2.1分解因式
八下 2.1分解因式 教学设计(于海峰)
第二章 分解因式§2.1 分解因式【有效学习】一、学习目标1、了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.2、通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养观察能力和语言概括能力.3、通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，了解事物间的因果联系.学习重点：1、理解因式分解的意义；2、识别分解因式与整式乘法的关系.学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
【复习检测】复习整式乘法公式类：()()a b a b +-= 2()a b += 2()a b -=（1）单⨯单：=∙ab a 43 （2） 单⨯多：(35)a a b -=（3）多⨯多：(3)(2)x y x y -+= （4） 混合乘：(1)(1)a a a +-=【预习检测】把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式 应用提高：公式类：22a b -= 222a ab b ++= 222a ab b -+=（1） 212a b = 3a ⨯ （2）235a ab -= （3）22253x xy y --= （4）3a a -= 总结因式分解的特点： 议一议（1）由(1)(1)a a a +-=3a a -的变形是 运算。
（2）由3a a -=(1)(1)a a a +-的变形是 运算。
想一想：分解因式与整式乘法有什么关系？下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？（1）22111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ （2）()222424ab ac a b c +=+ （3）24814(2)1x x x x --=-- （4）222()ax ay a x y -=-（5）2224(2)a ab b a b -+=- （6）2(3)(3)9x x x +-=-【学以致用】1.下列从左到右的变形，是分解因式的为( )A.x 2－x =x (x －1)B.a (a －b )=a 2－abC.(a +3)(a －3)=a 2－9D.x 2－2x +1=x (x －2)+1 2.下列各式分解因式正确的是 （ ）A. 223633(2)a x bx x x a b -+=-B. ()22xy x y xy x y +=+C. 2()a ab ac a a b c -+-=-+-D. 22963(32)abc a b abc ab -=-3.讨论553－55能被56整除吗？还能被几整除？你是怎样想的？与同伴交流.4.如图。
第二章《因式分解》测试题(魏英霞).doc
八年级数学（下）第二章《因式分解》课时训练（魏英霞）2.1分解因式【考点演练】1、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为(1)、bx ax b a x -=-)( (2)、222)1)(1(1y x x y x ++-=+- （3)、)1)(1(12-+=-x x x （4)、c b a x c bx ax ++=++)( （5).12a 2b =3a ·4ab ( 6).(x +3）（x －3）=x 2－9(7).4x 2+8x －1=4x （x +2）－1 (8).21ax －21ay =21a （x －y ） (9). (a +3)(a -3)=a 2-9 (10).x 2+x -5=(x -2)(x +3)+1 (11).x 2+1=x (x +x1) (12)、z yz z y z z y yz +-=+-)2(22422、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A 、46-bB 、64b -C 、46+bD 、46--b3、已知多项式c bx x ++22分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ）A 、1,3-==c bB 、2,6=-=c bC 、4,6-=-=c bD 、6,4-=-=c b4、若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则 5、若x+5,x-3都是多项式152--kx x 的因式，则k=_________. 2.2提公因式法【考点演练】1、322236129xy y x y x -+中各项的公因式是__________。
2、将多项式3222231236b a b a b a +--分解因式时，应提取的公因式是（ ） （A ）ab 3- （B ）223b a - （C ）b a 23- （D ）333b a - 3、下列各式分解正确的是（ ）A.)34(391222xy xyz y x xyz -=- B.)1(333322+-=+-a a y y ay y aC.)(2z y x x xz xy x -+-=-+- D.)5(522a ab b ab b a +=-+4、下列各式的因式分解中正确的是（ ） (A) -a 2+ab -ac = -a (a +b -c )(B)9xyz -6x 2y 2=3xyz (3-2xy ) （C) 3a 2x -6bx +3x =3x (a 2-2b ) (D)21xy 2+21x 2y =21xy (x +y ) 5、下列各式从左到右的变形错误的是（ ） A ．22)()(y x x y -=-B ．)(b a b a +-=-- C.33)()(a b b a --=- D.)(n m n m +-=+- 6、 m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）(A). (a -2)(m 2+m ) (B). (a -2)(m 2-m ) (C). m (a -2)(m -1) (D). m (a -2)(m+1) 7、把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ ）A 、()()p p a +-21 B 、()()p p a --21 C 、()()11--p a p D 、()()11+-p a p8、已知x +y =6，xy =4，则x 2y +xy 2的值为 ; 9、若a+b=7,ab=10,则22ab b a +的值应是 9、把下列各式分解因式（1）222axy y x a - （2）5335y x y x +- （3）23)(10)(5x y y x -+-（4）)3()3(2a a -+- （5）c ab ab abc 249714+-- （6）228168ay axy ax-+-（7）32)(12)(18b a b a b ---； （8）mn(m －n)－m(n －m) （9）a 2(x -y )+b 2(y -x )2.3运用公式法—平方差公式 【考点演练】1、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是____________________。
§2.1 分解因式导学案
课题：§2.1分解因式主备：刘晓东备课组长审核:高宏伟教务处审核：李诚
一、展示目标：
学习重点：
1．理解因式分解的意义。
2．识别分解因式与整式乘法的关系。
学习难点：通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系。
二、自主学习：
1、公式类： = =
=
（1）单 单：3a×4ab=
3．掌握分解因式概念应注意：
（1）被分解对象是
（2）分解因式的结果必须是几个的形式.
（3）分解因式要一直分解到每个因式不能再为止.
4．及时反馈：完成书p45随堂练习
三、合作探究：分解因式与整式乘法的关系
1．议一议
（1）由 = 的变形是运算.
（2）由 = 的变形与（1）有什么不同？
2．想一想
分解因式与整式乘法有什么关系？
（7）a2+2ab+b2=（）（）（8）8y2+8y=（）（）
五、总结升华：
1．分解因式的概念：
2．分解因式应注意：
3．分解因式与整式乘法的关系
（2）单 多： =
（3）多 多：
（4）混合乘：x（x-1）（x+1）=
2、独立探究问题：分解因式的概念
1．自主学习教材p43-p44，其中p44做一做的前（1）—（5）是什么运算？做一做的后（1）—（5）与前（1）—（5）的关系是什么？
2．分解因式的概念：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式
.因式分解与整式乘 法是的变形.
例：下列从左到右的变形中，哪些是分解因式？哪些不是分解因式？为什么？
（1）x+1=x（1+ ）（2）
（3） （4）
（5） （6）
2.1分解因式
（2）能被2000整除吗？
练习二 应用概念
993-99能被100整除吗?
993-99 =99 ×(992-1) =99 (99+1)(99-1) = 99×100×98 所以, 993-99能被100整除.
（2）能被2000整除吗？
【变式1】1999 3 1999 （1）能被1999整除吗？
举一反三
2－y2 分解因式 x 整式乘法
(x+y)(x－y)
分解因式与整式乘法是互逆过程.
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 分解因式? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 分解因式 整式乘法 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ；分解因式 整式乘法 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 分解因式 分解因式 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
B、a2－a－2＝a (a－1)－2
C、－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D、x2－4x－5＝(x－2)2－9
完成课本p45随堂练习
举一反三
1 1 【变式3】 16.9 15.1 能被4整除吗？ 8 8
练习二 应用概念
【变式2】 1999 2 1999 （1）能被1999整除吗？
练一练
重、难点归纳
重点：
1.熟练的运用十字相乘法、分组分解法、配方法进行多项式的 因式分解；
2.了解使用配方法、添项（拆项）法、待定系数法来分解因式； 3.会利用因式分解解决有关的综合题目
因式定理的由来-概述说明以及解释
因式定理的由来-概述说明以及解释1.引言1.1 概述因式定理是数学中的一个重要概念，它在代数学、高等数学以及应用数学等领域都有广泛的应用。
因式定理是一个让我们更好地理解多项式的因式分解和根的性质的工具。
在代数学中，多项式是一个由各种数（包括实数和复数）和各种运算（如加减乘除和幂运算）组成的表达式。
因式定理告诉我们，任何一个多项式都可以被分解为若干个因子的乘积。
在这个过程中，我们可以找到这个多项式的根，也就是使得多项式取值为零的解。
因子和根之间有着密切的联系，通过因子分解，我们可以更好地理解多项式的根的性质，也可以更方便地求解多项式的方程。
而因式定理的历史背景，可以追溯到古希腊时期的数学家欧几里得。
他在《几何原本》一书中首次提出了因式定理，并使用了几何图形来证明这个定理。
随后，这个定理在代数学中得到了广泛的研究和应用，成为了代数学的基础。
因式定理的重要性和应用不仅体现在数学理论中，同时也在实际问题的求解中发挥着重要作用。
比如，在工程学中，我们经常会遇到各种多项式函数，通过因式定理，我们可以更好地对这些函数进行分析和优化。
在物理学中，多项式函数常常用于描述各种物理现象，因式定理帮助我们理解和解释这些现象。
当然，因式定理的研究也并没有止步于此，它仍然具有很大的发展潜力。
随着数学研究的深入和技术的进步，我们可以预见，对于更加复杂的多项式和非线性方程，因式定理会进一步完善并扩展其应用领域。
因此，对于因式定理的未来发展方向的研究和探索也具有重要的意义。
综上所述，因式定理作为数学中的一个重要概念，不仅在理论研究中发挥着重要作用，而且在实际问题的求解中也具有广泛的应用前景。
通过深入研究因式定理的定义、基本概念和历史背景，我们可以更好地理解和应用这一概念，并为其未来的发展提供支持和指导。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应当包括对整篇文章的框架和逻辑结构的介绍。
具体可以按照以下内容进行撰写：文章结构:本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
初中数学因式分解公式总结
初中数学因式分解公式总结大家好！今天我们来聊聊数学中的因式分解公式。
虽然听起来有点儿晦涩难懂，但其实它们就像是解锁数学世界的钥匙。
别担心，我会尽量把这些公式讲得通俗易懂，让大家一听就明白！1. 常见的因式分解公式1.1 平方差公式这个公式真的是数学的“超级英雄”啊！它的形态是：(a^2 b^2 = (a b)(a + b))。
想象一下你手里有两个正方形，一个边长是 (a)，另一个边长是 (b)。
你把这两个正方形放在一起，形成一个大正方形，再把它们分开，就变成了两个矩形。
这个过程，就是平方差公式的“魔力”。
1.2 完全平方公式接下来，我们有两个完全平方公式。
一个是：[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
]另一个是：[(a b)^2 = a^2 2ab + b^2。
]听起来很复杂，但其实很简单。
就像是你在用魔法一样，把两个数相加或相减的平方展开成更大的式子。
这里的关键是记住：无论是加还是减，平方后都会有一个“中间值”，它是两个数的乘积的两倍。
2. 因式分解的步骤2.1 提取公因式当你面对一个复杂的多项式时，首先要做的就是找找有没有公因式。
比如，你有个式子 (6x^2 + 9x)。
咦，6和9的公因式是3，而 (x^2) 和 (x) 的公因式是 (x)。
所以，我们可以提取出一个 (3x)，就变成 (3x(2x + 3))。
是不是瞬间清爽了很多？2.2 分解为两个括号这个步骤其实就是在玩“拆解游戏”。
比如，你有一个二次多项式 (x^2 + 5x + 6)。
你要找两个数，它们的积是6，而它们的和是5。
这两个数就是2和3。
所以，最终的因式分解就是 ((x + 2)(x + 3))。
是不是像拼图一样简单有趣？3. 综合应用3.1 混合公式应用有时候，我们需要将不同的因式分解公式结合起来。
比如说，你遇到 (x^2 4x + 4)。
你可以先用完全平方公式，它其实是 ((x 2)^2)。
这就像是把复杂的事情变得简单，再把它变得更简单！3.2 遇到困难怎么办？遇到难题时，不妨先分步解决。
因式分解知识点
因式分解知识点因式分解是数学中重要的基础知识之一。
它是指将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，例如解方程、计算极限、构建数据模型等等。
本文旨在深入探讨因式分解的相关知识点。
一、基本概念1.1 多项式与因式：多项式是由常数、变量和幂次依次相乘所得的代数式，如$x^2+2x+1$。
因式是一种可以被一个数或一个代数式整除的代数式，如$x+1$是$x^2+2x+1$的因式。
1.2 因数与因式分解：在数学中，一个数$a$能够被另一个数$b$整除，即$a=bn$，则称$b$是$a$的因数。
因式分解是指将一个代数式写成各个因数的乘积的形式。
二、因式分解方法2.1 提公因式法：提公因式法是指先提取出多项式中的公因式，然后将公因式与剩余项相乘得到原多项式。
例如，$3x^3+6x^2=3x^2(x+2)$。
2.2 分组分解法：分组分解法是指将多项式中的项分成两组，使得每组之间可以找到一个公因式，然后将两组分别提取出公因式后合并得到原多项式。
例如，$x^2+2xy+y^2= (x+y)^2$。
2.3 短除法：短除法是将多项式中的项按某个因式进行除法运算后得到商式，将商式再按另一因式进行除法运算，直到多项式无法再做除法为止。
例如，$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。
2.4 公式法：公式法是指利用一些基本公式对多项式进行因式分解。
例如，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
三、应用3.1 解高次方程：因式分解可以方便地解决高次方程，如 $x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，从而得到解$x=2$和$x=3$。
3.2 计算极限：因式分解可以化简复杂的代数式，从而方便计算极限，如$\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}=12$。
2.1 分解因式 课件1(北师大版八年级下)
1、你今天获得了什么样的知识？ 2、你学会了用什打算？
③
(a b)(a b) a 2 b2
积 和
a 2 b2 (a b)(a b)
和 积
特征：
因式分解 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式， 像这样的式子变形就叫做因式分解．
下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？ （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） （ 6）
① 29 57 29 43 ② 56 2 56 44 44
2
乘法分配律
2
完全平方公式
③ 79 21
2
2
平方差公式
整式乘法
①
因式分解
ab ac a(b c)
a(b c) ab ac
②
(a b) 2 a 2 2ab b2
a 2 2ab b2 (a b) 2
1、等式左边是一个多项式（和） 2、等式右边是几个整式的积 3、因式分解是一个恒等变形 4、因式分解在实数范围内要分解到不能再分解为止
因式分解与整式乘法的关系
多项式
分解因式 = 整式乘法
整式的积
因式分解与整式乘法是互逆过程
993 99
1、将下列代数式因式分解
(1) (2) (3)
ax ay
18a 3bc 3a 2 b 6ac
（ （ （
不是 ）
） 不是 ） 不是
(3x 1) 2 9 x 2 6 x 1
2x 2 1 2x 12x 1
2
3x 2 7 x 4 3x 4x 1 （
是） 是） 不是 ）
x 5x 6 x 2x 3 （
高中分解因式的方法和技巧
高中分解因式的方法和技巧大家好，今天我们来聊聊高中数学中的一个重要话题——分解因式。
这个问题可能会让你觉得头疼，但别担心，我们会用轻松的方式来搞定它，让你在考试中轻松得分！1. 什么是分解因式？首先，咱们得搞清楚什么叫分解因式。
简单来说，就是把一个多项式（比如 (x^2 + 5x + 6)）拆分成若干个因式（比如 ((x + 2)(x + 3))）的过程。
这就像把一个大蛋糕切成几块，让每一块都更容易处理。
1.1 为什么要分解因式？分解因式可以帮我们解决很多数学问题，比如求解方程、简化表达式等等。
用一个简单的比喻，就是把复杂的问题拆成小块，逐一攻破，这样就容易多了。
1.2 常见的因式分解方法我们现在就来看看几种常见的分解因式的方法。
记住，方法多了之后，你会发现问题其实也没那么难。
2. 常见的分解因式技巧2.1 提取公因式这是最简单的技巧之一。
就像从一个篮子里拿出所有的苹果，把它们放到一个大袋子里。
比如，你有 (6x + 9)，可以看到 (6) 和 (9) 都能被 (3) 整除。
所以，我们可以把 (3) 提出来，变成 (3(2x + 3))。
小提示：如果你遇到的每一项都有一个公因子，不要犹豫，直接提出来就行了。
这样能让问题看起来清爽多了。
2.2 分解为两个二项式这个方法用得比较多。
拿一个简单的例子来说，如果你要分解 (x^2 + 5x + 6)，我们要找两个数，它们的乘积是 (6)（常数项），而和是 (5)（一次项系数）。
这两个数就是 (2) 和 (3)，所以我们可以把这个多项式写成 ((x + 2)(x + 3))。
小窍门：这个方法就是“找两个数”法，记住两个条件：乘积等于常数项，和等于一次项系数。
找到了这两个数，你就能完成分解了！2.3 完全平方公式如果你看到的多项式看起来像 ((a + b)^2) 或 ((a b)^2) 的形式，就可以用完全平方公式来分解。
比如，(x^2 + 6x + 9) 可以变成 ((x + 3)^2)。
2.1因式分解法解一元二次方程
一元二次方程的一般式是怎样的？
ax bx c 0
2
（a≠0）Байду номын сангаас
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式 主要方法: (1)提取公因式法
(2)公式法: a2－b2=(a+b) (a－b) a2±2ab+b2=(a±b)2
(3)十字相乘法
在学习因式分解时，我们已经知道， 可以利用因式分解求出某些一元二次 方程的解
能说出你这节课的收获和体验让大家
与你分享吗？
例3 解方程x2=2√2x－2
1 2 x 2 x
2
2
8 0 3x
2
3 x 2
2 x 2
4 x x 12 36
方程两边同除以一个代数式,可能会造 成漏解,所以在解类似(3)这样的方程时 应特别小心.应先移项,再在左边用提公 因式法进行因式分解.
例2 解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解
3x2－17x=0.
x(3x－17)=0,
解：（3x－4)2－(4x－3)2=0. ［(3x－4)+(4x－3)］［ (3x－4)－(4x－3)］=0,
∴ x=0 ,或3x－17=0 即 (7x－7) (-x－1)=0. ∴ x1=0, x2=17／3 ∴7x－7=0,或 -x－1=0. ∴x1=1, x2=-1
2
结果是多少?
已 知 x y 2 x y 1 0, 则 x y 的 值 是 多 少 ?
2 2 2 2 2 2
有 一 天 , 一 个 醉 汉 拿 着 竹 竿 进 屋 ,横 拿 竖 拿 都 进 不 去 , 横 着 比 门 宽 4尺 ,竖 着 比 门 框 高 2尺 ,另 一 个 醉 汉 教 他 沿 着 门 的 两 个 对 角 斜 着 拿 竿 ,这 个 醉 汉 一 试 ,不 多 不 少 刚 好 进 去 了 ,你 知 道 竹 竿 有 多 长 吗 ?列 出 方 程 并 求 解.
因式分解的知识点总结
因式分解的知识点总结1. 什么是因式分解？因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式的过程，其中每个乘积因子称为因式。
因式分解是代数学中重要的基础概念，它在解方程、求导数、化简算式等数学问题中都有广泛的应用。
2. 基本原理2.1 因式分解的基本原则是根据多项式的各项之间的关系，将其从一个形式变换为另一个形式。
常见的因式分解方法有以下几种：•公因式法：将多项式中的一个公因式提取出来，形成因式分解的结果。
•配方法：根据两项之间的关系，通过配方将多项式分解为二次因式。
•分组分解法：将多项式中的项进行合理的分组，然后在每组中提取公因式进行分解。
2.2 因式分解的基本原理可以总结为以下几点：•同符号原理：多项式中的每一个项都必须具有相同的符号。
•分配律：可以将乘法在加法之前或者在加法之后进行运算。
3. 常见的因式分解方法3.1 公因式法公因式法是最基础也是最简单的因式分解方法之一。
其基本思想是将多项式中的一个公因式提取出来，得到因式分解的结果。
例如，对于多项式3x2+6x，我们可以提取出公因式3x，得到因式分解的结果为3x(x+2)。
3.2 配方法配方法主要适用于二次因式的因式分解。
其基本思想是根据二次项的特点，通过猜测与配方的方式将多项式分解为两个括号内相乘的形式。
例如，对于多项式x2+5x+6，我们可以通过猜测将其分解为(x+2)(x+3)。
3.3 分组分解法分组分解法适用于多项式中存在多个项的情况，通过合理的分组和提取公因式的方式进行因式分解。
例如，对于多项式ab+ac+bd+cd，我们可以进行分组得到(a+b)(c+d)，从而得到因式分解的结果。
4. 示例下面通过几个具体的示例来进一步说明因式分解的方法和原理。
4.1 示例一：公因式法考虑多项式6x2+9x，我们发现它的公因式是3x，因此可以将其分解为3x(2x+3)。
4.2 示例二：配方法考虑多项式x2+7x+10，我们可以通过配方法将其因式分解为(x+5)(x+2)。
高次多项式因式分解的方法与技巧
高次多项式因式分解的方法与技巧1.引言多项式因式分解是高中数学中的一个重要知识点，也是解题的关键。
本文将介绍高次多项式因式分解的方法与技巧，帮助读者更好地理解和应用因式分解概念。
2.一元高次多项式的因式分解方法2.1两项式的因式分解当一个多项式可以被两个二次多项式相乘得到时，我们可以使用"二项积分"法进行因式分解。
具体步骤如下：1.将多项式化简为形如`f(x)=(a x^2+b x+c)(dx^2+e x+f)`的形式。
2.对比多项式系数，列出方程组。
3.解方程组得到系数。
4.写出因式分解后的形式。
2.2短除法与因式分解对于一元高次多项式，我们可以使用短除法来进行因式分解。
步骤如下：1.将多项式按照降幂排列。
2.确定一个可能的因式。
3.使用短除法进行除法计算，得到商和余数。
4.若余数为零，则得到一个因式，重复步骤2与3解得另一出一个因式。
5.将所有因式相乘，得到多项式的因式分解形式。
3.多元高次多项式的因式分解方法对于多个变量的高次多项式，因式分解需要考虑各个变量的幂次以及系数。
以下是常见的多元高次多项式因式分解方法：3.1完全平方差公式完全平方差公式可用于多元高次多项式的因式分解，用于分解形如`a^2-b^2`的差平方。
3.2公式法多元高次多项式的因式分解可以利用公式法进行处理，将多项式转化为特定公式的形式，然后进行因式分解。
3.3分组法分组法是一种常用的因式分解方法，适用于多元高次多项式的因式分解。
通过合理分组，将多项式分解为两个或多个部分进行处理，然后再进行因式分解。
4.应用举例在实际问题中，多项式的因式分解经常被用到。
以下是一些应用举例：-求解方程组：通过因式分解，可以帮助我们求解方程组，找到方程组的解。
-确定函数性质：通过因式分解，我们可以确定多项式的因子，从而确定函数的性质。
-化简表达式：因式分解可以帮助我们将复杂的表达式化简为简单的形式，便于进一步计算。
5.总结本文介绍了高次多项式因式分解的方法与技巧，包括一元多项式和多元多项式的因式分解方法。
(完整)小学常用因式分解公式
(完整)小学常用因式分解公式小学常用因式分解公式
1. 什么是因式分解公式
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个更简单多项式乘积的过程。
因式分解公式是常见的一些模式，我们可以根据这些模式来分解多项式。
2. 小学常用的因式分解公式
2.1 平方差公式
平方差公式是一个常见的因式分解公式，它用于分解一个二次多项式的平方差。
公式如下：
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
其中，$a$和$b$是任意数字或变量。
2.2 公因式提取法
公因式提取法是一种常见的因式分解方法，用于提取多项式中的公因式。
例如，对于多项式 $3x^2 + 6x$，我们可以提取公因式 $3x$，得到 $3x(x + 2)$。
2.3 分组分解法
分组分解法是一种常见的因式分解方法，用于分解一个四次多项式。
例如，对于多项式 $4x^3 + 2x^2 + 6x + 3$，我们可以分组为$(4x^3 + 2x^2) + (6x + 3)$，然后进行公因式提取，得到 $2x^2(2x + 1) + 3(2x + 1)$，再将公因式 $(2x + 1)$ 提取出来，最终得到 $(2x + 1)(2x^2 + 3)$。
3. 总结
本文介绍了小学常用的因式分解公式，包括平方差公式、公因式提取法和分组分解法。
通过研究和掌握这些公式，我们可以更轻易地分解多项式，并简化计算过程。
因式分解是数学中的重要概念，对于培养逻辑思维和解决问题的能力有着重要的作用。
希望本文对您有所帮助！。
小学数学知识点代数式的展开与因式分解
小学数学知识点代数式的展开与因式分解代数式的展开与因式分解是小学数学中的重要知识点之一。
通过学习和掌握这个知识点，可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。
本文将以代数式的展开与因式分解为主题，深入探讨其相关概念、原理和应用。
同时，还将提供一些实例和解题方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、代数式的展开在数学中，代数式是由字母和数字利用运算符号组成的式子。
代数式的展开是指将一个代数式中存在的括号去掉，并根据运算法则将式子化简到最简形式的过程。
1.1 单项式的展开单项式是指只包含一个字母的代数式，例如2x、3xy^2等。
对于一个单项式，如果它包含了一个括号，可以通过分配律展开。
例如，对于表达式2(x+y)，可以展开得到2x+2y。
同样地，对于表达式3(x^2+y^2)，可以展开得到3x^2+3y^2。
1.2 多项式的展开多项式是指由若干个单项式相加或相减而成的代数式。
多项式的展开可以通过分配律和结合律来完成。
例如，对于(x+y)(a+b)，可以先将括号中的第一个乘数分别与第二个乘数的每一项相乘，然后将结果相加，得到展开式xa+xb+ya+yb。
二、代数式的因式分解代数式的因式分解是指将一个代数式分解成若干个含有公因式的乘积的过程。
因式分解可以帮助我们更好地理解代数式，简化计算过程，同时也为解方程和解问题提供了便利。
2.1 提取公因式当一个代数式的各项都有相同的因子时，可以通过提取公因式的方法进行因式分解。
例如，对于3x+9y，可以提取公因式3，得到3(x+3y)。
2.2 平方差公式的因式分解平方差公式是指一个二次三项式的因式分解形式。
例如，对于x^2-4，可以因式分解为(x+2)(x-2)。
平方差公式的应用可以帮助我们快速分解二次三项式，并且为解方程提供了方便。
三、代数式展开与因式分解的应用代数式的展开与因式分解在数学中有着广泛的应用。
3.1 解方程代数式的因式分解可以帮助我们更好地解方程。
通过将方程两边的代数式进行因式分解后，可以更容易地求解得到方程的解。
因式分解反向-概述说明以及解释
因式分解反向-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述因式分解是代数学中重要的概念，它指的是将一个多项式拆解为多个较小的因子的过程。
在数学和工程学中，因式分解是一种非常实用的技巧，能够帮助我们简化复杂的表达式，求解方程和不等式，以及解决实际问题。
本文将探讨因式分解的基本概念、应用场景以及其反向过程，以及反向因式分解对实际应用的意义和未来的展望。
通过深入了解因式分解及其反向过程，我们可以更好地应用这一数学工具解决实际问题，提高数学建模和问题求解的效率和准确度。
1.2 文章结构文章结构部分：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，我们将介绍因式分解的基本概念，并简要介绍因式分解在数学和实际生活中的应用。
文章结构部分将说明本文的目录结构和各部分内容的安排。
而在目的部分，我们将阐述本文旨在探讨因式分解反向的意义和方法。
正文部分主要包括因式分解的基本概念、因式分解的应用场景和因式分解的反向过程。
在因式分解的基本概念部分，我们将介绍因式分解的定义和基本原理；在因式分解的应用场景部分，我们将探讨因式分解在实际中的各种应用，包括数学、物理、经济等领域；而在因式分解的反向过程部分，我们将深入研究因式分解反向的意义、方法和相关实例。
结论部分将对全文进行总结，阐明反向因式分解的意义，并展望可能的未来发展方向和研究方向。
文章1.3 目的部分的内容如下:1.3 目的本文的目的在于探讨因式分解的反向过程，即通过已知的因式分解结果推导出原始多项式表达式。
通过对这一过程的深入研究，我们可以更好地理解因式分解的原理和应用，提高数学解题的技巧和效率。
同时，通过探讨反向因式分解的意义，能够帮助读者对数学知识有更深刻的理解和应用，为进一步学习和研究数学领域打下坚实的基础。
此外，本文也希望通过对反向因式分解的讨论，激发读者对数学的兴趣，促进数学学习的积极性。
通过本文的阐述，读者能够全面了解因式分解的重要性，进一步巩固数学知识，提高数学解题能力。
因式分解(三次方差公式)教案
因式分解(三次方差公式)教案一、引言本教案旨在教授因式分解(三次方差公式)的概念及相关技巧。
因式分解是数学中重要的基础概念之一，对于解决方程、求根和简化表达式都有重要作用。
本教案将通过简单而直观的方式介绍因式分解的概念和方法，以便学生能够理解和应用。
二、因式分解的基本概念2.1 因式分解的定义因式分解是将一个多项式表示为若干个乘积的形式的过程。
通过因式分解，我们可以将复杂的多项式简化为更简单的形式，便于进一步运算和理解。
2.2 因式分解的意义因式分解在数学中具有广泛的应用。
它可以帮助我们解决方程、求根以及简化表达式。
通过因式分解，我们可以将不易处理的多项式拆分成更小的部分，从而更方便地进行运算和推导。
三、因式分解的方法和步骤3.1 因式分解的基本原则因式分解的基本原则是找出多项式中的公因子，然后将其提取出来作为一个因子。
通过不断重复这个过程，最终将多项式分解为不可再分的因子乘积的形式。
3.2 三次方差公式的因式分解三次方差公式是常见的因式分解形式之一。
它可以将一个三次多项式分解为三个一次因子的乘积形式。
具体的步骤如下：1. 首先，观察多项式中是否存在公因子，如果有，提取出来作为一个因子。
2. 其次，利用三次方差公式进行因式分解。
三次方差公式的表达式为：`a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)`。
根据此公式，我们可以将一个三次方差式因式分解为两个因子的乘积形式。
3. 最后，如果分解后的因子仍然是多项式，可以继续应用因式分解的方法，将其进一步拆分为更小的因子。
3.3 示例和练在教学过程中，可以通过具体的示例和练来帮助学生掌握因式分解的方法和步骤。
提供一些多项式，并要求学生进行因式分解，以加深他们对概念和技巧的理解和应用。
四、总结因式分解是数学中重要的技巧之一，能够帮助我们简化多项式、解决方程和求根。
通过本教案的介绍，学生可以了解到因式分解的基本概念和方法，并通过示例和练来提高他们的理解和应用能力。
变量替换法与分项分解因式
变量替换法与分项分解因式
1. 变量替换法
变量替换法是一种在代数方程中使用变量替换的方法，旨在简化方程的形式并解决问题。
通过引入新的变量，可以将复杂的方程转化为简单的形式，进而更容易进行求解。
1.1 变量替换法的步骤
1. 选择一个合适的新变量，使得方程中的表达式能够被该变量代替。
2. 将方程中的表达式用新变量表示，并进行变形、化简。
3. 求解得到新变量的值。
4. 将新变量的值带回原方程，得到最终的解。
2. 分项分解因式
分项分解因式是将一个多项式因式分解为多个因子的方法。
通
过将多项式拆分成更简单的部分，我们可以更容易地研究和处理多
项式的性质和特点。
2.1 分项分解因式的步骤
1. 观察多项式中各项之间是否存在公因式，将公因式提取出来。
2. 将多项式拆分为多个更简单的项，使得这些项之间无法再进
一步分解。
3. 将得到的各个项作为因子进行因式分解。
4. 将所有的因子相乘，得到最终的多项式因式分解形式。
以上是关于变量替换法和分项分解因式的简要介绍。
通过运用
这两种方法，我们可以更好地解决和处理代数方程中的问题。
希望
对您有所帮助！。
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能力提升
2
当m为何值时，y - 3 y + m 有一个因式为y - 4 ？
[练习]若关于x 的二次三项式6 x - 13 x + m 有一个 因式为 3 x - 2 , 求m 的值.
2
课时小结
1、分解因式： 把一个多项式化成几个整式的乘积形式， 这种变形的过程叫做把这个多项式分解因式 2、分解因式与整式乘法之间的联系和区别
2
1 练习： 16.9? 8
1 15.1? 能被4整除吗？ 8
例2、已知关于x的二次三项式2 x + mx + n 因式分解 骣 1 的结果是 (2 x - 1)琪 x + , 求m, n 的值. 琪 琪 桫 4
2
[练习]若关于x的二次三项式3 x 2 + mx + n 分解因式的 结果为(3 x + 2)( x - 1), 求m , n 的值.
2
(2)(m 4)(m 4) m 16 (3)m(a b c) ma mb mc (4)a(a 1)(a 1) a a
3
(2)m2 16 (m 4)(m 4) (3)ma mb mc m(a b c) (4)a3 a a(a 1)(a 1) (5) y 2 6 y 9 ( y 3) 2
(5)( y 3) y 6 y 9
2 2
动脑思考：两种运算的联系和区别是什么？
分解因式 区别
将一个多项式转化成几个 整式积的形式，是多项式 的恒等变形
整式乘法
把几个整式相乘的形式转化 为一个整式的形式，是一种 运算
联系
互逆的恒等变形
例1： 1999 +1999 能被1999 整除吗？又能被2000 整除吗？
2 2
( 4) x + 4 x + 4 = ( x + 2 ) 2 (5)(a - 3)(a + 3) = a - 9
2
2
骣 1÷ x+ ÷ (6)( x + 1) = x ç ç ç 桫 x÷
2
（7） 12a b=3a.4ab
2
整式乘法 (1)3x( x 1) 3 x -3x
2
分解因式 (1)3x 2 -3x 3x( x 1)
分解因式 区别 联系
将一个多项式转化成几个 整式积的形式，是多项式 的恒等变形
整式乘法
把几个整式相乘的形式转化 为一个整式的形式，是一种 运算
互逆的恒等变形
2
(2)m2 16 (3)ma mb mc (4)a a
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(5) y 2 6 y 9
分解因式： 把一个 化成几个 的 形式， 这种变形的过程叫做把这个多项式分解因式
[试一试]判断下列各式哪些是分解因式！
(1) x - 4 y = ( x - 2 y )( x + 2 y ) 2 (2) 2 x ( x - 3 y ) = 2 x - 6 xy 2 (3) x + x - 5 = ( x - 2)( x + 3) + 1
知识回顾： ¤整式的概念是什么？ ¤整式的乘法有哪几种形式？
计算下列各式 (1)3 x( x 1) (2) m( a b c) (3)(m 4)(m 4) (4)( y 3) 2 (5)a (a 1)(a 1)
填一填 (1)3x -3x