“同增异减”的原则，因为y=f(x)是定义域R上的单调递增函数，要求y=f(3−x2)的单调递减区间，即求y=3−x2的单调递减区间，而函数y=3−x2在[0,+∞)单调递减，故y=f(3−x2)的单调递减区间是[0,+∞)，故答案为：[0,+∞)．16.【答案】[−2,+∞)【分析】本题考查函数与方程的关系，关键是理解“局部奇函数”的定义，属于拔高题．根据“局部奇函数“的定义便知，若函数f(x)是定义在R上的“局部奇函数”，只需方程(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解．可设2x+2−x=t(t≥2)，从而得出需方程t2−mt−8=0在t≥2时有解，从而设g(t)=t2−mt−8，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由“局部奇函数”的定义可知：若函数f(x)=4x−m⋅2x−3是定义在R上的“局部奇函数”，则方程f(−x)=−f(x)有解；即4−x−m⋅2−x−3=−(4x−m⋅2x−3)有解；变形可得4x+4−x−m(2x+2−x)−6=0，即(2x+2−x)2−m(2x+2−x)−8=0有解即可；设2x+2−x=t(t≥2)，则方程等价为t2−mt−8=0在t≥2时有解；设g(t)=t2−mt−8=0，必有g(2)=4−2m−8=−2m−4≤0，解可得：m≥−2，即m的取值范围为[−2,+∞)；故答案为：[−2,+∞)．17.【答案】解：(1)0.064−13−(−18)0+1634+0.2512=0.43×(−13)−1+24×34+0.52×12=2.5−1+8+0.5=10；(2)12lg25+lg2+(13)log32−log29×log32=lg5+lg2+3−log32−2(log23×log32)=1+12−2=−12．【解析】本题考查了指数幂和对数的运算的性质，属于基础题．(1)根据指数幂的运算性质计算即可；(2)根据对数的运算性质计算即可．18.【答案】解：由题意得：−x2+7x−12≥0，解得：3≤x≤4，故A=[3,4]，∵1x−2≥1，∴x−3x−2≤0，解得：2<x≤3，故B=(2,3]，(1)A∩B={3}；(2)设p：x∈A，q：x>a，且p是q的充分不必要条件，即[3,4]⫋(a，+∞)，故a<3，故a的取值范围是(−∞,3)．【解析】本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，考查了充分必要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(1)分别求出集合A，B，求出A∩B即可；(2)根据集合的包含关系求出a的范围即可．19.【答案】解：(1)函数f(x)=a x(a>0且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a+a2=6，即a2+a−6=0，解得a=2或a=−3(舍)，故a=2，∴f(x)=2x；(2)g(x)=f(2x)−8f(x)=22x−8⋅2x，令2x=t，则原函数化为ℎ(t)=t2−8t，t∈[2,2m]，其对称轴方程为t=4，当2m≤4，即1<m≤2时，函数最小值为(2m)2−8⋅2m=4m−8⋅2m；当2m>4，即m>2时，函数的最小值为42−8×4=−16．∴g(x)=f(2x)−8f(x)在[1,m](m>1)上的最小值为g(x)min={4m−8⋅2m,1<m≤2−16,m>2．【解析】本题考查指数函数的解析式、单调性与最值，二次函数的性质，是中档题．(1)根据指数函数的性质建立方程a+a2=6，即可求a的值，进一步得到函数解析式；(2)求出函数g(x)=f(2x)−8f(x)的解析式，换元后对m分类，利用二次函数的性质求最值．20.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则f(−x)=(−x)3=−x 3，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=−x 3， 故x <0时f(x)的解析式为f(x)=−x 3； (2)根据题意，f(x)为偶函数，则f(x)=f(|x|)， 所以8f(x)=8f(|x|)=8×|x|3=(2|x|)3=f(2|x|)， 又由当x ≥0时，f(x)=x 3，在[0,+∞)上为增函数；则f(x +1)≥8f(x)⇔f(|x +1|)≥f(|2x|)⇒|x +1|≥|2x|， 变形可得：3x 2−2x −1≤0，解可得：−13≤x ≤1，即不等式的解集为[−13,1]．【解析】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及绝对值不等式的解法，属于中档题．(1)根据题意，设x <0，则−x >0，由函数的解析式可得f(−x)=(−x)3=−x 3，结合函数的奇偶性分析可得答案；(2)根据题意，由函数的奇偶性以及解析式分析可得原不等式等价于|x +1|≥|2x|，解可得x 的取值范围，即可得答案．21.【答案】解：(1)当a =1时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为：y =y 1+y 2={−t +√t +4,0<t <17−(t +2t),1≤t ≤3； ①当0<t <1时，y =−t +√t +4=−(√t −12)2+174，所以当t =14时，y max =174；②当1≤t ≤3时，∵t +2t ≥2√2，当且仅当t =√2时取等号， 所以y max =7−2√2(当且仅当t =√2时取到)，因为174>7−2√2， 故当t =14时，y max =174．(2)由题意y ={−at +√t +4(0<t <1)7−(at +2t )(1≤t ≤3) ① −at +√t +4≥4 ⇒ −at +√t ≥0 ⇒ a ≤√t ，又0<t <1，得出a ≤1；令u =1t ，则a ≤−2u 2+3u,u ∈[13,1]，可得(−2u 2+3u )min =79 所以a ≤79， 综上可得0<a ≤79， 故a 的取值范围为(0,79]．【解析】本题考查学生的函数思想，考查学生分段函数的基本思路，用好分类讨论思想，注意二次函数最值问题，基本不等式在求解该题中作用．恒成立问题的处理方法．用好分离变量法．(1)建立血液中药物的浓度与时间t 的函数关系是解决本题的关键，要根据得出的函数关系式采取合适的办法解决该浓度的最值问题；二次函数要注意对称轴和区间的关系、还要注意基本不等式的运用；(2)分段求解关于实数a 的范围问题，注意分离变量法的应用．22.【答案】解：(1)∵g(x)+2g(−x)=e x +2e x −9，∴g(−x)+2g(x)=e −x +2e x −9， 由以上两式联立可解得，g(x)=e x −3； ∵ℎ(−2)=ℎ(0)=1，∴二次函数的对称轴为x =−1，故设二次函数ℎ(x)=a(x +1)2+k ， 则{a +k =14a +k =−2，解得{a =−1k =2，∴ℎ(x)=−(x +1)2+2=−x 2−2x +1；(2)由(1)知，g(x)=e x −3，其在[−1,1]上为增函数，故g(x)max =g(1)=e −3，∴ℎ(x 1)+ax 1+5≥e −3+3−e =0对任意x 1∈[−1,1]都成立，即x 12+(2−a)x 1−6≤0对任意x ∈[−1,1]都成立，∴{1−(2−a)−6≤01+(2−a)−6≤0，解得−3≤a ≤7， 故实数的a 的取值范围为[−3,7]；(3)f(x)={e x −3,x >0−x 2−2x +1,x ≤0，作函数f(x)的图象如下，令t=f(x)，a∈[−3,7]，则f(t)=a+5∈[2,12]，①当a=−3时，f(t)=2，由图象可知，此时方程f(t)=2有两个解，设为t1=−1，t2=ln5∈(1,2)，则f(x)=−1有2个解，f(x)=ln5有3个解，故共5个解；②当−3<a<e2−8时，f(t)=a+5∈(2,e2−3)，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个正实数解，设为t3=ln(a+8)∈(ln5,2)，则f(x)=t3=ln(a+8)有3个解，故共3个解；③当a=e2−8时，f(t)=a+5=e2−3，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t4=2，则f(x)=t4=2有2个解，故共2个解；④当e2−8<a≤7时，f(t)=a+5∈(e2−3,12]，由图象可知，此时方程f(t)=a+5有一个解t5=ln(a+8)∈(2,ln15]，则f(x)=t5有1个解，故共1个解．【解析】本题考查函数解析式的求法，考查不等式的恒成立问题及函数零点与方程解的关系，旨在考查数形结合及分类讨论思想，属于中档题．(1)运用构造方程组法可求g(x)，运用待定系数法可求ℎ(x)；(2)原问题等价于x12+(2−a)x1−6≤0对任意x1∈[−1,1]都成立，进而求得实数a的取值范围；(3)作出函数f(x)的图象，结合图象讨论即可．。
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市宝安区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则“{a n }是等差数列”是“{ Sn n }是等差数列”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（单选题，5分）已知E 、F 分别为椭圆 x 225 + y 29 =1的左、右焦点，倾斜角为60°的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则△FAB 的周长为（ ）A.10B.12C.16D.203.（单选题，5分）若数列{a n }满足a 1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a n +n+1，则 1a 1+1a 2 +……+ 1a 2016 等于（ ） A. 20162017B.20152016 C. 40302016D. 403220174.（单选题，5分）已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0) 的左右焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. (0，12)B. (13，12)C. [13，1)D. [12，1)5.（单选题，5分）P 是双曲线 x 29 - y 216 =1的右支上一点，M 、N 分别是圆（x+5）2+y 2=4和（x-5）2+y 2=1上的点，则|PM|-|PN|的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.96.（单选题，5分）已知正数x ，y 满足x 2+2xy-3=0，则2x+y 的最小值是（ ）A.3B.4C.5D.67.（单选题，5分）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 9=1，S 18=0，当S n 取最大值时n 的值为（ ）A.7B.8C.9D.108.（单选题，5分）已知抛物线y 2=16x 的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则 |NF|9−4|MF| 的最小值为（ ） A. 23B. −23C. −13D. 139.（单选题，5分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，M 为A 1C 1的中点，若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = c ， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，则 BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 可表示为（ ）A.- 12 a + 12 b ⃗ + cB. 12 a + 12 b ⃗ + cC.- 12 a - 12 b ⃗ + cD. 12 a - 12 b ⃗ + c10.（单选题，5分）点P（-3，1）在椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左准线上．过点P且方向为a =（2，-5）的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A. √33B. 13C. √22D. 1211.（多选题，5分）在△ABC中，D在线段AB上，且AD=5，BD=3，若CB=2CD，cos∠CDB=- √55，则（）A. sin∠CDB=310B.△ABC的面积为8C.△ABC的周长为8+4√5D.△ABC为钝角三角形12.（多选题，5分）若x≥y，则下列不等式中正确的是（）A.2x≥2yB. x+y2≥ √xyC.x2≥y2D.x2+y2≥2xy13.（填空题，5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C等于___ ．14.（填空题，5分）侧棱长为3 √3的正三棱锥V-ABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=40°，过点A 作截面AEF，则截面AEF周长的最小值为___ ．15.（填空题，5分）已知数列{a n}的各项均为正数，a1=2，a n+1-a n= 4a n+1+a n，若数列{ 1a n−1+a n}的前n项和为5，则n=___ ．16.（填空题，5分）如图，F1和F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为___ ．17.（问答题，0分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，求a2+b2a−b的最小值．18.（问答题，0分）已知等比数列{a n}是首项为1的递减数列，且a3+a4=6a5．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=na n，求数列{b n}的前n项和T n．19.（问答题，0分）在平面直角坐标系中，曲线Γ：F（x，y）=0和函数f(x)=14x2的图象关于点（1，2）对称．（1）函数f(x)=14x2的图象和直线y=k•x+4交于A、B两点，O是坐标原点，求证：∠AOB=π2；（2）求曲线Γ的方程；（3）对于（2），依据课本章节《圆锥曲线》的抛物线的定义，求证：曲线Γ为抛物线．20.（问答题，0分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足csinA=asin（C+ π3）．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为3 √3，a-b=1，求c和cos（2A-C）的值．21.（问答题，0分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（1，1）作圆M的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB被曲线C截得的弦的中点坐标．22.（问答题，0分）已知棱台ABC-A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=60°，∠A1B1C1=90°，AA1=AC=CC1= A1C1，D，E分别是BC和A1C1的中点2（Ⅰ）证明：DE⊥B1C1；（Ⅱ）求DE与平面BCC1B1所成角的余弦值．。
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）命题“∀x∈R ，|x|+x 2≥0”的否定是（ ）A.∀x∈R ，|x|+x 2＜0B.∀x∈R ，|x|+x 2≤0C.∃x 0∈R ，|x 0|+x 02＜0D.∃x 0∈R ，|x 0|+x 02≥02.（单选题，5分）复数z 满足（1+i ）•z=-1+i ，其中i 为虚数单位，则复数z=（ ）A.1+iB.1-iC.iD.-i3.（单选题，5分）已知1，a 1，a 2，3成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，4成等比数列，则 a 1+a 2b 2 的值为（ ）A.2B.-2C.±2D. 544.（单选题，5分）设实数x 、y 满足 {y ≤xx +y ≤4y ≥−2，则z=2x+y 的最小值为（ ） A.-8B.-6C.6D.105.（单选题，5分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 （a ＞0，b ＞0）右顶点与抛物线y 2=8x 焦点重合且离心率e= 32 ，则该双曲线方程为（ ）A. x 24−y 25=1 B. x 25−y 24=1 C. y 24−x 25=1 D. y 25−x 24=16.（单选题，5分）已知函数f （x ）= 12 x 3+ax+4，则“a ＞0”是“f （x ）在R 上单调递增”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.（单选题，5分）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂（即1520），其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A.32B.33C.34D.358.（单选题，5分）双曲线x2a2 - y2b2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）关于直线y=- bax的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. √52B. √5C. √3D. √329.（多选题，5分）下列选项中正确的是（）A.不等式a+b≥2√ab恒成立B.存在实数a，使得不等式a+1a≤2成立C.若a、b为正实数，则ba +ab≥2D.若正实数x，y满足x+2y=1，则2x +1y≥810.（多选题，5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为π4B.C到平面ABC1D1距离为长√22C.两条异面直线CD1和BC1所成的角为π4D.三棱锥D1-DAB中三个侧面与底面均为直角三角形11.（多选题，5分）已知数列{a nn+2n}是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（）A.a1=3B.若d=1，则a n=n2+2nC.a2可能为6D.a1，a2，a3可能成等差数列12.（多选题，5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆x24+y22=1上的动点，M（0，2），下列说法正确的有（）A.|PF1|+|PF2|=4B.|PF1|-|PF2|的最大值为2 √2C.存在点P，使∠F1PF2=120°D.|MP|的最大值为2+ √213.（填空题，5分）函数f（x）=lnx在点（1，0）处的切线方程为___ ．14.（填空题，5分）复数z=（12+4a-a2）-（8a-16）i在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为___ ．15.（填空题，5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=___ ．16.（填空题，5分）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线上一点，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为(√3−1)a，则其渐近线方程是___ ．17.（问答题，10分）在① S3=12，② 2a2-a1=6，③ a8=16，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知{a n}是公差不为0的等差数列，其前n项和为S n，若____，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}是各项均为正数的等比数列，且b2=a1，b4=a4，求数列{a n+b n}的前n项和T n．18.（问答题，12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的顶点为O，准线方程为x=−12．（1）求抛物线方程；（2）若过点D（1，1）的直线1交抛物线于A，B两点，且D为AB的中点求直线l的方程；（3）过点（1，0）且斜率为1的直线与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．19.（问答题，12分）如图，在梯形ABCD中，AB || DC，∠ABC=60°，FC⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且AD=CD=BC=1，CF=√32．（1）求证：平面BCM⊥平面AMC；（2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值．20.（问答题，12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，S n+1-2S n=1，n∈N*．（Ⅰ）证明：{S n+1}为等比数列，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n= na n，求{b n}的前n项和T n，并判断是否存在正整数n使得T n•2n-1=n+50成立？若存在求出所有n值；若不存在说明理由．21.（问答题，12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的一个焦点为F(√3，0)，且该椭圆经过点P(√3，12)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=xlnx-ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为x1，x2，且x1＜x2，求证：x1•x2＞1．。
广东省深圳市盐田高级中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
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注：资料封面，下载即可删除2020-2021 学年第一学期期中考试盐田高级中学高一数学试卷考试时间：120 分钟 满分：150 分一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求. 1．设集合 S x x 2 ，T x x2 3x 4 0 ，则集合 (CRS) T （ ）.A． 4,2B． , 4C． ,1D．1, 2．不等式ax2 5xc0的解集为x 1 3x12 ，则a, c的值为（）.A． a 6 ， c 1B． a 6 ， c 1C． a 1， c 6D． a 1， c 6x2 1, x 13．设函数f(x) 2，则 f f 3 ＝（ ）. x , x 1A． 1 5B． 13 9C． 2 3D．34．下列不等式中，正确的是（ ）.A． a 4 4 aB． a2 b2 4abC． ab a b 2Dx23 x2235．下列函数中是偶函数的是（ ）.A． y x4 x 0 B． y x 1C．y2 x2 1D． y 3x 16． x2 4 成立的一个充分非必要条件是（ ）.A． x2 3B． x 2C． x 2D． x 37．若函数 f (x) x mx2 mx 2 的定义域为 R ，则实数 m 取值范围是（）.A. [0,8)B. (8, )C. (0,8)D. (,0) (8,)8． fx3a 1 x 4a, xax, (x 1) 1是定义在 (, )上是减函数，则 a的取值范围是（ ）.A.0,1 3 B. 1 8,1 3 C. 0,1 3 D. 1 8,1 3 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 3 分，选错或不答的 得 0 分．9．对任意实数 a ， b ， c ，给出下列命题：①“ a b ”是“ ac bc ”的充要条件； ②“ a 5 是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件；③“ a 4 ”是“ a 3 ”的必要条件；④“ a b ”是“ a2 b2 ”的充分条件.其中真命题是（ A．①）. B．②C．③D．④10．设 b a 0 ， c R ，则不列等式中正确的是（ ）.A．a1 21 b2B． 1 c 1 c abC． a 2 a b2 bD． ac2 bc211．给出下列命题，其中是错误命题的是（）.A．若函数 f x 的定义域为0, 2 ，则函数 f 2x 的定义域为0, 4 ；B．函数 f x 1 的单调递减区间是 ,0 0, ；xC．若定义在 R 上的函数 f x 在区间 ,0 上是单调增函数，在区间 0, 上也是单调增函数，则 f x 在 R 上是单调增函数；D．x1 ，x2 是 f x 定义域内的任意的两个值，且 x1 x2 ，若 f x1 f x2 ，则 f x是减函数.12．若函数 f x 同时满足：①对于定义域上的任意 x，恒有 f x f x 0 ；②对于定义域上的任意 x1 ，x2 ，当 x1x2 时，恒有f x1 f x2 x1 x2 0 ，则称函数fx为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）.A． f x x 1B． f x x2C． f x xD．fxx2, x 0 x2,x0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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广东省深圳市2020-2021学年高二上学期调研数学试题
一、单选题
(★★) 1. 已知集合，集合，则（）
A．B．C．D．
(★) 2. 函数的定义域为（）
A．B．C．D．
(★★) 3. 在中，若，，则（）
A．B．C．D．
(★★) 4. 某高中有三个年级，其中高一学生900人，高二学生860人，现采用分层抽样的方法调查学生的视力情况，在抽取的样本中有高二学生43人、高三学生39人，则该高中的学生总人数应为（）
A．2600B．2580C．2540D．2500
(★★) 5. 甲、乙两名同学都参加了7场篮球比赛，他们的各场比赛得分的情况用如下茎叶图表示，则（）
A．甲得分的均值高于乙得分的均值B．甲得分的均值低于乙得分的均值
C．甲得分的方差高于乙得分的方差D．甲得分的方差低于乙得分的方差
(★★★) 6. 已知，则（）
A．B．C．D．
(★★★) 7. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
(★★) 8. 在中，，，，若，则（）A．B．C．D．
二、多选题
(★★) 9. 已知直线，，，则下列结论正确的是（）
A．直线l恒过定点B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为D．当时，直线l与直线垂直
(★★★) 10. 已知函数，则下列结论正确的是（）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点成中心对称
C．的图象关于直线对称
D．的单调递增区间是
(★★★) 11. emoji（中文名：绘文字，别称：“小黄脸”）最早源于日本，是指在无线通信中所
使用的视觉情感符号，可用来代表多种表情．如今 emoji 表情已经风靡全球，大有“无 emoji ，不聊天”的趋势．题图1的“微笑脸”是交流沟通中最常使用的表情符号之一．我们可以用一些适当的函数图象或者是方程的曲线来绘制其近似图象，如题图2．其中，可用曲线 勾勒
脸庞，用曲线
，
近似两只眼睛．下列四个函
数中，可用其图象来近似描绘嘴巴形状的有（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★★) 12. 如图，已知四棱锥
所有棱长均为4，点 M 是侧棱 上的一个动点
（不与点 重合），若过点 M 且垂直于
的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确
的是（）
A ．截面的形状可能为三角形、四边形、五边形
B ．截面和底面
所成的锐二面角为
C ．当
时，截面的面积为
D ．当时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为
，则
三、填空题
(★★) 13. 设向量，若，则_____．
(★★) 14. 已知某设备的使用年限 x（年）与维护费用 y（万元）之间有如下数据，且 x与 y之
间具有线性相关关系，由下表的统计数据，利用最小二乘法求得 y关于 x的回归直线方程为，则数据_____．
使用年限x（年）3456
维护费用y（万
2.5t4 4.5
元）
(★★★)15. 已知函数是奇函数，且满足，若当时，，则_____．
(★★★) 16. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为
，若与有且仅有三个公共点，则实数 k的值为_____．
四、解答题
(★★) 17. 已知．
（1）求的值；
（2）求的值．
(★★★) 18. 某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内
的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组：，，，并绘制成如下的频率分布直方图．Array
（1）求 a的值；
（2）请估计这100户居民家庭月均用电量的中位数；
（3）若从样本中月均用电量在的居民家庭中随机抽取2户家庭参与调研座谈，求恰
有1户居民家庭的月均用电量在的概率．
(★★★) 19. 如图，在三棱柱中，底面，，，D是中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
(★★★) 20. 已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域．
(★★★) 21. 已知圆，点 P在直线上运动．
（1）若点 P的横坐标为，且过点 P的直线 l被圆 O截得的弦长为，求直线 l的方程；（2）若直线，与圆 O相切，且 A， B为切点，证明：直线恒过定点，并求出定点坐标．
(★★★★) 22. 已知定义在 R上的函数在上是增函数．为偶函数，且当时，．
（1）求在上的解析式；
（2）若函数与的值域相同，求实数 m的值；
（3）令讨论关于 x的方程的实数根的个数．。